Introduç˜ao `a Matemática Universitária

Transcrição

Introdução à Matemática
Universitária
José Stálio Rodrigues dos Santos
Tarcisio Praciano-Pereira
1
Universidade Estadual Vale do Acaraú
Sobral - Ce
16 de março de 2009
C=YX
Y
1
X
0
−Y
X
Y
C=XY
1
Dep de Computação - [email protected]
01
Rodrigues dos Santos, José Stálio
MSc em Matemática
Praciano-Pereira, Tarcisio
PhD em Matemática
Introdução
à Matemática Universitária
Sobral, 2003
Textos para o Ensino
Publicações do
Laboratório de Matemática Computacional
Universidade Estadual do Vale do Acaraú
Copyleft Laboratório de Matemática Computacional
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contactar [email protected].
Rodrigues dos Santos, José Stálio
Praciano-Pereira, Tarcisio
P496c
Introdução à Matemática Universitária
Sobral: Laboratório de Matematica Computaciaonal - 2009
301p
Bibliografia
ISBN:
1 - Análise Combinatória 2 - Relações e Funções
3 - Números - 4 - Polinômios.
I. Tı́tulo
CDD 517....
Capa: Tarcisio Praciano-Pereira
Sumário
Introdução ...................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Teoria dos Conjuntos.
1.1 O conceito de conjunto. . . . . .
1.2 Conjunto e estrutura. . . . . . .
1.3 elemento, subconjunto . . . . . .
1.4 operações . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 união, interseção . . . . .
1.4.2 diferenç a . . . . . . . . .
1.5 Estrutura algébrica nos conjuntos
1.6 produto cartesiano . . . . . . . .
2 Análise Combinatória Simples.
2.1 Aná lise Combinatória . . . . . .
2.2 combinações . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Partições de um conjunto.
2.3 O binômio de Newton. . . . . . .
2.4 arranjos . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 repetição . . . . . . . . .
2.4.2 Arranjos simples. . . . . .
2.4.3 Permutações. . . . . . . .
2.5 n(A ∪ B) . . . . . . . . . . . . .
2.6 n(A x B) . . . . . . . . . . . .
3 Relações e Funções.
3.1 Relações. . . . . . . . . . .
3.1.1 Relações de ordem. .
3.1.2 equivalê ncia . . . .
3.2 função . . . . . . . . . . . .
3.3 função . . . . . . . . . . . .
3.3.1 injetiva . . . . . . .
3.3.2 sobrejetiva . . . . .
3.3.3 bijetiva . . . . . . .
3.4 Funções polinomiais . . . .
3.4.1 A função linear afim
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4 Conjuntos numéricos fundamentais.
4.1 os naturais . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 álgebra N . . . . . . . . . . .
4.1.2 ordem . . . . . . . . . . . . .
4.2 Os números inteiros. . . . . . . . . .
4.2.1 A definição de Z. . . . . . . .
4.2.2 adição em Z . . . . . . . . . .
4.2.3 produto em Z . . . . . . . . .
4.2.4 ordem em Z . . . . . . . . . .
4.2.5 demonstrações . . . . . . . .
4.3 racionais . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 incompletitude, Z . . . . . .
4.3.2 á lgebra dos racionais . . . .
4.3.3 compatibilidade . . . . . . . .
4.3.4 demonstrações . . . . . . . .
4.3.5 equivalência . . . . . . . . . .
4.3.6 m.m.c . . . . . . . . . . . . .
4.4 interpretação geométrica . . . . . . .
4.4.1 A reta e os racionais. . . . . .
4.4.2 os irracionais . . . . . . . . .
4.4.3 racionais na reta . . . . . . .
4.5 programa . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Construção geometrica de R.
5.1 os reais . . . . . . . . . . . .
5.2 álgebra na reta . . . . . . . .
5.2.1 A adição em R. . . . .
5.2.2 A multiplicação em R.
5.2.3 corpo ordenado . . . .
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6 Funções Especiais
6.1 função linear . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Progressão aritmética . . . . . . . . . . .
6.2.1 Notação e exemplos . . . . . . . .
6.2.2 Soma dos termos de uma P.A. . .
6.3 Gráficos das funções lineares . . . . . . . .
6.3.1 Coeficiente angular de uma reta .
6.3.2 Retas e suas equações . . . . . . .
6.4 Equação da reta que não passa na origem
6.5 Equação do 1o Grau . . . . . . . . . . . .
6.6 Discussão da equação do 1o Grau . . . . .
6.6.1 Exercı́cios Propostos . . . . . . . .
6.7 Sistema de Equações do 1o Grau . . . . .
6.7.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Problemas do 1o Grau . . . . . . . . . . .
6.8.2 Solução de alguns exercı́cios . . . .
6.9 Progressões geométricas . . . . . . . . . .
6.10 Função quadrática . . . . . . . . . . . . .
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6.10.1 A função padrão y = f (x) = x2 . .
O gráfico de uma função do segundo grau
6.11.1 A forma padrão x 7→ (x − a)(x − b)
Equação do 2o grau . . . . . . . . . . . . .
6.12.1 Exercı́cios Resolvidos . . . . . . . .
6.12.4 Exercı́cios Resolvidos . . . . . . . .
Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.13.1 A história . . . . . . . . . . . . . .
6.13.2 Construção de um logaritmo . . .
6.13.3 Construindo outro logaritmo . . .
6.13.4 Os logaritmos decimais . . . . . .
6.13.5 A base de um logaritmo . . . . . .
Gráfico de uma função logaritmica . . . .
Função inversa de uma função logaritmica
6.15.1 Troca de base do logaritmo . . . .
Função exponencial . . . . . . . . . . . . .
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7 Números Complexos
7.1 incompletitude, R . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 nú meros complexos . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 A representação geométrica dos complexos .
7.2 Números complexos: extensão dos reais . . . . . .
7.3 Módulo, argumento e conjugado . . . . . . . . . . .
7.4 Intepretação geométrica do produto . . . . . . . .
7.5 Raizes de um número complexo . . . . . . . . . . .
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8 O anel dos polinômios.
8.1 números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 polinô mio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 estrutura algé brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 sobre os exercı́ cios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 estrutura dos polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia ...............................................................................
sivo alfabético.........287
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175
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183
183
185
186
187
190
208
208
210
218
220
224
226
227
228
229
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245
245
246
248
251
256
256
260
267
. . . . . . . 268
. . . . . . . 270
. . . . . . . 272
. . . . . . . 274
. . . . . . . 280
. . . . . . . 282
. . . . . . . 283
287 Índice remis-
Lista de Figuras
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
O conjunto universo e tres subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Um grafo com 6 nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A união de três conjuntos. . . . . . .
A interseção de dois conjuntos . . . .
A interseção de duas retas . . . . . .
A diferença entre os conjuntos A e B . .
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12
13
21
22
22
25
2.1
2.2
2.3
Árvore de possibilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A ∪ B∪C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n(A ∪ B ∪ C ∪ D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
62
63
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Diagrama de Hasse de P(A); A = {0, 1, 2, 3} . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histograma dos enfermeiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evoluçõ do preço do dolar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gráfico de f (x) = x domı́nio A = {−10, −9, −8, ..., 10}. . . . . . . . . . . .
Gráfico de f (x) = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gráfico de f (x) = x + 1 domı́nio A = {−5, −9, −8, ..., 5}. . . . . . . . . . . .
f (x) = x2 esta função não é sobrejetiva se domı́nio A = {−5, −4, −3, ..., 5};
contra-domı́nio
69
75
76
77
78
79
=
{−25, −24, . . . , 24, 24}.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 diferenç a, função linear afim . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 a tangente do ângulo α é a. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Os pontos em que uma função linear afim corta os eixos. . .
3.11 A função linear y = 2x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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82
85
86
87
89
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Raizes quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Frações equivalentes com denominadores diferentes 41 = 28 . .
Racionais e inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
entre dois racionais sempre há outro... . . . . . . . . . . . .
O intervalo [0, 1] colocado sob uma lente. . . . . . . . . . .
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105
107
118
119
119
121
5.1
5.2
5.3
5.4
A regra do paralelogramo para somar segmentos orientados . . .
Figuras semelhantes obtidas com um pantógrafo . . . . . . . .
Soma de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Adição e diferença dos vetores ~a, ~b. . . . . . . . . . . . . . . .
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130
131
132
133
7
5.5
5.6
5.7
5.8
Multiplicação, módulo em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Adição, módulo, desigualdade em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A multiplicação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
A soma dos termos de uma P.A.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Área do trapésio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coeficiente angular da reta e a razão da P.A. . . . . . . . . . . . . . . .
Várias reta, seus ângulos, sentido dos ângulos . . . . . . . . . . . . . . .
Um par de números representa um ponto no plano . . . . . . . . . . . .
Equação de reta que passa na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
duas retas paralelas, uma delas passa na origem . . . . . . . . . . . . .
Discussão geométrica, sistema de equações . . . . . . . . . . . . . . . . .
O produto de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alguns pontos do gráfico x 7→ x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Um gráfico com mais densidade x 7→ x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gráfico de x 7→ x2 com alta densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uma parábola e sua translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
duas translações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homotetias da parábola padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
logaritmos base a; a ∈ { 51 , 12 , 2, e, 10} . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primeira versão do gráfico do logaritmo - base maior do que 1 . . . . . .
Gráfico do y = log2 (x) com os pontos de coordenadas inteiras salientados.
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148
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156
163
164
238
239
240
240
241
241
242
242
243
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
Representação geométrica dos complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produto de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
248
249
252
254
257
261
263
264
265
266
8.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Propriedades dos números complexos
Conjugado de um número complexo .
A projeção de a + bi sobre S1 .
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As raı́zes da unidade . . . . . . . . .
Raı́zes quartas da unidade . . . . . .
As raı́zes terceiras de 2 . . . . . . .
Raı́zes quintas de 7 . . . . . . . . .
Raı́zes cúbicas de 3 + 4i . . . . . . .
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R ⊂ R[x] ⊂ F([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
135
137
138
280
Introdução.
Como usar este livro.
Este livro tem oito capı́tulos que devem ser lidos em sequência porque todo capı́
tulo depende do anterior. Dentro dos capı́tulos há seções em que eles são divididos e nós
queremos chamar sua atenção que o texto é completado com comentários: observações
e as notas de rodapé.
Os comentários, o texto teórico, são de nossa consideração o material mais importante do livro, mas nem sempre o mais fácil. Sugerimos que você inicialmente dê-lhes
menos importância e se concentre nos exercı́cios.
Talvez você deva ler as observações na ordem em que elas aparecerem, mas com
baixa prioridade, numa primeira leitura. Para lhe permitir uma busca mais acurada
de informações, o livro tem um ı́ndice remissivo alfabético, ao final, em que todos
os conceitos que surgem nas observações se encontram indexados para que facilmente
você retorne a eles quando achar necessário.
Os exercı́ cios foram escritos para serem feitos com auxı́lio de uma teoria mı́nima.
A própria teoria deve ser surgir dos exercı́cios.
Mas não desprese totalmente a teoria, nela há dicas de como se aprofundar na
solução dos exercı́cios. Em suma, quase todos os exercı́cios podem ser resolvidos em
mais de um nı́ vel, e você deve resolvê-los no nı́vel em que puder, e depois tentar
aprofundar a solução.
Usamos uma convenção tipográfica no livro, texto em itálico representa material
que você deve olhar com cuidado, possivelmente não está definido ainda e estamos
usando a concepção intuitiva do termo. Quando usarmos texto tipográfico estaremos fazendo referência a um termo técnico, já definido anteriormente ou considerado
bem conhecido como tal. Quando usarmos letra pequena estamos lhe querendo dizer
que o assunto é polêmico e que há muito mais coisa para ser dito do que estamos conseguindo dizer naquele momento. Usamos texto sublinhado para chamar sua atenção
de um detalhe que poderia passar desapercebido, tem o mesmo sentido texto em
negrito.
Queremos agradecer åcomunidade de programação livre e aberta sem a qual este
livro nunca teria sido escrito porque depende de programas de domı́nio público para
sua edição, de programas de domı́nio público para confecção de gráficos e simulação
computacional. Com o mesmo espirito este livro é colocado como copyleft uma
variante da GPL - Gnu Public Licence. Uma cópia da GPL pode ser encontrado em
www.debian.org. Quer dizer que você pode copiar este livro para seu uso pessoal sem
pagar nada ao autor. Claro, se você, quiser comercializar o livro então um contrato
com o autor, neste sentido, se torna obrigatório.
Os leitores são encorajados a entrar em contacto com o autores, por e-mail,
tarcisiomember.ams.org, para qualquer assunto ligado a este livro.
Capı́tulo 1
Teoria dos Conjuntos.
Na década de 60 se iniciou uma renovação de linguagem em matemática colocando o conceito
de conjunto como módulo central de toda a construção matemática.
A razão bem simples para isto se encontra nos seguintes fatos:
1. As operações fundamentais com conjuntos servem de modelo concreto para as
operações fundamentais da lógica. Em suma, estudar Teoria dos Conjuntos equivale
a estudar uma realização do modelo da lógica formal.
2. Todas as estruturas matemáticas tem como objeto inicial uma famı́lia de conjuntos à
qual se associam relações tı́picas da estrutura. Existem algumas exceções a esta regra,
teoria dos grafos por exemplo, mas se tratam de autênticas exceções confirmando a
regra geral . . .
Quer dizer que, estudando conjuntos estamos desenvolvendo a ferramenta básica para produzir matemática, a lógica formal, e estamos também produzindo os blocos básicos desta
construção.
1.1
O conceito de conjunto.
A grande dificuldade de se iniciar qualquer conversação ou explanação teórica reside
na definição das idéias básicas, nas convenções iniciais que vão servir de alicerce para
o resto da construção. No inı́cio do século 20 este sentimento se concretizou vindo das
dificuldades sentidas pelos nossos predecessores no século 19 e se criou o conceito de
noções básicas que, junto com os postulados formariam, o background da teoria e seria
aceitas sem discussão, a menos que outra teoria seja desejada.
Conjunto é, para a Teoria dos Conjuntos, esta noção primeira. Os que nos precederam no inı́cio do século 20 e escreveram sobre esta teoria, ficaram circulando entre
palavras como agregado, lista ou conjunto, tentando com uma, justificar a outra. Depois de algum tempo a frase “conjunto é uma idéia básica, que não iremos definir”,
começou a prevalecer nos textos.
Não definiremos conjunto como ninguém definiu para você as primeiras palavras
da lingua que você fala. Diziam-lhe, no começo, que um determinado objeto era
uma cadeira e que outro era uma mesa sem lhe apresentar nenhuma lógica porque
uma cadeira não seria uma mesa, ou vice-versa. Somente depois, quando você já havia
adquirido algum vocabulário básico é que lhe foi dado o direito de fazer perguntas. Para
não agir de forma tão autoritária, daremos alguns exemplos de conjuntos, escreveremos
algumas frases iniciais de forma semelhante ao modo como você aprendeu a falar...
11
Escrevemos:
{a, e, i, o, u} é um conjunto,
“a” é um elemento deste conjunto,
e, i, o, u também o são.
Temos uma simbologia para resumir a frase “a é um elemento do conjunto {a, e, i, o, u}”.
• Inicialmente damos um nome ao conjunto {a, e, i, o, u} escrevendo:
A = {a, e, i, o, u}.
• Depois diremos a ∈ A, em que o sı́mbolo “∈” lê-se “pertence”.
• Então as frases a ∈ A, e ∈ A, i ∈ A são sentenças verdadeiras. Da mesma forma
as sentenças:
b ∈ A, c ∈ A
são falsas e a negação delas é
b∈
/ A, c ∈
/ A.
em que o sı́mbolo ∈
/ lê-se ”não pertence”.
Observação 1 Sintaxe e linguagem
Não fizemos nenhuma tentativa de definir os sı́mbolos
∈, ∈
/.
Tudo que fizemos foi escrever frases para lhe mostrar qual era a sintaxe do uso destas
palavras.
Estamos construindo uma linguagem e o método se assemelha àquele usado no
aprendizado da lingua materna: em lugar de explicar como são as coisas, damos exemplos mostrando como as coisas funcionam. As linguagens, sejam elas naturais ou
linguagens de computador têm uma semelhança que é preciso salientar:
• nomes
Há sı́mbolos chamados nomes, os substantivos, que guardam o significado de
objetos com os quais fazemos algumas ou que fazem algumas coisas. Alguns
destes sı́mbolos são chamados variáveis;
A é um nome que guarda o valor {a, e, i, o, u}. A é uma variável.
Outros sı́mbolos tem um uso mais estável, o valor deles é imutável, e eles são
chamados identificadores.
cadeira é um exemplo de identificador da linguagem brasileira, coisa é um
exemplo de variável da linguagem brasileira;
ao ou a qualificaç~
ao a ser
• predicativos Há palavras que representam a aç~
exercida sobre as variáveis, verbos ou conjuntos de palavras, chamados predicativos;
∈, ∈
/
são predicativos;
• controle do fluxo lógico Há palavras que representam a conexão lógica ou o
controle lógico, enfim a decisão nas bifurcações,
se, então,
controlam o fluxo lógico da linguagem, são pontos de decisão do discurso;
• operadores lógicos A lógica (e consequentemente a teoria dos conjuntos) tem
operadores que transformam proposições em outras proposições,
e, ou, ⇒, não
são operadores lógicos.
e, ou, ⇒
são operadores binários, quer dizer que recebem dois parâmetros para modificar
criando um terceiro.
não
é um operador unário, quer dizer, recebe um único parâmetro para modificar.
A Matemática, como as linguagens de computador, tem estas caracterı́sticas. O
que difere a Matemática ou uma linguagem de computador das linguagens naturais é
a ausência de aspectos subjetivos, presentes nas linguagens naturais, que tornam os
substantivos multi-valuados. Se espera que a Matemátca ou as linguagens de computador não tenham semântica, portanto não tenham ambiguı̈dades... mas existe também
Inteligência Artificial, que é computação e admite ambiguı̈dades.
Agora vem a primeira definição. Nela vamos tomar alguns elementos básicos e lhes
aplicar operadores lógicos produzindo um novo elemento, ou conceito.
Definição 1 Subconjunto
Dado um conjunto A diremos que um outro conjunto B é um subconjunto do
primeiro, em sı́mbolos
se a frase seguinte for verdadeira
B⊂A
x ∈ B ⇒ x ∈ A.
Para demonstrar que um determinado conjunto é subconjunto de outro, temos que
verificar, exaustivamente, a frase
x∈B⇒x∈A
para todos os elementos de B ou apresentar uma dedução lógica desta frase.
Por exemplo, o conjunto
V = {a, e, i, o, u}
é um subconjunto de
A = {a, b, c, d, e, f, ..., z}
V = {a, e, i, o, u} ⊂ {a, b, c, d, ..., z} = A.
porque Dem :
V é um conjunto de vogais
(1.1)
A é o conjunto de todas as letras
(1.2)
x ∈ V ⇒ x é uma letra ⇒ x ∈ A
(1.3)
x∈V ⇒x∈A≡V ⊂A
q.e.d .
(1.4)
Na demonstração acima fizemos uma dedução lógica da inclusão sem necessitar
de fazer uma verificação exaustiva, elemento por elemento, de que os elementos de V
também eram elementos de A. Vamos apresentar outro demonstração em que, exaustivamente, iremos testar a verdade V ⊂ A. Dem :
a∈V ea∈A
(1.5)
i∈V ei∈A
(1.7)
e∈V ee∈A
(1.6)
o∈V eo∈A
(1.8)
u∈V eu∈A
(1.9)
q.e.d . Observe que um pouco mais acima haviamos escrito
A = {a, e, i, o, u}
e agora usamos V = {a, e, i, o, u}. Não há nenhum erro nisto, mas obviamente devemos
evitar de usar tão seguidamente “valores” diferentes1 para uma variável.
Exercı́cios 1 Sintaxe e lógica
1. nome, predicado, controle lógico do fluxo, operação
Identifique nas frases abaixo o que é nome, predicado, controle de fluxo
(a) x ∈ A
(b) A e B
(c) 6 A ou B
(d) Se x ∈ A então x ∈ B
(e) Enquanto x ∈ A escreva x
(f ) x ∈ A ⇒ x ∈ B
2. Mostre que V = {0, 2, 4, 6, 8} ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = A usando uma dedução
lógica, (isto é), sem verificar a veracidade de cada uma das possı́veis relações
x ∈ V ⇒ x ∈ A. Solução: Como A é o conjunto de todos as números menores que
10, então para qualquer que seja x ∈ V , como x é número par menor do que 10 então
x ∈ A isto é
x ∈ V ⇒ x ∈ A ⇐⇒ V ⊂ A
3. Apresente os elementos dos conjuntos definidos por
(a) {x ∈ N; x < 10}
(b) {x ∈ N; x > 10}
(c) {x ∈ N; 3 < x < 10}
(d) {x ∈ N; 3 ≤ x < 10}
(e) {x ∈ N; 3 ≤ x ≤ 10}
(f ) {x ∈ N; x < 0}
(g) {x ∈ N; x é par}
(h) {x ∈ N; x é impar}
1 isto
é bem natural num programa de computador, mas deve ser evitado num texto para
leitura humana
4. Propriedades, “desigualdade” e “contido”
(a) Se P = {x ∈ N; x é par} e I = {x ∈ N; x é impar} então é verdade que
• P ⊂I ?
• I⊂P ?
(b) Dados dois números naturais, x, y ∈ N então é verdade que (tricotomia)
a) x < y ou; b)x > y ou; c)x=y
(c)
i. Descreva as propriedades que você conhece de ”<”em N.
ii. Descreva as propriedades que você conhece de ”⊂”entre conjuntos.
iii. Se você fosse aplicar o adjetivo “fraca” a uma das duas relações <, ⊂,
qual das duas receberia o adjetivo, a partir do resultado dos dois itens
anteriores.
5. Quais dos conjuntos seguintes, tomados dois a dois, são diferentes:
, {}, {0}
Solução: Todos são diferentes:
• O conjunto {0} contém um elemento, o número zero;
• O conjunto {} contém um elemento, o conjnto vázio;
• O conjunto é o conjunto vázio, não tem elementos.
6. Construa um diagrama representando o conjunto U , universo, e mais os conjuntos A, B, C tal que
A 6⊂ B ; B 6⊂ A ; C ⊂ A ; C ⊂ B
Solução: Observe na figura (fig. 1.1) página 12, a representação gráfica da solução.
7. Considere A = {0, 1, 2, 3} e determine:
(a) O número de subcojuntos de A.
(b) Quantos subconjuntos de A possuem 2 elementos.
(c) Quantos subconjuntos de A possuem 4 elementos.
1.2
Conjunto e estrutura.
Você viu um primeiro exemplo de estrutura em dos exercı́cios acima quando lhe pedimos para descrever as propriedades de “<” em N ou as propriedades de “⊂” entre
conjuntos. Vamos discutir mais a fundo este conceito agora. Lembre-se do método
que adotamos, não vamos dizer-lhe tudo, você terá que descobrir os fatos a partir dos
exemplos.
Exemplo 1 Figura plana.
• Um triângulo fica bem determinado pelos seus tres vértices.
• Um quadrilátero pelos seus quatro vé rtices.
• Podemos falar do conjunto Pde todos os polı́gonos do plano.
B
U
A
F
C
E
Figura 1.1:
O conjunto universo e tres subconjuntos
Outro conceito associado aos polı́gonos é “área”. Podemos criar uma estrutura associada aos possı́veis polı́gonos determinados por conjuntos finitos de pontos do plano,
que vão constituir os vértices dos polı́gonos. Se aplicarmos o método “área” a este
conjunto de polı́gonos, e se designarmos este método com a letra A, estamos fazendo
referência åestrutura (P,A).
Exemplo 2 Grafos
Um conjunto finito de pontos do plano determina um polı́gono mas podemos vê-lo
sobre outro enfoque.
A figura (fig. 1.2) página 13, contém um exemplo de grafo com vários caminhos
tendo como oirgem O. Por exemplo
OABCD, OCD, OACD, OED.
Observe que as setas indicam o sentido do fluxo.
Um grafo é um método associado a um polı́gono. Agora, em vez de calcularmos
áreas, estamos definindo caminhos possı́ veis entre os “nós”. O resultado é um grafo.
Se designarmos um grafo qualquer com a letra G agora estamos estudando (P,G).
Os grafos são usados para modelar o fluxo do trânsito, ou as rotas de entregas
de mercadorias, rotas de linhas aréas, enfim tudo que envolver “caminhos” entre um
conjunto de nós dados.
Agora os vértices se chamam nós.
Exemplo 3 Semelhança
E
D
O
A
C
B
Figura 1.2:
Um grafo com 6 nós
Se considerarmos ainda o conjunto de todos os polı́gonos, podemos identificar, dois
a dois, aqueles que sejam semelhantes. É um outro método que podemos associar aos
polı́gonos.
Podemos designar a semelhança com o sı́mbolo ≈ e neste caso estamos estudando
(P,≈).
Vejamos um exemplo bem diferente dos anteriores, mas sempre em torno do assunto: conjunto, método, estrutura.
Exemplo 4 Conjunto dos números naturais
No conjunto N = {0, 1, 2, · · ·} podemos considerar o método adição. Neste caso
estamos estamos estudando (N,+).
Se, ao invés de associarmos aos números naturais o método adição, lhe associarmos
o método multiplicação, estaremos considerando a estrutura (N,·).
Vamos resumir as idéias contidas nos exemplos acima.
• métodos Associados ao conjunto dos polı́gonos identificamos acima tres métodos:
grafo, área, semelhança.
Associado ao conjunto dos números naturais, identificamos dois métodos:
adição, multiplicação.
Observe que esta listagem não é exaustiva.
• estrutura Quando analisamos um conjunto e um método que esteja definido
nele, estamos estudando uma estrutura. Se analisarmos mais de um método,
estaremos estudando uma estrutura mais complexa. Fomos levados assim a
considerar as seguintes estruturas:
1. (P,G), (P,≈), (P,A) ;
2. (N, +),(N, ·)
• estruturas mais complexas
– (P,A,≈)
– (N, +, · )
Observação 2 Conjunto finito e conjunto limitado.
Os dois conceitos, conjunto finito e conjunto limitado são diferentes.
O conjunto dos pontos do plano limitado pelos lados de um triângulo, é um conjunto
limitado e isto significa que este conjunto pode ser colocado dentro de um cı́rculo. Em
outras palavras, o padrão para limitação são os cı́rculos.
Tudo que puder ser colocado dentro de um cı́rculo é limitado.
Conjunto finito é aquele que cujos elementos podem ser contados. Neste caso a
frase “o número de elementos do conjunto A é n” tem um sentido artimético, e n ∈ N.
O conjunto N pode ser representado sobre uma reta, neste caso ele aparece como
um conjunto de pontos que se “espalham” ao longo da reta a iguais intervalos.
O conjunto N é um conjunto infinito: nós não podemos colocar o conjunto N, representado na reta numérica, dentro de um cı́rculo. Assim, N é um conjunto ilimitado,
também.
A frase
“o número de elementos do conjunto N é ∞”
não tem um sentido aritmético. O sı́mbolo ∞ não é aritmético nem é um número,
embora se possam fazer algumas extensões dos métodos da aritmética incluindo o seu
uso.
Nós não podemos contar os pontos que se encontram dentro de um triângulo, então
o conjunto dos pontos limitados pelos lados de um triângulo é infinito. é um conjunto
infinito e limitado.
Exercı́cio 1 No último parágrafo a palavra “limitado” foi usada duas vezes com sentidos diferentes. Você conseguiria distinguir estes dois sentidos?
O simples exemplo de um triângulo já nos permitiu divagar por trê s teorias matemáticas, isto mostra a riqueza do conceito “conjunto” que permite associar, (ou
dissociar), formas diferentes de analise dum objeto como um simples triângulo.
O método que utilizamos está ligado ao conceito de elemento de um conjunto.
Quando olhamos um triângulo como um conjunto finito, estamos nele identificando
tres elementos apenas, os tres vértices. Quando pensamos na área, na medida, de
um triângulo, estamos pensando no conjunto infinito formado por todos os pontos do
plano limitado pelos tres lados.
Observe, entretanto, que área nada tem o que ver com a quantidade de pontos do
triângulo. A área do triângulo é finita, é um número, e um triângulo é um conjunto
infinito de pontos.
Quando pudermos identificar propriedades associadas aos elementos do conjunto,
diremos que temos uma estrutura. Há quem identifique conjunto como uma estrutura,
seria uma estrutura zero, inicial.
Exercı́cios 2 Identificação de estruturas
1. triângulos, área, semelhança
(a) Especifique uma estrutura usando os conceitos de triângulo e área. Liste
as propriedades.
(b) Torne a estrutura anterior mais complexa agregando-lhe o conceito de semelhança. Liste as propriedades, (monte alguns exemplos afim de descobrir
as propriedades que podem ser listadas).
2. Considere o conjunto
A = {0, 1, 2, . . . , 9}.
(a) Use o conjunto A para indexar objetos. Dê exemplos.
(b) Verifique que não tem sentido a expressão
x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A.
Por que ?
(c) questão semelhante åanterior Use o conjunto
A = {0, 1, 2, . . . , 9}
para contar objetos. Dê exemplos.
(d) Verifique que agora a expressão
x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A,
tem sentido, mas nem sempre é verdadeira. Dê exemplos.
3. Você tem certeza de que sempre que vir um número, ele de fato é um número?
4. Comente a seguinte frase: o problema detectado nos itens acima se deve a
nossa pobreza de linguagem, usamos o conjunto A duas vezes, com sentidos
diferentes. Você conhece outras situações semelhantes a esta? Dê exemplos.
Haveria solução para o problema que detectamos?
5. conjunto, método, estrutura
(a) Monte uma estrutura com os conceitos:
H = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
+
(b) Descreva as propriedades da estrutura (H, +).
(c) Torne a estrutura anterior mais complexa incluindo mais algum outro
método que possa ser aplicado aos elementos do conjunto básico, por exemplo < .
(d) Verifique se há alguma relação entre os dois (ou mais) métodos que você
definiu, se houver faça uma especificação detalhada da estrutura.
6. Repita o exercı́cio anterior com o conjunto N dos dos números naturais.
7. área Qual é a definição de área?
8. Faça uma frase com os conceitos “área”e “região”.
Exemplo 5 Dados estruturados.
1. “trê s agregados diferentes”
Se olharmos para o “aglomerado” seguinte de números:
1107991334
eles podem nos lembrar muitas coisas. Se perguntassemos a várias pessoas o que
eles significavam poderiamos obter muitas respostas.
Mas se mostrassemos às pessoas os mesmos números assim dispostos:
11/07/99 : 13 : 34,
algumas pessoas, facilmente, identificariam aı́ uma data, um dia do ano, seguido
de uma hora.
Também poderı́amos ter apresentado os algarismos assim:
01107991334
e, ainda com certa hesitação, alguém poderia arriscar: “não seria um número
de telefone alı́ de São Paulo?”
Pois é, o que mudou nos tres exemplos?
2. um agregado com regras algébricas. O que torna diferentes
11/07/99 : 13 : 34 e 01107991334 ?
Claro, um desses agregados representa um “ponto” no tempo em que vivemos.
“11/07/99 : 13 : 34” obedece a uma regra algébrica “muito complicada” mas que
nós dominamos. Se 1 representar “um minuto”, sabemos calcular:
11/07/99 : 13 : 34 + 1 = 11/07/99 : 13 : 35.
Se 59 representar “59 minutos, também sabemos calcular:
11/07/99 : 13 : 34 + 59 = 11/07/99 : 14 : 33,
apesar da regra complicada que tem aı́ de passagem de uma casa para a outra.
Se 2 : 3 : 10 representarem “dois dias, 3 horas e 10 minutos, sabemos calcular:
11/07/99 : 13 : 34 + 2 : 3 : 10 = 13/07/99 : 16 : 44.
Então, concluimos, existe uma operação de adição, munidas regras bem complicadas, mas que todos conhecemos, de modo que podemos discutir qual é estrutura
aditiva do conjunto que vamos chamar de
T,
o tempo, junto com a operação de soma de tempos:
(T , +).
Não vamos entrar nestes detalhes agora, mas todos entendemos o que isto significa.
3. um agregado sem operações algébricas. Se tentassemos somar
(011)334575 + (021)223443
ninguém duvidaria em desatar numa gargalhada: não se soma número de telefone.
Mas se houvesse um catálogo de telefones ordenado pelos nú meros, seria útil.
Quantas vezes você tem um número anotado num papel e não sabe de quem é?
Ninguém duvidaria que
(021)223443 < (021)332331
no sentido de que (021)223443 deveria vir antes de (021)332331 na listagem.
Embora não possamos somar números de telefones, eles tem propriedades algébricas,
pouco utilizadas, é verdade. Existe uma “ordem” definida no conjunto dos
números dos telefones.
Exercı́cios 3 Criando estruturas.
1. Defina a estrutura “calendário”, estabeleça qual é o seu conjunto básico (ou
conjuntos) seus métodos, etc...
2. Defina a estrutura “catálogo telefônico”, conjunto básico, métodos, etc...
3. Defina a estrutura “livro”, faça uma especificação o mais completa possı́vel.
4. Defina a estrutura “figuras planas”, conjunto básico, métodos etc...
5. Torne a estrutura “figuras planas” mais complexa adicionando um método para
para comparÃ¡-las e decidir quando as figuras são semelhantes.
6. Torne a estrutura “figuras planas” ainda mais complexa, adicione um método
que associe a cada figura um número chamado área. Especifique detalhadamente
a estrutura, conjuntos, métodos, propriedades.
7. difı́cil... Acima falamos de uma ordem no catálogo telefônico, o que subentende
que existam várias ordens. Tente encontrar três exemplos de estrutura de ordem, diferente da habitual: a ordem nos conjuntos numéricos. Vamos estudar
“ordem” no capı́tulo 3, (de um salto ao capı́tulo 3).
Os exemplos dados acima mostram que as informações são “agregados” de algarismos e letras dispostos segundo certas regras especı́ficas de uma determinada “estrutura”.
Algarismos e letras são apenas dois tipos diferentes de “caracteres” que formam o
nosso “alfabeto escrito”. Existiria outro tipo de “alfabeto” que não seja o escrito?
Não definimos estrutura, mas usamos a palavra em diversos contextos de formas a
passar-lhe o seu sentido intuitivo. Observe o livro de Leopoldo Nachbin, [5] se quiser
se iniciar agora nas estruturas algébricas, ou [3] que é um pouco mais avancado que o
anterior.
Os exercı́cios destes capı́tulo tratam das propriedades dos conjuntos, dos seus elementos, dos sub-conjuntos de um conjunto universo dado.
1.3
Conjunto, elemento e subconjunto.
Neste momento nos encontramos ante dois tipos de objetos: conjuntos, elementos.
Entre os dois existe uma diferença hierárquica.
x ∈ x é sempre falso
x ⊂ x é sempre verdadeiro
(1.10)
Na segunda equação estamos dizendo que x é um conjunto, na primeira equação
estamos dizendo que x é simultaneamente conjunto e elemento, isto é impossı́vel. Não
iremos insistir numa discussão direta sobre a diferença entre elemento e conjunto.
Esta diferença será salientada construtivamente.
Exercı́cios 4 Inclusão e pertinência
1. Considere N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Liste os elementos dos conjuntos abaixo:
a) A = {x ; x ∈ N ; x < 10} b) B = {x ; x ∈ N ; 5 < x < 15}
c) C = {x ; x ∈ N ; x < 0}
d) D = {x ; x2 ∈ N ; x < 10}
e) E = {x ; x3 ∈ N ; x < 10} f ) F = {x ∈ N ; x é primo; x < 30}
2. Qual das sentenças seguintes é verdadeira:
a) 3 ∈ A
b) 0 ∈ A
c) −3 ∈ A d) A ⊂ B
e) B ⊂ A f ) C ⊂ A g) D ⊂ A
h) E ⊂ A
i) D ⊂ B j) E ∈ A
k) E ⊂ A
l) E ⊂ D
3. Use diagramas de Venn para representar as relações que for possı́vel entre os
conjuntos A, B, C, D, E.
4. Escreva todos os subconjuntos do conjunto
A = {0, 1, 2, 3}.
O conjunto assim obtido se chama P(A), o conjunto2 das partes de A.
(a) Classifique os elementos de P(A), segundo a sua quantidade de elementos.
(b) Faça um diagrama de Hasse com os elementos de P(A).
(c) Faça uma tabela indicando a frequência dos elementos de P(A) pelo número
dos seus elementos. Por exemplo quantos sub-conjuntos tem A com 2
elementos.
5. estrutura de P(A).. Considere agora A = {0, 1, 2}.
(a) Classifique os elementos de P(A), segundo a sua quantidade de elementos.
(b) Faça um diagrama de Hasse com os elementos de P(A).
(c) Faça uma tabela indicando a frequência dos elementos de P(A) pelo número
dos seus elementos. Por exemplo quantos sub-conjuntos tem A com 2
elementos.
6. Repita a questão anterior com A = {0, 1}.
7. Repita a questão anterior com A = {0}.
8. Repita a questão anterior com A = {}.
2O
conjunto dos subconjuntos de A.
9. Colecte as tabelas de freqüência feitas nas questões acima. O resultado deve
ser o triângulo de Pascal. Vamos chamar de linha de ordem n do triângulo de
Pascal àquela que corresponder a um conjunto com n elementos. Quer dizer que
a primeira linha, contendo apenas 1 é a linha de ordem 0. Verifique que que os
nú meros em cada linha são os números combinatórios:
Cnp = (n
p ).
Você poderá ler Cnp como a quantidade de subconjuntos com p elementos que
podemos encontrar num universo com n elementos.
10. Escreva o triângulo de Pascal até a linha de ordem 10 e compare com os conjuntos:
• A = {}.
• A = {0}.
• A = {0, 1}.
• A = {0, 1, 2}.
• ...
• A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
11. Seja A = {1, 2, {1, 2}, 3, {3}, 4}. Determine quais das afirmações abaixo é verdadeira, justificando seu entendimento.
a) {1, 2} ∈ A. b) {1, 2} ⊂ A. c) {1, 2, 3} ∈ A. d) {1, 2, 3} ⊂ A.
e) {3} ∈ A.
f ) {3} ⊂ A.
g) 3 ∈ A.
h) A ⊂ A
12. Considere U = {1, 2, 3}. Se A, B forem sub-conjuntos arbitrários de U, encontre
o número de relações do tipo A ⊂ B que é possı́vel escreverem-se.
As 15 primeiras linhas do Triângulo de Pascal
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
Observação 3 Cardinalidade.
Nesta seção trabalhamos com os conceitos,
1. Conjuntos;
2. métodos e estruturas;
3. pertinência;
4. inclusão;
5. número de elementos de um conjunto.
Mais a frente, o capı́tulo 2, será dedicado exclusivamente ao último assunto.
Se um conjunto for finito, tem sentido falar do número de seus elementos. Se
um conjunto não for finito, exatamente, isto quer dizer que ele não tem mais um
determinado número de elementos, mesmo porque não há “número infinito”.
Uma extensão deste conceito é a cardinalidade. Quando não pudermos falar do
“número de elementos de A”, então falaremos do “cardinal de A.” Voltaremos no
final do capı́tulo 2 a este assunto.
1.4
Operações com conjuntos
União, interseção e diferença
Nesta seção discutiremos tres operações (métodos) entre conjuntos: união, interseção e diferença. Faremos um paralelo entre estas operações e as operações da lógica formal.
1.4.1
União e interseção de conjuntos.
S
Definição 2 União, A B.
Dados dois conjuntos A, B dizemos que
AU B = {x ; x ∈ A ou x ∈ B}
Diagramas de Venn facilitam a compreensão das operações mas também podem
induzı́-lo em erros lógicos.
A figura (fig. 1.3), página 21 ilustra a união de conjuntos. Usamos a união quando
quisermos reunir, num só conjunto, os elementos de dois ou mais conjuntos.
T
Definição 3 Interseção, A B.
Dados dois conjuntos A, B dizemos que
A ∩ B = {x ; x ∈ A e x ∈ B}
isto é, para que x ∈ A ∩ B, x tem que ser simultâneamente elemento de cada um dos
conjuntos.
A figura (fig. 1.4), página 22 ilustra a interseção de dois conjuntos. Usamos a
interseção quando quisermos os elementos que forem comuns a dois outros conjuntos.
Na figura (fig. 1.5) página 22 você pode ver duas retas paralelas, que são dois conjuntos
“sem nenhum ponto de interseção”. Neste caso o conjunto vazio resolve o problema
criando uma solução:
\
r t = ∅.
Exercı́cios 5
1. Calcule A ∩ B e A ∪ B se
Figura 1.3: A união de três conjuntos.
• A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
• B = {5, 6, 7, 8, 9}
2. Se V representar o conjunto de todas as vogais, e C o de todas as consoantes,
calcule V ∩ C, V ∪ C.
3. Represente com diagramas de Venn, (identifique as expressões que estiverem
indefinidas):
a) A ∪ B;
b) B ∪ A ;
c) A ∩ B;
d) A ∪ B ∪ C;
e) A ∩ B ∩ C; f ) (A ∪ B) ∩ C; g) A ∪ B ∩ C; h) (A ∩ B) ∪ C;
i) A ∩ B ∪ C; j) A ∪ (B ∩ C);
4. Verifique quais das sentenças abaixo são verdadeiras:
(a) A ∪ B = B ∪ A;
(b) B ∩ A = A ∩ B;
(c) (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C);
(d) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);
(e) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C);
(f ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
(g) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
(h) A ∪ B ∩ C = A ∪ (B ∩ C);
5. Qual das afirmações abaixo é a falsa:
• A ∩ B ⊂ A;
• A ∪ B ⊂ A;
B
A
Figura 1.4: A interseção de dois conjuntos
r
t
Figura 1.5: A interseção de duas retas
• A ⊂ A ∪ B;
• A ∩ B ⊂ A ∪ B;
A única afirmação falsa pode ser verdadeira em caso particular dos conjuntos
A, B. Explicite tal caso.
Observação 4 Indefinição de expressões.
Técnicamente falando, as expressões:
• A ∪ B ∪ C;
• A ∩ B ∩ C;
• A ∪ B ∩ C;
• A ∩ B ∪ C;
estão indefinidas, porque não fica claro que operação deve ser efetuada primeiro.
Aqui que se vê a importância da propriedade associativa que algumas vezes
vale, outras vezes não vale.
Por exemplo, se a, b, c ∈ N, a, b, c 6= 0, então
(a ÷ b) ÷ c 6= a ÷ (b ÷ c),
porque
(a ÷ b) ÷ c =
a
bc
enquanto que
c
ac
b
=a· =
;
c
b
b
Concluimos que a “divisão não é associativa.”
Como união é associativa, então A ∪ B ∪ C está bem definida. Da mesma forma
como a interseção é associativa, então A ∩ B ∩ C está bem definida.
Como a interseção é distributiva relativamente à união então
a ÷ (b ÷ c) = a ÷
A ∪ (B ∩ C) 6= (A ∪ B) ∩ C
o que deixa a expressão “A∪B ∩C” indefinida. Veja que nós sabemos realizar, apenas,
duas operações de cada vez, então temos que interpretar uma expressão como A∪B ∩C
como uma das duas formas escritas acima com parentesis.
Fazendo um diagrama de Venn você vai se dar contas rapidamente de que as duas
expressões
A ∪ (B ∩ C) ; (A ∪ B) ∩ C
são diferentes. Ao mesmo tempo este diagrama de Venn é uma demonstração desta
desigualdade porque apresenta um exemplo em que não vale a igualdade.
Enfim,
• quando a propriedade associativa valer, a repetição de uma operação fica bem
definida sem necessidade de patentesis. Quando ela não valer, somos forçados
a indicar com parêntesis o que queremos dizer;
• quando a propriedade distributiva valer entre duas operações somos forçados a
indicar qual a expressão desejada com o uso de parentesis:
a ∗ b + a ∗ c = a ∗ (b + c) 6= (a ∗ b) + c
Nas linguagens de programação este problema de interpretação de texto é contornado criando-se uma prioridade entre as operações.
O produto tem prioridade sobre à adição e subtração, com isto significando que
“a + b ∗ c” vai ser entendido pela máquina como a + (b ∗ c).
Prioridade entre as operações
• primeiro se executam as potenciações e radiciações,
• depois as multiplicações e divisões,
• finalmente as adições e as subtrações.
Velha regra operatória, que se ensinava antigamente, e da qual os computadores
ainda se lembram...
Experimente com uma máquina de cálcular:
• 32 ∗ 7 = 7 ∗ 32 = 63
• 3 ∗ 2 + 7 = 7 + 3 ∗ 2 = 42
• 6÷2+3 =3+6÷2 =6
1.4.2
Complementar e diferença entre conjuntos.
O complementar de um conjunto A são os elementos que não pertencem ao conjunto
A relativamente a um outro conjunto chamado universo.
Observe a figura (fig. 1.6) na página 25. Nela estão representados tres conjuntos
A, B, U. Os conjuntos A, B são subconjuntos de U que se chama, por esta razão, conjunto universo.Na figura se encontra hachuriado o complementar de B relativamente
ao universo.
O complementar é designado com o sı́mbolo B c ou alumas vezes com CU B. Nesta
última notação se quer deixar claro que o complementar é um conceito relativo. Mudando o conjunto universo, muda o complementar.
Se define a diferenç a entre dois conjuntos assim:
Definição 4 Diferença entre conjuntos.
Dados dois conjuntos A, B
A − B = {x ; x ∈ A e x 6∈ B}
Se produz um novo conjunto a partir do conjunto A, formado de todos os elementos de A que não pertençam a interseção A ∩ B :
A − B = A − (A ∩ B).
Na figura (fig. 1.6) página 25, você pode ver a diferença entre os conjuntos A,B
nesta ordem. Observe que
A − (A ∩ B) = A − B
(1.11)
A − B 6= B − A
(1.13)
B − A = B − (A ∩ B)
estas equações contém as idéias da demonstração do seguinte teorema:
Teorema 1 Diferença não é comutativa
A − B 6= B − A
Da definição podemos concluir uma propriedade da diferença de conjuntos:
Teorema 2 Diferença e complementar
A−B =A
Exercı́cios 6
\
Bc
1. Calcule A − B para os conjuntos abaixo:
(a) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
(b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
(c) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {7, 8, 9, 10}
(d) A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(e) A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(f ) A = {7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(1.12)
U
B
A
A − B
Figura 1.6:
A diferença entre os conjuntos A e B
2. Faça os diagramas de Venn correspondentes a cada um dos itens na questão
anteior.
3. Deduza do exercı́cio 1 se A − B = B − A é verdadeira ou falsa.
4. Prove que A − B = A − (A ∩ B).
5. Prove que se A ∩ B = A ∩ C então A − B = A − C.
Observação 5 Provar, verificar, . . . se convencer.
Um trauma comum entre as pessoas que estudam Matemática se encontra associado
ao conceito de provar. A palavra verificar é aceita com menor carga de preconceitos
do que provar.
É preciso perder e combater este preconceito. Há muitas coisas difı́ceis em Matemática, como as há em Biologia, Quı́ mica, Fı́sica ou História. O conhecimento é
formado de fatos óbvios para uns, (um mesmo teorema pode ser uma trivialidade para
alguém) e uma barreira teórica para outros.
Mas, difı́cil, é apenas aquilo que vai tomar mais tempo para ser compreendido, não
é impossı́vel, é apenas difı́cil.
Não há outro meio de fazer Matemática, sem fazer demonstrações, esta é a essência
de nossa disciplina. Mas há passos para conduzir-nos a compreensão de um teorema
e consequentemente à sua demonstração,
• um gráfico,
• algumas construções geométricas,
• alguns modelos concretos com papel, ou sucata,
• um programa de computador.
Todos são meios justos para ampliar nossa intuição e criar uma generalização que
conduza à construção de uma demonstração. Esta tem que ser o objetivo final.
Sem traumas.
1.5
Estrutura algébrica nos conjuntos
Vimos que as operações de união e interseção tem propriedades semelhantes às que os
números tem no conjunto N. Por exemplo, a união e a interseção são comutativas. A
diferença entre conjuntos não é comutativa, da mesma forma como a diferença entre
os números que também não é comutativa.
Podemos nos perguntar que estrutura podemos descobrir no conjunto P(X), o conjunto das partes de X e as operações definidas em P(X).
Uma pergunta mais direta: quais são as propriedades de (P(X), ∪) em que P(X)
é o conjunto das partes de X e ∪ é a operação de união entre os subconjuntos de X.
Vimos que
• A união é associativa;
• A união é comutativa;
• Tem um conjunto que unido com qualquer outro conjunto reproduz o outro:
∅∪A = A ;A ⊂ X
quer dizer que o “conjunto vazio está para a união como o zero está para a
adição”.
Observe que estamos dizendo que
(N, +)
é parecido com
(P(X), ∪)
porque têm as mesmas propriedades. E esta semelhança que chamamos de estrutura.
Quer dizer que (N, +) e (P(X), ∪) têm a mesma estrutura.
Exercı́cios 7 Estrutura nos conjuntos
1. União e Interse¸ão Prove que (P(X), ∩) tem as mesmas propriedades que (P(X), ∪).
Qual é o elemento neutro em (P(X), ∩) ?
2. Diferença de conjuntos Verifique quais são as propriedades que valem para (P(X), −)
em que “−” é a diferença entre conjuntos.
3. Diferença simétrica
Definição 5 Diferença simétrica
Definimos A△B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
Prove que A△B = (A − B) ∪ (B − A)
4. Verifique quais são as propriedades de
• E1 = (P(X), △) ; E2 = (N, −)
• E3 = (P(X), ∪) ; E4 = (N, +)
• E5 = (P(X), ∩) ; E6 = (N, ·)
• E7 = (N, +, ·) ; E8 = (P(X), △, ∩)
• E9 = (P(X), △, ∪) ; E10 = (P(X), ∪, ∩)
5. Quais das estruturas estudadas acima são semelhantes? (faça listagens daquelas
que forem semelhantes entre si).
6. Uma pessoa pode receber sangue de um doador se tiver todos os antı́genos do
doador. Traduza esta frase usando conjuntos e subconjuntos. Faça uma tabela
de dupla entrada que mostre quais são as possiblidades de que X possa receber
sangue de Y.
7. Se A, B forem conjuntos com um número finito de elementos, então
card(A) + card(B) = card(A ∪ B) − card(A ∩ B)
Se A for o conjunto dos números pares positivos menores que 200 e B for o
conjunto dos múltiplos de 3 menores que 250, calcule a quantidade elmentos da
interseção destes dois conjuntos.
8. Uma pesquisa de opnião, encomendada por um programa de televisão, tabulou
da seguinte forma os resultados de sua pesquisa:
nı́vel
péssimo
suportável
bom
excelente
homens
1
2
27
30
mulheres
2
3
30
25
rapazes
25
30
3
2
moças
23
30
3
2
meninos
14
16
16
14
meninas
16
15
17
12
Total de entrevistados: 360.
(a) Transforme esta tabela em percentuais relativos ao total de 360 entrevistados.
(b) Decida quais das afirmações seguintes é verdadeira e apresente uma justificativa:
•
•
•
•
•
O
O
O
O
O
programa
programa
programa
programa
programa
agradou
agradou
agradou
agradou
agradou
aos homens.
às mulheres.
aos rapazes e às moças.
aos adolescentes.
às crianças.
9. Considere a tabulação do exercı́cio 8 27. Verifique que todos os entrevistados
podem ser classificados em termos de uma das categorias:
A adulto, M masculino, G gostou
você, possivelmente, precisa definir o que é adulto...
• Quantos pertencem à classe Ã = Ac
• Quantos pertencem à classe A ∪ M
• Quantos pertencem à classe A ∪ G
• Quantos pertencem à classe A ∪ G̃
• Quantos pertencem à classe Ã ∩ G̃
10. Uma pesquisa da divisão municipal de assistência social verificou que sobre 250
famı́lias entrevistadas, se contavam 150 que tinham carro, 100 que possuiam
geladeira, 59 que tinham telefone, 31 que tinham carro e geladeira, 22 que tinham
carro e telefone, 7 que possuiam geladeira e telefone e 4 possuiam carro, geladeira
e telefone.
• Quantas famı́lias possuem apenas um dos itens considerados ?
• Quantas famı́lias não possuem nenhum dos itens considerados ?
1.6
O produto cartesiano
Por definição temos:
Definição 6 Produto cartesiano A x B.
A x B = {(x, y) ; x ∈ A e y ∈ B}
diremos que A x B é o conjunto dos pares ordenados formados dos elementos de A
e de B, nesta ordem. Quer dizer que
Teorema 3 A x B 6= B x A.
Observação 6 Um novo tipo de conjunto A x B. Há uma “semelhança” aparente
com a interseção. A semelhança se encontra na simultaneidade da conjunção “e”,
entretanto as duas sentenças se referem a “variáveis” distintas. Na verdade é uma
operação muito especial porque produz um tipo de conjunto totalmente diferente dos
conjuntos iniciais3 A, B.
Quando estudarmos os conjuntos numéricos veremos que este método, da construção de pares ordenados, é o nó da questão para produzir o conjunto Q a partir dos
inteiros. Um número racional vai ser um novo objeto construı́do a partir dos números
inteiros já existentes, vai ser um par ordenado. Observe que
(a, b) =
b
a
6= = (b, a).
b
a
Este exemplo, com o os números racionais, demonstra o teorema 3.
Exemplo 6 Uma tabela de dupla entrada é um produto cartesiano. Abaixo você tem
um exemplo tı́pico de produto cartesiano tirado do “dia a dia”, uma tabela de dupla
entrada. Por exemplo a “matriz”de uma planilha eletrônica. A única diferença está
em que colocamos em cada célula a expressão (x, y) correspondente:
y \ x
a
b
c
d
e
f
3 apesar
...
1
(1,a)
(1,b)
(1,c)
(1,d)
(1,e)
(1,f )
2
(2,a)
(2,b)
(2,c)
(2,d)
(2,e)
(2,f )
3
(3,a)
(3,b)
(3,c)
(3,d)
(3,e)
(3,f )
4
(4,a)
(4,b)
(4,c)
(4,d)
(4,e)
(4,f )
5
(5,a)
(5,b)
(5,c)
(5,d)
(5,e)
(5,f )
6
(6,a)
(6,b)
(6,c)
(6,d)
(6,e)
(6,f )
disto, veremos, depois, que é possı́vel identificar tanto A como B dentro de A x B
Quando você usa uma planilha eletrônica, vai colocando os valores que interessa
“contabilizar”nas células da planilha. Aqui escrevemos em cada célula o seu “endereço”. (1, a) é o “endereç o”da primeira célula da planilha. Todas as células na
primeira linha tem a coordenada y = a. Todas as células na primeira coluna tem a
coordenada x = 1.
Os programas de planilha eletrônica usam uma notação que parece ser diferente do
que expusemos acima. Por exemplo designam as céluas por A1, A2 enquanto que nós
estamos usando a notação (1, a), (2, a). A diferença é aparente. Você também pode ver
aqui um exemplo de indexação.
Exercı́cios 8 Produto cartesiano de conjuntos
1. Faça os produtos cartesianos, dois a dois, dos conjuntos abaixo:
A = {1, 2, 3} ; B = {a, e, i, o, u} ; C = {1, 2, 3, 4, 5}
2. Verifique, com os exemplos construidos no exercı́cio anterior, que você pode
identificar os elementos de A dentro do produto A x B, na verdade você pode
identificar cinco “cópias”de A dentro de A x B. Quantas cópias de B você
conseguiria identificar em A x B ?
3. Generalize o exercı́cio anterior Mostre que no conjunto E x F podemos identificar uma cópia do conjunto E. Se o conjunto F tiver 10 elementos, quantas
cópias de E poderiamos identificar ?
4. Uma garota tem 12 blusas e 5 calças jeans. Durante quantos dias seguidos ela
pode sair com roupa diferente ? Mostre a esta garota um algoritmo para que ela,
facilmente, monte o seu plano estratégico de uso das roupas.
5. Prove que
a) (A ∪ B) x C = A ∪ C x B ∪ C
c) (A − B) x C = A − C x B − C
e) A x ∅ = ∅
g) A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
i) A△B = B△A
k) A ∩ (B△C) = (A ∩ B)△(A ∩ C)
b) (A ∩ B) x C = A ∩ C x B ∩ C
d) (A x B) x C = A x (B x C)
f) A ⊂ B ⇒ A x C ⊂ B x C
h) A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B
j) (A△B)△C = A△(B△C)
l) A△∅ = ∅ ; A△A = ∅
6. Defina Ao = A x {0}. Mostre que A0 ⊂ A x {0, 1, 2, 3}.
Capı́tulo 2
Análise Combinatória
Simples.
Análise combinatória é parte antiga, e digamos, hoje, elementar, de uma teoria Matemática
chamada combinatória. A combinatória se preocupa com os possı́veis agrupamentos que um
conjunto de objetos possa ter e com as estruturas Matemáticas que se possam descobrir para
tais agrupamentos. Discutir poliedros e suas deformações é um assunto da combinatória,
discutir “quantas” diagonais pode ter um determinado polı́gono, também é da combinatória
porém faz parte de sua parte elementar que é análise combinatória simples. O assunto
deste capı́tulo é este último.
2.1
Que é Análise Combinatória
A analise combinatória é a parte elementar da combinatória onde contamos o
número de formas diferentes que um agrupamento de objetos pode assumir. Exemplos
falam mais do que mil palavras:
Exemplo 7 Arranjo das letras {a, e, i, o, u}.
A palavra arranjo é uma palavra técnica da teoria e logo vamos voltar a falar
dela. De imediato vamos tratar do assunto informalmente, sem nos preocuparmos
com o detalhamento técnico.
O que queremos exemplificar é: “de quantas maneiras diferentes podemos retirar
três letras do conjunto das vogais”. Se você estiver lendo atentamente, reagirá dizendo:
depende, com repetição ou sem repetição. Claro, muda tudo se for de uma forma ou
da outra. Nas placas dos carros os arranjos de três letras admitem repetição e nós
podemos nos perguntar quantas placas diferentes os arranjos de três letras permitem
produzir. Vamos deixar o cálculo para depois.
Exemplo 8 Outro arranjo das letras {a, e, i, o, u}.
Mas, agora, suponha que as vogais representem, sob forma de código, os nomes
de cinco candidatos. Nós queremos determinar quantas chapas diferentes, compostas
de três candidatos, poderemos compor. Observe que não tem mais sentido pensar em
aae, pois o candidato a, não pode aparecer duas vezes na mesma chapa. Quer dizer,
estamos procurando os arranjos sem repetição.
35
Exemplo 9 Arranjos em que a ordem importa.
A complicação1 deste exemplo ainda pode ser maior! Para compor a chapa, precisamos de
• um presidente,
• um vice-presidente e
• um tesoureiro,
e digamos que seja esta a ordem hierárquica. Isto quer dizer que a chapa aei é diferente
da chapa aie porque de uma para outra trocamos vice e tesoureiro.
Poderiamos seguir dando exemplos que mostrem como criar tipos diferentes de
arranjos, mas assim passariamos do escopo de uma introdução.
Observação 7 Informalmente: que sı́o arranjos ?
Vamos apresentar uma definição formal de arranjos mais a frente.
• Quando importa a repetição Como no caso das placas de um carro, em que podemos ter AAH, temos arranjos com repetição de n elementos. Neste caso
n = 3.
Sı́mbolo
A326
porque existem 26 letras no alfabeto e estamos considerando 3 de cada vez. Mais
genericamente:
Apn
quando estivermos arranjando os n elementos de um conjunto em “pacotes” de
p elementos.
• Quando a repetição não é possı́vel Como no caso dos códigos representando os
canditados, então AAH não é permitido, temos arranjos sem repetição de n
elementos. Neste caso n = 3. Dizemos ainda arranjos simples de n elementos.
Sı́mbolo
A326
porque existem 26 letras no alfabeto e estamos considerando 3 de cada vez. Mais
genericamente:
Apn
quando estivermos arranjando os n elementos de um conjunto em “pacotes” de
p elementos.
• Logo falaremos de subconjuntos com p elementos tirados de um universo com n
elementos. Neste caso usaremos o sı́mbolo
Cnp
para representar o número de subconjuntos com p elementos que podemos extrair
do universo.
1 Discutiremos
muitas coisas complicadas em Matemática, complicadas sim, mas não impossı́veis de se as entender. Dizer que a Matemá tica é fácil é uma mentira grosseira.
Para terminar a introdução, deixe-nos dizer que vamos apresentar a teoria de modo
pouco habitual, vamos usar a teoria dos conjuntos que desenvolvemos no primeiro
capı́tulo.
De qualquer forma é este o assunto deste capı́tulo, queremos contar de quantas
maneiras diferentes podemos agrupar elementos de um dado conjunto universo, ou
contar quantos subconjuntos tem o conjunto universo de uma determinada natureza.
A palavra chave, neste capı́tulo, é contar.
2.2
Conjunto das partes.
No primeiro capı́tulo estudamos o conjunto P(A) cujos elementos eram os subconjuntos de
A. Um dos instrumentos que surgiram foi o tri^
angulo de Pascal que faz uma descrição
detalhada de todos os elementos de P(A). Vamos relembrar estes fatos com os olhos voltados
para os nossos interesses combinatórios.
Inicialmente vamos estudar subconjuntos de um conjunto universo. Vamos usar as duas
notações
p
Cn
= (n
p)
para indicar quantos subconjuntos com p elementos podemos tirar de um conjunto A que
tem n elementos. Observe que em (n
p ) a posição dos números p, n é invertida, relativamente
a outra notação.
Depois vamos estudar as partições de um conjunto que é uma coleção de subconjuntos de
A selecionando todos os elementos de A.
Uma pergunta: Para que servem as combinações e as partições? Uma resposta rápida
para esta pergunta seria: são essenciais para qualquer estudo estatı́stico de uma população.
Ao estudar uma grande população de indivı́ duos, é impossı́vel perguntar a todos os indivı́duos
qual é sua opinião ou sua classe social. Mas se classificados adequadamente, é possı́vel fazer
uma inferência bastante precisa do ponto de vista quantitativo e percentual de alguma questão
envolvendo os indivı́ duos da população. Neste capı́tulo não discutiremos métodos estatı́sticos,
mas os assuntos aqui tratados são básicos para estudos de estatı́stica.
Relembrando, e resolvendo o exercicio (ex., 10) na página 19, para construir o
tri^
angulo de Pascal, consideramos uma sucessão de conjuntos com número crescente
de elementos,
A ∈ {{}, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}.
Quer dizer que A pode ser o vazio, {} ou A pode ser um conjunto unitário A = {1}, e
assim por diante.
Analisamos então qual era a estrutura de P(A) em cada caso.
• Se A = {} = ∅. Então
P(A) = {A}.
1
Observe o que já discutimos anteriormente, a questão da hierarquia. O operador
P cria um novo conjunto diferente de A de tal forma que A ∈ P(A). Neste
primeiro caso,
P(A) = {A}.
Se o conjunto A = ∅, for vazio, então P(A) = {∅} vai ser unitário.
• Se A = {1}. Então
P(A) = {A, ∅};
11
O conjunto das partes tem dois elementos, o conjunto vazio e um conjunto
unitário. Observe novamente a questão da hierarquia:
A ∈ P(A) = {A, ∅}.
Agora como A tem um elemento, P(A) tem dois elementos, um deles é o próprio
conjunto A.
• Se A = {1, 2}. Então
P(A) = {A, {1}, {2}, ∅};
121
Novamente A ∈ P(A).
• Se A = {1, 2, 3}. Então
P(A) = {A, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅};
1331
Agora começa a se delinear a estrutura de P(A). O vazio e A estão sempre
presentes, (no primeiro caso se confundiram...). Depois tem todos os conjunto
unitários, (vamos usar uma nova linguagem), vamos dizer “1 a 1”. Depois vem
todos os conjuntos “2 a 2”. Os números nas linhas do tri^
angulo de Pascal
descrevem isto.
– Há 1 conjunto “0 a 0” que é o vazio.
– Há 3 conjuntos “1 a 1”, são os subconjuntos unitários de A.
– Há 3 conjuntos “2 a 2”, são os subconjuntos com dois elementos de A.
– Há 1 conjunto “3 a 3” que é próprio A.
As experiências feitas com o exercı́cio 10, página 19, mostraram a matriz
As 7 primeiras linhas do Triângulo de Pascal
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Assim nos poderiamos prosseguir indefinidamente, mas desta forma o processo é
lento. Vamos dar um salto: vamos provar que a linha de ordem n do tri^
angulo de
Pascal de fato representa a distribuição dos subconjuntos de A = {1, 2, · · · , n} sendo
A um conjunto com n elementos.
Para prová-lo, primeiro que tudo observemos o resultado é independente do tipo de
dados do conjunto A. Interessa apenas o fato de o conjunto A tenha n elementos para
que os seus subconjuntos fiquem descritos pela linha ordem n do tri^
angulo. Quer
dizer que o raciocı́nio sobre A = {1, 2, · · · , n} serve para todos os casos.
Indução finita.
Vamos usar uma técnica chamada2 induç~
ao finita
A indução finita consiste numa comparação com os números naturais
N = {0, 1, 2, · · ·}
que sabemos ser um conjunto infinito de tal forma que, se
x∈N ⇒ x+1∈N
é verdadeiro. x + 1 é chamado no conjunto dos axiomas de Peano de sucessor de x. O
conjunto N contém todos os sucessores de todos os seus elementos.
Exemplo 10 Válidade de uma fórmula
A soma dos n primeiros números naturais é
1 + 2 + ··· + n =
n+1
n
2
e nós podemos prová-lo usndo induç~
ao finita.
Vamos chamar esta identidade de P (n), isto é, uma proposição que de depende de
n.
• Primeiro passo
Vamos verificar que a fórmula vale para um valor inicial de n, por exemplo para
n = 2.
2+1
1+2 =
2=3
2
é verdadeiro!
• Hipótese de indução
Vamos supor que a fórmula seja então verdeira para um valor arbitrário de
n; n > 2 :
n+1
n
1 + 2 + ··· + n =
2
é verdade.
• O passo final
Vamos usar a hipótese de indução e assim mostrar que a mesma fórmula vale
para n+1. Se conseguirmos fazer esta demonstração, então teremos demonstrado
a fórmula para qualquer n > 2.
Quer dizer, vamos calcular:
1 + 2 + ··· + n + n + 1
usando a hipótese de indução, então:
1 + 2 + ··· + n + n + 1 =
= (1 + 2 + · · · + n) + n + 1 =
=
n+1
n
2
+n+1=
= (n + 1)( n2 + 1) =
=
= (n + 1) n+2
2
=
2 Deveriamos
n+1+1
(n
2
+ 1) = P (n + 1)
demonstrar que esta té cnica é verdadeira não vamos fazê-lo aqui, entretanto.
Observe num livro de Álgebra, por exemplo [5].
Portanto P (n) ⇒ P (n + 1) é verdadeiro!
Confirmamos a fórmula, pois obtivemos novamente “o primeiro mais o ú ltimo,
dividido por 2, veze o número de termos”.
Fica assim demonstrada a fórmula
1 + 2 + ··· + n =
n+1
n ; para todo n > 2.
2
O que fizemos pode ser sintetizado no teorema:
Teorema 4 da indução finita
• Verifica-se que P (n0 ) é verdadeiro, para um valor inicial n0 do ı́ndice.
• Suposemos, hipótese de indução que, para um valor arbitrário de n > n0 a
fórmula fosse verdadeira.
• Tentamos obter a fó rmula, P (n+1), usando a hipótese de indução, com sucesso,
então provamos que
P (n) ⇒ P (n + 1) é verdadeiro!
Logo, P (n) é verdadeira para todo n > n0 .
Exemplo 11 Soma dos termos de uma p.a.
Queremos mostrar que se dada uma p.a.
a1 , a2 , . . . , a n
então
a 1 + a 2 + . . . + a n = Sn =
a1 +an
n
2
Devemos então verificar se a fórmula vale para os dois primeiros termos:
a1 + a2 =
a1 + a2
2a1 + 2a2
=
2
2
2
P (2) é verdadeiro!
Agora vamos supor válida a fórmula para um valor genérico n de termos e verificar
se a fórmula se mantém no passo seguinte:
a1 + a2 + . . . + an + an+1 =
= Sn + an+1
a1 + an
n + an+1
=
2
a1 + an
n + an+1
=
2
a1 + an
=
n + an + r
2
a1 + an
n + 2an2+2r
=
2
na1 + nan + 2an + 2r
=
2
na1 + n(a1 + (n − 1)r) + 2(a1 + (n − 1)r) + 2r
=
2
=
=
=
=
=
=
=
=
(2n + 2)a1 + [n((n − 1)) + 2(n − 1) + 2]r
=
2
2(n + 1)a1 + [n(n − 1) + 2n]r
=
=
2
(n + 1)a1 + (n + 1)a1 + n(n + 1)r
=
=
2
(n + 1)(a1 + a1 + nr)
=
=
2
(n + 1)(a1 + an+1 )
=
=
2
= Sn+1
e confirmamos a fórmula Sn+1 como consequência da hipótese, logo mostramos que
P (n) ⇒ P (n + 1) é verdadeiro!
portanto P (n) é verdadeira para qualquer n.
Este encadeamento sucessivo existe em muitas relações. Se pudermos provar que ele
existe na relação P (n), teremos provado, usando induç~
ao finita, que esta relação P
vale para todo n ∈ N.
Exercı́cios 9 Indução finita
1. Prove, para a soma dos quadrados, que
1 + 4 + · · · n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
2. Prove que 1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2 .
n
P
3. Prove que
k 3 = (1 + 2 + · · · + n)2 .
k=1
4. Prove que
n−1
X
k4 =
k=0
6n5 − 15n4 + 10n3 − n
30
5. Prove que
n−1
X
k=0
k5 =
2n6 − 6n5 + 5n4 − n2
12
Ver algumas soluções no fim deste capı́tulo.
Vamos usar o método da Indução finita, para mostrar que, para todo n, a linha
de ordem n do tri^
angulo de Pascal3 descreve a distribuição, por elementos, dos
subconjuntos de A = {1, 2, · · · , n}.
Para prosseguir precisamos encontrar uma expressão formal para representar a
hipótese de indução. Vamos começar criando uma notação para os elementos da linha
n do tri^
angulo de Pascal. Como eles representam a quantidade de conjuntos com p,
( p a p ), tirados de um universo que tem n elementos, vamos chamar esta quantidade
Cnp .
3 Certas
denominações são injustas, há historiadores que encontraram o chamado triângulo
de Pascal entre documentos da Matemática chinesa milênios antes dos gregos.
Esta notação é tradicional e o C que aparece é a primeira letra da palavra combinaç~
ao,
mas você pode ler “conjunto” como fizemos até agora.
Nós estamos construindo as combinações via conjuntos.
