Efeito Casimir Dinâmico com Espelhos Parcialmente

Transcrição

Efeito Casimir dinâmico com espelhos
parcialmente refletores tipo Robin
Jeferson Danilo Lima Silva
Orientador: Danilo Teixeira Alves
Jeferson Danilo
26 de Fevereiro de 2010
U NIVERSIDADE F EDERAL
UN
IVERSIDADE
DO
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I NSTITUTO
DE
C IÊNCIAS E XATAS
P ROGRAMA
DE
P ÓS -G RADUAÇÃO
E
N ATURAIS
O
FEDERAL D
EM
F ÍSICA
D ISSERTAÇÃO DE M ESTRADO
Efeito Casimir dinâmico com espelhos parcialmente
refletores tipo Robin
Belém - Pará
Março de 2013
Efeito Casimir dinâmico com espelhos
parcialmente refletores tipo Robin
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de PósGraduação em Física da Universidade Federal do Pará
(PPGF-UFPA), como parte dos requisitos necessários para
a obtenção do título de Mestre em Ciências (Física).
Avaliada por:
Dr. Danilo Teixeira Alves - UFPA
Dr. Carlos Farina de Souza - UFRJ
Dr. Felipe Siqueira de Souza da Rosa - UFRJ
Belém - Pará
Março de 2013
Resumo
Efeito Casimir dinâmico com espelhos parcialmente refletores tipo
Robin
Neste trabalho estudamos o fenômeno de criação de partículas via efeito Casimir dinâmico. Consideramos, em toda a extensão do trabalho, um campo escalar, real, sem massa,
que obedece à equação de Klein-Gordon num espaço-tempo bidimensional. O campo interage com um espelho parcialmente refletor sobre o qual, no caso limite em que tal espelho
se torna perfeitamente refletor para todas as frequências do campo, o campo fica sujeito
à condição de Robin − isto é o que denominamos de espelhos parcialmente refletores
“tipo Robin”. O efeito Casimir dinâmico é investigado em duas situações distintas: na
primeira, o espelho é móvel; na segunda, o espelho está parado, mas impõe uma condição
de contorno com um parâmetro característico − o parâmetro de Robin − dependente do
tempo, o que pode, de certa forma, simular um espelho em movimento. Através de uma
abordagem envolvendo matrizes de espalhamento, fórmulas são obtidas para a taxa e o
espectro de frequência das partículas criadas. Na literatura (pelo menos nos trabalhos
citados nesta dissertação), os trabalhos que investigam o efeito Casimir dinâmico com espelhos parcialmente refletores consideram como limite de um espelho perfeito o caso em
que o espelho impõe a condição de Dirichlet. Ainda, os trabalhos que investigam o efeito
Casimir dinâmico com condições de Robin o fazem com espelhos perfeitos. Portanto, este
trabalho generaliza estas duas frentes − trabalhos com espelhos parcialmente refletores e
trabalhos com condições de Robin − simultaneamente.
Abstract
Dynamical Casimir effect with Robin-like partially reflecting mirrors
Supervisor: Danilo Teixeira Alves
The particle generation phenomenon via dynamical Casimir effect is investigated in
this work, considering a real, massless and scalar field that obeys Klein-Gordon equation
in a two-dimensional spacetime. The field interacts with a partially reflecting mirror, so
that, in the limiting case where the mirror becomes perfectly reflecting for all frequencies,
the field is subjected to the Robin boundary condition. This is what we denominated
by “Robin-like” partially reflecting mirrors. We investigate the dynamical Casimir effect
in two ways: at the first, the mirror moves; at the second, the mirror is at rest, but it
imposes such a condition that enables to simulate a moving mirror. Using an approach
involving scaterring matrices − taking as reference [M. T. Jaekel, S. Reynaud; J. Phys.
I France 1, 1395 (1991)] and [M. T. Jaekel, S. Reynaud; Quantum Opt. 4, 39 (1992)]
− formulae are obtained for the frequency spectrum and rate of created particles. In
literature (at least in the works cited here), the works dealing with the dynamical Casimir
effect with partially reflecting mirrors treat perfectly reflecting mirrors as they which impose
the Dirichlet condition. Moreover, the works dealing with the dynamical Casimir effect
with Robin boundary condition consider perfect mirrors. Therefore, the present work
generalizes these two models, considering them simultaneously.
Agradecimentos
A Deus.
Agradeço e dedico este trabalho aos meus pais Dênis e Maria Lindalva e ao meu irmão
Gilson Dean.
Aos amigos do PPGF-UFPA e do curso de graduação em física (citados em ordem alfabética) Alessandra Braga (amiga do peito e colega de trabalho dos últimos cinco anos
e, pelo menos, pelos próximos quatro anos), Carol Benone, Danilo Pedrelli, Everton Luís,
Igor Melo, Luiz Leite, Marcelo Siqueira, Natália Menezes, Silvio Santos. Também aos
amigos Danilo Andrade, Jucyara Gomes, Marcela Rayane e Müller Serras, sempre dando
aquela força.
Ao professor Danilo Alves pela excelente orientação feita nos últimos cinco anos, durante a iniciação científica e o mestrado. E também pelos próximos anos de orientação no
doutorado.
Aos professores Carlos Farina e Felipe da Rosa pela disponibilidade em fazer parte da
banca de avaliação e contribuir com este trabalho.
Agradeço, ainda, Carlos Farina e Bruno Mintz pelas discussões valiosas durante o XXXIII ENFPC e o Amazonian Workshop on Quantum Vacuum Effects. Também a Andreson
Rego pelas constantes discussões que muito contribuiram para o desenvolvimento deste
trabalho.
Ao CNPq e a UFPA pelo auxílio financeiro.
Dedico à Lindalva, Dênis e Dean.
Verdade, Amor, Razão, Merecimento
qualquer alma farão segura e forte;
porém, Fortuna, Caso, Tempo e Sorte
têm do confuso mundo o regimento.
Efeitos mil revolve o pensamento,
e não sabe a que causa se reporte;
mas sabe que o que é mais que vida e morte,
que não o alcança o humano entendimento.
Doctos varões darão razões subidas;
mas são experiências mais provadas,
e por isso é melhor ter muito visto.
Cousas há i que passam sem ser cridas
e cousas cridas há sem ser passadas,
mas o melhor de tudo é crer em Cristo.
Luís de Camões
Sumário
Introdução
3
1 Aspectos preliminares
8
1.1 As condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2 Espelhos parcialmente refletores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Matriz de espalhamento e funções de onda . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Um espelho impondo condição de contorno tipo Robin
22
2.1 Apresentando o modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 A matriz de espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Propriedades da matriz de espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 O espelho móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Espelho estático tipo-Robin com parâmetro depedente do tempo . . . . . . . 34
3 Fenômeno de criação de partículas
41
3.1 Criação de partículas devido a um espelho móvel . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1 Espelhos ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1.1
Condições de Dirichlet e Neumann . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1.2
Condição de Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1.3
Condição Robin generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.2 Espelhos parcialmente refletores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1.2.1
Condições tipo Dirichlet e tipo Neumann . . . . . . . . . . 55
3.1.2.2
Condições tipo Robin usual e tipo Robin generalizado . . . 58
1
Sumário
2
3.2 Criação de partículas com um espelho tipo Robin estático . . . . . . . . . . . 62
3.2.1 Espelho ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2 Espelho parcialmente refletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Considerações finais e perspectivas
71
Referências Bibliográficas
73
Introdução
Desde 1970, com o trabalho de Moore [1], é sabido que partículas reais podem ser
geradas, a partir do vácuo, por conta de modificações no estado quântico de um campo
causadas por certas variações temporais nas condições de contorno impostas a tal campo.
Por exemplo, submetê-lo a interagir com um espelho móvel ou mesmo com um espelho
fixo cujas propriedades materiais variem com o tempo. Esse fenômeno é denominado,
usualmente, efeito Casimir dinâmico (ECD).
O trabalho de Moore foi desenvolvido no contexto de um campo escalar real e sem
massa, em 1+1 dimensões, confinado numa cavidade composta por dois espelhos, um móvel e outro estático, ambos perfeitamente refletores, que impõem sobre o campo condições
de Dirichlet. Para obter uma solução exata para o campo, Moore explorou a invariância
da equação de Klein-Gordon por uma transformação conforme, que é válida no contexto
de seu trabalho, mapeando assim o problema dinâmico em um problema no qual ambos
os espelhos estão estáticos, sendo este último conhecido.
Em 1975, independente do trabalho de Moore e com motivações diferentes, DeWitt
também chega ao ECD [2]. Seu trabalho é também desenvolvido num contexto unidimensional1 , porém, com apenas um único espelho, também perfeito, impondo a condição de
Dirichlet ao campo. Para obter a solução do campo na situação dinâmica, DeWitt faz uso
de argumentos de causalidade.
O efeito, apesar de ter sido descoberto independentemente por Moore (1970) e DeWitt
(1975), leva o nome do físico holandês H. Casimir. A razão para isso ter acontecido é simples: Casimir mostrou, em 1948 [3], que duas placas metálicas, perfeitamente condutoras
1
Deste ponto em diante, vamos utilizar apenas a expressão modelo unidimensonal, ou contexto unidimensional, para nos referir a um modelo que considere um campo escalar real e sem massa em 1+1 dimensões.
3
Introdução
4
(entenda-se placas como sinônimo de espelhos), descarregadas e em repouso no vácuo,
atraem-se com uma força proporcional ao inverso da quarta potência da distância entre
elas. Esta força surge como consequência de distorções na energia de ponto zero do campo
eletromagnético provocadas somente pelo fato das placas estarem presentes. Esse fenômeno é conhecido por efeito Casimir estático, daí a referência ao nome de Casimir, que, na
verdade, não chegou a estudar o efeito gerado caso as placas fossem dinâmicas.
Por argumentos de conservação de energia, o fenômeno de criação de partículas, associado ao ECD, deve vir acompanhado de uma força dissipativa que atue sobre o espelho
móvel, como se o vácuo funcionasse como um meio resistente através do qual o espelho
se move de forma amortecida. Na verdade, o termo efeito Casimir dinâmico está associado
a estes dois fenômenos: criação de particulas reais a partir do vácuo e forças de reação
de radiação sobre espelhos em movimento. É possível mostrar que a energia total das
partículas criadas é igual a menos o trabalho realizado por essa força dissipativa de reação
do vácuo [4, 5]. A energia das partículas criadas é proveniente do agente externo que
movimenta a placa.
Em 1976, Fulling e Davies [6] mostraram que um espelho com aceleração não-uniforme
pode emitir radiação. Fulling e Davies, assim como Moore, também exploraram a invariância conforme da equação de Klein-Gordon para obter uma fórmula exata para o valor
médio (considerando o vácuo como estado inicial) do tensor energia-momentum, quando
o campo é submetido à condição de Dirichlet sobre o espelho. No entanto, a fórmula
deles para a densidade de energia apresenta, em casos específicos, uma inconsistência: a
energia renormalizada é negativa e por isso não pode ser considerada como associada à
energia de partículas criadas [6, 7, 8]. Adiante, tornaremos a discutir sobre essa inconsistência.
Em 1982, Ford e Vilenkin [9] estudaram o ECD, considerando um espelho que se move
com velocidade muito menor que a velocidade da luz, numa abordagem perturbativa,
na qual os efeitos dinâmicos surgem como pequenas correções acrescidas ao campo na
configuração estática do modelo. Os resultados de Ford e Vilenkin estão de acordo com
os de Fulling e Davies [6] no limite não-relativístico. E, apesar de ser mais restrito que
o método de Fulling e Davies no que diz respeito às possíveis velocidades do espelho, o
Introdução
5
método de Ford e Vilenkin tem a vantagem de poder ser estendido para modelos com
dimensões mais altas ou com campos massivos, nos quais a equação de Klein-Gordon não
é mais invariante sob transformações conformes.
Com mais de quatro décadas de história e estudos teóricos, o ECD foi finalmente observado em laboratório em 2011 por Wilson et al [10]. O experimento foi realizado no
contexto da eletrodinâmica quântica de circuitos [11, 12]. Na seção 1.1 veremos mais
detalhes acerca do modelo teórico por trás deste experimento.
É notável que os modelos unidimensionais predominem nos trabalhos que versam sobre o ECD; este fato ocorre por uma razão simples: este é o modelo mais simplificado
possível para abordar o problema e, com ele, é possível resolver, na maioria das vezes de
forma exata, problemas que aparentemente são de difícil solução. Apenas por esse motivo,
não seria estranho considerá-lo então como um modelo de brinquedo. No entanto, alguns
problemas dimensionalmente mais realistas, como o de um campo eletromagnético se
propagando perpendicularmente a um espelho plano, podem ser reduzidos a este modelo
simplificado. E além disso, o modelo unidimensional ganhou mais força recentemente por
estar conectado diretamente, como veremos mais adiante, à eletrodinâmica quântica de
circuitos [11, 12], contexto no qual, como já o dissemos, foi realizado o experimento que
mediu pela primeira vez o ECD.
Ainda no contexto de um campo escalar em 1+1 dimensões, o ECD foi investigado
em diversas outras situações, com diversas outras motivações, como por exemplo: um
único espelho ou uma cavidade impondo condições de contorno de Neumann (ou mistas2 )
[13, 14, 15, 16, 17]; ou estados iniciais diferentes do vácuo [17]. Mintz et al [18, 19, 20],
utilizando o método perturbativo de Ford e Vilenkin [9], investigaram, de forma pioneira,
o problema de um espelho impondo a condição de contorno de Robin. Silva e Farina
[21] investigaram, também utilizando o método perturbativo de Ford e Vilenkin, o caso
em que a condição de Robin imposta ao campo por um espelho estático pode simular um
espelho em movimento. Esta condição de contorno, de fundamental importância para este
trabalho, será discutida com mais detalhes na seção 1.1.
Os modelos levados em conta nos trabalhos pioneiros do ECD [1, 2, 6], e em todos
2
Uma cavidade na qual um espelho impõe a condição de Dirichlet e outro a condição de Neumann.
Introdução
6
os outros citados até então nesta introdução (exceto em [7, 8]), têm em comum o fato
de que são compostos por espelhos ideais (por ideais entenda-se perfeitamente refletores).
No entanto, um espelho perfeitamente refletor para todas as frequências é um objeto não
existente na natureza, pois quaisquer espelhos reais são certamente transparentes para
frequências altas o suficiente. Essa é, provavelmente, a motivação de maior peso para
estudar modelos mais realistas que levem em conta espelhos semitransparentes3 . Além
disso, Haro e Elizalde [7, 8] mostraram que considerar um espelho parcialmente refletor
(EPR) pode curar a inconsistência de energias negativas, mencionada anteriormente, que
aparece no resultado de Fulling e Davies [6].
Tem sido crescente, nas últimas duas décadas, o número de trabalhos versando sobre
o ECD levando em conta EPRs. Destacamos entre eles Jaekel e Reynaud [22, 23], Barton
e Calogeracos [24], e Lambrecht em colaboração com Jaekel e Reynaud [25]. Detalhes
sobre estes e outros trabalhos serão vistos mais adiante na seção 1.2.
Nos trabalhos que envolvem modelos compostos por EPRs existe sempre um limite que
pode ser utilizado para tornar o espelho considerado um refletor perfeito, a este limite
chamaremos de limite de um espelho perfeito. Com uma rápida análise dos trabalhos que
envolvem modelos com EPRs, citados nesta dissertação, é possível perceber que no limite
de um espelho perfeito recupera-se sempre o caso em que o espelho impõe ao campo a
condição de Dirichlet.
O objetivo principal desta dissertação é investigar o ECD em modelos que envolvam um
EPR, de tal maneira que, no limite de um espelho perfeito, recuperem-se outras condições
de contorno, como por exemplo, e em especial, a condição de Robin. Ao longo do presente
trabalho, denominaremos a condição de contorno imposta por um EPR, que no limite de
um espelho perfeito recupere a condição de Robin, por condição tipo Robin. A mesma
denominação segue válida para qualquer outra condição recuperada; por exemplo, se a
condição recuperada for a de Neumann, a chamaremos de condição tipo Neumann.
Esta dissertação está divida conforme a estrutura a seguir: no capítulo 1 faremos um
estudo preliminar sobre a condição de Robin e uma breve revisão da literatura acerca do
ECD com espelhos parcialmente refletores. Ainda neste capítulo, faremos um estudo sobre
3
Usaremos também o termo semitransparente como sinônimo para parcialmente refletor.
Introdução
7
a matriz de espalhamento no contexto da mecânica quântica. No capítulo 2 apresentaremos, detalhadamente, os cálculos para encontrar a matriz de espalhamento do problema
de um espelho impondo ao campo uma condição tipo Robin. Finalmente, no capítulo 3,
faremos uso dos resultados obtidos no capítulo 2 para computar o espectro de criação de
partículas. Ainda no capítulo 3, compararemos os resultados aqui obtidos com os já existentes na literatura, no contexto de espelhos perfeitos. Para finalizar, faremos uma breve
discussão acerca dos resultados deste trabalho em geral, bem como pontuaremos nossas
perspectivas. Ao longo de todo o trabalho, usaremos unidades naturais c = ~ = 1.
Capítulo 1
Aspectos preliminares
Nesta dissertação, investigamos o fenômeno de criação de partículas via ECD num
contexto unidimensional, no qual um único espelho, parcialmente refletor por construção,
impõe condições de contorno sobre um campo escalar, de tal maneira que se tomarmos
o limite de um espelho perfeito recaímos no caso em que o espelho impõe ao campo a
condição de Robin. Neste sentido, esta dissertação generaliza os trabalhos de Mintz et
al [18, 19] e de Silva e Farina [21], que investigaram o ECD com um espelho perfeito
impondo a condição de Robin sobre o campo: Mintz et al [18, 19] consideraram o caso
em que o espelho é móvel, no regime de velocidades não-relativísticas; Silva e Farina [21]
