Matemática (9)

Transcrição

Matemática (9)

X
– GEOMETRIA ANALÍTICA
P or que apr
ender Geometria
aprender
Analítica
?
Analítica?
..................................................
A Geometria Analítica estabelece relações entre
a álgebra e a geometria por meio de equações
e inequações. Isso permite transformar questões
de geometria em questões de análise e viceversa.
Onde usar os conheciment
os
conhecimentos
sobr
e Geometria Analítica
sobre
Analítica??
..................................................
A Geometria Analítica, por meio de representações
cartesianas, pode ser usada para indicar a
temperatura do corpo, as oscilações da Bolsa de
Valores, efeitos da natureza etc.
Manual de Matemática
Capítulo 1
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA
A Geometria Analítica é o estudo da geometria euclidiana por meio do método das coordenadas.
Podemos dar significado algébrico às figuras geométricas, como reta, circunferência, elipse, hipérbole, parábola, pelas equações matemáticas expressas nas variáveis x e y, analisando essas equações por meio de gráficos.
Estudo do Ponto
Sistema Cartesiano
( )
Duas retas orientadas, uma horizontal x OX , chamada eixo das abscissas,
( )
e outra vertical y OX , eixo das ordenadas, são denominadas sistema
cartesiano ortogonal.
• O ponto 0 é a intersecção das retas x
e y, chamado origem.
• O par ordenado (x, y) é chamado
coordenada do ponto A.
Os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes.
y
2º
1º
3º
4º
x
474
Exemplo:
Represente no plano cartesiano os pontos:
A (2, 3), B(–1, 2), C (3, –2), D (4, 0) e E (0, –3).
Distância entre Dois Pontos
Dados dois pontos, A(xA, yA) e B(xB, yB), definimos dA, B a distância entre A e
B, como mostra a figura:
y
yB
B
y B – yA
yA
C
A
xA
xB
x
xB – xA
475
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
d2AB = d2AC + d2BC ou
d(AB) = (x B − x A )2 + (yB − y A )2
Exemplos:
1) Calcule a distância entre os pontos A(–2, 3) e B(1, –3). Represente os
pontos no plano cartesiano.
y
Solução:
d(A, B) = (x B − x A )2 + (yB − y A )2
3
A
d(A, B) = (1 + 2)2 + (−3 − 3)2
2
d(A, B) = 9 + 36
1
d(A, B) = 45
d(A, B) = 3 5
–2 –1
–1
1
x
–2
–3
B
2) (UFES) Sendo A(3, 1), B(–2, 2) e C(4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:
a) eqüilátero.
d) retângulo e não isósceles.
b) retângulo e isósceles.
e) n.d.a.
c) isósceles e não retângulo.
Solução:
Calculando as distâncias d(A, B), d(B, C) e d(A, C), podemos classificar o
triângulo.
d(A, B) = (3 + 2)2 + (1 − 2)2
d(A, B) = 25 + 1
d(A, B) = 26
476
d(B, C) = (4 + 2)2 + (−4 − 2)2
d(B, C) = 36 + 36
d(B, C) = 72
d(B, C) = 6 2
d(A, C) = (4 − 3)2 + (−4 − 1)2
d(A, C) = 1 + 25
d(A, C) = 26
Como d(A, B) = d(A, C), o triângulo é isósceles.
Vamos verificar se o triângulo é retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras.
( 72 ) = ( 26 ) + ( 26 )
2
2
2
72 = 26 + 26
72 = 52 (F)
Portanto, o triângulo não é retângulo.
Resposta: c
Ponto Médio
Sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) e M(xM, yM), o ponto que divide AB ao meio é
chamado ponto médio.
y
yB
B
yM
yA
M
A
xA
xM
xB
x
477
M(xM, yM) é o ponto médio do segmento AB .
x +x
y +y
x M = A B e yM = A B
2
2
Exemplos:
1) Determine as coordenadas de M, ponto médio de A(4, 3) e
B(2, –1).
Solução:
Substituindo os dados na fórmula:
x +x
y +y
xM = A B
yM = A B
2
2
4+2
3 −1
xM =
yM =
2
2
xM = 3
yM = 1
Portanto, M(3, 1).
2) Sendo M(6, –1) o ponto médio de AB e A(0, 3), determine as coordenadas de B.
Solução:
Aplicando a fórmula:
x +x
y +y
xM = A B
yM = A B
2
2
0 + xB
3 + yB
−1 =
6=
2
2
x B = 12
−2 = 3 + yB
B(12, –5)
yB = −5
3) Dados os pontos A(–1, 4), B(0, 2) e C(4, 6), determine o comprimento da
mediana referente ao vértice A.
Solução:
Obs.:
Mediana é o segmento que vai de um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.
478
Sendo o triângulo ABC:
A
Devemos calcular o comprimento AM .
B
M
C
Calculando o ponto médio de BC .
x +x
y +y
xM = B C
yM = B C
2
2
0+4
2+6
xM =
yM =
2
2
xM = 2
yM = 4
M(2, 4)
A mediana é dada pela d(A, M). Assim:
d(A, M) = (−1 − 2)2 + (4 − 4)2
d(A, M) = 9
d(A, M) = 3
Baricentro de um Triângulo
Baricentro é o ponto de intersecção das três medianas do triângulo.
