Capítulo 11

Capítulo 11
Análise Estrutural Considerando
Incertezas Paramétricas Fuzzy
Fabian Andres Lara-Molina∗, Edson Hideki Koroishi e Valder Steffen Jr
Resumo: Este capı́tulo apresenta uma metodologia para a análise das incertezas nos parâmetros na
resposta dinâmica de estruturas. A simulação numérica é realizada mapeando os parâmetros fuzzy no
modelo do sistema com ajuda da otimização de cortes-α. A aplicação desta metodologia é demostrada
mediante o estudo de três sistemas diferentes: um sistema massa-mola-amortecedor, uma suspensão
automotiva com dois graus de liberdade e um rotor flexı́vel modelado com ajuda do Método dos Elementos
Finitos Fuzzy. Os resultados obtidos das simulações numéricas são a resposta temporal e a Função de
Resposta em Frequência.
Palavras-chave: Análise de incertezas, Otimização, Variáveis fuzzy, Dinâmica de rotores.
Abstract: This chapter introduces a straightforward methodology to analyze the effect of parameter
uncertainty on the structural dynamic response. The numerical simulation is performed by mapping the
fuzzy uncertain parameters on the model of the system by means of the α-level optimization. The application
of this methodology is demonstrated by studying three different systems: a mass-spring-damping system,
an automotive suspension system of two degrees of freedom and a flexible rotor modeled with aid of Fuzzy
Finite Element Method. The numerical simulations of the fuzzy systems lead to the corresponding time
domain responses and frequency response functions.
Keywords: Uncertainty analysis, Optimization, Fuzzy variables, Rotor dynamics.
Conteúdo
1
2
Introdução ................................................................................................................................134
Análise Estrutural com Parâmetros Fuzzy ...............................................................................135
2.1 Modelos com entradas fuzzy ............................................................................................135
2.2 Conjuntos fuzzy ...............................................................................................................135
2.3 Otimização de cortes-α ....................................................................................................136
2.4 Elementos finitos fuzzy ....................................................................................................137
3 Modelo do Rotor Flexı́vel.........................................................................................................137
4 Resultados e Discussão.............................................................................................................138
4.1 Sistema massa-mola-amortecedor ....................................................................................138
4.2 Sistema com dois graus de liberdade ...............................................................................139
4.3 Rotor flexı́vel....................................................................................................................140
5 Conclusões................................................................................................................................143
∗ Autor
para contato: [email protected]
Lobato et al. (Ed.), (2014)
DOI: 10.7436/2014.tica.11
ISBN 978-85-64619-15-9
134
Lara Molina et al.
1. Introdução
Atualmente, as aplicações industriais requerem sistemas mecânicos que trabalhem com um
desempenho ótimo sob determinadas condições de operação, o que implica: alta confiabilidade,
robustez a condições ambientais e baixos requisitos operacionais. Consequentemente, faz-se
necessário desenvolver modelos numéricos realistas que considerem adequadamente as incertezas
nos parâmetros e nas entradas dos sistemas. As incertezas nos modelos têm sido consideradas em
diversas áreas da engenharia, tais como dinâmica de estruturas (Ghanem & Spanos, 1991), dinâmica
de rotores (Koroishi et al., 2012), (Didier et al., 2012) e robôs manipuladores (Lara-Molina et al.,
2012), entre outras.
Na modelagem dos sistemas dinâmicos as incertezas são consideradas utilizando principalmente
três abordagens diferentes (Möller & Beer, 2004). Na primeira abordagem, as incertezas são
consideradas através de uma formulação probabilı́stica (baseada na teoria das probabilidades); assim,
as incertezas são representadas através de uma distribuição de probabilidades. Na segunda, as
incertezas são modeladas através de intervalos previamente definidos. Na terceira, as incertezas são
abordadas usando a teoria das possibilidades.
Neste contexto, as incertezas paramétricas, nos modelos numéricos dos sistemas dinâmicos,
têm sido tipicamente representadas utilizando uma abordagem probabı́listica. Segundo esta
abordagem, os parâmetros concentrados são modelados através de variáveis aleatórias com uma
função de densidade de probabilidade arbitrária e os campos ou processos aleatórios são modelos
através da expansão de Karhunen-Loève (Ghanem & Spanos, 1991). Fundamentalmente, a
simulação numérica dos modelos estocásticos é realizada com métodos que amostram a função de
densidade de probabilidade. Neste caso, o principal método é a simulação de Monte-Carlo, que é
computacionalmente intenso. Para reduzir o custo computacional é utilizado o hipercubo latino. Por
outro lado, tem-se o Polinômio de Caos, que é um método que não amostra a função de distribuição
de probabilidade. Este método tem demostrado uma alta eficiência em simulações com poucas
variáveis aleatórias que possuem uma grande dispersão (Xiu, 2010).
