aprendendo sobre elipse por meio de atividades práticas

II SEMINÁRIO DE ESCRITAS E LEITURAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (II SELEM)
APRENDENDO SOBRE ELIPSE POR MEIO DE ATIVIDADES PRÁTICAS
Ricardo Gonçalves
Colégio Supre Ensino
[email protected]
Norma Suely Gomes Allevato
Universidade Cruzeiro do Sul
[email protected]
Resumo
Percebendo a necessidade de promover reflexões acerca dos recursos didáticos que
podem ser empregados no ensino e aprendizagem de Matemática, este trabalho tem por
objetivo relatar e analisar algumas atividades práticas desenvolvidas para o estudo das
cônicas, em particular, da elipse. Elas foram realizadas em uma turma do terceiro ano
do Ensino Médio, de uma escola particular da cidade de Ourinhos/SP. Durante as aulas
os alunos assistiram a um vídeo, construiram uma elipse com material manipulativo,
desenvolveram duas avaliações acerca do conteúdo e responderam a algumas questões
sobre a avaliação e a atividade prática. Com base em alguns referenciais teóricos, no
questionário e na avaliação foi possível coletar informações sobre a importância de se
trabalhar com atividades práticas nas aulas de Matemática, bem como de promover
situações de aprendizagem antes, durante e após a avaliação.
Palavras-chave: Educação Matemática; Atividades Práticas; Cônicas.
Introdução
Sabe-se que a Matemática aliada a atividades práticas desempenha um papel
importante no ensino e aprendizagem dessa disciplina, bem como pode potencializar
múltiplos saberes e promover uma aprendizagem mais efetiva dos conteúdos, pelos
alunos. O ensino e a aprendizagem da Matemática não devem limitar-se à repetição de
procedimentos ou à memorização de fórmulas e técnicas. Faz-se necessária a utilização
de estratégias de ensino diversificadas e mais atuais, no sentido de promover a
experimentação e a participação ativa e autônoma dos estudantes na construção do
próprio conhecimento. Assim, é fundamental que se busque ampliar e diversificar as
ferramentas de apoio à aprendizagem acerca dos conteúdos matemáticos.
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Nesse sentido, orientações oficiais atuais, como as encontradas nos Parâmetros
Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), propõem que a Matemática seja abordada de
várias maneiras, possibilitando ao aluno pensar matematicamente, levantar idéias,
estabelecer relações e conexões entre os temas matemáticos ou entre estes e outros
campos do saber (fora da Matemática); bem como desenvolver a capacidade de resolver
problemas, explorá-los, generalizá-los e, até mesmo, propor novos problemas.
Buscar desenvolver atividades que vão ao encontro dessas recomendações e que
favoreçam uma aprendizagem mais significativa dos conteúdos matemáticos, com
diversas ferramentas de ensino e aprendizagem, constitui-se num desafio constante para
a prática profissional de cada professor.
Reflexões Teóricas
A Aprendizagem Significativa, segundo Ausubel (apud MOREIRA, 2011, p.
161), “é um processo por meio do qual uma nova informação relaciona-se com um
aspecto especificamente relevante da estrutura do conhecimento do indivíduo”.
Desse modo, a interação entre conhecimentos novos e conhecimentos prévios
relevantes às estruturas cognitiva dos alunos promove de forma não arbitrária o
significado desse novo conhecimento:
a estrutura cognitiva tende a ser organizada de forma hierárquica,
onde conceitos e proposições mais inclusivos, com maior poder de
generalização, ficam no topo da hierarquia e abrangem proposições e
conceitos menos inclusivos, com menor poder de generalização.
(MOREIRA, 1997. p. 7)
Assim, as atividades de sala de aula serão tanto mais significativas quanto mais
puderem partir dos conhecimentos que os alunos já possuem, ampliando as relações
possíveis entre os elementos que constituem um determinado conceito. Na tentativa de
relacionar o que o aprendiz já sabe com ideias matemáticas que podem ser
simbolicamente expressas, o professor pode lançar mão das atividades práticas, como
recurso didático que pode contribuir para o desenvolvimento da aprendizagem de novos
conceitos e/ou conteúdos.
