Par ordenado

Par ordenado
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Par ordenado
Intuitivamente, um par ordenado consiste de dois elementos, digamos a e b, dos quais um, digamos a, é designado
como primeiro elemento e o outro como segundo elemento. Um par ordenado é designado por
. Dois pares
ordenados
e
↔
Ex 1: os pares ordenados
são iguais se, e somente se,
e
e
e
são diferentes.
Ex 2: pares ordenados podem ter os primeiros e segundos elementos idênticos tais como:
e
O conjunto de todos os pares ordenados nos quais o primeiro elemento vem do conjunto X e o segundo do conjunto Y
é chamado de Produto cartesiano de X e Y.
Representação gráfica de um Par Ordenado
Podemos representar um par ordenado através de um ponto num plano, esse ponto é chamado de imagem do par
ordenado. Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Denominamos de abscissa o 1º
elemento do par ordenado, e ordenada, o 2º elemento desse par. assim
denota o ponto P com abscissa x e
ordenada y.
Listas ordenadas
Triplas ordenadas e listas ordenadas podem ser definidos recursivamente a partir da definição de par ordenado: uma
tripla ordenada
pode ser definido como
ou como
; ou seja, um par ordenado que
contém outro par ordenado como elemento.
Esta abordagem é adotada em linguagens de programação: É possível representar uma lista de elementos como uma
construção de pares ordenados aninhados. Por exemplo, a lista (1 2 3 4 5) torna-se (1, (2, (3, (4, (5, {}))))).
A linguagem de programação Lisp usa estas listas como sua estrutura de dados primária.
Com base na definição acima, temos a seguite gramática:
<parOrd>
<tupla2>
<elem>
<termo>
::= <tupla2>
::= '(' <elem> ',' <elem> ')'
::= <termo> | <tupla2>
::= a | b |…| z |…
Onde tupla2 representa uma tupla com dois argumentos, elem os elementos (termo ou tupla) e termo é um elemento
terminal.
Pares ordenados na teoria dos conjuntos
A propriedade característica dos pares ordenados mencionada em seção anterior contém tudo que é necessário para
compreender a maneira como os pares ordenados são usados na matemática. Entretanto, tendo em vista os
fundamentos da matemática vamos expressar a definição de cada tipo de objeto matemático em termos dos
conjuntos. esta definição, no caso dos pares ordenados pode ser feita de varias formas.
a noção de pares ordenados é crucial para a definição de produto cartesiano e relação.
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A definição de Wiener
Norbert Wiener propôs a primeira definição de pares ordenados na teoria dos conjuntos em 1914:
Ele observou que esta definição permitia expressar todos tipos que aparecem no Principia Mathematica usando
apenas conjuntos.
A definição padrão de Kuratowski
Na teoria axiomática dos conjuntos, o par ordenado
é normalmente definido pelo par de Kuratowski ( que é
bem básico, porque requer apenas poucos axiomas para poder ser formulado, a saber. (o axioma da extensão, o
axioma da separação e o axioma do par):
A afirmação de que x é o primeiro elemento de um par ordenado p pode então ser formulada como:
( ∀ Y ∈ p ) ( x ∈Y )
e a afirmação que x é o segundo elemento de p pode ser formulada como:
( ∃ Y ∈ p ) ( x ∈ Y ) ∧ (∀ Y1 ∈ p, ∀ Y2 ∈ p ) ( Y1 ≠ Y2 → ( x ∉ Y1 ∨ x ∉ Y2 )).
Note que essa definição ainda é válida para o par ordenado p = (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }; neste
caso a declaração (∀ Y1 ∈ p, ∀ Y2 ∈ p : Y1 ≠ Y2 → (x ∉ Y1 ∨ x ∉ Y2)) é trivialmente verdadeira, desde que nunca
acontece de que Y1 ≠ Y2.
Variações da definição
A definição acima de um par ordenado é “adequada”, no sentido de que satisfaz a propriedade característica que um
par ordenado deve ter. (a saber: se
, então
e
), mas também arbitrária, porque há
muitas outras definições que não são mais complicadas e também seriam adequadas. Exemplos para outras
definições possíveis incluem
1.
invertido: =
2.
curto: = {a, {a, b}}
3.
