Stereomodellorientierung

Stereomodellorientierung
Photogrammetrie GZ
Stereobildpaar aufgenommen mit dem Falcon 8
FS 2010
Automatische relative Orientierung © David Novák (Gummireifen)
Stereomodellorientierung
Allgemeines
Die Orientierung von Stereomodellen erfordert die Kenntnis der Orientierungsdaten.
Wenn wir voraussetzen können, dass die Daten der inneren Orientierung (x0, y0, c)
bekannt sind, geht es hier nur noch um die Bestimmung der Daten der äusseren
Orientierung. Dazu stehen grundsätzlich zwei Möglichkeiten zur Verfügung:
(A) Direkte Bestimmung bei der
Aufnahme
selbst
durch
Einsatz von Sensoren (GPS,
INS, etc.)
(B) Bestimmung aus Passpunktkoordinaten und/oder anderen Objektinformationen
(Distanzen, Parallelität von Linien/Geraden, rechte Winkel, Punkte an einer Ebene,
etc.)
2
1
„Hauptaufgabe“ der Photogrammetrie
• In klassischer Formulierung besteht die „Hauptaufgabe“ der
Photogrammetrie in der Bestimmung der äusseren Orientierung
aus Passpunkten.
3
Bestimmung der Orientierungsdaten
a) Rechnen von zwei räumlichen
Rückwärtsschnitten
b) Gemeinsame Orientierung beider Bilder
Folgebildanschluss
Bilddrehungen
Nahbereichsphotogrammetrie (Luhmann)
4
2
Orientierung zweier Stereobilder mit der Bündelmethode
Die allgemeinste Methode zur Orientierung von Stereobildern ist die
Bündelausgleichung. Aus der Bündelausgleichung lassen sich alle anderen Verfahren
der Stereomodellorientierung durch Vereinfachung ableiten. Die Bündelausgleichung
ist ausserdem das grundlegende Verfahren der Orientierung ganzer Bildblöcke
(Bündelblockausgleichung). Im Allgemeinfall der Bündel(block)ausgleichung ist die
Anzahl der zu orientierenden Bilder beliebig, bestimmte Bedingungen müssen
jedoch eingehalten werden. Im Rahmen dieser Vorlesung soll insbesondere auf die
Orientierung von Stereopaaren mittels der Bündelmethode sowie auf die Ableitung
weiterer Verfahren zur Stereomodellorientierung eingegangen werden.
5
Bei der Bündelausgleichung wird rechnerisch ein direkter Zusammenhang zwischen
den Bildkoordinaten und den Objektkoordinaten hergestellt. Das Grundprinzip
verdeutlicht folgende Skizze:
6
3
Die Bildkoordinaten und das zugehörige Projektionszentrum definieren ein räumliches
Strahlenbündel. Die äusseren Orientierungselemente aller Strahlenbündel des Blocks
werden für alle Bilder simultan bestimmt.
Eingangsinformationen
a) Gemessene Bildkoordinaten der Verknüpfungspunkte
b) Gemessene Bildkoordinaten der Passpunkte
c) Objektkoordinaten der Passpunkte
Mittels Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate lässt sich eine Lösung
für die Elemente der äusseren Orientierung aller Bilder sowie der Objektkoordinaten
der Verknüpfungspunkte finden.
7
Simultane Orientierung/Punktbestimmung nach der Bündelmethode
Simultane Orientierung
Keine Aufspaltung in relative und absolute Orientierung. Die Bestimmung der
inneren Orientierung kann in dieses Verfahren miteinbezogen werden.
Simultane Punktbestimmung
Die Bestimmung der Koordinaten der Objektpunkte/Neupunkte erfolgt gleichzeitig
(im selben System) mit der Orientierung.
Bündellösung
Kombinierte räumliche Vorwärts- und Rückwärtsschnitte des ganzen Bündels
8
4
Vorgehen bei der Bündelausgleichung:
 Aufstellen der Beobachtungsgleichungen
 Eingangsinformationen (IO, Verknüpfungspunkte (VP), Passpunkte (PP))
 Näherungswerte für die Unbekannten beschaffen
Aufstellen der Beobachtungsgleichungen:
Jeder Passpunkt liefert 4 Gleichungen für die 12 Unbekannten (fett gedruckt),
aufgelöst nach den Bildkoordinaten der Passpunkte, hier im Fall von 2 Bildern
(Doppelbildeinschaltung) abgeleitet aus der Kollinearitätsgleichung:
xi1 = f (x0 , c, X01, Y01, Z01, ω1, φ1, κ1, Xi, Yi, Zi)
yi1 = f (y0 , c, X01, Y01, Z01, ω1, φ1, κ1, Xi, Yi, Zi)
xi2 = f (x0 , c, X02, Y02, Z02, ω2, φ2, κ2, Xi, Yi, Zi)
yi2 = f (y0 , c, X02, Y02, Z02, ω2, φ2, κ2, Xi, Yi, Zi)
} Bild 1
} Bild 2
9
Für jeden Neupunkt kommen 3 weitere Unbekannte (Xi, Yi, Z i),
jedoch 4 Gleichungen dazu:
xi1 = f (x0, c, X01, Y01, Z01, ω1, φ1, κ1, Xi, Yi, Zi)
yi1 = f (y0, c, X01, Y01, Z01, ω1, φ1, κ1, Xi, Yi, Zi)
xi2 = f (x0, c, X02, Y02, Z02, ω2, φ2, κ2, Xi, Yi, Zi)
yi2 = f (y0, c, X02, Y02, Z02, ω2, φ2, κ2, Xi, Yi, Zi)
} Bild 1
} Bild 2
Dieses Gleichungssystem ist in der Regel stark überbestimmt, die Lösung ergibt sich
durch Linearisierung mit geeigneten Näherungswerten und anschliessender Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Im einzelnen erhält man damit:
12 Elemente der äusseren Orientierung und die Objektkoordinaten der Neupunkte
10
5
Grundlage:
Kollinearitätsbedingung




X i  X o   i D x i  x o 
D: Rotationsmatrix
Projektionszentrum
Innere Orientierung
Ansatz für zwei Bilder






