Einführung zum TI-Nspire CX CAS - TI

TM
Einführung zum TI-Nspire
CX CAS
Dominiek Ramboer
bearbeitet für Version 3.6 und ergänzt
vom ACDCA in Kooperation mit T3 Österreich
©2014 T3 Europe
Inhalt
Impressum
3
Grundsätzliches
4
Algebra
6
Arbeiten mit Gleichungen
6
Gleichungssysteme lösen
6
Mit Matrizen
6
Mit dem Befehl linSolve( )
7
Mit dem Befehl solve( )
7
Faktorisieren und Ausmultiplizieren von Termen
9
Faktorisieren
10
Ausmultiplizieren (= Expandieren)
10
Analysis
12
Besondere Punkte (Nullstellen, Extremwerte) im Funktionsgraf bestimmen
12
Grafisch
12
Numerisch (analytisch)
14
Analytisch
15
Erzeugung einer Wertetabelle
17
Berechnung von Funktionswerten
18
Algebraisch
18
Grafisch
18
Berechnung von Schnittpunkten
20
Grafisch
20
Analytisch
21
Gleichung einer Parabel, bestimmt durch drei Punkte
21
Mit Statistik
21
Grafisch und analytisch
23
Scheitelform der Parabel
26
Interpolieren und extrapolieren
27
Abschnittsweise definierte Funktionen
30
Einfluss der Parameter auf die Gestalt des Funktionsgraphen
31
Symbolisches Differenzieren und Integrieren
33
2D- und 3D-Darstellungen
34
Einsatz von Hintergrundbildern
©2014 T3 Europe
37
Statistik
42
Beschreibende Statistik
42
Nicht gruppierte Daten
42
Gruppierte Daten
47
Weitere grafische Darstellungsformen
52
Die Normalverteilung
56
Graphische Darstellung
56
Die Bedeutung der Parameter
56
Liegt hier eine Normalverteilung vor?
58
Wahrscheinlichkeiten
59
Algebraisch
59
Grafisch
60
Inverse Berechnungen
61
Physikalische Experimente
62
Die Möglichkeiten
62
Direkt mit dem Rechner
62
Mit dem LabCradle
62
Vernier DataquestTM
62
Durchführung eines Experiments
63
Beispiele
63
Beispiel 1: Erwärmungsvorgang
63
Beispiel 2: Pendelbewegung
66
Allgemeines zum TI-Nspire
69
Was es sonst noch gibt:
70
Differentialgleichungen
70
Die Question-Applikation
70
PublishView
71
TI-Nspire im Internet
71
Referenzen
71
Anhang (Programm zur Cardanoschen Formel)
72
©2014 T3 Europe
Impressum
Das vorliegende Material bezieht sich auf das T³ Cahier 29, erstellt von Dominiek Ramboer, T³
Vlaanderen (www.t3vlaanderen.be). Es wurde bearbeitet und ergänzt für Version 3.6 des TI-NspireTM
CX CAS im Rahmen von Veranstaltungen des ACDCA (Austrian Center for Didactics of Computer
Algebra) in Kooperation mit T³ Österreich (www.t3oesterreich.at). Die Koordination dieses Projekts
wurde von Mag. Josef Böhm, ACDCA, übernommen.
© 2014 T³ Europe. Dieses Werk wurde in der Absicht erarbeitet, Lehrerinnen und Lehrern geeignete
Materialien für den Unterricht an die Hand zu geben. Die Anfertigung einer notwendigen Anzahl von
Fotokopien für den Einsatz in der Klasse, einer Lehrerfortbildung oder einem Seminar ist daher gestattet. Hierbei ist auf das Copyright von T³ hinzuweisen. Jede Verwertung in anderen als den genannten
oder den gesetzlich zugelassenen Fällen ist ohne schriftliche Genehmigung von T³ nicht zulässig. Alle
verwendeten Marken sind Eigentum ihrer Inhaber.
Dieses und weiteres Material steht zum pdf-Download hier bereit: www.ti-unterrichtsmaterialien.net
Mehr Informationen zu T³ Europe: www.t3europe.eu
©2014 T3 Europe
3
Grundsätzliches
Eine Datei, in der alles gesammelt wird heißt Dokument. Innerhalb eines Dokuments können verschiedene Probleme (mit unterschiedlichen Namen) aufgenommen werden. Jedes Problem kann auf seine
Weise aus mehreren Seiten bestehen. Jede Seite ist mit einer der sieben Applikationen verbunden (Calculator, Graphs, Geometry, Lists & Spreadsheet, Data & Statistics, Notes und Vernier DataQuestTM).
Wir wollen die Applikationen nur mehr als Apps bezeichnen. Die folgende Grafik beschreibt die
Struktur eines Dokuments.
Dokument
Problem 1
Seite 1.1
Seite 1.2
Problem 2
Seite 1.3
Seite 2.1
Seite 2.2
Problem 3
Seite 3.1
Was ist nun der Unterschied zwischen einem Problem und einer Seite? Der wichtigste Unterschied
liegt in der Behandlung von Variablen. Variable, die innerhalb eines Problems festgelegt werden, behalten über alle Seiten des Problems ihre Bedeutung. Das heißt, wenn der Wert einer Variablen auf
irgend einer Seite eines Problems verändert wird, dann gilt dieser neue Wert auch auf allen übrigen
Seiten des Problems. Sobald ein neues Problem eröffnet wird, gelten in diesem die früheren Variablendefinitionen nicht mehr. Will man aber dennoch die gleichen Variable mit unterschiedlichen
Werten belegen (wie z.B. bei Übungen mit der Steigung einer Geraden) müssen verschiedene Probleme geöffnet werden. TI-NspireTM CX CAS macht keinen Unterschied zwischen Groß- und Kleinbuchstaben. Dies macht einerseits den Gebrauch von häufig verwendeten Befehlen bequemer, da man nicht
genau auf die Syntax achten muss (wie z.B. bei MATHEMATICA u.a.). So kann ohne weiteres delvar() anstelle von DelVar() geschrieben werden. Andererseits können aber nur die 26 Buchstaben des
Alphabets (in Groß- oder Kleinschreibung) verwendet werden.
Das bedeutet, dass jede mit einem Großbuchstaben eingeführte Variable in eine Variable in Kleinbuchstaben umgesetzt wird. Dies kann zu Konflikten mit gebräuchlichen mathematischen Notationen
für bestimmte Größen führen, wie z.B. bei Matrizen, Polynomen, ... In zwei Apps können mathematische Berechnungen durchgeführt werden: im Calculator und in den Notes. Die Calculator-App ist
eigentlich der CAS-Rechner von früher (TI-92, Voyage 200). Sie wird Zeile für Zeile ausgeführt und
jede durchgeführte Berechnung hat keinerlei Auswirkung auf bereits durchgeführte Aufgaben und
umgekehrt. Will man eine Folge von Berechnungen mit neuen Daten durchführen, dann muss man
wieder von vorne beginnen. Die Notes bieten hingegen die Möglichkeit eine Art Schablone oder Formular mit Text und Berechnungen zu erstellen. Wenn hier ein Wert verändert wird, dann werden alle
bereits bestehenden Berechnungen mit diesem neuen Wert aufs Neue ausgeführt.
©2014 T3 Europe
4
TI-NspireTM CX CAS versucht immer eine exakte Antwort - sofern überhaupt möglich - zu geben,
wenn die ·- Taste gedrückt wird. Das liefert oft überraschende Ergebnisse wie die folgende Abbildung zeigt.
Wenn das Ergebnis in Dezimalzahlen gewünscht wird, muss man einfach /+· drücken.
Merken Sie den kleinen Unterschied in den Ergebnissen von sin(0°) in beiden Bildern? Im rechten
Bild sehen Sie die Null gefolgt von einem Dezimalpunkt. Das ist aber auch ein Trick, mit dem man
TI-NspireTM CX CAS automatisch zum numerischen Rechnen zwingen kann. Sobald eine einzige Zahl
in einem Ausdruck als Dezimalzahl auftritt, wird auch nach · das Ergebnis als Dezimalzahl ausgegeben. Das kann in der Lists & Spreadsheet-Applikation recht nützlich sein. Den Hauptschirm erhält
man durch drücken der c – Taste.
Die Apps sind von links nach rechts: Calculator, Graphs, Geometry, Lists & Spreadsheet, Data &
Statistics, Notes und Vernier DataQuestTM.
©2014 T3 Europe
5
Algebra
Arbeiten mit Gleichungen
Mit TI-NspireTM CX CAS ist es ausgezeichnet möglich, eine Gleichung schrittweise zu lösen.
2
x 27 .
Nehmen Sie zum Beispiel die Gleichung 2 x 7
3
Gleichungssysteme lösen
Lineare Gleichungssysteme können mit und ohne Einsatz von Matrizen gelöst werden. Gegeben sei
das folgende System:
2x 3y 4z 3
4 x 2 y 3 z 15
x yz
3
Lösung mit Hilfe von Matrizen
- Erste Methode:
Die erste Berechnung wurde mit · abgeschlossen, die zweite dann mit / + ·.
©2014 T3 Europe
6
- Alternative:
Als Alternative können wir mit dem Befehl
simult() arbeiten:
Die erste Methode ist immer erfolgreich, die zweite hingegen nur dann, wenn das System eine eindeutige Lösung hat – was man natürlich nicht immer im Vorhinein weiß. Gibt es mehrere oder gar keine
Lösung, dann liefert simult() die Fehlermeldung „Singuläre Matrix“. Anschließend lösen wir zuerst
ein System mit unendlich vielen und dann eines mit keiner Lösung.
