Handout - TU Berlin

Technische Universität Berlin
Prof. Dr. Christian Wey
E-mail: [email protected]
http://www.wm.tu-berlin.de/~wey/
Das lineare Cournot- und Bertrand-Modell mit di¤erenzierten
Gütern
(Handout zur Vorlesung „Wettbewerbspolitik“ im SS 2005)
5. Mai 2005
In diesem Handout wird gezeigt, wie die Nachfragefunktion aus dem Nutzenmaximierungsproblem eines repräsentativen Konsumenten hergeleitet wird. Es werden
die Nash-Gleichgewichtsergebnisse für Bertrand- und Cournot-Modell mit di¤erenzierten Gütern berechnet. Es wird insbesondere der Ein‡ußeiner Veränderung der
Produktdi¤erenzierung auf die Gleichgewichtswerte und die soziale Wohlfahrt untersucht. Schließ
lich werden die Preise, die Ausbringungsmengen, die Gewinne, die Konsumentenrente und die soziale Wohlfahrt in Abhängigkeit von dem Grad der Produktdi¤erenzierung für beide Modelle verglichen. Die folgenden Ausführungen beziehen
sich auf die Beiträge von Singh und Vives [1984] und Vives [1985].
1
Herleitung der linearen Nachfragefunktion
Wir betrachten eine Ökonomie mit einem monopolistischen Sektor, in dem zwei Unternehmen i = 1; 2 jeweils ein di¤erenziertes Produkt anbieten. Des weiteren besitzt die
Ökonomie einen Numeraire-Sektor z, in dem perfekte Konkurrenz besteht. Der Preis
des Numeraire-Gutes sei auf eins normiert, so daßpz = 1 ist. Der Output des Unternehmens i = 1; 2 sei qi . In der Ökonomie gibt es ein Kontinuum von Konsumenten
des gleichen Typs mit einer Nutzenfunktion, die separierbar und linear im NumeraireGut ist. Des weiteren ist die Nutzenfunktion U des repräsentativen Konsumenten
3
quadratisch und streng konkav in qi . Es sei U : R+
! R de…niert durch
U (q1 ; q2 ; qz ) = qz + (q1 + q2 )
2
(q12 + q22 )
q 1 q2 :
(1)
Die Budgetbeschränkung ist durch qz + p1 q1 + p2 q2 6 I gegeben, wobei pi der Preis
des Produktes i, und I das Einkommen des repräsentativen Konsumenten ist. Die
Parameter und sind streng positiv und es gilt > . Strenge Konkavität erfordert,
1
daßder Grenznutzen der Güter 1 und 2 streng positiv ist. Auß
erdem mußdie erste
Hauptdeterminante der Hesse-Matrix streng negativ und die zweite Hauptdeterminante
2
streng positiv sein, was für > 0 und 2
> 0 zutri¤t. Wir betrachten den Fall
substitutiver Güter, so daß > 0 gilt. Aufstellung der Lagrangefunktion gibt
max L(q1 ; q2 ; qz ) = qz + (q1 + q2 )
q1 ;q2 ;qz 0
+ (I
qz
2
p 1 q1
(q12 + q22 )
p2 q2 ).
q 1 q2
(2)
Wir erhalten die folgenden drei Bedingungen erster Ordnung für ein Nutzenmaximum,
aus denen sich die Nachfragefunktionen für die di¤erenzierten Produkte des monopolistischen Sektors herleiten lassen:
@L
=1
@qz
=0)
= 1;
(3)
@L
=
q1
q2
p1 = 0;
(4)
@q1
@L
=
q2
q1
p2 = 0:
(5)
@q2
Wir erhalten die inversen Nachfragefunktionen für die beiden Güter unmittelbar durch
Einsetzen von = 1 in die Gleichungen 4 und 5 und Au‡ösen nach p1 und p2 :1
p1 =
p2 =
q1
q2
(6)
(7)
q2
q1 .
Durch Au‡ösen dieses Gleichungssystems nach q1 und q2 erhalten wir die direkten
Nachfragefunktionen2
q1 = a
q2 = a
(8)
(9)
bp1 + cp2
bp2 + cp1 ,
(
)
mit a
2
2
2
2 , b
2 und c
2 . Die Nachfrage nach den Gütern 1 und
2 ist frei von Einkommense¤ekten. Wir kommen zu dem gleichen Ergebnis, wenn
wir annehmen, daßder repräsentative Konsument seinen Überschuß(CS = consumer
surplus) auf dem monopolistischen Markt maximiert; i.e.
max CS = U (q1 ; q2 )
q1 ;q2 >0
p 1 q1
p 2 q2 ,
(10)
mit U (q1 ; q2 ) = (q1 + q2 ) 2 (q12 + q22 )
q1 q2 . In Anlehnung an die Produktionstheorie können wir dann sagen, daßder Konsument Nutzeneinheiten (utils) mit der
1
2
Wir unterstellen, daßbeide Preise positiv sind.