• Na linha de ordem 3 Correspondente ao conjunto A = {1, 2, 3}, ou a qualquer
outro conjunto com 3 elementos, temos:
C30
1
C31
3
C32
3
C33
1
(2.1)
• Na linha de ordem 2 Correspondente ao conjunto A = {1, 2}, ou a qualquer
outro conjunto com 2 elementos, temos:
C20
1
C21
2
C22
1
(2.2)
• Na linha de ordem 1 Correspondente ao conjunto A = {1}, ou a qualquer outro
conjunto com 1 elemento, temos:
C10
1
C11
1
(2.3)
• Na linha de ordem 0 Correspondente ao conjunto A = {} temos:
C00
1
(2.4)
Algumas propriedades se podem imediatamente enunciar e que não precisarão de
ser demonstradas por indução. Usaremos deduç~
ao lógica para demonstrá-las.
Observação 8 Dedução lógica.
Deduç~
ao lógica é método de demonstração que consiste em aplicar as regras da
lógica formal a um conjunto de teoremas ou postulados para assim deduzir um novo
teorema.
Teorema 5 Na fórmula Cnp sempre p ≤ n.
Dem :
Porque não será possı́vel extrair de um conjunto com n elementos um subconjunto p a p
com p > n, pela própria natureza do conceito de “subconjunto”.
q.e.d .
Teorema 6 Cnn = 1, Cn0 = 1.
Dem :
n = 1 porque em um conjunto A com n elementos só há um subconjunto com n eleCn
0 = 1 porque o conjunto vazio é único.
mentos que é o próprio conjunto A. Cn
q.e.d .
Teorema 7 Cn1 = n.
Dem :
Porque no conjunto A = {1, · · · , n} existem n conjuntos 1 a 1.
q.e.d .
Teorema 8 Cnn−1 = n.
Dem :
Porque para construir um cojunto (n − 1) a (n − 1) temos que tirar um elemento de
A = {1, · · · , n} e isto pode ser feito de n maneiras diferentes, são as diferenças A − {i} para
cada i ∈ A.
q.e.d .
Estes teoremas reforçam a a simétria que podemos observar no tri^
angulo de
Pascal. Veja, no ı́ndice remissivo alfabético, onde se encontra o “triângulo”, no livro,
e verifique a simetria de que estamos falando: os números equidistantes dos extremos
são iguais. Portanto,
Teorema 9 Cnp = Cnn−p
Vamos analisar agora o número Cn2 dos conjuntos 2 a 2 que podemos encontrar
em A = {1, · · · , n}. Para isto poderiamos considerar os n conjuntos unitários e ver de
quantas maneiras poderiamos completá-los para obter os conjuntos 2 a 2.
Consideremos o conjunto {i} formado pelo elemento i ∈ A. Podemos acrescentar
todos os outros elementos, exceto o próprio i, logo com {i} poderemos fazer n − 1
novos conjuntos. Isto é, com cada um dos n conjuntos unitários podemos construir
outros n − 1 conjuntos, por exemplo
{i, 1}, {i, 2}, {i, 3}, · · · {i, n − 1}
no caso em que i = n.
Como há n elementos, parece que podemos construir
n(n − 1)
novos conjuntos a partir dos n conjuntos unitários e assim (erradamente)
Cn2 = n(n − 1).
Entretanto cada conjunto estaria aparecendo duas vezes, porque
• ao acrescentarmos j ao conjunto {i} teremos o conjunto {i, j}
• mas depois iremos acrescentar i ao conjunto {j} para obter o conjunto {j, i} =
{i, j}.
• Portanto
n(n − 1)
2
é o número de conjuntos 2 a 2 que podemos obter.
Teorema 10 Cn2 =
n(n−1)
2
= Cnn−2 .
O último raciocı́nio feito se aplica imediatamente aos números Cnp e Cnn−p que
ficam equidistantes das extremidades da linha de ordem n do tri^
angulo de Pascal.
A quantidade de subconjuntos p a p é mesma quantidade de subconjuntos (n −
p) a (n − p), porque, para obter um conjunto (n − p) a(n − p) temos que tirar de A
um subconjunto com p elementos e isto pode ser feito de Cnp maneiras diferentes:
Teorema 11 Cnp = Cnn−p .
Claro, apenas não sabemos ainda calcular Cnp .
Exercı́cios 10 Fórmulas arredondadas...
1. Verifique que
n(n − 1)
n!
n!
=
=
2
2(n − 2)!
2!(n − 2)!
2. Verifique que
n!
n!
n(n − 1)(n − 2)
=
=
6
6(n − 3)!
3!(n − 3)!
Observação 9 Fatorial.
O sı́mbolo
n!
representa os produtos de todos os números naturais positivos desde 1 até n.
n! = 1 · 2 · 3 · · · · · n,
leitura: n! “fatorial de n”.
Por convenção, e esta convenção é muito natural, como veremos logo em seguida,
se acrescenta
0! = 1,
o fatorial de 0 é 1.
Não duvide, aquilo que erroneamente se chama de “genialidade”, é, com grande
frequência, obra do acaso. Observe aqui um destes exemplos: 2 = 2! Esta casualidade
n!
nos permite escreve a fómula Cn2 = 2!(n−2)!
de maneira mais “elegante” mas na verdade
sugerindo a fórmula genérica que logo vamos obter.
Teorema 12 Cn2 =
n(n−1)
2!
=
n!
2!(n−2)!
= Cnn−2 .
Já poderiamos observar que
Cn0 =
n!
n!
n!
; Cn1 =
; Cn2 =
0!(n − 0)!
1!(n − 1)!
2!(n − 2)!
que nos deixa antever a fórmula geral
Teorema 13
Cnp =
n!
p!(n − p)!
Sabemos que Cnp = Cnn−p , mas não sabemos ainda calcular Cnp . É o que veremos
agora.
Queremos saber de quantas maneiras diferentes podemos tirar um conjunto p a p
de A = {1, · · · , n}. O método que vamos usar se assemelha ao que usamos para obter os
conjuntos 2 a 2, vimos de quantas maneiras podiamos completar um conjunto unitário
para obter conjuntos 2 a 2 e depois discutimos as repetições assim introduzidas.
Vamos supor que já saibamos quanto vale Cnp−1 , a quantidade de conjuntos p −
1 a p − 1.
Para obter um conjunto com p elementos a partir de um conjunto B com p − 1
elementos basta acrescentar ao conjunto B um elemento x; x ∈
/ B.
Isto pode ser feito de n − (p − 1) maneiras diferentes, porque:
• n é o número de elementos do universo;
• p − 1 é o número de elementos de B que não podem ser reutilizados;
• sobram n − (p − 1) que podemos acrescentar ao conjunto B para fazer um novo
conjunto p a p.
Em outras palavras, a partir de B podemos construir n−(p−1) conjuntos diferentes
cada um com p elementos.
Logo, em princı́pio, (e erradamente), teriamos
Cnp = (n − (p − 1))Cnp−1
novos conjuntos construidos a partir dos Cnp−1 anteriores.
Erradamente porque há repetições de conjuntos como observamos no cálculo de
2
Cn .
Depois que fizermos todos os conjuntos desta maneira, muitos estarão repetidos.
Para entender o número de repetições, vamos ver quantas vezes, um mesmo conjunto, pode ser construido desta forma. Suponhamos que o conjunto seja
B = {a1 , a2 , . . . , ap−1 }
′
B = {a1 , a2 , . . . , ap−1 } ← ap
e o elemento ap esteja sendo acrescentado ao conjunto B produzindo o conjunto B ′ .
O resultado seria o mesmo que se tivessemos o conjunto
B ′′ = {a1 , a2 , . . . , ap−2 , ap }
B ′ = {a1 , a2 , . . . , ap−2 , ap } ← ap−1
e tivessemos acrescentando ao conjunto B ′′ o elemento ap−1 obtendo o mesmo conjunto
B′.
Poderiamos repetir este processo para ap−2 , . . . , a1 , cada um ficando na posição
← ai no sistema de equações acima. Assim o conjunto
vai aparecer p vezes.
Vemos que
B ′ = {a1 , a2 , . . . , ap−1 , ap }
(n − (p − 1))Cnp−1
p
isto é, para cada conjunto (p − 1) a (p − 1) podemos fazer n − (p − 1) novos conjuntos,
mas cada um desses conjuntos aparecerá repetido p vezes portanto temos que
dividir (n − (p − 1))Cnp−1 por p
para eliminar as repetições.
Estes cálculos mostram que podemos obter Cnp do valor de Cnp−1 .
Vamos agora explicitar o valor de Cnp em termos de n, p, determinando uma fórmula.
Na sucessão de equações abaixo estamos fazendo isto, completando produtos no
numerador e no denominador. Para isto iremos sucessivamente substituir Cnp−1 por
Cnp−2 até chegar em Cn0 = 1 :
Cnp =
Cnp =
=
p−1
(n−(p−1))Cn
p
=
p−2
(n−(p−1))[(n−(p−2))Cn
]
p[p−1]
=
p−3
(n−(p−1))[(n−(p−2))(n−(p−3))Cn
]
p[(p−1)(p−2)]
=
=
···
p−p
(n−(p−1))[...(n−(p−p))Cn
]
p[(p−1)...1]
0
(n−(p−1))[(n−(p−2))...(n−0)Cn
]
p!
=
(n−(p−1))...(n−0)·1
p!
=
(n−(p−1))...n
p!
A cada passagem de linha, substituimos Cnk por Cnk−1 usando a fórmula obtida acima:
Cnk =
n − (k − 1)Cnk−1
k
e consequentemente aparece um fator maior no numerador e um menor no denominador
a cada nova substituição
Seguindo com este método chegamos
• ao produto p(p − 1) . . . 1 = p! no denominador, e
• ao produto (n − (p − 1)) . . . n no numerador.
Observe agora que o produto (n−(p−1)) . . . n pode ser completado para transformarse em n! se acrescentarmos os fatores
n(n − 1) · · · (n − p) ; p < n
e que uma fração não se altera se lhe acrescentarmos os mesmos fatores tanto no
numerador quanto no denominador.
Observe as transformações aritméticas:
Cnp =
=
(n−(p−1))...n
p!
=
[1...(n−(p+1))(n−p)](n−(p−1))...n
[1...(n−(p+1))(n−p)]p!
=
=
n!
(n−p)!p!
Surgiu, finalmente, uma expressão envolvendo n, p :
Cnp =
n!
p!(n − p)!
que vamos considerar verdadeira como hipótese de indução. Vamos calcular o valor de
Cnp+1 .
Preste atenção: não consideramos todo o trabalho feito acima uma demontração,
foram apenas experimentos para descobrimos uma hipótese, a hipótese de indução.
Como
Cnp
n − (p − 1)Cnp−1
=
p
então
Cnp+1 =
=
n−(p+1−1) p
Cn
p+1
(n−p) p
Cn
p+1
=
=
=
(n−p)
n!
(p+1) p!(n−p)!
=
=
(n−p) n!
(p+1) p! (n−p)!
=
n!
(p+1)!(n−(p+1))!
Conseguimos assim:
• confirmar a fórmula que haviamos achado para Cnp ;
• obtivemos a nova fórmula como consequência da anterior.
Estes são as etapas de uma demonstração por indução, logo concluimos que
Teorema 14 Fórmula do número de conjuntos p a p.
(∀ p) (Cnp =
n!
).
p!(n − p)!
Os números Cnp , que ainda se escrevem (n
p ), se chamam números combinatórios.
Como descrevemos cada linha do tri^
angulo de Pascal formada pelos números
p
Cn , e estes descrevem a quantidade de conjuntos p a p de um conjunto universo com
n elementos, então temos como subproduto o teorema:
Teorema 15 Número de elementos de P(A).
Se A for um conjunto com n elementos, então
n(P(A)) =
n
X
Cnp
k=0
Vamos ver que a soma expressa no teorema 15 é uma potência de dois.
Por razões histó ricas, porque a teoria dos conjuntos só deixou de ser uma brincadeira da mente de Cantor no inı́cio deste século, primeiro surgiu o problema de
determinação dos conjuntos p a p. E ainda assim não se usava esta linguagem, mas se
dizia “determinação das combinações de n elementos tomados p a p.”
Resta-nos aqui apenas escrever oficialmente uma definição:
Definição 7 Combinação p a p de n elementos.
Uma combinação “p a p” de “n” elementos é conjunto com p elementos dentre os
n elementos considerados.
Como uma combinaç~
ao é um conjunto, não há repetição de elementos. Tão pouco
tem sentido considerar como diferentes duas combinações em que apenas os elementos
se encontrem permutados, porque, como conjuntos, são iguais.
Exemplo 12 Combinações
1. Repetição proibida, ordem irrelevante Quantas saladas contendo exatamente 3
frutas podemos formar se dispusermos de 8 frutas diferentes?
Solução:
Uma salada é um “arranjo” da forma
{f1 , f2 , f3 }
em que fi é uma das oito frutas. Observe entretanto que as duas saladas
{f1 , f2 , f3 }, {f3 , f2 , f1 }
são iguais porque não interessa, na salada, se estou comendo “um pedaço de
banana mais um pedaço de laranja”, ou “um pedaço de laranja mais um pedaço
de banana”.
É o conjunto de frutas que estou comendo que interessa, então estamos procurando os subconjuntos com 3 elementos das oito frutas que tenho a minha
disposição:
8!
= 56
C83 =
(8 − 5)!3!
2. Produto de escolhas independentes Uma comissão, formada por 3 homes e 3 mulheres, deve escolhida de um grupo de 8 homes e 5 mulheres. Quantas comissões
podem ser formadas ?
Solução: Aqui temos um problema misto em que a escolha de homens e mulheres para a comissão é independente, quer dizer, a cada escolha do “arranjo”
de homens se “combina” com qualquer um dos “arranjos” de mulheres, para
formar uma nova comissão, portanto o número total de arranjos é o produto do
número dos possı́veis arranjos de homens vezes o número dos possı́veis arranjos
de mulheres.
A escolha dos homens ou das mulheres é feita de forma semelhante ao exemplo
anterior, não interessa a ordem, e sim o conjunto de indivı́duos escolhidos, e a
repetição é “proibida”. Assim o número total é o produto
C83 · C53 =
2.2.1
5!
8!
(8 − 5)!3! (5 − 3)!3!
Partições de um conjunto.
Uma outra forma de selecionar subconjuntos de um conjunto A consiste em fazer uma
partição de A
Uma partição de A é uma divisão deste conjunto em subconjuntos cuja união
recomponham A. Observe a definição escrita formalmente:
Definição 8 Partição de um conjunto.
Uma partição de um conjunto A é um sub-conjunto de P(A) formado de conjuntos
disjuntos e cuja união é A.
notação
Π(A) = {A1 , A2 , A3 , . . . , An } tal que
se i 6= j então Ai ∩ Aj = {} e
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ . . . ∪ An = A.
Particionar significa classificar os elementos de um conjunto porque
• Todos os elementos são utilizados; a união das partes reproduz o universo.
• Não há elemento que pertença simultaneamente a dois dos subconjuntos escolhidos.
Exemplo 13 Partição da cidade em bairros
Este exemplo na prática funciona mal porque sempre acontece de haver pessoas
que tem casas distintas em bairros diferentes...um homem casado com duas ou tres
mulheres ou vice-versa. Mas estes casos são isolados a ponto de não destruir o exemplo,
vamos ignorá-los.
Os bairros de uma cidade formam uma partição da mesma. São conjuntos disjuntos
cuja reunião recompõe a cidade.
Há outro problema que deixa este exemplo complicado, nem sempre sabemos exatamente onde começa um bairro e onde termina o outro. Limites difusos dizemos.
Há várias situações deste tipo que colocam a Matemática sob pressão...
Mas os estatı́sticos consideram os bairros uma partição legal da cidade para fazer
os seus levantamentos e quando eles não funcionam, absolutamente não é por causa
dos limites difusos, são outras razões muito menos difusas que atrapalham a veracidade
estatı́stica.
Voltaremos no capı́tulo 3 a discutir este assunto quando tratarmos de relações.
Aqui a maneira de ver é da combinatória. Mas vamos logo introduzir a palavra classe:
Definição 9 Classes de uma partição.
Dada uma partição Π(A) do conjunto A, os elementos de Π(A) se chamam classes
de A.
As partições de um conjunto podem ser classificadas e ordenadas. Vejamos alguns
exemplos para adquirir alguma intuição a respeito do assunto.
Exemplo 14 A partição mais fina e mais grossa de A.
Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Dentre todas as partições Π(A)
existe uma que é a mais fina:
Π1 (A) = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}}
que é formada de todos os subconjuntos unitários de A.
Oposta à partição mais fina está a mais grossa que é
Π2 (A) = {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}} = {A}
Observe que é verdade: toda classe de Π1 está contida em alguma classe de Π2 .
Observe agora a definição de “fino” e “grosso”, as duas definições se assemelham
aos nomes que os pedreiros dão as peneiras com que filtram a áreia para construção:
Definição 10 Partição mais fina.
Dadas duas partições Π1 (A), Π2 (A) dizemos que Π1 << Π2 , leia-se “<< = mais
fina que”, se toda classe de Π1 estiver contida em alguma classe de Π2 .
Quer dizer que os “buracos” de Π1 são menores.
A definição de “mais grossa” se obtem invertendo as desigualdades, escreva-a você
mesmo.
Podemos fazer operações com duas partições para obter uma terceira, (eventualmente idêntica a uma das existentes...).
Definição 11 Cruzamento de partições. Considere duas partições
Π1 (A), Π2 (A)
de A. O conjunto de todas as interseções de uma classe de Π1 (A) com uma classe de
Π2 (A) é uma nova partição de A chamada Π1 ∧ Π2 (A).
A palavra cruzar é muito usada nos meios de comunicação, com o mesmo sentido
usado acima. Quando se cruzam informações o que se está fazendo é calculando as
interseções das classes que cada um tipo de informação produz.
Exercı́cios 11 Partições
1. Verifique que Π1 ∧ Π2 (A) 6= Π1 (A) ∩ Π2 (A) em que à direita se encontra o
conjunto das partes comuns a Π1 (A) e Π2 (A).
2. Verifique que Π1 ∧ Π2 (A) << Π1 (A)
3. Verifique que Π1 ∧ Π2 (A) << Π2 (A)
4. ordem parcial Mostre, com um exemplo, que dadas duas partições de A elas
podem ser incomparáveis com a relação mais fino (ou mais grossa). Dizemos
que estas relações são uma ordem parcial no conjunto das partições.
5. difı́cil ? O conceito de partição pode ser usado em estaı́stica para caracterizar
uma classificação dos elementos de um certo universo. Explique isto e dê um
exemplo de duas partições que não sejam comparáveis (nenhuma das duas é
mais fina que a outra).
6. difı́cil ? Retome a questão anterior, qual o significado de Π1 ∧ Π2 (A) naquele
contexto.
O cruzamento de duas partições produz uma partição “mais fina” que as duas
iniciais. A relação “mais fina” é uma relação larga no sentido que
Π(A) << Π(A).
Toda partição é mais fina que do que ela própria. Se não fosse assim o cruzamento
das partições do exemplo 14 não funcionaria porque o resultado do cruzamento é a
própria partição Π1 .
Exemplo 15 Aplicação.
Uma aplicação de partição de um conjunto se encontra em pesquisas estatı́sticas,
por exemplo, pesquisa de opinião. As pesquisas de opinião são particularmente difı́ceis
porque envolvem a psicologia dos indivı́duos, (de quem pesquisa e de quem é pesquisado). Uma consequência disto é que as respostas tem que ser filtradas para limpar
as influências perturbadoras. Se quisermos fazer uma pesquisa envolvendo assuntos
“quentes” como fumo, por exemplo, onde vamos encontrar “fumantes” e “não fumantes” apaixonados, é preciso criar duas ou mais partições para serem posteriormente
cruzadas afim de diminuir os efeitos subjetivos. A palavra chave aqui é cruzamento de
informações.
Quando isto é feito na “prática” não aparecem subconjuntos escritos entre chaves...mas sim perguntas que classificam as pessoas inquiridas sob dintintos aspectos.
Vejamos o caso do “fumo”. Montam-se questionários contendo perguntas de assuntos
diferentes do que basicamente interessa:
• Você gosta de fumar “depois”, em alguns momentos especiais?
• Apesar de ser fumante, o fumo de outras pessoas o aborrece?
• Você prefere fumar ao ar livre ou em ambientes fechados?
• Estabeleça ligações entre fumar e outras atividades, marcando com “x” no espaço
adequado:
– ( ) estudar.
– ( ) dirigir.
– ( ) conversar.
– ( ) discutir.
– ( ) jogar xadrez.
–
..
.
– ( ) ter relações sexuais.
Este questionário feito por um “não fumante apaixonado” e teria que ser criticado, (particionado), com auxı́lio de um “fumante apaixonado” para se tornar efetivo.
Mesmo tendo sido feito por alguém marcado por uma tendência, observe que o questionário classifica as pessoas inquiridas entre:
1. jogadores de xadrez e
2. não jogadores de xadrez;
3. guiadores de veı́culos e
4. não motoristas;
5. estudantes;
6. polı́ticos;
7. fumantes que gostem de fumar ao livre, em baixo de árvores, no jardim, ou
8. aqueles que adoram aquele ambiente cheio de fumaça de um bar a portas fechadas, (observe o matiz apaixonado da frase...).
Como você vê, na prática não aparecem explicitamente os subconjuntos de A até
mesmo porque o conjunto A é “difuso”, é o conjunto das pessoas a quem vai ser
aplicado o questionário que muitas vezes fica sigiloso.
Observação 10 Teoria e prática.
Sirva este exemplo para reforçar outra observação: o fosso que existe entre a teoria
e a prática. Não existe uma ligação imediata e óbvia entre estas duas atividades
intelectuais, prática e teoria. É preciso entender bem os conceitos e depois criar a
ponte para construir o modelo prático.
As partições voltarão a ser discutidas com mais detalhes no capı́tulo 3, também
com outro enfoque.
Exercı́cio 2 Conjunto das partes e números combinatórios.
1. Considere as partições seguintes de A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:
Π1 (A) = {{1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8, 9}} ;
Π2 (A) = {{1, 2, 3}, {4, 5}, {6}, {7, 8, 9}}
Calcule o cruzamento destas partições. Verifique que a substituição de “interseção por “união” na definição de cruzamento de partições não produz uma
partição.
2. Qual é partição mais fina: (1) da população particionada por estados; (2) da
população particionada por municı́pios. O cruzamento destas partições produz
uma partição nova?
3. Você tem nove objetos, oito dos quais tem exatamente o mesmo peso e um mais
pesado do que os demais. Determine o número mı́nimo de pesagens, com uma
balança de dois pratos que possam determinar qual é o mais pesado.
4. Você tem treze objetos, doze dos quais tem exatamente o mesmo peso e um mais
pesado do que os demais. Determine o número mı́nimo de pesagens, com uma
balança de dois pratos que possam determinar qual é o mais pesado.
5. Um partido tem 35 membros aprovados na convenção para se candidatarem às
eleições e resolve fazer uma simulação para analisar as chances melhores de
vitória nas urnas. Quantas chapas pode o partido criar com os 35 candidatos, se
quiser apresentar tres candidatos a cada cargo parlamentar: vereador, deputado
estadual, deputado federal e senador, um titular e um vice aos cargos de prefeito,
governador e presidente.
6. Quantas diagonais tem um polı́gono de 5 lados.
7. Analise, para estabelecer uma fórmula, o número de diagonais de um polı́gono
com 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 lados. Você poderia estabelecer o número de diagonais de
um polı́gono com n lados?
8.
(a) A câmara de Vereadores de uma cidade tem 13 membros e quer distribuı́los em comissões de 4 vereadores para estudar os diversos projetos que a
câmara recebe para consideração. Quantas comissões poderão ser formadas, se o presidente fica excluido de todas as comissões e nenhum vereador
pode participar de mais de uma comissão?
(b) Considere que o Prefeito da cidade envia a câmara de vereado-res, em mé
dia, 1 projeto por dia e que além disto os próprios vereadores apresentam
4 projetos por semana. Os vereadores se reunem apenas terças, quartas e
quintas, mas o executivo funciona cinco dias por semana. Calcule quantos dias pode ficar um projeto, para receber parecer em uma comissão, no
máximo, para que a câmara esgote a pauta semanalmente.
9. partição de um conjunto
(a) Constrúa duas partições de A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} cujos membros não
possum mais de 3 elementos.
(b) Constrúa duas partições de A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} cujos membros não
possum menos de 3 elementos.
10. A câmara de Vereadores de uma cidade tem 11 membros e quer distribuı́-los em
comissões de até 3 vereadores para estudar os diversos projetos que a câmara
recebe para consideração. Quantas comissões poderão ser formadas, se a mesa
diretora decidiu que nenhum vereador pode participar de mais de uma comissão
nem pode haver comissões com um único vereador? Tem mais de uma solução
o problema?
2.3
O binômio de Newton.
Existe uma fórmula interessante para obter potências de expressões algébricas, chamada de bin^
omio de Newton. Vamos chegar até esta fórmula a partir de um exemplo
bem particular.
A construção que faremos ligará diretamente esta fórmula ao tri^
angulo de Pascal.
Calcule as potências sucessivas de 11 e compare com as linhas do tri^
angulo de
Pascal.
• 110 = 1.
• 111 = 1 1.
• 112 = 1 2 1.
• 113 = 1 3 3 1.
• 114 = 1 4 6 4 1.
• 115 = 1 5 10 10 5 1.
A conclusão é que os números que aparecem na linha de ordem n do triângulo de
Pascal, concatenados, produzem a n − esima potência de 11.
Isto vale mesmo para a última linha acima se fizermos uma adequada interpretação.
Nela aparece 10 que não é um algarismo, logo temos que lhe aplicar a regra de “passar
para a próxima casa”.
Deixamos o zero e levamos o 1 para a aproxima casa:
115 = 1 5 11 0 5 1
Agora temos o “algarismo” 11 ao qual novamente temos que aplicar a mesma regra
para obtermos finalmente:
1 6 1 0 5 1 → 161051 = 115
Não se trata de nenhuma casualidade, apenas escolhemos o exemplo certo: 11 =
10 + 1. Se calcularmos as potências de (x + 1) vamos ver uma repetição do que se
passou acima.
• (x + 1)0 = 1.
• (x + 1)1 = x + 1.
• (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.
• (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1.
• (x + 1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1.
• (x + 1)4 = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4 .
• (x + 1)4 = C40 + C41 x + C42 x2 + C43 x3 + C44 x4 .
Como o tri^
angulo de Pascal é simétrico a partir das extremidades, podemos
escrever todas as linhas revertidas como fizemos com linha de ordem 4. A linha de
ordem 4 nos oferece uma hipótese de indução que vamos redigir assim:
Hipótese 1 do binômio.
n
X
Cnk xk
(x + 1)n =
k=0
Usando a hipótese de indução no cálculo de (x + 1)n+1 :
(x + 1)n+1 = (x + 1)n (x + 1) = x(x + 1)n + (x + 1)n =
n
n
P
P
=x
Cnk xk +
Cnk xk =
k=0
n
P
Cnk xk+1 +
k=0
n
P
Cnk xk +
=
k=0
= Cn0 +
n
P
(2.6)
k=0
n
P
Cnk xk =
(2.7)
Cnk xk+1 =
(2.8)
k=0
n
P
k=0
Cnk xk +
k=1
0
Cn+1
+
(2.5)
n−1
P
Cnk xk+1 + Cnn xn+1 =
(2.9)
k=0
n−1
P
n+1 n+1
[Cnk+1 + Cnk ]xk+1 + Cn+1
x
(2.10)
k=0
(2.11)
Podemos agora “sincronizar” os ı́ndices das somas na penúltima equação quebrando o
somatório em dois:
Cn0
+
n
X
Cnk xk
+
n
X
Cnk−1 xk + Cnn xn+1
k=1
k=1
fazendo com que a última equação agora fique assim:
0
Cn+1
+
n
X
n+1 n+1
[Cnk + Cnk−1 ]xk + Cn+1
x
k=1
Nesta última equação usamos os teoremas que garantem que valores extremos de
qualquer linha do tri^
angulo de Pascal valem sempre 1 e subsituimos assim Cn0 por
n+1
0
n
Cn+1 e Cn por Cn+1 .
Calculando
[Cnk + Cnk−1 ] =
n!
(n − k + 1)n! + kn!
n!
+
=
=
k!(n − k)!
(k − 1)!(n − k + 1)!
k!(n − k + 1)!
=
Assim temos
(x + 1)
n+1
(n + 1)!
(n + 1)!
k
=
= Cn+1
k!(n − k + 1)!
k!(n + 1 − k)!
=
0
Cn+1
+
n
X
k=1
k
Cn+1
xk
+
n+1 n+1
Cn+1
x
=
n+1
X
k
Cn+1
xk
k=0
que confirma a hipótese de indução para n + 1. Mostramos assim que:
Teorema 16 do binômio de Newton-caso particular.
Para todo n ∈ N
n
X
n
Cnk xk
(x + 1) =
k=0
Observe uma outra demonstração, menos formal:
Dem :
Suponha que (hipótese de induç ao) que (x + 1)k tenha os coeficientes
Ck0 , Ck1 . . . , Ckk−1 , Ckk
Quando multiplicarmos (x + 1)k (x + 1), pela propriedade distributiva, temos
(x + 1)k x
(x +
1)k 1
= (x +
(2.12)
1)k
(2.13)
Na primeira linha teremos uma expressão parecida com (x + 1)k porém com todas as
potências aumentadas de uma unidade. Na outra linha teremos exatamente (x + 1)k . Para
somar o que deveremos fazer é
• colocar os coeficientes em duas linhas
• deslocar para a direita os coeficientes de (x + 1)k x
• somar coluna por coluna
Portanto iremos somar Ckp + Ckp+1 que é a relação que gera os elementos da linha seguinte
do Triângulo de Pascal portanto os coeficientes de (x + 1)k+1 serão
k+1
0
1
k
Ck+1
, Ck+1
. . . , Ck+1
, Ck+1
q.e.d .
Para deduzir desta forma particular a expressão geral do teorema,
(a + b)n ,
podemos fazer as seguintes transformações algébricas:
a
a
+ 1)]n = bn ( + 1)n
b
b
= x. Podemos agora aplicar o que obtivemos anteriormente:
(a + b)n = [b(
e agora identificar
a
b
(a + b)n = bn (
n
P
k=0
bn
n
P
k=0
n
P
k=0
n
P
Cnk ( ab )k ) =
k
Cnk abk =
k n
(2.15)
Cnk a bkb =
(2.16)
Cnk ak bn−k
(2.17)
k=0
Teorema 17 do binômio de Newton.
n
(2.14)
(a + b) =
n
X
k=0
Cnk ak bn−k .
Exemplo 16 Número de elementos de um conjuntos
Vamos aplicar a fórmula do binômio num caso particular:
(1 + 1)n =
n
P
Cnk ak bn−k
(2.18)
k=0
a=1 ; b=1
n
P
(1 + 1)n = 2n =
Cnk
(2.19)
(2.20)
k=0
(2.21)
é a soma dos números combinatórios ou ainda a soma da linha de ordem n do triângulo
de Pascal. Vamos salientar estas duas conclusões:
• A soma dos elementos da linha de ordem n do triângulo de Pascal é
n
X
Cnk = 2n
k=0
• O número de subconjuntos de um conjunto
A = {1, 2, . . . , n}
com n elementos, é 2n .
Exercı́cios 12 Operações com expressões algébricas
1. Calcule (a + b)(c + d) justificando todas as passagens.
2. Calcule o valor de x nas equações seguintes justificando todas as passagens:
a) x2 − 2 = 15
d) 3x − 4 = x − 3
b) 3x + 4 = 1
e)2x − 7 = 5 − x
c) x+3
2 = 7
f )x + 4 = 2x=1
3
3. Calcule
a)(1 + x)(1 + x)
d)(x + y)(x + y)e)(1 + x)(1 + x)
b)(x + y)(1 + x)
f )(1 + x)(1 − x)
c)(x + y)(x − y)
4. Calcule
(a) (a + b)2 ; (1 + x)2
(b) (a − b)2 ; (1 − x)2
(c) (a + b)3 ; (1 − x)3
(d) (1 + 0.1)3 ; (3.1)3
(e) (5.3)4 ; (12.11)4
5. Se a inflação for 1% ao mez, como insinua o governo, quanto haverá de inflação
acumulada ao final de 12 mezes.
6. Calcule, usando binômio de Newton, a soma dos n primeiros números naturais.
Observação 11 Cálculo de juros sem calculadora
Você não precisa mais de uma calculadora para fazer cálculo de juros compostos.
Se tiver tomado emprestado um capital C a uma taxa de juros j isto significa que
mez a mez você deve pagar j por cento ao sacado o que dá:
C + jC = C(1 + j)
ao fim do primeiro mez e sucessivamente:
C + jC = C(1 + j) ; C(1 + j)2 ; . . . ; C(1 + j)n−1
Use a linha de ordem n−1 do triângulo para calcular (1+j)n−1 e depois multiplique
por C, para descobrir sua dı́vida após n mezes. Por exemplo, o Brasil “devia” cerca
de 300 bilhões de dólares no inı́cio do ano 2000. Para calcular a taxa de reajuste da
dı́vida (o chamado “serviço”), temos que usar a linha de ordem 11 do triangulo de
Pascal,
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
p
corespondentes às potência 11 em (a + b)11 .
que são os números combinatórios C11
Tabulados acima você vê na primeira linha os números combinatórios Cnp , os elementos
da linha de ordem 11 do triângulo de Pascal, e na segunda linha as correspondentes
potências de a em (a + b)11 .
Mesmo que a taxa de juros internacionais fosse “uns suaves” 1%, ao fim de um
ano a dı́vida seria reajustada com a taxa
(1.01)11 = 1 + 11 ∗ j 1 + 55 ∗ j 2 + 165 ∗ j 3 + 330 ∗ j 4 + 462 ∗ j 5 +
(2.22)
+462 ∗ j 6 + 330 ∗ j 7 + 165 ∗ j 8 + 55 ∗ j 9 + 11 ∗ j 10 + 1 ∗ j 11 =
(2.23)
= 1 + 0.11 + 0.0055 + 0.000165 + 0.000003300000000 + 0.0000000462 +
(2.24)
0.000000000462 + 0.0000000000033 + 0.0000000000000165 +
(2.25)
0.000000000000000055 + 0.00000000000000000011 + 0.0000000000000000000001 =
(2.26)
1.11567296653165551001
≈(2.27)
1.116
Portanto a dı́vida, submetida a juros “suaves” de 1%a.m. sofreria um reajuste
de 1.11566834666531656511 ao final de um ano, quer dizer, passaria de 300 bi para
300bi ∗ 1.11566834666531656511 = 334.70050399959496653303bi. isto é sofrendo um
”leve”reajuste de 34.70050399959496653303 bi em um ano, ou melhor de 34.700.503.999, 59
dólares.
Só para efeito de comparação, o orçamento do Ministério da Educação fica por
volta de 10 bi de reais, logo o reajuste da dı́vida equivale a 9 anos e meio do orçamento
brasileiro para Educação.
Infelizmente os juros dos agiotas internacionais não é tão suave... Voce pode procurar nos jornais o valor exato dos juros que nos cobram e corrigir os cálculos acima e
deduzir quanto tempo ficaremos com a Educação, a Saúde prejudicadas para satisfazer
a ganância dos que já são muito ricos.
2.4
2.4.1
Arranjos simples e com repetição..
Arranjos com repetição.
Um exemplo de arranjo com repetição é o “agregado” de três letras que se usa nas
placas dos carros: “IIL 4331”. Outro exemplo é o “agregado” de quatro algarismos que
completa a placa. São dois exemplos diferentes e tem que ser tratados separadamente.
A definição de “arranjo” é:
Definição 12 Arranjos dos elementos de A.
Seja A um conjunto com n elementos. O produto cartesiano A x · · · x A de
p cópias do conjunto A é o conjunto dos arranjos com repetição p a p dos elementos
de A.
Na maioria dos textos sobre análise combinatória o conjunto dos arranjos é despresado se passando direto à quantidade dos arranjos com n elementos dados. Preferimos
começar apresentando o conjunto dos arranjos, depois vamos calcular quantos eles são.
Exemplo 17 Arranjos 4 a 4 dos algarismos.
É este o arranjo que se encontra presente nas placas dos carros, a parte “numérica”.
Pela definição estamos nos referindo ao conjunto
A x A x A x A = A4 = {(x, y, z, w) ; x, y, z, w ∈ {0, 1, · · · , 9}}
Habitualmente não se escrevem “vı́rgulas” se nenhum tipo de confusão se pode
estabelecer. Nas placas de carro aparecem “coisas” como 1334 que corresponde na
notação da definição a (1,3,3,4).
Vamos a quantidade dos arranjos com repetição Ap em que o conjunto A tem n
elementos. Queremos saber quantos objetos do tipo (x1 , · · · , xp ) podemos construir.
Um instrumento muito útil na construção de arranjos são as árvores de possibilidades,
veja a (fig. 2.1) na página 55. Uma árvore de possibilidades consiste dum gráfico
formado de feixe de segmentos de reta saindo de um ponto dado, (uma das possibilidades) ligando-o a diversos outros pontos, (as outras possibilidades). Na figura (fig.
2.1) você pode ver exemplificada a construção dos arranjos 121,122,120
Como estamos construindo arranjos com repetições, para cada coordenada que se
oferece em 10 possibilidades, existem outras 10 possibilidades de escolha das outras
coordenadas. O resultado é que podemos construir 10 x 10 x · · · x 10 = 10p .
Quer dizer que no caso das placas de carro, em que p = 4 podemos ter 104 = 10.000
possilidades diferentes na parte “numérica” da placa, para cada escolha feita na parte
“literal”.
E quantas possibilidades existem na parte literal?
Aqui temos novamente um arranjo com repetição das 25 letras do alfabeto, logo
temos 25 x 25 x 25 = 253 = 15625 Quer dizer que o número total de placas diferentes que podemos ter para carros no Brasil é: 15625 x 10000 = 156.250.000 que neste
momento é do tamanho da própria população brasileira, e como, ox alá, nunca chegaremos a que cada indivı́duo venha a sair de casa no seu próprio carro, este número de
placas chega para identificar todos os carros rodando nas estradas e cidades do paı́s.
Teorema 18 do número de arranjos.
O número de arranjos com repetição de n elementos tomados p a p é
Apn = np .
1
"
"
1 121
!
!
!!
!!
!
"
!! (((((
!
"
(
!
"
(((
!
(
(
"
(
!
`
"
H
ZHH
"
`
Z H
"
`
"
H
Z
`
H
" Z
H
"
`
H
Z
"
H
`
Z
"
H
"
H
Z
XX
H
H XXX
Z
H
X
Z
X
H
XX
H
Z
XX
H
XX
Z
H
XX
H
Z
X
X
HH
H
H
H
H
H
H
HH
"
"
2
1
2
9
9
122
129
0 120
0
Figura 2.1:
Árvore de possibilidades.
Exercı́cios 13
1. Um produtor de TV deseja fazer um show composto de clips de
teatro, música e jornalismo. A duração do show é de 2 horas. Mostre as combinações possı́veis de composição do show com cada seção durando 15 minutos
admitindo-se que no máximo duas seções durem meia hora.
2. Componha o horário de uma turma vespertina que tem 4 disciplinas A,B,C,D
de modo que todas as disciplinas tenham uma carga igual de 4 horas semanais,
exceto a disciplina D que tem 5 horas semanais, com a restrição de que no
máximo duas horas seguidas sejam admitidas por dia de aula.
2.4.2
Arranjos simples.
Os arranjos simples diferem dos anteriores pela proibição de que seus elementos se
repitam.
Usamos arranjos simiples sempre que os objetos tiverem individualidade e não
puderem aparecer mais de uma vez em conjunto.
Exemplo 18 uso de arranjos simples.
1. Ao inciarmos o capı́tulo usamos como exemplo de combinações uma chapa eleitoral com tres membros. Combinações são conjuntos e os dois conjuntos
{a, e, i}, {a, i, e}
são iguais. Mas os dois arranjos representados acima são diferentes. Podemos
resolver melhor a questão que exemplificamos anteriormente, no caso de chapa
eleitoral, com arranjos, porque as duas chapas “aei” e “aie” são diferentes se
considerarmos que a ordem dos elementos na chapa indica o cargo de cada elemento: presidente, vice-presidente, tesoureiro.
Todos os arranjos dos tres elementos {a, e, i} correponderiam a todas as possibilidades de chapas e seriam uma proposta melhor na convenção do partido
onde é bem conhecida a propriedade ser ladrão do elemento “i”, mas que, notoriamente ativo e dinâmico, poderia ser aceito para a primeira posição, de
presidente, conquanto que o elemento “a”, notariamente austero ficando com a
tesouraria garantiria, aos olhos da comunidade do partido, uma melhor saı́da.
Se considerados conjuntos, em que a comunidade partidaria não pudesse decidir
que cargo ficaria em que mãos, dificultaria a ética partidaria de agir, uma vez
que {a, e, i} = {i, e, a}.
2. Suponha que cinco pessoas devam assumir a organização de um escritório, mas
que se revesem para que o serviço fique aberto 24 horas. Duas pessoas é o
suficiente para executar as funções do escritório, e para que a atividade fique
mais agradável elas se revezam nos dois tipos de ofı́cios: atendimento interno
e atendimento externo. Vamos chamar estas pessoas de a, e, i, o, u. A tabela de
escalas seria então:
ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, . . . , ua, ue, ui, uo
Observe que a pessoa a irá trabalhar externamente 4 escalas e 4 escalas no
serviço interno, ficando de folga nas escalas restantes. Quantas são todas as
escalas?
O método de cálculo agora vai considerar um possibilidade a menos para cada
escolha inicial feita: 5 x 4 Podemos escolher 5 pessoas diferentes para colocar
no atendimento externo, e para cada uma dessas escolhas podemos escolher 4
pessoas para o atendimento interno. Isto quer dizer que a trabalha em oito
escalas e folga 12 escalas.
3. Podiamos alterar o exemplo anterior considerando um serviço mais complexo
que possuisse 4 classes diferentes de tarefas e portanto que fosse necessário ter
4 pessoas presentes em cada escala. Alguns exemplos de escala seriam
aeio, eioa, ioae, oaei, ueio, eiou, ioue, ouei
em que a trabalha em 4 escalas em ofı́cios diferentes.
Mas quantas seriam todas as escalas: Para a primeira posição temos 5 escolhas
diferentes disponı́veis, mas para a segunda já só teremos 4, para a terceira 3,
para a quarta 2. Portanto o número de escalas será:
A45 = 5 x 4 x 3 x 2 = 120.
Se precisassemos das 5 pessoas presentes, mudariam as escalas, mas não a quantidade delas:
A55 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 = 5!
Seria possı́vel ter 6 pessoas presentes ao serviço? a resposta é não, porque pessoas não podem aparecer repetidas, quer dizer que chegamos no exemplo de cinco
pessoas presentes ao limite de cálculo. No caso das placas de carros podemos
trocar a quantidade de algarismos presentes de 4 para 6 ou 10 ou 20, porque eles
podem ser repetidos.
Com estas observações estamos preparados para obter a fórmula para o cálculo da
quantidade dos arranjos.
Primeiro uma notação: Apn para representar a quantidade de arranjos sem repetição
de n elementos tomados p a p.
Como as possibilidades vão diminuindo à medida que aumentamos o número de
coordenadas presentes, vemos que este número tem como primeiro fator n pois a
escolha da primeira coordenada é feita com liberdade completa, sem restrições. Mas
para escolher a segunda coordenada, temos a restrição de que primeira já não poderá
ser selecionada, logo temos apenas n − 1 possibilidades de escolha. Assim por diante
vão diminuindo as possibilidades de um em um:
Teorema 19 do número de arranjos simples de n, p a p.
n!
Apn = n(n − 1) · · · (n − p + 1) =
|
{z
} (n − p)!
p fatores
Os arranjos simples ou com repetição são muito usados: número de telefone, placa
de carro, a grande maioria dos códigos, por exemplo o CPF, CNPJ.
Os problemas envolvendo o cálculo da quantidade de arranjos pode ficar mais
complicado pelo envolvimento de restrições diversas. O exemplo da placa de carros é
tı́pico, se tratam de dois tipos de arranjos combinados em paralelo, quer dizer que um
não restringe a quantidade de elementos do outro e a quantidade de arranjos resultante
é o produto das quantidades de um e do outro, como vimos. Estas considerações nos
levam a enunciar um princı́pio de contagem que nada tem de extraordinário mas
guarda a idéia intuitiva que com frequência temos que ter para resolver problema de
contagem. Vamos enunciá-lo sob a forma de teorema, sem demonstrá-lo:
Teorema 20 Princı́pio de contagem. Se tivermos 1, 2, . . . , p situações independentes
e cada uma dessas situações puder se realizar de s1 , s2 . . . , sp modos diferentes, o
número de modos diferentes de realizar todas estas situações será o produto dos p
fatores s1 x s2 x . . . x sp .
A observação sobre independ^
encia das situações é crucial.
Exemplo 19 Arranjos e Princı́pio da contagem
1. Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} Solução: Note que escolhendo 4 dos 6 algarismos, por exemplo, 1234 é diferente de escolher 1342. Trata-se de um problema
de arranjos, em que a ordem dos elementos importa. Assim pelo teorema 19,
temos:
6!
6!
6 · 5 · 45 · 35 · 25 · 1
A46 =
=
=
= 360
(6 − 4)!
2!
25 · 1
2. Doze estudantes, 4 cearenses, 4 pernambucanos 4 baianos, disputam uma olimpiada de Matemática. Serão premiados, conforme o regulamento das olimpiadas
os cinco primeiros colocados. Qual é o número de maneiras de fazer a premiação
sendo o único cearense classificado o primeiro lugar ? Solução: Temos 4 possibilidades de escolher o primeiro colocado. Restam, portanto, 8 competidores
para concorrer aos demais colocações. Já que não há outro cearense classificado,
temos:
8!
= 6720
4A48 = 4 ·
(8 − 4)!
3. Princı́pio da contagem
Doze estudantes, 4 cearenses, 4 pernambucanos 4 baianos, disputam uma olimpiada de Matemática. Serão premiados, conforme o regulamento das olimpiadas os
cinco primeiros colocados. Qual é o número de maneiras de fazer a premiação.
Solução:
Tudo que temos que fazer é selecionar cinco vencedores dentre os 12 competido= 95040
res: A512 = 12!
7!
4. Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras.
Solução:
Pelo teorema do Princı́pio da Contagem, 20, temos
26 · 25 · 24 = 15600
5. Quantos são os gabaritos possı́veis de um teste de 10 questões de múltiplaescolha, com cinco alternativas por questão sem nenhuma escolha qualificada
das alternativas ?
Solução:
Um gabarito é um arranjo com repetição das alternativas
a,b,c,d,e
quer dizer que um gabarito pode ser
aa aaaaa aaa
Então, pelo teorema do Princı́pio da Contagem, 20,
calA10
5
2.4.3
Permutações.
Um tipo particular de arranjo é aquele em que todos os objetos do grupo são utilizados
ao mesmo tempo, veja o exemplo 3 página 56, em usamos as 5 pessoas disponı́veis ao
mesmo tempo.
Quando isto acontece a fórmula An
n = n! se reduz ao fatorial do número de elementos do conjunto de onde se vão tirar os arranjos. Este caso particular recebe o nome
de permutaç~
ao. Uma notação particular é também usada para este tipo de arranjo:
notação: An
n = Pn = n!
Se formos usar a fórmula dos arranjos 19 neste caso, seremos levados a escrever:
An
n = Pn =
n!
0!
e aı́ vemos que a convenção de que já falamos anteriormente é importante: 0! = 1.
Exercı́cio 3 Arranjos, permutações, combinações
1. Um CPF inteligente. Em um determinado paı́ s, os seis primeiros “dı́gitos” do
CPF dos habitantes se compõe da data de nascimento no formato ano-mes-dia, e
mais 4 dı́gitos escolhidos por ordem de nascimento do cidadão que está entrando
no sistema. Quantas pessoas se estima nascer por dia naquele pais?
2. No sistema telefônico de uma cidade, existem 10 centrais numeradas de 00 a 09
e há uma previsão de 10.000 linhas telefônicas a serem atendidas por cada uma
destas centrais. Qual é o formato mı́nimo, (com menor número de dı́gitos) dos
números de telefone da cidade.
3. O sistema de cadastro de produtos industriais classificou os produtos produzidos
ou comercializados no paı́s em 87 classes distintas reservando para cada classe
uma sub-classificação que comporte 1000 produtos. Qual é o formato mı́nimo
que o código dos produtos industriais deve ter, deixando inclusive uma margem
para expansão da classe de produtos.
4. Um grande “shopping” tem nas várias entradas uma caixa de sugestões e os
consumidores são convidados a nela informarem dados sobre os produtos que
esperam encontrar ou que compram com frquência nas diversas lojas. Os consumidores também são convidados a indicar seu nı́vel de renda e local de residência.
Com base nestes dados os técnicos do “shopping” periodicamente fazem análises
do comportamento de compras dos fregueses classificando-os segundo:
• bairros onde residem;
• itens frequentes nas listas de compra;
• marcas preferidas para determinados itens;
• faixas de preços dos itens mais procurados;
Desta forma se obtém as seguintes partições do conjunto dos consumidores identificados de alguma forma:
• B = {B1 , . . . , Bn }
• I = {I1 , . . . , Im }
• M = {M1 , . . . , Mp }
• P = {P1 , . . . , Pq }
Que informação se pode tirar do cruzamento das partições
(a) B e I ?
(b) B e P ?
(c) P e M ?
(d) P e I ?
5. segurança no trânsito
(a) A guarda de tránsito, em seu afã de cuidadosamente pesquisar o comportamento do motorista no trânsito para descobirir as falhas do sistema, definiu
6 locais l1 , . . . , l6 em que deveria fazer “batidas de trânsito”. Mas a guarda
tem apenas 3 equipes devidamente preparadas para fazer tais inspeções simultaneamente. Quantos dias levará guarda de trânsito para cobrir todos
os pontos da cidade fazendo 4 fiscalizações por dia?
(b) O coronel comandante da guarda de trânsito, para evitar que os motoristas descubram um forma de saber onde vai haver fiscalização nas imediações por onde passam, tem o cuidado de alterar o quadro de “batidas
de trânsito” construido na questão anterior. De quantas maneiras pode
fazê-lo?
6. Temos 10 pessoas e uma mesa rigorosamente circular com 10 cadeiras. De
quantas formas diferentes podem as 10 pessoas sentar-se a mesa?
7. Um vendedor vai telefonar para 9 fregueses, mas chama 5 no primeiro dia e 4
no segundo dia. De quantas maneiras pode fazê-lo?
8. Um vendedor tem quatro produtos de uma empresa e 5 de outra empresa que ele
deve apresentar aos clientes de uma cidade. De quantas formas ele pode arranjar
suas apresentações. Como fica este número se os produtos de uma empresa não
devem ser apresentados junto com os da outra?
9. Tendo que se acomodar as pessoas A, B, C, D, E, F em torno de uma mesa circular, de quantas maneiras isto pode ser feito se
• sempre C, D devem sentar juntos.
• nunca C, D devem sentar juntos.
• há três casais que sempre vão querer estar lado a lado.
10. As pessoas se classificam, quanto a tipo sanguı́neo como Rh+ , Rh− , conforme
haja presença ou ausência do Rh e A, B, AB, dependendo da presença destes
antı́genos no sangue, no caso do O, ausência destes. Faça um diagrama de Venn
ilustrando todas estas possibilidades.
2.5
Número de elementos da união de conjuntos.
Nas seções anteriores nos dedicamos a calcular o número de elementos de
conjuntos, mas não claramento com este objetivo.
Começaremos com uma fórmula para calcular o número de elementos de
A ∪ B ∪ C.
Entre os problemas de contagem um dos mais interessantes consiste de determinar
quantos elementos existem em um determinado universo, consideradas restrições sobre
os elementos.
As restrições podem ser interpretadas como as interseções entre estes conjuntos.
Por exemplo
Exemplo 20 Fumantes e jogadores de baralho.
Nem todo jogador de baralho é fumante, mas há os que são, e uma sala de jogos
de um bar tem que levar isto em consideração para evitar atritos. Claro, tem gente
que fuma e não joga baralho.
Vamos designar por F e B os dois conjuntos. Então temos tres grupos de pessoas
a quem o dono do bar deve servir:
F − B ; B − F ; F ∩ B.
Se ele quiser num determinado momento contar o número de pessoas que se encontram no bar, basta contar o número de elementos de cada um dos conjuntos acima,
porque eles são disjuntos:
n(F ∪ B) = n(F − B) + n(B − F ) + n(F ∩ B)
(2.28)
como F − B e F ∩ B são disjuntos e além do mais (F − B) ∪ (F ∩ B) = F então
n(F − B) + n(F ∩ B) = n(F ) e assim:
n(F ∪ B) = n(F ) + n(B − F )
(2.29)
Mas n(B − F ) = n(B) − n(F ∩ B) e aı́ a fórmula acima fica:
Teorema 21 do número de elementos da união.
n(F ∪ B) = n(F ) + n(B) − n(F ∩ B)
porque n(F ∩ B) entra duas vezes na contagem quando somarmos n(F ) + n(B).
Na figura ?? temos a representação de tres conjuntos A, B, C que se interceptam
dois a dois e cuja interceção total é também não vazia. Um raciocı́nio semelhante
ao que fizemos no exemplo do bar pode ser feito aqui para uma obter uma fórmula
para n(A ∪ B ∪ C). Mas vamos usar um outro caminho que nos vai permitir uma
generalização dos resultados usando induç~
ao finita.
Queremos encontrar uma fórmula para
n(A ∪ [B ∪ C]) = n(A ∪ [D])
(2.30)
e nó s já encontramos uma fórmula para a união de dois conjuntos que vamos usar:
n[D] = n[B ∪ C] = n(B) + n(C) − n(B ∩ C).
(2.31)
Se juntarmos as fórmulas temos:
n(A ∪ D) = n(A) + n(D) − n(A ∩ D) =
(2.32)
= n(A) + n(B) + n(C) − n(B ∩ C) − n(A ∩ D) =
(2.33)
= n(A) + n(B) + n(C) − n(B ∩ C) − n((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) =
(2.35)
= n(A) + n(B) + n(C) − n(B ∩ C) − n(A ∩ (B ∪ C)) =
(2.34)
(2.36)
em que apenas expandimos a expressão da primeira equação sucessivamente, sendo
que da penúltima equação para a última usamos a distribuitividade da “interseção”
relativamente a “união”. Escrevendo separado o valor de
n((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) =
n((A ∩ B) + n(A ∩ C)) − n((A ∩ B) ∩ (A ∩ C))
usando a fórmula 21 aplicada a A ∩ B A ∩ C. As propriedades associativa e comutativa
da interseção nos permite simplificar a última expressão de 2.37:
(A ∩ B) ∩ (A ∩ C) = A ∩ B ∩ C
de modo a equação (eq. ,2.37) agora fica
n((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) =
n((A ∩ B) + n(A ∩ C)) − n(A ∩ B ∩ C)
que substituida na equação 2.36 nos dá:
n(A ∪ B ∪ C) =
= n(A) + n(B) + n(C) − n(B ∩ C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) +
+(A ∩ B ∩ C)
Aa figura (fig. 2.2) página 62, mostra a união dos tres conjuntos A, B, C.
A
B
C
A U B U C
Figura 2.2:
A ∪ B∪C
Com esta última fó rmula se esboça uma hipótese de indução. Vemos que primeiso
somamos os números de elementos dos conjuntos 1 a 1, depois subtraimos o número das
interseções consideradas 2 a 2, depois somamos o número de elementos da interseção
3 a 3 dos conjuntos.
Exercı́cio 4 Número de elementos da união de quatro conjuntos.
Tome uma folha de papel, e se prepare para escrever no sentido do comprimento,
em vez da largura... Calcule n(A ∪ [B ∪ (C ∪ D)]), que você deve desenvolver de dentro
para fora usando as fórmulas já estabelecidas acima.
hipótese de indução nos diz que q
n(A1 ∪ · · · ∪ An )
vai ser dada pelas somas e diferenças se alternando dos números de elementos das
interseções i aı em que i ∈ {1, 2, · · · , n}. Observe que aqui uma generalização da
linguagem em que estamos chamando de Aj uma interseção 1 a 1, depois Ai ∩ Aj é
uma interseção 2 a 2, etc. . .
É mais fácil expressar o resultado com palavras como fizemos acima, do que escrever
uma fórmula para sua expressão...mas se você quiser tentar:
Exercı́cio 5 Número de elementos da união de conjuntos.
1. ** Expresse n(A1 ∪ · · · ∪ An ) em termos dos números de elementos dos conjuntos A1 , · · · , An e dos números de elementos das interseções destes conjuntos
entre si.
Na figura (fig. 2.3) página 63, você representados os conjuntos A, B, C, D.
B
A
D
C
Figura 2.3:
n(A ∪ B ∪ C ∪ D)
2. Numa pesquisa de geoló gica sobre produção de petróleo se consideraram tres
amostras todas com o mesmo número de poç os, 100, se verificando:
• Dos poços perfurados sem informações sobre dados sismológicos da região,
30% produz óleo.
• A metade dos poços em que os testes sismológicos revelaram uma estrutrutura geológica subterânea favorável, são secos.
• 5/6 daqueles que os testes revelaram ausência de estrutura geolócia subterrânea favorável, são secos.
Encontre
(a) Qual é o percentual de poços em que os testes reveleram estrutura geológica
subterrânea favorável e que produzem óleo
(b) Qual é o percentual de poços em que os testes reveleram ausência de estrutura geológica subterrânea favorável mas que produzem óleo
(c) Quantos poços são produtivos?
3. Uma livaria que mantém um clube de leitura por correspondência, fez um levantamento preliminar sobre a participação no clube em cima do seu cadastro de
clientes tendo como resposta que 35% dos entrevistados participariam do clube
no ano seguinte. Revendo os resultados posteriormente, a livraria observou que
• 80% dos que estavam participando haviam dito preliminarmente que ficariam ativos no clube;
• 20% dos que não participaram se encontravam entre os que disseram que
iam participar.
(a) Qual foi o percentual dos clientes cadastrados que participou do cluble?
(b) Qual foi o percentual que não correspondeu a sua própria expectativa?
4. Num vôo internacional se encontram 10 rapazes, 5 crianças brasileiras, 10 homens, 7 rapazes americanos, 15 brasileiros, 7 adultos brasileiros, 9 mulheres
americanas. Quantos passageiros havia neste vôo? Resp 34
2.6
Número de elementos no produto cartesiano.
Quando estudamos os arranjos com repetiç~
ao vimos que o conjunto destes
arranjos era o produto cartesiano Ap em que A é o conjunto de onde são
tirados os objetos que se quer arranjar, e p é quantidade que se toma para
cada arranjo.
Em algumas ocasiões interessa discutir o número de elementos de A x B, o
produto cartesianos de conjuntos distintos, é o caso das placas dos carros.
Um exemplo mostra o método de trabalho.
Exemplo 21 Os pares para dança.
Numa danç a de quadrilha existem 15 rapazes e 11 moças inscritos, e se fez uma
acerto que a cada música todos os rapazes danç ariam com todas as moç as. Como cada
dança demora 3 minutos, quanto tempo durou a festa se todas as moç as dançaram
com todos os rapazes.
Do número de elementos do produto cartesiano, 15 x 11 deduzimos quanto tempo
x 11 =
duraria a dança, porque em cada momento haveria 11 pares dançando: 15 11
15 x 3 minutos.
Para que ningué m reclamasse que deixou de dançar com alguém, o organizador
da festa, que era um professor de matematica, colocou as 11 moças em fileira e na
perpendicular a esta colocou os 15 rapazes pedindo depois que as moças ocupassem
a diagonal do retângulo 11 x 11 e cada uma se dirigissem ao rapaz que estivesse a
sua frente. Termninada a dança, com todos de volta aos seus lugares, ele pedia aos
rapazes que se permutassem circularmente, quer dizer o primeiro da fila passava para
o último lugar e os demais davam um passa para o lado fechando o lugar do primeiro,
e novamente se repetia o processo de escolha, na diagonal, do rapaz, atéque o primeiro
retornasse ao seu lugar.
Mas o números de pares feitos foram 15 x 11 e em cada momento dançavam 11,
portanto foram precisos 15 momentos de 3 minutos logo 45 minutos para cada música.
A festa durou 5 x (45 minutos).
A lição que se tira deste exemplo é que usamos o produto cartesiano como um
modelo para determinar como seria resolvido o problema.
Teorema 22 Número elementos do produto cartesiano
O número de elementos de A x B é n(A) x n(B), o produto dos números de
elementos de cada conjunto:
Exercı́cios 14 Número de elementos de um conjunto
1. Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}
(a) represente graficamente (A − B) x
deste conjunto.
(b) represente graficamente A x
mentos deste conjunto.
C e calcule o número de elementos
C−B x
C e calculo o número de ele-
(c) Um elemento-diagonal de um produto cartesiano é todo elemento que tiver pelo menos duas coordenadas iguais. Calcule o número de elementos
diagonais de A x A x A.
2. Na classificação do sangue, as pessoas são analisadas quanto åpresença dos
antı́genos A, B, Rh em que se usa a terminologia Rh+ ou Rh− conforme este
antı́geno esteja presente e O se nenhum dos antı́genos A, B esteja presente.
Represente, com um produto cartesiano, todas as classes de doadores.
3. Se A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, represente graficamente o conjunto A x
4. Numa pesquisa
tas A,B,C teve
A
B
28% 30%
A
envolvendo 1000 famı́lias, encomendada pelos editores das revisa seguinte resposta:
C A e B A e C B e C todas
42%
8
10
5
3
• Quantos dos entrevistados não lê nenhuma das revistas?
• Quantas liam apenas a revista A?
• Podemos concluir que A leitura de B implica na leitura de C para alguns
dos entrevistados?
Capı́tulo 3
Relações e Funções.
Neste capı́tulo vamos estudar relaç~
oes que é o modelo dentro do qual se encontram as
funções como um caso particular. Claro, as função são de longe o exemplo mais importante
de relações.
Vamos repetir o estudo de certos modelos que apareceram nos capı́tulos anteriores sob uma
nova visão.
3.1
Relações.
O padrão intuitivo de relação envolve dois elementos X, Y e uma lei para definir se é
verdade que X está relacionado com Y, ou se, reciprocamente, Y está relacionado com
X.
Por exemplo, se X ⊂ Y for verdadeira, Y ⊂ X pode ser verdadeira ou não, (se for,
os conjuntos são iguais). Vamos usar o sı́mbolo R(X, Y ) para representar a frase “X
está relacionado com Y.
Vemos desta discussão que estamos fazendo referência aos pares (X, Y ) de objetos
que pertencem a determinados conjuntos. Isto nos conduz à seguinte definição:
Definição 13 Relação R entre os conjuntos A e B.
Diremos que temos uma relação R entre os conjuntos A, B se R identificar um
subconjunto de A x B.
Usaremos a mesma letra R para identificar este subconjunto de A x B, quer dizer
que R ⊂ A x B, e mais usaremos como equivalentes:
R(x, y) é verdadeiro ≡ (x, y) ∈ R
Quando A = B diremos: R é uma relação em A.
Exemplo 22 Relações aritméticas.
1. A desigualdade1 em N.
Em N existe uma relação designada pelo sı́mbolo “<”. Ela está intimamente
ligada com o princı́pio da tricotomia que dizemos existir em N :
1 Neste
capı́tulo olhamos para N como Kronecker dizia, “Deus nos deu os números naturais,
o resto nós fizemos.” Kronecker sabia que era muito difı́cil construir o conjunto dos números
naturais...
71
Princı́pio da tricotomia: Dados dois números naturais m, n apenas uma das
relações seguintes é verdadeira:
• m = n;
• m < n;
• n < m;
A palavra tricotomia é composta de duas palavras gregas, uma delas significa
“três” e a outra “corte”.
Observe o significado geométrico da tricotomia. N x N é o primeiro quadrante consideradas apenas as coordenadas inteiras.
A primeira propriedade se refere aos pares (m, m) em que as duas coordenadas
são iguais, quer dizer a diagonal do primeiro quadrante.
A segunda propriedade
R(m, n) = “m < n”
isto significa que o par (m, n) se encontra acima da diagonal e portanto R é o
subconjunto do primeiro quadrante formado de todos os pontos que se encontram
acima da diagonal.
A terceira propriedade R(m, n) = “m > n”representa o complemento das duas
outras o que nos levaria a representar R pelo outro subconjunto que fica abaixo
da diagonal, mas sem incluir a própria.
2. Uma outra relação, menos geomé trica é ⊂ . Considere os conjuntos
A = {0, 1, 2, 3} ; P(A);
Pelo binômio de Newton, card(P(A)) = 24 = 16.
A figura (fig. 3.1) mostra o diagrama de Hasse de P(A). Este tipo de diagrama
é especial para mostrar as relações de ordem2 , (a inclusão é uma relação de
ordem).
Observe que no diagrama de Hasse, cada vez que um conjunto tiver menos elementos, é maior o número de linhas que o têm como ponto de chegada, porque
eles são subconjuntos de quantidade maior de conjuntos.
Quando não houver linha ascendente, se tem um par de conjuntos que não são
comparáveis, nenhum dos dois é “maior” ou “menor” do que o outro. Eles estão
no mesmo nı́vel.
Há vários tipos de relações, vamos estudar três tipos aqui:
• Relações de ordem.
• Relação de equivalência.
• As funções.
Este último tipo será estudado em separado na próxima seção. Os dois primeiros serão
vistos logo a seguir.
2 logo
a seguir discutiremos as relações de ordem
{0,1,2,3}
XX ZZXXX
XX
Z
XX
XX
Z
{0,1,2}
{0,1,3}
{0,2,3}
XX
{1,2,3}
ZPP
X
a
X
P
!
\ a
H
X
Q
c
!
a
P
HXXX Q P
P
c
!!
HXX
\ aa
Q
!
Q PPP
X
H
a
!
X
H
aa PP cc
XXX
\!
Q
!
H
X
PP c
X
H
!! \
aa
QX
H
a
P
X
!
\
c
Q
P
{0,1}
! H
{0,3} H
{1,3}
{2,3}
b
X
,
a
{1,2}
Ja
a {0,2}
XX
H
S
XX bb aa ,
HH
J
X
X
b
,
H S
J
aaa
XX
XXb
H
S
,
X
b
a
H
Xb
J aa XX
,
H S
S
H
b
a
J
,
H
{3}
H
{2} H
T
H
{1} T
{0} HH
H
T
H
H
T
H
H
T
H
H T HH
T
{}
Figura 3.1:
3.1.1
Diagrama de Hasse de P(A); A = {0, 1, 2, 3}
Relações de ordem.
Escrevemos o tı́tulo desta seção no plural, e existem várias de relações de ordem?
Vejamos um exemplo:
Exemplo 23 A ordem dos números de telefone
Quando nos referimos as estruturas, no capı́tulo 1, ver ı́ndice remissivo, falamos
de estrutura de ordem que podia ser encontrada no conjunto dos números de telefones.
Para colocar em ordem o conjunto dos números dos telefones precisamos primeiro
descobrir a estrutura interna que estes “números” têem. Os números
(021)223443, (021)332331
não podem ser vistos como
021223443, 021332331
ou, como zero não vale nada,
21223443, 21332331.
Um “número”3 de telefone é formado de seções distintas, uma delas é o código de
área. Se formos colocar em ordem:
(021)332345, (011)123345, (021)232234, (011)343321
3 estamos
escrevendo com aspas a palavra “nú mero” de telefone, porque eles não são
números de verdade, não podemos fazer operações aritméticas com eles.
primeiro ordenariamos pelos códigos de área, depois pelo corpo do número do telefone:
(011)123345, (011)343321, (021)232234, (021)332345;
de modo que todos que tenham o mesmo código área fiquem juntos. Portanto na
definição desta relação de ordem primeiro verificariamos a ordem entre os códigos de
área, depois a ordem entre o corpo dos números de telefones.
Não fariamos nada disto se estivessemos colocando em ordem os números inteiros
11123345, 11343321, 21232234, 21332345;
que simplesmente comparariamos como números sem olhar pedaços dentro de cada
um deles. Isto responde a nossa pergunta inicial: tem vários tipos de ordem? cuja
resposta é“sim”.
Uma relação de ordem menos habitual, que é a primeira que vamos estudar, é
relação de ordem entre os subconjuntos de um conjunto universo A.
Ordem em P(A).
Olhe o diagrama contido na figura (fig. 3.1), página 69. As linhas que ligam os nós
representativos de cada conjunto estão indicando X ⊂ Y. Se não houver nenhuma
linha entre X, Y isto significa que nem X ⊂ Y nem Y ⊂ X. Se um conjunto X for
subconjunto de outro Y é razoável dizermos que X é menor que do Y, pelo menos
porque X tem menos elementos do que Y.
Então, nesta relação de ordem há elementos que não são comparáveis. Observe os
conjuntos 3 a 3, eles se encontram no mesmo nı́vel hierárquico relativamente a esta
relação de ordem. As relações seguintes são falsas:
{0, 1, 2} ⊂ {0, 1, 3} ; {0, 1, 3} ⊂ {0, 1, 2}
Vejamos quais são as propriedades de uma ordem:
Definição 14 de ordem.
1. transitividade Se X ⊂ Y e Y ⊂ Z então X ⊂ Z, é sempre verdadeiro.
2. reflexividade Sempre é verdadeiro que X ⊂ X.
3. anti-simétria Se X ⊂ Y e Y ⊂ X então X = Y. Isto é, só pode acontecer
desigualdades simétricas quando for com o mesmo elemento. Se usarmos a
notação R acima, diriamos: R(X, Y ) e R(Y, X) se, e somente se, X = Y.
4. A totalidade não vale Não é verdade que para qualquer par (X, Y ) valha X ⊂ Y
ou Y ⊂ X. Observe o que dissemos acima a respeito das linhas no diagrama
de Hasse. Quer dizer que a relação de ordem ⊂ não é total. Quando uma
ordem não for total, dizemos que ela é parcial Dizemos ainda que P(A) não
é totalmente ordenado pela inclusão, (veja o exemplo acima com os conjuntos
{0, 1, 2}, {0, 1, 3}).
Uma outra forma de falar: “(P(A), ⊂) é uma estrutura de ordem parcial”, (por
causa da 4a propriedade que não vale).
