EXERCíCIOS 13.2

444
Capítulo 13: Integração para CamposVetoriais
EXERCíCIOS 13.2
CamposVetoriais e Campo Gradiente
Encontre o campo gradiente de cada uma das funções nos exercícios 1-4.
15. F = zi + xj + yk
r(t) = (sen t)i + (cos t)j + tk,
1. f(x, y, z) = (X2+ y2 + Z2)-1I2
r(t) = (sen t)i + (cos t)j + (t/6)k,
2. f(x, y, z) = ln V X2 + Y2 + z 2
3. g(x, y, z) = eZ-ln(x2
0:5 t::; 27T
16. F = 6zi + lj + 12xk
0:5 t:5 27T
Integrais de Linha e Campos Vetoriais no Plano
+ l)
17. Calcule f c xy dx + (x + y) dy ao longo da curva y
(-1, 1) até (2, 4).
4. g(x, y, z) = xy + yz + xz
5. Dê uma fórmula F = M(x, y)i + N(x, y)j para o campo vetorial
no plano que tem a propriedade de que F aponta no sentido da
origem com magnitude inversamente proporcional ao quadrado da distância de (x, y) à origem. (O campo não é definido
em (O,O).)
18. Calcule f c (x
6. Dê uma fórmula F = M(x, y)i + N(x, y)j para o campo vetorial
no plano que tem as propriedades de que F = Oem (O,O)e de
que, em qualquer outro ponto (a; b), F é tangente à circunferência ~ + l = a2 + b2 e aponta no sentido horário com magnitude [F 1= Va2 + b2.
20. Calculef c F . dr para o campovetorialF
=~
de
y) dx + (x + y) dy no sentido anti-horário ao
-
redor do triângulo com vértices (O, O), (1, O) e (O, 1).
19. Calcule f c F . T ds para o campo vetorial F = ri
longo da curva x = l de (4, 2) até (1, -1).
= yi -
anti-horário ao longo da circunferência unitária
-
yj ao
xj no sentido
r +l
= 1 de
(1, O) a (O, 1).
21. TrabalhoEncontre o trabalho realizado pela força F
(y - x)j sobre o segmento de reta de (1, 1) até (2, 3).
= xyi +
22. Trabalho Encontre o trabalho realizado pelo gradiente de
f(x, y) = (x + y)2 no sentido anti-horário ao redor da circunfe-
Trabalho
Nos exercícios 7-12, encontre o trabalho realizado pela força F de
(O,O,O) a (1, 1, 1) sobre cada um dos seguintes caminhos (Figura
13.21):
(a) O segmento de reta CI: r(t)
= ti +
rência
~ +l
= 4 de (2, O) a ele
mesmo.
23. Orculaçãoe fluxo Encontre a circulação e o fluxo dos campos
e
FI = xi +yj
tj + tk, O'::; t ::; 1;
F2 = -yi + xj
(b) O caminho curvo C2:r(t) = ti + t2j + t4k, O :5 t:5 1;
ao redor e através das curvas a seguir.
(c) O caminho C3 U C4 que consiste no segmento de reta de
(O,O, O) a (1, 1, O) seguido pelo segmento de (1, 1, O) a
(1, 1, 1)
(a) A circunferência r{t) = (cos t)i + (sen t)j,
24.
O::; t::; 27T
(b) A elipse r(t) = (cos t)i + (4 sen t)j,
O :::;t :5 27T
Fluxo através de uma circunferência Encontre
o fluxo dos campos
z
FI
= 2xi -
e
3yj
F2
= 2xi +
(x - y)j
através da circunferência
(1,1,1)
\ I4
"--
//
\J/////
(1, 1,O)
FIGURA13.21 Os caminhos de (O, O, O) a (1, 1, 1).
7. F = 3yi + 2xj + 4zk
9. F = ~i
8. F = [l/(X2 + l)]j
- 2xj + VYk
10. F = xyi + yzj + xzk
Nos exercícios 13-16, encontre b trabàlho realizado por F sobre a
curva no sentido de t crescente.
r(t)
= ti
-
0:5 t :5 1
14. F = 2yi + 3xj + (x + y)k
r(t) = (cos t)i + (sen t)j + (t/6)k,
arco semicircular rI(t)
= (a
cos t)i + (a sen t)j, O :::; t:::; 7T,seguido
pelo segmento de reta r2(t) = ti, -a::; t :$ a.
25. F = xi + yj
27. F =
-
26. F = x2j + y2j
yi + xj
28. F =
- y2j
+ x2j
29. Integraisde escoamento Encontre o escoamento do campo de
=
(x + y)i - (r + l)j
ao longo de cada um dos
(a) A metade superior da circunferência
X2 + y2
=1
(b) O segmento de retl de (1, O)a (-1, O).
(c) O segmento de reta de (1, O)a (O, -1) seguido pelo segmento de reta de (O,-1) a (-1, O).
yzk
+ t2j + tk,
t:::; 27T.
caminhos a seguir de (1, O)a (-1, O)no plano xy.
12. F = (y + z)i + (z + x)j + (x + y)k
= xyi + yj
0:5
(a sen t)j,
Nos exercícios 25-28, encontre a circulação e o fluxo do campo F
ao redor e através do caminho semicircular fechado que consiste.!l°
velocidade F
11. F = (3X2- 3x)i + 3zj + k
13. F
= (a cos t)i +
Circulação e Fluxo
-'~y
x
r(t)
O ::; t :::; 27T
30. Fluxo através de um triângulo Encontre o fluxo exterior do
campo F do exercício 29 através do triângulo de vértices
(1, O), (O, 1), (-1, O).