consideraram o caso em que o espelho está em repouso, porém impõe ao campo uma
condição de Robin com parâmetro que varia com o tempo (na próxima seção discutiremos
esse parâmetro). Em ambos os casos foi utilizado o método perturbativo de Ford e Vilenkin
[9]. Neste método, um campo φ é escrito da seguinte forma:
φ = φ0 + δφ,
(1.1)
sendo φ0 o campo não perturbado, na configuração em que a condição de contorno imposta
a tal campo não depende do tempo, e δφ uma pequena perturbação acrescida ao campo
φ0 , provocada pela dependência temporal na condição de contorno.
Antes de abordar o problema principal proposto, apresentaremos, na seção 1.1, algumas situações nas quais a condição de contorno de Robin se faz presente. Logo em
8
1.1 As condições de contorno
9
seguida, na seção 1.2, faremos uma breve revisão dos trabalhos que investigaram o ECD
em modelos envolvendo EPRs.
Um campo, denominado φ(t, x), satisfaz a condição de Robin sobre um espelho fixo
se, sobre este espelho, o campo é proporcional a sua derivada espacial, a saber
∂φ(t, x)
φ(t, x) − γ
∂x
= 0,
(1.2)
espelho
sendo γ o chamado parâmetro de Robin.
Devemos destacar o fato de que esta condição recai, nos limites γ → 0 e γ → ∞ respectivamente, nas condições mais conhecidas de Dirichlet e Neumann, dadas respectivamente
por
φ(t, x)|espelho = 0
(1.3)
e
∂φ(t, x) = 0.
∂x espelho
(1.4)
Uma forma, mais didática e talvez mais intuitiva, de visualizar estas condições de
contorno e suas implicações, é estudá-las em situações no contexto da física clássica.
Tomemos, como exemplo, o caso de vibrações tranversais de uma corda distentida cuja
densidade linear de massa seja a mesma em todos os pontos da corda. O deslocamento de
um ponto da corda em relação a sua posição de equilíbrio será representado por y(t, x).
No regime de pequenas inclinações em relação a posição de equilíbrio, a função y(t, x)
p
satisfaz à equação da onda com velocidade v = T /µ, sendo T a tensão na corda e µ a
densidade linear de massa da mesma, cuja solução geral é dada por
y(t, x) = f (x − vt) + g(x + vt)
(1.5)
É possível mostrar que, nessa aproximação de pequenas inclinações, a força transversal
que a porção da corda à esquerda de x exerce sobre a porção da corda à direita de x, num
10
instante t, é dada por
Fy = −T
∂y(t, x)
.
∂x
(1.6)
Dito isto, consideremos então uma corda semi-infinita cuja extremidade, na esquerda,
esteja amarrada a uma haste rígida. Obviamente, a corda não pode oscilar nessa extremidade. Em outras palavras, a função y(t, x) está restrita a satisfazer à condição de Dirichlet:
y(t, x)|haste = 0.
(1.7)
Se gerarmos um pulso se propagando para a esquerda em direção à haste dado por
yincidente (t, x) = g(vt+x), pode-se mostrar, aplicando a condição de Dirichlet (1.7) na solução (1.5), que este pulso, ao atingir a haste, será refletido com sinal trocado: yrefletido (t, x) =
−g(vt − x). Conclui-se que, numa corda presa, um pulso é refletido com uma defasagem
igual a π. Esta situação está representada na figura 1.1(a).
onda incidente
onda refletida
(a) Condição de Dirichlet. Corda amarrada na extremidade. Um
pulso é refletido com diferença de fase igual π.
onda incidente
m=0
onda refletida
m=0
(b) Condição de Neumann. Corda com extremidade livre. Um
pulso é refletido sem diferença de fase.
Figura 1.1: Uma corda presa ou com extremidade livre gera respectivamente as condições
de contorno de Dirichlet e Neumann.
Numa outra situação, se, em vez de amarrada, a corda estivesse acoplada a um anel de
11
massa desprezível que deslizasse sem atrito na haste, a extremidade da corda estaria livre
para oscilar, com nenhuma força transversal atuando sobre essa extremidade. Portanto,
de acordo com (1.6), a corda estaria sujeita a obedecer à condição de Neumann, a saber:
Fy |haste
∂y(t, x) =−T
=0
∂x haste
→
∂y(t, x) = 0,
∂x haste
(1.8)
ou seja, uma reta tangente à corda, nessa extremidade, permaneceria sempre na horizontal. Nesta situação, o mesmo pulso considerado na situação da corda amarrada agora seria
refletido da mesma forma como incidiu, yrefletido (t, x) = g(vt − x), portanto sem mudança
de fase (situação representada na figura 1.1(b)). Mais adiante veremos como a defasagem
da onda refletida influencia na criação de partículas no contexto do ECD.
Consideremos, agora, a situação na qual a corda está acoplada a um anel de massa
desprezível e este, por sua vez, está preso a uma mola ideal de constante elástica κ (ver
figura 1.2). Neste caso, é aplicada uma força, transversal, restauradora do tipo elástica
sobre o anel. Portanto, de acordo com (1.6), a corda estaria sujeita a obedecer à seguinte
condição:
Fy |haste = −κy(t, x)|haste
→
T ∂y(t, x)
y(t, x) −
κ ∂x
= 0,
(1.9)
haste
que é nada mais do que a condição de Robin (1.2) com parâmetro γ = T /κ. O fato de
que as condições de Robin simulam um suporte elástico numa fronteira foi indicado na
literatura na referência [26].
Ainda no problema da corda vibrante, consideremos que, na situação anterior, a massa
do anel acoplado à mola seja agora finita. Isto implica, de acordo com a segunda lei de
Newton e ainda mantendo o regime de pequenas inclinações, em uma correção à equação
(1.6), que passaria a ser:
Fy + T
na qual M é a massa do anel.
∂ 2 y(t, x)
∂y(t, x)
=M
,
∂x
∂t2
(1.10)
12
M
T
k
Figura 1.2: Corda presa a um anel acoplado a uma mola ideal. Se a massa do anel for
desprezível, a corda satisfaz a condição de Robin.
Nesta situação a corda estaria sujeita a obedecer à seguinte condição:
∂y(t, x)
∂ 2 y(t, x)
−T
+ κy(t, x)
= 0,
M
∂t2
∂x
haste
(1.11)
Essa condição será denominada condição de contorno de Robin generalizada [27, 28].
Pretendemos investigar a influência desta condição no contexto do ECD, portanto, para
uso nos capítulos seguintes, vamos definir que, de maneira geral, a condição de contorno
de Robin generalizada satisfeita por um campo φ = φ(t, x) sobre um espelho seja dada
por:
φ(t, x) − γ
∂ 2 φ(t, x)
∂φ(t, x)
+α
∂x
∂t2
= 0,
(1.12)
espelho
sendo α denominado parâmetro de Robin generalizado. No caso da corda vibrante, o
parâmetro de Robin generalizado é dado por α = M/κ.
A condição de Robin generalizada surge, no contexto da eletrodinâmica quântica de
circuitos, em certo regime, como consequência da dependência temporal de um fluxo
magnético em um SQUID (dispositivo supercondutor de interferência quântica) fixado na
extremidade de uma linha de transmissão unidimensional (para mais detalhes veja [11]).
Neste contexto, os parâmetros γ (neste caso γ = γ(t)) e α desempenham os papeis de
algumas propriedades características do SQUID. Porém, em [11] a condição de Robin
generalizada não chega a ser de fato utilizada, pois nesse trabalho são feitas considerações de maneira que o termo de segunda derivada temporal da condição de contorno é
13
desprezado, recaindo, dessa forma, na condição de contorno de Robin usual (1.2) com
parâmetro dependente do tempo, γ = γ(t). Rego, Silva, Alves e Farina investigaram em
[27] um modelo teórico, com espelhos perfeitos, no qual o termo de segunda derivada
temporal foi levado em consideração.
A condição de Robin (1.2), em certo regime, também pode simular o modelo de plasma
em metais reais. Suponhamos que uma onda monocromática incida, pela direita, sobre
um espelho que imponha a condição de Robin. Neste caso, a superposição das ondas
incidente e refletida é dada por
φ(t, x) = Ain e−i(ωt+kx) + Aout e−i(ωt−kx) .
(1.13)
O coeficiente de reflexão, definido pela razão entre Aout e Ain , é então dado por
r(ω) = −
1 + iγω
= −eiσ(ω) ,
1 − iγω
(1.14)
sendo σ(ω) = 2 arctan(γω) a defasagem entre a onda refletida e a onda incidente. Assim
como esperado da condição de Robin, nos limites apropriados, recupera-se a defasagem
igual a π rad do caso de Dirichlet e igual a 0 rad do caso de Neumann. Na figura 1.3
traçamos o gráfico de σ(ω).
Figura 1.3: No eixo vertical a defasagem da onda refletida como função de ωγ.
1.2 Espelhos parcialmente refletores
14
No regime γω ≪ 1, a defasagem σ(ω) ≈ 2γω, portanto o coeficiente de reflexão, dado
por (1.14), se reduz a r(ω) ≈ − exp(2iγω). Em contrapartida, no contexto do modelo
de plasma para metais reais, sabe-se que o coeficiente de reflexão, para ondas incidentes
com frequências muito menores que a frequência de plasma ωP , é dado por rplasma (ω) ≈
− exp(2iω/ωP ). Portanto, por comparação, tem-se que, em boa aproximação, o parâmetro
γ −1 desempenha o papel de frequência de plasma.
Em 1985, Mostepanenko e Trunov consideraram a condição de Robin no contexto
do efeito Casimir estático [29]. Eles consideraram dois espelhos paralelos, um impondo
condição de Dirichlet e outro impondo a condição de Robin, no qual, o parâmetro de
Robin desempenha o papel de comprimento de penetração do campo no espelho.
Em resumo, as condições de contorno ideais, às quais faremos menção nesta dissertação, serão as de Robin, Dirichlet, Neumann e Robin generalizado, dadas respectivamente
por (1.2), (1.3), (1.4) e (1.12), lembrando que a condição de Robin generalizada incorpora todas as outras.
A máxima “um espelho perfeitamente refletor para todas as frequências é um objeto não
existente na natureza” é, em geral, o que motiva a investigação do efeito Casimir dinâmico com a presença de espelhos parcialmente refletores [7, 8, 22, 23, 24, 30, 31, 32].
O próprio Casimir, que apesar de ter levado em conta placas perfeitamente condutoras
(entenda-se como sinônimo para perfeitamente refletoras) em seu trabalho, se utilizou
dessa máxima para justificar, em seus cálculos, a inserção de um termo regularizador para
frequências altas e obter, com isso, um resultado finito [3]:
“O significado físico é óbvio: para ondas muito curtas (raio-x e.g.) nossa placa será
dificilmente um obstáculo, portanto, a energia de ponto zero dessas ondas não será
influenciada pela presença dessa placa.”
Moore que, assim como Casimir, também considerou um modelo com espelhos ideais [1],
reforça:
15
“Por causa das condições de contorno ‘(de Dirichlet)’, supõe-se que todas as flutuações
quânticas do campo sejam suprimidas sobre o espelho. Não se espera, é claro, que isto
ocorra com espelhos comuns, que não se comportam absolutamente como ideais para
frequências muito altas (por exemplo, na região de raio-x). (...)”
Nas duas décadas posteriores ao trabalho de Moore (1970) predominaram nas investigações sobre o efeito Casimir dinâmico modelos que envolviam espelhos ideais.
Em 1991, Jaekel e Reynaud [22] estudaram o efeito Casimir estático num modelo
cujos espelhos são, por construção, parcialmente refletores, no qual os efeitos de semitransparência são inseridos por meio de uma matriz de espalhamento, cujos coeficientes
de transmissão e reflexão são ambos funções da frequência do campo incidente. Eles
mostraram que nesta abordagem não surgem as divergências associadas à infinitude da
energia do vácuo. Portanto, não se fazem necessárias medidas de regularização impostas
à mão, pois os próprios coeficientes de reflexão, da forma como são postos no problema,
funcionam como regularizadores naturais para as divergências ultravioletas da energia do
vácuo.
Um ano depois, os mesmos autores investigaram o efeito Casimir dinâmico com um
espelho parcialmente refletor móvel no regime não-relativístico [23]. Levando em conta
referenciais inerciais co-móveis ao espelho, os efeitos de semitransparência foram inseridos da mesma forma que no trabalho anterior [22]. Com isso, através de uma transformação de Lorentz, é então calculada a matriz de espalhamento do ponto de vista do
referencial do laboratório, e com esta são obtidas fórmulas para a força exercida sobre o
espelho móvel.
Vários outros trabalhos, no contexto do ECD, que levam em conta espelhos parcialmente refletores (em modelos formados por cavidades ou um único espelho) foram publicados por Jaekel e Reynaud [30, 31], todos com a mesma abordagem de matrizes de
espalhamento utilizada no primeiro trabalho [22]. Estes autores, em colaboração com
Lambrecht, ainda nessa abordagem, investigaram o fenômeno de criação de partículas
criadas por um único espelho móvel parcialmente refletor [25], ou por uma cavidade “supondo, em uma boa aproximação, os coeficientes de reflexão dos dois espelhos sendo reais e
independentes da frequência” [25, 33].
16
Outros autores também investigaram o ECD nessa abordagem de matrizes de espalhamento [7, 8, 34, 35, 36, 37]. Haro e Elizalde mostraram em [7, 8], como já dissemos, que
considerar um espelho parcialmente refletor evita a incosistência de energias negativas
do modelo de Fulling e Davies. Ainda, Haro e Elizalde [34] mostraram que um espelho
parcialmente refletor seguindo uma trajetória que simula o colapso de um buraco negro1 ,
no limite de um espelho perfeito, irradia partículas térmicas que satisfazem a estatística
de Bose-Einstein, o que está de acordo com os resultados prévios de Davies e Fulling [38],
no entanto, fora do regime de um espelho perfeito, as partículas irradiadas satisfazem
estranhamente a estatística de Fermi-Dirac. Os autores comentam [34]:
“A explicação física para essa imprevista mudança de estatística pode ser encontrada
no fato de que a forma do espectro não é determinada por meio da estatística do campo,
mas sim pela trajetória específica que o espelho segue e por sua interação com o campo
de radiação.”
Este resultado é revisitado pelos mesmos autores em [35]. Elizalde, num trabalho intitulado “Efeito Casimir dinâmico com espelhos semitransparentes, e cosmologia” [36], discute a
possível contribuição das flutuações de vácuo à energia escura a la efeito Casimir, além de
modelos com dimensões compactificadas, modelos de branas e teorias de supergravidade.
Obadia e Parentani, também utilizando a abordagem de matriz de espalhamento, estudam
uma situação análoga a evaporação de um buraco negro [37].
Algo importante a ser mencionado acerca dos trabalhos que utilizam a abordagem
de matrizes de espalhamento, é o fato de serem recuperados os resultados em que os
espelhos impõem a condição de Dirichlet ao campo no limite de espelhos perfeitos (exceto,
é claro, naqueles casos em que os coeficientes são considerados reais e independentes da
frequência).
Barton e Calogeracos, num trabalho intitulado “Eletrodinâmica quântica de um espelho
dispersivo (partes I e II)” [24], utilizam uma abordagem diferente daquela considerada
por Jaekel e Reynaud para implementar características de semitransparência ao espelho.
Os espelhos são simulados por potenciais de interação do tipo delta de Dirac introduzidos
1
A trajetória é kv = 1 − exp(ku), sendo v e u as cordenadas tipo luz e k uma constante real.
17
à lagrangiana do modelo2 . Para o caso de um campo escalar, a densidade de lagrangiana
para um espelho parado é dada por:
1
L=
2
"
∂φ(t, x)
∂t
2
−
∂φ(t, x)
∂x
2 #
− βφ2 (t, x)δ(x − ξ),
(1.15)
sendo β a constante de acoplamento e ξ a posição do “espelho”.
O espelho perfeito é recuperado no limite de máximo acoplamento (β → ∞) e, neste
caso, o espelho perfeito é aquele que impõe a condição de Dirichlet ao campo (ver equação
(1.18) e texto logo a seguir). Para um valor de β finito, tem-se o caso de um espelho
semitransparente (tipo Dirichlet). Se β = 0, temos a situação de desacoplamento total e,
portanto, o campo se propaga livremente.
A equação de movimento associada a (1.15) é dada por
∂x2 φ(t, x) − ∂t2 φ(t, x) − 2βφ(t, x)δ(x − ξ) = 0.
(1.16)
Após duas integrações sucessivas em x, cujos intervalos de integração contemplem x = ξ,
concluímos que o campo φ está sujeito às seguintes relações de continuidade:
φ|x=ξ+ = φ|x=ξ−
e
[∂x φ]x=ξ+ − [∂x φ]x=ξ− = 2βφ(t, x = ξ).
(1.17)
Pode-se mostrar, a partir de (1.17), que os coeficientes de reflexão e transmissão, considerando ξ = 0, são dados respectivamente por:
r(ω) = −
iβ
ω + iβ
e
s(ω) =
ω
,
ω + iβ
(1.18)
(note que se o acoplamento é máximo o coeficiente r → −1, como esperado de um espelho
que impõe a condição de Dirichlet).
De acordo com Barton e Calogeracos [24], o modelo (1.15) simula, numa boa aproximação, a interação entre um campo eletromagnético e uma película de plasma, interpretando β = 2πne2 /m (com n representando o número de elétrons, com carga e e massa m,
2
Um trabalho bastante didático que investiga o efeito Casimir estático para potenciais de interação tipo
delta de Dirac pode ser encontrado em [39].
18
por unidade de área).
Com esse modelo, Barton e Calogeracos estudaram a radiação emitida pelo espelho e
a força de reação da radiação média que atua sobre o espelho no regime de movimentos
não-relativísticos [24]. Nicolaevici [40] generalizou os resultados de Barton e Calogeracos
de maneira a considerar movimentos relativísticos arbitrários. Fosco, Lombardo e Mazzitelli [41] estudaram efeitos quânticos dissipativos em espelhos relativísticos acoplados ao
campo escalar ou ao campo de Dirac em 1+1 dimensões.
Por fim, no presente trabalho seguiremos o mesmo roteiro de Jaekel e Reynaud [22,
23] e construiremos a matriz de espalhamento de um modelo que leva em conta um
espelho parcialmente refletor tipo Robin. Antes disso, levando em conta o caráter didático
desta dissertação, faremos, na subseção a seguir, a construção da matriz de espalhamento
de um problema no contexto da mecânica quântica.
1.2.1 Matriz de espalhamento e funções de onda
No contexto da mecânica quântica, o estado de um sistema é descrito pela sua função
de onda, representada por ψ(t, x) no caso unidimensional, que é solução da equação de
Schrödinger:
−
~2 ∂ 2
∂
Ψ(t, x) + V (t, x)Ψ(t, x) = i~ Ψ(t, x).
2
2m ∂x
∂t
(1.19)
Se considerarmos um potencial que não depende do tempo, a função de onda será dada,
no caso de espectro discreto, por:
Ψ(t, x) =
X
cn (x)ψn (x)e−iEn t/~ ,
(1.20)
n
na qual ψ(x) deve satisfazer a seguinte equação:
−
~2 ∂ 2
ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x),
2m ∂x2
(1.21)
usualmente denominada equação de Schrödinger independente do tempo.
Dito isto, consideremos então o problema de uma partícula de massa m e energia
E > 0, à deriva em um potencial V (x) que tem a peculiaridade de ser nulo em todo o
19
espaço, menos numa região limitada e bem determinada, a qual chamaremos de região II
(ver figura 1.4). Denominaremos as regiões à esquerda e à direita de II, respectivamente,
regiões I e III. Na região II o potencial é dado por uma função arbitrária f , a saber:
V (x) =



