A INTERA ÿO BýRION-BýRION NA APROXIMA ÿO DE ESTADO

Transcrição

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE FÍSICA
A INTERAÇÃO BÁRIONBÁRION
NA APROXIMAÇÃO DE ESTADO LIGADO
AO MODELO DE SKYRME
Gilberto Lima Thomas
Porto Alegre, Janeiro de 2000
SUMÁRIO
1. Introdução : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4
2. O Modelo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
12
2.1
Modelo de Skyrme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2
Extensões a
SU(3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3
Aproximação de estado ligado . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.4
Alguns resultados numéricos
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3. Dibárions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
33
3.1
Estados ligados
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Conguração axialmente simétrica
. . . . . . . . . . . . . . .
36
3.3
Autofunções dos dibárions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.4
Resultados e discussão
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.5
Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4. Interação N : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
55
4.1
Interação bárionbárion
4.2
Lagrangeano de interação híperonnúcleon na aproximação
produto
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
56
58
Sumário
4.3
3
Potencial
N
na aproximação adiabática . . . . . . . . . . . .
63
4.3.1
Contribuições diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.3.2
Contribuições de troca
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.5
Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5. Comentários Finais : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
78
Apêndices
A. O setor SU(2) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
84
B. V ef em AEL para B = 1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
88
C. Funções de onda dos híperons : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
94
D. Regras de quantização e isospin dos dibárions : : : : : : : :
97
E. Elementos de matriz coletivos : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
102
F. Formas explícitas para Lk4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
105
Referências Bibliográcas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
107
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
Em 1961, T. H. R. Skyrme inicia a publicação de um conjunto de trabalhos
em que descreve os bárions a partir de uma densidade lagrangeana quiral
nãolinear, à qual concorrem somente campos mesônicos [1, 2, 3].
A hipótese fundamental do modelo é a de que os bárions emergem como
sólitons topológicos
estáveis, o que é corroborado pela identicação da carga
topológica conservada do modelo com o número bariônico.
A idéia de férmions gerados a partir de bósons não é, porém, levada muito
a sério na época e o modelo é esquecido por mais de duas décadas.
Poucos anos depois surge o
modelo de quarks, proposto independentemen-
te por GellMann [4] e Zweig [5], em que os bárions são compostos por três
quarks (férmions) e os mésons por um par quarkantiquark. Experimentos
em espalhamento profundamente inelástico mostram que, de fato, a estrutura
dos bárions compreende subestruturas de cargas localizadas.
Nos anos 70 surge a
Cromodinâmica Quântica CDQ, uma teoria de cali-
bre nãoabeliana no grupo
SU(3) de cor, hoje aceita como a teoria fundamen-
tal para as interações fortes. Em
CDQ
os hádrons são estruturas complexas
compostas por quarks (férmions constituintes dos campos de matéria) que
interagem intermediados por glúons (bósons de calibre) (vide, p. ex., [6]).
Capítulo 1. Introdução
5
Processos de espalhamento na região de grande momentum transferido
são calculados com muito sucesso em
distâncias, a teoria apresentar
CDQ.
Isto se deve ao fato de, a curtas
liberdade assintótica,
ou seja, nesta região
as constantes de acoplamento quarkglúon são pequenas.
Deste modo, o
tratamento com técnicas perturbativas desenvolvidas para a
Eletrodinâmica
Quântica (EDQ)
pode ser usado no regime de pequenas distâncias (vide, p.
ex., [7]).
Entretanto, na região de grandes distâncias (pequeno momentum transferido), que é, em geral, a região de interesse para a física nuclear e onde
ocorrem fenômenos como
connamento
e
quebra da simetria quiral,
as téc-
nicas perturbativas tradicionais não podem ser usadas pois as constantes de
acoplamento são grandes e não é adequado tratá-las como parâmetros de
expansão.
Defrontamonos, então, com uma situação um tanto insólita: temos à
disposição uma densidade lagrangeana que, em princípio, contém toda a
dinâmica do sistema, mas não somos capazes de extrair da mesma as informações físicas de interesse, como propriedades e interações hadrônicas, por
exemplo, para comparação com a grande quantidade de dados experimentais
acumulados.
Várias abordagens à
CDQ têm sido desenvolvidas na tentativa de resolver
suas equações de movimento. Destas, uma, a
teoria de calibre na rede, de fato
consegue tal objetivo (vide, p. ex., [8]), tendo, porém, seus próprios problemas. Além da exigência de supercomputadores com
gigaops
de velocidade
de processamento para a execução de cálculos razoáveis em tempos aceitáveis, ocorrem, por exemplo, problemas com a inclusão de férmions numa rede
discreta, de modo que aproximações, mesmo aqui, são necessárias.
Uma alternativa em física hadrônica é, então, propor aproximações de
modelo, com densidades lagrangeanas mais simples mas que contemplem as
características básicas da
6
CDQ e que sejam matematicamente acessíveis para
descrever as propriedades dos hádrons a baixas energias.
Nc , do valor físico (Nc = 3) para um valor arbitrário grande, i.e., SU (3) ! SU (Nc ).
Desta forma o inverso, 1=Nc , pode ser usado como parâmetro de expansão,
inclusive no caso de interesse físico, Nc = 3. A idéia é que a teoria pode se
tornar mais simples no limite Nc ! 1, uma vez que nesta situação ape't Hooft [9, 10] propõe generalizar a
CDQ no número de
cores,
nas uma classe especial de diagramas de Feynmann, os diagramas
planares,
sobrevive.
Seguindo esta linha, Witten, levando em consideração as propriedades de
simetria quiral, unitariedade e connamento, mostra [11] que, em tal limite,
a
CDQ é equivalente a uma teoria efetiva de mésons fracamente interagentes,
1
da qual os bárions emergem como soluções solitônicas das equações de Euler
B ).
Lagrange estáticas que conservam o número bariônico (
Esta é, contudo, a idéia apresentada por Skyrme, antes da introdução dos
quarks e glúons e do surgimento da
CDQ.
A revisitação ao modelo de Skyrme, tendo em vista sua conexão com a
CDQ, ocorreu no início dos anos 80.
Adkins, Nappi e Witten aplicaram o mo-
delo original de Skyrme ao cálculo de observáveis do núcleon e da delta [12].
O relativo sucesso de suas predições fez renascer, com alguma intensidade, o
interesse no modelo, seus principais resultados podendo ser encontrados, por
exemplo, em [13, 14].
Respeitando as propriedades de simetria da
CDQ, como a simetria quiral
e sua quebra espontânea, o modelo foi ampliado ao longo do tempo, com o
objetivo de melhor descrever os resultados experimentais.
É o que ocorre,
por exemplo, com a inclusão na densidade lagrangeana da contribuição dos
1
Soluções ondulatórias de equações diferenciais nãolineares que se propagam sem dis-
persar energia e preservando a forma mesmo após colisões.
mésons vetoriais leves
7
(770) e ! (783), que permitem a descrição dos acopla-
mentos mesônicos vetoriais e trazem à tona a fenomenologia da
mesônica vetorial
dominância
(vide, p. ex., [15, 16]).
Após a aplicação na determinação das propriedades individuais dos hádrons nãoestranhos, o modelo original em
descrever a interação
NN .
SU(2)
de sabor foi utilizado para
Embora recorrendo a algumas hipóteses sim-
plicadoras, o modelo contabilizou alguns importantes sucessos como os da
descrição da interação de troca de um píon a longas distâncias [3], da repulsão
de curto alcance [17] e da interação spinórbita dependente de isospin [18]. A
atração central de médio alcance da interação
NN , entretanto, não é repro-
duzida em intensidade, falha esta imputada à inexistência de contribuições
oriundas das utuações quânticas do campo piônico.
Soluções alternativas, como a da inclusão explícita de um campo mesônico
escalar na densidade lagrangeana [19, 20], ou a construção de um hamiltoniano especíco para o sistema
NN
com expansão tanto na constante de
acoplamento como no alcance da interação [21], conseguem reproduzir, em
boa parte, a atração central intermediária. Esforços feitos [22] para estudar
a interação
NN
no contexto de mecanismos de estabilização alternativos [23]
para o skyrmion indicam que estes podem simplicar bastante os cálculos
estimativos da força.
O modelo em
SU(2)
de sabor descreve os bárions nãoestranhos. Uma
descrição que abarque também os bárions estranhos (híperons) conduz à
extensào do modelo ao grupo
SU(3), propiciando o estudo do octeto e do de-
cupleto bariônicos completos (Fig. 1.1). Embora nas primeiras abordagens,
onde as variáveis de isospin e estranheza são tratadas da mesma forma, os
multipletos bariônicos estejam corretamente reproduzidos no limite quiral, o
cálculo das massas dos híperons mais leves, no regime de quebra de simetria
quiral, apresenta resultados insatisfatórios [24, 25, 26].
Y
1
n
p
I3
JP
(b)
SU(3)
1 +
0
= 12 +
Representações
Y
0
0
(a)
Fig. 1.1:
+
0 0
8
0
JP
++
+
0
I3
= 32 +
de sabor do octeto (a) e decupleto (b) ba-
riônicos. Os bárions estão caracterizados pelos números quânticos
I3 (projeção do isospin) e Y
(hipercarga).
Atualmente são duas as aproximações de modelo que melhor reproduzem
as propriedades dos bárions estranhos. Uma delas é o
coletivas MCC [27],
todo o
SU(3)
modelo de coordenadas
em que se admite que a simetria de sabor é exata para
(limite quiral), em que os graus de liberdade de spin, isospin e
estranheza são tratados como coordenadas coletivas e em que o hamiltoniano
resultante é exatamente diagonalizado. A outra é a
ligado AEL (bound state approach) [28],
aproximação de estado
que trata os graus de liberdade de
estranheza como vibracionais [29, 30]. O progresso obtido na extensão deste
modelo pode ser acompanhado em [31, 32, 33].
A análise da qualidade dos modelos impõe que se investigue, ainda, as
características da interação básica entre bárions.
Resultados relativos ao
MCC
9
podem ser encontrados em [34, 35, 36].
O presente trabalho versa sobre a
aproximação de estado ligado AEL
e sua aplicação ao estudo da interação de sistemas bariônicos estranhos
caracterizados pelo número bariônico
B = 2.
São estudados, como casos
típicos da interação bárionbárion, sistemas ligados de duas partículas e a
formulação do potencial híperonnúcleon correspondente.
No Cap. 2 são apresentados um resumo sobre o modelo de Skyrme original
em
SU(2)
e uma revisão sobre a
AEL.
Os Caps. 3 e 4 compreendem nossas contribuições ao assunto. Especicamente a aplicação da
AEL
a sistemas ligados, os
dibárions,
é objeto do
Cap. 3, sendo o espectro dos mesmos [37] obtido com a hipótese de
interação
axialmente simétrica [38], que reproduz a conguração toroidal de mais baixa
energia do sóliton com
B = 2, conforme numericamente determinado na Ref.
[39]. Em particular, é realizada uma predição sobre a existência da partícula
H.
No Cap. 4, a densidade lagrangeana da interação bárionbárion na aproximação
AEL
é formulada especicamente para o sistema híperonnúcleon
[40], com vistas à determinação do potencial correspondente. Com o auxílio
da
ção
conguração produto
NN
que, utilizada em
SU(2)
para o estudo da intera-
[17, 41, 42], se revela adequada para descrever a interação entre as
partículas a médias e grandes distâncias, obtémse as componentes central,
spinspin e tensorial do potencial, dependentes ou não de isospin.
Como
aplicação, são apresentadas predições númericas para a interação
N .
A utilização de congurações distintas para cada aplicação da
AEL
ser entendida com o auxílio da Fig.
1.2, extraída da Ref.
[43].
pode
A gura
mostra uma seqüência de quatro tomadas resultantes de cálculo de um evento
de espalhamento sólitonsóliton (caso
NN ).
10
Fig. 1.2:
Espalhamento sólitonsóliton
Na tomada superior esquerda dois sólitons de Skyrme separados, e portanto esfericamente simétricos, se aproximam; nas duas tomadas seguintes
(inferior esquerda e superior direita) os sólitons estão em interação criando um disóliton com simetria toroidal. Na última tomada os dois sólitons
separamse e espalhamse a
ragentes estão afastados, a
90o .
Vemos então que, quando os sólitons inte-
conguração produto
(dada pelo produto de duas
congurações esfericamente simétricas, cada uma para
da para representar o sistema com
B = 2.
B = 1), pode ser usa-
Entretanto, quando a distância
entre os dois sólitons diminui, eles tendem a se fundir em um único sistema
B = 2) com simetria toroidal, de modo que a conguração axialmente simé-
(
trica
é mais adequada na situação de estado ligado e, em geral, a pequenas
distâncias.
11
A conclusão deste trabalho ocorre com a apresentação, no Cap. 5, dos
resultados obtidos nos Caps. 3 e 4, que são discutidos e comparados a outros
da literatura. Também aí apresentamos as conclusões gerais decorrentes deste
estudo.
Fórmulas e de denições que complementam o texto principal são apresentadas nos apêndices.
Capítulo 2
O MODELO
As características gerais do modelo de Skyrme em
SU(2) e sua generalização a
SU(3), bem como o detalhamento da chamada aproximação de estado ligado,
serão apresentados a seguir.
2.1
Modelo de Skyrme
Witten, em sua análise sobre a Cromodinâmica Quântica no limite
e a baixas energias [11], mostra que a
Nc ! 1
CDQ pode ser modelada por teorias de
campos mesônicos nãolineares quirais que apresentem soluções solitônicas
estáveis com carga topológica nãonula conservada. O mais simples destes
modelos, desenvolvido muito antes da
CDQ,
é o modelo de Skyrme.
O ponto de partida para esta aproximação, comum a várias teorias mesônicas efetivas, é o conhecido modelo
nãolinear [44].
Considerando o regime
de baixas energias, esperase que os graus de liberdade mais relevantes sejam
os relativos aos mésons mais leves, i.e., os píons.
Para incorporar estas características, a simetria quiral
SU(2)L
SU(2)R
é realizada pela adoção de uma representação nãolinear para o campo de
Capítulo 2. O Modelo
13
#
"
píons
~
i
~ ~ (r) ;
U (~r) = exp
f
(2.1)
f
é a constante de decaimento do píon obtida do decaimento ! + , ~
ré
o vetor posição do campo piônico e i (r ) são as componentes do campo de
onde
é o isovetor usual, cujas componentes são os operadores de Pauli,
píons.
Frente às transformações quirais globais
SU (2)L
SU (2)R , parametriza-
das pelos operadores unitários (matrizes constantes)
L e R, U
transformase
como
! U 0 = LURy :
(2.2)
Podese ver assim que o vácuo (i = 0 ! U = 1) é invariante apenas no
U
subgrupo
L = R,
quebra espontânea
o que reete a
da simetria quiral.
O
modelo deve, então, incorporar termos que levem em conta tal quebra de
simetria.
A densidade lagrangeana do modelo
de
U , é dada por
nãolinear, expressa como função
2
L = f4 Tr(@ U@ U y) :
(2.3)
Usando argumentos de transformação de escala do tipo
~r ! ~r, verica
L não possui soluções solitônicas estáveis U que conduzam à minimização da energia, pois para qualquer função tentativa U (~
r) terseá E / 1 ,
se que
que não possui mínimo.
A estabilização do sóliton foi obtida por Skyrme adicionando um termo
que envolve quatro derivadas do campo
U
à lagrangeana, das quais duas, no
máximo, são temporais [1]:
LSk = 321e2 Tr [@ U; @ U y][@ U; @ U y] ;
com
e uma constante adimensional a ser ajustada.
(2.4)
14
Frente à transformação de escala citada acima, a energia associada ao
termo quártico,
ESk ,
se mostra proporcional a
,
de modo que ocorre uma
solução estável com energia minimizada para o modelo de Skyrme original,
em que
L = L + LSk :
(2.5)
Entretanto, tendo em vista a quebra de simetria quiral já mencionada, é
usual incluirse no modelo um termo dependente da massa do píon,
forma [45]
LSB = 41 m2 f 2 Tr(U + U y
2) :
m , da
(2.6)
Do ponto de vista geométrico, podese explicar a existência de soluções
solitônicas estáveis da seguinte forma. Para congurações solitônicas estáticas (independentes do tempo), o campo unitário
U (~r) representa um mape-
U : R3 ! SU(2). Impor que o sóliton possua energia nita, implica
na condição de contorno U (~
r ! 1) !1 (i.e., o campo de píons deve se anuamento
lar no innito). Isto permite que todos os pontos do innito espacial sejam
R3 pode ser compacticado
3
3
a uma esfera S . Como o grupo SU(2) também é equivalente a S , podemos
3
3
escrever U : S ! S .
identicados com um único ponto, de modo que
Estes mapeamentos agrupamse em diferentes classes discretas de homotopia (que congregam funções que podem se deformar continuamente umas
nas outras), caracterizadas por números inteiros, os números de voltas"(do
inglês
winding numbers),
Z
Z [U ] =
com
d3 x B0 (x) ;
denidos por
onde
B (x) = 2412 " Tr(L L L ) ;
"0123 = 1, "0ijk = "ijk e L = U y @ U .
(2.7)
Estes números explicitam o nú-
mero de vezes em que a esfera espacial é completamente mapeada na esfera
quiral. Como estes números de voltas são preservados frente a transformações homotópicas contínuas dos mapeamentos como, por exemplo, aquelas
15
que descrevem a evolução temporal do sistema, podese dizer que uma conguração de campos com
temente
Z [U ] 6= 0 é topologicamente estável.
Consequen-
B representa uma corrente topológica que quantica o número de
voltas conservado.
A principal hipótese de Skyrme foi a de identicar a corrente topológica
com a corrente bariônica (vericado posteriormente por Witten [11]). Como
a parte da energia estática associada ao Lagrangeano (2.3) envolve apenas
quadrados das derivadas de
piônico
U , uma dependência puramente radial do campo
~ de (2.1) resulta na minimização da energia total do sóliton.
Skyrme utilizou [1] para o campo solitônico a conguração
Assim,
ouriço (hedgehog)
[46], em que o campo piônico é radial tanto no espaço ordinário quanto no
espaço de isospin, ou seja,
Uo (~r) = u (~r) = exp[i~ r^F (r)] ;
onde
F (r)
é uma função escalar dita
ângulo quiral.
(2.8)
Geometricamente, a
estrutura radial desta conguração está mostrada na Fig. 2.1.
Fig. 2.1:
Conguração ouriço.
As echas indicam a direção
r^
do campo
isovetorial.
Esta conguração envolve uma correlação entre isospin
angular
T~
e momentum
J~ tal que nenhum deles é, separadamente, um bom número quântico
e sim sua soma, o
16
grandespin
~ = J~ + T~ .
Substituindo (2.8) na (densidade) lagrangeana total em
SU(2)
LSU(2) = L + LSk + LSB ;
obtémse para a energia estática (visto que
u
(2.9)
independe do tempo) em
função do ângulo quiral
" 2
!
!
f
s2
s2
s2
2
2
2
0
0
E [F ] = 4
dr r
F + 2 2 + 2 2 2F + 2 + m2 f 2 (1
2
r
2e r
r
0
Z1
onde
F0
c) ;
(2.10)
dF=dr, s sen F e c cos F .
No Apêndice A encontram
se as expressões relativas ao modelo de Skyrme em
bariônico qualquer.
#
SU(2)
para um número
A equação acima pode ser obtida da eq.(A.2) quando
n = 1, ou diretamente, como nos trabalhos pioneiros de Skyrme [3].
A massa do sóliton é obtida da minimização de
determinação de
2
f 2 F 00 + F 0
r
E [F ],
o que implica na
F (r) como solução da equação diferencial [n = 1 em (A.8)]
m2 s
2sc 1 2 2 00
02
=
s
F
+
scF
r2
e2 r2
As condições de contorno para
F
2 3
sc :
r4
(2.11)
são
F (r = 1) = 0, de modo a satisfazer U (r = 1) = 1 e
F (r = 0) = , visto que Z [U ] = [F (1) F (0)]= deve fornecer o número
bariônico B = 1.
1
A solução da eq.(2.11) é obtida numericamente
de parâmetros
(e; f ).
e depende da escolha do par
Na literatura são encontradas duas alternativas para
esta escolha. Em uma delas os parâmetros são xados de modo a reproduzir
3=2).
as massas experimentais do núcleon e da delta (
1
A Fig. 2.2 mostra as
Obtemos, contudo, excelente ajuste a este ângulo quiral por soma de funções [47, 48],
o mesmo ocorrendo na literatura com o emprego do método de aproximantes de Padé [49].
