Newton-Raphson Verfahren

3. Physikalische Nichtlinearität
3.4 Newton-Raphson-Verfahren und
modifiziertes Newton-Raphson-Verfahren
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Newton-Raphson-Verfahren
Nichtlineares Gleichungssystem:
R ( v )  F
Das obige Gleichungssystem kann umgeschrieben werden in:
G ( v )  R ( v )  F  0
Taylor-Reihenentwicklung:
G ( v k  v )  G ( v k )  DG ( v k )  v  r ( v k )
DG ( v k )  v
- Richtungsableitung bzw. Linearlisierung
von G an der Stelle v k
DG ( v k )  K T - Tangentenmatrix
r( v k )
- Restglied
- Lastfaktor
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Newton-Raphson-Verfahren
Aus G ( v k  v )  0 und r ( v k )  0 folgt :
K T ( v k )  v  G ( v k )  F - R ( v k )
F
K T (vk )
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Iteratives Algorithmus
Setze Anfangswerte v 0  v k
Berechne G ( v i ), K T ( v i )
Berechne K T ( vi )  v i  F - R( vi )
Setze i  i  1
Berechne vi 1  vi  vi
Konvergenzkontrolle
nein
G(vi1 )  
ja
Stop! Setze v k 1  vi 1
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Vor- und Nachteile
Vorteil:
Schnelle Konvergenz (quadratische Konvergenz)
v k 1  v  c v k  v
2
Wenige Iterationen!
Nachteil:
In jedem Iterationsschritt muss die Tangentenmatrix neu
bestimmt und ein lineares Gleichungssystem gelöst werden!
Sehr rechenintensiv!
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Modifiziertes Newton-Raphson-Verfahren
Bei dem modifizierten Newton-Raphson-Verfahren wird
die Tangentensteifigkeitsmatrix nur einmal zu Beginn
der Iteration aufgestellt. Für die weiteren Iterationen
wird die gleiche Tangentensteifigkeitsmatrix verwendet.
Daher wird das modifizierte Newton-RaphsonVerfahren auch als Verfahren der Anfangssteifigkeiten
bezeichnet.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Modifiziertes Newton-Raphson-Verfahren
λF
K T (v0 )
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Vor- und Nachteile
Vorteil:
Wenige Berechnungen der Tangentensteifigkeitsmatrix!
Nachteil:
Langsame Konvergenz (lineare Konvergenz)
v k 1  v  c v k  v
Mehr Iterationen!
Daher wird das modifizierte Newton-Raphson-Verfahren nur bei
schwachen Nichtlinearitäten eingesetzt.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN