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Das Titelbild (Abbildung 1) zeigt ein bearbeitetes Satellitenbild der Nasa. Der Föhn
symbolisiert die Richtung des Nordost-Passats, der in dieser Region hauptssächlich
nach Süden weht. Die schwarzen Pfeile zeigen die vorherrschenden Oberflächenströmungen in dieser Gegend an.
Zu sehen ist eine farbige Darstellung der Chlorophyll Konzentration in mg/m³ im Meerwasser des Pazifiks vor Kalifornien. Ein hohes Chlorophyllaufkommen ist ein guter Indikator für ein nährstoffreiches Meeresgebiet. Zum Ende des Punktes 2.3.) meiner Arbeit wird besprochen, wie solch günstige Lebensbedingungen für Chlorophyll entstehen.
Internetseite: (http://oceancolor.gsfc.nasa.gov/cgi/image_archive.cgi)
Die Grundlage der
windgetriebenen Meereszirkulation:
Ein Modell der Ekmanspirale
ein NaT-Working Projekt als Jahresarbeit
an der Freien Waldorfschule Kiel
von: Lewin Stein
Mentor am IFM-GEOMAR: Joachim Dengg
Mentor an der FWSK: Stefan Theisen
Zeitrahmen der Arbeit vom 1.1.2005 (Start) bis zum 20.1.2006 (Abgabe)
Inhaltsverzeichnis:
I. Einleitung:
1.1.) Bedeutung des Themas / Motivation
7
1.2.) Ziel (Abstrakt)
9
1.3.) Eingrenzung des Themas
10
1.4.) Weltumspannende Meeresströme
11
II. Hauptteil 1: Programmierung eines Darstellungsprogramms aller windgetriebenen Meeresströme
2.1.) Physik der Meeresströmungen (Kraftübertragung):
a) Windschubspannung
15
b) Molecular / eddy viscosity
16
c) Die Corioliskraft
17
d) Ekmanspirale (Auf Grundlage der Corioliskraft und „eddy viscosity“)
19
2.2.) Windfeld der Erde als Computerdarstellung
a) Computersprache: „Matlab“
21
b) Das Windfeld der Erde (Visualisierung eines Datensatzes)
21
2.3.) Programm zur Berechnung der Ekmanspirale und daraus abgeleitet die
24
Darstellung des globalen Strömungsfeldes
2.4.) Programmstruktur des Darstellungsprogramms
28
III. Hauptteil 2: Aufbau eines Computermodells zur Simulation von windgetriebenen Strömungsvorgängen in der Ekmanschicht
3.1.) Zeitschrittverfahren
30
3.2.) Modellgeometrie
32
3.3.) Modellgleichungen
32
3.4.) Programmstruktur
35
3.5.) Test des Computermodells
36
3.6.) Ergebnisse des Modells
37
3.7.) Coriolis-Erweiterung des Modells
41
3.8.) Auswirkung der Corioliskraft
42
IV. Physikalische Definitionen / Glossar:
4.1.) Grundlegende physikalische Definitionen und Gesetze meiner Arbeit
44
4.2.) Glossar
45
V. Resümee:
5.1.) Weiterführende Fragen
46
5.2.) Schlusswort
47
VI. Quellcode der Programme:
6.1.) wmz
49
6.2.) za
56
6.3.) zac
62
VII. Quellen:
7.1.) Literaturverzeichnis
68
7.2.) Internetseiten
68
7.3.) Bildquellenverzeichnis
69
I. EINLEITUNG:
1.1.) Bedeutung des Themas / Motivation
Die verstärkt auftretenden Wirbelstürme im Herbst 2005 in der Golfregion haben deutlich gezeigt, dass es sich bei der Diskussion um eine Klimaveränderung längst nicht mehr
um nur eine düstere Zukunftsvision von ein paar Wissenschaftlern handelt, sondern um
eine reell gewordene Gefahr. Laut IPCC (Intergovernmental Panel on Climate Change)
könnte sich das Klima um bis zu 5.8° Celsius bis 2100 aufheizen. Extreme Wetterepisoden könnten an Zahl und Stärke zunehmen. Erste Gegenmaßnahmen wie das KyotoProtokoll werden in Angriff genommen, auch wenn der größte Umweltverschmutzer
der Welt, die USA (knapp 25 Prozent des globalen Kohlendioxid-Ausstoßes) nicht daran
beteiligt ist.
Doch die Erforschung dieser Problematik bringt große Probleme mit sich. Es ist nicht
möglich genau zu sagen, wie weit wir uns von dem natürlichen Wärme-Kälte-Zyklus der
Erde entfernt haben, und welches Ausmaß die daraus folgenden Konsequenzen haben.
Denn erst ab 1950 wurden zuverlässige Wetterdaten gesammelt. Frühere Daten versucht man zum Beispiel durch die Analyse von Baumringen oder die Untersuchung von
Eisbohrkernen zu bekommen, beides sehr komplexe Verfahren.
Eins steht aber fest: Tief greifend kann sich das Klima erst im Zusammenwirken mit
den natürlichen Kreisläufen auf der Erde ändern. Mit dem gigantischen System der
Erde: den Meeresströmungen. Deshalb ist es sehr interessant, den Hauptantrieb dieses
Systems genauer zu untersuchen, die „Die Grundlage der windgetriebenen Meereszirkulation“.
Allgemein kann man sagen, dass Meeresströmungen die größten „Wärmeförderbänder“
der Erde sind und somit das Klima der Erde sehr entscheidend beeinflussen. Sie spielen
eine absolute Schlüsselrolle: Neben der Atmosphäre stellen sie den größten Anteil des
globalen Temperaturausgleiches dar. Es würde zu einem viel extremeren Klima kommen. Wasser bedeckt cirka 70% der Erdoberfläche. Die Winde in der Atmosphäre haben
zwar viel höhere Geschwindigkeiten und können deshalb Wärme schneller transportieren, aber nicht soviel Wärme speichern, denn „allein die obersten 3 Meter Ozeanwasser beinhalten soviel Wärme wie die gesamten Atmosphäre.“
(www.lighthouse-foundation.org/index.php?id=100&L=0)
Deshalb haben Meeresströme auch so eine große Bedeutung bei der Klimaforschung.
(Ein weiterer wichtiger Punkt für das Klima ist die Aufnahmefähigkeit der Meere für
die schädlich CO2 Bestandteile aus der Luft, eine lebensnotwendige Bremse des Treibhauseffektes.)
Im Übrigen ist eine Entstehungsvoraussetzung für jeden Wirbelsturm eine Wasseroberflächentemperatur von mindestens 26.5° Celsius.
(http://www.geo.de/GEO/wissenschaft_natur/ 2000_01_GEO_01_treibhaus)
(Weitere Grundlagen sind hohe Luftfeuchte und hoher Luftdruck) Das heißt, mit Hilfe
eines guten Strömungsmodells ist die zukünftige Entwicklung der Häufigkeit und Heftigkeit von Stürmen viel besser vorherzusagen. Zum Beispiel ist in einem Gebiet, von
dem eine warme Strömung immer weiter abdreht, sicher, dass die Wahrscheinlichkeit
für eine Wirbelsturmentstehung geringer wird.
Außerdem wurde die „Die Grundlage der windgetriebenen Meereszirkulation“ als Thema
von mir ausgewählt, da ich einerseits gerne auf einem naturwissenschaftlichen Gebiet
arbeiten und andererseits Computerprogrammierung erlernen wollte. Als ich ein Angebot bekam, meine Jahresarbeit gleichzeitig als ein gefördertes Projekt beim IFM-GEOMAR (Leibniz-Institut für Meereswissenschaften an der Universität Kiel) auszuführen,
stand meine Entscheidung für dieses Thema fest.
Der Einleitung liegt als Motivation die Tagespresse zu Grunde: Stern, Nr. 7 10.2.2005
1.2.) Ziel
Das Ziel meiner Arbeit ist es, am Modell der Ekmanspirale „Die Grundlage der windgetriebenen Meereszirkulation“ als naturwissenschaftliches Phänomen zu verdeutlichen und ein besseres Verständnis der damit verbundenen Effekte zu bewirken. Der
Wind ist der Hauptantrieb der gesamten Oberflächenzirkulation. Sobald sich das Klima
auf der Erde ändert und somit die neuen Hoch- und Tiefdruckgebiete die Windverhältnisse anders beeinflussen, verschieben sie auch die Meeresströmungen.
Wie aber genau schafft es die Kraft des Windes, eine Meeresströmung zu bewirken?
Zur Lösung dieses Problems habe ich mich mit der Entwicklung eines Strömungsmodells befasst. Doch was bedeutet so eine Modellierung?
Kurz gesagt habe ich mich mit der Physik des Problems beschäftigt und eine Programmiersprache (Matlab) erlernt um damit
1. ein Programm zu schreiben, dass aus den Jahresdurchschnittswinden eine weltweite
„Strömungskarte“ berechnet.
2. habe ich ein existierendes Programm, zur Erklärung der physikalischen Vorgänge,
weiterentwickelt. Es simuliert und stellt bildlich dar die Phänomene der Kraftübertragung des Windes auf die Wasseroberfläche und die daraus entstehende Meeresströmung
im oberflächennahen Bereich des Ozeans im zeitlichen Aufbau.
