Métodos Quantitativos aula 1

Métodos Quantitativos
aula 1
Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano
Insper Ibmec São Paulo
PROBABILIDADE CONDICIONAL - Informação Adicional
•Ter o privilégio do conhecimento prévio em relação ao
mercado concorrente sempre faz a diferença na hora de
escolher ou executar um negócio.
•Trabalhar com probabilidade, uma vez conhecida informação
adicional, faz com que a imprevisibilidade no cálculo se
torne menor.
Definição
A probabilidade condicional de um evento A dado que se
conhece um evento B, é igual a probabilidade da ocorrência
conjunta de A e B, dividida pela probabilidade da ocorrência
do evento B.
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Exemplo
Jogou-se um dado com 6 faces. Uma vez que se verificou que o
resultado é um número par, qual a probabilidade de ser 2?
Ω = {1,2,3,4,5,6}
Espaço amostral
eventos
A={número 2} = {2}
B={número par} = {2,4,6}
1
P(A) =
6
3
P(B) =
6
{um numero 2}
1
P(A | B) =
3
{3 números pares}
Exercício
Dois dados são lançados. Sejam os eventos
A = {a soma dos resultados é 10}
B = { o primeiro resultado é maior que o segundo}
Encontre a probabilidade P(B| A).
Resposta
O espaço amostral
A\B
1
2
3
4
5
6
Resultado do
primeiro dados
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
Resultado do segundo dado
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
Evento A (soma igual a 10)
A\B
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
O evento A = { (6,4), (5,5), (4,6) }. Só existe um caso onde o primeiro resultado é maior que
o segundo {evento B}, que é o par (6,4). Logo
1
P(B | A) =
3
Observação
Observe que a probabilidade de B ocorrer é diferente da
probabilidade condicional.
15
P(B) =
≈ 0,41
36
A\B
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
Tipos de Decisão
•Decisão com Certeza
Quando se escolhe a alternativa a ser tomada, já se sabe se o
resultado final é bom ou não.
Ex: {recebeu como prêmio um automóvel e recusou!}
•Decisão com Incerteza
Quando se escolhe uma alternativa e não se sabe se a solução
será acertada ou não.
Ex: {compra de ações, aquisições de imóveis, etc.}
DECISÃO COM CERTEZA
Decisão Boa
Decisão Ruim
Resultado BOM
Resultado RUIM
DECISÃO COM INCERTEZA
Resultado Bom?
Decisão Boa?
Resultado Ruim?
Decisão Ruim?
Resultado Bom?
Resultado Ruim?
Exemplo
Você tem a oportunidade de ganhar R$100,00 se você acertar se a face de um dado é par ou
ímpar. No entanto, essa oportunidade não é gratuita. Para jogar você deve pagar R$35,00.
Há somente uma chance para investir. Você aceitaria?
Como avaliar essa oportunidade?
As típicas respostas...
¾ Eu posso perder R$35,00, está barato esse jogo.
¾ Eu poderia ganhar R$100,00 e eu tenho muita sorte.
¾ Eu jogaria uma moeda para decidir.
¾ Eu preciso perguntar para a esposa.
¾ Eu não aposto em jogos.
¾ Minha taxa de retorno é .....
A árvore da decisão
A decisão a ser tomada é investir ou não investir R$35,00 na oportunidade de
receber R$100,00 ou R$0,00.
Não Investir
Não Investir
Ganhou
+R$100,00
Investir
-R$35,00
Perdeu
R$0,00
Tipos de informações que ajudariam ao decisor
•O número de lados do dado.
•A freqüência dos resultados do dado para ver sua honestidade.
•Quem jogará o dado?
Como projetar o ramo da aleatoriedade?
R$100,00
correto
p
1-p
incorreto
R$0,00
Oportunidade é a soma dos possíveis resultados.
Podemos escolher somente as oportunidades, não seus
resultados.
Oportunidade
A
Oportunidade
B
Resultados para
A
Resultados para
B
Valor Monetário Esperado (VME)
É a média dos resultados favoráveis e desfavoráveis ponderados
pelas probabilidades.
