O problema dos aniversários e a negação da intuição A Matemática

O problema dos aniversários e a negação da intuição
A Matemática, por si mesma ou em suas aplicações, por vezes apresenta
resultados irrefutáveis cuja aceitação intuitiva é muito difícil. No campo das
aplicações, por exemplo, as ferramentas matemáticas não deixam quaisquer dúvidas
sobre a Teoria da Relatividade, como já comprovaram há décadas os físicos, mas que
ainda parece estranha a idéia de relatividade do tempo: é muito difícil imaginar que
um ano para alguém seja equivalente a cinco anos para outro, e ter que pensar que
alguém possa envelhecer mais rápido que outras pessoas.
Alguns campos da Matemática são ricos em problemas que ‘atentam’ contra a
intuição, sendo provavelmente o campo da Teoria das Probabilidades o de maior
número de questões com esta dificuldade. Aqui vou apresentar um problema que há
tempos me chamou a atenção, o problema os aniversários. A questão geral é a
seguinte: em um grupo de n pessoas, qual a probabilidade de ao menos duas fazer
aniversário no mesmo dia?
Logicamente, tudo depende do tamanho de n. Em um primeiro momento, é
certo que se n=366 (em um ano de 365 dias), ao menos duas nasceram na mesma
data. Também parece certo que se n for um número pequeno, como algo em torno de
50 pessoas, a probabilidade é quase nula, afinal, poucos conhecemos pessoas que faz
aniversário no mesmo dia que nós. É justamente aí que reside o problema, pois já é
fácil a demonstração de que com 23 pessoas já há uma probabilidade de 50%. Os
cálculos eu faço adiante.
Em verdade desde quando tomei contato com este problema vivo às voltas com
sua aceitação, e até já o coloquei para pessoas mais próximas, tendo me certificado
que também a maioria se surpreende com o que descobre. Alguns dizem, inclusive,
que jamais conheceram alguém que tenha a mesma data de aniversário, e eu mesmo
me achava com sorte de ter descoberto que um de meus amigos também nasceu em
20 de junho (este, por outro lado, nasceu na mesma data do mesmo ano). Vamos ao
problema com o que a Matemática oferece:
A solução do problema vem da análise de complementaridade das
probabilidades. Assim, iniciamos com a probabilidade de que n pessoas nasçam em
dias distintos, e encontramos o complemento desta probabilidade como sendo a
probabilidade de que ao menos duas pessoas nasçam no mesmo dia, ou seja,
P(duas ou mais no mesmo dia)=1-P(n pessoas nasçam em dias diferentes)
Considerando diferentes possibilidades de n, temos
Para n=2, temos duas pessoas, a primeira com 365 dias disponíveis em 365
possíveis, e a segunda com 364 em 365. Logo, pelo princípio multiplicativo,
P(duas ou mais no mesmo dia) = 1 – 365.354
365.365
O resultado é 0,274%, o que não deixa dúvidas: é praticamente impossível que
duas pessoas reunidas façam aniversário no mesmo dia. Considerando em ordem
sucessiva, a utilizando somente o referencial analítico, temos:
Para n=3, P(duas ou mais no mesmo dia) = 1 – 365.354.363
365.365.365
Para n=4, P(duas ou mais no mesmo dia) = 1 – 365.354.363.362
365.365.365.365
Para n=5, P(duas ou mais no mesmo dia) = 1 – 365.354.363.362.361
365.365.365.365.365
Já é possível verificar que, o termo fracionário do segundo membro segue um
padrão combinatório, no qual o numerador indica a permutação de 365, e
denominador retrata uma potência do mesmo número, ambos na base do número
de pessoas reunidas. De um modo genérico, no numerador temos a permutação
(365)n, e no denominador temos a potência (365)n, e, portanto, temos a fórmula
geral para o cálculo abaixo.