1


x i  x o 
D  T X i  X o
 i




1
x i  x o 
D  T X i  X o
 i
11
Komponentendarstellung mit Elimination des Massstabfaktors :
'
'
'
xi
c
y'i
c'
''
''
xi
''
yi
d11 X i
'
Xo
d12 X i
'
d'13 X i
''
c
'
'
'
'
d 33 Z i Z o
'
'
d21 Y i Y o
'
'
'
'
'
'
d 31 Z i Z o
'
d23 Y i Y o
Xo
'
d 22 Y i Y o
d 32 Z i Z o
X 'o
d '23 Y i Y 'o
d'33 Z i Z'o
''
''
d21 Y i Y o
d 13 X i X o
''
''
d'12' X i X 'o'
d13 X i
c
'
Xo
d 11 X i X o
''
''
d13 X i X o
''
''
d 31 Zi Z o
d23 Y i Y o
''
''
d 33 Zi Z o
d'22' Y i Y 'o'
'
d'32
Zi Z'o'
''
''
d23 Y i Y o
''
''
''
''
''
''
d 33 Zi Z o
'
x0
y'0
''
x0
''
y0
12
6
Formaler Ausgleichungsansatz (vermittelnde Ausgleichung):

j
j
j
x i  v i  Fi X i , Yi , Zi , X 0 , . .. , , x 0k
k = 1, 2, …, 6

Parameter innere Orientierung
i = 1, 2, …, n
Objektpunkte
j = 1, 2, 3, 4
Bildkoordinaten zu einem Objektpunkt
Annahme (ohne Einschränkung der Allgemeinheit):
Daten der inneren Orientierung seien bekannt!
Systemunbekannte: 12 Orientierungsparameter
3n Objektpunktkoordinaten
Anzahl der Beobachtungsgleichungen: 4n
Beispiel (n = 12):
12 + 36 = 48 Unbekannte
4n
= 48 Gleichungen
13
Das System bleibt trotzdem unterbestimmt, da die 7 Parameter einer räumlichen
Ähnlichkeitstransformation aus diesem System nicht eindeutig bestimmbar sind.
Es lässt sich somit der Punkthaufen (zusammen mit den beiden Bildern) noch um
3 Raumachsen drehen, in 3 Raumrichtungen verschieben und massstäblich
ändern.
Lösung: Mindestens 7 Freiheitsgrade müssen festgehalten werden
a)
7 Parameter der äusseren Orientierung gegeben, z. B.
X 0 , Y0 , Z 0 ,  ,  ,  , X 0 ; Ausnahmefall
b) 7 geeignete Koordinaten von Objektpunkten gegeben, z. B.
2 Lage-PP und 3 Höhen-PP; Normalfall
Zweckmässig: Passpunktkoordinaten als stochastische Variable (Beobachtungen)
betrachten --> zusätzliche Verbesserungsgleichungen
v p= dX p− 0 ; p= 1 , 2 , .. , q
q … Anzahl der Passpunktkoordinaten
14
7
Gesamtsystem (linearisiert):
F j
F j
F j
 Fij
F j
v ij  i dX i  i dYi  i dZ i 
d X o    i d    Foij  x ij
X i
 Yi
Zi
 X o
 
v p  dX p  0 ; Pp
; P
P ... Gewichtsmatrix für Bildkoordinaten
PP... Gewichtsmatrix für Passpunktkoordinaten
(Vorsicht: Homogenisierung der Gewichte!)
v 
m ,1
A d X  B dX p  C dt  1 ;
m,3n q
m ,q
vp 
m ,12
 0 ; Pp
I dX p
q, q
q ,1
P
m = 4n
d X ... Neupunktkoordinaten
dX p ... Passpunktkoordinaten
t
...
Parameter der äusseren Orientierung
vT P v + v T
p Pp v p
Min.
15
Normalgleichungen (symmetrisch) :
 A T PA

 B T PA

 C T PA

A T PC 

B T PC 

C T PC 

A T PB
B T PB  Pp
T
C PB
 dX 


 dX p 


 dt 


=
 A T Pl 


 B T Pl 


 C T Pl 


Blockweises Unterteilen des Normalgleichungssystems
N xx
N xt
dX
lx
T
N tt
dt
lt
N xt
16
8
Lösung:
 N xx

NT
 xt
dX 
  
 
 dt 
N xt 

N tt 
1
l x 
 
l 
 t
Kovarianzmatrix:
K x, t

ˆ o2
 N xx

 T
 N xt
N xt 


N tt 
1
Matrizenstrukturen:
Wichtig für Rechen- und Speichertechnik, besonders bei grossen Systemen
Beispiel: 2 Bilder, 4 Neupunkte, 3 Vollpasspunkte
17
a) Beobachtungsgleichungen
=> effektiv speichern !
18
9
b) Normalgleichungen
19
Räumlicher Vorwärtsschnitt (RVS)
Bei bekannter innerer und äusserer Orientierung beider Bilder lassen sich aus
den 4 gemessenen Bildkoordinaten eines Neupunktes seine Objektkoordinaten
X, Y, Z berechnen. Mittels RVS lassen sich Näherungswerte für die
Neupunktkoordinaten berechnen und innerhalb der Bündelausgleichung dann die
verbesserten Koordinaten.
20
10
Gegeben:
Drehmatrizen
D´= D´ωφκ , D´´= D´´ωφκ
 
