• Estabilidade Robusta O sistema linear x(k+1 - DT

IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
• Estabilidade Robusta
O sistema linear
x(k + 1) = A(·)x(k)
;
A(·) ∈ A
possui parâmetros incertos (fixos ou variantes no tempo, com taxas de variação conhecidas ou
então com taxas de variação arbitrárias).
A estabilidade robusta ocorre se a seguinte condição for verificada ∀A(·) ∈ A :
; lim x(k) → 0, para condição inicial x(0) arbitrária
k→∞
• Sistemas incertos invariantes no tempo
; A estabilidade robusta de A(α) ∈ A , A(α) ∈ Rn×n é equivalente a
max |λi(A(α))| < 1 ; i = 1, . . . , n ∀A(α) ∈ A
i
estab_disc
1/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
Sistemas lineares discretos com incerteza politópica
; a estabilidade dos vértices não garante a estabilidade robusta (é apenas condição necessária)


0.2098 −0.4505 1.3844
A1 =  1.1095 0.6493 −1.5279 
−0.5196 0.0355 −0.9285
1
0.8
0.6
0.4
0.2
imag
λ(A1) = 0.2159 ± 0.8842i, −0.5013
0
−0.2


−1.2340 −0.7170 1.5800
A2 =  3.5167 0.0485 0.0296 
0.6974 −0.5101 1.3217
PSfrag replacements
λ(A2) = −0.3510 ± 0.5227i, 0.8383
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.8 −0.6 −0.4 −0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
real
; Se as matrizes A(α) pertencentes ao politopo A são estáveis, então as matrizes descritas
por ρA(α) são também estáveis para todo 0 ≤ ρ ≤ 1
estab_disc
2/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
Estabilidade Robusta — Sistemas Discretos
• Uma condição necessária e suficiente para a estabilidade robusta de x(k + 1) = A(α)x(k),
∀A(α) ∈ A (sistema variante ou invariante no tempo, conjunto A qualquer) é dada pela
existência de P(α(k)) = P(α(k))0 > 0 tal que
A(α(k))0P(α(k + 1))A(α(k)) − P(α(k)) < 0
De fato, escolhendo a função de Lyapunov v(x(k)) = x(k)0P(α(k))x(k) tem-se
∆v(x(k)) = v(x(k +1))−v(x(k)) = x(k +1)0 P(α(k +1))x(k +1)−x(k)0 P(α(k))x(k) =
´
³
0
0
= x(k) A(α(k)) P(α(k + 1))A(α(k)) x(k) − x(k)0P(α(k))x(k)
e, conseqüentemente, v(x(k)) > 0 e ∆v(x(k)) < 0 se e somente se P(α) = P(α) 0 > 0 e
0
³
0
´
x(k) A(α(k)) P(α(k + 1))A(α(k)) − P(α(k)) x(k) < 0 ; ∀x(k) 6= 0
⇔
estab_disc
A(α(k))0P(α(k + 1))A(α(k)) − P(α(k)) < 0
3/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
• Sistemas lineares com incertezas politópicas
x(k + 1) = A(α)x(k)
;
N
A(α) ∈ A = A(α) : A(α) = ∑ αiAi ;
n
i=1
N
∑ αi = 1
; αi ≥ 0
i=1
o
Estabilidade Quadrática (EQ)
O sistema é estável ∀A(α) ∈ A se existir P = P0 > 0 tal que
·
¸
0
P
A
P
i
> 0 ; i = 1, . . . , N
A0iPAi − P < 0 ⇔
PAi P
Prova: Multiplicando por αi ≥ 0 e somando de 1 até N,
N
∑ αi = 1, tem-se
i=1