Mit dem Befehl linSolve( )
©2014 T3 Europe
7
Wenn mehrere Lösungen auftreten, dann muss der
Schüler die Antwort des Rechners richtig interpretieren. c1 steht als Parameter für jede beliebige
reelle Zahl. Das kann aber auch c2, c3, ... heißen.
Oder mit dem Befehl Solve( )
Die Ausgabe hat hier eine andere Form. Solve( ) kann aber wesentlich umfassender eingesetzt werden. Auch nichtlineare Gleichungssysteme können mit Solve( ) gelöst werden. Außerdem fällt auf,
dass hier im Fall der Unlösbarkeit nicht die Antwort ȼKeine Lösung gefundenȼ sondern der Wahrheitswert false ausgegeben wird.
Als Beispiel dient die Berechung der Schnittx
punkte der Geraden y
2 mit dem Kegel2
schnitt x 2 y2
x 3.
2
©2014 T3 Europe
8
Faktorisieren und Ausmultiplizieren von Termen
Faktorisieren
Beispiele:
Zerlege die folgenden Polynome in ihre Linearfaktoren:
8 x 3 36 x 2 54 x 27, 8 x3 12 x 2 18 x 27,
und 8 x 3 2 x 2 18 x 27
Wie man sieht, wird vorerst nur im Bereich der reellen
Zahlen faktorisiert. Erst mit dem Befehl cFactor werden auch komplexe Linearfaktoren bestimmt, aber nur
wenn das zusätzliche Argument x angeführt wird!
Dieses zusätzliche Argument ist auch dann notwendig,
wenn irrationale Wurzeln vorkommen. TI-NspireTM CX
CAS ist offensichtlich auch in der CAS-Version
manchmal überfordert, das exakte Ergebnis zu liefern.
Für diejenigen, die es genau wissen wollen, zeigen wir das DERIVE-Ergebnis:
©2014 T3 Europe
9
Hinweis:
Mit Hilfe eines selbst geschriebenen Programms, in dem das Verfahren von Cardano verwendet wird,
kann auch diese Gleichung exakt gelöst werden.
Das Programm findet sich im Anhang.
Mit einem zusätzlichen Argument lässt sich das
Faktorisieren und damit die Ausgabe wesentlich
beeinflussen.
Dies werden wir anschließend auch beim Ausmultiplizieren bemerken können.
Ausmultiplizieren (Expandieren oder Entwickeln)
Expandiere:
§
z2 ·
(2 x 3)3 und (2 x 3 y 5 z ) ˜ ¨ 2 x 6 y ¸
2¹
©
Der kleine Pfeil zeigt an,
dass die Ausgabe länger ist.
Man geht mit dem Cursor in den Ausdruck und wandert nach rechts, dann wird auch der Rest des
Ausdrucks angezeigt.
©2014 T3 Europe
10
Der obige Schirmabdruck demonstriert, dass auch beim „Entwickeln“ eines Produkts die Angabe eines
zusätzlichen Parameters die Art der Darstellung beeinflusst.
©2014 T3 Europe
11
Analysis
Eine Funktion kann man mit dem Calculator, in Lists & Spreadsheet, in Graphs und in den Notes
definieren. Die Funktionsbezeichnungen fi mit 1 d i d 99 können nur mit der Variablen x als Systemvariable verwendet werden. Diese Funktionen werden automatisch in die Funktionsliste der GraphsApp übernommen. Alle Buchstaben dürfen als Variable verwendet werden, aber nur Funktionen von x
lassen sich als Graph darstellen. Das ist nicht immer praktisch, besonders dann nicht, wenn komplexere Probleme in ein Modell umgesetzt werden sollen. Nur für die grafische Darstellung sind Funktionsbezeichnung und -variable festgelegt. In allen anderen Applikationen kann man frei wählen. Einfache
Beispiele für Funktionsdefinitionen sind:
Um den Graph sichtbar zu machen, muss man auch in Graphs in der Eingabezeile mit · bestätigen.
Die Funktion wird sonst nur gespeichert, aber nicht gezeichnet. Siehe auch die Hinweise auf Seite 15.
Besondere Punkte (Nullstellen, Extremwerte) im Funktionsgraf bestimmen
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen, die lokalen Extremwerte und die Wendepunkte der Funktion
f ( x)
x3 x 2 3x 4 .
Wir können das auf drei Arten behandeln: Grafisch, numerisch und analytisch. Ich definiere neu
f 1( x) : x 3 x 2 3 x 4 .
Grafisch
Die erste rein grafische Methode verwendet den Spurmodus. Wenn wir mit dem Cursor dem Graph
nachfahren, werden die interessanten Punkte am Graph automatisch angezeigt. (Über b > 5:Spur >
1:Grafikspur)
©2014 T3 Europe
12
Die Koordinaten der Punkte können abgelesen werden. Die Ausgabegenauigkeit lässt sich einstellen
über b > 9:Einstellungen. In den Einstellungen für Graphs & Geometry kann die Ausgabeform
festgelegt werden. Der Wendepunkt wird auf diese Weise allerdings nicht angezeigt!
Die Schrittweite im Spurmodus kann auch eingestellt werden. Über menu > 5: Spur > 3: SpurEinstellungen wird das bewerkstelligt. Bei Automatische richtet sich diese Einstellung nach den
Fenstereinstellungen. Hier habe ich 0,001 mit der Hoffnung eingestellt, auch den Wendepunkt zu finden. Diese Hoffnung blieb unerfüllt, der Wendepunkt wird nicht angezeigt.
©2014 T3 Europe
13
Die zweite grafische Möglichkeit bietet sich über b > 6:Graph analysieren. Mit einer vorgegebenen Unter- und Obergrenze bestimmt TI-NspireTM CX CAS den nachgefragten Punkt. Aus dem Menü
ist ersichtlich, dass hier auch der Wendepunkt bestimmt werden kann. Außerdem kann man hier den
Anstieg (Steigung) in einem Punkt und das bestimmte Integral berechnen lassen. Wir gehen jetzt der
Reihe nach die Menüpunkte 1, 2, 3 und 5 durch und suchen die interessanten Punkte:
Wenn man einen gefundenen Punkt mit · bestätigt, dann bleibt er im Graph zusammen mit seinen
Koordinaten erhalten. Der letzte Schirm zeigt den Graph mit Nullstelle, den lokalen Extremwerten und
dem einzigen Wendepunkt.
Numerisch (analytisch)
In der Calculator-App können wir auch nach den besonderen Punkten des Funktionsgraphen suchen.
x die Nullstellen:
Sie lassen sich finden über die eingebauten Funktionen zeros( ), solve( ) und für Polynomfunktionen ist auch polyRoots( ) gut geeignet.
©2014 T3 Europe
14
x
die lokalen Extremwerte:
Für die Bestimmung der Extremwerte stehen insgesamt vier Werkzeuge zur Verfügung:
fMin(), fMax(), nfMin() und nfMax(). fMin() bzw. fMax() liefert einen möglichen Wert für
den die Funktion ein (globales) Minimum bzw. ein (globales) Maximum erreicht. nfMin() und
nfMax() liefern Argumentwerte für lokale Extremwerte innerhalb eines gegebenen Intervalls.
Das kann dann auch ein Randextremum sein, d.h., das sind dann keine Punkte mit waagrechten Tangenten. Siehe die folgenden Beispiele:
Eigentlich sollte der letzte Wert genau 0 sein. Am Ergebnis kann man erkennen, dass
TI-NspireTM CX CAS mit diesen Werkzeugen intern eigentlich nur numerisch arbeitet. Der
Wendepunkt kann so nicht gefunden werden. Daher werden wir nun wirklich analytisch vorgehen und für die Bestimmung der Extremwerte und allfälliger Wendepunkte Mittel der Differentialrechnung bemühen. Schließlich handelt es sich hier ja um einen echten CAS-Rechner.
Analytisch
Für die Extremwerte suchen wir die Nullstellen der ersten Ableitung und für die Wendepunkte die
Nullstellen der zweiten Ableitung.
©2014 T3 Europe
15
Wir lesen die Ergebnisse ab und vergleichen mit den vorhin erreichten Zahlen:
E1
§ 10 1 20 10 79 ·
,
¨¨ ¸¸ | (1,39; 0,58) Maximum
3
27
©
¹
§ 10 1 20 10 79 ·
,
¨¨
¸¸ | (0,72; 5, 27) Minimum
27
© 3
¹
Die Art der lokalen Extremstelle haben wir über die 2. Ableitung gefunden.
Die nötigen Funktionen zur Differentialrechnung findet man im Funktionenkatalog k.
E2
Damit können wir nun leicht den Wendepunkt
und die Steigung der Wendetagente bestimmen:
W
§ 1 79 ·
¨ , ¸ ; kW
© 3 27 ¹
10
3
Im nächsten Abschnitt werden wir sehen, wie man eine Wertetabelle erstellt kann.
Hinweis für Version 3.6: Ein Doppelklick ins Zeichenfeld öffnet eine neue Eingabezeile für eine
Funktion . Wenn mehrere Graphen vorliegen, dann öffnet ein Doppelklick auf einen bestimmten
Graph die Definition dieses Graphen um diesen eventuell bearbeiten zu können. Bezüglich Farbe und
Strichstärke siehe auch Seite 19 unten.
©2014 T3 Europe
16
Erzeugung einer Wertetabelle
In der Graphs-App können wir nach der Definition einer Funktion eine zugehörige Wertetabelle erzeugen.
x
Am raschesten gelangt man zur Tabelle über b > 7:Tabelle > 1:Tabelle mit geteiltem
Bildschirm. Dafür gibt es auch die Tastenkombination /+T. Über diese Kombination verschwindet die Tabelle auch wieder.