1.3.) Eingrenzung des Themas
„Die Grundlage der windgetriebenen Meereszirkulation“ bedeutet, dass meine Arbeit
nicht bis zu der tatsächlichen windgetriebenen Zirkulation führt, sondern „nur“ die Ausgangslage für diese beschreibt: In den folgenden Modellen überträgt ein Wind seine
kinetische Energie auf das Wasser und lässt so, bis zu ungefähr 70 Meter Tiefe Oberflachenströmungen entstehen. Aber erst die verschiedenen Druckgebiete, die durch die
Berg- und Talbildung der Oberflachenströmungen erzeugt werden, führen dann zu den
tiefreichenden Hauptströmungen. Diese versuchen die durch die Ströme an der Oberfläche entstandenen Druckgebiete auszugleichen und bilden zusammen mit den Oberflächenströmungen ein komplexes Strömungssystems, das als (komplette) windgetriebene Meereszirkulation bezeichnet wird.
Ergänzend ist es aber noch wichtig zu wissen, dass nicht nur der Wind der Antrieb einer
Meeresströmung ist, sondern das auch noch Salzgehalt und Temperaturunterschiede,
die verschiedene Wasserdichten und Druckunterschiede erzeugen und so zusammen die
thermohaline Zirkulation ausmachen, die Geschwindigkeit und Richtung einer Strömung beeinflussen. Hierbei treten die einzelnen Komponenten immer verschieden stark
auf (Die windgetriebene Zirkulation wirkt hierbei horizontal und die thermohaline vertikal): Der Golfstromtransport setzt sich in der Floridastraße beispielsweise zu etwa
gleichen Teilen aus einem windgetriebenen und thermohalinen Anteil zusammen. Im
subpolaren Nordatlantik (Irmingersee und Labradorsee) hingegen macht der Wind ca.
Dreiviertel des Motors aus. Weil die Einbindung all dieser Komponenten den Umfang
meiner Arbeit sprengen würde, habe ich mich auf die Effekte im Zusammenhang mit
dem Windantrieb konzentriert.
1.4.) weltumspannende Meeresströme
Auf unserer Erde ergibt sich folgendes vereinfachtes Strömmungssystem oder auch
Wärmeaustauschband:
Beschreibung der Abbildung 2:
Ein wesentlicher Punkt des globalen Strömmungssystem ist das Absinken des salzreichen Meerwassers im Nordatlantik südwestlich von Grönland. In 1500 bis 3000 Meter Tiefe beginnt hier ein kalter Tiefenstrom, der an Nord- und Südamerikas Ostküsten
entlang um Afrika herum und schließlich mit einem Arm bis in den Indischen Ozean
und mit dem anderen Arm südlich um Australien herum, in den nördlichen Pazifik
fließt. Dazu kommt der kalte und tiefe Zirkumpolarstrom des südlichen Ozeans, der
um den ganzen Südpol fließt. Er vereinigt sich mit dem südlich gelegenen Teilstück des
oben erwähnten Tiefenstroms zwischen Südamerika und Australien und sorgt so für
den Wasseraustausch. Die beiden Arme des Tiefenstroms steigen im Indischen Ozean
und im Nordpazifik wieder auf und bilden jeweils eine Oberflächenströmung, die sich in
den äquatorialen Gebieten aufheizt. Der rechte Arm strömt an Indonesien vorbei und
verbindet sich im Indischen Ozean wieder mit dem linken. Zusammen geht es dann um
Afrikas Südspitze und dann zurück in den Atlantik in die Golfregion Mittelamerikas. Ab
jetzt nennt sich diese warme Oberflächenströmung Golfstrom und fließt an
Nordamerikas Küste entlang, umgelenkt durch Neufundland als Nordatlantischer
Strom auf Europa zu. Hier gibt er seine Wärme ab und verschwindet wieder in den
Tiefen des Nordatlantiks, wo ein neuer Kreislauf beginnt.
Dieses globale Strömmungsystem wird
auch als thermohaline vertikale Zirkula-
Abbildung 3
tion bezeichnet. Überlagert werden diese
Wassertransporte aber durch die vom
Wind angetriebene horizontale Zirkulation,
welche an vielen Stellen dominiert und hier
die Richtung der Meeresströmungen bestimmt (z.B. im antarktischen Zirkumpolarstrom). (siehe rechts)
Es gibt 2 Arten von Strömungen:
a) Oberflächenströme: bis zu 1/m pro Sekunde schnell (Das sind etwa 3%
der ursprünglichen Windgeschwindigkeit) und cirka 0-200 Meter tief
Sie sind vor allem für meine Arbeit interessant, da sie hauptsächlich vom Wind
beeinflusst werden. Es gibt verschiedene Forschungsmethoden um ihren Verlauf
festzustellen:
(Die ersten Strömungsmessungen wurden nur unbewusst durch die Logbucheinträge
der Schifffahrer betrieben.)
- Langrange-Methode: Hier zeichnet man den getriebenen Weg von natürlichen Gegenständen wie Eisbergen oder künstlichen wie Bojen z.B. mit Hilfe von Satelliten auf.
Eine Variante sind so genannte „Floats“. Es sind mannshohe Bojen, die ihre Tauchtiefe
automatisch durch die Volumenänderung einer Gummiblase bestimmen und bis zu 5
Jahre mit den Meeresströmungen treiben können. Hierbei senden sie ihre momentane
Position, die Wassertemperatur und den Salzgehalt in festgelegten zeitlichen Abständen
an einen Satelliten. Es ist auch möglich, Schwimmstoffe wie Chlorophyll oder radioaktive Stoffe im Ozean anhand von Untersuchungen zu verfolgen und so eine Strömung
darzustellen.
- Euler-Methode: Hier werden von einem festgelegten Ort, z.B. durch die Drehzahlen,
eines fest im Meer installierten Propellers, Strömungen rekonstruiert. Auch mit Hilfe
des Doppler-Effekts können Strömungsmessungen getätigt werden: Von Schiffen aus
werden Schallwellen abgesandt, deren verschiedene Reflektionen einen Rückschluss auf
die Strömungen liefern. (Das Prinzip ist ähnlich wie bei dem Vorbeifahren eines Autos:
Die Geräuschhöhe ist erst höher, da es näher kommt, die Schallenwellen „doppeln“ sich,
und sobald das Auto sich wieder entfernt tiefer, die Schallwellen werden „auseinander
gezogen“.)
Ein großes Beispiel für einen Oberflächenstrom ist der Golfstrom.
Angetrieben durch die Westwindzone der gemäßigten Breiten und den Nordostpassat
transportiert er 50 Millionen Kubikmeter warmes Wasser in der Sekunde vom Äquator
Richtung Nordpol. Eine Änderung seiner Richtung oder Intensität würde in Europa
sofort ein anderes Klima bewirken. Ganz ohne ihn läge die Durchschnittstemperatur
bei uns cirka 5° C tiefer. (Stefan Rahmstorf, 2002, Nature, Vol 419, Page 207)
Die beiden Satellitenbilder (Abbildung 4 und 5) zeigen den gleichen Abschnitts des Atlantischen Ozeans vor New Jersey, Virginia und North Carolina. Anhand der rechten
Infrarotaufnahme ist es gut möglich, auch auf die Strömungsrichtung des Golfstroms in
dem „normalen“ linken Satellitenbild zu schließen.
b) Tiefenströme: ungefähr 1/cm pro Sekunde schnell und cirka 1000 Meter
bis zum Meeresboden (c.4500 Meter) tief
Diese Tiefenzirkulationen wurden erst viel später als bis zu 100-mal schnelleren Oberflächenströme erforscht. Sie sind häufig Ausgleichsströmungen zu den entstehenden
Ungleichgewichten an der Meeresoberfläche, da die Natur immer bestrebt ist, ein
Gleichgewicht zu schaffen. Sie werden nicht nur direkt z.B. durch die Euler-Methode mit
tief verankerten Geräten gemessen, sondern auch indirekt, dass heißt wenn man alle
anderen Geschehnisse wie Wasseranhäufungen durch Oberflächenströme kennt, werden sie als Konsequenz daraus sich bildende Ausgleichströmung errechnet. Bei Tiefenströmungen spielt auch die vertikale Komponente eine entscheidende Rolle, die durch
das Absinken von Wasser mit niedrigen Temperaturen und hohen Salzkonzentrationen
in tieferes weniger konzentriertes Salzwasser entsteht. Ursachen für stärkere Salzlösungen an der Oberfläche können Wasserverdunstungen sein oder das Gefrieren von
Wasser zu Eis an den Polen. Bei diesem Vorgang werden die Salzanteile unter der Eisdecke zurückgelassen, da sie sich nicht in Eiskristalle einbauen lassen.
II. HAUPTTEIL 1: PROGRAMMIERUNG EINES DARSTELLUNGSPROGRAMMS
2.1.) Physik der Meeresströmungen (Kraftübertragung):
Vorraussetzung für das Verständnis der Phänomene der Kraftübertragung ist es, sich
einige physikalische Grundphänomene klarzumachen, denn Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Impuls, die newton’schen Axiome und andere Begriffe spielen z.B.
bei der Kraftübertragung eine große Rolle. Es ist so, dass Wind mit einer bestimmten
Geschwindigkeit einen Impuls an die Wasseroberfläche gibt. Durch diese Kraft tritt
dann eine Beschleunigung im Wasser auf, die auch wenn der Wind aufhört durch die
Trägheit (1. newton’sches Axiom) noch eine Weile weiterfliest, bis sie durch die Reibung
mit anders bewegten Wasser wieder stoppt. Auf die physikalischen Definitionen für die
oben aufgezählten Grundbegriffe gehe ich unter Punkt 4.1.) genauer ein.