P


 ³N
´

P ∑ αi A i
i=1
estab_disc
³
´0 
∑ αiAi P  · P A(α)0P ¸
i=1
>0
=
PA(α)
P

P
N
⇔
A(α)0PA(α) − P < 0
4/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
• A estabilidade quadrática é uma condição suficiente para a estabilidade robusta de um sistema
discreto incerto, pois assume
P(α(k)) = P(α(k + 1)) = P
; parâmetros incertos podem ser variantes no tempo; a condição garante a estabilidade para
ρA(α), A(α) ∈ A e 0 ≤ ρ ≤ 1
; mesma função de Lyapunov é usada para verificar a estabilidade de todo o domı́nio de
incertezas
; resultado pode ser conservador na avaliação de domı́nios de estabilidade no caso de sistemas
invariantes no tempo; outras escolhas para P(α) (ou outras formas para v(x)) podem reduzir
o conservadorismo
estab_disc
5/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
Incerteza politópica invariante no tempo
x(k + 1) = A(α)x(k)
;
N
A(α) ∈ A = A(α) : A(α) = ∑ αiAi ;
n
i=1
N
∑ αi = 1
i=1
; αi ≥ 0
o
• Para α fixo, o Lema de Finsler fornece as seguintes condições equivalentes:
w=
·
x(k)
x(k + 1)
¸
; B (α) = A(α) −I
£
¤
; B⊥ =
·
I
A(α)
¸
; Q (α) =
·
−P(α) 0
0
P(α)
¸
➀ ∃P(α) = P(α)0 > 0
·
¸
£
¤
−P(α)
0
0
w
w < 0 ∀ w 6= 0 : A(α) −I w = 0
0
P(α)
➁ ∃P(α) = P(α)0 > 0
·
I
A(α)
estab_disc
¸0 ·
−P(α) 0
0
P(α)
¸·
I
A(α)
¸
= A(α)0P(α)A(α) − P(α) < 0
¸
·
P(α)
P(α)A(α)
>0
⇐⇒
P(α)
A(α)0P(α)
6/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
➂ ∃µ(α) ∈ R, P(α) = P(α)0 > 0
·
¸
·
¸
¤
−P(α) 0
A(α)0 £
− µ(α)
A(α) −I =
−I
0
P(α)
·
¸
µ(α)A(α)0
−µ(α)A(α)0 A(α) − P(α)
=
<0
µ(α)A(α)
−µ(α)I + P(α)
➃ ∃X (α) ∈ R2n×n , P(α) = P(α)0 > 0
·
¸
¸
·
0
£
¤
A(α)
−P(α) 0
X (α)0 < 0
+ X (α) A(α) −I +
0
P(α)
−I
; A condição ➃ pode ser reescrita em termos das partições de X (α) =
·
·
−P(α) + X1(α)A(α) + A(α)0X1(α)0 −X1(α) + A(α)0X2(α)0
X2(α)A(α) − X1(α)0
P(α) − X2(α) − X2(α)0
X1(α)
X2(α)
¸
¸
<0
; Como no caso precisamente conhecido, a escolha X1 = 0, X2(α) = X2(α)0 = P(α) recupera
a forma de Schur de A(α)0P(α)A(α) − P(α) < 0
estab_disc
7/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
• Uma escolha para P(α) é a função afim
N
P(α) = ∑ αiPi ;
i=1
N
∑ αi = 1
; αi ≥ 0
i=1
; Primeira idéia: P(α) aparece isolada (não está multiplicada por nenhuma matriz função
de α) nas LMIs da condição ➃
; Fixando X1(α) = X1 e X2(α) = X2, tem-se:
·
−P(α) + X1A(α) + A(α)
X2A(α) − X10
0
X10
0
−X1 + A(α) X20
P(α) − X2 − X20
¸
N
= ∑ αi
i=1
·
−Pi + X1Ai + A0iX10
X2Ai − X10
−X1 + A0iX20
Pi − X2 − X20
¸
e portanto, uma condição suficiente para a existência de P(α) > 0 tal que A(α) 0P(α)A(α) −
P(α) < 0 é dada pela existência de Pi = Pi0 > 0, i = 1, . . . , N e X1, X2 tais que
·
estab_disc
−Pi + X1Ai + A0iX10 −X1 + A0iX20
X2Ai − X10
Pi − X2 − X20
¸
< 0 ; i = 1, . . . , N
8/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
Lema (EE): Se existirem matrizes Pi = Pi0 > 0, i = 1, . . . , N e matrizes X1, X2 tais que