Wird nur die Wertetabelle gewünscht, kann man das Grafikfenster löschen. Dazu wechselt
man über /+e ins Grafikfenster, drückt die Tastenkombination /+K (damit beginnt
der Rand zu blinken) und anschließend .. Das Grafikfenster ist damit aber tatsächlich gelöscht und die Graphen müssten wieder neu in einer Graphs-Seite gezeichnet werden. Das
ist eine allgemeine Regel, um Teilfenster zu löschen. Sobald die Tabelle aktiv ist, können
mehrere Einstellungen getroffen werden.
x
b > 2:Wertetabelle > 5:Funktionseinstellungen bearbeiten macht dies möglich.
Jetzt speichere ich die Datei einmal unter dem Namen „Einführung“.
©2014 T3 Europe
17
Berechnung von Funktionswerten
Algebraisch
In der Calculator-App (und in den Notes) ist die
Berechnung eines Funktionswerts sehr einfach.
Fügen Sie eine neue Notes-Seite ein, schreiben
Sie eine einfache Überschrift und schreiben Sie
dann z.B. f1(0.35).
Markieren Sie den Text, drücken Sie dann
/+b > 7:In math. Feld umwandeln.
So erhalten Sie eine MathBox.
Die MathBox erscheint rot punktiert umrandet. Nach · wird der Inhalt blau und daneben erscheint
das Ergebnis. Sie können nun das Funktionsargument überschreiben und erhalten einen anderen Funktionswert.
Grafisch
Im Grafikfenster kann der Funktionswert ebenfalls ermittelt werden. Legen Sie zuerst einen beliebigen
Punkt auf dem Funktionsgraph fest.
x
Nun geht es weiter mit b > 8:Geometry > 1:Punkte & Gerade > 2:Punkt auf. Positionieren sie den Cursor am Graph und bestätigen Sie mit ·. So lange · nicht gedrückt
wird, kann der Punkt auf dem Graph bewegt werden. Automatisch erscheinen die
Koordinaten des Punkts. Wenn Sie nun den Funktionswert z. B. für x = –1,5 suchen, dann
überschreiben Sie einfach die x-Koordinate des eben erzeugten Punkts und sie sehen sofort
das Ergebnis.
©2014 T3 Europe
18
x
Es kann natürlich passieren, dass der gesuchte Punkt nicht im Fenster erscheint. Wenn Sie
z.B. f1(x = –3,2) suchen, passiert vorerst gar nichts. Sie müssen die Fentereinstellungen
geeignet anpassen. Zu den Fenstereinstellungen gelangt man über b > 4:Fenster/Zoom
> 1:Fenstereinstellungen. Geben Sie dann die neuen – hoffentlich passenden – Werte ein.
Aus den Punktkoordinaten kann man sofort
den Funktionswert ablesen.
Eine weitere Möglichkeit ergibt sich im schon
bekannten Spur-Modus: b > 5:Spur >
1:Grafikspur. Tippen Sie dann das gewünschte Argument ein und der Punkt mit
seinen Koordinaten erscheint am Funktionsgraph.
Die gewünschte Genauigkeit muss über b > 9:Einstellungen für das Grafikfenster gesondert festgelegt werden.
©2014 T3 Europe
19
Berechnung von Schnittpunkten
Bestimme den Schnittpunkt der Graphen von f(x) = 2x + 5 und g(x) = –3x – 4.
Grafisch
x
Füge erst über ~ > 4:Einfügen > 1:Problem > 2:Graphs hinzufügen ein neues Problem mit einer geöffneten Graphs-Seite hinzu..
x
Definiere beide Funktionen in einem Grafikfenster.
x
Drücke b > 6:Graph analysieren > 4:Schnittpunkt.
x
Wähle Unter- und Obergrenze des Intervalls, das den Schnittpunkt enthält. Dieser wird dann
automatisch gemeinsam mit seinen Koordinaten angegeben.
x
Auf diese Weise lassen sich auch mehrere Schnittpunkte – einer nach dem anderen bestimmen.
Hier wurden auch die „Attribute“ für den Graph verwendet um die Linienart und Strichstärke
festzulegen (über die Tastenkombination /+b bei aktiviertem Graph erreichbar).
©2014 T3 Europe
20
Analytisch
Hier kann wieder solve( ) erfolgreich eingesetzt werden (siehe die nächsten Abbildungen).
Das gelbe “Warndreieck” gibt beim Anklicken einen Hinweis, dass weitere Lösungen möglich sein
könnten und wie diese zu finden wären.
Gleichung einer Parabel, bestimmt durch drei Punkte
Ermittle die Gleichung einer Parabel, die durch die Punkte A(2,4), B(1,0) und C(5,7) verläuft. Auch
hier kann das Problem auf verschiedene Arten gelöst werden. Besonders interessant ist hier der Zugang über die Statistik.
Mit Statistik
Füge eine Seite mit der Lists & Spreadsheet-App
hinzu und trage die Koordinaten der Punkte in
zwei Spalten ein. Die Spalten erhalte die Namen
xi und yi, da sie die x- und y-Koordinaten der
Parabelpunkte enthalten.
Nun wird auf einer weiteren Seite die Data & Statistics-App eingefügt, die vorerst ein merkwürdiges
Aussehen zeigt. Klicke auf den Text in der unteren Leiste (oder drücke die ·-Taste) und füge die
Variable xi für die x-Werte hinzu. Damit richten sich die drei Punkte einmal nach den x-Koordinaten
aus.
©2014 T3 Europe
21
Wiederhole den Vorgang am linken Rand des Schirms, um auch die y-Werte zu aktivieren. Nun liegen
die Punkte schon an Ort und Stelle. Über das Hilfsmittel der quadratischen Regression legen wir eine
Funktion 2. Grades (= eine Parabel) durch die Punkte.
Drücke b > 4:Analysieren > 6:Regression > 4:Quadratische Regression anzeigen. Die Parabel wird sofort gezeichnet und auch ihre Gleichung wird angegeben.
©2014 T3 Europe
22
Grafisch und analytisch
x
Öffnen Sie eine Graphs- und eine Notes-App.
x
Zeichnen Sie drei beliebige Punkte und sorgen Sie dafür, dass auch deren Koordinaten
sichtbar sind. In Graphs: b > 8:Geometry > 1:Punkte & Geraden > 1:Punkt:
x
Anschließend
können
Sie
über
b > 1:Aktionen > 8:Koordinaten/
Gleichungen die Koordinaten sichtbar
machen. In weiterer Folge können die
Punkte auch bezeichnet werden.
x
Markieren Sie nun der Reihe nach die einzelnen Koordinatenwerte und weisen Sie diese den
Variablen xa, ya, xb, yb, xc und yc zu, indem sie die h-Taste drücken.
©2014 T3 Europe
23
Die Koordinaten erscheinen nun fett gedruckt. Das heißt, dass sie mit Variablen
verknüpft sind – und diese Variablen
werden nun in den Notes aufgerufen.
x
Jeder einzelne Aufruf (in blau gehalten) muss über /+M in eine MathBox umgewandelt
werden. Es erweist sich als günstig, diese Tastenkombination immer vor der Eingabe des
Ausdrucks aufzurufen. Sie können nun in der Graphs-App die vorliegenden Koordinaten
durch die Koordinaten der gegebenen Punkte ersetzen. In den Notes wird das sofort berücksichtigt und schließlich erhalten Sie die gewünschte Parabel.
©2014 T3 Europe
24
Nochmals grafisch und analytisch
Den geringsten Aufwand erfordert die folgende Arbeitsweise:
x Legen Sie in der Calculator-App zwei Listen mit den x- und y-Werten an und stellen Sie
diese Listen als Punkte in einem Streudiagramm im Graphs-Fenster dar. Sie können gleich
das lineare Gleichungssystem zur Bestimmung der Koeffizienten lösen und gelangen damit
zur gesuchten Parabel. f(x) sollte schon allgemein definiert sein: f ( x) : a ˜ x 2 b ˜ x c .
x
Die Listen lx und ly rufen Sie über die h-Taste auf. Natürlich könnten Sie – falls schon
oder noch vorhanden – auch die Listen xi und yi verwenden.
x
Wenn Sie es noch einfacher wollen, dann arbeiten Sie nochmals über die quadratische Regression. Dazu rufen Sie im Calculator über die Bibliothek k die Funktion Quadreg auf
und füllen die vorgegebene Eingabemaske aus:
Unter dem Namen f7 finden Sie die schon bekannte quadratische Funktion. f7(x) kann jetzt
im Calculator betrachtet und im Grafikfenster gezeichnet werden.
©2014 T3 Europe
25
Auf das Zeichnen der Parabel wollen wir dieses mal verzichten.
Scheitelform der Parabel
Die aktuelle Version von TI-NspireTM CX CAS bringt die quadratische Funktion ax 2 bx c mit dem
Befehl completeSquare( ) in die Scheitelform a ˜ ( x r p) 2 r q.
©2014 T3 Europe
26
Interpolieren und Extrapolieren
Interpolation und Extrapolation werden auf die gleiche Weise durchgeführt wie die Berechnung von
Funktionswerten, die bereits beschrieben wurde. Die Funktion kann folgendermaßen bestimmt werden:
x Übertrage die Koordinaten der bekannten Punkte in eine Liste und stelle die Punkte in einem Streudiagramm graphisch dar.
x
Schließe aus der Lage der Punkte auf ein geeignetes Regressionsmodell. Wähle dann dieses
Modell in der Lists & Spreadsheet-App und führe die Regression durch. Verwende die gefundene Regressionsgleichung zur Interpolation bzw. Extrapolation.
