Aula 2
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Aula 2
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIENCIAS TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO Disciplina de Sinais e Sistemas Prof. Leonardo Gonsioroski da Silva Séries e Transformadas de Fourier Análise de um sinal senoidal no tempo v (t ) = A ⋅ cos( ω 0 t + ϕ ) Expressamos a onda senoidal como Onde é o valor de pico ou amplitude Onde é a freqüência em radiano Onde é a fase que representa o desvio do valor de pico da origem por um tempo A equação (1) implica que repetição se repete com período de Séries e Transformadas de Fourier Séries e Transformadas de Fourier Analisando um sinal qualquer A equação que rege essa forma de onda no tempo é: Lembrando que : A ⋅ cos(ω0t + φ ) = A ⋅ cos(2πft + φ ) − A ⋅ cos(2πft ) = A ⋅ cos(2πft ± 180o ) sen(ω 0 t ) = cos(2πft − 90o ) então podemos reescrever a equação acima desta forma: Séries e Transformadas de Fourier Desenhando o espectro de freqüências... Vamos agora plotar no domínio da freqüência os valores correspondentes a amplitude e fase deste sinal: Séries e Transformadas de Fourier Série de Fourier Séries e Transformadas de Fourier Série de Fourier Fourier foi levado a desenvolver suas séries ao estudar a propagação do calor em corpos sólidos. Levando-se em conta de que a propagação do calor deveria se dar por ondas e que a forma mais simples de uma onda é a função senoidal, Fourier mostrou que: “ Qualquer função, por mais complicada que seja, pode ser decomposta como uma soma de senos e cossenos.” Seja a função periódica f(x) = sen(x), com período 2π e a função periódica g(x) = cos(x) de período também 2π, defasado π/2 da função seno. Séries e Transformadas de Fourier Série de Fourier f (t ) = 1 a0 + a1 cos(ω 0 t ) + a2 cos(2ω 0 t ) + ... + b1sen(ω0t ) + b2 sen( 2ω0t ) + ... 2 ∞ 1 = a0 + ∑ (an cos(nωo t ) + bn sen(nωo t )) 2 n =1 Séries e Transformadas de Fourier Série de Fourier f (t ) = 1 a0 + a1 cos(ω 0 t ) + a2 cos(2ω 0 t ) + ... + b1sen(ω0t ) + b2 sen(2ω0t ) + ... 2 ∞ 1 = a0 + ∑ (an cos(nωot ) + bn sen(nωot )) 2 n =1 Onde: T 2 2 an = ∫ f (t ). cos(nω0t )dt n = 0,1,2,... T −T 2 T 2 2 bn = ∫ f (t ). sin(nω0t )dt n = 1,2,... T −T 2 T 2 2 a0 = ∫ f (t )dt T −T 2 Séries e Transformadas de Fourier Série de Fourier Exemplo − 1 1, Determinar a série de Fourier do sinal f (t ) = - T/2 < t < 0 0 < t < T/2 Cujo gráfico em função do tempo é dado por: Como o sinal é periódico, é possível o cálculo da série de Fourier. A tarefa é portanto o cálculo dos coeficientes da série de Fourier, lembrando que: 2 1.5 1 0.5 T 0 2 2 an = ∫ f (t ). cos(nω0t )dt n = 0,1,2,... T −T -0.5 -1 2 T -1.5 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 2 bn = ∫ f (t ). sin( nω0t )dt n = 1,2,... T −T 2 T 2 2 a0 = ∫ f (t )dt T −T 2 Séries e Transformadas de Fourier Cálculo do a0 e an T 0 2 2 2 a 0 = ∫ f ( t ).dt = ∫ − 1.dt + ∫ 1.dt = 0 T T T T 0 − − 2 2 T 2 T 0 2 2 2 an = ∫ f (t ). cos(nω0t ).dt = ∫ − 1. cos(nω0t ).dt + ∫ 1. cos(nω0t ).dt = T T T T 0 − 2 −2 T 2 T 2 0 = 2 1 2 1 − sin( n.