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As atividades práticas constituem um recurso importante e motivador no
processo de ensino e aprendizagem, realizado no espaço escolar ou fora dele:
as atividades práticas não se limitam apenas em ambientes
laboratoriais com equipamentos específicos de atividades
experimentais. Também podem ser consideradas como atividades
práticas a elaboração de cartazes, painéis, artigos, jornais, realização
de projetos e o uso de meios informatizados. (HODSON, 1988 apud
BONITO, 1996, p. 2)
De acordo com essa interpretação, são atividades práticas: uma aula no
laboratório de informática; a confecção de modelos ou cartazes; pesquisas; uso de jogos,
vídeos, revistas ou jornais; resolução de problemas; apresentação de seminários;
atividades experimentais de laboratório ou de campo, dentre outras. Ou seja, as
atividades são práticas quando o educador emprega um recurso didático que coloca o
aprendiz numa condição privilegiada de participação direta, ativa e pessoal, no processo
de aprendizagem de saberes. Essa é a abordagem que tentaremos explicitar na
experiência relatada neste texto.
Descrição da Atividade
Dentro de uma perspectiva de atividades práticas, foi desenvolvido um trabalho
com uma turma do terceiro ano do Ensino Médio sobre o conteúdo elipse, tratado na
disciplina Geometria Analítica. Nessa turma, as aulas de Matemática ocorrem uma vez
por semana, cada uma delas num período de duas aulas, cerca de uma hora e quarenta
minutos. As atividades aqui relatadas foram realizadas em três dessas aulas duplas, que
chamaremos de encontros.
Na aula anterior ao início das atividades, solicitamos que os alunos trouxessem
alguns materiais específicos (canetas coloridas, isopor, barbante, percevejos e régua).
Explicamos que iríamos realizar uma atividade diferenciada, mas não entramos em
detalhes sobre o tipo da atividade. Nesse momento, ficou evidente o interesse dos
alunos em saber o que faríamos com tais materiais.
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No dia da aula, solicitamos aos alunos que formassem grupos de 4 ou 5 alunos.
Todos os grupos trouxeram os materiais e pareciam estar bastante motivados para
desenvolver a atividade que, até aquele momento, era uma surpresa.
Iniciando o desenvolvimento da aula sobre elipse, assistimos a um vídeo que
apresentava as ideias centrais para o estudo desse tema. O vídeo apresentou a definição,
ou seja, caracterizou a elipse como o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja
soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante. Apresentou os
elementos constituintes de uma elipse: os focos F1 e F2, a distância focal 2c, o ponto
correspondente ao centro C da elipse, o eixo maior (de comprimento 2a) e o eixo menor
(de comprimento 2b):
Figura 01: Elementos da elipse.
Fonte: Steimbruch e Winterle (1987)
O vídeo também apresentou a dedução da equação geral da elipse de centro no
ponto (h,k):
(x  h) 2 ( y  k) 2

1
a2
b2
c
e analisou como o valor da excentricidade, e  , se relaciona à forma da elipse,
a
fazendo-a parecer-se mais, ou menos, com uma circunferência. Após o vídeo,
esclarecemos e reforçamos alguns aspectos importantes, resolvendo e registrando na
lousa os exercícios propostos no material didático (apostila) do colégio.
Preparando para iniciar a atividade prática, solicitamos aos alunos que
reunissem os grupos já selecionados no início da aula. Primeiramente trabalhamos na
confecção da elipse no isopor: traçamos o plano cartesiano; fixamos com percevejos
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dois pontos equidistantes da origem do plano, no eixo das abscissas; cortamos um
pedaço de barbante maior que a distância dos pontos fixados no eixo das abscissas;
estabelecemos que a elipse teria seu centro na origem e norteamos os procedimentos
necessários para o construção da figura. Esses procedimentos realizados podem ser
visualizados a partir do esquema abaixo:
Figura 02: Construção da elipse
Fonte: Steimbruch e Winterle (1987)
Com o desenvolvimento da atividade de construção da elipse com centro na
origem, um dos grupos chegou ao seguinte resultado:
Figura 03: Elipse com centro na origem, cosnstruida por um dos grupo
Assim, os grupos foram realizando
a atividade
com nosso auxilio. Após os
Fonte: Ricardo
Gonçalves
alunos terminarem essa primeira construção, sugerimos que os grupos tentassem
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confeccionar outra elipse, agora com valores diferentes e com o centro fora da origem.