Für das Programmieren eines globalen Strömungsmodells ist außerdem die Physik der
Meeresströmungen Grundlage. Deshalb las ich viele englische Texte, die mich in die
Thematik einwiesen und besprach mich mit meinem Mentor Joachim Dengg. Einige
wichtige Punkte werde ich im folgendem vorstellen:
a) Die Windschubspannung
Die Windschubspannung oder auch der Windstreß stellt die Kraftübertragung der von
dem Wind auf das Wasser übertragenden Energie dar, sie ist also eine Art Reibungskraft, die die Energie für eine Strömung induziert. Sie (Tau) ergibt sich aus einer Multiplikation von Luftdichte den Widerstandswerten / Materialeigenschaften zwischen
Wasser und Luft (Drag Koeffizient) und der Windgeschwindigkeit zum Quadrat. Der
entscheidende Faktor hierbei ist die Eigenschaft der Meeresoberfläche, da sie den Widerstandswert bestimmt: Bei einer rauen, welligen See (starke Gischt) ist er entsprechend
größer, da der Wind mehr Druck ausüben kann als bei einer spiegelglatten
Wasserfläche.
b) Im Wasser selbst gibt es zwei Arten der Kraftübertragung mit der eine Strömung
ihre Fliessrichtung und Intensität an das Wasser in ihrer Umgebung weitergibt:
1. Die „molecular viscosity“ (molekulare Zähigkeit oder Viskosität) und
2. die „eddy viscosity“ (turbulente / verwirbelte Zähigkeit oder Viskosität)
1. Die „molecular viscosity“ überträgt den Impuls der Wasseroberfläche durch die Reibung
der winzigen Wassermoleküle an die Wassermoleküle der tiefer liegenden Wasserbereiche. Die obere Wasserschicht verliert durch diese „innere“ Reibung einen Teil ihrer
Kraft an die darunter liegende Schicht. Gleichzeitig gewinnt sie natürlich wieder neue
Kraft aus dem Windwehen über ihr.
2. Die entschieden effizientere Kraftübertragung der „eddy viscosity“ lässt eine Art
„Getriebe“ von Wirbeln entstehen, die die Strömung nach unten weitergibt. (Turbulent eddies in the upper layer of the ocean act as a „gearing“ mechanism…, The Open
University: Ocean Circulation) Die Entstehung solcher drehender Wasserwalzen kann
z.B. beim Zusammentreffen von verschieden gerichteten und unterschiedlichen starken
Strömungen geschehen, bzw. durch kleine Störungen, die Wellen erzeugen. Im Ozean
verläuft nichts gradlinig. Hauptsächlich entwickeln sich Wasserwirbel aber aufgrund
der Scherkraft.
Abbildung 6: Die Scherkraft
Die oberen Wasserschichten haben höhere Geschwindigkeiten als die unteren. Dieses
Kräfteungleichgewicht erzeugt Instabilitäten, die sich erst zu Unterwasserwellen und
dann zu sich überschlagenden Unterwasserwellen führen, dem Wirbelgetriebe. Im Allgemeinen ist es sehr wichtig für die „eddy viscosity“, dass die Wasserdichte nach unten hin
nicht zu stark zunimmt. In homogenen Wasserschichten kann sich ein Impuls nämlich
leichter verteilen als in unterschiedlich geschichteten. Diese Art der Kraftübertragung
wird später in meinen Strömungsmodellen relevant werden.
c) Die Corioliskraft
Grob gesagt lenkt die Corioliskraft alle sich bewegenden Körper auf der Südhalbkugel
nach links und auf der Nordhalbkugel nach rechts ab. Zuerst einmal eine einfache und
veranschauliche Standarterklärung, die aber den Zentrifugalkraftvektor, der in NordSüdrichtung wirkt, vernachlässigt:
Man stelle sich eine vom Äquator aus nach Norden abgefeuerte Rakete vor. (siehe
Abb. 7) Erst die Summe des Vectors aus Geschwindigkeit und Richtung der Rakete und
des Vectors aus Geschwindigkeit und Richtung der Erddrehung würden ihre Flugbahn
bestimmen. Genau bedeutet das, dass die Rakete außer ihrer Eigengeschwindigkeit und
Richtung auch noch den Vektor der Erddrehung am Äquator in ihren Kurs aufnimmt
und diesen bei ihrem Flug beibehält. Wenn sie sich nun vom Äquator in Richtung Pol
bewegt, wird der Durchmesser der Ringe von den Breitengraden kleiner und die Erddrehung an dieser Stelle langsamer. (Beim Kettenkarussell ist ja auch der Weg den die
äußeren Sitze zurücklegen ein größerer als der Weg der inneren Sitze.) Die Rakete hält
aber wegen dem Trägheitsgesetz den größeren Erddrehungsvektor des Äquators bei und
bewegt sich deshalb schneller relativ zu der Bewegung des jeweiligen Breitengrades.
Da sich die Erde (als Nordhalbkugelbewohner)
nach
rechts
dreht, wird eine Rakete mit nördlichen Kurs noch weiter nach
rechts
abgelenkt
und
eine
Rakete
mit
südlichen
Kurs
noch weiter nach links. (Jeweils
in Fahrtrichtung betrachtet.)
Dieses Prinzip tritt bei jeder
neu angenommenen Flugbahn
wieder auf, sodass die Rakete
langsam zur Erddrehung hin
abdrehen würde.
Abbildung 7:
Die Corioliskraft
Und nun zur ganzen Wahrheit: Dem Zentrifugalkraftvektor
Die Corioliskraft umfasst außer ihrer Kernwirkung (relative Beschleunigung zur Erddrehung) auch noch den Einfluss der Zentrifugalkraft. Dieser wird vor allem bei Kursen
interessant die parallel zur Erddrehung verlaufen und so keine Breitengradänderung
bewirken. Der Kerneffekt der Corioliskraft ist wirkungslos. Die Zentrifugalkraft aber
lenkt den Kurs weiter ab, da ihr Vektor 90° zu Erdachse steht. Die Erde kann idealisiert
als eine Kugel betrachtet werden, an einem Breitengrad von 45° steht die Erdoberfläche
in einem 45° Winkel zu diesem Zentrifugalkraftvektor. Eine Rakete, die von Westen nach
Osten fliegt, würde so wegen der Addition der beiden Vektoren (Eigengeschwindigkeit +
Zentrifugalkraft) Richtung Äquator abgelenkt. Hierbei wäre der Zentrifugalkraftvektor
als Nettobetrag noch größer und könnte eine größere Ablenkung bewirken. (Brutto =
Eigengeschwindigkeit der Rakete / Netto = Eigengeschwindigkeit + Erdumdrehungsgeschwindigkeit) Beim entgegen gesetzten Kurs von Osten nach Westen wurde die Zentrifugalkraft negativ auftreten. Das heißt, der Nettobetrag wäre hier kleiner als die
Erd-umdrehungsgeschwindigkeit (Die Erde dreht entgegen dem Uhrzeigersinn) und
würde zu einer Ablenkung in Richtung der Pole führen, also auf der Nordhalbkugel nach
rechts.
Zusammenfassend sorgt die Corioliskraft auf diese Weise für jeden x-beliebigen Kurs
auf der Nordhalbkugel für eine Drehung im Uhrzeigersinn, auf der Südhalbkugel gegen den Uhrzeigersinn. Die einzige Ausnahme ist der Äquatorbereich. (+ / - 5°) Hier ist
sowohl die Zentrifugalkraft wirkungslos da sie 90° zur Erdoberfläche steht, als auch
die die eigentliche Corioliskraft. Aus diesem Grunde können auch hier besondere Strömungen, wie der äquatoriale Unterstrom, entstehen.