A
Sendo G(xG, yG), podemos definir
Mc
B
G
Ma
Mb
xA + xB + xC
e
3
y +y +y
yG = A B C
3
xG =
C
479
Exemplo:
Seja o triângulo cujos vértices são: A(3, 1), B(–1, 2) e o baricentro G(6, –8).
Determine o vértice C.
Solução:
x A + xB + xC
3
3 − 1 + xC
6=
3
18 = 2 + x C
y A + yB + yC
3
1 + 2 + yC
−8 =
3
−24 = 3 + yC
xG =
yG =
x C = 16
yC = −27
Portanto, C(16, –27).
Condição de Alinhamento de Três Pontos
Para que três pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) sejam alinhados ou
colineares, é necessário que:
xA
D = xB
xC
yA 1
yB 1 = 0
yC 1
Obs.:
Se D ≠ 0, os pontos formam vértices de um triângulo.
Exemplos:
1) Verifique se os pontos A(–2, 6), B(4, 8) e C(1, 7) estão alinhados.
Solução:
− 2 6 1 −2 6
D= 4 8 1 4 8
1 7 1 1 7
D = –16 + 6 + 28 – 8 +14 – 24
D=0
480
Como D = 0, os pontos estão alinhados.
2) Determine o valor de m para que os pontos A(3, –1), B(4, 2) e C(m, –2)
sejam vértices de um triângulo.
Solução:
A condição para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo
é D ≠ 0.
3 –1 1
D= 4 2 1
m –2 1
3 –1
4 2 ≠ 0
m –2
6 – m – 8 – 2m + 6 + 4 ≠ 0
–3m ≠ –8
3m ≠ 8
m≠
8
3
Área de um Triângulo
Sendo os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) vértices de um triângulo,
podemos calcular a área do triângulo pela fórmula:
Exemplos:
1) Calcule a área do triângulo formado pelos pontos
A(2, 0), B(–1, 3) e C(4, 5).
Solução:
Calculando o determinante:
2 0 1
D = −1 3 1
4 5 1
2 0
−1 3
4 5
481
D = 6 + 0 – 5 – 12 – 10 – 0
D = – 21
2) Determine o valor de a, sendo A(3, 1), B(2a, –1) e C(–2, –3) e a área do
triângulo determinada pelos pontos ABC é igual a 6.
Solução:
3
1 1
D = 2a −1 1
−2 −3 1
3
2a
−2
1
−1
−3
D = – 3 – 2 – 6a – 2a + 9 – 2
D = – 8a + 2
1
A= D
2
6=
1
−8a + 2
2
−8a + 2 = 12
−8a + 2 = 12
−8a + 2 = −12
−8a = 10
−8a = −14
8a = −10
482
a=
−10
8
a=
−5
4
8a = 14
a=
14
7
⇒a=
8
4
A Reta
Equação Geral da Reta
Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e um ponto qualquer P(xP, yP) que
pertença à reta r( AB ).
Sabendo que A,B e P são colineares, então:
xA
xB
xP
yA 1
yB 1 = 0
yP 1
A equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é dada pela equação
ax + by + c = 0.
Exemplo:
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos
A(4, –2) e B(3, 6).
Solução:
Substituindo em:
4 −2 1 4 −2
D= 3 6 1 3 6 = 0
x y 1 x y
24 – 2x + 3y – 6x – 4y + 6 = 0
–8x – y + 30 = 0
8x + y – 30 = 0
Portanto, 8x + y – 30 = 0 é a equação geral da reta que passa pelo ponto
A e B.
Intersecção de Retas
Para calcularmos a intersecção de duas retas concorrentes, devemos resolver o sistema formado pelas equações dessas retas.
483
Exemplo:
Determine o ponto de intersecção da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e
B(–4, 2) e s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).
Solução:
Calculando a equação da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e B(–4, 2):
0 3 1 0
−4 2 1 −4
x y 1 x
3
2 =0
y
0 + 3x – 4y – 2x + 12 = 0
x – 4y + 12 = 0
reta s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).
−1 2
5 −2
x y
1 −1 2
1 5 −2 = 0
1 x y
2 + 2x + 5y + 2x + y – 10 = 0
4x + 6y – 8 = 0
Formando um sistema, temos:
(−4)
x − 4y + 12 = 0

4x + 6y − 8 = 0
 −4x + 16y − 48 = 0

 4x + 6y − 8 = 0
22y = 56
y=
Substituindo y =
56
28
⇒y=
22
11
28
em x – 4y + 12 = 0, temos:
11
x – 4y + 12 = 0
28
x–4.
+12 = 0
11
484
112
+12 = 0
11
112
– 12
x=
11
−20
x=
11
x–
 −20 28 
, .
O ponto de intersecção é 
 11 11 
Equação Reduzida
Dada a equação geral ax + by + c = 0 da reta, podemos colocá-la na
forma reduzida, isolando o valor de y.
y = mx + b → coeficiente linear
↓
coeficiente angular
Em que m é o coeficiente angular da reta e b é a ordenada do ponto em que
a reta corta o eixo y.