Verifique você mesmo que (N, ≤) é uma estrutura de ordem total, (porque vale a
4 propriedade).
a
Exercı́cio 6 Relações de ordem
1. Defina formalmente a ordem que existe entre as palavras da lingua portuguesa.
Vamos chamar este conjunto de L. Decida (L, ≤) é uma ordem total? Existe um
menor elemento em L ? qual? Depende de como você definiu x ≤ y. Tem um
maior elemento? Quer dizer, L tem um máximo, L tem um mı́nimo? Observe
que esta pergunta pode ser feita de outra forma: todo dicionário tem um começo?
tem um fim?
2. Considere A = {0, 1, 2, 3} e P(A). Verifique quantas relações do tipo X ⊂ Y é
possı́vel construir com X, Y ∈ P(A).
3. Vamos afrouxar um pouco a definição de “palavra” estabelecendo que quem quiser pode definir uma nova palavra. Verifique se é verdade ou falso em L que,
dadas duas palavras x, y tem sempre uma palavra z; x ≤ z ≤ y.
4. Se não tivessemos adotado a convenção do afrouxamento na questão anterior,
qual seria resposta?
5. Na estrutura de ordem (N, ≤) vale a propriedade dados dois nú meros x, y tem
sempre um número z; x ≤ z ≤ y?
Existe mais um conceito importante que vamos induzir com exemplos e ao qual
voltaremos mais a frente no capı́tulo 4, quando estudarmos os números.
Considere P(A). Há aı́ dois “elementos” peculiares: A, {}. O primeiro, A contém
todos os outros, e nós diremos que é o máximo de P(A). O segundo, {} está contido
em todos os outros, e nós o chamaremos de mı́nimo de P(A).
Podemos definir um conjunto chamado “das partes estritas de A. Neste conjunto
não entram nem A nem {}. Mas duas afirmações feitas acima continuam verdadeiras:
A contém todos os outros, {} está contido em todos os outros.
Mas, agora, A e {}. se encontram fora do universo dos elementos submetidos
åcomparação, vamos dizer que A é supremo do conjunto das partes estritas de A, e da
mesma forma {} é o ı́ nfimo.
Mais dois conceitos são importantes. Volte a considerar o conjunto das partes
estritas de A. Os conjuntos 3 a 3 agora são os má ximos para uma coleção de subconjuntos, veja quais. Como eles mão são comparáveis, eles são chamados de maximais.
.
Podemos dizer algo semelhantes relativamente aos conjuntos unitá rios, agora invertendo a desigualdade. Os conjuntos unitários são os mı́nimos para uma coleção de
conjuntos, (veja quais). Mas eles não são mı́nimos... e porisso eles são chamados de
minimais.
A palavra extremal faz referência tanto a minimal como a maximal.
Os extremais são tı́picos das relações de ordem parcicial, mas observe que um
máximo é um maximal, e que um mı́nimo é um minimal.
As definições de supremo, máximo, mı́nimo e infimo, geram confusão entre os que
estão aprendendo o assunto.
Um outro conceito é importante nos conjuntos ordenados parcialmente. Vamos
continuar usando P(A) como exemplo. Olhe o grá fico (fig. 3.1), na página 69.
Observe que alguns conjuntos estão ligados por linhas ascendentes desde {} até A.
Eles formam o que chamamos uma cadeia, um subconjunto totalmente ordenado.
Definição 15 Cadeia
É um conjunto totalmente ordenado de uma estrutura de ordem.
Um outro tipo de relação de equivalência. A igualdade entre números é um exemplo.
3.1.2
Relação de equivalência.
Uma relação de equivalência serve para classificar os objetos de um conjunto. São elas
que produzem as partições de um conjunto de que já falamos.
Se R for uma relação de equivalência em A então R produz uma partição de A.
Cada uma das partes de A assim produzidas se chama uma classe de equivalência.
Vamos escrever a definição de relaç~
ao de equival^
encia:
Definição 16 Relação de equivalência R. Diremos que R é um relação de equivalência definida em A se, e somente se,
• reflexividade R(x, x) for verdadeira para todo x ∈ A.
• simetria R(x, y) ⇒ R(y, x), isto é, se R(x, y) for verdadeira, também R(y, x)
será.
• transitividade R(x, y) e R(y, z) ⇒
verdadeiras, também R(x, z) será.
R(x, z), isto é, se R(x, y) e R(y, z)forem
O conjunto de todos os elementos Y tal que R(x, y) é verdadeiro, se chama x a classe
de equivalência de x.
Exemplo 24 Um exemplo de relação de equivalência.
Considere a seguinte partição de A
{0, 1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8}, {9}.
Para obter A basta calcular a união de todas as partes, porque, por definição, quando
se tem uma partição a união dos subconjuntos recompõe o universo. Também, por
definição as partes são disjuntas.
Vamos testar as propriedades. Cada uma das partes de A listada acima é uma
classe de equivalência. Então tomando dois elementos,x, y, em qualquer classe
R(x, y) ⇒ R(y, x)
o único caso crı́tico é a classe {9} em que os dois elementos serão iguais. Vale a
transitividade, e novamente a classe {9} é a mais crı́tica para analisar, entretanto
tudo que se passa é que os três elementos para os quais a propriedade vai valer, tem
que ser iguais, mas vale...
A propriedade reflexiva é sempre a mais trivial de verificar, porque se não valesse
tinha um elemento x ∈ A que não pertenceria a nenhuma classe, mas neste caso a
união não reproduziria A. Contradição. Assim a relação de equivalência associada a
partição
{0, 1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8}, {9}.
de A serve para classificar os elementos de A que por uma razão qualquer devem ficar
numa mesma classe.
Exemplo 25 Classificação de grãos.
Uma fazenda usa dois tipos de peneiras, cujos buracos tem uma diferença de 1
milimetro, para classificar feijão. Portanto a sua produção de feijão vai ficar toda
classificada em
• A1 o conjunto dos grãos de feijão pequenos, que passam em todas as peneiras.
• A2 o conjunto dos grãos médios, que passam em uma das peneiras.
• A3 o conjunto dos grãos grandes, que não passam em nenhuma das peneiras.
Verifique que valem as três propriedades.
Exemplo 26 A relação de igualdade. A relação de igualdade é um tipo de relação
de equivalência que produz a partição mais fina. Nela todas as classes de equivalência
são conjuntos unitários.
Exercı́cio 7 Relações
1. Mostre que a relação “a divide b” é uma relação de ordem parcial em N. Exiba
alguns pares não ordenáveis.
2. Considere a relação de ordem parcial “a divide b”. Tome “a=3” e encontre a
cadeia a que “a=3” pertence. Esta correto usar o artigo definido: “a cadeia a
que “a=3” pertence”?
3. Quais são os minimais da relação “a divide b” em N? Há maximais? Verifique
se todo minimal é ponto de partida de uma cadeia.
4. Verifique que o teste “divı́sivel por dois” particiona o conjunto N em duas classes
de equivalência. O que significa dizer que X é equivalente a Y nesta relação de
equivalência?
5. Verifique que o teste “divı́sivel por três” particiona o conjunto N em três classes
de equivalência. O que significa dizer que X é equivalente a Y nesta relação de
equivalência?
6. Duas frações são ditas equivalentes se formarem uma proporção. Verifique se
valem as três propriedades. Dê exemplos de três frações equivalentes.
3.2
A definição de função.
As funções são um tipo de relação mais simples, os gráficos das funções “mais
comuns” são curvas, segmentos de retas. Com muita frequência vemos gráficos
de curvas nos jornais indicando como mudam ou evoluem alguns fenômenos.
Observe a diferença entre as duas tabelas abaixo:
lista dos enfermeiros de plantão
enf\dia
a
b
c
d
e
f
seg
Eva
Dayse
João
José
Maria
-
ter
Elias
Elson
Eva
Maria
-
qua
Elias
José
Denise
-
qui
Maria
-
sex
Elias
João
Maria
Eva
José
Elson
sab
Elson
João
Maria
-
dom
Elias
Eva
Dayse
-
Obs.Na coluna à esquerda se encontra a indicação das enfermarias onde os enfermeiros
podem ser encontrados.
enf\dia
Qtde
seg
5
ter
4
qua
3
qui
1
sex
6
sab
3
dom
3
Na primeira tabela e na segunda se tem dois aspectos da mesma informação.
A primeira é descritiva, indica quais são os enfermeiros que estão de plantão e em
que enfermaria eles se encontram.
A segunda tabela é quantitativa, ele registra apenas a quantidade de enfermeiros
que se encontram de plantão.
A segunda tabela é mais simples e dá uma ideia imediata da força de trabalho
disponı́ vel, ou do nı́vel de emergência necessário em cada um dos dias da semana.
Dela se pode deduzir, numa rá pida olhadela, que há dois dias crı́ticos, sexta e segunda
porque há necessidade de mais enfermeiros de plantão, e a quinta-feira é um dia de
paz no hospital, pelo menos habitualmente.
Claro, as duas tabelas tem funções especı́ficas e não podemos dizer que uma é mais
importante que a outra, mas queremos salientar que a segunda tem a informação mais
concentrada e mais fácil de ser percebida. Nesta se pode dizer que:
• para x ∈ {seg, ter, qua, qui, sex, sab, dom};
• existe um único y ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6};
• y está relacionado com x.
As duas tabelas representam relações. A primeira entre os conjuntos
S = {seg, ter, qua, qui, sex, sab, dom}
e
E = {José, Maria, Elias, Elson, Dayse, Eva, João}
A segunda tabela estabelece uma função entre os conjuntos
S = {seg, ter, qua, qui, sex, sab, dom}
e
Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Como já definimos, uma relação é um subconjunto de um produto cartesiano. No
primeiro caso temos
R⊂S x E
e no segundo caso temos
f ⊂ S x Q.
No produto cartesiano S x Q, o primeiro conjunto, S, é chamado domı́nio da
relação e o segundo conjunto, Q, se chama de contra-domı́nio da relação.
Quando uma relação R goza da propriedade:
∀x ∈ domı́nio ∃ um único y ∈ contra-domı́nio ; R(x, y)
ela se chama funç~
ao. A segunda tabela representa uma função, porque para cada x do
conjunto dos dias da semana temos exatamente uma informação associada x, chamada
f (x) e neste caso:
f (x) = quantidade de enfermeiros de plantão no dia x.
Observe na (fig. 3.2) um gráfico da função y = f (x).
Figura 3.2:
Histograma dos enfermeiros.
No próximo gráfico você encontra algo parecido com o que já deve ter visto num
jornal, digamos a “evolução do preço do dolar” ao longo da semana. O gráfico “nos
diz”:
inicialmente, de segunda para terç a, o dolar subiu de preço, passando depois
a cair até sexta quando voltou a subir de novo mostrando uma tendência a
super o preço mais alto obtido na segunda. Observe a (fig. 3.3) na página
76.
Este tipo de relação, as “funções” podem representar de modo muito simples e
efetivo os fatos, como descrevemos acima com a fictı́cia evolução do dolar. O fato de
que para cada x haver apenas um valor de y permite se descreva o comportamento de
fenômenos usando as funções.
Há mais uma propriedade das funções que ainda não salientamos: o conjunto que
chamamos domı́nio deve ser todo utilizado. Nestas condições aqui está definição de
função:
Definição 17 de função definida em A e tomando valores em B.
Dizemos que a função f está definida em A e toma seus valores em B :
f : A → B ; A ∋ x 7→ f (x) ∈ B
%
%
%
%
%l
%
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
HH
#
#
seg ter qua qui sex sab dom seg ter .....
Figura 3.3:
Evoluçõ do preço do dolar.
se para todo x ∈ A houver um e somente um y ∈ B tal que o ponto (x, y) ∈ graf (f ).
Leitura A expressão f : A → B é lida ”f de A em B”.
O conjunto dos pontos (x, f (x)) formam um sub-conjunto de A x B que chamamos graf (f ), o gráfico de f.
Nas figuras (fig. 3.2) e (fig. 3.3) você tem o grá fico de duas funções. Nos gráficos
dos exemplos que seguem, (fig. 3.4),(fig. 3.5), (fig. 3.6), você vai encontrar gráficos
feitos automaticamente por um programa de Cálculo Numérico representando funções
definidas por uma expressão algébrica.
Exemplo 27
1. Tomemos f (x) = x, quer dizer que os pontos que estarão no
gráfico de f serão apenas aqueles em que as duas coordenadas forem iguais:
{(−10, −10), (−9, −9), (−8, −8), . . . , (10, 10)}.
O domı́nio escolhido foi o conjunto
A = {−10, −9, −8, −7, . . . , 7, 8, 9, 10}.
Alé m de aparecerem no desenho os pontos de graf (f ) também estão desenhados
os eixos de referência, eixo OX e o eixo OY. Ver o gráfico (fig. 3.4)
f(x) = x
10
’data’
5
0
-5
-10
-10
-5
Figura 3.4:
0
5
10
gráfico de f (x) = x domı́nio A = {−10, −9, −8, ..., 10}.
2. Tomemos f (x) = x2 , quer dizer que os pontos que estarão no gráfico de f serão
apenas aqueles em que a coordenada y é o quadrado da coordenada x:
{(−5, 25), (−4, 16), (−3, 9), . . . , (3, 9), (4, 16), (5, 25)}.
O domı́nio escolhido foi o conjunto A = {−5, −4, −3, −1, . . . , 3, 4, 5}. Alé m de
aparecerem no desenho os pontos de graf (f ) também estão desenhados os eixos
de referência, eixo OX e o eixo OY. Ver o gráfico (fig. 3.5)
3. Tomemos f (x) = x + 1, quer dizer que os pontos que estarão no gráfico de
f serão apenas aqueles em que a coordenada y for uma unidade maior que a
coordenada x:
{(−5, −4), (−4, −3), (−3, −2), . . . , (3, 4), (4, 5), (5, 6)}.
O domı́nio escolhido foi o conjunto A = {−5, −4, −3, −1, . . . , 3, 4, 5}. Fizemos
aparecer no desenho também os eixos. Ver o gráfico (fig. 3.6)
Definição 18 Imagem de uma função
Se f : X → Y for uma função e A ⊂ X, chama-se imagem de A por f ao conjunto
f (A) = {y ∈ Y ; y = f (x) ; x ∈ A}
f
Exercı́cio 8 Propriedades da imagem de uma função Se X −→ Y for uma função
qualquer, e A, B ⊆ X verifique que
funcao nao sobrejetiva
40
’data’
35
30
25
20
15
10
5
0
-6
-4
-2
0
2
Figura 3.5:
1. f (∅) = ∅;
4
Gráfico de f (x) = x2 .
f (X) ⊆ Y ;
2. Se A ⊂ B então f (A) ⊂ f (B);
3. f (
4. f (
S
T
i
i
Ai ) =
Ai ) ⊆
S
T
i
f (Ai );
i
f (Ai ).
Verifique também que, para imagem inversa valem
1. f −1 (∅) = ∅;
f −1 (Y ) = X;
2. Se A ⊂ B então f −1 (A) ⊂ f −1 (B);
3. f −1 (
4. f −1 (
S
i
T
i
Ai ) =
Ai ) =
S
T
i
f −1 (Ai );
i
f −1 (Ai ).
5. f −1 (Ac ) = [f −1 (A)]c
em que A, B ⊆ Y.
6
f(x) = x+1
6
’data’
4
2
0
-2
-4
-6
-4
Figura 3.6:
3.3
-2
0
2
4
6
gráfico de f (x) = x + 1 domı́nio A = {−5, −9, −8, ..., 5}.
Tipos de função.
Uma utilidade das funções é transformar um conjunto n’outro de um modo
que esperamos conseguir utilizar melhor a informação contida no primeiro.
Por exemplo, quando falamos emitimos “ondas sonoras” que tem intensidade,
frequência, e duração que as caracterizam. Estes dados podem ser captados
por um microfone e gravados numa fita. Mas se quisermos transmitir a voz a
uma distância grande, por telefone, então temos que transformá-las em sinal
digital porque eles ocupam menos espaço, é uma razão, e assim podem ser
transmitidos com maior eficiência: rapidez, confiabilidade, etc...
Mas, . . . , e do outro lado? lá está um humano cujo ouvido não entende
de sinais digitais, e espera intensidade, frequência e duração para entender
a mensagem. Então é preciso transformar de volta o sinal digital em sinal
sonoro.
Não vamos fazer aqui digitalização de sinais... mas vamos dar os primeiros
passos no sentido de entender como é que tais coisas ocorrem: quando podemos transformara e depois transformar de volta sem perder informaçãob .
aa
palavra certa é codificar e depois decodificar.
verdade se perde informações sempre, mas o que se deseja é perder
pouco.
b na
3.3.1
Função injetiva.
O exemplo seguinte mostra como podemos, e porque razão fazemos, uma transformação em um conjunto de dados e sua recuperação posterior. É um exemplo
simples.
Exemplo 28 Uma codificação e sua decodificação. Considere o seguinte conjunto de
dados.
A = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
e suponha que, no teclado o “-” está estragado, não funciona. Então avisamos a quem
vai receber esta “mensagem A” que somaremos a todos os números o número 5 (codificação), portanto do outro lado deverá ser feito o trabalho inverso, (decodificação).
Então
B = T (A) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {y ; y = x + 5}.
Quem recebeu a mensagem do outro lado, conhecedor do “código” vai agora subtrair
de todos os elementos do conjunto B 5 unidades para recuperar os valores primitivos:
A = T −1 (T (A)) = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Isto só foi possı́vel porque a função T usada para codificar tem a seguinteo propriedade:
x1 6= x2
⇒
T (x1 ) 6= T (x2 )
quer dizer que T “separa” as imagens de pontos diferentes. Vamos ver o exemplo
contrário, uma função que não “separa”, ou “confunde” imagens: S(x) = x2 . Se
aplicarmos S à informação inicial:
S({−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}) = {25, 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25}.
Claro, ainda aqui seria possı́vel recuperar os dados sabendo de informações adicionais,
mas seria complicado. Mas a função T faz o trabalho de forma mais simples e imediata,
porque “separa” as imagens de pontos diferentes.
As funções que fazem isto, “separam” as imagens de pontos diferentes se chamam
injetivas
Definição 19 Função injetiva.
Uma função f se diz injetiva se
x1 6= x2
⇒
f (x1 ) 6= f (x2 )
Alguns autores preferem a palavra injetora.
Observação 12 Valores subjetivos.
É preciso salientar aqui que as funções “injetivas” não são melhores que as outras.
Não usamos adjetivos em ciência. O virus do HIV não é ruim, é apenas um virus, e
claro, eu não estou interessado em ser infectado por ele, mas ele não é nem ruim nem
bom. Quem é ruim ou bom para um determinado indivı́duo, são as consequências dos
fatos. Isto é subjetivo. Em suma, não estamos classificando as funções como boas ou
ruins. Estamos apenas classficando-as para que as possamos utilizar da forma mais
adequada. A função S(x) = x2 pode servir para esconder informações, tem gente que
gosta disto, e até precisa disto.
Exercı́cio 9 Funções injetivas, (ou não).
1. Identifique quais das relações abaixo não é função injetiva, ou nem é funç~
ao
f
(a) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ; x 7→ y = 2x − 2
f
(b) U : −→ W ; U = {1, 2, 3, 4}; W = {0, 2, 4, 5} ; x 7→ y = 2x − 2
f
(c) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ; x 7→ 0
f
(d) U : −→ W ; U = {2, 3, 4}; W = {0, 2, 4, 5} ;
0
se x for par
f (x) =
1 se x for impar
f
(e) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5}
y > x ⇒ x 7→ y
2. Crie uma expressão gráfica adequada para cada uma das relações do item anterior.
3.3.2
Função sobrejetiva.
Dos exemplos contidos no exercı́cio 1, vamos considerar o seguinte:
f
U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ; x 7→ y = 2x − 2.
f
U : −→ W é uma função, mas não faz uso de todos os elementos do contra-domı́nio
W. Observe que 5 ∈ W não é imagem de nenhum x ∈ U.
Diremos que esta função não é sobrejetiva, porque ela não utiliza todos os pontos
do contradomı́nio.
Exemplo 29 Tornando sobrejetiva uma função. O gráfico na figura (fig. 3.7) também
conté m uma função que não é sobrejetiva se domı́nio for A = {−5, −4, −3, ..., 5} e o
contra-domı́nio for
{−25, −24, . . . , 24, 24}.
Deixe-nos salientar o condicional que empregamos: “A função não é sobrejetiva se
domı́nio for A = {−5, −4, −3, ..., 4, 55} e o contra-domı́nio for
{−25, −24, . . . , 24, 24}′′ .
Porque podemos mudar o contra-domı́nio da função, e consequentemente redefinı́la, estabelecendo: f : A → {0, 1, 4, 9, 16, 25} e agora estaria usando todos os elementos
do contra-domı́nio, claro, porque descartamos aqueles que não estavam sendo usados
antes.
Definição 20 Função sobrejetiva.
f
Diremos que uma função U : −→ W é sobrejetiva, se para todo y ∈ W existir
x ∈ U tal que y = f (x). Alguns autores preferem a palavra sobrejetora.
Exercı́cio 10 Funções sobrejetivas.
1. Identifique quais das funções abaixo não é sobrejetiva e, sendo o caso, a redefina
para que se torne sobrejetiva.
funcao nao sobrejetiva
40
’data’
35
30
25
20
15
10
5
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Figura 3.7:
f (x) = x2 esta função não é sobrejetiva se domı́nio A = {−5, −4, −3, ..., 5};
contra-domı́nio =
{−25, −24, . . . , 24, 24}.
f
(a) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4} ; x 7→ y = 2x − 2
f
(b) U : −→ W ; U = {1, 2, 3, 4}; W = {0, 2, 4, 8, 10, 12} ; x 7→ y = 2x − 2
f
(c) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ; x 7→ 0
f
(d) U : −→ W ; U = {2, 3, 4}; W = {0, 1, 2, 3} ;
x 7→ 0 ⇐ x par ; x 7→ 1 ⇐ x impar
f
(e) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ; x 7→ y ⇐ y > x
2. Crie uma expressão gráfica adequada para cada uma das relações do item anterior depois das moficações feitas.
3.3.3
Função bijetiva.
A definição de uma função bijetiva é:
Definição 21 Função bijetiva.
f
Diremos que uma função U : −→ W é bijetiva, se for sobrejetiva e injetiva. Alguns
autores preferem a palavra bijetora.
Nós vimos nos exemplos sobre funções não sobrejetivas que isto pode ser “corrigido”
retirando-se pontos do contra-domı́nio que não estejam sendo utilizados. De forma
análoga podemos tirar pontos do domı́nio que tenham valores comuns com outros
pontos de modo que a função se “torne” injetiva4 .
São as funções bijetivas as ideais para se fazerem as codificações ou decodificações
das quais falavamos, uma vez que elas identificam os dois conjuntos, o domı́nio e o
contra-domı́nio. Cada ponto de um destes conjuntos corresponde a um e a somente
um ponto do outro conjunto. Desta forma se pode transformar um conjunto no outro e depois desfazer a transformação sem perda de informação. As palavras-chave
aqui são codificaç~
ao e decodificaç~
ao. É isto que fazemos a todo momento com
as telecomunicações transformando certos fatos fı́sicos da realidade em sinais digitalizados, enviando estes dinais digitalizados e depois transformando de volta os tais
fatos fı́sicos5 ao seu estado anterior. Como já dissemos, perdemos informações nestas
transformações mas o que se perde não é visı́ vel ou audı́vel de forma que do ponto de
vista de nossas comunicações fica tudo perfeito.
Exercı́cio 11 Funções bijetivas.
1. Identifique quais das funções abaixo não é função bijetiva, e sendo o caso modifique o domı́nio, ou contra-domı́nio, fazendo a modificação mais econômica,
para obter uma função bijetiva.
f
(a) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 6} ; x 7→ y = 2x − 2
f
(b) U : −→ W ; U = {1, 2, 3, 4}; W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ; x 7→ y = 2x − 2
f
(c) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ; x 7→ 0
f
(d) U : −→ W ; U = {2, 3, 4}; W = {0, 2, 4, 5} ;
x 7→ 0 ⇐ x par ; x 7→ 1 ⇐ x impar
f
(e) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ; x 7→ y ⇐ y > x
2. Crie uma expressão gráfica adequada para cada uma das relações do item anterior, depois feitas as modificações necessárias.
3.4
Funções polinomiais
Vamos estudar polinômios a parte no último capı́tulo. Agora vamos estudar
dois tipos de polinômios, do primeiro e do segundo grau.
Parte do nosso objetivo são as equações polinomiais de grau menor ou igual
a dois e um estudo gráfico das funções que podemos definir com estes polinômios.
3.4.1
A função linear afim
Resumo.
As funções lineares afins são definidas por meio dos polinômios do primeiro grau:
f (x) = ax + b
é uma função linear afim se a 6= 0.
Os gráficos destas funções são retas, as progressões aritméticas são funções deste tipo. Veremos isto aqui.
4a
expressão “se torne” é incorreta, mas bastante usada, na verdade ao fazerem tais modificações, se redefine a função, se tem uma nova função.
5 como se um sinal digitalizado não fosse um “fato fı́sico”...
Um polinômio do primeiro grau é uma expressão do tipo
ax + b
em que a, b são dois números dados e x é uma variável. Costumamos escrever
P (x) = ax + b
para indicar que x pode assumir valores. Quer dizer que P pode ser entendido como
um função e nós podemos então calcular seu valor em um número:
P (3) = 3a + b; P (0) = b; P (−1) = b − a; P (1) = a + b.
Propriedades das funções do primeiro grau
Uma propriedade fundamental das funções do primeiro grau diz respeito ådiferença.
Vejamos o que significa isto.
Seja f (x) = ax + b, uma função cuja equação é um polinômio do primeiro grau.
Acompanhe as contas que faremos agora, em seguida logo vamos analisar o que fizemos,
se você sozinho não chegar às suas próprias conclusões.
Então:
f (x + ∆x) − f (x) = a(x + ∆x) + b − (ax + b) =
ax + a∆x + b − ax − b = a∆x
Vamos analisar o que fizemos.
Primeiro usamos o sı́mbolo ∆x para representar um acré scimo. Assim calculamos
o valor da variação de f relativamente ao acréscimo ∆x.
O resultado foi que a variação de f é proporcional ao acréscimo. Vamos repetir as
contas com uma pequena modificação e em seguida analisaremos o resultado:
∆f = f (x + ∆x) − f (x) = a(x + ∆x) + b − (ax + b) =
ax + a∆x + b − ax − b = a∆x.
Logo, ∆f = a∆x
O acré scimo de f , e o acréscimo da variá vel, se encontram na proporção:
∆f = a∆x.
Observe que a variável x desapareceu nas contas. Quer dizer que esta proporção entre
∆f e ∆x não depende de x. Esta é uma propriedade fundamental das funções do
primeiro grau que vamos explorar muito.
Observe na figura (fig. 3.8) página 85,
O sı́mbolo ∆ com frequência representa diferenças ou acréscimos, como no presente
texto.
A figura (fig. 3.8) página 85, traz o grá fico de uma reta e sugere que este gráfico
corresponde åfunção f (x) = ax + b. Vamos ver que isto é verdade, que os gráficos de
funções lineares afins são retas.
As contas que fizemos acima, associando ∆f, ∆x nos dizem que
f(x) = ax + b
1
0
0
1
0
1
0
1
∆f
0
1
11111111
00000000
0
1
0
1
0
1
∆x
0
1
0
1
1111∆f
0000
0
1
0
1
∆x
1111111
0000000
111111111111111
000000000000000
p
q
q+ ∆ x
∆ f = a ∆x
p+ ∆ x
triangulos
semelhantes
Figura 3.8:
Diferença: proporção constante na função do linear afim.
• quando nos afastamos de um ponto x = p com um acréscimo ∆x se produz um
acréscimo ∆f = a∆x no valor de y = f (p).
• a figura (fig. 3.8) nos diz que é irrelevante o ponto em que isto é feito: no ponto
x = q podemos ver outro triângulo semelhante ao primeiro feito quando x = p.
• Como os triângulos são semelhantes, porque os lados são proporcionais, então
as hipótenusas dos mesmos vão ficar sobre uma mesma direção.
• A conclusão a que podemos chegar com estes dados é que a função y = f (x) =
ax + b tem como gráfico uma reta.
Demonstramos assim o teorema:
Teorema 23 Gráfico das funções lineares afins O gráfico das funções lineares afins
são retas.
Como uma reta fica determinada por dois pontos, basta que calculemos dois pontos
do gráfico:
(x1 , f (x1 )), (x2 , f (x2 ))
e traçar a reta que passa por estes dois pontos.
Exercı́cios 15 Diferenças, gráficos Para cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da
função e da diferença solicitada.
1. Considere f (x) = 3x + 2. Calcule ∆f para o acréscimo ∆x = 1 quando p ∈
{−3, −1, 0, 1, 2}.
2. Considere f (x) = −3x + 2. Calcule ∆f para o acréscimo ∆x = 1 quando p ∈
{−3, −1, 0, 1, 2}.
3. Considere f (x) = 3x − 2. Calcule ∆f para o acréscimo ∆x = 1 quando p ∈
{−3, −1, 0, 1, 2}.
4. Considere f (x) = −3x − 2. Calcule ∆f para o acréscimo ∆x = 1 quando p ∈
{−3, −1, 0, 1, 2}.
{−3, −1, 0, 1, 2}.
{−3, −1, 0, 1, 2}.
O coeficiente angular e coeficiente linear
O número a na equação da função linear afim f (x) = ax + b é o quocientes entre os
comprimentos dos catetos de qualquer triângulo obtido, como na figura (fig. 3.8). Isto
quer dizer que a = tg(α) em que α é o angulo que a reta faz com o eixo OX.
representados
Observe na figura (fig. 3.9) página 86, o ângulo α e o quociente ∆f
∆x
em dois pontos diferentes do gráfico.
f(x) = ax + b
1
0
0
1
0
1
0
1
∆f
0
1
11111111
00000000
0
1
0
1
0
1
∆x
0
1
0
1
1111∆f
0000
0
1
0
1
∆x
1111111
0000000
111111111111111
000000000000000
p
q
∆ f = a ∆x
α
α
∆f
tg( α)= −−−−−−
∆x
Figura 3.9:
a tangente do ângulo α é a.
O outro coeficiente na expressão polinomial que define f (x) = ax + b, o número b
se chama coeficiente linear. Ele é o valor de f no ponto x = 0 portanto corresponde
åsegunda coordenada do ponto em que a reta y = ax + b corta o eixo OX.
Na figura (fig. 3.10) página 87, você pode ver o gráfico da reta y = 2x + 1
observando os pontos em que o gráfico corta os eixos.
O gráfico corta o eixo OY no ponto (0, 1), sendo 1 = f (0). O ponto em que o
gráfico corta o eixo OX é quando y = 0. Se substituirmos na equação y = 2x + 1
teremos:
1
y = 0 = 2x + 1 ⇒ 2x + 1 = 0 ⇒ 2x = −1 ⇒ x = − .
2
Como este ponto foi obtido como solução de uma equação associada åfunção y = f (x)
dizemos que éuma raiz da função.
Como as funções do primeiro grau tem por gráfico uma reta, elas só podem cortar
os eixos uma vez (a não se que se confundam com os mesmos). Isto representa um
teorema importante: as equações do primeiro grau tem uma única solução:
Teorema 24 Soluções das equações do primeiro grau As equações do primeiro grau
ax + b = 0 tem uma única solução:
b
x=− .
a
y = 2x + 1 =f(x)
(0,1)
∆ y
________
= 2
∆ x
∆y
x=0
∆x
−1
( ____
,0 )
2
y=0
f(x) =0
Figura 3.10:
Os pontos em que uma função linear afim corta os eixos.
Exercı́cios 16 Coeficiente angular da reta
1. Trace as retas cujas equação são
y = − 12 x + 3
y=
x+3
2
y=
3−x
3
y = −2x + 1
2. Para cada uma das retas do item anterior, marque os pontos em que elas cortam
os eixos. Resolva as equações do primeiro grau associadas a cada uma das retas.
3. Para cada uma das retas do primeiro item, calcule os valores de y = f (x)
quando:
a) x = −1
b) x = 0
c) x = 1
d) x = 2
∆y
. Observe que que
4. Para cada equação y = ax + b no primeiro item, calcule ∆x
o quociente é o coeficiente angular de cada reta. Desenhe em cada reta um
triângulo retângulo dando um valor especı́fico para ∆x e escolhendo um ponto
x = p. Observe o gráfico (fig. 3.8), na página 85.
5. Uma reta de coeficiente angular −2 passa no ponto (−3, 1). Encontre a equação
desta reta.
6. Encontre a equação da reta que passa no pontos
(−3, 0), (2, 5).
Função linear
Quando o coeficiente linear, na função linear afim é zero, nós chamamos a função
polinomial correspondente de linear.
Definição 22 Função linear
Se em f (x) = ax + b o coeficiente linear, b = 0, for zero, a função f (x) = ax é
chamada de linear.
Como o coeficiente linear é zero, as funções lineares passam na origem: f (0) = 0.
Nos gráficos das funções lineares, sempre podemos escolher um dos triângulos que
tem a hipotenusa sobre o gráfico com um dos vértices na origem. Ver na figura (fig.
3.11) página 89,
Nas funções lineares y = f (x) = ax o coeficiente de proporcionalidade se aplica
diretamente åvariável para obter o valor da função sem mais outro cálculo.
Exercı́cios 17 Funções lineares
1. O trabalho de um pedreiro é pago de acordo com f (t) = at em que t representa
o tempo em dias e a representa o valor da diária. Quanto vai ganhar o pedreiro
em 30 dias de trabalho se a diária vale R$15,00.
2. Um bombeiro hidráulico cobra R$2,00 por hora (ou fração de hora) de trabalho
mais uma taxa de R$10,00 por visita. Escreva a função do primeiro grau que
descreve o preço do seu trabalho num dia, junto a um cliente, e decida se é uma
função linear.
3. Um bombeiro hidráulico cobra R$2,00 por hora (ou fração de hora) de trabalho
mais uma taxa de R$10,00 por visita.
Como o bombeiro fez tres visitas, tendo na primeira trabalhado durante 2 horas,
na segunda 2 horas e meia e na terceira 5 horas, faça o gráfico que descreve o
seu rendimento neste dia de trabalho.
Definição 23 Progressão Aritmética
Uma sucessão {a0 , a1 , . . . an } se diz uma progressão aritmética, “p.a.” se a
diferença entre quais quer dois termos sucessivos for constante:
ak+1 = ak = ∆
OY
(0,0)
y = 2x
=f(x)
∆ y
________
= 2
∆ x
2
∆y
−1
∆x
1
OX
(−1,−2)
f(−1)=−2
−2
Figura 3.11:
A função linear y = 2x.
Esta diferença constante é chamada de razão da progressão aritmética.
A expressão ak é chamada termo geral da p.a.
4. Construindo p.a.
(a) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a0 = 1 e a razão ∆ = 2
(b) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a9 = 18 e a razão ∆ = 2
(c) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a0 = 1 e a razão ∆ = −2
(d) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a4 = 1 e a3 = 2
5. Termo geral de uma p.a. Verifique que se a razão de uma p.a. é ∆ então o seu
termo geral pode ser escrito em função do primeiro termo, a0 como
ak = a0 + (k − 1)∆.
Escreva a expressão do último termo, an−1 .
6. Numa p.a. com 10 termos o último termo é a9 = 26. Determine o termo geral
sabendo que a0 = −1.
7. Mostre que os ganhos do bombeiro hidráulico (exercı́cio acima) tem seus ganhos
definidos por uma p.a. ao longo de um dia de trabalho, em que k é o tempo
em horas inteiras, (descontando o tempo que ele leva para se translatar de um
cliente a outro)
8. Um técnico de TV e vı́deocassete cobra 40 reais pela visita e 4 reais pela hora de
trabalho (ou fração). Quanto lhe vai render um serviço que tiver durado 2 horas
e vinte minutos.
9. Em duas cidades A,B, as tabelas de corrida de taxi são definidas assim:
(a) Em A R$2,00 custa o quilómetro rodado (ou fração) e a bandeirada vale
R$1,50;
(b) em B R$1,50 custa o quilómetro rodado (ou fração), e a bandeirada vale
R$2,00
Faça os gráficos das curvas de preço dos taxis nas duas cidades e conclua se o
taxi é mais barato em alguma das cidades.
10. Mostre que o termo geral de uma p.a. pode ser escrito como uma função do
primeiro grau: f (x) = a + (x − 1)b e identifique usando as expressões ak , ∆ a
razão, o primeiro termo, e o termo geral desta progressão aritmética.
11. Mostre que numa p.a. a média aritmética de tres termos consecutivos ak , ak+1 , ak+2
a +a
é ak+2 = k 2 k+3 .
12. Encontre x sabendo que 3, x, 10 são os termos consecutivos de uma p.a.
13. Decida se é verdade: “os mandatos dos presidentes da república do Brasil, ocorrem segundo uma p.a.”.
14. Decida se é verdade, e se for escreva a p.a. correspondente: “as datas em que o
cometa Haley se torna visı́vel em nosso horizonte formam uma p.a.”
15. Quantos são os múltiplos de 7 entre 1000 e 2000 ?
16. Calcule o valor de x, y, z na p.a.
5, x, 13, y, 21, z, 29
17. termos equidistantes Por definição, dizemos que os termos ak , an−k são termos
equidistantes dos extremos numa p.a. Prove que a soma de todos os termos
equidistantes é constante, e calcule este valor relativamente a p.a.
a0 , a1 , . . . , a n .
18. Fórmula da soma dos termos Deduza do teorema anterior que
n
X
ak = a0 + a1 + . . . + an =
k=0
(a0 + an )n
2
19. Considere uma p.a.
a0 , a1 , . . . , a n .
com razão ∆. Uma outra sucessão é obtida, desta, mantendo-se o primeiro e o
último termo, mas considerando-se como razão ∆
. Calcule a soma dos termos
2
da nova progressão em termos da soma dos termos da primitiva.
20. Numa sucessão o termo geral é sk = ak + b em que a, b são dois números dados.
Mostre que esta sucessão é uma p.a.
21. Calcule a soma dos n primeiros números naturais. Existe alguma diferença no
resultado, considerada a polêmica sobre se o zero é ou não um número natural?
22. Escreva o termo geral da p.a. formada pelos n primeiros números naturais
ı́mpares.
23. Numa p.a. de termo geral an o primeiro termo é a0 = 5 e a razão é 2. Escreva
a expressão do termo geral e calcule a20 .
24. Numa p.a. tem-se a10 = 17, a0 = 13. Calcule a3 , a5 .
25. Numa p.a a10 = 17, a6 = 13. Calcule a5 − a3 .
26. Calcule a soma dos n primeiros números naturais ı́mpares.
27. Um grupo de pessoas almoçou num restaurante decidindo ao final ratear o custo
de $R 240,00 da refeição, quando, quatro pessoas do grupo disseram-se impossibilitadas de participar dos gastos o que aumentou em $R 5,00 o que cada uma
das outras teve que pagar. Quantos eram os membros do grupo ?
Solução: Vamos designar por x o número total de pessoas do grupo e portanto
o preço, por pessoa do rateio seria 240
ficando este preço acrescido de $R 5,00
x
quando quatro pessoas não puderam pagar: 240
+ 5. Este é o valor que cada um
x
dos x − 4 restantes do grupo tiveram que pagar individualemnte, portanto igual
240
a x−4
. Isto nos conduz à equação
240
x−4
=
240
x
+5
240x = 240(x − 4) + 5(x − 4)x
−48.4 + x2 − 4x = 0
−192 − 4x + x2 = 0
A raiz positiva desta equação é 16, a outra é −12 sendo, portanto, a resposta “eram
16 os membros do grupo”.
Definição 24 Progressão Geométrica
Uma sucessão {a0 , a1 , . . . an } se diz uma progressão geométrica, “p.g.” se a
quociente entre quais quer dois termos sucessivos for constante:
ak+1
=r
ak
Este quociente constante é chamado de razão da progressão geométrica.
28. Mostre que numa p.g. a média geométrica de tres termos consecutivos sk , sk+1 , sk+2
√
é sk+2 = ak ak+3 .
29. Encontre x sabendo que 9, x, 81 são os termos consecutivos de uma p.g.
30. Fórmula da soma dos termos de uma p.g. Deduza do teorema anterior que
n
X
k=0
ak = a0 + a1 + . . . + an =
(a0 + an )n
2
Capı́tulo 4
Conjuntos numéricos
fundamentais.
Neste capı́tulo vamos seguir o conselho de Kroneker e considerar o conjunto dos números
naturais absolutamente bem conhecido. A partir dele construiremos o conjunto dos números
inteiros e depois com este último construiremos o conjunto dos números racionais. Finalmente, faremos a construção geométrica do conjunto dos números reais, a reta real, seguindo
uma receita de David Hilbert, contida no seu famoso livro “fundamentos da geometria” e
depois mostraremos que esta construção geométrica e algebricamente compatı́vel com a estrutura do conjuntos dos números racionais que será então visto como um subconjunto da
reta real.
4.1
O conjunto dos nÃo meros naturais.
Não, não vamos construir o conjunto N. Vamos apenas falar um pouco dele
e construir alguns exemplos para estabelecer uma linguagem adequada para
o resto do capı́tulo.
Vamos deixar claro o que já sabemos sobre N, estabelecer as regras do jogo.
Como dissemos em nossos primeiros exemplos sobre estrutura, um conjunto
pode ser pode ser um agregado amorfo de objetos. Quando observamos que
algumas propriedades ou métodos se encontram presentes, o conjunto passa a
ser uma estrutura. Há vários tipos de estrutura em Matemática: estruturas
algébricas, ver [3] ou [5], estruturas topológicas, estruturas geométricas, etc...
Cada uma destas estruturas define um campo de atividade em Matemática e
a interação entre elas é fazer Matemática.
Vamos “descobrir” qual é estrutura algébrica de N.
4.1.1
A estrutura algébrica de N.
Temos dois método em N para construir mais um elemento do conjunto a partir de
dois conhecidos:
• a adição é um desses métodos simbolizada por c = a + b em que c é o novo
elemento obtido a partir de dois outros a, b ∈ N.
• a multiplicação é o outro método simbolizada por c = a x b em que c é o
novo elemento obtido a partir de dois outros a, b ∈ N. Quando não há dÃo vida
97
a multiplicação é simbolizada por justaposição: 3a = 3 x a. Entretanto, em
N, a multiplicação é soma repetida, 3a = a + a + a.
• N tem um primeiro elemento Nós adotaremos o zero como este primeiro
elemento. Há autores que preferem que seja 1. O essencial é verdade que N tem
um primeiro elemento. Todos os outros são obtidos como soma repetida deste
primeiro elemento com o 1.
• sucessor Em particular diremos que a + 1 é o sucessor de a. Isto quer dizer que
entre a e a + 1 não há nenhum nÃo mero natural.
• Consequentemente podemos construir o conjunto N
– Com o primeiro elemento;
– Com o “método” de determinação do sucessor.
Foram estes tres Ão ltimos axiomas que Peano descobriu. Infelizmente os axiomas de
Peano se aplicam com perfeição ao conjunto
{−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
em que −5 é o primeiro elemento, logo também, segundo Peano,
N = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
o que naturalmente não é verdade. Isto apenas mostra a fraqueza dos axiomas de
Peano para definir “número natural”. É melhor, portanto, evitar a definição e aderir
à frase de Dedekind, ”Deus criou os números naturais, e resto nós criamos.”
Usando todas estas informações podemos provar, (mas nós não vamos fazÃa -lo):
Teorema 25 Propriedades de (N, +, ·).
1. A adição é comutativa.
2. A adição é associativa.
3. Existe o elemento neutro para a adição, se considerarmos 0 como primeiro elemento de N.
4. A multiplicação é comutativa.
5. A multiplicação é associativa.
6. Existe o elemento neutro para a multiplicação.
7. A multiplicação é distributiva relativamente à adição.
8. (∀ a ∈ N) (0 x a = 0), e se a x b = 0 então a = 0 ou b = 0.
Usaremos este conjunto para construir todos os demais conjuntos numéricos que
se usa em Mamtemática. Os exercı́cios seguintes são um exemplo de construção tı́pica
do inı́cio do século 20 quando houve uma intensa atividade objetivando uma rigorosa
linguagem matemática. Hoje sabemos que este rigor todo é inviável sem criar contradições. Não sabemos porque, mas é assim. Se você não se sentir motivado para
fazer os exercı́cios, deixe-o de lado, e talvez volte aos mesmos n’outra ocasião.
Exercı́cio 12 Uma pequena amostra do “Principia”.
1. Quantos elementos têm os conjuntos seguintes:
a) {a}
a) {}
b) {{a}}
b) {{}}
c){{{a}}}
c){{{}}}
d) {{a}, {a}}
d) {{}, {}}
2. Verifique que {} ∪ {} = {}. Verifique que {{}} ∪ {} = {{}}.
3. Verifique que a união dos conjuntos {a}, {{a}} é um conjunto com dois elementos.
4. Verifique que a união dos conjuntos {{}}, {{{}}} é um conjunto com dois elementos.
5. Defina um método que consista em criar um novo conjunto unitário a partir de
{} inserindo o elemento {}. Verifique que este método é equivalente a operação
de sucessor de Peano no sentido de que com a união produz um novo conjunto
cujo cardinal é maior do que dos conjuntos existentes.
Observação 13 Unidade é um conceito realativo
Em algum momento na história, algum rei decidiu que a unidade era o seu braço.
Em 1979, com a Revolução Francesa, se passou a pensar em unidades universais
e os revolucionários franceses, para se oporem aos aristocratas ingleses, criaram o
sistema métrico que foi adotado no mundo inteiro, exceto na Inglaterra e nos Estados
Unidos. Mas mesmo nestes paı́ses, veladamente, é feito o uso do sistema métrico.
Mas há momentos em que você não consegue encontrar nenhum padrão de unidade
à sua volta, mas precisa de estabelecer o que é a unidade.
Escolha algo que esteja a sua volta e que possa servir para comparar com outras
coisas, esta será a sua unidade, naquele momento.
Suponha que você queira construir um quadrado de lado (a + b). Serviria para
ilustrar o produto notável (a + b)2 . Se você tiver à mão uma folha de isopor e quiser
construir pequenos retângulos, a unidade mais prática poderá ser a expessura desta
folha.
É você quem determina o que unidade, apenas mantenha a sua unidade o tempo
todo.
Observação 14 A construção feita por N de Russel
Foi este método ardiloso que levou Russel e Whitaker a constuirem os nÃo meros
naturais tendo zero como primeiro elemento. Para quem for curioso, havia um exemplar do Principia Matemática na biblioteca da Univ. Federal do CearÃ¡.
Então, “união do vazio com o vazio, resulta no vazio” e “reunião do vazio com um
conjunto unitário, resulta num conjunto unitário”.
Não estamos sugerindo que vocÃa siquer deva ler o Principia, mas se alguma
vez você se decidir por se aprofundar em Lógica, sem dÃo vida que este poderá ser um
caminho.
4.1.2
A ordem em N.
Da mesma forma como sabemos tudo sobre adição e multiplicação também sabemos
tudo sobre a relação de ordem em N. Vamos listar suas propriedades para referência
posterior.
Teorema 26 da estrutura de ordem em N..
Existe uma relação de ordem em N compatı́vel com o método de sucessor
m<m+1
e tal que que
• ∀ p ∈N m ≤n ⇒ m+p ≤ n+p
• ∀ p ∈ N m ≤ n ⇒ pm ≤ pn
Observe que de acordo com a estrutura lógica deste livro, não temos que demonstrar nada sobre N e seus métodos, tudo é conhecido.
Para aquecer o seu apetite lógico, o conceito de sucessor, usado no Teorema 26
pode ser usado para demonstrar todas as propriedades de N listadas no Teorema
anterior.
4.2
Os números inteiros.
Podemos facilmente conjecturar que o aparecimento dos inteiros deve ter se
dado junto com as primeiras concepções econômicas quando alguém teve a necessidade de registrar o que tinha e o que devia. Formalmente podemos inventar os inteiros a partir dos números naturais impondo um problema algébrico:
queremos encontrar um conjunto que estenda o conjunto dos números naturais onde sempre a equação
m+x=0
(4.1)
tenha solução. Vamos usar este mé todo algébrico.
4.2.1
A definição de Z.
Vamos espandir o conjunto dos números naturais criando uma solução para a equação
m+x =0
(4.2)
para cada número natural m.
Isto nos leva a inventar, para cada número natural m um novo objeto designado1
por −m. O resultado desta invenção é o novo conjunto:
Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
(4.3)
que já difere de N num ponto: Z não tem um primeiro elemento. Depois, seguindo
a tarefa de inventor, devemos nos preocupar com a extensão ao novo conjunto das
operações de adição e multiplicação definidas em N. Também deveremos estender a
relação de ordem de N a Z.
Vamos executar cada uma destas tarefas passo a passo, agora.
4.2.2
Extensão da adição aos inteiros.
Primeiro temos a “inventar” uma terminologia que você espera:
Definição 25 O conjunto dos números inteiros positivos.
Vamos particionar2 o conjunto Z.
Poderiamos definir −N sem o zero, mas quebrariamos outro hábito.
Poderiamos dizer que é uma “quase partição” e complicariamos desnecessariamente a linguagem. Z = N ∪ −N, e algumas vezes vamos usar este vocábulo.
1 observe
que -m é um único sı́ mbolo e não dois sı́mbolos aglomerados.
um defeito nesta “partição” o número zero pertence tanto a −N como a N. Mas é
preciso se acostumar com as contradições da Matemática.
2 há
• números inteiros positivos. O conjunto N será chamado de conjunto dos
números inteiros positivos. Zero é um número inteiro positivo.
• números inteiros negativos. O conjunto −N será chamado de conjunto dos
números inteiros negativos. Zero é um número inteiro negativo.
Observação 15 Zero é positivo e negativo.
É fácil ver que zero tem que ser tanto positivo quanto negativo, pois
• 0 + 0 = 0 satisfazendo os dois lados da equação que usamos para criar os novos
números,
• ele tinha que se encontrar também entre os novos números inteiros, os inteiros
negativos;
• e já se encontrava entre os velhos: era positivo.
Precisaremos do seguinte método, que chamaremos troca de sinal:
Definição 26 A troca de sinal.
t : Z → Z ; é uma função.
x ∈ N ⇒ t(x) ∈ −N ; x + t(x) = 0; t(x) = −x é negativo
x ∈ −N ⇒ t(x) ∈ N ; x + t(x) = 0; t(x) = −x é positivo
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
Por exemplo, −3 ∈ −N ⇒ t(−3) = 3 ∈ N.
Exercı́cios 18 Troca de sinal
1. Calcule
(a) t(3)
(b) t(t(3))
(c) t(3) + 3
(d) t(t(3)) + 3
(e) t(t(3)) + t(3)
(f ) t(a) + a
(g) t(t(a)) + t(a)
2. Porque as contas acima são absurdas do ponto de vista da lógica ? sendo assim,
como se justifica que se encontrem num texto didático?
3. Faça um gráfico da função
y = t(x) ; x ∈ A = {−5, −4, −3, . . . 3, 4, 5}
Discuta a falta de lógica desta questão.
Vamos manter, algum tempo esta notação esquisita, t(x) em vez de escrever −x
diretamente.
A extensão da adição aos inteiros é simples tendo uma ú nica complicação: quando
formos somar um número inteiro positivo com um número inteiro negativo. Para este
caso precisaremos comparar qual dos dois é maior em valor absoluto o que nos força
primeiro a definir o que é valor absoluto. Intuitivamente o valor absoluto de um número
é sua distância à origem.
Acabamos de fazer apenas um jogo de palavras.
Definição 27 Valor absoluto. O valor absoluto de um nú mero inteiro é um número
inteiro:
n
se n ∈ N;
|n| =
(4.8)
t(n) se n ∈ −N
quer dizer que se n ∈ N então |n| é o próprio número inteiro n. Se n ∈ −N, trocamos
o sinal de n o que o joga no conjunto N e esta imagem é o valor absoluto do número
negativo n.
Definição 28 de adição em Z.
• Se m, n ∈ N então sabemos calcular m + n.
• Se m, n ∈ −N então transformamos3 m 7→ t(m) ∈ N n 7→ t(n) ∈ N e somamos
como sabemos c = t(m) + t(n) ∈ N. e decodificamos c c 7→ t(c) = m + n − N.
• Se m ∈ N e n ∈ −N então:
– Se |m| ≥ |n| então m + n = m − |n|. Observe que à direita na equação
se encontra a diferença entre dois números naturais que não definimos ou
discutimos antes, mas nós sabemos tudo sobre N . . . . Observe também
que não usamos a função “troca de sinal” porque estamos fazendo uma
subtração em N, coisa conhecida como tal.
– Se |m| < |n| então m + n = t(|n| − m). Observe que primeiro calculamos |n| − m porque nos naturais só sabemos calcular a diferença entre
um númaior e um menor, nesta ordem. Depois trocamos o sinal da diferença para satisfazer a regra que reza ”na soma de números com sinais
diferentes4 , calcula-se a diferença e se dá a soma o sinal do maior”.
• A adição é comutativa em Z
Na lista de exercı́cios seguinte vamos construir o sistema aritmético tı́pico dos
computadores digitais que usamos. Você verá assim um outro tipo de “regra dos
sinais”.
Exercı́cios 19 Questões de lógica
1. Como justificar que teremos de demonstrar as propriedades das operações em Z
e já dissemos que a adição era comutativa, em um item, da definição? Ou o
texto está errado?
2. Rastreie os erros lógicos na construção feita acima.
3. sistema binário Suponha que o odômetro de um carro seja composto de apenas
zeros e uns, um odômetro binário, e que o maior número neste odômetro seja
11111111 o equivalente a 7 no sistema decimal de numeração. Quer dizer que,
quando o carro rodar mais um kilômetro o odômetro binário vai zerar, portanto
111 + 1 = 0
(4.9)
na aritmética deste odômetro.
3 veja
o que dissemos no capı́tulo “Relações e funções”sobre transformações, ver transformações.
4 leia corretamente, um positivo e outro negativo...
(a) tabuada binária Preencha a tabuada de adição desta aritmética no quadro
abaixo: (observe, somente 0,1).
+
0
1
10
11
100
101
110
111
0
1
10
11
100
101
110
111
(b) equações Resolva a equação
x + 11 = 10
nesta aritmética binária, usando as regras da aritmética. Observe, o inverso aditivo5 de 3 é 5... e que “coisas”como −3 ou −5 não existem na
tabuada acima.
4. O bit mais significativo Seria difı́cil “ensinar” a um computador a fazer as contas da tabuada acima. É mais fácil complicar um pouquinho mais, devido a
estrutura interna elétrica como funcionam os computadores, algo do tipo, acender ou apagar6 uma luz. Como na nossa aritmética, os computadores precisam
da mesma quantidade de elementos para representar os positivos e os negativos.
Nós acrescentamos um sinal, “−”, nos computadores se acrescenta mais um
“bit”, 0 para positivo e 1 para negativo. Este é o chamado bit mais significativo,
é o último bit à esquerda.
Assim, relativamente à taboada acima, 1111 representa um número negativo,
o inverso aditivo de 0001, que é positivo. Desta forma temos 15 números na
aritmética:
0111, 0110, 0101, 0100, 0011, 0010, 0001, 0000,
(4.10)
1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111
(4.11)
(a) regra dos sinais Verifique que a regra para “trocar sinal” é:
• invertem-se todos os bits (onde tem zero, troca-se por um, onde tem
um troca-se por zero);
• soma-se uma unidade.
Por exemplo
−0011 = 1100 + 1 = 1101 ; 1101 = 0011 = 0000
a última casa que “sobra” é utilizada para inverter o bit mais significativo.
(b) Construa a tabela da aritmética deste números e veja que ela é equivalente
a tabela binária anterior.
5 de
que 3 e de que 5 estamos falando ?
sistema de “acender ou apagar luzes” já está ultrapassado, mas o que existe é seme-
6 este
lhante.
5. regra dos sinais Analise a seguinte “demonstração” da regra para trocar sinal, e
acrescente as justificativas que não colocamos.
• Seja a um número binário e ã o binário recı́proco obtida com a inversão
dos bits;
• então a = ã = 1;
• logo é preciso acrescentar uma unidade em algum deles para obter o inverso
aditivo do outro.
Ao final deste capı́tulo você pode ler um programa, feito em Python, para ensinar
o computador a extensão da adição, da multiplicação e da desigualdade aos inteiros. O
programa é na verdade uma “farsa” porque o computador já sabe o que lhe queremos
ensinar e o próprio programa usa isto. Seria muito difı́cil construir corretamente (e
logicamente) esta questão, mas serve para lhe dar uma idéia da “utilidade” deste
aparato ló gico que estamos lhe propondo como aprendizagem.
4.2.3
Extensão do produto aos inteiros.
A extensão do produto aos inteiros é semelhante a que fizemos para estender a adição:
Definição 29 Multiplicação de números inteiros.
Exercı́cio para o leitor.
4.2.4
Extensão da ordem aos inteiros.
Quando dois números são desiguais, existe uma diferença entre eles. Vamos usar
este mé todo para decidir quem é o maior dos dois. Para isto precisamos estender a
diferença ao conjunto dos números inteiros:
Definição 30 de ordem em Z.
Dados m, n ∈ Z diremos que m ≤ n se, e somente se, n − m ∈ N. Se n − m 6∈ N
então diremos que m > n.
Deveriamos seguir a uma fastidiosa demonstração de que as propriedades seguintes
da soma valem:
Teorema 27 das propriedades de (Z, +).
3. existência do elemento neutro da adição É o zero: 0 + n = n.
4. existência do inverso aditivo
∀ m ∈ Z ∃n ∈ Z ; m + n = o.
O número n é designado por −m.
5. ∀ p ∈ Z m ≤ n ⇒ m + p ≤ n + p
Nós podemos encontrar estas mesmas propriedades em outros conjuntos munidos
de outras operações. Vamos dar um exemplo simples.
Exemplo 30 Estrutura algébricas das horas do relógio. Considere o conjunto
H = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
das horas de um relógio. Sabemos somar horas, por exemplo:
7 + 5 = 12 ; 6 + 7 = 1 ; ; 8 + 7 = 3.
Isto nos permite construir a seguinte taboada para adição:
+
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Da taboada podemos tirar alguma conclusões: 12 é o elemento neutro desta adição:
se ele for somado a qualquer outra hora, reproduz a outra. Toda hora tem inverso
aditivo:
1 + 11 = 12 ; 2 + 10 = 12 ; . . . 7 + 5 = 12 . . . , 9 + 3 = 12 . . .
A adição de horas é comutativa e associativa. Vemos assim que a estrutura algé brica
de (H, +) é idêntica a de (Z, +).
Temos exemplos da mesma coisa, cabe dar um nome comum a ambas.
Definição 31 de grupo comutativo.
Quando um conjunto com uma operação, (G, o) satisfizer as quatro propriedades
1. o é comutativa.
2. o é associativa.
3. Existe um elemento neutro relativamente a o.
4. Todo elemento de G tem um inverso relativamente a o.
diremos que (G, o) é um grupo comutativo.
Se a comutatividade não valer, diremos que é um grupo.
Num grupo podemos resolver qualquer equação7 . Vejamos um exemplo de equação
em (H, +).
7 não
se engane, qualquer equação tı́pica da estrutura.
Exemplo 31 Equação no grupo das horas. Vamos resolver, usando as propriedades,
a seguinte equação:
7 + x = 3 ; 7, x, 3 ∈ H ;
somando o inverso de 7 a ambos os membros:
5 + (7 + x) = 5 + 3
aplicando a propriedade associativa:
(5 + 7) + x = 5 + 3
simplificando:
12 + x = 8
como 12 é o neutro:
(4.12)
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
x=8
(4.19)
De fato:7 + 8 = 3.
(4.20)
Esta é a lista das propriedades da multiplicação e da ordem nos inteiros.
Teorema 28 das propriedades de (Z, · ≥).
3. Existe o elemento neutro para a multiplicação, o 1.
4. A multiplicação é distributiva relativamente à adição.
5. ∀a ∈ Z 0 x a = 0, e se a x b = 0 então a = 0 ou b = 0.
6. Se p ≥ 0 p ∈ Z então m ≤ n ⇒ pm ≤ pn.
7. Se p < 0 p ∈ Z então m ≤ n ⇒ pm ≥ pn.
Devido a não existência de um inverso multiplicativo, (Z, ·) não é um grupo. Isto
nos vai conduzir à construçào dos números racionais para sanar esta “falha” dos inteiros.
As demonstrações de cada item dos dois teoremas é longa e se reveste de um
aspecto de inutilidade porque todos sabemos que elas valem. Não é verdade que seja
inútil fazer estas demonstrações, pelo contrário, somos forçados a fazê-las se quisermos
construir a teoria corretamente. Entretanto todas elas se encontram feitas em uma
grande maioria dos livros de Álgebra e você deve se acostumar à consulta no sentido
de que não deve esperar que tudo esteja feito em único livro enciclopé dico. Também
uma possibilidade importante é de que você mesmo se inicie na arte da demonstração.
Vamos fazer algumas demonstrações dos itens listados nos dois teoremas para lhe
mostrar o caminho.
4.2.5
Algumas demonstrações
Vamos voltar a usar a função “troca sinal” com o sı́mbolo t.
Dem : Comutatividade da adição.
Queremos provar que m, n ∈ Z
⇒ m + n = n + m. Existem quatro casos possı́veis:
• m, n ∈ N e nada há o que demonstrar porque já admitimos tudo saber sobre N.
• m, n ∈ −N. Neste caso m + n = t(t(m) + t(n)), entretanto como t(m), t(n) ∈ N então
t(m) + t(n) = t(n) + t(m) logo
m + n = t(t(m) + t(n)) = t(t(n) + t(m)) = n + m
• m ∈ N e n ∈ −N. Este é um dos casos em que os sinais dos números são diferentes. Há
dois casos a considerar e na definição optamos por impôr a comutatividade na definição.
Vamos evitar isto aqui.
A regra para soma números inteiros, quando os sinais são diferentes, os separa em dois
casos:
1. Quando o número negativo tem maior módulo;
2. quando o número negativo tem menor módulo.
Observe que a separação entre os casos não menciona quem está åesquerda ou ådireita
na expressão, quer dizer a regra supõe a comutatividade. Quer dizer, para somar m, n,
se um for positivo e o outro negativo, tudo vamos observer é qual o sinal do maior e
depois fazer a diferença entre os módulos deles segundo as regras da diferença em N.
Isto mostra que m + n = n + m neste caso.
q.e.d .
Vamos demonstrar algumas das propriedades envolvendo a relação de ordem.
Dem : ∀p ∈ Z ; m ≤ n ⇒ m + p ≤ n + p..
Por definição, m ≤ n ≡ n ≥ m ≡ n − m ∈ N Se somarmos e subtrairmos p não iremos
alterar a expressão:
n − m = (n + p) − (m + p) ∈ N
logo, aplicando a definição ao segundo membro da igualdade temos:
n+p ≥m+p ≡m+p≤n+p
q.e.d .
Vejamos a demonstração da propriedade envolvendo a desigualdade e o produto:
Dem : Se p for positivo, então n ≥ m ⇒ pn ≥ pm.
Este resultado é consequência direta do seguinte (um lema):
Lema 1 O produto de inteiros positivos é positivo. Dem : Está na própria definição do
produto, veja o primeiro item. q.e.d .
Agora, como p é positivo, então p(n − m) é positivo, e pela distributividade do produto
relativamente à soma, temos:
p(n − m) = pn − pm ∈ N ≡ pn ≥ pm
q.e.d .
Exercı́cios 20 estruturas algébricas dos inteiros.
1. Resolva as seguintes equações, se forem possı́veis, não sendo explique por que.
3x + 7 = 10
2x − 8 = 4x − 7 x+3
= 2x + 1
7
x−3 =x+3
x − 4 = 2x + 5 x + 43 = 2
2. Verifique as seguintes desigualdades.
≤ 2x + 1
3x − 7 < 10
2x − 8 < 4x − 7 x+3
7
2x − 3 ≥ x + 3
x − 4 ≤ 2x + 5 x + 43 = 2
3. Faça uma lista completa das propriedades de (Z, +, ·, ≥). Use a estrutura de
grupo para simplificar a listagem.
4.3
O conjunto dos números racionais.
Na escala da evolução do pensamento chegou um momento em que haviam
quantidades que não eram inteiras relativamente a outras. Por exemplo, veja
as medidas padronizadas, todas elas foram e serão convenções, o pé do rei,
o metro inventando pela Revolução Francesa para encerrar a história real e
abrir uma era brilhante de império do direito de todos inclusive nas ciências.
Ingleses e americanos, numa atitude arrogante, continuam usando as velhas
medidas, pé, milha, etc...
Mas quando se for medir a altura de uma pessoa, será raro encontrar quem
meça um metro ou dois metros.
O comum será encontrar quem meça um metro e um pouquinho de metro,
por exemplo 1m + 21 m. Chegamos assim aos nú meros racionais como uma
necessidade da evoulução dos conhecimentos humanos, mas vamos retornar ao
trabalho algébrico e discutir a invenção dos racionais para resolver equações.
4.3.1
Incompletitude algébrica de Z.
Na seção anterior definimos grupo e verificamos que (Z, ·) não era um grupo porque
lhe faltava o inverso multiplicativo. Foi esta a razão que nos levou construir Z a partir de N, porque (N, +) não era um grupo. Faremos o mesmo agora, construindo
um novo conjunto em que “todos” os seus elementos tenham inverso multiplicativo.
O método poderia ser inteiramente algébrico para depois descobrirmos uma forma
adequada para estes novos elementos, mas com isto perderiamos o tempo que a Humanidade já ganhou, vamos logo descrever aquilo que já sabemos com um leve disfarce
de “descoberta”.
Queremos que a equação
ax = 1
tenha sempre solução, para todo a ∈ Z. A solução para este problema tem que ser
“inventada” pois na época em que haviam apenas os inteiros este problema era “impossı́vel”.
Existe um elemento de Z para o qual isto não será possı́vel, até mesmo porque precisamos que este elemento tenha propriedades diferentes, o zero, para o qual desejamos
a propriedade:
(∀ a ∈ Z) (a · 0 = 0).
Esta será uma exceção8 a regra.
A solução que aos poucos se cristalizou foi a de caracterizar o número x com o
formato de “fração”:
1
x= .
a
Observe que temos uma invenção, se convencionou que o novo objeto que tornaria
a equação ax = 1 possı́vel seria x = a1 . Desta forma acrescentamos ao conjunto Z os
novos objetos:
[
1 1 1 1 1
1
1
Z′ = Z {. . . , , , ,
,
,
. . .}
(4.21)
3 2 1 −1 −2 −3 −4
e como anteriormente, a primeira preocupação seria definir no novo conjunto as operações
de adição e multiplicação para testar a nova estrutura algébrica e sua compatibilidade
com as anteriores, de Z, N.
Um belo trabalho algébrico, você está convidado a experimentá-lo, pode conduzir à
solução que já conhecemos, vamos resumir o processo usando a experiência acumulada.
8 quem
foi que disse que em Matemática não existem exceções...
Ao tentar somar “números” como p1 , q1 se notou que este formato era insuficiente,
. Assim se definiu
seria necessário um formato mais “complicado” que é m
n
Q = {x ; x =
p
; p, q ∈ Z ; q 6= 0}
q
(4.22)
As figuras (fig. 4.1), página 105 mostram duas frações equivalentes.
quatro quartos
oito oitavos
A fracao 2/8 esta marcada
A fracao 1/4 esta marcada
Figura 4.1:
Frações equivalentes com denominadores diferentes
1
4
=
2
8
Abaixo vamos redefinir o conjunto Q em forma definitiva, a presente definição é
provisória, é a que se encontra na maior dos livros, veremos que há outra melhor.
Observação 16 A função do numerador e do denominador. Como já haviamos antecipado antes quando falamos de produto cartesiano, e de par ordenado, um número
racional é um par ordenado de inteiros. É ordenado porque ele é formado de numerador e de denominador que não podem ser trocados. Numa fração, o numerador
representa uma multiplicação, enquanto que o denominador representa uma divisão,
uma invenção anônima de extraordiná rio poder prático e teórico.
A figura (fig. 4.2) na página 107, mostra como se podem representar os números
racionais na reta, sobretudo mostra como podemos representar as frações pq dado q,
que no caso da figura q = 7.
4.3.2
Estensão da álgebra dos inteiros aos racionais
Está na hora de definirmos em Q as duas9 operações básicas: adição e multiplicação.
Definição 32 da adição em Q.
n
Dadas duas frações, pq , m
definimos
p
n
pm + qn
+
=
q
m
mq
isto é, no denominador o produto dos denominadores, no numerador a soma dos produtos em cruz do numerador de uma com o denominador da outra.
Observação 17 Inutilidade do m.m.c A definição clássica que passa pelo “m.m.c.”
dos denominadores produz um resultado otimizado, comparado com esta, e nós voltaremos a este assunto posteriormente. Entretanto a definição acima mostra a inutilidade
do uso do “m.m.c”.
Podemos chegar facilmente a regra de multiplicar usando um método intuitivo: a
multiplicação tem que ser compatı́vel com o que já foi feito anteriormente, uma soma
repetida. Queremos então que 2 · q1 = q1 + 1q . Se aplicarmos a regra operatória da soma
teremos
2q
1
1
q+q
1
== 2
2· = + =
2
q
q
q
q
q
como já observamos, o numerador representa uma multiplicação, neste caso uma multiplicação por 2q e o denominador representa uma divisão, neste caso por q · q.
Quer dizer que há uma multiplicação e uma divisão por q que se auto-eliminam,
podemos assim cancelar q no numerador e no denominador:
2·
1
2q
2
1
1
q+q
== 2 =
= + =
2
q
q
q
q
q
q
Poderiamos repetir este processo com 3 · q1 ou diretamente com p · q1 para concluirmos
que regra de multiplicar por inteiros deverá ser p · 1q = pq .
1 1
Se quisermos multiplicar m
, q devemos pensar no papel que têm numerador e
denominador.
O número inteiro m está dividindo, se multiplicarmos as duas frações será natural
que m venha a multiplicar q para reforçar a função que este último exerce:
1 1
1
· =
.
m q
mq
Juntando estas idéias vem a definição de multiplicação de frações:
9 todo
mundo fala em quatro operações, mas só existem duas...
Figura 4.2:
Racionais e inteiros
Definição 33 de multiplicação de frações.
n p
Dadas duas frações, m
, q definiremos
n p
np
· =
m q
mq
isto é, para multiplicar frações, multiplicamos seus numeradores e denominadores entre
si.
Verifique que os exemplo anteriores se enquadram nesta definição:
2
21
2
1
p1
p
1
=
= ; p =
=
q
1q
q
q
1q
q
Exercı́cio 13 Operações aritméticas em Q.
1. numerador multiplica, denominador divide Considere a fração 35 . Se multiplicarmos numerador e denominador pelo mesmo número a teremos: 3a
que é uma
5a
3
fração equivalente a 5 . Esta afirmação ainda vale para a = 0 ?