(The Coriolis Effect – a conflict between common sense and mathematics von Anders
Persson)
d) Die Ekmanspirale (Auf Grundlage der Corioliskraft und „eddy viscosity“)
Ein weiteres wichtiges Modell zur Erklärung einer windgetriebenen Strömung ist die
Ekmanspirale. Sie ist von Vagn Walfried Ekman (1874-1954) aus den Ergebnissen der
Polarexpedition seines Dozenten Fridtjof Nansen entwickelt worden. Dieser ließ sich
mit seinem Schiff am Nordpol einfrieren, um die Richtung zu verfolgen, in der seine
Eisscholle von Wind und Wasser angetrieben wird. Hier trat ein neues Phänomen auf,
was den Eisschollenkurs nach rechts ablenkte: die Corioliskraft. Um die Ekmanspirale
zu verstehen, ist erst einmal diese Kraft Grundlage. (Siehe 2.1.) c)
Ähnlich wie bei Nansen’s treibender Eisscholle erzeugt ein stetig wehender Wind auf
der Wasseroberfläche ein bewegtes Wasserfeld, was ebenfalls von der Corioliskraft beeinflusst wird. D.h. auf der Nordhalbkugel dreht die Strömung, im idealisierten Modell,
an der Wasseroberfläche um 45° Grad nach rechts, auf der Südhalbkugel um 45° Grad
nach links. Diese gedrehte Strömung zieht daraufhin tiefer liegende Wasser-schichten
mit, (durch das Prinzip der „eddy viscosity“,) die dann wiederum von der Corioliskraft gedreht werden. Dieses Schema setzt sich erst bis zur maximalen Ekmantiefe nach unten
fort. Hier hat sich die Strömung 180° gegenüber der Oberflächenströmung gedreht und
besitzt nur noch 0,04 der Kraft an der Oberfläche. (1/(e^pi)) Eine typische Ekmantiefe
ist so etwa 70 Meter. In die Tiefe drehen sich dann die Wasserschichten immer weiter
hinunter und können bei einem günstigen Wind bis zu 360° Grad von der eigentlichen
Strömungsrichtung an der Wasseroberfläche drehen, wobei sie verschwindend klein
geworden sind. (siehe rechte Abb.) Eine komplette Ekmanspirale ist entstanden. Hierbei nimmt die Strömungsintensität anfangs nach unten ab, da die Kraftübertragung
nicht sofort 100% einer Strömungsstärke an die tiefer liegende Schicht weitergeben kann. Die Spirale wird nach
unten dünner. Erst wenn ein Wind „unnatürlich“ lange
weht, passen sich die unteren Ströme der Oberflächengeschwindigkeit an. (Die maximale Tiefe der Spirale ist
hierbei die Grenze des Einflusses der Windreibung für
die jeweils verstrichene Zeit.)
Wenn man sich also die folgenden Komponenten zusammen vorstellt, bildet sich die
Ekmanspirale:
1. Das Wasser muss man sich in Schichten vorstellen
2. Die Strömungsgeschwindigkeit („über die eddy viscosity“) wird im
Anfangsstadium nach unten hin langsamer
3. Durch die Corioliskraft wird jede Wasserschicht im Vergleich zur nächst höher
liegenden Schicht nach rechts (oder links auf der Südhalbkugel) gedreht.
Abbildungen 8 und 9
von der Ekmanspirale
P.S.: Genauso wie an der Wasseroberfläche
gibt es Ekmanspiralen auch am Meeresboden, nur andersherum. Das bedeutet, dass
es keinen positiv von oben antreibenden
Wind mehr gibt, sondern einen negativ abbremsenden Meeresboden, der eine umgekehrte Spirale erzeugt.
2.2.) Windfeld der Erde als Computerdarstellung
a) Computersprache: „Matlab“
Weil es keine fertigen Programme gibt, um aus
einem beliebigen Wind eine Ekmanspirale zu
berechnen und abzubilden, habe ich eine eigene
Lösung erstellt:
Der erste Schritt beim Aufbau einer Computerdarstellung ist das Finden einer Kommunikationsmöglichkeit mit dieser Rechenmaschine, das Einarbeiten in die Computersprache „Matlab“. Sie ist im Gegensatz zu anderen Computersprachen wie z.B. C++
relativ simpel und hauptsächlich für mathematisch-technische Arbeiten geeignet. Matlab ist praktisch, da es auch einem „Laien“ ermöglicht, hineinzufinden und gleichzeitig
die Möglichkeit gibt, mit sämtlichen mathematischen Funktionen zu rechnen, wie es
die physikalischen Gleichungen der Kraftübertragung erfordern. Ich begann damit, einfache 2D Tabellen und Linien darzustellen. Ich lernte mit Matlab zu rechnen und die
Bedeutung einer Matrix zu erfassen. (Ein System von m mal n angeordneten Größen
z.B. Zahlen. Ein Element ai,k steht hierbei in der i-ten Zeile und k-ten Spalte.)
Das eigentlich Nützliche eines Computerprogramms ist die so genannte „Schleife“, die
beliebig oft hintereinander vorher bestimmte Arbeitsschritte ausführt, für die man im
Einzelnen sehr lange brauchen würde.
b) Das Windfeld der Erde (Visualisierung eines Datensatzes)
Nun folgte der erste Schritt der Programmierung an meinem Thema. Im Internet sind
Beobachtungsdaten und Klimatologien der Windfelder verfügbar, zum Beispiel auf der
Seite: http://data1.gfdl.noaa.gov/nomads/forms/mom4/CORE.html
So konnte ich mit einen 457.442 Zeichen Text arbeiten, in dessen Zahlenkolonnen die
Richtung und Stärke aller Winde auf der Erde versteckt waren. Genau gesagt das
Durchschnittsmittel von 43 Jahren (cirka 1961-2004) in denen täglich mehrere Messungen erhoben wurden.
Das Programm, dass ich jetzt schrieb, konnte die Zahlenkolonnen erst in eine Matrix
einordnen und dann in eine bildliche Darstellung umwandeln: ein riesiges Feld, das
sich über unserer gesamte Welt erstreckt, mit Tausenden von Pfeilen der jeweiligen
Windrichtung und Stärke. Jeder Pfeil beschreibt hierbei die gemittelten Jahreswerte
eines cirka 210km mal 210km großen Gebietes. Hinter diesem Windfeld bildete ich eine
Landkarte unseres Erdballs ab, damit für Orientierung gesorgt war. Die Grundlage für
die weitere Programmentwicklung war gelegt.
Anfang des Datensatzes:
DATA SET: ./Wind_10_ann.nc
LONGITUDE: 0.9W(-0.9) to 0.9W(359.1)
LATITUDE: 89.5S to 89.5N
Column 1: U_10_ANN is ann. mean U Wind (m/s)
(T=0.125:365.12)
Column 2: V_10_ANN is ann. mean V Wind (m/s)
(T=0.125:365.12)
U_10_ANNV_10_ANN
---- J:1 Y: 88.5S
0E / 1: -3.220 -2.604
1.9E / 2: -3.064 -2.684
3.8E / 3: -2.903 -2.755
5.6E / 4: -2.733 -2.817
7.5E / 5: -2.565 -2.871
9.4E / 6: -2.399 -2.917
11.2E / 7: -2.229 -2.953
13.1E / 8: -2.060 -2.983
15E / 9: -1.899 -3.012
16.9E / 10: -1.738 -3.032
18.8E / 11: -1.581 -3.049
20.6E / 12: -1.423 -3.063
22.5E / 13: -1.274 -3.067
24.4E / 14: -1.121 -3.076
26.2E / 15: -0.971 -3.073
28.1E / 16: -0.815 -3.063
30E / 17: -0.660 -3.051
31.9E / 18: -0.504 -3.029
33.8E / 19: -0.350 -3.005
35.6E / 20: -0.197 -2.971
37.5E / 21: -0.044 -2.932
39.4E / 22: 0.108 -2.883
41.2E / 23: 0.256 -2.827
43.1E / 24: 0.400 -2.766
45E / 25: 0.540 -2.696
46.9E / 26: 0.674 -2.620
48.8E / 27: 0.802 -2.537
50.6E / 28: 0.925 -2.444
52.5E / 29: 1.034 -2.350
54.4E / 30: 1.141 -2.250
46.9E / 26:
48.8E / 27:
50.6E / 28:
52.5E / 29:
54.4E / 30:
56.2E / 31:
58.1E / 32:
60E / 33:
61.9E / 34:
63.8E / 35:
65.6E / 36:
67.5E / 37:
69.4E / 38:
71.2E / 39:
73.1E / 40:
75E / 41:
76.9E / 42:
78.8E / 43:
80.6E / 44:
82.5E / 45:
84.4E / 46:
86.2E / 47:
88.1E / 48:
90E / 49:
91.9E / 50:
93.8E / 51:
95.6E / 52:
97.5E / 53:
99.4E / 54:
101.2E / 55:
103.1E / 56:
105E / 57:
106.9E / 58:
108.8E / 59:
110.6E / 60:
112.5E / 61:
114.4E / 62:
116.2E / 63:
118.1E / 64:
120E / 65:
121.9E / 66:
0.674 -2.620
0.802 -2.537
0.925 -2.444
1.034 -2.350
1.141 -2.250
1.241 -2.144
1.333 -2.032
1.427 -1.914
1.507 -1.799
1.581 -1.679
1.645 -1.559
1.706 -1.434
1.762 -1.305
1.808 -1.173
1.849 -1.058
1.872 -0.928
1.897 -0.796
1.906 -0.663
1.909 -0.532
1.901 -0.405
1.882 -0.281
1.861 -0.156
1.829 -0.050
1.795 0.068
1.755 0.183
1.705 0.291
1.653 0.397
1.613 0.502
1.574 0.603
1.528 0.699
1.474 0.763
1.415 0.836
1.359 0.903
1.302 0.972
1.248 1.031
1.196 1.083
1.144 1.138
1.092 1.187
1.043 1.235
1.002 1.282
0.965 1.322
Detailansicht der Windfläche:
Erklärung der Abbildung:
Regionale Windverhältnisse sind auf dieser Karte nicht genau zu sehen, dafür wird aber
das Haupt-Windgeschehen auf unserer Erde deutlich dargestellt: z.B. die Westwinddrifte im Nordatlantik, die Nordost-Passate im Pazifik oder auch die Monsunwinde im
Indischen Ozean.