Coeficiente Angular
É a tangente do ângulo α formado pela reta r com o eixo das abscissas,
medido sempre no sentido anti-horário.
y
r
α
x
m = tg α
ou
m=
yB − y A
xB − x A
485
y
y
r
α
r
α
x
x
m>0
m<0
y
y
r
r
x
x
m=0
m não é definido
Exemplos:
1) Determine o coeficiente angular da reta formada pelos pontos A(–2, 6) e
B(1, 4).
Solução:
Aplicando a fórmula, temos:
m=
yB − y A
xB − x A
4−6
1+ 2
−2
m=
3
m=
2) Dê a equação reduzida da reta 3x + 6y – 4 = 0
Solução:
Isolando o valor de y, temos:
486
3x + 6y – 4 = 0
6y = –3x + 4
−3x 4
+
6
6
−1x 2
y=
+
2
3
y=
em que m = −
2
1
(coeficiente angular) e b = (coeficiente linear).
3
2
3) Escreva a equação reduzida determinada pelos pontos A(5, –2) e
B(0, –3).
Quando olhamos uma montanha, observamos que podemos aplicar
a definição de coeficiente angular.
Qual será a inclinação da montanha?
Ela será dada pela tangente do ângulo formado pelo solo e a
montanha.
487
Solução:
Como a reta é formada por dois pontos, devemos calcular o determinante.
–15 – 2x + 3x – 5y = 0
x – 5y – 15 = 0
–5y = –x + 15
5y = x – 15
1
y = x−3
5
Equação Segmentária
x y
+ = 1 , em que p
p q
é onde a reta corta o eixo x(p, o) e q é onde a reta corta o eixo y(o, q).
A equação segmentária da reta r é dada pela fórmula
y
r
(0, q)
(p, 0)
x
Exemplo:
Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(–3, 0)
e B(0, 4).
488
Solução:
x y
+ =1
p q
x y
+ =1
−3 4
−x y
+ =1
3 4
ou
Equação da reta que passa pelo ponto P(xp, yp) e tem
coeficiente angular m
Determine a equação da reta r, dados o ponto P(–2, 3) e o coeficiente angu1
lar m = − .
2
Solução:
Seja P(xp, yp) um ponto qualquer da reta.
Então m =
y − yp
x − xp
⇒ y − yp = m(x − x p ) (equação da reta)
y – yp = m(x – xp)
−1
y–3=
(x + 2)
2
2y – 6 = –x – 2
x + 2y – 4 = 0 (equação da reta)
Posições Relativas entre Duas Retas
Retas Paralelas
Duas retas são paralelas se, e somente se, os coeficientes angulares forem
iguais.
y
s
α
r
α
x
mr = ms
489
Retas Concorrentes
Duas retas são concorrentes se, e somente se, os coeficientes angulares
forem diferentes.
y
s
r
α
mr ≠ ms
β
x
Retas Perpendiculares
Duas retas são perpendiculares se, e somente se, mr . ms = – 1 forem
coeficientes angulares inversos e contrários.
y
s
r
mr . ms = – 1
x
Exemplos:
1) Verifique se as retas (r): 3x – y + 2 = 0 e (s): –9x + 3y – 1 = 0 são
paralelas.
490
Solução:
Determinando a equação reduzida das retas r e s, temos:
3x – y + 2 = 0
–y = –3x – 2
y = 3x + 2 ⇒ mr = 3
–9x + 3y – 1 = 0
3y = 9x + 1
1
⇒ ms= 3
3
Como mr = ms, as retas são paralelas.
y = 3x +
2) Determine K, para que as retas l1: (K + 2)x + y + 2 = 0 e
l2: 3x + ky – 1 = 0 sejam perpendiculares.
Solução:
Reduzindo as retas l1 e l2, temos:
(l1) (K + 2)x + y + 2 = 0
m l 1 = −(K + 2)
y = –(K+2)x – 2
(l2) 3x + Ky – 1 = 0
Ky = –3x + 1
y=
−3 1
+
K k
m l2 =
−3
K
Como as retas l1 e l2 são perpendiculares, m l 1 ⋅ m l 2 =-1
−3
=–1
K
3K+6=–K
3K+K=–6
4K=–6
−6 −3
K=
=
4
2
–(K+2) .
491
3) Determine a equação da reta (s), paralela à reta (r) x – 2y + 3 = 0 e que
passa pelo ponto A(–1, 2).
Solução:
Sendo a equação x – 2y + 3 = 0, devemos colocar na forma reduzida:
x – 2y + 3 = 0
–2y = – x – 3
2y = x + 3 ⇒ mr =
y=
1x 3
+
2 2
1
2
1
Como as retas r e s são paralelas, mr = ms = .
