Domínio, Contradomínio e Imagem

Domínio, Contradomínio e Imagem
Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)
Transformações
Lineares
Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
f (X )
Função Inversa
Inversa de TL
X
Y
X é o domínio;
Y é o contra-domínio e
{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X } é a imagem,
denotada Im(f ) ou f (X ).
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
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Domínio, Contradomínio e Imagem
Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)
Transformações
Lineares
Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
f (X )
Função Inversa
Inversa de TL
X
Y
X é o domínio;
Y é o contra-domínio e
{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X } é a imagem,
denotada Im(f ) ou f (X ).
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Domínio, Contradomínio e Imagem
Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)
Transformações
Lineares
Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
f (X )
Função Inversa
Inversa de TL
X
Y
X é o domínio;
Y é o contra-domínio e
{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X } é a imagem,
denotada Im(f ) ou f (X ).
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Domínio, Contradomínio e Imagem
Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)
Transformações
Lineares
Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
f (X )
Função Inversa
Inversa de TL
X
Y
X é o domínio;
Y é o contra-domínio e
{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X } é a imagem,
denotada Im(f ) ou f (X ).
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Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)
Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é:
injetiva se f (u) = f (v ) implica que u = v . No diagrama,
cada elemento do contra-domínio é atingido no
máximo uma vez.
Inversa de TL
sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento
do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.
bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada
elemento do contra-domínio é atingido exatamente
uma vez.
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Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)
Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é:
injetiva se f (u) = f (v ) implica que u = v . No diagrama,
cada elemento do contra-domínio é atingido no
máximo uma vez.
Inversa de TL
sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento
do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.
bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada
elemento do contra-domínio é atingido exatamente
uma vez.
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Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)
Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é:
injetiva se f (u) = f (v ) implica que u = v . No diagrama,
cada elemento do contra-domínio é atingido no
máximo uma vez.
Inversa de TL
sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento
do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.
bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada
elemento do contra-domínio é atingido exatamente
uma vez.
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Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)
Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é:
injetiva se f (u) = f (v ) implica que u = v . No diagrama,
cada elemento do contra-domínio é atingido no
máximo uma vez.
Inversa de TL
sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento
do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.
bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada
elemento do contra-domínio é atingido exatamente
uma vez.
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Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)
Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é:
injetiva se f (u) = f (v ) implica que u = v . No diagrama,
cada elemento do contra-domínio é atingido no
máximo uma vez.
Inversa de TL
sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento
do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.
bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada
elemento do contra-domínio é atingido exatamente
uma vez.
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Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)
Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é:
injetiva se f (u) = f (v ) implica que u = v . No diagrama,
cada elemento do contra-domínio é atingido no
máximo uma vez.
Inversa de TL
sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento
do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.
bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada
elemento do contra-domínio é atingido exatamente
uma vez.
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Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)
Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é:
injetiva se f (u) = f (v ) implica que u = v . No diagrama,
cada elemento do contra-domínio é atingido no
máximo uma vez.
Inversa de TL
sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento
do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.
bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada
elemento do contra-domínio é atingido exatamente
uma vez.
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Funções – Exemplo 1
Exemplo (função injetiva)
Transformações
Lineares
f : R → R2 definido por f (x) = (x, x).
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
f
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
R é o domínio
R2 é o contra-domínio
É injetiva: f (x) = f (y ) ⇒ (x, x) = (y , y ) ⇒ x = y
Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x, x) ∀x ∈ R
A imagem de f é a reta y = x.
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Funções – Exemplo 1
Exemplo (função injetiva)
Transformações
Lineares
f : R → R2 definido por f (x) = (x, x).
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
f
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
R é o domínio
R2 é o contra-domínio
É injetiva: f (x) = f (y ) ⇒ (x, x) = (y , y ) ⇒ x = y
Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x, x) ∀x ∈ R
A imagem de f é a reta y = x.
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Funções – Exemplo 1
Exemplo (função injetiva)
Transformações
Lineares
f : R → R2 definido por f (x) = (x, x).
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
f
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
R é o domínio
R2 é o contra-domínio
É injetiva: f (x) = f (y ) ⇒ (x, x) = (y , y ) ⇒ x = y
Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x, x) ∀x ∈ R
A imagem de f é a reta y = x.
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Funções – Exemplo 1
Exemplo (função injetiva)
Transformações
Lineares
f : R → R2 definido por f (x) = (x, x).
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
f
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
R é o domínio
R2 é o contra-domínio
É injetiva: f (x) = f (y ) ⇒ (x, x) = (y , y ) ⇒ x = y
Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x, x) ∀x ∈ R
A imagem de f é a reta y = x.
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Funções – Exemplo 1
Exemplo (função injetiva)
Transformações
Lineares
f : R → R2 definido por f (x) = (x, x).
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
f
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
R é o domínio
R2 é o contra-domínio
É injetiva: f (x) = f (y ) ⇒ (x, x) = (y , y ) ⇒ x = y
Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x, x) ∀x ∈ R
A imagem de f é a reta y = x.
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Funções – Exemplo 1
Exemplo (função injetiva)
Transformações
Lineares
f : R → R2 definido por f (x) = (x, x).
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
f
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
R é o domínio
R2 é o contra-domínio
É injetiva: f (x) = f (y ) ⇒ (x, x) = (y , y ) ⇒ x = y
Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x, x) ∀x ∈ R
A imagem de f é a reta y = x.