2. numerador multiplica, denominador divide Verifique quais das afir-mações é verdadeira, e justifique porque:
•
•
•
•
3
7
3
7
1
7
3
7
=
=
<
>
6
14
5
9
3
7
3
5
Rigorosamente falando não podiamos incluir aqui desigualdades, elas ainda não
foram definidas.
3. Queremos somar as duas frações 37 , 68 . Justifique as seguintes operações que alteram uma linha ao passar para seguinte:
3
6
4.3.3
+
3
+ 86
6
3
+ 6·6
6
6·8
8·3
6·6
+ 6·8
8·6
24
60
+ 36
= 48
48
48
6
60
= 48
= 5·12
8
4·12
=
5
4
Compatibilidade dos inteiros com os racionais.
As definições que fizemos da adição e da multiplicação de nada adiantariam se os
seguintes fatos não fossem resguardados:
1. as propriedades que a adição e a multiplicação têm nos inteiros.
2. coı̈ncidência com a multiplicação e adição dos inteiros.
Na verdade uma pergunta se impõe: inteiros são também frações?
Este é nosso programa imediato, verificar que as operações com os inteiros são as
mesmas que acabamos de definir, na verdade começaremos mostrando que de certa
forma Z ⊂ Q. Vamos começar mostrando que de certa forma os inteiros são um
subconjunto dos racionais.
Formalmente não são, uma vez que um nú mero racional é um par ordenado de
números inteiros. O que acontece é que podemos encontrar dentro deste conjunto
de pares ordenados uma imagem de Z obtida por uma bijeç~
ao e como já vimos,
as bijeções identificam as imagens de uma tal forma que não precisamos mais ver
“diferenças” entre elas.
Observação 18 Diferença entre frações
Vamos definir a diferença entre frações.
O hábito nos indica que a diferença é uma soma em que um dos termos tem o
“sinal trocado”. Claro, aqui mais um problema de lógica, o que significa trocar o sinal
em Q ?
Vamos definir
−p
p
Q → Q ; x = 7→ −x =
q
q
que a troca de sinal de uma fração se dá pela troca de sinal do numerador da mesma.
Agora podemos calcular a diferença entre m
,p :
n q
m
p
m
−p
mq − np
− =
+
=
.
n
q
n
q
nq
Mas, o que seria zero em Q ?
Por definição, zero é o número que somado a qualquer “outro” reproduz o “outro”,
o elemento neutro da adição. A fração 10 tem esta propriedade:
p
0·q+1·p
p
0
+ =
= .
1
q
1·q
q
Teorema 29 da imagem de Z em Q.
é injetiva.
A função Z → Q ; m 7→ m
1
Dem :
′
, m1 serão diferentes.
Basta verificarmos se m, m′ forem diferentes, então m
1
′
Ora, como os inteiros m, m são diferentes por hipótese, então m − m′ 6= 0 e portanto
m−m′
6= 10 o que nos leva a concluir que se m 6= m′ então a imagem destes inteiros dentro
1
de
m m′
, 1
1
são dois números racionais diferentes.
A função construida é injetiva. Como não é bijetiva, então podemos dizer:
Z ⊂ Q.
(4.23)
q.e.d .
Observe você a razão da expressão “certa forma” quando dissemos que Z ⊂ Q. De
agora em diante riscaremos esta forma de falar do nosso texto, diremos simplesmente
que Z ⊂ Q.
Somando agora dois inteiros sob a forma de fração para verificar que o resultado é
o mesmo que a soma de inteiros:
m
n+m
n
+
=
7→ n + m ∈ Z
1
1
1
mostra que tanto faz somarmos em Z e depois transferirmos para Q quanto somarmos
diretamente em Q as imagens dos inteiros.
Da mesma forma para a multiplicação:
Z x Z ∋ (n, m) 7→
Z x Z ∋ (n, m) 7→
nm
nm
=
7→ nm ∈ Z
1 1
1
mostrando que a multiplicação entre as imagens dos inteiros em Q coı̈ncide com a
imagem dos inteiros multiplicados.
Com isto provamos o teorema:
Teorema 30 da compatibilidade das operações com os inteiros.
A adição e a multiplicação de números racionais é compatı́vel com estas operações
sobre os inteiros.
Na verdade deveriamos mostrar um teorema equivalente ao que demonstramos
para os inteiros. Não iremos demonstrar os teoremas, como no caso dos inteiros,
vamos enunciá-los e fazer algumas demonstrações com o intúito de sugerir que você
mesmo as faça como exercı́cio.
Teorema 31 das propriedades de (Q, +).
3. existência do elemento neutro da adição É o zero:
0
1
+
n
m
=
n
.
m
4. existência do inverso aditivo
(∀
n
n
∈ Q) (∃x ∈ Q ) ( + x = 0).
m
m
O número x é designado por
que as coisas se encaixam.
−n
.
m
Em suma ele é obtido por troca de sinal, vemos
5. (∀ p, a, b ∈ Q) (a ≤ b ⇒ a + p ≤ b + p)
Observação 19 Um erro lógico !
Se tentarmos demonstrar a última propriedade no teorema acima, veremos que não
foi definida a desigualdade em Q.
Precisamos saber quando ab ≥ pq .
Vamos usar o método dos inteiros:
a
b
≥
p
q
≡
a
b
−
p
q
≥0
a
≥ pq ≡ aq−pb
≥0
b
bq
p
a
≥ q ≡ aq − pb ≥ 0
b
a
≥ pq ≡ aq ≥ pb
b
A última expressão é significativa, aq ≥ pb é uma DESPROPORçÃO. Se tivessemos aq = pb diriamos que ab = pq seria uma proporção. Logo as frações ab ≥ pq não
formam uma proporção mas a lei das proporções “produto dos extremos é menor do
que o produto dos meios” caracteriza quando ab ≥ pq
Vamos corrigir o erro lógico definindo a desigualdade em Q.
Definição 34 Desigualdade em Q
a
≥ pq ≡ aq ≥ pb
b
e o teorema sobre a estrutura multiplicativa de Q.
Teorema 32 das propriedades de (Q, ·).
3. Existe o elemento neutro para a multiplicação, o
1
.
1
4. Para todo a ∈ Q ; a 6= 0 existe um número racional b tal que ab = ba = 1 = 11 .
Isto é todo número racional diferente de zero tem inverso multiplicativo.
Com estes dois teoremas vemos uma diferença substancial entre Z e Q. O conjunto dos números racionais é um grupo tanto com a adição como relativamente multiplicação, desde que tiremos o zero no último caso. Dizemos isto assim:
Teorema 33 do grupo comutativo (Q, +).
O conjunto dos números racionais com a adição é um grupo comutativo.
Teorema 34 do grupo comutativo (Q∗ , ·).
O conjunto dos números racionais sem o zero, Q∗ , com a multiplicação é um grupo
comutativo.
Da mesma forma que com os inteiros, existem algumas propriedades que ligam a
adição e a multiplicação:
Teorema 35 das propriedades que ligam o grupo aditivo e o multiplicativo
1. O produto de números racionais é distributivo relativamente åsoma.
2.
∀a ∈ Q) (0 x a = 0),
e se a x b = 0 então a = 0 ou b = 0.
3.
∀ p, m, n ; p ≥ 0 ; p, m, n ∈ Q ;
m ≤ n ⇒ pm ≤ pn.
Se p < 0 então m ≤ n ⇒ pm ≥ pn.
A última propriedade liga a estrutura de ordem (Q, +, ≤) com a o grupo multiplicativo.
Quando todas estas propriedades forem verdadeiras, temos uma nova estrutura
algébrica chamada corpo ordenado.Quer dizer que
Teorema 36 O conjunto Q dos números racionais, é um corpo ordenado.
4.3.4
Algumas demonstrações
Como já observamos no caso dos inteiros, deveriamos fazer demonstrações cuidados
de todas as propriedades dos racionais. Novamente vale a mesma observação. Estas
demonstrações existem feitas em diversos locais e seria um desperdı́cio de tempo e de
inteligência simplesmente repetı́-las. Vamos, entretanto, fazer algumas delas com o
intúito de apoiar sua iniciativa para que você tente fazer as demais como exercı́cio.
Escolhemos para fazer a demonstração algumas que vão conduzir a algumas topadas lógicas cujos comentários completarão a teoria. É uma forma didática de construir
uma teoria, mostrando quando e onde são necessários os teoremas. É també m uma
forma muito longa10
Teorema 37 A adição é associativa.
Dem :
Queremos provar que, dados tres números racionais,
a p n
, ,
b q m
é verdade que
a
p
n
a
p
n
+( + )= ( + )+
b
q
m
b
q
m
A soma dos termos no primeiro membro é:
pm + qn
b(pm + qn) + aqm
amq + bmp + bnq
a
+
=
=
b
qm
bqm
bmq
que é exatamente o que se obtém somando os termos do segundo membro. q.e.d .
Teorema 38 Existência do elemento neutro relativamente à soma
Dem :
Buscamos uma fração
n
m
que somada a qualquer outra
n
= pq
m
p
n
+m
= pm+qn
= pq
q
qm
n
= pm+qn
= pm
⇒
m
qm
qm
p
q
p
q
+
p
q
reproduza esta última:
+
⇒ pm + nq = pm
⇒
nq = 0
⇒ n=0
Analisando as contas e suas transformações lógicas, da primeira para segunda linha acrescentamos a expressão da soma das duas frações impondo que fosse igual à fração que esperamos
encontrar.
Da segunda para terceira linha alteramos a expressão da fração pq incluindo nela o número
inteiro m multiplicando e dividindo, quer dizer, sem alterá-la. Observe observação anterior
a respeito, procure numerador, denominador no ı́ndice remissivo. Na última linha conluimos
o que era possivel da igualdade entre dois pares ordenados: as coordenadas do mesmo tipo
dos pares tem que ser iguais: numeradores e denominadores iguais entre si. A conclusão é
que qn = 0 e como q não pode ser zero, porque é um denominador, tem que ser n = 0.
A conclusão desagradável é de que não existe um único elemento neutro relativamente à
0
somada a outra fração, reproduz a outra. q.e.d .
soma. Qualquer fração da forma m
Conclusão desagradável na demonstração anterior porque esperamos unicidade do
elemento neutro. Vamos voltar a discutir esta questão ao final.
10 é
a acusação principal que se faz a Gauss, ele publicou todos os seus trabalhos na forma
final, como ele mesmo disse, “todo construtor cuidadosamente retira os andaimes quando a
construção termina...”,ver [1].
Teorema 39 Existência do inverso aditivo.
Dem :
Queremos provar que para toda fração pq existe uma outra fração x tal que
n
a possı́vel fração:
Vamso agir “algebricamente”, seja x = m
p
q
p
q
em que usamos
0
mq
+
n
m
=
n
=0
m
pm+qn
=
qm
p
q
+ x = 0.
+
0=
0
mq
para representar o zero, porque já vimos que qualquer fração que tenha 0
no númerador representa o zero. A escolha exatamente é ardilosa11 . A conclusão da última
igualdade é que pm + nq = 0 “passando para o segundo12 membro” pm nos leva a
nq = −pm
n
m
=
−p
q
da primeira para segunda linha, dividimos ambos os números inteiros pelo inteiro mq consn
procurada.
truindo a igualdade entre duas frações que nos levou a forma da fração m
Se você quiser, podemos justificar a passagem da primeira para a segunda linha interpretando nq = −pm como “produdo dos extremos é igual ao produto dos meios numa proporção”
então na segunda linha está a proporção correspondente.
Vemos que, para obter o inverso aditivo de pq , basta trocar-lhe o sinal: inverso aditivo de
p
q
é
−p
.
q
Poranto existe para todo número racional um inverso aditivo. q.e.d .
Teorema 40 Desiguldade e produto
∀ a, b, c ; c ≥ 0 ; a, b, c ∈ Q ;
a ≤ b ⇒ ac ≤ bc.
Se c < 0 então a ≤ b ⇒ ac ≥ bc.
Dem :
Observação 20 O conjunto dos racionais positivos
Definimos a ordem em Q mas é preciso aprofudar esta questão. Por exemplo, dadas
duas fraçõe x, y sabemos que x ≥ y se, e somente se, x − y ∈ Q+ o conjunto dos números
racionais positivos.
O problema persiste... “que é o conjunto dos números racionais positivos?”
Para entender melhor a definição, vejamos alguns exemplos. Se uma fração tiver numerador e denominador positivos, é razoável pensar nela como um número positivo, porque para
encontrar o seu inverso aditivo teriamos que trocar o sinal do numerador.
Podemos então redefinir Q :
Definição 35 de Q.
Q = {x ; x =
p
; p ∈ Z ; q ∈ N∗ }
q
quer dizer que só vamos admitir frações com denominador positivo.
3
Um fração como −4
será “corrigida” para −3
.
4
Na última seção vamos discutir esta pluralidade de números racionais e como entendê-la.
Assim podemos finalmente particionar
Q em dois conjuntos, ou “quase-particionar” como
S
já fizemos com os inteiros: Q = Q− Q+ .
11 são
tais ardı́is que se explicam na frase de Gauss já citada, tiramos os andaimes ao termino
da construção.
12 a maneira correta de falar é, somando −pm a ambos os membros. . .
O conjunto Q− consiste de todas as frações cuja numerador seja negativo, é o conjunto
dos números racionais negativos.
p
; p ∈ −N ; q ∈ N∗ }
q
O conjunto Q+ é o conjunto de todas as frações cujo numerador seja positivo, é o conjunto dos racionais positivos.
p
Q = {x ; x =
; p ∈ N ; q ∈ N∗ }
q
Q = {x ; x =
Zero é um elemento comum aos dois conjuntos, porisso dissemos que tinhamos “quaseparticionado” Q.
Da mesma forma como para os inteiros, este teorema é consequência direta de um teorema
mais simples, (um lema):
Lema 2 O produto de números racionais positivos, é positivo.
Dem : Tomemos dois números racionais positivos, quer dizer duas frações pq ,
, p, n ≥ 0, de acordo com a nova definição de Q. Calculando-lhes o produto temos:
p n
pn
·
=
.
q m
mq
n
m
com
Como p, n são positivos, o produtos destes dois inteiros positivos é também positivo: pn ≥ 0
e logo
pn
≥0
mq
q.e.d .
Como a ≤ b ≡ b ≥ a então b − a ≥ 0, pelo lema
c(b − a) = bc − ac ≥ 0 ≡ bc ≥ ac ≡ ac ≤ bc,
como queriamos demonstrar.
Se, por outro lado, c < 0 então o seu produto com qualquer racional positivo resulta num
racional negativo, logo
c(b − a) = bc − ac ≤ 0 ≡ bc ≤ ac ≡ ac ≥ bc,
como queriamos demonstrar. q.e.d .
Teorema 41 Existência do inverso multiplicativo
Todo número racional diferente de zero tem inverso multiplicativo.
Dem :
Tome um número racional, pq . Novamente vamos supor que a afirmação é verdadeira e
vamos calcular o valor do número racional x
tal que
y
p x
1
· =1=
q y
1
Efetuando as contas:
p
q
·
x
y
⇒
=
px
qy
=
px = qy
1
1
=
⇒
qy
qy
x
y
⇒
=
q
p
estas contas não são vá lidas se p = 0 que está excluido por hipótese.
Assim o inverso de pq é pq .
q.e.d .
4.3.5
Classes de equivalência de frações.
Um dos “problemas” que encontramos em nossos cálculos anteriores foi o da falta de
unicidade, por exemplo no caso do elemento neutro da soma em que qualquer fração
com numerador 0 é elemento neutro para soma. Quer dizer que há muitos zeros.
A forma de resolver este problema vem sob a forma de relaç~
ao de equival^
e
ncia. Esta forma de equivalência é a velha lei das proporções agora aqui com nova
roupagem:
Definição 36 Equivalência entre frações.
Diremos que duas frações são equivalentes, quando, colocadas como proporções, o
produto dos meios for igual ao produto dos extremos:
p
n
≡
se, e somente se, pm = qn.
q
m
E agora vamos a última, e definitiva, definição do conjunto dos números racionais:
Definição 37 do conjunto dos números racionais.
Seja
p
F = { ; p ∈ Z e q ∈ N∗ },
q
F é o conjunto de todas as frações que anteriormente chamamos de Q, e considere em
P(F ) o conjunto das classes de equivalências induzidas pela lei das proporç~
oes, quer
dizer que cada uma das classes de equivalên-cia é formada exclusivamente por frações
que formem proporções. Este conjunto é Q, o conjunto dos números racionais.
E agora a “coisa” se complicou, o capı́tulo tem começar todo de novo: definir as
operações de adição e multiplicação para este novo conjunto, definir uma ordem, e
voltar a provar os teoremas...
Mas, vamos preferir deixar isto como exercı́cio para o leitor. . . O próximo bloco de
exercı́cios sugere estas demonstrações, nele faremos um tipo de representação geométrica
para o conjuntos dos números racionais, baseada na proporcionalidade existente em
cada classe de equivalência. No final deste capı́tulo veremos outra interpretação geométrica que irá abrir espaço para construirmos o conjunto dos números reais.
Exercı́cio 14 Interpretações geométricas de Q.
1. Mostre que se duas frações,
a
b
e
n
m
forem equivalentes, então:
p
a
p
n
+ ≡ +
m
q
b
q
2. Mostre que se duas frações,
a
b
e
n
m
forem equivalentes, então:
a p
n p
· ≡ ·
m q
b q
qualquer que seja a outra fração
p
.
q
3. Faça o gráfico do produto cartesiano Z x N∗ .
(a) Verifique que
p
q
∈ Q ≡ (p, q) ∈ Z x N∗ .
(b) Represente a fração 31 como o ponto (1, 3). Escolha algumas frações equivalentes a ela, faça coorespondente representação gráfica. Qual a conclusão
geométrica?
(c) Represente a fração 25 como o ponto (2, 5). Escolha algumas frações equivalentes a ela, faça coorespondente representação gráfica. Qual a conclusão
geométrica?
(d) Faça a demonstração de que a conclusão geométrica sugerida nos itens
anteriores vale sempre.
4. Verifique se é verdade: As classes de equivalência que formam Q se encontram
sobre as “semi-retas” que partem da origem e passam por uma “representação”
qualquer de um elemento:
a
Q ∋ 7→ (a, b) ∈ Z x N∗
b
a classe de
a
b
se encontra na reta que passa na origem e pelo ponto (a, b).
5. módulo e classe de equivalência.
(a) Dentro do espirito da questão anterior, determine a reta que contem a
classe do 1.
(b) Ainda dentro do mesmo espirito geométrico, determine a reta que contem
a classe do 2.
(c) Ainda dentro do mesmo espirito geométrico, determine a reta que contem
a classe do 21 .
(d) Determine a reta que contem a classe do
(e) Determine a reta que contem a classe do
(f ) Determine a reta que contem a classe do
1
.
3
1
.
4
−1
.
2
(g) Determine a reta que contem a classe do −2.
(h) Determine a reta que contem a classe do −3.
(i) De todas estas experiências deduza uma regra geral que associe sinal e
módulo sobre a localização geométrica das classes de equivalência de números
racionais
Observação 21 Comentários sobre os exercı́cios.
1.
n
m
+
p
q
=
nq+mp
qm
a
b
+
p
q
=
aq+bp
bq
(nq + mp)bq = (aq + bp)qm
nbq 2 + bmpq = amq 2 + bmpq
nbq 2 = amq 2
nb = am equivale à hipótese
a
b
≡
n
m
Conclusão a adição que definimos no velho Q é a mesma que para o novı́ssimo
Q das classes de equivalência.
2.
n
m
a
b
·
·
p
q
p
q
=
=
np
mq
ap
bq
npbq = apmq ≡ nb = am equivale à hipótese
a
b
≡
n
m
3. Se duas frações ab , xy forem equivalentes então ay = bx ≡ y = ab x quer dizer
“qualquer que seja xy o numerado e o denominador estarão sempre na mesma
proporção”. Se representarmos xy como o ponto (x, y) no plano, eles serão catetos de triâ ngulos retângulos semelhantes, logo as hipotenusas ficarão sempre
sobre a mesma reta. Quer dizer, (x, y) estará sobre a reta determinada por (a,b),
é o que as experiências sugeriram. De fato, a classe de ab se encontra na reta
que passa na origem e pelo ponto (a, b). Observe que a “primeira coordenada”
do par ordenado ab é a.
4. Conclusão geométrica sob a localização das classes de equivalência das frações:
• As classes de equivalência que comtém as frações negativas, são as semiretas contidas no quarto quadrante.
• Se uma classe de equivalência contiver frações de módulo menor que 1,
“frações próprias”, então ela contém as frações
a
≡ (a, b) ; a < b
b
então os pontos (a, b) se encontra em uma reta acima da primeira bissetriz.
• A classe do 1 é primeira bissetriz.
• A classe do −1 é segunda bissetriz, é a semi-reta que passa na origem e
pelo ponto (1, −1), no quarto quadrante.
• Se uma fração tiver módulo maior que 1, for uma fração imprópria, sua
classe de equivalência será uma semi-reta entre as duas bissetrizes.
• A classe das frações nulas, convenientemente, está sobre o eixo OY.
• curiosidade... O eixo OX não contém frações, por que?
4.3.6
O m.m.c. e a soma de frações.
Um denominador comum entre duas frações podem ser vários. Já vimos anteriormente
que uma forma de encontrar um denominador comum, seria considerar o produto dos
denominadores.
O produto de dois nú meros é um múltiplo comum a ambos.
O m.m.c entre dois nú meros é o “menor” múltiplo comum entre estes números.
Vamos considerar duas frações, ab , pq .
Para somar estas frações, podemos simplesmente construir duas frações equivalentes a estas com denominador bq. Depois vamos escrever
a
p
aq + bp
+ =
.
b
q
bq
Em vez de escolhermos bq vamos escolher um múltimo comum que seja menor que bq,
se houver. Vamos chamá-lo m e estamos querendo dizer que:
m = bc ; m = qc′
e os dois fatores c, c′ não precisam ser iguais. A gora a soma de frações fica:
a
b
+
p
q
=
ac
bc
+
pc′
qc′
a
b
+
p
q
=
ac
m
+
pc′
m
a
b
+
p
q
=
=
=
′
ac+pc
m
Esta é expressão mais simples da soma se não houver fator comum entre a, p, m.
Entretanto é bom salientar a completa inutilidade do cálculo do m.m.c. para somar
frações.
4.4
Outra interpretação geométrica de Q e dos
números reais.
Mostraremos que o conjunto dos números racionais tem um comportamento
geométrico. Embora ele venha de uma extensão algébrica de Z e guarde muita
semelhança ainda com este conjunto, ele já contém a semente de um conjunto
mais avançado, o conjunto dos números reais.
A completação que faremos de Q para chegar ao conjunto R dos números
reais será de natureza geométrica, em oposição as passagens que construimos
N → Z → Q−→R
4.4.1
A reta e os racionais.
Os números racionais têm uma propriedade que os faz fundamentalmente diferentes
dos inteiros:
entre dois nú meros racionais, tem outro número racional.
Isto torna Q infinito de muitas maneiras:
• cresce indefinidamente no sentido positivo, como N, ou
• decresce indefinidamente no sentido negativo como Z, e
• finalmente tem uma infinidade de número racionais entre quaisquer dois números
racionais.
Observe uma interpretação geomé trica desta afirmação na figura (fig. 4.3) na página
118.
1
0.015625
0.03125
0.0625
0.125
0.25
0.5
11
0.5
0
0
0.125
0.25
Figura 4.3:
0.375
0.5
0.625
0.75
entre dois racionais sempre há outro...
0.875
1
Exemplo 32 Entre dois racionais há outro racional.
• Entre 0 e 1: 0.5
• Entre 0 e 0.5: 0.25
• Entre 0 e 0.25: 0.125
• Entre 0 e 0.125: 0.0625
• Entre 0 e 0.0625: 0.03125
• Entre 0 e 0.03125: 0.015625
Observe na figura (fig. 4.5) página 119, o intervalo [0, 1] colocado sob lente de
aumento.
1/2
0
1
1
0
0
1/4
3/4
1
1/2
Figura 4.4:
O intervalo [0, 1] colocado sob uma lente.
Figura 4.5:
Em suma, do exemplo acima tiramos uma visão geométrica do conjunto dos números
racionais:
Propriedades comparativas da reta e de Q.
1. Ponto privilegiado
• Numa reta existe um ponto privilegiado que a divide em duas
semi-retas
• Em Q existe um ponto privilegiado, o zero13 , que dividem Q em
dois conjuntos, o conjunto dos números racionais positivos, Q+
e o conjunto dos números racionais negativos, Q− .
2. Existencia de um ponto entre dois outros.
• Numa reta qualquer, dados dois pontos, sempre existe um terceiro ponto entre os anteriores.
• Em Q dados dois números, sempre podemos “calcular” um ponto
entre os dois outros, por exemplo a mé dia aritmética.
3. Existencia de um ponto externo a dois outros. Propriedade arquimediana dos racionais.
• Numa reta, dados dois pontos, sempre existe um ponto que não
se encontra no segmento de reta determinados por eles.
• Em Q, dados dois números, sempre existe um terceiro que é
maior14 que os outros dois e mesmo um quarto que é menor que
os dois dois.
4. conjunto infinito
• Uma reta é um conjunto infinito.
• Q é um conjunto infinito.
Tivemos o cuidado de expressar todas as propriedades de retas precedidas do artigo
indefinido, porque há muitas retas, entretanto sempre usamos o modo definido para
fazer referência ao conjunto Q que é um só.
Estas propriedades nos permitem de identificar numa reta qualquer uma cópia de
Q.
___-4____-3____-2____-1_____0_____1_____2_____3_____4_ ...
escolhendo um ponto para representar o 0 e depois, a intervalos iguais, os números
inteiros, e depois entre estes os números fracionários não inteiros. Desta forma o
subconjunto dos racionais positivos se encontram ocupando uma das semi-retas, e o
subconjunto dos racionais negativos a outra.
4.4.2
Números irracionais na reta.
A descoberta dos gregos da época de Pitágoras, entretanto, foi a de que havia número
na reta que não era racional. Basta dar um exemplo para comprovar o fato.
Se supusermos que existe um número racional simplificado pq , isto é em sua forma
irredutı́vel, tal que
√
p
= 2
q
13 não
precisava ser o zero, podia ser qualquer outro ponto, a escolha de outro ponto iria
apenas tornar a nossa álgebra mais complicada.
14 Depois iremos redigir esta propriedade de outra forma e chamá-la de arquimediana.
seremos conduzidos a uma contradição:
x=
x2 =
p2
2
′2
p2 = 4p
p2
q2
p
q
ex=
√
2
= 2 ⇒ p2 = 2q 2
= q 2 ∈ Z ⇒ p2 é par
⇒
p2
2
2
= 2p′ = q 2 ⇒ q épar
isto é, numerador e denominador da fração pq tem que ser pares apesar de que a fração
seja por hipótese irredutı́vel.
√ √ √
A figura (fig. 4.6), página 121, contem a representação gráfica de 2, 3, 4 = 2.
3
0
1
4
=
2
Figura 4.6:
Raizes quadradas
Você pode calcular√geometricamente as sucessivas raı́zes quadradas de números
naturais. Comece com 2. traçando um cı́rculo que tem por raio a hipotenusa de um
triângulo retângulo de lados 1.
• Use a raiz para construir um triâ ngulo retângulo com um cateto de lado 1;
• Use a nova hipotenusa com raio para obter a nova raiz.
Observação 22 Aqui usaremos o princı́ pio do terceiro excluso para entender o que
está acontecendo, que é a justificação das demonstrações por absurdo.
2
p
q
∈ Q está na forma irredutı́vel.
√
2. x = 2.
1. x =
3. numerador e denominador de x são números pares.
Ou o primeiro item é falso ou o terceiro tem que ser, porque eles são incompatı́veis.
Como o primeiro é uma hipótese possı́vel e foi admitida, e do segundo se deduz o
terceiro, então a inclusão do segundo item gerou a contradição, logo ele é falso.
Então o contrário do segundo item15 é verdadeiro:
√
x 6= 2
√
isto é não pode haver um número racional igual a 2.
Em lógica formal, que é a máquina que usamos para fazer Matemática, vale o
princı́pio:
Se a proposição A for falsa, então a proposição (não A) é verdadeira.
Sempre, uma das duas, A ou não A, e apenas uma delas, faz parte dos Teoremas
ou Postulados da Matemática. Se não pudermos demonstrar, é um postulado.
O que
√ se tornou um quebra-cabeças para os pitagóricos foi que eles conseguiam
colocar 2 na mesma reta em que se encontravam todos os números racionais.
O mé todo é simples e você está convidado a reproduzı́-lo:
Escolha na reta o número racional 1 e sobre ele levante, perpendicularmente, um
segmento de reta de comprimento 1. Agora tire da origem até a extremidade apropriada
deste segmento, um segmento de reta de modo a construir um
√ triâ ngulo retângulo.
Pelo teorema √
de Pitágoras, o comprimento deste segmento é 2. Com um compasso,
com abertura 2, uma das pontas na origem, a outra ponta se encontrará no final do
segmento que representa a hipotenusa. Vocé pode traçar uma
√ circunferência que ira
cortar a reta em dois pontos que se encontram
√ à distância 2 da origem, um desses
+
pontos está
na
semi-reta
que
contem
Q
,
é
2 e outro está na semi-reta que contem
√
−
Q , é − 2.
Então na reta existem outros números além dos números racionais. Este será o
assunto do próximo capı́tulo: a construção geométrica de R.
Observe figura (fig. 4.6) na página 121.
4.4.3
Representação geométrica de
de um número racional
Vamos mostrar aqui como podemos representar qualquer fração
gráfico na figura (fig. 4.2) na página 107.
p
q
na reta. Observe o
1. caso de frações próprias positivas. Os passos são os seguintes:
(a) Trace uma reta e nela represente o zero. Chame esta reta de Q.
(b) A espaços iguais, por exemplo, a cada centı́metro, represente um inteiro,
represente por exemplo de -4 a 3, em Q.
(c) Representação de
p
q
Considere e a fração
15 o
; p, q ∈ N.
p
q
com denominador e denominador positivos.
segundo item é terceiro a ser excluido, porque tem tres itens...
i. Trace uma semi-reta partindo de zero passando num ponto P qualquer
do plano fora da reta Q.
ii. Chame esta semi-reta de obliqua.
iii. Na semi-reta obliqua marque o número inteiro positivo q, e todos os
que o antecedem até o zero que é o zero comum a ambas as retas.
O número positivo q não precisa coincidir com o ponto P, mas você
poderia redefinir P para que eles coı̈ndissem.
iv. Trace o segmento de reta que une q ao 1 ∈ Q.
v. Trace paralelas a este último segmento passando pelos inteiros que
estiverem entre 0 e q na semi-reta obliqua.
vi. Identifique os pontos de encontro das parelalas construidas no item
anterior sobre Q.
vii. Por semelhança de triângulos, os segmentos de reta entre 0 e 1 em
Q, tem todos o mesmo comprimento que vale 1q e sucessivamente
representam as frações
q
1 2
, . . . = 1.
q q
q
viii. Em particular, se p < q o número racional
acima.
p
q
será um dos números
2. caso de frações impróprias positivas. Para obter uma fração imprópria,
aquelas em que o numerador é maior do que o denominador, basta considerar,
na construção acima, sobre a obliqua, números inteiros maiores do que q. Corrrespondente ao número q sobre a obliqua, teremos um segmento de reta que
termina em 1. Correspondente um número inteiro positivo p maior do que q
teremos uma fração imprópria pq > 1.
3. Constrúa as frações de denominador 3 desde
0
3
até
5
.
3
4. O caso das frações negativas. A mesma construção pode ser feita, considerando agora números negativos e usando −1 como ponto de referência para
obter os triângulos semelhantes. Será necessário continuar a sem-reta obliqua
para além do zero.
4.5
Um programa para ensinar os inteiros ao
computador
Este programa é uma “farsa” no sentido de que ele ensine as contas ao computador. A nossa única pretensão com esta seção é justificativa do aparato
abstrato que estamos construindo. Com este programa estamos lhe fornecendo uma pálida amostra de como a abstração, em Matemática, tem uma
utilização prá tica muitas vezes siquer imaginada pelos que ingenuamente
procuram inventar uma falsa metodologia para o ensino desta disciplina tentando substituir o árduo caminho da construção lógica com brincadeiras que
deveriam apenas representar a distensão, necessária, no trabalho em sala de
aula, mas se tomada como um método construtivo só pode conduzir a uma
superficialidade no ensino que interessa, sim, aos desonestos que pretendem
subjugar nosso paı́s e mantê-lo como uma colônia das multinacionais onde
apenas se dançe e se assista futebol durante os apagões.
O Programa abaixo está escrito em Python, uma linguagem de programação de
domı́nio público. Esta linguagem roda em diversas plataformas computacionais, em
LinuX por exemplo. Se você quiser rodar o programa, solicite aos autores uma cópia
pela internet.
O objetivo aqui é apenas de mostrar a necessidade de saber abstrair, inclusive para
nos comunicarmos com um objeto como um computador.
#!/usr/bin/python
### estensao dos metodos da aritmetica aos inteiros
## Definicao da troca de sinal
def t(x):
return -x
## estensao da adicao aos numeros inteiros.
def adicao(x,y):
if ((x ¿= 0) and (y ¿=0)):
return x+y
if ((x ¿=0) and (y ¡= 0)):
if t(y) ¿ x:
return t(t(y)-x)
else:
return x - t(y)
if ((x ¡=0) and (y ¿= 0)):
return adicao(y,x)
else:
return t(adicao(t(x),t(y)))
## estensao da multiplicacao ao numeros inteiros
def multiplicacao(x,y):
if ((x ¿= 0) and (y ¿= 0)):
return x*y
if ((x ¿= 0) and (y ¡= 0)):
return t(x*t(y))
if ((x ¡= 0) and (y ¿= 0)):
return multiplicacao(y,x)
else:
return (multiplicacao(t(x),t(y)))
## estensao da desiguladade aos numeros inteiros
def maior do que(x,y):
resposta = ”eles sao iguais ! ”
resposta1 = str(x)+”> ”+str(y)
resposta2 = str(y)+”> ”+str(x)
if x==y:
return resposta
elif ((x ¿= 0)and (y ¿= 0)):
if x ¿ y:
return resposta1
else:
return resposta2
elif ((x ¿= 0)and (y ¡= 0)):
return resposta1
elif ((x ¡= 0)and (y ¿= 0)):
return resposta2
elif (t(y)¿ t(x)):
return resposta1
else:
return resposta2
def limpa tela():
n=0
while n ¡ 23:
print
print chr(7)
n = n+1
def separa():
print
print
print chr(7)
def finalizando():
fim = raw input(”quer terminar ? ”)
if fim == ”nao”:
fim =
limpa tela()
print ”OK, continuando....”
elif fim == :
limpa tela()
elif fim == ”n”:
fim =
limpa tela()
separa()
=== m aquina de calcular =================
fim =
limpa tela()
while fim == :
print ”Posso ”
print ”somar ( + ), multiplicar ( * ), ou comparar ( ¡ ) ”
print ”dois numeros dados.”
separa()
print ”De-me os dois numeros, ”
x = input(”o primeiro numero: ”)
y = input(”o segundo numero: ”)
limpa tela()
print ”os numeros escolhidos foram ”,x,y
separa()
print ”Qual eh o metodo: ”, ”+, * , ¡ ? ”
metodo = ra input(”metodo —¿ (+ * ¡ )”)
limpa tela()
if (metodo==”+”):
print ”a adicao dos dois numeros ”, x,,y, ”eh ”, adicao(x,y)
print
print chr(7)
elif (metodo==”*”):
print ”o produto dos dois numeros ”, x,,y, ”eh ”, multiplicacao(x,y
print
print chr(7)
else:
print ”A comparacao entre os dois numeros”, x,,y, ”eh, ”, maior do
print
print chr(7)
print ’escreva ”fim”, (basta uma letra), quando quiser terminar’
fim = raw input(’ou ”enter”se quiser continuar –¿[’)
limpa tela()
print chr(7)
print ”Muito obrigado por ter se usado o ”
print ”sistema ’aritmetica’ ... ”
separa()
print chr(7)
print ”Suas sugestoes sao bem vindas para melhorar o ”
print ”programa.”
separa()
print chr(7)
print ”Lute para que haja computadores nas Escolas.”
print ”Claro, computadores a servico dos professores,”
print ”e nao computadores somente para a diretora....”
print
print chr(7)
print ”Lute para que o salario do professor seja bom.”
print chr(7)
print
print ”Lute por um plano de carreira dos professores”
print ”em todos os niveis.”
print chr(7)
Capı́tulo 5
Construção geometrica de
R.
Neste capı́tulo vamos construir geométricamente o conjunto
dos números reais. O ponto de partida será a representação
geométrica de Q sobre a reta e a descoberta de que na reta
existem números não racionais, portanto a reta é um conjunto
que contém Q estritamente. Quer dizer que a reta representa
um outro conjunto do qual Q é um subconjunto. Chamaremos
este novo conjunto de R e vamos estudar suas propriedades.
O conjunto dos números reais é um dos conjuntos numéricos
fundamentais, mas ele representa uma ruptura no pensamento
que ainda hoje está mal absorvida pela maioria das pessoas,
inclusive matemáticos que chegam a negar sua existência. Ele
merece um capı́tulo a parte.
5.1
O conjunto dos números reais.
O ponto inicial é a constatação de que há um novo conjunto diferente dos
anteriores e estabelecer uma fundamentação lógica para sua existência formal.
Em suma definir o novo conjunto, e criar métodos para atuar sobre ele.
No capı́tulo anterior convivemos com um erro que é preciso corrigira agora.
Falavamos da reta, mas retas há muitas. Acontece que, do nosso ponto de
vista de representação dos números, apenas interessa considerar uma reta
como modelo concreto para o conjunto que agora pretendemos construir.
Claro, em outra reta qualquer podemos repetir a representação dos número
o que significa estabelecer uma bijeção enter as duas retas.
Ou seja, consideraremos todas as retas equivalentes o que na prática é como
se fossem todas iguais. Porisso falavamos e continuaremos falando da reta.
Duas retas distintas são apenas duas cópias do novo conjunto que logo iremos
definir.
a Este
é um livro didático, quer dizer, nele tentamos arremedar o processo
natural da aquisição do conhecimento que passa pela convivência com com
erros lógico até a formalização do novo conhecimento. O livro didá tico é o
cenário artı́stico em que a ciência se desenvolve.
Definição 38 Conjunto dos números reais.
131
Uma reta qualquer sobre a qual tenhamos escolhido o ponto para representar o zero
e à intervalos iguais escolhido pontos para representar os inteiros, se chamará a reta
numérica.
A reta numé rica é o conjunto dos números reais.
Este novo conjunto se designa com o sı́mbolo R.
De agora em diante, estaremos chamando de números reais aos pontos de uma reta
numérica.
Observação 23 Unicidade da reta numérica. Entre duas tais retas podemos estabelecer uma correspondência biúnivoca 1 e sobre2 de formas que as consideraremos
apenas cópias equivalentes da reta numérica.
Ou seja, a reta numé rica é uma só3 .
√
A experiência que começamos com 2 pode ser iterada, Ver página 121.
√
• sobre o número 2 considere um segmento de reta perpendicular e de comprimento 1. Ligue a extremidade adequada com a origem para√ construir um
triâ ngulo retângulo. A hipotenusa deste triângulo irá medir 3 que poderá
ser
para a reta com um compasso determinando dois números reais:
√ transferida
√
3, − 3.
√
• sobre o número 3 considere um segmento de reta perpendicular e de comprimento 1. Ligue a extremidade adequada com a origem para
√ construir um triâ
ngulo retângulo. A hipotenusa deste triângulo irá medir 4 = 2 que poderá
ser transferida para a reta com um compasso determinando dois números reais:
2, −2. Neste caso não ganhamos nada, mas mostramos que os inteiros podem
ser obtidos da mesma forma que os números irracionais.
• sobre o número 2 considere um segmento de reta perpendicular e de comprimento
1. Ligue a extremidade adequada com a origem para
√ construir um triâ ngulo
retângulo. A hipotenusa deste triângulo irá medir 5 que poderá ser
√
√ transferida
para a reta com um compasso determinando dois números reais: 5, − 5.
√
e assim sucessivamente podemos construir ± n para qualquer número natural n.
Sempre que n for primo o resultado será um novo número irracional.
Observação 24 Números não algébricos.
Há outros tipos de números não racionais sobre a reta, por exemplo os números
algébricos.
√ Um número é algébrico se for solução de uma equação polinomial. Por exemplo,
2 é solução da equação
x2 − 2 = 0
√
então 2 é um número algébrico sobre Q, mas que não pertence a Q e sim åsua
extensão R.
Que podemos dizer das soluções da equação x2 + 1 = 0 ?
1 leia
“injetiva”
“sobrejetiva”
3 o conceito de unicidade é primordial, ele parece uma necessidade infantil... mas veja,
se não considerarmos todas as retas iguais, quando tivermos dois exemplares poderemos ter
eventos ocorrendo em locais distintos o que será uma inconveniência, pelo menos porque pode
não ser possı́vel compará-los.
2 leia
Há tambem os números não álgebricos, que não são soluções das equações algébricas
com coeficientes racionais4 .
Todo nú mero racional é um número algébrico.
Mas há números que não são nem racionais nem algébricos, estes se chamam
transcendentais. Esta é a definição, quando um número não for algé brico, ele é
transcendental.
Como poderiamos provar que há números não algébricos?
A parte da Matemática que trata deste assunto se chama teoria dos números a qual
pertence o recentemente provado ú ltimo teorema de Fermat . Não haveria espaço neste
livro para iniciar esta teoria...faz parte de uma disciplina chamada Álgebra, que não é
exatamente a mesma ensinada nos concurso para a Polı́cia e para o Banco do Brasil
e Receita Federal.
A consequência do que fizemos acima é:
• Existe um novo conjunto, a reta numérica R.
• N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
• Existem números reais que não são racionais, os números irracionais, portanto
R é um novo conjunto.
Como R é um novo conjunto, teremos que estender a ele os mé todos de Q, as
operações algébricas e lógicas.
Exercı́cio 15 Números irracionais.
√
1. Prove que n é um número irracional quando n for primo?
√
2. Quando n, mesmo não sendo primo, ainda n é um número irracional?
√
3. Verifique se é verdade que “ n é inteiro ou irracional”
5.2
Estrutura algébrica da reta.
Vamos estender as operações aritméticas e lógicas ao novo conjunto numérico
R. Como este novo conjunto é de natureza geométrica, estas definições serão
feitas usando uma metologia geométrica. Isto quer dizer que consideraremos
as operações geométricas como parte de nossa experiência como consideramos
N um conhecimento fundamental já adquirido ou aceito.
A construção feita aqui ficará incompleta, muita coisa será deixada para o
leitor, caso contrário este livro ficaria muito grande.
5.2.1
A adição em R.
Vamos associar a cada número x ∈ R real o segmento de reta orientado 0x que liga
0 ∈ R a x.
Definição 39 Números reais positivos.
O conjunto R+ , chamado dos números reais positivos, é a semi-reta que contiver
+
Q . A outra semi-reta é o conjunto dos nú meros reais negativos
4 sem
esta restrição não aconteceria nada diferente, todo número, π por exemplo é solução
de uma equação do primeiro grau: π1 x = 1
Observação 25 Sentido.
Observe que a natureza geométrica dos números reais cria novos conceitos. Os
números reais são pontos de uma reta na qual se escolheu um ponto privilegiado para
representar o zero e de onde “partem” duas semi-retas: R+ , R− . Quer dizer que estamos falando de duas semi-retas “orientadas”, uma delas “cresce” no sentido positivo
e a outra “cresce” no sentido negativo, porisso passaremos a dizer que esta última
descresce5 .
Assim um número real positivo determina em R, com a origem, um segmento de
reta que tem sentido diferente, contrário, a qualquer segmento de reta determinado
com a origem por um número real negativo.
Adição de de vetores
Como os númeres reais são “seres geométricos” vamos discutir aqui em detalhe como
somamos segmentos de reta - vetores.
É a “regra do paralelogramo”, ver (fig. 5.1), página 130.
Regra do paralelogramo
resultante
a
a+b
b
a
ay
a
a = ax +
ay
x
as componentes horizontal e vertical de um vetor
bx
by
b
Figura 5.1:
b =
bx +
by
A regra do paralelogramo para somar segmentos orientados
Na figura (fig. 5.1), página 130, você pode ver a decomposição dos vetores ~a, ~b que
se encontram somados no paralelogramo.
O paralelogramo, enfim, é uma figura geométrica especial. Os lados sendo paralelos
dois, ele serve para “transferir” comprimentos sem deformação.
5 se
eu tiver uma dı́vida de 200 Bi com o FMI e “contratar” um novo empréstimo, para
auxiliar uma multi- nacional que vem se instalar aqui dentro, de mais 50 Bi, então a minha
dı́vide cresce, mas os meus direitos, a minha independência, “descrescem”.
Aqui você vai ter que fazer uma adaptação mental. Como é que fica a soma de
segmentos em cima da reta? Se convença, teremos um paralelograma “degenerado”
com todos os lados em cima da reta...
Patógrafo - construção de figuras semelhantes
Era comum se poder comprar nas casas de desenho um instrumento chamado
pantógrafo6 .
A figura (fig. 5.2) página 131, mostra o efeito de um pantógrafo sobre uma figura
geomé trica, é possı́vel copiar a figura mantendo suas proporções. Na figura (fig. 5.2)
os polı́gonos A e
A são semelhantes.
Pantografo
A
A
A
A
Figura 5.2:
Figuras semelhantes obtidas com um pantógrafo
Então podemos transferir segmentos, ou como se costuma dizer, vetores, quardando
comprimento e direção, usando a regra do paralelogramo.
Podemos, inclusive, com pantógrafos, “multiplicar” as grandezas geométricas guardando a semelhança, (direção e sentido).
O que nos interessa neste momento é soma, trataremos em seguida da multiplicação, também.
Há dois instrumentos de desenho cruciais para a nossa construção algébrica: compasso, esquadro.
• Compassos servem para transferir distâncias, porisso conseguimos traçar um
cı́rculo com um compasso, transferindo a distância do centro para um ponto
“qualquer” guardando a distância escolhida. Todos os pontos assim marcados
ficam a mesma distância do centro;
6 do
grego, pantos=tudo, grafos=cópia
• Esquadros servem para transferir direção, retas paralelas.
Usando um compasso podemos transferir um segmento b para o extremos do segmento a e assim calcular o segmento soma a + b sobre uma mesma reta.
Você pode ver estas idéias concretizadas na figura (fig. 5.3) página 132. Na figura
você pode ver a soma dos segmentos a, b todos dois com o sentido positivo da reta.
Também você pode ver a soma de dois outros segmentos, a no sentido positivo da reta
e b orientado no sentido negativo da reta.
No segundo caso, em que os segmentos tem sentidos contrários:
• a tem sentido positivo e tem módulo menor;
• b tem sentido negativo e tem módulo maior,
o resultado desta soma é um segmento com orientação negativa: a + b < 0.
a+b > 0
a+b
a
0
b
0
a+b < 0
a
b
0
marca do zero
Figura 5.3:
Soma de segmentos
Da mesma forma como podemos somar segmentos, també m é possı́vel fazer a
diferença entre segmentos. Observe inicialmente que
x − y = x + (−y).
Quer dizer que a diferença se traduz como uma adição de x com7 −y.
Observe na figura (fig. 5.4) página 133, a soma e a diferença dos vetores ~a, ~b. São
as duas diagonais do paralelograma que eles determinam.
Podemos tomar emprestado da geometria e do desenho os instrumentos necessá
rios para fazer álgebra e construir o conjuntos dos números reais, geometricamente.
Vamos aplicar a álgebra vetorial nos geométricos nú meros reais.
7 Logo
vamos definir para os reais a troca de sinal.
Adicao e diferenca de vetores
=
a
a−
−b
b
a−
b
a
b
a+b
=
a−b, b−a, a+b
sao as diagonais
a−b, b−a sao a mesma diagonal, em sentidos reversos.
Figura 5.4:
Adição e diferença dos vetores ~a, ~b.
Módulo e troca de sinal
De forma idêntica ao que aconteceu com a soma de números inteiros, precisaremos do
conceito de módulo. A figura (fig. 5.5), página 134, ilustra diversos fatos geométricos
relativos aos números reais. Nela um cı́rculo centrado na origem comum de duas retas
indica o módulo.
Definição 40 Módulo de um número real.
Dado um número real x com a origem ele determina o raio r, de um cı́rculo de
centro na origem e que passa tanto por x como por −x. Por convenção consideraremos
r igual ao número real positivo e o chamaremos de módulo: r = |x| = | − x|. Veja
na (fig. 5.5), página 134, o número x alı́ representando um número negativo, e seu
módulo |x|. Os dois se encontram num mesmo cı́ rculo, porque cı́rculos de centro na
origem são o lugar geométrico dos números que têm o mesmo mó dulo.
Portanto |x| é o raio do cı́rculo de centro na origem que passa por x.
Também precisaremos da função troca sinal:
Definição 41 Função troca sinal. Definimos a função
t : R → R ; x 7→ −x
de tal modo que −x é o ú nico número real tal que | − x| = |x| e que se encontra na
semi-reta em que x não está.
Vamos também definir uma função que identifica quando x ∈ R+ .
Multiplicacao geometrica e
modulo
c|x|
d
1
x
−1
1
−x
|x|
−d
c
Figura 5.5:
Multiplicação, módulo em R.
Definição 42 Função sinal
A expressão, o sinal de x é 1 se x ∈ R+ , ou o sinal de x é −1 se x ∈ R− .
x≥0 ⇒ 1
sign(x) =
x < 0 ⇒ −1
(5.1)
A função t serve para transpor x para o outro número real determinado pelo cı́rculo
de centro na origem passando por x, independentemente do sinal de x. Observe na (fig.
5.5), página 134, o nú mero d é o número −d.
Exercı́cios 21 Troca sinal e módulo
1. Observe se as duas frases seguintes são verdadeiras: d é a imagem pela função
“troca sinal” de −d. −d é a imagem pela função “troca sinal” de d.
2. Calcule t(t(d)).
3. Calcule |k − xk|; | − 3|; | − 3| + 3; 3 − | − 3|
4. Verdadeiro ou falso: “Dois números reais de mesmo mó dulo, mas de sentidos diferentes, determinam com a origem dois segmentos de reta com sentidos
opostos. Um é inverso aditivo do outro”.
5. Calcule sign(−3); sign(sign(−3)); 1 + sign(−3); sign(3) − 1
Relação de ordem na reta
Queremos, para compatibilizar a relação de ordem de R com as que definimos em Z, Q
usar a mesma definição anterior.
Definição 43 Ordem em R
x, y ∈ R ; x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+
Quando fizermos a diferença (vetorial) y − x a “resultante” deve estar na semi-reta
positiva quando x < y.
A figura (fig. 5.6) página 135, ilustra estes conceitos.
−x
y−x
x
y
−x
y−x > 0
y−x
R+
Figura 5.6:
Adição, módulo, desigualdade em R.
Transferimos para a reta numérica, que representa o novo conjunto numé rico
estendendo Q quase todos os métodos alı́ existentes: adiç~
ao, desigualdade. Ainda
falta definir a multiplicação geométrica que logo faremos. Antes vamos testar a nossa
capacidade formal com os novos conceitos demonstrando um teorema.
Teorema 42 Se |x| ≥ |y| então o x + y tem o sinal de x.
Dem :
Quer dizer que x determina um cı́rculo, de centro na origem, com maior maior do que o
cı́rculo determinado por y.
Então, quando transferirmos. Se os dois tiverem o mesmo sinal nada há o que fazer
porque x + y terá o sinal comum aos dois.
Vamos discutir portanto o caso em que x ∈ R− , e consequentemente y ∈ R+ .
Faça um desenho para acompanhar a explanação.
Quando transferirmos x para a extremidade de y, como |x| > |y| então o segmento transferido cobre o segmento 0y de maneira tal que haverá um excedente (diferença) na semi-reta
negativa quer dizer que x + y ∈ R− . Logo sign(x + y) = sign(x).
O outro caso é simétrico: x ∈ R+ , y ∈ R− .
q.e.d .
Teorema 43 A soma em R é comutativa. Dem :
A soma de segmentos, usando a regra do paralelograma é simé trica, porque os lados são
iguais dois a dois. A resultante será mesma não importanto a ordem com que façamos a
transferência dos segmentos: a + b = b + a.
q.e.d .
Precisamos de um elemento neutro para a adição. Um segmento que somado a
qualquer outro, reproduza o outro. Este “segmento” será um “segmento degenerado”
que se reduz a um ponto, a origem O que divide a reta em duas semi-retas.
Agora, aplicar a regra do paralelogramo a um vetor qualquer, para soma o zero,
significa que o paralelograma vai se reduzir ao próprio vetor, (novo paralelogramo
degenerado), e o vetor coı̈ncide com a resultante: quer dizer a soma com zero, reproduz
o outro vetor. Demonstramos assim:
Teorema 44 O zero é o elemento neutro da soma.
Teorema 45 Todo x ∈ R tem inverso aditivo. O inverso aditivo de x é o outro
número real determinado pelo cı́rculo de raio |x| e centro 0. Porque os dois segmentos
0x e 0(−x) tem mesmo tamanho, mas sentidos contrá rios, ao serem superpostos o
ponto determinado será0.
E agora um teorema complicado de demonstrar, claro que nós não vamos fazê-lo,
o deixaremos para o leitor interessado:
Teorema 46 A adição é associativa.
A conclusão é que:
Teorema 47 (R, +) é um grupo comutativo.
Vamos terminar esta seção mostrando que a adição geométrica é compatı́vel com
a adição usual de números inteiros ou racionais, portanto é uma estensão da adição
de Q ao conjunto R.
Teorema 48 Compatibilidade da soma geometrica com a soma de inteiros Dem :
Para os inteiros, como cada inteiro n determina na reta orientada um segmento de reta cujo
comprimento é n vezes o tamanho do segmento 01 vemos que n significa uma soma repetida
de 01 conseaquentemente a soma dos inteiros n, m será também uma soma de segmentos de
reta. q.e.d .
No caso dos racionais, já interpretamos pq como segmentos de reta de comprimento
1
1
logo pq + m
será uma soma de segmentos de reta de comprimento qn
. Demonstramos
q
n
assim:
Teorema 49 Compatibilidade da soma geometrica com a soma em Q
Como os inteiros, os racionais determinam segmentos de reta, a desigualdade como
foi definida, coı̈ncide com a desigualdade de Q e de Z. Isto demonstra:
Teorema 50 Compatibilidade da ordem de R com a ordem de Q
c
y
x
0
c=xy
1
y
−y
retas paralelas
A multiplicacao e comutativa
y
c
x
1x
y
c
Figura 5.7:
5.2.2
A multiplicação geométrica
A multiplicação em R.
Vamos agora definir a multiplicação geométrica. Acompanhe o texto da definição com
figura (fig. 5.7) página 137. A definição da multiplicação, acompanha o texto [2].
Definição 44 De multiplicação geométrica. A definição da multiplicação, se faz de
acordo com o seguinte algoritmo:
• Dados x, y ∈ R.
• Considere duas cópias da reta númerica, concorrentes na origem.
• Considere x em uma das cópias e y na outra.
• Trace o segmento de reta x1 ligando x a unidade representada na reta em que y
está marcado.
• Passe uma parela ao segmento x1 passando por y.
• O ponto c determinado por esta paralela na reta em que x está marcado é o
produto de x por y; c = xy.
A multiplicação está baseada em triângulos semelhantes.
A única propriedade trabalhosa é a associatividade que vai implicar num desenho
complicado. Apenas trabalhosa, porisso vamos deixá-la generosamente para o leitor
interessado.
Vamos mostrar as demais propriedades.
Teorema 51 A multiplicação é comutativa
xy = yx
Dem :
Os triângulos 0yc desenhados em (fig. 5.7) veja o detalhe naquela figura, são
iguais. q.e.d .
Teorema 52 Existe um inverso multiplicativo Dem : Se x 6= 0 a construção feita
na (fig. 5.8) pode ser feita uma vez que será possı́vel traçar paralelas.
A existência do inverso está demonstrado na figura (fig. 5.8) página 138. Os passos
executados foram:
1. Traçamos uma reta ligando x com a unidade na outra reta.
Observe que x = 0 pertenceria a ambas as reta e portanto a frase anterior ficaria
âmbigua e portanto impossı́vel de ser executada. Algoritmos não admitem ambiguidades, portanto x = 0 não tem inverso.
2. Traçamos, pela unidade marcada na mesma reta em que está x marcado, uma paralela.
3. Esta paralela vai encontrar o número c tal que
xc = 1 ≡ c =
1
x
x
1
0
1/x
1
Figura 5.8:
q.e.d .
Teorema 53 Elemento neutro da mulplicação Dem :
Existe uma única reta passando por x, 1. q.e.d .
A conclusão é que
Teorema 54 (R∗ , ·) é um grupo comutativo.
Observação 26 Grupo dos reais positivos.
Observe que o conjunto dos números reais positivos, estritamente positivos, també m é
um grupo com a multiplicação. É o subgrupo do grupo de R∗ .
Os comentários que fizemos sobre a adição e sua significação geométrica em Q se
aplicam aqui para a multiplicação.
5.2.3
O corpo ordenado (R, +, ·, ≥).
Já estudamos as propriedades aditivas e multiplicativas de R, falta-nos estudar as propriedades que relacionam a adição com multiplicação e estas operações com a relação
de ordem.
Teorema 55 O produto é distributivo relativamente à adição. Dem :
Como a nossa fonte de informações é a geometria, junto com o conjunto dos números
naturais, então vamos usar o cálculo de á reas para verificar a distributividade. Teriamos
que definir área:
Definição 45 Área de um retângulo.
É o produto dos números reais que medem os lados deste retângulo.
Suponhamos agora que tenhamos um retângulo de lados c e a + b, quer dizer que um dos
lados do retângulo se compõe da soma geomé trica de dois segmentos cada um deles medindo
a e b respectivamente, e o outro lado temos um segmento medindo c.
Quer dizer que podemos decompor este retângulo em dois outros retângulos, um com lados
medindo c e a e outro com lados medindo c e b.
As áreas destes dois novos retângulos é ac e bc. Como eles são disjuntos, suar áreas se
podem somar: ac + bc é área do retângulo inicial.
Mas a área do retângulo inicial seria também c(a + b) logo:
c(a + b) = ca + cb = ac + bc
q.e.d .
Teorema 56 Desigualdade e adição.
Dem :
Dados tres números reais a, b, c se
a ≤ b então a + c ≤ b + c. Por definição, (verifique que é mesmo), a ≤ b significa que a
está esquerda de b na reta. Como a soma é uma translação, então se transladarmos a, b no
mesmo sentido e do mesmo tamanho, os pontos resultantes vão guardar a mesma posição
relativa, então a + c estará à esquerda de b + c isto é: a + c ≤ b + c. q.e.d .
Teorema 57 Desigualdade e multiplicação. Dados tres números reais a, b, c se a ≤ b
e c ≥ 0 então ac ≤ bc. Se c ≤ 0 então ac ≥ bc. Dem : Precisamos do seguinte lema:
Lema 3 Produto de positivos é positivo Tome x, y em cada uma das semiretas positivas
que se encontram em 0. Como o triângulo determinado por 0, y, xy é semelhante ao triângulo
deteminado por 0, 1, x então xy está na mesma semireta que x, quer dizer que sign(x) =
sing(xy).
Agora,
a≤b≡b−a≥0
q.e.d .
⇒ c(b − a) ≥ 0 ≡ cb − ca ≥ 0
⇒ ca ≤ cb
Ou como se diz, multiplicar por um número positivo uma desigualdade, não altera
o sentido da mesma, mas multiplicar por um número negativo, altera o sentido da
desiguldade.
Exercı́cio 16 Solução geométrica de equações.
1. Dados dois nú meros a, b reais positivos, encontre o número x tal que ax = b,
geometricamente.
2. Use o fato “todo segmento de reta tem um comprimento” para mostrar que dado
x ∈ R+ , existe n ∈ N tal que n > x.
3. Mostre que dado x ∈ R+ , existem n, m ∈ N tal que
m ≤ x ≤ n.
O número m se chama parte inteira de x .
4. Propriedade arquimediana da reta Dados a ≤ b ; a, b ∈ R existe uma número
natural n tal que an ≥ b.
5. Resolva as desigualdades abaixo usando as propriedades de R.
(a) (a) 3x + 7 = 0
(b) (a) −2x + 7 ≥ 0
(c) (a)
(d) (a)
3x−7
=3
4
− 2x−7
≤
3
0
(b) 3x + 7 ≤ 0
(b) −3x − 5 ≥ −3
(b) x − 7 ≥ −3
(b)−3x + 7 ≥ 0
6. Represente geometricamente as soluções das desigualdades da questão anterior.
7. Encontre os pontos de R x R tal que
(a) (a) x + y = 0
(b) (a) −x − y ≥ 0
(c) (a)
(d) (a)
3x−7y
≤3
4
2x−y
− 3 ≥0
(b) x − y ≤ 0
(b) −3x − 5y ≥ −3
(b) x − 2y ≥ −3
(b)x − y ≥ 0
8. Represente geometricamente as soluções das desigualdades da questão anterior.
9. Encontre os pontos de R x R tal que
(a) (a) x2 + y2 = 3
(b) (a) x2 + y2 ≥ 2
(c) (a)
(d) (a)
3x−7y
≤3
4
− 2x−y
≥0
3
(b) x2 + y2 ≤ 3
(b)4x2 + 4y2 ≤ 3
(b) x − 2y ≥ −3
(b)x − y ≥ 0
Capı́tulo 6
Funções Especiais
Algumas funções desempenham um papel importante nas
aplicações da Matemática. Vamos discutir algumas delas neste
capı́tulo que tivemos a ousádia de chamar Funções Especiais porque esta denominação sempre foi guardada para algumas funções especiais mais avançadas. Vamos estudar aqui as
funções
• lineares afim,
• as funções polinômiais do segundo grau,
• a função logaritmo,
• a função exponencial,
Deixaremos de fora deste capı́tulo as funções trigonométricas
porque queremos colocá-las num contexto especial, dentro dos
números complexos, no penúltimo capı́tulo do livro.
Uma das caracterı́sticas deste capı́tulo é a introdução dos
gráficos para acompanhar o estudo das funções. Exagerando,
uma função, aqui, será um gráfico, e vamos insistentemente
discutir as propriedades das funções em termos dos gráficos
que pudermos produzir para elas.
6.1
Função linear afim
Uma função linear afim é um tipo de função polinomial, quando o polinômio
que a define é do primeiro grau. Os polinômios vão ser estudados mais a
fundo no capiı́tulo 8.1, ao final do livro, isto não nos impede, entretanto de
começar a usá-los, de leve.
Polinômios são expressões algébricas formadas de diversos termos, o nome indica
isto, poli vem do grêgo e significa diversos. Em Matemática usamos monômio, binômio,
trinômio quando quisermos enfatizar o número de termos, e finalmente polinômio,
quando quisermos apenas dizer que há vários termos.
Vamos estudar os polinômios no capı́tulo 8.1, aqui faremos uso mecânico dos mesmos.
A álgebra com polinômios produziu muitos resultados em Matemática ao longo
dos anos, como os números complexos que vamos estudar no Capı́tulo 7, e dentro da
145
cultura matemática já foi de absoluta importância saber manipular com maestria as
expressões algébricas.
O leitor curioso deveria pelo menos consultar uma das relı́quias de nossa cultura
matemática, o Abecedario da Álgebra, [4],para ter uma idéia da habilidade que tinham
alguns dos que nos antecederam no tempo.
Estas técnicas hoje estão incorporadas em programas de computador que são capazes de desenvolver, para nós, humanos, expressões incrivelmente complicadas, um
trabalho mecânico, próprio para máquinas, que outros tinham capacidade de fazer
mentalmente ou com ajuda de papel e lápis. Observe o seguinte exemplo obtido com
o programa Maxima
(C1) (a + b)^5 ;
5
(D2)
b
4
+ 5 a b
2
+ 10 a
3
b
3
+ 10 a
2
b
4
+ 5 a
5
b + a
Escolhemos a potência 5 apenas para que o resultado coubesse na linha, mas qualquer potência inteira poderia ter sido escolhida e o resultado surgiria na tela quase
instantaneamente.
Outro exemplo é o triângulo de Pascal, veja 10 19 calculado com um programa em
Python que pode gerar o triângulo com um número arbitrário de linhas em frações de
segundos (desde que você não exagere...)
Maxima é um programa de domı́nio público, distribuido sob a licensa GPL, pertence a uma classe de programas ditos “de computação algébrica” e que podem fazer
muitas operações algébricas que para nós humanos são muito custosas, como o binômio
de Newton.
O binômio de Newton, que estudamos no capı́tulo 2, é uma dessas descobertas
tı́picas de quem domina a manipulação das expressões algébricas.
Aqui vamos estudar as funções definidas por binômios da forma
ax + b
(6.1)
um polinômio do primeiro grau.
Definição 46 Função linear afim
Uma função definida por um polinômio do primeiro grau se chama linear afim.
f : N → R;
(6.2)
f (x) = ax + b;
(6.3)
x 7→ y = f (x) = ax + b;
(6.4)
em que são dados os números a, b.
Exemplo 33 Funções lineares afim
• P.A. f (x) = 3x + 4
Observe que se x ∈ N os valores de f se encontram em progressão aritmética:
f (N) = {4, 7, 10, · · ·}
(6.5)
• função linear
Um caso particular de função linear afim é aquela em que o termo constante é
zero:
x 7→ ax = f (x) = y
(6.6)
Estas funções se chamam lineares.
As funções lineares tem duas propriedades que as fazem especial. Depois você
vai ver que estas propriedades aparecem em outras funções lineares definidas
com matrizes, você vai ver isto no capı́tulo 7.
Propriedades das funções lineares:
Considere f (x) = Ax. Então as propriedades seguintes valem
– homogeneidade f (λx) = λf (x) para qualquer número λ.
– distributividade dados dois valores da variável, x1 , x2 , temos
f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 )
– linearidade Muitas vezes preferimos juntar as duas propriedades numa só
com a seguinte redação
f (λ1 x1 + λ2 x2 ) = λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 )
6.2
Progressão aritmética
As P.A. são as funções lineares afins definidas no conjunto dos números naturais. Será
que toda P.A. tem uma equação linear? A resposta é sim.
Definição 47 Progressão aritmética
Uma P.A. é uma sucessão de números que diferem, cada um do seu antecedente,
de um número fixo, chamado raz~
ao. Observe a figura (fig. 6.1) na página 148. Uma
escada em que todos os degraus tenham a mesma algura, é um exemplo de P.A.
A equação clássica para as P.A. estabelce que o termo geral é
an = a1 + (n − 1) ∗ r
(6.7)
em que
• primeiro termo a1 é o primeiro termo
• a variável n é um indice, a variável com que construimos a P.A.
Usando a notação de função diriamos
N→R
n 7→ an = a1 + (n − 1) ∗ r
(6.8)
(6.9)
• o coeficiente angular é a razão, r.
quer dizer que
an = a1 + (n − 1) ∗ r
é a equação da função. Neste caso chamamos de sucessão e muitas vezes escrevemos
a equação usando uma letra, habitualmente s, t, r, com um ı́ndice, quer dizer que
a(n) ≡ an .
são notações equivalentes, mas o hábito com sucessões é usar a indexação an .
Apresentar as P.A. aritméticas desta forma é antigo1 , tem sua validade, mas a
notação funcional oferece outras vantagens. Vamos estabelecer um compromisso entre
as duas formas de escrever, porque cada uma delas tem sua utilidade em um determinado momento e é preciso saber saltar de uma para a outra. A próxima seqüência de
equações faz isto.
Comparando, e transformando, vemos na equação 6.9:
a1 + (n − 1) ∗ r ; ax + b
(6.10)
a variável é (n = x) ⇒ b + (x − 1) ∗ r
(6.12)
o primeiro termo é (a1 = b) ⇒ b + (n − 1) ∗ r
a razão é (r = a) ⇒ b + (x − 1) ∗ a
(6.11)
(6.13)
Observação 27 Tipos de dados em computação
Quando escrevemos um programa, em computação, temos o cuidado de idenficar
o tipo das variáveis que usamos. Se desejarmos usar uma variável do tipo inteiro
usamos as letras n, m, k.
Algumas vezes usamos variáveis como “contador” para indicar números inteiros
positivos, ı́ndices. É isto que se encontra na notação antiga para as P.A. Se desejava
deixar claro que a variável era um número inteiro, positivo, um ı́ndice.
6.2.1
Notação e exemplos
Se escrevermos
f : N −→ R
n 7→ f (n) = An + B = sn
(6.14)
(6.15)
(6.16)
estamos definindo uma P.A. ou uma sucessão aritmética . Mas estaremos em desacordo
com a tradição. Foi esta a razão pela qual fizemos a sequüência de transformações que
terminou na equação 6.13.
Se usarmos a seguinte definição alternativa
f : N −→ R
n 7→ f (n) = A(n − 1) + B = sn
(6.17)
(6.18)
(6.19)
seriamos melhor comprendidos.
Agora
o primeiro termo é s1 = B
(6.20)
e a razão é A.
(6.21)
Vamos ver um exemplo da matemática atuarial ou financeira, os juros simples.
Os juros simples são calculados com progressões aritméticas, ao longo do tempo,
se você não amortizar nada da dı́vida.
Os juros são uma “pequena parte” que os capitalistas querem agregar ao que você
está devendo, todos os meses, a tı́tulo de remuneração do empréstimo.
1 existe
dois tipos de idiota, um que diz, “é antigo, então é bom”, outro diz “é novo, então
é melhor . . .
Exemplo 34 Juros de 7.5% ao mes
Se você tomar um empréstimo de C contratado a juros de 7.5% ao mes, a dı́vida,
caso você não pague nada durante o ano, será uma progressão aritmética:
C, C + r, C + 2r, C + 3r, C + 4r, · · · , C + 11r
(6.22)
dn = C + (n − 1) ∗ r ; r = 7.5%C
(6.23)
quer dizer que o termo geral da dı́vida será
e ao final de 12 meses você deverá pagar C + 11r.
A razão é a taxa de juros, e o primeiro termo é o valor do empréstimo. Claro, isto
é capitalismo não selvagem que é muito pouco praticado hoje em dia. Depois veremos
outro tipo de progressão que fica muito mais a gosto dos banqueiros.
Os problemas a respeito de progressões aritméticas giram em torno do uso da
fórmula que depende de três informações:
razão, A
(6.24)
primeiro termo, B
(6.25)
n’umero de termos, n
(6.26)
o termo geral, sn = B + A(n − 1);
(6.27)
ou sn = s1 + (n − 1)r
(6.28)
Dadas duas informações, se pede que você calcule a terceira:
Exercı́cios 22 Sucessões aritméticas
1. Encontrar um termo Dada uma P.A. cujo 30o termo é 50 e o primeiro termo é
-5, calcular o décimo termo.