2
y – yA = ms(x – xA)
1
y – 2 = (x + 1)
2
2y – 4 = x + 1
–x + 2y – 5 = 0
x – 2y + 5 = 0
Ângulo entre Duas Retas
Dadas duas retas r e s concorrentes e não perpendiculares entre si:
y
s
r
θ
θ1
Definimos:
θ2
x
Exemplo:
Determine o ângulo formado pelas retas:
(r) 2x – y + 1 = 0 e (s) 3x + y – 2 = 0.
492
tg θ=
mr − ms
1 + mr ⋅ m s
Solução:
Reduzindo as equações, temos:
(r) 2x – y + 1 = 0
–y = –2x – 1
y = 2x +1
mr= 2
(s) 3x + y – 2 = 0
y = –3x+2
ms = –3
Distância entre Ponto e Reta
A distância entre a reta (r) ax + by + c = 0 e o ponto P(xp, yp) é dada pela
fórmula:
dP, r =
ax p + byp + c
a2 + b2
Exemplos:
1) Determine a distância entre a reta (r) 3x + 2y – 1 = 0 e o ponto P(–1, 1).
Solução:
Aplicando a fórmula, temos:
493
2) Determine a distância entre as retas (r) 2x + y – 3 = 0 e (s) 4x – 3y + 1 = 0
Solução:
Devemos achar um ponto em r ou em s para podermos calcular a distância.
Tomando a reta r, determinamos o ponto:
p/x = 0
2.0+y–3=0
y=3
P(0, 3)
Temos P(0, 3) e a reta (s) 4x – 3y + 1 = 0.
3) Calcule a altura do triângulo ABC, relativo ao vértice A, dados os pontos
A (5, –1), B(2, 0) e C(–3, 3).
Solução:
HJG
Determinamos inicialmente a equação da reta r, suporte do lado BC do
triângulo.
A
h
r
B
H
6 – 3 y – 3x – 2y = 0
–3x – 5y + 6 = 0
494
C
Determinamos a distância entre o vértice A e a reta r.
Circunferência
Definição
Circunferência é o conjunto de pontos do plano eqüidistante de C (centro da
circunferência).
r
r
r
r
C
A distância de C a qualquer ponto
da circunferência é chamada raio.
r
Equação da Circunferência
y
P(x, y)
y
r
b
C
a
x
x
C(a, b) é o centro da circunferência e P(x, y) pertence à circunferência.
495
A equação reduzida da circunferência é dada pela fórmula:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Se o centro da circunferência for a origem C(0, 0), a equação é dada por
x2 + y2 = r2.
Equação Geral da Circunferência
Desenvolvendo a equação reduzida de raio r e centro C(a, b), chegamos à
equação geral da circunferência:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0
2
x 2 + y2 − 2ax − 2by + a
+
b2 −
r2 = 0
F
Para que a equação represente uma circunferência, é necessário que:
• o coeficiente de x2 e y2 seja igual a 1;
• não exista termo na variável x y;
• o raio r = a2 + b2 − F , sendo r >0.
Exemplos:
1) Determine o raio e o centro da circunferência cuja equação reduzida é:
(x – 2)2 + (x + 1)2 = 9.
Solução:
Comparando as equações:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 e (x – 2)2 + (x + 1)2 = 9, obtemos:
a = 2, b = –1 e r = 3
C(2, –1) e r = 3
2) Determine a equação reduzida da circunferência que tem raio igual a 5 e
C(–3, 4).
Solução:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x + 3)2 + (y – 4)2 = 52
(x + 3)2 + (y – 4)2 = 25
496
3) Determine a equação da circunferência com centro C(–2, 1) que passa
pelo ponto P(3, 0).
Solução:
O ponto P pertence à circunferência.
d(C, P) = r
P
r
r = (−2 − 3)2 + (1 − 0)2
C
r = 25 + 1
r = 26
(x – a) + (y – b) = r
2
2
2
( )
(x + 2)2 + (y – 1)2 = 26
(x + 2)2 + (y – 1)2 = 26
2
4) Ache a equação da circunferência cujas extremidades do diâmetro são
os pontos A (4, 2) e B(–2, 6).
Solução:
C(a, b) é o ponto médio de AB .
4 −2
2+6
a=
b=
2
2
a =1
b=4
C(1, 4)
r é dado por r = d(C, A).
r = (1 − 4)2 + (4 − 2)2
r = 9+4
r = 13
A equação será (x – 1)2 + (y – 4)2 = 13.
5) Determine a equação geral da circunferência com centro em
C(–1, 3) e r = 4.
Solução:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
497
Substituindo C(–1, 3) e r = 4 na equação reduzida:
(x+1)2 + (y – 3)2 = 42
x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 – 16 = 0
x2 + y2 + 2x – 6y – 6 = 0
6) Determine o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é
x2 + y 2 – 4x – 10y – 7 = 0.
Solução:
Comparando as equações,
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 e
x2 + y2 – 4x – 10y – 7 = 0, temos:
–2a = –4
–2b = –10
2a = 4
2b = 10
a=2
b=5
⇒ C(2, 5)
2
2
2
a + b – r = –7
22 + 52 – r2 = –7
–r2 = –7 – 29
r2 = 36
r=6
Posições Relativas entre Circunferência e Ponto
Observe a circunferência e os pontos:
y
P3
P2
Se d(P1, C) < r, P é interno.