Beispiel: Es liegen die folgenden Datenpaare vor: (0,-6), (2,0), (5,10), (6,14), (10,27).
Schätze die Funktionswerte für x = 8 und x = 12.
Aus der Lage der Punkte können wir annehmen, dass ein linearer Zusammenhang vorliegen dürfte.
Daher führen wir im Spreadsheet eine lineare Regression durch:
Die Listen übertragen wir über einen Klick auf den Pfeil in den Menüzeilen X-Liste bzw. Y-Liste. Die
Funktionswerte können wir dann in der Calculator-App berechnen.
©2014 T3 Europe
27
Beispiel: Die folgenden Datenpaare liegen vor: (-4,-5/2), (-2,-5/2), (1,-1), (2,3/2), (6,14). Schätze die
Funktionswerte für x = -5 und x = 3. Die Koordinaten werden in den Listen b2x und b2y
abgelegt.
Hier weist die Lage der Datenpunkte auf einen quadratischen Zusammenhang hin. Die quadratische
Regression kann – wie alle anderen Regressionen auch – direkt im Calculator durchgeführt werden.
Der Befehl QuadReg b2x, b2y erledigt die Regression sofort.
Aus der Lists & Spreadsheet-App kann mit /+T sofort in die Wertetabelle umgeschaltet werden.
Die Tabelle kann dann über b> 2:Wertetabelle > 5:Funktionseinstellungen bearbeiten verfeinert werden, wie schon früher gezeigt wurde.
©2014 T3 Europe
28
In der Calculator-App lässt sich die quadratische Regression auch direkt durchführen, wenn man die
Listen der Funktionswerte angibt. Die Regressionsfunktion kann unter jeder gültigen Variablenbezeichnung gespeichert werden. Sie ist als Systemvariable stat.RegEqn(x) gespeichert.
©2014 T3 Europe
29
Abschnittsweise definierte Funktionen
TI-NspireTM CX CAS stellt zwei praktische Vorlagen (tablets) zur Definition von abschnittsweise
definierten Funktionen bereit:
Im ersten Beispiel verwenden wir die Vorlage für eine aus zwei Abschnitten bestehende Funktion. Die
Vorlage kann im Calculator oder in der Graphs-App aufgerufen und ausgefüllt werden.
Die zweite Funktion soll aus vier Teilen zusammen gefügt werden. Da wählen Sie die daneben liegende Vorlage.
y
­1
°3 x
°
®
2
°3 x
°¯ 2
x 2
2 d x 0
0 d x 1
x t1
Geben Sie 4 Funktionsstücke an und füllen Sie
die Felder so aus, wie unten angegeben.
Wenn Sie im Zeichenfenster rechts unten auf den
Doppelpfeil neben der Eingabezeile klicken,
dann wird diese erweitert und sie können einzelne Graphen ausblenden.
Blenden Sie f1(x) aus und legen Sie Farbe und
Strichart für f2(x) aus.
©2014 T3 Europe
30
Einfluss der Parameter auf die Gestalt des Funktionsgraphen
Mit Hilfe von Schiebereglern kann man auf einfache aber eindrucksvolle Weise den Einfluss von Parametern auf den Graph einer Funktion untersuchen. Dies soll an zwei besonders typischen Funktionstypen demonstriert werden: f ( x) r ˜ ( x p) 2 q und f ( x) a ˜ sin(b ˜ x c) d .
Eröffnen Sie ein neues Problem und beginnen Sie mit der Definition einer oder mehrere Funktionen
mit einer beliebigen Anzahl von Parametern. Anschließend fügen Sie Graphs-Seite ein und erzeugen
den ersten Schieberegler (für den Parameter r) über b > 1:Aktionen > B:Schieberegler einfügen.
(Sie können gleich hintereinander alle drei Schieberegler installieren). Gehen Sie bei jedem Schieberegler gleich vor.
Ersetzen Sie die voreingestellten Variablennamen durch die Parameter, die Sie zu verändern wünschen. Wenn sich der Cursor über einem Regler befindet gelangen Sie über /+menu zu den Einstellungen:
Hier können Sie für jeden Parameter die Werte des Reglers und dessen Gestalt nach Bedarf verändern.
©2014 T3 Europe
31
Minimieren Sie alle Schieberegler, damit für die Darstellung des Graph mehr Platz bleibt. Positionieren Sie die Kästchen geeignet. Mit einem Klick auf den Regler erhalten sie diesen in einem Rahmen
und nun lässt er sich verschieben. Ihr Bild könnte - nachdem alle drei Schieberegler komplett installiert wurden - etwa so aussehen:
Löschen Sie nun die Schieberegler – oder benennen sie um für die Variablen a, b, c und fügen Sie
einen vierten Regler für d ein. Blenden Sie die Parabel aus und dafür die Sinusschwingung ein und
studieren Sie den Einfluss der vier Parameter auf die Gestalt der Schwingungskurve.
©2014 T3 Europe
32
Symbolisches Differenzieren und Integrieren
Hier erweist sich erst richtig die Stärke eines CAS. Für die wichtigsten Rechenoperationen im Bereich
der Analysis wird eine ganze Palette von Vorlagen zur Verfügung gestellt.
Wir kehren zurück zu Problem 1 (Abschnittsweise definierte Funktionen). Die Funktionsweisen der
Vorlagen (tablets) beginnend mit dem blau markierten Feld sind:
erste Ableitung einer Funktion
zweite Ableitung
nächste Zeile von links:
n-te Ableitung
bestimmtes Integral
unbestimmtes Integral
Grenzwert (links und rechtsseitiger)
Es folgen einige Beispiele:
Im rechten Bild greifen wir auf die abschnittsweise definierte Funktion f2(x) von vorhin zurück. Sie
kann sowohl differenziert als auch integriert werden und die Graphen von Ableitung und Integralfunktion lassen sich auch darstellen.
Schließlich wollen wir noch wissen, welchen Flächeninhalt der Graph von f2(x) mit der x-Achse für
-3 d x d 3 einschließt und welches Volumen bei Rotation dieser Fläche um die x-Achse entsteht.
Zum Schluss wird noch ein rechtsseitiger Grenzwert ausgerechnet.
Für die Analysis steht somit ein ausgezeichnetes Werkzeug bereit. Dass auch Differentialgleichungen
gelöst werden können, wird hier nur erwähnt.
©2014 T3 Europe
33
2D- und 3D-Darstellungen
Nun wollen wir noch die graphischen Möglichkeiten des TI-NspireTM CX CAS nützen um sowohl den
Querschnitt als auch eine 3D-Ansicht des Körpers zu erzeugen, der bei Rotation von f2(x) um die xAchse entsteht. Unser Vorbild können Ergebnisse von anderen Softwareprodukten sein, wie z.B.:
Für den Querschnitt bieten sich zwei Möglichkeiten an:
Klicken Sie die Grafik an, dann weiters b >
6:Graph analysieren > 7:Integral, geben Sie
Unter- und Obergrenzen mit -3 und +3 an, und
Sie werden die obere Hälfte des Querschnitts
sehen können (gemeinsam mit dem Wert des
Flächeninhalts).
Eine zweite Möglichkeit wäre es, die Funktion
f3(x) zu definieren und dann in der Eingabezeile
die Ungleichungen y d f3(x) und y t- f3(x) einzugeben.
©2014 T3 Europe
34
Leider lässt sich die Drehfläche der abschnittsweise definierten Funktionen nicht in einem Stück darstellen. Daher müssen wir die Figur abschnittsweise zusammenstellen. Die vier Teile werden in Parameterdarstellung in der 3D-Darstellung definiert. Der Weg dahin ist: einfügen einer neuen GraphsSeite, in den Werkzeugen 2:Ansicht > 3:3D-Darstellungen und dann in der Eingabezeile über
b > 3:Graph-Eingabe/Bearbeitung > 2:Parametrisch zur Eingabe der drei Parametergleichungen mit den Parametern t und u zu gelangen. Das Endprodukt und die Vorgangsweise werden unten
demonstriert. Natürlich kann die Grafik dann noch weitgehend umgestaltet werden.
In der Software-Version kommt das am großen Schirm wesentlich eindrucksvoller zur Geltung. Am
unteren Bild wurden einige Möglichkeiten der Darstellung (über die Attribute und Farbe) spielerisch
ausprobiert.
©2014 T3 Europe
35
Für die Freunde von 3D-Darstellungen zeigen wir hi in einem neuen Dokument ein echtes „Schmankerl“. Zuerst wird die CHI-Funktion von DERIVE nachgebaut, mit deren Hilfe auch eine abschnittsweise definierte Funktion erzeugt werden kann. Und diese lässt sich dann im Ganzen rotieren.
Wir führen einen Schieberegler für die Variable v1 ein und können damit die Entstehung der Drehfläche dynamisch mitverfolgen.
Über die Attribute kann der Graph noch verändert werden. Führen Sie auch für den zweiten Parameter
einen Schieberegler ein!
Wie man oben sehen kann, lässt sich mit dieser Funktionsdefinition aber nicht integrieren.
©2014 T3 Europe
36
Einsatz von Hintergrundbildern
Grafikdateien können als Hintergrundbilder einer Graphs-,
Geometry- Data & Statistics- oder Notes App dienen. Damit
bietet sich eine große Anzahl von Möglichkeiten zur Modellierung realistischer Daten.
Die Grafiken lassen sich nur über den PC einbinden. Die tnsDateien können aber dann auf den Handheld übertragen werden.