Solução:
Quer dizer que o número de termos é 30.
s30 = 50 = s1 + (n − 1)r
s30 = 50 = −5 + (30 − 1)r
s30 = 50 = −5 + 29r ⇒ r =
55
29
s10 = s1 + (10 − 1)r =
55
s10 = −5 + 9 29
=
350
29
s10 =≈ 12.06896551724137931034
2. Qual é a razão ? Numa P.A. com 10 termos sabe-se que o primeiro termo é 3
e o quinto termo é 17. Qual é a razão;
Solução:
O número de termos é 5.
s5 = 17 = s1 + (n − 1)r
s5 = 17 = 3 + (5 − 1)r
3 + (5 − 1)r = 17 ⇒ r =
r=
14
4
=
7
2
= 3.5
17−3
4
3. Qual é o número de termos ? O primeiro termo de uma P.A. é −1, o último
termo é 17 e a razão é 12 . Quantos termos tem esta P.A. ?
Solução:
sn = 17 = s1 + (n − 1)r
17 = −1 + (n − 1) 21
−1 + (n − 1) 21 = 17 ⇒ n − 1 = 2(17 + 1) = 36
n = 37
4. função linear afim e P.A. Verifique que se y = f (x) for uma função linear afim,
então a imagem por f de qualquer P.A. será também uma P.A.
Solução: Considere uma P.A. (sn )n∈N e portanto
∆ = sn+1 − sn
é uma constante (não depende de n).
Podemos abstrair um pouco mais e tornar mais simples os cálculos. Vamos
identificar:
f (x) = Ax + B
(6.29)
sn = a
(6.30)
sn+1 = a + ∆
(6.31)
f (sn+1 ) − f (sn ) = f (a + ∆) − f (a)
(6.32)
tn = f (sn ) ; tn+1 = f (sn+1 )
(6.33)
tn+1 − tn = f (a + ∆) − f (a) = A(a + ∆) + B − (Aa + B)
(6.34)
tn+1 − tn = Aa + A∆ + B − Aa − B = A∆
(6.35)
em que f é uma função linear afim qualquer e (tn )n∈N e uma nova sucessão,
imagem por f da P.A. A diferença tn+1 − tn é constante, (não depende da
variável n).
A diferença de dois termos consecutivos da sucessão (tn )n∈N é constante, logo
uma P.A.
Os cálculos acima ainda revelam que a razão da nova progressão aritmética é
A∆ quando a razão P.A. aritmética primitiva era ∆. Conclusão a razão ficou
multiplicada pelo coeficiente angular de f.
O exercı́cio (ex. 4 ) demonstrou o seguinte teorema:
Teorema 58 Função linear afim e P.A.
As funções lineares afins transformam progressões aritméticas em progressões aritméticas.
A razão da nova P.A. fica multiplicada pelo coeficiente angular da função linear afim.
6.2.2
Soma dos termos de uma P.A.
... ou cálculo da prestação do empréstimo
O exemplo que demos de juros para iniciar o nosso estudo de P.A. não existe na prática,
ninguém deixa uma dı́vida crescer durante um ano para depois começar a pagar. E os
bancos sabem disto e assim planejam os juros de forma mais realı́stica2 .
2 pelo
menos do ponto de vista deles...
Exemplo 35 Juros simples
O valor que você deveria pagar, mesmo é C, o capital. Mas você “contratou” n
prestações a uma taxa de juros j. Aı́ eles enfiam isto na maquininha e
• calculam a soma dos juros, na progressão aritmética que apresentamos acima,
(sem o capital)
r + 2r + · · · + 11r = S12
você pode
economisar
com juros. . .
se souber!
É S12 , porque começa com zero... os juros do primeiro mes são nulos, uma
deferência capitalista.
• acrescentam este valor ao crédito concedido,
C + S12
• e depois dividem esta soma em 12 parcelas3 ,
• No caso de n parcelas fica
p=
C + S12
12
p=
C + Sn
n
determinando assim o valor da prestação, p, que vai sendo cobrada todo mes.
Então uma questão importante em matéria de P.A. (ou de juros bancários) é o
cálculo da soma dos termos de uma P.A.
Exemplo 36 Juros simples, com entrada
Uma outra forma de financiamento pode ocorrer, quando você der uma entrada.
Vamos ver como se calculam as prestações neste caso.
Pediram-lhe que pagasse uma entrada, C0 , agora os juros serão calculados sobre a
dı́vida, D = C − C0 .
4
C0 a entrada, ficando a dı́vida D = C − C0
parcela dos juros, pela taxa contratada D ∗ j = r
(6.36)
(6.37)
sn = (n − 1) ∗ r
(6.38)
Sn = 0 + r + 2r + · · · + (n − 1)r
(6.40)
Sn = s 1 + s 2 + s 3 + · · · + s n
Sn = r(0 + 1 + 2 + · · · + (n − 1))
Observe os
dois tipos
de sucessão
sn , Sn
(6.39)
(6.41)
A prestação mensal, neste caso é
p=
D + Sn
n
Exemplo 37 Como economisar juros
Você pode economisar juros se adiantar as prestações e aı́ deve ser saber que nas
prestções foram imbutidos juros. Como calcular os juros imbutidos.
3 troque
4e
o 12 pelo número, n, de parcelas contratadas
a entrada é negativa, para eles...
cálculo dos
juros imbutidos
nas prestações
As prestações são uma P.A. de razão zero, parcelas todas idguais:
t1 = p, t2 = p, · · · , tn = p
que corresponde a soma
D + Sn
quer dizer que pagando adiantado a pretação tk você tem que receber de volta kr que
é a quantidade de juros imbutidos nesta prestação, veja a (fig. 6.1) para entender
melhor esta questão. Claro, se você pagasse todas as prestações adiantado, teria que
receber de volta Sn porque sua dı́vida seria apenas D.
Reduzimos o problema da soma dos termos de uma P.A. a um caso particular,
soma dos n − 1 primeiros números naturais. Resolvido este caso saberemos calcular
qualquer soma de termos de qualquer P.A.
A soma dos n − 1 primeiros números naturais
A figura (fig. 6.1) mostra o método. Nela você vê que uma P.A. é como se fosse
a base
inicial
Ponto médio
Figura 6.1:
A soma
A soma dos termos de uma P.A.
um conjunto de blocos que se repetem, e ela tem um ponto médio.
Se você pegar os blocos acima do ponto médio os colocar sobre a base inicial vira
o cálculo da área de um retângulo.
É assim que se calculam as áreas dos trapézios, se cortam e se colam triângulos
semelhantes para transformar o trapézio num retângulo. Observe a figura (fig. 6.2).
A idéia é absolutamente a mesma. Observe um exemplo antes de passarmos ao caso
abstrato.
Para somarmos
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9
(6.42)
A área de um trapésio ...
é igual a área de um retângulo .
Figura 6.2:
Área do trapésio
vamos re-arranjar o primeiro, com o último, o penúltimo com segundo, e assim por
diante:
(0 + 9) + (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) = 5 ∗ 9 = 45
(6.43)
Observe outro exemplo que vai responder a uma dúvida que lhe poderá surgir:
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =
(6.44)
= (0 + 10) + (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + (5 + 5) =
(6.45)
= 6 ∗ 10 = 60
(6.46)
É o caso em que o número de termos é impar então o termo do meio tem que ser somado
consigo próprio, porque ele é equidistante de si próprio... Este segundo exemplo ilustra
bem a razão do denominador 2 que aparece na fórmula abaixo: cada termo “aparece”
duas vezes.
Experimente, você mesmo, com algumas outras seqüências de números até se convencer de que corresponde ao que a figura 6.1 sugere. Somando os elementos equidistantes dos extremos:
• primeiro, último,
• segundo, penúltimo,
• ...,
• os dois do meio,
resulta em números iguais. Como agrupamos os termos dois a dois, o número de
parcelas para serem somadas é a metade da quantidade original
n
2
(6.47)
e assim o valor da soma será
s1 + s2 + · · · + s1
n
n(s1 + sn )
(s1 + sn ) =
2
2
(6.48)
(6.49)
Podemos enunciar dois resultados intermediários:
Teorema 59 Termos equidistantes numa P.A. A soma de termos equidistantes numa
P.A. é constante.
Teorema 60 A soma dos n primeiros números naturais é
1 + 2 + ···n =
n(n + 1)
2
(6.50)
e o teorema principal
Teorema 61 Soma de termos de uma P.A. Se sk é o termo geral de uma P.A.
então a soma dos n primeiros termos desta P.A. é
Sn = s1 + s2 + · · · + sn =
(s1 + sn )n
2
Exercı́cios 23 Progressões aritméticas
1. um teorema recı́proco Mostramos que as progressões aritméticas eram descritas
por um polinômio do primeiro grau. Verifique que, se P for um polinômio do
primeiro grau então a sucessão (P (n))n∈N é uma P.A.
2. diferenças Verifique que, se P for um polinômio do segundo grau então a sucessão (P (n))n∈N não pode ser uma P.A. mas que as diferenças de segunda
ordem
∆Pn+1 − ∆Pn = P (n + 1) − P (n) − (P (n) − P (n − 1))
será uma progressão5 aritmética.
6.3
Gráficos das funções lineares
Os gráficos são um instrumento visual importante para transmitir o conteúdo
de uma função. A figura (fig. 6.1) já nos mostra isto, visualizamos com
um conjunto de blocos crescentes a o significado de uma P.A. Os degraus
traduziram a diferença constante entre os termos.
Numa P.A. temos interesse em usar variáveis inteiras. Mas em outros tipos
de função não convém considerar variáveis inteiras e sim variáveis que assumam todos os valores entre dois números dados. Chamaremos isto de uma
[variação contı́nua]b . Vamos usar este adjetivo com o seus sentido intuitivo,
nos próximos capı́tulos este assunto será retomado.
a poderiam
ba
5O
ser decrescentes, afinal subimos mas descemos escadas...
continuidade é um assunto da disciplina Cálculo Diferencial e Integral
sı́mbolo ∆ é sempre associado com diferenças
A figura (fig. 6.3) ilustra a relação existente entre o coeficiente angular de uma
reta e os termos de uma P.A.
Numa escada de batentes, bem feita, é possivel escorar uma regua bem assentada
nas arestas dos batentes.
Retângulos
e
triângulos
semelhantes
Aspectos
geométricos
de uma
progressão
aritmética
α
a
Figura 6.3:
b
O ângulo de
inclinação
da reta é
definido
pela razão.
c
b
a
Coeficiente angular da reta e a razão da P.A.
Nesta figura, separamos em destaque um triângulo retângulo formado pelos lados
de dois dos retângulos que representam a razão e por um segmento de reta que passa
por vértices extremos de cada bloco.
A inclinação desta reta está associada com o ângulo α que a reta faz com horizontal.
O ângulo está representado no triângulo que destacamos.
Observe também, na mesma figura, a presença de triângulos de menor porte, mas
semelhantes aos demais. Observe que também nestes casos a hipotenusa dos triângulos
ficam em cima da mesma reta. Portanto não importa o tamanho dos triângulos, eles
são todos semelhantes.
O coeficiente angular da reta, m, é o quociente das medidas dos catetos
deste ângulo:
b
a
é o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
m=
Estamos usando as letras a, b para representar tanto os catetos, na figura (fig. 6.3),
como as medidas dos mesmos no cálculo de m. Isto é um abuso, aceitável...
O conjunto das idéias que acabamos de expor conduzem a afirmação de que existe
uma reta associada com uma função linear afim, e queremos explorar esta afirmação
de forma mais aprofundada.
6.3.1
Coeficiente angular de uma reta
Na figura (fig. 6.4) você pode ver seis segmentos de reta partindo da origem dos eixos
XOY. O que torna estes segmentos de reta diferentes é
OY
γ
tido
sen
β
o
itiv
pos
π/2
α
OX
δ
ν
−π/2
sen
tido
µ
neg
ativ
o
δ,ν,µ < 0
Figura 6.4:
Várias reta, seus ângulos, sentido dos ângulos
• Os ângulos que eles formam com o eixo OX
• os seus coeficientes angulares
e queremos insistir que são dois aspectos da mesma coisa:
• a cada ângulo corresponde um coeficiente angular e,
• vice-versa, a cada coeficiente angular corresponde um ângulo no intervalo [− π2 , π2 ].
É
bem
sabido
que
dois pontos determinam um reta.
Podemos
agora
generalizar
esta
afirmação:
duas informações podem determinar uma reta. As duas informações
podem ser
1. um ponto, a origem dos eixos, neste caso, e
2. um coeficiente angular
Vamos escrever esta afirmação de outra forma equivalente: Para determinar uma reta precisamos de
1. um ponto, a origem dos eixos, por exemplo, e
2. um número
6.3.2
Retas e suas equações
A invenção de René Descartes (1596-1650) de estabelecer a representação de um ponto
do plano com um par de números, veja a figura (fig. 6.5) revolucionou a Matemática.
(2,4)
(−1,3)
(x,y)
y
x
(−2,−2)
Figura 6.5:
(3,−2)
Um par de números representa um ponto no plano
Por um lado permitiu uma “algebrização” da geometria, nós agora vamos falar da
“equação de uma reta” . Podemos somar retas, por exemplo.
Como primeiro passo vamos refazer a lista das duas informações que determinam
uma reta, da qual já escrevemos acima, duas versões. Por enquanto continuaremos
presos ao ponto na origem.
Vamos dizer agora que para determinar uma reta que passe pela origem precisamos
de
1. um ponto, a origem dos eixos,
2. a razão em que se encontram as coordenadas x, y dos pontos desta reta.
A última afirmação pode ser expressa assim:
y
=m
x
(6.51)
e o número m é o coeficiente angular da reta.
Esta expressão pode ser escrita agora como
y = mx ; x 6= 0
(6.52)
que é a equação de uma reta que passa pela origem. Esta equação determina a reta
porque podemos encontrar qualquer ponto da reta usando a equação:
• Escolha um valor para x, por exemplo x = 3 e podemos calcular o correspondente
valor de y
y = mx = m ∗ 3 = 3m ; o ponto (3, 3m) pertence a reta
(6.53)
• Uma tabela de pontos sobre a reta quando m = 2
x
y
−3
−6
−1
−2
1
2
2
4
2.5
5
A figura (fig. 6.6) mostra a reta quando o coeficiente angular é
equação da reta é
3
2.
Neste caso a
(x,y)
(3,2)
A equação desta
reta é
2y = 3x
m = 3/2
Figura 6.6:
= y/x
y = 3x/2
Equação de reta que passa na origem
y
x
=
3
2
2y = 3x
(6.54)
(6.55)
Podemos resumir as duas condições para determinação de uma reta em uma equação.
Vamos dizer que uma equação da forma
y = mx
(6.56)
determina uma reta que passa na origem. O número m é o coeficiente angular da reta.
Exercı́cios 24 Transformações e gráficos
função do primeiro grau
1. A reta r tem por equação y = f (x) = 0.5x Calcule as imagens de
x ∈ {−2, −1, 0, 3, 5}
e marque os pontos
(x, y) ∈ {(−2, f (−2)), (−1, f (−1)), (0, f (0)), (3, f (3)), (5, f (5))}
num sistema de eixos. Trace a reta que passa nos pontos marcados.
2. A reta t tem por equação y = f (x) = − x3 Calcule as imagens de
x ∈ {−2, −1, 0, 2, 5}
e marque os pontos
(x, y) ∈ {(−2, f (−2)), (−1, f (−1)), (0, f (0)), (2, f (2)), (5, f (5))}
num sistema de eixos. Trace a reta que passa nos pontos marcados.
3. A reta r passa pela origem e pelo ponto (3, 4). Encontre sua equação.
4. Determina a equação da reta que passa pela origem e pelo ponto (−3, 2).
5. Faça o gráfico e encontre as equações das retas determinadas pela origem e pelo
ponto dado:
a) (3, 0)
b) (3, 5)
d) (−1, 2)
6. Faça o gráfico das retas determinadas pelas equações:
a) y = x
b) y = 2x
d) y = −x
7. Em cada uma das equações dos itens acima, indique qual é o coeficiente angular
da reta.
8. Para cada uma das retas dos itens acima, indique o coeficiente angular e associe,
cada uma, com o predicativo “crescente” ou “decrescente” adequado.
9. Trace o gráfico da reta r que passa na origem e no ponto (1, 3) e da reta que é
perpendicular a esta. Encontre as equações de ambas as retas.
A translação u
trasformou
a reta r
na reta t
r
t
v
u
A translação v
também
trasforma
a reta r
na reta t
Figura 6.7:
6.4
duas retas paralelas, uma delas passa na origem
Equação da reta que não passa na origem
Se uma reta não passar na origem é porque foi deslocada da origem! Foi translatada.
Observe o gráfico na figura (fig. 6.7)
A figura (fig. 6.7) mostra que há várias maneiras de se obter uma reta, a partir
de outra, por translação, uma translação horizontal, uma translação vertical.
Pode ser uma translação não seja nem horizontal e nem vertical... estamos começando
a usar o método que Descartes nos ofereceu, estamos algebrisando a geometria.
Exercı́cios 25 Operações algébricas com entes geométricos
1. translação de retas
(a) Trace o gráfico da reta r que passa na origem e no ponto (−1, 1). Encontre
a sua equação.
(b) Dê uma translação horizontal de −3 a reta r obtendo assim a reta t.
(c) Qual das equações abaixo descreve a reta t
a) y = −x + 3
b) y = −x − 3
c)y − 3 = −x
d) y + 3 = −x
a sua equação.
(b) Dê uma translação vertical de 3 a reta r obtendo assim a reta t.
a) y = −x + 3
b) y = −x − 3
c)y − 3 = −x
d) y + 3 = −x
Resposta: (a)
y = −(x − 3)
a sua equação.
(b) Dê uma translação horizontal de −3 a reta r obtendo assim a reta t.
a) y = −4(x + 3)
b) y = −4(x − 3)
c)y − 3 = −4x
d) y + 3 = −4x
Resposta: (a)
y = −4(x + 3)
a sua equação.
(b) Dê uma translação vertical de −3 a reta r obtendo assim a reta t.
a) y = −x + 3
b) y = −4x − 3
c)y + 3 = −x
d) y + 3 = −4x
Resposta: (c)
5. Faça os gráficos das retas abaixo
a) y = 2(x + 3)
y + 3 = −x
b) y = 2x + 3
c)y + 3 = 2x
d) y − 3 = 2x
e decida quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
(a) As retas são todas paralelas
(b) y = 2(x + 3) foi obtida por uma translação vertical da reta y = 2x
(c) y = 2(x + 3) foi obtida por uma translação horizontal da reta y = 2x
(d) y − 3 = 2x foi obtida por uma translação vertical de 3 da reta y = 2x
(e) y − 3 = 2x foi obtida por uma translação vertical de -3 da reta y = 2x
Resposta:
Corretas a,c,d
Os exercı́cios anteriores associam operações algébricas às retas com o significado
seguinte
y = mx ⇒ y = m(x + a) translação horizontal de − a
y = mx ⇒ y + a = mx translação vertical de − a
(6.57)
(6.58)
em que a pode ser positivo ou negativo. Podemos assim criar uma pequena teoria:
• equação padrão da reta
y = mx
é a reta r de coeficiente angular m.
– Se m > 0 a reta r é crescente;
– Se m < 0 a reta r é decrescente;
– Se m = 0 r é o eixo OX.
Observe
o sinal da
translação.
• translação da reta padrão y = mx
Observe o sinal.
1. y = m(x + a) é uma translação horizontal de −a da reta padrão.
a
2. y = mx + a é uma translação horizontal de − m
da reta padrão. Sugestão,
coloque m em evidência.
3. y + a = mx é uma translação vertical de −a da reta padrão.
• equação padrão da reta ay = bx
1. coeficiente angular da reta ay = bx é
b
,
a
se a 6= 0.
– Se a = 0 temos x = 0 que é a equação do eixo OY
– Se b = 0 temos y = 0 que é a equação do eixo OX
Consideraremos então a 6= 0, b 6= 0
2. translações Observe o sinal
(a) ay = b(x − α) translação horizontal de α da reta padrão;
(b) ay = bx − α é uma translação horizontal de
em evidência).
α
.
b
( Sugestão, coloque b
(c) ay = b(x + α) translação horizontal de −α da reta padrão
(d) ay = bx + α é uma translação horizontal da reta padrão de − αb .
Sugestão, coloque b em evidência.
(e) a(y + α) = bx é uma translação vertical de −α da reta padrão
(f) ay + α = bx é uma translação vertical de − α
da reta padrão
a
(g) a(y − α) = bx é uma translação vertical de α da reta padrão
(h) ay − α = bx é uma translação vertical de
α
a
da reta padrão
Reta passando no ponto (α, β).
Sempre que possı́vel vamos escrever a equação de uma reta no formato
a(y − α) = b(x − β)
que representa uma translação horizontal de β e vertical de α da reta padrão
ay + bx = 0
Observe que se a equação for escrita na forma (eq. 6.4) imediatamente podemos
ver que ela passa no ponto (α, β) e tem coeficiene angula ab .
Quando partimos do coeficiente angular dado m então será mais prático escrever
a equação da reta no formato
y − α = m(x − β)
que é a reta que passa no ponto (α, β) e tem coeficiente angular m.
Equação do 1o Grau
6.5
Definição 48 Equação polinomial Chama-se equação polinomial toda equação do tipo
f (x) = 0
em que f é uma função polinomial.
Exemplo 38 Equação do 1o grau
1. Uma equação polinomial f (x) = 0 é do 1o grau quando
f (x) = ax + b
com a 6= 0.
2. 3x − 2 = 0 ; f (x) = 0 ; f (x) = 3x − 2
3. 2kx = 2 ; f (x) = 0 ; f (x) = 2kx − 2
4. t − 5 = 5 ; f (t) = 0 ; f (t) = t − 10
5.
x
3
−
1
2
= 4 ; f (x) = 0 ; f (x) =
x
3
−
9
2
Como resolvemos uma equação do tipo ax + b = 0? É o que vamos responde nesta
secção.
A resolução de uma equações do 1o grau consiste em aplicar as propriedades do
Princı́pio das Igualdades, visto no ensino fundamental junto com as propriedades de
que R (ou Q) tem uma estrutura de corpo, capı́tulo 4
Teorema 62 Princı́pio das Igualdades
1. Lei do cancelamento aditivo Se A = B então A + C = B + C
2. simetria Se A = B então B = A
3. transitividade Se A = B e B = C então A = C
4. Lei do cancelamento multipliativo Se A = B e s 6= 0 então sA = sB
Dem :
• As leis do cancelamento são consequência da existência do inverso. No caso da multiplicação um único número não tem inverso multiplicativo, o zero.
• A simetria e transitividade são consequências de que a igualdade é uma relação de
equivalência.
q.e.d .
Teorema 63 Solução da equação do 1o grau No corpo dos reais (ou dos racionais)
a equacão
ax + b = c
tem por única solução
x=−
b
a
se a 6= 0. Dem :
inverso, cancelamento aditivoax + b = c ≡ ax + b − b = c − b
(6.59)
ax + b = c ≡ ax = c − b
inverso, cancelamento multiplicativo
1
ax
a
=x=
1
(c −
a
b) =
(6.60)
ax = c − b ≡
c−b
a
1
1
ax = (c
(6.61)
− b)
a
a
(6.62)
(6.63)
As operações acima são válidas se a =
6 0. Se a = 0 não haveria nenhuma equação para Estamos m
habituado
resolver e a expressão seria absurda se b =
6 c. q.e.d .
comutativ
dos núme
a notaç
Exemplo 39 Solução de equações do 1o grau
1. Resolva a equação 2x + p = 2p − x, sendo U = R.
Solução.
Indicamos que a equação deve ser resolvida
mos que
2x + p
=
2x + x
=
3x =
x =
no conjunto dos números reais. Te2p − x
2p − p
p
p
3
Logo, S = { p3 }.
2. Resolva a equação 2x + p = 2p − x, sendo U = Z.
Solução.
Indicamos que a equação deve ser resolvida no conjunto dos números Inteiros.
Aproveitando as contas já feitas, observamos que a equação nem sempre terá
solução, será necessário que p seja divisı́vel por 3
3. Resolva a equação
mx−1
2n
Solução. Temos que
= x (n 6= 0) .
mx − 1
= x ⇔ mx − 1 = 2nx
2n
e daı́,
mx − 2nx = 1
Logo,
x=
1
comm 6= 2n
m − 2n
4. Resolver a equação 2x + m = 3 (x + m) , sendo U = R.
Solução. Temos
2x + m
2x + m
2x − 3x
x
Logo, S = {−m}.
=
=
=
=
3 (x + m)
3x + 3m
3m − m
−m
depende d
comutativ
Discussão da equação do 1o Grau
6.6
Dada a equação do 1◦ grau ax + b = 0. Discutir a equação do 1◦ grau significa efetuar
um estudo desta equação visando a classificá-la segundo a sua definição. Uma equação
do 1◦ grau pode ser apresentada de uma das seguintes situações:
1. a 6= 0. Neste caso, a equação tem uma única solução x =
−b
;
a
2. a = 0 e b = 0. Então temos 0x = 0, qualquer número real será solução desta
equação;
3. a = 0 e b 6= 0. Temos 0x = b, não existe solução para esta equação.
Exemplo Determine todos os valores de p para os quais a equação
px
4
−
x−2
p
=1
a) admita uma única solução.
b) não admita solução.
c) admita infinitas soluções.
Solução. Inicialmente, vamos deixar a equação dada da forma ax = b. Assim, se
x−2
px
−
= 1, p 6= 0 (∗)
4
p
(6.64)
Resolvendo a equação (*), encontramos
(p + 2) (p − 2) x = 4 (p − 2)
a) Se p + 2 6= 0 e p − 2 6= 0, então a equação (*) admite solução única. Logo,
S={
4
}
p+2
é a única solução. Portanto, p 6= 0, p 6= −2 e p 6= 2
b) Se (p + 2) (p − 2) = 0 e 4 (p − 2) 6= 0, então a equação (*) não admite solução.
Portanto, p = −2 ou p = 0.
c) Se (p + 2) (p − 2) = 0 e 4 (p − 2) = 0, então a equação (*) admite infinitas
soluções e isto ocorrerá para p = 2.
6.6.1
Exercı́cios Propostos
1. Resolver as seguintes equações do 1o grau da incógnita x :
a)
x−3
x−2
b) x −
x
4
c)
mx
m+n
d)
1
x
−
2−5x
x+1
−
−1=7−
4x
3
nx
m2 −n2
x
n
−
3
4
= 6x2 − 3
=
+m−
m2
mn−n2
=1
2. Resolva a seguinte equação
x−
1
2
2
3
−
4−x
2
4
3
=−
17
6
3. Determine m +
1
m
sabendo que a equação
3mx +
m − 114x
= 782m + 1
2
admite infinitas soluções.
√ 2
√
6
12 x
27 − √ + √
= 4x + 12
12
6
1
1
=
x
2 − 1−x
2
6. Determine k para o qual a equação k (kx + 1) = 2 (2x − 1) é impossı́vel.
6.7
Sistema de Equações do 1o Grau
Uma classe importante de problemas pode ser expresso por um sistema de
equações. Vamos discutir aqui sistemas de equações lineares. Você verá que
estes sistemas nos permitem criar uma generalização dos números, as matrizes.
Exemplo 40 Sistemas lineares
a1 x + b 1 y
a2 x + b 2 y
= c1
= c2
(6.65)
em ai , bi , ci são números reais.
A solução do sistema (eq. 6.65) é um par (x, y) ∈ R × R tal que as coordenadas
x e y satisfazem ambas equações.
Podemos logo aqui fazer uma discussão de natureza geométrica. Veja que podemos
reformular o sistema escrevendo assim:
y = f1 (x) = A1 x + C1
(6.66)
y = f1 (x) = A2 x + C2
“passando” todos os coeficientes para o segundo membro, quer dizer,
Ai = −
ai
ci
; Ci =
bi
bi
Temos um sistema de funções do 1o grau e como já vimos que os gráficos das
funções do 1o grau são retas, então o sistema (eq. 0) pode ser representado por duas
retas, e consequentemente, terá
1. solução única se as retas forem concorrentes;
2. uma infinidade de soluções se as retas coı̈ncidirem.
3. impossı́vel se as retas forem paralelas e diferentes;
Veja, na figura (fig. 6.8), o significado geométrico desta discussão.
f1
f1
P
f2
sistema
impossível
sistema
tem solução
única
6.7.1
Uma
infinidade
soluções
f = f2
1
f1
f2
Figura 6.8:
f2
Discussão geométrica, sistema de equações
Matrizes
Vamos introduzir aqui um dispositivo, as matrizes, que serão estudadas mais aprofundadamente na disciplina Álgebra Linear. Agora elas vão tão somente transcrever de
forma abreviada os sistemas de equações.
Começamos por re-escrever o sistema (eq. 6.65). Identificamos os quatro coeficientes que multiplicam as duas incognitas x, y
a1 , b 1 , a 2 , b 2
e os dois coeficientes “independentes”
c1 , c2 .
e escrevemos
a1
a2
b1
b2
x
y
=
c1
c2
(6.67)
O dispositivo retangular formado pelos quatro coeficientes se chama matriz. Aqui
temos uma matriz 2 x 2, duas linhas
e duas colunas, e definimos na (eq.
6.67)
a
x
c1
multiplicação da matriz pelo vetor
tendo como resultado o vetor
.
t
c2
Uma nova multiplicação
Esta multiplicação se processa combinando os elementos de cada linha da matriz
multiplicação
de matrizes
x
(são multiplicados) pelos elementos do vetor
como uma engrenagem de rodas
t
dentadas. O resultado desta multiplicação é exatamente o sistema (eq. 6.65).
Observe a simulação do produto de matrizes na figura (fig. 6.9)
Multiplicação de matrizes
1
2
2 3
4
1
8
5
7
6
a
b
x
c
d
y
ax + by
3
4
5
6
7
8
Figura 6.9:
cx + dy
O produto de matrizes
Vamos traduzir em linguagem algébrica a discussão geométrica que fizemos da
solução do sistema de equações e estudarremos cada um dos casos geométricos.
1. solução única se as retas forem concorrentes;
Neste caso os coeficientes angulares das retas não são iguais,
a1
b1
6=
a2
b2
a1 b2 6= a2 b1
D = a1 b2 − a2 b1 6= 0
(6.68)
(6.69)
(6.70)
(6.71)
Na última equação podemos identificar o número obtido fazendo a a diferença
entre os produtos em cruz das entradas da matriz. Este mesmo número vai se
repetir nas próximas análises. A solução é única se D 6= 0
2. uma infinidade de soluções se as retas coı̈ncidirem.
Se as retas coı̈ncidirem, seus coeficientes angulares serão iguais o que nos leva a
escrever
a1
b1
=
a2
b2
(6.72)
a1
a2
a1
a2
=
b1
b2
=
b1
b2
=
(6.73)
c1
c2
D = a1 b 2 − a2 b 1 = 0
D1 = a1 c2 − a2 c1 = 0 ; D2 = b2 c1 − b1 c2 = 0
(6.74)
(6.75)
(6.76)
onde vemos novamente o número D intervindo na análise. Também agora escrevemos duas equações extras, a (eq. 73), que foi obtida da anterior usando a
propriedade da troca dos meios numa proporção. Esta equação, (eq. 73), nos
diz agora que os coeficientes de uma reta são proporcionais aos da outra reta.
Como as retas coı̈ncidem o coeficiente independente tem que estar na mesma
proporção, portanto obtivemos assim as equações (eq. 74),(eq. 76).
A importancia do número D ou D1 ou D2 , que têm expressões análogas, fica
clara, vamos lhe dar um nome: determinante.
D = det
D1 = det
D2 = det
a1
a2
b1
b2
a1
a2
c1
c2
c1
c2
b1
b2
= a1 b 2 − a2 b 1 = 0
(6.77)
= a1 c2 − a2 c1 = 0
(6.78)
= c1 b2 − c2 b1 = 0
(6.79)
e concluimos a discussão deste item do sistema dizendo que
D = D1 = D2 = 0
(6.80)
3. impossı́vel se as retas forem paralelas e diferentes;
Neste caso o deteminante da matriz do sistem, D é zero, mas uma das proporções
com os termos independentes falha (porque as retas) não são iguais:
D1 6= 0 ou D2 6= 0
(6.81)
Neste caso as retas são paralelas, seus coeficientes angulares são iguais, mas as
retas são diferentes, e portanto tem interseção vazia.
Definição 49 Determinante de uma matriz2 x 2
Identificamos nas matrizes 2 x 2 ou em matrizes de dimensão maior, as “linhas”,
as “colunas” e as duas diagonais (quando o número de linhas for igual ao de colunas).
A diagonal em que os dois ı́ndices são iguais, é a principal, a outra a secundária.
O determinante, no caso de matrizes 2 x 2, é a diferença entre:
• o produto dos elementos da diagonal principal
• o produto dos elementos da diagonal secundária
A discussão que fizemos acima demonstra o teorema:
Teorema 64 Discussão de um sistema de equações lineares
Dado um sistema linear como (eq. 6.65), temos tres casos
1. determinado quando as retas forem concorrentes ou equivalentemente, o determinante, D, da matriz do sistema for diferente de zero.
2. indeterminado quando as retas forem coı̈ncidentes, ou equivalentemente, todos
os determnantes 2 x 2 que pudermos fazer usando as colunas do sistema, forem
nulos.
Em particular o determinante da matriz do sistema é nulo.
3. impossı́vel Quando as retas forem paralelas e diferentes,ou equivalentemente, o
determinante, D, da matriz do sistema for nulo, mas um dos outros determinantes que pudermos fazer trocando uma das colunas de D com a coluna dos
termos independentes, os determinantes D1 ouD2 for diferente de zero.
O método de resolução de sistema linear pode ser iniciado por qualquer uma das
equações, e a escolha da variável, deve obedecer ao critério que mais facilita a solução
do sistema.
Exemplo 41 Solução de sistemas lineares
x + y = 20
1. Resolva o sistema
x−y = 6
Solução. Isolando a segunda equação temos que x = y + 6. Vamos agora,
substituir na primeira equação
(y + 6) + y = 20 ⇒ y = 7
e por outro lado, encontramos x = 13. Logo, S = {(13, 7)}.
Outra solução. O determinante do sistema, D = −2 6= 0, o sistema tem
solução única como encontramos.
Exemplo Se 2x − 3y − z = 0 e x + 3y − 14z = 0, z 6= 0, determine o valor da
expressão
x2 + 3xy
g(x, y, z) = 2
y + z2
Solução. Vamos multiplicar a segunda equação por −2 somar membro a membro as duas equações:
2x − 3y − z = 0
+
−2x − 6y + 28z = 0
−9y + 27z = 0
e daı́, y = 3z. Agora, somando as duas equações encontramos também x = 5z.
Finalmente, substituindo x = 5z e y = 3z. Temos
x2 + 3xy
25z 2 + 45z 2
=
=7
y2 + z2
9z 2 + z 2
Outra solução. O determinante do sistema, D = −2 6= 0, o sistema tem
solução única como encontramos.
2. Determine a + b, sabendo que o sistema
10x − y = 3
ax − y = b
admite uma infinidade de soluções.
(6.82)
Solução. Como o sistema (eq. 82) admite uma infinidade de soluções, então,
por definição
10
−1
3
=
= ⇒ a = 10eb = 3
a
−1
b
Logo, a + b = 13. Como o sistema (eq. 82) admite uma infinidade de soluções,
então, pela discussão de um sistema de equações do primeiro grau sabemos que
todos os determinantes 2 x 2 que
sãonulos,
pudermosfazer com os coeficientes
10 −1
10 3
logo os determinantes D = det(
) = 0 e D1 = det(
)=0
a −1
a b
Logo
D1 = 10b − 3a = 0 ; D = −10 + a = 0 ⇒ a = 10, b = 3
portanto a + b = 13
6.7.2
1. Resolva os sistemas:
3x − y = 4
a)
x + 2y = 6
3
x + y3 = 1
b)
x2 y + 2xy2 + y3 = 2
 xy
6
 x+y = 5
xz
= 43
c)
 x+z
yz
= 12
y+z
7
2. Ache todas as soluções do sistema
3
x + x3 y3 + y3 = 17
x +xy +y = 5
3. Determine a e b para que seja impossı́vel o sistema
ax + 3b
= 6y + 5a
ax + 2y − 4x = 4a + 3
4. Os números a, b e c são reais não negativos e p e q são inteiros positivos distintos.
Prove: se
p
a + bp = cp
aq + bq = cq
então a = 0 ou b = 0.
5. Ache todas as soluções do sistema
3x2 + xy − 2y2
2x2 − 3xy + y2
6.8
=
=
0
−1
Problemas do 1o Grau
Já sabemos que, para encontrar a solução de certos problemas, podemos usar uma
equação do 1o grau. Na prática a resolução de um do 1o grau é constituida de três
etapas:
1. Estabelecer o sistema ou a equação que representa o problema;
2. Resolver o sistema ou a equação;
3. Achar a resposta conveniente.
Exemplo Numa prova de matemática, a prova é composta de 20 questões. Cada
questão certa vale 5 pontos e cada questão errada vale 2 pontos. Um aluno obteve 82
pontos. Quantas questões acertou e quantas errou este aluno?
Solução. Seja x o número de questões certas e y o número de questões erradas. Emtão
x+y
= 20
5x + 2y = 82
Agora, resolvendo o sistema encontramos x = 7 e y = 13 isto é, o aluno acertou 13
questões e errou 7.
Exemplo Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao
número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de
irmãs. Determine o total de filhos do casal.
Solução. Seja m o número de filhas e h o número de filhos. Como cada filho tem
h − 1 irmãos e m irmãs. Assim,
h − 1 = m (∗)
(6.83)
Por outro lado, cada filha tem m − 1 irmãs e h irmãos. Logo,
h = 2 (m − 1) (∗∗)
O sistema
h−1
h
=
=
(6.84)
m
2 (m − 1)
tem solução h = 4 e m = 3. Portanto, o casal tem 7 filhos.
Exemplo Um copo cheio de água pesa 385g; com 32 de água pesa 310g. Determine o
peso do copo vazio.
Solução. Sejam x a massa do copo vazio e y a massa do copo cheio. Assim, temos o
sistema
x+y
= 385
x + 32 y = 310
Resolvendo o sistema encontramos x = 160 e y = 225. Logo, a massa do copo vazio é
160g.
Exemplo Uma pessoa nasceu no século XIX e morreu no século XX, vivendo um
total de 64 anos. Se o número formado pelos dois últimos algarismos do ano do seu
nascimento for igual ao dobro do número formado pelos dois algarismos do ano de sua
morte. Determine quantos anos tinha essa pessoa no ano de 1900.
Solução. Seja n o número formado pelos dois últimos algarismos do ano que ela
morreu. Assim, 2n é o número formado pelos dois últimos algarismos do ano que ela
nasceu. Como ela nasceu no século XIX, ela nasceu em 1800 + 2n e morreu no século
XX ela morreu em 1900 + n. Como ela viveu 64 anos. Logo,
(1900 + n) − (1800 + 2n) = 64
e daı́, n = 36. Portanto, ela nasceu em 1872. Assim, 1900 ela tinha 1900 − 1872 = 28
anos.
6.8.1
1. Ana comprou um par de luva e um par de meia. O par de luvas custou 10 reais a
mais do que o de meia. O total da compra foi de 50 reais. Quantos reais custou
o par de meia?
2. Um feirante vendeu 140kg de batatas em 3 dias. No 2o dia vendeu 10kg a mais
que no 1o dia e no 3o dia 53 do que vendeu no 1o dia. Quantos quilogramas
vendeu o feirante no segundo dia?
3. Quando o número 3 é escrito à direita de um número de dois algarismos, o valor
desse número aumenta de 777. Encontre o número original.
4. Um jornal é composto somente de folhas duplas. As páginas 7 e 14 estão na
mesma folha dobrada do jornal. Supondo que todas as páginas estão preenchidas, quantas páginas tem o jornal?
5. Hoje eu tenho a idade que um amigo Paulo tinha quando eu nasci. Daqui a 15
anos terei 23 da idade de Paulo. Qual é a idade de Paulo?
6. Um número de 6 algarismos começa à esquerda, por 1. Levando-se este algarismo
para o último lugar, á direita, o novo número é triplo do inicial. Determine o
número incial.
7. Para numerar as paginas de dicionário foram necessários 2989 algarismos.
Quantas páginas tem o dicionário?
8. Três torneiras A, B e C, enchem um tanque. B e C juntas levariam 2 horas para
enchê-lo; C e A 3 horas; A e B 5 horas. Determine o tempo que as três juntas
levarão para encher o tanque.
9. Em uma jara cabe 1 litro e mais
cabem em 34 da jara?
1
3
da jara, de água. Quantos litros de água
10. Numa festa estão 42 pessoas, entre moças e rapazes. Maria dançou com 7
rapazes, Lúcia com 8 rapazes, Marta com 9 e assim por diante, e por último,
Eva, a dona da casa, dançou com todos os rapazes. Quantos rapazes havia na
festa? Se o número de pessoas na festa for n e Maria dançou com r rapazes,
Lúcia com r + 1 rapazes, qual é o número de rapazes? Como deveria ser o
enuciado do problema, se desejassemos na resposta que o número de rapazes
fosse igual ao de moças?
11. Carlos parte de A com destino a B, às 8 horas, enquanto Paulo parte de A com
destino a B, mas às 9 horas. Paulo corre com a velocidade igual à quarta parte
a mais do que a velocidade de Carlos. Ás 10 horas Carlos está 30km na frente
de Paulo.
a) Determine a velocidade de cada um.
b) Ás 12 horas e um quarto, quem está na frente? Qual é a distância que os separa?
Exercı́cios 26 Progressões aritmt́icas
1. Especulação financeira Uma máquina custa R$10.000,00 e ao longo de 12 anos
irá produzir lucros de R$1.500,00 podendo ser vendida ao final deste tempo por
R$3.000,00. Considerando que o dinheiro poderia ser colocado n’algum fundo de
investimento com taxa prefixada de 10% a.a. estude se vale a pensa comprar a
máquina ou investir no fundo.
2.
3.
6.8.2
Solução de alguns exercı́cios
1. especulação ou trabalho A máquina ao longo de 12 anos produz um lucro de
R$ 18.000,00 e ao ser vendida por R$3.000,00 tornou o seu custo mais baixo,
R$10.000,00 - R$3.000,00=R$7.000,00 o que lhe dá uma lucratividade lı́quida
de R$ 18.000,00 - R$7.000,00=R$11.000,00
O dinheiro colocado a render no fundo com renda pre-fixada produziria a soma
dos termos de uma P.A.
10000 ∗ 10% ∗ (
12
X
k=1
k) = 10000 ∗ 10% ∗ 12 ∗
11
= 66000
2
10000+ 1 + 1.1 + 1.21 + 1.331 + 1.4641+ 1.61051+1.771561 + 1.9487171
6.9
Progressões geométricas
Não é atôa que os dois assuntos, P.A. e P.G. andam sempre juntos. Existe
uma ligação ı́ntima entre estes dois tipos de sucessão, e a história toda vai ser
contada ao final deste capı́tulo. Agora vamos apenas abrir mais um tópico
nesta intriga, falando das P.G.
Por definição:
Definição 50 Progressão geométrica
Uma P.G. é uma sucessão de números em que o quociente de cada número com o
seu antecedente, é um número fixo, chamado raz~
ao.
Se (an )n∈N designa uma P.G. então
an+1
= r é constante
an
Exemplo 42 Progessão geométrica
1. Considere um número inicial a1 = a e outro qualquer, r > 0 a sucessão
a, ar, ar 2 , · · · , ar (n−1)
é uma P.G. com n termos sendo a1 = a o primeiro termo e o o fator multiplicativo r a razão.
2. A razão pode ser um número negativo, a sucessão
1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, · · ·
tem primeiro termo a1 = 1 ; r = −1.
3. Se a1 > 0 e r > 1 a P.G. é crescente porque
an+1
= r > 1 ⇒ an+1 > an
an
4. Se a1 > 0 e r < 1 a P.G. é decrescente porque
an+1
= r < 1 ⇒ an+1 < an
an
5. Ligação das P.G. com as P.A. A ligação fortı́ssima entre este tipo de sucessão
e as sucessões aritméticas, P.A. se encontra no fato de que os expoentes da
razão formam uma P.A. (e a mais simples P.A. que é a sucessão dos primeiros
números naturais):
a1 , a1 r, a1 r 2 , a1 r 3 , · · · , a1 r n−1
A equação clássica para as P.G. estabelce que o termo geral é
an = a1 ∗ r (n−1) ; a1 corresponde a r 0
(6.85)
em que
• primeiro termo a1 é o primeiro termo
• a variável n é um indice, a variável com que construimos a P.G.
Usando a notação de função diriamos
N→R
(6.86)
n 7→ an = a1 ∗ r (n−1)
(6.87)
A seguinte lista de exercı́cios pode ser feita sem nenhum prerequesito, e faremos
uso significativo dela no resto do livro. Ela conduz a demonstração de uma identidade
clássica da Matemática.
Exercı́cios 27 Laboratório básico, Progressão geométrica
1. Uma P.G. muito particular
Verifique que
1, r, r 2 , · · · , r n−1 ; n − 1 ≥ 2
é uma P.G.
2. Soma dos termos de uma P.G. muito particular
Verifique a identidade
(1 + r + r 2 + · · · + r n−1 )(1 − r) = r n − 1
e conclua que se r 6= 1 também vale a identidade
1 + r + r 2 + · · · + r n−1 =
3. Soma dos termos de uma P.G. qualquer
Considere uma P.G. qualquer, de termo geral
rn − 1
1−r
an = a1 ∗ r (n−1)
verifique que a soma dos seus termos
Sn = a1 + a2 + · · · + an
pode ser deduzida da soma
1 + r + r 2 + · · · + r n−1
e calcule Sn .
Demonstramos, com estes exercı́cios, os dois teoremas seguintes:
Teorema 65
1 + r + r 2 + · · · + r n−1 =
rn − 1
1−r
(6.88)
Teorema 66 A soma dos termos de uma P.G. Dada uma P.G. de termo geral
ak = a1 r k−1 ; k ≥ 1 a soma dos seus termos
a1 + a2 + · · · + an = a1
Observação 28 Abstração
r n−1 − 1
r−1
É a segunda vez, neste capı́tulo que deduzimos um teorema importante de um resultado
simples, neste caso a soma dos termos de uma P.G. Já fizemos isto antes com a soma dos
termos de uma P.A. que foi deduzida da soma dos n primeiros números naturais. Este é
um método muito poderoso na Matemática, a redução ao caso mais simples, e se encontra no
centro do méotodo chamado “abstração” que você iraá dominar a medida que se aprofunda
em nossa ciência.
Vamos resolver os itens da lista anterior, mas insistimos que você resolva as
questões sozinho e apenas compare com o que vamoa agora fazer. Você tem que
dominar esta técnica.
Solução 1 Resultados do laboratório
1. Uma P.G. muito particular É a P.G. mais simples, o primeiro termo é 1 e vai
sendo multiplicado por uma razão r dada. O quociente de de quaisquer dois
termos sucessivos é r.
1, r, r 2 , · · · , r n−1 ; n − 1 ≥ 2
2. Soma dos termos de uma P.G. muito particular
Verificando a identidade
T = Sn (1 − r)
2
T = (1 + r + r + · · · + r
(6.89)
n−1
)(1 − r) =
(6.90)
T = (1 + r + r 2 + · · · + r n−1 ) − r(1 + r + r 2 + · · · + r n−1 )
(6.91)
T = 1 − rn
(6.93)
2
T = (1 + r + r + · · · + r
n−1
2
) − (r + r + · · · + r )
T = Sn (1 − r) ⇒ Sn =
Sn =
n
T
1−r
(6.92)
(6.94)
1−r n
1−r
(6.95)
3. Soma dos termos de uma P.G. qualquer
Considere uma P.G. qualquer, de termo geral
an = a1 ∗ r (n−1) .
Podemos re-escrever a soma:
Sn = a 1 + a 2 + · · · + a n
Sn = a1 + a1 r + · · · + a1 ∗ r
Sn = a1 (1 + r + · · · + r
Sn =
n
)
a1 ( 1−r
1−r
(6.96)
(n−1)
(n−1)
)
(6.97)
(6.98)
(6.99)
De forma semelhante ao que acontece com as progressões aritméticas, os problemas
com as P.G. giram em torno da fórmula fundamental. São dadas duas informações
para que você encontre a terceira.
Exemplo 43
1. A chamada dı́vida externa
Os juros compostos são muito do agrado dos especuladores financeiros e é importante dominarmos para ter instrumentos de defesa. Embora os juros compostos
sejam considerados uma selvageria, eles são frequentemente praticados. Observe
o exemplo do que alguns insistem em chamar de dı́vida externa, que em 1970
era da ordem de 100 bi de dólares e que ao final do governo FHC passou para
300 bi dólares. Observe o quadro comparativo
ano
1970
2000
população
100 mi hab
150 mi hab
taxa de variação dı́vida externa taxa de variação
- 100 bi dólares
1.5 300 bi dólares
3
O cálculo da dı́vida
A dı́vida, na “ética” dos banqueiros, se calcula com juros compostos, quer dizer
com P.G.
• Digamos que a taxa “contratada” seja j e você pediu a1 = C
• Ao final do primeiro perı́odo, em geral um mes, você deve
a2 = a1 + a1 j = a1 (1 + j)
e como esta é a sua nova dı́vida, sobre ela novamente incidirão agora os
juros (juros acumulados) e assim no próximo perı́odo você deve
a3 = a2 + a2 j = a2 (1 + j) = a1 (1 + j)2
• Hipótese de indução Suponhamos que ao final do k−ésimo perı́odo você
devesse
ak = a1 (1 + j)k−1
então a sua dı́vida no final do perı́odo seguinte seria:
ak+1 = ak + ak j = ak (1 + j) = a1 (1 + j)k
o que demonstra a expressão da dı́vida ao final de n perı́dos ser
an = a1 r n−1 ; r = j + 1 ; a1 = C
uma progressão geométrica.
• Custo do empréstimo O custo do empréstimo, chamado na “linguagem
técnica”, serviço da dı́vida é
C(1 + j)n−1 − C = C((1 + j)n−1 − 1)
Porque você recebeu C.
No caso da dı́vida externa podemos facilmente avaliar a malı́cia do FMI e a
falta de nacionalidade das chamadas autoridades que nomeamos com nosso voto.
Como sempre pagamos uma quantidade inferior ao serviço da dı́vida, ela não
para de crescer como o quadro acima mostra.
Nós estudamos Matemática, inclusive, para entender os fatos polı́ticos, e a dı́vida
é um método polı́tico que tem o objetivo de manter o nosso paı́s em eterna
submissão, porque compromete os investimentos sociais.
2. Compra a prazo e prestações Suponha que você peça um empréstimo de C a
uma casa financeira6 . Ao fazer uma compra a prazo você é colocado em uma
negociação unilateral com um banco que lhe impõe uma taxa de juros j.
• O valor do empréstimo é o valor da compra, C menos a entrada, E
a1 = C − E
• ao final do primeiro mes você deve
a1 + a1 j = a1 (1 + j)
e paga uma prestação P ficando o balancete assim:
a2 = a1 (1 + j) − P
e assim sucessivamente:
a3 = a2 (1 + j) − P = a1 (1 + j)2 − P (1 + j) − P
3
a4 = a3 (1 + j) − P
2
a4 = a1 (1 + j) − P (1 + j) − P (1 + j) − P
an = a1 (1 + j)
n−1
(6.101)
(6.102)
(1 + j)k
(6.103)
(1 + j)n−1 − 1
j
(6.104)
−P
an = a1 (1 + j)n−1 − P
n−2
X
(6.100)
k=0
uma P.G. e a soma dos termos de outra P.G.
• Como fazem os bancos O cálculo acima não é fácil para ser explicado aos
clientes que não querem pensar muito. Este cálculo produz um resı́duo que
ia ser difı́cil de ser justificado. Método dos bancos:
– Perguntam-lhe em quantas prestações quer parcelar a dı́vida e passam
para a máquina
P =
C
; n = número de prestações
n
(6.105)
– Calculam o resı́duo com esta prestação, an , ver (eq. 104), o que falta
pagar usando a prestação P.
– Recalculam a prestação somando o resı́duo à dı́vida:
Divida = C + an
C + an
P1 =
n
6o
nome até parece beneficiente
(6.106)
(6.107)
6.10
Função quadrática
As funções quadráticas são funç oes polinômiais definidas por polinômios do
segundo grau:
f (x) = ax2 + bx + c
é uma função quadrática se a 6= 0.
Enquanto o gráfico de uma função linear afim, do primeiro grau, se alinha
em cima de uma reta, o gráfico de uma função quadrática não pode ser uma
reta. Veremos aqui como é o gráfico deste tipo de função.
Se f for do primeiro grau, o resultado será uma reta crescente ou decrescente,
depende do coeficiente angular, como já vimos.
Se f não for do primeiro grau, muitas coisas podem ocorrer. Vamos começar com
a função quadrática mais simples
f (x) = x2
e vamos obter o seu gráfico. Depois vamos ver que transformações lhe podem ser
aplicadas para chegarmos ao caso geral.
Para fazer um gráfico, com um programa de computador, por exemplo, o que
devemos fazer (o que o computador deve fazer) é colocar na tela uma lista de pares
(x, f (x)).
numa certa ordem, por exemplo na ordem crescente da variável x, como você faria
com papel e lápis. Se f for do primeiro grau, o resultado será uma reta crescente ou
decrescente, depende do coeficiente angular, como já vimos.
Se f não for do primeiro grau, muitas coisas estranhas podem ocorrer. Vamos
começar com a função quadrática mais simples
f (x) = x2
e vamos obter o seu gráfico. Depois vamos ver que transformações lhe podem ser
aplicadas para chegarmos ao caso geral. A metologia é semelhante a que usamos com
as funções do primeiro grau, veja a equação (eq. 24), na página 155. . Se você não tiver
feito a lista de exercı́cios (ex. 24) você deveria fazê-los agora, porque o que fizermos
aqui é uma continuação do que foi feito alı́.
6.10.1
A função padrão y = f (x) = x2
Vamos começar analisando a figura (fig. 6.10) na página 238. nela voce pode ver
os 11 pontos marcados no papel correspondentes à seguinte tabela calculada com um
programa de computador:
x
f (x)
x
f (x)
-10
100
0
0
-9
81
1
1
-8
64
2
4
-7
49
3
9
-6
36
4
16
-5
25
5
25
-4
16
6
36
-3
9
7
49
-2
4
8
64
-1
1
9
81
0
0
10
100
Pedimos, no programa, que o computador calculasse
(x, f (x)) ; x ∈ {−10, −9, −8, · · · 8, 9, 10} ; ∆x = 1
(6.108)
usando todos os valores inteiros da variável no intervalo [−10, 10].
Mas, com um programa de computador, podemos fazer tabelas mais densas e
portanto gráficos mais precisos, veja o resultado, na figura (fig. 6.11), página 239,
quando pedimos que o programa fizesse o gráfico agora usando os valores de x com
saltos ∆x = 0.5
x ∈ {−10, −9.5, −9, · · · 9, 9.5, 10} ; ∆x = 0.5
(6.109)
No primeiro gráfico o computador marcou 11 pontos e no segundo marcou 21
pontos. Gráficos com um computador com saltos de ∆x = 0.5 ou muito menores faz
pouca importância, veja o agora o gráfico feito com saltos ∆x = 0.01 na figura (fig.
6.12), página 240, com 2001 pontos.
Observação 29 A taxa de variação das funções
Na disciplina Cálculo Diferencial e Integral você irá estudar estes gráficos com mais
teoria e vai compreender melhor porque o gráfico da parábola tem apenas uma curvatura.
Neste momento tudo que podemos fazer é chamar sua atenção para a velocidade relativa
entre as duas sequências de pontos, os valores da variável x e os valores de f (x). Analise o
que acontece com a tabela de valores que se encontra impressa acima.
Enquanto a variável x assume valores equidistribuidos, com a mesma cadência, os valores
de f (x) têm uma distribuição não uniforme, uma velocidade variável, é isto que responde
pelo fato de que o gráfico não seja uma reta.
Não é assim com as funões do primeiro grau. Se f for do primeiro grau, tanto x como
f (x) se encontram em P.A. como já vimos, no exercı́cio (ex. 4), página 146, que a imagem
de uma P.A. por uma função linear afim é ainda uma P.A. (demonstre isto agora se não tiver
feito o exercı́cio) .
Podemos tornar a frase acima mais precisa, no que diz respeito às funções do segundo
grau. Vamos repetir os cálculos que fizemos no exercı́cio (ex. 4).
f (x) = Ax2 + Bx + C
∆f = f (a + ∆) − f (a) = A(a +
∆)2
∆f = 2aA∆ +
A∆2
∆f =
A(a2
+ 2a∆ +
∆2 )
+ B(a + ∆) + C − f (a)
+ Ba + B∆ + C − f (a)
+ B∆
(6.110)
(6.111)
(6.112)
(6.113)
Comparando agora com os mesmos cálculos que fizemos com as funções do primeiro
grau, exercı́cio (ex. 4), podemos tirar uma conclusão importante, considere g uma função do
primeiro grau:
g(x) = Ax + B
(6.114)
g(a + ∆) − g(a)
(6.115)
g(a + ∆) − g(a) = A(a + ∆) + B − (Aa + B)
(6.116)
g(a + ∆) − g(a) = A∆
(6.118)
∆g = A∆
(6.120)
g(a + ∆) − g(a) = Aa + A∆ + B − Aa − B
∆f = 2aA∆ +
A∆2
+ B∆
Vamos agora definir a variação e a taxa de variação de uma função h :
(6.117)
(6.119)
Definição 51 Variação e taxa de variação
variação deh = ∆h = h(a + ∆) − h(a)
taxa de variação de(h)a =
∆h
∆
=
h(a+∆)−h(a)
∆
(6.121)
(6.122)
(6.123)
A variação é uma diferença, e a taxa de variação é uma razão.
Se aplicarmos esta definição às duas funções f, g vamos encontrar
∆f
∆
= 2aA + A∆ + B
∆g
∆
=A
(6.124)
(6.125)
Conclusão: a taxa de variação das funções lineares afins é constante, (coisa que elas
transmitem para as progressões aritméticas), e a taxa de variação das funções do segundo
grau não é constante e aumenta a medida que a variável se afasta muito da origem, porque
o ponto a em que a taxa de variação é calculada, aparece na expressão.
6.11
O gráfico de uma função do segundo grau
Vamos descobrir como é o gráfico de uma função do segundo grau qualquer através de
algumas transformações adequadas.
Há três tipos de transformações algébrico-geométricas que podemos aplicar aos
gráficos das funções:
• rotações
• translações
• homotetias
Para o nosso caso teremos pouca utilidade das rotações. Elas serão muito importantes em Geometria Analı́tica para simplificar as equações de algumas curvas.
Exemplo 44 Translação
Se aplicarmos uma translação à funccão do segundo grau que chamamos de padrão,
x 7→ x2
teremos: (observe o sinal)
f (x) = x2
(6.126)
g(x) = fa (x) = (x − a)2
(6.127)
Observe as raizes, qual é a raiz de f e qual é a raiz de g
f (x) = 0 ≡ x = 0 ; g(x) = 0 ≡ x = a
(6.128)
Para completar as observações, vamos rodar o programa que construiu a tabela
acima com a função
x 7→ (x − 3)2
o resultado parcial é:
g = fa
é uma nova
função.
0 1 2 3 4 5 6
7
8
9
10
9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49
em que a raı́z agora é 3. Observe que os valores ficaram translatados para a direita
(no sentido positivo do eixo OX).
Observe a figura ilustrando o que acontece quando a = 3, (fig. 6.13), página 240.
agora desenvolva a expressão
(x − a)2 = x2 − 2ax + a2
(6.129)
e veja que obtivemos o gráfico de
g(x) = x2 − 2ax + a2
deduzido do gráfico de uma expressão mais simples, a função do segundo grau padrão.
É mais importante fazer o caminho inverso: considerar uma expressão mais complicada e deduzir as etapas mais simples nela contida. Faremos isto agora.
Exemplo 45 Procurando o mais elementar
Considere y = f (x) = x2 + 6x − 12.
Queremos descobrir uma translação a que nos permita escrever f na forma f (x) =
(x − a)2 .
O primeiro passo consiste na completação dos quadrados , vamos identificando:
y = (x − a)2 + B ≡ x2 + 6x − 12
(6.130)
y = x2 − 2ax + a2 + B ≡ x2 + 6x − 12
(6.131)
a = −3 ; 9 + B = −12 ⇒ B = −21
(6.133)
y + 21 = (x + 3)2
(6.135)
2
−2ax = 6x ; a + B = −12
2
2
y = (x − (−3)) + B = (x + 3) + B
y − (−21) = (x − (−3))
2
(6.132)
(6.134)
(6.136)
o que nos dá duas translações, uma no eixo OX, −3 e outra no eixo OY −21, observe
o sinal.
O modelo geral que devemos procurar é da forma
y − b = (x − a)2
(6.137)
com uma translação b no eixo OY e uma translação a no eixo OX. E podemos agora
obter o gráfico de y = f (x) = x2 + 6x − 12 a partir da parábola padrão, usando a
expressão
y − (−21) = (x − (−3))2
1. com uma translação de −3 no eixo OX;
2. com uma translação de −21 no eixo OY
aplicadas na expressão padrão. Observe o gráfico na (fig. 6.14) onde estão os graáficos
da parábola padrão, a translatada de −3 na horizontal e finalmente a translatada desta
última, de −21 na vertical.
O gráfico
função g =
a translat
de a,
é o gráfico
translatad
direção a.
6.11.1
A forma padrão x 7→ (x − a)(x − b)
Se definirmos f (x) = (x − a)(x − b) aparentemente caimos numa expressão nova para
funções polinomiais do segundo grau, porque a equação polinomial
f (x) = 0 ≡ x ∈ {a, b}
(6.138)
tem duas raizes e até agora as operações que fizemos com a função padrão x 7→ x2
produziu raizes do tipo
√
(6.139)
x2 − p = 0 ⇒ x = ± p raı́zes simétricas
ou
(x − p)2 = 0 ⇒ x = p raı́z dupla .
(6.140)
(x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab
(6.141)
S = −(a + b) ; P = ab
(6.143)
Então, aparentemente, nos defrontamos com um novo modelo. Mas logo veremos
que este modelo se reduz a duas translações sendo desnecessário criar esta nova classificação. Mas, por enquanto, na falta de argumentos, vamos admitir que se trate de
um novo padrão.
Efetuando as contas:
2
(x − a)(x − b) = x + Sx + P
−S = soma das raizes ; P = produto das raizes
(6.142)
(6.144)
Uma técnica semelhante a da completação dos quadrados nos vai levar a descoberta
deste modelo. Temos que descobrir
S = −(a + b), P = ab
em que S, P são dados da equação. Resolvendo um sistema não linear de equações.
Exemplo 46 Relações de Girard
As relações obtidas na equação (eq. 6.143)
S = −(a + b) ; P = ab
se chamam relações de Girard.
Vamos fazer explicitá-las abaixo num exemplo de equação:
x2 + 5x + 6 = x2 − Sx + P
(6.145)
a + b = −5 ; ab = 6
(6.147)
x + 5x + 6 = (x − (−3))(x − (−2)) = (x + 3)(x + 2)
(6.149)
x2 + 5x + 6 = x2 − (a + b)x + ab = (x − a)(x − b)
2
a = −2 ; b = −3
(6.146)
(6.148)
É um método interessante para fatorar expressões algébricas quando as raı́zes forem
inteiras. Mas isto seria muito pouco para tornar estas relações interessantes, veremos,
adiante, que elas servem para traduzir problemas em equações do segundo grau.
O método da completação dos quadrádos vai nos conduzir a fórmula de Báscara :
ax2 + bx + c = 0 = a(x2 + ab x + ac )
(6.150)
ax2 + bx + c = 0 ≡ x2 + ab x +
(6.151)
x
2
x2 + ab x +
c
a
=0
2
c
a
b
+ = x + 2 2a
x + ac = 0
+
c
b
b 2
b 2
= x2 + 2 2a
x + ( 2a
) − ( 2a
) + ac
a
b 2
b 2
(x + 2a
) + ac − ( 2a
) =0
b 2
b 2
(x + 2a ) = ( 2a ) − ac
b
x
a
(x +
(x +
b 2
)
2a
b 2
)
2a
2
b
4a2
=
=
b2
4a2
2
b 2
)
2a
=0
(6.154)
(6.155)
(6.156)
4ac
4a2
(6.157)
−4ac
= b 4a
2
q
2 −4ac
b
x + 2a
= ± b 4a
2
√
b2 −4ac
b
x + 2a
= ± √4a2
√
b2 −4ac
b
x + 2a = ± 2a
√
b2 −4ac
b
x = − 2a ±
2a
√
2
−b± b −4ac
x=
2a
(x +
(6.153)
c
a
−
−
(6.152)
(6.158)
(6.159)
(6.160)
(6.161)
(6.162)
(6.163)
(6.164)
Demonstramos assim o seguinte teorema
Teorema 67 Fórmula de Báscara
Dada uma função polinômial do segundo grau
f (x) = ax2 + bx + c
a equação f (x) = 0 tem raı́zes reais
se o número, discriminante,
for positivo.
√
x1 =
−b+
x2 =
−b−
b2 −4ac
2a
(6.165)
b2 −4ac
2a
(6.166)
√
∆ = b2 − 4ac
Resumindo temos:
Dada uma equação do segundo grau
ax2 + bx + c = 0
1. O discriminante é ∆ = b2 − 4ac
2. Se ∆ > 0, então as duas raı́zes são números reais e distintos;
3. Se ∆ = 0, então as duas raı́zes são números reais e iguais;
fórmula d
Báscara
4. Se ∆ < 0, então não existe raı́zes reais;
5. A soma das raı́zes é
x1 + x2 = −
6. O produto das raizes é
x1 x2 =
b
= −S
a
c
=P
a
Observação 30 Raı́zes complexas
Quando ∆ < 0, dizemos que a equação não possui raı́zes reais, no entanto tem
raı́zes no conjunto dos números complexos denotado por C, que é uma extensão do
conjunto dos números reais, como veremos no próximo capı́tulo.
Exercı́cio 17 Justificando a fórmula de Báscara
1. Justifique como, quando e porque podemos “colocar a em evidência” na equação
(eq. 150).
2. Justifique a obtenção da equação (eq. 151).
3. Justifique a equação (eq. 152) e a equação (eq. 153) usando o “inverso” apropriado (aditivo ou multiplicativo).
Vamos ver qual é o significado (algébrico e geométrico) da positividade do número
∆ = b2 − 4ac.
Observe, inicialmente, a seqüência de equações
2
b 2
−4ac
) = b 4a
2
2a
b 2
∆
+ 2a ) = 4a2
(x +
(6.167)
(x
(6.168)
(6.169)
conduz a ∆ ≥ 0.
Observação 31 Os números complexos
Depois veremos, no próximo capı́tulo, como nossos antigos resolveram esta questão
expandindo os números reais criando os números complexos.
Vamos agora voltar para a sequência de equações que culminaram com a fórmula
de Báscara para recuperar a expressão original da função f.
f (x) = ax2 + bx + c
y = ax2 + bx + c = a(x2 + ab x + ac )
2
y = a(x +
2b
x
2a
y = a[(x +
y+
(6.171)
(6.172)
2
−4ac
b 2
) − b 4a
]
2
2a
b 2
∆
a(x + 2a
) − 4a
b 2
∆
= a(x + 2a
)
4a
y = a[(x +
y=
(6.170)
b 2
b 2
+ ( 2a
) − ( 2a
) + ac )
b 2
b 2
) + ac − ( 2a
) ]
2a
(6.173)
(6.174)
y − α = a(x − β)2
(6.175)
que nos mostra que toda função polinomial pode ser re-escrita caindo na fórmula
(agora geral)
y − α = a(x − β)2
∆
4a
y+
α=
= a(x +
∆
− 4a
;β =
b 2
)
2a
b
− 2a
(6.176)
(6.177)
(6.178)
Nesta fórmula aparece o fator multiplicativo (homotetia) e vemos assim que com
translações e homotetias podemos recuperar qualquer função polinomial a partir da
expressão mais simples
x 7→ x2
Os exercicı́cios que seguem visam dar-lhe intuição sobre estas duas transformações
e prepará-lo para fazer os gráficos de qualquer função polinomial do segundo grau.
Exercı́cios 28 Gráficos das funções do segundo grau
1. Calcule alguns pares de valores de y = f (x) = ax2 quando
a ∈ {−1, 4}
e faça os gráficos correspondentes de y = ax2
a ∈ {−4, −2, −1, 2}
Solução: Ver o gráfico (fig. 6.15) 241.
1 1 2
1
a ∈ {− , − , , }
4
2 3 3
Solução: Ver o gráfico (fig. 6.15) 241.
4. Calcule α, β, ver equação (eq. 6.178) para as funções polinomiais abaixo, decida
se elas tem raı́zes reais e faça-lhes os gráficos
(a) y1 = f1 (x) = 3x2 + 2x + 7
(b) y2 = f2 (x) = −3x2 + 2x + 7
(c) y3 = f3 (x) = −3x2 + 2x − 7
(d) y4 = f4 (x) = −3x2 − 2x + 7
(e) y5 = f5 (x) = −3x2 − 2x − 7
(f ) y6 = f6 (x) = x2 + 4x + 5
Solução:
23
= 3(x + 13 )2 ; α = − 30
; β = − 13 ; ∆ = −80
a) y1 + 23
30
23
1 2
23
b) y2 − 30 = −3(x − 3 ) ; α = 30 ; β = 13 ; ∆ = 88 raı́zes reais
= −3(x − 31 )2 ; α = − 23
; β = 13 ; ∆ = 88 raı́zes reais
c) y3 + 20
3
30
23
= −3(x + 31 )2 ; α = − 30
; β = − 31 ; ∆ = 88 raı́zes reais
d) y4 − 22
3
20
1
23
e) y5 + 3 = −3(x + 3 ); α = − 30 ; β = − 31 ; ∆ = 88raı́zes reais
f ) y6 − 1 = (x + 2)2 ; α = −1; β = −2; ∆ = −4
6.12
Equação do 2o grau
Durante muitos séculos, o homem buscava resolver problemas que recaissem numa
equação do 2o grau.
Exemplo 47 Problemas do2o grau
1. Perı́metro e área
Determine os lados de um retângulo conhecendo o semi-perı́metro 2p e a área s.