Wir unterstellen, daßdie Outputs positiv sind.
2
„Nutzentechnologie“ U (q1 ; q2 ) maximiert. Hierbei ist der Preis einer Nutzeneinheit
auf eins normiert. Diese Spezi…kation erlaubt eine partielle Wohlfahrtsanalyse, in der
wir ausschließ
lich die Konsumentenrente und die Produzentenrente des monopolistischen Sektors betrachten. Für eine partielle Wohlfahrtsanalyse verwenden wir die Konsumentenrente, wie sie in Gleichung 10 dargestellt ist.
Des weiteren machen wir folgende Beobachtungen. Die Güter sind Substitute für > 0,
unabhängig für = 0 und Komplemente für < 0: Für = sind die Güter perfekte
Substitute. Die Nachfrage nach dem Gut i ist immer fallend im eigenen Preis und steigt
(fällt) mit zunehmenden Preisen für das andere Produkt, wenn die Güter Substitute
2
(Komplemente) sind. Der Grad der Produktdi¤erenzierung wird durch = 2 de…niert.
Wenn gegen eins geht, dann sind die Güter perfekt homogen, und wenn gegen null
geht, dann sind die Güter unabhängig.
Aus der Nutzenfunktion 1 sehen wir, daßeine Erhöhung von die Nutzenfunktion
nach unten verschiebt ( @U
= q1 q2 < 0) und die inversen Nachfragefunktionen 6 und
@
7 nach innen um den Punkt pi =
rotiert. Der direkte E¤ekte von auf pi ist
@pi
=
q
<
0.
Wenn
wir
unterstellen,
daßp1 = p2 = p gilt, so sieht man, daßsich
2
@
auch die direkten Nachfragefunktionen 8 und 9 nach innen verschieben, wenn die Güter
homogener werden (i.e. steigt).:
@q
@
(
=
[( 2
@
@
)
p
< 0,
(11)
weil annahmegemäß > p gilt. Wir halten also fest, daßeine Erhöhung von
Nachfrage nach beiden Gütern vermindert.
c.p. die
2
2
)
(
2
)p + (
2
2
)p] =
2
( + )2
Gleichgewichtswerte und Produktdi¤erenzierung
2.1
Das Cournot-Duopolmodell
Wir betrachten zunächst das Cournot-Duopolmodell. Die inversen Nachfragefunktionen sind durch 6 und 7 gegeben. Die marginalen Kosten der Unternehmen seien null.
Das Nash-Gleichgewicht für das Cournot-Modell (q1C ; q2C ) mit qiC = arg maxqi >0 (
qi
qjC )qi , für i = 1; 2 und i 6= j, ist dann3
qC =
2 +
,
(12)
und wir erhalten als Gleichgewichtspreis
pC = q C =
3
2 +
Im folgenden unterdrücken wir den Index i = 1; 2, weil die Lösungen symmetrisch sind.
3
(13)
und als Gleichgewichtsgewinn
2
C
Veränderungen von
= (q C )2 =
(2 + )2
.
(14)
wirken sich wie folgt aus:
@q C
@
=
(
)=
@
@ 2 +
(2 + )2
< 0,
@pC
@
=
(
)=
< 0,
@
@ 2 +
(2 + )2
(15)
(16)
C
2
@
2 2
(
)
=
< 0.
(17)
@ (2 + )2
(2 + )3
Die Ausbringungsmenge und die Gewinne der Unternehmen sinken, wenn die Produkte
homogener werden. Ebenso fällt der Marktpreis mit steigendem . Die Mengenreaktion
läß
t sich unmittelbar aus den Reaktionsfunktionen Ri (qj ) der Unternehmen ablesen:
q
Ri (qj ) = 2 j . Wir sehen, daßeine Erhöhung von eine Rotation der Reaktionsfunktionen um den Punkt qi = 2 nach innen bewirkt, so daßsich die Gleichgewichtsoutputs für beide Unternehmen gleichermaß
en verringern. Es folgt, daßsich der Gewinn
der Unternehmen, der durch C = (q C )2 gegeben ist, und der Marktpreis, der als
pC = q C geschrieben werden kann, ebenfalls verringern, wenn sich erhöht.
@
@
2.2
=
Das Bertrand-Duopolmodell
B
Wir betrachten jetzt das Bertrand-Duopolmodell. Das Nash-Gleichgewicht (pB
1 ; p2 )
mit pB
(a bpi + cpB
i = arg maxpi >0
j )pi , für i = 1; 2 und i 6= j ist
pB =
a
2b
c
=
(
2
)
,
(18)
und wir erhalten4
q B = bpB =
( + ) (2
2
)
,
(19)
)
.
(2
+ )
Es ergeben sich dann die folgenden Wirkungen einer Veränderung von
ichgewichtswerte pB , q B und B :
B
= b(pB )2 =
@pB
@
(
=
(
@
@
2
4
(
)2 (
)
)=
(2
)2
< 0,
(20)
auf die Gle-
(21)
Der Gewinn für den Bertrand-Fall ist im Buch von Oz Shy [1996] auf Seite 140 falsch dargestellt.
4
@q B
@
@
@
B
=
=
@
(
@ ( + ) (2
)
@q B
< 0 für
@
@
(
@ (2
2
(
(2
)
2
)
( + ) (2
)2
@q B
< und
> 0 für > ,
2
@
2
)=
)
2 2 [ (
) + 2)
)
=
< 0.
)2 ( + )
( 2 + )3 ( + )2
(22)
(23)
Für den Marktpreis und den Unternehmensgewinn erhalten wir im Cournot- und im
Bertrand-Duopolmodell das gleiche Ergebnis. Für die Gleichgewichtsmengen ist die
Richtung der Wirkung einer Erhöhung von nur dann gleich in beiden Modellen,
wenn < 2 gilt. Dieses Ergebnis kann man sich folgendermaß
en erklären. Wir beB
B
trachten die Gleichgewichtsoutputs entlang der Gleichgewichtspreise (pB
1 = p2 = p )
in Abhängigkeit von und erhalten q B ( ; pB ( )) = a( ) [(b( ) c( ))pB ( )]. Das
totale Di¤erential nach ist dann
dq B
da
=
d
d
|
(
db
dc B
)p
d
dy
{z
}
direkter E¤ekt
(b
|
dpB
c)
.
d
{z }
(24)
indirekter E¤ekt
dc
Für den direkten E¤ekt dda ( ddb dy
)pB erhalten wir (wie schon in Gleichung 11 gezeigt
wurde) einen negativen Zusammenhang
@
(
[( 2
@
)
2
)
((
2
2
)
(
2
2
))pB ] =
p
( + )2
< 0.
(25)
Der indirekte E¤ekt leitet sich aus dem Ein‡ußvon auf die Gleichgewichtspreise
ab. Wir wissen bereits aus Gleichung 21, daßdie Gleichgewichtspreise im BertrandDuopolmodell mit abnehmender Produktdi¤erenzierung fallen. Weil ( 1)(b c) immer
negativ ist, gilt dann, daßder indirekte E¤ekt positiv sein muß
. In der Tat erhalten
wir
d (
)
(b c)
( 1)(b c) (
) = ( 1)
> 0.
(26)
d
2
(2
)2
Wir halten fest: Mit zunehmendem sinkt einerseits die Nachfrage nach den Produkten (direkter E¤ekt) und anderseits steigt die Nachfrage, weil die Preise sinken
(indirekter E¤ekt). Der Gesamte¤ekt ist in der Gleichung 22 berechnet. Man sieht,
daßfür eine relativ groß
e Produktdi¤erenzierung, so daß < 2 gilt, der direkte Effekt den indirekten E¤ekt dominiert. Sind die Produkte jedoch relativ homogen, so
daß > 2 gilt, so überwiegt der indirekte E¤ekt, und die Gleichgewichtsoutputs der
Unternehmen steigen. Wenn die Produkte sehr homogen werden, dann wächst die
Konkurrenz (gemessen in niedrigeren Gleichgewichtspreisen) stark an, so daßdie Konsumenten trotz geringerer Wertschätzung für die Produkte mehr konsumieren.
5
2.3
Die soziale Wohlfahrt
Die soziale Wohlfahrt, SW , ist die Summe aus Konsumentenrente, CS, und Produzentenrente, P R = 1 + 2 . Wir wenden uns zunächst dem Cournot-Modell zu. Durch
Einsetzen der Gleichgewichtswerte q C und pC in den Ausdruck für die Konsumentenrente aus 10 erhalten wir
CS C (pC ; q C ) = 2 q C
(q C )2
2
( + )
.