Über das Einfügen-Menü lassen sich mühelos alle gängigen
Grafik-Formate auf den TI-NspireTM CX CAS -Schirm übertragen
Ich zeige die Handheld-Schirme für alle Applikationen in der
Handheld-Ansicht:
in den Notes
auf einer Geometry-Seite
in Data & Statistics
und auf einer Graphs-Seite
Im Folgenden werden wir versuchen, den Brückenbogen in den Graphs durch eine Funktion zu beschreiben.
Weil es doch etwas deutlicher ist, werde ich die nächsten Bilder vom PC übernehmen.
©2014 T3 Europe
37
Bei Bedarf wird das Koordinatensystem geeignet verschoben. Ich habe den
Koordinatenursprung in das linke untere Ende des Bogens, den ich beschreiben will, verlegt.
Im ersten Versuch nähern wir den
Bogen durch eine Parabel an.
Dazu wählen wir die Parabelgleichung
nach der Funktion y
a ˜ ( x b) 2 c
und führen für a, b und c Schieberegler
ein.
Das sollte dann am Handheld etwa so
aussehen, wie links gezeigt.
Nach einigen Versuchen müssen wir
erkennen, dass die so gefundene Lösung nicht gut geeignet ist.
Wir geben die Hoffnung nicht auf, eine geeignete Parabel zu finden und wollen das Glück mit einer
Regressionslinie versuchen. Zu diesem Zweck erzeugen wir uns mit dem geeigneten Werkzeug einige
Punkte (etwa 5 bis 6) auf dem Brückenbogen. Die Koordinaten der Punkte müssen anschließend in
zwei Listen (für die x- und y-Koordinaten) zusammengefasst werden. Leider geht das hier nicht so
elegant wie vormals beim Voyage 200.
©2014 T3 Europe
38
Die Punkte legen wir, wie schon bekannt fest über
b > 8:Geometry > 1:Punkte &
Geraden > 1:Punkt. Farbe und Größe
der Punkte können geändert werden.
Anschließend werden die Koordinaten
der festgelegten Punkte
über
7:Koordinaten/Gleichungen gesucht.
Die Punkte können in ihrer Lage noch
verändert werden.
Wir speichern die Koordinaten z.B. unter den Bezeichnungen xa bis xf und ya bis yf ab und erzeugen
anschließend die Listen der Koordinaten.
Mit diesen Daten können wir nun die quadratische Regression ausführen. Dazu bieten sich zwei Möglichkeiten an: Entweder suchen wir über k 2:Statistik – Statistische Berechungen die Quadratische Regression auf oder wir rufen in Rechenfenster gleich die Funktion QuadReg auf. Die quadratische Funktion wird unter den stat.results ausgegeben.
©2014 T3 Europe
39
Auch hier erfüllt die Kurve nicht unsere Erwartungen. Hinterdrein wird man ja klüger,
denn nun erkennen wir die fehlende Symmetrie
zu einer senkrechten Achse. Eine Parabel mit
senkrechter Achse ist hier wirklich nicht geeignet.
Aber vielleicht ist es eine gedrehte Parabel.
Wir haben ja noch eine Möglichkeit!
Im Geometry-Menü werden wir unter 2:Formen fündig:
©2014 T3 Europe
40
Wir markieren fünf von den vorliegenden Punkten. Im letzten Bildschirm bin ich gerade dabei, den
letzten Punkt zu fixieren. Unmittelbar danach überzeugt uns eine schöne Kurve, die sich ideal an die
Brückenkontur anlehnt.
Die vollständige Gleichung lautet: 0,12 x 2 0,038 x y 0,011 y 2 0,85 x 0, 25 y 0. Die Kurve kann
mit einfacher Rechnung als eine Hyperbel identifiziert werden. Das heißt aber nicht, dass der Bogen in
Wirklichkeit nicht doch – wie vermutet – eine Parabel ist, die aber in der Perspektive als Hyperbel
abgebildet wird. Die Wahrheit könnten wir über das Konstruktionsbüro der Brückenbauer erfahren.
(Brücke über die Westbahn nahe bei St. Pölten, NÖ). die Darstellung am PC ist natürlich schöner.
©2014 T3 Europe
41
Statistik
Beschreibende Statistik
Die Daten werden in der Lists & Spreadsheet App eingegeben. Es ist empfohlen, den einzelnen Spalten jeweils eigene Variablennamen zu geben. Verweise auf diese Spalten (Datenlisten) lassen sich
einfacher geben.
Nicht gruppierte Daten
Beispiel: Datensatz: 1, 5, 6, 2, 12, 13, 15, 18, 25
x Geben Sie die Daten in Spalte A ein. Benennen Sie die Spalte z.B. mit daten.
x
Drücken Sie b > 4:Statistik > 1: Statistische Berechnung > 1:Statistik mit einer Variablen und füllen Sie die Felder entsprechend aus.
Man kann aber auch die Liste mit ihrem allgemeinen Namen a[ ] angeben:
©2014 T3 Europe
42
x
Erzeugung von Häufigkeitstabellen
Legen Sie die Klassengrenzen fest. Verwenden Sie dazu den Befehl countif(). Vergessen
Sie nicht, vor den Befehl ein Gleichheitszeichen zu setzen (ähnlich wie bei MS Excel), da
ansonst Ihr Befehl als eine Texteingabe interpretiert wird. Indem Sie die Unter- und Obergrenzen in eigene Listen aufnehmen, kann die Berechnung der Häufigkeiten mit countif rascher erfolgen, wenn Sie den Ausdruck der auf die entsprechenden Zellen verweist entsprechend über die Spalte kopieren.
Relative, kumulierte und kumulierte relative Häufigkeit können mit einer Definition über
die ganze Spalte definiert werden. Ein Nachteil dabei ist, dass innerhalb der Spalte kein anderer Befehl vorkommen darf. Für die kumulierten Häufigkeiten verwenden Sie cumulative
Sum() oder abgekürzt cumsum().
Beachten Sie bitte, dass der Inhalt der Spalte D (klassen) als Text eingegeben werden
muss, d.h. unter Anführungszeichen, wie z.B. "[0,5[" u.s.w.
Man kann auch hier deutlich sehen, dass die Spalten auf zwei Arten angesprochen werden
können. Im Folgenden werden wir uns mit den wichtigen grafischen Darstellungen in der
Statistik befassen.
©2014 T3 Europe
43
x
Grafische Darstellungen
Es gibt verschiedene Möglichkeiten ungruppierte Daten grafisch darzustellen: Streudiagramm, Kastendiagramm (Boxplot), Säulendiagramm-Histogramm und Tortendiagramm.
Platzieren Sie den Cursor in der Spalte der darzustellenden Daten. Wenn Sie nun b >
3:Daten > 9:Schnellgraph drücken, wird der Schirm geteilt und in der rechten Hälfte erscheint sofort die Darstellung als – unpraktisches – Punktdiagramm.
Sie können nun im Grafikfenster über b > 1:Plot-Typ die Darstellungsform ändern. Hier
bieten sich das Kastendiagramm und das Säulendiagramm an.
Jeder Plot kann nach Wunsch über b > 2:Plot-Eigenschaften verändert werden. So können wir z.B. die Klassenbreite an unsere Daten in der Tabelle anpassen. Es sei aber noch gesagt, dass diese Darstellung Schnellgraph am Handheld wegen des kleinen Schirms nicht
zu empfehlen ist. Eine entsprechende Alternative wird gleich gezeigt werden.
Sehen Sie nun aber den Schnellgraph auf dem PC-Schirm. Anschließend werden die Klassenbreiten geändert.
©2014 T3 Europe
44
Das rechte Diagramm wurde mit der Ausrichtung 3 gestaltet. Sie sehen die Auswirkung.
Die oben angesprochenen Alternative zum geteilten Schirm bietet die Data & StatisticsApp. Fügen Sie diese Seite ein und Ihnen wird vorerst ein wirrer Haufen von Datenpunkten
angeboten. Klicken Sie dann auf die untere Leiste und wählen Sie aus der Variablenliste die
Datenliste daten aus. Der Haufen wird sich entwirren und Sie erhalten das Streudiagramm
am Schirm.
Das „Schnellgraph-Fenster“ wird geschlossen über / K ..
©2014 T3 Europe
45
Es kann nun genau so weiter gehen wie zuerst: über b > 1:Plot-Typ und 2:Plot-Eigenschaften kann die Darstellung nach Belieben angepasst werden. So lassen sich z.B. in einem Kastendiagramm die Ausreißer markieren und im Histogramm nicht nur die Klassenbreiten verändern sondern auch die relativen Häufigkeiten in Prozent angeben.
x
Arbeiten mit qualitativen Merkmalen
Mit dem TI-NspireTM CX CAS kann man auch mit rein qualitativen Merkmalen arbeiten.
Die dafür möglichen grafischen Darstellungen sind beschränkt auf Streudiagramm, Stabdiagramm und Tortendiagramm.
Beispiel:
Bei einem Fest werden der Reihe nach die folgenden Getränke bestellt:
Cola, Cola, Pepsi, Limo, Red Bull, Limo, Mineralwasser, Limo, Pepsi, Cola, Red Bull,
Mineralwasser, Mineralwasser, Bier, Kaffee, Bier, Cola, Limo.
(Für ein Beispiel reicht auch eine kurze Liste.)
©2014 T3 Europe
46
Schließlich zeigen wir noch das Säulen- (Stab-)diagramm mit Angabe der relativen Häufigkeiten und daneben die Ausgabe der Daten als Tortendiagramm.