01: =
O par “invertido” quase nunca é usado, porque não tem nenhuma vantagem óbvia (nem desvantagens) sobre o par
usual de Kuratowski. O par “curto” tem a desvantagem de que a demonstração da propriedade característica do par
(ver acima) é mais complicada do que para o par de Kuratowski (o axioma da regularidade tem que ser usado); além
disso, uma vez o número 2 na teoria dos conjuntos e às vezes definido como o conjunto
, isto significaria
que 2 é o par (0.0) curto.
Provando a propriedade característica do par de Kuratowski
Provar:
Se a=b:
então
se e somente se
= = { {a} }, e
e
.
= = { {a} }. Assim {c} = {a} = {c, d}, ou
. Se {c, d} = {a}, então c=d=a ou
. Se a≠b,
. Se {c} = {a, b}, então
a=b=c, que contradiz a≠b. Conseqüentemente {c} = {a}, ou c=a, e {c, d} = {a, b}. E se d=a, então {c, d} = {a, a} =
{a} ≠ {a, b}. Assim d=b. Assim a=c e b=d. Inversamente, se a=c e b=d, então
. Assim
.
Invertido: (a, b) Invertido =
=
. Se (a, b) invertido = (c, d) invertido,
. Conseqüentemente b=d e a=c. Inversamente, se a=c e b=d, então
Assim (a, b) invertido = (c, d) invertido.
.
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A definição de Quine-Rosser
Rosser (1953) usou extensivamente uma definição de par ordenado devido a Willard van Orman Quine. A definição
de Quine-Rosser requer uma definição prévia dos números naturais tal como a seguinte:
Tome Nn como o conjunto dos números naturais, e defina
φ(x) contem o sucessor de cada número natural em x, junto com todos os números não naturais de x. em particular,
φ(x) não contem o número 0, de modo que para alguns conjuntos A e B,
.
Definir o par ordenado (A, B) por 0 sendo contíguo com cada elemento do φ(B), formando então à união do
resultado com φ (A):
Extraindo todos os elementos do par que não contêm 0 temos A. Do mesmo modo, B pode ser recuperado extraindo
todos os elementos do par que contêm 0.
Esta definição de par ordenado tem uma única vantagem. Na teoria dos tipos, e em teorias dos conjuntos tais como
New Foundations que surgem a partir da teoria dos tipos, este par é do mesmo tipo que suas projeções.
Portanto, uma função definida como um conjunto de pares ordenados, tem um tipo maior apenas por 1 do que o tipo
de suas projeções. Para uma discussão extensa de pares ordenados no contexto das teorias dos conjuntos quineanas
ou " à la Quine", ver Holmes (1998).
Definição de Morse
A teoria dos conjuntos de Mose-Kelley, definida por Morse em 1965, faz livre uso de classes próprias. Morse definiu
os pares ordenados desta maneira para permitir sua projeção ser tanto classes próprias quanto nos conjuntos (a
definição de (Kuratowski não permite isso). Definiu primeiramente os pares requisitados cujas as projeções são
Conjuntos na maneira de Kuratowski jogos na maneira de Kuratowski. Ele então redefiniu o par (x, y) como
, onde os componentes dos produtos cartesianos são pares de Kuratowski em conjuntos.
Esta segunda etapa rende possíveis pares cujas projeções são próprias classes. A definição de Rosser em seção
anterior admite também as próprias classes como projeções.
Teoria das categorias
Produto é a noção da teoria das categorias mais similar à de um par ordenado. Enquanto um número de objetos pode
fazer o papel de pares, eles são todos equivalentes quanto à serem categoricamente isomórficos.
Referências
• Holmes, Randall, 1998. Elementary Set Theory with a Universal Set [1]. Academia-Bruylant. The publisher has
graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web. Copyright is reserved.
• Morse, Anthony P., 1965. A Theory of Sets. Academic Press
• J. Barkley Rosser, 1953. Logic for mathematicians. McGraw-Hill.
• Seymour Lipschutz, teoria dos conjuntos coleção Schaum
• Coniglio, Marcelo Esteban.Teoria axiomática dos conjuntos. Universidade estadual de Campinas-SP, Brasil.
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Referências
[1] http:/ / math. boisestate. edu/ ~holmes/ holmes/ head. pdf
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Fontes e Editores da Página
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Par ordenado Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=23485270 Contribuidores: Albmont, Alchimista, Burmeister, CommonsDelinker, Cícero, E2m, EDULAU, GOE, Garavello,
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