CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA
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CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA
Capítulo 3 CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA 3.1 Introdução Definição 3.1. Sejam r > 0 e x0 ∈ Rn . A bola aberta de centro x0 e raio r é denotada por B(x0 , r) e definida por: B(x0 , r) = {x ∈ Rn /kx − x0 k < r}. Se n = 2; x0 = (x0 , y0 ) e x = (x, y); logo kx − x0 k = p (x − x0 )2 + (y − y0 )2 : B(x0 , r) = {(x, y) ∈ R2 /(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r 2 } B(x0 , r) é o "interior"de um círculo centrado em (x0 , y0 ) e raio r, ou equivalentemente, o conjunto dos vetores no plano de origem em (x0 , y0 ) e norma menor que r. Neste caso, o conjunto B(x0 , r) é chamado disco aberto de centro (x0 , y0 ) e raio r. B(x,r) y r 0 x 0 Figura 3.1: Disco aberto. Analogamente, se n = 3; x0 = (x0 , y0 , z0 ) e x = (x, y, z): B(x0 , r) = {(x, y, z) ∈ R3 /(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 < r 2 } 101 102 CAPÍTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA B(x0 , r) é o "interior"de uma esfera "sólida"centrada em (x0 , y0 , z0 ) e raio r, ou equivalentemente, o conjunto dos vetores no espaço de origem em (x0 , y0 , z0 ) e norma menor que r. r x B(x,r) Figura 3.2: Bola aberta. Observe que em ambos os casos a desigualdade é estrita. 3.2 Conjuntos Abertos Definição 3.2. A ⊂ Rn é dito aberto em Rn se para todo x ∈ A, existe B(x, r) tal que B(x, r) ⊂ A. A Figura 3.3: Conjunto aberto. Estes conjuntos são a generalização natural de intervalos abertos em R. Por definição, o conjunto vazio e Rn são conjuntos abertos em Rn . Exemplo 3.1. [1] Pela definição, {x} não é aberto em Rn , pois toda bola ou disco aberto de centro x não está contido em {x}. Em geral, os conjuntos do tipo {x1 , x2 , x3 , ....., xn / xi ∈ Rn } não são abertos. [2] O eixo dos x: {(x, 0) / x ∈ R} ⊂ R2 não é aberto no plano, pois qualquer disco aberto centrado em (x, 0) não está contido em R. 3.3. FRONTEIRA DE UM CONJUNTO 103 x Figura 3.4: Exemplo [2]. [3] A = (a, b) × (c, d) é aberto em R2 . De fato, para todo (x, y) ∈ A, a < x < b e c < y < d, denote por ε o menor número do conjunto {|x − a|, |x − b|, |y − c|, |y − d|}, onde | | é a distância entre números reais. Então, por exemplo, considerando r = 6ε , temos, B((x, y), r) ⊂ A. Logo A é um conjunto aberto. d A c a b Figura 3.5: Exemplo [3]. [4] O plano xy em R3 não é aberto no espaço, pois qualquer bola aberta centrada em (x, y, 0) não está contida em R2 . [5] B(x0 , r) é um conjunto aberto. De fato, denotando por d(x, y) a distância entre os pontos x, y em Rn , se x ∈ B(x0 , r) então d(x, x0 ) < r; tomando r1 = r − d(x, x0 ) < r, temos: B(x, r1 ) ⊂ B(x0 , r). Será útil dar um nome especial para um conjunto aberto que contenha um ponto dado x. A tal conjunto chamaremos de vizinhança do ponto x. 3.3 Fronteira de um Conjunto Definição 3.3. Seja A ⊂ Rn . Um ponto x ∈ Rn é dito ponto da fronteira ou do bordo de A se toda vizinhança de x intersecta A e Rn − A. 104 CAPÍTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA x A Figura 3.6: Bordo de A. Denotamos o conjunto dos pontos da fronteira do conjunto A por ∂A. Um conjunto é aberto se A ∩ ∂A = φ. Exemplo 3.2. [1] Se A = B(x, r) então ∂A = {y/d(x, y) = r}; logo o conjunto C = {y/d(x, y) ≤ r} não é aberto. C A Figura 3.7: Exemplo [2]. [2] Seja A = {(x, y) ∈ R2 /x > 0}; este conjunto corresponde ao primeiro e ao quarto quadrantes sem incluir a reta x = 0 e é aberto no plano; de fato, seja (x, y) ∈ A e escolhamos r = x > 0; se (x1 , y1 ) ∈ B((x, y), r) temos: |x − x1 | = p (x − x1 )2 ≤ p (x − x1 )2 + (y − y1 )2 < r = x. Logo x1 > 0 e B((x, y), r) ⊂ A; note que ∂A = {(0, y)/y ∈ R}. 3.4. CONJUNTOS FECHADOS 105 1 1 Figura 3.8: Exemplo [2]. 3.4 Conjuntos Fechados Definição 3.4. Seja A ⊂ Rn : 1. O conjunto A é dito fechado em Rn se ∂A ⊂ A. 2. O conjunto A é dito limitado se existe constante c > 0 tal que kxk ≤ c, para todo x ∈ A. Logo A ⊂ Rn é limitado se esta contido numa bola de raio c. Exemplo 3.3. [1] Rn é também um conjunto fechado. [2] A = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 < r 2 , r > 0} não é fechado, pois sua fronteira é : ∂A = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 = r 2 , r > 0}. Logo ∂A 6⊂ A. [3] A = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 ≤ r 2 , r > 0} é fechado, pois sua fronteira é : ∂A = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 = r 2 , r > 0}. Logo ∂A ⊂ A. Note que A é limitado. A Figura 3.9: Exemplo [3]. 106 CAPÍTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA [4] O sólido W = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 + z 2 ≤ r 2 , r > 0} é fechado pois sua fronteira é: ∂W = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 = r 2 , r > 0}. Logo ∂W ⊂ W . Em geral, todos os sólidos são fechados. [5] A = [a, b] × [c, d] é um conjunto fechado, pois ∂A é o retângulo formado pelas retas x = a, x = b, y = c e y = d. A seguinte proposição não será provada, pois ela decorre de um teorema, que fica fora do contexto destas notas. Proposição 3.1. Seja h : Rn −→ R uma função contínua; então: 1. A = {x ∈ Rn / 0 < h(x)} é aberto em Rn . 2. F = {x ∈ Rn / 0 ≤ h(x)} é fechado em Rn . 3. ∂A = {x ∈ Rn / h(x) = 0}. Exemplo 3.4. [1] Os planos em R3 são conjuntos fechados. De fato, considere: h(x, y, z) = a x + b y + c z − d. A função h é contínua em R3 . [2] O sólido W = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 + z 2 ≤ r 2 , r > 0} é um conjunto fechado. De fato, considere: h(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − r 2 . A função h é contínua em R3 e pela proposição W é fechado. [3] A parábola A = {(x, y) ∈ R2 /y = x2 } é um conjunto fechado. De fato, considere: h(x, y) = y − x2 . A função é contínua em R2 e pela proposição A é fechado.