CAP 03 Fundamentos de Geodésia

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FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA
CAPÍTULO 03
1 ASPECTOS CONCEITUAIS
Entende-se a Geodésia como a ciência que estuda a forma e as dimensões
do planeta Terra, bem como a determinação do campo gravitacional e da superfície
oceânica.
Segundo Webster, “A geodésia é o ramo da matemática aplicada que
deter mina a exata posição de pontos, figuras e áreas de grandes porções da
superfície terrestre. Também a forma e o tamanho da Terra, além das variações do seu
campo gravitacional.” Esta definição revela a complexidade que o estudo completo da
Ciência Geodésica apresenta.
1.2 Objetivos da Geodésia.
O objetivo primordial da Geodésia é a determinação da forma e das
dimensões da Terra. Em decorrência deste objetivo, o estudo da Geodésia subdivide-se
em dois capítulos da Geodésia:
•
Geodésia Global ou Geral que se encarrega da mensuração da forma
dimensões da Terra;
•
Geodésia Aplicada que se encarrega da determinação precisa da posição de pontos
sobre a superfície terrestre, nas áreas continentais e nas áreas oceânicas, para
mapeamento e outras finalidades.
e das
Para realizar os seus objetivos, a Geodésia vale-se de operações
geométricas sobre a superfície terrestre, mensurando ângulos e distâncias, associadas às
determinações astronômicas. Realiza também medições gravimétricas para detalhar o
campo de gravidade do orbe terrestre, podendo realizar o rastreio da superfície terrestre
por meio de satélites artificiais.
2 FORMAS DA TERRA
2.1. Esboço Histórico
Ao longo da história da humanidade a Terra foi imaginada possui diversas formas
geométricas, descritas sumariamente a seguir as diversas concepções
•
Homero concebeu que a Terra tinha uma forma de disco achatado.
2
•
Pitágoras de Samos, no Século VI a.C., e Aristóteles,
descreveram a Terra com possuindo a forma esférica;
•
Anaximenes concebia a Terra como tendo uma forma geométrica retangular;
•
Eratóstenes pensava na forma esférica e realizou medidas objetivas para a
determinação de suas dimensões;
•
Isaac Newton, no Século XVII, considerou-a elipsoidal;
•
Gauss, no Século XVIII, concluiu que o Geóide seria a melhor definição geométrica
da Terra.
no Século IV a.C.,
A adoção de uma forma geométrica para o planeta Terra depende dos fins
práticos a que se propõe; para a Topografia adota-se a geometria plana, para cálculos
astronômicos recorre-se a forma esférica., para cálculos mais rigorosos, firma-se o
modelo geométrico-matemático tipo elipsoidal de revolução.
2.2 A forma física e real da Terra
A superfície terrestre é bastante irregular, possuindo a variação de seu
relevo entre o ponto culminante representado pelo pico do Monte Everest, com cerca de
8.800 metros de altitude, e a maior depressão, situada no Oceano Pacífico, com cerca de
9.000 metros de profundidade em relação ao nível do mar.
Sobre a superfície física da Terra (real, também denominada de
topográfica) são desenvolvidas as operações de mensuração, sejam geodésicas ou
topográficas. As operações de mensuração, angulares e lineares, no campo, devem ser
executadas para a obtenção de coordenadas posicionais, identificadoras de um conjunto
de pontos descritores materializados na superfície territorial investigada, as quais serão
caracterizadas devidamente por transformações de natureza matemática em função da
adoção do modelo geométrico idealizado para representar a Terra.
2.3 Formas idealizadas para representar a Terra
•
O MODELO GEÓIDAL
O geóide é uma forma geométrica idealizada para a Terra, a qual não
possui até então definições geométricas com identidade matemática (formulação
analítica), sendo definida pela
superfície média dos mares, suposta em repouso e
penetrando por baixo dos continentes. O sistema de referencia é a superfície
equipotencial, também denominada de superfície de nível, que se caracteriza por
apresentar o mesmo potencial em todos os seus pontos. Devido as irregularidades na
distribuição das massas do planeta, a forma Geoidal é complexa e é observada por meio
de medições gravimétricas, por toda a superfície. Tendo o planeta ¾ partes de água, fazse necessário às observações dos satélites para auxiliar na determinação do Geóide. A
3
Figura 1 ilustra a Carta Geoidal do Mundo, obtida a partir do modelo gravitacional da
NASA, com as alturas geoidais em metros.