f (x), região II


0,
com E < máx[V (x)].
,
(1.22)
regiões I e III
V ( x)
Lin ikx
Rout ikx
Lout -ikx
Rin -ikx
Região I
Região II
Região III
Figura 1.4: Potencial espalhador.
Nas regiões I e III, onde o potencial é nulo, a equação de Schrödinger (1.21) reduz-se
à equação de um oscilador hamônico simples cuja solução é dada por
ψI (x) = Lin eikx + Lout e−ikx
sendo k =
√
e
ψIII (x) = Rout eikx + Rin e−ikx ,
(1.23)
2mE/~. Na região II, a função ψ só poderá ser determinada se a função f
for especificada. Mas, de maneira geral, pelo fato de a equação de Schrödinger ser linear
e de segunda ordem, deve-se obrigatoriamente ter:
ψII (x) = Cg(x) + Dh(x).
(1.24)
na qual g e h são funções linearmente independentes.
Existem quatro condições de contorno para este problema, duas para a separação entre
as regiões I e II, e duas para a separação entre as regiões II e III. Duas dessas condições
20
são usadas para eliminar C e D, as outras duas são usadas para escrever Lout e Rout em
termos de Lin e Rin , a saber:
Rout = S11 Rin + S12 Lin
e
Lout = S21 Rin + S22 Lin .
(1.25)
Em outras palavras, as amplitudes das ondas espalhadas Rout e Lout são escritas como
combinações das amplitudes das ondas incidentes Lin e Rin .
Os quatro coeficientes da relação acima, que em geral dependem do número de onda k,
podem ser agrupados em uma matriz 2×2, a qual será denominada matriz de espalhamento
e representada por S = S(k), a saber:





 Rout   S11 S12   Rin 

=
,

Lout
Lin
S21 S22
(1.26)
sendo S12 ≡ r+ e S21 ≡ r− os coeficientes de reflexão e S11 ≡ s+ e S22 ≡ s− os coeficientes
de transmissão [42].
As probabilidades de reflexão e de transmissão são obtidas diretamente através dos
módulos quadráticos desses coeficientes. Respectivamente, são dadas por:
|r− |2 = |S21 |2 ,
|r+ |2 = |S12 |2
(1.27)
|s− |2 = |S22 |2 ,
|s+ |2 = |S11 |2 .
(1.28)
e
Como exemplo, considere o potencial tipo delta de Dirac, V (x) = βδ(x), que está
de acordo com a exigência (1.22), sendo a região II dada por um único ponto, x = 0.
As regiões I e III são dadas respectivamente por x < 0 e x > 0. A solução da equação
de Schrödinger para estados com energia positiva é dada por (1.23). A continuidade da
função de onda e a descontinuidade de sua derivada, em x = 0, nos garantem respectivamente que
Rout + Rin = Lin + Lout
(1.29)
21
e
Rout − Rin = Lin (1 + 2iα) − Lout (1 − 2iα),
sendo
α=−
mβ
.
~2 k
(1.30)
Estas duas equações combinadas geram:
Lout =
1
iα
Rin +
Lin
1 − iα
1 − iα
Rout =
e
iα
1
Rin +
Lin .
1 − iα
1 − iα
(1.31)
De fato, escrevemos as amplitudes das ondas espalhadas como combinações das amplitudes das ondas incidentes. Portanto, a matriz de espalhamento para este caso é dada
por
S(k) =


1  1 iα 


1 − iα
iα 1
(1.32)
e as probabilidades de reflexão e transmissão são dadas por:
|r+ |2 = |r− |2 =
α2
1 + α2
e
|s+ |2 = |s− |2 =
1
.
1 + α2
(1.33)
Observe que os coeficientes de transmissão e reflexão em (1.31) são exatamente os
mesmos dados na equação (1.18). Para ficar mais evidente, vamos reescrever a matriz
S(k) com a dependência em k de forma explícita, a saber:
S(k) =


−iβ 
1  k

,
k + iβ
−iβ
k
(1.34)
na qual, por simplicidade, tomamos m = 1 e retomamos ~ = 1. Ou seja
r+ (k) = r− (k) =
−iβ
k + iβ
e
s+ (k) = s− (k) =
k
.
k + iβ
(1.35)
Isto já poderia ser esperado, pois tanto o potencial considerado aqui quanto o considerado
no modelo (1.15) são potenciais do tipo delta de Dirac. A construção da matriz de espalhamento para espelhos parcialmente refletores tipo Robin é muito semelhante ao que
fizemos nesta subseção.
Capítulo 2
Um espelho impondo condição de
contorno tipo Robin
Este capítulo tem como objetivos apresentar os detalhes do modelo sobre o qual trabalharemos e construir a matriz de espalhamento correspondente. O problema abordado
consiste em estudar o fenômeno de criação de partículas, via efeito Casimir dinâmico,
devido à presença de um espelho que impõe uma condição de contorno tipo Robin ao
campo. Tal estudo será feito em duas situações distintas: na primeira, consideraremos um
espelho móvel; na segunda, consideraremos um espelho estático, mas de tal maneira que
este possa simular um espelho móvel. Para ambas as situações, nos limites apropriados,
faremos comparações entre os resultados aqui obtidos e os já existentes na literatura.
No próximo capítulo ficará evidente a importância do papel da matriz de espalhamento. Portanto, o foco do presente capítulo será a construção da matriz de espalhamento
para ambas as situações consideradas. Para a construção dessa matriz, como já o dissemos
anteriormente, seguiremos o mesmo roteiro de Jaekel e Reynaud em [22, 23]. Veremos
que a ideia é simples: inicialmente considera-se o modelo mais simplificado possível, constituído por um espelho perfeitamente refletor, e, em seguida, generaliza-se para o caso de
um espelho parcialmente refletor.
22
2.1 Apresentando o modelo
23
Vamos considerar um campo escalar real não massivo, representado por φ, em um
espaço-tempo bidimensional, φ = φ(t, x), obedecendo à equação de Klein-Gordon. Neste
modelo, a equação de Klein-Gordon reduz-se à equação da onda, a saber,
φ(t, x) = 0,
(2.1)
na qual ≡ ∂t2 − ∂x2 é o operador d’Alembertiano.
Nessa dimensionalidade, o campo total é a superposição de dois campos distintos que
se propagam em sentidos opostos:
φ(t, x) = ϕ(t − x) + ψ(t + x),
(2.2)
da mesma forma como já foi visto em (1.5).
Se o campo se propaga livremente por todo o espaço-tempo, ou seja, se não há nenhuma restrição imposta ao campo devido, por exemplo, à presença de um espelho, a
solução da equação (2.1), em termos de ondas planas harmônicas normalizadas e utilizando as regras de quantização canônicas usuais, é dada por
φ(t, x) =
ˆ
dω
p
2π(2|ω|)
h
i
a(ω)e−i|ω|t eiωx + a† (ω)ei|ω|t e−iωx ,
(2.3)
no qual a† (ω) e a(ω) são os operadores de criação e de aniquilação que satisfazem à
seguinte regra de comutação:
h
i
a(ω), a† (ω ′ ) = δ(ω − ω ′ ).
(2.4)
Rescrevendo (2.3) num formato mais conveniente, temos
φ (t, x) =
ˆ
i
dω h
√
ϕ(ω)e−iω(t−x) + ψ(ω)e−iω(t+x) ,
2π
(2.5)
24
na qual ϕ(ω) e ψ(ω) são as amplitudes dos modos com frequência ω dadas por:
ϕ(ω) =
s
ψ(ω) =
s
1 Θ(ω)a(ω) + Θ(−ω)a† (−ω) ,
2 |ω|
(2.6)
1 Θ(ω)a(−ω) + Θ(−ω)a† (ω) ,
2 |ω|
(2.7)
sendo Θ(ω) a função degrau de Heaviside. Como consequência de (2.4), as amplitudes
ϕ(ω) e ψ(ω) devem satisfazer às seguintes relações de comutação:
sinal(ω)
1
ϕ(ω), ϕ(ω ′ ) = ψ(ω), ψ(ω ′ ) =
δ(ω + ω ′ ) =
δ(ω + ω ′ );
2 |ω|
2ω
ϕ(ω), ψ(ω ′ ) = 0.
(2.8)
(2.9)
Dito isto, consideremos agora, em nosso modelo, a inserção de um espelho localizado
no ponto x = q. O espelho certamente impõe alguma restrição ao campo, e vamos admitir
que essa restrição seja prescrita1 . A presença do espelho fará com que o campo seja espalhado, ou seja, refletido e transmitido2 . Antes de prosseguirmos, adotaremos o seguinte
padrão de nomenclatura: o campo que se propaga rumo ao espelho, que é o campo incidente, será indexado por “in”; e o campo que se propaga afastando-se do espelho, que é o
campo espalhado, será indexado por “out” (como está ilustrado, de acordo com a notação
anterior, na figura 2.1).
x=q
Figura 2.1: Os campos incidem sobre o espelho e são espalhados.
Com a presença do espelho, devemos fazer distinção entre o campo do lado esquerdo,
1
Queremos dizer que temos total liberdade para controlar a condição de contorno imposta pelo espelho.
Poderia também ser absorvido, mas, por simplicidade, vamos desconsiderar fenômenos de absorção. Uma
abordagem ao ECD na qual ocorre absorção pode ser encontrada em [43].
2
25
que chamaremos de φ− , e o campo do lado direito, que chamaremos de φ+ . Dessa forma,
o campo em todo o espaço passará a ser escrito como
φ (t, x) = Θ(x − q)φ+ (t, x) + Θ(q − x)φ− (t, x) ,
(2.10)
na qual, de acordo com (2.5),
φ+ (t, x) =
ˆ
i
dω h
√
ϕout (ω)e−iω(t−x) + ψin (ω)e−iω(t+x) ,
2π
(2.11)
φ− (t, x) =
ˆ
i
dω h
√
ϕin (ω)e−iω(t−x) + ψout (ω)e−iω(t+x) .
2π
(2.12)
e
Por argumentos de causalidade, garante-se que, para os campos incidentes ϕin (ω)
e ψin (ω) não há diferença se existe ou não um espelho no modelo, e que somente os
campos espalhados devem carregar a informação da existência de tal espelho. Portanto
ϕin (ω) ≡ ϕ(ω) e ψin (ω) ≡ ψ(ω) que são dados pelas equações (2.6) e (2.7). Dessa forma,
para conhecer o campo total, nosso trabalho se resume apenas em encontrar quais são os
campos espalhados e, para fazê-lo, basta que especifiquemos qual a condição de contorno
que o espelho impõe sobre o campo e aplicá-la diretamente sobre (2.11) e (2.12).
Por conveniência, e para uso futuro, vamos agrupar as amplitudes dos campos espalhados e dos campos incidentes em matrizes coluna, da seguinte forma:


 ϕout (ω) 
Φout (ω) = 

ψout (ω)
e


 ϕin (ω) 
Φin (ω) = 
.
ψin (ω)
(2.13)
Com isto, já temos tudo que é necessário para iniciarmos a construção da matriz de
espalhamento.
2.2 A matriz de espalhamento
26
Queremos construir uma relação do tipo
Φout (ω) = S(ω)Φin (ω),
(2.14)
para isso, definimos uma matriz quadrada S(ω), a qual chamaremos matriz de espalhamento, que tem o papel de operar sobre o campo incidente e é responsável por fornecer
todas as implicações do processo de espalhamento devido à presença do espelho, resultando no campo espalhado.
Para iniciar a construção da matriz de espalhamento consideremos, a seguir, alguns
casos simples, os quais são compostos por um espelho perfeitamente refletor e parado (por
simplicidade em x = 0). Para cada caso, aplicaremos a condição de contorno imposta pelo
espelho nas equações (2.11) e (2.12). A saber:
(i) Condição de Dirichlet (definida na equação 1.3).
ϕout (ω) = −ψin (ω)
ψout (ω) = −ϕin (ω).
e
(2.15)
Naturalmente, da mesma forma que no caso de uma corda amarrada a uma haste rígida,
discutido no capítulo anterior, o campo sujeito à condição de Dirichlet será refletido com
inversão de fase (defasagem igual a π rad);
(ii) Condição de Neumann (definida na equação 1.4).
ϕout (ω) = ψin (ω)
ψout (ω) = ϕin (ω).
e
(2.16)
Assim como no caso de uma corda com uma extremidade livre, o campo sujeito à condição
de Neumann é refletido sem diferença de fase;
(iii) Condição de Robin (definida na equação 1.2).
ϕout (ω) = −
1 + iγω
ψin (ω)
1 − iγω
e
ψout (ω) = −
1 − iγω
ϕin (ω).
1 + iγω
(2.17)
O campo sujeito à condição de Robin será refletido com um fator de fase não trivial, que
27
depende da frequência do campo incidente e do parâmetro de Robin, da mesma forma
como ocorre no modelo de plasma (1.14);
(iv) Condição de Robin generalizada (definida na equação 1.12).
ϕout (ω) = −
1 − αω 2 + iγω
ψin (ω) e
1 − αω 2 − iγω
ψout (ω) = −
1 − αω 2 − iγω
ϕin (ω).
1 − αω 2 + iγω
(2.18)
Para esta condição de contorno, surge, no fator de fase, um termo proporcional ao parâmetro α multiplicado pela frequência do campo incidente ao quadrado.
Note que, em todos esses casos, os campos espalhados são diferentes dos campos
incidentes apenas por um fator de fase (um número complexo de módulo unitário). Isto
ocorre pelo fato de estarmos considerando, por enquanto, que o espelho impõe reflexão
total. Sendo assim, podemos escrever, de maneira geral, a seguinte relação:
ϕout (ω) = eiσ(ω) ψin (ω)
e
ψout (ω) = e−iσ(ω) ϕin (ω),
(2.19)
sendo σ(ω) a fase decorrente do processo de espalhamento. Para recuperar os casos particulares considerados, faz-se: para Dirichlet σ(ω) = π; para Neumann σ(ω) = 0; para
Robin σ(ω) = 2 arctan(γω); e para Robin generalizado σ(ω) = 2 arctan[γω/(1 − αω 2 )].
Utilizando o que definimos em (2.13), podemos escrever, de forma compacta, as relações acima da seguinte maneira:


iσ(ω)
0
e


S(ω) = 
,
−iσ(ω)
e
0
(2.20)
(2.21)
na qual S(ω) é o que chamamos matriz de espalhamento (lembre-se de que, por enquanto,
o espelho é perfeitamente refletor e está parado).
A matriz S(ω) é, como foi desejado em (2.14), o operador que realiza a passagem
do campo incidente para o campo espalhado, ambos caracterizados por ondas planas.
Nesta matriz, como o próprio nome sugere, estão contidas todas as informações acerca do
28
processo de espalhamento. Em outras palavras: é nela que estão todas as características e
propriedades do espelho.
Os elementos da diagonal principal da matriz S(ω) carregam as características dos
campos que são transmitidos através do espelho, e, analogamente, os elementos da diagonal secundária carregam as características dos campos refletidos. Como até aqui nosso
modelo é composto por um espelho perfeitamente refletor, a diagonal principal tem, naturalmente, elementos nulos, pois nada é transmitido. Pela mesma razão, já que reflexão
total implica, no máximo, uma mudança de fase, a diagonal secundária é composta pelos
fatores de fase que definimos em (2.19).
Para implementar espelhos parcialmente refletores faremos a generalização


S(ω) = 
0
e−iσ(ω)

eiσ(ω) 

0
→


s
(ω,
ω
)
r
(ω,
ω
)
c
+
c 
 +
S(ω, ωc ) = 
,
r− (ω, ωc ) s− (ω, ωc )
(2.22)
sendo, conforme mencionado, r± (ω, ωc ) e s± (ω, ωc ) os coeficientes de reflexão e de transmissão, respectivamente, e ωc é um parâmetro, com dimensão de frequência, que foi
inserido com o objetivo de controlar a refletividade do espelho. Este parâmetro é escolhido convenientemente de tal maneira a recuperarmos o caso de um espelho totalmente
refletor no limite ωc → ∞:


lim S(ω, ωc ) → 
ωc →∞
0
eiσ(ω)
e−iσ(ω)
0


,
(2.23)
ou
lim r± (ω, ωc ) = e±iσ(ω) ,
(2.24)
lim s± (ω, ωc ) = 0.
(2.25)
ωc →∞
ωc →∞
No entanto, para não carregar desnecessariamente a notação, preferimos omitir a dependência em ωc ; explicitá-la-emos quando conveniente.
Um ponto importante deve ser mencionado aqui: já foi dito que estamos seguindo o
29
mesmo roteiro de Jaekel e Reynaud em [22] para a construção da matriz de espalhamento.
Porém, na generalização da equação (2.22) fizemos diferente, no sentido de que diferenciamos explicitamente os coeficientes de ambos os lados do espelho, o que em [22] não
foi feito3 . Ainda, em nosso limite de um espelho perfeito (2.23), recuperamos a reflexão
com um termo de fase arbitrário, enquanto, no limite correspondente em [22], recuperase reflexão com inversão de fase, ou seja, recupera-se o caso em que a condição imposta
pelo espelho é a de Dirichlet.
É necessário, ainda, deixar claro que a generalização feita na equação (2.22) não deve
ser feita de maneira imprudente, deve-se sempre manter a preocupação com a consistência
física do modelo. Queremos dizer com isso que, para que alguns príncipios fundamentais
sejam preservados, faz-se necessário que a matriz S(ω) satisfaça algumas propriedades.
Discutimos estas propriedades a seguir.
2.2.1 Propriedades da matriz de espalhamento
Propriedade 1. Os elementos da matriz de espalhamento são reais no domínio temporal.
S(−ω) = S ∗ (ω).
(2.26)
Esta propriedade surge, naturalmente, pelo fato de que o campo que estamos considerando também é real.
Propriedade 2. A matriz de espalhamento é unitária.
S(ω)S † (ω) = I.
(2.27)
Esta propriedade surge, naturalmente, da seguinte relação de comutação do campo em
tempos iguais: [φ(t, x), φ(t, y)] = 0. Isso caracteriza que não há absorção no espelho, ou
seja, toda a radiação que chega ao espelho é espalhada de volta. Para o caso de um objeto
com perdas (como, por exemplo, um espelho que absorve ou emite radiação), a matriz de
espalhamento não pode ser unitária, pois parte da radiação incidente será perdida dentro
3
Os autores consideraram r+ (ω) = r− (ω) e s+ (ω) = s− (ω).
30
do objeto, e, portanto, fazem-se necessárias outras regras de quantização, nas quais um
meio absorvente (ou amplificador) deve ser levado em consideração [43].
Propriedade 3. A matriz de espalhamento é causal.
r± (t < 0) = s± (t < 0) = 0.
(2.28)
Esta propriedade surge, naturalmente, da seguinte relação de comutação do campo em
tempos iguais: [φ(t, x), Π(t, y)] = −iδ(x − y). Isso significa basicamente que o campo não
pode ser espalhado antes de chegar ao espelho.
Propriedade 4. Para frequências altas o suficiente a matriz de espalhamento se reduz a
matriz identidade.
S(ω) → I
quando
ω → ∞.
(2.29)
Isto significa que no regime de altas frequências o espelho se torna totalmente transparente ao campo. Esta é a condição de um espelho real existente na natureza discutida
anteriormente. Naturalmente, o espelho ideal (2.21) não satisfaz esta propriedade, pois o
limite de um espelho ideal é o regime de baixas frequências.
A propriedade 2 restringe os elementos da matriz de espalhamento mais geral, dada
por (2.22), da seguinte forma:
|s+ (ω)| = |s− (ω)| = |s(ω)| ;
|r− (ω)| = |r+ (ω)| = |r(ω)| ;
(2.30)
|s(ω)|2 + |r(ω)|2 = 1;
(2.31)
∗
s+ (ω)r−
(ω) + r+ (ω)s∗− (ω) = 0.
(2.32)
Com isso, a matriz de espalhamento mais genérica possível passa a ser:


S(ω, α) = 
|s(ω)| eiξ+ (ω)
i |r(ω)| eiσ+ (ω)
i |r(ω)| eiσ− (ω)
|s(ω)| eiξ− (ω)


,
(2.33)
2.3 O espelho móvel
31
com
σ− (ω) + σ+ (ω) = ξ+ (ω) + ξ− (ω)
(2.34)
sendo eiξ± (ω) e ieiσ± (ω) os termos de fase.
Lembrando, ainda, que as escolhas das funções s(ω), r(ω), ξ± (ω) e σ± (ω), além de
estarem sujeitas a (2.31) e (2.34), que são consequências da propriedade 2, também estão
sujeitas às consequências das propriedades 1 e 3, aos limites que retomam o espelho ideal
em (2.15) e (2.16), e também aos limites da propriedade 4.
Uma vez definida a matriz de espalhamento, para o caso em que o espelho está parado
e impõe uma condição de contorno que não dependende do tempo (como foi feito na
seção anterior), iremos agora impor que o espelho pode se movimentar, e segue uma lei
de movimento genérica e prescrita, a qual chamaremos q(t), e encontraremos quais as
mudanças que ocorrem na matriz de espalhamento por conta do movimento.
Por razões de simplicidade, vamos nos restringir a uma lei de movimento oscilatória,
não-relativística e de amplitude pequena, a saber:
|δq̇(t)| ≪ 1
(2.35)
ω0 |δq(t)| ≪ 1
(2.36)
e
no qual ω0 é a frequência de oscilação do espelho e o símbolo δ foi inserido apenas com o
intuito de indicar as restrições adotadas. A imposição (2.36) fará mais sentido a posteriori,
no contexto do cálculo do espectro de partículas criadas que será realizado no próximo
capítulo, mas por enquanto ela nos será útil como argumento para podermos desprezar os
termos de ordem O(δq 2 ).
Como o campo em questão é um campo escalar, em um ponto qualquer sobre a linha
de mundo do espelho é válida a seguinte relação entre um referencial comóvel ao espelho4
4
Aqueles referenciais inerciais que, instantaneamente, possuem a mesma velocidade que o espelho e vêem
32
e o referencial do laboratório:
Φ(τ, 0) = Φ(t, δq(t)),
(2.37)
lembrando que esta notação é uma maneira compacta de escrever o seguinte:




 ϕ(τ − 0)   ϕ(t − δq(t)) 

,
=
ψ(t + δq(t))
ψ(τ + 0)
(2.38)
na qual τ e Φ são, respectivamente, a variável temporal e o campo do ponto de vista do
referencial comóvel.
Uma expansão em série de Taylor, em termos da amplitude da lei de movimento δq(t),
no lado direito da equação acima resulta em:



e−δq(t)∂t ϕ(t)



ϕ(t) 

 ϕ(τ )  
−δq(t)η∂t 
=
=e


,
ψ(τ )
eδq(t)∂t ψ(t)
ψ(t)
(2.39)
na qual

Voltando à notação compacta:

 1 0 
η=
.
0 −1
Φ(τ, 0) = e−δq(t)η∂t Φ(t, 0) = [1 − δq(t)η∂t ] Φ(t, 0) + O(δq 2 ).
(2.40)
(2.41)
Como estamos considerando aqui uma lei de movimento não-relativística, e já foi dito
que desprezaremos os termos de ordem O(δq 2 ), de modo que não deve haver diferença
entre o tempo medido do ponto de vista do referencial comóvel e medido do ponto de
vista do referencial do laboratório, uma vez que, em primeira ordem de aproximação:
dτ =
o espelho em sua origem.
q
1 − [δq̇(t)]2 dt = dt + O(δq 2 ) ≈ dt.
(2.42)
33
Dessa forma, podemos reescrever a equação (2.41) da seguinte maneira:
Φ(t, 0) = [1 − δq(t)η∂t ] Φ(t, 0).
(2.43)
No domínio de Fourier esta relação é escrita da seguinte maneira:
Φ(ω) =
1
2π
ˆ
dω ′ 2πδ(ω − ω ′ ) + δQ(ω − ω ′ )ηiω ′ Φ(ω ′ ),
(2.44)
sendo δQ(ω) a transformada de Fourier da lei de movimento δq(t) e, para simplificar a
notação, estamos fazendo Φ(ω, 0) ≡ Φ(ω) e Φ(ω, 0) ≡ Φ(ω).
Vamos supor que, fisicamente, seja uma aproximação razoável considerar que não há
distinção entre “ver o espelho móvel do ponto de vista de um referencial comóvel” ou simplesmente “ver o espelho parado”. Queremos dizer com isso que um referencial comóvel
enxerga as propriedades do espelho como se este estivesse parado. Apesar desta hipótese
soar óbvia, este ponto pode ser bastante controverso. Dessa forma, para o referencial
comóvel, continua sendo válida a relação:
(2.45)
sendo S(ω), portanto, a mesma matriz de espalhamento para o caso de um espelho parado, definida na seção anterior.
Para obter a versão da equação acima no referencial do laboratório, aplicaremos a
transformação (2.44), indexada corretamente, na equação (2.45), feito isso virá:
Φout (ω) +
ˆ
dω ′ ′
iω δQ(ω − ω ′ )ηΦout (ω ′ ) =
2π
ˆ
dω ′ ′
′
′
= S(ω) Φin (ω) +
iω δQ(ω − ω )ηΦin (ω ) ,
2π
(2.46)
ou
Φout (ω) = S(ω)Φin (ω) +
ˆ
dω ′ ′
iω δQ(ω − ω ′ ) S(ω)ηΦin (ω ′ ) − ηΦout (ω ′ ) .
2π
(2.47)
2.4 Espelho estático tipo-Robin com parâmetro depedente do tempo
34
Deseja-se que o membro direito da equação acima seja composto pelo campo incidente
apenas, mas ainda existe um “Φout ” neste membro. No entanto, notamos que este termo
já é um termo de primeira ordem de perturbação, e então substituiremos esta equação,
que funciona como uma relação de recorrência, nela mesma, a saber:
Φout (ω) = S(ω)Φin (ω) +
ˆ
dω ′ ′
iω δQ(ω − ω ′ ) S(ω)η − ηS(ω ′ ) Φin (ω ′ ) + O(δq 2 ). (2.48)
2π
Lembrando que estamos desprezando os termos de segunda ordem, obtemos
Φout (ω) =
ˆ
dω ′
S(ω, ω ′ )Φin (ω ′ ),
2π
(2.49)
com
S(ω, ω ′ ) = 2πδ(ω − ω ′ )S(ω) + iω ′ δQ(ω − ω ′ ) S(ω)η − ηS(ω ′ ) .
(2.50)
Se o espelho se move, a frequência do campo incidente muda após o processo de
espalhamento, e esta informação deve estar incluída na matriz de espalhamento e, em
geral, o processo de espalhamento mistura todas as frequências [25]. A equação (2.50) é
nada mais do que a matriz de espalhamento com correção de primeira ordem gerada pelo
movimento do espelho, e este termo de correção é dado explicitamente por:

(ω ′ )
(ω ′ )