A tradução deste problema numa equação pode ser feita usando as relações de
Girard, 6.143, página 179:
os lados do retângulo a, b
(6.179)
a área ab = P
(6.180)
semi-perı́metro a + b = 2p = S
(6.181)
x2 + Sx + P = 0
(6.182)
uma equação do segundo grau. Vemos aqui o uso prometido das relações de
Girard servindo para traduzir um problema numa equação do segundo grau.
2. Concretizando o exemplo da área do perı́metro, consideremos os seguintes dados:
• O semiperı́metro do retângulo é 7
• A área do retângulo é 12
a equação do segundo grau resultante é
x2 − 7x + 12 = 0
e a solução destas equações, aplicando Báscara, é
x ∈ {3, 4}
3. 3x2 − 3x + 4 = 0; a = 3; b = −3; c = 4.
4. t2 + 5t − 3 = 0; a = 1; b = 5; c = −3.
5. x2 − 1 = 0; a = 1; b = 0; c = −1. Observe que em certa literatura antiga, uma
equação deste tipo é classificada como “incompleta”, o que é apenas mais um
exemplo dos preconconceitos dentro da Matemática.
6.12.1
Exercı́cios Resolvidos
1. Resolva a equação x2 − 5x + 6 = 0.
Solução. Temos a = 1, b = −5, c = 6 e
∆
= b2 − 4ac
(6.183)
= 25 − 24
(6.185)
2
= (−5) − 4 · 1 · 6
(6.184)
=1
(6.186)
assim,
x
=
√
b2 −4ac
2a
√
−(−5)± 1
2·1
5±1
= 2
−b±
=
(6.187)
(6.188)
(6.189)
temos aqui duas raı́zes que indicaremos por x1 e x2 ;
x1
=
5+1
2
=3
(6.190)
(6.191)
e
x2
=
5−1
2
=2
(6.192)
(6.193)
Logo, S = {2, 3}.
1
2. Mostre que as raı́zes da equação x2 −198x+1 = 0, estão entre 198
e 197, 99494949 . . .
2
Solução. Resolvendo a equação x − 198x + 1 = 0, encontramos
√
x1 = 99 + 70 2
e
√
x2 = 99 − 70 2.
Note que x1 + x2 = 198. Como x1 e x2 são raı́zes da equação x2 − 198x + 1 = 0.
Então
x21 − 198x1 + 1 = 0
ou seja,
x1 =
e
ou ainda
1
x21 + 1
>
198
198
x22 − 198x2 + 1 = 0
1
x22 + 1
>
x2 =
198
198
Por outro lado,
x1 = 198 − x2 < 198 −
1
= 197, 99494949 . . .
198
x2 = 198 − x1 < 198 −
1
= 197, 99494949 . . .
198
e
3. Seja r uma das raı́zes da equação 2x2 − 10x + 2 = 0. Calcule 2 r + r1 .
Solução. Como r é uma das raı́zes da equação 2x2 − 10x + 2 = 0, então
2r 2 − 10r + 2 = 0, ou ainda
2r 2 + 2 = 10r
agora dividindo ambos os membros por r obtemos
1
= 10
2 r+
r
6.12.2
1. Determine o quadrado do maior inteiro n tal que as raı́zes da equação x2 +x+n =
0 são reais e maiores do que n.
2. Ache todos os valores de x ∈ Z tal que x2 − 5x − 1 seja um quadrado perfeito.
3. Dada a equação x2 + (p − 15) x + p = 0, determine p para que as duas raı́zes
sejam números inteiros.
4. Dada a equação x2 − (a + c) x + ac − b2 = 0.
(a) Mostre que ela tem solução real quaisquer que sejam os números a, b e c.
(b) Supondo-se b = 0 e que a equação tem uma só solução, que relção existe
entre a e c?
5. Determine b para que as equações 1988x2 +bx−8891 = 0 e 8891x2 +bx+1988 = 0
tenham uma raiz comum.
6. Se ax2 + bx + c ≤ 1 para todo x ∈ [0, 1] . Mostre que |a| + |b| + |c| ≤ 17.
7. Determine a para que as equações x2 + ax + 1 = 0 e x2 + x + a = 0 tenham pelo
menos uma raiz comum.
8. Considere a equação x2 + bx + c = 0 onde b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Quantas destas
equações tem raı́zes reais?
9. Se x2 + x + 1 = 0, calcule o valor numérico de
2 2
2
1
1
1
2
27
x+
+ x + 2
+ · · · + x + 27
x
x
x
10. Determine as constantes A, B, C, D, p e q tais que
A (x − p)2 + B (x − q)2 = 5x2 + 8x + 14
e
C (x − p)2 + D (x − q)2 = x2 + 10x + 7
11. Ache todas as soluções da equação
x2 +
4x2
= 12
(x − 2)2
12. Achar todos os números x, y tais que (1 − x)2 + (x − y)2 + y2 = 31 .
13. Mostre que se a, b e c forem inteiros ı́mpares, a equação ax2 + bx + c = 0 não
tem raiz racional.
14. Seja α maior raiz de x2 + x − 1 = 0. Determine α5 − 5α.
15. Relações de Girard Mostre que, para as raı́zes de uma equação do segundo grau
ax2 + bx + c vale:
(a) soma das raı́zes
x1 + x2 = −
(b) produto das raı́zes
x1 · x2 =
(c) diferença das raı́zes
b
a
c
a
√
∆
|x1 − x2 | = |
|
a
16. Ache uma equação do 2o grau cujas raı́zes são: 2 e 3.
6.12.3
1. Determine o número p tal que as raı́zes x1 e x2 da equação x2 − px + 6 = 0,
satisfaça a relação 9x1 x22 + 3x31 + 9x2 x21 + 3x32 = 1029.
√
2. Seja b um número real não nulo de modo que a equação do 2o grau x2 +b2 x+ π =
√
√
0 tenha raı́zes reais x1 e x2 . Se x1 π = x2 (bx2 − π), prove que o número b é
negativo.
3. As raı́zes da equação x2 + bx + c = 0 são ambas reais e maiores do que 1. Mostre
que s = b + c + 1 é positivo.
4. Determine a soma dos valores inteiros de p, para os quais a equação (p − 3) x2 −
2px + 6p = 0 tem raı́zes reais e positivas.
5. Determine o número p tal que as raı́zes x1 e x2 da equação x2 + x + p = 0,
satisfaça a relação x31 + x1 x2 (2x1 + x2 ) + 2x2 = 1.
6. Se x1 e x2 forem duas raı́zes distintas de ax2 + bx + c = 0, a 6= 0, tal que
x21 + px1 + q + x22 + px2 + q = 0.
Mostre que a equação x2 + px + q = 0 tem duas raı́zes reais e distintas.
7. a, b, c, d são números reais distintos tais que a e b são raı́zes da equação
x2 − 3cx − 8d = 0,
e c e d são raı́zes da equação x2 − 3ax − 8b = 0. Calcule a soma a + b + c + d.
8. Sejam a e b raı́zes da equação x2 + px − 2p12 = 0, onde p é um número real.
Mostre que
√
a4 + b 4 ≥ 2 + 2
√ 9. Seja α um número real tal que α > 2 1 + 2 e considere a equação x2 − αx +
α + 1 = 0. Sabendo que as raı́zes dessa equação são as cotangentes de dois dos
ângulos internos de um triângulo. Determine o terceiro ângulo interno desse
triângulo.
10. Determine o valor de p para que as raı́zes x1 e x2 da equação 2x2 − px − 1 = 0.
Satisfaça a relação
x21 + x22 = 1
11. Seja x1 uma raiz da equação x2 + 2x + c2 = 0, em que c é um número real
positivo. Se o discriminante dessa equação é menor que zero. Determine |x1 | .
12. Definção. O sı́mbolo [x] é usado para denotar o maior inteiro, menor ou igual a
x, isto é,
[x] = nsen ≤ x < n + 1
onde n ∈ Z. Por exemplo [2, 3] = 2, [0, 34] = 0.
Resolva a equação 3x2 − 4[x] − 4 = 0.
13. Resolva a equação 2 a3 + b3 x2 − 3x + (a + b) = 0, sabendo que a e b são raı́zes
da equação x2 − px +
p2 −1
2
= 0.
14. Prove que se x1 for uma raiz da equação ax2 + bx + c = 0, x2 for uma raiz da
equação −ax2 + bx + c = 0, então existe uma raiz x3 da equação a2 x2 + c = 0
tal que x1 ≤ x3 ≤ x2 ou x2 ≤ x3 ≤ x1 .
15. Se as raı́zes da equação x2 + px + q = 0 forem positivas, mostre que o mesmo
ocorre com as raı́zes da equação
qy2 + (p − 2rq) y + 1 − pr = 0
onde r é um número positivo.
16. Determine a soma e o produto das raı́zes da equação:
√
x2 + 18x + 30 = 2 x2 + 18x + 45
17. Determine x, y ∈ R na equação x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3 = 0.
√
√
18. Sejam x1 e x2 as raı́zes da equação x2 + bx + c = 0. Seja y = 3 x1 + 3 x2 ;
encontre r e s em função de b e c para os quais y satisfaz a equação
y3 + ry + s = 0.
19. Sejam x e y inteiros positivos tais que xy + x + y = 71 e x2 y + xy2 = 880.
Determine x2 + y2 .
20. Seja p um parâmetro real tal que a equação x2 − 3px − p = 0 possui duas raı́zes
reais distintas x1 e x2 .
a) Prove que 3px1 + x22 − p > 0.
b) Determine o menor valor possı́vel de
A=
3px2 + x21 + 3p
p2
+
3px1 + x22 + 3p
p2
21. Encontre todas as soluções inteiras da equação x2 − xy + y = 3.
2
22. Ache a soma das raı́zes da equação xx
−7x+12
= 1.
23. Se x2 −x+p = 0, tiver raı́zes x1 e x2 tais que xn−2
+xn−2
= a e xn−1
+xn−1
= b.
1
2
1
2
n
n
Encontre x1 + x2 .
√
24. Determine um polinômio p(x), com coeficientes inteiros, tal que x0 = 1 + 3 2
seja uma raiz
da equação p(x) = 0.
6.12.4
Exercı́cios Resolvidos
1. Se x e y forem números reais e não nulos tais que x + y = 1, determine o menor
valor que
1
1
1+
1+
x
y
pode assumir.
Solução. Seja
S
= 1+
1
x
=1+
1+
2
xy
1
y
(6.194)
(6.195)
veja que S é mı́nimo quando xy for máximo. Tome p = xy tal que x + y = 1. Assim,
temos
= x (1 − x)
p(x)
(6.196)
= −x2 + x
(6.197)
como a = −1 < 0, pelo Teorema ??, p(x) = −x2 + x admite um valor máximo, cujo
valor máximo é atingido quando
b
= − 2a
x
=
(6.198)
1
2
(6.199)
e daı́, y = 12 . Portanto, o valor máximo de S é
1+
1
2
2
= 9.
· 21
2. Determine o valor mı́nimo de
x4 + x2 + 5
, x ∈ R.
(x2 + 1)2
Solução. Seja
x4 +x2 +5
(x2 +1)2
(6.200)
(x2 −1)2 −(x2 −4)
(x2 +1)2
(6.201)
p
=
=
x2 −4
(x2 +1)2
(6.202)
(x2 +1)−5
(x2 +1)2
(6.203)
5
(6.204)
=1−
=1−
=1−
tome t =
1
.
x2 +1
1
x2 +1
+
(x2 +1)2
Assim, p(t) = 1 − t + 5t2 . Observe que
x4 + x2 + 5
(x2 + 1)2
é mı́nimo quando p(t) = 1 − t + 5t2 for mı́nimo. Como a = 5 > 0, pelo Teorema ??,
p(t) = 1 − t + 5t2 admite um valor mı́nimo, que é atingido em
t
b
= − 2a
=
(6.205)
1
10
(6.206)
Portanto,
p(
1
)
10
=1−
1
10
+5
= 0, 95
isto é, o valor mı́nimo de
x4 +x2 +5
(x2 +1)2
é 0, 95.
1 2
10
(6.207)
(6.208)
3. Determine os valores reais de x que satisfaz a equação
min {2x − 1, 6 − x} = x.
Solução. Vamos analizar os seguintes casos:
Caso1: Se 2x − 1 ≤ 6 − x.
Neste caso, temos x ≤ 37 . Assim, 2x − 1 = x e daı́, x = 1.
Caso2: Se 2x − 1 > 6 − x.
Neste caso, temos x > 37 . Logo, 6 − x = x e daı́, x = 3. Portanto, S = {1, 3} .
4. Um pedaço de arame de 20cm de comprimento é dividido em duas partes. Com
uma destas partes constroi-se um quadrado de lado igual a x metros e com a
outra parte constroi-se um cı́rculo de raio igual a y metros. Se L for a soma das
medidas, em m2 , da área do quadrado e da área do cı́rculo, determine x para
que L seja o menor possı́vel.
Solução. Por hipótese, temos
e
4x + 2πy = 20(1)
(6.209)
x2 + πy2 = L(2)
(6.210)
Segue-se da equação (1) que
10 − 2x
(3)
π
agora, substituindo (3) em (2) encontramos:
2
10 − 2x
2
L(x) = x + π
π
y=
ou ainda
L(x) =
π+4
π
2
x −
40
π
Como a = π+4
> 0, pelo Teorema ??, L(x) =
π
valor mı́nimo
x
x+
π+4
π
40
π
x+
100
π
admite um
(6.212)
20
m
π+4
Portanto, L = x2 + πy2 será mı́nimo quando x =
100
π
x2 −
b
= − 2a
=
(6.211)
(6.213)
20
m.
π+4
5. Determine o menor valor real positivo x para o qual a função real definida por
π
f (x) = 7 − cos x +
3
atinge seu valor máximo.
π
atinge seu valor máximo quando cos x +
Solução. A função f (x) = 7−cos
x
+
3 assumir valor mı́nimo. Como cos x + π3 ≤ 1 isto é, o valor mı́nimo de cos x +
é −1 e é atingido quando x + π3 = kπ, k inteiro ı́mpar. Assim, para k = 1, temos
x=π−
π
2π
=
3
3
π
3
π
3
6. Se o vértice da parábola f (x) = px2 + qx + 3 for o ponto V
5p + 2q + 7.
b
=
Solução. Temos − 2a
5
4
ou ainda − pq =
5p + 2q + 7
6.12.5
5
2
5 1
,
4 8
. Determine
e daı́, 5p + 2q = 0. Logo,
=0+7
(6.214)
=7
(6.215)
1. Sejam a, b e c números reais. Considere a função f (x) = ax2 + bx + c tais que
|f (−1)| ≤ 1, |f (0)| ≤ 1 e |f (1)| ≤ 1. Prove que |f (x)| ≤ 45 .
p
2. Se 2x + y = 3, determine o valor mı́nimo de x2 + y2 .
3. Encontre dois números x e y cuja soma seja um número positivo S e cujo produto
P seja o maior possı́vel.
4. Encontre o maior valor de
y=
x
a > 0, b > 0
ax2 + b
5. Se x ∈ R+ (reais positivos). Ache o valor máximo da expressão
3x2 + 9x + 17
3x2 + 9x + 7
6. Se um dos lados de um campo retangular for um rio, ache as dimensões do maior
campo retangular que pode ser fechado usando 240m de cerca para os outros
três lados.
7. Encontre o valor mı́nimo de
1 + x2
1+x
para x ≥ 0.
8. Sendo 16x − 35y = 1. Quais são as soluções x e y, inteiras tais que |x + y| é
mı́nima?
6. Sinal da função quadrática
Dada a função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0 uma pergunta bem natural
é para que valores de x ∈ R obtemos:
1. f (x) > 0;
2. f (x) = 0;
3. f (x) < 0?
Para responder esta pergunta é necessário estudar o sinal da função quadrática, o
qual deve ser feito estudando o sinal do discriminante nos seguintes casos:
1. ∆ < 0
2. ∆ = 0
3. ∆ > 0.
Caso1: ∆ < 0
Se ∆ < 0, então −∆ > 0. Pela forma canônica, vem:
"
2 #
b
−∆
2
x+
af (x) = a
>0
+
2a
4a2
isto é af (x) > 0, para todo x ∈ R. Assim, temos
⇒
⇒
a>0
a<0
∀x ∈ R
∀x ∈ R.
f (x) > 0
f (x) < 0
Exemplo: f (x) = 2x2 − 2x + 1, temos
∆
= (−2)2 − 4 · 2 · 1
(6.216)
= −4
(6.218)
=4−8
(6.217)
Como a = 2 > 0 e ∆ = −4 < 0. Logo,
2x2 − 2x + 1 > 0∀x ∈ R
Caso2. ∆ = 0
Pela forma canônica, vem:
= a2
af (x)
h
x+
b 2
2a
= a2 x +
b
2a
Assim, temos
⇒
⇒
a>0
a<0
+
2
f (x) ≥ 0
f (x) ≤ 0
Exemplo: f (x) = −x2 + 4x − 4, temos
∆
−∆
4a2
≥0
i
(6.220)
∀x ∈ R
∀x ∈ R
= 42 − 4 · (−1) · (−4)
(6.221)
=0
(6.223)
= 16 − 16
Como a = −1 < 0 e ∆ = 0. Logo,
−x2 + 4x − 4 ≤ 0∀x ∈ R
Caso3. ∆ > 0
Neste caso, a função quadrática f (x) = ax2 + bx + c possui duas raı́zes
√
−b − ∆
x1 =
2a
e
(6.219)
√
−b + ∆
x2 =
2a
Pelo trinômio do 2o grau temos
af (x) = a2 (x − x1 ) · (x − x2 ),
(6.222)
veja que o sinal de af (x) depende dos fatores (x − x1 ) e (x − x2 ). Admitindo que
x1 < x2 . Se x < x1 temos:

 x − x1 < 0
x < x1 < x2 ⇒

x − x2 < 0
e daı́,
Se x1 < x < x2 , então
af (x) = a2 (x − x1 ) · (x − x2 ) > 0
x1 < x < x2 ⇒
e daı́,
Se x > x2 temos:
Resumindo, temos:

x − x2
>
0
<
0
af (x) = a2 (x − x1 ) · (x − x2 ) < 0
x1 < x2 < x ⇒
e daı́,

 x − x1

 x − x1

x − x2
>
0
>
0
af (x) = a2 (x − x1 ) · (x − x2 ) > 0
1. Para x < x1 ou x > x2 , f (x) tem o mesmo sinal de a;
2. Para x1 < x < x2 , f (x) tem o mesmo sinal de −a.
Solução dos Exercı́cios Propostos
2.1.2 Exercı́cios Propostos
1. Solução. Para que a equação x2 + x + n = 0 tenha duas raı́zes reais é necessário
que ∆ ≥ 0 isto é, 1 − 4n ≥ 0 ou ainda n ≤ 14 , n ∈ Z. Por outro lado, as raı́zes
são:
√
−1 + 1 − 4n
>n
x1 =
2
e
√
−1 − 1 − 4n
>n
x2 =
2
√
√
Assim, 1 − 4n > 2n + 1 e − 1 − 4n > 2n + 1. Como n ≤ 41 , n ∈ Z temos:
Para n = 0 ⇒ 1 >
√1
√
Para n = −1 ⇒ 5 > −1 e − 5 > −1
Para n = −2 ⇒ 3
√> −3 e −3 >√−3
Para n = −3 ⇒ 13 > −5 e − 13 > −5
Logo, o valor máximo que n pode assumir é −3. Daı́, n2 = 9.
2. Solução. Seja x2 − 5x − 1 = k 2 , k ∈ Z. Assim,
x2 − 5x − (1 + k 2 ) = 0
cujas raı́zes são:
√
25 + 4 + 4k 2
x1 =
2
e
√
−5 − 25 + 4 + 4k 2
x1 =
2
2
Para que x ∈ Z é necessário que 29 + 4k = r 2 , r ∈ Z ou seja, r 2 − 4k 2 = 29.
Assim,
(r − 2k) (r + 2k) = 29
−5 +
daı́,
r
r
−
+
2k
2k
=
=
1
29
(6.224)
Resolvendo o sistema 224 encontramos k = 7. Portanto, as raı́zes são: x1 = 10 e
x2 = −5. Note que para as outras possibilidades do produto (r − 2k) (r + 2k) =
29 encontramos também k = 7.
3. Solução. Para que a equação x2 + (p − 15)x + p = 0 tenha duas raı́zes inteiras
é necessário que ∆ = n2 , n ∈ Z isto é,
(p − 15)2 − 4p = n2
ou ainda
p2 − 34p + 225 − n2 = 0(1)
(6.225)
√
Agora as raı́zes da equação (1) são: p = 17 ± 64 + n2 . Novamente, para que a
equação (1) tenha duas soluções inteiras devemos ter
64 + n2 = m2 , m ∈ Z
ou ainda
(m + n) (m − n) = 64.
Devemos resolver o sistema de duas equações nas seguintes situações:
m + n = 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
m − n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
(6.226)
Resolvendo o sistema 226 encontramos: m = 17 e n = ±15; m = 10 e n = ±6;
m = 8 e n = 0. Portanto,
para n
para n
= ±15 temos p = 17 ± 17 = 0 ou p = 34
(6.227)
= 0 temos p = 17 ± 8 = 9 ou p = 25
(6.229)
= ±6 temos p = 17 ± 10 = 7 ou p = 27
para n
(6.228)
Logo, os possı́veis valores de p são: 0, 7, 9, 25, 27 e 34.
4. Solução. a) Para que a equação x2 − (a + c)x + ac − b2 = 0 tenha solução real
é necessário mostrar que ∆ ≥ 0. Com efeito,
∆
= (a + c)2 − 4(ac − b2 )
2
2
= a + 2ac + c − 4ac + 4b
2
= (a − c) + 4b
(6.230)
2
2
(6.231)
(6.232)
isto mostra que ∆ ≥ 0.
b) Por hipótese temos b = 0 e ∆ = 0. Assim,
(a − c)2 = 0
e daı́, a = c.
5. Solução. Isolando b da equação 1988x2 + bx − 8891 = 0 encontramos
b=
8891 − 1988x2
x
(6.233)
Analogamente, isolando b da equação 8891x2 + bx + 1988 = 0 temos
b=
−1988 − 8891x2
x
(6.234)
De (233) e (234) obtemos
−1988 − 8891x2
8891 − 1988x2
=
x
x
(6.235)
Finalmente, resolvendo a equação (235) encontramos x = ±1. Assim, para x = 1,
temos b = −10879 e para x = −1, obtemos b = 10879.
6. Solução. Tomando para x os valores 0,
1
2
e 1 obtemos:
a
b
|c| ≤ 1, + + c ≤ 1e |a + b + c| ≤ 1
4
2
De a4 + 2b + c ≤ 1, temos |a + 2b + 4c| ≤ 4. Agora tomando m = a + 2b + 4c e
n = a + b + c, devemos expresar os coeficientes a e b em função de m, n e c isto
é,
a = −m + 2n + 2c
e
b = m − n − 3c
Assim,
|a| = |−m + 2n + 2c| ≤ |m| + 2 |n| + 2 |c| = 4 + 2 + 2 = 8
e
Logo,
|b| = |m − n − 3c| ≤ |m| + |n| + 3 |c| = 4 + 1 + 3 = 8
|a| + |b| + |c| ≤ 8 + 8 + +1 = 17.
7. Solução. Seja x a raiz comum as equações
x2 + ax + 1 = 0(1)
(6.236)
x2 + x + a = 0(2)
(6.237)
e
fazendo (2) − (1) encontramos
x − ax + a − 1 = 0
ou ainda
(x − 1) (1 − a) = 0.
Assim, x = 1 ou a = 1. Para x = 1, temos a = −2. Portanto, para que as
equações (1) e (2) tenham pelo menos uma raiz comum devemos ter a = 1 ou
a = −2.
8. Solução. Para que a equação x2 + bx + c = 0 tenha raı́zes reais é necessário
que ∆ ≥ 0 isto é, b2 ≥ 4c. Como b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} temos que
b2 ∈ {1, 4, 9, 16, 25, 36}
e
4c ∈ {4, 8, 12, 16, 20, 24}
Assim, os possı́veis pares de números (b, c) que satisfaz a relação b2 ≥ 4c serão:
(2, 1) , (3, 1) , (3, 2) , (4, 1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) , (5, 1) , (5, 2) , (5, 3) , (5, 4) , (5, 5)
(5, 6) , (6, 1) , (6, 2) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5) e (6, 6) . Portanto, existem 19 equações com
raı́zes reais.
9. Solução. Como x2 + x + 1 = 0 temos
x3 − 1 = (x − 1) x2 + x + 1 = 0
ou ainda x3 = 1. Assim, x4 = x, x5 = x2 e x6 = x3 = 1. Logo, para calcular
2 2
2
1
1
1
2
27
+ x + 2
+ · · · + x + 27
x+
x
x
x
basta calcular os três primeiros termos.
x+
x2 +
x3 +
1 2
x
1 2
x2
1
x3
2
=
=
=
x2 +1
x
x4 +1
x2
x6 +1
x3
2
2
2
=
=
=
−x 2
x
x+1 2
x2
1+1 2
1
=
=
=
1
−x2
x2
4
2
=
1
Portanto, a soma pedida é (1 + 1 + 4) · 9 = 54.
10. Solução.
2
2
2
2
2
4x
11. Solução. A equação x2 + (x−2)
2 é equivalente a x (x − 2) + 4x = 12 (x − 2)
ou ainda,
(x2 )2 − 4 (x − 2) x2 − 12 (x − 2)2 = 0
(6.238)
que é uma equação do 2o grau em x. Portanto, resolvendo a equação (235 )
encontramos duas equações:
x2 + 2x − 4 = 0
e
x2 − 6x + 12 = 0
√
√ cujas soluções são: S = −1 ± 5, 3 ± i 3 .
12. Solução. Desenvolvendo (1 − x)2 + (x − y)2 +y2 = 13 , obtemos
3x2 − 3 (y + 1) x + 3y2 + 1 = 0,
(6.239)
que é uma equação do 2o grau em x. Como queremos x, y reais, então devemos
ter ∆ ≥ 0, por outro lado, temos
∆ = 9 (y + 1)2 − 12 3y2 + 1
(6.240)
= −3 (3y − 1)2 ≤ 0
pois (3y − 1)2 ≥ 0. Logo, ∆ = 0, o que resulta 3y − 1 = 0 e daı́, y =
substituindo y = 31 na equação (235 ) encontramos x = 23 .
(6.241)
1
.
3
Agora
13. Solução. Suponhamos que x = pq seja uma raiz da equação ax2 + bx + c = 0,
onde a, b, c são inteiros ı́mpares. Logo, temos
ap2 + bpq + cq 2 = 0.
Suponhamos também que a fração x = pq seja irredutı́vel isto é, mdc (p, q) = 1.
Vamos agora analisar a equação ap2 + bpq + cq 2 = 0 nos seguintes casos:
Caso1:p e q são ı́mpares.
Neste caso, ap2 , bpq e cq 2 são ı́mpares. Como a soma de três números ı́mpares é
ı́mpar. Logo, o resultado não pode ser zero.
Caso2: p é par e q é ı́mpar.
Neste caso, ap2 e bpq são pares e cq 2 é ı́mpar. Como a soma de dois números pares
e um ı́mpar é ı́mpar, o resultado não pode ser nulo.
Caso3: p é ı́mpar e q é par.
Utilize o mesmo argumento do caso2.
Portanto, nenhuma fração x = pq pode ser raiz da equação ax2 + bx + c = 0, onde
a, b, c são inteiros ı́mpares.
14. Solução. Se α for uma raiz da equação x2 + x − 1 = 0, então α2 + α − 1 = 0
ou ainda α2 = 1 − α. Assim,
α5 − 5α
= α α4 − 5
(6.242)
= α (1 − α)2 − 5
(6.243)
2
= α α − 2α − 4
(6.244)
= α (1 − α − 2α − 4)
= α (−3α − 3)
= −3 α2 + α
= −3
(6.245)
(6.246)
(6.247)
(6.248)
logo, α5 − 5α = −3.
1. Solução. Note que a relação 9x1 x22 + 3x31 + 9x2 x21 + 3x32 = 1027 pode ser escrita
assim:
3 x31 + 3x21 x2 + 3x1 x22 + x32 ) = 1027
ou ainda,
3 (x1 + x2 )3 = 1027
Daı́, x1 + x2 = 7. Por outro lado, x1 + x2 = p. Logo, p = 7.
2. Solução. Pelas relações de Girard temos
x1 + x2 = −b2
e
x1 · x2 =
√
π
note que x1 e x2 são ambos negativos, pois a soma é negativa e o produto é
positivo. Assim, a expressão
√ √
x1 π = x2 bx2 − π
√
tem ambos os membros negativos, donde concluimos que bx2 − π é positivo
√
√
isto é, bx2 − π > 0 ou ainda, bx2 > π. Assim, b é negativo.
3. Solução. Sejam x1 = 1 + m e x2 = 1 + n as raı́zes da equação x2 + bx + c = 0
tal que m e n são ambos positivos.Pelas Relações de Girard temos:
x1 + x2 = −b
e
x1 · x2 = c
Assim,
b+c+1
= − (x1 + x2 ) + (x1 · x2 ) + 1
= − (1 + m + 1 + n) + (1 + m) (1 + n) + 1
= mn > 0
Logo, b + c + 1 > 0.
(6.249)
(6.250)
(6.251)
4. Solução. Já sabemos que para existirem duas raı́zes reais é necessário que
∆ ≥ 0. Como as raı́zes são positivas então devemos ter:
x1 + x2 > 0
e
x1 · x2 > 0
Por hipótese temos ∆ ≥ 0 e daı́, 5p2 − 18p ≤ 0 e daı́, 0 ≤ p ≤ 0, 6. (1) Mas
x1 + x2 =
2p
>0
p−3
segue-se daı́, 0 < p < 3. (2) Agora, fazendo (1) ∩ (2) encontramos 0 < p ≤ 3, 6.
Portanto, não existe nenhum valor p ∈ Z, tal que as raı́zes sejam positivas. No
entanto, para p = 3, a equação é do 1o grau e a raiz é x = 3, um número real
positivo.
5. Solução. Pelas relações de Girard temos
x1 + x2 = −1
e
3
x1 · x2 = p
2
Agora, dividindo x por x + x + p encontramos
x3 = x2 + x + p (x − 1) + (1 − p) x + p
e daı́, substituindo x por x1 vem:
x31
= x21 + x1 + p (x1 − 1) + (1 − p) x1 + p
= 0. (x1 − 1) + (1 − p) x1 + p
= (1 − p) x1 + p.
(6.252)
(6.253)
(6.254)
Por outro lado,
x1 x2 (2x1 + x2 )
= x1 x2 [x1 + (x1 + x2 )]
(6.255)
= p (x1 − 1)
(6.256)
Assim,
x31 + x1 x2 (2x1 + x2 ) + 2x2
= (1 − p) x1 + p + p (x1 − 1) + 2x2 (6.257)
= x1 + 2x2
logo,
x1 + 2x2 = 1
e daı́, facilmente encontramos p = −6.
6. Solução. Pelas relações de Girard vem:
x1 + x2 = −
e
x1 · x2 =
c
a
b
a
(6.258)
e daı́, facilmente podemos encontrar
x21 + x22 =
A relação
pode ser escrita
Assim, temos
ou ainda
b2 − 2ac
.
a2
x21 + px1 + q + x22 + px2 + q = 0
x21 + x22 + p (x1 + x2 ) + 2q = 0.
b2 − 2ac
b
+ 2q = 0
+p −
a2
a
abp + 2ac − b2
.
2a2
Logo, x2 + px + q = 0, tem a seguinte forma
q=
abp + 2ac − b2
x + px +
=0
2a2
2
(6.259)
onde p é arbitrário. Por hipótese, temos que ∆ > 0, isto é, b2 − 4ac > 0. Vamos
provar que o discriminante ∆1 da equação ( 235 ) também é positivo. De fato,
2
(6.260)
∆1 = p2 − 4 abp+2ac−b
2a2
=
(ap−b)2 +b2 −4ac
a2
> 0.
(6.261)
Portanto, a equação x2 + px + q = 0, tem duas raı́zes distintas.
7. Solução. Pelas relações de Girard temos:
a + b = 3c
(6.262)
c + d = 3a.
(6.263)
e
Agora, somando (262) e (263) obtemos
b + d = 2 (a + c)
(6.264)
e subtraindo (262) e (263) vem:
b − d = 4 (c − a) .
(6.265)
Como a é raiz da equação x2 − 3cx − 8d = 0, segue-se que
a2 − 3ca − 8d = 0.
(6.266)
Analogamente, como c é raiz da equação x2 − 3ax − 8b = 0, temos
c2 − 3ac − 8b = 0.
(6.267)
Subtraindo as igualdades (266) e (267) e utilizando as relações (3) e (4) temos:
a2 − c2
= 8 (d − b)
= 8 · 4 (a − c)
(6.268)
(6.269)
como a 6= c, concluimos que a + c = 32. Portanto,
b+d
= 2 (a + c)
(6.270)
= 2 · 32
(6.271)
= 64
(6.272)
donde a + b + c + d = 32 + 64 = 96.
8. Solução. Pelas relações de Girard temos:
a + b = −p
e
ab = −
1
.
2p2
Por outro lado,
a2 + b 2
= (a + b)2 − 2ab
= (−p)2 − 2 − 2p12
= p2 +
1
p2
(6.273)
(6.274)
(6.275)
e daı́,
a4 + b 4
= a2 + b2 − 2a2 b2
2
2
= p2 + p12 − 2 − 2p12
= p4 +
Note que
2p4 +
1
p + 4 =
2p
2
4
Portanto,
1
p4
1
2p4
+ 2.
(6.276)
(6.277)
(6.278)
r
√
1
≥ 2p4 · 4 = 2.
p
a4 + b 4 ≥ 2 +
√
2.
9. Solução. Sejam θ, β, e γ as medidas dos ângulos internos de um triângulo ABC.
Por hipótese temos cot θ e cot β são as raı́zes da equação x2 − αx + α + 1 = 0
tal que
√ α>2 1+ 2 .
Pelas relações de Girard, temos:
cot θ + cot β = α
e
por outro lado, temos
cot θ · cot β = α + 1
cot (θ + β)
=
cot θ·cot β−1
cot θ+cot β
(6.279)
α+1−1
α
(6.280)
=1
(6.281)
=
isto é, cot (θ + β) = cot 45o . Logo, θ + β = 45o e daı́, γ = 135o .
10. Solução.
11. Solução. Como ∆ < 0 temos que x1 = a + ib, a, b ∈ R é uma raiz da equação
x2 + 2x + c2 = 0, então a outra raı́z é x1 = a − ib. Assim,
x2 + 2x + c2
= (x − x1 ) · (x − x1 )
= [(x − a) − ib] · [(x − a) + ib]
2
2
= x − 2ax + a + b
2
e daı́, −2a = 2 e c2 = a2 + b2 . Por outro lado,
√
|x1 | = a2 + b2
√
= c2
= |c|
=c
(6.282)
(6.283)
(6.284)
(6.285)
(6.286)
(6.287)
(6.288)
pois, c ∈ R, c > 0.
12. Solução. Por hipótese, temos 3x2 − 4 [x] − 4 = 0 ou ainda
3x2 = 4 ([x] + 1) .
Note que 3x2 ≥ 0 e daı́, [x] ≥ −1. Para [x] = −1, temos 3x2 = 0, logo, x = 0
que não é solução da equação 3x2 − 4 [x] − 4 = 0. Temos então [x] ≥ 0 e x ≥ 0.
Assim, podemos escrever 3x2 = 4n, n ∈ N ou ainda
r
4n
x=
.
3
Vamos agora analisar as possibilidades para n :
i) Se n = 0 então, x = 0 que não solução;
q
ii) Se n = 1 então, x = 43 que é solução;
q
iii) Se n = 2 então, x = 83 que não é solução;
iv) Se n = 3 então, x = 2 que é solução;
v) Se 4 ≤ n ≤ 6 então, [x] = 2 e x > 0. Neste caso, temos
3x2 − 4 [x] − 4 > 3 [x]2 − 4 [x] − 4 = 0,
logo, para 4 ≤ n ≤ 6 a equação 3x2 − 4 [x] − 4 = 0 não possui solução.
Finalmente, para n ≥ 7 temos [x] ≥ 3 e
3x2 − 4 [x] − 4 ≥ 3 [x]2 − 4 [x] − 4 > 0
2
logo,
o n ≥ 7 a equação 3x − 4 [x] − 4 = 0 não possui solução. Portanto, S =
nq para
4
,2 .
3
13. Solução. Pelas relações de Girard, temos
a+b=p
e
p2 − 1
2
3
3
3
Como a + b = (a + b) − 3ab (a + b) , segue-se que
2
p −1
3
3
3
a + b = p − 3p
2
ab =
ou ainda
3p − p3
.
2
Assim, a equação 2 a3 + b3 x2 − 3x + (a + b) = 0 se torna, então
a3 + b 3 =
3p − p3 x2 − 3x + p = 0.
Agora, resolvendo a equação (235 ) encomtramos x1 =
p
3−p2
(6.289)
e x2 = p1 .
14. Solução.
15. Solução. Como as raı́zes da equação x2 + px + q = 0 são positivas (portanto
reais) vem:
p2 − 4q ≥ 0, p < 0, q > 0.(1)
(6.290)
note que p < 0 e q > 0 pelas relações de Girard. Por outro lado, da equação
qy2 + (p − 2rq) y + 1 − pr = 0(2)
(6.291)
temos
(p − 2rq)2 − 4q (1 − pr) = 4r 2 q 2 + p2 − 4q > 0
logo, as raı́zes y1 e y2 da equação (2) são reais. Resta mostrar que são positivas.
Como
1 − pr
y1 · y2 =
> 0(3)
(6.292)
q
e
p − 2rq
y1 + y2 = −
> 0 (4)
(6.293)
q
De (3) segue que y1 e y2 tem o mesmo sinal e (4) concluimos que y1 e y2 são
positivas.
√
16. Solução. Seja k = x2 +18x+30,
então a equação x2 +18x+30 = 2 x2 + 18x + 45
√
se trasforma em k = 2 k + 15. Elevando ao quadrado temos
k 2 − 4k + 60 = 0
(6.294)
É fácil perceber que as raı́zes da equação√(235) são k = −6 e √
k = 10. Observe
que k = −6 não satisfaz a equação k = 2 k + 15 pois, −6 6= 2 −6 + 15. Logo,
as raı́zes da equação são obtidas quando k = 10 ou seja,
x2 + 18x + 30 = 10
ou ainda
x2 + 18x + 20 = 0.
Logo, pelas relações de Girard o produto das raı́zes é 20.
17. Solução.
18. Solução.
19. Solução.
20. Solução. (a) Como x2 é raiz da equação x2 − 3px − p = 0, segue-se que
x22 = 3px2 + p.
Pelas relações de Girard, temos
x1 + x2 = 3p
e
x1 · x2 = p
assim,
3px1 + x22 − p
= 3px1 + (3px2 + p) − p
= 3p (x1 + x2 )
2
= (3p) > 0
(6.295)
(6.296)
(6.297)
isto nos mostra que 3px1 + x22 − p > 0.
(b) Sendo x1 e x2 raı́zes da equação x2 − 3px − p = 0 vem:
3px1 + x22 + 3p
= 3px1 + (3px2 + p) + 3p
(6.298)
2
(6.299)
= 9p + 4p
analogamente, mostramos que
3px2 + x21 + 3p = 9p2 + 4p
logo, 3px1 + x22 + 3p = 3px2 + x21 + 3p. Como MA ≥ MG, segue-se que A ≥ 2 isto é,
o valor mı́nimo de A é 2.
1. Solução. Dada a função f (x) = ax2 + bx + c podemos conseguir coeficientes
A, B e C tal que
f (x) = Ax (x + 1) + Bx (x − 1) + C x2 − 1 .
Verifique que A =
a+b+c
,
2
B=
a−b+c
2
e C = −c.
Agora, fazendo x = −1, 0 e 1 encontramos f (−1) = 2B, f (0) = C e f (1) = 2A.
Assim,
f (−1)
f (1)
x (x + 1) +
x (x − 1) + f (0) x2 − 1
(6.300)
f (x) =
2
2
para todo x ∈ R. Pela hipótese |f (−1)| ≤ 1, |f (0)| ≤ 1 e |f (1)| ≤ 1 e da equação (235)
temos:
f (−1)
2
(6.301)
x
(x
+
1)
+
x
(x
−
1)
+
f
(0)
x
−
1
|f (x)|
= f (1)
2
2
≤ |f (1)|
|x (x + 1)| + |f (−1)|
|x(x − 1)| + |f (0)| x2 − 1
(6.302)
2
2
|x + 1| + |x|
|x − 1| + x2 − 1
(6.303)
≤ |x|
2
2
= |x|
|x + 1| + |x|
|1 − x| + 1 − x2 (6.304)
2
2
como −1 ≤ x ≤ 1, temos x + 1 ≥ 0, 1 − x ≥ 0 e 1 − x2 ≥ 0. Logo,
|f (x)|
≤
|x|
2
(x + 1) +
|x|
2
2
(1 − x) + 1 − x2
= −x + |x| + 1
2
= 45 − |x| − 12
(6.305)
(6.306)
(6.307)
≤ 45 .
(6.308)
p
2. Solução. Note que o valor mı́nimo de x2 + y2 é obtido quando x2 + y2 for
mı́nimo. Sejam p = x2 + y2 e 2x + y = 3. Assim, p(x) = 5x2 − 12x + 9. Como
a = 5 > 0, pelo Teorema(*), temos que p(x) = 5x2 − 12x + 9 admite um valor
mı́nimo que é atingido para
x
b
= − 2a
(6.309)
= 3 − 2x
(6.311)
=
6
5
(6.310)
por outro lado,
y
=3−
=
logo, o valor mı́nimo de
p
x2 + y2 é
12
5
(6.312)
3
5
(6.313)
√
45
.
5
3. Solução. Sendo S = x + y, temos y = S − x. Assim,
p(x)
= xy
(6.314)
= x (S − x)
(6.315)
2
= −x + Sx
(6.316)
Como a = −1 < 0, pelo Teorema ??, temos que p(x) = −x2 + Sx admite um
valor máximo que é atingido para
x
b
= − 2a
=
(6.317)
S
2
(6.318)
De S = x + y e x = S2 tiramos que y = S2 . Portanto, os números são: x = y =
Em particular tomando S = 10, temos x = y = 5.
4. Solução. Observe que a expressão y =
x
ax2 +b
S
.
2
é equivalente a
ayx2 − x + by = 0
(6.319)
Agora, resolvendo a equação (235 ) encontramos
p
1 ± 1 − 4aby 2
x=
2ay
Como queremos x reais, então devemos ter ∆ ≥ 0 ou seja, 1 − 4aby 2 ≥ 0 e daı́,
y ≤ 2√1ab . Assim,
1
x
≤ √
2
ax + b
2 ab
Portanto, o valor máximo de y =
x
ax2 +b
é
2
1
√
.
ab
5. Solução. Note que
3x2 + 9x + 17
3x2 + 9x + 7
será máximo quando p(x) = 3x2 + 9x + 7 for mı́nimo. Como a = 3 > 0, pelo
Teorema ??, temos que p(x) = 3x2 + 9x + 7 admite um valor mı́nimo que é
atingido para
b
= − 2a
x
=
− 23
(6.320)
(6.321)
Assim, substituindo x = − 23 na expressão
3x2 + 9x + 17
3x2 + 9x + 7
encontramos o seu valor máximo que é 41.
6. Solução.
Sejam A = xy e 2x + y = 240. Assim,
= x (240 − 2x)
A(x)
2
= −2x + 240x
(6.322)
(6.323)
Como a = −2 < 0, pelo Teorema ??, temos que p(x) = −2x2 + 240x admite um valor
máximo que é atingido para
x
b
= − 2a
= 60
(6.324)
(6.325)
De 2x + y = 240 e x = 60 temos y = 120. Portanto, as dimensões são: x = 60m e
y = 120m.
7. Solução. Seja
y=
1 + x2
1+x
ou ainda x2 − yx + 1 − y = 0. Como queremos x reais, então devemos ter ∆ ≥ 0
ou seja,
y2 + 4y − 4 ≥ 0
(6.326)
√
Agora, resolvendo a inequação (235) encontramos y = −2
√±2 2. Fazendo
√ o es-
tudo do sinal da inequação (235) temos y ∈ −∞, −2 − 2 2 ∪ −2 + 2 2, +∞
√
√
√
ou ainda y ≥ −2 + 2 2 ou y ≤ −2 − 2 2. Assim, devemos ter y ≥ −2 + 2 2 e
√
2
2.
é
−2
+
2
daı́, o valor mı́nimo de 1+x
1+x
8. Solução. Como 16x − 35y = 1, segue-se que
x=
35y + 1
3y + 1
= 2y +
(1)
16
16
(6.327)
assim, 3y + 1 deve ser múltiplo de 16, isto é,
3y + 1 = 16k, k ∈ N.(2)
(6.328)
Da equação (2) temos
y=
k−1
16k − 1
= 5k +
.(3)
3
3
(6.329)
Então k − 1 deve ser múltiplo de 3 ou seja,
k − 1 = 3t, t ∈ N. (4)
(6.330)
y
(6.331)
De (3) e (4) temos:
= 5k + t (5)
= 5 (3t + 1) + t
= 16t + 5
De (1) e (5) temos
x
=
35(16t+5)+1
16
= 35t + 11.
(6.332)
(6.333)
Logo,x = 35t + 11 e y = 16t + 5. Portanto, |x + y| é mı́nimo para x = 11 e
y = 5, obtidos para t = 0.
Exercı́cios 29 Esplorando o triângulo de Pascal
Vamos adotar a terminologia seguinte nas questões que se seguem. As colunas do
triângulo de Pascal serão enumeradas a partir de zero assim como também as linhas.
Quer dizer que a coluna de ordem zero é formada apenas pela unidade e a linha de
ordem zero tem um único elemento, o 1 e a linha de ordem 1 tem dois elementos: 1, 1
Escreva o triângulo de Pascal até a linha de ordem 15, ou procure no ı́ndice remissivo onde ele se encontra neste livro. Vamos tirar deste algoritmo algumas lições.
1. Verifique que a coluna de ordem zero, formada pela unidade, é a sequência das
diferenças dos termos da coluna de ordem 1. Portanto os termos da coluna de
ordem 1 formam uma P.A. Some os termos da coluna de ordem 1.
2. Verifique que a coluna de ordem 1, formada por uma P.A. é a sequência das
diferenças dos termos da coluna de ordem 2. Verifique que a seguinte expressão
traduz isto:
s2,i − s2,i−1 = s1,i−1
em que o primeiro indice indica a coluna e o segundo a posição dentro da coluna. Consequentemente os termos da coluna de ordem dois não podem estar em
P.A. Vamos dizer que os elemenos da coluna de ordem 2 são uma progressaão
quadrática e logo você verá a razão do nome.
3. Some os termos da expressão encontrada na questão anterior provando que
n
X
k=1
s1,k = s2,n+1 − s2,0
é uma expressão do segundo grau, (ou uma diferença de expressões do segundo
grau (o que dá no mesmo...)
4. Verifique que os termos da coluna de ordem 1 são descritos pela sucessão de
termo geral (n)n∈N . Encontre um polinômio do segundo grau que descreva a
sucessão dos termos da coluna de ordem dois.
Observação 32 A lógica de denominação das colunas
Já se pode vislumbrar porque chamamos a “primeira” de ordem zero, porque os seus
termos são descrito por um polinômio do grau zero.
Veremos que os elementos da coluna de ordem n serão descritos por um polinômio de
grau n
5. Verifique que a coluna de ordem 2, formada por uma progressão quadrática é
a sequência das diferenças dos termos da coluna de ordem 3. Verifique que a
seguinte expressão traduz isto:
s3,i − s3,i−1 = s2,i−1
em que o primeiro indice indica a coluna e o segundo a posição dentro da coluna.
6. Some os termos da expressão encontrada na questão anterior provando que
n
X
k=1
s2,k = s3,n+1 − s3,0
é uma expressão do terceiro grau, ou uma diferença de expressões do terceiro
grau, o que dá no mesmo...
Vamos dizer que os elemenos da coluna de ordem 3 são uma progressaão do
terceiro grau. Encontre um polinômio do terceiro grau que descreva os elementos
da coluna de ordem 3.
7. Com base nas experiências anteriores, descreva de uma forma geral qual é a
estrutura do triângulo de Pascal.
8. Prove que se P for uma polinômio do grau k então
(a) Q(x + 1) − Q(x) é um polinômio do grau k − 1
(b) Prove que
n
X
k=1
Q(k + 1) − Q(k) = P (n + 1) − P (0)
Justifique como este resultado generaliza o teorema sobre a soma dos termos de
uma P.A.
n
P
9. Calcule
k3
10. Calcule
11. Calcule
k=1
n
P
k=1
n
P
k=1
k4
kp ; p ∈ N ; p > 1
6.13
Logaritmos
Ao final da Idade Média, foi descoberta uma famı́lia de funções que tinham
a propriedade
f (xy) = f (x) + f (y)
e esta propriedade foi “rapidamente” explorada fazendo delas um dos tipos
de máquina de calcular que teve até hoje um dos usos mais longo na história
da Humanidade, de 1550 a 1970, mais de quatrocentos anosa , quando foram
destronadas pelas máquinas de calcular elétricas e depois pelas eletrônicas.
Chmamam-se logaritmos estas funções.
Hoje os logaritmos tem um uso bem diferente, outras propriedades foram
descobertas que os tornaram modelos importantes em vários campos do conhecimento. Aqui vamos fazer uma turné de museu reconstruindo a máquina
de cálcular. Começaremos a nossa apresentação reprisando as descobertas
de John Napier (1550-1617), o inventor dos logaritmos, que escreveu em
1614 o livro “Mirifici logarithmorum canonis descriptio” Descrição padrão
dos magnı́ficos logaritmos e construiu uma máquina de calcular mecânica.
a O chamado triângulo de Pascal teve e tem vida mais longa, se supõe que
os chineses o conheciam a alguns milhares de anos antes dos gregos.
6.13.1
A história
Se houver alguma função que tenha a propriedade
Hipótese 2 Propriedade fundamental dos logaritmos
f (xy) = f (x) + f (y)
(6.334)
se considerarmos x = 1 então
f (1 ∗ y) = f (y) = f (1) + f (y) ≡
(6.335)
f (1) = 0
(6.336)
f (1 ∗ y) = f (1) + f (y) = 0 + f (y) = f (y)
(6.337)
Veremos que não somente existe uma tal função, mas existe uma “famı́lia”de
funções com estas propriedades. Uma função que tenha tais propriedades, se chama
logaritmo e a hipótese fundamental se escreve assim:
log(xy) = log(x) + log(y)
Esta descoberta desta simples relação, (eq. 2), levou rapidamente os “logarit-mos”
a uma posição muito especial, possivelmente porque os números tinham na Idade
Média, um lugar importante dentro do misticismo, e muito em particular os dois
números zero e um que, embora sendo apenas os elementos neutros da adição e da
multiplicação, estes simples fatos fazim de ambos de números cabalı́sticos para os
nossos antepassados, e até mesmo para muita gente dos nossos dias.
Além deste aspecto mı́stico, estas funções transformam a complicada operação de
multiplicar na operação mais fácil de somar, vamos provar isto.
Os matemáticos da época conseguiram extrair destes fatos vários outros que foram
montando um sistema muito interessante.
Vamos seguir trabalhando dentro da hipótese (hip. 2), como se ela fosse verdeira,
então
log(a2 ) = log(a · a) = log(a) + log(a) = 2log(a),
transformando potência em multiplicação.
Se fixarmos um número qualquer, a > 0, e considerando suas potências, teriamos:
log(a)
log(a2 )
log(a3 )
log(a4 )
log(a5 )
log(a6 )
log(a)
2log(a)
3log(a)
4log(a)
5log(a)
6log(a)
Observe que esta tabela associa, uma progressão geométrica, na primeira coluna,
com uma progressão aritmética, na segunda coluna. Esta associação é injetiva, (na
verdade bijetiva) porque as progressões aritméticas são estritamente crescentes se a
razão for positiva, como será sempre o caso aqui. As progressões geométricas crescem
ou decrescem dependendo de que a razão seja maior ou menor do que 1.
Vemos aqui e na equação (2), página 208, dois fatos que se encontram por trás da
importância dos logaritmos na Idade Média e que inclusive os trouxeram impertubáveis
até os nossos dias:
• transformam produtos em soma;
• transformam progressões geométricas em progressões aritméticas.
• Transformam “coisas mais difı́ceis” em “coisas mais fáceis”.
Esta última propriedade é a quest~
ao quando se tratam de máquinas:
uma máquina que se prese transforma “coisas difı́ceis” em “coisas
fáceis”.
E aqui vai a contribuição nossa, moderna, para o assunto.
Nossos antepassados, a duras penas, tentaram descobrir uma função adequada que
tivesse a hipótese (hip. 2), página 208. Subindo nos ombros deles, como dizia Newton,
podemos ver que é fácil inventar uma função exatamente usando a tabulação acima:
escolhemos o número a e dizemos quanto vale log(a).
O resto é pura construção.
Vamos mostrar como isto funciona. Depois vamos mostrar, com um exemplo, uma
tabela de falsos logaritmos, que não é suficiente colar duas progressões, uma aritmética
e uma geométrica, para ser um sistema de logaritmos. Existe, portanto, uma pequena
restrição ao “qualquer”que usamos acima. Discutiremos isto, mais adiante, quando
falarmos de “falsos logaritmos”.
6.13.2
Construção de um logaritmo
Vamos escolher
a = 2 e log(a) = 1
observe, insistimos, poderia ser qualquer outro valor, diferente de zero, para para
log(a), nossa escolha foi inteiramente arbitrária. A única coisa que nos guiou foi
começar as coisas de forma mais simples, depois faremos outro exemplo com valores
diferentes.
Com estes dados vamos repetir a tabela de potências que escrevemos acima:
2
4
8
16
32
64
log(x)
log(2)
log(4)
log(8)
log(16)
log(32)
log(64)
x
1
2
3
4
5
6
e já podemos fazer umas continhas para testar o nosso invento. É sempre assim que se
faz, constroi-se um protótipo de pequenas proporções e se verifica seu funcionamente.
Se fizer alguma coisa útil então partimos para a incrementação.
Vamos calcular quanto vale 4 x 4.
log(4
x
4 7→ log(4) = 2
4) = log(4) + log(4) 7→ 2 + 2 = 4 7→ log(16)
conclusão: 4
x
4 = 16
Que ingênuo!
você deve ter exclamado.
Mas, coloque-se agora no século 16, não era todo mundo que sabia fazer esta conta.
Continuando imersos no século 16, vamos lá encontrar alé m de alguns raros matemáticos, também havia dois tipos de profissionais rarı́ssimos:
• Copiadores, ou escribas, (os digitadores de então);
• Calculistas, (os programadores da época).
Os calculistas criavam tabelas, e os copiadores copiavam estas tabelas para as
poucas bibliotecas existentes. Quando um calculista terminava seus longos cálculos
preenchendo uma folha, os escribas faziam 20 ou 30 cópias da mesma, que devia ser o
tempo necessário ao calculista para preparar outra folha.
Hoje nós temos computadores e mais abaixo você vai encontrar uma tabela de
logaritmos feita em centésimos de segundos com um programa de computador. Mas,
antes de envolver o computador, vamos mostrar um pouco do trabalho paciente dos
calculistas para melhorar a fraquı́ssima tabela que temos acima.
Os hábeis calculistas devem ter observado que na primeira coluna da tabela se
encontrava uma progressão geométrica de razão 2:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
e que na segunda coluna havia uma progressão aritmética: de razão 1
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
portanto, para melhorar esta tabela, se tinha que encontrar progressões mais finas que
contivessem as duas anteriores.
Refinando a tabela;
Aumentando a precisão da tabela.
Exemplo 48 Uma
que contenha
√ esta acima
√
√ tabela√mais fina √
3
5
2 2
x
1
2
4
2
8
27 16
29
1
3
5
7
9
log(x) 0 2
1 2
2 2
3 2
4
2
32
5
√
211
11
2
64
6
Havia que descobrir um número r que multiplicado por si próprio n vezes produzisse 2 permitindo refinar os valores entre 1 e 2 na primeira coluna e assim prosseguir
com as potências de r para refinar os valores entre 2 e 4 e assim sucessivamente na
primeira coluna.
Depois descobrir a imagem de r para fazer o mesmo na segunda coluna.
Temos assim um problema de logaritmos e de progressões, em conjunto, que vamos
agora resolver.
Com esta frase torcemos a história e vamos assim nos corrigir: temos um problema
de progressões geomé tricas e aritméticas, em conjunto, para resolver. Deixemos para
você a análise lógica do perı́ odo e da contradição nele incluı́da. Divirta-se.
Somente um calculista sabia resolver este problema naquela época. Hoje temos
vários instrumentos para nos facilitar a vida, mas vamos evitar de usá-los para salientar
o trabalho duro dos nossos antepassados.
Para não sofrer muito, vamos escolher
n=5
quer dizer que desejamos enxertar uma nova progressão geomé trica na progressão
geométrica anterior. No exemplo anterior já fizemos isto com n = 2.
1
1
r
r2
r3
r4
2
r5
r6
r7
r8
r9
4
r 10
A solução se encontra na equação, ou melhor, na correspondência entre as duas
células,
que produz a seguinte equação:
2 7→ r 5
r5 = 2 ⇒ r =
√
5
2
r é a raiz quinta de 2, que tinha que ser descoberto experimentalmente pois não havia
máquinas de calcular na época. Haveria que sair experimentando a multiplicação
sucessiva de número decimais um pouco maiores que 1 até encontrar a raiz quinta de
2, aproximadamente, que era outro problema mı́stico para os nossos antepassados, e
até para muita gente de hoje em dia...
Claro, aqui nós vamos usar um programinha
de coputador, senão, gastariamos uma
√
5
semana inteira para descobrir r = 2 com uma precisão aceitável, coisa que para os
calculistas da Idade Média era questão para um par de horas.
Antes vamos citar uma desigualdade, que é fácil de ser demonstrada, e que provavelmente alguns calculistas conheciam, para lhe dar um pouco do sabor do que era
fazer cálculos quando não havia a tecnológia que se encontra a nossa disposição e,
naturalmente, aumentar a sua dı́vida moral para com os que nos antecederam nos
legando as raizes do que disfrutamos hoje.
A desigualdade diz:
a media aritmética entre dois números é maior,
ou igual, do que a mé dia geométrica entre os
mesmos números,
√
a+b
≥ ab
2
Tente demonstrar esta afirmação, tudo que você vai precisar é a “equação do
segundo grau”. Mais a frente faremos a demontração.
Podemos generalizar esta afirmação para uma quantidade qualquer de números,
agora nos interessam cinco, porque nos decidimos pela raiz quinta de 2:
√
x1 +x2 +x3 +x4 +x5
≥ 5 x1 x2 x3 x4 x5
5
( x1 +x2 +x53 +x4 +x5 )5 ≥ x1 x2 x3 x4 x5 ≈
(6.338)
2
(6.339)
e agora vamos experimentar com alguns números. Uma simples calculadora com
memória pode nos ajudar.
Devemos escolher 5 números “candidatos”a serem a raiz quinta de 2. Quer dizer
que eles devem ser maiores do que 1 e menores do que 2, (por que?)
Eis o nosso projeto:
• • Vamos repetir a experiência até obter um produto que seja menor 2.
• • Pela desigualdade, a mé dia aritmética será maior do que a mé dia geométrica
que é uma proposta de raiz;
• • Se a mé dia aritmética for maior do que a raiz quinta de 2 teremos uma
aproximação por falta e outra por excesso.
• • O melhor deste esquema é que, se os números utilizados não forem muito
dispersos, a diferença entre as duas médias é pequena e portanto poderemos ter
uma ótima aproximação.
Vamos começar os experimentos com:
1.25; 1.33; 1.4; 1.41; 1.4
vamos usar uma calculadora com 10 memórias das quais vamos usar 7; cinco para
guardar os fatores que estaremos testando, e uma para guardar o produto destes
fatores e a sétima para guardar a mé dia aritmética dos fatores.
Abaixo a lista dos resutaldos obtidos, em que P é o produto, e M é a mé dia
aritmética:
•
x1 = 1.25; x2 = 1.33; x3 = 1.4; x4 = 1.41; x5 = 1.4
M = 1.358 ; P = 4.594485 ≈ 2
•
x1 = 1.25; x2 = 1.25; x3 = 1.25; x4 = 1.25; x5 = 1.25 ;
M = 1.25 ; P = 3.0517578125 ≈ 2
•
x1 = 1.15; x2 = 1.135; x3 = 1.125; x4 = 1.15; x5 = 1.14 ;
M = 1.14P = 1.92508059375 ≈ 2
•
x1 = 1.15; x2 = 1.145; x3 = 1.135; x4 = 1.15; x5 = 1.145;
M = 1.145 ; P = 1.9678976884375 ≈ 2
•
x1 = 1.148; x2 = 1.145; x3 = 1.14735; x4 = 1.1475; x5 = 1.1459;
M = 1.14675 ; P = 1.98309129589694025 ≈ 2
•
x1 = 1.148; x2 = 1.147; x3 = 1.14795; x4 = 1.1478; x5 = 1.14795;
M = 1.14774 ; P = 1.991670409950073902 ≈ 2
•
x1 = 1.149; x2 = 1.149; x3 = 1.14795; x4 = 1.1478; x5 = 1.14895;
M = 1.14854 ; P = 1.9986206930929315395 ≈ 2
•
x1 = 1.1488; x2 = 1.148; x3 = 1.14899; x4 = 1.1489; x5 = 1.14899;
M = 1.148736 ; P = 2.00032720825047469273 ≈ 2
•
x1 = 1.1488; x2 = 1.148; x3 = 1.14898; x4 = 1.1487; x5 = 1.14899;
M = 1.148694 ; P = 1.99996158577245650457 ≈ 2
Vamos aceitar este último resultado. A mé dia aritmética deles é
1.148694
e a raiz quinta de 2 obtida com a calculadora é:
1.1486983549970350068
e vemos que o erro cometido com os cálculos de médias fica na 6 casa decimal, portanto
um erro menor do que 0.000004.
Observe que no penú ltimo resultado obtivemos um produto maior do que 2 o que
nos obrigou a reduzir alguns fatores.
Exercı́cio 18 Cálculo de raı́zes
1. Calcule a raiz 7a de 2, usando médias e teste o resultado com uma máquina de
calcular.
2. Calcule a raiz 9a de 4, usando médias e teste o resultado com uma máquina de
calcular. A calculadora deverá ter 11 posições de memória, e a amostra deve
ser formada de números próximos de 1.
Temos assim um método experimental para descobrir as raı́zes de um número.
Como a média aritmé tica é maior ou igual do que a geométrica, ela vai nos dar uma
aproximação presumivelmente melhor, (deve ser testada):
M = 1.148694 = r ; (1.148694)5 = 1.99996208783624992043
que vamos considerar uma aproximação aceitável. Este é o número
r = 1.148694
que procuravamos para preencher a tabela, no lado da progressão geométrica.
Do outro lado, na progressão arimética, será mais fácil, até porque se não fosse,
os logaritmos não valeriam a pena. Basta dividir os extremos pelo número de termos intermediários que desejamos, n = 5, para encontrar a razão a da progressão
aritmética:
a=
1
0+1
= = 0.2
5
5
e agora montamos a tabela,
• • de um lado multiplicando sucessivamente por r = 1.148694 a partir de 1;
• • do outro somando sucessivamente d = 0.2 a partir de zero.
x
1
1.148694
1.319497905636
1.515699327216639384
1.74107472297779036056
1.99996208783624992043
2.29734445052497326610
log(x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Acima estamos apresentando um pedaço da tabela, apenas
• do lado da P.A. entre 0 e 1.2 ;
• do lado da P.G. entre 1 e 2.29734445052497326610
Testando, vamos multiplicar dois números que se encontrem na tabela, ou que
estejam próximo dos que desejamos.
Exemplo 49 A multiplicação de dois números
Os dois números abaixo não se encontram na tabela:
1.3150355625 ; 1.72931853064
e queremos multiplicá-los. Vamos usar dois números que estejam na tabela e que representem uma aproximação dos números que nos interessam. Encontramos na tabela:
1.319497905636 7→ 0.4
1.74107472297779036056 7→ 0.8
e eles correspondem, respectivamente aos logaritmos 0.4, 0.8 Vamos somar os seus
logaritmos: 0.4 + 0.8 = 1.2 que é o logaritmo, (aproximadamente), do resultado:
1.2 7→ 2.29734445052497326610 .
Quer dizer que:
1.3150355625
x
1.72931853064 ≈ 2.29734445052497326610
(6.340)
Se você tentar com a calculadora esta multiplicação, vai encontrar
2.274115366681845885
vericando que em nossas contas há um erro menor do que 0.02 mas, não se esqueça
de que também na calculadora há erros e que nós estamos no inı́cio da construção da
nossa tecnologia.
Você vai logo ver como podemos garantir que os erros sejam menores, entretanto,
erro sempre vai existir.
Se somarmos os logaritmos dos números que desejamos
multiplicar, vamos encontrar o logaritmo do resultado, e
através dele, na tabela, um valor aproximado do produto.
Claro, as contas que fizemos são muito penosas para serem feitas åmão, sobretudo
hoje, quando elas parecem desnecessárias. Mas, até há pouco tempo, este método
ainda era utilizado. Até 1960, em todas as escolas se usavam tabelas de logaritmo para
fazer contas. Máquinas eletro-mecânicas de calcular já existiam, mas eram caras, ao
passo que as tabelas de logaritmo eram baratas e ofereciam resultados, muitas vezes,
melhores do que os obtidos com máquinas eletromecânicas.
Observe que os logaritmos reinaram sobre a tecnologia de 1550 a 1960, ou seja por
4 séculos, isto lhes garante o direito de um pouco de nossa atenção, são, sem dúvida,
um respeitável assunto de museu.
√
Com um auxı́lio de um programa de computador podemos obter 5 2 com muito
maior precisão, quase instantâneamente, e fazer uma tabela de logaritmos de maior
precisão. Você vai encontrar isto mais adiante, inclusive o programa usado.
Exercı́cios 30 Médias, desigualdades e progressões
Uma primeira definição de logaritmo, para começar.
Definição 52 Logaritmo
Vamos chamar de logaritmo, e usar a notação,
log(x)
aos números que se encontram na segunda coluna das tabelas em que estamos fazendo
a correspondência entre progressões geométricas. Na primeira coluna, as progressões
geométricas, e na segunda coluna, as progressões aritméticas, os logaritmos.
1.
(a) Prove que dados um número positivo x então
x+
(b) Prove que
a+b
2
≤
1
≥2
x
√
ab.
Solução 2 Uma forma comum de demonstrar esta desigualdade, consiste em
procurar completar o quadrado:
x+
2
1
x
≥2
x + 1 ≥ 2x se x > 0
x2 − 2x + 1 ≥ 0
(x − 1)2 ≥ 0
Como todas as passagens são equivalentes, a conclusão é que sendo a última
verdadeira então partimos de uma verdade. Demonstramos assim sob a hipótese
x > 0. Se x < 0 concluiriamos, como os cáculos acima, que (x − 1)2 ≤ 0 que,
sendo falso, nos indica que a desigualdade somente é válida quando x > 0.
No livro de Little, Hardy e Polya, Inequalities, podemos encontrar a seguinte
demonstração, que parte da identidade algébrica:
x2 − y2 = (x − y)(x + y) ; x =
a+b
a−b
;y =
2
2
Dados dois números positivos, a, b podemos, sem perda de generalidade considerar a > b então
ab = ( a+b
)2 − ( a−b
)2
2
2
)2 ≤ ( a+b
)2
( a−b
2
2
ab = ( a+b
)2 − ( a−b
)2 ≤ ( a+b
)2
2
2
2
ab ≤ ( a+b
)2
2
√
MG(a, b) = ab ≤ a+b
= MA(a, b)
2
MG(a, b) ≤ MA(a, b)
————————————————
2. Um erro lógico Pá ginas atrás dissemos que na frase
”Temos assim um problema de logaritmos e de progressões, em conjunto, que
vamos agora resolver.”
havia um erro lógico. Qual é o erro?
Solução 3 O erro lógico na frase:
”Temos assim um problema de logaritmos e de progressões, em conjunto, que
vamos agora resolver.”
Os logaritmos ainda não existiam, estavam em contrução, só haviam progressões,
naquele momento.
————————————————
3. Definimos log como sendo a correspondência entre duas colunas de dados, uma
função cujo domı́nio, por enquanto é difuso... Começamos com a propriedade
fundamental
log(xy) = log(x) + log(y).
Deduza desta propriedade, as seguintes:
(a) log(an ) = nlog(a) ; a > 0 ; n ∈ N
(b) log( a1 = −log(a)
(c) log( ab = log(a) − log(b)
(d) Se log(a) > 0 então log( a1 ) < 0
(e) log(abc) = log(a) + log(b) + log(c)
√
(f ) log( m a) = log(a)
m
4. Use a tabela 6.16, página 232, para calcular
√ √ √ 3 √
5
2; 3; 4; ; 2
2
e teste a precisão dos resultados com uma calculadora.
5. Use a tabela (tab. 6.16), página 234 , para calcular
√ √ √ 3 √
5
2; 3; 4; ; 2
2
e teste a precisão dos resultados com uma calculadora. Compare com os resultados obtidos na outra tabela, verificando que você usou dois tipos de logaritmos.
6.13.3
Construindo outro logaritmo
E se lhe dissemos que não precisaremos calcular nenhuma raiz e-né sima para construir
logaritmos?
É isto mesmo, basta tomar um número qualquer muito próximo de 1 que ele é
a raiz e-nésima, (para algum n que depois poderemos determinar) de algum número
(que depois vamos saber)...
Não se assuste com a forma disciplicente com que falamos. Fique certo de que se
não se trata de nenhum “discurso” de “politiqueiro” sujo. Apenas se convença de que
um número bem próximo de 1, maior do que 1, é a raiz enésima de algum número
grande...
Por exemplo r = 1.0000000000012345 é a raiz enésima de algum número... basta
você multiplicá-lo por ele mesmo varias vezes, (as calculadoras fazem isto se você
apenas apertar no =), você poderá (ou não) encontrar um inteiro...
Por exemplo,
(1.0000123)10005 = 1.130953116548
em outras palavras,
√
1.130953116548 = 1.0000123
10005
e isto já nos oferece material suficiente para construir uma tabela de logaritmos extremamente eficiente:
• Na coluna do x vamos colocar a progressão aritmética cujo primeiro termo é
1
sendo também este número a razão da progressão.