Como alternativa aos métodos estocásticos tem-se a utilização da lógica nebulosa (fuzzy) para
modelar a incerteza. Mediante a lógica fuzzy é possı́vel descrever informações incompletas e
imprecisas. A teoria dos conjuntos fuzzy foi formulada inicialmente por Zadeh (1965) para tratar
do aspecto vago que pode envolver a informação. Posteriormente, Zadeh desenvolveu a teoria das
possibilidades baseada nos conjuntos fuzzy, que pode ser comparada à teoria das probabilidades, para
abordar a incerteza da informação (Zadeh, 1978). Conceitualmente, a teoria dos conjuntos fuzzy e
das possibilidades estão intimamente ligadas; portanto, é possı́vel tratar a incerteza e imprecisão de
um conjunto de informações mediante a teoria dos conjuntos fuzzy. Através da teoria dos conjuntos
fuzzy são modeladas incertezas nas quais é desconhecido o processo estocástico que as descreve.
Neste contexto, Moens & Hanss (2011) apresentam uma revisão da literatura das aproximações não
probabilı́sticas utilizadas na análise de incertezas paramétricas e aplicadas no método dos elementos
finitos. As duas aproximações principais apresentadas neste trabalho para modelar as incertezas
são: análises intervalares e lógica fuzzy. Estas duas aproximações requerem a solução de problemas
de análise intervalar. Desta forma, atualmente as pesquisas desenvolvidas nesta área visam a
implementação e solução do problema de análise intervalar. Na simulação computacional de modelos
fuzzy, as incertezas são modeladas com medidas fuzzy que utilizam o corte-α. Nestas medidas fuzzy,
o valor exato dos parâmetros é desconhecido, mas limitado em um intervalo ponderado por uma
função de pertinência. Por esta razão, para simular os sistemas fuzzy, é utilizada fundamentalmente
a análise intervalar de sistemas dinâmicos (Puig et al., 2005).
Em conformidade com a abordagem baseada na lógica nebulosa, neste capı́tulo será utilizada
a teoria dos conjuntos fuzzy para modelar as incertezas paramétricas. A finalidade de utilizar
esta abordagem é apresentar um método alternativo para modelar a incerteza de uma forma
não probabilı́stica, e assim simular o modelo numérico de estruturas considerando a variação dos
parâmetros. Desta forma, é possı́vel avaliar o efeito das incertezas na resposta dinâmica das
estruturas.
Diante do que foi apresentado, este capı́tulo tem como propósito apresentar uma metodologia
para a modelagem e simulação da resposta dinâmica de estruturas com incertezas nos parâmetros
utilizando uma abordagem baseada em lógica fuzzy. Para este propósito, os parâmetros com incerteza
dos sistemas considerados são mapeadas no modelo com ajuda da otimização de cortes-α (Möller &
Beer, 2004). Este capı́tulo é composto por quatro Seções. Na Seção 2 descreve-se a metodologia para
a modelagem e simulação de incertezas fuzzy nas estruturas e o Método dos Elementos Finitos Fuzzy.
Na Seção 3 é apresentado o modelo do rotor flexı́vel baseado no Método dos Elementos Finitos, no
qual será analisado o efeito das incertezas. Na Seção 4 são apresentados os resultados das simulações
135
Análise estrutural considerando incertezas paramétricas fuzzy
numéricas para três sistemas: um sistema massa-mola-amortecedor, uma suspensão automotiva com
dois graus de liberdade e um rotor flexı́vel. Finalmente, formulam-se as conclusões e propostas para
trabalhos futuros.
2. Análise Estrutural com Parâmetros Fuzzy
Nesta seção é apresentada uma metodologia para incorporar as incertezas nos parâmetros materiais e
geométricos dos modelos numéricos das estruturas. Inicialmente, os modelos com entradas fuzzy são
introduzidos; a seguir, os conjuntos fuzzy e sua respectiva formulação matemática para representar as
incertezas é apresentada. Com o propósito de simular a resposta dinâmica apresenta-se a otimização
de cortes-α e finalmente, os princı́pios para a implementação do Método dos Elementos Finitos Fuzzy
são mostrados.
2.1 Modelos com entradas fuzzy
No contexto deste trabalho, o modelo matemático descreve o comportamento dinâmico de uma
estrutura através de ferramentas matemáticas. A relação matemática entre as entradas x e as saı́das
z do modelo M é caraterizada por uma função f na Equação (1).
M : z = f (x)
(1)
A função f mapeia as entradas x nas saı́das z, assim x → z.
Ao considerar entradas fuzzy x̃ no modelo, as saı́das corresponderão a variáveis fuzzy resultantes
do mapeamento, utilizando o modelo M , portanto x̃ → z̃.
Em aplicações de engenharia, geralmente a relação f pode ser definida por um código de elementos
finitos, um sistema de equações diferenciais, ou uma função de resposta em frequência. Quando as
entradas ou os parâmetros do sistema são variáveis fuzzy a resposta será uma função fuzzy z̃(τ ),
assim
M : z̃(τ ) = f (x̃, τ )
(2)
onde, z̃ é a variável fuzzy resultante, τ é a variável independente, x̃ é o vetor de entradas fuzzy. Além
disso, τ pode representar o tempo, a frequência ou coordenadas espaciais.