A Figura 2 representa, por sua vez, a Carta Geoidal do Brasil, adaptada
por Blitzkow, 1995.
4
•
MODELO ESFEROIDAL
A partir da visualização da projeção da Terra sobre a superfície da Lua, no
fenômeno de eclipse solar, e das observações da chegada de navios nos portos, os gregos
concluíram pela forma esferoidal para o planeta.
A partir de observações simples e cálculos aproximados, o grego
Eratóstenes chegou à conclusão de que o raio da esfera terrestre teria, aproximadamente,
valor igual a 6.266 km. Este valor é bem próximo daquele atualmente aceito, como sendo
igual a 6.378 km.
A Figura 3 ilustra o modelo esférico idealizado para representar a Terra.
Mais tarde outros métodos foram empregados para se obter o raio da esfera terrestre,
destacando-se, entre outros, Posidônio e Ptolomeu.
RT
0
Figura 3: Modelo esferoidal
5
•
MODELO ELIPSOIDAL
Com o advento das modernas técnicas de mensuração e modernização do
seu instrumental, a Ciência Geodésica alcançou um grande avanço no Século XVII com o
francês Picard, que conseguiu medir o comprimento de um arco de meridiano, cujo
trabalho foi continuado por J. cassini, estendendo a medida do comprimento do arco de
meridiano no sentido Norte, em direção à Dunquerque, e para o Sul, até a divisa com a
Espanha. Este trabalho de mensuração geodésica resultou em se descobrir que o
comprimento do arco é maior para o Sul, indicando a forma de um elipsóide para a Terra,
com seu eixo de rotação maior que o eixo equatorial. Porém, o físico-matemático Isaac
Newton, no mesmo Século XVII, contestou tal fato, afirmando que sendo a Terra
composta de três quarto partes de água, a massa fluída, devido à rotação da Terra,
tenderia a alongar-se no plano equatorial e, conseqüentemente, achatar-se nos pólos,
resultando que o eixo de rotação ser menor do que o eixo equatorial. A contribuição de
Newton foi baseada em sua Teoria da Gravitação, estabelecida sobre a lei da gravidade
terrestre.
A Figura 4 indica o modelo elipsóidico adotado para representar a forma
geométrica do planeta.
Figura 04: Modelo elipsoidal terrestre
b
a
As duas teorias deram margem à controvérsia entre os cientistas. A
Academia Francesa de Ciências, objetivando dirimir dúvidas, organizou uma expedição
ao Equador e a Lapônia para realizar a mensuração de arcos de meridiano. As medições
provaram que o planeta Terra era achatado nos pólos, conforme a Teoria desenvolvida
por Isaac Newton. Estando estabelecida a forma geométrica para a Terra, vários
geodesistas procuraram estabelecer a melhor proporção para o elipsóide de revolução. No
Quadro 1, apresentado adiante, tem-se os principais resultados obtidos para caracterizar
os parâmetros do elipsóide.
Os parâmetros explicitados são: a semi-eixo maior, o semi-eixo menor e o
achatamento.
6
Quadro 1: Parâmetros do elipsóide de revolução determinados no decorrer do tempo.
A Figura 5 ilustra a expedição realizada no Equador, para mensuração do
comprimento de arco de meridiano, entre os anos de 1735 e 1745.
No ano de 1967, a União Internacional de Geodésia e Geofísica, em vista
de trabalhos mais recentes, recomendou a adoção do denominado Elipsóide de
Referência 1967. Sendo então adotados os parâmetros:
a = 6.378,160 km
α = 1/298,25
7
Com o desenvolvimento da tecnologia de Posicionamento Global por
Satélites – Sistema GPS, atualmente justifica-se a adoção de um sistema referencial
único de determinação de coordenadas; desta forma, alguns sistemas de referencia
geodésico do elipsóide surgiram, conforme o Quadro 2, dado adiante, apresenta os
parâmetros elipsoidais..
8
De maneira sintética, a Figura 6 demonstra comparativamente os três
modelos idealizados para representar a Terra.
NORMAL AO ELIPSOIDE
NORMAL AO GEOIDE
SUPERFICIE REAL (TOPOGRÁFICA)
DESVIO DAS NORMAIS
SUPERFICIE GEOIDAL
SUPERFICIE
SUPERFICIE
ELIPSOIDICA
Figura 6: Modelos geométricos e matemáticos idealizados para representar a forma
da Terra, utilizados para a caracterização de pontos localizados na
superfície terrestre.