10005
• Na coluna log(x) vamos colocar as potências de 1.0000123 quer dizer uma P.G.
de razão 1.0000123 sendo este o primeiro termo.
• Consequentemente o termo de ordem 10005 da P.A. será 1 e estará em correspondencia com o termo de ordem 10005 da P.G. que será 1.130953116548, quer
dizer que log(1.130953116548) = 1 e naturalmente esta é a base da nossa tabela
de logaritmos.
• Acabamos de descrever a primeira página da nossa tabela de logaritmos. A
proxima página vai consistir de somar 1 a todos os elementos da coluna do x e
multiplicar por 1.130953116548 todos os elementos da coluna do log(x) e assim
sucessivamente.
Observação 33 Determinação experimental de raizes...
O que dissemos acima pode fazê-lo perder horas a fio. Por exemplo, 1.00016932 =
2.0000363 quer dizer que você teria que dar 6932 toques para conseguir 2.0000363.
Depois, veja, com todo o esforço que fizemos, não encontramos a raiz exata de 2, a
linha que aparece em nossa tabela é:
x
1.99996208783624992043
log(x)
1
e nos gostariamos que fosse
x
2
log(x)
1
Como já dissemos, tudo o que nos interessa é “duas progressões”, uma geométrica,
com razão multiplicativa r :
1, r, r 2 , · · · , r n = a
e uma aritmética, com razão aditiva d :
0, d, 2d, 3d, 4d, · · · , nd.
Se nd 7→ a teremos construido, por acaso , o logaritmo base a.
Acabamos de dizer que anteriormente construimos o logaritmo de base 2. Depois
voltaremos a esta história da base.
Não dissemos grandes novidades, apenas nos liberamos do cálculo de uma raiz
especificada de um certo número. Mas ainda existe uma dificuldade psicológica. No
caso anterior dividimos 1 por n para definirmos as duas progressões, como faremos
agora se não escolhemos n ?
Total liberdade, novamente. Escolheremos um número pequeno, agora próximo de
zero, para ser a razão da progressão aritmé tica.
Se aparecer a linha
x
N
log(x)
1
com N ∈ N encontramos, por acaso , a tabela de logaritmos de base N. Se não
encontrarmos, teremos uma tabela de logaritmos anônimos!
Mãos a obra com, usando r = 1.01 como razão (multiplicativa) da progressão
geométrica e delta = 0.01 como razão (aditiva) da progressão aritmética.
Não faremos estes cálculos a mão, para isto temos computadores a nossa disposição.
Vamos escrever abaixo o programa que usaremos para construir a tabela:
delta = 0.01
r = 1.01
y=0
x =1
imprima ”x log(x)”
imprima -———————–”
## enquanto y for menor que 0.21 repete as linhas abaixo
enquanto (y ¡= 1.1):
imprima x,,y ## imprime os dados
y = y + delta ## aumenta o valor de y
x = x*r ## aumenta o valor de x
o resultado deste programa é tabela:
x
log(x)
---------------------------1 0
1.01 0.01
1.0201 0.02
1.030301 0.03
1.04060401 0.04
1.0510100501 0.05
1.0615201506 0.06
1.07213535211 0.07
1.08285670563 0.08
1.09368527268 0.09
1.10462212541 0.1
1.11566834667 0.11
1.12682503013 0.12
1.13809328043 0.13
1.14947421324 0.14
1.16096895537 0.15
1.17257864492 0.16
1.18430443137 0.17
1.19614747569 0.18
1.20810895044 0.19
1.22019003995 0.2
1.23239194035 0.21
Podemos fazer um programa um pouco mais sofisticado para obter os dados em
uma tabela com várias colunas. O resultado você pode encontrar na tabela 6.16,
página 232.
O programa “mais sofisticado” calcula espaços e tabulações produzindo uma tabela
arrumadinha como a que você pode ver. Quando você estiver dominando programação
poderá fazer algo igual ou muito melhor. O que nos interessa, entretanto aqui não é
programação, mas sim os logaritmos.
6.13.4
Os logaritmos decimais
Analisando a tabela de logaritmos anônimos que construimos antes, vemos um problema grave que os nossos antepassados logo observaram. Se quisermos calcular
2.19476752 basta multiplicarmos por dois o seu logaritmo, 2 x 0.79 = 1.58 7→
4.8170045 e portanto
2.19476752 = 4.8170045
mas se quisermos calcular o quadrado de 2.2167152 a tabela já não mais alcança.
Chegamos ao limite da tabela.
Solução para o problema: fazer uma tabela mais completa.
Claro, há outros problemas com que já nos deparamos, um deles diz respeito
ågranularidade da tabela, ou sua precisão. O número 2.2177152 não estána tabela,
portanto não podemos fazer nenhuma conta com ele.
Os nossos antepassados encontraram algumas soluções brilhantes para estes problemas. Vamos descrever uma aqui, outras deixaremos de lado, pois, caso contrário,
estaremos, mais do que visitando o museu, construindo novas paredes no prédio do
museu e isto pode ser mal compreendido pela segurança...
Eles (nossos antepassados) pensaram e cismaram:
E, se quando o logaritmo y mudar de unidade, o número x mudasse
uma casa decimal, o ponto flutuante corresse uma casa para trás? (ou
para frente!)
A vantagem é que a cada novo inteiro os algarimos na coluna do x se repetiriam
e apenas o ponto decimal correria para direita. Aı́ teriamos uma tabela com validade
muito maior, veja o exemplo:
x
2.346676545566
23.46676545566
234.6676545566
log(x)
0.3704532326933746
1.3704532326933746
2.3704532326933746
e nós poderiamos imediatamente saber:
log(234667.6545566) = 5.3704532326933
log(2346.676545566) = 3.3704532326933746
log(23466.76545566) = 4.3704532326933746
e uma tabela relativamente pequena teria uma utilidade bastante grande porque facilmente a poderiamos extender.
Observação 34 A maneira “algébrica”de fazer Matemática
Este truque e as potências de 10
Observe que a invenção de que estamos falando acima tem propriedades interessantes:
23466.76545566 = 10 x
2346.676545566
log(23466.76545566) = log(10) + log(2346.676545566)
log(23466.76545566) = 1 + log(2346.676545566)
quer dizer que estamos falando do “logaritmo base 10”.
Observe o mé todo que estamos adotando, é assim que se faz matemá tica, sempre
foi assim que se fez matemática. Analisamos um problema e criamos uma expressão
“algébrica” para o que desejamos e vamos manipulando as expressões na busca de
uma saı́da.
As vezes dá certo, descobrimos um teorema, publicamos ruidosamente o resultado.
Muitas vezes não dá em nada interessante e evitamos discutir o assunto com os
outros... tem muita matemática ficou silenciosamente na cesta de lixo.
Foi usando este “mé todo algébrico”que começamos a discutir os logaritmos, procuravamos uma função que tivesse a propriedade:
log(xy) = log(x) + log(y)
para transformar as complicadas multiplicações na adições que são mais simples e caimos em tabelas que tranformassem progressões geométricas em progressões aritméticas.
Vamos usar outra palavra em lugar de transformar.
Vamos dizer que sincronizamos progressões geométricas e progressões aritméticas
fixando a associação:
1 7→ 0.
Usamos a história da raiz para criarmos dois segmentos de progressões sincronizadas. Esta foi a primeira forma como apareceram os logaritmos com uma “base”
definida.
Depois vimos que podiamos nos liberar disto e criar uma multitude de logaritmos
e criamos logaritmos anônimos simplesmente sincronizando duas progressões.
Agora queremos encontrar progressões sincronizadas de uma forma mais poderosa,
e isto vai nos levar de volta ao cálculo de raizes, que deliberadamente abandonamos
para trabalhar com mais liberdade mas ao mesmo tempo chegamos a conclusão que
as tabelas de logaritmos assim constrúidas poderiam ficar enormes e é preciso voltar
atrás e estruturá-las melhor.
Com o que fizemos inicialmente, já temos a solução quase pronta, o que desejamos
é descobrir r tal que
1, r, r 2 , r 3 , · · · , r n = 10
e sincronizar esta progressão com
0, d, 2d, 3d, · · · , nd = 1
porque r 2n = 100 e estará sincronizado com 2nd = 2 enfim, a cada nova casa decimal,
os logaritmos pulam de uma unidade.
Redescobrimos, assim os logaritmos decimais, ou ainda
os logaritmos de base 10.
Como já resolvemos esta questão antes, sabemos que
√
n
r = 10
e quanto maior n mais refinada será a tabela de logaritmos, e, infelizmente també m,
mais trabalhoso para calcular a raiz e-nésima de 10, entretanto os cálculos deixaremos
por conta do nosso calculista de mesa, que igual os calculistas árabes de Malba Tahan,
calcula silenciosamente, obedientemente, e sem erros... e veja que não estamos fazendo
nenhuma sugeira. Estamos construindo os logaritmos de forma autêntica, vamos usaar
o computador apenas para escrever as progressões aritmé tica e geométrica mais rápido
e com maior precisão. Estamos apenas usando trabalho escravo, coisa comum em
nossos dias, o nosso escravo, aqui, é a máquina enquanto outros escravisam seres
humanos ou os simples e dóceis animais.
Vamos retomar os nossos
cálculos de raizes, usando a propriedade das mé dias
√
aritméticas para obter n 10. Se quisermos ter uma página para cada passagem de
inteiro, usando a formatação da tabela (tab. 6.16), página 232, então teremos que
usar n = 160, e portanto teremos que calcular médias com 160 números.
Que mágico número, 160 é este?
Verifique você mesmo, quantas colunas tem as tabelas de
logaritmos que fizemos, por exemplo a tabela (tab. 6.16),
página 234 .
Quatro colunas, certo?
Em cada coluna 40 linhas, que é o que cabe a página,
certo?
Daı́ 160 = 40 x 4, somente isto. Nenhum mistério.
Mesmo para um hábil calculista da Idade Média isto poderia tomar mais de um par
de horas, talvez alguns dias. Claro, “naqueles tempos” sempre havia muito “tempo”...
podemos entretanto solicitar ao nosso calculista de mesa que faç a o serviço, e o
resultado pode ser obtido em menos do que um par de segundos:
power(10,1/160)
1.01449520806873610874
e assim, num piscar de olhos sabemos que r = 1.01449520806873610874 que vamos
arredondar para r = 1.0144952 porque o calculista exagerou.
1
Agora usando delta = 160
no programa “sofisticado” que rodamos anteriormente
vamos obter uma nova tabela, (tab. 6.16), página 234
Analisando a tabela você ”poderia”encontrar:
x = 2.0241832 log(x) = 0.30625
(6.341)
x = 20.241806 log(x) = 1.30625
(6.342)
x = 202.41832 log(x) = 2.30625
(6.343)
x = 0.20241832 log(x) = 0.30625 − 1 = −0.69375
(6.344)
Você não encontrou os números citados acima (com exceção de dois casos) porque
a tabela tem uma amplidão reduzida:
x ∈ [1, 98.570940] ; log(x) ∈ [0, 1.99375]
Quando um número apenas tiver o “ponto flutuante” deslocado de uma casa, relativamente a outro, o seu logaritmo decimal difere de uma unidade, relativamente ao do
outro.
Ou ainda:
log(x) = y ⇒ log(10x) = y + 1 ; log(100x) = y + 2 . . .
Com isto, uma tabela de logaritmos bem refinada, com x variando entre os nú meros
1 e 100 será útil para fazer muitas operações, como é o caso da tabela (tab. 6.16),
página 234
Observe, também que o número x = 10 não aparece na tabela, quem aparece é
9.9999872. Isto se deve a erros de arrendondamento, mas 9.9999872 é praticamente
10. Poderiamos ter editado a tabela de modo que aparecesse 10 em lugar de 9.9999872
mas aı́, você, leitor, estaria sendo enganado.
Quer dizer que (tab. 6.16), página 234 é uma tabela de logaritmos ”quase decimais”... Use o programa log tabela.py para construir sua tabela de logaritmos com
precisão arbitrária, (escolhida por você), e com alcance que você mesmo irá determinar, seria certamente um bom artigo para feiras de artesanato, talvez ninguém queira
comprar, mas irá, certamente, chamar atenção.
6.13.5
A base de um logaritmo
Por diversas vezes fizemos referência ao fato de que ao encontramos, (se encontrarmos),
a linha:
x
a
log x
1.0
então diremos que se trata da tabela do logaritmo na base a.
A tabela (tab.6.16 ), página 234, é uma tabela de logaritmos decimais, ou logaritmos de base 10.
Observação 35 Precisão nas tabelas de logaritmo
Observe o artigo indefinido na frase anterior e em geral quando falamos
de uma tabela de logaritmos.
Basta escolher outro valor para n e teremos outra tabela de logaritmos
decimais.
Este outra tabela é uma expressão perigosa. Haveria então muitos
logaritmos decimais?
A reposta é “não”. O que pode haver é diversas tabelas com maior ou
menor precisão.
O valor de n é que determina quanto a tabela é fina. Com um maior
valor de n, teremos mais dados na tabela que será então mais perfeita.
Dizemos que a granularidade da tabela é menor.
Observe ainda que isto não quer dizer que haja vários logaritmos decimais. Apenas quer dizer que podemos fazer tabelas mais precisas diminuindo a granularidade das mesmas,
(ou equivalentemente, aumen√
n
tando o ı́ndice da raiz calculada r = 10).
Os logaritmos de base a são designados por y = loga (x) que se lê:
“y é o logaritmo base a de x.”
Na tabela de logaritmos base a poderemos encontrar (se ela for suficientemente
fina...)
x
a
a2
a3
an
logx
1.0
2.0
3.0
...
n
que justifica a denominação de “base a” para estes logaritmos. Já vimos que na tabela
de logaritmos decimais temos
x
10
100
1000
10n
logx
1.0
2.0
3.0
......
n
Estamos em condições agora de descrever várias propriedades dos logaritmos. Vamos nos fixar nos logaritmos decimais, por enquanto, depois veremos que é fácil transferir as propriedades para qualquer outro logaritmo.
Relembrando, um logaritmo é uma função que associa os termos de uma progressão
geométrica:
1
, . . . , 1, . . . , 10, . . . , 100, . . .
10
com os termos de uma progressão aritmética
−1, . . . , 0, . . . , 1, . . . , 2, . . .
e agora no caso dos logaritmos decimais uma propriedade particular permite que que
fiquemos apenas com um pedação desta associação:
1, . . . , 10
com os termos de uma progressão aritmética
0, . . . , 1
porque o restante podemos deduzir, (e perder precisão...), acrescentando uma unidade
åparte inteira do logaritmo.
A coluna da progressão geomé trica é obtida multiplicativamente, o “primeiro
termo” é 1. Mas também podemos “andar” para traz indefinidamente, dividindo.
. . . 0.01, . . . , 0.1 . . . 1.
Dividindo podemos obter núagu meros cada vez menores, nos aproximar indefinidamente de zero, mas nunca obter números negativos.
Mas quando estivermos abaixo de 1, na progressão geométrica, isto vai corresponder a números negativos na coluna da progressão aritmética:
. . . − 2, . . . , −1, . . . , 1
Vemos assim que o domı́nio se constitue de qualquer número positivo: R+ enquanto
que o conjunto de valores pode ser qualquer número real, positivo ou negativo: R. Quer
dizer que
log10 : R+ −→ R
é o formato da definição do log10 .
Teorema 68 Domı́nio e contra-domı́nio do Logaritmo decimal
O domı́nio da função logaritmo decimal é o conjunto dos números reais positivos
e o contra-domı́nio é o conjunto dos números reais.
6.14
Gráfico de uma função logaritmica
Na figura (fig. 6.16)
e = 2.71828182845904523536 . . . ; e ∈
/Q
6.15
Função inversa de uma função logaritmica
Vamos analisar se existe uma inversa de log10 . Os argumentos que estamos usando
nos indicam que sim. Observe que a seguinte relação é falsa:
a 6= b e log(a) = log(b)
porque elementos diferentes na progressões geometrica correspondem a elementos diferentes na progressão aritmética. Nõa importa a granularidade escolhida.
Isto nos permite afirmar que podemos inverter a seta na definição de função.
Vejamos que função vamos ter ao invertermos a seta: Agora no conjunto de valores temos as potê ncias de 10, as potências inteiras e aquelas intermediárias que a
granularidade de nossa tabela permitir. Consulte a tabela (tab. 6.16), página 234 ,
na segunda folha, onde está, no começo 9.9999872 ≈ 10 é o 10, sem preconceitos.
Então você tem:
1 7→ 10 ≡ 101 = 10
na próxima célula da tabela você tem:
1.00625 7→ 10.144939 ≡ 101.00625 = 10.144939
quer dizer que a inversa da função logaritmo decimal é função exponencial de base 10.
Teorema 69 Inversa de log10
A inversa da função log10 é a função exponencial de base 10.
Você vê assim a razão da denominação de base para caracterizar os logaritmos.
A função x 7→ log10 (x) é a função inversa de x 7→ 10x .
A função x 7→ log2 (x) é a função inversa de x 7→ 2x .
Quer dizer, se você quiser calcular
√
10 2
√
você deve procurar na tabela de logaritmos um número próximo de 2 na coluna do
log, quer dizer, na coluna dos expoentes, e depois olhar para o outro lado. Na tabela
que temos você pode encontrar 1.4125 ≈ logo
10
√
2
≈ 25.852301.
Como, para qualquer número positivo,
a0 = 1
então,
loga (1) = 0.
Teorema 70 Ponto fixo da famı́lia dos logaritmos O gráfico de qualquer logaritmo
passa no ponto (1, 0).
Foi por esta razão que começamos sincronizando as tabelas de progressões aritmé
ticas e geométricas usando o zero, no lado da progressão aritmé tica (logaritmo) e 1
no lado da progressão geométrica.
log10 (2x ) = xlog10 (2)
6.15.1
Troca de base do logaritmo
Prometemos que iriamos mostrar como poderiamos explicar qualquer logaritmo a partir do log10 .
Vamos ver uma forma simples de trocar a “base” do logaritmo. Para isto vamos
considerar a tabela do log10 . Nela escolha um número qualquer a na coluna do x, da
progressão geométrica. Experimente agora e escolha a.
Do outro lado você tem log10 (a). Existe um número K pelo qual podemos multiplicar a coluna da progressão aritmética (essas coisas a gente faz com um computador,
não é a mão...) de modo que
Klog10 (a) = 1.
Tudo que temos que fazer é resolver a equação acima:
K=
1
log10 (a)
e como os termos da progressão aritmética representam log10 (x) o que temos agora é:
Klog10 (x) =
log10 (x)
.
log10 (a)
Em particular, ao lado de a aparece do outro lado, na coluna da progressão
1
, aparece
aritmética multiplicada por K = log10
(a)
log10 (a)
= 1.
log10 (a)
x
a
Klog10 x
1.0
logo, como já definimos isto antes, esta nova tabela é a tabela do loga (x).
10 (x)
Quer dizer que multiplicamos: Klog10 (x) = log
para obtermos loga (x). Isto
log10 (a)
nos dá a fórmula:
Teorema 71 Troca de base
loga (x) =
log10 (x)
.
log10 (a)
Exercı́cios 31 Propriedades dos logaritmos
1. variação dos logaritmos
2. Fa
3.
6.16
Função exponencial
De tudo que já discutimos sobre logaritmos e exponenciais ficou certamente
zanzando uma idéa que precisa ser corrigida. Existe uma multidão de logaritmos (e consequentemente de exponenciais) e estas funções nada tem o que
ver umas com as outras.
Alguma coisa está errado! Tem muita função logaritmo, mas todas tem o que
ver umas com as outras e a cada função logaritmo corresponde uma função
exponencial.
A primeira coisa que vamos corrigir é história de logaritmo anô nimo.
Não existem logaritmos anônimos, todo logaritmo tem uma base, o que pode ocorrer é que a base não represente nada para nós. Seja um número sem personalidade,
pelo menos aparentemente.
Quando a base é um número inteiro, chama a atenção.
Dependendo da escolha da razão d para a progressão aritmética, o número 1 pode
não pertencer a imagem, mas pode haver um número arbitrariamente próximo da
imagem para uma tabela mais fina do mesmo logaritmo e é isto que conta.
As progressões aritméticas são sempre crescentes ou decrescentes, a não ser que a
razão seja nula e estas não nos servem. As progressões geométricas são:
• crescentes se o primeiro termo for positivo e a razão maior do que 1;
• descrescentes se o primeiro termo for positivo e a razão menor do que 1.
Hipótese 3 Progressões crescentes
Por enquanto, para simplificar a teoria, vamos trabalhar exclusivamente com progressões aritmé ticas e geométricas crescentes, depois veremos de maneira simples
como se podem descrever todos os casos a partir destes.
Então, por hipótese, r > 1.
Uma consequência desta hipótese é que os logaritmos são funções crescentes, porque
a imagem cresce junto com os elementos do domı́ nio. E o domı́nio é crescente por que
assumimos a hipótese de a razão da progressão geométrica é maior do que 1, logo a
base é maior do que 1. Vamos resumir este resultado no teorema:
Teorema 72 Logaritmos crescentes
Se a base a for maior do que 1 então loga (x) é uma função crescente.
Com a hipótese (hip. 3), podemos sintetizar o que temos no seguinte quadro:
• Todos os logaritmos passam no ponto (1, 0);
• y = loga (x) passa no ponto (a, 1);
• y = logb (x) passa no ponto (b, 1);
Como, por hipótese, (hip. 3), então, para todo x 6= 1 ⇒ log(x) 6= 0 para
qualquer que seja a base. Isto nos permite escrever, considerando duas bases quaisquer:
logb (x) = Kloga (x)
Se dermos um valor qualquer para x vemos que K é uma constante:
K=
logb (b)
1
=
.
loga (b)
loga (b)
Quer dizer que, qualquer que seja o logaritmo, ele pode ser escrito como um
múltiplo de outro. Por exemplo, todo logaritmo é múltiplo do logaritmo decimal:
Teorema 73 Unicidade do logaritmo
Dado uma base b > 1 qualquer,
logb (x) =
loga (x)
loga (b)
(6.345)
10 (x)
.
em particular, logb (x) = log
log10 (b)
Esta fórmula já nos permite uma generalização das restrições pela hipótese (hip.
3). Podemos falar agora de base menor do que 1, (ainda sempre positiva).
Se 0 < b < 1 então
logb (x) =
log10 (x)
log10 (b)
e temos no segundo membro o logaritmo log10 (b) em que b < 1.
Quanto vale loga (b) se b < 1 ?
Até agora sempre insistimos nas construções de logaritmos com progressões aritméticas
se originando com o número 0. Mas nada nos impede em continuar a tabela de logaritmos para trás do zero continuando com a outra coluna para aquém de 1:
• na coluna do log vamos subtraindo indefinidamente razão positiva d, obtendo
agora números negativos;
• na coluna do x vamos dividindo indefinidamente pela razão r > 1 obtendo
números positivos cada vez menores.
Isto nos mostra que o domı́nio da função log é o conjunto de todos os números
positivos e a imagem é o conjunto de todos os números reais. Se a base a for maior
do que 1 como até agora estamos mantendo, ver hipótese (hip. 3), então
b < a ⇒ loga (b) < 0.
Nós temos um simbolismo para caracterizar isto:
a > 1 − ∞ < loga (x) < ∞.
Dissemos um “simbolismo” porque ∞ não é um número, e o que está escrito
acima apenas diz que loga (x) descresce indefinidamente, quando x decrescer para 0 e
cresce indefinidamente, quando x crescer indefinidamente. Esquematicamente temos
a variação do logaritmo, quando a base a for maior do que 1:
x
loga (x)
0
−∞
Variação do logaritmo; base a maior do que 1
1
0
∞
∞
Retomando a fórmula (eq. 6.345), página 230, temos:
b < 1 ⇒ logb (x) =
log10 (x)
log10 (b)
e como b < 1 ⇒ log10 (b) < 0 então logb (x), log10 (x) têm sinais diferentes, onde um
for positivo, o outro será negativo. Isto produz a seguinte tabela de variação para os
logaritmos quando a base for menor do que 1:
x
loga (x)
0
∞
Variação do logaritmo; base a menor do que 1
1
0
∞
−∞
Isto nos permitiria fazer um esboço gráfico da curva do logaritmo (vamos fazer
diversos esboços gráficos cada vez melhores, a medida que as informações forem ficando
mais precisas):
A figura (fig. 6.17), página 242 representa algumas idéias que já discutimos:
Justificativas para o desenho:
• A imagem do logaritmo é uma progressão aritmética, cresce portanto, mas no
domı́nio está uma progressão geométrica, de base maior do que 1, que cresce
muito mais rápido, logo a curva cresce cada vez menos do que uma reta.
• No intervalo (0, 1) a progressão aritmética descresce indefinidamente e o domı́nio
é o intervalo (0, 1) logo o gráfico tem que se aproximar do eixo OY assintoticamente.
Podemos melhorar o gráfico indicando alguns pontos conhecidos. Vamos para isto
fazer o gráfico de y = log2 (x).
Sabemos y = log2 (x) assume valores inteiros nas potência inteiras de 2:
1
( , −1), (1, 0), (2, 1), (4, 2), (8, 3), . . .
2
A figura (fig. 6.18), página 243 com os pontos acima marcados em destaque.
Conhecemos os valores de y = log2 (x) em todas as potências inteiras de dois. Nestes
pontos o valor é um inteiro.
Como qualquer outro logaritmo é um múltiplo de y = log2 (x), toda curva logarı́tmica vai ser semelhante a esta, do log2 .
x
1
1.0000123
1.0000246
1.0000370
1.0000493
1.0000617
1.0000740
1.0000864
1.0000987
1.0001111
1.0001234
1.0001358
1.0001481
1.0001604
1.0001728
1.0001851
1.0001975
1.0002098
1.0002222
1.0002345
1.0002469
1.0002592
1.0002716
1.0002839
1.0002963
1.0003086
1.0003210
1.0003333
1.0003457
1.0003580
1.0003704
1.0003827
1.0003951
1.0004074
1.0004198
1.0004321
1.0004445
1.0004568
1.0004692
1.0004815
log x
0
1e-05
2e-05
3e-05
4e-05
5e-05
6e-05
7e-05
8e-05
9e-05
0.0001
0.00011
0.00012
0.00013
0.00014
0.00015
0.00016
0.00017
0.00018
0.00019
0.0002
0.00021
0.00022
0.00023
0.00024
0.00025
0.00026
0.00027
0.00028
0.00029
0.0003
0.00031
0.00032
0.00033
0.00034
0.00035
0.00036
0.00037
0.00038
0.00039
x
1.0004939
1.0005062
1.0005186
1.0005309
1.0005433
1.0005556
1.0005680
1.0005803
1.0005927
1.0006050
1.0006174
1.0006297
1.0006421
1.0006544
1.0006668
1.0006792
1.0006915
1.0007039
1.0007162
1.0007286
1.0007409
1.0007533
1.0007656
1.0007780
1.0007903
1.0008027
1.0008150
1.0008274
1.0008398
1.0008521
1.0008645
1.0008768
1.0008892
1.0009015
1.0009139
1.0009262
1.0009386
1.0009510
1.0009633
1.0009757
log x
0.00041
0.00042
0.00043
0.00044
0.00045
0.00046
0.00047
0.00048
0.00049
0.0005
0.00051
0.00052
0.00053
0.00054
0.00055
0.00056
0.00057
0.00058
0.00059
0.0006
0.00061
0.00062
0.00063
0.00064
0.00065
0.00066
0.00067
0.00068
0.00069
0.0007
0.00071
0.00072
0.00073
0.00074
0.00075
0.00076
0.00077
0.00078
0.00079
0.0008
x
1.0009880
1.0010004
1.0010127
1.0010251
1.0010375
1.0010498
1.0010622
1.0010745
1.0010869
1.0010993
1.0011116
1.0011240
1.0011363
1.0011487
1.0011610
1.0011734
1.0011858
1.0011981
1.0012105
1.0012228
1.0012352
1.0012476
1.0012599
1.0012723
1.0012846
1.0012970
1.0013094
1.0013217
1.0013341
1.0013465
1.0013588
1.0013712
1.0013835
1.0013959
1.0014083
1.0014206
1.0014330
1.0014453
1.0014577
1.0014701
log x
0.00081
0.00082
0.00083
0.00084
0.00085
0.00086
0.00087
0.00088
0.00089
0.0009
0.00091
0.00092
0.00093
0.00094
0.00095
0.00096
0.00097
0.00098
0.00099
0.001
0.00101
0.00102
0.00103
0.00104
0.00105
0.00106
0.00107
0.00108
0.00109
0.0011
0.00111
0.00112
0.00113
0.00114
0.00115
0.00116
0.00117
0.00118
0.00119
0.0012
Tabela 6.1: Logaritmos anônimos
x
1.0014824
1.0014948
1.0015072
1.0015195
1.0015319
1.0015443
1.0015566
1.0015690
1.0015813
1.0015937
1.0016061
1.0016184
1.0016308
1.0016432
1.0016555
1.0016679
1.0016803
1.0016926
1.0017050
1.0017174
1.0017297
1.0017421
1.0017545
1.0017668
1.0017792
1.0017916
1.0018039
1.0018163
1.0018287
1.0018410
1.0018534
1.0018658
1.0018781
1.0018905
1.0019029
1.0019152
1.0019276
1.0019400
1.0019524
1.0019647
log x
0.00121
0.00122
0.00123
0.00124
0.00125
0.00126
0.00127
0.00128
0.00129
0.0013
0.00131
0.00132
0.00133
0.00134
0.00135
0.00136
0.00137
0.00138
0.00139
0.0014
0.00141
0.00142
0.00143
0.00144
0.00145
0.00146
0.00147
0.00148
0.00149
0.0015
0.00151
0.00152
0.00153
0.00154
0.00155
0.00156
0.00157
0.00158
0.00159
0.0016
x
1.0005062
1.0005186
1.0005309
1.0005433
1.0005556
1.0005680
1.0005803
1.0005927
1.0006050
1.0006174
1.0006297
1.0006421
1.0006544
1.0006668
1.0006792
1.0006915
1.0007039
1.0007162
1.0007286
1.0007409
1.0007533
1.0007656
1.0007780
1.0007903
1.0008027
1.0008150
1.0008274
1.0008398
1.0008521
1.0008645
1.0008768
1.0008892
1.0009015
1.0009139
1.0009262
1.0009386
1.0009510
1.0009633
1.0009757
1.0009880
log x
0.00041
0.00042
0.00043
0.00044
0.00045
0.00046
0.00047
0.00048
0.00049
0.0005
0.00051
0.00052
0.00053
0.00054
0.00055
0.00056
0.00057
0.00058
0.00059
0.0006
0.00061
0.00062
0.00063
0.00064
0.00065
0.00066
0.00067
0.00068
0.00069
0.0007
0.00071
0.00072
0.00073
0.00074
0.00075
0.00076
0.00077
0.00078
0.00079
0.0008
x
1.0010004
1.0010127
1.0010251
1.0010375
1.0010498
1.0010622
1.0010745
1.0010869
1.0010993
1.0011116
1.0011240
1.0011363
1.0011487
1.0011610
1.0011734
1.0011858
1.0011981
1.0012105
1.0012228
1.0012352
1.0012476
1.0012599
1.0012723
1.0012846
1.0012970
1.0013094
1.0013217
1.0013341
1.0013465
1.0013588
1.0013712
1.0013835
1.0013959
1.0014083
1.0014206
1.0014330
1.0014453
1.0014577
1.0014701
1.0014824
log x
0.00082
0.00083
0.00084
0.00085
0.00086
0.00087
0.00088
0.00089
0.0009
0.00091
0.00092
0.00093
0.00094
0.00095
0.00096
0.00097
0.00098
0.00099
0.001
0.00101
0.00102
0.00103
0.00104
0.00105
0.00106
0.00107
0.00108
0.00109
0.0011
0.00111
0.00112
0.00113
0.00114
0.00115
0.00116
0.00117
0.00118
0.00119
0.0012
0.00121
x
1.0014948
1.0015072
1.0015195
1.0015319
1.0015443
1.0015566
1.0015690
1.0015813
1.0015937
1.0016061
1.0016184
1.0016308
1.0016432
1.0016555
1.0016679
1.0016803
1.0016926
1.0017050
1.0017174
1.0017297
1.0017421
1.0017545
1.0017668
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Tabela 6.2: Logaritmos anônimos - continuação
log x
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log x
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0.7375
0.74375
Tabela 6.3: Logaritmos decimais
x
5.6234078
5.7049203
5.7876142
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log x
1.0
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log x
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1.325
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x
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1.74375
x
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97.162549
98.570940
Tabela 6.4: Logaritmos decimais - continuação
log x
1.75
1.75625
1.7625
1.76875
1.775
1.78125
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1.85
1.85625
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1.875
1.88125
1.8875
1.89375
1.9
1.90625
1.9125
1.91875
1.925
1.93125
1.9375
1.94375
1.95
1.95625
1.9625
1.96875
1.975
1.98125
1.9875
1.99375
Tabela 6.5: Tabela de logaritmos falsos
x
1
1.0065735
1.0131902
1.0198504
1.0265544
1.0333025
1.0400949
1.0469320
1.0538140
1.0607413
1.0677140
1.0747327
1.0817974
1.0889087
1.0960666
1.1032716
1.1105240
1.1178240
1.1251721
1.1325684
1.1400133
1.1475072
1.1550504
1.1626431
1.1702858
1.1779787
1.1857221
1.1935165
1.2013621
1.2092592
1.2172083
1.2252097
1.2332636
1.2413705
1.2495306
1.2577444
1.2660122
1.2743344
1.2827112
1.2911431
log x
0.1
0.103125
0.10625
0.109375
0.1125
0.115625
0.11875
0.121875
0.125
0.128125
0.13125
0.134375
0.1375
0.140625
0.14375
0.146875
0.15
0.153125
0.15625
0.159375
0.1625
0.165625
0.16875
0.171875
0.175
0.178125
0.18125
0.184375
0.1875
0.190625
0.19375
0.196875
0.2
0.203125
0.20625
0.209375
0.2125
0.215625
0.21875
0.221875
x
1.2996305
1.3081736
1.3167729
1.3254287
1.3341415
1.3429115
1.3517391
1.3606248
1.3695689
1.3785717
1.3876338
1.3967554
1.4059370
1.4151790
1.4244817
1.4338455
1.4432709
1.4527583
1.4623080
1.4719205
1.4815962
1.4913355
1.5011388
1.5110065
1.5209392
1.5309371
1.5410007
1.5511305
1.5613269
1.5715903
1.5819211
1.5923199
1.6027870
1.6133230
1.6239282
1.6346031
1.6453482
1.6561639
1.6670507
1.6780091
log x
0.225
0.228125
0.23125
0.234375
0.2375
0.240625
0.24375
0.246875
0.25
0.253125
0.25625
0.259375
0.2625
0.265625
0.26875
0.271875
0.275
0.278125
0.28125
0.284375
0.2875
0.290625
0.29375
0.296875
0.3
0.303125
0.30625
0.309375
0.3125
0.315625
0.31875
0.321875
0.325
0.328125
0.33125
0.334375
0.3375
0.340625
0.34375
0.346875
x
1.6890395
1.7001424
1.7113183
1.7225677
1.7338910
1.7452888
1.7567615
1.7683095
1.7799336
1.7916340
1.8034113
1.8152660
1.8271987
1.8392098
1.8512999
1.8634694
1.8757190
1.8880490
1.9004602
1.9129528
1.9255277
1.9381851
1.9509258
1.9637503
1.9766590
1.9896526
2.0027316
2.0158966
2.0291481
2.0424867
2.0559130
2.0694276
2.0830310
2.0967238
2.1105067
2.1243801
2.1383448
2.1524012
2.1665500
2.1807919
log x
0.35
0.353125
0.35625
0.359375
0.3625
0.365625
0.36875
0.371875
0.375
0.378125
0.38125
0.384375
0.3875
0.390625
0.39375
0.396875
0.4
0.403125
0.40625
0.409375
0.4125
0.415625
0.41875
0.421875
0.425
0.428125
0.43125
0.434375
0.4375
0.440625
0.44375
0.446875
0.45
0.453125
0.45625
0.459375
0.4625
0.465625
0.46875
0.471875
x
2.1951273
2.2095570
2.2240816
2.2387016
2.2534177
2.2682306
2.2831409
2.2981491
2.3132560
2.3284622
2.3437684
2.3591752
2.3746833
2.3902933
2.4060059
2.4218218
2.4377417
2.4537662
2.4698961
2.4861320
2.5024746
2.5189246
2.5354828
2.5521498
2.5689264
2.5858133
2.6028112
2.6199208
2.6371429
2.6544782
2.6719274
2.6894913
2.7071708
2.7249664
2.7428790
2.7609093
2.7790582
2.7973264
2.8157146
2.8342238
log x
0.475
0.478125
0.48125
0.484375
0.4875
0.490625
0.49375
0.496875
0.5
0.503125
0.50625
0.509375
0.5125
0.515625
0.51875
0.521875
0.525
0.528125
0.53125
0.534375
0.5375
0.540625
0.54375
0.546875
0.55
0.553125
0.55625
0.559375
0.5625
0.565625
0.56875
0.571875
0.575
0.578125
0.58125
0.584375
0.5875
0.590625
0.59375
0.596875
Tabela 6.6: Tabela de logaritmos falsos - continuação
x
2.8528546
2.8716078
2.8904844
2.9094850
2.9286106
2.9478618
2.9672396
2.9867448
3.0063782
3.0261407
3.0460330
3.0660562
3.0862109
3.1064982
3.1269188
3.1474736
3.1681636
3.1889895
3.2099524
3.2310531
3.2522924
3.2736714
3.2951909
3.3168519
3.3386553
3.3606020
3.3826929
3.4049291
3.4273114
3.4498409
3.4725185
3.4953451
3.5183218
3.5414495
3.5647293
3.5881621
3.6117489
3.6354908
3.6593887
3.6834438
log x
0.6
0.603125
0.60625
0.609375
0.6125
0.615625
0.61875
0.621875
0.625
0.628125
0.63125
0.634375
0.6375
0.640625
0.64375
0.646875
0.65
0.653125
0.65625
0.659375
0.6625
0.665625
0.66875
0.671875
0.675
0.678125
0.68125
0.684375
0.6875
0.690625
0.69375
0.696875
0.7
0.703125
0.70625
0.709375
0.7125
0.715625
0.71875
0.721875
x
3.7076569
3.7320293
3.7565618
3.7812556
3.8061117
3.8311313
3.8563152
3.8816648
3.9071810
3.9328649
3.9587176
3.9847403
4.0109340
4.0372999
4.0638392
4.0905529
4.1174422
4.1445082
4.1717522
4.1991753
4.2267786
4.2545634
4.2825308
4.3106821
4.3390184
4.3675410
4.3962511
4.4251499
4.4542386
4.4835186
4.5129911
4.5426573
4.5725185
4.6025760
4.6328311
4.6632851
4.6939392
4.7247949
4.7558534
4.7871161
log x
0.725
0.728125
0.73125
0.734375
0.7375
0.740625
0.74375
0.746875
0.75
0.753125
0.75625
0.759375
0.7625
0.765625
0.76875
0.771875
0.775
0.778125
0.78125
0.784375
0.7875
0.790625
0.79375
0.796875
0.8
0.803125
0.80625
0.809375
0.8125
0.815625
0.81875
0.821875
0.825
0.828125
0.83125
0.834375
0.8375
0.840625
0.84375
0.846875
x
4.8185842
4.8502592
4.8821425
4.9142353
4.9465391
4.9790552
5.0117851
5.0447301
5.0778917
5.1112713
5.1448703
5.1786902
5.2127324
5.2469983
5.2814895
5.3162075
5.3511536
5.3863295
5.4217366
5.4573764
5.4932506
5.5293605
5.5657078
5.6022941
5.6391208
5.6761897
5.7135022
5.7510599
5.7888646
5.8269178
5.8652211
5.9037762
5.9425847
5.9816484
6.0209688
6.0605477
6.1003868
6.1404878
6.1808524
6.2214823
log x
0.85
0.853125
0.85625
0.859375
0.8625
0.865625
0.86875
0.871875
0.875
0.878125
0.88125
0.884375
0.8875
0.890625
0.89375
0.896875
0.9
0.903125
0.90625
0.909375
0.9125
0.915625
0.91875
0.921875
0.925
0.928125
0.93125
0.934375
0.9375
0.940625
0.94375
0.946875
0.95
0.953125
0.95625
0.959375
0.9625
0.965625
0.96875
0.971875
x
6.2623792
6.3035451
6.3449815
6.3866903
6.4286733
6.4709323
6.5134690
6.5562854
6.5993832
6.6427643
6.6864306
6.7303840
6.7746262
6.8191593
6.8639851
6.9091056
6.9545227
7.0002383
7.0462545
7.0925731
7.1391962
7.1861258
7.2333639
7.2809125
7.3287737
7.3769495
7.4254419
7.4742532
7.5233853
7.5728403
7.6226205
7.6727279
7.7231646
7.7739330
7.8250350
7.8764730
7.9282491
7.9803655
8.0328245
8.0856284
log x
0.975
0.978125
0.98125
0.984375
0.9875
0.990625
0.99375
0.996875
1.0
1.003125
1.00625
1.009375
1.0125
1.015625
1.01875
1.021875
1.025
1.028125
1.03125
1.034375
1.0375
1.040625
1.04375
1.046875
1.05
1.053125
1.05625
1.059375
1.0625
1.065625
1.06875
1.071875
1.075
1.078125
1.08125
1.084375
1.0875
1.090625
1.09375
1.096875
y = x*x
100
’data’
80
60
40
20
0
−10
−5
Figura 6.10:
0
5
10
Alguns pontos do gráfico x 7→ x2
y = x*x delta = 0.5
100
’data’
80
60
40
20
0
−10
−5
Figura 6.11:
0
5
10
Um gráfico com mais densidade x 7→ x2
y=x*x − alta densidade
100
’data’
80
60
40
20
0
−10
−5
0
5
10
Figura 6.12:
Gráfico de x 7→ x2 com alta densidade
translação de uma parábola
180
’data’
160
140
120
100
g=f
a
80
60
40
20
0
−10
−5
0
3
5
10
a raíz da
translatada
f
Figura 6.13:
Uma parábola e sua translação
translações da parábola
f
180
’data’
’data2’
’data3’
160
fa
140
f
120
a
−21
100
80
60
40
20
0
−20
−40
−10
−5
0
5
10
Figura 6.14:
duas translações
homotetias da parábola padrão
60
40
’data5’
’data6’
’data7’
’data8’
’data’
’data1’
’data2’
’data3’
’data4’
2x 2
x2
20
0
−x2
−20
2
−2x
−40
−60
−80
−100
−6
−4x2
−4
−2
0
2
4
Figura 6.15:
6
Homotetias da parábola padrão
graficos de funções logaritmo
6
’OXY’
f1(x)
f3(x)
f4(x)
f5(x)
f7(x)
4
2
0
−2
−4
−6
−5
0
5
10
15
Figura 6.16:
y = log (x)
b
20
logaritmos base a; a ∈ { 51 , 12 , 2, e, 10}
; b > 1
1
Figura 6.17:
Primeira versão do gráfico do logaritmo - base maior do que 1
3
2
1
−1
1
2
4
8
y = log (x)
2
−3
Figura 6.18:
Gráfico do y = log2 (x) com os pontos de coordenadas inteiras salientados.
Capı́tulo 7
Números Complexos
No esforço para resolver equações que nos tempos modernos se pode dizer
que começa com Cardano, século 16, os matemáticos criaram aos poucos uma
entidade estranha, chamada número imaginário, que apareceu como solução
da equação do segundo grau.
Com os nú meros imaginários se criaram os “números complexos” outro tipo
estranho que funcionava muito muito bem como se fosse um número...
7.1
Incompletitude algébrica de R
A fórmula para resolver equações do segundo grau produz a solução
√
−b± b2 −4ac
x=
; ∆ = b2 − 4ac,
2a
x=
√
−b± ∆
;
2a
(7.1)
(7.2)
(7.3)
Se ∆ for negativo a equação não tem soluções reais. Aos poucos os matemáticos
foram experimentando a idéia de aceitar um √
significado para
√
∆ ; ∆ < 0 começando com uma pequena experiênicia, i = −1 estendendo
a regra estrita sobre raizes:
√ √
√
xy = x y ; x, y ≥ 0
que valia apenas quando x, y ≥ 0. Com esta estensão se poderia calcular
√ √
√
−4 = −1 4 = i · 2
e enfim, qualquer raiz de número real, positivo ou negativo, poderia agora ser
calculada.
Em particular, as equações do segundo grau passam a ter sempre solução apesar de
que, cuidadosamente, se acrescente a observação, “raizes imaginárias” quando ∆ < 0.
Por exemplo,
4x2 − 12x + 25 = 0 ⇒ ∆ = −256
12+16i
; x′′ = 12−16i
8
8
′′
′
3
3
x = 2 + 2i; x = 2 − 2i
x′ =
249
em que vemos aparecer um “número” do tipo
z = a + bi,
formado por um par de números reais separados pela unidade imaginária i .
Definição 53 Parte real e parte imaginária
Dado um número complexo u = a + bi = (a, b) designamos
• parte imaginária Im(u) = b ∈ R
• parte real Re(u) = a ∈ R
Observe que Re, Im são duas funções definidas em C e tomando valores em R.
Um “nú mero” desta forma se chama “número complexo” e foram precisos vários
séculos para que eles fossem admitidos como um número comum, sem complexos.
7.1.1
Algebra dos números complexos
Repetindo o que fizeram os nossos antepassados, os números complexos foram inicialmente tratados como uma expressão algébrica em que i era considerado como uma
“variável” mas obedecendo a regra
√
−1 = i ⇐⇒ i2 = −1.
(7.4)
Assim, u = 2 + 3i, v = 5 − 2i são somados segundo as regras da álgebra:
• “quem tem “i” é somado com quem tem “i”
• e os que não tiverem “i” são somados entre si”:
u + v = (2 + 3i) + (5 − 2i) = (2 + 5) + (3 − 2)i = 7 + i
e de maneira semelhante, usando as regras da álgebra, se procede com a multiplicação:
(2 + 3i)(5 − 2i)
2
5
10
10
16
+3i
−2i
15i
−4i
+11i
+11i
−6i2
−6(−1)
(7.5)
(7.6)
Usando estas regras da álgebra podemos escrever uma definição formal para a
adição e para a multiplicação de números complexos:
Definição 54 Adição de números complexos
Dados dois números complexos
u = a + bi ≡ (a, b)
(7.7)
v = c + di ≡ (c, d)
(7.8)
u + v = (a + c, b + d)
(7.9)
≡ u + v = (a + c) + (b + d)i
(7.10)
somam-se os termos semelhantes, a soma se faz “coordenada por coordenada”: somamse as partes reais e as partes imnaginárias entre si. Portanto
Re(u + v) = Re(u) + Re(v) ; Im(u + v) = Im(u) + Im(v)
De agora em diante vamos usar de forma mais intensa a equivalência entre as duas
formas de escrever um número complexo:
expressão algébrica C ∋ v = c + di ≡ (c, d) ∈ R2 entidade geométrica.
(7.11)
Observe que a última parte na expressão acima, (c, d) ∈ R2 , é uma representação
geométrica para os números complexos, uma vez que estamos dizendo que existe um
ponto do plano,
(c, d) ∈ R2
(7.12)
que é “equivalente” ao número complexo
c + di ∈ C.
(7.13)
Aliás, quando foi descoberta a representação geométrica para os números complexos, um salto qualitativo foi dado. Como eles tinham uma representação geométrica,
não podiam ser tão estranhos como no começo pareciam. Observe a figura (fig. 7.1),
nela há alguns números complexos representados no plano.
i
.6
+3
−3
2i
3+
3+i
3+0i
−3+0i
2i
−1
−
3i
3−
Figura 7.1:
Representação geométrica dos complexos
a
+
bi
c
+
di
(ac − bd) + (a
Figura 7.2:
Produto de números complexos
Definição 55 Produto de números complexos
Dados dois números complexos u = a + bi, v = c + di o produto deles é:
uv = (ab − bd) + (ad + bc)i
7.1.2
A representação geométrica dos complexos
Falamos acima na equivalência
C ∋ v = c + di ≡ (c, d) ∈ R2 ,
(7.14)
o par (c, d) era um ponto do plano e assim estavamos representando um número complexo com uma entidade geométrica, um ponto.
Os nú meros complexos trouxeram, para o reino dos números, os conceitos da
geometria: ângulo, módulo, direção e sentido, e a Fı́sica, desde cedo, lançou mão
deles, com muito sucesso, por exemplo, na eletricidade.
A figura (fig. 7.3) descreve vários dos aspectos geométricos dos números complexos.
A próxima lista é um laboratório que deve preparar a sua intuição para as construções que faremos depois.
Exercı́cios 32 O plano complexo.
1. Encontre as soluções da equação: x2 − 3x + 1 = 0.
2. Encontre as soluções da equação: x2 + 1 = 0.
3. Verifique, experimentando na equação, que os números i, −i são soluções da
equação x2 + 1 = 0.
4. Teste as soluções que você tiver encontrado para
x2 − 3x + 1 = 0
substituindo na equação.
5. Some algebricamente e represente geometricamente: u+v;
a) u = 3 + 2i; v = 2 + 3i
b) u = 3 − 2i; v = 3 + 2i
c) u = 3 + 2i; v = −3 − 2i d) u = 3 − 2i; v = 2i − 3
e) u = 2i − 3; v = 3 − 2i
f ) u = 2 − 3i; v = 3i − 2
6. Efeitos da multiplicação
|z|=|w|=3
arg(z)=α
z
β
α
3
w
arg(w)=
β
w+z = 0
Figura 7.3:
(a) Multiplique 3 + 2i pelos inteiros 2,3,5,10. Represente geometricamente os
resultados.
(b) Multiplique 3 + 2i por 2i, 3i, 5i,10i. Represente geometricamente os resultados. Elabore uma teoria a partir da semelhança dos resultados obtidos.
7. Verifique que o número complexo 1 + 0i é o elemento neutro da multiplicação.
8. Calcule o inverso multiplicativo, x + iy, de 3 + 2i e represente ambos geometricamente.
9. Calcule o inverso multiplicativo, x + iy, de a + bi
Resposta
a
x = a2 +b
2
−b
y = a2 +b2
(7.15)
10. Multiplique 3 + 2i por 3 + 2i e represente geometricamente o resultado.
11. Multiplique 3 + 2i por 3 − 2i e represente geometricamente o resultado.
12. Módulo de um número complexo
Uma das razões que tornam os números complexos um tipo de número a “estranho”,
é o seu envolvimento com a geometria. Como um nú mero real, os números complexos tem módulo, mas neste caso o método de cálculo se deduz direto do Teorema de
Pitágoras.
Definição 56 Módulo do número complexo a + bi.
√
||(a + bi)|| = a2 + b2
(a) Calcule o módulo de u
u = 3 + 2i , 2 + 3i,
3 − 2i,
(b) Calcule o módulo de u1 quando
u = 3 + 2i, 2 + 3i, 3 − 2i,
2 − 3i,
2 − 3i,
0.3 + 0.2i,
0.3 + 0.2i,
1+2i
4
1+2i
4
(c) Verfique, em cada caso, nos itens anteriores, que vale a relação
1
1
| |=
u
|u|
(d) Verifique também, em cada caso acima, que se |u| < 1 então | u1 | > 1.
(e) Verifique que podemos substituir ”então”por ”se e somente se”no item anterior.
13. distância Observe que nos reais, |a − b| é a distância, d(a, b), entre os dois
números a, b. Da mesma forma, entre dois números complexos u, v a distância
entre eles vem do Teorema de Pitágoras e é o módulo da diferença |u − v|. Faça
alguns exercı́cios para adquirir intuição:
(a) Encontre o lugar geométrico dos números complexos u tal que
|u| = 1.
(b) Encontre o lugar geométrico dos números complexos u tal que
|u| = 2.
(c) Encontre o lugar geométrico dos números complexos u tal que
|u − 3| = 1.
(d) Encontre o lugar geométrico dos números complexos u tal que
|u − 3| = 2.
(e) Encontre o lugar geométrico dos números complexos u tal que
|u − (2 + 3i)| = 1.
(f ) Encontre o lugar geométrico dos números complexos u tal que
|u − (2 + 3i)| = 2.
14. a solução do exercı́cio anterior Pontos equidistantes de um ponto dado se encontram sobre um cı́rculo. Em todos os casos, o lugar geométrico eram cı́rculos.
Traduza as questões anteriores com a linguagem da equação de cı́rculos, no plano
R2 .
15. Potências de i
(a) Calcule as 10 primeiras potências de i e encontre uma lei formação que
estas potências obedecem.
(b) Escolha abaixo qual é o resultado impossı́vel para a soma
in − im ; n, m ∈ N
2
-2
0
i
2i
-2i
16. Relações de Girard, caso complexo Mostre que as relações de Girard, também
são válidas para raı́zes complexas isto é, quando ∆ < 0.
Para a equação x2 + bx + c = 0, a = 1, temos
(a) S = x1 + x2 = − ab = −b
(b) P = x1 · x2 =
c
a
=c
Assim, a equação x2 + bx + c = 0, pode ser escrita da seguinte forma:
x2 − Sx + P = 0.
17. Encontre uma equação do segundo grau cujas raı́zes somem 6 e o produto seja
13.
7.2
Números complexos: extensão dos reais
Um número complexo é um par de números reais, portanto coı̈ncide, com o
conjunto, com o R2 :
C ≡ R2 .
A diferença é que existe em C uma multiplicação que estende a multiplicação
dos números reais
Usaremos as duas notações para um número complexo
(a, b) ≡ a + bi
sem mais nos preocuparmos com observações a respeito.
A figura (fig. 7.4) página 252, combina vários fatos geométricos e algébricos dos
números complexos. Vamos fazer aqui um resumo deles:
2
2
+
b
(a,b)
z
a
α
w
β
w
z+
d)
(c,
(r,0)
z+w=(a+c,b+d)
arg(w) = β
Figura 7.4:
Propriedades dos números complexos
Dado um número complexo z = (a, b) diremos
• parte real a é a parte real de z;
a = Re(z)
• parte imaginária b é a parte imaginária de z ;
b = Im(z)
• módulo O número complexo z = (a, b) determina com a origem (0, 0) um segmento
do plano que usamos para visualizar o número complexo z. O comprimento deste
segmento é
p
|z| = a2 + b2
o módulo de z.
• argumento de um número complexo é ângulo que ele determina com o conjunto dos
números reais. Se um número complexo for real, o seu argumento pode ser zero ou
π.
Na figura (fig. 7.4) o argumento de w é β e o argumento de z + w é α.
arg(w) = β ; arg(z + w) = α
• Os números reais
1. O conjunto dos números reais positivos é o subconjunto de C formado pelos
números complexos cuja parte imaginária é zero, e argumento zero,
R = {(x, y) ; y = 0} = {(x, 0) ; x ∈ R ; arg(x) = 0}
é o semi-eixo positivo OX +
2. O conjunto dos números reais negativos é o subconjunto de C formado pelos
números complexos cuja parte imaginária é zero e o argumento é π:
R = {(x, y) ; y = 0} = {(x, 0) ; x ∈ R ; arg(x) = π}
é o semi-eixo positivo OX −
Teorema 74 Extensão da multiplicação dos reais
A multiplicação de números complexos é uma extensão da multiplicação de números
reais.
Dem :
Dados dois números complexos
z = (a1 , b1 ) = a1 + b1 i, w = (a2 , b2 ) = a2 + b2 i
temos
zw = (a1 , b1 )(a2 , b2 ) =
(7.16)
(a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ) =
(7.17)
a1 a2 − b1 b2 + (a1 b2 + a2 b1 )i
(7.18)
Considere agora dois número reais: r1 , r2 . Eles determinam os dois números complexos
z = (r1 , 0), w = (r2 , 0).
Se os multiplicarmos vamos ter
z, w ∈ R
(7.19)
zw = (r1 , 0)(r2 , 0) =
(7.20)
(r1 r2 − 0, 0) =
(7.21)
r1 r2 + 0i = r1 r2 = zw ∈ R
(7.22)
(7.23)
Como ℑ(r1 r2 , 0) = 0 podemos dizer, com certo abuso de linguagem, que (r1 r2 , 0) ∈ R
Consequentemente o produto de dois números complexos que sejam reais resulta no produto dos números reais que eles representam. Assim dizemos que a multiplicação de números
complexos é uma extenção da multiplicação dos números reais.
q.e.d .
Como C ≡ R2 então o conjunto dos números complexos é um grupo abeliano com
a adição de pares ordenados que já conhecemos.
Vamos agora resolver o exercı́cio (ex. , 8), página 249. Adotaremos uma expressão
mais geral: calcular o inverso de (a, b).
Por definição, o número complexo (x, y) será o inverso multiplicativo de (a, b), se,
e somente se, o produto dos dois for o elemento neutro da multiplicação (1, 0) = 1 + 0i.
Vamos forçar esta igualdade para determinar (x, y) :
≡
(x, y)(a, b) = (ax − by, ay + bx) = (1, 0) ≡
2
ax − by = 1
abx − b2 y = b
a x − aby =
≡
≡
2
bx + ay = 0
abx + a y = 0
b2 x + aby =
(a2 + b2 )y = −b ; (a2 + b2 )x = a ⇒
y=
−b
a2 +b2
; x=
a
a2 +b2
(7.24)
a
⇒ (7.25)
0
(7.26)
(7.27)
Se o número complexo (a, b) 6= (0, 0) a solução encontrada é possı́vel o que demontra o teorema:
Teorema 75 Inverso multiplicativo em C
Todo número complexo (a, b) 6= (0, 0) tem um inverso multiplicativo em C que é
da forma
−b
a
1
, 2
)
=( 2
2
(a, b)
a + b a + b2
Podemos simplificar a expressão do inverso se adotarmos uma notação que depois
será muito útil:
Definição 57 Conjugado de um número complexo
Chamamos de conjugado de z = (a, b) ao número complexo z = (a, −b)
Observe na figura (fig. 7.5) o número complexo z, o seu conjugado, o seu inverso
aditivo e sua projeção em S1 .
S 1 é o círculo unitário
α = arg(z)
z
1
S
z/|z|
α
−α
3
1
z*
−z
z* = z
Figura 7.5:
Conjugado de um número complexo
Em alguns textos o conjugado z de z é designado por z ∗ .
Vejamos agora que
1
z
=
1
(a,b)
1
z
1
(a, −b)
a2 +b2
=
=
1
z
a2 +b2
1
= |z|1 2 z
z
=
1
z
=
(7.28)
(7.29)
(7.30)
z
|z|2
(7.31)
e agora, atendendo a promessa de resolver o (ex. , 8) temos o inverso multiplicativo
de 3 + 2i = (3, 2) é
z = (3, 2) 7→ z = (3, −2)
z = (3, 2) 7→ |z|2 = 32 + 22 = 13
z = (3, 2) 7→
1
z
=
1
(3, −2)
13
=
3 −2
( 13
, 13 )
(7.32)
(7.33)
(7.34)
Podemos usar a última expressão da sequência de equações acima para mostrar
um uso frequente do “conjugado”, veja a sequência
z = (a, b) ; z = (a, −b) ; zz = a2 + b2 = |z|2
1
z
1
z
=
=
z
zz
(7.35)
z
zz
=
(7.36)
z
|z|2
(7.37)
que mostra que podemos usar o conjugado para fazer surgir um número real no denominador, o que, muitas vezes, é útil.
O próximo teorema reune as propriedades do conjungado:
Teorema 76 Propriedades da conjugação
Considere os números complexos u, v e o número real λ.
1. Linearidade
(a) u + v = u + v
(b) λu = λu
2. reflexividade u = u
3. produto uv = uv
4. divisão
u
v
=
u
v
5. reais Se u = u se e somente se u ∈ R.
Exercı́cios 33
1. Resolva as equações
a)4z = −5
b) (4 + 3i)z = −5
c) 4z 2 + 2z = −1
z
= −50
e)(4 + 3i)z = −2i f ) 4+3i
g) z 2 = 1
=0
j) 3z + i = 5z − 7
i) z+5−3i
k) z 2 + 3z = −10
3−2i
d) z 2 = −1
h) z 2 + 2z = 1
l) 4z 2 = 1
2. forma polar de um número complexo
(a) módulo
Calcule o módulo dos números complexos dados abaixo:
a)2 + 3i
b) 2 − 3i
c)0.4 + 0.2i
d)
1+i
2
(b) argumento
Calcule a projeção dos números complexos abaixo, no cı́rculo trigonométrico,
S1 .
a) 2 + 3i
b) 2 − 3i
c) 0.4 + 0.2i
d)
1+i
2
(c) módulo e argumento
Calcule a projeção de a + bi sobre S1 determinando quando isto não for
possı́vel.
3. forma matricial I
Mostre que o produto dos números complexos a + bi por x + iy, nesta ordem,
equivale ao produto de matrizes
a −b
x
(a + bi)(x + iy) ≡
·
(7.38)
b
a
y
4. forma matricial II
Mostre que o produto dos números complexos a + bi por x + iy, nesta ordem,
equivale ao produto de matrizes
(a + bi)(x + iy) ≡
a
b
·
x
−y
y
x
(7.39)
5. produto e rotação
(a) Considere dois pontos A, P sobre o cı́rculo trigonométrico S1 ,
C ⊃ S1 ∋ A = cos(θ) + isen(θ) ≡ (cos(θ), sen(θ)) ∈ R2
1
2
C ⊃ S ∋ P = cos(α) + isen(α) ≡ (cos(α), sen(α)) ∈ R
(7.40)
(7.41)
Identifique no produto AP a expressão do arco soma.
~ no
(b) Mostre que AP, nesta ordem, produz uma rotação de θ sobre o vetor P
sentido horário (positivo).
(c) Como a multiplicação de números complexos é comutativa, procure a contradição, ou corrija o item anterior.
(d) Conclua do item anterior que
z, w ∈ S1 ⇒ zw ∈ S
ou seja, o cı́rculo unitário é estável sob a multiplicação.
(e) O grupo dos complexos de módulo 1 Verifique que S, o conjunto dos números
complexos de módulo 1, é um grupo comutativo com a multiplicação.
7.3
Módulo, argumento e conjugado
Vamos formalizar algumas experiências que foram feitas nas seções precedentes: parece que o produto de números complexos pode ser descrito de uma
forma geométrica. Vamos ver que de fato é assim e deduzir as propriedades
do produto, de forma bem simples, usando a representação geométrica.
7.4
Intepretação geométrica do produto
Há duas largas estradas correndo em paralelo: Os números complexos, um par de
números reais da forma a + bi e um puro par de números reais (a, b).
São, em essencia, duas coisas diferentes, com propriedades distintas mas também
com muita coisa em comum. Por exemplo
• em C tem um multiplicação
• em R2 não tem nenhuma multiplicação
• a adição em C é exatamente a mesma adição de R2
(cos s + i sen s)
(a,b)
S
1
s
(c,d)
t
r
r
2
1
(cos t + i sen t)
|(a,b)| = r
Figura 7.6:
A projeção de a + bi sobre S1 .
A forma polar de um número complexo
Um dos exercı́cios de laboratório que lhe foram propostos pedia que você projetasse
um número complexo a + bi sobre o cı́rculo unitário S1 .
Geometricamente, veja a figura (fig. 7.6), podemos obter esta projeção traçando
o segmento de reta do ponto P = (a, b) ao centro de S1 .
Algebricamente isto se faz dividindo (a, b) pelo seu módulo, resultando assim num
vetor de módulo 1, portanto, sobre S1 . Usando a notação da (fig. 7.6), temos
(cost, sent) = cost + isent =
(a, b)
a + bi
= √
|(a + bi)|
a2 + b 2
Estamos vendo assim a intimidade que existe entre os números complexos e a trigonometria. O importante neste momento é escrever o caminho de volta de (cost, sent)
para o número complexo (a, b) :
(a, b) = r1 (cost, sent) ; r1 = |(a, b)|.
com o que obtivemos a forma polar de (a, b). Nela vemos representados os dois conceitos geométricos que formam um número complexo: módulo e argumento. Vamos
re-escrever esta fórmula colocando em evidência estes dois conceitos:
z = (a, b) = |z|(cos(arg(z)), sen(arg(z))) ; |z| = r1 = |(a, b)|.
Exercı́cios 34 Forma polar, trigonometria conjugação
1. Verifique as igualdades abaixo e faça uma representação geométrica das mesmas:
(a) Verifique que 2Re(z) = z + z ∈ R
(b) Verifique que 2iIm(z) = z − z ∈ iR
(c) Verifique que zz = |z|2 ∈ R
2. Calcule (a + b)2
3. Fórmula de Moivre
(a) forma polar Quando escrevemos um número complexo usando a fórmula
de Moivre, dizemos que usamos a forma polar do número. Escreva os
números
z1 = 4 + 3i ; z2 = 3 − 4i ; z3 = −3 − 4i ; z4 = 3 + 4i
na fórmula polar.
(b) potência Calcule z 2 com z = r(cos(θ), sen(θ)).
(c) potência Suponha que a expressão encontrada para z 2 também valha para
z n . Escreva esta expressão. Deduza a expressão de z n+1 .
Resposta Este exercı́cio mostra, por indução finita a fórmula de Moivre
z = r(cos(θ), sen(θ)) ⇒ z n = r n (cos(nθ, sen(nθ))
(d) Use a fórmula de Moivre para expressar cos(3θ) em função de cos(θ), sen(θ).
Solução 4
cos(3θ) = Re((cos(θ) + isen(θ))3
(7.42)
3
(cos(θ) + isen(θ)) =
3
2
(7.43)
2
3
= cos(θ) + 3icos(θ) sen(θ) − 3cos(θ)sen(θ) − isen(θ) = (7.44)
= cos(θ)3 − 3cos(θ)sen(θ)2 + (3cos(θ)2 sen(θ) − sen(θ)3 )i
3
cos(3θ) = cos(θ) − 3cos(θ)sen(θ)
2
4. As raizes de um número complexo
(a) forma polar Use a fórmula de Moivre calcular
√
3
zi com
z1 = 4 + 3i ; z2 = 3 − 4i ; z3 = −3 − 4i ; z4 = 3 + 4i
5. Ache todos os valores de z ∈ C tal que z 2 + |z| = 0.
6. Encontre todos os complexos z que satisfaçam à condição
|z − 25i| < 15
7. Qual o valor máximo do módulo do número complexo z se
|z +
1
|=1
z
8. Resolva a equação (1 − i)x = 2x . Solução:
(1 − i)x = 2x ⇒
√
⇒ |1 − i|x = 2x ⇒ ( 2)x = 2x
Mas a ĺtima igualdade somente é possı́vel para x = 0.
(7.45)
(7.46)
9. inteiros de Gauss
Definição 58 Inteiros de Gauss
Chamamos de inteiros de Gauss ao conjunto Z + iZ de todos os números complexos com parte real e parte imaginária inteiras.
(a) Anel dos inteiros de Gauss Verifique que o conjunto dos inteiros de Gauss
com a adição e multiplicação dos complexos é um anel.
(b) Verifique em particular que se z for um inteiro de Gauss, então |z|w ∈ Z
mas nem sempre |z| ∈ Z dê um contra-exemplo.
(c) Prove que se z for um inteiro de Gauss então qualquer potência inteira de
z também será um inteiro de Gauss.
Solucaçã
Isto é consequência direta do Teorema do Binômio, capı́tulo 2. Logo z n é um
inteiro de Gauss.
(d) Prove que para todo número complexo e todo inteiro n vale
(|z|2 )n = (|z|n )2
Solução:
(|z|2 )n = (a2 + b2 )n
√
n
(|z|n )2 = ( a2 + b2 )2
p
2
(|z|n )2 = ( (a2 + b2 )n
(|z|n )2 = (a2 + b2 )n
(|z|2 )n = (|z|n )2
(e) Se a, b, n ∈ Z+ , prove que existem inteiros x, y tais que
(a2 + b2 )n = x2 + y2
Solução:
O módulo de um inteiro de Gauss não será, em geral, um inteiro, mas o o
quadrado do seu módulo será:
z n = x + yi é um inteiro de Gauss
|z n |2 = |z 2 |n = |x + iy|2 = x2 + x2 ∈ Z
(a2 + b2 )n = |x + iy|2 = x2 + y 2
10. Prove que se z +
1
z
= 2cos(α) então
zn +
1
= 2cos(nα)
zn
Solução:
z+
z+
z+
1
z
1
z
z
|z|
= z + cos(α) + isen(α)
= 2cos(α) ⇒ z = x − isen(α)
11. Moste que vale a fórmula do binômio de Newton
n
(z + w) =
n
X
k (n−k)
(n
; z, w ∈ C
k )z w
k=0
12. Escreva na forma polar z = cos(θ) + cos(φ) + i(sin(θ) + sin(φ))
13. Sendo f (z) =
14. Mostre que se
z 2 +z+1
z 4 −1
calcular f (2 + 3i).
(z − p)(z − p) = pp
então o ponto z descreve um cı́rculo de centro no ponto p passando pela origem
dos eixos.
)+isen( 2π
). Mostre que se z1 , z2 , z3 satisfizerem a relação
15. Considere w = cos( 2π
3
3
z1 + wz2 wz3 = 0
então eles são, respectivamente, paralelos aos lados de um triângulo equilátero.
16. Um número complexo varia mas seus módulo fica compreendido entre 1 e 6.
Calcule o máximo e o mı́nimo da função
f (z) = z 2 + 3z.
17. Se z = 2 + i(w − w1 ) calcule as partes reais e imaginárias de z em função das
partes reais e imaginárias de w. Descreva o lugar geométrico do ponto w quando
z ∈ R.
)=0
18. Prove que se |z| = 1 então Re( 1−z
1+z
7.5
Raizes de um número complexo
Quando calculamos a raiz quadrada de um número real
positivo, somos conduzidos a dois resultados, com sinais
opostos. Um número real positvo tem duas raizes quadradas que são simétricas em relação à origem dos eixos.
Na verdade uma tem argumento (ângulo) zero e a outra
tem argumento
2π
= π.
2
Os números complexos nos conduzem a uma generalização deste fato porque todo número complexo tem n
raı́zes e-nésimas.
Esta questão é geometrica, por natureza, e os números
complexos nos conduzem assim a desvendar os segredos
da Geometria, onde a Geometria e Álgebra se encontram.
Considere a figura (fig. ??), nela podemos ver S1 particionada por um triângulo
equilátero em três partes. Os três números complexos que aparecem alı́ são:
S1
cos 2π + i sen 2π
cos 0 + i sen 0
Figura 7.7:
As raı́zes da unidade
1 = cos(2π) + isen(2π)
(7.47)
) + isen( 2π
)
cos( 2π
3
3
(7.48)
cos( 4π
) + isen( 4π
)
3
3
+ isen( 6π
) ≡ cos(2π)
3
(7.49)
1 ≡ cos( 6π
)
3
+ isen(2π)
(7.50)
Oberve que na última equação usamos o sinal de equivalência, e não de igualdade.