17
F (r) para as situações de píon com e sem massa, com esta escolha.
Na outra alternativa, adotase o valor empírico de f e ajustase o parâmetro
e de modo a reproduzir o valor experimental da constante axial gA ou da
soluções
diferença entre as massas do núcleon e da delta.
Fig. 2.2:
F (r), solução da eq.(2.11) com condições de contorno F (0) = e F (1) = 0, para a conguração ouriço. A linha
tracejada representa o caso quiral m = 0 e a linha contínua o
caso m 6= 0. Os parâmetros são xados de modo a reproduzir as
massas experimentais de N e .
Ângulo quiral
Para descrever os bárions o modelo deve fornecer uma estrutura de spin e
isospin aos skyrmions. Entretanto, para isso, são necessárias soluções dependentes do tempo para a lagrangeana da eq.(2.9), visto que somente assim se
Æ L=Æ U_ , nãonulos e obter as constantes
Não dispomos destas soluções U (~
r; t), de modo
pode construir momenta canônicos,
de movimento de Noether.
18
que, infelizmente, serão impostas aproximações. Na seção 2.3 o processo de
quantização via coordenadas coletivas usado será visto com detalhes.
É possível, porém, apresentar agora os primeiros resultados do modelo
para as propriedades estáticas do núcleon [12, 45], o que está feito na Tabela
2.1.
Grandeza
m = 0
MN
dada
M
dada
m
0
f
64; 5 MeV
1
=
2
< r2 >I =0
0; 59 fm
1
=
2
< r2 >I =1
1
1
=
2
< r2 >M;I =0 0; 92 fm
=2
< r2 >1M;I
1
=1
p
1; 87
n
1; 31
jp=nj
1; 46
gA
0; 61
gNN
8; 9
gN 13; 2
gN 2; 3
0
Tab. 2.1:
Propriedades estáticas de
em
SU(2),
m 6= 0
dada
dada
dada
54 MeV
0; 68 fm
1; 04 fm
0; 95 fm
1; 04 fm
1; 97
1; 24
1; 59
0; 65
11; 9
17; 8
2; 3
49 MeV
Experimento
938; 9 MeV
1232 MeV
138 MeV
93 MeV
0; 72 fm
0; 88 fm
0; 81 fm
0; 80 fm
2; 79
1; 91
1; 43
1; 23
13; 5
20; 3
3; 3
36 20 MeV
N e de obtidas no modelo de Skyrme
com píons nãomassivos [12] e massivos [45]. As três
primeiras linhas da tabela compreendem dados de entrada para
os parâmetros de massa.
(termo píonnúcleon) é uma medida do desvio da massa
nucleônica devido à quebra da simetria quiral, sendo nulo quando m = 0.
Nesta tabela,
2.2
19
Extensões a
SU(3)
Considerando o sucesso qualitativo do modelo de Skyrme na descrição dos
bárions nãoestranhos e sua vinculação com a
mente estudar sua extensão a
SU(3),
CDQ,
procurouse natural-
de modo a incorporar a descrição dos
bárions estranhos, os híperons, ao modelo.
Formalmente esta extensão é facilmente efetivada se imposto que o campo
U
é, agora, pertencente a
SU(3).
As primeiras estimativas para as massas
do octeto bariônico [24, 50] feitas sob esta hipótese, entretanto, não foram
satisfatórias levando à conclusão, na linguagem da
simetria quiral pela presença do quark estranho,
CDQ, de
s,
que a quebra da
não pudesse ser conside-
rada pequena e tratada perturbativamente [26, 51].
Dois modelos em que a estranheza (a presença do quark
de maneiras distintas surgiram na década passada: a
rígido
ou modelo de coordenadas coletivas estado ligado AEL
MCC
s)
é tratada
aproximação de rotor
[27] e a
aproximação de
[28].
No primeiro modelo (MCC), são introduzidas coordenadas coletivas para
todo o
SU(3),
do sistema.
o que permite uma diagonalização exata do Hamiltoniano
Temos assim, em linguagem de quarks, um tratamento não
perturbativo para o quark
s.
Por outro lado, na segunda aproximação (AEL) as coordenadas coletivas
são introduzidas apenas para o subgrupo
SU(2),
sendo dado um tratamento
diferenciado à estranheza.
A extensão de
SU(2) a SU(3) impõe, qualquer que seja o modelo adotado,
a inclusão de um termo adicional ao Lagrangeano do sistema. Este termo,
conhecido como
de
termo de WessZumino (WZ),
decorre de uma comparação
LSU(2) com o Lagrangeano da CDQ. Embora existam várias maneiras de
compreender sua origem, apresentamos a seguir a dada por Witten [52].
Considerando
U
20
como pertencente a
SU(3), LSU(2)
trias não respeitadas separadamente pela
U
e conjugação (
uma simetria da
! U y),
CDQ.
CDQ,
apresenta duas sime-
~r ! ~r)
U y ( ~r; t) seja
a saber, paridade (
embora a combinação
U (~r; t)
!
Tais simetrias, impostas separadamente, impediriam
a descrição, por exemplo, do processo
K +K
! +0
. É necessário, por-
tanto, um termo adicional ao Lagrangeano, que quebre as duas simetrias mas
preserve sua combinação.
A sugestão de Witten foi a de modicar a equação de movimento relativa
a
LSU(2)
com a inclusão do segundo termo abaixo, que é único, se nos
restringirmos ao menor número de derivadas,
f2 @ L + " L L L L = 0 :
2
(2.12)
Infelizmente não existe um Lagrangeano local que origine um termo como
este, pois não conseguimos construir uma função invariante de Lorentz de
L (R )
que seja invariante quiral em 4 dimensões envolvendo o tensor de
LeviCivita
disco
".
Entretanto uma ação, dada como uma integral sobre um
5dimensional,
cujo contorno é o espaçotempo, existe.
justamente o termo de
WZ =
WZ
e sua expressão é
iNc Z 5 dx"
240 2
Tr
identicada através do estudo do processo
campo de fótons a
Tal ação é
LSU(2) [52, 53, 54].
(L L L L L ) ;
0
! ,
(2.13)
após a inclusão do
O aparecimento explícito do número de cores na ação é responsável pela
dependência da estatística dos sólitons em
é um férmion para
Nc .
Nc = ímpar e um bóson para Nc = par.
tal resultado só é obtido após a extensão a
em
SU(2).
Witten mostrou que o sóliton
SU(3),
Ressaltese que
visto que
WZ
se anula
2.3
21
Aproximação de estado ligado
A aproximação de estado ligado, como já mencionado, baseiase sicamente
no fato de a quebra da simetria quiral
SU(3)
ser signicativa e trata os
graus de liberdade de estranheza de maneira diversa dos demais: o campo
U
desdobrase em duas partes a parte
liberdade de isospin do méson
SU(2),
que engloba os graus de
(campo solitônico) e é quantizada através
das coordenadas coletivas [12] e a parte referente ao campo mesônico
K
(e,
portanto, à estranheza), que é expandido como uma utuação de pequena
amplitude na direção em que o sóliton pode oscilar.
Em outras palavras,
a aproximação conduz à interpretação dos híperons como
káonsóliton (este último em
SU(2))
estados ligados
[28].
Tendo em conta as contribuições mencionadas anteriormente, podese
considerar a ação efetiva completa para o modelo de Skyrme generalizado a
SU(3)
como
=
com
a
L , LSk e
WZ
Z
d4 x (L + LSk + LSB ) +
WZ
;
(2.14)
dados por (2.3), (2.4) e (2.13), respectivamente. Quanto
LSB , considerando as diferenças entre as massas dos mésons e K , m e
mK ,
e entre as constantes de decaimento,
trabalho ao invés de (2.6) (usada em
LSB
=
f e fK ,
SU(2)),
adotaremos no presente
a expressão [55]:
i
f2 m2 + 2fK2 m2K h
y 2
Tr U + U
12
2
2
i
f m f 2 m2 hp + K K Tr 38 U + U y
6
i
p fK2 f2 h
38 ) UL L + U y R R :
Tr (1
12
(2.15)
8 é uma das matrizes de Gell-Mann, com a normalização usual Tr(i j ) =
2Æij , e R = U@ U y . A presença de termos que levam em consideração a diferença entre as constantes de decaimento mesônicas diminui para ' 20 MeV
[55] a super ligação káonsóliton encontrada anteriormente (cerca de 90 MeV
Aqui
[30]).
mK
(
22
Esta expressão se reduz ao termo (2.6) usual no limite
! m ).
fK
! f
Na expressão (2.15) os dois primeiros termos renormalizam o
termo de massa e o terceiro termo renormaliza o termo de energia cinética
do méson.
As utuações da estranheza são descritas perturbativamente na
AEL,
após escolha da parametrização [28]
q
q
U = U UK U ;
CK (Callan
13
K C7
A5 ; K
que denominaremos aqui de escolha
UK =
2 p 0
2
exp 64i B
@
fK
0
Ky 0
(2.16)
2
e Klebanov) , sendo
=
0
B
@
1
K+ C
A ;
K0
(2.17)
o campo que carrega a estranheza e
U =
0
B u
@
1
0C
A ;
0 1
u = exp [i~ r^F (r)] ;
o campo solitônico de fundo, uma extensão direta a
SU(3)
(2.18)
do campo
u
de
SU(2).
Considerando a expansão do campo
U
até segunda ordem no campo de
káons obtém-se uma lagrangeana que é a soma de dois termos um originado
puramente de
SU(2), idêntico ao Lagrangeano de Skyrme com píons massivos,
e outro que exibe a interação káonsóliton. No Apêndice B encontramse as
expressões destes dois termos.
A lagrangeana de interação (vide B.2 B.7) conduz a uma equação de movimento para os káons no campo solitônico de fundo. Para tanto recorrendo
à conguração ouriço, eq.(2.8), para o campo
L
u , obtemos (vide (B.2))
~ Ky r
~ K h2 (r)@r K y@r K
h1 (r)r
h
i
+ i(r) K_ y K K y K_
K y V ef (r) + m2K K ;
(2.19)
p
p
2 Outra possibilidade, também ocorrente na literatura, é U = U U
K UK [56].
= f (r)K_ yK_
com
K_ @K , @
r
@t
23
@r@ e
V ef (r) = V0 (r) + V1 (r)T~ L~ + V2 (r)L~ 2 :
(2.20)
f (r), h1 (r), h2 (r) e (r), bem como os potenciais radiais
V2 (r), obtidos ao estabelecerse o potencial efetivo para a
As funções radiais
V0 (r), V1 (r)
e
interação káonsóliton, estão apresentados no Apêndice B. (Mais detalhes
encontramse no Cap. 3.)
A presença do termo
~,
T~ L
bem como o fato de a conguração ouriço
(2.8) ser autoestado do operador
~ , sugerem decompor o campo
grandespin kaônico em ondas parciais
K (~r; t) =
onde
Yl
z
X
kl (r; t)Yl (^r) ;
(2.21)
z
l
são os harmônicos esféricos espinoriais que surgem pelo acopla-
mento do momentum angular orbital
grandespin
.
Os campos
kl
~
L
e do isospin do káon
~ (= 1=2)
são funções radiais que independem da pro-
z , visto que o sóliton tem = 0.
valores de se desacoplam.
jeção
Deste modo, canais com diferentes
A decomposição (2.21) leva a eq.(2.19) à forma (suprimindo os índices
em
ao
l
k)
Lint = f (r)k_yk_ h(r)ky0k0 + i(r) k_yk_ kyk_
k0 de movimento para kl
para cada canal (com
h
sendo
@t @
@t
@k
@r
e
h ef
i
V (r) + m2 ky k
l
O^ =
;
(2.22)
h(r) = h1 (r)+ h2 (r)) e, nalmente, à equação
i
f (r)@t2 + 2i(r)@t + O^ (r) k(r; t) = 0 ;
e
K
(2.23)
!
1 @ 2 @
rh
+ m2K + Vefl :
r2 @r
@r
(2.24)
24
Analisando a eq.(2.23), vêse que possui um termo linear na derivada
temporal, o que a diferencia de uma equação de KleinGordon. Esta contribuição se origina do termo de WessZumino e é de importância fundamental
no modelo, pois sua presença faz com que apenas os estados com estranheza
S= 1
(antikáons), adequada para a descrição de híperons físicos, sejam
ligados ao sóliton, impedindo a existência daqueles com
S = 1,
em concor-
dância com o espectro bariônico observado e com os modelos de quarks.
A expansão do campo kaônico em modos normais possibilita sua quantização, i.e.,
k(r; t) =
com
"n e "~n
Xh
n>0
i
kn(r)ei" t byn + k~n (r)e i"~ t an ;
n
n
(2.25)
energias positivas. A determinação dos autovalores de energia
se dá pela resolução das equações
h
f"2n + 2"n
h
f "~2 2"~n
n
i
O^ kn(r; t) = 0 ;
i
O^ k~n(r; t) = 0 ;
obtidas de (2.24) e (2.25). Ocorrerão estados ligados se
As condições de ortonormalidade das funções
se que o operador
Z
O^ é autoadjunto, ou seja,
(2.26)
(2.27)
"n < m2K .
kn são obtidas considerando
dr r2 kn km [f (r) ("n + "m ) + 2(r)] = Ænm ;
Z
dr r2 k~n k~m [f (r) (~"n + "~m ) + 2(r)] = Ænm
Z
dr r2 k k~m [f (r) ("n "~m ) + 2(r)] = 0 :
(2.28)
e
n
(2.29)
(2.30)
Realizando a quantização canônica obtémse o momentum conjugado a
k(r; t), i.e.,
y (r; t) = f (r)k_ y(r; t) i(r)ky (r; t) :
(2.31)
As relações de comutação entre os campos e seus conjugados
h
i
ky (r; t); k(r0; t) = 0 ;
(2.32)
25
h
i
y (r; t); (r0; t) = 0 ;
h
i
Æ (r r0 )
ky (r; t); (r0; t) = i
;
r2
(2.33)
(2.34)
implicam na álgebra usual para os operadores de criação e destruição
h
i
h
an ; aym = Ænm ;
i
bn ; bym = Ænm ;
(2.35)
sendo nulos os demais comutadores.
Obtidos os campos canonicamente conjugados, o Hamiltoniano
pressa como
H=
Z
dr r2 H ;
se ex-
(2.36)
com
H = f1 y + i f ky
H
!
2 y
y k + hky0 k0 + Vefl + m2K +
kk
f
(2.37)
que, em termos dos operadores de criação e destruição, se torna
H=
X
n>0
"~nayn an + "nbyn bn ;
(2.38)
mostrando o conhecido fato de que os níveis de energia quânticos são determinados pelas autofreqüências clássicas.
Por sua vez, o operador de estranheza é dado por
Z
S = i dr r2 ky yk
de onde se pode depreender que
a
=
X y
aa
n>0
n n
byn bn ;
(2.39)
an e bn aniquilam modos de estranheza iguais
1 e 1, respectivamente.
A solução (numérica) da equação diferencial (2.23) mostra que existem
dois estados ligados com autovalores de estranhexa
com
S =1
estão no contínuo [29, 30, 56].
sistema possui
(; l) = (1=2; 1),
S = 1, e que os estados
O estado fundamental para o
sendo portanto um estado p, e não s. Tal
efeito de inversão é devido ao termo isospinórbita
~ e é necessário para
T~ L
26
produzir a paridade correta para o estado fundamental. Ocupandose este
estado com káons, cada um contribuindo com
e com
"n
à energia, podese construir tanto o
J P = 3=2+ ) bariônicos.
S = 1 à estranheza total
P = 1=2+ ) como o
octeto (J
decupleto (
A solução da eq.(2.23) é degenerada em spin e isospin, visto que a conguração de campo estática (2.16) não comuta com os correspondentes geradores.
Assim, para se obter o espectro dos híperons constituintes dos multipletos, é
preciso construir os autoestados destes observáveis.
O processo de quantização via coordenadas coletivas permite atribuir números quânticos de spin e isospin aos bárions dos multipletos. Além disso
possibilita a obtenção da estrutura hiperna para o espectro de massas dos
mesmos.
Vejamos como isso acontece.
A exemplo do que ocorre em Física Nu-
clear e no modelo de Skyrme tradicional, a denição dos números quânticos
no processo de quantização adotado se dá através da rotação (global) lenta
do sóliton e do káon ligado [28], frente à qual o Lagrangeano do sistema é
invariante. Assim
u (~r; t) = A(t)u (~r)Ay(t) ;
K (~r; t) = A(t)K~ (~r; t) ;
sendo
A(t)
e
(2.40)
(2.41)
2 SU (2) a matriz de rotação coletiva (i.e., cujos elementos são
as coordenadas coletivas).
Nas denições acima,
denido no sistema girante do sóliton e
K
K~
é o operador kaônico
é o operador kaônico denido no
sistema de referência do laboratório.
Frente a uma rotação
M
do sóliton em isospin, ou seja,
Mu (~r; t)M y , vericase que
A
K~
! MA
! K~ ;
e
u (~r; t)
!
(2.42)
(2.43)
27
o que signica que o campo kaônico
perdeu seu
isospin no sistema girante do
sóliton.
Frente a uma rotação espacial
u
K~
! ei~L~ u e i~L~ = e i~T~ u ei~T~
! ei~L~ K~ = e ~ T~ ei~~ K~ ;
onde se fez uso da invariança de
e
(2.44)
(2.45)
~ =L
~ + T~ (ei~~ u e
u frente a ~
i~
= u ).
Podese concluir então, neste caso, que
A
K~
! Aei~T~
! ei~~ K~ :
e
(2.46)
(2.47)
K~
= 1=2,
A última equação mostra que o operador momentum angular total para
é o grandespin.
Como o estado ligado de menor energia tem
o káon é visto a partir do sistema de referência do sóliton como possuindo
spin
1=2.
Isto mostra que no referencial girante, o isospin
perdido
pelo káon
transmutouse em spin.
(I; J ) ocupando o estaCada káon contribui com (IK ; JK ; S ) = (0; 1=2; 1).
Podemos agora construir os possíveis autoestados
do fundamental com káons.
Como o káon não perde sua estatística bosônica com a transmutação isospin
spin e como o sistema káonsóliton representa um bárion (e, portanto, um
férmion), a quantização coletiva do sóliton deve mudar conforme o número
de káons seja par ou ímpar. Assim, para um número par (ímpar) de káons
devese ter o momentum angular total do sóliton semiinteiro (inteiro). Ten-
IC = JC , os possíveis estados com apenas um káon são dados
por (I; J ) = (IC ; IC ) + (0; 1=2), com IC = 0; 1; 2; :::. Os três primeiros es
tados correspondem seqüencialmente às partículas , , , outros estados
do o sóliton
sendo provavelmente nãofísicos.
Ocupações kaônicas múltiplas do estado
fundamental originam bárions com estranheza maior.
28
A Tabela 2.2 a seguir apresenta os números quânticos constituintes e
totais dos bárions assim construídos.
Partícula
N
Tab. 2.2:
I JK
1 2
3 2
0 12
1 12
1 32
1 1
2
1 1
2
0 32
S
0
0
1
1
1
2
2
3
JP
1+
2
3+
2
1+
2
1+
2
3+
2
1+
2
3+
2
3+
2
Números quânticos dos bárions nãoestranhos e estranhos do octeto
J P = 21 +
e do decupleto
J P = 23 + ,
construídos por estados
ligados káonsóliton.
Uma previsão interessante do modelo é a da existência de um estado
(1=2; 0; 1) justo
provavelmente corresponde à (1405) [28, 30].
ligado de paridade negativa
abaixo do limiar
KN
e que
Os estados assim previstos separamse em energia em função dos termos
O(Nc 1 ) surgidos no Lagrangeano após a rotação.
~ do sóliton, denida por
da velocidade angular de
Tais termos dependem
i ~
AyA_ = ~ :
2
(2.48)
A substituição dos campos após rotações (2.40) e (2.41), no Lagrangeano
total, origina um termo
1
ÆL = 2
2
~ J~K ;
c
responsável pela estrutura hiperna dos estados de energia.