C
Se d(P2, C) = r, P ∈ à circunferência.
P1
Se d(P3, C) >r, P é externo.
x
498
Exemplos:
1) Determine a posição dos pontos P(1, –1), Q(3, 4) em relação à circunferência x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0.
Solução:
x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0
Substituindo P(1, –1), x = 1 e y = –1 na equação,
12+(–1)2 –2 . 1+4(–1)–10=0
–14 < 0
P é interior à circunferência.
x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0 Q(3,4)
32 + 42 – 2 . 3 + 4 . 4 – 10 = 0
25> 0
Q é exterior à circunferência.
2) Determine o valor de a, para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferência x2 + y2 + 3x – 6y – a = 0.
Solução:
Para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferência, devemos ter:
12 + 22 + 3 . 1 – 6 . 2 +a = 0
a=4
Posições Relativas entre Reta e Circunferência
Observe as retas a, b e c e a circunferência a seguir:
y
c
C
b
a
x
• a é secante à circunferência, pois a
intercepta em dois pontos d(C, a) < r.
• b é tangente à circunferência, pois
b a intercepta em um ponto d(C, b) = r.
• c é exterior à circunferência, pois
não tem ponto em comum com a
circunferência d(C, c) > r.
499
Exemplos:
1) Qual a posição da reta (r) 2x – 4y + 3 = 0 em relação à circunferência
x2 + y2 – 6x – 2y + 1= 0?
Solução:
Inicialmente determinamos o centro e o raio da circunferência:
x2 + y2 – 6x – 2y + 1= 0
–2a = –6
–2b = –2
2a = 6
2b = 2
a=3
b=1
C(3, 1)
a2 + b2 – r2 = 1
32 + 12 – r2 = 1
–r2 = –9
r2 = 9
r= 3
Calculando a distância de C à reta r, temos:
Como d(C,r) < r, a reta é secante à circunferência.
2) (MACK – SP) A reta s: y = kx é tangente à circunferência
x2 + (y – 2)2 = 4.
Determine k.
Solução:
x2 + (y – 2)2 = 4
Kx – y = 0
C(0, 2) e r = 2
Se a reta é tangente à
circunferência, d(C, s) = r.
500
2=
2
K2 + 1
2 K2 + 1 = 2
K2 + 1 = 1
K2 + 1 = 1
K2 + 1 = 1
K2 = 0 ⇒ K = 0
Posições Relativas de Duas Circunferências
Dados r1 e r2, os raios das circunferências de centros C1 e C2 e d, a distância
entre os centros, podemos identificar as posições relativas entre duas circunferências:
d
C1
r1
r2
d
C1
r1
C2
r2
d
C1
r1
r2
C2
C2
As circunferências são
exteriores:
d > r1 + r2
tangentes exteriores:
d = r1 + r2
secantes:
d < r1 + r2
501
r 1 C1 d
r2
C1
d
r1
tangentes interiores:
d = |r1 – r2|
C2
As circunferências são interiores:
d < |r1 – r2|
C2
r2
Exemplo:
Verifique a posição relativa entre as circunferências
(x – 2)2 + (y +1)2 = 25 e (x – 3)2 + (y +2)2 = 9:
(x – 2)2 + (y +1)2 = 25
C(2, –1) e r1 = 5
(x – 3)2 + (y +2)2 = 9
C(3, –2) e r2 = 3
d = (3 − 2)2 + (−2 + 1)2
d= 2
|r1 – r2|=|5 – 3|=|2|=2
r1 + r2 = 5 + 3 = 8
Portanto, d < |r1 – r2| e as circunferências são interiores.
Estudo das Cônicas
As figuras parábola, hipérbole e elipse recebem o nome de cônicas, pois
são obtidas pela intersecção de um plano e um cone.
Elipse
502
Hipérbole
Parábola
Elipse
Elipse é o conjunto dos pontos de um plano, em que a soma das distâncias
de F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Elementos:
B1
A1, A2, B1 e B2 são os vértices
a é o semi-eixo maior
a
a
b
b é o semi-eixo menor
c
c
F
F
c é a semidistância focal
A1
A2
F1 e F2 são os focos
a
a
F1 F2 = 2c (distância focal)
b
1
2
A1 A2 = 2a (eixo maior)
B1 B2 = 2b (eixo menor)
B2
A MATEMÁTICA E A ASTRONOMIA
ESTÃO INTERAGINDO
Podemos observar que a elipse
está presente na trajetória das
órbitas dos planetas em torno do
Sol, e o Sol está posicionado num
dos focos da elipse.
Todos os planetas, com exceção de Plutão, descrevem elipses.