Projektionszentren
X
 o, Xo
 
Innere Orientierung
x o , xo

Gemessen: Komparatorkoordinaten von Pi, Pi

Gesucht: Objektkoordinaten von Pi Xi
 
Die Lösung für den räumlichen Vorwärtsschnitt lässt sich aus der Bündelmethode dadurch
ableiten, dass man die Daten der äusseren Orientierung als beobachtete Grössen
(stochastische Variablen) einführt und ansonsten ohne Passpunkte arbeitet.
21
Ableitung aus der Bündelmethode
_
v AdX BdXp Cdt l;P
vt Idt l t ; P t
Für pti -> ∞ (σti -> 0) werden die beobachteten (angenommenen) Daten der EO
fixiert. Falls man zusätzlich alle Objektpunkte als Neupunkte betrachtet wird
aus der allgemeinen Bündelmethode ein Räumlicher Vorwärtsschnitt.
Die Normalgleichungen werden zu
AT PA AT PB
BT PA BT PB
AT PC
BT PC
CT PA CT PB CT PC P T
_
dX
dXP
AT Pl
BT Pl
dt
CT Pl P t l t
22
11
Für diag(PZ) -> ∞ geht dt -> 0, d.h. diese Orientierungsunbekannten können aus
dem System herausgenommen werden und bleibt übrig
_
Nxx d X
lx
Da NXX eine Hyperdiagonalmatrix ist, zerfällt die Lösung in i = 1,...,n (n = Anzahl
Objektpunkte) separate Lösungen à 4 Beobachtungsgleichungen mit 3 Unbekannten
(Xi, Yi, Zi).
23
Lösung:
Annahme:
Komparatorkoordinaten mit
innerer Orientierung, reduziert
auf Bildkoordinaten
 
xi , xi
X0´´
X0´
x
  i
x i  yi
 c
,
x 
  i
x i yi
 c

24
12
Mathematisches Modell (Kollinearitätsgleichung):
Abbildung eines Punktes in den Objektraum:



Xi  X0  i D' xi



Xi  X0  i D'' xi
λi´ und λi´´ : für jeden
Objektpunkt individuelle,
unbekannte Massstabsfaktoren
X0´´
X0´
Inverse Repräsentation:






 1
xi  DT X i  X o
i


 1
xi  DT X i  X o
i
;
 d31

d11 d21
 d32

DT  d12 d 22

d13 d 23
 d33
 
25
Bild 1:
Bild 2:
 d31
   X i  X 0 
 xi 
d11 d21
 y  1  d  d d    Y  Y  
 i    12 22 32   i 0 
 zi  i d13 d23
 d33
   Zi  Z0 
 d31
   X i  X 0
 xi
d11 d21
 y  1  d  d d    Y  Y  
 i    12 22 32   i 0 
i
 d33
   Zi  Z0 
 zi
d13 d23
Eliminiation von λi´ und λi´´ durch Division der ersten und zweiten Zeile jeweils durch die
dritte:
mit:
zi  zi  c
 Yi  Yo  d31
 Zi  Zo 
d11  Xi  X o   d21




 Zi  Zo 
d13 Xi  Xo   d23Yi  Yo   d33
k
 c x
kz
xi   c
yi   c
k y
,
k z
  Xi  Xo  d21
 Yi  Yo  d31
 Zi  Zo
d11
 Yi  Yo  d33
 Zi  Zo
d13  X i  X o  d23
k
 c x
kz
xi   c
k y
y    c
;
i
k z
Diese 4 Gleichungen bilden das nichtlineare Funktionalmodell für die Beobachtungsgleichungen.
26
13
Beobachtungen: xi , yi , xi, yi
Xi , Yi , Zi
Unbekannte:
Xo , Yo , Zo , , , 
Annahme:
fehlerfrei
Allgemeine Funktionsdarstellung:
Fx xi , X i , Yi , Zi   0
Fy yi , Xi , Yi , Zi   0
Fx xi , X i , Yi , Zi   0
Fy yi, Xi , Yi , Zi   0
27
Linearisierung über Taylor-Reihe:
xi  vxi 
yi  vyi 
xi  vx i 
yi  vy i 
Fx
F
F
dXi  x dYi  x dZi  Fx(0)
Xi
Yi
Zi
Fy
Xi
dXi 
Fy
Yi
dYi 
Fy
Zi
dZi  Fy(0)
Fx
F
F
dXi  x dYi  x dZi  Fx(0)
Xi
Yi
Zi
Fy
Xi
dXi 
Fy
Yi
dYi 
Fy
Zi
dZi  Fy(0)
28
14
System der Verbesserungsgleichungen:
  v  Ax ; P

T  xi  Fx(0) , yi  Fy(0), xi  Fx(0) , yi  Fy(0)
x  dXi , dYi , dZi 

T
1
4
1
+4
=
3
4
1
3
4 Beobachtungen, 3 Unbekannte → Redundanz
Beachten: Näherungswerte für
Xi , Yi , Zi nötig
X
(0 )
i
, Yi( 0 ) , Z (i 0 )

Iteration, da Problem nichtlinear !
Erweiterung des Ausgleichungsmodells:
Elemente der äusseren Orientierung als stochastische Grössen einführen. Gewichte aus
Genauigkeitsangaben der relativen Orientierung
Korr.
Folgebildanschluss:  b y ,  b z ,  ,  ,  
und eventuelle Korrelationen: b y 
 