3 APLICAÇÕES DA GEODÉSIA
Segundo Peter Vanicëk, a Geodésia tem sua aplicação em:
•
Produção de Mapas
Na distribuição e implantação de pontos de controle, tanto horizontais
como verticais, na superfície terrestre, estabelecendo uma rede de vértices geodésicos
georeferenciados que servirão de apoio para as atividades de mapeamento cartográfico;
9
•
Planejamento urbano
A necessidade de georeferenciamento de pontos de controle geodésico, a
serem utilizados na identificação e localização de vias urbanas, logradouros públicos, etc,
fomentando o desenvolvimento urbano.
•
Projetos de Obras Engenharia
Grandes estruturas, tais como barragens, pontes e grandes edifícios
necessitam dispor de plantas para uma perfeita localização predeterminada. No caso de
barragens e irrigações, a forma da superfície eqüipotencial deve ser conhecida. A
determinação do movimento e a forma da superfície eqüipotencial são função da
Geodésia.
•
Ecologia
O estudo do efeito da ação do homem no meio ambiente. Atividades tais
como movimento de terra, água subterrânea, extração de petróleo, possuem os efeitos
monitorados mediante a Geodésia.
•
Hidrologia
O posicionamento e os mapas são fornecidos pela Geodésia, contendo as
informações relativas às bacias hidráulicas, etc.
•
Outras aplicações
Demarcação de limites territoriais, cadastro imobiliários e fundiários, mapeamentos para
a produção da Cartográfica Temática, etc.
4 SISTEMAS GEODÉSICOS
Um Sistema Geodésico se caracteriza pela definição de um elipsóide de
referência, de um datum e do desvio da vertical do lugar. O Datum é fica determinado
pelos parâmetros iniciais: coordenadas geodésicas de um ponto georeferenciado (que
pode ser um vértice de um triângulo), uma base geodésica (lado do triangulo) e azimute
desta base. As coordenadas fixam o ponto no elipsóide de referência. A base, por sua vez,
fornece a escala, enquanto que o azimute orienta o sistema. A vertical, determinada pela
direção do fio de prumo sobre a superfície física da Terra, pode não coincidir com a
normal ao elipsóide. Haverá um desvio, denominado de desvio da vertical, conforme
ilustra a Figura 7. Ressalta-se também, que o centro do elipsóide de referência pode não
coincidir com o centro de massa da Terra.
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Um elipsóide de referência pode ser definido ou arbitrado. Observando-se
a Figura 7 poder-se-á identificar as superfícies de referência a ser adotada pelos
geodesistas, podendo ser o Esferóide ou o Elipsóide de Revolução para realizar os
cálculos geodésicos. que.
A forma geométrica do elipsóide de revolução é a que mais se aproxima
do Geóide, sendo a que oferece resultados mais exatos. Na América do Norte e Central
se usa o Elipsóide de Clark, enquanto que na América do Sul o Elipsóide de Hayford
ainda é usado. No Brasil, ainda existem mapas com base neste elipsóide.
5 SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO - SGB
5.1 Caracterização do Sistema.
O Elipsóide de Referência Internacional de 1967 define a forma
geométrico-matemática do planeta Terra, adotado no Brasil desde 1969 (SAD 69). A
altimetria encontra-se referenciada à superfície eqüipotencial que contem o nível médio
do mar na Baia de Imbituba, em Santa Catarina (a superfície média do mar é definida a
partir de observações da variação do nível do mar no marégrafo ali instalado).
É da responsabilidade do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística –
IBGE fixar as diretrizes e bases da Cartografia Brasileira e dar outras providências e, para
tal, estabelecer um sistema planialtimétrico único de pontos geodésicos de controle,
materializados no terreno para servir de base ao desenvolvimento de trabalhos de
natureza geodésica e cartográfica.
A Figura 8 ilustra a placa de bronze que é colocada numa base de
concreto, identificando o denominado marco geodésico, implantado no território
brasileiro.
Figura 8: Referência de nível do marco geodésico pertencente ao SGB
11
5.2 Especificações Gerais do SGB
•
Parâmetros do Elipsóide – Forma Geométrica da Terra
Semi-eixo maior (a) = 6.378.160,000m
Achatamento (f)
= 1/298,25
•
Orientação: Geocêntrica - Eixo de rotação paralelo ao eixo de rotação da Terra.
Plano meridiano de Greenwich como inicio das longitu
des.
Topocêntrica - Vértice Chuá, da cadeia de triangulação do paralelo
20º Sul.