Planeta
tra
Sol
je tór
i a e lí p t i c
a
503
Equações
• Elipse com o centro na origem e eixo maior horizontal:
y
P(x, y)
F2 (c, 0) A2 x
A1 F (–c, 0)
1
x 2 y2
+ =1
a2 b2
• Elipse com o centro na origem e eixo maior vertical:
y
A1
F1
B1
B2
y2 x 2
+ =1
a2 b2
x
F2
A2
• Elipse de centro fora da origem C(x0, y0) e eixo maior horizontal:
y
B1
y0
P
C
A1
F1
c
c
F2
A2
B2
x0
504
(x − x 0 )2 (y − y 0 )2
+
= 1,
a2
b2
em que F1(x 0 − c, y 0 ) e
F2 (x 0 + c, y 0 )
x
• Elipse de centro fora da origem C(x0, y0) e eixo maior vertical:
A1
y
y0
F1
B1
c
C
B2
c
F2
A2
x0
x
Relação Fundamental
a2 = b2 + c2
Excentricidade
Definimos como excentricidade o quociente entre a semidistância focal e
o semi-eixo maior.
c
e = , em que 0 < e < 1.
a
Exemplos:
1) Determine a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizontal, sendo 2a = 12 e 2c = 6.
Solução:
2a = 12
2c = 6
a=6
c=3
Aplicando a relação fundamental a2 = b2 + c2.
62 = b2 + 32
b2 = 27
b = 27 ⇒ b = 3 3
Se o eixo maior é horizontal, a equação é do tipo
x2 y2
+ =1
36 27
x 2 y2
+ = 1.
a2 b2
505
2) Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, os focos e a
excentricidade de cada uma das elipses abaixo:
a) x2 + 5y2 = 20
Solução:
Dividindo a equação por 20, temos:
x 2 5y2 20
+
=
20 20 20
x 2 y2
+ =1
20 4
a2 = 20
a=
a=
eixo maior: 4 5
b2 = 4
b= 2
eixo menor: 2b=4
a2 = b2 + c2
20 = 4 + c2
c2 = 16
c = ±4
distância focal: 2c = 8
focos F1(4, 0) e F2(–4, 0) – eixo maior horizontal.
b)
(y − 4)2 (x + 2)2
+
=1
9
4
Solução:
A elipse é de centro fora de origem C(–2, 4) e eixo maior vertical.
(y − y 0 )2 (x − x 0 )2
+
=1
a2
b2
506
a2 = 9
a= 9
a=3
eixo maior: 2a = 6
b =4
2
b=2
eixo menor: 2b = 4
a =b +c
2
2
2
9 = 4 + c2
c2 = 5
c=± 5
distância focal: 2c = 2 5
Os focos têm coordenadas F1 (x0, y0 + c) e F2(x0, y0 – c). Substitutivo:
F1 (–2, 4 +
5 ) e F2 (–2, 4 – 5 ).
c
5
e= ⇒e=
a
3
Hipérbole
Definimos como hipérbole o conjunto dos pontos do plano, tais que o módulo
da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
507
Elementos:
A1 e A2 são os vértices
F1 e F2 são os focos
a é o semi-eixo real
b é o semi-eixo imaginário
c é a semidistância focal
F1 F2 = 2c (distância focal)
A1 A2 = 2a (eixo real)
B1 B2 = 2b (eixo imaginário)
Equações
• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo x:
a
F1
a
A1
F2 x
A2
x 2 y2
− =1
a2 b2
• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo y:
F1
c
A1
a
A2
F2
508
x
y2 x 2
− =1
a2 b2
• Hipérbole de centro C(x0, y0) e eixo real horizontal:
y
y0
F2
F1
(x − x 0 )2 (y − y 0 )2
−
=1
a2
b2
x
x0
• Hipérbole de centro C(x0, y0) e eixo real vertical:
y
F2
x
F1
(y − y 0 )2 (x − x 0 )2
−
=1
a2
b2
Relação Fundamental
c2 = a2 + b2
Excentricidade
e=
c
, com e > 1
a
509
Hipérbole Eqüilátera
Define-se como hipérbole eqüilátera a hipérbole que possui os semi-eixos
real e imaginário iguais, ou seja, a = b.
Equações das Assíntotas da Hipérbole
Define-se como assíntota as retas que contêm as diagonais do retângulo
de lados 2a e 2b.
y
b
F1
a
a
b
Equações
• Eixo real horizontal e centro na origem:
b
y=± x
a
• Eixo real vertical e centro na origem:
a
y=± x
b
• Eixo real horizontal e C(x0, y0):
b
y − y 0 = ± (x − x 0 )
a
• Eixo real vertical e C(x0, y0):
a
y − y 0 = ± (x − x 0 )
b
510
F2
x
Exemplos:
1) Determine a equação da hipérbole abaixo:
y
4 F1
2 A1
x
–2 A2
–4 F2
Solução:
Temos:
a=2ec=4
Pela relação fundamental, temos:
c2 = a2 + b2
16 = 4 + b2
b2 = 12
Logo:
y2 x 2
y2 x 2
1
−
=
⇒
− =1
a2 b2
4 12
2) Determine a equação da hipérbole de eixo real 2a = 4 horizontal, com
centro na origem e eixo imaginário 2b = 8.
Solução:
2a = 4 (eixo real)
2b = 8 (eixo imaginário)
a=2
b=4
511
Equação:
x 2 y2
x2 y2
1
−
=
⇒
− =1
a2 b2
4 16
3) Determine a excentricidade, as assíntotas e a equação da hipérbole de
eixo real horizontal medindo 8, centro na origem e foco F1(–5, 0).