−r+ (ω) − r+
 s+ (ω) − s+

δS(ω, ω ′ ) = iω ′ δQ(ω − ω ′ ) 
.
′
′
r− (ω) + r− (ω ) −s− (ω) + s− (ω )
(2.51)
Note que esta correção é dada somente em termos dos coeficientes de reflexão e transmissão com o espelho estando parado e da lei de movimento (que é prescrita).
2.4 Espelho estático tipo-Robin com parâmetro depedente do
tempo
Até este ponto, construímos a matriz de espalhamento para o caso de um espelho
perfeito, que está parado e impõe uma condição de contorno que não depende do tempo.
Em seguida, generalizamos esta matriz para o caso em que o espelho é parcialmente
35
refletor. Por último, calculamos, perturbativamente, em primeira ordem, uma correção
para a matriz de espalhamento para o caso em que o espelho é dotado de movimento
(limitando-nos a movimentos não-relativísticos e de pequena amplitude), pois sabemos
que quando há um espelho móvel pode ocorrer o efeito Casimir dinâmico. Esta seção será
dedicada à construção da matriz de espalhamento de outro modelo onde também ocorre
o efeito Casimir dinâmico; trata-se de um espelho parado, mas que impõe uma condição
tipo Robin cujo parâmetro de Robin é dependente do tempo. Este modelo foi estudado, no
contexto de espelhos ideais nas referências [21, 27].
Consideremos agora que haja um espelho fixo na posição x = 0 e, assim como na
construção realizada na seção anterior, o espelho é (inicialmente) ideal. Nesta situação, o
espelho impõe ao campo a condição de contorno de Robin generalizada com parâmetro γ
dependente do tempo, a saber
1 − γ(t)∂x + γ(t)α0 ∂t2 φ(t, x) x=0 = 0,
(2.52)
sendo o parâmetro de Robin generalizado, neste caso, dado por α = γ(t)α0 . Esta escolha
contempla o modelo de Robin generalizado apresentado na referência [11].
Aplicando esta condição sobre o campo, teremos, para o lado direito
1 − γ(t) ∂x − α0 ∂t2
[ϕout (t − x) + ψin (t + x)]x=0 = 0,
(2.53)
e para o lado esquerdo
1 − γ(t) ∂x − α0 ∂t2
[ψout (t + x) + ϕin (t − x)]x=0 = 0.
(2.54)
Vamos agrupar estas duas relações utilizando uma notação matricial:
1 − γ(t) ∂x − α0 ∂t2
Φout (t, x)|x=0 = S0 1 − γ(t) ∂x − α0 ∂t2 Φin (t, x)|x=0 , (2.55)
36
na qual utilizamos as seguintes definições:


 0 −1 
S0 ≡ 

−1 0
e


 ϕ(t − x) 
Φ(t, x) = 
.
ψ(t + x)
(2.56)
É-nos conveniente reescrever estas relações entre os campos out e in no domínio da
frequência. Fazendo isso teremos
1 − Γ(ω) ∗ ∂x + α0 ω 2 eiηωx Φout (ω)|x=0 =
= S0 1 − Γ(ω) ∗ ∂x + α0 ω 2 eiηωx Φin (ω)x=0 ,
(2.57)
na qual, Γ é a transformada de Fourier de γ e a notação ∗ significa a convolução entre
funções (dada pelo teorema da convolução); e também foi usado o fato de que, pelas
definições em (2.13) e (2.40), tem-se


Φ(ω, x) = 
ϕ(ω)eiωx
ψ(ω)e−iωx



ϕ(ω) 

iηωx 
iηωx
Φ(ω).
=e

=e
ψ(ω)
(2.58)
Podemos, agora, aplicar a derivada espacial e, em seguida, tomar x = 0. Desse modo,
obteremos
1 − Γ(ω) ∗ iηω + α0 ω 2
Φout (ω) = S0 1 − Γ(ω) ∗ iηω + α0 ω 2 Φin (ω).
(2.59)
Com o intuito de, aqui, desenvolver os cálculos, como feito no caso do espelho móvel,
de maneira perturbativa, vamos escolher o parâmetro de Robin γ(t) como sendo uma
função que oscila ligeiramente em torno de um valor fixo γ0 , ou seja,
γ(t) = γ0 + δγ(t).
(2.60)
Se desligarmos a variação temporal do parâmetro de Robin, γ(t) = γ0 , teremos a condição
de Robin usual. Os termos de segunda ordem serão desprezados5 com a justificativa de
5
Poderíamos levar o cálculo até qualquer ordem de perturbação que desejássemos, mas levaremos até
somente a primeira, pois assim já é possível comparar nossos resutados àqueles obtidos por [21, 27]. Não
37
que |δγ| /γ0 ≪ 1.
A transformada de Fourier do parâmetro de Robin será dada por
Γ(ω) = γ0 δ(ω) + δΓ(ω).
(2.61)
Substituindo, então, Γ(ω) na equação (2.59) e organizando um pouco os termos obtemos
1 − (γ0 δ(ω) + δΓ(ω)) ∗ iηω + α0 ω 2 Φout (ω) =
= S0 1 − (γ0 δ(ω) + δΓ(ω)) ∗ iηω + α0 ω 2 Φin (ω).
(2.62)
Simplificando um pouco mais
1 − (γ0 + δΓ(ω)∗) iηω + α0 ω 2
Φout (ω) = S0 1 − (γ0 + δΓ(ω)∗) iηω + α0 ω 2 Φin (ω),
(2.63)
e, então, separando os termos perturbados dos não-perturbados concluímos que
1 − iηγ0 ω − γ0 α0 ω 2 − δΓ(ω) ∗ iηω + α0 ω 2 Φout (ω) =
= S0 1 − iηγ0 ω − γ0 α0 ω 2 − δΓ(ω) ∗ iηω + α0 ω 2 Φin (ω).
(2.64)
Para fins de simplificação, reescreveremos esta última equação da seguinte maneira:
[M(ω) − δΓ(ω) ∗ (iη + α0 ω) ω] Φout (ω) = S0 [M(ω) − δΓ(ω) ∗ (iη + α0 ω) ω] Φin (ω),
(2.65)
na qual M(ω) é a matriz M(ω) ≡ 1 − γ0 α0 ω 2 − iηγ0 ω.
Manipulando um pouco mais, obtemos
M(ω)Φout (ω) − δΓ(ω) ∗ (iη + α0 ω) ωΦout (ω) =
= S0 M(ω)Φin (ω) − δΓ(ω) ∗ S0 (iη + α0 ω) ωΦin (ω).
(2.66)
obstante, o cálculo até ordens mais altas é de implementação direta, e generalizaria os resultados encontrados
nas referências [27, 44]
38
É importante notar que, em ambos os membros da equação acima, há um termo de ordem zero e um termo perturbativo somados e, portanto, esta equação tem a mesma estrutura de recorrência da equação (2.19). Sempre mantendo apenas os termos de primeira
ordem, ao multiplicarmos ambos os lados à esquerda por M−1 e iterarmos o resultado
uma vez, obtemos
Φout (ω) = S(ω)Φin (ω) −
M−1 (ω) {δΓ(ω) ∗ ω [S0 (iη + α0 ω) − (iη + α0 ω) S(ω)] Φin (ω)} , (2.67)
com S(ω) ≡ M(ω)−1 S0 M(ω).
Aplicamos, finalmente, a convolução e obtemos
Φout (ω) = S(ω)Φin (ω) − M(ω)−1 ×
ˆ
dω ′
δΓ(ω − ω ′ )ω ′ S0 α0 ω ′ + iη − α0 ω ′ + iη S(ω ′ ) Φin (ω ′ ). (2.68)
×
2π
Usando o fato de que I = M(ω)M(ω)−1 , temos
dω ′
δΓ(ω − ω ′ )ω ′ ×
2π
× S(ω)M(ω)−1 α0 ω ′ + iη − M(ω)−1 α0 ω ′ + iη S(ω ′ ) Φin (ω ′ ). (2.69)
ˆ
Perceba que, aqui, a matriz que chamamos de S(ω), definida anteriormente por S(ω) =
M(ω)−1 S0 M(ω), é dada explicitamente por


