POLÍGONOS REPLICANTES

POLÍGONOS REPLICANTES
SEMELHANÇAS NO PLANO
Introdução
Polígonos replicantes ou polígonos repetentes são figuras geométricas com a propriedade
que com cópias idênticas da figura é possível fazer uma tesselação de uma versão de maior tamanho
e da mesma forma que ela. Solomon W. Golomb, em 1964, deu o nome aos polígonos replicantes
no plano e os apresentou como um caso de peças geométricas fora do comum que formam
tesselações do plano. A figura acima exibe um exemplo de hexágono que é polígono replicante.
As figuras semelhantes são figuras que têm a mesma forma e diferente tamanho. Definimos
o conceito de semelhança no plano.
As figuras planas F e F´ são figuras semelhantes se existe uma correspondência biunívoca
S: F → F´ e um número real positivo r tal que se a dos pontos quaisquer A e B em F correspondem
pela S os pontos A´ e B´ em F´, isto é, se S(A) = A´ e S(B) = B´, então é ̅̅̅̅̅̅
𝐴´𝐵´ = r ̅̅̅̅
𝐴𝐵 .
A constante r é a razão de semelhança entre F e F´ e se A´= S(A), dizemos que A e A´ são pontos
homólogos.
Por exemplo, nos polígonos ABCDEF e A`B`C`D`E`F` da figura:
AB e A`B`, BC e B´C´, CD e C´D´, DE e D´E´, EF e E´F´ e FA e F´A´
̅̅̅̅ é válida para
são pares de lados homólogos. A relação ̅̅̅̅̅̅
𝐴´𝐵´ = 2 𝐴𝐵
todo par de lados homólogos desses polígonos então, ABCDEF e A`B`C`D`E`F` são polígonos
semelhantes com razão de semelhança r = 2.
Um
polígono replicante ou polígono repetente é o polígono tal que com cópias congruentes de
ele mesmo se forma uma tesselação de um polígono semelhante a ele.
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Um polígono é replicante de ordem k, k > 1, se k cópias congruentes do polígono formam
uma tesselação de um polígono semelhante a ele.
Notação. Polígono replicante de ordem k: rep-k.
Seja P um polígono rep-k e seja Q o polígono semelhante a P obtido por uma tesselação com
k cópias de P. Então, k cópias de Q formam uma tesselação de um polígono maior semelhante a P.
Cada cópia de Q contém k cópias de P. Continuando com este processo, obtemos polígonos cada
vez maiores, tais que cada um deles é semelhante a P e estão divididos em polígonos semelhantes a
P. Este processo pode ser repetido indefinidamente e ele pode ser usado para formar tesselações do
plano com cada um dos polígonos replicantes.
Se Q é um polígono semelhante a P, resultante da tesselação formada com k cópias
congruentes de P então P é rep-k. Com k cópias congruentes a Q forma-se uma tesselação de um
polígono maior semelhante a Q e também semelhante a P e assim por diante. Portanto, si P é rep-k,
também é rep-𝑘 2 , rep-𝑘 3 , rep-𝑘 4 , e assim por diante. Com frequência os polígonos replicantes têm
vários rep-números. Se um polígono replicante é rep-n e também é rep-m então ele também é
rep-mn, porque replicas podem ser formadas com n cópias congruentes e depois estas podem ser
tomadas de m em m para formar uma versão maior.
No exemplo anterior, quatro polígonos congruentes a P formam a tesselação de
um polígono semelhante Q logo P é rep-4. Também, quatro cópias de Q formam a
tesselação de um polígono maior semelhante a P, de onde resulta que P também é rep-4², rep-4³ e
assim segue.
Os exemplos simples de polígonos replicantes são os quadrados, é conhecido que quatro
quadrados congruentes podem ser colocados lado a lado para formar outro quadrado; logo, o
quadrado menor e um polígono replicante rep-4. Ademais, quatro cópias do quadrado maior podem
ser colocadas lado a lado formando um novo quadrado ainda maior. Repetindo este processo
infinitamente muitas vezes com quadrados cada vez maiores, pode-se fazer uma tesselação do
plano. Exemplos de polígonos replicantes de este tipo são os triângulos e os paralelogramos,
portanto, com triângulos e paralelogramos pode-se construir tesselações do plano usando o mesmo
procedimento descrito para os polígonos replicantes.
Para cada número inteiro positivo k, k > 1, existe um polígono replicante rep-k, isso significa
que para cada número natural k, k > 1, existe uma tesselação onde k cópias congruentes desse
polígono podem ser colocadas formando uma tesselação de um polígono semelhante a ele.
Também pode ser considerado o processo inverso, onde um polígono P admite uma
tesselação formada por k polígonos Q, todos eles congruentes e semelhantes a P, dizemos que P é
um polígono replicante e que ele é rep-k. Cada polígono Q por sua vez pode ser dividido em k
2
polígonos congruentes e semelhantes a P que formam uma tesselação de Q, logo P é rep-𝑘 2 ; este
processo pode continuar indefinidamente. Exemplo com um retângulo:
O trabalho dos alunos em sala de aula com a construção e manipulação de Polígonos
replicantes estimula o desenvolvimento de novas percepções dos conceitos de congruência e
semelhança. A realização de atividades, de experiências e a resolução de problemas, individuais ou
em pequenos grupos, estimulam a observação e a comparação dos elementos, das características e
das propriedades dos polígonos, assim como a formulação e a verificação de hipóteses e de
enunciados.
Semelhança é um tema muito mais amplo que o apresentado nesta abordagem parcial, ele
será retomado com outros materiais manipuláveis tais como geoplanos, poliminós, polideltas, etc, e
com pantógrafo.
APLICAÇÕES DIDÁTICAS DOS CALEIDOSCÓPIOS DIÉDRICOS
 Identificação dos polígonos e de seus elementos.
 Comparação dos polígonos e de suas características.
 Classificação dos polígonos pelos seus lados.
 Congruência e/ou paralelismo dos lados.
 Propriedades dos polígonos.
 Triângulos. Classificação dos triângulos.
 Quadriláteros. Propriedades dos quadriláteros.
 Polígonos irregulares.
 Associação de polígonos pelas suas propriedades.
 Congruência de figuras planas.
 Semelhanças das figuras planas.
 Equicomposição de polígonos.
 Construção de mosaicos.
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