VF17 - Fundamentos da Teoria Fuzzy

IV Semana Acadêmica de Matemática da UTFPR-CP
Fundamentos da Teoria Fuzzy
Renata Toncovitch das Neves1
Elenice Weber Stiegelmeier2
Glaucia Maria Bressan3
Departamento de Matemática, UTFPR, Cornélio Procópio, PR
Resumo No presente trabalho serão apresentados alguns conceitos fundamentais sobre a
Teoria de Conjuntos Fuzzy com o objetivo de classificar elementos pertencentes ou não a
determinado conjunto.
Palavras-chave. Teoria Fuzzy, Conjuntos, Grau de pertinência, Variáveis linguı́sticas.
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Introdução
Em diversos problemas matemáticos depara-se com situações em que precisa-se classificar elementos considerando-o pertencente ou não à determinado conjunto. Essa é uma
tarefa considerada fácil, pois dado um conjunto A e um elemento x, sem muito receio
consegue-se dizer se x ∈ A ou se x ∈
/ A.
Porém, considerando situações como: o número 4,5 pertence ao conjunto dos grupos
aproximadamente igual a 5? A facilidade em determiná-lo poderia ser discordada, pois
seria necessário um critério para tal classificação. Este exemplo foi descrito em Ortega [2].
Foi então que o matemático Zadeh criou a ideia de grau de pertinência [4], assim um
elemento estaria parcialmente contido em um conjunto. Essa ideia foi o marco inicial para
a teoria de conjuntos fuzzy.
Ao se tratar do termo fuzzy, cuja origem é inglesa, estamos nos referindo a algo nebuloso, difuso ou até mesmo incerto e pode ser entendido em um situação em que apenas
respostas como “sim” ou “não” não são suficientes, mesmo tendo conhecimento sobre
outras informações do problema.
“Conforme a complexidade de um sistema aumenta, nossa habilidade de
fazer afirmações precisas e significativas sobre seu comportamento diminui,
até um limiar em que a precisão e relevância tornam-se praticamente caracterı́sticas mutuamente exclusivas.” Princı́pio da Incompatibilidade [4].
Zadeh [4] propôs considerar uma função a qual fornece o grau de pertinência do conjunto considerado, assim permite-se fazer agrupamentos diferentes da lógica clássica.
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1.1
Fundamentos dos Conjuntos Fuzzy
Tem-se o conceito de pertinência bem definido na teoria clássica de conjuntos, pois
dado um conjunto A em um universo X, pode-se expressar pela função caracterı́stica f (x)
abaixo se os elementos deste universo pertencem ou não ao conjunto:
f (x) =
1, se e somente se x ∈ A
0, se e somente se x ∈
/ A.
Já a ideia proposta por Zadeh generaliza a função caracterı́stica para assumir números
infinitos de valores no intervalo [0, 1]. Define-se um conjunto fuzzy A em um universo X
pela função de pertinência:
µA (x) : X → [0, 1],
representada por conjuntos de pares ordenados
A = µA (x)/x,
com x ∈ A e µA (x) indica a compatibilidade entre x e A.
Podem haver elementos que pertencem a mais de um conjunto fuzzy com diferentes
graus de pertinência.
Tem-se ainda o conceito de conjunto suporte de um conjunto fuzzy A, que se trata de
um conjunto de elementos do universo X para os quais µA (x) > 0. Quando o conjunto
suporte é o único ponto x0 com µA (x0 ) = 1, chama-se conjunto unitário fuzzy ou singleton.
1.2
Variáveis linguı́sticas
Uma variável linguı́stica é uma variável cujos valores são nomes de conjuntos fuzzy.
Por exemplo, considerando a temperatura como uma variável linguı́stica, pode-se ter como
valores baixo, médio e alto.
De forma geral, os valores de uma variável linguı́stica podem ser construı́das por termos primários (alto, baixo, pequeno, grande, zero), com conectivos lógicos (negação, conectivos e e ou), com modificadores (muito, pouco, extremamente) e com delimitadores
(parênteses).
Uma variável linguı́stica é formada por uma quı́ntupla (N,T(N), X, G, M), considerando:
• N: nome da variável.
• T(N): conjunto de termos de N .
• X: universo do conjunto.
• G: regra sintática para gerar os valores de N (composição).
• M: regra semântica que associa valores gerados em G em um conjunto fuzzy em X.
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1.3
Relações Fuzzy
Se tratando de conjuntos ordinários, tem-se que uma relação é a ausência ou presença
de uma associação entre elementos de dois ou mais conjuntos, que podem ser expressas
por:
1, se e somente se(x, y) ∈ R
fR (x, y) =
0, em caso contrário.
onde x ∈ X e y ∈ Y .
As relações fuzzy generalizam o conceito de relações além de que representam o grau de
associação entre elementos de dois ou mais conjuntos fuzzy, caracterizada por µA (x, y) ∈
[0, 1], onde x ∈ X e y ∈ Y .
2
Considerações Finais
Nesse trabalho foram apresentados alguns conceitos e definições importantes para o
desenvolvimento da Teoria Fuzzy. Posteriormente, tem-se como propósito aplicar a Teoria
de Conjuntos Fuzzy na dinâmica de populações.
Agradecimentos
Agradecemos ao Departamento Acadêmico de Matemática e a Coordenação do Curso
de Licenciatura em Matemática da UTFPR-CP pelo apoio concedido.
Referências
[1]
F. Gomide, R. Gudwin, R. Tanscheit, Conceitos Fundamentais da Teoria de Conjuntos
Fuzzy, Lógica Fuzzy e Aplicações. Proc. 6th IFSA Congress-Tutorials, pp.1-38 (1995).
[2]
N. R. S. Ortega, Aplicação da teoria de conjuntos Fuzzy a problemas de biomedicina,
Tese de doutorado, USP, (2001).
[3]
R. Tanscheit, Sistemas Fuzzy, DEE-PUC (2004).
[4]
L. A. Zadeh, A Fuzzy Algorithmic Approach to the Definition of COmplex or Imprecise Concepts, Journal os Man-Machine Studies, Vol. 8:249-291, (1976).