Os principais métodos para simular os sistemas dinâmicos com incertezas fuzzy reportados na
literatura são: método “Quantitative Simulation - Qua.Si” (Bonarini & Bontempi, 1994); análise
estrutural baseada na otimização de corte-α (Möller et al., 2000); método da transformação, utilizado
para avaliar a resposta dos modelos com incertezas paramétricas tipo fuzzy (Hanss, 2002); modelagem
de incertezas de natureza epistémica e fuzzy que se fundamenta na aritmética fuzzy, na qual as
incertezas dos parâmetros são representadas como números fuzzy (Waltz & Hanss, 2013).
2.2 Conjuntos fuzzy
Na teoria clássica dos conjuntos, a pertinência dos elementos a um determinado conjunto é definida
por uma condição binária. Neste caso, se a pertinência corresponde a “1” o elemento pertence ao
conjunto, e se a pertinência é “0” o elemento não pertence ao conjunto. Portanto, seja X um conjunto
clássico universal e seus elementos x. O conjunto A (onde, A ∈ X) é definido da forma clássica pela
função de pertinência µA : X → {0, 1} (ver Figura 1(a)).
(a) Conjunto fuzzy.
(b) Cortes-α.
Figura 1. Conjunto fuzzy e cortes-α.
Por outro lado, um conjunto fuzzy é definido através da função de pertinência µA : X → [0, 1], na
qual [0, 1] é um intervalo real e contı́nuo. A função de pertinência indica o nı́vel de compatibilidade
136
Lara Molina et al.
do elemento x no conjunto fuzzy Ã. Portanto, valores de µA (x) próximos de “1” indicam uma
pertinência maior do elemento x no conjunto Ã. O conjunto fuzzy é completamente definido por:
à = {(x, µA (x)) |x ∈ X}, onde, 0 ≤ µA ≤ 1
(3)
O conjunto fuzzy à pode ser representado através de sub-conjuntos. Estes subconjuntos, que
correspondem a intervalos reais e contı́nuos, são definidos por Aαk e denominados cortes de nı́vel ou
cortes-α (Figura 1(b)), assim:
(4)
Aαk = {x ∈ X, µA (x) ≥ αk }
Para vários subconjuntos de cortes-α do mesmo conjunto fuzzy à tem-se a seguinte propriedade:
Aαk ⊆ Aαi ∀αi , αk ∈ (0, 1]
com αi ≤ αk
(5)
Se (no caso unidimensional) o conjunto fuzzy é convexo, cada conjunto de cortes-α Aαk corresponde
ao intervalo [xαk l , xαk r ] onde:
xαk l = min[x ∈ X|µA (x) ≥ αk ]
xαk r = max[x ∈ X|µA (x) ≥ αk ]
(6)
(7)
2.3 Otimização de cortes-α
A otimização de cortes-α é um método apropriado ao mapeamento do vetor de entrada fuzzy x̃ no
vetor de saı́das z̃ utilizando o modelo para mapeamento determinı́stico da Equação (1). A otimização
de cortes-α se compõe de três etapas apresentadas na Figura 2 e descritas conforme segue:
Figura 2. Fluxograma do algoritmo numérico da otimização de cortes-α.
1) Discretização dos cortes-α e determinação do sub-espaço X αk : para os cálculos numéricos cada
elemento do vetor de entradas fuzzy x̃ = (x̃1 , . . . , x̃n ) é considerado como um intervalo Xiαk =
[xiαk l , xiαk r ], onde αk ∈ (0, 1] (dos cortes-α da Equação (4) e Figura 1(b)). Consequentemente,
é definido o sub-espaço X αk = (X1αk , . . . , Xnαk ) onde X αk ∈ Rn .
2) Problema de otimização: consiste em achar o valor máximo e mı́nimo da saı́da do modelo para
mapeamento M : z = f (x) assim:
zαk r = max f (x)
x∈X α
k
zαk l = min f (x)
x∈X α
(8)
k
zαk r e zαk l correspondem aos extremos do intervalo [zαk r , zαk l ] no corte-α αk . O conjunto
de intervalos discretizados [zαk r , zαk l ] formam a variável fuzzy resultante z̃. Na solução deste
problema de otimização é utilizada uma técnica, que combina o método evolutivo, a simulação
de Monte-Carlo e o método de gradiente, denominado “modified evolution strategy” (Möller
et al., 2000).
3) Pós-processamento: utilizando a propriedade dos cortes-α da Equação (5) é verificado para
cada corte-α que zαk l e zαk r correspondem aos máximos e mı́nimos globais. Para isto, a
propriedade da Equação (5) deve ser satisfeita para o vetor de variáveis fuzzy de saı́da z̃, do
contrário os ótimos devem ser calculados novamente. Através deste procedimento assegura-se
que z̃ corresponderá a um conjunto convexo.