445
13.2 CamposVetoriais,Trabalho,Circulaçãoe Fluxo
Esboçando e Encontrando Campos-no Plano
C1: r(t) = (cos t)i + (sen t)j + tk, 0:5 t ~ 7T'/2
C2: r(t) = j + (7T'/2)0 - t)k, 0:5 t:5 1
C3: r(t) = ti + O - t)j, O~ t:5 1
31. Campode rotação Desenhe o campo de rotação
F
=-
Y
'
y'XZ + y2
I
.
x
+
"XZ + yZ
J
z
(°,1, ~)
(ver Figura 13.14) junto com suas componentes verticais e horizontais em um conjunto representativo de pontos da circunferência + l = 4.
r
Cz
32. Camporadial Desenhe o campo radial
F
= xi
(O,1, O)
(1, O,O),
C3
+ yj
y
x
(ver Figura 13.13) junto com suas componentes verticais e horizontais em um conjunto representativo de pontos da circunferênciar
+ l = 1.
42.
33. (a) UmcampodevetarestangentesEncontreum campode veto-
r
+
l = aZ +
bZ
r
ção do campo F
res G = P(x, y)i + Q(x, y)j no plano xy com a propriedade de
que, em qualquer ponto (a, b) * (O,O),G é um vetor de magnitude y' a Z + b Z tangente à circunferência
Circulação nula Seja C a elipse na qual há intersecção do plano
2x + 3y - z = O com o cilindro
+ l = 12. Mostre, sem
calcular nenhuma integral de linha diretamente, que a circula-
sentido é nula.
= xi
+ yj + zk ao redor de C em qualquer
43. Escoamento ao longo de uma curva O campo F
= xyi
+ yj - yzk
é o campo de velocidades de um escoamento no espaço. Encontre o escoamento de (O, O, O)a O, 1, 1) ao longo da curva
de intersecção do cilindro y = e do plano z = x. (Dica: Use
t = x como parâmetro.)
e aponta no sentido anti-horário. (O campo é indefinido em
(O,O).)
r
(b) Escrevendopara aprender Como G está relacionado ao
campo de rotação F na Figura 13.14?
z
34. Umcampodevetarestangentes
(a) Encontre um campo G = P(x, y)i + Q(x, y)j no plano xy
com a propriedade de que, em qualquer ponto (a, b) *
(O,O), G é um versar tangente à circunferência + yZ =
aZ + bZe aponta no sentido horário.
r
(b) Escrevendo
para aprenderComo G está relacionado ao
campo de rotação F na Figura 13.147
35. Versares
apontandoparaa origemEncontreum campoF = M(x,
y)i + N(x, y)j no plano xy com a propriedade de que, em cada
ponto (x, y) * (O,O),F é um versor que aponta para a origem.
(O campo é indefinido em (O,O).)
s:y
44. Escoamentode um campogradiente Encontre o escoamento do
campo F = V(xyZZ3):
36. Doiscampos'centrais'Encontreum campoF = M(x, y)i + N(x,
(a) Uma vez ao redor da curva C do ExerCÍcio 42, no sentido
horário visto de cima.
y)j no plano xy com a propriedade de que, em cada ponto (x, y)
=1=(O, O), F aponta
para a origem
e IF
I é (a)
y =x2
x
a distância de (x,
(b) Ao longo do segmento de reta de (1, 1, 1) a (2, 1, -1).
y) à origem, (b) inversamente proporcional à distância de (x, y)
à origem. (O campo é indefinido em (O,O).)
Teoria e Exemplos
Integrais de Escoamento no Espaço
Nos exerCÍcios 37-40, F é o campo de velocidades de um fluido
que escoa por uma região no espaço. Encontre o escoamento ao
longo da curva dada no sentindo de t crescente.
45. Escrevendo
paraaprender:trabalhoeárea Suponhaquef(t) seja
derivável e positiva para a ~ t :5 b. Seja C o caminho r(t) = ti
+ f{t)j, a ~ t :5 b, e F = yi. Existe alguma relação entre o
valor da integral do trabalho
37. F = -4xyi + 8yj + 2k
r(t) = ti + tZj + k, O~ t :5 2
fcF 'dr
e a área da região limitada pelo eixo t, pelo gráfico def e pelas
retas t = a e t = b? Justifique sua resposta.
38. F = x2j + yzj + lk
r(t) = 3tj + 4tk,
0:5 t:5 1
39. F = (x
r(t)
-
46.
z)i + xk
= (cos
t)i + (sen t)k,
0:5 t ~ 7T'
40. F = -yi + xj + 2k
r(t) = (-2 cos t)i + (2 sen t)j + 2tk,
-
O~ t ~ 27T'
Trabalho realizado por uma força radial dE! magnitude constante
Uma partícula se move ao longo da curva lisa y = f(x) de (a,
f(a» a (b,f(b». A força que move a partícula tem magnitude
constante k e sempre aponta no sentido contrário ao da origem.
Mostre que o trabalho realizado pela força é
41. Circulação
Encontrea circulaçãode F = 2xi + 2z.j+ 2yk ao
redor do caminho fechado que-consiste nas três curvas a
seguir, percorridas no sentido de t crescente:
fc F ' T ds = k[(b2 + (f(b»z)lIz
-
(az
+ (f(a»2)lIZ).