P(duas ou mais no mesmo dia) = 1 – (365)n
(365)n
A fração do segundo membro é um produto que diminui rapidamente, uma vez
que a potência do denominador cresce muito rapidamente, ao passo que o
produto do numerador cresce muito lentamente. Vejamos os resultados gerados no excel
para conjuntos de 1 a 90 pessoas:
n
P1
P2
n
P1
P2
n
P1
1
1,000000
0,000000
31
0,269545
0,730455
61
0,004911
2
0,997260
0,002740
32
0,246652
0,753348
62
0,004090
3
0,991796
0,008204
33
0,225028
0,774972
63
0,003396
4
0,983644
0,016356
34
0,204683
0,795317
64
0,002810
5
0,972864
0,027136
35
0,185617
0,814383
65
0,002317
6
0,959538
0,040462
36
0,167818
0,832182
66
0,001904
7
0,943764
0,056236
37
0,151266
0,848734
67
0,001560
8
0,925665
0,074335
38
0,135932
0,864068
68
0,001274
9
0,905376
0,094624
39
0,121780
0,878220
69
0,001036
10
0,883052
0,116948
40
0,108768
0,891232
70
0,000840
11
0,858859
0,141141
41
0,096848
0,903152
71
0,000679
12
0,832975
0,167025
42
0,085970
0,914031
72
0,000547
13
0,805590
0,194410
43
0,076077
0,923923
73
0,000439
14
0,776897
0,223103
44
0,067115
0,932885
74
0,000351
15
0,747099
0,252901
45
0,059024
0,940976
75
0,000280
16
0,716396
0,283604
46
0,051747
0,948253
76
0,000223
17
0,684992
0,315008
47
0,045226
0,954774
77
0,000176
18
0,653089
0,346911
48
0,039402
0,960598
78
0,000139
19
0,620881
0,379119
49
0,034220
0,965780
79
0,000109
20
0,588562
0,411438
50
0,029626
0,970374
80
0,000086
21
0,556312
0,443688
51
0,025568
0,974432
81
0,000067
22
0,524305
0,475695
52
0,021995
0,978005
82
0,000052
23
0,492703
0,507297
53
0,018862
0,981138
83
0,000040
24
0,461656
0,538344
54
0,016123
0,983877
84
0,000031
25
0,431300
0,568700
55
0,013738
0,986262
85
0,000024
26
0,401759
0,598241
56
0,011668
0,988332
86
0,000018
27
0,373141
0,626859
57
0,009878
0,990123
87
0,000014
28
0,345539
0,654462
58
0,008335
0,991665
88
0,000011
29
0,319031
0,680969
59
0,007011
0,992989
89
0,000008
30
0,293684
0,706316
60
0,005877
0,994123
90
0,000006
n - Número de pessoas
P1 - Probabilidade de aniversários em datas distintas
P2 - Probabilidade de pelo menos duas pessoas com aniversário no mesmo dia
P2
0,995089
0,995910
0,996604
0,997191
0,997683
0,998096
0,998440
0,998726
0,998964
0,999160
0,999321
0,999453
0,999561
0,999649
0,999720
0,999777
0,999824
0,999861
0,999891
0,999914
0,999933
0,999948
0,999960
0,999969
0,999976
0,999982
0,999986
0,999989
0,999992
0,999994
Para interpretar estes valores de probabilidades, deve-se entender que, em um grupo
de tamanho n de pessoas, espera-se que haja pelo menos duas com a mesma data de
aniversário, dentre as 365 possíveis, não sendo necessário que hajam nascido no mesmo dia
de um mesmo ano. O valor da probabilidade tem mais sentido não em um grupo em si, mas
quando analisamos conjuntos de grupos. Assim, tomando, por exemplo, um grupo de 23
pessoas, na qual há 50,7% de probabilidades de que pelo menos duas pessoas tenham
nascido no mesmo dia do ano, indica que em um número suficientemente grande de grupos
com 23 pessoas, por exemplo, 100 grupos, em aproximadamente metade (no nosso caso 50)
teremos tal observação.
Pensando assim, torna-se aceitável, afinal, tivemos várias experiências, mas não
foram o bastante para configurar um grande número de grupos. Por outro lado, quando
pensamos em grupos de 60 pessoas, por exemplo, a probabilidade já passa a ser de 99,4%, ou
seja, nos nossos 100 grupos do exemplo anterior, em pelo menos 99 já teríamos tal
ocorrência. Agora parece que tudo novamente se complica.
Estes resultados são verdadeiramente surpreendentes, e, apesar de exatos em termos
matemáticos, realmente são difíceis de serem aceitos. Em verdade, a maioria das pessoas já
conviveu com grandes grupos de pessoas. Eu mesmo convivi com diversas turmas como
aluno e como professor, mas não lembro de qualquer delas nas quais houvesse esta
coincidência. Para ficarmos não muito entristecidos com este fato, apresento algumas outras
informações sobre nossa importante data de aniversário, considerando diversos contextos
distintos.
Contexto
País Brasil
Estado do Ceará
Cidade de Fortaleza
Estádio em dia de clássico
N. de pessoas
180000000
6000000
2500000
40000
Pessoas com iguais datas de aniversário
493151
16438
6849
110
O quadro indica que, no Brasil, aproximadamente 500 mil pessoas fazem aniversário
no mesmo dia. No Estado do Ceará, mais de 16 mil pessoas tem a mesma data de
aniversário, e somente em Fortaleza, quase 7 mil pessoas comemoram aniversário na mesma
data. Finalizando, em um dia de clássico, como Fortaleza versus Ceará, tem-se cerca de 110
pessoas com a mesma data de aniversário, inclusive naquele dia do jogo, cada um querendo
a vitória como presente.