9- Diagramas de fluxo de sinal

REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS
DIAGRAMAS DE FLUXO DE SINAL
grafo orientado em que os nós representam sinais e os ramos funções
de transferência que se designam por ganhos ou transmitância
exemplo:
x1
a
x2
x2 = ax1
Definições:
•
ramos de entrada
•
ramos de saída
•
nó de entrada (fonte): só tem ramos de saída (variáveis independentes).
•
nó de saída (sorvedouro): só tem ramos de entrada (variáveis dependentes).
•
nó misto: tem ramos de entrada e ramos de saída.
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS
DIAGRAMAS DE FLUXO DE SINAL
Cada nó num diagrama de fluxo de sinal, soma todos os sinais
provenientes dos ramos de entrada, e disponibiliza a soma em
todos os ramos de saída.
exemplo:
x
u
d
w
a
b
v
c
y
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS
DIAGRAMAS DE FLUXO DE SINAL
• Aberto - cada nó do é percorrido apenas uma vez;
• CAMINHO: Sequência de ramos
ligados, entre um nó origem e um nó
destino, percorrida no sentido das setas.
• Fechado (ciclo) - cada nó é percorrido apenas uma vez,
excepto o nó de origem que coincide com o destino,
• Nem aberto nem fechado - passa por pelo menos um nó
mais do que umas vez e termina num nó diferente daquele
que começou.
•
Caminho directo: caminho aberto em que o nó de origem é uma entrada (fonte) e o nó
de destino é uma saída (sorvedouro).
•
Ganho do caminho: produto das transmitâncias dos ramos que formam o caminho.
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS
DIAGRAMAS DE FLUXO DE SINAL
• Simplificação
Análise de um diagrama
de fluxo de sinal
• Fórmula de Mason
SIMPLIFICAÇÃO
série:
x1
a
b
x2
x3
a
≡
x1
ab
x3
≡
x1
a+b
x2
paralelo:
x2
x1
b
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS
DIAGRAMAS DE FLUXO DE SINAL
nó misto:
x1
x1
x3
a
c
x4
≡
x4
ac
b
bc
x2
x2
auto-ciclo:
x1
a
x2
b
≡
x1
a
1− b
x2
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS
DIAGRAMAS DE FLUXO DE SINAL
x1
y1
x2
y2
xm
•
•
•
SFG
y1 = T11 x1 + T12 x2 + ... + T1m xm
y2 = T21 x1 + T22 x2 + ... + T2 m xm
•
•
•
yr = Tr1 x1 + Tr 2 x2 + ... + Trm xm
•
•
•
yr
T11
x1
SIMPLIFICANDO O SFG,
x2
ELIMINANDO OS NÓS
•
•
•
x
MISTOS:
m
y1
y2
Trm
•
•
•y
r
•
Cada saída pode ser calculada pelo PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO
•
Definição: Tij – TRANSMITÂNCIA GLOBAL entre a entrada xj e a saída yi
•
Tij – pode ser determinada recorrendo-se à FÓRMULA DE MASON:
p
T=
∑T ∆
n =1
n
∆
n
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS
DIAGRAMAS DE FLUXO DE SINAL
p
T=
•
•
n =1
n
n
∆
Tn - Transmitância do caminho directo de ordem n que liga a entrada à saída.
¾
•
∑T ∆
Caminho directo: caminho aberto em que o nó de origem é uma entrada (fonte)
e o nó de destino é uma saída (sorvedouro).
∆ - Determinante do grafo: ∆ = 1 − ∑ L1 + ∑ L2 − ∑ L3 +…
L1 - Transmitância de cada ciclo;
∑ L1 somatório das transmitâncias de todos os
ciclos.
•
L2 - Produto das transmitâncias de pares de ciclos disjuntos;
∑ L2 somatório dos produtos das transmitâncias de pares de ciclos disjunto.
•
L3 - O mesmo que L2, mas, considerando-se de cada vez 3 ciclos disjuntos
•
∆ n - Determinante do co-factor de ordem n.
•••
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS
DIAGRAMAS DE FLUXO DE SINAL
Exemplo*:
Diagrama de fluxo de sinal:
*John
J. D’Azzo; Constantine H. Houpis, “Linear Control System Analysis and Design Conventional and Modern, McGRAW-HILL
INTERNATIONAL EDITIONS, 1988.
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS
DIAGRAMAS DE FLUXO DE SINAL
p
T=
∑T ∆
n =1
∆ = 1 − ∑ L1 + ∑ L2 − ∑ L3 + …
• ∑ L1 = −G1G2G3G5 − G2G3G5 H 3 − G2 H1 − G5 H 2
• ∑ L2 = ( −G2 H1 )( −G5 H 2 ) = G2 H1G5 H 2
• ∑ L3 = 0
• ∆ = 1 + G1G2G3G5 + G2G3G5 H 3 + G2 H1 + G5 H 2 + G2 H1G5 H 2
n
∆
n
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS
DIAGRAMAS DE FLUXO DE SINAL
p
T=
∆ = 1 − ∑ L1 + ∑ L2 − ∑ L3 + …
Quantos caminhos directos? 1
∑T ∆
n =1
n
n
∆
T1∆1
T=
∆
T1 = G1G2G3G5
∆1 = 1
•••
T=
G1G2G3G5
1 + G1G2G3G5 + G2G3G5 H 3 + G2 H1 + G5 H 2 + G2 H1G5 H 2