137
Análise estrutural considerando incertezas paramétricas fuzzy
2.4 Elementos finitos fuzzy
O Método dos Elementos Finitos Fuzzy consiste em considerar um modelo de Elementos Finitos
como o modelo matemático mostrado na Equação (2). Considerando problemas independentes do
tempo, as incertezas são descritas através de vetores fuzzy x̃ e campos fuzzy x̃(θ), onde θ representa
as coordenadas espaciais. Nos problemas dependentes do tempo as incertezas são descritas mediante
funções fuzzy x̃(τ ) e processos fuzzy x̃(t). As incertezas fuzzy podem ser levadas em consideração
utilizando o Princı́pio do Trabalho Virtual e princı́pios da mecânica variacional. Desta forma, para
uma estrutura, o sistema de equações diferenciais fuzzy de segunda ordem é obtida:
˜ + [D̃]{v̇}
˜ + [K̃]{ṽ} = {F̃ }
[M̃ ]{v̈}
(9)
onde [M̃ ], [D̃], [K̃] são as matrizes fuzzy de massa, amortecimento e rigidez, correspondentemente.
{ṽ} e {F̃ } são os deslocamentos generalizados e as forças aplicadas fuzzy, respectivamente.
A resposta estrutural dos sistemas com incertezas, nas Equações (2) e (9), dependem de τ ,
lembrando que τ pode representar o tempo, a frequência ou coordenadas espaciais. A resposta
estrutural destes sistemas baseia-se na otimização de cortes-α. Para cada τ é executada a otimização
de cortes-α para obter a variável fuzzy resultante z̃(τ ). A função fuzzy z̃(0, τf ) é obtida utilizando a
rotina apresentada no fluxograma da Figura 3. Detalhes adicionais relacionados a implementaação
desta metodologia encontram-se em Möller & Beer (2004).
Figura 3. Função Fuzzy z̃(τ ) e Fluxograma do algoritmo para a análise de sistemas fuzzy baseado na otimização
de cortes-α.
3. Modelo do Rotor Flexível
A resposta dinâmica do sistema mecânico considerado pode ser modelado pelo uso do princı́pio da
mecânica variacional, chamado o Princı́pio de Hamilton. Para este propósito, a energia de deformação
do eixo e as energias cinéticas do eixo e dos discos são calculadas. Uma extensão do Princı́pio de
Hamilton torna possı́vel incluir os efeitos da energia de dissipação. Os parâmetros dos mancais
são incluı́dos no modelo do sistema pelo uso do princı́pio do trabalho virtual. Para propósitos
computacionais, o método dos elementos finitos é utilizado para discretizar a estrutura, sendo que
as energias calculadas são concentradas nos pontos nodais. Funções de forma são utilizadas para
conectar os pontos nodais. O modelo assim obtido é representado matematicamente por um conjunto
de equações diferenciais conforme apresentado pela Equação (10) (Lalanne & Ferraris, 1998).
[M ]{ẍ(t)} + [C + ΩG]{ẋ(t)} + [K]{x(t)} = {F (t)}
(10)
na qual, [M ] = [M ]S + [M ]D , [K] = [K]S + [K]B , [C] = [C]S + [C]P e [G] = [G]S + [G]B são,
respectivamente, as matrizes de massa, rigidez, amortecimento e efeito giroscópico. Os ı́ndices S, D,
B e P referem-se, respectivamente, ao eixo, disco, mancal e proporcional. O sistema determinı́stico
apresentado pela Equação (10) pode ser analisado através da Função de Resposta em Frequência
(FRF), a qual pode ser determinada através da Equação (11).
{X̂(ω)} = −ω 2 [M ] + iω[C + ΩG] + [K]−1 {F̂ (ω)}
(11)
sendo a matriz de receptância dada por:
−1
H(ω, Ω) = −ω 2 [M ] + iω[C + ΩG] + [K]
(12)
Neste ponto, é importante considerar que, a fim de estudar o comportamento do sistema quando
incertezas são consideradas, as respostas fuzzy devem ser computadas com respeito a um conjunto
de parâmetros fı́sicos e/ou geométricos modelados com variáveis fuzzy, associados ao rotor flexı́vel
138
Lara Molina et al.
em estudo. Assim, para avaliar a variação das respostas associadas com estas incertezas, torna-se
necessário fazer uma parametrização do Modelo de Elementos Finitos. Este procedimento permite
não só introduzir incertezas no modelo, como também analisar a sensibilidade de tais parâmetros.
Após manipulações matemáticas, as matrizes do sistema dado pela Equação (10) são parametrizadas
da forma:
(e)
(e)
[M ]S = ρs AS [M ]S
(e)
(e)
Eixo: [K]S = Es IS [K]S
(e)
[G]S
=
(13)
(e)
ρs IS [G]S
(e)
(e)
(e)
Mancais: [K]B = kxx [K]B + kzz [K]B
[G](e)
s
=
(e)
dxx [C]B
+
(14)
(e)
dzz [C]B
sendo, ρS , AS , ES e IS , respectivamente, a densidade de massa, a área da seção transversal, o
momento de inércia e o módulo de Young. kxx , kzz , dxx e dzz designam, respectivamente, os
coeficientes de rigidez e amortecimento.
4. Resultados e Discussão
As simulações numéricas apresentadas nesta seção ilustram a aplicação da metodologia proposta para
a análise da resposta dinâmica de estruturas levando em consideração as incertezas paramétricas nos
modelos numéricos.
A presente metodologia exige inicialmente a modelagem das incertezas paramétricas através de
variáveis fuzzy. Com a finalidade de ilustrar as incertezas com a notação mais simples, estas foram
caraterizadas mediante números triangulares fuzzy que são especificados pelo maior e menor valor
(limites do intervalo de incerteza) e também o valor nominal do parâmetro.
Posteriormente a resposta dinâmica, levando em consideração as incertezas fuzzy, é simulada
numericamente com base na otimização de cortes-α. A equação de movimento dos sistemas estudados
foi resolvida utilizando um código desenvolvido numa plataforma MATLAB/SIMULINKr .
A análise de incerteza fuzzy, aplicando a metodologia proposta, é ilustrada nos sistemas mecânicos
apresentados a seguir. Inicialmente, são considerados dois sistemas simples: um sistema massa-molaamortecedor e uma suspensão automotiva com dois graus de liberdade. Finalmente é considerado
um rotor flexı́vel modelado com ajuda do Método dos Elementos Finitos. Para cada um dos sistemas
foi caracterizada a resposta no domı́no do tempo e a função de resposta em frequência (FRF).
4.1 Sistema massa-mola-amortecedor
O sistema da Figura 4(a) possui um grau de liberdade. Neste modelo consideramos a incerteza
no coeficiente de atrito e rigidez da mola representados por c̃ e k̃ respectivamente. A incerteza
nos parâmetros é modelada por um número triangular fuzzy na Figura 4(b), onde m = 0, 01Kg e
k̃ = (0, 9/1/1, 1)N/m e c̃ = (0, 05/0, 06/0, 07)Ns/m.
1, 0 6
1, 0 6
c̃
.. .. ..
.. .. ..
.. ... ... ..
.. .. ..
.. .
k̃
x-
f (t)
m
µ(c)
(a) Sistema
massamola-amortecedor.
c̃
T
T
µ(k)
Ns/m
T
0, 05
T
T
-
T
T
0, 06
0, 07
-
T
T
T
N/m
T
0, 9
k̃
T
T
T
1
-
1, 1
(b) Parâmetros com incertezas fuzzy: m̃ e k̃.
Figura 4. Sistema massa-mola-amortecedor com incerteza fuzzy.
O modelo do sistema massa-mola-amortecedor é representado pela Equação (15).
¨ + c̃x̃(t)
˙ + k̃x̃ = f (t)
mx̃(t)
(15)
˙
onde x̃(t) é o deslocamento da massa e x̃(t)
é a respectiva velocidade. A função de resposta em
frequência (FRF) do sistema, H(ω) na Equação (16), caracteriza a relação entre a saı́da X(ω) em
estado estacionário e a entrada harmônica f (t) = F (ω)eiωt .
139
Análise estrutural considerando incertezas paramétricas fuzzy
X(ω)
1
(16)
= H(ω) =
2
F (ω)
−ω m + iωc̃ + k̃
Utilizando a análise de sistemas com entradas fuzzy baseada na otimização de cortes-α descrita no
fluxograma da Figura 3, a resposta dinâmica do sistema é calculada para os cortes-αk = 0, 1k, onde
k = 0, 1 . . . , 9, 10. Desta maneira, a resposta do sistema é obtida na presença de incertezas fuzzy no
domı́nio do tempo e da frequência (ver Figura 5). As barras de tons de cinza na Figura 5 indicam
as funções de pertinência µ(x) e µ(|H(ω)|), respectivamente. O efeito em c̃ e k̃ para uma excitação
degrau unitário (f (t) = u(t)N ) na resposta no domı́nio do tempo x̃(t) é aumentar a amplitude e a
frequência natural amortecida (ver Figura 5(a)). Similarmente, o módulo da FRF |H̃(ω)| é calculado
e observa-se que os parâmetros c̃ e k̃ tendem a modificar a margem de ganho e a margem de fase do
sistema (ver Figura 5(b)).
1.6
1
1
1.4
0.8
1.2
0.8
0
1
x
0.6
0.8
0.4
|H̃(ω)|
10
0.6
0.4
−1
0.6
10
0.2
0.2
0.4
0
0.2
0
0
−2
0
0.5
1
1.5
Tempo [s]
(a) Resposta no domı́nio do tempo.
10
0
10
1
10
2
10
ω[rad/s]
(b) RFR do sistema.
Figura 5. Resposta do sistema massa-mola-amortecedor, incertezas: m̃ e c̃.