Verbesserung der Ausgleichungsergebnisse !
29
Räumlicher Rückwärtsschnitt
aus Kollinearitätsgleichung:
x  vx  F ( X 0 ,Y0 , Z0 , , , , x0 , c, X , Y , Z )
y  vy  F ( X 0 , Y0 , Z 0 , ,,  , y0 , c, X , Y , Z )
• 6 Unbekannte
• 2 Beobachtungen pro Punkt
• 3 nicht kollineare Passpunkte nötig
• nicht direkt lösbar, Linearisierung,
Ausgleichungsaufgabe
• Nachteile:
• viele Passpunkte nötig
Nahbereichsphotogrammetrie (Luhmann)
• im Vergleich zu anderen Verfahren geringere Genauigkeit, kaum Anwendung in der
Praxis, Ausnahme: Verfahren zur Gewinnung von Näherungswerten für die
Bündelausgleichung
30
15
Gegeben: Innere Orientierung
Passpunktkoordinaten P1, P2, P3
Gemessen: Komparatorkoordinaten von P'1, P'2, P'3
Gesucht:
Objektkoordinaten von O (Projektionszentrum)
D (ω, φ, κ)
Lösung:
Die Gleichungen für den räumlichen Rückwärtsschnitt lassen sich aus
der Bündellösung dadurch ableiten, dass man alle Objektpunkte
festhält, d.h. als Passpunkte betrachtet (keine Neupunkte).
Annahmen:
a) Nur ein Bild (j = 1)
b) dXi = dYi = dZi = 0 (Objektpunkte werden festgehalten)
(i = 1, ..., np,
np... Anzahl der Passpunkte)
31
Resultat:
Als Unbekannte verbleiben lediglich die Daten der äusseren Orientierung eines
Bildes.
x i  v ix  Fix Xo ,  , 
y i  v iy  Fiy X o ,  , 
Nach Linearisierung ergibt sich
v  C dt  l ;
P
Auch hier können die Objektpunktkoordinaten als beobachtete (gewichtete) Grössen
eingeführt werden. Dann erhalten wir ein System der Form
v  B dXp  C dt  l
:
P
vp  I dXp
:
P
32
16
Redundanz des Systems: r = 2 np - 6
Für r = 0 ergibt sich die Minimalanzahl der (Voll-) Passpunkte: np = 3
Frage: Warum benötigt man zur Bestimmung von 6 Unbekannten 9
Passpunktinformationen ?
Keine eindeutigen Lösungen ergeben sich unter den folgenden
Voraussetzungen:
- Die Passpunkte liegen auf einer Geraden
- 3 Passpunkte liegen zusammen mit einem Projektionszentrum auf dem
sogenannten „gefährlichen Zylinder“
33
Gefährlicher Zylinder
Wird in 11.5 behandelt
34
17
Übersicht zur Orientierung
Orientierung
Innere Orientierung
Äussere Orientierung
Simultane Lösung
2-Stufenlösung
Relative Orientierung
Simultane Lösung
7 Parameter
Absolute Orientierung
Lage-/Höhe-Iteration
4/3 Parameter
35
Bestimmung der Orientierungsdaten mit analytischen Verfahren
a) Rechnen von zwei räumlichen
Rückwärtsschnitten
b) Gemeinsame Orientierung beider Bilder
Folgebildanschluss
Bilddrehungen
Nahbereichsphotogrammetrie (Luhmann)
36
18
Spezialfall A: Getrennte Orientierung beider Bilder
• Diese Methode setzt voraus, dass in jedem Bild mindestens 3 Passpunkte
messbar sind
• Damit ergeben sich für jedes Bild 6 Gleichungen für die 6 Orientierungsunbekannten:
xi = f (x0, c, X0, Y0, Z0, ω, φ, κ, Xi, Yi, Zi)
yi = f (y0, c, X0, Y0, Z0, ω, φ, κ, Xi, Yi, Zi)
mit i = 1, 2, 3.
Diese Methode hat folgende Nachteile:
• Information, dass homologe Strahlen sich in
Neupunkten (P4) schneiden, wird nicht ausgenutzt
• Im Gegensatz zu anderen Verfahren benötigt man
• 3 Vollpasspunkte (X, Y, Z bekannt)
37
Bestimmung der Orientierungsdaten mit analytischen Verfahren
a) Rechnen von zwei räumlichen
Rückwärtsschnitten
b) Gemeinsame Orientierung beider Bilder
Folgebildanschluss
Bilddrehungen
Nahbereichsphotogrammetrie Luhmann
38
19
Spezialfall B: Gemeinsame Orientierung beider Bilder (zweistufig)
2 Schritte:
• Relative Orientierung beider Bilder in einem beliebig im Raum liegenden Koordinatensystem (xyz). Resultat ist ein beliebig im Raum gelagertes Stereomodell.
• Überführung des Stereomodells in das übergeordnete Koordinatensystem (z. B.
Landeskoordinatensystem) durch absolute Orientierung.
Die äussere Orientierung beider Bilder wird in die 2 Arbeitsschritte relative und
absolute Orientierung aufgespalten. Gesucht sind die 12 Unbekannten der
äusseren Orientierung des Bildpaars. 5 Unbekannte lassen sich durch die relative
Orientierung, 7 durch die absolute Orientierung bestimmen.
39
Zusammenhang Absolute und Relative Orientierung:
Relative
Orientierung
Absolute
Orientierung
Nahbereichsphotogrammetrie (Luhmann)
40
20
Relative Orientierung
Aufnahme
Auswertung (nicht orientiert)
Die relative Orientierung beruht auf der Herbeiführung der Strahlenschnitte
entsprechender (homologer) Strahlen, d.h. die Kernebenen müssen rekonstruiert werden.
Dafür benötigt man ein Mass für die "Windschiefe" der Strahlen.
41
Korrekturverfahren (Analogauswertegeräte)
1. Beliebige Projektion:
∆yII / ∆ xII (Parallaxen)
2. Höhenverschiebung von RP:
∆ xI = 0
=> ∆ yI
Durchführung der relativen Orientierung:
Berechnung der Elemente der äusseren Orientierung dergestalt, dass alle y - Parallaxen
verschwinden (pyi = 0 , i = 1, 2, ..., m ; m = Anzahl Modellpunkte).
42
21
y y
y'
y''
x- und y- Parallaxe:
x'
x''
b
43
Koplanaritätsbedingung:
„Bei relativ zueinander orientierten Bildern liegt der Objektpunkt P und die beiden
Projektionszentren O‘ und O‘‘ in einer Ebene (Kernebene)“
In dieser durch die Vektoren b, r´ und r´´ gebildeten Kernebene liegen dann auch die
abgebildeten Bildpunkte P´ und P´´
Nahbereichsphotogrammetrie (Luhmann)
44
22
Die gegenseitige Orientierung erfordert, dass
von den zwölf möglichen Orientierungselementen der beiden Bilder
z.B.: X01, Y01, Z01, ω1 , φ1 , κ1 ,
X02, Y02, Z02, ω2 , φ2 , κ2
( oder: X01, Y01, Z01, ω1 , φ1 , κ1 ,
bx , by , bz , ω2 , φ2 , κ2 )
fünf so bestimmt werden, dass sich je zwei zugehörige Bildstrahlen in fünf Modellpunkten
schneiden.
Die Begründung liegt in einem Satz der projektiven Geometrie:
„Zwei Räume sind projektiv zueinander, wenn sich fünf homologe Strahlen
schneiden.“
Die beiden homologen Sehstrahlen (für jeden der fünf Punkte) müssen in einer Kernebene
liegen. Also müssen die Vertikalparallaxen (y-Parallaxen) in diesen fünf Punkten verschwinden.
In diesem Fall ist die Vertikalparallaxenfreiheit für alle anderen Punkte des Modells auch
gewährleistet, falls keine Bildfehler vorliegen.  die Bilder sind relativ zueinander orientiert
Für die verwendeten fünf Modellpunkte sind keine Objektraumkoordinaten erforderlich!
45
Anordnung der Modellpunkte = Verknüpfungspunkte = Gruberpunkte
Verknüpfungspunkte sollten näherungsweise nach dem
Gruber - Schema verteilt werden
• minimal 5 Punkte
• es sollten jedoch 6 oder mehr Punkte genutzt werden
• stabile Kopplung der beiden Bilder
• Fehlmessungen eines Punktes können erkannt werden
• Trotz guter Verteilung der Verknüpfungspunkte kann es
zu Problemen bei der Orientierung kommen
Grund:
• Punkte und die Projektionszentren der beiden Bilder
liegen auf einer Gefährlichen Fläche (Zylinder)
46
23
Gefährlicher Zylinder
Liegen
die
Verknüpfungspunkte
und
die
Projektionszentren beider Bilder (näherungsweise)
auf einem gemeinsamen Zylindermantel so kommt
es zu singulären (schlecht konditionierten)
Normalgleichungen
 Orientierung nicht möglich
• typische Situation: Flug (längs) über ein Trogtal
• Auch bei schwach gekrümmten Oberflächen
möglich (lange Brennweite)
Nahbereichsphotogrammetrie (Luhmann)
Abhilfe durch Änderung der:
Photogrammetrie (Kraus)
• verwendeten Verknüpfungspunkte
• Flugrichtung quer zum Tal
• Flughöhe
• Kamerabrennweite
bei Flugplanung
berücksichtigen
Anm.: Das gleiche Problem kann auch beim räumlichen Rückwärtsschnitt auftreten
47
Die Grundgleichung der relativen Orientierung ist die Koplanaritätsbedingung.
Die Darstellung nach Schut ergibt