(2.49)
Na equação
acima,
29
é o momento de inércia do sóliton
"
!#
8 2 Z 1
sen2 F
1
2
0
2
2
= f
dr r sen F 1 + 2 2 F + 2
;
3
r
0
e f
e
c
é a chamada
constante de estrutura hiperna,
(2.50)
que depende do perl
clássico do sóliton e da função radial do káon. No Apêndice B é apresentada
uma expressão geral para
c.
As componentes do momentum angular coletivo canonicamente conjugado são, pois,
Jci =
@L
= i
@ i
cJKi ;
(2.51)
de modo que o Hamiltoniano (para os antikáons) se escreve
2
1 ~
Jc + cJ~K ;
(2.52)
2
~ = J~c + cJ~K . Com
mostrando que os híperons são, de fato, autoestados de J
H = Msol + "jSj +
H
Nc adotada no
modelo. Neste limite, o sóliton SU(2) contribui com uma massa, Msol , que
é de ordem O (Nc ); o campo kaônico, que se liga principalmente devido ao
termo WZ, proporciona uma contribuição de estrutura na "jSj de ordem
O(Nc0 ) e a quantização coletiva do sóliton gera uma correção rotacional,
1 ~
1
~ 2
relativa à estrutura hiperna,
2 Jc + cJK , de ordem O(Nc ).
escrito nesta forma, ca explícita a contagem para grande
Calculandose os elementos de matriz diagonais de (2.52) para os membros do octeto e do decupleto bariônicos, obtémse a fórmula de massa para
o bárion
(I; J; S ),
"
#
c(c 1)
1
cJ (J + 1) + (1 c)I (I + 1) +
jS j(jS j + 2) :
MI;J;S = Msol +"jS j+
2
4
(2.53)
jI Iz ; J Jz >;l encontramse no Apêndice
C. Explicitamente, para o estado fundamental j0 0 ; 1=2 Jz >, temse
As funções de onda adequadas
1=2;1
K
=
p1 ei"tk(r)~ r^J ;
4
z
(2.54)
com
J
z
um espinor de 2 componentes.
A constante hiperna
c1 = 1 2"1
2.4
30
Z
c para este caso é
4
F
2
dr k
f (r)r2 cos2
3 "
2
d 2 0
1
(r F senF )
2
2
2e fK dr
4 2
F
sen F cos2
3
2
#)
: (2.55)
Alguns resultados numéricos
Nesta seção apresentamos alguns resultados numéricos para o espectro de
massas dos bárions nãoestranhos e estranhos pertencentes ao octeto
1=2+ e ao decupleto J P = 3=2+, obtidos com o modelo.
JP =
O espectro de massas é obtido a partir da eq.(2.53) após o cálculo da
constante hiperna
utilizada,
c1 , dada em (2.55).
A solução radial do campo mesônico
k(r), é, por seu turno, obtida via eq.(2.23).
Para tal, necessitamos
dos valores das massas e das constantes de decaimento dos mésons
e K.
A Tabela 2.3 apresenta os três conjuntos de parâmetros mais comumente
adotados na literatura, aqui identicados por
CJ 1, CJ 2
e
CJ 3,
bem co-
mo as respectivas constantes hipernas e energias de ligação káonsóliton
necessárias ao cálculo das massas [eq.(2.53)].
CJ 1 (limite quiral em SU(2)) e CJ 2 são conjuntos originalmente obtidos
ajustandose f e e de modo a reproduzir as massas do núcleon e da delta
[12, 45]. Por outro lado, CJ 3 adota o valor empírico para f (93 MeV ),
enquanto o ajuste de e é feito respeitando a diferença entre as massas do
núcleon e da delta (vide, por ex., [33]).
Para o cálculo das energias de ligação do estado fundamental do sistema
", e das constantes hipernas correspondentes, c, foram usados
os valores experimentais tanto para a massa do káon, mK = 495 MeV ,
quanto para a constante de decaimento do káon, fK ' 1; 23f .
káonsóliton,
31
CJ 1
f (MeV ) 64; 5
e
5; 45
m (MeV )
0
Msol (MeV ) 864
(fm)
1; 01
"(MeV )
222
c
0; 50
Tab. 2.3:
CJ 2
54
4; 84
138
863
1; 01
211
0; 39
CJ 3
93
4; 26
138
1646
0; 87
255
0; 33
Conjuntos de parâmetros mais usados, com as respectivas energias de
ligação e constantes hipernas obtidas. Os valores correspondem ao
estado ligado com momentum angular orbital l = 1.
Com esses números foi determinado o espectro de massas cujas diferenças, relativas à massa do núcleon, estão apresentadas na Tabela 2.4.
CJ 1
165
264
392
293
413
541
681
(1405) 386
Partícula
Tab. 2.4:
CJ 2
147
265
371
292
380
486
610
358
CJ 3
187
318
462
293
415
559
724
441
exp
MCC
177
254
379
293
446
591
733
468
154
242
366
278
410
544
677
Diferenças de massas (M eV ) relativas à massa do núcleon para os
conjuntos CJ 1 [12], CJ 2 [45] e CJ 3 [33] da Tab. (2.3), bem como os
valores empíricos das mesmas e os obtidos via MCC [27].
Nesta tabela encontramse também os valores obtidos via
32
MCC
[27], e
o valor obtido para o estado de mais baixa energia com paridade negativa,
(1405), anteriormente citado.
Capítulo 3
DIBÁRIONS
O estudo da interação bárionbárion engloba conhecimentos sobre estados
ligados e processos de espalhamento. O
dêuteron, estado ligado NN , tem sido
exaustivamente estudado, propiciando informações de grande importância
sobre a interação forte.
O modelo de Skyrme primitivo em
NN
[3, 17, 41].
SU(2) foi também aplicado ao sistema
Revisões sobre esta aplicação podem ser encontradas nas
Refs. [32, 57, 58].
Quando pelo menos um dos bárions em interação é
preciso recorrer a alguma das extensões a
SU(3)
estranho,
contudo, é
para analisar a interação
bárionbárion.
Neste capítulo aplicaremos a
AEL
ao estudo de dibárions estranhos, com
o auxílio de uma conguração axialmente simétrica generalizada para determinar o sóliton de fundo.
Verse-á que, se os vínculos impostos pelas
simetrias da conguração toroidal de menor energia (vide Fig. 1.2) são satisfeitos, todos os estados espúrios são removidos do espectro dibariônico. Em
particular, o estado de mais baixa energia permitido no canal de estranheza
S = 2 carrega os números quânticos da partícula H
que, nas aproximações
ora adotadas, resulta ligada. Entretanto, efeitos do vácuo, como a energia
de Casimir, desprezados no presente cálculo muito provavelmente impedem
Capítulo 3. Dibárions
34
a existência do sistema ligado
3.1
H.
Estados ligados
Estados ligados de dois bárions, os
em uma generalização do estado
dibárions,
NN
constituemse, em princípio,
ligado.
Desde que foi inicialmente proposto por Jae [59] que um estado hexa
quark (dois quarks
e
u, dois quarks d e dois s), singlete de sabor, com J P
M = 2150 MeV ,
= 0+
poderia ser estável contra decaimentos fortes, tem si-
do dedicada grande atenção, tanto teórica quanto experimentalmente, a este
assunto. A sugestão de Jae fundamentase em um cálculo em modelo de
sacola onde se obtém como resultado que interações colormagnéticas favorecem a existência de um estado singlete de sabor, estável,
como dibárion
H ).
S = 2 (conhecido
Entretanto, a inclusão de efeitos desprezados por Jae,
como efeitos de quebra de simetria, correção do centro de massa e presença
de nuvem piônica em torno do núcleo, diminuem a contribuição à energia de
ligação signicativamente [60, 61, 62], tornando a existência de tal dibárion
um tanto incerta. Além disso, conforme discutido por Maltman [63], predições via
modelo de sacola
do MIT parecem ser muito sensíveis a variações
dos parâmetros do modelo (energia de volume, energia do ponto zero etc),
que não são bem determinados pelos dados empíricos. Experimentalmente a
situação também ainda não é clara. Apesar de que uns poucos eventos de de-
H tenham sido relatados [64], análises posteriores
não forneceram indicação de um sistema H estável [65]. Embora atualmente
caimento fraco do dibárion
não estejam disponíveis nos principais aceleradores existentes feixes de píons
com a energia necessária, estão sendo propostos experimentos para investigar
este assunto (vide, por ex., [66, 67]).
Cálculos teóricos efetuados com outras abordagens, como
CDQ
na rede,
35
modelo nãorelativístico de quarks e modelos de sólitons (para uma extensa
lista de referências vide [65, 66, 67]), também apresentam resultados inconclusivos. No caso de modelos de sólitons, a maioria dos estudos realizados
utiliza o modelo coletivo
SU(3) (vide, p.
ex., [68, 69, 70] e referências alí con-
tidas). Neste capítulo apresentamos trabalho com a aproximação de estado
ligado (AEL) usada por nós [37], em que se investiga também a existência
do estado ligado
H.
Uma tentativa anterior de investigar a estrutura dos dibárions recorrendo
à
AEL [71], concluiu que H
seria nãoligada. Naquele estudo foi adotada uma
conguração axialmente simétrica simplicada [72], para o campo solitônico.
Efetivamente, tal conguração prediz que a massa do sóliton com
é duas vezes maior do que a relativa a
B = 1,
e é instável.
B =2
Em nossa
abordagem, contudo, recorremos à interação axialmente simétrica melhorada,
proposta na Ref. [38]. Embora tal hipótese não corresponda exatamente à
conguração axialmente simétrica de mais baixa energia, as propriedades
dos diskyrmions (como massa e energias rotacionais) calculadas com ela são
muito próximas em valor àquelas obtidas numericamente com a conguração
toroidal de mais baixa energia encontrada na Ref. [39].
Um ponto intrigante discutido por Kunz e Mulders [71] é a existência,
na
AEL,
de estados que são proibidos no modelo de quarks e que, então,
são ditos espúrios. Situação similar havia sido obtida para os dibárions não
estranhos [72, 38]. Mostraremos aqui, entretanto, que tais estados espúrios
são removidos do espectro desde que os vínculos impostos pelas simetrias do
problema sejam corretamente levados em consideração [37]. Em particular,
no esquema ora apresentado, o estado dibariônico de mais baixa energia com
S = 2, permitido, é o singlete de sabor, em concordância com o modelo de
quarks.
Na seção seguinte introduzimos a conguração
axialmente simétrica me-
lhorada,
36
em substituição à conguração
ouriço
(2.8) e calculamos as expres-
V ef
e para o Hamiltoniano rota-
sões generalizadas para o potencial efetivo
Hrot da AEL.
cional
3.2
Conguração axialmente simétrica
Considerese a ação efetiva expressa na eq.(2.14). Para obter a conguração solitônica de fundo, introduzimos uma conguração axialmente simétrica
relativa a um número bariônico geral
u = exp [i~ ^n F (~r)] ;
(3.1)
^n = sin cos ^{ + sin sin |^ + cos k^ ;
(3.2)
com
sendo
= () e = () denidas adiante.
Na Ref.
[71] foi adotada a conguração
simplicada), em que F (~r) = F (r), ( ) = ouriço
(denominada aqui de
e, devido à unicidade do campo
() = n, sendo (r; ; ) as coordenadas esféricas usuais e n o número
bariônico. Tal escolha prediz uma razão entre as massas dos sólitons B = 2
e B = 1,
M (B = 2)
= 2; 14
(3.3)
# sol
Msol (B = 1)
quiral,
e conduz a uma conguração solitônica instável. Contudo, uma conguração
de dois skyrmions, de energia mínima, foi encontrada numericamente por Kopeliovich e Stern [39] e um método variacional para esta solução foi proposto
por Kuryhara
et al.
[38]. Neste caso
dependência angular em
F
ainda é função apenas de
r,
mas a
é expressa na função variacional
() = +
m
X
k=1
gk sen(2k) ;
(3.4)
os coecientes
37
gk sendo determinados pela minimização da energia do sóliton
no correspondente setor bariônico. Usando esta hipótese encontramos [37]
# = 1; 94, que se compara muito bem à razão obtida com a solução numérica
[39], #min = 1; 92. Também, como já citado anteriormente, resultados de
cálculos de energias rotacionais, raio bariônico e outros, são numericamente
muito parecidos com aqueles das Refs.
[39, 73].
Como o uso da premissa
variacional conduz a bons resultados e a uma considerável simplicação dos
cálculos, recorremos a ela para descrever o sóliton de fundo.
As expressões correspondentes ao setor
SU(2)
do modelo [38] estão resu-
midas no Apêndice A.
Está claro que, para
() = ,
i.e,
gk = 0.
n = 1, a energia mínima para o sóliton é obtida para
Portanto, neste caso, o sóliton de fundo adotado é
ainda simétrico frente a rotações combinadas espaçoisospin
~ = J~ + T~
e
o campo de káons pode ser expandido em ondas parciais como em (2.21).
Entretanto, para
rotações.
n=
6 1
o campo de fundo não é mais invariante frente a
Neste caso, para o campo kaônico, usamos a conguração [71]
K (~r; t) = k(r; t) ~ ^n (~r) ;
onde
é um espinor geral de duas componentes.
(3.5)
Notese que, para
n = 1,
esta hipótese se reduz à decomposição em ondas parciais usual (2.21) para
o caso particular
= 1=2, l = 1 apresentado
na eq.(2.54). Como já citado
no capítulo anterior, estes são os números quânticos do estado ligado káon
sóliton de mais baixa energia para
n = 1.
A expressão (3.5) conduz ao mesmo Lagrangeano de interação, (2.22),
Lint = f (r)k_yk_ h(r)ky0 k0 + i(r) k_yk_ kyk_
h ef
i
V (r ) + m 2 k y k
l
K
;
Entretanto as funções radiais apresentadas no Apêndice B (B.11 B.15), são
generalizadas a
h(r) = 1 +
1 sen2 F
;
4e2 fK2 r2
(3.6)
38
!
sen2 F
1
2
0
f (r) = 1 + 2 2 F + 1 2
4e fK
r
2
3 Nc 0 sen F
(r) =
F
:
8 2 fK2
r2
e
(3.7)
(3.8)
Neste caso, o potencial efetivo generalizado (correspondente àquele da eq.(B.16))
se torna
V ef
"
#
1 4 F
1
2
=
cos
2 sen F
F 02
2
2
2
4e fK r
2
4
!
F
22 sen2 F 1
1
2
4
sen F 4 cos
+
r2
2 4e2 fK2 r2
4
2
F
1 f 2
31 d 0
F senF cos2 )
m (1 cos F ) ;
2
2
2
4e fK r dr
2
2 fK2 onde as constantes
i são
2 !
1Z sen
2
1 =
d sen 0 + n2
;
2 0
sen2 !
sen2 n2 Z 2
0
d ;
2 =
2 0
sen
nZ 3 =
d sen 0 ;
2 0
com
0 d=d.
(3.9)
Observese que para
(3.10)
n = 1 as eqs.(3.6) a (3.9) se reduzem
às eqs.(B.11), (B.14)(B.16), respectivamente.
kl , entretanto, não se modica, sendo aquela
Portanto, a equação de movimento para kl ainda
A equação diferencial para
apresentada na eq.(B.10).
é a apresentada no capítulo anterior (eq.(2.23)), qual seja,
h
i
f (r)@t2 + 2i(r)@t + O^ (r) k(r; t) = 0 :
De acordo com o apresentado na seção 2.3, para obter as correções hipernas ao espectro de massas dos dibárions continuase com a aplicação do
processo de quantização via coordenadas coletivas. No presente caso, tendo
em vista a simetria axial do sóliton de fundo, introduzimos separadamente
as rotações espaciais,
39
R, e as de isospin, A, dependentes do tempo, tais que
! R A u A
K ! RAK:
u
1
e
(3.11)
(3.12)
As velocidades angulares relativas ao sistema do sóliton são dadas por
R 1 R_ ab = "abc c e
i
A 1 A_ = ~ ~! :
2
Representando as componentes superior e inferior do espinor
a1 e a2 ,
por
(3.13)
(3.14)
(eq.(3.5))
respectivamente, as rotações indicadas acima resultam, para o
Lagrangeano total eq.(B.2), na expressão
Msol + LK T~ ~! + (T1 !1 + T2 !2 )s2 + T3 !3 s1 (T1 1 + T2 2 )t2
1
1
T3 3 t1 + I1 (
21 + 22 ) + I2 (!12 + !22 ) I4 Æn;1 (
1 !1 + 2 !2 )
2
2
1
+ I3 (n
3 !3 )2 ;
(3.15)
2
L=
com
1
sendo
s1 = 3 [24 d1 + (5 1 4 ) d2 ] ;
1
s2 = 3 (1 4 ) d1 + [1 (1 + 4 ) 5 ] d2 ;
2
t1 = n s2 ;
(3.17)
t2 = 2(d1 + d2 ) Æn;1 ;
(3.19)
d1 e d2 dados por
Z1
1
"
(3.16)
(3.18)
#
1 d 2 0
(r F senF ) ;(3.20)
d1 = 2"n
2
3
4e fK2 dr
0
2"n Z 1
4
d2 =
dr k k cos2 F=2 sen2 F ;
(3.21)
2
2
4e fK 0
3
2
dr k k r2 f cos2 F=2
No que segue consideramos
= para n = 1.
com
40
f (r) dada em (B.14) e as integrais angulares 4 and 5 por
1Z 4 =
d sen sen2 e
Z4 0
5 =
d sen sen2 0 2 :
0
Ii
Além disso, no Lagrangeano total apresentado acima,
são os momentos de inércia do setor
SU(2),
(3.22)
(3.23)
T l = ai ijl aj
e
com expressões explícitas
apresentadas no Apêndice A.
As componentes de spin e isospin no sistema xo do sóliton,
Iifix , respectivamente, são calculadas via
Jifix =
@L
@ i
Iifix =
e
@L
:
@!i
Jifix
and
(3.24)
n = 1, onde a conguração ouriço do skyrmion reforça
~ + I~ = T~ , para n 6= 1 existe apenas o vínculo
o vínculo J
Diferentemente do caso
J3fix =
n(I3fix + T3 ) ;
(3.25)
devido à simetria axial.
A quantização do Hamiltoniano rotacional conduz a
1 ~2
1 ~2
c2
[J (J3fix )2 ] +
[I (I3fix )2 ] + 2 (T~ 2
2I1
2I2
2I2
1 fix
c
(I + c1 T3 )2 + 2 (I+fix T + I fix T+ ) ;
+
2I3 3
2I2
com as constantes hipernas c1 and c2 dadas por
Hrot =
c1 = 1
c2 = 1
s1
s2 :
e
T32 )
(3.26)
(3.27)
(3.28)
Estabelecido o Hamiltoniano rotacional, devem ser determinadas as correspondentes autofunções, condicionado a que satisfaçam os vínculos impostos pelas simetrias do sistema. Isto será feito na seção seguinte.
3.3
41
Autofunções dos dibárions
Em geral, as funções que representam os estados dos dibárions são dadas
DJJ3 ;J (
) para o momentum angular,
3
(! ) para isospin e das autofunções kT3 (~r; t), ou seja,
pelo produto das matrizes de rotação
DII3 ;I f ix
3
f ix
DJJ3 ;J (
) DII3 ;I (! ) kT3 (~r; t)
f ix
(3.29)
f ix
3
3
onde, face à simetria axial
J3fix = 2(I3fix + T3 ):
Aqui
I3
e
J3
são respectivamente as projeções do isospin e do momentum
angular no sistema laboratório,
sóliton e
(3.30)
I3fix
e
J3fix
as projeções no sistema xo do
T3 a projeção do spin do káon também no sistema xo do sóliton.
Observemos que nestes estadosproduto, para um dado valor de
S , nem
todos os valores de isospin são permitidos. Isto pode ser mostrado usando
se uma generalização do método utilizado para
n = 1,
os detalhes desta
demonstração sendo dados no Apêndice D. Obtémse como valores de isospin,
para estados nas representações mínimas,
I=
onde
p
6+S
p
2
deve ser ímpar (par) se
(3.31)
S
for ímpar (par).
Esta relação,
juntamente com o vínculo da simetria axial (3.30), implica em
J3fix
sempre
par.
Para determinar a combinação linear correta de estadosproduto para
cada conjunto de números quânticos, devese levar em consideração todas as
simetrias do problema. Como discutido por Kurihara
à simetria axial, a conguração usada para
^n
et al.
