Formelsammlung, endgültige Fassung

E INFÜHRUNG
IN DIE
F INANZMATHEMATIK
Boris Girnat
Technische Universität Braunschweig
Institut für Elementarmathematik und Didaktik der Mathematik
Wintersemester 2005/06
Formelsammlung
1 Standardbezeichnungen
P
F
i
n
A
N
r
r∅
idyn
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Gegenwärtiges Kapital (present value)
Zukünftiges Kapital (future value)
je Zeiteinheit gleich bleibender Zinssatz (interest rate)
Anzahl der Zeiteinheiten
gleich bleibende Kapitalveränderung je Zeiteinheit
Nennwert einer Anleihe (zugleich einmalige Auszahlung bei Vertragsende)
Inflationsrate
durchschnittliche Inflationsrate
Dynamikfaktor
2 Zinseszinsrechnung
2.1 Einfach Wiederverzinsung
Typische Anwendung: Wird das Kapital P zu einem gleich bleibenden Zinssatz i in einem
Zeitraum von n Zeiteinheiten (meistens Jahren) verzinst, so wird nach diesem Zeitraum
der Betrag F ausgezahlt:
F = P · (1 + i ) n
2.2 Ratensparen mit Wiederverzinsung ohne Ruhejahr
Typische Anwendung: Wird zu Beginn jeder Zeiteinheit der gleich bleibende Betrag A eingezahlt und zu einem gleich bleibenden Zinssatz i in einem Zeitraum von n Zeiteinheiten
verzinst, so steht am Anfang des n-ten Zeitraumes (d. h. unmittelbar nach Einzahlung der
n-ten Rate) der Betrag F zur Verfügung:
F = A·
(1 + i ) n − 1
(1 + i ) − 1
Werden dabei die Raten um den Dynamikfaktor idyn multiplikativ verändert (d. h. Am+1 =
Am · (1 + idyn )), so ist F unter ansonsten gleichen Bedingungen:
F = A·
(1 + i )n − (1 + idyn )n
(1 + i ) − (1 + idyn )
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2.3 Ratensparen mit Wiederverzinsung und Ruhejahr
Typische Anwendung: Wird zu Beginn jeder Zeiteinheit der gleich bleibende Betrag A eingezahlt und zu einem gleich bleibenden Zinssatz i in einem Zeitraum von n Zeiteinheiten
verzinst, so wird am Ende des n-ten Zeitraumes der Betrag F ausgezahlt:
F = A · (1 + i ) ·
(1 + i ) n − 1
(1 + i ) − 1
Werden dabei die Raten um den Dynamikfaktor idyn multiplikativ verändert (d. h. Am+1 =
Am · idyn ), so ist F unter ansonsten gleichen Bedingungen:
F = A · (1 + i ) ·
(1 + i )n − (1 + idyn )n
(1 + i ) − (1 + idyn )
2.4 Wiederverzinsung mit Ein- oder Auszahlung
Typische Anwendung: Wird das Kapital P zu einem gleich bleibenden Zinssatz i in einem
Zeitraum von n Zeiteinheiten verzinst und ab der ersten Zeiteinheit jeweils der Betrag
A am Anfang einer Zeiteinheit eingezahlt (bzw. bei negativem A ausgezahlt), so ist zum
Zeitpunkt der m-ten Ratenzahlen (mit m ≤ n) der Betrag auf Fm angewachsen
Fm = P · (1 + i )m + A ·
(1 + i ) m − 1
(1 + i ) − 1
Diese Formel lässt sich bei Sparverträgen (d. h. bei positivem A) in der Regel nicht für
m = n anwenden, da bei der Auflösung eines Sparvertrages im n-ten Jahr nicht eine n-te
Rate eingezahlt wird. Bei Kredittilgungen (d. h. bei negativem A) wird jedoch auch im nten Jahr abgezahlt. Also ist in diesem Fall die Formel auch für n = m adäquat.