 
uiT M ui  xiT DT M D xi 0
mit:
( Schutbedingung )
T
  D  D 
DT   D
 

  D  D
D  D
 
i = 1, ... , m

 0  bz by 


M   bz
0  bx 
 by bx
0 

m = Anzahl Modellpunkte
In dieser Gleichung treten nur noch 9 Orientierungsbekannte auf (zuvor 12).
Durch Einführung von Basiskomponenten:
b x  X0  X0 , b y  Y0  Y0 , bz  Z0  Z0
wurden die ursprünglichen 6 Koordinaten der beiden
Projektionszentren auf 3 Basiskomponenten reduziert.
48
24
Bemerkung: Die gegenseitige Orientierung stellt ein im Prinzip beliebig im Raum
gelagertes und orientiertes Modell des Objekts her, ohne notwendigen Bezug zum
Objektkoordinatensystem (daher auch der Begriff „Modellkoordinatensystem“).
Nahbereichsphotogrammetrie (Luhmann)
49
Da die relative Orientierung durch 5 Parameter bestimmt ist, können wir in der
Koplanaritätsbedingung über 9 - 5 = 4 Orientierungselemente frei verfügen.
Hier unterscheidet man zwei Varianten in der Parameterwahl:
(a) Folgebildanschluss. In der analogen Photogrammetrie auch als
Einprojektormethode bezeichnet.
Hier werden die Elemente eines Bildes festgehalten, z.B.
,, , dazu bx .
Es verbleiben als Unbekannte , , , by , bz .
(b) Methode der unabhängigen Modelle (Zweiprojektormethode,
Methode der Bilddrehungen).
Hier werden die Elemente bx , by , bz ,  (oder ) festgehalten.
Man benutzt als freie Parameter nur die Bilddrehungen , , , , und  (oder )
.
50
25
Folgebildanschluss
• Hier werden die Elemente eines Bildes festgehalten, z.B. ω1 , φ1 , κ1 und bx
• Es verbleiben als Unbekannte: by , bz , ω2 , φ2 , κ2
• Modellkoordinatensystem:
• entspricht dem linken Bild
• 1. Bild bleibt fest:
• ω 1 = φ 1 = κ1 = 0
• ( X´O= Y´O= Z´O= 0 )
• 2. Bild:
• 5 freie Parameter
• Winkel ω 2 , φ 2 , κ2
• Basiskomponenten by , bz
• Basiskomponente bx willkürlich
wählbar (definiert den Modellmassstab)
Nahbereichsphotogrammetrie Luhmann
51
Folgebildanschluss


Wird in der Gleichung xi T DT M D xi  0
das linke Bild festgehalten, so ergibt sich mit der Wahl        0
D  DT  I
und somit


xi T M D xi  0
Weiterhin wird bx festgehalten, da dieser Parameter nicht zur y-Parallaxe (py) beiträgt, z. B.
bx=1 .
Jeder Modellpunkt (i) trägt nun eine Koplanaritätsgleichung zur relativen Orientierung bei.
52
26
Allgemeine Funktion:
Fi (b y , bz , , , )  0
Annahme (Regelfall):
c  c  c
(gleiche Kamera für beide Aufnahmen)
Komponentenform der Koplanaritätsbedingung:
xi
mit:
 0  bz by 
 xi 


yi  c  bz
0  1 D D D  yi   0
 by 1
0 
 c

0
0 
1


D   0 cos  sin  

 0 sin cos 


Beobachtungen: xi , yi , xi, yi
 cos 0 sin 


D   0
1
0 

  sin  0 cos  


i  1,, m ,
 cos   sin   0


D   sin   cos  0

 0
0
1

m5
53
Ausgleichungsproblem:
Fi (l a , x a )  0
 Bedingte Ausgleichung mit Unbekannten
5 Unbekannte
k Beobachtungen
m Bedingungsgleichungen
Vereinfachung für Senkrechtaufnahmen:
 , , , by , bz
kleine Grössen :
 1    


D   
1  


1 
  
xi , xi tragen fast nichts zur y- Parallaxe bei, werden also nicht als Beobachtungen im
Sinne der Ausgleichungsrechnung betrachtet.
54
27
Die Koplanaritätsbedingung vereinfacht sich somit zu:
Fi  xi yi  c
 0  bz by 