[38], em adição
apresenta, para
n = 2,
as
simetrias de reexão
^2 ( x; y; z ) =
^2 (x; y; z ) =
^2 (x; y; z ) =
Representando por
ao eixo
i
e por
42
0
B
B
B
B
@
0
B
B
B
B
@
0
B
B
B
B
@
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C
C
C
C ^2 (x; y; z )
A
1
C
C
C
C ^2 (x; y; z )
A
1
C
C
C
C ^2 (x; y; z )
A
;
(3.32)
;
(3.33)
:
(3.34)
RJi () as rotações espaciais de ângulo em relação
RIj () as isorotações de ângulo em relação ao eixo j , as
transformações de simetria podem também ser vistas como geradas por
RJ1 () RI1 () ;
RJ2 () RI1 () e
P RI3 () ;
respectivamente.
(3.35)
(3.36)
(3.37)
P , aqui, representa o operador paridade, que promove uma
inversão espacial e que resulta em uma troca de sinal de todas as componentes
do campo piônico.
A importância da primeira destas transformações de simetria para a construção das autofunções dos dibárions foi destacada primeiramente por Braaten e Carson [74]. De fato, como discutido em detalhes por Bohr e Mottelson
[75], para sistemas com simetria axial a existência de uma simetria adicional
em torno de um eixo perpendicular ao
eixo de simetria implica em ser esta rotação (de ângulo ) parte dos graus de
em relação a uma rotação de ângulo
liberdade intrínsecos e portanto não pode ser incluída nos graus de liberdade
rotacionais.
43
Podese expressar este vínculo impondo que o operador
Rext, que realiza
uma rotação atuando sobre os ângulos de orientação coletivos (variáveis externas), seja idêntico ao operador
nas variáveis intrínsecas,
Rint , que realiza a mesma rotação atuando
Rext = Rint :
(3.38)
Como no presente caso a rotação pode ser dada ou por (3.35) ou por (3.36)
temse, em princípio, dois vínculos independentes. Veremos, entretanto, que
quando aplicadas aos estadosproduto, as duas operações de simetria produzem o mesmo resultado e portanto se terá ao nal um único vínculo.
Assim, para satisfazer os vínculos impostos pelas simetrias da conguração escolhida, recorremos à seguinte combinação linear para os estados
produto:
h
i
N 1 + (Rext ) 1 Rint DJJ3 ;J (
) DII3 ;I (! ) kT3 (~r; t) ;
f ix
3
sendo
N um fator de normalização.
(3.39)
f ix
3
Ao escrever esta expressão usamos o fato
de que, atuando sobre os estadosproduto,
(Rext )2 = (Rint )2 ,
como se verá
a seguir.
A forma explícita da função de onda de um dibárion pode ser obtida
aplicando os operadores de simetria à função de onda produto.
Para os
operadores coletivos temse
h
i
RJ1 ()RI1 () 1DJJ3;J3
f ix
h
i
RJ2 ()RI1 () 1DJJ3;J3
f ix
(
)DII3 ;I (! )=( )I +JDJJ3 ;
f ix
3
(
)DII3 ;I (! )=( )I +J
f ix
3
I
J3f ix (
)DI3 ; I3f ix (! )
e (3.40)
J3f ixD J
I
J3 ; J3f ix (
)DI3 ; I3f ix (! )
:
(3.41)
Para determinar o efeito das transformações de simetria sobre a função de
onda intrínseca observase que, além da transformação do campo de káons,
devese incluir a do sóliton. Esta última contribuição [74, 76], usandose a
44
natureza fermiônica do sóliton com
B = 1, é2
RJ1(2) ()RI1 ()
sol
=
sol
;
(3.42)
Quanto ao efeito das transformações de simetria sobre o campo kaônico,
encontrase
RJ1(2) ()RI1 () kT3 (S = 1)
=
i k
T3 (S
= 1)
(3.43)
Na obtenção destas últimas equações, usamos a forma dada na relação (3.5)
S = +1)
para káons (
e a conjugada de carga para antikáons (
Portanto, para um estado com valor de estranheza
RJ1(2) ()RI1 () kT3
= ( )
S
S=2 k
S =
1).
arbitrário obtemos
T3
;
(3.44)
A única diferença entre as transformações de simetria (3.35) e (3.36) é,
então, a presença de uma fase extra
( )J 3
f ix
na eq.(3.41). Como aqui
J3fix
é sempre par vêse que, como escritas acima, as duas operações de simetria
produzem o mesmo efeito quando atuando sobre os estadosproduto. Além
disso, usando os vínculos para
J3fix e I em conjunto com o efeito das operações
de simetria sobre as funções de onda coletiva e intrínseca, eqs.(3.40) (3.44),
é fácil mostrar que
R2ext = R2int , quando aplicadas aos estadosproduto.
Portanto, as funções de onda dos dibárions que satisfazem todos os vínculos impostos pelas simetrias do sistema têm a estrutura
(II3 ; JJ3 ; S ) = N DJJ3 ; 2K (
)DII3 ;K T3 (! )kT3 (~r; t)
( )I +J S=2 DJJ3 ;2K (
)DII3 ; K +T3 (! )k T3 (~r; t) ; (3.45)
onde aqui
K = I3fix + T3 .
A constante de normalização
calculada, obtendose
q
(2J + 1)(2I + 1)
1
:
8 2
2(1 + ÆI3 ;0 Æ 3 0 )
N = q
2
N pode ser facilmente
f ix
T ;
(3.46)
Notese que quando se estende o grupo de sabor de SU(2) para SU (3)f , a fase negativa
é obtida do termo de W Z .
45
Para determinar a paridade destas funções de onda recorremos à operação
de simetria dada em (3.37). De fato, como discutido por Bohr e Mottelson
[75] a existência de tal tipo de simetria implica em que o operador paridade
P pode ser escrito como
P =S R 1 ;
(3.47)
S (= PRI3 () na presente situação) atua sobre as coordenadas intrínse1 ( = [RI ( )] 1 aqui) atua sobre as coordenadas coletivas.
cas, enquanto R
3
onde
Usando o fato de que
K
RI3 ()DJJ3;2K (
)DII3;(K
é sempre inteiro e que
S sol = sol ;
S kT3 = ( )T3 kT3
T3 ) (! ) = (
)(K
(3.48)
e
(3.49)
T3 D
) J
I
J3 ;2K (
)DI3 ;(K T3 ) (! );(3.50)
resulta que a paridade da função de onda dada em (3.45) é
= ( )K :
(3.51)
A partir da forma explícita da função de onda vêse que para
K = 0,
T3 = 0, apenas as combinações Fermipermitidas (que satisfazem o víncuI +J S=2 = 1) sobrevivem, enquanto as combinações Fermiproibidas
lo ( )
têm norma nula.
Para o caso particular de um sistema de dois núcleons
S = 0), temse o vínculo ( )I +J = 1, que nada mais é do que a forma ge-
(
neralizada do princípio de Pauli. É interessante notar que aqui este princípio
se manifesta em uma forma mais convencional do que aquela da Ref. [76].
Isto se deve a uma escolha possivelmente mais conveniente das coordenadas
espaciais. Em geral, usando o vínculo para isospin,
I = 2p , em conjunto com
a forma explícita dos autoestados dos dibárions, eq.(3.45), encontramos que
os estados espúrios obtidos nas Refs. [71, 72, 38] são
removidos
Os números quânticos dos estados ligados permitidos com
da Tabela 3.1.
J
do espectro.
2, constam
(jJ3fix j)Pdeg
0
0
0
0+1
1
0,1
0
0+1 ; 21
2
0,1,2
0
0+1 ; 21
3
0,1,2,3
0
0+1 ; 21
1 1
1
0+2 ; 21
2 2
2
3 1, 3
1
0+2 ; 22
2 2 2
2
5 1, 3, 5 1
0+2 ; 22
2 2 2 2 2
0
0
0,1
0+1 ; 21
1
0,1
0,1
0+3 ; 22
2
0,1,2
0,1
0+3 ; 23
1 1
1, 3
0+2 ; 22
2 2
2 2
3 1, 3
1, 3
0+4 ; 23
2 2 2
2 2
0
0
0,1,2
0+1 ; 21
1
0,1
0,1,2
0+3 ; 23
1 1
1 , 3 , 5 0+ ; 2
2 2
2 2 2 2 2
0
0
0,1,2,3
0+1 ; 21
S I
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
jI3fixj
46
Tab. 3.1:
jT3 j
J ( repr. SU(3)) 2
1+ (10)
0+ (27); 2(27)
1+ (35); 2 (35)
0+ (28); 2(28)
1+ (10); 0+ (27); 2(27)
0+ (27); 1+(35); 2(27); 2 (35)
0+ (28); 1+(35); 2(28); 2 (35)
0+ (27); 2(27)
0+ (27); 1+(35; 10); 2 (27); 2 (35)
0+ (28; 27); 1+(35); 2(28; 27); 2 (35)
0+ (27); 1+(35); 2(27); 2 (35)
0+ (28; 27); 1+(35; 10); 2(28; 27); 2 (35)
1+ (35); 2 (35)
0+ (28; 27); 1+(35); 2(28; 27); 2 (35)
0+ (28); 1+(35); 2(28); 2 (35)
0+ (28); 2(28)
Números quânticos permitidos para os estados ligados do sistema
B = 2.
Nas colunas estão relacionadas: (1) estranheza
(2) valores permitidos para o isospin
I,
S,
(3) projeção do isospin
jI3fixj I , (4) projeção do grandespin do káon
no sistema xo jT3 j jS=2j, (5) projeção do momentum angufix
fix
lar no sistema xo, jJ3 j = 2jI3
+ T3 j, jJ3fix j 2, paridade P
no sistema xo,
(eq.(3.51)) e número de estados (degenerados) com mesmo número quântico
J3fix , (6) momentum angular J 2 e correspondentes
representações
SU(3)
de sabor.
47
É importante observar que a função de onda obtida acima não é auto-
Hrot . Como o termo de Coriolis (último
termo da eq.(3.26)) não comuta com T3 , as autofunções de Hrot serão comfunção do Hamiltoniano rotacional
binações daquelas dadas na eq.(3.45), com os mesmos números quânticos
II3 ; JJ3 ; (J3fix )2 , mas diferentes valores de T32 .
Usando as eqs.(3.26) e (3.45) podese nalmente obter a fórmula de massa
para os dibárions. Para o estado fundamental
M = Msol + " jS j + Mrot (S ) ;
(3.52)
Mrot (S ) é a contribuição rotacional. Como tanto para S = 0 como
para S =
1 apenas um valor de T32 é permitido (T32 = 0 para S = 0 e
T32 = 1=4 para S = 1), Mrot é simplesmente dada pelo valor médio de Hrot
onde
no correspondente estado dibariônico.
S = 0 obtémse
h
i
1 h
S =0 = 1 J (J + 1)
Mrot
(J3fix )2 +
I (I + 1)
2I1
2I2
Para
i
(I3fix)2 +
1 fix 2
(I ) ;
2I3 3
(3.53)
o mesmo que Weigel, Schwesinger e Holzwarth [72].
Para
S=
Mrot
S = 1, a contribuição rotacional é
1 = 1 hJ (J + 1)
2I1
(
2
S = 2, dois valores de T32
c1 c1 (J3fix )2
+
4
4
c1 ) (I3 )2
0
c
1 4
I (I + 1) (I3fix )2 + c2 @ 2
+
2I2
2
Para
i
1
(J3 )2 +
(1
2I3
fix
(
fix
1
)I +J + 2 ÆJ3 ;0
s
13
1
I (I + 1) + A5 :
4
(3.54)
3
(0 e 1) são em geral permitidos . Por-
Mrot é dada pelos autovalores de
2
h
i
h
i
MSrot= 2 = 21I J (J + 1) (J3fix)2 + 21I I (I + 1) + c22 + c21K
I3
1
2
tanto,
3
Dependendo dos valores dos outros números quânticos, ambos os valores poderão ser
permitidos para um dado estado.
)
0
+B
@
48
1
q
c22 K 2
cp
2
+ 12Ic31 K 2;
I2 2 (1 + ÆK;0)(I K )(I M ) C
q 2I2
A(3.55)
cp
1 c1 (M 2 c1 ) M 2
2
(1
+
Æ
)(
I
K
)(
I
M
)
;
K;
0
2
I
2
I
I2 2
3
2
com M = K 1. Na construção da matriz 2 2 usamos a base dada na
2
eq.(3.45), ordenada de acordo com T3 crescente.
Notese que, embora em alguns casos particulares as expressões para as
correções rotacionais para os dibárions com
com aquelas apresentadas na Ref.
S= 1eS= 2
concordem
[71], em geral, são diferentes.
Isto se
deve ao fato de que, em geral, as autofunções usadas naquela referência não
satisfazem os vínculos impostos pelas transformações de simetria, eqs.(3.35)
e (3.36).
3.4
Em nossos cálculos consideramos dois dos três conjuntos de valores para
os parâmetros da ação efetiva apresentados na anteriormente, a saber os
conjuntos
CJ 1 e CJ 2.
O conjunto
CJ 3, conduz a uma massa muito grande
para o sóliton e não será, então, utilizado aqui.
Ao comparar nossos resultados com os da Ref. [71], deve ser salientado
fK =f , foi tomada como
igual a 1, enquanto aqui a razão usada é igual a 1; 22.
que ali a razão entre as constantes de decaimento,
Quando o conjunto
CJ 2 é usado e apenas g1 , constante da expressão (3.4),
é tomado como parâmetro variacional, o mínimo para a massa do sóliton com
B = 2 é encontrado para
g1 = 0; 339 ;
gi6=1 = 0 :
A inclusão de um segundo parâmetro variacional
g2
(3.56)
não conduz a melhora
signicativa na energia mínima. Além disso, vericase que para o conjunto
49
CJ 1 o mínimo aparece sempre no mesmo valor que o de g1
na situação em
que só concorre um parâmetro variacional. Por esta razão usamos de fato
um só
gi 6= 0 (3.56) em todos os cálculos efetuados.
Na Tabela 3.2, apresentamos os valores calculados para os parâmetros
constantes da fórmula de massa dos dibárions, tanto para o caso de píons
nãomassivos quanto para o de píons massivos. Os parâmetros do setor não
CJ 2
estranho correspondentes ao conjunto
foram dados na Ref.
estão aqui repetidos por completicidade. Os valores de
para
CJ 1
CJ 2) indicam que os káons são menos ligados ao sóliton do
que no caso B = 1.
e
226 MeV
" (238 MeV
[38], mas
para
Usando as autoenergias dos káons do sistema
B = 1 [77], obtemos
" "(B = 2) "(B = 1) = 16 MeV
para os conjuntos
CJ 1 e CJ 2.
(3.57)
Resultado similar foi encontrado por Kunz
e Mulders [71], embora o valor de
"
tenha sido um pouco menor
10 MeV ).
CJ 1
CJ 2
Tab. 3.2:
I1
I2
I3
Msol
MeV
fm
fm
"
fm MeV
c1
c2
1675
2,62
1,75
1,17
238
0,623
0,436
1675
3,22
2,11
1,42
226
0,554
0,334
("
'
Valores dos parâmetros constantes da fórmula de massa dos dibárions.
CJ 1 corresponde ao caso de píons nãomassivos e CJ 2
ao de píons massivos (vide Tab. 2.3).
Notese que quando o valor empírico da razão entre as constantes de
decaimento mesônicas é usado, além de se eliminar a ligação excessiva do
káon encontrada na Ref. [71],
" tornase
menor. De fato, adotando para
50
gi o valor 0 e usando o conjunto CJ 1, como em [71], mas mantendo
fK =f = 1; 22, encontrase " = 0. Por outro lado, o uso da conguração
axialmente simétrica melhorada aumenta o valor de ", sendo o efeito maior
para fK =f = 1; 22 (16 MeV ) do que para fK =f = 1 (8 MeV ). Os mesmos
comentários aplicamse ao conjunto CJ 2.
todos os
As correções rotacionais às massas dos dibárions calculadas,
Mrot , encon-
tramse na Tabela 3.3. Estão relacionados apenas os estados permitidos com
Mrot 250 MeV .
Para comparação, apresentamos também os resultados da
Ref. [71] e a soma das contribuições ao estado bárionbárion de mais baixa
energia em cada canal particular.
Observamos que as energias rotacionais
aqui obtidas são dependentes da escolha dos parâmetros, sendo menores para o conjunto
CJ 2.
Para o conjunto
CJ 1 tais energias são, em geral, muito
similares àquelas apresentadas por Kunz e Mulders. Uma exceção importante é o estado fundamental com
S = 2, para o qual nossa predição está em
torno de metade do valor da energia referida em [71]. Esta diferença é principalmente devida ao menor valor de
c2
em nosso modelo. Os reexos deste
resultado são de alguma importância, visto que em nosso trabalho a energia
rotacional deste estado jaz abaixo do correspondente limiar para ambos os
conjuntos, em contraste com a situação apresentada na Ref. [71].
Outro estado
S= 2
interessante para a discussão é o estado
(1; 1+).
Este é o estado de mais baixa energia para o qual os termos nãodiagonais
em (3.55) são não nulos. Portanto, para calcular a correspondente energia
2, deve ser diagonalizada. Deve ser enfatizado que ao assim
1 ) na expansão em potências de Nc . Estritavaise além de O (N
rotacional,
proceder
MSrot=
c
mente falando, isto não parece consistente com o fato de outras contribuições
de mesma ordem terem sido sistematicamente desprezadas. Entretanto, considerando apenas o termo diagonal de
cional a tal estado, obteríamos
MSrot=
2 como se fôsse a correção rota-
Mrot (1; 1+ ) = 154 MeV (CJ 1).
Esta grande
correção rotacional está em desacordo com outros cálculos (vide, p.
ex.,
51
I; J ) CJ 1 CJ 2
0; 1+
75
61
+
1; 0
113
93
(
S=0
NN
1; 2
1=2; 0+
1=2; 1+
S = 1 N
3=2; 0+
1=2; 2
0; 0+
1; 0+
S = 2 1; 1+
0; 2
1; 2
0; 2+
Tab. 3.3:
Ref. [71]
76
120
147
147
147
216
177
212
61
46
76
87
75
83
92
85
90
157
138
160
165
129
169
21
11
39
37
22
33
79
66
88
107
98
115
119
88
130
187
152
182
247
195
> 250
Correções rotacionais às massas dos dibárions, calculadas no
presente modelo, relativas aos estados permitidos com
250 MeV . NN , N e Mrot
representam as somas das contribui-
ções rotacionais para as correspondentes partículas e servem como
limiar rotacional em cada canal particular.
52
[70]) que predizem a existência de um estado fundamental com os números
(1; 1+ ).
quânticos
Focalizemos agora nossa atenção no problema da estabilidade da partícula
H
[37, 78]. As diferentes contribuições à energia de ligação neste caso
estão dadas na Tabela 3.4. Como se observa, nosso modelo prediz que para
os dois conjuntos de parâmetros,
CJ 1 e CJ 2, H
é ligada . Como a atração
encontrada em nível das interações hipernas (rotacionais) não é suciente
para compensar o fato de que os káons são menos ligados ao diskyrmion,
a principal fonte de atração decorre do valor mais baixo da massa do sóliton com
B = 2, obtido com a conguração axialmente simétrica melhorada.
Situação similar ocorre em cálculos em modelos de sólitons com o modelo coletivo
SU(3).
no canal
É importante lembrar que, embora o estado de menor energia
S=0
tenha os números quânticos do dêuteron, sua identicação
com esta partícula não é completamente clara, visto que o sistema aqui analisado tem aproximadamente 1,6 vezes o tamanho do núcleon enquanto que
o
1
2
[72].
rrms do dêuteron é, experimentalmente, 2; 6 < r2 >núcleon
CJ 1 CJ 2
Msol
2"
Mrot
M (H ) 2M ()
Tab. 3.4:
Contribuições (em
-52
-54
32
32
-15
-12
-34
-34
MeV ) à massa da partícula H
em relação ao
dobro da correspondente contribuição para a massa de
Em particular, uma grande energia de ligação (
para este estado no presente modelo.
.
' 130 MeV ) é predita
Como uma considerável parte desta
ligação excessiva vem da contribuição de
O(Nc) à massa do dibárion, isto
poderia ser uma indicação de que o torus axialmente simétrico estático não
53
fornece a descrição correta para os bárions com
B = 2.