Für die üblichen Sparverträge ohne n-te Einzahlung muss man die Formel leicht verändern (für n ≥ 1), nämlich folgendermaßen:
(1 + i ) n −1 − 1
(1 + i ) − 1
n
(1 + i ) − 1
= P · (1 + i ) n + A ·
−A
(1 + i ) − 1
F = P · (1 + i ) n + A · (1 + i ) ·
3 Unterjährige Verzinsung
3.1 Lineare Verzinsung bzw. „Bankmethode“
Typische Anwendung: Wird das Kapital P zum Zinssatz i verzinst, so wird nach einem mtel der Zeiteinheit bei linearer Verzinsung der Betrag F ausgezahlt:
i
F = 1+
·P
m
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3.2 Exponenzielle Verzinsung
Typische Anwendung: Wird das Kapital P zum Zinssatz i verzinst, so wird nach einem mtel der Zeiteinheit bei exponentieller Verzinsung der Betrag F ausgezahlt:
1
F = (1 + i ) m · P
4 Inflationsrate
4.1 Definition
Steht im Jahr n das Kapital F zur Verfügung und liegt über dem Zeitraum dieser n Jahre
die Inflationsrate gleich bleibend bei r, so entspricht F vom Wert her dem gegenwärtig
verfügbaren Kapital P:
n
1
P=
·F
1+r
4.2 Durchschnittliche Inflationsrate
Hat die Inflationsrate in den Zeiträumen n1 , n2 , . . . , nk den Wert r1 , r2 , . . . , rk , so hat die
durchschnittliche Inflationsrate r∅ für den Gesamtzeitraum n = n1 + n2 + . . . + nk den
folgenden Wert (gewichtetes geometrisches Mittel):
n1
n2
nk
r ∅ = (1 + r1 ) n · (1 + r2 ) n · . . . · (1 + r k ) n − 1
q
= n (1 + r 1 ) n1 · (1 + r 2 ) n2 · . . . · (1 + r k ) n k − 1
5 Rendite
Definition allgemein: Die Rendite einer Anlageform, die bei Anlage des Kapitals P das
Kapital F im Jahr n nach Vertragsschluss bereit stellt, ist gleich dem Zinssatz i, zu dem man
bei gleich bleibender Verzinsung das Kapital P bei Wiederverzinsung über demselben
Zeitraum anlegen müsste, d. h. die Rendite ist dasjenige i, für das gilt:
F = P · (1 + i ) n
Statt des Geldbetrages F wird häufig der Geldwert von F betrachtet, d. h. der Wert P von
F, den F unter Berücksichtigung der Inflationsrate r umgerechnet auf den gegenwärtigen
Zeitpunkt hat (Berechnung von P aus F siehe unter 4.1).
6 Anleihe
6.1 Wert unter Inflationsbedingungen
Oben ist allgemein angeben, wie sich der gegenwärtige Wert eines Betrages F berechnen
lässt, der nach k Zeiteinheiten (dort n Zeiteinheiten) zur Verfügung steht. Bei einer Anleihe
ist F eine Rate, die nach k Zeiteinheiten ausgezahlt wird. In diesem Fall kann man F in
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Abhängigkeit vom Nennwert N und dem Zinssatz i der Anleihe ausdrücken, nämlich als
F = i · N. Damit ist:
k
1
Pk =
·i·N
1+r
6.2 Wert der Summe der Raten
Gegenwärtiger Wert Sn der Summe aller Raten unter der Annahme, dass die Inflationsrate
r in einem Zeitraum von n Zeiteinheiten konstant ist, wobei nach jeder der n Zeiteinheiten
jeweils derselbe Betrag F = i · N als Rate ausgezahlt wird. Abhängig von N und i ist dann:
n
1
−1
n
1
1+r
Sn = ∑ Pk = i · N ·
· 1
1
+
r
k =1
−1
1+r
6.3 Wert einer Anleihe ohne Berücksichtigung des Ausgabekurses
Gegenwärtiger Wert L einer Anleihe mit dem Zinssatz i und dem Nennwert N, wobei
Zinsen je Zeiteinheit als Rate ausgezahlt werden.
n
1
n
−1
1
1
1+r
· +i· N ·
L=
N·
1
1+r
1+r
|
{z
}
−1
1+r
Wert der Endauszahlung
|
{z
}
Wert der Summe der Raten
7 Nützliche Hilfsmittel
7.1 Logarithmen
Für a, x, y ∈ R+ und a 6= 1 gilt:
loga ( x · y) = loga ( x ) + loga (y)
x
loga
= loga ( x ) − loga (y)
y
loga ( x n ) = n · loga ( x )
Insbesondere gelten diese Gleichungen für den Logarithmus naturalis ln, den Logarithmus zur Basis e.
7.2 Summe der endlichen geometrischen Reihe
Für a ∈ R+ mit a 6= 1 gilt:
n
∑
a k = 1 + a + a2 + a3 + . . . + a n =
k =0
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a n +1 − 1
a−1
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