S(ω) = 
0
eiσ(ω)
e−iσ(ω)
0


,
(2.70)
sendo e±iσ(ω) os termos de fase para o caso de um espelho parado e ideal que impõe a
condição de Robin generalizada (com parâmetro independente do tempo), como já foi
visto em (2.18), dados por
e±iσ(ω) = −
1 − γ0 α0 ω 2 ± iγ0 ω
.
1 − γ0 α0 ω 2 ∓ iγ0 ω
(2.71)
39
O leitor deve ter percebido que não foi à toa que escolhemos o símbolo “S” para representar tal matriz, pois, neste momento, a identificamos como sendo a matriz de espalhamento
(para um espelho com parâmetro de Robin independente do tempo).
Queremos aqui incluir os efeitos de transmissão, e esta inclusão será feita identicamente ao caso do espelho móvel: vamos generalizar a matriz S(ω) da maneira como
foi feita na equação (2.22), obedecendo, é claro, às mesmas propriedades. Tendo sido
feita tal generalização, a condição de contorno que agora o espelho impõe sobre o campo
também será chamada de tipo Robin. Para fazer distinção deste caso ao caso do espelho
móvel, convencionaremos as seguintes nomenclaturas: espelho “tipo Robin móvel” e espelho “tipo Robin dependente do tempo”. Dito isto, prossigamos com a construção da matriz
de espalhamento.
A relação entre o campo espalhado e o campo incidente, para um espelho impondo
uma condição tipo Robin dependente do tempo, é dada por
ˆ
dω ′ ′
iω δΓ(ω − ω ′ ) ×
2π
× S(ω)M(ω)−1 η − iα0 ω ′ − M(ω)−1 η − iα0 ω ′ S(ω ′ ) Φin (ω ′ ). (2.72)
Para escrever esta relação de uma forma mais compacta, definiremos a seguinte matriz:
−1
N (ω, ω ′ ) = M(ω)−1 η − iα0 ω ′ = 1 − γ0 α0 ω 2 − iηγ0 ω
η − iα0 ω ′ .
(2.73)
Dessa forma, temos
ˆ
dω ′ ′
iω δΓ(ω − ω ′ ) S(ω)N (ω, ω ′ ) − N (ω, ω ′ )S(ω ′ ) Φin (ω ′ ).
2π
(2.74)
Finalmente, para o caso tipo Robin dependente do tempo, a matriz S(ω, ω ′ ) é dada por
S(ω, ω ′ ) = 2πδ(ω − ω ′ )S(ω) + δS(ω, ω ′ ).
(2.75a)
com
δS(ω, ω ′ ) = −iω ′ δΓ(ω − ω ′ ) S(ω)N (ω, ω ′ ) − N (ω, ω ′ )S(ω ′ ) .
(2.75b)
40
Notamos que a matriz de espalhamento, seja para o caso tipo Robin dependente do
tempo, seja para o caso tipo Robin móvel, apresenta a mesma estrutura. Para chegar a
esta conclusão, basta comparar as equações (2.50) e (2.75b).
Um último comentário: a condição de Robin generalizada com parâmetro γ = γ(t) =
γ0 + δγ(t) e a condição de Dirichlet sobre um espelho móvel (expandida até primeira
ordem de aproximação), dadas, respectivamente, por
1 − γ(t) ∂x −
e
φ(t, x)
x=δq(t)
α0 ∂t2
φ(t, x)
=0
(2.76)
x=0
= [1 + δq(t)∂x ] φ(t, x)
= 0,
(2.77)
x=0
são matematicamente idênticas se γ0 = α0 = 0. Portanto, as matrizes de espalhamento
de ambos os casos também são as mesmas. De fato, se tomarmos γ0 = α0 = 0 em (2.73),
.
temos N (ω, ω ′ ) = η, e as matrizes de ambos os casos serão iguais.
Capítulo 3
Fenômeno de criação de partículas
O objetivo deste capítulo é apresentar o cálculo do espectro de criação de partículas,
bem como discutir os resultados de algumas aplicações. Isto será feito para duas situações
distintas (para as quais construímos as respectivas matrizes de espalhamento nas seções
2.3 e 2.4): o caso de um espelho móvel; e o caso de um espelho estático que pode simular
um espelho móvel. Utilizando essas matrizes S(ω, ω ′ ) é possível calcular, diretamente, o
espectro de partículas criadas.
Supondo que o estado inicial do campo seja o estado de vácuo, para o cálculo do
espectro basta aplicar a seguinte fórmula [25]:
1
dN
=
dω
(2π)2
ˆ
∞
0
dω ′ n ω, ω ′ ,
(3.1a)
na qual dN/dω é a densidade espectral, e n(ω, ω ′ ) dada por
i
ω h
n ω, ω ′ = ′ Tr S ω, −ω ′ S † (ω, −ω ′ ) ,
ω
(3.1b)
que pode ser interpretada como o número de fatores espalhados com frequência entre ω
e ω + dω devido a fatores incidentes com frequência entre ω ′ e ω ′ + dω ′ , por unidade de
frequência. Desse modo, o número total de partículas criadas é dado por
N=
ˆ
∞
dω
0
41
dN
.
dω
(3.1c)
3 Fenômeno de criação de partículas
42
Uma breve discussão e a dedução destas fórmulas podem ser encontradas na referência
[45].
Tudo o que precisamos para o cálculo do espectro, segundo o conjunto de equações
(3.1), é da matriz S(ω, ω ′ ), que é dada pela equação (2.50) para o caso do espelho móvel,
e pela equação (2.75a) para o caso do espelho estático. As matrizes S(ω, ω ′ ) das duas
situações consideradas aqui têm em comum a seguinte estrutura:
S(ω, ω ′ ) = δ(ω − ω ′ )S(ω) + δS(ω, ω ′ ),
(3.2)
(um fator 2π, irrelevante para a discussão, foi suprimido). Note que a equação (3.2)
é formada, basicamente, por um termo não-perturbado com um fator de delta de Dirac
somado a um termo perturbativo gerado pela dependência temporal da condição de contorno. Portanto
S ω, −ω ′ S † (ω, −ω ′ ) = δ(ω + ω ′ )S(ω)S † (ω) + δ(ω + ω ′ )S(ω)δS † (ω, −ω ′ ) +
+ δ(ω + ω ′ )δS(ω, −ω ′ )S † (ω) + δS(ω, −ω ′ )δS † (ω, −ω ′ ). (3.3)
Entretanto, note que as três primeiras parcelas à direita da equação acima são todas multiplicadas por δ(ω + ω ′ ), e o intervalo de integração da equação (3.1a) só contempla as
frequências positivas. Por conta disso, somente a parcela isenta de deltas de Dirac contribui para o espectro. Como o traço se distribui linearmente para a soma de matrizes, só é
então relevante calcular
i
ω h
n ω, ω ′ = ′ Tr δS ω, −ω ′ δS † (ω, −ω ′ ) ,
ω
(3.4)
o que serve de garantia para que não haja criação de partículas caso cessemos o movimento do espelho ou a variação temporal de suas propriedades. De fato, somente os
termos de correção δS devem contribuir para criar partículas.
Calculemos, agora, o espectro para ambas as situação consideradas aqui, nas quais
ocorrem o efeito Casimir dinâmico.
3.1 Criação de partículas devido a um espelho móvel
43
Vamos, então, substituir (2.51) em (3.4). Depois de feitas algumas simplificações, o
espectro apresentará o seguinte aspecto:
dN
dω
=
2ω
(2π)2
ˆ
∞
0
2
dω ′ ω ′ δQ(ω + ω ′ ) λ(ω, ω ′ ),
(3.5)
com
λ(ω, ω ′ ) = Re 2 − s+ (ω)s+ (ω ′ ) − s− (ω)s− (ω ′ ) + r+ (ω)r+ (ω ′ ) + r− (ω)r− (ω ′ ) .
(3.6)
Note que a função λ(ω, ω ′ ) depende somente das propriedades de transparência do espelho.
Pode-se realizar vários testes de consistência desta última expressão, e um deles, por
exemplo, é explorar a fórmula (3.5) no limite de espelhos perfeitos, o que será realizado na
próxima subseção. Para o caso particular em que se toma r+ (ω) = r− (ω) e s+ (ω) = s− (ω),
recupera-se o resultado já existente em [25]. Dessa expressão, podemos concluir, ainda,
que só há partículas criadas com frequências menores ou iguais à frequência de oscilação
do espelho. Para ilustrar isso, vamos então escolher, por conveniência, a seguinte lei de
movimento oscilatória amortecida para o espelho1 :
δq(t) = δq0 cos(ω0 t)e−|t|/T ,
(3.7)
sendo ω0 a frequência mecânica de oscilação do espelho e T o tempo característico de
oscilação.
O espectro de partículas criadas devido ao movimento do espelho, dado de maneira
geral pela fórmula (3.5), requer a expressão para δQ(ω), que para a nossa escolha de lei
1
Grande parte das referências, com as quais iremos comparar os resultados aqui obtidos, também escolhem
esta lei de movimento, que é conveniente por razões simples: ela simplifica consideravelmente os cálculos,
como veremos; e espera-se que, na prática em uma situação experimental, os espelhos obedeçam de fato a
leis de movimento como esta.
44
de movimento na equação (3.7) é dada por
1
1
δQ(ω) = δq0 T
+
.
1 + (ω − ω0 )2 T 2 1 + (ω + ω0 )2 T 2
(3.8)
A rigor, para o cálculo do espectro, precisamos da função |δQ(ω)|2 . Essa função, se
considerarmos ω0 T ≫ 1, apresenta dois picos muito acentuados em torno das frequências
ω = ±ω0 , portanto, nesse regime, essas devem ser as únicas frequências que contribuem
significativamente para o espectro. Para reforçar essa afirmativa, tracemos o gráfico de
|δQ(ω)|2 (veja figura 3.1).
Figura 3.1: Gráfico da função |δQ(ω)|2 com δq0 = 1; ω0 = 2 e T = 50.
Para finalizar a análise de |δQ(ω)|2 vejamos, ainda, a seguinte integral:
ˆ
∞
0
dω |δQ(ω)|
2
=
≈
δq02 T π 2 + T 2 ω02
2
1 + T 2 ω02
δq02 T π
se ω0 T ≫ 1.
2
(3.9)
E como δQ(ω) é uma função par, a integral na região ] − ∞, 0] apresenta o mesmo resultado.
Reunindo todas essas características acerca da função δQ(ω), podemos fazer a seguinte
aproximação:
|δQ(ω)|2 ≈
π 2
δq T [δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )] ,
2 0
(3.10)
45
no regime ω0 T ≫ 1.
Finalmente, substituindo (3.10) em (3.5), teremos
δq 2 T ω
dN
= 0
dω
4π
ˆ
∞
0
dω ′ ω ′ δ(ω + ω ′ − ω0 ) + δ(ω + ω ′ + ω0 ) λ(ω, ω ′ ).
(3.11)
Ainda, nota-se que, pelo fato de ω0 e ω serem positivos e a integral em ω ′ só abranger
os valores positivos, a segunda delta de Dirac na equação acima não contribui, pois seu
ponto fonte está fora da região de integração, portanto
dN
δq 2 T ω
= 0
dω
4π
ˆ
0
∞
dω ′ ω ′ δ(ω ′ − (ω0 − ω))λ(ω, ω ′ ).
(3.12)
Pode-se, aqui, também notar que o espectro só será não-nulo se ω0 ≥ ω. Teremos, portanto,
dN
δq 2 T
= 0 Θ(ω0 − ω)ω(ω0 − ω)λ(ω, ω0 − ω),
dω
4π
(3.13)
no qual a função de Heaviside Θ(ω0 − ω) garante que, de fato, não haverá partículas
criadas com frequência maior que a frequência de oscilação do espelho, confirmando o
que já havíamos dito. Esta informação fortalece a hipótese feita em (2.36), de que a
amplitude de oscilação do espelho é muito menor do que o comprimento de onda mínino
das partículas criadas.
Naturalmente, não há criação de partículas se o movimento do espelho for cessado, o
que pode ser verificado diretamente tomando-se δq0 = 0 ou T = 0 na equação (3.13).
Note, também, que o número total de partículas criadas N , obtido pela integração da
equação (3.13), será proporcional ao tempo de oscilação T , o que é esperado num sistema
com uma geometria aberta [4, 18]. Por conta disso, em vez de lidar com o número de
partículas criadas por si só, será mais interessante tratarmos com uma taxa de criação de
partículas N/T .
Destacamos, ainda, o fato de o espectro (3.13) apresentar uma simetria de reflexão em
relação ao ponto ω = ω0 /2, ou seja, o espectro não se altera pela troca ω ↔ ω0 − ω; isto é
uma assinatura de que as partículas são criadas ao pares [4, 18, 20]: para cada quantum
criado com certa frequência ω1 , há outro equivalente com frequência ω2 = ω0 − ω1 , de
46
modo que a energia do par seja dada por Epar = ~(ω1 + ω2 ) = ~ω0 , e, portanto, por
consequência desta simetria, a energia total das partículas criadas pode ser obtida através
de
1
E = N ~ω0 .
2
(3.14)
A seguir faremos algumas aplicações destas fórmulas.
3.1.1 Espelhos ideais
Nesta subseção aplicaremos a fórmula (3.13) para o limite de um espelho perfeito, ou
seja,
s± (ω) → 0
e
r± (ω) → e±iσ(ω)
(3.15)
para todas as frequências.
Neste limite, a função λ(ω, ω ′ ) toma a forma
i
h
′
λideal (ω, ω ′ ) = 2 1 + Re eiσ(ω) eiσ(ω ) .
(3.16)
Portanto, o formato do espectro vai depender, exclusivamente, da defasagem com que o
campo é refletido o qual, conforme já dissemos, depende somente da condição de contorno
imposta pelo espelho. Exploremos alguns casos específicos.
3.1.1.1
Condições de Dirichlet e Neumann
Podemos perceber, aqui, que se o espelho impõe a condição de Dirichlet, no qual
eiσ(ω) = −1, ou se o espelho impõe a condição de Neumann, no qual eiσ(ω) = 1 (basta
revisitar as equações (2.15), (2.16) e (2.19) para verificação), obtemos, para estes dois
casos, a mesma função
λD/N (ω, ω ′ ) = 4,
(3.17)
e, portanto, geram o mesmo espectro, dado por
ˆ ∞
2
8ω
dN =
dω ′ ω ′ δQ(ω + ω ′ ) ,
2
dω D/N (2π) 0
(3.18)
47
estando de acordo com a equivalência entre as condições de Dirichlet e Neumann no
contexto do efeito Casimir dinâmico em 1+1 dimensões [16, 18, 20].
Com a lei de movimento oscilatória que escolhemos (equação (3.7)) e a aproximação
feita na equação (3.10), obtemos o seguinte espectro para os casos Dirichlet e Neumann:
δq02 T
dN Θ(ω0 − ω)ω(ω0 − ω),
=
dω D/N
π
(3.19)
e, por conseguinte, o número total de partículas, dado em geral por (3.1c), será
ND/N =
δq02 T
π
ˆ
ω0
0
dω ω(ω0 − ω) =
δq02 T ω03
.
6π
(3.20)
Este resultado foi obtido por [25].
Neste caso, a taxa de criação de partículas, N/T , é uma função monotonicamente
crescente da frequência de oscilação do espelho, o que poderíamos intuitivamente esperar:
“se mover um espelho gera partículas, então mover o espelho mais freneticamente gera
mais partículas”. Este é, no entanto, um raciocínio ingênuo; veremos adiante, ao discutir
a condição de Robin, que isto não ocorre sempre.
Nota-se que na vizinhança do ponto de simetria do espectro, ω = ω0 /2, ocorre uma
máxima criação de partículas (como está ilustrado na figura 3.2). Esta característica do
espectro, já destacada por [25], pode ser de grande utilidade numa situação experimental, por exemplo, para distinguir as partículas criadas (via efeito Casimir dinâmico) que
estarão amalgamadas com as outras já existentes ou de quaisquer efeitos espúrios.
3.1.1.2
Condição de Robin
Outra condição que será, aqui, explorada é a condição de Robin. Já vimos anteriormente que, diferentemente dos casos de Dirichlet e Neumann, esta apresenta um termo
de fase não trivial que depende da frequência do campo incidente. Este termo de fase −
basta revisitar as equações (2.17) e (2.19) para verificação − é dado por
eiσ(ω) = −
1 + iγω
,
1 − iγω
(3.21)
48
Figura 3.2: No eixo vertical: o espectro π/(δq02 T ) dN/dω como função de ω/ω0 para os
casos Dirichlet e Neumann. Há uma simetria em relação ao ponto onde ocorre a máxima
criação de partículas, ω = ω0 /2.
portanto, substituindo a equação acima em (3.16) obtem-se
2
4 1 − γ 2 ωω ′
λRobin (ω, ω ) =
,
(1 + γ 2 ω 2 ) (1 + γ 2 ω ′2 )
′
(3.22)
que nos limites apropriados, como é esperado da condição de Robin, recupera a função
λ(ω, ω ′ ) = 4 dos casos Dirichlet e Neumann.
Substituindo (3.22) em (3.5), obtemos o espectro para esse caso, que é dado por
2
ˆ ∞
dN 4ω
dω ′ ω ′ 1 − γ 2 ωω ′ ′ 2
δQ(ω
+
ω
)
.
=
dω Robin π (1 + γ 2 ω 2 ) 0 2π
1 + γ 2 ω ′2
(3.23)
Esse resultado já fora obtido por Mintz et al [18, 20]2 .
Para nossa escolha de lei de movimento e com a aproximação feita em (3.10) (a mesma
escolhida nos trabalhos de Mintz et al) obtemos:
2
δq02 T ω(ω0 − ω) 1 − γ 2 ω(ω0 − ω)
dN Θ(ω0 − ω).
=
dω Robin
π (1 + γ 2 ω 2 ) 1 + γ 2 (ω − ω)2
0
(3.24)
2
Na verdade, esse é o dobro do resultado de Mintz et al. O fator 2 aparece aqui porque estamos levando
em conta as partículas criadas em ambos os lados do espelho, enquanto que nos trabalhos de Mintz et al
considera-se apenas o lado direito.
49
Nota-se que o espectro, para este caso, diferentemente dos casos Dirichlet e Neumann,
não apresenta em geral uma criação máxima de partículas na vizinhança de ω = ω0 /2
(ilustrado na figura 3.3). Ao aumentar o valor de γ, partindo de γ = 0 (caso Dirichlet),
o pico, que inicialmente ocorre no centro do espectro, começa a reduzir-se bruscamente,
culminando na formação de dois picos próximos às bordas ω = 0 e ω = ω0 . A partir de
um certo valor próximo de γω0 = 2, o espectro torna a aumentar até recuperar a sua
forma inicial (caso Neumann), o que já era esperado uma vez que os espectros dos casos
Dirichlet e Neumann são, neste contexto, idênticos.
Figura 3.3: No eixo vertical, o espectro π/(δq02 T ) dN/dω como função de ω/ω0 . Estamos
considerando ω0 = 1 . A linha tracejada é o espectro de Robin com γ = 0, que, como já
sabemos, é identicamente ao de Dirichlet. As linhas contínuas são os espectros de Robin
para diferentes valores de γ. Perceba que nenhuma das linhas contínuas ultrapassa a linha
tracejada.
O espectro do caso Robin é sempre menor ou igual ao espectro do caso Dirichlet3 . A
grosso modo, o espectro de Robin é o próprio espectro de Dirichlet multiplicado por um
fator de redução; para chegar a essa conclusão, além de contar com a análise dos gráficos
3
Doravante, considerando que o leitor já está informado que os espectros dos casos Dirichlet e Neumann
são idênticos, passaremos a escrever apenas “Dirichlet” ao invés de “Dirichlet e Neumann” ao fazer menção
ao espectro destes casos.
50
na figura 3.3, basta comparar as equações (3.19) e (3.24), a saber