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Funções – Exemplo 1
Exemplo (função injetiva)
Transformações
Lineares
f : R → R2 definido por f (x) = (x, x).
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
f
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
R é o domínio
R2 é o contra-domínio
É injetiva: f (x) = f (y ) ⇒ (x, x) = (y , y ) ⇒ x = y
Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x, x) ∀x ∈ R
A imagem de f é a reta y = x.
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Funções – Exemplo 2
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo (função sobrejetiva)
f : R2 → R definido por f (x, y ) = x + y .
Núcleo e Imagem
R2 é o domínio
composição de
TLs/produto de
matrizes
R é o contra-domínio
Função Inversa
Inversa de TL
Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)
É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento do
contra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))
tal que f (x) = f (y , 0) = y
A imagem de f é R
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Funções – Exemplo 2
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo (função sobrejetiva)
f : R2 → R definido por f (x, y ) = x + y .
Núcleo e Imagem
R2 é o domínio
composição de
TLs/produto de
matrizes
R é o contra-domínio
Função Inversa
Inversa de TL
Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)
É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento do
contra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))
tal que f (x) = f (y , 0) = y
A imagem de f é R
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Funções – Exemplo 2
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo (função sobrejetiva)
f : R2 → R definido por f (x, y ) = x + y .
Núcleo e Imagem
R2 é o domínio
composição de
TLs/produto de
matrizes
R é o contra-domínio
Função Inversa
Inversa de TL
Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)
É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento do
contra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))
tal que f (x) = f (y , 0) = y
A imagem de f é R
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Funções – Exemplo 2
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo (função sobrejetiva)
f : R2 → R definido por f (x, y ) = x + y .
Núcleo e Imagem
R2 é o domínio
composição de
TLs/produto de
matrizes
R é o contra-domínio
Função Inversa
Inversa de TL
Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)
É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento do
contra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))
tal que f (x) = f (y , 0) = y
A imagem de f é R
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Funções – Exemplo 2
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo (função sobrejetiva)
f : R2 → R definido por f (x, y ) = x + y .
Núcleo e Imagem
R2 é o domínio
composição de
TLs/produto de
matrizes
R é o contra-domínio
Função Inversa
Inversa de TL
Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)
É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento do
contra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))
tal que f (x) = f (y , 0) = y
A imagem de f é R
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Funções – Exemplo 2
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo (função sobrejetiva)
f : R2 → R definido por f (x, y ) = x + y .
Núcleo e Imagem
R2 é o domínio
composição de
TLs/produto de
matrizes
R é o contra-domínio
Função Inversa
Inversa de TL
Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)
É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento do
contra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))
tal que f (x) = f (y , 0) = y
A imagem de f é R
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Definição de Transformação Linear
Definição (transformação linear)
Transformações
Lineares
T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares:
Revisão de Funções
T (α~u + ~v ) = αT (~u ) + T (~v2 ).
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
para todo ~u , ~v ∈ V e α ∈ R.
Função Inversa
Inversa de TL
Observação
Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial
e multiplicação por escalar.
Se T é linear,
T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0
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Definição de Transformação Linear
Definição (transformação linear)
Transformações
Lineares
T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares:
Revisão de Funções
T (α~u + ~v ) = αT (~u ) + T (~v2 ).
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
para todo ~u , ~v ∈ V e α ∈ R.
Função Inversa
Inversa de TL
Observação
Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial
e multiplicação por escalar.
Se T é linear,
T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0
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Definição de Transformação Linear
Definição (transformação linear)
Transformações
Lineares
T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares:
Revisão de Funções
T (α~u + ~v ) = αT (~u ) + T (~v2 ).
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
para todo ~u , ~v ∈ V e α ∈ R.
Função Inversa
Inversa de TL
Observação
Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial
e multiplicação por escalar.
Se T é linear,
T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0
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Definição de Transformação Linear
Definição (transformação linear)
Transformações
Lineares
T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares:
Revisão de Funções
T (α~u + ~v ) = αT (~u ) + T (~v2 ).
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
para todo ~u , ~v ∈ V e α ∈ R.
Função Inversa
Inversa de TL
Observação
Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial
e multiplicação por escalar.
Se T é linear,
T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0
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Definição de Transformação Linear
Definição (transformação linear)
Transformações
Lineares
T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares:
Revisão de Funções
T (α~u + ~v ) = αT (~u ) + T (~v2 ).
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
para todo ~u , ~v ∈ V e α ∈ R.
Função Inversa
Inversa de TL
Observação
Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial
e multiplicação por escalar.
Se T é linear,
T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0
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Definição de Transformação Linear
Definição (transformação linear)
Transformações
Lineares
T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares:
Revisão de Funções
T (α~u + ~v ) = αT (~u ) + T (~v2 ).
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
para todo ~u , ~v ∈ V e α ∈ R.
Função Inversa
Inversa de TL
Observação
Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial
e multiplicação por escalar.
Se T é linear,
T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0
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TL – Notação
Notação
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Denotamos por L(U; V ) o conjunto de todas as
transformações lineares de U em V .
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Observação
Inversa de TL
Veremos que L(U; V ), munido de operações adequadas, é
espaço vetorial.