2.3.) Programm zur Berechnung der Ekmanspirale und
daraus abgeleitet die Darstellung des globalen
Strömungsfeldes
Um ein globales Strömungsfeld zu simulieren, musste ich das Prinzip der Ekmaspirale (und der Kraftübertragung) dem Computer beibringen, damit er aus meinen Windpfeilen Strömungspfeile berechnen kann.
Ich begann damit, die Ekmanspirale als mathematische Formel zu verstehen und in
mein Programm einzubauen. Sie ergibt sich aus einer logarithmischen Spirale, als
Kombination der trigonometrischen Funktionen (Sinus & Kosinus) und der Exponentialfunktion:
UE (z)
= V0
mal
cos (Pi / 4 + Pi / DE mal z) mal e (Pi / DE mal z)
Strömung = OberflächenTiefendrehung
exponentielles Abklingen
strömung
mit der Tiefe
Die Ursprungsgleichung, die hinter der Kraftübertragung zwischen den einzelnen
Schichten steht, ist aber sehr kompliziert. (eine Zeitkomponente kommt hinzu) Erst
später werde ich mich mit dieser Gleichung intensiver beschäftigen. (Hauptteil 2) Erst
einmal benutzte ich einfach das gelöste stationäre Endstadium der Gleichung aus dem
Buch „Introductory Dynamical Oceanography“ von Pond, da ich vorerst mit dem Computermodell vorankommen will. In der Natur bläst der Wind in vielen Gebieten über
längere Zeiträume, wie zum Beispiel in der stabilen Situation der Passatwindregion.
Hier kann sich nämlich dem mathematischen stabilem Endstadium im Strömungsaufbau ausreichend angenähert werden. Gäbe es nur Winde die einem Tag lang wehen,
wäre das Modell nicht eindeutig genug.
Durch die eingesetzten fertigen Gleichungen war mein Programm fähig, für jeden beliebigen Wind die dazu gehörige Ekman Spirale abzubilden.
Die Ekman Spirale weist eine sehr interessante Eigenheit auf: Wenn man die die Strömungsrichtungen all ihrer Schichten mittelt, ergibt sich genau ein rechter Winkel zur
Windrichtung: Auf der Nordhalbkugel nach rechts und auf der Südhalbkugel nach
links.
Nur in Äquatornähe (+ / - 5°) verhält es sich anders, weil dort die Auswirkung der Corioliskraft gleich null ist. Die Gleichungen würden explodieren, da die Corioliskraft als
Nenner eingeht.
Für den Ekmantransport (Durchschnittstransport der Ekmanspirale) gilt folgende Beziehung: (Übernommen aus Pond)
Mx = + Ty / f
My = - Tx / f
M = Ekmantransport (“aufsummierte” Geschwindigkeiten)
T = Windschubspannung
x,y = Ost-Westrichtung und Nord-Südrichtung
f = Coriolisparameter
(nähere Erklärung der Gleichungskomponenten siehe Hauptteil 2)
Mit der Erkenntnis der 90° Drehung konnte ich nun zu dem Windfeld eine Karte der
Strömungsrichtungen am PC aufbauen. Einen rechten Winkel zu berechnen ist ja viel
einfacher als tausende Ekman Spiralen aufzubauen und diese dann in der Vertikalen zu
mitteln.
Abbildung der Ekmanspirale:
Die folgenden Doppeseiten bilden das globale Strömungsfeld ab:
Erläuterung des globalen Strömungsfeldes:
Auf diesem Strömungsfeld sind die rein durch den Wind verursachten großflächigen
Oberflächenströmungen zu sehen. Interessant wird diese Modelldarstellung, wenn
bestimmte Gebiete betrachtet werden, beispielsweise der Atlantische Ozean westlich
von Senegal. (Westafrika) Die Strömung fließt an dieser Stelle im rechten Winkel zum
Festland Richtung Westen. Das bedeutet, dass das Wasser von der Küste weg geschoben wird
und auf diese Weise ein Tiefdruckgebiet erzeugt. In Küstennähe entwickelt sich nun eine
Auftriebzone, die dieses Tief ausgleichen will, das so genannte „Upwelling“. Kalte nährstoffreiche Wasser aus der Tiefe bringen hier lebenswichtige Mineralien nach oben. (siehe Titelbild und Abb. 10) (Im Gegenzug fördern an anderer Stelle Oberflächenwasser Sauerstoff
nach unten.) Wie in diesem Beispiel vorgeführt kann man sich so anhand des Strömungsfeldes über die winderzeugten Druckfelder in den Ozeanen informieren und auf Absinkoder Aufreibgebiete schließen.
Abbildung 10: Upwelling
2.4.) Programmstruktur des Darstellungsprogramms
Ich kann hiermit einen interaktiven Zugang zu den abgeleiteten Größen des Windfeldes
schaffen. Mein fertiges Programm besteht aus vier Teilen, die Folgendes leisten:
Quellcode siehe Punkt 6.1.) wmz
1. Ein großes Fenster mit einem Windfeld,
in dem ein beliebiger Wind ausgewählt
werden kann
2. 3 kleine Abbildungen: a) eine genaue Ansicht des gewählten Windes, dann die dazu
passende Ekman Spirale in 2 Blickweisen: b) von Oben und c) von der Seite
3. 2 Graphiken der gewählten gemittelten Ekmanspirale a) von der Seite und b) von
oben gesehen
4. Ein zweites großes Fenster mit allen windgetriebenen Strömungen unserer Erde
III. HAUPTTEIL 2:
AUFBAU EINES COMPUTERMODELLS ZUR SIMULATION
VON WINDGETRIEBENEN STRÖMUNGSVORGÄNGEN IN
DER EKMANSCHICHT
3.1.) Zeitschrittverfahren
Ein Zeitschrittverfahren teilt, wie der Name schon sagt, ein Geschehnis in mehrere
einzelne Schritte auf. So kann man ein Geschehen, indem sich ein beliebiger Zustand
ändert, ganz genau beobachten. Die Vorraussetzung dafür ist, dass man die Zeitschritte
passend zur Dauer des Ereignisses wählt: Zum Beispiel bei einer Atombombenexplosion
Millisekunden oder beim Wachsen eines Baumes Wochen.
(siehe Abb. 11)
Abbildung 11: Das Zeitschrittverfahren
Bei meiner Arbeit geht es darum, die vorher
eingesetzte Gleichung der Kraftübertragung durch Auflösen der Ausgangsgleichung zu begreifen. Diese Ausgangsgleichung
ist nämlich eine Bewegungsgleichung, die
bei einem unendlich langen Zeitfortschritt
(Grenzwert) zu einem Kräftegleichgewicht
zwischen Wind, Corioliskraft und Reibung
führt. (siehe Abb. 12) Einer bestimmten
Strömungsgeschwindigkeit wurde sich hierbei angenähert. Die Lösung dieser Bewegungsgleichung bildet so das in 1. Hauptteil
angewendete stationäre Endstadium der
Gleichung.
Abbildung 12: Das Kräftegleichgewicht
Zur Vereinfachung arbeite ich jedoch zuerst an einem Programm, das in den
Gleichungen den Effekt der Corioliskraft vernachlässigt. Die neue entscheidende Komponente in der Bewegungsgleichung (Ausgangsform) wird zwingend notwendig miteinbezogen: die Zeit.
Ich möchte das Prinzip der Kraftübertragung auf diese Weise komplett verstehen und
erklären.
Der Wind in diesem Modell ist außerdem immer von konstanter Stärke und Richtung,
das Meerwasser homogen und eventuelle Meeresbodenunebenheiten und Küstenlinien,
die Druckunterschiede erzeugen könnten, sind nicht berücksichtigt. So ein Modellzustand kommt zwar nicht real in der Natur vor, vereinfacht und veranschaulicht dafür
aber die Kraftübertragung dadurch, dass man den zeitlichen Aufbau einer Strömung
ohne störende Effekte, wie die Drehung der Windrichtung oder das Abbremsen durch
einen Kontinent, genau verfolgen kann.
3.2.) Modellgeometrie
Wichtig in diesem Programm ist jedoch nicht nur die richtige Wahl des Zeitschrittes
sondern auch die der räumlichen Größe. Jedes Computermodell besteht nämlich aus
vielen kleinen Zellen. So kann der Rechner immer die Kraftübertragung zwischen zwei
benachbarten Zellen innerhalb eines Zeitschrittes ausrechnen. Hierbei ist für jede Zelle
nur eine repräsentative Zahl für die Geschwindigkeit möglich, z.B. die mittlere oder die
maximale. Das bedeutet: Wenn die Windzelle einen Teil ihrer Kraft auf die benachbarte
Wasseroberflächenzelle abgibt, nimmt auch der untere Rand der Wasseroberflächenzelle diese Strömungsgeschwindigkeit auf. Angenommen die Zelle hat nun eine Höhe
von 100 Metern ist das Modell völlig falsch, da in 100 Meter Tiefe nie so schnell eine
Strömung wie an der Wasseroberfläche entstehen kann. Außerdem spielt der Einfluss
der Ekmanspirale wie gesagt nur bis zu einer Tiefe von ungefähr 70 eine Rolle; dementsprechend sollte auch die Auflösung gewählt werden. Aus diesen Gründen wähle ich für
mein Programm eine sinnvolle Zellenhöhe von 7 Metern.