ω0 .t ) + sin( n.ω0 .t ) T n.ω0 −T T n.ω0 0 Lembrando que ω0 = 2 a integral acima é nula. Portanto : an = 0 ∀n∈N 2π , T Séries e Transformadas de Fourier Cálculo do bn T 0 2 2 2 b n = ∫ f ( t ).sin ( nω0 t )dt = ∫ − 1.sin (nω0 t ).dt + ∫ sin (nω0 t ).dt = T T T T 0 − − 2 2 T 2 T 2 0 2 1 2 1 cos(nω0 t ) = cos(nω0 t ) + − T nω0 − T T nω0 0 2 0, se n par 2 (1 − cos(nπ)) = 4 nπ nπ , se n ímpar Séries e Transformadas de Fourier 2 A série de Fourier fica então assim: sin(3ω0t ) sin(5ω0t ) 4 ∞ 1 4 f (t ) = sin( n t ) = sin( t ) + + + ... ω ω ∑ 0 0 3 5 π n=ímpar n π A seguir façamos uma análise da série de Fourier tomando-se um número de termos cada vez maior 1.5 1.5 1.5 sin(6πt ) sin(10πt ) f (t ) = (sin(2πt ) + + π 3 5 1 4 0.5 0 sin(14πt ) sin(18πt ) + + ) 7 9 -0.5 -1 1 1 0.5 0.5 0 -0.5 -1 -1 -1.5 -2 -2 -1.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1.5 -1.5 -1 -1 -0.5 -0.5 00 0.5 0.5 11 1.5 1.5 22 Séries e Transformadas de Fourier Série de Fourier Voltando a fórmula de série de Fourier, e sendo gT0(t) um sinal periódico: ∞ 1 gT0 (t ) = a0 + ∑ (an cos(nωot ) + bn sen(nωot )) 2 n =1 e sabendo que cosseno e seno podem ser escritos na forma complexa: 1 cos(2πnf 0t ) = [exp( j 2πnf 0t ) + exp(− j 2πnf 0t )] 2 1 sen(2πnf 0t ) = [exp( j 2πnf 0t ) − exp(− j 2πnf 0t )] 2j Podemos reescrever a série de Fourier em termos complexos, acrescentando um coeficiente Cn (chamado de coeficiente complexo de Fourier) dado por: an − jbn , n > 0 cn = a0 , n=0 an + jbn , n < 0 Séries e Transformadas de Fourier Série de Fourier ∞ Portanto gT0(t) pode ser escrito como: gT0 (t ) = ∑C n = −∞ 1 C = e Cn vale: n T0 ∫ T0 / 2 −T0 / 2 gT0 (t ) ⋅ exp(− j 2πnf 0t ) dt chamado de coeficiente complexo de Fourier n ⋅ exp( j 2πnf 0t ) Séries e Transformadas de Fourier Transformada de Fourier Façamos em gT0(t) (periódica), T0 -> ∞: 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 O que significa dizer que: g (t ) = lim g T (t ) 0 T0 ∞ 1.5 2 T0 Séries e Transformadas de Fourier Transformada de Fourier Então sendo: g (t ) = lim g T0 (t ) T0 ∞ 1 n e fazendo as seguintes definições: ∆f = , fn = T0 T0 e G ( f n ) = Cn T0 Podemos ajustar a equação : Transformada inversa de Fourier ∞ gT0 (t ) = ∑C n = −∞ n f nt0)t ) ∆f ⋅ exp( j 2πnf +∞ g (t ) = ∫ G ( f ) exp( j 2πft ) ⋅ df −∞ da seguinte forma Considerando a definição de integral: +∞ ∫ −∞ Transformada direta de Fourier +∞ f ( x)dx = lim ∑ f ( xi )∆xi Δxi ∞i = −∞ +∞ G( f ) = ∫ g (t ) exp(− j 2πft ) ⋅ dt −∞ Séries e Transformadas de Fourier Transformada de Fourier Transformada de Fourier de um pulso retangular. Séries e Transformadas de Fourier Transformada de Fourier Séries e Transformadas de Fourier Transformada de Fourier Séries e Transformadas de Fourier Transformada de Fourier Séries e Transformadas de Fourier Transformada de Fourier Séries e Transformadas de Fourier Propriedades da Transformada de Fourier Linearidade ou Superposição Seja g1 (t ) ⇔ G1 ( f ) e g 2 (t ) ⇔ G2 ( f ) , então: c1 g1 (t ) + c2 g 2 (t ) ⇔ c1G1 ( f ) + c2G2 ( f ) Para todo c1 e c2 constantes. Dilatação