Usandose esta con-
guração apenas a energia potencial do dibárion está contemplada, enquanto
toda a contribuição da energia cinética é desprezada. De fato, mostrase na
Ref. [43], onde uma conguração de diskyrmion ligado foi estudada numericamente em uma rede discreta, que o estado toroidal se forma apenas quando
da mínima separação entre os dois skyrmions, enquanto na maior parte do
tempo o sistema de dois skyrmions consiste de dois bárions bem separados,
como esperado para o dêuteron.
Outro efeito, ignorado em nossos cálculos, que se pode relacionar com a
perda das correções cinéticas mencionadas acima é o efeito de Casimir, que
descreve os desvios na energia do vácuo produzidos pela presença do sóliton.
Uma estimativa deste efeito, usandose a conguração
o mesmo tende a deslocar a massa da conguração
ouriços
B = 1,
para cima.
SO(3) [79], indica que
B = 2, em relação a dois
Se considerarmos ser esta a principal fonte de
repulsão que leva a massa do dêuteron a seu valor físico, então tal repulsão
seria suciente para impedir a formação da partícula
3.5
H.
Conclusões
Neste capítulo estudamos a estrutura dos dibárions estranhos ligados no contexto da
AEL.
Nesta aproximação tais sistemas são considerados como esta-
dos ligados de káons com um sóliton topológico com número bariônico
B = 2.
Para descrever a conguração de diskyrmion recorremos a uma conguração
axialmente simétrica melhorada,
onde a dependência no ângulo azimutal
é
encontrada através de um processo variacional. Tal conguração fornece uma
aproximação muito boa à solução para a energia mínima encontrada numericamente, que também tem simetria axial. Mostramos que, se os vínculos
impostos pelas simetrias da conguração toroidal de fundo são satisfeitos,
54
todos os estados espúrios são eliminados do espectro. Em particular, obtemos uma forma generalizada do princípio de Pauli para os estados de mais
baixa energia com
B = 2, com valores pares de estranheza.
No setor
S=0
isto implica em que o estado de menor energia permitido tem os números
quânticos da partícula
H.
Isto está em acordo com as predições de modelos
de quarks.
Encontramos ainda que, embora os káons sejam menos ligados ao di
skyrmion do que na situação de um único sóliton, o dibárion
H
é levemente
ligado dentro de nossas aproximações. Esta energia de ligação é principalmente devida a uma massa um tanto menor do diskyrmion em relação à
soma das massas de dois skyrmions individuais. Entretanto, norteados pela
fenomenologia no caso do dêuteron (que é fortemente ligado neste modelo [38]), diríamos que a conguração toroidal estática tende a subestimar a
massa do sóliton com
B = 2.
Além disso, estudos numéricos [43] mostram
que o torus é formado apenas quando da separação mínima dos dois skyrmions. Sob este aspecto, seria interessante analisar se os desvios dinâmicos da
solução de menor energia podem ser parametrizados em função de alguma
coordenada coletiva. Flutuações de pontozero desta coordenada poderiam
então fornecer um mecanismo para aumentar a massa do sóliton com
sem afetar a massa do sóliton com
B = 1.
B=2
Outro efeito que pode diminuir
as energias de ligação (provavelmente muito relacionado com o anterior) é
o efeito de Casimir, que conduz a contribuições de
O(Nc0 ) [79].
Como se
espera que estes dois efeitos dêem contribuições similares a todos os estados dibariônicos, independentemente de suas estranhezas, ca claro que se
eles forem intensos o suciente para aumentar a massa do dêuteron até seu
valor empírico, deverão, então, conduzir a uma estrutura não ligada para a
partícula
H.
Capítulo 4
INTERAÇÃO N
A escassez de dados experimentais relativos às interações
e
híperonhíperon
dados.
híperonnúcleon
exige um maior suporte teórico para a descrição destes
As análises e predições mais frequentes encontradas na literatura
utilizam os modelos de troca de bósons.
O modelo de Skyrme em
dos potenciais
bárionbárion
SU(2)
núcleonnúcleon.
foi usado com algum sucesso no cálculo
A generalização ao estudo dos potenciais
pode ser feita em extensões a
teratura contribuições relativas ao
SU(3),
encontrandose na li-
modelo de coordenadas coletivas MCC.
Conforme mencionado anteriormente, utilizamos neste trabalho a
ção de estado ligado AEL aproxima-
para o estudo de sistemas de dois bárions.
Considerando sobretudo os resultados experimentais existentes, optamos por
apresentar aqui o desenvolvimento do formalismo para o potencial híperon
núcleon.
A extensão ao potencial
diculdades.
híperonhíperon
não apresenta maiores
O esquema geral é ilustrado pela aplicação ao potencial
N
para o qual encontrase a maior quantidade de informação. As componentes
central, spinspin e tensorial desta interação são obtidas e comparadas com
aquelas derivadas no
MCC..
Capítulo 4. Interação N
4.1
56
Interação bárionbárion
Como no caso do sistema
NN , o interesse na interação de dois corpos híperon
núcleon se prende a múltiplas razões.
Tal interação é, p. ex., o constituinte fundamental para o entendimento
microscópico dos hipernúcleos (vide, p.
ex., [80]).
Além disso, a inclusão
do grau de liberdade de estranheza dentre as características dos bárions,
reunindo de certa forma núcleons e híperons, impõe a extensão dos modelos
de potencial núcleonnúcleon, de modo a fornecer um quadro coerente e
unicado da interação bárionbárion.
Ainda que a
CDQ
seja considerada como a teoria fundamental para as
interações fortes, as regiões de pequena energia transferida e baixo momentum, relevantes para a Física Nuclear, não podem ser descritas por processos
perturbativos, o que tem inviabilizado até agora um cálculo primário da interação bárionbárion em termos de quarks e glúons.
No modelo fenomenológico de troca de um bóson (one
OBE)
boson exchange (vide, p. ex., [81]), a interação núcleonnúcleon é descrita através da
troca de diferentes mésons, suplementada por uma repulsão de curto alcance.
No caso da interação híperonnúcleon, os potenciais de Nijmegen [82, 83, 84]
e de Jülich [85, 86] são obtidos pela extensão do modelo
OBE
de modo a
incluir os graus de liberdade de estranheza.
Desta maneira, os dados de espalhamento híperonnúcleon, predominantemente
N ,
podem ser descritos em um esquema unicado ao preço da
introdução de um considerável número de parâmetros ajustáveis.
De fato,
como os dados experimentais são poucos, podem ser reproduzidos com o uso
de vários conjuntos de parâmetros, dos quais dois exemplos representativos
são aqueles que denem os chamados modelos D e F do grupo de Nijmegen
[82, 83, 84].
O modelo de Skyrme em
57
SU(2)
foi usado na literatura para a construção
e análise do potencial núcleonnúcleon [17, 41], o surgimento das diversas
componentes do potencial sendo um dos sucessos do modelo (vide, por ex.,
[42, 57, 87]). Neste capítulo recorremos à
AEL
para incluir a estranheza no
esquema de cálculo dos potenciais híperonnúcleon, comparando resultados
da interação
N
aos das Refs.[34, 35, 36], onde foram estudados no modelo
coletivo (MCC).
Assim como nos cálculos do potencial
o modelo de Skyrme em
NN
anteriormente realizados com
SU(2), com razoável sucesso qualitativo, são geradas
aqui as diversas componentes (central, spinspin, tensorial etc) do potencial.
No caso da interação híperonnúcleon, o potencial pode ser escrito na
forma geral
VHN (~r) = VC (r) OC + VS (r) OS + VT (r) OT ;
(4.1)
= 3 ~H r^ ~N r^ ~H ~N são
operadores que envolvem os graus de liberdade de spin e VC (r ); VS (r ); VT (r )
em que
OC = I2H2I2N2 ; OS = ~H ~N ; OT
são, respectivamente, as partes central, spin-spin e tensorial da interação.
Tais componentes podem ainda ser analisadas em isospin, decompondose
as mesmas em contribuições independentes de isospin,
isospin,
V
V + , e dependentes de
, de modo que
+ (r) + V
VC;S;T (r) = VC;S;T
H ~N :
C;S;T (r ) ~
(4.2)
As contribuições dependentes de momentum angular, como o acoplamento spinórbita por exemplo, não estão aqui incluídas porque são inacessíveis
sob as aproximações usadas, i.e., são de ordem mais alta no parâmetro de
expansão.
A nova peculiaridade do caso
SU(3)
(em relação a
SU(2))
é a
interação de troca de estranheza intermediada por káons. Na linguagem dos
modelos
OBE,
estas interações são de primeira ordem em trocas de káons,
mas assim como as contribuições diretas, incluem ordens superiores (mais
do que um bóson trocado) no setor
58
SU(2).
O esquema geral é ilustrado pe-
lo cálculo explícito da componente diagonal ao potencial
N 1
que, além do
grande interesse físico como mencionado anteriormente, proporciona resultados com um tratamento matemático mais despojado, em vista da ausência de
interações dependentes de isospin, o que torna mais transparente sua análise.
4.2
Lagrangeano de interação
híperonnúcleon na aproximação produto
Com o intuito de obter o potencial híperonnúcleon, diferentemente do estudo
de estados ligados apresentado no capítulo anterior em que recorremos a uma
conguração axialmente simétrica, a conguração de número bariônico
será aproximada pelo produto de duas soluções para
pontos
~x1
e
~x2
distintos.
Esta é a conhecida
B = 1,
B=2
centradas em
aproximação produto,
muito
adequada para o estudo do comportamento do potencial a longas e médias
distâncias, visto que nestas distâncias os sólitons mantêm a simetria esférica
original. Além disso, a aproximação é razoável a curtas distâncias, conforme
os argumentos apresentados na seção (3.4).
A rigor, esta aproximação falharia [88] para distâncias muito curtas quando a solução exata tem a forma toroidal usada no estudo dos dibárions. Contudo, como mostrado na Ref. [43], o estado toroidal se forma apenas quando
da separação mínima entre os skyrmions.
Na
aproximação produto, o campo para número bariônico B
como
= 2 é escrito
UB=2 (~x; ~x1 ; ~x2 ) = UB=1 (~x ~x1 )UB=1 (~x ~x2 ) U1 U2 ;
(4.3)
1 As contribuições dos canais acoplados N e N têm sido objeto de análise nos modelos
de troca de mésons [80].
os índices
59
1; 2 indicando a dependência nas coordenadas dos sólitons indivi-
duais. O Lagrangeano do sistema pode ser obtido, então, substituindose o
campo
U
nos diversos termos constituintes da interação.
Usando a premissa (4.3), a densidade lagrangeana relativa ao termo quadrático
L2, eq.(2.3), pode ser escrita como
2 h
2 h
2 h
i
i
i
L2 = f4 Tr L1 L1 f4 Tr L2 L2 + f4 Tr L1 R2 + L2 R1 ;
(4.4)
onde os dois primeiros termos do lado direito de (4.4) são termos de partícula
única e o terceiro termo é o de interação entre as partículas, com
L = U y @ U
R = U@ U y . Aqui e no que segue efetuamos uma simetrização explícita
nos índices 1 e 2 para assegurar a invariança da interação frente à troca das
e
duas partículas.
Descontadas as contribuições de partícula única, o termo quadrático se
reduz, então, a
L(2int) = f4
2
Tr
h
i
L1 R2 + L2 R1 :
(4.5)
O termo quártico, eq.(2.4), já descontadas as contribuições de partícula
única, conduz a
h
L(4int) = 321e2 Tr
4L1 L1 L1 R2 + 2L1 L1 L1 R2 + 2L1 L1 L1 R2
4L1 R2 R2 R2 + 2L1 R2 R2 R2 + 2L1 R2 R2 R2
+ 4L1 L1 R2 R2
2L1 L1 R2 R2 2L1 L2 R2 R2
+ 2L1 R2 L1 R2
L1 R2 L1 R2 L1 R2 L1 R2
i
+ (1 $ 2)
;
(4.6)
enquanto para o termo de quebra de simetria, eq.(2.15), obtémse, para a
contribuição do termo de interação,
L(SBint)
=
f2 m2 + 2fK2 m2K
Tr [(U1
1)(U2 1) 2]
24
p f2m2 fK2 m2K
+ 3
Tr [8 ((U1
1)(U2 1) 1) + (1 $ 2)]
12
fK2
24
+h:c: ;
f2
Tr
60
p
38 )U1 L1
h
U2 (1
i
R2 (L1
R2 ) + (1 $ 2)
(4.7)
h:c: representa conjugado hermitiano e (1 $ 2) representa a troca dos
índices 1 e 2 (simetrização).
onde
A contribuição ao termo de interação que se origina do termo de WessZumino (2.13) é
L(WintZ)
=
iNc 3
Tr L1 R2
96 2
R23 L1
1
L1 R2 L1 R2 + (1 $ 2) ;
2
(4.8)
onde a ausência dos índices de Lorentz indica o uso da notação de 1forma
da geometria diferencial, i.e.,
L31 R2 = " L1 L1 L1 R2 :
O uso da parametrização
(4.9)
CK (vide relação (2.16)) para os campos quirais
individuais e a subsequente expansão até segunda ordem nas componentes
kaônicas conduz a uma densidade lagrangeana de interação que pode ser
escrita como a soma de três diferentes tipos de contribuições, a saber
L(int)
O termo direto
to
Lkd e Lke
=
Ld + Lkd + Lke :
(4.10)
Ld é uma contribuição puramente piônica (SU(2)), enquan-
compreendem as contribuições devidas aos campos de káons
presentes nas interações direta e de troca, respectivamente.
Uma representação esquemática destas interações é apresentada na Fig.
4.1 a seguir.
A Fig. 4.1.a que representa o termo direto
Ld, de ordem Nc1 , apresenta
o káon ligado atuando como espectador, enquanto as Figs.
representam os dois termos de ordem
Nc0 , a saber Lkd
e
4.1.b e c que
Lke, evidenciam os
campos kaônicos presentes nas interações direta e de troca, respectivamente.
61
H
N
H
N
N
H
H
N
H
N
H
N
(a)
Fig. 4.1:
(c)
(b)
Representação esquemática dos diferentes tipos de contribuições
ao potencial híperonnúcleon. (a) Contribuições piônicas diretas
Ld, (b) contribuições kaônicas"diretas, Lkd, e (c) contribuições
ke
kaônicas"de troca, L .
Os termos
Ld e Lkd são ambos contribuições diretas, visto que as partí-
culas do estado nal não são intercambiadas em relação ao estado inicial.
O termo
Lkd
corresponde aos processos em que os graus de liberdade
kaônicos são apenas excitados, enquanto a contribuição
Lke envolve a troca
de um káon entre os bárions, sendo por isto chamada de
interação de troca.
Em geral, cada termo na ação efetiva (2.14) contribui para as três partes
distintas
Ld, Lkd e Lke nas quais foi decomposta a densidade lagrangeana de
interação. Para o termo quadrático de interação, incluído na eq.(4.4), temos
L2
f 2 h 1 2 i
Tr l r2 + l r1
;
=
4
Lkd2
=
d
1 y y 1
(D K2 ) n2 l n2 K2
4
(4.11)
K2y ny2 l1 n2 D K2
+
e
Lke2
onde
p
n = u
=
62
1 y 2 y
(D K1 ) n1 r n1 K1 K1yn1 r2 ny1 D K1
4
1 y y 2 1
K2 n2 r l n2 K2 + K2yny2 l1 r2 n2 K2
8
+ K1yn1 l1 r2 ny1 K1 + K1yn1 r2 l1 ny1 K1 + (1 $ 2)(4.12)
1
(D K1 )yn1 n2 D K2 + (D K2 )yny2 ny1 D K1
2
1
+ (D K1 )y n1 r2 n2 K2 + (D K2 )y ny2 l1 ny1 K1
4
1 y 1
K1 n1 l n2 D K2 + K2y ny2 r2 ny1 D K1
4
1 y 1 2
K1 n1 l r n2 K2 + K2y ny2 r2 l1 ny1 K1 + (1 $ 2) ;(4.13)
8
e
l = uy @ u ; r = u @ uy ; e
(4.14)
1
(4.15)
D = @ + (ny @ n + n@ ny ) :
2
Na notação adotada, a derivada covariante D atua na mesma coordenada
i do campo kaônico Ki . No caso do termo de WessZumino, a contribuição
SU(2)
pura,
L
e
Ld
W Z , é nula e as duas contribuições restantes são
kd
WZ
=
"
!Nc
K y ny l r n DK + (DK2 )y ny2 l1 r2 n2 K2
48 2 f2 2 2 1 2 2 2
1 y y3
K2 n2 l1 + l1 r22 l1 r2 l1 n2 K2
2
#
(Fi $ Fi ) + h:c: + (1 $ 2)
"
(4.16)
c
K1y ny1 Sny2 DK2 + (DK1 )yny1 Sny2 K2
L = 48!N
2
2
f
#
1 y y
y
+ K1 n1 (Sl2 r1 S ) n2 K2 (Fi $ Fi ) + (1 $ 2) ;(4.17)
2
2 2 l2 r1 . A
sendo Fi a função perl do sóliton i (ângulo quiral) e S = l2 + r1
substituição (Fi $
Fi ), implica nas substituições l $ r e n $ ny. Além
ke
WZ
63
disso, usamos para os antikáons ligados,
K_ = i!K ;
com
(4.18)
! > 0.
Expressões similares podem ser obtidas para os termos de Skyrme,
de quebra de simetria,
LSB , respectivamente.
L4, e
Como suas formas explícitas
são extensas e não são particularmente instrutivas, optamos por apresentá
las no Apêndice F.
A quantização dos sistemas de dois sólitons é efetuada através do uso de
coordenadas coletivas. Os estados ligados são submetidos a rotações independentes
! A1 u1Ay1 ; u2 ! A2 u2Ay2 ;
K1 ! A1 K1 ; K2 ! A2 K2 ;
u1
onde
A1 e A2
são matrizes de
SU(2).
(4.19)
A dependência nas coordenadas cole-
tivas pode ser reexpressa na coordenada relativa
C = Ay1 A2 :
(4.20)
A m de descrever as partículas físicas, efetuamse projeções nos estados
de bons números quânticos de spin e isospin. As correspondentes funções de
onda dos híperons são aquelas apresentadas em (2.21), i.e.,
K (~r; t) =
4.3
X
l
kl (r; t)Yl (^r) ;
z
Potencial N na aproximação adiabática
Para construir o potencial de interação bárionbárion na
to
é necessário determinar os elementos de matriz de
aproximação produ-
L(int) entre as funções
64
de onda relevantes para os dois bárions e integrar na coordenada do centro
de massa do sistema,
R~ .
Para tanto, é conveniente expressar as posições
individuais das partículas em função de
~x1 = R~ +
~x2 = R~
R~ e da coordenada relativa ~r, i.e.,
m2
~r ;
m1 + m2
m1
~r ;
m1 + m2
(4.21)
m1 e m2 são as massas (físicas) das partículas individuais. Considerando a direção z
^ alinhada com ~r e efetuando as integrações em ~x0i = ~xi R~ ,
em que
se obtém
(int) (r) =
VHN
onde
Z 2
Z1
2
d' <
d
dR R
0
1
0
Z1
L(int) >
(4.22)
= r^ R^ e ' o ângulo azimutal.
A integração em
'
pode ser realizada analiticamente, obtendose um
operador com uma estrutura geral que permite identicar as diferentes componentes do potencial, a saber, a componente central, a componente spin
spin etc. As integrações restantes relativas às variáveis
Re
são realizadas
numericamente.
O formalismo desenvolvido até aqui se aplica aos híperons em geral. Entretanto, como vários passos no procedimento acima mencionado implicam
em longos cálculos, restringirnosemos a seguir à discussão do potencial de
interação
N .
Sendo
uma partícula isoescalar, o número de termos que
contribuem ao potencial é razoavelmente reduzido em relação ao caso geral, mas as peculiaridades físicas de interesse, relativas à interação híperon
núcleon cam adequadamente representadas.
Ilustremos agora o procedimento geral usado para derivar o potencial de
interação, considerando alguns termos especícos do Lagrangeano de interação.
Desconsideraremos termos dependentes das velocidades rotacionais
coletivas (termos nãoadiabáticos), que dão origem, por exemplo, a contri-
65
buições spinórbita e que são, pelo menos, de uma ordem a mais em
Nc 1 ,
em relação às contribuições já consideradas.