Os alunos também foram escrevendo as diferentes equações de cada elipse, a expressão
do teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo obtido com os elementos da elipse,
as relações entre o eixo maior, o eixo menor e a distância entre os focos.
O produto final de um dos grupos foi a seguinte construção:
Figura 04: Trabalho final apresentado por um dos grupos
Fonte: Ricardo Gonçalves
Durante esse trabalho, surgiram questionamentos, dúvidas e reflexões, ou seja,
tal tarefa se tornou, de fato, um problema para os alunos. Respeitando as dificuldades de
cada grupo e de cada aluno, e como mediadores na construção do conhecimento,
deixamos os alunos à vontade para trabalharem nas construções e para manifestarem
suas dúvidas. Todas as perguntas relacionadas à construção ou ao formalismo
matemático foram respondidas e as dúvidas foram sanadas.
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Após um tempo em que os grupos trabalharam, e aproveitando a motivação de
cada grupo, fizemos as intervenções necessárias para o avanço e a reconstrução dos
conceitos abordados naquele momento.
Durante toda a construção da elipse os alunos manipularam, verificaram e
validaram os valores e as relações existentes na elipse, bem como interagiram com os
colegas do grupo e com o professor, realizando a atividade de forma colaborativa.
Chagas (2002 apud NASCIMENTO e FILHO, 2012, p. 4) reforça a importância do
trabalho colaborativo como “condição necessária para que as redes de aprendizagem e
conhecimento se constituam e se mantenham, de forma a concretizar uma das suas
potencialidades mais evocadas - a construção de conhecimento pelos seus
intervenientes”.
Nessa atividade buscamos minimizar o dogmatismo do material didático
(apostila) e ampliar as possibilidades de compreender os conceitos sobre elipse.
Após esse trabalho prático implementado, realizamos dois tipos de avaliação que
chamaremos, aqui, de primeira avaliação e segunda avaliação. A primeira avaliação foi
aplicada seis dias após o trabalho prático e ocorreu de “forma rotineira”, ou seja,
seguindo os padrões da escola acerca da prática de fazer avaliações mensais. Essa
avaliação constituiu-se numa sequência de questões cujas resoluções os alunos
registrariam por escrito, tendo sido realizada sem consulta e individualmente.
No dia seguinte, foi entregue para cada aluno a correção dessa primeira
avaliação. Os alunos observaram seus erros, fizeram novas perguntas e as dúvidas foram
esclarecidas. Tal atividade foi desenvolvida para que os alunos tivessem acesso ao que
estava certo ou errado, pois por meio do erro se pode reconstruir o conhecimento e
superar dificuldades. Sobretudo, é relevante que os resultados expressos pelos
instrumentos de avaliação, sejam eles provas, trabalhos ou qualquer outro utilizado,
forneçam ao professor informações sobre “as competências de cada aluno em resolver
problemas, em utilizar a linguagem matemática adequadamente para comunicar suas
ideias, em desenvolver raciocínios e análises e em integrar todos esses aspectos no seu
conhecimento matemático” (BRASIL, 1998 p.54).
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Nesse mesmo dia uma segunda avaliação foi realizada, que buscou ir ao
encontro da atividade prática realizada com isopor. Os mesmos grupos que realizaram a
atividade prática nas aulas anteriores reuniram-se novamente para desenvolver essa
segunda avaliação. Nessa avaliação os grupos tiveram acesso ao trabalho realizado no
isopor, bem como foi permitida a comunicação e a troca de ideias entre os alunos de
cada grupo. Vale ressaltar que a primeira e a segunda avaliação propunham os mesmos
exercícios:
x2 y2

 1 , determine:
25 9
a) as coordenadas do vértice;
b) o comprimento do eixo maior e menor;
c) a excentricidade e o centro da elipse.