0 1
 bz
 by
1
0 

 1  κ  
 κ
1  ω

  ω
1 
 xi 
 y   0
 i
 c
Linearisierung durch Taylor-Reihenentwicklung:


Fi
F
dx  i v  Fi l b , x (0)  0

 xa
 la


w
B
A
Startwerte für die Linearisierung: by0 = bz0 = ω20 = φ20 = κ20 = 0
Sammlung der Koeffizienten in den Designmatrizen A, B, Widerspruchsvektor w.
55
Koeffizienten der Matrix A:
mit: px  x  x
i i
py  yi  yi
 0 0 1  1    
Fi
 xi yi  c  0 0 0  
1  
b y
1 0 0   
1 

 
0
0
0
 xi 
 yi  
 c
 
0
 xi xi  cxi  xi   cyi  cxi  c2  c xi  xi    cpxi ;
0  1 0
 xi 
0
0 0 D  yi   yi xi  xi yi  xi p yi  yi pxi   yi pxi
0 0 0
 c
Fi
 xi yi  c 1
bz
 0
bz
0
 by

1
Fi

 xi yi  c  bz
 
by 

1
0 
 0 0 1
 0 0 0


1 0 0
0
 xi 
0
 y   x xb  yx  c b y  cb   y x ;
i i y
i i
z i
y
i i
 i
 c
56
28
0
0 0 0   xi 
0
Fi
 xi yi  c M 0 0 1  yi   xi yi by  yi yi  xicbz  c2 

0 1 0   c

  


  yi yi  c2 ;
0 1 0
Fi
 xi yi  c M 1 0 0

0 0 0


0
 xi 
 yi  
 c
 
0
  bz xi xi  yi yi   cxi  cby yi   cxi ;
57
Widerspruchsvektor wi :
 xi 
w i  xi yi  c M(0)D(0)  yi   cyi  yi   cpyi
 c
 
Koeffizienten der Matrix B:
Fi
yi

 0 1 0 MD x i  b z xi  c
c
0
 
T
 x i MD 1  b z xi  c
 c
 
0
Fi
Fi

> Spaltenran g von B wird um m reduziert;
yi
yi
Fi
yi
vy  vy , cvy  cvy  cvpy ;
v
py
 vy  vy 
58
29
Es bleibt eine Verbesserung pro Gleichung übrig. Dies entspricht einer
vermittelnden Ausgleichung der Form
pyi  vp y  px i dby 
yi px i
dbz 
c
i
yi xi
 yi yi 
d  
 c d   xi d
c
 c

Dasselbe Ergebnis lässt sich über die Differentialformeln für Bildkoordinaten
von Normalaufnahmen (Kap. 6.6.) gewinnen:
pyi ˆ dyi  dyi  vpy 
i
Mit hg 

c
c
y
y
y2 
xy
dYo 
dY0  i dZ0  i dZ0   c  i  d  i i d  xid
hg
hg
hg
hg
c
c


bc
, by  dY0  dY0 , bz  dZ0  dZ0 , yi  yi  y und b  bx  1
px
erhält man
p yi  v p y  p x i b y 
yi p x i
i
c
bz 
 y2

d   i  c  d   x i d
 c

c


x iyi
59
Methode der Bilddrehungen („Zweiprojektormethode“)
• es finden lediglich Drehungen der Bilder statt
• Translationen bleiben frei und bestimmen
Modellorientierung und -massstab
• Modellkoordinatensystem:
• Ursprung im Projektionszentrum
des linken Bildes (O‘)
• x-Achse durch O‘‘
• 1. Bild:
• φ 1 , κ1 unbekannt
• (x01 = y01 = z01 = 0 (Ursprung des Systems) )
• by = bz = ω 1 = 0
• 2. Bild:
• ω 2 , φ 2 , κ2 unbekannt
• x02 = bx (Massstab)
Nahbereichsphotogrammetrie (Luhmann)
• y02 = z02 = 0
60
30
Grundgleichung: Schutbedingung
T   T

ui M ui = xi DT MD xi = 0
Insgesamt: 9 Orientierungselemente:
bx , by , bz , ω´ , φ´ , κ´, ω´´ , φ´´ , κ´´
Festlegung:
bx = 1 , by = bz = ω´ (oder ω´´) = 0
Nahbereichsphotogrammetrie Luhmann
Das heisst, nur die 5 Drehwerte φ´ , κ´, ω´´ , φ´´ , κ´´ werden zur gegenseitigen
Orientierung herangezogen.
61
Aus: bx = 1 , by = bz = 0
folgt:
und ω´ = 0
 0  bz by  0 0 0 


M   bz
0  bx   0 0 1
 by bx
0  0 1 0 

0
0  1 0 0
1
D  0 cos - sin  0 1 0  I
0 sin cos  0 0 1
und man erhält:
D  DD 
Mit 2 Unbekannten   ,  
D = DDD  Mit 3 Unbekannten   ,  ,  
62
31
Damit ergibt sich für jeden Modellpunkt (i) mit
i = 1, , m ;
m5 ;
m = Anzahl Modellpunkte :
0 0 0 
Fi  xi yi  c D D 0 0 1 Dω D Dκ
0 1 0 
T
κ
T
 xi 
 y  = 0
 i
 c
Taylor Linearisierung:


Fi  b  v, x 0  dx = 0
Ausgleichungsmechanismus siehe
Folgebildanschluss !
63
Allgemeiner Algorithmus zur Ausgleichung der gegenseitigen Orientierung
1.
Wahl von Näherungswerten x(0) für die 5 unbekannten Orientierungsparameter,
z.B. x(0) = 0
2.
Berechnung der Koeffizientenmatrizen A, B und des Widerspruchvektors w unter
3.
Berechnung der Normalgleichungen
4.
Auflösung der Normalgleichungen (ergibt dx)
Verwendung aller beobachteten Modellpunkte
64
32
5. Wegen Nichtlinearität des Problems: Iteration
Prüfung des Iterationskriteriums



