UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO TECNOLÓGICO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS
EPS 7005 – PESQUISA OPERACIONAL
PROVA 01 (05/10/2012)
Descrição do problema
A Bavarian Brewery produz dois tipos diferentes de cerveja (lager e ale), que variam conforme a composição da
receita e o tempo de fermentação. A cerveja lager (de fermentação mais lenta) é vendida apenas em garrafas de
600 ml. A cerveja ale, por sua vez, é vendida em garrafas de 600 ml e em latas de 350 ml. Os tanques de
fermentação disponíveis na fábrica possuem capacidade para fermentar, mensalmente, até 100.000 litros de
cerveja lager ou até 200.000 litros de cerveja ale, ou qualquer combinação linear convexa destes dois tipos de
cerveja. O setor de envasamento, por sua vez, possui capacidade para envasar mensalmente (de modo
independente) até 350.000 garafas de 600 ml e 500.000 latas de 350 ml. Os custos diretos de fabricação (cevada,
lúpulo, água e vasilhame) e os preços de mercado para cada um dos produtos da Bavarian Brewery encontram-se
na tabela abaixo:
Produtos
Cerveja lager gf 600 ml
Cerveja ale lt 350 ml
Cerveja ale gf 600 ml
Custo direto
(R$/unid)
0,90
0,35
0,60
Preço mercado
(R$/unid)
3,20
1,50
2,10
Compromissos de venda já firmados obrigam a empresa produzir pelo menos 50.000 garrafas de 600 ml da
cerveja lager. Considerando a pequena produção da Bavarian Brewery, estima-se que toda produção possa ser
vendida pelo preço anunciado no mercado.
Questões
1. Formule o problema de programação linear para otimizar a produção da Bavarian Brewery.
2. Um dos estagiários do setor de produção sugeriu que fossem produzidas as 50.000 garrafas da cerveja
lager, e que o restante da capacidade fosse preenchida com a produção de cerveja ale em lata. Verifique
qual o lucro obtido com este plano de produção.
3. O plano de produção proposto pelo estagiário é ótimo? Caso não seja, determine a solução ótima.
4. Quais os setores de produção deveriam ser ampliados? Quanto voce pagaria pela ampliação da
capacidade destes setores? Explique.
5. A empresa fez um bom negócio vendendo as 50.000 garrafas da cerveja lager? Explique.
6. Por quanto deveria ser vendida uma garrafa de 1.000 ml da cerveja lager? Explique. Considere que o
custo direto deste produto é proporcional ao tamanho da garrafa quando em comparação com a garrafa
de 600 ml.
Questão 1
4 ptos
Questão 2
1 pto
Questão 3
2 ptos
Questão 4
1 pto
Questão 5
1 pto
Questão 6
1 pto
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EPS 7005 – PESQUISA OPERACIONAL
PROVA 01 (05/10/2012)
Questão 01
Variáveis de decisão:
x1 = garrafas de 600 ml de cerveja lager;
x2 = latas de 350 ml de cerveja ale;
x3 = garrafas de 600 ml de cerveja ale;
Restrições
a) capacidade do setor de fermentação;
b) capacidade de envasamento de garrafas;
c) capacidade de envasamento de latas;
Objetivo
Maximizar o lucro total da empresa
Max
s.a:
z = 2,30 x1 + 1,15 x2 + 1,50 x3
0, 60 x1 + 0,175 x2 + 0,30 x3 ≤ 100.000
x1 + x3 ≤ 350.000
x2 ≤ 500.000
x1 ≥ 50.000
x2 , x3 ≥ 0
Questão 02
0, 60 × 50000 + 0,175 x2 + 0,30 × 0 ≤ 100000 ⇒ x2 ≤
100000 − 0,60 × 50000
= 400000
0,175
50000 + 0 ≤ 350000
x2 ≤ 500000
Portanto, a empresa deverá produzir, além das 50.000 garrafas da cerveja lager, 400.000 latas de cerveja
ale. Com isto, a empresa obterá um lucro de R$ 575.000,00, calculados como segue:
z = 2,30 x1 + 1,15 x2 + 1,50 x3 = 2,30 × 50000 + 1,150 × 400000 + 1,50 × 0 = 575000
Questão 03
Fazendo
x1′ = x1 − 50000 ≥ 0 e substituindo no modelo, tem-se:
Max
z = 2,30( x1′ + 50000) + 1,15 x2 + 1,50 x3 ou