Estudo de Caso
Aquisição de Empresas
Uma grande empresa deseja fazer uma aquisição de outras três empresas menores
{A,B,C}, concorrentes do setor, em situação financeira complicada. A empresa
compradora, no entanto, antes de realizar as aquisições, deseja traçar um cenário e avaliar a
possibilidade de lucro nos meses após essas aquisições. As três empresas tem o seguinte
comportamento:
EMPRESA “A”
Deseja lançar dois produtos novos. A empresa acredita que com 80% de chances, o
produto A1 implacará e fornecerá um lucro de R$10,00 por produto e com 20% de chances
um prejuízo de R$1,00 por produto. Da mesma forma para o produto A2 a empresa crê que
com 40% de chances ele terá um lucro de R$4,00 por produto e 60% de chances de prejuízo
de R$5,00 por produto. Essa empresa está em dúvida qual dos dois produtos ela lançará
diante das concorrências do mercado e do setor. Existe por parte da diretoria 60% de
chances de lançar o produto A1 e 40% de chances de lançar A2.
VME (A)
VME ( A ) = 0,6 × (0,8 × 10 + 0,2 × (−1) ) + 0,4 × (0,4 × 4 + 0,6 × (−5) ) = R $4,12
Empresa “B”
Deseja lançar dois produtos novos. A empresa acredita que com 30% de chances, o
produto B1 implacará e fornecerá um lucro de R$3,00 por produto e com 70% de chances
um prejuízo de R$3,00 por produto. Da mesma forma para o produto B2 a empresa crê que
com 20% de chances ele terá um lucro de R$9,00 por produto e 80% de chances de prejuízo
de R$5,00 por produto. Essa empresa também está em dúvida sobre qual dos dois produtos
ela lançará diante das concorrências do mercado e do setor. Uma sondagem mostrou uma
divisão entre os diretores sendo que 50% desejam lançar o produto B1 e 50% desejam
lançar B2.
VME (B)
VME ( B) = 0,5 × (0,3 × 3 + 0,7 × (−3) ) + 0,5 × (0,2 × 9 + 0,8 × (−5) ) = − R $1,7
EMPRESA “C”
Também deseja lançar dois produtos novos. A empresa acredita que com 50% de chances,
o produto C1 fornecerá um lucro de R$4,00 por produto e com 50% de chances um prejuízo
de R$5,00 por produto. Da mesma forma para o produto C2 a empresa crê que com 40% de
chances ele terá um lucro de R$8,00 por produto e 60% de chances de prejuízo de R$4,00
por produto. Essa empresa também está em dúvida sobre qual dos dois produtos ela lançará
diante das concorrências do mercado e do setor. Uma sondagem mostrou uma divisão entre
os diretores sendo que 30% deseja lançar o produto C1 e 70% de chances de lançar C2.
VME (C)
VME (C) = 0,3 × (0,5 × 4 + 0,5 × (−5) ) + 0,7 × (0,4 × 8 + 0,6 × (−4) ) = R $0,41
A árvore completa
VME(A)
VME(B)
VME(C)
Qual a ordem das decisões?
•1a. Preferência - A - VME: + R$4,12
•2a. Preferência - C - VME: + R$0,41
•3a. Preferência - B - VME: - R$1,70
A Volatilidade do VME
dp = ± VME ( x ) − VME ( x )
2
Valor quadrático médio
2
Valor Médio ao quadrado
No Exemplo das Empresas
Valor Quadrático Médio
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
VME(A 2 ) = 0,6 × 0,8 ×10 2 + 0,2 × (−1) 2 + 0,4 × 0,4 × 4 2 + 0,6 × (−5) 2 = R $56,68
VME(B2 ) = 0,5 × 0,3 × 32 + 0,7 × (−3) 2 + 0,5 × 0,2 × 9 2 + 0,8 × (−5) 2 = R $22,6
VME(C 2 ) = 0,3 × 0,5 × 4 2 + 0,5 × (−5) 2 + 0,7 × 0,4 × 82 + 0,6 × (−4) 2 = R $30,79
Intervalo de Confiança para (68%)
dp(A) = ± VME (A 2 ) − VME ( A) 2 = ± 56,68 − (4,12) 2 = ± 39,7 = ± R $6,3
dp(B) = ± VME (B 2 ) − VME ( B) 2 = ± 22,6 − (1,7) 2 = ± 19,7 = ± R $4,4
dp(C) = ± VME (C 2 ) − VME (C) 2 = ± 30,79 − (0,41) 2 = ± 30,62 = ± R $5,5
Cenários Otimistas e Pessimistas