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TL – Notação
Notação
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Denotamos por L(U; V ) o conjunto de todas as
transformações lineares de U em V .
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Observação
Inversa de TL
Veremos que L(U; V ), munido de operações adequadas, é
espaço vetorial.
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TL – Exemplo 1
T :
Transformações
Lineares
R3
→
R2
é linear?
(x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , −x1 )
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (αx + y) = T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 )
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
= (αx3 + y3 , −(αx1 + y1 ))
Função Inversa
Inversa de TL
= α(x3 , −x1 ) + (y3 , −y1 )
= αT (x) + T (y)
Sim.
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7 / 30
TL – Exemplo 1
T :
Transformações
Lineares
R3
→
R2
é linear?
(x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , −x1 )
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (αx + y) = T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 )
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
= (αx3 + y3 , −(αx1 + y1 ))
Função Inversa
Inversa de TL
= α(x3 , −x1 ) + (y3 , −y1 )
= αT (x) + T (y)
Sim.
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7 / 30
TL – Exemplo 1
T :
Transformações
Lineares
R3
→
R2
é linear?
(x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , −x1 )
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (αx + y) = T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 )
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
= (αx3 + y3 , −(αx1 + y1 ))
Função Inversa
Inversa de TL
= α(x3 , −x1 ) + (y3 , −y1 )
= αT (x) + T (y)
Sim.
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TL – Exemplo 1
T :
Transformações
Lineares
R3
→
R2
é linear?
(x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , −x1 )
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (αx + y) = T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 )
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
= (αx3 + y3 , −(αx1 + y1 ))
Função Inversa
Inversa de TL
= α(x3 , −x1 ) + (y3 , −y1 )
= αT (x) + T (y)
Sim.
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TL – Exemplo 1
T :
Transformações
Lineares
R3
→
R2
é linear?
(x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , −x1 )
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (αx + y) = T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 )
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
= (αx3 + y3 , −(αx1 + y1 ))
Função Inversa
Inversa de TL
= α(x3 , −x1 ) + (y3 , −y1 )
= αT (x) + T (y)
Sim.
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7 / 30
TL – Exemplo 1
T :
Transformações
Lineares
R3
→
R2
é linear?
(x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , −x1 )
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (αx + y) = T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 )
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
= (αx3 + y3 , −(αx1 + y1 ))
Função Inversa
Inversa de TL
= α(x3 , −x1 ) + (y3 , −y1 )
= αT (x) + T (y)
Sim.
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7 / 30
TL – Exemplo 1
T :
Transformações
Lineares
R3
→
R2
é linear?
(x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , −x1 )
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (αx + y) = T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 )
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
= (αx3 + y3 , −(αx1 + y1 ))
Função Inversa
Inversa de TL
= α(x3 , −x1 ) + (y3 , −y1 )
= αT (x) + T (y)
Sim.
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7 / 30
TL – Exemplo 2
Transformações
Lineares
T : Rn →
Rm
é linear?
x 7→ Am×n x
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (αx + y) = A(αx + y)
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
= αAx + Ay
Função Inversa
Inversa de TL
= αT (x) + T (y)
Sim.
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8 / 30
TL – Exemplo 2
Transformações
Lineares
T : Rn →
Rm
é linear?
x 7→ Am×n x
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (αx + y) = A(αx + y)
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
= αAx + Ay
Função Inversa
Inversa de TL
= αT (x) + T (y)
Sim.
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8 / 30
TL – Exemplo 2
Transformações
Lineares
T : Rn →
Rm
é linear?
x 7→ Am×n x
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (αx + y) = A(αx + y)
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
= αAx + Ay
Função Inversa
Inversa de TL
= αT (x) + T (y)
Sim.
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8 / 30
TL – Exemplo 2
Transformações
Lineares
T : Rn →
Rm
é linear?
x 7→ Am×n x
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (αx + y) = A(αx + y)
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
= αAx + Ay
Função Inversa
Inversa de TL
= αT (x) + T (y)
Sim.
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8 / 30
TL – Exemplo 2
Transformações
Lineares
T : Rn →
Rm
é linear?
x 7→ Am×n x
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (αx + y) = A(αx + y)
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
= αAx + Ay
Função Inversa
Inversa de TL
= αT (x) + T (y)
Sim.
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8 / 30
TL – Exemplo 2
Transformações
Lineares
T : Rn →
Rm
é linear?
x 7→ Am×n x
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (αx + y) = A(αx + y)
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
= αAx + Ay
Função Inversa
Inversa de TL
= αT (x) + T (y)
Sim.
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8 / 30
TL – Exemplo 3
T :
Transformações
Lineares
R3
→
R2
é linear?
(x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , x1 x2 )
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (1, 1, 1) = (1, 1)
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)
Inversa de TL
Não.
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9 / 30
TL – Exemplo 3
T :
Transformações
Lineares
R3
→
R2
é linear?
(x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , x1 x2 )
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (1, 1, 1) = (1, 1)
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)
Inversa de TL
Não.
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9 / 30
TL – Exemplo 3
T :
Transformações
Lineares
R3
→
R2
é linear?
(x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , x1 x2 )
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (1, 1, 1) = (1, 1)
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)
Inversa de TL
Não.
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9 / 30
TL – Exemplo 3
T :
Transformações
Lineares
R3
→
R2
é linear?