Gruppierte Daten
x
Diskrete Daten
Beispiel 1: Qualitative Daten
Wir wählen den Datensatz von vorhin, nehmen aber an, dass die Daten bereits nach den Getränkearten in Gruppen eingeteilt wurden:
4 Cola, 4 Limo, 2 Pepsi, 2 Red Bull, 2 Bier, 1 Kaffee und 3 Mineralwasser.
Öffnen Sie eine neue (oder auch eine bereits bestehende) Data & Spreadsheet-App. Übertragen Sie die Daten in zwei Spalten der Tabelle und benennen Sie beide Spalten. Beachten
Sie, dass Sie einen Spaltennamen nur einmal vergeben können (getränk wurde bereits verwendet).
©2014 T3 Europe
47
Drücken Sie dann b > 3:Daten > 8:Ergebnisdiagramm und tragen Sie die entsprechenden Werte ein.
Beispiel 2: Numerische Daten (Werte und deren absolute Häufigkeiten)
100, 2; 125, 5; 150, 6; 175, 10; 200, 7; 225, 4; 250, 1
Auch hier tragen wir zuerst die Daten in zwei Spalten ein und wählen anschließend b >
4:Statistik > 1:Statistische Berechnung > 1:Statistik mit einer Variable:
©2014 T3 Europe
48
Die Ausgabe zeige ich am PC-Schirm, da hier
alle vom TI-NspireTM CX CAS erzeugten statistischen Daten auf einen Blick zu sehen sind.
Zu einem Häufigkeitsdiagramm gelangen wir rasch auf die gleiche Weise wie oben bei den
qualitativen Daten gezeigt wurde (b > 3:Daten > 8:Ergebnisdiagramm).
Wenn Sie nun den Graph der Normalverteilung einfügen, besteht zwischen diesem und dem
Säulendiagramm vorläufig keinerlei Zusammenhang. Dies rührt daher, dass das nun erstellte
Diagramm eigentlich noch kein echtes Histogramm ist. Dazu fehlt die Einteilung in Klassen.
Wir holen das nun nach. Danach wird ein Zusammenhang hergestellt, indem der Graph der
Dichtefunktion mit einem Faktor (welchen?) multipliziert wird.
©2014 T3 Europe
49
b > 2:Histogramm-Eigenschaften > 2:Säuleneinstellungen > 1:gleiche Säulenbreite
Mit der Ausrichtung 87.5 wird hier die Untergrenze der ersten Klasse fixiert.
©2014 T3 Europe
50
x
Stetige Daten
Beispiel :
Als Daten stehen uns die Körpergrößen von 200 zehnjährigen Schülern zur Verfügung. Sie
wurden bereits in die Liste kg in Spalte A eingetragen. In der Calculator-App können wir
den kleinsten und größten Wert abfragen. Wir wollen den Bereich von 37 cm in 8 Klassen
zu 5 cm einteilen. Die Klassenbreite kb wird daher gleich festgelegt. Für das Histogramm
soll dann der Bereich zwischen 117,5 und 157,5 cm verwendet werden.
In die Listen ug, og und km tragen wir die Untergrenzen (seq(117.5 + kb ˜ i,i,0,7)), die
Obergrenzen (ug + kb) und die Klassenmitten (ug + kb/2) ein. Die Häufigkeiten frequ
bestimmen wir ähnlich wie früher mit countif(), aber doch etwas eleganter, da wir die Unter- und Obergrenzen über die Zellen b1 und c1 in die erste Formel übernehmen. Diese
Formel lässt sich dann leicht in der Spalte nach unten kopieren. (In der letzten Zelle wird auf
ein geschlossenes Intervall geändert.)
Für das Ergebnisdiagramm werden die Listen
km und frequ verwendet. Für die Säuleneinstellungen legen Sie dann die Breite mit 5 und
die Ausrichtung mit 117.5 fest.
Die statistischen Kenngrößen können sowohl
über die Rohdaten (kg) als auch über die Liste
km und frequ ermittelt werden.
Anstelle von e[ ] kann auch freq verwendet
werden.
©2014 T3 Europe
51
Weitere grafische Darstellungsformen
Mit Streudiagrammen (Punktwolken) und XY-Liniendiagrammen lassen sich Regressionsmodelle studieren. Im Streudiagramm werden die Datenpunkte nicht verbunden, während sie im anderen Diagramm zu einem Polygonzug verbunden werden.
Beispiel: Systolischer und diastolischer Blutdruck
sys
dia
138
82
130
91
135
100
140
100
120
80
125
90
144
98
143
105
150
100
Tragen Sie die Werte in zwei Spalten sys und dia einer Lists & Spreadsheet-App ein. Öffnen Sie anschließend eine Seite mit der Data & Statistics-App. Es wird wiederum vorerst
ein ungeordnetes Streudiagramm gezeichnet. Durch zwei Klicks an den unteren bzw. linken
Rand werden die Listen sys und dia ausgewählt und es sollte das rechts abgebildete Diagramm entstehen. Würden Sie nun die Punkte verbinden, dann geschieht das in der Reihenfolge der Datenpunkte in der Liste – und das ergibt wohl keinen Sinn!
Wählen Sie nun b > 4:Aktionen > 6:Regression > 1:Lineare Regression anzeigen.
©2014 T3 Europe
52
Häufigkeitspolygone und kumulierte Häufigkeitsdiagramme werden standardmäßig nicht angeboten.
Mit ein wenig Findigkeit können sie aber dennoch mit TI-NspireTM CX CAS erzeugt werden.
Beispiel: Gegeben sind die folgenden Klassen mit den zugehörigen Häufigkeiten:
[2,3[
[3,4[
[4,5[
[5,6[
[6,7[
[7,8[
[8,9[
[9,10[
[10,11[
[11,12[
2
4
3
8
13
3
5
4
4
2
Öffnen Sie eine neue Lists & Spreadsheet-App und tragen Sie gleich die
Klassenmitten mit den zugehörigen
Häufigkeiten in zwei Spalten ein.
Wir wollen nun eine erste und eine
letzte Klassenbreite mit der Häufigkeit
Null anfügen.
Dazu verändern wir vorerst die Definition der Liste km ...
... und fügen anschließend eine erste Zeile ein. B1 und B12 erhalten den Wert 0 zugewiesen.
©2014 T3 Europe
53
Wie schon mehrfach gezeigt, Sie erhalten nach Öffnen einer neuen Data & Statistics-Seite
mit den gewünschten Listeneinträgen auf den Achsen zuerst das Streudiagramm, das sie
dann über b > 2:Plot-Eigenschaften > 1:Datenpunkte verbinden zu einem Häufigkeitspolygon machen können.
Um die entsprechende Darstellung der kumulierten Häufigkeiten zu erhalten, müssen diese
zuerst in der Tabelle berechnet werden.
Die relativen Häufigkeiten können auf einfache Weise definiert werden: 1.0 B / sum(B).
Durch die Multiplikation mit 1,0 erreichen wir automatisch die Ausgabe als Dezimalzahlen.
Fügen Sie nun eine neue Graphs-Seite ein und stellen Sie die Eingabe um auf die Eingabe
eines Streudiagramms. Für die x-Werte nehmen Sie natürlich die Klassenmitten km und für
die y-Werte die eben berechneten kumulierten relativen Häufigkeiten kum_frequ.
Dabei werden Ihnen die zur Verfügung stehenden Listen über die h-Taste angeboten.
Das erste Bild kann Sie nicht befriedigen. Das Koordinatensystem muss noch angepasst
werden. Über das b gelangen Sie zu den Fenstereinstellungen, die Sie nun händisch vornehmen könnten. Einfacher geht es, wenn Sie TI-NspireTM CX CAS die Anpassung überlassen:
©2014 T3 Europe
54
Die vorerst freien Punkte lassen sich nun über die Attribute verbinden. Ihre Gestalt kann
verändert werden und auch die Farbe ist einstellbar.
Nachträglich können Sie auch die Fensterkoordinaten Ihren individuellen Wünschen anpassen.
Eine Beschriftung lässt sich hinzufügen.
©2014 T3 Europe
55
Die Normalverteilung
Graphische Darstellung
Beispiel: Gegeben ist Dichtefunktion der Normalverteilung mit dem Mittelwert ȝ = 10 und der Standardabweichung ı = 2.
Öffnen Sie eine Graphs-App und stellen Sie in der Graph-Eingabe den Typ Funktion ein.
Als Funktion geben Sie ein: normpdf(x,10,2). Im Standardfenster werden Sie noch nicht
viel erkennen können. Geeignete Fenstereinstellungen sind P - 4V d x d P 4V und
1
1
d yd
.
8V
2V
Die Bedeutung der Parameter
Auch hier erweisen sich Schieberegler als passende Hilfsmittel. Wir führen Schieberegler für Mittelwert und Standardabweichung ein. Die griechischen Buchstaben holen Sie sich als Sonderzeichen über
/ k.
x
Einfluss von Mittelwert und Standardabweichung auf den Graph der Dichtefunktion:
©2014 T3 Europe
56
x
Einfluss von Mittelwert, Standardabweichung und Intervallbreite auf die Fläche unter der Dichtefunktion. (zuerst für ȝ = 0 und ı = 1, -ı d x d ı, -2ı d x d 2ı und -3ı d x d 3ı).
Nun mit anderen Mittelwerten, aber gleichen ı-Intervallbreiten:
Die 3ı-Regel sagt uns, dass für alle (ȝ,ı)-normalverteilten Größen gilt: „fast“ alle Werte liegen
innerhalb der Grenzen ȝ ± 3ı.
©2014 T3 Europe
57
Liegt hier eine Normalverteilung vor?