Sendo: ϕ = 19º 45´ 41,6527” Sul (Latitude)
λ = 48º 06´04,0639” WGr. (Longitude)
Azimute (α) = 271º 30´04,05” SWNE, para o Vértice
UBERABA.
Desvio da vertical (η) = 3,59”
Um sistema geodésico, assim definido, é denominado de regional, tendo
em vista que o centro do elipsóide de referência não coincide com o centro de massa da
Terra, sendo o elipsóide ajustado a uma rede geodésica de pontos, tendo no Vértice Chuá
seu vínculo básico (datum planimétrico).
7 SISTEMAS DE COORDENADAS EM GEODÉSIA
As posições dos pontos na superfície terrestre são definidas por meio de
linhas de referência, denominadas de coordenadas, que ao se cruzarem em ângulos
estabelecidos, os definem naquele lugar.
Os principais sistemas de coordenadas são três: coordenadas esféricas,
coordenadas retangulares e coordenadas polares.
Em Cartografia trabalha-se com os seguintes sistemas de coordenadas:
Coordenadas Geodésicas,
Coordenadas Cartesianas,
Coordenadas Plano-retangulares - UTM
7.1 Sistema Elipsoidal de Coordenadas (Geodésico)
Para que o posicionamento de um ponto sobre o Elipsóide de Referência
seja determinado de maneira única, foram estabelecidas linhas de referência que
permitem que isto possa ser efetivado. As Figuras 9 e 10, mostram a superfície de
referência elipsoidal, as linhas de referência desenhadas sobre ela e a identificação da
posição de um ponto situado sobre a superfície terrestre mediante suas coordenadas
geodésicas.
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As linhas desenhadas no sentido Norte/Sul são denominadas de
meridiano,s enquanto que as linhas desenhadas no sentido Leste/Oeste são denominadas
de paralelos Estas linhas formam um sistema denominado de Sistema de Coordenadas
Geodésico, cuja origem é um ponto situado sobre o meridiano que passa por Greenwich
(na Inglaterra) e sobre a linha do Equador. As coordenadas definidas do sistema são
denominadas de latitudes e longitudes geodésicas.
•
Projeção de um ponto sobre a superfície de referência elipsoidal
Considera-se, simultaneamente, a latitude e a longitude de um ponto na
superfície terrestre. A cada latitude corresponde um paralelo e a cada longitude, um
meridiano. O ponto de encontro dos dois determina a posição do ponto P1 sobre a
superfície de referência. Porém, o ponto P1 é na verdade a projeção do ponto P sobre a
superfície de referência, isto porque o ponto P encontra-se sobre a superfície real
(topográfica). A normal PP1
Figura 9: Superfície de referência geodésica
P
H
P
Figura 10: Apresenta a longitude de um ponto P
situado sobre a superfície de referên
cia (Longitude Oeste).
λ
λ
MERIDIANO
DE
GREENWICH
13
A Figura 11 ilustra mais claramente o sistema de coordenadas geodésicas
ORIGEM
Figura 11: Meridiano e Paralelos Geodésicos
7.1.1 As coordenadas geodésicas: aspectos conceituais
A Latitude ϕ de um ponto situado na superfície terrestre é o ângulo que
formado pela normal à superfície de projeção (N), nesse ponto, com o plano que contém a
linha do Equador, como mostra a Figura 12:
A
b
ϕ
a
N
Figura 12: representa a elipse meridiana
contendo a latitude de um ponto
A.e o respectivo ângulo da nor
mal AD com o semi-eixo maior
O
D
LINHA DO EQUADOR
14
As latitudes são referenciadas a partir do Equador, de 0 a 90 , no
Hemisfério Norte (positivas), e de 0 a 90 no Hemisfério Sul (negativas), seguida da
indicação se é Norte (N) ou Sul (S).
A longitude λ de um ponto da superfície terrestre é o ângulo diedro que
forma o plano meridiano que passa pelo ponto com o plano que passa pelo meridiano de
Greenwich.
As longitudes são referenciadas a partir de Greenwich, de 0 a 180 , na
direção Leste, (positivas) ou na direção Oeste.(negativas). A Figura 10 mostra
graficamente o definido.