2

 dN 2
1 − γ ω(ω0 − ω)
dN i
h
=
.
dω Robin  (1 + γ 2 ω 2 ) 1 + γ 2 (ω − ω)2  dω Dirichlet
0
(3.25)
O fator entre chaves nesta última equação, para qualquer valor de γ é sempre menor ou
igual a 1, por esse motivo o chamamos de fator de redução.
O número total de partículas criadas, dado em geral pela integral em (3.1c), para este
caso é dado por [20]
N=
δq02 T ω03
F (γω0 ),
π
(3.26)
sendo
x 4x + x3 + 12 arctan(x) − 6(2 + x2 ) log(1 + x2 )
.
F (x) =
6(4 + x2 )x2
(3.27)
Nos limites em que recuperam-se as condições de Dirichlet e Neumann, a função F = 1/6,
portanto, nestes limites, a taxa de criação do caso Robin (3.26) recupera, como o deveria,
a taxa dos casos de Dirichlet e Neumann (3.20).
Note que para o caso de Robin, diferentemente dos casos de Dirichlet e Neumann,
a taxa de criação de partículas não é monotonicamente crescente de ω0 ; na figura 3.4
pode-se observar que na vizinhança de ω0 γ = 2 a curva apresenta uma variação negativa,
portanto, ocorre uma dimuição na taxa de partículas criadas ao aumentar-se ω0 . Note,
ainda, que a razão entre as taxas de criação do caso Robin e do caso Dirichlet NR /ND =
6F (ω0 γ) ≤ 1, e na vizinhança de ω0 γ = 2 esta razão é mínima (ver figura 3.5).
51
Figura 3.4: No eixo vertical, a taxa de criação de partículas (π/δq02 )(N/T ). Neste caso, a
taxa não é uma função monotonicamente crescente de ω0 , diferentemente do que ocorre
nos casos de Dirichlet e Neumann.
Figura 3.5: No eixo vertical, a redução da taxa de criação de partículas do caso Robin em
relação ao caso Dirichlet NR /ND .
A função λ(ω, ω ′ ), dada pela equação (3.16), mostra que no caso de espelhos ideais
o espectro depende exclusivamente da defasagem σ(ω) do campo refletido (quando o
espelho está parado); e a função λ(ω, ω ′ ) pode assumir valores no intervalo [0, 4]. Supo-
52
nhamos, então, que alguma condição de contorno fizesse com que o campo fosse refletido
com σ(ω) = π/2 para todo ω; esta condição geraria λ(ω, ω ′ ) = 0 e, consequentemente,
segundo a equação (3.13), o espectro seria nulo. Em contrapartida, quando a condição de
contorno gera λ(ω, ω ′ ) = 4, que são os casos de Dirichlet e Neumann nos quais σ(ω) = π
e σ(ω) = 0, o espectro assume seu valor máximo em cada valor de ω; isso garante que
qualquer condição de contorno4 irá gerar sempre um espectro menor que o dos casos de
Dirichlet e Neumann.
Já dissemos que somente os modos com frequências ω < ω0 contribuem para a criação
de partículas, então, no caso de Robin, em que a defasagem pode ser controlada pelo
parâmetro γ, quando ω0 γ ≪ 1 ter-se-ia σ ≈ π, ou seja, quase todos os modos seriam
refletidos como no caso da condição de Dirichlet e, portanto, λ ≈ max(λ) =4. Porém, se
ω0 γ ≈ 1 grande parte dos modos seriam refletidos com defasagem σ ≈ π/2, isso geraria
λ ≈ min(λ) =0, e, portanto, não contribuiriam para o espectro. Isso explica a diminuição
do espectro observada nos gráficos da figura 3.3. Este efeito é ainda mais evidente quando
ω0 γ ≈ 2 (figura 3.5). Por último, se ω0 γ ≫ 1, apenas uma quantidade insignificante de
modos seriam refletidos com σ ≈ π/2; a maior parte deles seriam refletidos com σ ≈ 0
como no caso da condição de Neumann e, portanto, λ ≈ 4, explicando o fato do espectro
tornar a aumentar.
3.1.1.3
Condição Robin generalizada
Ainda no contexto de espelhos ideais, vamos considerar a condição de contorno de
Robin generalizada (1.12), que acrescenta um termo de derivada temporal na condição
de Robin usual. Neste caso, a fase do campo refletido será, conforme dissemos na equação
(2.18), dada por:
eiσ(ω) =
1 − αω 2 + iγω
,
1 − αω 2 − iγω
(3.28)
portanto, substituindo a equação acima em (3.16) obtem-se:
2
1 − αω ′2 − γ 2 ωω ′
i,
ih
λRG (ω, ω ) = h
(1 − αω 2 )2 + γ 2 ω 2 (1 − αω ′2 )2 + γ 2 ω ′2
′
4
4
1 − αω 2
(3.29)
Desde que não haja nenhum parâmetro dependente do tempo envolvido na condição de contorno.
53
na qual, se tomarmos α = 0 recupera-se (3.22).
Substituindo (3.29) em (3.5), obtemos o espectro para esse caso como sendo
dN =
dω RG
4ω
i×
π (1 − αω 2 )2 + γ 2 ω 2
2
ˆ ∞
dω ′ ω ′ 1 − αω 2 1 − αω ′2 − γ 2 ωω ′ ′ 2
δQ(ω
+
ω
)
. (3.30)
×
2π
(1 − αω ′2 )2 + γ 2 ω ′2
0
h
Não encontramos na literatura, para fins de comparação, nenhum trabalho que tenha
considerado esta mesma condição de contorno no contexto de espelhos móveis.
Para nossa escolha de lei de movimento e com a aproximação feita na equação (3.10)
obtemos:
dN =
dω RG
×
ω(ω0 − ω)
δq02 T
i×
h
π (1 − αω 2 )2 + γ 2 ω 2
2
1 − αω 2 1 − α(ω0 − ω)2 − γ 2 ω(ω0 − ω)
(1 − α(ω0 − ω)2 )2 + γ 2 (ω0 − ω)2
Θ(ω0 − ω),
(3.31)
novamente, se tomarmos α = 0 recupera-se (3.24). Note que se se fizermos γ = 0, independente de qualquer escolha para o parâmetro α, o espectro do caso Robin generalizado,
dado pela equação acima, reduz-se ao do caso Dirichlet, como esperado. Ainda, escolher
valores negativos para α modificaria o espectro, diferentemente do que aconteceria se
fizéssemos o mesmo com γ, pois este último sempre aparece elevado ao quadrado.
Uma discussão sobre as implicações dos termos de fase sobre o espectro seguiria, aqui,
de forma muito semelhante à que já foi feita no caso de Robin usual (com α = 0), portanto, para tentar não sermos repetitivos, não a faremos. Limitaremo-nos a mostrar graficamente, na figura (3.6), como a inserção da derivada temporal influencia no espectro de
Robin.
54
Figura 3.6: No eixo vertical, o espectro π/(δq02 T ) dN/dω como função de ω/ω0 . A
linha tracejada é o espectro com γ = α = 0, que, como já sabemos, é identicamente ao
de Dirichlet e, portanto, sempre o maior. As linhas contínuas são os espectros de Robin
generalizado para diferentes valores de γ e α.
3.1.2 Espelhos parcialmente refletores
Nesta subseção, aplicaremos a fórmula (3.13) para o caso de um espelho parcialmente
refletor. Os campos de ambos os lados do espelho, que eram isolados no caso do espelho
perfeito, agora misturam-se. Neste caso, com base no que foi dito na subseção 2.2.1, o
campo transmitido também interage com o espelho e sofre, em geral, uma mudança de
fase, por conta disso deve, certamente, contribuir para o espectro; de fato, os coeficientes
de transmissão s+ (ω) e s− (ω) aparecem explicitamente na fórmula do espectro (3.5).
Apesar disso, quando o espelho é totalmente transparente, isto é, quando s± (ω) = 1 e
r± (ω) = 0, essa contribuição desaparece pois λ(ω, ω ′ ) = 0.
Precisamos escolher, então, elementos da matriz de espalhamento tais que s± (ω) 6= 0,
55
que satisfaçam as propriedades listadas na subseção 2.2.1 e recuperem, nos limites adequados, os casos ideais discutidos na subseção anterior. Comecemos escolhendo coeficientes tipo Dirichlet e tipo Neumann.
3.1.2.1
Condições tipo Dirichlet e tipo Neumann
Coeficientes que satisfazem todas as propriedades desejadas, e no limite de um espelho perfeito recaem no caso Dirichlet já foram mencionados na equação (1.18), são
aqueles considerados por Barton e Calogeracos [24]. Adaptando tais coeficientes para
nosso padrão de notação teremos
r+ (ω) = r− (ω) = −
iωc
ω + iωc
s+ (ω) = s− (ω) =
e
ω
,
ω + iωc
(3.32)
lembrando que ωc é o parâmetro que controla a refletividade do espelho. De fato, no
limite de um espelho perfeito (ωc → ∞),
r± (ω) = −1
e
s± (ω) = 0,
(3.33)
recai-se no caso Dirichlet.
Ainda, uma outra pequena adaptação a tais coeficientes permite que no limite do espelho perfeito recupere-se o caso de Neumann; basta fazer r± (ω) → −r± (ω), a saber
r± (ω) =
iωc
ω + iωc
e
s± (ω) =
ω
,
ω + iωc
(3.34)
recaindo, de fato, no caso Neumann quando ωc → ∞.
Substituindo então (3.32) ou (3.34) em (3.6) virá:
′
λ(ω, ω ) =
2ωc2
2ωc2 + ω ′2 + ω 2
.
(ωc2 + ω 2 ) (ωc2 + ω ′2 )
(3.35)
Note que o sinal “±” do coeficiente de reflexão não faz nenhuma diferença à função
λ(ω, ω ′ ), mostrando, então, que os casos tipo Dirichlet e tipo Neumann apresentam o
mesmo espectro.
56
Desse modo, de acordo com a equação (3.13), o espectro para estes casos (tipo Dirichlet e tipo Neumann) será dado por:
dN
2ω 2 + (ω0 − ω)2 + ω 2
δq 2 T
= 0 Θ(ω0 − ω)ω(ω0 − ω)ωc2 2 c 2
.
dω
2π
(ωc + ω ) (ωc2 + (ω0 − ω)2 )
(3.36)
Figura 3.7: No eixo vertical, o espectro π/(δq02 T ) dN/dω como função de ω/ω0 para
diferentes valores de ωc
Por comparação, a grosso modo, o espectro no caso tipo Dirichlet é igual ao espectro
do caso ideal − que é o próprio caso Dirichlet − multiplicado por um fator de redução:
2
ωc 2ωc2 + (ω0 − ω)2 + ω 2
dN dN
=
.
dω
2 (ωc2 + ω 2 ) (ωc2 + (ω0 − ω)2 ) dω Ideal
(3.37)
O fator de redução é o termo entre colchetes e o espectro do caso ideal é dado por (3.19).
O fato de os coeficientes de reflexão e transmissão serem complexos implica que, além
de apresentar variações na refletividade (|r(ω)| ≤ 1), o campo será espalhado com uma
mudança de fase. Para ilustrar isso, examinemos, por exemplo, o coeficiente de reflexão
do caso tipo Neumann:
r± (ω) =
ωc
iωc
= |r(ω)|eiσ(ω) = p
ei arctan(ω/ωc ) .
2
ω + iωc
ω + ωc2
(3.38)
57
Naturalmente, quando aumenta-se o valor de ωc aumenta-se a refletividade |r(ω)|; mas
note que surge um fator de fase não trivial σ(ω) que depende do parâmetro ωc , e isso
retoma uma discussão já feita anteriormente (no final seção em que se discute o caso
Robin 3.1.1.2) acerca das implicações da defasagem sobre o espectro, e explica o fato do
pico do espectro (figura 3.7) sofrer uma redução mais acentuada que os demais pontos
conforme reduz-se a razão ωc /ω0 , culminando no surgimento de dois picos próximos às
bordas ω = 0 e ω = ω0 . Em suma, o parâmetro ωc , além de controlar a refletividade do
espelho, também controla a defasagem do campo espalhado, e a defasagem, por sua vez,
pode modificar o formato do espectro.
Como somente os modos com frequência ω < ω0 contribuem para o efeito, o limite
de um espelho perfeito acaba por se tornar ω0 /ωc ≪ 1, ou seja, quando a frequência
de corte ωc é muito maior que a frequência ω0 praticamente todos os modos serão refletidos como se estivessem incidindo sobre um espelho perfeito. No outro caso extremo,
quando ω0 /ωc ≫ 1 ter-se-ia o espelho transparente a todas as frequências, e praticamente
todos os modos relevantes (aqueles com ω < ω0 ) seriam, portanto, transmitidos totalmente (não sentiriam a presença do espelho). No caso intermediário, quando ω0 /ωc ∼ 1,
parte considerável dos modos refletir-se-iam parcialmente; seria este, portanto, o espelho
parcialmente transparente.
A taxa de criação de partículas, obtida pela integração da equação (3.36), é dada por
δq 2
N
= 0 ω03 G(ω0 /ωc ),
T
2π
(3.39)
2 arctan(x) + x ln x2 + 1 − 2x
G(x) =
.
x3
(3.40)
na qual
No limite de um espelho perfeito temos G(x → 0) = 1/3, o que está em concordância com
a equação (3.20). No caso do espelho transparente para todas as frequências (ω0 /ωc ≫ 1)
o espectro é nulo.
Comparando a taxa de criação do caso semitransparente com a taxa do caso ideal teremos N/Nideal = 3G(ω0 /ωc ) ≤ 1. Esta razão representa ‘como’ e ‘o quanto’ a taxa de criação
diminui conforme tornarmos o espelho cada vez mais transparente; ela depende unica-
58
mente da variável adimensional ω0 /ωc tendendo, assintoticamente (e monotonicamente
decrescente), a 0 quando ω0 /ωc ≫ 1; o que seria esperado já que o espelho totalmente
transparente não gera partículas. Este comportamento está ilustrado na figura 3.8.
Figura 3.8: No eixo vertical, a razão entre as taxas dos casos semitransparente e ideal,
N/Nideal , como função de ω0 /ωc .
Poderíamos, intuitivamente, esperar que quanto mais transparente fosse o espelho
menos partículas ele geraria, uma vez que menos modos do campo iriam interagir com o
espelho e contribuir efetivamente para a criação de partículas. No entanto, é preciso ter
cuidado com esse raciocínio; veremos, adiante, que isto não ocorre sempre.
3.1.2.2
Condições tipo Robin usual e tipo Robin generalizado
Fazem-se necessários coeficientes que no limite de um espelho perfeito recaiam naqueles associados à condição de Robin. Para isso, faremos outra adaptação aos coeficientes
de Barton e Calogeracos:
1 − αω 2 ± iγω
iωc
r± (ω) =
2
1 − αω ∓ iγω ω + iωc
e
s± (ω) =
ω
,
ω + iωc
(3.41)
59
(para não sermos repetitivos vamos discutir apenas o caso da condição de Robin generalizada, já que tomando-se α = 0 recupera-se o caso de Robin usual).
O campo, para esta escolha de coeficientes, é transmitido tal qual nos casos tipo Dirichlet e tipo Neumann: com defasagem devido as propriedades de transparência do espelho.
Para o campo refletido, além da defasagem devido a transparência do espelho, incluimos
um termo de defasagem que é aquele experimentado quando o espelho impõe a condição
de Robin generalizada (é o fator entre colchetes nessa última equação).
Antes de prosseguirmos, alguns esclarecimentos fazem-se necessários. As adaptações
que temos feito aos coeficientes de Barton e Calogeracos são, na verdade, fruto de uma
propriedade de matrizes unitárias, tal como o é a matriz de espalhamento. A propriedade de unitariedade continua inalterada pela seguinte modificação da matriz de espalhamento:
S(ω) → eiηh(ω) S(ω)e−iηh(ω) ,
(3.42)
sendo h(ω) uma função real, a saber
†
S(ω)S (ω) = eiηh(ω) S(ω)e−iηh(ω) eiηh(ω) S † (ω)e−iηh(ω) = I;
(3.43)
ainda, se h(−ω) = −h(ω) (é direto mostrar que no caso da equação (3.41) isto é satisfeito), as outras propriedades da matriz de espalhamento também permanecem inalteradas.
As matrizes exp [iηh(ω)] têm, explicitamente, o seguinte formato:
exp (iηh) =
h2 h4
1−
+
+ ···
2!
4!
h3 h5
+
+ ···
+ iη h −
3!
5!
= cos h + iη sen h


0
 cos h + i sen h

= 
.
0
cos h − i sen h
Portanto


1
0
1
 exp 2 ih(ω)

exp iηh(ω) = 
;
2
1
0
exp − 2 ih(ω)
(3.44)
(3.45)
60
o fator 1/2 surgiu nesta última para fins de simplificação.
Com essa modificação, a matriz de espalhamento passaria a ser


S(ω) → 
s(ω)
r(ω)eih(ω)
r(ω)e−ih(ω)
s(ω)