0, 60( x1′ + 50000) + 0,175 x2 + 0,30 x3 ≤ 100000
( x1′ + 50000) + x3 ≤ 350000
x2 ≤ 500000
( x1′ + 50000) ≥ 50000
x2 , x3 ≥ 0
s.a:
Montando o tableau tem-se:
z = 2,30 x1′ + 1,15 x2 + 1,50 x3 + 115000
0, 60 x1′ + 0,175 x2 + 0,30 x3 ≤ 70000
x1′ + x3 ≤ 300000
x2 ≤ 500000
x1′ ≥ 0
x2 , x3 ≥ 0
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Base
z
x1′
x2
x3
S1
S2
S3
RHS
Razão
S1
0
0,6
0,175
0,3
1
0
0
70.000
116.667
S2
0
1
0
1
0
1
0
300.000
300.000
S3
z
0
0
1
0
0
0
1
500.000
-
1
-2,3
-1,15
-1,5
0
0
0
115.000
Base
z
x1′
x2
x3
S1
S2
S3
RHS
Razão
x1′
0
1
0,2917
0,5
1,6667
0
0
116.667
400.000
S2
0
0
-0,2917
0,5
-1,6667
1
0
183.333
-
S3
z
0
0
1
0
0
0
1
500.000
500.000
1
0
-0,4792
-0,350
3,8333
0
0
383.333
Base
z
x1′
x2
x3
S1
S2
S3
RHS
x2
0
3,4286
1
1,7143
5,7143
0
0
400.000
S2
0
1
0
1
0
1
0
300.000
S3
z
0
-3,4286
0
-1,7143
-5,7143
0
1
100.000
1
1,6429
0
0,4714
6,5714
0
0
575.000
Portanto, o plano proposto pelo estagiário é ótimo, isto é:
x1′ = 0 ⇒ x1 = 50000
x2 = 400000
x3 = 0
z = 575.000
(50.000 garrafas de lager)
(400.000 latas de ale)
(não produzir)
S1 = 0 (não sobra capacidade para fermentação)
S 2 = 300000 (sobra no envase de garrafas)
S3 = 100000 (sobra no envase de latas)
Questão 04
Em princípio, apenas o setor de fermentação deverá ter sua capacidade ampliada. A ampliação de 1% da
capacidade deste setor produz um lucro adicional de R$ 6.571,43 por mês, que é o máximo que se pode
pagar mensalmente por este acréscimo no setor.
Questão 05
A venda das 50.000 garrafas de cerveja lager não foi um bom negócio, posto que ao deixar de vender uma
destas garrafas ter-se-ia um aumento de lucro da ordem de R$ 1,64.
Questão 06
Supondo o custo direto da cerveja lager 1.000 ml proporcional ao da cerveja lager de 600 ml, e
considerando a fração de capacidade do setor de fermentação necessária à produção deste produto, temse:
Pmin =
1,000
6,57143
× 0,9 +
×1 = 8,07
0,600
1,000
Logo, o preço mínimo para este produto deve ser de pelo menos R$ 8,07.
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PROVA 01 (05/10/2012)
Solução Alternativa para a Questão 03
Fazendo
x1′ = x1 − 50000 ≥ 0 e substituindo no modelo, tem-se:
Max
z = 2,30( x1′ + 50000) + 1,15 x2 + 1,50 x3 ou
0, 60( x1′ + 50000) + 0,175 x2 + 0,30 x3 ≤ 100000
( x1′ + 50000) + x3 ≤ 350000
x2 ≤ 500000
( x1′ + 50000) ≥ 50000
x2 , x3 ≥ 0
s.a:
z = 2,30 x1′ + 1,15 x2 + 1,50 x3 + 115000
0, 60 x1′ + 0,175 x2 + 0,30 x3 ≤ 70000
x1′ + x3 ≤ 300000
x2 ≤ 500000
x1′ ≥ 0
x2 , x3 ≥ 0
A solução do estagiários sugere que sejam produzidas as 50.000 garrafas da cerveja lager, e que o restante
da capacidade seja preenchida com a produção de cerveja ale em lata; isto é:
x1 = 50000 garrafas de 600 ml de cerveja lager ⇒ x1′ = 0
x2 máximo possível de latas de 350 ml de cerveja ale ( x2 = 400000 )
x3 nenhuma garrafa de 600 ml de cerveja ale
Então:
 x2   400000 
xB =  S 2  = 300000 
 S3  100000 
 x1′   0 
xR =  x3  =  0 
 S1   0 
0,175 0 0 
 5, 7143 0 0 


−1
B= 0
1 0  ⇒ B =  0
1 0 
 1
 −5, 7143 0 1 
0 1 
0,6 0,3 1 
R =  1
1 0 
 0
0 0 
c = [ 2,3 1,5 0]
T
R
cBT = [1,15 0 0]
 70000 
b = 300000 
500000 
 x2 
 5,7143 0 0   70000   400000 


−1
xˆB = S 2 = B b =  0
1 0  300000  =  300000  Portanto, a solução é viável !!!
 


 

 S3 
 −5,7143 0 1  500000  100000 
 5,7143 0 0   0, 6 0,3 1 
∆Z = c − c B R = [ 2,3 1,5 0] − [1,15 0 0]  0
1 0   1
1 0 
 −5,7143 0 1   0
0 0 
T
R
T
B
−1
∆Z = [ −1, 6429 −0, 4714 −6,5715] Portanto a solução é ótima !!!
 400000 
0 


T
T
ˆ
Z = cB xˆB + cR xˆR + cte = [1,15 0 0] 300000  + [ 2,3 1,5 0] 0  + 115000 = 575000
100000 
0 