A Longitude e a Latitude podem ser aplicadas a um sistema de
coordenadas relacionadas ao posicionamento de qualquer ponto situado na superfície dà
Terra. Admite-se que a partir de 0º de latitude e 0º de longitude, existam os quadrantes
NE, SE, SW e NW. O conjunto de linhas meridianos e paralelos forma a rede de linhas
imaginárias ao redor do globo terrestre, constituindo as coordenadas geográficas
(Esferóide)/geodésicas (Elipsóide). Essas coordenadas também podem ser expressas em
metros.
No Equador esses arcos podem medir 111.321 m de comprimento, na
direção leste/oeste.
À medida que se afasta par o norte ou para o sul do Equador, o
comprimento do arco (C) pode ser calculado, em metros, utilizando a seguinte expressão:
ϕ
Na Tabela 1, apresentada a seguir, tem-se os comprimentos dos arcos de
1º de meridiano e 1º de paralelo, nas diferentes latitudes.
TABELA 1: Comprimento de arcos de meridianos e de Paralelos
15
7.1.2. Geometria do elipsóide
Como afirmado, o elipsóide é um dos sólidos que melhor se adapta à
superfície física da Terra, por ter uma geometria simples de se calcular, tornando-se a
figura ideal para mapeamentos cartográficos. Este sólido que é gerado pela rotação de
uma elipse meridiana em torno de seu eixo menor (B), e, por se tratar de uma figura que
possui parâmetros conhecidos, poder-s-á determinar matematicamente a posição relativa
de pontos projetados sobre a sua superfície. A Figura 14, permite observar os
parâmetros geométricos da elipse meridiana.
B
b
A
F
a
O
a
F´´
A’
b
B´
Figura 13: Elipse meridiana e seus parâmetros geométricos
Na Figura 13, o segmento AA´ é o eixo maior da elipse, que corresponde
em projeção sobre o plano vertical com a linha do Equador. O eixo menor BB’, de valor
igual a duas vezes o semi-eixo menor (2b), constitui-se num referencial em torno do qual
a elipse meridiana sofre o movimento rotacional, gerando o elipsóide de revolução,
simulando o movimento de rotação da Terra.
Dois são os parâmetros geométricos que determinam a elipse: o semi-eixo
maior (a) e o semi-eixo menor (b).
Geralmente substituí-se o semi-eixo menor (b) pelos parâmetros
geométricos denominados de achatamento, 1a excentricidade e 2a excentricidade,
todos extraídos dedutivamente a partir da geometria da elipse meridiana:
•
Achatamento (f) =
•
Excentricidades
(a – b) / a
1a excentricidade (e) =
OF
AO
=
(a ² - b ² ) ½
a
16
a
2 excentricidade (e’) =
OF
=
OB
(a² - b²) ½
b
7.2 Sistema de Coordenadas Cartesiano
Este sistema de coordenadas possui a sua origem no centro de massa da
Terra. Os eixos cartesianos X e Y pertencem ao plano do Equador, enquanto que o eixo Z
coincide com o eixo de rotação da Terra. O ponto P projetado sobre a superfície de
referência
elipsoidal ficará identificado cartesianamente
pelas coordenadas:
P(XP,YP,ZP).
A Figura 14 mostra a posição do sistema em relação ao elipsóide de
referência.
Z
Meridiano de Greenwich
!P
λ
Zp
ϕ
X
λ
Yp
P’
Xp
Y
Figura 14:Sistema de coordenadas cartesianas
Devido à facilidade de programação este sistema é muito usado em
procedimentos computacionais informatizados (softwares). As relações entre os dois
sistemas de coordenadas (cartesiano e elipsóidico) são obtidas pelas seguintes expressões:
•
Transformação de coordenadas geodésicas (ϕ
ϕ,λ
λ, h) para cartesianas (X, Y, Z)
X = (N + h)xcos(ϕ
ϕ)xcos(λ
λ)
Y = (N + h)xcos(ϕ
ϕ)xsen(λ
λ)
Z = [(1 – e2)x(N + h]xsen(ϕ
ϕ)
17
•
Transformação de coordenadas cartesianas (X, Y, Z) para geodésicas (ϕ
ϕ,λ
λ , h)
tan(λ
λ) = Y/X
tan(ϕ
ϕ) = (Z + e2xNxsen(ϕ
ϕ))/(X2 + Y2)
h = Xxsec(ϕ
ϕ)xsec(λ) – V = Yxsec(ϕ
ϕ)xcossec(λ) – V
V = a/ (1 – e2xsen(ϕ
ϕ))1/2
onde,: a : semi-eixo maior
b : semi-eixo menor
h : altitude elipsoidal
ϕ : Latitude geodésica