·
−Pi + X1Ai + A0iX10 −X1 + A0iX20
X2Ai − X10
Pi − X2 − X20
¸
< 0 ; i = 1, . . . , N
então P(α) = P(α)0 > 0 dada por
N
P(α) = ∑ αiPi ;
i=1
N
∑ αi = 1
; αi ≥ 0
i=1
é tal que A(α)0P(α)A(α) − P(α) < 0.
Prova: Multiplicando as condições por αi ≥ 0, ∑Ni=1 αi = 1 e somando, tem-se
·
−P(α) + X1A(α) + A(α)
X2A(α) − X10
0
X10
0
−X1 + A(α) X20
P(α) − X2 − X20
¸
<0
aplicando a transformação de congruência obtém-se a condição desejada
·
I
A(α)
¸0 ·
−P(α) + X1A(α) + A(α)
X2A(α) − X10
0
X10
0
−X1 + A(α) X20
P(α) − X2 − X20
¸·
I
A(α)
¸
=
= A(α)0P(α)A(α) − P(α) < 0
estab_disc
9/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
; uso de P(α) afim e de A(α) ∈ A diretamente na expressão A(α)0P(α)A(α) − P(α) < 0
Lema (ER): Se existirem matrizes Pi = Pi0 > 0, i = 1, . . . , N tais que
A0iPiAi − Pi < 0 ; i = 1, . . . , N
A0iPiA j + A0j PiAi + A0iPj Ai − 2Pi − Pj < 0
i = 1, . . . , N
j 6= i , j = 1, . . . , N
A0j PiAk + A0k PiA j + A0iPj Ak + A0k Pj Ai + A0iPk A j + A0j Pk Ai − 2(Pi + Pj + Pk ) < 0
i = 1, . . . , N − 2 ; j = i + 1, . . . , N − 1 ; k = j + 1, . . . , N
então P(α) = P(α)0 > 0 dada por
N
P(α) = ∑ αiPi ;
i=1
N
∑ αi = 1
; αi ≥ 0
i=1
é uma função de Lyapunov dependente de parâmetro para todo A(α) ∈ A
N
A(α) = ∑ αiAi ;
i=1
estab_disc
N
∑ αi = 1
; αi ≥ 0
i=1
10/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
Prova: desenvolvendo a expressão de Lyapunov dependente do parâmetro α, para A(α) e
P(α) dados, tem-se
0
0
A(α) P(α)A(α) − P(α) = A(α) P(α)A(α) −
³N
∑ αi
i=1
N
=∑
α3i
i=1
N−2 N−1
+∑
³
A0iPiAi − Pi
N
∑ ∑
i=1 j=i+1 k= j+1
´
N
+∑
N
∑
i=1 j6=i; j=1
α2i α j
³
´2
P(α) =
A0iPiA j + A0j PiAi + A0iPj Ai − 2Pi − Pj
´
´
³
αiα j αk A0j PiAk +A0k PiA j +A0iPj Ak +A0k Pj Ai +A0iPk A j +A0j Pk Ai −2(Pi +Pj +Pk )
; Impondo as condições do Lema (e lembrando que αiα j αk ≥ 0):
A(α)0P(α)A(α) − P(α) < 0
estab_disc
11/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
; mesma idéia aplicada à forma de Schur
·
¸
N
·
¸
N−1
Pi PiAi
P(α)
P(α)A(α)
2
=
+∑
α
∑
i
0
P(α)
A
P
P
A(α)0P(α)
i
i
i
i=1
i=1
N
∑
j=i+1
αi α j
·
PiA j + Pj Ai
Pi + Pj
A0iPj + A0j Pi
Pi + Pj
¸
Lema (ER-Schur): Se existirem matrizes Pi = Pi0 > 0, i = 1, . . . , N tais que
·
¸
Pi PiAi
> 0 ; i = 1, . . . , N
A0iPi Pi
¸
·
PiA j + Pj Ai
Pi + Pj
> 0 ; i = 1, . . . , N − 1 ; j = i + 1, . . . , N
A0iPj + A0j Pi
Pi + Pj
então P(α) = P(α)0 > 0 dada por
N
P(α) = ∑ αiPi ;
i=1
N
∑ αi = 1
; αi ≥ 0
i=1
é uma função de Lyapunov dependente de parâmetro para todo A(α) ∈ A
N
A(α) = ∑ αiAi ;
i=1
estab_disc
N
∑ αi = 1
; αi ≥ 0
i=1
12/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
; ou ainda diretamente à condição ➃ do lema de Finsler
Lema (EC1): Se existirem matrizes Pi = Pi0 > 0, e matrizes X1i , X2i, i = 1, . . . , N tais que
·
·
−Pi + X1i Ai + A0iX1i0
X2i Ai − X1i0
−X1i + A0iX2i0
Pi − X2i − X2i0
¸
< 0 ; i = 1, . . . , N