Mesmo nesta aproximação, contudo, o cálculo de todos os termos que
contribuem para o potencial
4.3.1
N
2
é bastante extenso .
Contribuições diretas
Consideremos inicialmente uma interação direta do tipo
que não existe contribuição
L2
Ld .
desta espécie ao potencial
Podese ver
N .
De fato a
eq.(4.11), após a introdução das coordenadas coletivas, contém a expressão
C y l1j C = l1j a C y a C = l1j a Rab (C )b ;
sendo
Rab
(4.23)
um elemento de matriz do operador de rotação, apresentado no
Apêndice E. Como indicado na eq.(E.17), isto conduz a um elemento de
matriz
N
nulo.
A contribuição direta do tipo
Ld mais importante se origina de L4, que
é responsável pela repulsão central.
obtida pela substituição de
LeR
Tal contribuição pode ser facilmente
da eq.(4.6) por seus equivalentes
SU(2),
eq.(4.14), visto que o káon atua apenas como espectador neste caso.
Após determinar os elementos de matriz de interesse e substituílos na
eq.(4.22) obtémse
VCd (r)
onde
2
"
2 2
2
Z1
2 Z 1
2
0 F 0 )2 + F 0 s2 + F 0 s1 + 3 s1 s2
=
dR
R
d
(
F
1 2
1 x2
2 x1
3e2 0
x1 x2
1
!
!
#
2
2
s1
s2
F102
F202
(^x1 x^2 )2 ;
(4.24)
x1
x2
Fi F (xi ), si sen Fi , ci cos Fi e Fi0 dFi =dxi .
Foi possível conferir manualmente todas as expressões, à exceção das contribuições
kaônicas em
L4 , calculadas com a ajuda de um código computacional algébrico, que apre-
sentamos no Apêndice F.
66
Como exemplo do tratamento das contribuições a
V kd ,
consideremos as
contribuições originárias do termo de WessZumino, eq.(2.13). Novamente,
após a introdução das coordenadas coletivas, todos os termos contendo a
expressão (4.23) se anulam.
Entretanto, neste caso, existem dois termos
adicionais. Um destes termos, que gera a única contribuição não nula, fornece
simplesmente
visto que
s2
C yl13 C = 6F10 12 ;
x1
l3 ( "ijk li lj lk ) é
(4.25)
um isoscalar proporcional à contribuição
SU(2)
para a densidade bariônica. O outro termo contém a expressão
C y l1 Cr2 C y l1 C = "ijk l1i a r2jb l1kc C ya Cb C yc C
= "ijk l1i a r2jb l1kc d b f Rad (C )Rcf (C )
(4.26)
e, embora o correspondente elemento de matriz coletivo seja nãonulo, o ele-
".
Portanto,
OC :
(4.27)
mento de matriz total se anula devido à antisimetria do tensor
da contribuição (4.25) nalmente obtemos
Z 2
0
d' < 02 N10 jLkd
W Z j2 N1 > =
!Nc 2 0 s21
kF
8 2 f2 2 1 x21
Deve ser mencionado aqui que termos que contenham mais que dois pares
C y C dão contribuições não nulas às interações diretas L4 , visto que o tensor
" não mais comparece, neste caso.
4.3.2
Contribuições de troca
Para ilustrar o cálculo das contribuições de troca, consideremos os dois primeiros termos da forma simetrizada de
Lke2 apresentada em (4.13).
Após
a introdução das coordenadas coletivas e desconsiderando contribuições não
adiabáticas, tais termos se reduzem a
1
(D K1 )yn1 Cn2 D K2 + (Fi $ Fi ) + h:c:
2
(4.28)
67
Usando a eq.(E.19) o elemento de matriz relevante resulta em
1
< 01 N20 j (D K1 )yn1 Cn2 D K2 j2 N1 >=
2
1
Æ
< J3 j(D K1 )yn1 jJ3N >< J3N jn2 D K2 jJ3 > :
4 I3 ;I3
0
N
0
N0
(4.29)
Os elementos de matriz individuais envolvidos podem ser calculados recorrendo
se a teoremas de projeção (vide, p. ex., [89]). Usando a forma explícita da
conguração ouriço, se obtém
!k2
p (=s ic=2~2 x^2 ) e
2 2
"
!
1
k2
k
a
0
a
0
3
n2 D K2 = p ik2=s2 x^2 + c=2 k2 c=2
~2 x^2 xâ2 + c=32 2 2a
2 x2
x2
#
k
+ c=22 2 =s2 (^x2 ~2 )a ;
(4.30)
x2
n2 D0 K2 =
com
F
dk
k20 = 2 ; =s2 = sen 2
dx2
2
F
c=2 = cos 2 :
2
e
Expressões similares são obtidas para o termo
D K1yn1 .
(4.31)
Desta maneira, se
chega à forma explícita do elemento de matriz quadrático kaônico de troca.
Ao considerar a integração em relação à coordenada centro de massa é
conveniente introduzir os operadores
O^C
O^S
O^T
= (I ) N (I )N ;
0
0
= (~1 ) N (~2 )N e
= 3 r^ (~1 ) N r^ (~2 )N 0
0
0
0
(~1 ) N (~2 )N 0
0
(4.32)
e fazer uso da relação
Z 2
0
sendo
xij = xî x^j
d' ~1 xî ~2 x^j =
2 ^
xij OS + Gij O^T ;
3
(4.33)
e
Gij =
3R2 2
(
2xi xj
1) + xij ;
(4.34)
com
68
já denido.
Usando as expressões acima obtémse o resultado completo
Z 2
o
=
1
y
0
0
d' < 1 N2 j (D K1 ) n1 Cn2 D K2 + (Fi $ Fi ) + h:c: j2 N1 > =
2
(
1
ÆI3 ;I3 ! 2 k1 k2 3=s1=s2 O^C c=1 c=2 x12 O^S c=1 c=2 G12 O^T
12
+O^C"( 3k10 k20 =s1=s2 x12 )
kk
+O^S 1 2 c=21 c=22 c=1 c=2 (1 + x212 ) 2=s1=s2 x12
x1 x2
k0 k
k k0
+ 1 2 c=31 c=2 (1 x212 ) + 1 2 c=1 c=32 (1 x212 )
x1
x2
#
+k10 k20 c=1 c=2 x212
N
N0
+O^T
"
k1 k2 2 2 c=1 c=2 c=1 c=2 (G11 + G22 G12 x12 ) =s1=s2 G12
x1 x2
k0 k
k k0
+ 1 2 c=31 c=2 (G22 G12 x12 ) + 1 2 c=1 c=32 (G11 G12 x12 )
x1
x2
# )
+k10 k20 c=1 c=2 G12 x12
:
(4.35)
A m de recuperar a estrutura operatorial do potencial como dada na
eq.(4.1) efetuase, ainda, uma transformação de Fierz (vide, p, ex., [90])
reescrevendose
O^C , O^S e O^T
em função dos operadores
OC , OS e OT
que
aparecem naquela equação. A relação entre os dois conjuntos de operadores
é, neste caso,
1
1
O^C + O^S + O^T = ( + 3 ) OC + ( ) OS + 2
2
onde
OT ;(4.36)
; e são funções que dependem apenas da distância relativa r.
As outras contribuições de troca ao potencial de interação a saber,
Lke4 e LkeSB , são tratadas da mesma forma que a exemplicada.
LkeW Z ,
No Apêndice F encontramse expressões relativas aos termos quártico e
de quebra de simetrica obtidas com recursos algébricos computacionais.
4.4
69
Usamos nos cálculos numéricos deste trabalho os valores físicos para os diferentes parâmetros dos mésons que comparecem no Lagrangeano, i.e.,
m = 138 MeV ;
f = 93 MeV ;
e adotamos
mK = 495 MeV;
(4.37.a)
fK =f = 1; 22
(4.37.b)
e = 4; 26 (valores que correspondem ao conjunto CJ 3) a m de
reproduzir a diferença de massas entre o núcleon e a delta. Com estes valores
as diferenças de massas dos híperons para núcleon são bem reproduzidas,
como se observa na Tab. 2.4.
Os valores absolutos das massas bariônicas, porém, resultam muito grandes, quando se adota o conjunto
CJ 3, de fato cerca de 800 MeV
acima dos
valores observados experimentalmente. Este é um problema partilhado pelos
modelos de sólitons topológicos, que pode ser amenizado se fôrem consideradas as correções quânticas à massa do sóliton [91, 92]. No caso da
AEL
isto foi recentemente mostrado quando, usando os valores empíricos para os
parâmetros mesônicos, obtevese
'
880 MeV
para a massa do núcleon [93].
As contribuições de cada um dos diferentes termos diretos e de troca
ao potencial
N ,
algumas das quais foram detalhadas em seções anteriores
deste capítulo (cujas expressões podem ser determinadas com o auxílio do
Apêndice F), após calculadas, tiveram seus resultados compactados na Fig.
4.2 e na Fig. 4.3.
Como se pode apreciar ver na Fig.
4.2a, existem apenas duas contri-
buições piônicas ao potencial central. Uma, originária do termo quártico, é
repulsiva e domina a outra, pequena e atrativa, devida ao termo de quebra de
simetria. Os termos quadrático e de
tipo.
WZ
não fornecem contribuições deste
70
(a)
[MeV]
300
V
C
πd
200
100
0
0.8
1.2
1.6
r
2.0
[fm]
0
(b)
[MeV]
-10
V
C
kd
-20
-30
0.8
1.2
1.6
r
Fig. 4.2:
2.0
[fm]
Contribuições centrais ao potencial
N
(a) originárias dos termos
piônicos diretos; (b) originárias dos termos kaônicos diretos. As
linhas cheias representam as contribuições do termo quártico, a
linha pontilhada a do termo de
de quebra de simetria.
WZ
e a traçoponto a do termo
71
Os termos kaônicos diretos, que no presente esquema só contribuem ao
potencial central, estão apresentados na Fig. 4.2b. Ocorrem contribuições
quártica e de
W Z , ambas atrativas e similares em magnitude.
Existe também
uma muito pequena contribuição devida ao termo de quebra de simetria (não
visível no gráco), mas não ocorre contribuição kaônica direta oriunda do
termo quadrático.
Comparando as Figs. 4.2a e b podemos ainda notar que a contribuição
piônica (SU(2)) é muito maior, em valor absoluto, do que as contribuições
kaônicas, como esperado da
A Fig.
contagem
(em ordens de)
Nc.
4.3 apresenta em separado as componentes central (Fig. 4.3a),
spinspin (Fig. 4.3b) e tensorial (Fig. 4.3c), relativas aos termos de troca
kaônicos.
Como se observa, todos os termos do Lagrangeano contribuem
neste caso. Estas contribuições são atrativas, à exceção das oriundas do termo
LSB ) que são, contudo, sempre muito pequenas.
de quebra de simetria (
Os
termos kaônicos de troca são, em geral, da mesma ordem de grandeza que os
kaônicos diretos e não desprezíveis frente às contribuições piônicas, embora
quase uma ordem de grandeza menores.
Nossas predições totais para as componentes central, spinspin e tensorial
ao potencial
N
os resultados do
estão apresentadas na Fig. 4.4 onde também se encontram
MCC
[36].
A análise comparativa entre os resultados do modelo
AEL
e do
MCC
mostra que as ordens de grandeza e os sinais dos resultados, nos dois casos,
são concordantes.
Como antecipado na discussão anterior, tanto no modelo
MCC,
AEL,
como no
as interações spinspin e tensorial são suprimidas por uma ordem de
magnitude em relação à interação central, que se mostra repulsiva em qualquer distância. Já que o potencial central (
VC ) é dominado pelas contribui-
ções piônicas, ca claro que tal comportamento está muito relacionado com o
72
5
0
[MeV]
-5
-15
V
C
ke
-10
(a)
-20
-25
0.8
1.2
1.6
r
[fm]
2.0
15
10
[MeV]
5
ke
S
0
V
-5
(b)
-10
-15
0.8
1.2
1.6
r
[fm]
2.0
4
T
V ke [MeV]
2
0
-2
(c)
-4
0.8
Fig. 4.3:
1.2
1.6
Contribuições dos termos kaônicos de troca
r
[fm]
2.0
Lke ao potencial N :
(a)
componente central, (b) componente spin-spin, (c) componente tensorial. A linha tracejada representa as contribuições do termo quadrático,
a linha cheia aquelas do termo quártico, a linha pontilhada as do termo
de W Z e as traçoponto as do termo de quebra explícita de simetria.
73
300
(a)
C
V [MeV]
200
100
0
0.8
1.2
1.6
r
[fm]
2.0
0
(b)
V [MeV]
-4
S
-8
-12
0.8
1.2
1.6
r
[fm]
2.0
0
(c)
-4
T
V [MeV]
-2
-6
-8
0.8
Fig. 4.4:
1.2
Componentes do potencial
1.6
N :
r
[fm]
2.0
(a) componente central VC ; (b) com-
ponente spin-spin VS ; (c) componente tensorial VT . A linha cheia representa resultados do presente cálculo (AEL) e a linha tracejada resultados do MCC [36].
74
conhecido problema da ausência de atração central a distâncias intermediárias do modelo de Skyrme em
SU(2).
Muitos mecanismos têm sido propostos
para resolver este problema como, por exemplo, o do acoplamento a graus
de liberdade vibracionais e rotacionais [35]. Qualquer que seja a solução que
venha a corrigir tal deciência, os presente cálculos em
SU(3)
mostram que
a inclusão dos graus de liberdade de estranheza provavelmente não a prejudicarão, visto que as contribuições kaônicas centrais, ora adicionadas, são
atrativas.
O sinal da contribuição spinspin predita neste trabalho é negativo, o que
implica em maior atração no canal
ocorre também no
MCC.
3 S1
do que no canal
1 S0 .
Este resultado
Contudo, é importante observar que a informação
sobre o sinal da interação spinspin não é clara, pois dos dados de espalhamento
p existentes
não há condições ainda para uma conclusão denitiva.
De fato, várias versões dos modelos de troca de bósons, que reproduzem
de modo igual os comprimentos de espalhamento, conduzem a predições um
3 S1 e 1 S0 ,
2; 18 (modelo A) a 1; 75 (modelo F) para 3 S1
2; 51 (modelo F) para 1 S0 (vide, p. ex., [94]).
pouco diferentes para os comprimentos de espalhamento nos canais
com valores variando entre
e entre
0; 71 (modelo A) a
De outra parte, os dados disponíveis sobre
recer uma interação spinspin
N
hipernúcleos
tendem a favo-
repulsiva, embora novamente a questão
não esteja completamente denida. A indicação mais clara vem dos estados
dubletos
4 H e 4 He, mas a análise do comportamento destes estados depende
de cálculos bastante elaborados envolvendo quatro corpos.
Existe também alguma informação empírica de outros
como, por exemplo,
11 B .
hipernúcleos,
Para este, a situação é um pouco mais complexa
ainda, devido ao papel exercido pelas interações spinórbita. Experimentos
propostos tanto em espalhamento híperonpróton [95], como em espectroscopia
hipernuclear [96] poderão talvez, em breve, fornecer testes críticos
sobre este assunto.
75
Do ponto de vista do modelo de sólitons topológicos de Skyrme, nossos
resultados são consistentes com aqueles obtidos em cálculos embasados nas
coordenadas coletivas [34, 35, 36] na ausência de canais acoplados.
Pode-
ríamos argumentar que, como no presente modelo as trocas de píons são
consideradas além do modelo
canal
N
OBE, uma
certa quantidade de mistura com o
é levada em conta. Nossa aproximação, entretanto, ainda permite
contribuições nãodiagonais,
N
N ,
não nulas. Existem indicações de
que quando tal mistura com congurações rotacionais excitadas é incluída, o
sinal da interação spinspin no modelo de Skyrme pode ser revertido [34, 35].
Consideremos, também, a componente tensorial do potencial. Para distâncias grandes (
r > 1; 2 fm) nossa predição para tal componente concorda
com a dos modelos
OBE.
Para distâncias menores, entretanto, existem dis-
crepâncias entre os próprios modelos
temse
VTOBE
D
14 MeV ,
OBE.
enquanto
r 0; 9 fm
+9 MeV . Em tais
Por exemplo, para
VTOBE
F
regiões nossos resultados se assemelham mais àqueles do modelo D.
A comparação (compacta) de nossos resultados com os do modelo
MCC
que se encontra na Fig. 4.4, permite as seguintes considerações. Analisando
os resultados da aproximação coletiva [36] ao modelo de Skyrme em
vêse que a magnitude e o sinal dos potenciais do
MCC
e da
AEL
SU(3),
são si-
milares. Entretanto a situação é diferente para o comportamento a longas
VC decaia basicamente
spinspin VS e tensorial VT no
distâncias. Embora nos dois casos o potencial central
do mesmo modo, o
MCC
alcance
dos potenciais
é muito mais longo do que na
MCC o único méson que
enquanto na
AEL
AEL.
Isto é compreensível, visto que no
determina a atenuação das funções radiais é o píon,
as componentes kaônicas são responsáveis pelas contribui-
ções spinspin e tensorial do potencial
N .
O alcance correspondente está,
portanto, associado à massa do káon, cerca de três vezes maior do que a do
píon. No potencial central estas diferenças não ocorrem devido à dominância
da contribuição piônica
L4 já discutida. Deve ser mencionado que em todos
76
os casos o comportamento dos potenciais a grandes distâncias obtido na
está em boa concordância com os resultados dos modelos
4.5
AEL
OBE.
Conclusões
Neste capítulo estudamos a interação híperonnúcleon na aproximação de
estado ligado AEL ao modelo de Skyrme em SU(3).
Vale enfatizar o fato
de que o modelo de Skyrme incorpora a simetria quiral e a expansão da
em grande
CDQ
Nc , de uma maneira bem elegante.
No caso da utilização da
AEL,
destacamos que relacionando a física de
setores com diferentes números bariônicos foi possível obter predições praticamente livres de parâmetros, em contraste com outras aproximações fenomenológicas.
Nossos cálculos estão fundamentados na
po solitônico com
aproximação produto para o cam-
B = 2, aproximação esta bastante adequada para as regiões
de médias e longas distâncias de separação enfocadas nos processos de espalhamento.
Cabe lembrar que, a muito curtas distâncias, em princípio, a aproximação
recomendade seria a
axialmente simétrica,
de modo a melhor reproduzir a
simetria toroidal favorecida numericamente.
Como já referido, as expressões utilizadas na
uma aproximação adiabática.
AEL
correspondem às de
Neste contexto, encontramos três classes de
contribuições ao potencial híperonnúcleon.
Um primeiro conjunto corres-
ponde a contribuições envolvendo os píons e oriundas do termo
ordem
Nc1
SU(2),
e em que os káons atuam simplesmente como espectadores.
As
Nc0 e correspondem às interações kaô1 foram desconsideradas no
Interações de ordem Nc
outras duas modalidades são de ordem
nicas direta e de troca.
de
77
presente trabalho.
Embora o formalismo desenvolvido neste capítulo seja adequado para
qualquer elemento de matriz da interação híperonnúcleon (diagonal ou não),
concentramonos nas expressões para a interação diagonal
N .
Estas são
ricas o suciente para exemplicar as diversas etapas de cálculo do modelo,
ao mesmo tempo em que resultam em simplicações nas expressões para os
potenciais, que levam a relações mais compactas e de mais fácil visualização
ao leitor. Somase a isto o fato de que os dados mais abundantes de que se
dispõe, referemse à interação
N .
O potencial central no modelo, resulta repulsivo em qualquer distância.
Este resultado está fortemente relacionado com a deciência da atração central intermediária do potencial de dois corpos obtida no modelo de Skyrme
em
SU(2).
Qualquer uma das soluções sugeridas para este problema na lite-
ratura acarretará, em nossa formulação, em contribuição atrativa adicional
no caso
N .
Em geral, os resultados por nós obtidos são similares àqueles da aproximação de coordenadas coletivas (MCC) ao modelo de Skyrme em
SU(3).
Exceção a isto referese ao alcance das interações spinspin e tensorial. Para estes alcances, os valores obtidos no presente cálculo, menores que as do
MCC,
parecem ser mais realísticos.
Finalmente, existem indicações de que o acoplamento a graus de liberdade vibracionais e rotacionais poderia originar a atração central não ocorrente
no modelo de Skyrme original, enquanto o acoplamento a estados rotacionalmente excitados poderia mudar o sinal da interação spinspin [35].