Das Modell ist zweidimensional, da es wie schon erwähnt ohne Corioliskraft, also rotationsfrei ist: zwei Koordinaten, v für die Strömungsgeschwindigkeit in einer Richtung
und z für die Tiefe, genügen.
3.3.) Modellgleichungen
Wenn man sich mit den Gleichungen in meinem Modell der Kraftübertragung befasst,
sind also folgende Größen von entscheidender Bedeutung: Die Wahl des Zeitschrittes,
die Größe der Modellzelle, die Windstärke und die Kopplung zwischen Wind und Wasser
und Wasser und Wasser. Die Kopplung, eine durch das Ausmaß der Viskosität des jeweiligen Stoffes fest vorgegebene Größe, die im Endeffekt den Anteil der Strömungsgeschwindigkeit einer Zelle bestimmt, der an die nächst tiefer liegende Zelle weitergegeben wird. Zusätzlich ist noch die Tiefe des Meeresbodens relevant, weil diese die
Gesamtanzahl der Zellen bestimmt. Die Dichte von Wasser und Luft taucht in den
Gleichungen nicht mehr explizit auf, (Sie wurde schon im Pond weggekürzt.) geht aber
dafür indirekt in die Kopplung ein.
Ausgeschrieben sieht die komplette Bewegungsgleichung der Kraftübertragung in der
Ausgangsform (Übernommen aus Introductory Dynamical Oceanography“ von Pond) so
aus:
Die Geschwindigkeitsänderung dv pro Zeitintervall dt ist gleich der Multiplikation
des Turbulens-Koeffizienten A von der Tiefe z mit der Differenz zum Quadrat der Geschwindigkeit v dividiert durch die Differenz der Tiefe z zum Quadrat.
dv / dt = Az * d²v / dz²
d = Differenz einer beliebigen darauf folgenden Größe
v = Geschwindigkeit [m/sec]
t = Zeit [sec]
A = Turbulenz-Koeffizient (Kopplung / eddy viscosity) *1
z = vertikale Koordinate (Tiefe) [m]
/ = Geteilt
* = Mal
x² = x hoch 2
Für den Programmcode muss die Gleichung dann aber umgewandelt werden, damit Matlab mit ihr
rechnen kann. v muss herausgestellt werden, da dies die Variable ist die vom Modell frei berechnet
wird. dt, Az und dz sind hingegen am Anfang des Programmcodes bestimmte Parameter. (Einstellgrößen)
dv / dt = Az * d²v / dz²
/ * dt
dv = (Az * d²v / dz²) * dt
/ Anstatt dv kann man auch schreiben neue v minus die alte v
die so genannte „Diskretisierung“
vneu - valt = Az * d²v / dz² * dt / + valt
vneu = valt + Az * d²v / dz² * dt
vneu = valt + dt * Az / dz² * d²v / Im Programm läuft eine Schleife alle vorher bestimmten
Zeitschritte durch und ersetzt dabei in jedem neuen
Schleifendurchlauf die alte v durch die neue.
v = v + dt * Az / dz² * d²v
der Sprung in den „Programmjargon“
w = dt * Az / dz²
/ w fasst im Programm 3 Gleichungsteile zusammen, da sie
alle feststehende Parameter sind
delsqv = d²v
/ delsqv ersetzt d²v. Es soll die Differenz zum Quadrat der
Geschwindigkeit von allen Modellschichten berechnen.
Die endgültige Gleichung der Kraftübertragung im Programm sieht dann so aus:
v = v + w * delsqv
*1 0,01, der Turbulenz Koeffizient („Verteilungsfaktor“), ist der Kern in der Gleichung der Kraftübertragung. Er ist eine von Ozeanographen bestimmte Zahl, die genau die Kräftekopplung zwischen zwei
Wasserschichten angibt, die der jeweiligen Wahl der Zellengröße entspricht. (Sie hängt zwingend notwendig von der Größe der parametrisierten Turbolenzelemente ab.) Er ist ein so Maßangabe über das
Wirkungsausmaß der „eddy viscosity“.
Erklärung der Skizze:
Der Ausdruck delsqv (delta square von v:
d²v) soll im den Programmgleichungen die
Differenz zum Quadrat der Geschwindigkeit von allen Schichten berechnen. Das
heißt, dass die Differenz 2 Mal hintereinander berechnet werden muss.
Dies ist auch der entscheidende Trick im
Abbildung 13:
Aufbau der Bewegungsgleichung: Dadurch
das jede Zelle mit ihren beiden Nachbarzellen verrechnet („angeglichen“) wird,
kann sich ein Impuls, entsprechend dem
„Verteilungsfaktor“ oder der Kopplung Az,
im Modell verbreiten.
Wenn man nun von den beispielsweise 12
Strömungszellen immer die Differenz der
beiden Nachbarnzellen berechnet, hat man
beim ersten Durchlauf 11 und beim zweiten
Durchlauf 10 Werte. Die beiden Randbedingungen Oben und Unten fehlen.
[0
diff(v,2)
0]
obere Randbedingung
doppelte Differenz von v
untere Randbedingung
(Zeile 87)
Die beiden Nullen ersetzen deshalb im Programmcode provisorisch die fehlenden Werte,
die in einem extra Schritt ausgerechnet werden. (Zeile 80 und 83/84) Dieser Schritt ist
von besonderer Bedeutung, da nur durch die obere Randbedingung der Wind über den
so genannten Windstreß-Koeffizienten seinem Impuls in das Modell einbringen kann.
Genauso übt durch die untere Randbedingung der Meeresboden seinen Einfluss auf das
Modell aus.
3.4.) Programmstruktur
Der Programmcode besteht aus folgenden Abschnitten:
Quellcode siehe Punkt 6.2.) za
1. Im erstem Teil dem Definieren von wichtigen Einstellgrößen: Zum Beispiel die
Tiefe des Meeresbodens oder der Größe der Zeitschritte.
2. Im zweiten Teil dem Lösen der Modellgleichungen
3. Im dritten Teil dem bildlichen Darstellen der ausgerechneten Größen. (Durch
Drücken der Leertaste springt das Modell dann von Zeitschritt zu Zeitschritt. Man
kann anhand der Pfeillänge in den verschiedenen Wasserschichten genau den
Strömungsaufbau beobachten.)
4. Und zuletzt dem Abbilden von Diagrammen, die die Art des Strömungsaufbaus
verdeutlichen.
Ansicht des Programmhauptfensters:
Im Programmcode sind folgende Konstanten (Sie stammen aus dem Buch „Introductory Dynamical Oceanography“ von Pond.) festgelegt:
1. Der Turbulenz-Koeffizient (Wasser-Wasser-Kopplung): 0,01 MKS [m2/sec]
(Meter-Kilogramm-Sekunde Einheiten) (Keddy: Zeile 33)
2. Der Drag-Koeffizient (Luft-Wasser-Kopplung): 0,0014 [ohne Einheit]
(cdrag: Zeile 46)
3. Salzwasserdichte: 1025 [kg/m³] (rho: Zeile 45)
4. Windstreß-Koeffizient (nach Norden gerichtet): 0,00009756 [N/m³] (tauBC: Zeile 50)
(Berechnet sich anhand der Salzwasserdichte: tauBC = Streß / rho)
5. Luftdichte: 1.3 [kg/m³] (rho_air: Zeile 48)
6. Windgeschwindigkeit (Berechnet sich aus dem Drag-Koeffizient der Luftdichte und dem
Windstreß): 0,2315 [m/sec] (windsurf: Zeile 53)
windsurf = die Wurzel aus tauBC / (rho_air * cdrag)
(siehe Punkt 2.1.)a)
3.5.) Test des Computermodells
/ = Geteilt
* = Mal
Bei einem ersten Durchlauf des Programms stelle ich fest, dass für mein Modell nur die
so genannte „free slip“ Bedingung gilt: Hier wird die Strömung in ihren unteren Teilen
nicht vom Meeresboden beeinflusst und kann sich ungebremst in immer tiefere Gebiete
ausbreiten. Um die „no slip“ Bedingung auch noch als Variante zur Verfügung zu haben
kann in Zeile 111 die unter Randbedingung meines Modells gleich Null gesetzt werden,
so dass sie wie der festsitzende Meeresboden wirkt.
Um die Kräfte, die in meinem Modell wirken, besser veranschaulichen zu können, habe
ich auf der linken Seite des Programmansichtsfeldes drei Diagramme aufgebaut, die die
zeitlichen Veränderungen folgender Differenzen zeigen:
1. Die Geschwindigkeit der oberste und unterste Strömungsschicht
2. Die Windgeschwindigkeit und die Geschwindigkeit der obersten Strömungsschicht
3. Die Windgeschwindigkeit und die Geschwindigkeit der untersten Strömungsschicht
Im nächsten Schritt des Programms erscheinen noch 2 weitere Diagramme, die den
Strömungsaufbau verschiedener Wasserschichten im Verhältnis zur der Zeit zeigen.
Nun ist der Hauptteil meines des Simulationsprogramms komplett.
3.6.) Ergebnisse des Modells
Auf diesen beiden Abbildungen ist eine Seitenansicht des Modells abgebildet.
Auf diesem Bild sind keine einzelnen Strömungspfeile mehr zu sehen sondern nur noch
die Verbindungslinien aller Pfeilspitzen. Es sind 10 Linien abgebildet, jeweils eine für
einen Zeitintervall von 4,8 Stunden.