=
(2 + )2
Ableiten nach
(q C )2
2pC q C
(27)
(28)
gibt
2
2
@CS C
@
( + )
=
(
)
=
< 0.
@
@ (2 + )2
(2 + )3
(29)
Die Konsumentenrente fällt also, wenn die Produkte homogener werden. Aus 17 wissen
wir bereits, daßdie Gewinne ebenfalls negativ mit korreliert sind. Aus diesem Grunde
C
sinkt die soziale Wohlfahrt mit geringerer Produktdi¤erenzierung; es gilt damit dSW
<
d
C
C
0. Dieses Ergebnis erhalten wir auch durch direktes Einsetzen von q in SW :
C
C
SW C = U (q1C ; q2C ) pC
pC
1 q1
2 q2 +
= U (q1C ; q2C )
= 2 qC
(q C )2
(q C )2
2
(3 + )
=
,
(2 + )2
C
1
+
C
2
(30)
(31)
(32)
(33)
und wir erhalten
2
@SW C
@
(3 + )
=
(
)=
@
@
(2 + )2
2
(4 + )
< 0.
(2 + )3
(34)
Wir betrachten jetzt den Bertrand-Fall. Einsetzen der Gleichgewichtswerte aus den
Gleichungen 18 und 19 in den Ausdruck für die Konsumentenrente 10 ergibt
CS B = 2 q B
(q B )2
(q B )2
2pB q B
(35)
2 2
=
(2
)2 ( + )
,
(36)
und wir erhalten durch Ableitung nach
@CS B
=
@
(2
3
2 2
)3 ( + )2
6
> 0.
(37)
Im Gegensatz zum Cournot-Modell steigt im Bertrand-Modell die Konsumentenrente,
wenn die Güter homogener werden. Sowohl die Gewinne (siehe Ausdruck 23) als auch
die Konsumentenrente sinken, wenn die Produkte homogener werden. Für die soziale
Wohlfahrt erhalten wir dann
SW B = CS B + 2 B = U (q1B ; q2B )
= 2 qB
(q B )2
(q B )2
2
(3
2 )
.
=
2
(2
) ( + )
Ableiten nach
(38)
(39)
(40)
gibt
@SW
@
=
(
@
@ (2
2
(3
2 )
)=
2
) ( + )
4
2
( 78
)2 +
15
64
2
)3 ( + )2
(2
<0
(41)
Wir erhalten das gleiche Ergebnis wie im Cournot-Modell. Die soziale Wohlfahrt sinkt,
wenn die Produkte homogener werden. Die insgesamt erzielbare Tauschrente, die durch
die Nutzenfunktion U (q1 ; q2 ) wiedergegeben ist, fällt mit einer geringeren Produktdifferenzierung kontinuierlich. Dieser negative Nachfragee¤ekt homogenerer Güter wird
im Bertrand-Modell nicht durch die schärfer werdende Konkurrenz kompensiert werden.
2.4
Cournot- versus Bertrand-Duopolmodell
Wir vergleichen die Preise, die Ausbringungsmengen, die Gewinne, die Konsumentenrente und die soziale Wohlfahrt, die sich im Nash-Gleichgewicht des Cournot- und des
Bertrand-Modells einstellen. Für die Preise erhalten wir
2
p
C
B
p =
(2 + ) (2
=
)
4
2
2
1
> 0.
(42)
<0
(43)
> 0.
(44)
Vergleichen der Mengen ergibt
2
qC
qB =
( + ) (2
) (2 + )
und für die Gewinne erhalten wir
C
B
=
2 2
(2 + )2 (2
3
)2 ( + )
Schließ
lich ergibt sich für die Konsumentenrente
2 2
( + )
(2 + )2
(2
)2 ( + )
2 2
2
(4 2 + 2
)
<0
2
(2
) ( + ) (2 + )2
2
CS
C
CS
B
=
=
7
(45)
(46)
und für die soziale Wohlfahrt erhalten wir
2
2
(3 + )
(3
2 )
SW C SW B = (
)
2
2
(2 + )
(2
) ( + )
2
2
2 2
(( + )
5 )
< 0.
=
2
2
(2 + ) ( 2 + ) ( + )
(47)
(48)
Der Vergleich des Cournot- mit dem Bertrand-Modell ergibt also folgende Resultate
für den Fall di¤erenzierter Produkte (i.e. 0 < < ):
1. Der Marktpreis ist bei Cournot-Konkurrenz immer größ
er als bei Bertrand-Konkurrenz.
2. Die Ausbringungsmengen der Unternehmen sind bei Bertrand-Konkurrenz immer
größ
er als bei Cournot-Konkurrenz.