(x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , x1 x2 )
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (1, 1, 1) = (1, 1)
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)
Inversa de TL
Não.
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9 / 30
TL – Exemplo 3
T :
Transformações
Lineares
R3
→
R2
é linear?
(x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , x1 x2 )
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
T (1, 1, 1) = (1, 1)
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)
Inversa de TL
Não.
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9 / 30
TL – Exemplo 4
Transformações
Lineares
Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente
diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas.
A transformação derivada
Revisão de Funções
Definição
D : C 1 (R; R) → C(R; R)
f
7→ D(f ) = f 0 .
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
é linear?
D(αf + g) = (αf + g)0 = αf0 + g0 = αD(f) + D(g)
Sim.
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10 / 30
TL – Exemplo 4
Transformações
Lineares
Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente
diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas.
A transformação derivada
Revisão de Funções
Definição
D : C 1 (R; R) → C(R; R)
f
7→ D(f ) = f 0 .
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
é linear?
D(αf + g) = (αf + g)0 = αf0 + g0 = αD(f) + D(g)
Sim.
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10 / 30
TL – Exemplo 4
Transformações
Lineares
Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente
diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas.
A transformação derivada
Revisão de Funções
Definição
D : C 1 (R; R) → C(R; R)
f
7→ D(f ) = f 0 .
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
é linear?
D(αf + g) = (αf + g)0 = αf0 + g0 = αD(f) + D(g)
Sim.
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10 / 30
TL – Exemplo 4
Transformações
Lineares
Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente
diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas.
A transformação derivada
Revisão de Funções
Definição
D : C 1 (R; R) → C(R; R)
f
7→ D(f ) = f 0 .
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
é linear?
D(αf + g) = (αf + g)0 = αf0 + g0 = αD(f) + D(g)
Sim.
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10 / 30
TL – Exemplo 4
Transformações
Lineares
Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente
diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas.
A transformação derivada
Revisão de Funções
Definição
D : C 1 (R; R) → C(R; R)
f
7→ D(f ) = f 0 .
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
é linear?
D(αf + g) = (αf + g)0 = αf0 + g0 = αD(f) + D(g)
Sim.
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10 / 30
TL – Exemplo 4
Transformações
Lineares
Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente
diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas.
A transformação derivada
Revisão de Funções
Definição
D : C 1 (R; R) → C(R; R)
f
7→ D(f ) = f 0 .
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
é linear?
D(αf + g) = (αf + g)0 = αf0 + g0 = αD(f) + D(g)
Sim.
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Teorema
Teorema
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Sejam T : U → V transformação linear e {u1 , u2 , . . . , un }
base de U. Se conhecemos T (ui ) para i = 1, . . . , n, então
T (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U.
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
u=
Pn
i=1 αi ui
T (u) = T
Pn
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i=1 αi ui
=
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Pn
i=1 αi T (ui )
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Teorema
Teorema
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Sejam T : U → V transformação linear e {u1 , u2 , . . . , un }
base de U. Se conhecemos T (ui ) para i = 1, . . . , n, então
T (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U.
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
u=
Pn
i=1 αi ui
T (u) = T
Pn
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i=1 αi ui
=
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Pn
i=1 αi T (ui )
&
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11 / 30
Teorema
Teorema
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Sejam T : U → V transformação linear e {u1 , u2 , . . . , un }
base de U. Se conhecemos T (ui ) para i = 1, . . . , n, então
T (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U.
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
u=
Pn
i=1 αi ui
T (u) = T
Pn
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i=1 αi ui
=
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Pn
i=1 αi T (ui )
&
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11 / 30
Teorema
Teorema
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Sejam T : U → V transformação linear e {u1 , u2 , . . . , un }
base de U. Se conhecemos T (ui ) para i = 1, . . . , n, então
T (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U.
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
u=
Pn
i=1 αi ui
T (u) = T
Pn
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i=1 αi ui
=
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Pn
i=1 αi T (ui )
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11 / 30
Exemplo
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Exemplo
Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.
Determine T(x,y).
Função Inversa
Inversa de TL
(x, y ) = (x, x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
T (x, y ) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1) = 2x + 3(y − x) = 3y − x
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Exemplo
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Exemplo
Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.
Determine T(x,y).
Função Inversa
Inversa de TL
(x, y ) = (x, x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
T (x, y ) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1) = 2x + 3(y − x) = 3y − x
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Exemplo
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Exemplo
Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.
Determine T(x,y).
Função Inversa
Inversa de TL
(x, y ) = (x, x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
T (x, y ) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1) = 2x + 3(y − x) = 3y − x
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Exemplo
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Exemplo
Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.
Determine T(x,y).
Função Inversa
Inversa de TL
(x, y ) = (x, x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
T (x, y ) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1) = 2x + 3(y − x) = 3y − x
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12 / 30
Exemplo
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Exemplo
Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.
Determine T(x,y).
Função Inversa
Inversa de TL
(x, y ) = (x, x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
T (x, y ) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1) = 2x + 3(y − x) = 3y − x
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12 / 30
Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
v
u
R(u + v) = R(u) + R(v)
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.
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13 / 30
Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
u+v
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
v
u
R(u + v) = R(u) + R(v)
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.