−Pi − Pj + X1i A j + A0j X1i0 + X1 j Ai + A0iX10 j −X1i − X1 j + A0iX20 j + A0j X2i0
X2iA j + X2 j Ai − X1i0 − X10 j
Pi + Pj − X2i − X2i0 − X2 j − X20 j
¸
<0
i = 1, . . . , N − 1 ; j = i + 1, . . . , N
então com X1(α), X2(α) e P(α) = P(α)0 > 0 dadas respectivamente por
N
N
X1(α) = ∑ αiX1i , X2(α) = ∑ αiX2i ;
i=1
i=1
N
P(α) = ∑ αiPi ;
i=1
N
N
∑ α j = 1 , α j ≥ 0,
j = 1, . . . , N
j=1
∑ αi = 1
; αi ≥ 0
i=1
tem-se
·
estab_disc
−P(α) + X1(α)A(α) + A(α)0X1(α)0 −X1(α) + A(α)0X2(α)0
X2(α)A(α) − X1(α)0
P(α) − X2(α) − X2(α)0
¸
<0
13/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
; A condição garante que P(α) é uma função de Lyapunov dependente de parâmetro α que
assegura a estabilidade assintótica de qualquer A(α) ∈ A .
• O mesmo resultado poderia ser expresso em termos das matrizes Q (α) e X (α) da condição
➃ do lema de Finsler, definindo a seguinte estrutura para a matriz Q (α)
·
−P(α) 0
Q (α) =
0
P(α)
¸
·
−Pi 0
; Qi =
0 Pi
¸
; B (α) = A(α) −I
£
¤
; Bi = Ai −I
£
¤
Lema (EC2): Se existirem matrizes Qi ∈ R2n×2n com a estrutura acima e matrizes Xi ∈ R2n×n ,
i = 1, . . . , N tais que
Qi + Xi Bi + Bi0 Xi0 < 0 ; i = 1, . . . , N
Qi + Q j + Xi B j + X j Bi + Bi0 X j0 + B 0j Xi0 < 0
;
i = 1, . . . , N − 1 ; j = i + 1, . . . , N
então Q (α) + X (α)B (α) + B (α)0X (α)0 < 0
estab_disc
14/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
Comentários
; As condições apresentam diferentes graus de complexidade (número de variáveis escalares
e número de LMIs); mesmo condições equivalentes podem apresentar desempenhos numéricos
diferentes (dependem do resolvedor de LMIs)
; Condições (EE) e (ER) são independentes, ou seja, ambas são suficientes para a estabilidade
robusta porém uma não contém a outra nem vice-versa
; A condição (ER) é menos conservadora do que (ER-Schur). Embora
¸
·
P(α)
P(α)A(α)
>0
A(α)0P(α)A(α) − P(α) < 0 ⇐⇒
P(α)
A(α)0P(α)
não existe correspondência termo a termo entre as LMIs do Lema (ER) e as LMIs do Lema
(ER-Schur)
; O desenvolvimento da expressão A(α)0P(α)A(α) − P(α) para A(α) e P(α) dados resulta
em um polinômio de grau 3 em α, enquanto que o desenvolvimento dos termos que aparecem
na forma de Schur produz apenas polinômios de grau 2 em α
; Pode-se multiplicar a forma de Schur por ∑Ni=1 αi = 1, e aplicar desenvolvimento similar ao
utilizado no Lema (ER) para chegar a uma condição mais abrangente de estabilidade
estab_disc
15/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
Lema (EC3): Se existirem matrizes Pi = Pi0 > 0, e matrizes X1i , X2i, i = 1, . . . , N tais que
Mi =
Mi j =
·
·
−Pi + X1iAi + A0iX1i0 −X1i + A0iX2i0
X2i Ai − X1i0
Pi − X2i − X2i0
¸
< 0 ; i = 1, . . . , N
−Pi − Pj + X1i A j + A0j X1i0 + X1 j Ai + A0iX10 j −X1i − X1 j + A0iX20 j + A0j X2i0
−X1i0 − X10 j + X2iA j + X2 j Ai
Pi + Pj − X2i − X2i0 − X2 j − X20 j
¸
<0
i = 1, . . . , N ; j 6= i , j = 1, . . . , N