Seja Notem que quando teremos: g1 (t ) ⇔ G1 ( f ) , então: g (at ) ⇔ Onde a é um número real. 1 f G( ) a a a = −1 g ( −t ) ⇔ G( − f ) Séries e Transformadas de Fourier Propriedades da Transformada de Fourier Regra da Conjugação Seja g1 (t ) ⇔ G1 ( f ) , então: g * (t ) ⇔ G * (− f ) Dualidade Seja g1 (t ) ⇔ G1 ( f ) , então: G (t ) ⇔ g (− f ) Séries e Transformadas de Fourier Propriedades da Transformada de Fourier Deslocamento no tempo Seja g1 (t ) ⇔ G1 ( f ) , então: g (t − t0 ) ⇔ G ( f ) ⋅ e − j 2πft0 Deslocamento na Freqüência Seja g1 (t ) ⇔ G1 ( f ) , então: e j 2πf ct ⋅ g (t ) ⇔ G ( f − f c ) Séries e Transformadas de Fourier Propriedades da Transformada de Fourier Exercício: Deslocamento no tempo Sabendo que um sinal x(t) tem transformada de Fourier X(f), encontre a transformada de Fourier de y(t) = x(3-t) + x(-2-t) em função de X(f). Séries e Transformadas de Fourier Propriedades da Transformada de Fourier Diferenciação no domínio do tempo Seja g1 (t ) ⇔ G1 ( f ) , d g (t ) ⇔ j 2πfG ( f ) dt então: generalizado para Integração no domínio do tempo Seja g1 (t ) ⇔ G1 ( f c ) , ∫ t −∞ então: g (τ ) ⇔ 1 G( f ) j 2πf dn n ( ) g ( t ) ⇔ j 2 π f G( f ) n dt Séries e Transformadas de Fourier Propriedades da Transformada de Fourier Exercício: Função de Transferência e Diferenciação no Tempo A figura abaixo mostra o circuito eletrônico de um filtro RC passa-baixa passivo que permite a passagem de baixas freqüências sem dificuldades e atenua (ou reduz) a amplitude das freqüências maiores que a freqüência de corte. Com base neste circuito e utilizando transformadas de Fourier encontre a função de transferência do filtro. Séries e Transformadas de Fourier Teorema da Modulação e Teorema da Convolução Seja g1 (t ) ⇔ G1 ( f ) e g 2 (t ) ⇔ G2 ( f ) , então: ∞ g1 (t ) g 2 (t ) ⇔ ∫ G1 (λ )G2 ( f − λ )dλ = G1 ( f ) ∗ G2 ( f ) −∞ Teorema da Modulação ∞ g1 (t ) ∗ g 2 (t ) ⇔ ∫ g (τ )g 1 2 (t − τ )dτ = G1 ( f )G2 ( f ) −∞ Teorema da Convolução A multiplicação de dois sinais no domínio do tempo é igual a convolução de seus espectros no domínio da freqüência A multiplicação de dois sinais no domínio da freqüência é igual a convolução de seus espectros no domínio do tempo Séries e Transformadas de Fourier Função Delta de Dirac δ (t ) ⇔ 1 Séries e Transformadas de Fourier Funções exponecial complexa e senoidal e j 2πf ct ⋅ g (t ) ⇔ G ( f − f c ) 1 cos(2πf c t ) ⇔ [δ ( f − f c ) + δ ( f + f c )] 2 Cosseno sen(2πf c t ) ⇔ Seno 1 [δ ( f − f c ) − δ ( f + f c )] j2 Séries e Transformadas de Fourier Função Sinal Aproximação de um pulso exponencial dobrado e − at , t > 0 g (t ) = 0, t = 0 − e at , t < 0 sgn(t ) ⇔ 1 jπf Séries e Transformadas de Fourier Função Degrau O degrau pode ser visto como a soma de uma função sinal + 1. u (t ) = 1, 1 , 2 0, t>0 t =0 t<0 1 u (t ) = [sgn(t ) + 1] 2 1 1 u (t ) ⇔ + δ( f ) j 2πf 2 Séries e Transformadas de Fourier Exercícios Exercícios da Lista 2a Questão – Use a propriedade trigonométrica 18a Questão 1 sen x = [1 − cos 2 x] 2 2
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