3. Die Unternehmensgewinne sind im Cournot-Modell immer größ
er als im BertrandModell.
4. Die Konsumentenrente ist bei Bertrand-Konkurrenz immer größ
er als bei CournotKonkurrenz.
5. Die soziale Wohlfahrt ist im Bertrand-Modell immer größ
er als im CournotModell.
Bertrand-Konkurrenz ist schärfer als Cournot-Konkurrenz, weil die Preise im BertrandModell bei Produktdi¤erenzierung immer größ
er sind als im Cournot-Modell. Oder anders ausgedrückt: Cournot-Konkurrenz ist „monopolistischer“ als Bertrand-Konkurrenz.
Singh und Vives [1984, S. 549] führen folgende Begründung für dieses Ergebnis an:
„Die Unternehmen haben im Bertrand-Modell einen kleineren Spielraum, den Preis zu
erhöhen, weil die erachtete Preiselatizität der Nachfrage eines Unternehmens größ
er
ist, wenn der Preis des Konkurrenzunternehmens als gegeben angenommen wird, als
wenn die Menge des Konkurrenzunternehmens als gegeben angenommen wird.Im ersten
[Bertrand-] Fall ist der absolute Wert der Steigung der erachteten Nachfragefunktion
eines Unternehmens [ 2 2 ] und im zweiten [Cournot-] Fall ist er [ 1 ]. Das Ergebnis ist,
daßdie Unternehmen bei Bertrand-Konkurrenz niedrigere Preise setzen als bei CournotKonkurrenz.“ (Singh und Vives [1984, S. 549], Übersetzung und Hinzufügungen C.W.)
Der Vergleich der Gleichgewichtswerte zeigt auch, daßbei maximaler Produktdi¤erenzierung, mit = 0, die Unterschiede zwischen beiden Modellen verschwinden. Wir
be…nden uns dann im Monopolfall. Der Konkurrenztyp wird damit immer unwichtiger,
je di¤erenzierter die Produkte sind.
8
3
Ein Beispiel
Wir setzen = 10 und = 2 in die Gleichgewichtswerte ein und stellen alle endogenen
Variablen als Funktion von dar. Die Gleichgewichtswerte sind in der nachfolgenden
Tabelle angeführt.
Preis
Menge
CS
Gewinn
Cournot
2 +
(
)
2
Bertrand
( + )(2
Einsetzen der Werte
Preis
20
4+
10(2 )
4
Cournot
Bertrand
)
= 10 und
)
+ )
(2 + )2
2 (3
2 )
(2
)2 ( + )
2 2
(2
)2 ( + )
= 2 ergibt die folgenden Ausdrücke.
Gewinn
CS
CW
200
(4+ )2
200(2 )
(4 )2 (2+ )
100( +2)
(4+ )2
400
(4 )2 ( +2)
100(6+ )
(4+ )2
200(6 2 )
(4 )2 ( +2)
Menge
10
4+
20
( +2)(4
2 (3
+ )
(2 + )2
(2 + )2
2(
)
(2
)2 ( + )
2 +
SW
2(
2
In den nachstehenden Abbildungen sind die Preise, die Mengen, die Gewinne, die
Konsumentenrente und die soziale Wohlfahrt in Abhängigkeit von dargestellt. Die
fett gezeichneten Kurven geben den Cournot-Fall an.
10
4
7 .5
3
5
2
2 .5
1
0
0
0 .5
1
1 .5
2
0 .5
1
< -- - h o ch P ro d u k td if f. n ied r ig - -- >
Preise (fett=C)
1 .5
2
< -- - h o ch P ro d u k td if f. n ied r ig - -- >
Outputs (C=fett)
9
20
15
30
10
20
5
10
0
0
0 .5
1
1 .5
0 .5
2
1
Gewinne (C=fett)
1 .5
2
< -- - h o ch P ro d u k td if f. n ied r ig - -- >
< -- - h o ch P ro d u k td if f. n ied r ig - -- >
Konsumentenrente (C=fett)
40
35
30
25
20
0 .5
1
1 .5
2
< -- - h o ch P ro d u k td if f. n ied r ig - -- >
Soziale Wohlfahrt (C=fett)
Literatur
Singh, N. und Vives, X. [1984], Price and Quantity Competition in a Di¤erentiated
Duopoly, Rand Journal of Economics, 15, 546-554.
Vives, X. [1985], On the E¢ ciency of Bertrand and Cournot Equilibria with Product
Di¤erentiation, Journal of Economic Theory, 36, 166-175.
10