Mi jk = 


−2(Pi + Pj + Pk ) + X1iA j + A0j X1i0 + X1iAk
+A0k X1i0 + X1 j Ai + A0iX10 j + X1 j Ak + A0k X10 j
0
0
+X1k Ai + A0iX1k
+ X1k A j + A0j X1k
?

0
−2(X1i + X1 j + X1k ) + A0iX20 j + A0iX2k


0 0
0 0
0 0
0 0
+A j X2i + A j X2k + Ak X2i + Ak X2 j 
<0

2(Pi + Pj + Pk ) − 2(X2i + X2 j +

0
X2k + X2i0 + X20 j + X2k
)
i = 1, . . . , N − 2 ; j = i + 1, . . . , N − 1 ; k = j + 1, . . . , N
; o sı́mbolo ? indica um bloco simétrico na LMI
estab_disc
16/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
então com X1(α), X2(α) e P(α) = P(α)0 > 0 dadas respectivamente por
N
N
N
X1(α) = ∑ αiX1i , X2(α) = ∑ αiX2i , P(α) = ∑ αiPi ;
i=1
i=1
i=1
N
∑ α j = 1 , α j ≥ 0,
j = 1, . . . , N
j=1
tem-se
M (α) =
Prova:
·
−P(α) + X1(α)A(α) + A(α)0X1(α)0 −X1(α) + A(α)0X2(α)0
X2(α)A(α) − X1(α)0
P(α) − X2(α) − X2(α)0
N
M (α) = ∑
i=1
α3i Mi +
N
N
∑ ∑
i=1 j6=i; j=1
α2i α j Mi j +
N−2
N−1
N
∑ ∑ ∑
¸
<0
αiα j αk Mi jk
i=1 j=i+1 k= j+1
; impondo-se que Mi < 0, Mi j < 0 e Mi jk < 0 tem-se M (α) < 0 (soma de matrizes definidas
negativas ponderadas por coeficientes não negativos).
estab_disc
17/18
IA360E - Tópicos em Controle I - FEEC/UNICAMP
Profs. Pedro/Sophie
; As condições combinadas (EC1) e (EC2) são equivalentes e contêm as condições (EE) e
(ER-Schur) como casos particulares. A condição (EC3) é a mais abrangente, contendo (EC1),
(EE) e (ER-Schur)
; Embora não se tenha provado que a condição (EC3) contenha (ER), os testes numéricos
parecem indicar que sim
; As condições (EE), (ER) e (EC), baseadas em funções de Lyapunov dependentes na forma
afim do parâmetro α contêm a condição da estabilidade quadrática (EQ) como caso particular
✔ P(α) > 0 tal que A(α)0P(α)A(α) − P(α) < 0 poderia ser testado com funções polinomiais
em α (condições mais abrangentes do que as da função de Lyapunov afim no parâmetro α)
estab_disc
18/18