Der Nabla-Kalkül und die Eigenschaften von Feldern

Der Nabla-Kalkül und die Eigenschaften von Feldern
Eine Feldfunktion f ( ⃗r , t) ordnet jedem Punkt ⃗r , des Raumes zum Zeitpunkt t eine
⃗ ,⃗
⃗ ] oder ein Tensor
physikalische Größe f zu. f kann ein Skalar [T, p, U] , Vektor [ E
F ,H
̃
[σ̃ , J ] sein.
Von Interesse sind die räumlichen und zeitlichen Eigenschaften solcher Felder; zu deren
Charakterisierung kann der Nabla-Operator mit Vorteil verwendet werden.
Er ist ein Differentialoperator mit Vektorcharakter und im kartesischen Bezug definiert durch
∇ = ∂ ; ∂ ; ∂ ≡ ex ∂  ey ∂  ez ∂
∂x ∂ y ∂ z
∂x
∂y
∂z
Für krummlinig orthogonale Koordinaten qi
Definition:
∇= ei
mit Skalenfaktoren gi lautet die allgemeinere
∂ = 1 ∂ , 1 ∂ , 1 ∂ 
gi ∂ qi
g 1 ∂ q1 g 2 ∂ q 2 g 3 ∂ q3
Hinweis: Für kartesische Koordinaten sind alle Skalenfaktoren Eins !
Gradient, Divergenz und Rotation machen als Differentialoperationen Aussagen über die
räumlichen Feldeigenschaften. Der Gradient gibt die Änderung eines skalaren Feldes beim
Fortschreiten um d ⃗r an; Divergenz und Rotation liefern Aussagen über die Quellen bzw. Wirbel
von Vektorfeldern.
Merke: grad, div, rot sind historische, aber immer noch gebräuchliche Schreibweisen. Es gilt
grad U =∇ U (grad nur anwendbar auf skalare Felder (später auch Vektorfelder: Vektorgradient)
⃗ =∇⋅F
⃗ =q( ⃗r ) mit Quelldichte q(r) (div wirkt auf Vektorfelder)
div F
⃗ =∇ × F
⃗ =w
rot F
⃗ (⃗r ) mit Wirbeldichte w( r) (rot wirkt auf Vektorfelder)
Weitere Definitionen:
2
Laplace-Operator
Richtungsableitung
2
2
= ∇⋅∇= ∂ 2  ∂ 2  ∂ 2
∂x
∂y
∂z
∂U
=e⃗s⋅∇ U ( ⃗r )
∂s
Totale Zeitableitung
d U ∂U ∂U
∂U
∂U
∂U
=

ẋ 
ẏ
ż =

v⋅∇ U
dt
∂t
∂x
∂y
∂z
∂t
mit konvektivem Term ⃗v⋅∇ U
Hinweis:
Der Nabla-Kalkül erlaubt die Anwendung bekannter Regeln aus der linearen Algebra.
Es gilt z.B.:
rot grad U =∇ ×∇ U ≡0 (formales Kreuzprodukt aus 2 gleichen Vektoren)
⃗ )≡0 (formales Spatprodukt enthält 2 gleichen Vektoren)
div rot ⃗E =∇⋅( ∇× E
Gradientenfelder
Voraussetzung: U (⃗r ) sei ein skalares Feld (total differenzierbar)
Die kompakte Schreibweise für das totale Differential
dU =∇ U⋅d ⃗r
wird oft als
Definitionsgleichung des Gradienten bezeichnet.
Merke: Der Gradient ist ein Vektor, der in Richtung des größten Anstieges von U zeigt und gleich
dessen Betrag pro Längeneinheit ist.
Konservative Kraftfelder und wegunabhängiges Integral
Konservative Kraftfelder sind wirbelfrei und lassen sich durch Gradientenbildung aus einem
Potential berechnen: Wegen rot grad U ≡0 (Beweis auch mit Satz von Schwarz in kartesischen
⃗ =0 . Dann und nur dann ergeben sich 3
Koordinaten) gilt die notwendige Bedingung rot F
⃗ aus einem skalaren Potential U !
Komponenten des Vektorfeldes F
⃗r
Die Umkehrung der Relation
⃗ =−grad U lautet
F
U =−∫ ⃗
F⋅d ⃗r
r⃗0
Für konservative Felder ist das Wegintegral im Raum unabhängig vom Weg zwischen Anfangs- und
Endpunkt, denn es gilt:
r⃗2
r⃗2
−∫ (−∇ U )⋅d ⃗r =∫ d U =U ( r⃗2)−U ( r⃗1)
r⃗1
r1
⃗
Hinweis: Eine analoge Relation gilt in der Elektrostatik zwischen elektr. Feld und elektr. Potential.
Integralsätze
Integralsatz von Gauß
∭( ∇⋅⃗B (⃗r )) dV = ∯
V
⃗
B ( ⃗r )⋅d ⃗
S
S =∂V
Integralsatz von Stokes:
∬ ( ∇× ⃗E (⃗r ))⋅d ⃗A= ∮
A
⃗ ( ⃗r )⋅d ⃗r
E
C =∂S
Rechnen mit dem Nabla-Operator (Beispiele)
∇ r= e⃗r=⃗r / r ; ∇ U (r )=U ´ (r ) e⃗r ; ∇⋅⃗r =3 ; ∇×⃗r =0 ; ∇ (U⋅V )=U ∇ V +V ∇ U
Entwicklungssätze für Divergenz und Rotation
∇⋅(φ ⃗
A)=(∇ φ)⋅⃗
A+φ(∇⋅⃗
A)
∇×(φ ⃗
A)=(∇ φ)× ⃗A+φ( ∇× ⃗
A)
Weitere Identitäten:
∇⋅( ⃗
A× ⃗
B )= ⃗
B⋅( ∇ × ⃗
A )− ⃗A⋅( ∇× ⃗
B)
⃗ )− ⃗
∇×( ⃗
A× ⃗
B)= ⃗
A (∇⋅B
B (∇⋅⃗A)+( ⃗
B⋅∇ ) ⃗
A−( ⃗
A⋅∇ ) ⃗
B
Wichtig !
Die folgende Relation liefert die allgemeine Vorschrift für die Anwendung des Laplace-Operators
auf Vektorfelder (nach formaler Anwendung der Regel ‚bac-cab’)
∇×(∇× ⃗
A)=∇ ( ∇⋅⃗A)−Δ ⃗
A
→
Δ⃗
A=∇ ∇⋅⃗A−∇ ×( ∇ × ⃗A)
Beachte: Nur in kartesischen Koordinaten gilt:
Δ⃗
A=Δ A x e⃗x +Δ A y e⃗y +Δ Az e⃗z=Δ Ai e⃗i