4.2 Sistema com dois graus de liberdade
O modelo de um quarto de carro representa a suspensão passiva de um veı́culo (ver Figura 6(a)).
Este modelo com dois Graus De Liberdade (GDL) é a representação mais simples da suspensão de
um veı́culo convencional. Os parâmetros que tipicamente apresentam incerteza na suspensão são a
massa não-suspensa m̃1 (que corresponde a um quarto da massa do veı́culo) e o coeficiente de rigidez
do pneu k̃2 (ver Figura 6(b)). A dinâmica do sistema é descrita na Equação (17).
¨1 (t)
m̃1 0
x̃
c1 −c1 x̃˙ 1 (t)
+
¨2 (t) + −c1 c1
0 m2 x̃
x̃˙ 2 (t)
k1
−k1
0
x̃1 (t)
+
=
u(t)
(17)
x̃
(t)
−k1 k1 + k̃2
k̃2
2
T
T
¨1 (t) ẍ2 (t) T são os deslocamentos, velocidades e
onde, [x̃1 (t) x̃2 (t)] , x̃˙ 1 (t) x̃˙ 2 (t)
e x̃
acelerações da massas suspensa e não-suspensas respectivamente. A forma do terreno é descrita
pela função u(t) = a sin(ωt). A FRF considerada neste sistema considera a relação entre X1 (ω) e
U (ω), assim:
X1 (ω)
(18)
H(ω) =
U (ω)
Os parâmetros do sistema são k1 = 80000N/m, c1 = 3500Ns/m e m2 = 320Kg.
A
incerteza nos parâmetros é modela pelos números fuzzy triangulares na Figura 6(b), onde m̃1 =
(2250/2500/2750)Kg e k̃2 = (450000/500000/550000)N/m.
A resposta do sistema é obtida na presença de incertezas fuzzy no domı́nio do tempo e da
frequência para os cortes-αk = 0, 1k, onde k = 0, 1 . . . , 9, 10. Os resultados mostram que a incerteza
nos parâmetros m̃1 e k̃2 não afetam significativamente o deslocamento da massa suspensa x̃1 (t). A
entrada considerada nesta simulação é u(t) com a = 1m e ω = 1rad/s (ver Figura 7(a)). No entanto,
o módulo da FRF é sensı́vel à incerteza nos parâmetros: m̃1 principalmente influencia a primeira
frequência de ressonância, e k̃2 influencia a segunda frequência de ressonância (ver Figura 7(b)).
A última simulação considera uma incerteza adicional na frequência da forma do terreno, assim
ũ(t) = sin(ω̃t)m, onde ω̃ = (1/1, 25/1, 5)rad/s. O sistema é forçado a operar próximo da primeira
frequência de ressonância; assim, pode-se analisar a resposta nesta condição (ver Figura 8(a)). Além
disso, é possı́vel verificar a resposta fuzzy x̃1 (t) em qualquer instante de tempo, na Figura 8(b) é
apresentada a resposta temporal para o caso de t = 2s.
140
Lara Molina et al.
6
6
1, 0
1, 0
T
T
T
µ(m1 )
m̃1
(a) Sistema de dois graus de
liberdade.
2500
-
k̃2
T
T
T
-
5, 5 × 105
5
5 × 10
4, 5 × 10
k2
T
T
5
2750
T
T
m1
T
T
2250
µ(k2 )
T
T
(b) Parâmetros fuzzy: m̃1 e k̃2 .
Figura 6. Sistema de dois GDL, paramêtros fuzzy: m̃1 e k̃2 .
1.5
1
1
1
1
10
0.8
0.6
x̃1
0.8
|H̃(ω)|
0.5
0.6
0
10
0
0.4
−0.5
0.4
0.2
0.2
−1
10
−1
0
−1.5
0
−2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
0
1
10
T empo[s]
2
10
10
ω[rad/s]
(a) Resposta no domı́nio do tempo.
(b) FRF do sistema.
Figura 7. Resposta do sistema de dois GDL, incertezas: m̃1 e k̃2 .
1
2
0.9
1
1.5
0.8
0.8
1
x̃1
µ(x1 )
0.7
0.5
0.6
0
0.4
0.6
0.5
0.4
−0.5
0.3
0.2
−1
0.2
0
−1.5
−2
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0.2
8
0.3
0.4
0.5
0.6
T empo[s]
(a) Resposta no domı́nio do tempo.
x1
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
(b) Deslocamento de m̃1 , x1 (t), t = 2s.
Figura 8. Resposta do sistema de dois GDL, incertezas: m̃1 , k̃2 e ω̃.
4.3 Rotor flexível
A metodologia proposta para a análise de incertezas é aplicada numericamente em um rotor flexı́vel
cujo modelo utiliza o Método dos Elementos Finitos Fuzzy. O rotor flexı́vel é composto de um eixo
de aço horizontal, modelado com 20 elementos tipo viga de Euler-Bernoulli, dois discos de aço e três
mancais assimétricos (ver Figura 9).