Die oberen Strömungsschichten erreichen viel schneller ihre Maximalgeschwindigkeit
als untere: Direkt an der Wasseroberfläche beträgt das Tempo der Strömung nach 5
Stunden schon 0,085 m/sec, derweilen in 42 Meter Tiefe gerade 0,0025 m/sec erreicht
werden.
Deshalb ist es auch verständlich, dass die Auswirkung der Ekmanspirale im Ozean nur
bis zu einer Tiefe von ungefähr 70 Metern reicht. In den Meerestiefen verliert sich die
Kraft des Windes einfach zu schnell.
Erst wenn das Modell unendlich lange laufen würde, hätten alle Wasserschichten (bis
auf die in absoluter Bodennähe) die gleiche Geschwindigkeit. Hierbei entwickelt sich
ein Gleichgewicht zwischen dem angreifenden Wind und der beschleunigten Wasseroberfläche, das die maximale Geschwindigkeit der oberste Strömungsschicht bestimmt
und somit auch die Geschwindigkeiten aller anderen Schichten, die auf Dauer mit dem
Tempo der jeweils über sich fließenden Schicht gleichziehen.
Dieser maximale Strömungsaufbau in allen Wasserschichten könnte jedoch nur in einem
künstlichen Wassertankmodell eintreten. Es gibt nun mal keinen Wind, der unendlich
lange mit konstanter Richtung und Stärke bläst. Es sprechen zwar noch weitere Gründe
gegen diesen Modellzustand, doch diese will ich erst bei Punkt 3.7.) erläutern.
Wenn man anstatt Wasser in den Meeren Honig hätte, könnten sich die Wassergeschwindigkeiten in den verschieden Schichten noch schneller verteilen, da die höhere
Viskosität („Zähigkeit“) die Kraft zwischen den einzelnen Schichten besser Übertragen
könnte. Die Ekmantiefe wäre hier tiefer, aber dafür die Geschwindigkeit der einzelnen
Schichten kleiner. Es wird einfach die gleiche Kraft des Windes auf einen größeren Raum
verteilt. In meinem Computermodell kann ich dies ganz einfach simulieren, indem ich
den Koeffizienten, der die Kopplung zwischen den Schichten des jeweiligen Materiales
angibt, (in diesem Falle Honig) vergrößere.
Strömungsaufbau bei normalen Turbulenz-Koeffizienten:
Strömungsaufbau bei verdoppeltem Turbulenz-Koeffizienten:
Auf beiden Abbildung ist eine Strömungsschicht an der Wasseroberfläche und eine Strömungsschicht in 42 Meter Tiefe zu sehen. Bei der ersten Grafik ist der Turbulenz-Koeffizient normal, sodass die Geschwindigkeit nur langsam zunimmt. Bei der zweiten
Grafik ist dieser Koeffizient halbiert. Die Wirkung zeigt sich deutlich: Die Strömung
an der Wasseroberfläche hat noch nicht so stark beschleunigt, da sie ihre Kraft besser
in die Tiefe abgeben konnte. Die Strömungslinie in 42 Meter Tiefe hingegen hat hier
mehr Kraft bekommen und konnte so schneller beschleunigen, als die 42 Meter Strömungslinie in der ersten Abbildung.
3.7.) Coriolis-Erweiterung des Modells
Quellcode siehe Punkt 6.3.) zac
Da in den Punkten 3.1.) bis 3.6.) der Kernaspekt der Kraftübertragung besprochen wurde, vervollständige ich
nun die Ausgangsgleichung im Modell mit der letzten notwendigen Variable: der Corioliskraft. Ein bedeutender Schritt hin zu den tatsächlichen Verhältnissen in der Natur.
dv / dt = fv + Az * d²v / dz²
d = Differenz einer beliebigen darauf folgenden Größe
v = Geschwindigkeit [m/sec]
t = Zeit [sec]
A = Turbulenz-Koeffizient (Kopplung / eddy viscosity)
z = Vertikale (Tiefe) [m]
/ = Geteilt
* = Mal
x² = x hoch 2
f = Coriolisparameter *1
dv / dt = Az * d²v / dz² + fv
/ * dt
dv = (Az * d²v / dz²) * dt + fv * dt
/ dv Umwandeln
vneu-valt = Az * d²v / dz² * dt + fv * dt
/ + valt
vneu = valt + Az * d²v / dz² * dt + fv * dt
/ Umstellen
vneu = valt + dt * Az / dz² * d²v + dt * f * v
v = v + dt * Az / dz² * d²v + dt * f * v
w = dt * Az / dz²
/ w fasst im Programm wieder 3 Gleichungsteile zusammen
delsqv = d²v
/ delsqv ersetzt wieder d²v
Die um die Corioliskraft ergänzte Gleichung der Kraftübertragung im Programm sieht schließlich
folgendermaßen aus:
v = v + w * delsqv + dt * f *u
*1 f = 2 * 7.29e – 5 * sin ( Breitengrad * Pi / 180 ) (abgeleitet aus „Introductory Dynamical Oceanography“ von Pond, 7.29e ist ein Wert für die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation) Dieser „Coriolisparameter“ drückt die Überlegungen (bei 2.1.) c) mathematisch aus, die die Breitengradabhängigkeit der Corioliskraft betreffen. Ein Punkt am entsprechenden Breitengrad, für den die Ekmanspirale
dargestellt werden soll, wird herausgepickt, so dass das Kreuzprodukt der der einwirkenden Kräfte
berechnet werden kann.
Ein zweidimensionales Modell reicht jedoch für die Darstellung nicht aus: Die Corioliskraft erzeugt die Drehung bei der Kraftübertragung und lässt so die Ekmanspirale
entstehen. Um die Spirale dreidimensional darstellen zu können, muss die Ost-West
Komponente v um eine Nord-Süd Komponente u erweitert werden:
u = u + w * delsqu - dt * f *u
Das Prinzip dieser beider Komponenten ist genau identisch. Das Minus bei u Komponente stellt hierbei nur die Drehung um 90° dar. (Die Coriloliskraft wirkt rechtwinklig
zur tatsächlichen Strömungsrichtung.)
3.8.) Auswirkung der Corioliskraft
Auf diesen beiden Abbildungen ist eine Seitenansicht des Modells unter dem Einfluss
der Corioliskraft abgebildet.
Wenn man nun diese Modellerweiterung mit dem vorigen Modell vergleicht wird schnell
klar, dass die Spirale, obwohl die Zeit genauso wie vorher verläuft, viel langsamer anwächst und nur eine geringere Tiefe erreicht. Ursache dafür ist die Gegenkraft, die die
unteren gedrehten Strömungen erzeugen. Die Ekmanspirale bremst sich selber, da ab
der Ekmantiefe die Strömung beginnt, entgegengesetzt zu oberen Strömungsrichtungen
zu fließen. Die Geschwindigkeit an der Oberfläche schwankt um einen konstanten Wert
herum. Die unteren Strömungsschichten nehmen hierbei kaum merklich Geschwindigkeit auf. Erst nach unendlich langer Zeit bringt sich die Spirale in ein Gleichgewicht.
Die Gleichung für diese Form der Ekmanspirale im Endstadium habe ich, wie schön
erwähnt, ganz zu Anfangs (2.3.) im Programmcode angewendet.
Äußere Formen der Ekmannspirale auf dem Weg zum Endstadium der Bewegungsgleichung in 8 fortlaufenden Zeitschritten:
(Das heißt: Der Geschwindigkeitsbetrag der einzelnen Strömungsschichten des Modells
wurde mit einer Linie verbunden.)
IV. PHYSIKALISCHE DEFINITIONEN / GLOSSAR:
4.1.) Grundlegende physikalische Definitionen und Gesetze
meiner Arbeit
1. Definitionen:
GESCHWINDIGKEIT ist gleich Weg durch Zeit.
BESCHLEUNIGUNG ist gleich Geschwindigkeit durch Zeit
KRAFT ist gleich Masse mal Beschleunigung.
Ein IMPULS ist gleich Masse mal Geschwindigkeit.
DICHTE ist die Masse eines Objekts dividiert durch sein Volumen.
2. Gesetze:
1. Newton’sches Axiom: Das TRÄGHEITSPRINZIP
Jeder Körper behält seine Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung so lange bei,
wie er nicht durch äußere Kräfte gezwungen wird, seinen Bewegungszustand zu
ändern.
Eine SCHERKRAFT tritt auf, wenn zwei parallel miteinander bewegende Objekte
oder Flüssigkeitsschichten tangential in Kontakt kommen. Eine Verformung wird
hierbei hervorgerufen, ohne dass sich das Volumen eines der beiden Körper ändert.
Je größer der Kräfteunterschied (Reibung der Schichten) hierbei ist, desto stärker
wird die Scherkraft. In Flüssigkeiten entstehen Turbulenzen und Wirbel.
4.2.) Glossar
thermohalin: Dieser Ausdruck stammt aus dem griechischen. Er beschreibt ein Geschehen, dass von Wärme (thermo) und Salzgehalt (halin) beeinflusst wird.
homogen: Ein homogenes System besteht vollständig aus einer einzigen Phase, alle seine
enthaltenden Bestandteile befinden sich nur in einem Aggregatzustand. Das Gegenteil
von homogen ist geschichtet.