λ : Longitude geodésica
e : excentricidade
V : raio de curvatura da vertical principal
7.2.1 Fundamentos para a obtenção das coordenadas cartesianas
Se seccionar-se o elipsóide perpendicularmente ao Equador, de modo que contenha
o eixo menor (b), ter-se-á obtido o meridiano máximo, conforme as Figuras 13 e 15, esta
apresentada a seguir:
Z
P
x
b
M(x,z)
O
Q´
z
a
N
D
H
P´
Figura 15: Meridiano máximo
Q
Grande Normal
X
18
Estas figuras máximas de meridianos, sendo o sólido achatado nos pólos, são definida
pela equação cônica da elipse:
X
a
+
Y
+
a
Z
b"
= 1
A partir desta equação poder-se-á obter os parâmetros geométricos do
elipsóide, tais como:
•
Excentricidade do elipsóide (e)
o 1a excentricidade
e =
o 2a excentricidade;
e´ =
•
Eixo menor (b)
•
Grande Normal (N)
_________
√(a"–b")
a
_________
√ (a"-b")
b
b = a - (f x a )
É uma das seções normais principais que passa por um determinado ponto
do elipsóide. É o segmento de reta (MH), perpendicular ao plano tangente ao M sobre a
superfície curva no elipsóide. Sua aplicação é básica para o cálculo do raio médio
de uma determinada região do trabalho geodésico.
N =
•
a
(1- e " sen " ϕ #
Raio de curvatura da secção meridiana (M)
Dentre as secções normais que passam pelo mesmo ponto no elipsóide, o raio de
curvatura é mais uma informação dentre as principais . É o segmento de reta
correspondente ao raio de uma secção de um plano circular coincidente com o plano da
seção elipsóidica.no ponto considerado. Sua aplicação é no cálculo do raio médio naquela
secção meridiana.
19
a(1–e"
M = ---------------------( 1- e " sen " (ϕ) ) 3/2″
•
Raio médio (Rº)
_____
Rº ° = √ (MN)
8 EXERCÍCIOS SOBRE OS FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA
•
Elaborar um quadro contendo os parâmetros geométricos do elipsóide de referência
correspondentes aos sistemas geodésicos de Hayforf, Internacional, SAD 69 e WGS
84;
•
Quais as medições geodésicas que são executadas para caracterizar a forma geoidal?
•
O quê entende-se por desvio da vertical do lugar? Ilustrar sua resposta com o auxílio
de um desenho.
•
Qual a utilidade prática, no campo de atuação da Engenharia Civil, do modelo Geóide
para representar a forma geométrica do planeta Terra?
•
Que significa o termo altura geoidal e qual a importância da sua determinação para
alcançar os objetivos da Geodésia?
•
Explicar, de maneira clara e sucinta, cada um dos parâmetros do Sistema Geodésico
Brasileiro – SBG.
•
Qual o significado dos termos Latitude e Longitude? Caso julgue necessário, ilustrar
sua resposta com um desenho.
•
O Sistema de Coordenadas Geodésicas é o mesmo que o Sistema de Coordenadas
Geográficas? Explicar.
•
A expressão C (m) = 111.321xcos(ϕ
ϕ
$
%
&
%
) *
/
*
•
'
(%
+ , ' -.
)
Dois parâmetros geométricos caracterizam uma elipse. A partir destes dois elementos
geométricos deduza e explique sucintamente os seguintes termos:
20
o
o
o
o
•
Achatamento
Semidistância focal
1a excentricidade
2a excentricidade
Utilizando os parâmetros do Elipsóide de Referência de Hayford, solicita-se
determinar os valores numéricos correspondentes aos elementos seguintes:
o
o
o
o
o
Achatamento
Semi-eixo menor
Semidistância focal
Excentricidades
Grande Normal (N), para a Latitude 13º S
•
Solicita-se determinar os valores numéricos relativos aos parâmetros elipsóidicos M,
N e Rº, a partir do Elipsóide de Referência SAD 69, referidos ao ponto P, cuja
Latitude é igual a 38º28’19,8610’’.
•
Determinar os valores das coordenadas cartesianas correspondentes ao ponto
geodésico localizado sobre a superfície terrestre, cujas coordenadas geodésicas com
referência ao SAD 59 valem:
Latitude Sul (ϕ
ϕ
= 19º26’31,062’’
Longitude Oeste (λ) = 44º12’58,206”
Altura geoidal (h) = 801,97 m