Par Ordenado Produto Cartesiano Relação

𝑅1 = {(1,3), (2,5)}
𝑅2 = { (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵 / 𝑦 = 𝑥 + 1 }
x = 1 → y = 1 + 1 = 2 → (1,2) ∈ AxB
Par Ordenado
x = 2 → y = 2 + 1 = 3 → (2,3) ∈ AxB
A ordem dos elementos tem importância
(x,y) ≠ {x,y}
1º) ( a, b ) = ( c,d )
a=c
2º) ( a,b ) = ( b,a )
a=b
e
b=d
Gráfico cartesiano
Representamos os elementos de A no eixo x e os elementos de
B no eixo y. O gráfico de A x B é constituído pelos pontos
pertencentes ao produto A x B.
R4 = { (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅² / 𝑥 = 3}
( abscissa,ordenada )
Considerando os conjuntos A e B, podemos ter as seguintes
situações:
B x A = {(3,1), (5,1), (7,1), (3,2), (5,2), (7,2)}
A x A = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1)}
AxB = { (𝑥, 𝑦) / 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵}
Ex.: A = { 1,2 } e B = { 3,5,7 }
Listagem dos Elementos
𝑅² = 𝑅 𝑥 𝑅 = { (𝑥, 𝑦) / 𝑥 ∈ 𝑅 𝑒 𝑦 ∈ 𝑅}
Relação
R = { (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵 / 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛ç𝑎 }
AxB = { (1,3),(1,5),(1,7),(2,3),(2,5),(2,7)}
Utilizando como exemplo o produto cartesiano anterior
Diagrama de Flechas
OBS.: Se considerarmos o espaço cartesiano R² não tem como listar os
elementos, nem representar no diagrama. Só nos resta representar no
plano cartesiano.
R3 = { (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅² / 𝑦 = 𝑥}
OBS.: Um ponto só pode ser representado por um único par
ordenado e um par ordenado só pode representar um único
ponto
Produto Cartesiano
𝑅2 = {(2,3)}
𝑅1 = { (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵 / 𝑦 = 2𝑥 + 1 }
x = 1 → y = 2.1 + 1 = 3 → (1,3) ∈ AxB
x = 2 → y = 2.2 + 1 = 5 → (2,5) ∈ AxB
O conjunto imagem são os elementos de B que são utilizados.
Im={0,9}
𝐼𝑚 𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝐶𝐷
Par Ordenado : (domínio,imagem)
Definição de Função
Função é toda relação binária de A em B, onde para todo x
pertencente a A, tem se um único correspondente y
pertencente a B.
Usando as relações anteriores
Y = f(x) →
imagem= f(domínio)
f(5)=12
5 é domínio ; 12 é imagem e f(12) é a imagem do
domínio 12
f(5)=12 → (5,12) e vice e versa
R1 e R3 são funções
Exemplo : 𝑦 =
𝑥+2
𝑥−2
x–2≠0→ x≠2
D = R – {2}
Isolando x, fica
y.(x -2) = x + 2
yx – 2y = x + 2
yx – x = 2y + 2
x(y – 1) = 2y + 2
R2 e R4 não são funções
𝑥=
2𝑦+2
𝑦−1
y–1≠0 → y≠1
Im = R – {1}
𝑛
2º) y = √𝑥 → x ≥ 0
Observe que todos os elementos do conjunto A possuem uma flecha
em direção a um único elemento do conjunto B.
Para saber se uma relação gráfica é função, traça segmentos verticais. Nenhum
deles pode interseccionar o gráfico em mais de um ponto.
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Domínio: D = [-2, [ → projeta no eixo x
Se n for par.
D = { x ∈ R / x ≥ 0}
2
Imagem: Im= [-2,3] → projeta no eixo y
Sempre partimos da idéia de que o domínio é R.
Exemplo: y = x²
Perceba que f(0) = -2 ; f(-2)=0 e f(4)=3
não é função de x em y
→ x = ±√𝑦
D=R
Domínio e Imagem na função
1º) y =
é função de x em y
1
𝑥
Im = { y ∈ R / y ≥ 0 }
→ x≠0
D=R–{0}
Sendo função, lê-se f : A → B (função de A em B).
Isolando a variável x obtemos a imagem
A é o domínio da função
x=
A={-3,0,3}
B é o contradomínio da função B={0,9,18}
1
𝑦
→ y≠ 0
Im = R – { 0 }