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13 / 30
Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
R (u) u + v
R
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R
Função Inversa
Inversa de TL
v
R (v)
u
R(u + v) = R(u) + R(v)
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.
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Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
Transformações
Lineares
R (u) + R (v)
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
R (u)
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
u+v
Função Inversa
Inversa de TL
v
R (v)
u
R(u + v) = R(u) + R(v)
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.
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13 / 30
Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
Transformações
Lineares
R (u) + R (v)
Revisão de Funções
R
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
u+v
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
R(u + v) = R(u) + R(v)
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.
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13 / 30
Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
Transformações
Lineares
R (u) + R (v)
Revisão de Funções
R
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
u+v
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
R(u + v) = R(u) + R(v)
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.
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Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
Transformações
Lineares
R (u) + R (v)
Revisão de Funções
R
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
u+v
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
R(u + v) = R(u) + R(v)
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.
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Exemplo: Matriz de Rotação
R
x
y
= R(xe1 + y e2 ) = xR(e1 ) + yR(e2 )
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
sen θ
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
e2
θ
R (e1 )
R (e2 )
θ
cos θ
Função Inversa
Inversa de TL
cos θ e1
R
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x
y
− sen θ
− sin θ
= x
+y
cos θ
cos θ − sin θ
x
=
sin θ
cos θ
y
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&
cos θ
sin θ
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14 / 30
Exemplo: Matriz de Rotação
R
x
y
= R(xe1 + y e2 ) = xR(e1 ) + yR(e2 )
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
sen θ
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
e2
θ
R (e1 )
R (e2 )
θ
cos θ
Função Inversa
Inversa de TL
cos θ e1
R
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x
y
− sen θ
− sin θ
= x
+y
cos θ
cos θ − sin θ
x
=
sin θ
cos θ
y
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cos θ
sin θ
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Exemplo: Matriz de Rotação
R
x
y
= R(xe1 + y e2 ) = xR(e1 ) + yR(e2 )
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
sen θ
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
e2
θ
R (e1 )
R (e2 )
θ
cos θ
Função Inversa
Inversa de TL
cos θ e1
R
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x
y
− sen θ
− sin θ
= x
+y
cos θ
cos θ − sin θ
x
=
sin θ
cos θ
y
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cos θ
sin θ
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Núcleo e Imagem
Definição (núcleo, imagem)
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dos
vetores do domínio cuja imagem por T é o vetor nulo.
Projeção, Rotação e
Reflexão
Nuc(T ) = {u ∈ U | T (u) = 0}
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dos
vetores do contra-domínio que são imagem por T de algum
vetor do domínio.
Im(T ) = {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U}
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Núcleo e Imagem
Definição (núcleo, imagem)
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dos
vetores do domínio cuja imagem por T é o vetor nulo.
Projeção, Rotação e
Reflexão
Nuc(T ) = {u ∈ U | T (u) = 0}
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dos
vetores do contra-domínio que são imagem por T de algum
vetor do domínio.
Im(T ) = {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U}
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Núcleo e Imagem
Observação
Transformações
Lineares
Nuc(T ) é subespaço vetorial de U.
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Im(T ) é subespaço vetorial de V .
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Definição (nulidade, posto)
Função Inversa
A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão do
seu núcleo
ν(T ) = dim(Nuc(T ))
Inversa de TL
O posto de uma transformação linear T é a dimensão da
sua imagem
dim Im(T ) = dim(Im(T ))
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Núcleo e Imagem
Observação
Transformações
Lineares
Nuc(T ) é subespaço vetorial de U.
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Im(T ) é subespaço vetorial de V .
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Definição (nulidade, posto)
Função Inversa
A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão do
seu núcleo
ν(T ) = dim(Nuc(T ))
Inversa de TL
O posto de uma transformação linear T é a dimensão da
sua imagem
dim Im(T ) = dim(Im(T ))
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Núcleo e Imagem
Observação
Transformações
Lineares
Nuc(T ) é subespaço vetorial de U.
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Im(T ) é subespaço vetorial de V .
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Definição (nulidade, posto)
Função Inversa
A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão do
seu núcleo
ν(T ) = dim(Nuc(T ))
Inversa de TL
O posto de uma transformação linear T é a dimensão da
sua imagem
dim Im(T ) = dim(Im(T ))
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Núcleo e Imagem
Exemplo
Transformações
Lineares
T : R2 → R 3 ,
T (x, y ) = (x + y , −2(x + y ), 0)
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
T (x, y ) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0
Nuc(T ) = h(1, −1)i
Im(T ) = h(1, −2, 0)i
Inversa de TL
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Núcleo e Imagem
Exemplo
Transformações
Lineares
T : R2 → R 3 ,
T (x, y ) = (x + y , −2(x + y ), 0)
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
T (x, y ) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0
Nuc(T ) = h(1, −1)i
Im(T ) = h(1, −2, 0)i
Inversa de TL
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Núcleo e Imagem
Exemplo
Transformações
Lineares
T : R2 → R 3 ,
T (x, y ) = (x + y , −2(x + y ), 0)
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
T (x, y ) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0
Nuc(T ) = h(1, −1)i
Im(T ) = h(1, −2, 0)i
Inversa de TL
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Núcleo e Imagem
Exemplo
Transformações
Lineares
T : R2 → R 3 ,
T (x, y ) = (x + y , −2(x + y ), 0)
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
T (x, y ) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0
Nuc(T ) = h(1, −1)i
Im(T ) = h(1, −2, 0)i
Inversa de TL
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Núcleo e Imagem
Lema
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
Seja T : U → V uma TL. Então:
T é injetiva ⇔ Nuc(T ) = {0}
T é sobrejetiva ⇔ dim(Im(T )) = dim(V )
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
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18 / 30
Núcleo e Imagem
Lema
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
Seja T : U → V uma TL. Então:
T é injetiva ⇔ Nuc(T ) = {0}
T é sobrejetiva ⇔ dim(Im(T )) = dim(V )
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
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18 / 30
Núcleo e Imagem
Lema
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
Seja T : U → V uma TL. Então:
T é injetiva ⇔ Nuc(T ) = {0}
T é sobrejetiva ⇔ dim(Im(T )) = dim(V )
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
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18 / 30
Núcleo e Imagem
Teorema (do Núcleo e Imagem)
Transformações
Lineares
Seja T : U → V uma TL. Então
Revisão de Funções
Definição
dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U).