O
formalismo ora desenvolvido fornece o esquema básico para futuras investigações de tais questões com o uso da
AEL.
Capítulo 5
COMENTÁRIOS FINAIS
Embora a
Cromodinâmica Quântica CDQ seja aceita como a teoria fun-
damental das interações fortes, apresentando os hádrons como intrincadas
estruturas compostas de
quarks
e
glúons
e possibilitando cálculos consisten-
tes com os dados experimentais na região de grande momentum transferido,
enfrentamos grandes diculdades para trabalhá-la na região de pequeno momentum transferido. Neste intervalo os grandes valores da constante de acoplamento quarkglúon impedem o uso de técnicas perturbativas, o que leva
à busca de soluções mais simples, com aproximações de modelo embasadas
na
CDQ
e em suas
simetrias.
O trabalho pioneiro de 't Hooft em
CDQ
com grande número de cores,
Nc , foi fundamental para o aparecimento de toda uma classe de tais modelos.
Identicando 1=Nc como um parâmetro de expansão, 't Hooft mostrou que
no limite Nc ! 1 apenas os diagramas de Feynman planares sobrevivem [9],
o que permitiu a Witten demonstrar que, nesta situação, a
uma
CDQ
se reduz a
teoria efetiva de mésons interagentes, de onde os bárions emergem como
sólitons.
Tais sólitons topológicos já haviam sido construídos por Skyrme muito
tempo antes, tendo despertado pouco interesse à época. A conexão do modelo
de Skyrme com a
CDQ fez reviver o modelo e a partir do trabalho de Adkins,
Capítulo 5. Comentários Finais
79
Nappi e Witten várias aplicações a
N e mostraram a adequação do modelo
em
SU(2)
modelo a
o que motivou a proposição, pouco tempo depois, de extensões do
SU(3).
Estas extensões do modelo de sólitons topológicos a
SU(3)
visam descre-
ver não apenas os hádrons nãoestranhos, mas também os estranhos.
primeiras tentativas de extensão do modelo, entretanto, onde o quark
considerado como
s
As
era
leve, fracassaram tanto na descrição do espectro de massas,
quanto na das propriedades estáticas dos bárions.
Fundamentalmente, duas extensões do modelo de Skyrme em
SU(3),
SU(2)
a
com bons resultados na descrição dos hádrons com número bariônico
B = 1, tanto para o octeto quanto para o decupleto bariônicos, são propostas na literatura. Uma, o
modelo de coordenadas coletivas MCC trata os
graus de liberdade de isospin e de estranheza de mesma forma, enquanto a
outra, a
aproximação de estado ligado AEL dá um tratamento diferencia-
do a eles, tendo em vista a quebra de simetria relativa a estranheza, reetida
na grande diferença de massa entre os mésons nãoestranhos e os estranhos.
O estudo da interação entre dois bárions exige a investigação de sistemas
estranhos com
utilização do
a
B = 2.
Na literatura são encontrados resultados referentes à
MCC. Tendo em vista os interessantes
achados correspondentes
B = 1 com a AEL, e considerando a importância de investigar as diferenças
de efeitos destas duas aproximações, recorremos, neste trabalho, ao modelo de
Skyrme, em sua extensão
AEL
para o estudo da interação de dois corpos em
B = 2.
sistemas bariônicos estranhos caracterizados pelo número bariônico
O modelo utilizado constituise em uma aproximação relativamente simples
para a
CDQ,
no regime de baixas energias.
Dentre os principais méritos da
B = 0),
os setores mesônico (
AEL, podemos citar a capacidade de unir
B = 1)
bariônico (
B = 2)
e o dibariônico (
de uma maneira concisa e elegante e praticamente livre de parâmetros, visto
80
que os existentes estão, em princípio, ligados a dados experimentais no setor
mesônico.
A principal característica da
AEL,
é a de descrever os
híperons
como
estados ligados sólitonkáon, dando um tratamento diferenciado aos graus
de liberdade de estranheza do sistema analisado, em relação aos de isospin.
Enquanto o sóliton é considerado como um objeto rígido no setor
SU(2)
de isospin e quantizado pelo método das coordenadas coletivas, os graus
de liberdade de estranheza, encontrados nos káons, são tratados como modos
vibracionais. Esta imagem física de um híperon como um estado ligado káon
sóliton, pretende ressaltar, em nível de modelo, que a quebra da simetria de
sabor entre os bárions é importante, como evidenciamos nas diferenças entre
as massas dos bárions não estranhos e estranhos.
A boa descrição das propriedades estáticas e dinâmicas dos híperons,
em particular a marcante concordância dos valores calculados para massas e
momentos magnéticos das partículas com os valores experimentais e com predições do modelo de quarks, sugere que o conteúdo físico do modelo adotado,
de fato, se aproxima da realização na natureza.
Para uma visão mais abrangente da interação bárionbárion estudamos,
neste trabalho, dois tipos de sistemas com número bariônico
B = 2.
O
primeiro, em que as partículas se encontram ligadas, consiste dos denominados
dibárions
e o outro, em que as partículas
interagentes
não estão ligadas,
propicia a obtenção do potencial bárionbárion a distâncias variadas.
As contribuições originais desta tese encontram-se sobretudo descritas nos
capítulos 3 e 4 relativos, respectivamente, aos sistemas ligados e aos não
ligados estudados com a
AEL,
os resultados e conclusões para cada sistema
sendo apresentados ao nal do capítulo correspondente.
Resumimos aqui os pontos mais relevantes deste trabalho e algumas de
suas conseqüências.
81
Para o estudo dos dibárions utilizamos a
ca.
conguração axialmente simétri-
Tal escolha, mais adequada para sistemas ligados que a da
conguração
esfericamente simétrica justicase, inclusive, por ser uma aproximação mais
próxima para a conguração de energia mínima toroidal favorecida numericamente. Extremamente importante em suas consequências é o fato de que
os vínculos impostos pela simetria toroidal eliminam os estados espúrios do
espectro dibariônico encontrados em cálculos anteriores [71] que utilizaram a
conguração esférica, levando o espectro a concordar com aquele obtido no
modelo de quarks. Em particular, uma forma generalizada do princípio de
Pauli é obtida para os estados com estranheza par.
Predizse ainda, neste modelo, que a partícula
(2 quarks
H , um estado hexaquark
u, 2 quarks d e 2 quarks s) proposto por Jae no modelo de quarks,
é ligada, o que se deve principalmente à menor massa do sóliton com
B=2
B = 1. Esta ligação,
0
entretanto, pode desaparecer se uma contribuição de ordem Nc , os efeitos de
em relação à soma das massas de dois sólitons com
Casimir, à energia, que tendem a aumentar a massa do diskyrmion, fôrem
considerados.
Para o estudo da interação bárionbárion, para sistemas ligados, partimos
do princípio de que o modelo de Skyrme em
SU(2)
sucesso na obtenção do potencial de interação
das interações
NH
e
HH
já foi usado com algum
NN ,
de modo que o estudo
servem como um teste adicional para a aplicabi-
lidade do modelo e permitem destacar os efeitos adicionais do conteúdo de
estranheza dos híperons.
Como conguração inicial, usamos a
aproximação produto, uma vez que o
comportamento dos potenciais a distâncias muito curtas não é prioritário na
questão. Na aproximação em foco o sóliton com número bariônico
B=2é
representado pelo produto de dois sólitons esféricos na, conguração ouriço,
com
B = 1, reetindo o fato de que, nas médias e grandes separações entre
82
partículas, os sólitons não se fundem em uma conguração toroidal, permanecendo sobretudo esféricos. O modelo mostra a existência de três tipos de
contribuições ao potencial na aproximação adotada. Uma puramente devida
Nc1 , onde
0
os káons não desempenham qualquer papel e outras duas, de ordem Nc , que
aos sólitons, com estranheza nula (contribuição
correspondem às interações kaônicas ditas
SU(2)),
de ordem
direta e de troca.
Efeitos de ordem
menor são ignorados na presente simulação.
O formalismo desenvolvido é aplicável a sistemas estranhos de dois bárions, sendo os resultados numéricos apresentados para a interação
N , quer
por apresentar o maior número de dados experimentais, quer pela relativa
simplicidade dos cálculos.
Em particular, mostramos que os três tipos de
componentes do potencial estudados, a saber o potencial central, o potencial
spinspin e o potencial tensorial, são gerados naturalmente no modelo A falta
de atração central, deciência herdada do modelo de Skyrme em
ocorrente no cálculo da interação
SU(2)
e já
NN , se faz também presente aqui.
Em geral, excetuandose o problema associado com a atração central
intermediária, os resultados obtidos concordam com os de outras variantes
do modelo de Skyrme em
SU(3), em particular com os do MCC, no que tange
à magnitude e sinal da interação, parecendo, entretanto, mais realísticos
quanto ao alcance das interações spinspin e tensorial e também quanto a
comparação com predições de modelos
em spin do potencial
N
OBE.
Em particular, a dependência
é a mesma estimada por Millener
et al.
[97]
A crítica maior às predições do modelo relativas à deciência de atração
central pode ser abrandada pelas indicações de que o acoplamento a vibrações
radiais e a ressonância Ropper poderiam originar a atração central procurada.
Embora originalmente proposta como uma aproximação adequada ao estudo dos híperons do octeto e do decupleto de menor massa, a
AEL
relativa
ao modelo de Skyrme tem se mostrado muito eciente também na descrição
de híperons com sabores pesados,
83
charm
e
bottom,
e na descrição de bári-
ons exóticos, como híperons pentaquarks, multibárions e quarkonia pesados
[98, 99]. A principal incerteza no espectro de massas decorre provavelmente
das energias de Casimir para as congurações solitônicas toroidais (aproximadas pela
conguração axialmente simétrica),
um problema ainda em aberto.
No que diz respeito a sistemas interagentes, os resultados aqui obtidos, e o
e hipernúcleos, sugerem que se detalhe os cálculos
adicionais das interações N e canais acoplados N
N , em particular, e
também da interação híperon híperon, em geral, no modelo ( e , por
grande interesse nos
exemplo).
A atração central intermediária, já ausente na interação
NN , certamente
está a merecer estudos mais cuidadosos, podendo ser citadas, além das já
mencionadas, abordagens para a melhora da conguração inicial para os dois
sólitons interagentes e, ainda, a inclusão de termos estabilizantes de ordens
superiores no Lagrangeano do sistema.
Acreditamos que o trabalho apresentado contribui para o estudo das propriedades dos sistemas bariônicos estranhos, na avaliação da importância das
diferenças entre as massas dos mésons geradores dos bárions sobre a interação entre eles, na sistemática de determinação das interações bariônicas e
inclusive, em particular, no que diz respeito à possibilidade de existência de
estados estáveis em relação a decaimentos fortes.
Apêndice A
O SETOR SU(2)
Neste apêndice são apresentadas as expressões para o setor
de sólitons para a
conguração axialmente simétrica
bariônico genérico
n.
A densidade lagrangeana
LSU(2) = f4
2
SU(2) do modelo
relativa a um número
LSU(2), eq.(2.9) é, explicitamente
1
(@ u @ uy ) + 2 Tr [@ u ; @ uy ][@ u ; @ uy ]
32e
2
2
f m (1 cos F ) :
(A.1)
Tr
Recorrendo à conguração modicada (eq.(3.1))
u = exp [i~ ^n F (r)]
^n = sen cos ^{ + sen sen |^ + cos k^, a massa clássica tornase
um funcional de F (r ), ( ) and (), cuja expressão explícita é
com
M [F; ; ] =
Z
V
d3 r
(
"
!
#
f 2 0 2
sen2 0 2 sen2 F
2
0
F + +
2
sen2 r2
"
!
sen2 0 2
1 sen2 F
2
0
+
F 02
+
2
2
2
2e r
sen #
)
sen2 0 2 0 2 sen2 F
2
2
+
+ f m (1 cos F ) ;
sen2 r2
(A.2)
com
F0
dF
;
dr
0
dd
e
0
dd :
(A.3)
Apêndice A. O setor
85
SU(2)
M , em relação a cada variável esféricopolar, conduz a
uma equação de EulerLagrange relativa a cada uma das funções F (r ), ( )
and (). A primeira e mais simples, é
A minimização de
00 () = 0 :
(A.4)
() = n, sendo n o número
Usando esta função para , resulta para ( ) a equação
Devido à unicidade do campo quiral devese ter
bariônico.
!
n2
C1 sen + C2
sen2 00 +
sen !
sen2 2
C2 n
cos 0
2
sen C1
sen cos = 0;(A.5)
C2 0 2 n2
sen C1
com
C1 = 2
C2 = 2
Z1
0
Z1
0
dr sen2 F
dr
e
et al.
[38], usando
() = ,
a equação
C1 (1 n2 ) cos = 0 ;
satisfeita apenas para
n = 1.
(A.6)
n2 6= 1 existe instabilidade
n = 1 corresponde ao sóliton
Portanto, para
local. Desta forma, a solução para
=
e
esfericamente simétrico obtido com o ansatz
sim, os valores de
!
1 sen4 F
:
2e2 r2
Como mencionado por Kurihara
(A.5) se reduz a
f 2
1
+ 2 F 02
2 2e
e n na expressão
ouriço
(2.8). Substituindo, as-
genérica da massa (A.2), obtémse a
eq.(2.10).
Ao invés de resolver a eq.(A.5) numericamente, Kurihara
et al.
propõem
o uso da função tentativa apresentada na eq.(3.4),
() = +
X
k=1
gk sen (2k) ;
(A.7)
com os coecientes
gk
86
SU(2)
sendo determinados pela minimização da massa no
correspondente setor bariônico.
Finalmente, para o ângulo quiral
F (r) a equação resultante é
f 2 r2 + 21 sen2 F F 00 + 2f 2 r F 0 f 2 1 sen F cos F
e
sen3 F cos F
+ 21 F 0 2 sen F cos F 2 22
m2 f 2 r2 sen F = 0 ;(A.8)
2
e
e
r
com condições de contorno
F (0) = e F (1) = 0.
1 e 2 , já apresentadas na eq.(3.10), são
!
1Z sen2 2
0
2
d sen + n
e
1 =
2 0
sen2 2 !
n2 Z sen
2
2 =
d 0
:
2 0
sen As expressões explícitas para
O uso do método de coordenadas coletivas para a quantização do Lagran-
SU (2) conduz a termos dependentes de quatro momentos de inércia Ii ,
i = 1; :::; 4, os quatro últimos termos da eq.(3.15), sendo as formas explícitas
geano
destes momentos de inércia
Ii
=
Z1
0
dr r2 sen2 F
onde os coecientes
1 =
2 =
3 =
4 =
1 =
2 =
"
#
1 02
1 sen2 F
2
f + 2 F i + 2 2 i ;
e
e r
(A.9)
i e i são dados pelas integrais angulares abaixo
!
Z
sen2 2
0
2
d sen + n
;
(A.10)
tan2 0
Z
d sen (1 + cos2 ) ;
(A.11)
0
Z
2
d sen sen2 ;
(A.12)
0
8
;
(A.13)
3
Z
sen2 n2 d sen (1 + cos2 )0 2
;
(A.14)
sen2 !
0
Z
sen2 d sen 0 2 cos2 + n2 2
;
(A.15)
sen 0
87
SU(2)
Z
3 = 2
d sen 0 2 sen2 ;
0
8
4 = :
3
Observese que para
o que conduz ao modelo de Skyrme em
e
SU(2),
(A.18)
em que a equação diferencial
F (r) está dada em (2.11) e em que
SU(2)
Ii
(A.17)
= e n = 1 os coecientes acima se reduzem a
1 = 2 ; 2 = 1
i i 83 ;
para
(A.16)
"
2 F !#
1
sen
8 Z 1
2
2
dr r2 sen2 F f + 2 F 0 +
:
=
3 0
e
r2
(A.19)
Apêndice B
V ef EM AEL PARA B = 1
Neste apêndice são apresentadas as expressões explícitas constituintes do
potencial efetivo da
AEL, condensado na eq.(2.20), e da massa de um híperon.
Expandindo o campo que carrega a estranheza,
UK ,
até segunda ordem
nos operadores de káons, a conguração
q
q
U = U UK U
referida na eq.(2.16) tornase
U
p
q
q
q
q
' U + i f 2 U K U f12 U KK U :
K
K
(B.1)
Nesta ordem de aproximação a ação efetiva
=
Z
d4 x (L + LSk + LSB ) +
WZ
;
apresentada na eq.(2.14), conduz a um Lagrangeano em que é possível identicar claramente dois tipos de termos, um envolvendo puramente o campo
de píons massivos,
LSU(2), de ordem Nc1 , idêntico à densidade lagrangeana
de Skyrme [45] e apresentado na eq.(A.1) e outro, de ordem
pela interação entre o sóliton e o káon,
L. Assim,
Nc0 , responsável
L = LSU(2) + L = LSU(2) + L2 + L4 + LW Z + LSB ;
(B.2)
Apêndice B.
V ef
em
AEL
para
B
=1
89
com
L2
= (D K )y D K
L4
=
LW Z
=
LSB
=
K ya a K ;
1 n 2 K yK
Tr [a ; a ]
2
2e2 fK
+Tr (a a ) (D K )y D K
h
N
i c2 B K y D K
4fK
"
(B.3)
Tr
(a a ) (D K )y D K
o
3(D K )y [a ; a ] D K ;(B.4)
(D K )y K
i
e
(B.5)
#
1 f 2 2
m (1 cosF ) K y K :
2 fK2 m2
K
(B.6)
Nestas expressões
@ + v ;
21 (pu y@ pu pu @ pu y)
D
8
9
>
< v >
=
>
: a >
;
(B.7)
(B.8)
e
B (x)
=
Recorrendo à conguração
1 " Tr(L L L ) :
24 2
ouriço,
(B.9)
eq.(2.8), para o campo de píons e à
expansão em ondas parciais, eq.(2.21), para o campo de káons, obtemos a
equação de movimento (2.23) para as funções radiais
(
"
1 d 2
d
r
h
(
r
)
r2 dr
dr
onde
#
m2
K
Vefl (r) + "2l f (r)
kl (r) do káon, i.e.,
)
2S(r) kl (r) = 0 ; (B.10)
S é a estranheza do sistema, "l é a autoenergia do modo (l) (conven-
cionada sempre positiva),
h(r) = h1 (r) + h2 (r) = 1 +
1 sen2 F
;
2e2 fK2 r2
(B.11)
Apêndice B.
V ef
em
AEL
para
B
=1
90
F 02
h1 (r) = 1 + 2 2 ;
4e fK
1
sen2 F
h2 (r) =
2
4e2 fK2
r2
(B.12)
F 02
!
;
(B.13)
!
sen2 F
1
2
0
f (r) = 1 + 2 2 F + 2 2
4e fK
r
(r) =
e
(B.14)
Nc sen2 F 0 Nc
F = 2 B0 :
8fK2 r2
4fK
Finalmente, as componentes
(B.15)
V0 (r), V1 (r) e V2 (r), coecientes dos termos
central, isospinórbita e orbital do potencial, conforme denido em (2.20), e
que, após a inserção na equação radial (2.23), originam
Vefl (r) = V0 (r) + V1 (r)
( + 1) l(l + 1)
2
3=4
+ V2 (r) l(l + 1) ;(B.16)
podem agora ser identicadas:
"
!#
1
sen2 F
2sen4 F=2
2
0
1+ 2 2 F + 2
V0 (r) =
r2
4e fK
r
"
!
1
sen2 F
sen2 F
2
0
2 2
2F + 2
4e2 fK2
r
r
!#
d + F 0 senF sen2 F=2
dr
V1 (r) =
(
!
1 0 2 sen2 F
F +2 2
4
r
6 sen2 F 4
sen F=2
r2
r2
1 f 2 2
m (1
2 fK2 (B.17)
"
!#
4sen4 F=2
1
sen2 F
2
0
1+ 2 2 F + 2
r2
4e fK
r
"
3 1 sen2 F
cosF
2e2 fK2 r2 r2
#)
d 0
(F senF )
dr
"
!#
1
sen2 F
1
2
0
V2 (r) = 2 1 + 2 2 F + 2
:
r
4e fK
r
cosF ) ;
e
(B.18)
(B.19)
Apêndice B.
V ef
em
AEL
para
B
A gura B.1 mostra o potencial
e
=1
91
Vefl (r) para o estado fundamental = 12
l = 1, nos casos nãomassivo e massivo.