Solução:
x 2 y2
− =1
a2 b2
2a = 8
a=4 e c=5
c2 = a2 + b2
25 = 16 + b2
b2 = 25 – 16
b2 = 9
x 2 y2
− =1
16 9
Excentricidade:
c
a
5
e=
4
e=
As assíntotas são:
b
3
y=± x⇒y=± x
a
4
Parábola
Definimos como parábola o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes da
reta d(diretriz) e do ponto F(foco).
512
y
P
d
y0
eixo de
simetria
V
D
p
2
p
2
x0
F
x
• F é o foco.
• d é a diretriz.
• V é o vértice.
• a distância p entre o foco F e a diretriz d é o parâmetro.
• V é o ponto médio do DF .
Equação
• Eixo de simetria paralelo ao eixo x:
y
P(x, y)
d
F
y0
0
p
2
x0
x
Concavidade para a direita:
(y – y0)2 = 2p(x – x0)
Se V (0, 0):
(y – 0)2 = 2p(x – 0)
y2 = 2px
513
Concavidade voltada para a esquerda:
(y – y0)2 = – 2p(x – x0)
Se V(0, 0):
y2 = –2px
eixo de simetria
• Eixo de simetria paralelo ao eixo y:
y
0
x0
y0
F
x
• Concavidade voltada para cima:
(x – x0)2 = 2p(y – y0)
Se V(0, 0):
x2 = 2py
• Concavidade voltada para baixo:
(x – x0)2 = – 2p(y – y0)
Se V(0, 0):
x2 = –2py
Exemplo:
Dada a parábola de equação y2 = 12x, determine:
a) o vértice;
514
b) o foco;
c) a diretriz.
a) vértice
y2 = 12x tem vértice na origem e concavidade voltada para a direita.
V(0, 0):
b) foco
A parábola é do tipo y2 = 2px.
p
2p = 12
Então, = 3
2
p=6
p
F ,
2

0  = F(3, 0)

c) diretriz
 p 
D − , 0 
 2 
D(–3, 0) e a equação é x = –3.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Geometria Analítica (ponto e reta)
1) Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e G.
y
C
3
A
2
1
B
–4
–3
E
–2 –1
F
0
–1
–2
G
1
2
3
4
x
D
515
2) Calcule a distância entre os pontos M(–3, 1) e N(5, –14).
3) Determine o ponto Q(0, a) eqüidistante dos pontos A(2, 0) e B(2, 4).
4) Classifique o triângulo cujos vértices são os pontos A(–2, 5), B(4, –3) e
C(–2, –6). Calcule seu perímetro.
5) Calcule o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos:
a) A(2, 0) e B(–4, 3)
b) A(3, 2) e B(1, –2)
6) Dados A(2, 4), B(0, –6) e C(1, 3), vértices do triângulo ABC, determine a
mediana CM do triângulo.
7) Sabendo-se que as diagonais de um paralelogramo ABCD se interceptam num ponto M(1, 4), que é o ponto médio das diagonais, determine as
coordenadas dos vértices C e D, sendo A(1, 2) e B(3, 4).
8) Determine as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são
A(1, –1), B(3, 2) e C(4, –2).
A
EVOLUÇÃO DO ZERO
Desde os indianos até os árabes, a
forma do zero mudou de um ponto para
um círculo.
O símbolo maia mais famoso para o
zero era uma elipse com forma de olho.
MATEMÁTICA
DO ABAJUR
Quando acendemos a luz de um abajur, podemos
mostrar que a hipérbole aparece a partir da luz que o
abajur projeta na parede.
516
9) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados nos seguintes casos:
a) A(0, 2), B(3, 0) e C(6, 0) b) A(2, 3), B(2, –4) e C(2, –1)
10) Determine o valor de a para que os pontos A(1, 3), B(2, a) e C(0, 1)
formem vértices de um triângulo.
11) Determine o coeficiente angular dos seguintes pontos:
a) A(2, 4) e B(–2, –4)
b) A(–1, 3) e B(0, –1)
12) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, –4) e tem
1
coeficiente angular igual a .
3
13) Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos
A(–2, 0) e B(0, 6).
14) A reta s passa pelos pontos A(2, –3) e B(–4, 1). Determine:
a) a equação geral;
b) a equação reduzida;
c) a equação segmentária.
15) Determine a área do triângulo definido pelos pontos A(–1, 0), B(3, 1) e
C(0, –2).
16) (CESGRANRIO – RJ) As retas de equações y = 3x – 1 e y = mx + n são
paralelas. Então:
a) –m = –3n
c) n = –1
e) m=3
1
b) n = 3m
d) m = −
3
17) Determine o valor de K para que as retas (r) 2x + y – 4 = 0 e (s)
(K – 1)x –2y + 8 = 0 sejam concorrentes.
18) Determine a equação da reta s que passa pelo ponto A(3, –2) e é perpendicular a r, de equação 4x –y + 3 = 0.