As propriedades fı́sicas e geométricas do eixo, discos e mancais são apresentadas na Tabela 1.
Em todas as análises o modelo considera apenas os 6 primeiros modos de vibrar do rotor.
Para verificar o grau de influência das incertezas introduzidas no sistema sobre as amplitudes das
FRFs e órbitas do rotor, algumas situações foram analisadas. Os parâmetros com incerteza foram
modelados mediante números fuzzy triangulares na Equação (19)
ã = a(1 − p/100
/ 1
/
1 + p/100)
Figura 9. Modelo do Rotor (Cavalini Jr et al., 2011).
(19)
141
Análise estrutural considerando incertezas paramétricas fuzzy
Tabela 1. Propriedades fı́sicas e geométricas dos elementos do rotor (Cavalini Jr et al., 2011).
Elementos do Rotor
Eixo
Disco D1
Disco D2
Mancais
B1 , B2 e B3
Amortecimento Proporcional
[C]p = α[M ] + β[K]
Propriedades
Comprimento [m]
Diâmetro [m]
Módulo de Young (Es ) [Pa]
Densidade [Kg/m3 ]
Espessura [m]
Diâmetro [m]
Módulo de Young [Pa]
Densidade [Kg/m3 ]
Espessura [m]
Diâmetro [m]
Módulo de Young [Pa]
Densidade [Kg/m3 ]
kxx [N/m]
kzz [N/m]
dxx [Ns/m]
dzz [Ns/m]
α
β
Valores
0,588
0,010
2,0 ×1011
7800
0,005
0,100
2,0 ×1011
7800
0,010
0,150
2,0 ×1011
7800
49,0 ×103
60,0 ×103
5,0
7,0
1,0 ×10−1
1,0 ×10−5
onde, a representa o valor nominal do parâmetro, e p a porcentagem máxima de variação no
corte αk =0. A Tabela 2 apresenta as porcentagens da variação associadas às incertezas fuzzy dos
parâmetros para diferentes cenários; estes cenários são considerados na simulação numérica.
Tabela 2. Definição dos cenários de incertezas utilizadas nas simulações.
Casos
(a)
(b)
(c)
Eixo
Es
15%
15%
kxx
5%
5%
Mancais
kzz dxx
5% 5%
5% 5%
dzz
5%
5%
A resposta dinâmica do rotor flexı́vel, no domı́nio do tempo e da frequência, é calculada para os
corte-αk : α = 0, α = 0, 5, α = 1. Adicionalmente, o algoritmo de Evolução Diferencial é utilizado
na solução da otimização de corte-α conforme apresentado na Figura 2.
Na presente aplicação são usados os seguintes parâmetros no algoritmo de Evolução Diferencial:
7 indivı́duos, 100 gerações, probabilidade de cruzamento igual a 0,8 e estratégia para mecanismo
de mutação de/rand/1/bin. Estes parâmetros são derivados de contribuições prévias (Lobato
et al., 2010; Chegury Viana, 2008; Price et al., 2005). As funções objetivo utilizadas na otimização
são: a norma |H(ω, Ω)| e os deslocamentos generalizados x(t) no calculo da FRF e das órbitas
respectivamente, as expressões correspondentes encontram-se nas Equações (10) e (12). Esta técnica
de otimização demostrou um melhor desempenho, em relação àquela utilizada anteriormente, na
simulação do Método de Elementos Finitos Fuzzy.
A Figura 10 ilustra o envelope obtido para a FRF fuzzy do rotor flexı́vel para o nı́vel de dispersão
apresentado no caso (a) da Tabela 2. É possı́vel observar que, com o aumento da frequência, a
região de incerteza torna-se maior, mostrando que a maior influência da incerteza ocorre nas altas
frequências.
Como complemento da demonstração do grau de influência de incertezas na análise no domı́nio
do tempo, a órbita fuzzy do rotor no disco D1 foi computada para o caso (a) considerando uma
velocidade de rotação de 600rpm, na qual o rotor opera abaixo das suas primeiras velocidades crı́ticas.
Como pode ser visto na Figura 11, a influência das incertezas na amplitude do deslocamento não é
desprezı́vel. Pode-se concluir que esta influência é evidente na órbita interna e externa.
A Figura 12 ilustra a FRF para o caso (b) da Tabela 2. Comparando as Figuras 12 e 10, pode-se
notar que, ao contrário do que ocorreu no caso anterior, no qual foi considerada a incerteza no
Modulo de Young do eixo, a dispersão da amplitude da FRF não se tornou maior com o aumento da
142
Lara Molina et al.
frequência, quando incertezas nos parâmetros de rigidez e amortecimento dos mancais foram levadas
em conta. Isto pode ser verificado na faixa de frequência próxima a 165Hz que exibe um intervalo
de incerteza pequeno em torno desta frequência crı́tica; tal fato pode ser explicado pela comparação
dos valores dos parâmetros de rigidez dos mancais em relação à rigidez do próprio eixo.