Vektor: Gerichtete Größe, wird zum Beispiel bei der Strömungsphysik dazu benutzt die
Geschwindigkeit mit ihren charakteristischen Größen: Geschwindigkeit und Richtung
darzustellen. Zur Darstellung dient ein Pfeil. Addition von Vektoren findet ähnlich wie
bei der Rechnung im Kräfteparallelogramm statt.
Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt ist das Produkt zweier Vektoren im dreidimensionalen Raum. Dieses Produkt ist ein dritter Vektor, der senkrecht auf dem Parallelogramm
steht, das von den beiden Ausgangsvektoren gebildet wird. Die Vektorlänge entspricht
hierbei der Fläche des Parallelogramms.
Grenzwert: Der Grenzwert wird mit dem lateinischen Begriff lim= limes abgekürzt.
Erst ist der Wert (a) dem sich die Teile einer Zahlenfolge (a n) unendlich nah annähern,
dadurch das die Folge unbegrenzt lang wird.
gesprochen: „Der Grenzwert von a n für n gegen unendlich ist a.“
geschrieben: lim n => °° a n = a
V. RESÜMEE:
5.1.) Weiterführende Fragen
Eine Weiterführung meiner Arbeit könnte außer der Kraftübertragung des Windes auf
die Oberflächenströmungen auch die daraus entstehenden Druckgebiete im Wasser zum
Thema haben, die die tiefer liegenden Strömungen erzeugen.
Hier nur in aller Kürze:
Durch die mit den oberflächennahen Strömungen verbundenen Verschiebungen der
Wassermassen baut sich eine Druckverteilung im Ozean auf, die also in Windrichtung
gesehen rechts hohen Druck und links niedrigeren Druck zur Folge hat. (Auf der Südhalbkugel entsprechend umgekehrt.) Unterhalb der Ekmanschicht (in ca. 100 m bis über
1000 m), wo das Wasser nicht mehr dem direkten Einfluß des Windes ausgesetzt ist,
würde diese Druckverteilung zu einer entgegengesetzten Ausgleichsbewegung führen,
wenn nicht auch hier wieder zwangsläufig die Corioliskraft wirken würde: die Strömungen vom hohen zum niedrigeren Druck werden wieder nach rechts (bzw. links auf
der Südhalbkugel) abgelenkt, so dass der Transport dieser tiefen Ausgleichsströmungen
gewissermaßen “zurück in die Windrichtung dreht”. Obwohl also die Oberflächenströmungen vom Wind quer zu seiner Richtung bewegt werden, entsteht auf diese Weise eine
tiefreichende Ozeanströmung in Windrichtung. Ein kaum zu glaubendes Phänomen der
Natur, dessen genial einfaches Ergebnis zwar durch Strömungsmessungen leicht zu
belegen, aus den physikalischen Grundprinzipien aber nur durch einen komplizierten
Rechenweg zu verstehen ist.
Darüber hinaus müssten die noch fehlenden antreibenden Kräfte: thermohaline Antrieb
und Druckunterschiede, dem oben beschriebenen Modell hinzugefügt werden. Die Simulation der Meereszirkulation würde dann die tatsächlichen Geschehnisse in unseren
Ozeanen fast perfekt widerspiegeln. (An einem kompletten Modell wird momentan am
IFM-GEOMAR gearbeitet. Mit den dafür notwendigen Gleichungen kommt allerdings
selbst ein Großrechner an seine Grenzen.)
5.2.) Schlusswort
Ein großer Nutzen der Arbeit ist es, als „Werkzeug“ zu dienen, mit dem jeder Anwender
des Programms an der komplizierten Physik der Meereszirkulation arbeiten kann. Die
fortgeschrittene Mathematik der Gleichungen wird durch interaktive Visualisierung mit
simplem Zugang verständlicher. Die Ausgangsgrößen meiner Programme sind leicht zu
verändern, so dass ein intuitives Verständnis vom Wirken des Windes auf die Meeresoberfläche für den Benutzer erreicht werden kann. Abstrakte Theorie kann auf diese
Weise eine höhere Ebene erreichen.
Abgesehen von diesen Tatsachen hat die Arbeit auch für mich persönlich großen Nutzen gebracht. Ich hatte die Möglichkeit, mit einer komplexen wissenschaftlichen Aufgabenstellung umzugehen, vor allem in den Bereichen der Physik und Informatik. Einen
kleinen Teil der Ozeanographie habe ich so für mich erobert.
Nun hoffe ich, dass durch diese Arbeit das Thema ein Stück weit für alle Leser verständlich wird. Diese Niederschrift kann als Anleitung für die entwickelten Programme
dienen. Die oben erstellte Software hat somit den Zweck, der Einarbeitung in die Thematik der Meeresströmungen auch für die Studenten vom IFM-GEOMAR zu dienen.
Zuletzt danke ich meinen beiden Mentoren, die mir viel Zeit und Aufmerksamkeit geschenkt haben:
Joachim Dengg für seinen Einsatz zur Erklärung der ozeanischen Phänomene
Stefan Theisen für die fortlaufende Unterstützung und die Einweisung in die Computersprache Matlab
VI. QUELLCODE DER PROGRAMME:
Der Quellcode ist eine Textdatei mit der Endung „.m“. Mit Hilfe von Matlabs „Command
Window“ lässt sich diese so genannte M-File öffnen oder ausführen. In einem geöffneten Programmtext lässt sich jede beliebige Programmieranweisung einfügen. Beim
Ausführen wertet Matlab dann alle Zeichen des Quellcodes aus und gibt die geforderte
Lösung aus. Dies könnte z.B. der Graph einer Sinuskurve sein.
Die einzige Programmteile die Matlab nicht bewertet sind Kommentarzeilen, sie beginnen immer mit einem „%“ Zeichen. Sie sollen für ein besseres Verständnis und für Orientierung im Programmtext sorgen.
Außerdem ist es möglich, bestimmte Funktionen in den Quellcode einzubinden, die zwar
ihre Lösung in das Programm eingehen lassen, aber sonst eine eigenständige Datei
darstellen. So kann die Funktion mehrfach benutzt werden und hält den Kernquellcode
kurz. Die geläufigen Funktionen sind aber meistens schon in Matlab integriert.
VII. QUELLEN:
7.1.) Literaturverzeichnis
- Stern Nr.7 vom 10.2.2005 „Klima-Katastrophe / Alles Panikmache?“
- Stephen Pond und George L Pickard, Introductory Dynamical Oceanography, 1983
- Oskar Höfling, Physik Band 2 Kurzausgabe, 1992
- The Open University: Ocean Circulation, 1989
- Anders Persson, The Coriolis Effect –
a conflict between common sense and mathematics
- Stefan Rahmstorf, Nature, 2002, Vol. 419, Page 207
7.2.) Internetseiten
- http://www.ifm.uni-kiel.de/nat-meer
- http://www.ifm-geomar.de
- http://data1.gfdl.noaa.gov/nomads/forms/mom4/CORE.html
- http://www.geo.de
- http://www.lighthouse-foundation.org/index.php?id=100&L=0
- http://www.muk.uni-hannover.de/~jansen/skript3a.pdf
- http://www.wikipedia.org
- http://oceancolor.gsfc.nasa.gov/cgi/image_archive.cgi
7.3.) Bildquellenverzeichnis
Alle Abbildungen, die nicht mit einer Nummer benannt wurden, sind von mir mit Hilfe
von Matlab erstellte Modellgrafiken. Sie wurden meistens mit Picture Publisher 7
bearbeitet.
Abbildung:
- 1:
Titelbild, Eine mit Adobe Photoshop 8 bearbeitete Kombination von einer NasaSatellitenaufnahme aus dem Internet und einer aus Matlab exportierten Grafik
http://oceancolor.gsfc.nasa.gov/FEATURE/IMAGES/
S2002279205430.L2_HMBR.CaliforniaUpwelling.jpg
- 2:
Strömungssystem, Grafik des IFM-GEOMAR
- 3:
Schema 1, Grafik erstellt mit Picture Publisher 7
- 4:
Golfstrom 1, Grafik aus dem Internet:
http://visibleearth.nasa.gov/view_rec.php?id=1187
- 5:
Golfstrom Infrarot, Grafik aus dem Internet:
http://visibleearth.nasa.gov/view_detail.php?id=5248
- 6:
Die Scherkraft, Grafik erstellt mit Picture Publisher 7
- 7:
Corioliskraft, Grafik erstellt mit Adobe Photoshop 8.0
- 8:
Ekmanspirale 1, Grafik aus dem Internet:
http://de.wikipedia.org/wiki/Korkenzieherstr%C3%B6mung
- 9:
Ekmanspirale 2, Grafik aus dem Internet:
http://de.wikipedia.org/wiki/Korkenzieherstr%C3%B6mung
- 10:
Upwelling, Screenshot erstellt mit SnagIt 7 aus der Encarta Enzyklopädie 2005
bearbeitet mit Picture Publisher 7
- 11:
Das Zeitschrittverfahren, Grafik erstellt mit Picture Publisher 7
- 12:
Kräftegleichgewicht, Grafik erstellt mit Picture Publisher 7
- 13:
delsqv, Grafik erstellt mit Picture Publisher 7