dxT dx 
z.B.  = 10-8

Falls Iterationskriterium überschritten wird (>):
Verbesserung der Näherungswerte der Parameter, Einführung neuer Näherungswerte
x (1)  x (0)  dx
x (0) ˆ x (1)
Wiederholung ab 2.
6. Berechnung der Verbesserungen v für alle Beobachtungen
7. Berechnung des Varianzfaktors 20 und der Kovarianzmatrix der geschätzten Parameter
8. Berechnung der Modellkoordinaten durch räumlichen Vorwärtsschnitt (Option)
65
Absolute Orientierung
Nach der relativen Orientierung erhalten wir ein photogrammetrisches Modell in
"wildem" Maßstab und mit unbekannter absoluter Orientierung und Lagerung.
Aufgabe der absoluten Orientierung ist es nun, Lage, Massstab und Orientierung
des Modells im Raum zu finden. Es sind also folgende Parameter zu bestimmen :
Massstab
Lagerung
Orientierung
1 Massstabsunbekannte
3 Verschiebungen
3 Drehungen
D
DX , DY , DZ
Dκ , Dφ , Dѡ
Zur Bestimmung dieser Parameter dienen die Passpunkte. Erforderlich sind sieben
Informationen für die sieben Parameter. Zur Verfügung stehen Vollpasspunkte
(Lage und Höhe; X, Y, Z), Lagepasspunkte (X, Y) und Höhenpasspunkte (Z). Es
sind also zum Beispiel folgende Kombinationen möglich:
- 2 VPP und 1HPP
- 2 LPP und 3 HPP
Zu beachten ist, dass immer mindestens drei Höheninformationen gebraucht
werden !
66
33
Restriktionen bezüglich der gegenseitigen Lage der Passpunkte:
sing. Verteilung
mässige Verteilung
ordentliche
Verteilung
Aufgabe : Auffelderung der Modellpunkte an bestehendes Passpunktnetz.
Lösungen :
- Räumliche Ähnlichkeitstransformation (7-Parameter Lösung)
- Getrennte Lage - Höhe Einpassung (4/3-Lösung)
Gegeben:
Gesucht:
Modellkoordinaten der Punkte
Objektkoordinaten der Passpunkte Pj : Xj
j = 1,..., np ; np = Anzahl der Passpunkte
Pi : Xi , i  1,, m
Koordinaten aller Modellpunkte Pi im Passpunktsystem
67
Passpunktverteilung Testobjekt Hönggerberg: HXE Gebäude
68
34
Räumliche Ähnlichkeitstransformation
Xi  
R Xi  T
Translationsvektor
orth. Drehmatrix
Massstabsfaktor
1
3
3
1
1
1
3
3
1
 3
69
2 Schritte :
1. Bestimmung der 7 Transformationsparameter durch kleinste Quadrate Ausgleichung, da
normalerweise mehr als 7 PP-Informationen verfügbar sind.
2. Unter Verwendung dieser 7 Parameter werden alle Modellkoordinaten in das
PP-System transformiert.
Einfaches Modell: Verbesserungen werden den PP-Koordinaten zugeschlagen
Xj  vj  R Xj  T
Vor- und Nachteile:
• Dieses Modell ist einfach zu handhaben (vermittelnde Ausgleichung). Verschiedene PPTypen können leicht eingebracht werden: Für jede PP-Beobachtung eine separate
Beobachtungsgleichung
70
35
Detaillierte Behandlung
X j  vJ   R X j  T ;
j = 1, . . . , np
np = Anzahl der Passpunkte
  um X - Achse

  um Y - Achse
  um Z - Achse
R beinhaltet
Allg. Funktion:
Fj X j ,   0
7
Fj  X j   R Xj  T  0
T   ,  ,  ,  , TX , TY , TZ 
Parameter der räumlichen Ähnlichkeitstransformation
Taylor Entwicklung


Fj X j , (0 ) 
Fj

d 
Fj
X j
X j  0 R 0 X j  T 0 
vj  0
Fj

d   
Fj
Tz
dTz 
Fj
X j
vX j 
Fj
Yj
vY j 
Fj
Z j
vZ j  0
71
Komponenten:
Xj


X j Yj

Zj
X j


X j Yj

 Z j
,




FjX  X j   r11Xj  r12Yj  r13Zj  TX  0



rlT X j
FjY  Yj   r21Xj  r22Yj  r23Zj  TY  0


r2T X j


FjZ  Z j   r31Xj  r32Yj  r33Zj  TZ  0



r3T X j
72
36
Taylor Entwicklung für FjX :
Beachte: Tx ist a priori linear !
T(0)
X j  (0) rl
 (0)


 rlT X j

T(0)
X j  r1
 d  T
X
X jd  (0)

 rlT X j

 d  (0) rlTX j d 

 0  0  v Xj  0  0  0
Y
Z
Ähnliches für Fj , Fj
Näherungswerte 1.
Stufe
 rii  1
 gebräuchlich für
,
(0)  1 ; R (0)  I 
 r  0, falls i  k  Senkrechtaufnahmen
 ik

Annahme: d.h. Modellmassstab wurde schon grob dem PPMassstab angepasst
73
Rotationsmatrix für kleine Drehungen:
rlT 
 1   
 


R 
1   ˆ r2T 
 


r3T 
1 
  
 
rlT X j  Xj  κYj  φZj
r2T X j  κXj  Yj  ΩZj
r3T X j   φXj  ΩYj  Zj
   Z
 rlT X j

j
;
 0
 rlT X j

;
   Y
 rlT X j

j
X j  vxj  Xj  Xjd  0  Zjd  Yjd  TX  0  0
74
37
Verbesserungsgleichungen für Vollpasspunkt in Matrix/Vektor-Form:
 v Xj Xj

 
 v Yj = Yj

 
 v   Z
Zj

  j
0
Zj
- Yj
1
0
- Zj
0
Xj
0
1
Yj
- Xj
0
0
0
3,1
3,7
vj
Aj
 d 
 
d
 
0  d   Xj  X j 

  
0  d  +  Yj  Yj 

  
1 TX   Zj  Z j 
 
T 
3,1
 Y
T 
 j
 Z
7,1
d
v j  A j d   j ; Pj
75
Lage-PP:
X
Y
Höhen-PP:
Voll-PP:
+
vX
vY
λ
r11
r12
r13
r21
r22
r23
Z + v Z =  r31 r32 r33
X
Y + TZ
Z
X
vX
r11 r12 r13
Y + v Y =  r21 r22 r23
Z
vZ
r31 r32 r33
X
TX
Y + TY
Z
TZ
X
Y
Z
+
TX
TY
Derartige Gleichungen werden für alle Passpunkte aufgestellt; sie formen das
System der Verbesserungsgleichungen.
Linearisierung !
Näherungsmodell, da die Modellbeobachtungen X nicht als stochastische Grössen
betrachtet werden.
76
38
Für alle np Passpunkte:
n ... Anzahl der PP-Informationen
 1 
 A1 
 v1 
 