,
(3.46)
de outra forma,
s± (ω) = s(ω) =
ω
ω + iωc
e
r± (ω) = r(ω)e±ih(ω) =
iωc
e±ih(ω) .
ω + iωc
(3.47)
Esta modificação não altera o coeficiente de transmissão, mas acrescenta um fator de fase
extra ao coeficiente de reflexão. Explorando esta propriedade de matrizes unitárias podese adaptar, tal como fizemos, a matriz de espalhamento tipo Dirichlet para, por exemplo,
tipo Robin. Tudo que fizemos foi escolher
e±ih(ω) =
1 − αω 2 ± iγω
.
1 − αω 2 ∓ iγω
(3.48)
A rigor, qualquer modificação pode ser feita na matriz de espalhamento desde que suas
propriedades permaneçam inalteradas. A modificação que fizemos já é suficiente para
nossos interesses. Dito isto, voltemos ao cômputo do espectro.
Com os coeficientes escolhidos teremos
ω
iωc
ω′
iωc
′
λ(ω, ω ) = 2Re 1 −
+
H(ω, ω ) ,
ω + iωc ω ′ + iωc ω + iωc ω ′ + iωc
′
(3.49)
sendo
′
H(ω, ω ) =
1 − αω 2
2 2
1 − αω ′2 − γ 2 ωω ′ − γω 1 − αω ′2 + γω ′ 1 − αω 2
i
ih
h
(3.50)
(1 − αω 2 )2 + γ 2 ω 2 (1 − αω ′2 )2 + γ 2 ω ′2
um fator que depende unicamente dos parâmetros de Robin.
Para obter o espectro basta substituir (3.49) em (3.13). Na figura 3.9 mostramos
alguns gráficos do caso tipo Robin.
61
diferentes valores de ωc . A linha pontilhada é o caso Dirichlet, inserida para fins de comparação (todas as curvas terão áreas menores que a curva do caso Dirichlet); a linha sólida
é o caso ideal com parâmetros γ e α indicados no título de cada gráfico; as linhas tracejada
e tracejada-pontilhada representam o caso tipo Robin para diferentes valores de ωc , especificamente ωc /ω0 = 0.4 (tracejada) e ωc /ω0 = 0.1 (tracejada-pontilhada). Para valores
de α 6= 0, os gráficos são, obviamente, diferentes mas com comportamentos semelhantes.
Para todos os gráficos escolhemos ω0 = 1.
Analisando a figura 3.9, notamos que o espectro do caso ideal (linha sólida) é mais
sensível às variações do parâmetro γ que os espectros dos casos semitransparentes (linhas
tracejada e tracejada-pontilhada). Para γ = 0.1 ≈ 0, naturalmente, nada é muito diferente
3.2 Criação de partículas com um espelho tipo Robin estático
62
ao que ocorre no caso tipo Dirichlet, como pode ser visto comparando o primeiro gráfico
da figura 3.9 com a figura 3.7. Para γ = 1.4, o espectro do caso ideal reduz-se dramaticamente − como já é sabido da condição de Robin − enquanto os do caso semitransparente
alteram-se bem pouco, o que dá origem a um fato não intuitivo: o espelho ideal acaba por
gerar menos partículas (área abaixo do gráfico) que o espelho semitransparente, como se
pode facilmente perceber no segundo gráfico. Para γ = 2.0 − escolha que faz o caso Robin
gerar um mínimo de partículas − o caso ideal gera ainda menos partículas, sendo ultrapassado por todos no terceiro gráfico. Aumentando-se ainda mais o valor de γ, o espectro
do caso ideal volta a ultrapassar os do casos semitransparentes. Para γ = 7.0, o caso ideal
torna a gerar mais partículas que os demais. A partir deste ponto, se aumenta-se o valor
de γ o espectro retoma seu formato inicial.
Nesta seção, procedendo exatamente como na seção anterior, faremos uso das equações (3.1) para computar o espectro de criação de partículas, mas, agora, devido a um
espelho parado, mas que impõe uma condição de contorno tipo Robin (generalizado) cujo
parâmetro de Robin associado é uma função dependente do tempo. Desse modo, os resultados desta subseção serão uma generalização do trabalho de Silva e Farina (2011) [21].
Ainda, pelo fato de levarmos em consideração a condição tipo Robin generalizado, nossos
resultados generalizam também um trabalho de Rego, Alves, Silva e Farina [27].
A matriz S(ω, ω ′ ) para o modelo considerado nesta seção é dada explicitamente pela
equação (2.75a), mas, na prática, de acordo com o que foi visto na equação (3.4), tudo
que precisamos é da parcela δS(ω, ω ′ ).
Substituindo (2.75b) em (3.4) e o resultado disso em (3.1a), obteremos, depois de
algumas simplificações, a seguinte expressão para o espectro:
dN
2ω
=
dω
(2π)2
ˆ
∞
0
2
dω ′ ω ′ δΓ(ω + ω ′ ) ζ(ω, ω ′ ),
(3.51)
63
que apresenta exatamente a mesma estrutura da equação (3.5), sendo aqui
ζ(ω, ω ′ ) = Re
n
2 o
2 − s+ (ω)s+ (ω ′ ) − s− (ω)s− (ω ′ ) G(ω, ω ′ ) +
n
2
2 o
, (3.52)
Re r+ (ω)r+ (ω ′ ) G(ω, ω ′ ) + r− (ω)r− (ω ′ ) G ∗ (ω, ω ′ )
no qual, para simplificar, definimos a função
G(ω, ω ′ ) ≡
1 − iα0 ω ′
,
1 − γ0 α0 ω 2 + iγ0 ω
(3.53)
e as funções r± e s± são aquelas que no limite de um espelho perfeito tornam-se
r± (ω) →
1 − α0 γ0 ω 2 ± iγ0 ω
1 − α0 γ0 ω 2 ∓ iγ0 ω
e
s± (ω) → 0.
(3.54)
De acordo com a equação (3.51), tudo que precisamos é escolher uma lei de variação
para o parâmetro de Robin e especificar quais são os coeficientes de reflexão e transmissão.
Vamos escolher a seguinte lei de variação do parâmetro de Robin:
δγ(t) = δγ0 cos(ω0 t)e−|t|/T ;
(3.55)
com esta escolha, poderemos fazer analogia deste caso ao caso do espelho móvel (3.7).
Além disso, essa escolha pode ainda simular a variação de um campo magnético num
SQUID fixo no extremo de uma linha de trasmissão unidimensional [21, 5], o que esta
diretamente conectado com o modelo teórico do experimento que mediu o efeito Casimir
dinâmico em laboratório [10, 11]. Sabemos da equação (3.10) que, no limite ω0 T ≫ 1,
podemos fazer a seguinte aproximação para a transformada de Fourier de δγ(t):
|δΓ(ω)|2 ≈
π 2
δγ T [δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )] .
2 0
(3.56)
Substituindo esta última equação em (3.51) obteremos
dN
δγ 2 T
= 0 Θ(ω0 − ω)ω(ω0 − ω)ζ(ω, ω0 − ω).
dω
4π
(3.57)
64
Isto garante que aqui, analogamente ao caso do espelho móvel, só haverá partículas criadas com frequências menores que a frequência característica de variação do parâmetro de
Robin (ω < ω0 ). Pelo fato do modelo aqui também apresentar uma geometria aberta, o
número total de partículas, dado pela integral da equação acima, também será proporcional ao tempo característico T . Por outro lado, diferentemente do caso do espelho móvel,
aqui o espectro não é, em geral, invariante pela troca ω ↔ ω0 − ω, ou seja, não apresenta
simetria de reflexão em relação ao ponto ω = ω0 /2 (o que ficará evidente mais adiante);
para o caso do espelho ideal esta simetria se mantém. No entanto, não podemos afirmar
que por esse motivo as partículas não sejam criadas aos pares.
3.2.1 Espelho ideal
Nesta seção, vamos investigar o caso em que o espelho é feito ideal, no qual os coeficientes de reflexão e transmissão são aqueles dados pela equação (3.54); substituindo-os
então na equação (3.52) obtemos
ζ(ω, ω ′ ) = h
(1 − α0 γ0
ω 2 )2
+ γ02 ω 2
4
ih
(1 − α0 γ0 ω ′2 )2 + γ02 ω ′2
i,
(3.58)
que depende dos parâmetros γ0 e α.
Substituindo (3.58) em (3.57), obtemos o espectro para este caso particular:
dN (ω0 − ω) Θ(ω0 − ω)
ω
δγ02 T
,
=
dω RG
π (1 − α0 γ0 ω 2 )2 + γ02 ω 2 [1 − α0 γ0 (ω0 − ω)2 ]2 + γ02 (ω0 − ω)2
(3.59)
que apresenta, como dissemos, a simetria de reflexão em relação ao ponto ω = ω0 /2. Este
é o espectro de criação de partículas para um espelho que impõe a condição de Robin
generalizada com parâmetros γ = γ(t) = γ0 + δγ(t) e α = α0 γ(t); é o mesmo resultado
obtido por [27], a menos de um fator multiplicativo 2 que surge aqui pelo fato de levarmos
em consideração, diferetemente de [27], ambos os lados do espelho.
Particularmente, se tormarmos α0 = 0 obtemos
2 δγ0 T
dN ω(ω0 − ω)
i Θ(ω0 − ω),
=
h
dω Robin
π
1 + γ02 ω 2 1 + γ02 (ω0 − ω)2
(3.60)
65
e recuperamos assim o resultado de Silva e Farina [21] (a menos do fator 2).
vários valores
de γ0 . A linha sólida corresponde a γ0 = 1; a linha tracejada corresponde
2 T ) dN/dω com γ = 5; a linha tracejada-pontilhada corresponde a 100 ×
a
20
×
π/(δq
0
0
π/(δq02 T ) dN/dω com γ0 = 10.
O espectro para este caso − assim como nos casos de Robin e tipo Dirichlet quando
o espelho é móvel − é, a grosso modo, o espectro do caso Dirichlet multiplicado por um
.
fator de redução (se considerarmos, é claro, que δq0 = δγ0 ):
dN dN 1
.
i
,
=
h
dω Robin
1 + γ02 ω 2 1 + γ02 (ω0 − ω)2 dω Dirichlet
(3.61)
Para obter a taxa de criação de partículas (ainda com α0 = 0) basta-nos integrar a
equação (3.60):
N
=
T
δγ02 ω03
π
H(γ0 ω0 ),
(3.62)
no qual
H(x) =
(2 + x2 ) ln(1 + x2 ) − 2 arctan(x)
.
x4 (4 + x2 )
(3.63)
66
Figura 3.11: No eixo vertical, a taxa de criação de partículas π/(δγ02 ) N/T como função
de ω0 γ0 . A figura de dentro é o mesmo gráfico com uma visão mais geral.
Quando γ0 ω0 ≪ 1 a função H(x) = 1/6, com isso a taxa de criação de partículas fica
idêntica àquela do caso Dirichlet com espelho móvel na equação (3.20), a saber
N
δγ 2 ω 3
≈ 0 0
T
6π
quando
γ0 ω0 ≪ 1.
(3.64)
Em contrapartida, quando γ0 ω0 ≫ 1 a taxa de criação será
N
≈
T
δγ02 ω03
π
2 ln(γ0 ω0 )
(γ0 ω0 )4
quando
γ0 ω0 ≫ 1,
(3.65)
que desaparece quando γ0 ω0 → ∞ (figura 3.11). Em suma: aumentando o valor de ω0 ,
mantendo γ0 fixo, a taxa, de início, também aumenta; em algum ponto, se continuarmos a
aumetar o valor de ω0 , a taxa de criação passará a diminuir − mesmo comportamento observado no caso Robin com espelho móvel −, no entanto este comportamento se mantém,
aumentando ainda mais ω0 , a taxa tenderá assintoticamente a zero (figura 3.11) − diferente do que acontece no caso Robin com espelho móvel em que a taxa torna a aumentar
tendendo, monotonicamente, a infinito (figura 3.4).
67
Como espera-se, em princípio, que a condição de Robin com parâmetro dependente do
tempo simule um espelho móvel, faremos analogias entre esses dois casos: quando γ0 → 0
o espelho se comporta como um que impõe a condição de Dirichlet ao campo; quando
γ0 → ∞, mantendo ω0 6= 0, o espelho se comporta como um espelho parado (que não
gera partículas); quando γ0 é finito, o espelho tem, de certa forma, um comportamente
semelhante ao de um espelho móvel que impõe a condição de Robin, apresentando um
ponto máximo5 de criação de partículas. Tudo isso está ilustrado na figura (3.12).
Figura 3.12: No eixo vertical: a linha sólida é a razão das taxas de criação com γ0 = 0 e
γ0 6= 0, (Nγ0 =0 ) /N , como função de ω0 γ0 para o caso Robin com parâmetro dependente
do tempo. A linha tracejada é o gráfico da figura 3.5 (com γ ≡ γ0 ), inserido aqui para fins
de comparação.
3.2.2 Espelho parcialmente refletor
Os coeficientes que vamos utilizar para este caso são os mesmos da equação (3.41)
(faremos pequenos ajustes). Estes satisfazem todas as propriedades desejadas e no limite
de um espelho perfeito recuperam aqueles da subseção anterior.
O procedimento para obteção do espectro é o mesmo da subseção anterior − substituir
os coeficientes de espalhamento em (3.52) e o resultado disso em (3.57) − e, aqui, as
5
Local no caso de um espelho móvel; global no caso de um espelho parado com parâmetro de Robin
dependente do tempo.
68
fórmulas não têm uma estrutura interessante para análises, portanto, para tentar não
deixar este trabalho monótono, preferimos omitir tais fórmulas e apresentar somente os
gráficos. Ainda, limitaremo-nos aos casos em que α0 = 0, pois o comportamento dos
gráficos é o mesmo independente do valor de α0 . Desse modo, na prática, examinaremos
o caso em que os coficientes são
1 ± iγ0 ω
iωc
r± (ω) =
1 ∓ iγ0 ω ω + iωc
e
s± (ω) =
ω
.
ω + iωc
(3.66)
vários valores de ωp e γ0 = 1; fixamos ω0 = 1. A linha sólida corresponde ao limite de
um espelho perfeito ja mostrado na figura 3.10; a linha tracejada corresponde ao caso em
que ωp = 0.4; a linha tracejada-pontilhada corresponde ao caso em que ωp = 0.1; a linha
pontilhada corresponde ao caso em que ωp = 0.05. Multiplicamos todos esses casos por
1.5 pra manter a escala.
Estes gráficos (figura 3.13) são bastantes semelhantes aos do caso tipo Dirichlet (figura
3.7) − a não ser pelo fato da assimetria que surge aqui − onde quanto mais transparente
é o espelho menor é o espectro. Aqui, o espectro é ligeiramente reduzido do lado direito e
se mantém praticamente o mesmo do lado esquerdo, o que deixa o espectro com formato
assimétrico. Isso ocorre porque ω0 /ωp = 0.4, ou seja, ω0 é 40% de ωp , portanto alguns
modos (aqueles com ω ≈ ω0 ) sentirão menos a presença do espelho do que outros (aqueles
69
com ω ≈ 0), já que quanto maior a frequência do modo incidente menos este modo percebe
o espelho.
pontilhada corresponde ao caso em que ωp = 0.05. Multiplicamos todos esses casos por 6
pra manter a escala.
Quando γ0 = 5 (figura 3.14) percebemos que o espectro do caso ideal é bem mais
sensível às variações do parâmetro γ0 que os espectros dos casos semitransparentes. A
assimetria ficou muito mais envidente quando aumentamos γ0 . Assim como no caso do
espelho móvel, aqui o espelho perfeito acaba gerando menos partículas que o espelho
semitransparente. Quando γ0 = 10 (figura 3.15) o comportamento do espectro é o mesmo,
com o espelho ideal gerando ainda menos partículas em comparação ao semitransparente.
Em suma, no caso do espelho ideal, a medida que aumentamos γ0 o espectro diminui
cada vez mais, de modo que quando γ0 → ∞, como já dissemos, o espectro desapareçe
completamente. Quando o espelho é semitransparente o espectro tende a desaparecer
mais vagarosamente que no caso do espelho ideal, em outras palavras, ambos desaparecem, mas o do espelho ideal desaparece primeiro. Isso caracteriza uma ampliação na
criação de partículas quando se considera um espelho semitransparente, ou, de um ponto
70
de vista menos otimista, caracteriza a “redução de uma redução”.
pontilhada corresponde ao caso em que ωp = 0.05. Multiplicamos todos esses casos por
11 pra manter a escala.
Em todos os trabalhos citados nesta dissertação que investigam o efeito Casimir dinâmico com espelhos parcialmente refletores, no limite em que os espelhos se tornam refletores perfeitos, recupera-se o caso em que a condição imposta é de a Dirichlet. E aqueles que
investigam o efeito Casimir dinâmico com espelhos impondo condições de Robin o fazem
com espelhos ideais. Nesta dissertação, utilizando uma abordagem envolvendo matrizes
de espalhamento, nos baseando em [22, 23, 25], investigamos o fenômeno de criação
de partículas via efeito Casimir dinâmico considerando espelhos parcialmente refletores
de modo que, no limite de um espelho perfeito, são recuperados os casos em que outras
condições de contorno, diferentes da de Dirichlet, são impostas, em especial a de Robin.
A estes espelhos denominamos, no título desta dissertação, por espelhos parcialmente refletores tipo Robin. Isso caracteriza uma generalização de alguns trabalhos da literatura
em dois sentidos: nos casos de espelhos semitransparentes, outras condições de contorno,
além da de Dirichlet, são recuperados no limite de um espelho perfeito; e nos casos de
espelhos ideais que impõem a condição de Robin, implementamos semitransparência ao
espelho.
Considerando os espelhos inicialmente perfeitamente refletores, a influência dos espelhos foi posta de duas formas distintas: na primeira, o espelho era móvel, no regime
não-relativístico, e impunha uma condição de contorno genérica (que gerava, portanto,
um termo de fase genérico σ(ω)), no qual, para estudar algumas características deste modelo, particularizamos para o caso em que a condição imposta era a de Robin; Na segunda,
o espelho estava parado, mas impunha a condição de Robin generalizada com parâmetro
de Robin dependente do tempo. Implementamos semitransparência a estes modelos.
71
72
Já é sabido dos resultados de [18, 19, 20] que a condição de Robin, imposta por
um espelho móvel, apresenta uma supressão na produção de partículas quando γω0 ≈ 2.
Mostramos que considerar espelhos parcialmente refletores tipo Robin pode fazer com que
essa supressão fique mais suave, “a supressão pode ser reduzida”. Com isso, um espelho
semitransparente acaba por gerar mais partículas que um espelho perfeitamente refletor,
caracterizando uma amplificação na produção de partículas. Sabe-se também dos resultados encontrados na referência [21] que a condição de Robin com parâmetro dependente
do tempo imposta por um espelho fixo também suprime a produção de partículas; quando
se aumenta γ0 se diminui a produção de partículas. Mostramos que considerar espelhos
parcialmente refletores tipo Robin faz com que a produção de partículas diminua mais
lentamente, em relação ao espelho ideal, conforme aumentamos o valor de γ0 . Portanto,
o espelho semitransparente fixo mas com propriedades dependentes do tempo, do mesmo
modo que o caso do espelho móvel, em algumas condições acaba gerando mais partículas
que o próprio espelho ideal, caracterizando também uma amplificação na produção de
partículas.
Todos os nossos cálculos foram feitos em 1 + 1 dimensões, mas a extensão para dimensões mais altas é factível e será abordada em trabalhos futuros. Estados iniciais do campo
diferentes de vácuo são considerados em [32, 45], em especial, o caso em que o estado
inicial é um banho térmico. Ainda como perspectiva, pretendemos implementar velocidades relativísticas ao espelho e, também, estudar os efeitos de uma cavidade formada por
espelhos parcialmente refletores.
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Efeito Casimir Dinâmico com Espelhos Parcialmente

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