1) Dada a equação da elipse
2) A figura abaixo representa uma elipse, observe:
Determine a equação da elipse e a excentricidade.
3) Determinar a medida do eixo real, do eixo imaginário, a distância focal e a
excentricidade da hipérbole de equação 9x2 – 16y2 = 144.
4) Explique, de forma completa, todos os elementos na hipérbole abaixo e, em seguida,
determine sua equação e excentricidade.
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A intenção, ao desenvolver essas duas avaliações, foi analisar como as
atividades práticas podem contribuir para subsidiar a aprendizagem dos alunos durante
as avaliações escritas e, sobretudo, verificar se durante a realização da avaliação é
possível reconstruir o conhecimento. Concordamos com Lacueva (1997) quanto à
concepção de que a avaliação deve gerar novas oportunidades de aprendizagem e
fornecer informações essenciais para o professor e para o aluno; contudo, a avaliação
deve ser fonte de aprendizagem e reflexão do processo de ensino.
Após a segunda avaliação, foi entregue para cada aluno um questionário com
questões sobre as percepções deles em relação às atividades desenvolvidas. A seguir
analisamos algumas respostas elaboradas pelos alunos a essas questões.
1) Durante a resolução da segunda avaliação foi possível aprender algo a mais acerca
dos conceitos da elipse e hipérbole? Justifique o que, e em qual dos exercícios isso
ocorreu?1
Com base nessa resposta, e em outras semelhantes apresentadas, percebemos
que os alunos tiveram “sucesso” em resolver os exercícios sobre elipse, pois tiveram
acesso às construções realizadas no isopor. Certamente, se espera e se pretende que
esses alunos cheguem à abstração desses conceitos, mas a atividade prática e a
manipulação dos materiais possibilitou maior segurança rumo a essa abstração e à
representação matemática formal (escrita) das relações aprendidas. Os alunos também
1
Embora a questão refira-se, também à hipérbole, ressaltamos que a atividade prática desenvolvida no
isopor contemplou apenas as ideias, a forma e as equações sobre elipse.
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destacaram a importância de poder discutir a resolução de cada questão com os colegas
do grupo.
2) Das avaliações, quais contribuíram para que seu conhecimento sobre o assunto fosse
ampliado? Por quê?
Observando essa resposta, novamente constatamos que o acesso ao material
manipulativo forneceu condições de aprendizagem, enriquecendo o momento da
avaliação, momento em que foi possível esclarecer dúvidas e relembrar conceitos.
3) Qual a sua maior dificuldade na 1ª avaliação? E na 2ª? Indique essas dificuldades.
Essa aluna afirma que teve maior dificuldade na primeira avaliação, pois não
lembrava algumas ideias. Com relação à segunda avaliação, também destaca que o
trabalho no isopor a ajudou a perceber as conexões entre “as teorias utilizadas” e os
procedimentos de resolução dos exercícios. Valorizou a interação entre os integrantes
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do grupo promovendo melhor entendimento, inclusive sobre os erros cometidos, dando
sentido ao que foi estudado e cobrado nas questões da avaliação.
4) Você acredita que a avaliação colaborativa pode ampliar seus conhecimentos
assuntos e conceitos de séries anteriores mesmo a avaliação sendo sobre elipse e
hipérbole? Explique detalhadamente.
Vale ressaltar que o aluno que elaborou esta resposta, mesmo mantendo a
mesma nota tanto na primeira quanto na segunda avaliação, reconhece que o
conhecimento prévio pode contribuir para desenvolver uma atividade corretamente. Ele
considera que nas atividades desenvolvidas em grupo é possível compartilhar
conhecimentos e ajudar os colegas. Também percebe o erro como um instrumento de
construção do conhecimento, ou seja, que a avaliação deu oportunidade para os alunos
demonstrarem o que podem e sabem fazer, e não apenas evidenciar, mas aprender a
partir daquilo que não sabem.
5) Qual assunto você teve mais facilidade para resolver na 2ª avaliação (elipse ou
hipérbole) Justifique.