−3
10
α = 0, 0
α = 0, 5
α = 1, 0
−4
H̃(ω)
10
−5
10
−6
10
−7
10
0
50
100
150
200
250
Frequência [H z]
Figura 10. FRF, caso (a).
0.02
α = 0, 0
α = 0, 5
α = 1, 0
0.015
0.01
z[mm]
0.005
0
−0.005
−0.01
−0.015
−0.02
−0.025
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
x[mm]
Figura 11. Envelope das órbitas, caso (a).
−3
10
α = 0, 0
α = 0, 5
α = 1, 0
−4
H̃(ω)
10
−5
10
−6
10
−7
10
0
50
100
150
200
250
Frequência [H z]
Figura 12. FRF, caso (b).
A Figura 13 apresenta a resposta em termos da órbita do rotor. Comparando as Figuras 13 e
11, pode-se observar que as incertezas introduzidas nos parâmetros dos mancais resultaram numa
significativa mudança na rigidez localizada do rotor flexı́vel, resultando numa variação maior no
deslocamento do sistema, como se vê na Figura 13.
As Figuras 14 e 15 apresentam as respostas fuzzy do rotor flexı́vel para o caso (c) da Tabela 2, que
corresponde à inserção de incertezas tanto no módulo de Young, como também nos parâmetros dos
mancais. A consequência imediata é a grande influência das incertezas introduzidas na resposta
dinâmica do rotor flexı́vel. Analisando a FRF apresentada na Figura 14 revela-se uma maior
influência da incerteza do módulo de Young nas altas frequências, enquanto que as incertezas nos
parâmetros dos mancais causam maior influência nas duas primeiras frequências naturais.
Quanto às órbitas (ver a Figura 15), as incertezas nos parâmetros dos mancais exercem maior
influência na órbita, enquanto que a incerteza no módulo de Young influenciou a órbita em uma
proporção menor.
143
Análise estrutural considerando incertezas paramétricas fuzzy
0.02
α = 0, 0
α = 0, 5
α = 1, 0
0.015
0.01
z[mm]
0.005
0
−0.005
−0.01
−0.015
−0.02
−0.025
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
x[mm]
Figura 13. Envelope das órbitas, caso (b).
−3
10
α = 0, 0
α = 0, 5
α = 1, 0
−4
H̃(ω)
10
−5
10
−6
10
−7
10
0
50
100
150
200
250
Frequência [H z]
Figura 14. FRF, case (c).
0.02
α = 0, 0
α = 0, 5
α = 1, 0
0.015
0.01
z[mm]
0.005
0
−0.005
−0.01
−0.015
−0.02
−0.025
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
x[mm]
Figura 15. Envelope das órbitas, caso (c).
5. Conclusões
Este trabalho apresentou uma metodologia para modelar e analisar as incertezas paramétricas fuzzy
em sistemas mecânicos simples de um e dois graus de liberdade e num rotor flexı́vel. Através de
simulações numéricas foi caraterizada a resposta no domı́nio do tempo e da frequência na presença
de incertezas destes sistemas. Os resultados das simulações mostraram-se satisfatórios na análise do
efeito das incertezas sobre a resposta dos sistemas.
Especificamente, a modelagem fuzzy de um rotor flexı́vel foi proposta e implementada. Assim as
incertezas nas variáveis de projeto que caracterizam o rotor flexı́vel são inseridas diretamente através
de uma aproximação paramétrica, feita através da simulação baseada na otimização de cortes-α. As
aplicações numéricas mostram que os envelopes das respostas conduzem a informações valiosas em
termos do grau de influência das variáveis fuzzy no comportamento dinâmico do rotor flexı́vel. O
procedimento apresentado provou ser uma ferramenta útil para o projeto e análise de sistemas
modificados e otimização estrutural. A escolha das variáveis de projeto (rigidez, amortecimento e
módulo de Young) como parâmetros incertos foi feita baseada na análise de suas sensibilidades com
respeito à Função de Resposta em Frequência (FRF). Como demonstrado pelos resultados numéricos,
as incertezas introduzidas em ambos os parâmetros associados com o eixo e nos valores de rigidez
e amortecimento dos mancais representam um aspecto importante para ser investigado durante o
projeto do rotor flexı́vel, devido à sua grande influência nas velocidades crı́ticas.
144
Lara Molina et al.
A metodologia utilizada neste trabalho demostrou ser adequada e versátil no estudo das incertezas
nos parâmetros de estruturas simples e complexas, constituindo-se assim em uma ferramenta útil
de análise e projeto. A principal desvantagem, observada nas simulações, está relacionada ao custo
computacional intenso devido ao elevado número de iterações requeridas.
Agradecimentos
Os autores agradecem o suporte financeiro do INCT-EIE através da FAPEMIG e CNPq. O primeiro
autor é grato ao Programa Mineiro de Pós-Doutorado (FAPEMIG – CAPES).
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