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Prova
Seja {u1 , . . . , uν } base de Nuc(T ) e
sejam v1 , . . . , vr tais que {u1 , . . . , uν , v1 , . . . , vr }
seja base de U. Basta verificar que
{T (v1 ), . . . , T (vr )} é base de Im(T ).
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19 / 30
Núcleo e Imagem
Teorema (do Núcleo e Imagem)
Transformações
Lineares
Seja T : U → V uma TL. Então
Revisão de Funções
Definição
dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U).
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Prova
Seja {u1 , . . . , uν } base de Nuc(T ) e
sejam v1 , . . . , vr tais que {u1 , . . . , uν , v1 , . . . , vr }
seja base de U. Basta verificar que
{T (v1 ), . . . , T (vr )} é base de Im(T ).
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19 / 30
Núcleo e Imagem
Teorema (do Núcleo e Imagem)
Transformações
Lineares
Seja T : U → V uma TL. Então
Revisão de Funções
Definição
dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U).
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Prova
Seja {u1 , . . . , uν } base de Nuc(T ) e
sejam v1 , . . . , vr tais que {u1 , . . . , uν , v1 , . . . , vr }
seja base de U. Basta verificar que
{T (v1 ), . . . , T (vr )} é base de Im(T ).
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19 / 30
Núcleo e Imagem
Teorema (do Núcleo e Imagem)
Transformações
Lineares
Seja T : U → V uma TL. Então
Revisão de Funções
Definição
dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U).
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Prova
Seja {u1 , . . . , uν } base de Nuc(T ) e
sejam v1 , . . . , vr tais que {u1 , . . . , uν , v1 , . . . , vr }
seja base de U. Basta verificar que
{T (v1 ), . . . , T (vr )} é base de Im(T ).
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Espaço Vetorial das TLs
Definição (operações entre TLs)
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Dados T , S ∈ L(U; V ) e α ∈ R definimos a soma de TLs e a
sua multiplicação por escalar como:
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
T +S : U →
V
u 7→ T (u) + S(u)
e
αT : U →
V
.
u 7→ αT (u)
Função Inversa
Inversa de TL
Lema (espaço vetorial das TLs)
L(U; V ) com as operações acima é um espaço vetorial.
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Espaço Vetorial das TLs
Definição (operações entre TLs)
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Dados T , S ∈ L(U; V ) e α ∈ R definimos a soma de TLs e a
sua multiplicação por escalar como:
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
T +S : U →
V
u 7→ T (u) + S(u)
e
αT : U →
V
.
u 7→ αT (u)
Função Inversa
Inversa de TL
Lema (espaço vetorial das TLs)
L(U; V ) com as operações acima é um espaço vetorial.
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Composição de Funções
Definição (composição de funções)
Transformações
Lineares
Dadas f : X → Y e g : Y → Z , define-se
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
g◦f : X
x
→
Z
7
→
g(f (x))
f
g
Função Inversa
Inversa de TL
X
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Composição de Funções
Definição (composição de funções)
Transformações
Lineares
Dadas f : X → Y e g : Y → Z , define-se
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
g◦f : X
x
→
Z
7
→
g(f (x))
f
g
Função Inversa
Inversa de TL
X
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Composição de Funções
Definição (composição de funções)
Transformações
Lineares
Dadas f : X → Y e g : Y → Z , define-se
Revisão de Funções
Definição
g◦f : X
x
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
→
Z
7
→
g(f (x))
Função Inversa
Inversa de TL
g◦f
X
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Composição de Funções
Propriedades da Composição
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ h
Não-comutatividade:
em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,
g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.
Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estão
definidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.
Exemplo em breve.
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Composição de Funções
Propriedades da Composição
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ h
Não-comutatividade:
em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,
g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.
Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estão
definidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.
Exemplo em breve.
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Composição de Funções
Propriedades da Composição
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ h
Não-comutatividade:
em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,
g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.
Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estão
definidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.
Exemplo em breve.
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Composição de Funções
Propriedades da Composição
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ h
Não-comutatividade:
em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,
g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.
Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estão
definidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.
Exemplo em breve.
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Composição de Funções
Propriedades da Composição
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ h
Não-comutatividade:
em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,
g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.
Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estão
definidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.
Exemplo em breve.