Porque, na verdade, os dois números complexos são diferentes, uma vez que tem
argumentos diferentes.
Ocorre que números diferentesn ocupem o mesmo lugar geométrico, mas eles são
diferentes.
Se aplicarmos a qualquer destes números a fórmula de Moivre elevando a terceira
potência, o resultado irá ocupar o mesmo lugar geométrico.
Por definição,
dos números
√
n
a é um número b tal que bn = a. Consequentemente, qualquer um
1 ≡ cos(2π) + isen(2π)
(7.51)
+
(7.53)
cos( 2π
)
3
)
cos( 4π
3
úma raı́z de 1 ≡ cos(2π) + isen(2π).
+
isen( 2π
)
3
isen( 4π
)
3
(7.52)
Observação 36 Equivalênncia, classes de equivalência
Aqui há uma evidente confusão, confusão esta com que você esta inteiramente acostumado, veja
2
4
8
≡ ≡
≡ ....
3
6
12
que você olha sem torcer o nariz. Sâo equivalências. E destas frações todas você elege
como representante de classe de todas as outras.
2
3
2
3
é a forma mais simples de escrever qualquer uma das frações da lista anterior.
Da mesma forma os números complexos se podem escrever de muitas formas, cada vez que
dermos uma volta completa em um cı́rculo encontramos outra expressão do mesmo número
complexo.
Com outro argumento, claro, como
4
8
≡
6
12
que têm numeradores e denominadores diferentes, mas representam o mesmo número racional, embora funcionalmente signifiquem coisas distintas, num caso dividimos alguma coisa
em 12 partes e consideramos 8 delas, enquanto que no outro caso dividimos outra coisa em 6
partes, considerando 4 delas.
São funções diferentes, mas equivalentes no sentido de que representam a mesma quantidade.
A pergunta que se impõe, é, como vamos descobrir as raı́zes de um número complexo. O método pode ser geométrico, depois o iremos algebrizar.
Na figura (fig. ??), página ??, desenhamos um triângulo equilátero inscrito na
circunferência S1 porque queriamos as raı́zes terceiras da unidade. Um dos vértices
se encontra sobre o número cujas raı́zes procuramos. A figura (fig. 7.8) você pode
ver que, com um quadrado, um polı́gono regular convexo de quatro lados, inscrito no
cı́rculo trigonométrico, nós calculamos as quatro raı́zes da unidade.
Esta construção que fizemos tem um vı́cio de partida, que você terá que superar:
as raı́zes da unidade se encontram no mesmo cı́rculo que a própria unidade.
Porque, se u = 1 então |ux | = 1 para qualquer potência x inteira ou não.
O mesmo não pode acontecer com outros números... as raı́zes de 2 se encontram em
cı́rculos diferentes daquele em que o próprio 2 se encontra. Os exercı́cios que seguem
irão conduzı́-lo a descobrir o resto.
Exercı́cios 35 Raı́zes de um número complexo
√
1. As raı́zes cúbicas de 2, 3 2, e 2 se encontram em cı́rculos diferentes. Use
a fórmula de Moivre para descobrir onde elas se encontram e as determine
geométricamente.
Solução: As raizes terceiras de 2 são determinadas por um triângulo equilatéro.
Observe a figura (fig. 7.9) onde tres retas paralelas marcam os pontos em P.G.
x, x2 , x3 = 2
e que, portanto, x =
√
32.
Com multiplicação
√ geométrica, vista na construção geométrica de R, calculamos aproximadamente 3 2. Fizemos várias tentativas com retas paralelas até encontrar três
retas paralelas que representassem o produto de um número por ele mesmo, três, vezes
Figura 7.8:
Raı́zes quartas da unidade
de modo que a terceira reta passe por 2. Isto é equivalente a tentar multiplicar um
decimal por si próprio, tres vezes, até encontrar um produto próximo de 2.
Encontramos assim o cı́rculo onde se encontram as raı́zes de cúbicas de 2 e inscrevemos
nele um triângulo equilatero com um dos vértices na raiz cúbica real de 2. Os demais
vértices determinam as outras duas raı́zes.
2. Raı́zes quinta de um número real Encontre as raı́zes quintas de 7.
Solução:
Com uma calculadora podemos encontrar o raio do cı́rculo em que se encontram as
raizes quintas de 7 (multiplicação geométrica seria muito trabalhosa, como também
seria trabalhoso multiplicar sete vezes um decimal por si próprio até encontra um
número suficiente próximo de 7.) O raio do deste cı́rculo é
√
5
7 ≈ 1.4757731
A figura (fig. 7.10) nos mostra o pentágono inscrito no cı́rculo de raio 1.4757731 que
determina as cinco raizes de 7.
3. Calcule as raizes terceiras de 3 + 4i
Solução:
De acordo com a fórmula de Moivre,
2π
2π
) + isen( ))
3
3
√
3
Agora deveremos inscrever um triângulo num cı́rculo de raio
5 tendo o “vértice
inicial” correspondendo ao argumento
3 + 4i = 5(cos(atan(4/3) + isen(atan(4/3)) = 5(cos(
2π
3
3
=
2π
.
9
cos p/3 + i sen p/3
1.25992
1
2
p = 2π
cos 2p/3 + i sen 2p/3
Figura 7.9:
As raı́zes terceiras de 2
Os demais argumentos serão os elementos da progressão geométrica de razão
2π
3
(ângulo central do triângulo equilátero) tendo como primeiro termo (da P.A.) 2π
,
9
porque quando você somar tres a razão, irá estar de volta no ponto inicial, (percorreu
os vértices do triângulo), está em cima da reta determinada por arg(3+4i)
com a
3
origem.
2π 2π
4π
2π 2π
,
+
,
+
9 9
3 9
3
O resultado gráfico é o que podemos ver na figura (fig. 7.11)
Não estamos propondo este método como algum método revolucionário para calcular raı́zes enésimas. As máquinas de calcular fazem isto mais rápido, apenas precisamos
saber que elas usam um algoritmo, que executado manualmente será lento... se pudermos traduzir este algoritmo com um programa de computador e resultado também
será rapidamente obtido. A pergunta final é “qual é o melhor algoritmo” e não estamos
tratando deste assunto aqui.
Em resumo, os passos para o cálculo geométrico de raizes enésimas são
• Determinação do raio do cı́rculo S que passa em
p
n
|a + bi| ∈ R
• Determinação de
θ=
arg(a + bi)
n
S1
2
1
1.4757731
Figura 7.10:
Raı́zes quintas de 7
• Construção de um polı́gono de n lados inscrito no cı́rculo S tendo seu primeiro
vértice sobre o ponto que determina o ângulo
θ=
arg(a + bi)
n
em S.
• os vértices deste polı́gono são as raizes enésimas de a + bi.
3+4i
= 1.70997594
1
Figura 7.11:
2
3
Raı́zes cúbicas de 3 + 4i
Capı́tulo 8
O anel dos polinômios.
Neste capı́tulo vamos estudar um tipo de função que generaliza as funções
“lineares afins”, “quadráticas”: polinômios.
Iremos um pouco mais a fundo porque estudaremos o comportamento destas
funções em conjunto, o conjunto dos polinômios, formando uma estrutura
algébrica.
O conjunto dos polinômios é fechado para algumas operações, por exemplo
para a soma, e forma com ela um grupo.
Também vamos ver que a multiplicação é “defeituosa” neste conjunto, como
acontece no conjunto dos números inteiros, assim, os polinômios com a adição
e a multiplicação, tem uma estrutura mais fraca que a de corpo, é um anel.
Quer dizer que o conjunto dos polinômios munidos da adição e da multiplicação se assemelha a (Z, +, ·).
O estudo do anel dos polinômios ainda é uma das área mais efervecentes dentro da
construção Matemática. Entre 1998 e 2001 houve um acontecimento marcante neste
sentido quando André Gilles anunciou a solução do último problema de Fermat, com
alguns defeitos na solução anunciada e, finalmente, com a versão final corrigida.
Numa outra vertente, os polinômios servem para encriptar informações. Infelizmente o conteúdo deste livro não irá tão longe, em nenhuma das duas direções.
271
8.1
Os números são polinômios ?
U m professor levanta um saquinho de petecas na mão e, desafiante, pergunta aos alunos
quantas petecas podem ter no saquinho, enquanto escreve na quadro os números:
1000, 100, 10
A resposta unânime, foi 10, pelo tamanho do saquinho.
Os alunos ficaram surpresos quando o professor disse que eram 1000 as bolinhas no saco. E
explicou que na verdade havia oito, e que os valores, no quadro, “representavam” números
na base 2 e mostrou a relação entre as correspondentes “representações na base 10:
base 2
base 10
1
1
2
10
4
100
8
1000
Oito, escrito na base 2 se representa com 1000.
‘‘Representavam’’ é a palavra chave nesta questão. Há muitas formas de representação,
para os elementos de uma classe de objetos. Vamos precisar deste conceito, vamos usá-lo
e explicá-lo a seguir. Mas, informalmente, “representar” é uma forma “atenuada” de falar
“codificar”...
No exemplo do professor, ao fazer correspondências entre os valores que se podem
obter numa base ou na outra, vemos as potências de 2 ou de 10.
Ao longo de sua História, a Hunidade construir um mode de representar as quantidades que chamamos de decimal e que certamente está intimamente ligado com a
quantidade de dedos que temos nas mãos. Podemos facilmente inferir o método que
nossos antepassdos usaram para registrar grandes quantidades:
• iam estabelecendo relação dos objetos com os dedos das mãos;
• quando dava overflow com os dedos, (quer dizer, não havia mais dedos para
contar), faziam um tracinho na áreia da práia e voltam a contar com o primeiro
dedo de novo;
• depois contavam os tracinhos, cada um representando uma dezena;
Claro, com o tempo, com a evolução, e com o aumento da riqueza, foram especializando o processo e possivelmente colocando zeros depois do traço... e aı́ apareceu o
10.
O sistema decimal se impôs naturalmente pela facilidade operatória. A soma de
1000 com 82 tem um aparência simples: o 82 ocupa os zeros do 1000 dando 1082. E
sempre foi assim, a Humanidade aproveitou aquilo que melhor desempenho tinha, é
uma lei da Biologia, “ao longo do desenvolvimento ficam as espécies mais fortes”.
Depois que as regras se estabelecem nós seguimos atrás de justificá-las. Vejamos
o que significa um número na base 10, por exemplo 438:
138 = 400 + 30 + 8
138 = 4 ∗ 102 + 3 ∗ 10 + 8
2
138 = 4 ∗ 10 + 3 ∗ 10 + 8 ∗ 10
(8.1)
(8.2)
0
(8.3)
uma soma de potências de 10 com coeficientes que são os algarismo.
Se considerarmos a soma
32 ∗ 102 + 3 ∗ 10 + 8 ∗ 100
ela pode ser re-escrita como
3 ∗ 103 + 2 ∗ 102 + 3 ∗ 10 + 8 ∗ 100
3
2
1
a3 ∗ 10 + a2 ∗ 10 + a1 ∗ 10 + a0 ∗ 10
(8.4)
0
(8.5)
porque deu overflow na casa das dezenas... os algarismo na base 10 somente podem
ser
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
quer dizer que um número, escrito na base 10 ou em qualquer outra base, é uma
expressão do tipo
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
que chamamos polinômio. Os coeficientes são os algarismos, números menores que a
base. Na base 10 não existe o algarismo 10.
As operações se explicam, agora algebricamente. Para somar dois números consideramos as potências de mesma base para ordená-los.
Na prática dizemos, colocamos casa decimal em baixo de
casa decimal.
e observamos a regra do overflow, do estouro, da casa decimal.
Vamos multiplicar dois números usando as regras algébricas para ver como elas se
aplicam. Multiplicar 328 e 243 .
3 ∗ 102
+2 ∗ 10
+8
2
2 ∗ 10
+4 ∗ 10
+3
6 ∗ 104
+4 ∗ 103
+16 ∗ 102
+12 ∗ 103
+8 ∗ 102
+32 ∗ 101
2
9 ∗ 10
+6 ∗ 101
+24
4
2
2
1
6 ∗ 10
+16 ∗ 10
+33 ∗ 10
+38 ∗ 10
+24
e vemos que há vários estouros de casas decimais para corrigir. Podemos começ ar a
correção por qualquer lado. Vamos começar, como de hábito pela casa das unidades.
Este método se verificou o mais fácil porque vai acumulando aos poucos nas casa mais
altas.
328 =
243 =
Corrigindo o estouro nas casas decimais, temos:
6 ∗ 104
+16 ∗ 102
+33 ∗ 102
+38 ∗ 101
+24
4
2
2
6 ∗ 10
+16 ∗ 10
+33 ∗ 10
+38 ∗ 101
+(20 + 4)
6 ∗ 104
+16 ∗ 102
+33 ∗ 102
+40 ∗ 101
+4
4
2
2
1
6 ∗ 10
+16 ∗ 10
+33 ∗ 10
+(40 + 0) ∗ 10
+4
6 ∗ 104
+16 ∗ 102
+37 ∗ 102
0 ∗ 101
+4
4
2
2
1
6 ∗ 10
+16 ∗ 10
+(30 + 7) ∗ 10
0 ∗ 10
+4
6 ∗ 104
+19 ∗ 102
+7 ∗ 102
0 ∗ 101
+4
4
2
2
1
6 ∗ 10
+(10 + 9) ∗ 10
+7 ∗ 10
0 ∗ 10
+4
7 ∗ 104
+9 ∗ 102
+7 ∗ 102
0 ∗ 101
+4
7
9
7
0
4
observe que na última linha, simplesmente, apagamos o operador + e as potências de
10 e apareceu o resultado que qualquer máquina de calcular vai mostrar no display.
8.2
O que é um polinômio?
Uma função linear afim, ou uma função quadrática, ambas se definem atravez de
polinômios. Uma função quadrática, não é um polinômio, nem uma função linear o é.
“Polinômio” é uma expressão que serve para definir funções polinômiais como é o
caso das funções lineares ou das quadráticas.
Para definirmos uma função linear1 precisamos de dois coeficientes, um polinômio do primeiro grau,
f (x) = a + bx
para definirmos uma função quadrática, precisamos de tres coeficientes, um polinômio do segundo grau:
g(x) = a + bx + cx2 .
Tanto f como g dizem-se funções polinômiais porque estão definidas a partir de polinômios.
Mas polinômio mesmo são os coeficientes! Acabamos de fazer uma representação2 .
Se “multiplicarmos” h(x) = f (x)g(x) iremos obter uma outra função também
descrita por coeficientes que será uma função polinomial do grau 3. Faça isto agora!
Calcule h.
Observação 37 Polinômios, operações e estrutura
Com esta última frase acrescentamos duas idéias:
• Operação com polinômios podemos multiplicar os polinômios, e
• classificação dos polinômios eles se classificam com auxı́lio de um conceito chamado grau.
A maneira correta de fazer referência às funções lineares, é dizer que elas são
funções polinômiais do primeiro grau. As funções quadráticas, são funções polinômiais
do segundo grau, e h é uma função polinômial do terceiro grau. Ainda não definimos
polinômios! até aqui estamos nos mantendo nos exemplos. Vamos insistir um pouco
mais nesta técnica antes de partir para a definição. Os exercı́cios seguintes farão isto.
1 Função
linear é um tipo particular de função linear afim, mas de agora em diante vamos
cometer o erro de chamá-las todas de funções lineares.
2 Existe uma teoria em Matemática chamada, teoria das representações... que é grande
como a teoria dos conjuntos. Não precisaremos estudá-la toda para fazer algum uso dela,
entretanto.
Exercı́cios 36 Coeficientes e grau.
1. Multiplicação de polinômios
Tente descobrir um esquema para multiplicar dois polinômios usando apenas os
coeficientes, (faça a multiplicação usual e depois apague a variável...). Verifique
que é um esquema semelhante ao da multiplicação dos números.
2. representação polinomial dos números
(a) Um número escrito na base 10 pode ser representado como se fosse um
polinômio, faça isto e depois compare a multiplicação de dois número com
a multiplicação de polinômios. Observe que agora os “coeficientes” tem
uma regra especial, identifique esta regra.
(b) Justifique com a comparação feita no item anterior a questão de passar
alguma coisa para a casa seguinte nas multiplicações. Aliás, tente definir
o que é casa.
(c) Calcule a soma de dois números escritos polinomialmente e justifique a
passagem para casa seguinte quando houver algarismos desobedecendo a
regra que você construiu.
3. Um sistema de numeração complicado
Um sistema de numeração complicado, mas que você domina completamente.
(a) Observe uma data é um sistema de numeração
03/08/1998; 03 : 10 : 20
dia, mes, ano, hora, minuto, segundo . . . Quais os “algarismos” que podem
ser usados em cada uma das “casas” ?
(b) Dá para concluir que as datas são um sistema com bases de numeração
diferentes ?
(c) Quais são as operações admissı́neste sistema de números ? Existe elemento
neutro? elemento inverso ?
(d) Você poderia resolver a equação
03/08/1970; 22 : 30 : 59 + dd/mm/aaaa = 10/02/1999; 03 : 10 : 20
4. Verifique que não precisamos também da variável para somar polinômios, descreva isto.
5. Construa um esquema que permita a divisão de dois polinômios usando apenas
os coeficientes.
6. Faça várias multiplicações, adições e divisões de polinômios usando os esquemas
por você construidos para usar apenas os coeficientes.
7. Verifique qual das seguintes opções serve para representar o conjunto de todos
os polinômios com coeficientes reais:
• um polinômio é um elemento de Rn+1 ,
(a0 , a1 , · · · , an )
• um polinômio é uma sucessão de números reais.
• um polinômio é uma sucessão finita de números reais.
Qual é a diferença entre a primeira e a última opção ?
8. Tente uma definição de grau, claro você precisa primeiro resolver a questão
anterior para saber onde grau está definido.
8.3
A estrutura algébrica dos polinômios
Vamos começar respondendo as duas últimas questões.
O conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais é designado com sı́mbolo
R[x] é formado de todas as sucessões finitas de números reais. Quer dizer que
(a0 , a1 , · · · , an ) ∈ Rn ⊂ R[x]
n+1
(a0 , a1 , · · · , an+1 ) ∈ R
(8.6)
⊂ R[x]
(8.7)
a0 ∈ R ⊂ R[x]
(8.9)
n+100
(a0 , a1 , · · · , an+100 ) ∈ R
⊂ R[x]
(8.8)
Nós precisamos que os números também sejam polinômios, veja a última linha acima,
poderiamos ter escrito (a0 ), mas isto seria uma notação nada comum. Assim os
números, simplesmente, são polinômios. Vem então a pergunta: qual seria o grau
dos números ? A resposta é que você já espera, os números são polinômios de grau
zero. O grau é um conceito hierárquico dentro do conjunto dos polinômios3 . Nós
vamos dizer que os números são polinômios de grau zero, eles tem exatamente um
coeficiente. O polinômio
(a0 , a1 , · · · , an ) ≡ a0 + a1 x + · · · + an xn
é um polinômio de grau n, ele tem n + 1 coeficientes. Observe que polinômio
1 + x3 + x5 ≡ (1, 0, 0, 1, 0, 1)
tem seis coeficientes. Quando escrevemos usando “expressão” algébrica podemos omitir os coeficientes nulos porque a “expressão algébrica” garante a informação correta.
Mas 1 + x3 + x5 tem seis coeficientes e não três. Enfim o grau corresponde åmaior
potência do polinômio escrito como expressão algébrica ou número de coeficientes menos 1, considerando os coeficientes nulos.
Quer dizer que o R[x] deve ser entendido como um conjunto infinito de folhas, ou
hiperplanos, de graus sucessivamente maiores:
R[x] = R ∪ R2 ∪ R3 · · · ∪ Rn · · ·
Se ficassemos apenas com os polinômios de um certo grau teriamos uma estrutura
algébrica deficiente. Por exemplo se nos fixassemos no conjunto dos polinômios do
segundo grau. Nenhum deles poderia ter inverso aditivo porque
1 + x − x2 + (−1 − x + x2 )
não seria um polinômio do segundo grau. Precisamos de ter polinômios de grau zero
para que a operação acima possa ser efetuada. Se em vez de somar, multiplicarmos:
(1 + x − x2 )(1 − x + x2 ) = 1 + x2 + 2x3 − x4 ≡ (1, 0, 1, 2, −1)
vemos que o grau aumenta. Quer dizer que podemos discutir a estrutura de
(R[x], +, ·)
a chamada “álgebra dos polinômios”. Esta estrutura é muito semelhante a estrutura
(Z, +, ·). A primeira semelhança consiste na deficiência da multiplicação. Como em
Z, em R[x] não tem inversos multiplicativos, de modo que (R[x], +, ·) é um anel.
3O
grau tem o que ver com dimensão ... mas não é exatamente a mesma coisa.
Exercı́cios 37 Propriedades do anel dos polinômios Dado um polinô mio
P (x) =
n
X
ak x k
k=0
podemos associar-lhe dois objetos diferentes:
• a função [a, b] ∋ x 7→ P (x)
• a sucessão (a0 , · · · , an ) dos coeficientes.
Esta lista de exercı́cios é um laboratório em que estes dois tipos de objetos serão
testados em diversas circunstâncias gerando novas estruturas.
1. Defina a soma de dois polinômios, isto é erspecifique o algoritmo para somar
P (x), Q(x), como se você fosse executar a soma automaticamente com um programa.
2. Mostre que a soma de polinômios é comutativa e associativa.
3. Mostre que no conjunto R[x] existe um elemento neutro para adição e um elemento neutro para a multiplicação.
4. Mostre que (R[x], +) é um grupo comutativo.
5. Mostre que todo polinômio tem um inverso aditivo.
6. Escreva a fórmula que associa o grau do multiplicando, do multiplicador e do
produto em R[x].
7. Mostre com um exemplo que em R[x] não há inversos multiplicativos.
8. Considere os polinômios P, Q, R e identifique P (x), Q(x), R(x) com os valores
assumidos pelas funções definidas por cada um destes polinômios quando x ∈
[a, b] ⊂ R. Use esta representação para demonstrar que o produto de polinômios
é comutativo, associativo e distributivo relativamente åadição.
9. Mostre que a multiplicação em R[x] é comutativa e associativa. Mostre que
a multiplicação é distributiva relativamente åadição. Sugestão: use a representaçãp funcional.
10. Faça uma listagem ordenada e estruturada das propriedades de (R[x], +, ·), agrupandoas por operação.
11. Resolva as equações abaixo indicando a propriedade utilizada em cada passagem:
a)P + 1 + x2 = x3 b) 4P + x3 = x − 1 c) P 4+2 = x + 1
12. Tente uma solução para as equações abaixo indicando a propriedade utilizada
em cada passagem:
(a) (x2 + 1)(P + 1 + x2 ) = 1 + x + 2x2 + x3 + x4
(b) xP = x2 − x3 − x5
13. A convolução de sucessões
(a) Calcule o produto dos polinômios definidos abaixo com seus coeficientes na
ordem crescente (das potências):
i. (1, 2, 3, 4, 5), (1, 0, 1, 0, 1, 0)
ii. (1, 1, 1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 1, 1, 1)
iii. (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) , (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 )
iv. (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) , (b0 , b1 , b2 , b3 , b4 )
(b) Deduza da da última multiplicação feita acima, uma fórmula para o termo
geral ck do produto PQ de dois polinômios como uma soma envolvendo os
termos de P e de Q.
(c) Chame a sucessão finita (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) dos coeficientes do polinô-mio
P de a e chame de b a sucessão finita dos coeficientes de Q :
a = (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ), b = (b0 , b1 , b2 , b3 , b4 ),
Expresse a fórmula do produto dos dois polinômios P, Q como uma função
c = a ∗ b de modo que a ∗ b(k) = ck é o coeficiente de ordem k do polinômio
P Q, (use um somatório para isto).
(d) Mostre que a sucessão finita a = (1, 0, · · · , 0) que tem todas as coordenadas
nulas, exceto a primeira, é a unidade relativamente åconvolução.
8.3.1
Comentários sobre alguns dos exercı́cios
Funções polinomiais
Nos primeiros exercı́cios estabelecemos uma representação entre o conjunto dos polinômios e um subconjunto do conjunto das funções definidas no intervalo [a, b].
Vamos ver aqui o poder da generalização e até mesmo a razão pela qual fazemos
generalizações ou representações.
Queremos demonstrar que o produto de dois polinômios é comutativo. Sejam P, Q
os dois polinômios.
Vamos criar algumas notações, palavras novas desta linguagem chamada Matemática que falamos.
Vamos dar um nome a este conjunto de funções: F ([a, b]).
Observe que R[x]x∈[a,b] ⊂ F ([a, b]). Como se costuma dizer ainda, R[x]x∈[a,b] é um
subconjunto pró prio de F ([a, b]).
R[x]x∈[a,b] ∋ P 7→ p ∈ F ([a, b])
(8.10)
R[x]x∈[a,b] ∋ P, Q 7→ p, q ∈ F ([a, b])
(8.12)
pq(x) 7→ p(x)q(x) o produto de dois números reais
(8.14)
pq(x) = p(x)q(x) = q(x)p(x) = qp(x)
(8.15)
pq 7→ P Q ; qp 7→ QP
(8.16)
for bijetiva, então podemos concluir que
(8.18)
pq = qp ⇒ P Q = QP
(8.19)
quer dizer: P é o polinômio, p é a função polinomial definida por P . (8.11)
R[x]x∈[a,b] ∋ P Q 7→ pq ∈ F ([a, b])
se a função, representação, R[x]x∈[a,b] → F ([a, b])
(8.13)
(8.17)
Fizemos uma demonstração incompleta, porque usamos uma hipótese que não foi
ainda testada ou comprovada: a representação do conjunto dos polinômios no conjunto
das funções é “bijetiva”. Teremos que demonstrar esta afirmação para legalizar a
demonstração que fizemos acima. Antes de prosseguir discutindo o próximo teorema,
vamos discutir a notação que estamos usando. R[x] representa o conjunto de todos os
polinô mios, e nós podemos escrever um polinômio usando uma expressão algébrica:
P (x) = a0 + a2 x2 + a5 x5 ≡ (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 )
ou mais concretamente
P (x) = 3 + 4x2 + 7x5 ≡ (3, 0, 4, 0, 0, 7).
Se escrevermos P (x)x=2 = 3 + 16 + 224 = 243 que dizer que substituimos na expressão
algébrica P (x) a letra x pelo número 2. Uma outra forma de escrer isto é simplesmente
P (2) = 3 + 16 + 224 = 243.
Mas se quisermos indicar que x pode assumir qualquer valor no intervalo [a, b], a
única maneira de indicá-lo é esta que usamos acima: R[x]x∈[a,b] . Neste momento,
P ∈ R[x] ; P (x)x∈[a,b] não é mais um polinômio, é uma função polinomial porque x
agora representa um número.
Vamos ao teorema agora.
Teorema 77 Representação dos polinômios
φ
Seja R[x]x∈[a,b] → F ([a, b]) que associa um polinômio P ∈ R[x] a função polinomial p ; p(x) := P (x)x∈[a,b] ; p ∈ F ([a, b]).
φ é uma função injetiva.
Dem :
Considere dois polinômios diferentes, P 6= Q e as correspondentes funções polinomiais que
eles induzem em F([a, b]) ; p, q.
Mas dizer que dois polinômios são diferentes, quer dizer que existe pelo menos um dos
coeficientes de um que não é igual ao correspondente coeficiente do outro, ak 6= bk , supondo
que os coeficientes de P são a0 . . . e os de Q são b0 . . . Temos que mostrar que as duas funções
induzidas por P, Q são diferentes.
Se fizermos a diferença, p(x) − q(x), como estas funções estão definidas por polinômios, e
estes são diferentes, então o polinômio que define esta diferenção é P −Q que não é o polinômio
zero, porque o coeficiente correspondente a diferença ak − bk 6= 0, logo a função p(x) − q(x) é
diferente de zero para algum x. Logo p 6= q. q.e.d .
Mas, infelizmente, não poderemos demonstrar, como nos propunhamos, que φ é
bijetiva, pois em F ([a, b]) existem funções que não são polinomiais. Isto é φ(R[x]) é um
subconjunto próprio de F ([a, b]). Observe a (fig. ??), na página ??. A representação φ
cria uma imagem em F ([a, b]) que é idêntica a R[x] mas esta imagem não cobre todo o
contra-domı́nio, então φ não é uma função sobrejetiva. Mas se reduzirmos a imagem
ao que nos interessa, ao conjunto
g = P([a, b]) o conjunto das funções polinomiais
R[x]
então temos uma função bijetiva.
Isto chega para estabelecer uma idenficação no sentido de que podemos considerar
o subconjunto P([a, b]) de F ([a, b]) formado por todas as funções polinomiais, que é a
imagem de φ. Quer dizer, podemos ir e voltar entre P([a, b]) e R[x] logo, fica validada a
demonstração do teorema. Podemos usar o mesmo método para provar que o produto
de polinômios é associativo, e que o produto é distributivo relativamente a adição.
Nós usamos o conceito de igualdade entre polinômios sem definı́-lo mas agora vamos
fechar este buraco lógico:
Definição 59 Igualdade entre polinômios
Dois polinômios são iguais se todos os seus coeficientes coı̈ncidem.
Compare agora a demonstração da comutatividade do produto se esta for feito
com o produto de coeficientes:
Dem : Demonstração da comutatividade do produto de polinômios
Vamos começar comentando outro exercı́cio. Precisamos saber como se escreve o termo
geral do produto P Q.
Sejam P = (a0 , a1 , a2 , · · · , an ) e Q = (b0 , b1 , b2 , · · · , bm ) dois polinômios.
Observe o quadro abaixo da multiplicação:
b0
b1
b2
b3
b4
a0
a1
a2
b0 a0
b1 a0
b2 a0
b3 a0
b4 a0
b0 a1
b1 a1
b2 a1
b3 a1
b4 a1
b0 a2
b1 a2
b2 a2
b3 a2
b4 a2
Neste esquema, em cada linha, você pode ver cada um dos coeficientes aj sendo multiplicado por todos os coeficientes bi . No paralelogramo se encontram todos os pares (bi , aj ) que
é possı́vel fazer com os coeficientes de cada um dos polinômios. Em baixo de cada coluna se
faz a soma dos elementos da mesma, nelas a soma dos ı́ndices é constante. Por exemplo, em
baixo da quarta coluna ficará:
b3 a0 + b2 a1 + b1 a2
esta soma é coeficiente de x3 .
P Q = (a0 b0 , · · · ,
QP = (b0 a0 , · · · ,
X
i+j=k
X
i+j=k
ai bj , · · · an bm )
bj ai , · · · bn am )
P
aj bk é igual a
e nos temos que mostrar que P Q = QP. Basta mostra que o termo geral
i+j=k
P
bj ak . Um truque, na verdade uma nova representação, nos conduzem facilmente a esta
i+j=k
verificação.
Para multiplicar polinômios, somos conduzidos a fazer todas as multiplicações ak bj e
depois agrupar estes produtos de acordo com a regra dos expoentes que é que se encontra em
baixo do somário:
i + j = k a soma dos expoentes valendo k.
Retomando a frase, “a fazer todas as multiplicações ...” agora escrita assim: “a fazer
todos os pares (ak , bj )” quer dizer, construir o produto cartesiano dos conjuntos
A = {a0 , aj , · · · an }, B = {b0 , bk , · · · bm }
Observe abaixo o caso com n = 2, m = 4. Chame de A, B aos conjuntos dos coeficientes
dos polinômios. Na tabela abaixo você tem A x B. Marcamos o conjunto dos coeficientes
aj bk ; j + k = 4. O coeficiente de x4 no produto será a soma destes coeficientes, faça as contas
e verifique.
b4
(a0 , b4 )
(a1 , b4 )
(a2 , b4 )
b3
(a0 , b3 )
(a1 , b3 )
(a2 , b3 )
b2
(a0 , b2 )
(a1 , b2 )
(a2 , b2 )
b1
b0
(a0 , b1 )
(a0 , b0 )
a0
(a1 , b1 )
(a1 , b0 )
a1
(a2 , b1 )
(a2 , b0 )
a2
Experimente agora você mesmo, considere as “linhas” desta tabela em que a soma dos
ı́ndices é constante e verifique que são os coeficientes da mesma potência de “x” no produto.
Por exemplo, quando a soma for 3 você terá
(a0 , b3 ), (a1 , b2 ), (a2 , b1 )
que somados:
(a0 b3 + a1 b2 + a2 b1 )x3
são os coeficientes de x3 no produto dos dois polinômios. Podemos assim identificar todos as
somas que correspondem a uma determinada potência no produto cartesiano dos conjuntos
dos coeficientes.
Quando comutarmos os polinômios, na multplicação, isto significa que vamos passar a
olhar o produto cartesiano B x A que são diferentes, é verdade, mas que tem alguma identidade:
(x, y) ∈ A x
B
⇒
(y, x) ∈ B x
A
e como a multiplicação de números é comutativa, então as duas linhas cuja soma de ı́ndices
vale k produzem o mesmo coeficiente no produto, para o coeficiente de grau k.
Quer dizer, o produto de polinômios é comutativo. q.e.d .
Observação 38 Representação.
Obviamente “arroz com feijão” e “baião de dois” são duas coisas diferentes, como
1 + x2 + x3 6= (1, 0, 1, 1).
São diferentes, mas para muitos efeitos representam a mesma coisa, é esta idéia sob
o conceito de representação. Temos conjuntos diferentes mas identificados através de uma
bijeção.
Em ambos os casos usamos representações. Num caso representamos o conjunto dos
polinômios no conjunto das funções definidas no intervalo [a, b], identificando
R[x]x∈[a,b] com P([a, b]) ⊂ F([a, b]).
É rigorosamente a mesma que fazemos quando identicamos os inteiros com as frações de
denominador 1. São dois objetos diferentes. Também estamos fazendo representação quando
identificamos os números racionais com pontos da reta.
Talvez para alguns dos leitores, uma das demonstrações que fizemos da comutatividade
do produto é a mais fácil. É esta a razão porque fazemos representações, para buscar uma
maneira mais fácil de entender o que está acontencendo num conjunto complicado. Esta
é uma das principais atividades da Matemática, fazer representações para explicar os fatos
dentro de outra estrutura.
Exercı́cios 38 Associatividade do produto
1. Prove que o produto de tres polinômios, P, Q, R é associativo, use a representação
R[x]x∈[a,b] → F ([a, b])
2. Prove que o produto de tres polinômios, P, Q, R é associativo, use a representação dos polinômios no conjunto das sucessões finitas e veja como fica o
produto cartesiano onde você vai representar os coeficientes do produto.
Convolução de sucessões
Na seção anterior discutimos o produto de polinômios e fomos levados a fazer uma
representação de R[x] num conjunto de funções para ver melhor o que significava a
comutatividade.
Representamos também os polinômios no conjunto das sucessões finitas. Podemos
então observar que
R[x] ∋ P, Q ; P Q ≡ p ∗ q ; p, q sucessões finitas.
A operação p ∗ q com as sucessões finitas, se chama convolução.
Vamos dar um nome ao conjunto das sucessões finitas: R∞ . Observe que tem
sentido o “expoente” ∞, não num sentido operatório. R3 é o conjunto de todas as
sucessões que tem “exatamente” tres elementos. Rn é o conjunto de todas as sucessões
que têm “exatamente” n elementos. R∞ é a reunião de todos os Rn para qualquer
que seja n. Depois você vai encontrar este conjunto em Matemática mais avançada
com outro nome. No momento usaremos este. Temos então dois conjuntos diferentes,
R[x], R∞ . Mas podemos mostrar que
• A todo polinômio P ∈ R[x] corresponde exatamente uma sucessão finita p ∈
R∞ .
• Reciprocamente, a toda sucessão finita p ∈ R∞ corresponde exatamente um
polinômio P ∈ R[x].
• Se chamarmos φ a representação que acabamos de mencionar,
φ
R[x] ∋ P 7→ p ∈ R∞
podemos afirmar que
φ(P Q) = φ(P ) ∗ φ(Q)
em outras palavras, dá no mesmo fazer o produto de polinômios e depois passar
φ ou primeiro, passar φ e fazer a convolução.
Também podemos afirmar que
φ(P + Q) = φ(P ) + φ(Q)
em outras palavras, dá no mesmo fazer a soma de polinômios e depois passar φ
ou primeiro, passar φ e fazer a soma de sucessões.
Isto significa que as duas estruturas (R[x], +, ·) e (R∞ , +, ∗) são “idênticas”. Como
de fato elas não “idênticas”, temos uma palavra em Matemática para dizer isto: dizemos que
(R[x], +, ·) e (R∞ , +, ∗) são isomorfas.
φ
Dizemos ainda que R[x] → R∞ é um isomorfismo.
Definição 60 Isomorfismo
Uma representação entre duas estruturas que seja bijetiva e preserve as duas estruturas se chama um isomorfismo.
Nos discutiremos com mais detalhes a estrutura de R[x] na próxima seção.
Exercı́cios 39
1. Calcule separadamente os coeficientes de todos os graus de x no
produto de polinômios
4x
x2
3
4 −x
+ x )(
+
+ x5 )
( +
4
3
3
3
2. Considere os polinômios
P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , Q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm .
Escreva os quatro primeiros coeficientes do produto P Q.
3. Calcule a convolução
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) ∗ (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1).
(1) ∗ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∗ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
6. Considere os polinômios
P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ,
(8.20)
m
(8.21)
l
(8.22)
Q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm x ,
R(x) = c0 + c1 x + · · · + cl x .
Calcule os quatro primeiros coeficientes do produto P (QR). Calcule também
os quatro primeiros coeficientes do produto (P Q)R. Que conclusão o resultado
sugere? Prove esta sugestão.
7. Representando R[x] em F ([a, b]), prove usando a associatividade do produto de
números reais, que o produto de polinômios é associativo. Escreva cuidadosamente todas as passagens, (idas e voltas).
8. Prove que o produto de polinômios é distributivo relativamente åadição de polinômios.
9. Calcule 2P, P 2 , P 2 − 1 se
P (x) =
4x
−3
+
+ 2x2 + x3 + x4 .
4
3
10. Calcule (x + a1 )(x + a2 ).Escreva separadamente todos os coeficientes deste produto. Identifique a estrutura destes coeficientes com uma relação entre os números
a1 , a2 .
11. Calcule (x + a1 )(x + a2 )(x + a3 ). Escreva separadamente todos os coeficientes
deste produto. Identifique a estrutura destes coeficientes com uma relação entre
os números a1 , a2 , a3 .
12. Calcule (x + a1 )(x + a2 )(x + a3 )(x + a4 ). Escreva separadamente todos os coeficientes deste produto. Identifique a estrutura destes coeficientes com uma relação
entre os números a1 , a2 , a3 , a4 .
13. Considere o produto
(x + a1 )(x + a2 ) · · · (x + an ) ; n > 2.
Escreva separadamente todos os coeficientes deste produto. Você poderia identificar no resultado algo ligado a Análise Combinatória? Identifique a estrutura
destes coeficientes entre uma relação com os números a1 , a2 , · · · , an .
14. Considere o polinômio 6 + 5x + x2 . Ele pode ser o produto (x + a1 )(x + a2 ).
Verifique se isto é possı́vel e então fatore 6 + 5x + x2 .
15. Observe se é possı́vel fatorar os polinômios abaixo:
−6 + x + x2
−6 − x + x2
12 + 7x + x2
−12 − 7x + x2 −12 − x + x2 4 − 2x + x2
Quando for possı́vel, resolva
8 + 6x + x2
−8 − 2x + x2 12 − 7x + x2
a equação P (x) = 0.
16. Observe se é possı́vel fatorar os polinômios abaixo:
3 + 6x + 6x2 + x3
−8 + 2x + 5x2 + x3
2
3
−8 + −9x + x + x
10 + 2x + 5x2 + x3
Quando for possı́vel, resolva a equação P (x) = 0.
8.4
Estrutura do conjunto dos polinômios a coeficientes reais.
F([a,b])
R[x]
R
R[x]
Figura 8.1:
R ⊂ R[x] ⊂ F([a, b])
Vamos descrever a estrutura do conjunto dos polinômios a coeficientes reais
com base nas experiências que desenvolvemos na seção anterior.
Fizemos diversas experiências e exercı́cios nas seções anteriores que agora devem
nos permitir a discussão da estrutura do conjunto dos polinômios R[x] na presença
das operações de adição e multiplicação de polinômios.
Já verificamos que o produto de polinômios é comutativo. Num dos exercı́cios se
pediu que você provasse que este produto é associativo, vamos resolver o tal exercı́cio.
Considere tres polinômios:
P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn 7→ p ∈ P([a, b])
φ
(8.23)
Q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm x
m φ
(8.24)
7→ q ∈ P([a, b])
φ
R(x) = c0 + c1 x + · · · + cl xl 7→ r ∈ P([a, b]).
(8.25)
Primeiro vamos mostrar que esta representação φ é um isomorfismo: é bijetiva,
preserva as operações. A bijetividade já foi discutida anteriormente.
• preserva a multiplicação Porque tanto P Q como pq são identificados pelo produto dos coeficientes, logo φ(P Q) = φ(P )φ(Q).
• preserva o elemento neutro da multiplicação Porque φ(1) = 1 a função constante x 7→ 1 se encontra ådireita enquanto que åesquerda, temos o polinômio de
grau zero de coeficiente 1.
• preserva a adição Porque tanto P + Q como p + q são identificados pelo soma
dos coeficientes, logo φ(P + Q) = φ(P ) + φ(Q).
• preserva o elemento neutro da adição Porque φ(0) = 0 a função constante x 7→ 0
se encontra ådireita enquanto que åesquerda, temos o polinômio de grau zero de
coeficiente 0. O polinômio nulo.
Sabemos que φ preserva as estruturas de R[x] e de P([a, b]), mas ainda não discutimos que estrutura é esta. Quando soubermos qual é a estrutura de R[x], automaticamente teremos demonstrado, via isomorfismo, que a mesma estrutura vale em
P([a, b]). É esta outra vantagem dos isomorfismos.
• estrutura de (R[x], +). Como a soma é comutativa, associativa e tem um elemento neutro, e todo polinômio tem um inverso aditivo (que se obtem trocando
os sinais de todos os coeficientes), então (R[x], +) é um grupo comutativo.
• estrutura de (R[x], ·). A única propriedade para que tenhamos um grupo, que
não vale é a existência de um inverso multiplicativo. Chamamos esta estrutura
de monoide. O produto é associativo, comutativo, e existe um elemento neutro
para a multiplicação que é o polinômio de grau zero 1.
• O produto é distributivo relativamente åadição, que se prova facilmente usando
a representação de R[x] em F ([a, b]).
• O produto do polinômio nulo por qualquer outro, produz o polinômio nulo.
Estas propriedades são idênticas àspropriedades de (Z, +, ·). Vemos assim que
(R[x], +, ·) é um anel comutativo como os inteiros.
Consequentemente (P([a, b]), +, ·) é também um anel comutativo. Observe que
aqui tivemos o cuidado de usar P porque o isomorfismo é
φ
R[x] → P([a, b]).
Os objetos isomorfos são R[x], P([a, b]). Como um é um anel, então o outro também
o é.
Demonstramos assim:
Teorema 78 Anel dos polinômios (R[x], +, ·) é um anel comutativo.
e como corolário:
Teorema 79 Anel das funções polinomiais
(P([a, b]), +, ·) é um anel comutativo.
8.5
A divisão de polinômios
Como nos inteiros, a divisão no anel dos polinômios cria estruturas riquı́ssimas, exatamente porque não é “exata”.
Vamos começar comparando com a divisão de números inteiros, porque foi assim
que os nossos antepassados construiram a divisão de polinômios. No anel dos inteiros
encontramos o “conjunto” dos restos na divisão por um determinado inteiro, por 5,
digamos:
Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}
e a soma de restos se comporta algebricamente bem, veja a tabela operatória abaixo:
Tabuada com restos
+
0 1
0
0 1
1
1 2
2
2 3
3
3 4
4
4 0
na
2
2
3
4
0
1
divisão por 5.
3 4
3 4
4 0
0 1
1 2
2 3
Nós escrevemos 1 em vez de escrever 1 porque o resto 1 não é a mesma coisa que
o número 1, inclusive a adição com restos não tem a mesma “tabuada” que a adição
com números. Mas as propriedades são as mesmas:
3. Existe um elemento neutro para a adição.
4. Todo resto tem um inverso aditivo.
Destas propriedades, a única que é trabalhosa é a associatividade uma vez que
teriamos que analisar todos ternos (a + b) + c = a + (b + c).
Mas se usarmos o algoritmo da divisão euclidiana esta demonstração fica simples,
veja.
Vamos antes demonstrar um teorema que torna tudo simples, é a regra que permite
passar do resto da soma para a soma dos restos.
Considere dois números inteiros x, y.
Chame r1 = resto5 [x] ; r2 = resto5 [y].
Podemos então escrever sucessivamente:
y = 5q + r2
′
(8.26)
x = 5q + r1
(8.27)
x + y = 5q ′′ + r2 + r1 = 5q ′′′ + r ; r = resto5 [r1 + r2 ]
(8.28)
resto5 [x + y] = resto5 [x] + resto5 [y]
(8.29)
A seqüência de equações acima mostra que resto preserva a adição dos inteiros, não
é um isomorfismo porque não é identificação entre os dois conjuntos Z e o conjunto
dos restos na divisão por 5 Z5 . Temos então uma palavra menos forte para este caso,
morfismo:
Definição 61 Morfismo
Um morfismo entre duas estruturas é uma representação que preserva a(as) operação(ões)
entre as duas estruturas.
Como o resto preserva a adição na passagem de Z para Z5 então é um morfismo4
de grupos.
Definição 62 Morfismo de grupos
f
Dados dois grupos (G1 , o1 ), (G2 , o2 ) uma função G1 → G2 tal que
• f (ao1 b) = f (a)o2 f (b)
• f (e1 ) = e2 em que e1 é o elemento neutro de (G1 , o1 ) e e2 é elemento neutro de
(G2 , o2 ) se chama um morfismo de grupos.
E demonstramos assim o teorema:
Teorema 80 Morfismo dos grupos (Z, +), (Z5 , +). A função resto5 é um morfismo
de grupos.
resto5 [x] + (resto5 [y] + resto5 [z]) =
(8.30)
como resto é morfismo de grupos:
(8.31)
resto5 [x + (y + z)] = resto5 [(x + y) + z]
(8.32)
porque a soma em Z é associativa
(8.33)
x + (y + z) = (x + y) + z
(8.34)
porque resto5 é um morfismo de grupos.
(8.35)
Portanto (Z5 , +) é um grupo comutativo, como os inteiros, relativamente åsoma:
Teorema 81 (Z5 , +) é um grupo comutativo
Podemos ver que semelhanças deste tipo ocorrem na divisão com polinômios. Vamos
estudar uma delas, construir um exemplo que mostrará como construir as congruências,
inclusive no caso dos inteiros.
8.5.1
Os restos na divisão por 1 + x2 .
Dados dois polinômios, definimos a divisão usando um algoritmo que é semelhante ao
divisão de inteiros:
Definição 63 Algoritmo da divisão euclidiana. Seja P, D dois polinô mios. Dizemos
que o polinômio Q e o polinômio R são respectivamente o quocieente e o resto na
divisão de P por D se e somente se
P = DQ + R
4 Há
autores que insistem numa denominação antiga, homomorfismo
Esta expressão é uma cópia do algoritmo usado na divisão de inteiros. Para os
inteiros a justificativa do algoritmo é a seguinte:
• Se P for divisı́vel por D então o resto é zero e a expressão fica: P = DQ.
• Se P não for divisı́vel por D então existe um múltiplo de D pelo inteiro m que
é menor que P e outro que pelo inteiro m + 1 que é maior do que P. Neste caso
escolhemos o inteiro m como quociente e calculamos a diferença:
P − mD = R
• O número inteiro R é menor do que D, caso contrário poderiamos ter escolhido
m + 1 como quociente. Reescrevendo a última expressão vem a fórmula do
algoritmo da divisão euclidiana:
P = mD + R ; 0 ≤ R < D
quer dizer que os restos possı́veis na divisão por D são
0, 1, · · · , D − 1.
Quando se foi fazer divisão com polinômios, se experimentou este algoritmo e deu
certo. As regras são um pouco mais complicadas, porque temos que pensar no grau,
em vez de “menor do que”.
• Querendo dividir P por 1 + x2 sabemos que o resto deve ter grau menor do que
o do divisor, portanto R é um polinômio do primeiro grau:
R(x) = a + bx.
Se a divisão der exata, então:
P = (1 + x2 )D ; grau(D) = grau(P ) - 2
• Se a divisão não der exata esta regra segue sendo obedecida. Então estamos
procurando um polinômio cujo grau seja duas unidades menor do que o grau de
P para ser o quociente, e um resto do primeiro grau.
Exemplo 50 Uma divisão
(x4 + 3x3 + x2 + x + 1) ÷ (x2 + 1)
x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)Q + R
x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)Q + ax + b
x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)(d2 x2 + d1 x + d0 ) + ax + b
x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = d2 x4 + d1 x3 + (d0 + d2 )x2 + d1 x + d0 + ax + b
x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = d2 x4 + d1 x3 + (d0 + d2 )x2 + (d1 + a)x + (d0 + b)
d2 = 1 ; d1 = 3 ; d0 + d2 = 1 ; d1 + a = 1 ; d0 + b = 1
d2 = 1 ; d1 = 3 ; d0 = 0 ; a = −2 ; b = 1
x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)(x2 + 3x) + (−2x + 1)
o resto da divisão é − 2x + 1
Podemos fazer as mesmas contas sem usar a variável5 Quando usamos apenas os
coeficientes se costuma escrever os polinômios em potências crescentes, assim
P ≡ (1, 1, 1, 3, 1) ≡ 1 + x + x2 + 3x3 + x4
(1, 1, 1, 3, 1) ÷ (1, 0, 1)
(1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)Q + R
(1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)Q + (b, a)
(1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)(d0 , d1 , d2 ) + (b, a)
(1, 1, 1, 3, 1) = (d0 , d1 , d0 + d2 , d1 , d2 ) + (b, a)
(1, 1, 1, 3, 1) = (d0 + b, d1 + a, d0 + d2 , d1 , d2 )
d2 = 1 ; d1 = 3 ; d0 + d2 = 1 ; d1 + a = 1 ; d0 + b = 1
d2 = 1 ; d1 = 3 ; d0 = 0 ; a = −2 ; b = 1
(1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)(0, 3, 1) + (1, −2)
o resto da divisão é (1, −2)
Quer dizer que o resto na divisão por (x2 + 1) é o conjunto de todos os polinômios
do primeiro, R1 [x], ou todos os pares de números (a, b) ∈ R2 . Observe as comparações
que estamos fazendo, (mais representações...
Vamos explorar um pouco mais este exemplo, veremos alguns fatos excitantes.
Vamos fazer algumas contas:
Exercı́cios 40 Cálculo com restos
1. Use o algoritmo da divisão euclidiana para calcular o resto de
(a + bx)(c + dx)
na divisão por 1 + x2
2. congruência Tente estabelecer uma regra para as operações de soma e multiplicar
com os restos:
a + bx + c + dx ; (a + bx)(c + dx)
A resposta do último exercı́cio é:
• Como os restos são polinômios do primeiro, então a soma dos restos é a soma
dos dois polinômios do primeiro grau: a + bx + c + dx = (a + c) + (b + d)x
• No caso do produto, multiplicando os dois restos temos:
bdx2 + (ad + bc)x + ac
que dividido por x2 − 1 é:
bd
(ad + bc) ac
1
0 1
A regra que procuravamos é: o resto
−bd 0
−bd
bd
0
ad + bc
ac − bd
será: (ad+bc)x+(ac−bd). Compare com a multiplicação de números complexos...
5 Usar
ou não a variável é uma questão de gosto.
Este conjunto, o dos restos de um polinômio qualquer na divisão por 1 + x2 vai
ser denominado R[x]/(1 + x2 ). Como os restos são classes de equivalência, a notação
acompanha a idéia, temos um conjunto quociente. Ele é formado de todos os polinômios
do primeiro grau e nele valem as regras operatórias que terminamos de descobrir.
Exercı́cios 41 Congruências
1. Calcule as duas taboadas, de adição e de multiplicação para os restos na divisão
por 5.
2. Verifique que (Z5 , +, ·) tem as mesmas propriedades que (Q, +, ·) e portanto é
um corpo.
3. classes de equivalência Observe que os restos são etiquetas, eles representam todos os números inteiros que deixam aqule resto na divisão. Apresente as classes
de cada resto na divisão por 5, (estas classes se chamam “classes módulo 5”).
4. classes de equivalência Apresente todas as classes módulo 4, mó dulo 3, módulo
2.
5. Resolva a equação 3x + 4 = 2 em (Z5 , +, ·).
6. Calcule as duas taboadas, de adição e de multiplicação para os restos na divisão
por 4.
7. Verifique que (Z4 , +, ·) não tem as mesmas propriedades que (Z5 , +, ·), verifique
qual a propriedade que falha. Verifique que em Z4 é possı́vel encontrar x 6=
0, y 6= 0 tal que xy = 0. Chamam-se divisores de zero.
8. Verifique que (Z6 , +, ·) não tem as mesmas propriedades que (Z5 , +, ·), verifique
qual a propriedade que falha. Verifique que em Z6 é possı́vel encontrar x 6=
0, y 6= 0 tal que xy = 0. Chamam-se divisores de zero.
9. Verifique que (Z7 , +, ·) tem as mesmas propriedades que (Q, +, ·) e portanto é
um corpo.
10. Resolva a equação 5x + 4 = 3 em (Z7 , +, ·).
11. Defina um isomorfismo entre os restos na divisão por x2 + 1 do conjunto de
todos os polinômios e o conjunto R2 . Naturalmente agora você sabe somar e
multiplicar em R2 . Calcule
(1, 2) + (3, 4) (1, 2)(3, 4) (1, 0)(1, 0) (0, 1)(0, 1)
Compare com as operações dos números complexos.
12. Prove6 que em R[x]/(x2 + 1) existe um elemento neutro para multiplicação e
que para todo resto a + bx existe outro resto c + dx tal que (a + bx)(c + dx) = 1.
13. Prove que R[x]/(x2 + 1) é um corpo, quer dizer, que (R2 , +, ·) em que a adição
é aquela definida pelo isomorfismo, assim como o produto, é um corpo.
Este corpo, definido com o conjunto R2 tem uma representação geométrica, é
o plano, é o conjunto dos números complexos.
6 se
voce usar apenas os coeficientes e a regra operatória já descoberta, fica tudo mais fácil.
Referências Bibliográficas
[1] Courant, Richard Gauss and the present situation of the exact sciences in The
Spirit and the uses of the Mathematical Sciences - McGraw-Hill - paperbacks - 1969
[2] Hilbert, David Grundlager der geometri
[3] Lang, Serge Estruturas Algébricas
[4] Menezes, Darcy Lear de Abecedário da Álgebra - Nobel - 1969 (apenas para ser
consultado)
[5] Nachbin, Leopoldo - Introdução à Álgebra
291
Índice Remissivo
Cnp , 38
Cnp , 33, 43
N, axiomas, 92
N, primeiro elemento, 91
Π(A), 44
Q
classes de equivalência, 111
Q, última definição, 110
Q, definicao, 100
Q, redefinicao, 108
S1 , 250
Z
adição, 93, 94
anel, 98
ordem, 93, 95
produto, 95, 97
propriedades, 96
troca de sinal, 93
valor absoluto, 94
Z, Q são compatı́veis, 104, 105
área, 15
Q, 100
ângulo
coeficiente angular, 147
área de um retângulo, 134
árvore de possibilidades, 53
ı́nfimo, 69
último teorema de Fermat, 124
Q+ , Q− , 115
biúnivoca, correspondência, 123
a reta numérica, 123
absoluto, valor, 94
abstração, 167
absurdo, demonstração, 116
acaso, 40
acréscimo, 82
adição em N, 90
adição em Q, 101
adição em Z, 93, 94
adição, complexos, 241
adição, propriedades, 91
adição, propriedades em Q, 105
adição, propriedades em Z, 95
adição do tempo, 17
adição, tempo, 17
agregado, 18
algébrica
computação, 137
algébricos, números, 123, 124
algarismos e letras, 18
algoritmo
divisão euclidiana, 286
anônimo, logaritmo, 224
anel
polinômios, 285
aplicação de partição, 46
aritmética
progressão, 139, 141
sucessão, 139
arquimediana
propriedade, 115
arquimediana, propriedade de R, 135
arranjo
com repetição, 32
simples, 32
arranjos, 53
arranjos com repetição, 54
arranjos simples, 54, 56
arranjos, o número, 54
axiomas
números naturais, 92
axiomas de Peano, 91
Báscara
fórmula, 175
base
algarismo, 264, 274
numeração, 261, 264, 273, 274
292
casa, 264, 274
base de numeração, 261, 273
bijetiva, função, 80
bijetora, função., 80
binômio de Newton, 48, 50
cı́rculo
módulo, 128
cadeia, 69
cardinalidade, 20
classe de equivalência, 44
classes, 45
de números complexos, 256
classes!geometria, 110
classes!interpretação geom., 111
classes módulo n, 289
classificação, 44
codificação, 77
codificação, decodificação, 78, 81
coeficiente, 264, 274
angular, 148
ângulo, 147
combinação, 43
combinações, 33, 37
compatibilidade de Z com Q, 104, 105
complexos, adição, 241
complexos, inverso multiplicativo, 244
complexos, módulo, 244
complexos, multiplicação, 244
complexos, produto, 242
computação algébrica, 137
congruência, 289
congruênicias, 289
conjectura sobre Z, 92
conjugado, 248, 252
conjunto
estrutura, 13
figura plana, 13
finito, 15
limitado, 15
número de elementos, 20
parcialmente ordenado, 68
partes, 33
totalmente ordenado, 68
unitário, 33
vazio, 33
conjunto de funções, 267, 277
conjunto de polinômios, 267, 277
conjunto dos reais, 123
conjunto finito, 15
conjunto infinito, 15, 16
conjunto limitado, 15
conjunto, elemento, 10
conjuntos
estrutura, 27
ferramenta, 9
linguagem, 9
operações, 21
conjuntos das partes, 33
conjuntos numéricos, 90
Construção de N, 92
construção de N, 91, 92
construção de Z, 93
contagem, princı́pio, 56
contra-domı́nio, 72
convolução, 271, 272, 281, 282
de sucessões, 267, 277
polinômios
produto, 267, 277
corpo ordenado dos racionais, 106
correspondência biúnivoca, 123
correspondência sobre, 123
cruzamento de informações, 46
dı́vida externa, 168
dados estruturados, 16
Decimal, logaritmos, 212, 218, 219, 222
decodificação, codificação, 78, 81
dedução lógica, 38
definição de Q, a última, 110
definição de Q, 100
definição de função, 74
demonstrar ou não demonstrar, 26
denominador e numerador, 101
Descartes, René, 148
desigualdade e adição, 134
desigualdade e multiplicação, 134
desigualdade em Q, 105
determinante, 160
diferença entre conjuntos, 21, 24
diferenças
delta, 82
diferença simétrica, 27
diferenças
∆, 145
difusos, limites, 44
discriminante, 175
divisão
algoritmo, 287–289
exemplo, 288
inteiros, 285
polinômios, 285
divisão euclidiana, 287
divisores de zero, 289, 290
domı́nio, 72
e ≈ 2.718281, 221
elemento de um conjunto, 10
equações
sistemas lineares, 157
equidistantes, termos, 88
equivalência
classes de
números complexos, 256
equivalência de frações, 110
escolha
independência, 44
estatı́stica, 33
estrutura, 18, 90
polinômios, 283, 285
estrutura aditiva, 17
estrutura algébrica das horas, 96
estrutura algébrica de (Q, +), 106
estrutura algébrica de (Z, +), 96
estrutura algébrica de N, 90
estrutura algébrica de R., 134
estrutura complexa, 18
estrutura de ordem, 18
estrutura nos conjuntos, 27
estrutura zero, 15
estrutura, conjunto, 13
estruturados, dados, 16
estruturas, 15, 18
estruturas algébricas, 18
extremal, 69
fórmula de Moivre, 252
fórmula fundamental, logaritmos, 225
fatorial, 39
Fermat, o último teorema de, 124
figura, 126
...., 132, 133
área do trapésio, 144
adição vetorial, 128
conjugado, 249
Conjuntos
Diferença, 25
diferença de vetores, 128
equação da reta, 150
forma polar, 251
frações, 100
função linear, 87
função linear afim, 83, 85
grafo, 14
Inclusão, 12
Interseção, 22
Intervalo, 114
logaritmo, 238, 239
logaritmos, 238
geometria, 243
parábola, homotetias, 237
paralelogramo, 125
plano cartesiano, 149
polinômios, 284
Produto
produto
matrizes, 159
raı́zes da unidade, 255
raı́zes quintas de 7, 259
Raizes, 116
raizes cúbicas, 259
raizes da unidade, 257
raizes de dois, 258
Reta
Reta e P.A., 146
Retas
retas paralelas, 151
segundo grau, 234–236
sistema
equações lineares, 158
Soma de Segmentos, 127
soma dos termos
P.A., 143
translação, 236
translacoes, 237
União, 21, 61, 62
figuras planas, 18
fina
partição, 45
finito, conjunto, 15
forma polar, 250, 251
fração, 101
frações
inter. geométrica, 112
frações, equivalência, 110
função, 72
linear afim, 81
propriedades, 75
função bijetiva, 80
função bijetora, 80
função injetiva, 78
função injetora, 78
função polinomial, 82
função sobrejetiva, 79
função sobrejetora, 79
função troca de sinal, 93
função, definição, 74
funções polinomiais, 267, 277
função
imagem, 75
primeiro grau, 149
segundo grau, 170
função linear afim
P.A., 141, 145
Gauss
inteiros de, 253
geometria
Girard
Relações, 174, 180
relaç oes, 245
GPL, 137
gráfico
adição, 130
desigualdade, 130
evolução do dolar, 74
Histograma, 73
módulo, 129
multiplicação, 129
racionais e inteiros, 102
reais, 129, 130
gráficos de funções., 75–77, 80
grafico
grafo
nós, 14
granularidade, 220, 222
grau, 263–265, 274, 275
dimensão, 265, 275
primeiro
função, 149
segundo
função, 170
grossa
partição, 45
grupo
Z, 287
Z5 , 287
horas, 96, 97
grupo aditivo (R, +), 131
grupo multiplicativo (R, ·), 134
grupos, morfismo de, 286
homomorfismo, 286
horas, estrutura algébrica, 96
horas, taboada, 96
idéias básicas, 9
imagem, função, 75
imaginárias, raizes, 240
inclusão, 18, 20
incompleta
equação, 178
independência de escolhas, 44
indução finita, 35
informação, 18
injetiva, função, 78
injetora, função., 78
inteiros
racionais
reais, 124
inteiros de Gauss, 253
interpretação geométrica, 110, 111
interseção de conjuntos, 21
interseção, 27
invenção de Z, 93
irracional
número, 124
isomorfismo, 271, 272, 282, 284, 285
juros, 139
prestações, 143
juros simples, 142
lei das proporções, 110
letras e algarismos, 18
limitado, conjunto, 15
limites difusos, 44
linear
função, 86
função, 136, 138
lineares
sistemas de equações, 157
linguagem, pobreza, 16
logaritmo
anônimo, 224
Logaritmo Decimal, 212, 218, 219, 222
logaritmos
anônimos, 228
decimais, 230
fórmula fundamental, 225
Napier, 203
logaritmos anônimos, 229
m.m.c, 113
m.m.c. e soma de frações, 112
máximo, 69
métodos aritméticos, 90
mı́nimo, 69
módulo, 128
cı́rculo, 128
módulo de x ∈ R, 128
matricial
produto, 250
matriz, 157, 158
Maxima, 137
maximais, 69
minimais, 69
mmc, 101
Moivre
fórmula, 252
morfismo, 286
de grupo, 287
morfismo de grupos, 286
multi-base
datas, 264
numeração, 264, 274
multiplicação
multiplicação em N, 90
multiplicação, propriedades, 91
multiplicação, propriedades em Q, 106
multiplicação, propriedades em Z, 97
multiplicação
matrizes, 158
multplicação geométrica, 132
museu, 203, 211, 216
n, 39
n(P(A)), 51
números
soma, 145
número complexo, 241
número de elementos, 51
número inteiro negativo, 93
número inteiro positivo, 93
número racional, 99
números algébricos, 123, 124
números combinatórios, 43
números combinatórios, 43
números complexos, 240, 290
números naturais
axiomas, 92
números reais, 123
números reais negativos, 124
números reais positivos, 124
números transcendentais, 123, 124
não pertence, 10
Napier
logaritmos, 203
negativo, número inteiro, 93
negativos, números reais, 124
negativos, racionais, 109
Newton, binômio, 48, 50
noção primeira, 9
noções básicas, 9
notação
palavras, 267, 278
numeração
base, 264, 274
multi-base, 264, 275
sistema complicado, 264, 274
numeração, base, 261, 273
numerador e denominador, 101
numeros
sentido contrário, 125
o conjunto Q, 100
O plano complexo, 244
operaçõe, prioridade, 24
ordem
irrelevante, 43
ordem em N, 92
ordem parcial, 68
ordem total, 68
ordem, estrutura de, 18
ordem, relação, 68
ordenados, pares, 29
P(A), 51
P.A., 145
equidistantes
termos, 145
soma dos termos, 145
p.a., 87, 88
P.G
P.G.
laboratório básico, 166, 167
p.g., 89
paralelogramo
degenerado, 126
regra, 125
parcial, ordem, 68, 71
pares ordenados, 29
parte
imaginária, 252
real, 252
parte imaginária, 252
parte inteira de x ∈ R, 135
parte real, 252
partes, conjunto das, 19
partição, 44
partição, aplicação, 46
partição, 44
mais fina, 45
mais grossa, 45
Pascal
triângulo, 20, 34
triângulo, 33, 34
Pascal, triângulo de, 19
Peano, axiomas, 91
permutação, 57
permutações, 57
pertence, 10
pertinência, 18, 20
pobreza de linguagem, 16
polar, forma, 250
polinômio
grau, 263
operação, 263
primeiro grau, 136
polinômio
definição, 265, 275
função, 82
grau, 82
valor, 82
álgebra, 266, 276
anel dos, 260, 266, 276
equações, 266, 277
estrutura, 265, 275
funções, 267, 277
funções polinomiais
representação, 269, 279
grau, 265, 275, 276
grau zero, 265, 275
grupo dos, 266, 276
igualdade de, 268, 269, 279
inverso
multiplicativo, 266, 277
multiplicação, 269, 279
multiplicação, 270, 280
números, 265, 275
propriedades, 266, 276, 277
representação, 269, 270, 279, 281
polinomial
função, 263, 274
positivo, número inteiro, 93
positivos, números reais, 124
possibilidades, árvore, 53
Potências de i, 245
prática e teoria, 47
primeiro elemento de N, 91
princı́pio da contagem, 56
princı́pio do terceiro excluso, 116
Principia Matemática, 91
prioridade, operações, 24
produto cartesiano, 63
produto e matriz, 250
produto, complexos, 242
produto, raiz, 240
programa
estensão da adição, 118
estensão da desigualdade, 118
estensão da multiplicação, 118
progressão
aritmética, 87, 137, 138
razão, 138
termos equidistantes, 144
geométrica, 89, 165
razão, 165
progressão aritmética
proporções, lei, 110
propriedade arquimediana da reta, 115,
135
propriedade associativa, 23
propriedades
imagem de f , 75
propriedades da adição, 91
propriedades
propriedades
propriedades
propriedades
propriedades
propriedades
propriedades
da adição em Q, 105
da adição em Z, 95
da multiplicação, 91
da multiplicação em Q, 106
da multiplicação em Z, 97
da ordem em N, 92
dos restos, 286
quadrados
completação, 173
quase decimais, logaritmos, 219
quase-partição, 93, 108
quociente
restos na divisão, 289
raı́zes complexas, 176
racionais negativos, 109
racionais, corpo ordenado, 106
racional, número, 99
raiz do produto, 240
raizes
da unidade, 252
de um número complexo, 252
relações, 272, 273, 283
raizes imaginárias, 240
razão
p.a., 87
p.g., 89
progressão aritmética, 138
progressão geométrica, 165
reais √
2, 123
√
n, 123
a reta, 122, 123
adição, 124
conjunto dos, 122
reais, conjunto dos, 123
reais, números, 123
redefinição de Q, 108
regra do paralolgramo, 125
relação de ordem, 68
relação de ordem parcial, 68, 71
relação de ordem total, 68
relações, 65
repitição proibida, 43
representação, 261, 263, 268, 270, 273, 274,
278, 280
inteiros em Q, 270, 281
racionais na reta, 270, 281
representação
geométrica, 242
resto
polinômios, 289
restos
operações, 285, 289
propriedades, 286
reta
a multiplicação, 132
coeficiente linear, 84
corpo ordenado, 134
equações, 135
equação, 148
grupos multiplicativos, 134
inverso aditivo, 131
o grupo aditivo, 131
o zero, 131
os inteiros, 131
os racionais, 131
passando em (α, β), 153
relação de ordem, 134
reta numérica, 15
Russel, 92
sacado, 52
segundo grau
equação, 175
sentido, 125
simples
redução
ao caso, 167
sinal de um número, 129
sinal, troca, 93, 128
sistema
não linear, 174
sobre, correspondência, 123
sobrejetiva, função, 79
sobrejetora, função., 79
soma
primeiros n números, 145
soma de frações e m.m.c., 112
subconjunto, 11
subconjunto próprio, 267, 278
sucessões finitas, 271, 281
sucessor em N, 91
supremo, 69
tabela
granularidade, 220
taboada das horas, 96
tabuada
restos por cinco, 286
tabuada das horas, 96
taxa
de Variação, 172
taxa de variação, 171
tempo, adição, 17
teoria dos números, 124
teoria e prática, 47
termo geral, 87
termos equidistantes, 88
total, ordem, 68
transcendentais, nú meros, 124
transcendentais,números, 123
transformação, codificação, 77
transformações, 81
translações, 149, 170
triângulo de Pascal, 19, 20, 34
triângulo de Pascal, 33, 34
tricotomia, 66
trigonométrico
cı́rculo, 250
troca de base, 223
troca de sinal em Q, 104
troca de sinal, função, 93
troca sinal
função, 128
união, 27
união de conjuntos, 21
valor absoluto, 94
valores subjetivos, 78
variável, 11
Variação, 172
variação
taxa, 171
vetores
adição, 125
represen. geométrica, 125
zero, negativo, 93
zero, positivo, 93

Introduç˜ao `a Matemática Universitária

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