Um zu überprüfen ob vorliegende Daten einer Normalverteilung folgen, kann man eine besondere
grafische Darstellung verwenden: das Normal-Wahrscheinlichkeitsdiagramm, das in der Data &
Statistics-App auf gerufen werden kann.
Beispiel:
Die Haemoglobin-Werte einer Stichprobe von 50 Personen wurden gemessen []:
Liegt hier eine Normalverteilung vor?
Wir übertragen die Daten in eine Lists & Spreadsheet-App und lassen anschließend gleich die Statistik mit einer Variablen berechnen (b > 4:Statistik > 1:Statistische Berechnungen > 1:...
In der Data & Statistics-App erhalten wir sofort das zugehörige Streudiagramm (oder auch das
Histogramm). Rufen Sie jetzt das Normal-Wahrscheinlichkeits Diagramm auf:
Die Geradengleichung hat die Form y
xP
V
!
[]
:Daten aus Cranshaw & Chambers, A Concise Course in A-Level Statistics, Stanley Thornes 1993
©2014 T3 Europe
58
Eine zweite Methode liegt darin, den Anteil der Messwerte zu berechnen, die in der Intervallen ȝ ± ı,
ȝ ± 2ı und ȝ ± 3ı liegen. Mittelwert und Standardabweichung erhalten wir über h und können diese
Werte sofort in eine Calculator-Seite einfügen. Wir berechnen die relativen Häufigkeiten und vergleichen mit den Werten der „idealen“ Normalverteilung von vorhin.
Es zeigt sich eine zufrieden stellende Übereinstimmung mit den Ergebnissen von Seite 57.
Wahrscheinlichkeiten
Algebraisch
Beispiel: X sei normalverteilt mit dem Mittelwert 175 und der Varianz 2500.
Berechne p(125 d X d 225), p(X d 125) und p(X t 225).
©2014 T3 Europe
59
Grafisch
Beispiel: X sei normalverteilt mit dem Mittelwert 175 und der Varianz 2500.
Berechne p(125 d X d 225), p(X d 125) und p(X t 225).
Öffnen Sie eine neue Graphs-Seite und zeichnen Sie den Graph der Dichtefunktion in einem
passenden Koordinatenausschnitt. Dann gehen Sie über b > 6:Graph analysieren >
7:Integral zur Berechnung der Fläche unter der Dichte.
Geben Sie zuerst die untere und dann die obere Grenze ein, die Wahrscheinlichkeit wird angezeigt.
Die Grenzen ±f können hier nicht verwendet werden. Sie können ohne weiteres den linken
und rechten Fensterrand als Integrationsgrenzen nehmen: -25 und +375.
Im letzten Bild sehen Sie die letzten beiden gefragten Wahrscheinlichkeiten, die hintereinander
berechnet wurden.
©2014 T3 Europe
60
Inverse Berechnungen
Beispiel: Berechne x, für das gilt p(X < x) = 0,75.
In der Calculator-App bieten sich dafür zwei Möglichkeiten:
x
erste Möglichkeit:
Wir verwenden die Funktion invNorm().
x
zweite Möglichkeit:
Es lässt sich die entsprechende Gleichung mit nSolve() lösen.
©2014 T3 Europe
61
Physikalische Experimente
Die Möglichkeiten
Direkt mit dem Rechner
Dazu verwenden Sie direkt die USB-Schnittstelle des Taschenrechners oder des Computers. Für den
Taschenrechner arbeiten Sie mit dem Vernier EasyLink Modul (eine Ein-Kanalschnittstelle für Sensoren zum Gebrauch mit dem Taschenrechner) und mit dem PC verwenden Sie das Vernier GO!Link
Modul (ebenfalls eine Ein-Kanal-Schnittstelle für Sensoren, aber zum Gebrauch mit dem PC). Die
Stromversorgung der Schnittstelle erfolgt über die USB-Verbindung. Für den Taschenrechner bedeutet
dies, dass dessen Batterien voll aufgeladen sein müssen, wenn Sie mit EasyLink arbeiten wollen.
Damit ist es aber nicht möglich, digitale Sensoren zu verwenden, ausgenommen ist das CBR2. Vernier
stellt 45 analoge Sensoren zur Verfügung. Da die Anzahl der Messungen auf 200 pro Sekunde beschränkt ist, können einige Sensoren nicht unterstützt werden wie z.B. das Mikrofon.
Eine weitere Einschränkung für den Gebrauch von EasyLink mit dem Taschenrechner liegt darin, dass
nur jeweils ein Sensor angeschlossen sein kann. Mit dem Computer und der TI-NspireTM CX CAS Software ist das anders. Hier können mehrere GO!Links angeschlossen werden. Sie alle werden von
der
Vernier
DataQuest-App erkannt.
Mit dem LabCradle
LabCradle (Labor-Basisstation) kann mit dem CBL2 verglichen werden. Es handelt sich um eine
Schnittstelle, die auf den Taschenrechner geschoben oder mit dem PC verbunden wird. LabCradle hat
seine eigenen wieder aufladbaren Batterien und wird auch mit einem eigenen Adapter geliefert. Das
bedeutet, dass damit die Batterien des Taschenrechners geschont werden. Das LabCradle ist mit drei
analogen und zwei digitalen Eingängen ausgestattet, an das alle gängigen Vernier-Sensoren angeschlossen werden können. Die Anzahl der Messungen pro Sekunde reicht bis zu 100 000.
Vernier DataQuest
Vernier DataQuest ist eine von Vernier für den TI-NspireTM CX CAS programmierte Applikation zur
Erhebung von Daten aus physikalischen Experimenten. Diese DataQuest unterstützt sowohl EasyLink
als auch GO!Link und LabCradle.
Verschiedene Arbeitsweisen können eingestellt werden: Messgerät (hier können die gemessenen Werte abgelesen werden), Grafik (die Entwicklung des Experiments kann grafisch verfolgt und aufgezeichnet werden) und Tabelle (hier werden die erhobenen Daten in einer Tabelle dargestellt).
Die Modellbildung kann durch vordefinierte Regressionsfunktionen unterstützt werden, wobei die
Berechnung der Koeffizienten automatisch erfolgt, oder man definiert ein eigenes Modell und passt
die Koeffizienten mithilfe von Schiebereglern geeignet an.
Daten von früheren oder eben durchgeführten Experimenten lassen sich wieder aufrufen (ReplayModus). Das Abspielen des Modells lässt sich unterbrechen oder kann schrittweise Messung für Messung wiederholt werden. Damit bietet sich die Möglichkeit auf besondere Ereignisse während der
Durchführung der Messung hinzuweisen und diese zu erklären.
©2014 T3 Europe
62
Die Durchführung eines Experiments
Die Einstellungen
Um die zu einem beabsichtigten Experiment nötigen Einstellungen einzurichten wählen Sie b >
1:Experiment. Da können Sie alle notwendigen Angaben machen und u.a. auch die Einheiten festlegen, in denen der Sensor seine gewonnenen Messwerte darstellen soll.
Der Messvorgang
Nachdem alle Einstellungen vorgenommen worden sind, kann der eigentliche Messvorgang begonnen
werden. Drücken Sie auf den großen grünen Startknopf, der sich am Schirm links oben befindet..
Die Bearbeitung der gewonnenen Messwerte
Bei bestimmten Einstellungen werden die Messpunkte im Diagramm automatisch verbunden. Die
Verbindungen lassen sich löschen über b > 6:Optionen > 1:Punktoptionen. Schalten Sie dort die
Verbindungen aus. Wenn ein bestimmter Bereich nicht interessant ist, können die Messungen in diesem Bereich vernachlässigt werden. Sie werden nicht gelöscht, sondern nur im weiteren Verlauf der
Bearbeitung nicht berücksichtigt. Später kann die ganze ursprüngliche Datensammlung wieder hergestellt werden.
Beispiele
Beispiel 1
Experiment: Aufwärmen eines Temperatursensors mit der Hand (oder in der Mundhöhle)
x
Verbinden Sie den Temperatursensor mit dem LabCradle (in Verbindung mit dem Taschenrechner oder über die USB-Schnittstelle mit dem Computer).
x
Legen Sie die gewünschten Einstellungen fest.
x
Drücken Sie auf den Startknopf. Nach Beendigung des Messvorgangs wird das Grafikfenster
automatisch an die gewonnene Messdaten angepasst. Folgen Sie den Abbildungen:
©2014 T3 Europe
63
x
Die Darstellung lässt sich sowohl in der Farbe als auch in der Form der Datenpunkte ändern:
b > 6:Daten > 1:Spaltenoptionen > 2:run2 > 2:Temperatur. Das ist bereits mein zweiter
Versuch, daher run2. Das linke Bild zeigt den Beginn der ersten Datenaufzeichnung. Für den
zweiten Versuch habe ich den Sensor zuerst ins Freie gelegt und dann in meiner Mundhöhle –
wie mit einem Fiebermesser – erwärmt.
x
Da uns unter b > 4:Analysieren > 6:Kurvenanpassung das gebremste Wachstum nicht als
Modellfunktion angeboten wird, müssen wir die Modellierung selbst vornehmen:
©2014 T3 Europe
64
x
Wählen Sie geeignete Startwerte für die Parameter. Mithilfe von minimierten Schiebereglern
werden die Parameter dann so eingestellt, dass die Modellfunktion möglichst gut passt.