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Composição de TLs
Propriedades da Composição de TLs
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
No caso particular em que as funções são TLs, temos
algumas propriedades adicionais:
A composição de TLs é uma TL.
(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))
= αT (S(u)) + T (S(v))
= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)
(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);
S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);
S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;
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23 / 30
Composição de TLs
Propriedades da Composição de TLs
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
No caso particular em que as funções são TLs, temos
algumas propriedades adicionais:
A composição de TLs é uma TL.
(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))
= αT (S(u)) + T (S(v))
= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)
(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);
S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);
S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;
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Composição de TLs
Propriedades da Composição de TLs
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
No caso particular em que as funções são TLs, temos
algumas propriedades adicionais:
A composição de TLs é uma TL.
(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))
= αT (S(u)) + T (S(v))
= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)
(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);
S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);
S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;
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Composição de TLs
Propriedades da Composição de TLs
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
No caso particular em que as funções são TLs, temos
algumas propriedades adicionais:
A composição de TLs é uma TL.
(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))
= αT (S(u)) + T (S(v))
= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)
(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);
S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);
S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;
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Composição de TLs
Propriedades da Composição de TLs
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
No caso particular em que as funções são TLs, temos
algumas propriedades adicionais:
A composição de TLs é uma TL.
(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))
= αT (S(u)) + T (S(v))
= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)
(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);
S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);
S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;
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Exemplo de Composição de TLs
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo de Composição de TLs
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo de Composição de TLs
Transformações
Lineares
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Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Lineares
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Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Transformações
Lineares
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Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo de Composição de TLs
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Exemplo
Considere TLs definidas em R2 :
P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
Função Inversa
S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b).
Inversa de TL
PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0)
SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP.
PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0)
RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Função Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :
(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;
(b) injetividade garante a unicidade de tal x.
Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f −1 :
f −1 : Y
y
→
X
7
→
x satisfazendo f (x) = y .
Função Inversa
Inversa de TL
f
X
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Função Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :
(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;
(b) injetividade garante a unicidade de tal x.
Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f −1 :
f −1 : Y
y
→
X
7
→
x satisfazendo f (x) = y .
Função Inversa
Inversa de TL
f
X
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Função Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :
(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;
(b) injetividade garante a unicidade de tal x.
Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f −1 :
f −1 : Y
y
→
X
7
→
x satisfazendo f (x) = y .
Função Inversa
Inversa de TL
f
X
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Função Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :
(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;
(b) injetividade garante a unicidade de tal x.
Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f −1 :
f −1 : Y
y
→
X
7
→
x satisfazendo f (x) = y .
Função Inversa
Inversa de TL
f
X
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Função Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :
(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;
(b) injetividade garante a unicidade de tal x.
Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f −1 :
f −1 : Y
y
→
X
7
→
x satisfazendo f (x) = y .
Função Inversa
Inversa de TL
f
X
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Função Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :
(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;
(b) injetividade garante a unicidade de tal x.
Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f −1 :
f −1 : Y
y
→
X
7
→
x satisfazendo f (x) = y .
Função Inversa
Inversa de TL
f −1
X
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Propriedades da Inversa
A inversa possui as seguintes propriedades:
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
f (f −1 (y )) = y ∀y ∈ Y , isto é, f ◦ f −1 = IY e
f −1 (f (x)) = x ∀x ∈ X , isto é, f −1 ◦ f = IX .
De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa,
conforme veremos mais adiante.
Inversa de TL
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Propriedades da Inversa
A inversa possui as seguintes propriedades:
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
f (f −1 (y )) = y ∀y ∈ Y , isto é, f ◦ f −1 = IY e
f −1 (f (x)) = x ∀x ∈ X , isto é, f −1 ◦ f = IX .
De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa,
conforme veremos mais adiante.
Inversa de TL
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Propriedades da Inversa
A inversa possui as seguintes propriedades:
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
f (f −1 (y )) = y ∀y ∈ Y , isto é, f ◦ f −1 = IY e
f −1 (f (x)) = x ∀x ∈ X , isto é, f −1 ◦ f = IX .
De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa,
conforme veremos mais adiante.
Inversa de TL
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Exemplos de Função Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Exemplo
√
3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √
3 y )3 = y e
A
inversa
de
f
(x)
=
x
√
3
x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 .
Função Inversa
Inversa de TL
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois
cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é
g(x) = 1/ cos(x).
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Exemplos de Função Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Exemplo
√
3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √
3 y )3 = y e
A
inversa
de
f
(x)
=
x
√
3
x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 .
Função Inversa
Inversa de TL
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois
cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é
g(x) = 1/ cos(x).
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Exemplos de Função Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Exemplo
√
3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √
3 y )3 = y e
A
inversa
de
f
(x)
=
x
√
3
x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 .
Função Inversa
Inversa de TL
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois
cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é
g(x) = 1/ cos(x).
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Exemplos de Função Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Exemplo
√
3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √
3 y )3 = y e
A
inversa
de
f
(x)
=
x
√
3
x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 .
Função Inversa
Inversa de TL
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois
cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é
g(x) = 1/ cos(x).
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Transformações
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Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Exemplo
√
3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √
3 y )3 = y e
A
inversa
de
f
(x)
=
x
√
3
x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 .
Função Inversa
Inversa de TL
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois
cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é
g(x) = 1/ cos(x).