20
0
-20
-40
V 1ef1 (fm 2 )
2
-60
-80
-100
-120
0
Fig. B.1:
Potencial
0.5
1
V 1ef1 .
2
2
2.5
3
m =
m 6= 0
A curva de linha contínua referese ao caso
CJ 1)
(parâmetros CJ 3).
0
1.5
r(fm)
(parâmetros
e a de linha pontilhada, ao caso
Ademais, apresentamos a seguir as expressões gerais para a massa
de um híperon que contém
orbital) com energia
!1
n1
M
mésons do tipo 1 (indicando sabor e estado
e momentum angular
j1 e n2
mésons do tipo 2 com
!2 e momentum angular j2 e para a constante hiperna que dene o
espectro de massas [98]. A massa M , referida em (2.53), escrevese
energia
M (I; J; n1 ; n2 ; J1 ; J2 ; Jm ) =
Msol + n1 !1 + n2 !2
1
+ fI (I + 1) + (c1 + c2 ) [c1 J1 (J1 + 1) c2 J2 (J2 + 1)]
2
+c1 c2 Jm (Jm + 1) + [J (J + 1) + Jm (Jm + 1)
"
#)
c1 + c2 c1 c2 J1 (J1 + 1) J2 (J2 + 1)
I (I + 1)
+
;
2
2
Jm (Jm + 1)
(B.20)
Apêndice B.
V ef
em
AEL
para
B
=1
92
I é o isospin, Msol é a massa e é o momento de inércia do sóliton. J1 e J2 são os momenta angulares dos mesmos, do tipo 1 e do tipo
2, denidos como n1 j1 e n2 j2 , respectivamente, e Jm pode adotar os valores
jJ1 J2j; :::; (J1 + J2). Para o caso de um único sabor pesado, a fórmula de
massa acima se reduz à eq. (2.53). As constantes c1 e c2 são os coecientes
onde
de estrutura na para os estados mesônicos 1 e 2, obtidos como elementos
de matriz do Hamiltoniano rotacional surgido da quantização do sóliton como um rotor rígido. A expressão geral para um dado estado mesônico com
j
momentum angular
c = 1 2!
e momentum angular orbital
lé
Z1
n
dr r2 klj2 d(r)+ < l; 12 ; j jj~ jjl; 21 ; j >r a(r)
0
)
1
+
b(r)+ < l; 21 ; j jjL~ jjl; 12 ; j >r g (r) ; (B.21)
2j (j + 1)
onde
a(r) = (r)
b(r) =
g (r) =
(
!
1
3
2F 0
d(r) + 2 2 sen F
+ F 00
2
8e fH
r
)
F 02
sen2 F 2
+ 1 4 sen
F
;
r2
2
(
3
3 sen2 F
(r ) + 2 2
8e fH
r2
2F 0
sen F
+ F 00
r
F 02
2
1 4 sen
F
;
2
1 sen2 F
;
4e2 fH2 r2
"
!#
1
sen2 F
F
2
0
2
1+ 2 2 F + 2
(r) = sen
2
e fH
r
2F !
1
sen
2
d(r) = 1 + 2 2 F 0 + 2 2
:
4e fH
r
(B.22)
!
(B.23)
(B.24)
e
(B.25)
(B.26)
Apêndice B.
V ef
em
AEL
para
B
=1
93
Os elementos de matriz reduzidos relativos são
< l; 12 ; j jj~ jjl; 21 ; j
e
< l; 21 ; j jjL~ jjl; 12 ; j
Nestas expressões,
siderado.
fH
8
>
< 2
>r = > 2l2+1
:
; j = l 12
1
2l+1 ; j = l + 2
8
>
< 2l+2
>r = > 2l2+1
: l
; j = l 21
1 :
;
j
=
l
+
2l+1
2
(B.27)
(B.28)
representa a constante de decaimento do méson con-
Apêndice C
FUNÇÕES DE ONDA DOS
HÍPERONS
Neste apêndice apresentamos as funções de onda dos híperons na
aproxima-
ção de estado ligado.
A caracterização de um híperon, considerado como um estado ligado
káonsóliton no presente modelo, é obtida através do acoplamento do
~ do káon ligado, com o momentum angular total do sóliton.
spin assim obtidos são autoestados de momentum angular
estranheza
S 2.
grande
Os estados
J~2 , de isospin I~2
e de
Devese enfatizar que o isospin é totalmente oriundo do sóliton, pois o
IK = 1=2) acoplase ao momentum angular orbital
spin 1=2 de uma partícula (transmutação isospin !
isospin do káon ligado (
deste como se fosse o
spin).
Assim, para um híperon
Y , o estado
jY >= jI; Iz ; J; Jz >l
(C.1)
é representado pela função
Y
=
X
z
< J; Jz jI; Jz
z ; ; z > (II );J Kl ;
z
z
z
z
(C.2)
Apêndice C. Funções de onda dos híperons
onde
(II );J = 'I
z
s
z
95
2I + 1 I +I (I )
( ) D I ;J
2 2
z
z
(C.3)
z
jI; Iz ; Jz >, ou seja, é a função de onda do sóliton [100]
~2 j = jJ~2 j e com uma fase arbitrária para a qual adotamos o
com vínculo jI
representa o estado
valor
'I = ( )2i .
Além disto,
[101] e
Kl
z
D(II) ;J
z
z
são os elementos das matrizes de rotação de Wigner
é a onda parcial do káon ligado
Kl = kl (r)Yl (^r) ;
z
(C.4)
z
com os harmônicos esféricos espinoriais dados por
0 D
Yl (^r) = B@ D; z jl; z
1
1; 1; +1E Y
2 2 2 E l; 21 (^r) C
A :
; z jl; z + 12 ; 21 ; 12 Yl; + 21 (^r)
z
z
(C.5)
z
0.4
0.35
0.3
0.25
rk 21 1 (r) 0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
Fig. C.1:
0.5
1
1.5
r(fm)
2
2.5
3
rk 21 1 para = 12 e l = 1. A linha contínua
mostra o resultado para o caso m = 0 (parâmetros CJ 1) e a linha
pontilhada para o caso m 6= 0 (parâmetros CJ 3).
Funções de onda radiais
Apêndice C. Funções de onda dos híperons
Particularizando para o estado fundamental,
11
2
com
J
z
=
96
= 21 e l = 1, obtémse
p1 k(r)~ r^J ;
4
z
(C.6)
um espinor de 2 componentes.
A Fig. C.1 mostra as funções radiais reduzidas e normalizadas do estado
fundamental, para os casos de píons nãomassivos e massivos.
Apêndice D
REGRAS DE QUANTIZAÇÃO E
ISOSPIN DOS DIBÁRIONS
Existe na
aproximação de estado ligado,
assim como no caso do modelo de
Skyrme, uma ambiguidade, quanto à estatística (fermiônica ou bosônica),
na quantização do sóliton como um bárion
restrito ao
SU(3)
SU(2).
B quando o campo de fundo está
Além disso, não se tem informação sobre a qual multipleto
deve pertencer um estado ligado quantizado com momentum angular,
isospin e estranheza dados.
A m de evitar estas ambiguidades na
AEL,
Scoccola e Wirzba [102] sugerem introduzir um terceiro sabor degenerado
com
ued
por eles denominado de
funny strange
e embutir a premissa
pU U pU ), em SU(4)(f ) como segue:
sobre o campo U da eq.(2.16) (U =
K
0 q
U(f )
B
(
f
)
U =@
0
1
0 q
0 C (f ) B
A UK @
1
1
U(f ) 0 C
A :
0 1
(f ) indica tratarse do grupo funny de sabor
SU (4) tradicional. Aqui, U(f ) pertence a SU(3)(f ) ,
onde o índice
0
u
U(f ) = B
@
(D.1)
e não do grupo
1
0C
A ;
0 1
(D.2)
Apêndice D. Regras de quantização e isospin dos dibárions
UK(f ) tem, como função de K (f ) , a mesma forma que UK
(f ) sendo dado por
de K , K
0
1
0
1
+
K
C
KC B
B
C
B
(
f
)
0
B
K =@ A=B K C
C:
@
A
0
0
e
98
tem como função
(D.3)
Após a quantização via coordenadas coletivas dos graus de liberdade de
SU(3)(f )
u d e f ), o termo de Wess-Zumino1 conduz a um vínculo para a
(f )
hipercargadireita YD [102],
N B+S
YD(f ) = c
;
(D.4)
3
onde S é a estranheza física. (No que segue, a ausência do índice (f ) indica a
( ,
situação física real). A derivação desta relação considera apenas que o campo
do sóliton
u
pertence a
apresentado em (2.17).
rotor axial (SU(3)
SU(2) e
0
B
@
que
K
1
+
K C
A
tem a forma do isodubleto
;
K0
O resultado acima é também aplicável ao sistema
(f ) extendido)
com
n
Nc = 3 temse, portanto, o vínculo
2, onde n = B .
YD(f ) = 2 +
De todos os possíveis multipletos
apenas aqueles
Mínimos
triplete
p
mínimos
S
:
3
Para
B=2
e
(D.5)
(f ) dado pela equação acima,
SU(3)(f ) com YD
(que são os de menor energia) nos interessam aqui.
signica que são compostos de modo mínimo por representações
e antitriplete
q SU(3)(f ) ,
onde
p
e
q
identicam a representação
irredutível. Portanto
YD(f ) =
1
p + 2q
3
e
ID(f ) =
p
;
2
(D.6)
A derivação deste resultado é análoga àquela realizada para a quantização de um
skyrmion SU(3), onde, entretanto, o termo WZ conduz ao vínculo YD
= N3c B
[68].
onde
ID(f )
99
é o isospindireito.
SU(3)(f )
Os multipletos são então descritos por matrizes de rotação
DYp;q( ) I ( )I ( ) ;Y ( ) I ( )I ( ) (1 ; 2; :::; 8 ) ;
3
f
f
f
f
f
D
D
(D.7)
f
D;z
Y (f ) é a hipercarga de um membro do multipleto, I (f ) seu isospin, I3(f ) a
(f )
projeção do isospin no sistema laboratório e ID;z a projeção do isospin direito
onde
no sistema xo no sóliton.
Como a estranheza
(f)
foi introduzida apenas como uma grandeza auxi-
liar, os estados físicos devem pertencer àqueles submultipletos
dado
(f )
multipleto SU(3)
SU(2)
que não apresentem qualquer componente
de um
(f )
es-
tranha. Na prática isto signica que se trabalha apenas com a linha superior
de um dado multipleto mínimo
SU(3)(f ) .
Y = Y (f ) = YD(f )
Assim temse
I = I (f ) = ID(f ) = p=2 ;
e
(D.8)
Y e I são a hipercarga e o isospin dos estados físicos usuais.
(f ) (D.7) se torna
a matriz de rotação SU(3)
onde
DYp;q II3 ;Y
D
D
II3f ix
Neste caso,
(1 ; 2; :::; 8 ) ;
(D.9)
que é equivalente, no que diz respeito ao conteúdo de isospin, à matriz usual
de rotação de isospin em
SU(2)
DII3 ;I3
f ix
onde
I3
(1 ; 2 ; 3 ) ;
é a projeção do isospin no sistema laboratório,
sistema xo no sóliton e
1 ; 2; 3
(D.10)
I3fix
a projeção no
são os ângulos de Euler físicos para as
rotações do isospin.
As eqs.(D.5) e (D.6) possibilitam construir os multipletos
dos
SU(3)(f ) ,
S.
Para
S=0
os valores possíveis de
permiti-
B = 2 e uma
(p; q ) são (p; q ) =
para uma conguração de estado ligado com
dada estranheza
(f)
(0; 3); (2; 2); (4; 1)
e
(6; 0),
100
que correspondem aos multipletos de sabor de
10, 27, 35 e 28. Para S = 1, encontrase
(p; q ) = (1; 2); (3; 1) e (5; 0), que correspondem respectivamente aos mul(f ) : 15, 24 e 21. Notese que estes números são os mesmos que
tipletos SU(3)
6 quarks usuais, a saber,
os dos multipletos de 5 quarks
SU(3)
que se obtém depois de remover um
quark do sistema de 6 quarks.
S YD(f ) p q SU(3)(f ) repres. I = ID
0
2
0
3
10
0
-1
-2
-3
-4
Tab. D.1:
5/3
4/3
1
2/3
2
2
27
1
4
1
35
2
6
0
28
3
1
2
15
1/2
3
1
24
3/2
5
0
21
5/2
0
2
6
0
2
1
15
1
4
0
15
2
1
1
8
1/2
3
0
10
3/2
0
1
3
0
2
0
6
1
-5
1/3
1
0
3
1/2
-6
0
0
0
1
0
Multipletos
tema
(f)
B = 2.
(p; q ) permitidos, para os estados ligados do sis-
Na Tabela D.1 estão relacionados todos os multipletes
para congurações de estado ligado com
6.
B =2
101
(f) mínimos (p; q )
e estranheza
S
entre
0
e
Da tabela se pode deduzir que os estados caracterizados pela matriz
de rotação (D.9) do campo de fundo correspondem, no modelo de quarks,
àquelas congurações de sabor de quarks mínimas que envolvem apenas os
quarks
ued
o multipleto
d.
de um dado estado com
(f)
B = 2.
S= 6
conteúdo de u e
Por exemplo, para
é um singleto, assinalando que não existe
S = 6) é assumido pelos
com n = 2. Observese que
O papel dos quarks estranhos (6 no sistema
káons acoplados ao campo solitônico de fundo
B = 2 com S 7 ou S 1 corresponde a um multipleto
nãomínimo SU(3)(f ) para o rotor.
qualquer estado
Com este formalismo conseguese, então, resolver a ambiguidade associada à estatística das partículas estranhas construídas na
AEL.
Apêndice E
ELEMENTOS DE MATRIZ
COLETIVOS
Reunimos neste apêndice algumas das expressões utilizadas para o cálculo
dos elementos de matriz dos diversos termos do Lagrangeano de interação do
Cap. 4 quantizado coletivamente.
A rotação lenta do isospin do sóliton (2.40) apresentase como equivalente
a uma rotação espacial. Explicitamente,
Cu C y = Cei~ r^ F (r) C y
= eiC~ r^C F (r)
y
= ei
a
Rab r^b F (r)
= u (Rr^) ;
onde
Cj C y = a Raj .
Em base cartesiana temse
i
1 h
y
Tr a Cb C
2
e em função do tensor esférico de componentes D (C ),
Rab (C ) =
Rab = e^ eâ e^ e^b D ;
sendo
e^ ,
com
cartesianos.
(E.1)
= +1; 0; 1,
os vetores unitários esféricos usuais e
(E.2)
(E.3)
eâ
os
Apêndice E. Elementos de matriz coletivos
103
Usando (E.3) e as seguintes relações envolvendo coecientes de Wigner
0
B
@
0
B
@
1
C eî e^j e^k
A a b c
1 1 1
a b c
pi ijk
6
=
1
e
(E.4)
1 1 1 C i j k
pi ijk ;
A eâ e^b e^c =
6
a b c
1
0
1 +m
1
1
C = ( 1)p 2
B 1 2
2
< m0 j a jm >
A
@
0
6
a m m
1
( 1) 2 +m +a
p
=
< mj a jm0 > ;
6
(E.5)
0
(E.6)
0
(E.7)
onde, na última linha, utilizamos
( 1)a < 12 m0 ja j 12 m > = < 12 mj
podese mostrar que
(1=2) D(1=2) = ( )m
Dmn
mn
0
0
m
0
0
1
2j + 1 B
@ 2
00
(E.8)
1
0
j C j B 21
A Dm n @
m0 m00
n
m
00
j 21 m0 > ;
1
2
X q
j;m ;n
a
00
00
1
Æmm Ænn + < m0 j a jm > Rab < nj b jn0 > ;
2
0
1
2
j
n0 n00
(E.9)
0
expressão bastante útil ao cálculo dos elementos de matriz. Esta determinação implica em uma integração em
SU(2).
Resultam, para produtos de 2 e
Rab , as integrais sobre as variáveis coletivas C
1 Z
1
(E.10)
dC Rab Rcd = Æac Æbd ;
2
2Z
3
1
1
dC Rab Rcd Ref = ace bdf :
(E.11)
2
2
6
3 operadores de rotação
Usando as formas explícitas das funções de onda coletivas que representam
os vetores de estado das partículas
eN
j >
= jI ; Iz ; Jz > !
jN >
= jIzN ; JzN > !
no modelo de sólitons,
p1 D(II);J 2
z
z
;
z
1
i
( 1) 2 +I3 D(1I=32);J3 ;
N
N
N
1
C
A
(E.12)
(E.13)
Apêndice E. Elementos de matriz coletivos
104
os elementos de matriz relevantes podem ser facilmente calculados.
Para os termos diretos, por exemplo,
Z
1
1+I3 +I3 dA1 (D( 12 )
D( 12 )
(
)
)
I3 ;J3
4
I3 ;J3
4
Z
dA2 (D(0)I3 ;J3 3 )D(0)I3 ;J3 3
= ÆI3 ;I3 ÆJ3 ;J3 ÆI3 ;I3 ;
(E.14)
< 02 N10 j2 N1 > =
N
N
onde usamos (4.20),
N0
N
0
N
N0
N0
N0
0
0
N
N
0
0
C = Ay1 A2 , e as propriedades
Dij (BA) = Dik (B )Dkj (A)
(Dij (A)) = ( )i j D
i; j (A)
e
(E.15)
:
(E.16)
Da mesma forma,
< 02 N10 jRab (C )j2 N1 > = 0 ;
1
< 02 N10 jRab (C )Rcd (C )j2 N1 > = Æac Æbd < 02 N10 j2N1 >
3
(E.17)
(E.18)
e para os termos de troca,
<
Æ
01 N20 jOy (K1 )C O (K2 )j2 N1 >= I3 2;I3
N
N0
< J3
0
jOy (K1 )jJ3N >< J3N jO(K2 )jJ3 >
0
e
(E.19)
ÆI N ;I N 0
0
0
< 01 N20 jOy (K1 )C O (K2 )Rab (C )j2 N1 >= 3 3 < J3 jO y (K1 )a jJ3N >< J3N jb O(K2 )jJ3 > :
6
(E.20)
Apêndice F
FORMAS EXPLÍCITAS PARA Lk4
As contribuições ao potencial
N
oriundas dos termos quártico e de que-
bra de simetria do Lagrangeano são, como mencionado no Cap.
4, muito
extensas, o que nos fez optar por indicar em apêndice como procedemos ao
calculálas.
Da mesma forma que os outros termos da densidade lagrangeana, podemos escrever cada uma destas contribuições como a soma de tres partes, de
acordo com a relação (4.10), i.e.,
L(int)
=
Ld + Lkd + Lke ;
o que perfaz um total de 240 termos após a substituição da
produto
aproximação
(4.3), expandida até segunda ordem nos campos kaônicos.
A obtenção destes termos, bem como da forma nal para a integração
numérica para o potencial, foi possível mediante a elaboração de códigos
computacionais algébricos com o programa
R
Mathematica
.
A título de exemplo vamos apresentar o uso destes códigos na obtenção
da contribuição kaônica direta ao potencial central
O programa
l4terms.m
N .
a seguir calcula e relaciona os 240 termos de
a soma dos mesmos constando em
L4,
l4int.
De posse de tal relação, o passo seguinte é promover a quantização via
Apêndice F. Formas explícitas para Lk4
106
coordenadas coletivas, expressas na coordenada relativa
classicar os termos como
diretos
ou
de troca,
C dada em (4.20), e
bem como identicar as com-
ponentes que dão contribuições nulas ao potencial (i.e., termos que contêm
expressões como (4.23)).
encontrase em
Isto é feito com o código
sortl4.m
e a listagem
terms.
Finalmente, o código
l4d.m
calcula explicitamente a expressão a ser inte-
grada numericamente e que fornece a contribuição kaônica direta ao potencial
central
e
N .
addd4.m),
Códigos auxiliares (u2e.m,
repe.m, commone.m, dots.m, intd.m
não explicitados aqui, são necessários para a forma nal da
contribuição e devem ser processados antes de
addd4.m
l4d.m.
Finalmente o código
soma todas as contribuições e as escreve em formato Fortran (l4d).
As contribuições kaônicas
de troca, bem como as contribuições devidas ao
termo de quebra de simetria são calculadas de maneira análogas.
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