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A maior parte dos alunos sentiu que as atividades práticas podem ser um recurso
didático enriquecedor nas aulas de Matemática, embora, por si só, não garantam uma
aprendizagem significativa. Os alunos relataram que a atividade prática constituiu um
elemento facilitador para a compreensão das ideias sobre elipse, bem como foi possível
compreender e relembrar alguns conceitos durante a realização da avaliação em grupo
manipulando o trabalho do isopor.
Entretanto, no último relato foi possível perceber que o aluno realizou as duas
avaliações sem dificuldades; para ele a atividade prática (que foi realizada para a elipse)
e a aula exclusivamente expositiva (realizada para a hipérbole) tiveram o mesmo
impacto. Há que se respeitar os diferentes estilos de aprendizagem dos alunos e,
também, considerar que alguns alunos podem, inclusive, não gostar de “atividades
diferenciadas” em aula. Muitos deles, não estando acostumados a essas práticas, podem
estranhar e, ademais, sentir até dificuldades com esse tipo de trabalho. O professor
precisa ficar atento a esses aspectos.
Considerações Finais
A melhor forma de aprender qualquer coisa é descobrindo-a por si
próprio.
Deixa-os aprender adivinhando.
Deixa-os aprender provando.
Não reveles todo o teu segredo de uma vez – deixa-os adivinhar antes
de o revelares.
Deixa-os descobrir por si próprio tanto quanto seja possível.
George Polya.
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Este trabalho buscou analisar alguns aspectos relacionados à realização de
atividades práticas, relatando uma experiência onde elas se mostraram aliadas nas aulas
de Matemática. Em particular, foram relatadas atividades realizadas em aulas de
Geometria Analítica, sobre o estudo da elipse. Este é um conteúdo considerado
complexo por muitos alunos e professores. Buscando minimizar a complexidade de
ensinar e aprender tal conteúdo, encontramos, nas atividades práticas, indícios de
elementos motivadores e que promovem participação ativa, reflexões em grupo,
interesse em resolver problemas, e uma aprendizagem mais significativa.
Temos consciência de que o desenvolvimento dessa atividade foi possível,
dentre vários fatores, por estarmos em um ambiente favorável, trabalhando com não
mais do que 25 alunos, e que possuem condições financeiras para comprar os materiais
necessários. No entanto, nós, professores, não podemos nos limitar ao “discurso da
falta” para limitarmos nossa atuação em sala de aula. Materiais descartáveis (como
papelão, por exemplo) podem, perfeitamente, ser utilizados para este tipo de atividade,
para ampliarmos os recursos didáticos que buscam promover ações mais próximas das
demandas atuais de ensino, de aprendizagem e de avaliação matemática.
Associado a isso, também fizemos um trabalho a partir da análise com os alunos
dos erros por eles cometidos, assumindo uma abordagem construtiva desses erros.
Nessa perspectiva, Hadji (1994) afirma que “tal como o sucesso não é garantia absoluta
da existência da competência pretendida, o erro não é prova absoluta da sua ausência”.
Desse modo, as respostas são fontes de investigação e necessitam ser compreendidas e
analisadas por alunos e professores, ou seja, o professor pode contribuir para minimizar
o fracasso escolar por meio da observação e reflexão dos erros.
Esperamos que este relato seja útil a alunos e professores que trabalham com
esse conteúdo em suas aulas.
Referências
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Anais do II Seminário de Escrita e Leitura em Educação Matemática. São Paulo. p. 1-X, 2013.
II SEMINÁRIO DE ESCRITAS E LEITURAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (II SELEM)
BONITO, J. Na Procura da Definição do Conceito de Actividades Práticas. Revista
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HADJI, C. A Avaliação, Regras do jogo: das intenções aos instrumentos. Portugal:
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MOREIRA. M. A. Teorias de Aprendizagem. 2.ed. São Paulo: EPU, 2011.
NASCIMENTO, K. A. S; FILHO, J. A. C. Desafios para utilização de Atividades
Colaborativas em Sala de Aula: um exemplo com o Google Maps. Jornada de
Atualização em Informática na Educação - JAIE, p. 121-141, 2012.
STEIMBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill.
1987.
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