 
2 
 A2 
 v2 
 d   
  = 
  
  
  
 


 
 np 
A np 
vnp 
 


 
n,1
n,7
n,1
v  A d   ;
P
(wird normalerweise als diagonal angenommen !)
Normalgleichungen:
ATPA d  ATP ;
7
7
1
7
N d = AT P
1
=7
77
Lösung


1
d  AT PA AT P
Kovarianzmatrix, Varianzfaktor:


   ˆ 2o AT PA
ˆ 2o 
1
v T Pv
; r = n 7
r
Vorsicht: Problem nichtlinear  Iteration !
78
39
Nach jedem Iterationsschritt: Verbesserung der Modellkoordinaten durch
Transformation
X (jk )  (k ) R( k ) X (j k 1) ; k  ter Iterationsschritt
Translation T muss hier nicht berücksichtigt werden, da linear !
Benutzung der ”neuen“ Modellkoordinaten für nächsten Iterationsschritt.
Neuberechnung von A, .
Iterationskriterien:
a)
XMax 
X (jk)
1 cm


 X jk 1  1 ; z.B. 1  1 cm
b) d2  d2  d2   2


1 cm
; z.B.  2  10-8
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Spezialfall: Absolute Orientierung, wenn ein Bild bereits absolut orientiert ist.
Dies kann bei Streifenmessung im Folgebildanschluss auftreten ("Streifenbildung").
Das heisst, sechs von sieben Orientierungselementen sind bereits bestimmt. Es kann
somit nur noch über den Massstab des Modells frei verfügt werden.
1,2...absolut orientiert
(3)...Ergebnis rel.
Orientierung
3... Ergebnis
Massstabsanpassung
80
40
Absolute Orientierung mit Lage-Höhe Iteration
Dieses Verfahren, auch „4/3-Lösung“ genannt, ist eine spezielle Variante
(Approximation) der räumlichen Ähnlichkeitstransformation.
Räumliche Ähnlichkeitstransformation, aufgespalten in 2 Schritte:
a) Lageeinpassung
b) Höheneinpassung
Annahme: Höhenunterschiede im Modell klein im Vergleich zu Unterschieden
in den Lagekoordinaten verschiedener Punkte.
a) Lageeinpassung
Ebene Ähnlichkeitstransformation
X  TX 
 X
   R X , Y     
Y  TY 
Y
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Ausgleichung: Helmerttransformation
rXX
R X,Y  
rXY
somit
 rXY  cos 

rYY   sin 
 sin 
 ; rXX  rYY
cos  
X = cos  X - sin  Y + TX
Y = sin  X - cos  Y + Ty
Unbekannte: , , TX, TY; nichtlinear in , 
Linearisierung durch Parametertransformation ,   a, b:
b
a   cos  
tan  
a

b   sin     a 2  b2
X  aX  bY  TX
Y  aY  bX  TY
82
41
Verbesserungsgleichungen:
v X j  Xja  Yjb  TX  X j ; p X j
j = 1,, n XY
v Yj  Yja  Xjb  TY  Yj ; p Yj
n XY  Anzahl der LagePPs
4 Unbekannte: a, b, TX , TY
> Mindestens 2 Lagepasspunkte notwendig !
Ausgleichung
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b)
Höheneinpassung
Nach der Lageausgleichung werden die Modellkoordinaten transformiert
Massstab λ, Drehung κ, VerschiebungenTX, TY ; Modellhöhen werden
massstäblich angepasst.
Zur Formulierung der entsprechenden Verbesserungsgleichungen nehmen wir
die 3. Gleichung aus räumlicher Ähnlichkeitstransformation:
v z j  Zj d  Y j d  X j d  Tz  Z j  Z j
≈ 0, da über Massstab bereits in der Lageausgleichung verfügt wurde
Ausgleichung
Vorsicht: Gesamtproblem grundsätzlich nichtlinear,
daher: Iteration Lage - Höhe - Lage - Höhe - ....
letzter Schritt: Höhe
84
42
Allgemeine Prozedur:
1. Lageausgleichung
2. Transformation von X’, Y’ -Modellkoordinaten unter
Verwendung
von λ, κ, (TX, TY)
Transformation von Z’ -Modellkoordinaten nur mit λ
3. Höhenausgleichung
4. Transformation von Modellhöhen mit φ, ω, TZ
5. Falls notwendig, zurück zu 1.
Nachteil:
Lösung nicht streng; hat aber kaum negativen Effekt in
flachem Gelände.
Probleme bei bergigem Gelände.
Vorteil:
Kleinere Ausgleichungssysteme (7 → 4,3);
leichter zu handhaben, keine Näherungswerte für Lageeinpassung
nötig.
Vorteile bei Verwendung einfacher Verfahren zur Suche grober
Fehler durch Trennung in Lage- und Höhenausgleichung
Übliche Methode bei Analoggeräten !
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Literatur
Finsterwalder/Hofmann: Photogrammetrie. Walter de Gruyter & Co., Berlin,
1968
Konecny/Lehmann: Photogrammetrie. Walter de Gruyter, Berlin, New York,
1984
Kraus, K.: Photogrammetrie Band 1: Geometrische Informationen aus
Photographien und Laserscanneraufnahmen, Gruyter, 7. Auflage, 2004,ISBN: 311-017708-0
Kraus, K.: Photogrammetrie. Band 2: Verfeinerte Methoden und Anwendungen,
Gruyter, 3. Auflage, 1996, ISBN: 3-11-018163-0
Schwidefsky/Ackermann: Photogrammetrie. B.G. Teubner, Stuttgart, 1976
86
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