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Transformações
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Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Exemplo
√
3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √
3 y )3 = y e
A
inversa
de
f
(x)
=
x
√
3
x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 .
Função Inversa
Inversa de TL
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois
cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é
g(x) = 1/ cos(x).
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Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Exemplo
√
3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √
3 y )3 = y e
A
inversa
de
f
(x)
=
x
√
3
x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 .
Função Inversa
Inversa de TL
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois
cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é
g(x) = 1/ cos(x).
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Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Exemplo
√
3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √
3 y )3 = y e
A
inversa
de
f
(x)
=
x
√
3
x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 .
Função Inversa
Inversa de TL
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois
cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é
g(x) = 1/ cos(x).
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Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Exemplo
√
3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √
3 y )3 = y e
A
inversa
de
f
(x)
=
x
√
3
x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 .
Função Inversa
Inversa de TL
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois
cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é
g(x) = 1/ cos(x).
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Caracterização da Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Lema
Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existem
g, h : Y → X satisfazendo:
(a) g ◦ f = IX (identidade em X ) e
(b) f ◦ h = IY (identidade em Y ),
então f é bijetiva e g = h = f −1 .
Corolário
Se f é bijetiva, então f −1 é bijetiva e (f −1 )−1 = f .
Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.
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Caracterização da Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Lema
Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existem
g, h : Y → X satisfazendo:
(a) g ◦ f = IX (identidade em X ) e
(b) f ◦ h = IY (identidade em Y ),
então f é bijetiva e g = h = f −1 .
Corolário
Se f é bijetiva, então f −1 é bijetiva e (f −1 )−1 = f .
Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.
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Caracterização da Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Lema
Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existem
g, h : Y → X satisfazendo:
(a) g ◦ f = IX (identidade em X ) e
(b) f ◦ h = IY (identidade em Y ),
então f é bijetiva e g = h = f −1 .
Corolário
Se f é bijetiva, então f −1 é bijetiva e (f −1 )−1 = f .
Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.
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Caracterização da Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Lema
Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existem
g, h : Y → X satisfazendo:
(a) g ◦ f = IX (identidade em X ) e
(b) f ◦ h = IY (identidade em Y ),
então f é bijetiva e g = h = f −1 .
Corolário
Se f é bijetiva, então f −1 é bijetiva e (f −1 )−1 = f .
Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.
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Caracterização da Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Lema
Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existem
g, h : Y → X satisfazendo:
(a) g ◦ f = IX (identidade em X ) e
(b) f ◦ h = IY (identidade em Y ),
então f é bijetiva e g = h = f −1 .
Corolário
Se f é bijetiva, então f −1 é bijetiva e (f −1 )−1 = f .
Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.
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Caracterização da Inversa
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Lema
Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existem
g, h : Y → X satisfazendo:
(a) g ◦ f = IX (identidade em X ) e
(b) f ◦ h = IY (identidade em Y ),
então f é bijetiva e g = h = f −1 .
Corolário
Se f é bijetiva, então f −1 é bijetiva e (f −1 )−1 = f .
Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.
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Inversa da Composta
Lema
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Se g : Y → Z e f : X → Y são invertíveis então g ◦ f
também o é e (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
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Inversa da Composta
Lema
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Se g : Y → Z e f : X → Y são invertíveis então g ◦ f
também o é e (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
f
Função Inversa
g
Inversa de TL
X
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Inversa da Composta
Lema
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Se g : Y → Z e f : X → Y são invertíveis então g ◦ f
também o é e (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
f
Função Inversa
g
Inversa de TL
g◦f
X
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Inversa da Composta
Lema
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Se g : Y → Z e f : X → Y são invertíveis então g ◦ f
também o é e (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
f −1
Função Inversa
g −1
Inversa de TL
f −1 ◦ g −1
X
Y
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Inversa de TL
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Uma transformação linear é uma função e, como tal,
admite uma função inversa desde que seja bijetiva.
Há dois fatos específicos relativos à inversa de uma
transformação linear importantes.
Função Inversa
Inversa de TL
Lema (inversa de TL)
Se T : U → V é transformação linear invertível, então
T −1 também é linear;
U e V têm a mesma dimensão.
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Inversa de TL
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Uma transformação linear é uma função e, como tal,
admite uma função inversa desde que seja bijetiva.
Há dois fatos específicos relativos à inversa de uma
transformação linear importantes.
Função Inversa
Inversa de TL
Lema (inversa de TL)
Se T : U → V é transformação linear invertível, então
T −1 também é linear;
U e V têm a mesma dimensão.
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30 / 30
Inversa de TL
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Uma transformação linear é uma função e, como tal,
admite uma função inversa desde que seja bijetiva.
Há dois fatos específicos relativos à inversa de uma
transformação linear importantes.
Função Inversa
Inversa de TL
Lema (inversa de TL)
Se T : U → V é transformação linear invertível, então
T −1 também é linear;
U e V têm a mesma dimensão.
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Inversa de TL
Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Uma transformação linear é uma função e, como tal,
admite uma função inversa desde que seja bijetiva.
Há dois fatos específicos relativos à inversa de uma
transformação linear importantes.
Função Inversa
Inversa de TL
Lema (inversa de TL)
Se T : U → V é transformação linear invertível, então
T −1 também é linear;
U e V têm a mesma dimensão.
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