Wir beginnen mit größeren Schrittweiten, um rasch zu einer ungefähren Näherung zu kommen,
dann können sie beliebig verfeinert werden. So zwischendurch können wir uns auch einen Blick
auf die tabellierten Messwerte gönnen.
x
Das Experiment kann beliebig oft wieder gegeben werden. Entweder unter b >
1:Experiment > 6:Wiedergabe > 1:Wiedergabe starten oder auch, wie unten demonstriert:
©2014 T3 Europe
65
Es ist vielleicht müßig zu sagen, dass die gewonnenen Daten natürlich in die anderen geeigneten
Applikationen übernommen werden können, wie z.B. nach Lists & Spreadsheet, Data & Statistics oder als Streudiagramm in eine Graphs-Seite. Hier können sie dann nach Belieben weiter
verwendet werden.
Mein erster Run zeigt ein interessantes Ergebnis:
Hier habe ich den zuerst abgekühlten Temperaturfühler in ein Glas mit erwärmten Wasser gesteckt. Wir erkennen die rasche Erwärmung des Fühlers, der aber dann auch an der Abkühlung
des Wassers in dessen Umgebungstemperatur „leidet“. Hier wäre die Modellierung der Temperaturkurve des Fühlers wohl nicht so einfach durchzuführen ...
Beispiel 2
Experiment: Schwingungen eines Pendels
Dieses Experiment habe ich mit einem angeschlossenen – alten -CBR2 durchgeführt. Die Durchführung verläuft weitgehend analog zum obigen Beispiel. Die Bilder sollten für sich sprechen.
©2014 T3 Europe
66
In einer Data & Statistics Seite können unter h die Messwerte sofort größer und deutlicher präsentiert werden. Sie sehen das Zeit-Position, das Zeit-Geschwindigkeit- und dann noch das Phasendiagramm (Position-Geschwindigkeit).
Ich habe hier hinter einander vier Messungen zu je 10 Sekunden durchgeführt. Dann wurden alle
Messwerte in eine Lists & Spreadsheet-Seite gesendet. Für alle Versuche werden die Zeit, Position,
Geschwindigkeit und zusätzlich noch die Beschleunigung in Tabellenspalten übertragen. Die Tabellenwerte können in eine Graphs-Seite übernommen werden. Im Graph lassen sich Position und Geschwindigkeit - und eventuell auch die Beschleunigung darstellen. Dann sehen noch das Phasendiagramm in dieser Applikation. Ich stelle hier die Ergebnisse der zweiten Messung dar.
©2014 T3 Europe
67
Wenn wir die Schwingung in der DataQuest-App modellieren wollen, müssen wir die Modellgleichung f(x) = a˜sin(b˜x + c) + d selbst definieren. Mithilfe der Schieberegler finden wir für nebeneinander liegende Schwingungen ein schönes Modell. (Amplitude, Frequenz u.s.w. sind ablesbar.)
Nach einer geeigneten Verfeinerung
über die Schieberegler lässt sich die
Pendelbewegung recht ordentlich durch
eine Sinusschwingung modellieren
(schwarze Überlagerung) wie die Abbildung eindrucksvoll beweist.
Dieser screenshot wurde von der PCAnsicht genommen.
©2014 T3 Europe
68
Allgemeines zum TI-NspireTM CX CAS
-
Labpro von CBL 2 wird vom TI-NspireTM CX CAS nicht unterstützt. CBR 2 kann mit Erfolg eingesetzt werden.
-
Verhindern von unerwünschten Tätigkeiten: Mit Press to Test (Prüfungsstatus) können mehrere
Möglichkeiten abgeschaltet werden.
-
Bereitstellung von vorbereiteten Daten bzw. Funktionen und Programmen: am einfachsten ist es,
zwei Geräte zu verbinden und die Daten zu übertragen. Eventuell lassen sich Dokumente auch
über Lernplattformen für die SchülerInnen verfügbar machen. Über die Software können die Dateien auf die Taschenrechner übertragen werden. Über ein Andockstation kann mit der Lehrerversion die Kommunikation mit bis zu 40 Taschenrechnern gleichzeitig hergestellt werden. Mit dem
TI-Nspire Navigator System kann ein Dokument drahtlos an den TR jedes Schülers/jeder Schülerin geschickt werden. Mit diesem System lässt sich auch der Bildschirm jedes einzelnen Schülers
über den Beamer projizieren. Tastenkombination und zusätzliche Fragen lassen sich ebenfalls weiter geben. (Näheres findet sich in den entsprechenden Handbüchern.)
-
Smartview
Mit der Lehrer-Software von TI-NspireTM CX CAS wird in der „Handheld-Ansicht“ neben dem
Dokument der Taschenrechner gezeigt. Damit kann der Zuschauer – z.B. über einen Beamer – genau die Vorgangsweise an der Tastatur verfolgen. In der Schülersoftware wird nur die Tastatur gezeigt. Die Tastatur kann mit der Maus angeklickt werden. Damit wird die Arbeit am Taschenrechner simuliert.
-
Mit der aktuellen Software lassen sich „Publish View“-Dokumente herstellen. Über das Hilfsmittel Navigator können diese Dokumente drahtlos an alle SchülerInnen geschickt werden. Mit der
Lehrerversion der Software ist dies perfekt möglich. Man kann unter verschiedenen Fragetypen
wählen.
-
Worin liegt der Mehrwert? Hier liegt ein Komplettpaket sowohl für den Taschenrechner als auch
für den Computer vor. Es kann vor allem im Mathematikunterricht aber auch in anderen Fächern
eingesetzt werden. Probleme können von verschiedenen Richtungen aus betrachtet und behandelt
werden. Das CAS bietet den SchülerInnen den Vorteil, dass sie vom händischen Rechnen und
Manipulieren entlastet werden. Damit gibt es weniger Fehler und es kann mehr Betonung auf die
Konzepte gelegt werden. Unterschiedliche grafische Darstellungen können gemeinsam eingesetzt
werden. Die Notes Applikation lässt einmal durchgeführte Berechnungen auf einfache Weise wiederholen (z.B. Simulationen in Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie). Schieberegler variieren
Parameter und können so leicht Transformationen illustrieren oder sogar modellieren. Es ist ein
mobiles System mit sehr vielen Möglichkeiten auch für Physik und technische Fächer (Mechanik,
Elektrotechnik, Elektronik u.s.w.). Nun lassen sich Experimente auch außerhalb des Klassenzimmers ausführen.
©2014 T3 Europe
69
Was es sonst noch gibt:
Differentialgleichungen
Ab Version 3.0 ist es möglich, Richtungsfelder zu Differentialgleichungen zu zeichnen. Die Integralkurve der zugehörigen Differentialgleichung wird mit einem vorliegenden Anfangswert ins Richtungsfeld eingezeichnet. Der Anfangswert kann dann mit der Maus verzogen werden.
Für das rechte Bild wurde der Anfangswert verlegt. Außerdem wurde ein dichteres Richtungsfeld erzeugt und die Integralkurve wurde mit der genaueren Runge-Kutta-Methode berechnet.
Die Applikation Question
Mit der Applikation Question in der Lehrersoftware können Sie Fragen folgenden Typs erstellen: Multiple Choice, offene Antwort, Gleichung, Koordinatenpunkte und Listen. Ihre Schüler können zwar
keine Fragen erstellen, aber sie können Dokumente mit Fragen öffnen, die Fragen beantworten und
ihre Antworten im Modus Selbstprüfung überprüfen.
©2014 T3 Europe
70
PublishView
Mit PublishView werden interaktive Dokumente erzeugt. PublishView-Funktionen umfassen
Layout- und Bearbeitungsfunktionen für die Präsentation mathematisch-wissenschaftlicher Inhalte in
einem Dokument, in dem TI-NspireTM CX CAS Applikationen interaktiv und dynamisch mit unterstützenden Medien verknüpft werden können, wodurch Sie das Dokument „zum Leben erwecken“
können.
TI-NspireTM CX CAS im Internet
TI-NspireTM CX CAS Dokumente oder PublishView-Dokumente können im HTML-Format auf eine
Webseite geladen werden. So können auch Personen, die nicht über einen TI-NspireTM CX CAS verfügen damit arbeiten (ähnlich wie mit Applets). Das Dokument kann mit dem online erreichbaren TITI-NspireTM CX CAS Document Player betrachtet werden. Dieser öffnet sich automatisch sobald die
betreffende Webseite geöffnet wird. Man kann auch selbst den HTML-Code schreiben oder anpassen.
Zusätzlicher Text lässt sich einfügen.
Sehen Sie hier ein Beispiel einer flämischen TI-NspireTM CX CAS -Webseite:
Referenzen
[1]
Cahier 29, T3-Vlaanderen
[2]
Die aktuellen Handbücher von TI-NspireTM CX CAS und CBR2 (www.education.ti.com)
[3]
Heinz-Dieter Hinkelmann, Experimente aus der Physik mit CBL2 und TI-92 Plus,
bk-teachware SR-19
[4]
Vortrag von Michel Beaudin, Frédérick Henri und Geneviève Savard, „Integration of Piecewise Continuous Functions“ an der ACA2013, Málaga
©2014 T3 Europe
71
Anhang
'HILQHFDUGDQRIY )XQF
/RFDOSBTBGBDKUUXYHHUBƔ
H ˑ矂˙H ˑ矂˙
D 矀IY
I ID
K SRO\&RHIIVIY>@
I OLPIYYK
SB SRO\&RHIIVIY>@TB SRO\&RHIIVIY>@
GB TBASBA
,IGB̤7KHQ
VHW0RGH
U ˑTB˙GBU ˑTB˙GB
X VLJQUURRWDEVUY VLJQUURRWDEVU
^XYKXHYHKXHYHK`
(OVH
UB ˙ˑSBA
Ɣ FRV瞾ˑTBUB
^URRWUBFRVƔƣKURRWUBFRVƔƣ
KURRWUBFRVƔK`
(QG,I
(QG)XQF
©2014 T3 Europe
72