19) (FUVEST – SP) No plano cartesiano são dados os pontos A(–1, 2), B(1,
3) e C(2, –1). Determine a equação:
517
a) da reta AB;
HJG
b) da reta que passa por C e é perpendicular a AB .
20) Calcule o ângulo formado pelas retas 5x – 2y = 0 e – 10x + 4y – 5 = 0.
21) (UFPR) A distância entre as retas paralelas 4x – 3y – 4 = 0 e 4x – 3y –
14 = 0 é igual a:
a) 2
b) 4
c) 5
d) 10
e) 18
22) (PUC – SP) Qual a distância da origem à reta de equação 3x – 4y = 10?
a)
2
b)
3
2
c)
10
d) 1
e) 2
23) Determine a distância do ponto P à reta r, sendo P(4, –3) e (r) x – y + 1 = 0.
Geometria Analítica (circunferência e elipse)
24) Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r nos
seguintes casos:
a) C(1, –2) e r = 3
b) C(0, 4) e r =
5
 1
c) C  2,  e r = 1
 3
d) C(0, 0) e r = 3 3
25) Escreva a equação geral da circunferência de centro C e raio r nos casos:
a) C(–1, 1) e r = 2
b) C(–2, 2) e r = 2
5
 −1 
c) C  1,
 e r=
2
 2 
26) Determine a posição relativa de cada ponto em relação à circunferência
x2 + y2 – 6x – 2y – 3 = 0.
a) A(1, –2)
b) B(–1, 0)
27) (CESCEM – SP) O raio da circunferência x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 é igual a:
a) 2
b) 3
c) 3
d) 4
e) 16
28) Represente graficamente no plano as seguintes desigualdades:
b) x2 + y2 < 81
a) (x – 2)2 + (y – 3)2 ≥ 1
518
(
)
29) (FEI – SP) O ponto 1, 2 em relação à circunferência
x + y2 – 4x – 4y + 4 = 0:
a) está situado no centro.
b) é interno à circunferência e fora do centro.
c) está situado na curva.
2
d) é externo à circunferência, mas está na reta y − 2x .
e) n.d.a.
30) Identifique a posição da reta r em relação à circunferência, em cada
caso:
a) x – y = 2
x2 + y2 – 8x + 4y + 18 = 0
b) x – y + 1 = 0
x2 + y2 – 10y + 15 = 0
c) x + 2y + 1 = 0
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25
31) Determine a equação da elipse nos seguintes casos:
a) a = 5 e b = 2, C(0, 0), de eixo maior horizontal
b) a = 4 e b = 3, C(0, 0), de eixo maior vertical
c) a = 6, e =
1
C(0, 0), de eixo maior horizontal
2
32) Calcule a excentricidade da elipse de eixo maior 8 e eixo menor 6.
33) Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as
coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
a)
y2 x 2
+ =1
25 16
b)
(x − 6)2 x 2
+ =1
25
16
34) Determine o foco e a diretriz das parábolas abaixo:
a) y2 = 12x
b) x2 = 8y
519
Respostas
1) A (1, 2), B (–3, 0), C (–4, 3), D (0, –2), E(0, 0), F(–1, –2) e G(4, 0)
2) 17
3) Q(0, 2)
4) Triângulo Escaleno
P = 21 + 3 5
3

5) a) M  −1, 
2


6) CM = 4
b) M(2,0)
7) C(1, 6) e D(–1, 4)
 8 −1 
8) G  , 
3 3 
9)
b) estão alinhados
a) não estão alinhados
10) a n 5
11) a) m = 2
12) x – 3y – 15 = 0
13)
b) y =
14) a) 2x + 3y + 5 = 0
9
15) A = u
2
16) e
b) m = –4
x y
+ =1
−2 6
5
−2
x−
3
3
c)
x
y
+
=1
−5 −5
2
3
17) K ≠ –3
18) x + 4y + 5 = 0
19) a) x – 2y + 5 =0
20) 0°
b) 2x + y – 3 = 0
21) a
22) e
23) 4 2
2
24) a) (x – 1)2 + (y +2)2 = 9
b) x2 + (y – 4)2 = 5
25) a) x2 + y2 + 2x – 2y= 0
b) x2 + y2 + 4x – 4y + 4 = 0
520
1

2
c) (x − 2) +  y −  = 1
3

d) x2 + y2 = 27
c) 2x2 + 2y2 – 4x + 2y = 0
26) a) pertence à circunferência
b) externo à circunferência
27) d
28) a)
b)
y
y
3
r=1
C
r
–9
2
9
x
1
2
x
29) b
30) a) r é exterior à circunferência.
b) r é secante à circunferência.
c) r é exterior à circunferência.
x 2 y2
x 2 y2
+ =1
+ =1
31) a)
b)
25 4
9 16
32)
c)
y2 x10
+
=8
20 2
7
4
33) a) C (0, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,
3
distância focal 6, F1(0, –3), F2(0, 3) e = e
5
b) C (6, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,
3
distância focal = 6, F1(3, 0), F2(9, 0) e e = .
5
34) a) F(3, 0), x = –3
b) F(0, 2) y = –2
521

Matemática (9)

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