Tabellenbuch Metall - Europa

EUROPA-FACHBUCHREIHE
für Metallberufe
M
P
Roland Gomeringer
Max Heinzler
Roland Kilgus
Volker Menges
Friedrich Näher
Stefan Oesterle
Claudius Scholer
Andreas Stephan
Falko Wieneke
K
Tabellenbuch Metall
W
46., neu bearbeitete und erweiterte Auflage
N
Europa-Nr.: 10609 mit Formelsammlung
F
Europa-Nr.: 1060X ohne Formelsammlung
Europa-Nr.: 10706 XXL, mit Formelsammlung und CD
Europa-Nr.: 14467 XXL ONLINE, mit Formelsammlung und Online-Zugang
A
VERLAG EUROPA LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Autoren:
Roland Gomeringer
Max Heinzler
Roland Kilgus
Volker Menges
Friedrich Näher
Stefan Oesterle
Claudius Scholer
Andreas Stephan
Falko Wieneke
Meßstetten
Wangen im Allgäu
Neckartenzlingen
Lichtenstein
Balingen
Amtzell
Pliezhausen
Marktoberdorf
Essen
Lektorat:
Roland Gomeringer, Meßstetten
Bildbearbeitung:
Zeichenbüro des Verlages Europa-Lehrmittel, Ostfildern
Mitwirkung:
Matthias Büttner, Hechingen
Maßgebend für die Anwendung der Normen und der anderen Regelwerke sind deren neueste Ausgaben.
Sie können durch die Beuth Verlag GmbH, Burggrafenstr. 6, 10787 Berlin, bezogen werden.
Inhalte des Kapitels „Programmaufbau bei CNC-Maschinen nach PAL“ (Seiten 348 bis 362) richten sich nach
Veröffentlichungen der PAL-Prüfungsaufgaben- und Lehrmittelentwicklungsstelle der IHK Region Stuttgart.
46. Auflage 2014
Druck 6 5 4 3
Alle Drucke dieser Auflage sind im Unterricht nebeneinander einsetzbar, da sie bis auf korrigierte Druckfehler
und kleine Normänderungen unverändert sind.
ISBN
ISBN
ISBN
ISBN
978-3-8085-1726-0
978-3-8085-1676-8
978-3-8085-1084-1
978-3-8085-1447-4
mit Formelsammlung
ohne Formelsammlung
XXL, mit Formelsammlung und CD
XXL ONLINE, mit Formelsammlung und Online-Zugang
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich
geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
© 2014 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten
http://www.europa-lehrmittel.de
Satz: Satz+Layout Werkstatt Kluth GmbH, 50374 Erftstadt
Umschlag: Grafische Produktionen Jürgen Neumann, 97222 Rimpar
Umschlagfotos: TESA/Brown & Sharpe, CH-Renens und Seco Tools GmbH, Erkrath
Druck: M.P. Media-Print Informationstechnologie GmbH, 33100 Paderborn
3
Vorwort
Zielgruppen des Tabellenbuches
• Metallberufe aus Handwerk und Industrie
• Technische Produktdesigner
• Meister- und Technikerausbildung
• Praktiker in Handwerk und Industrie
• Studenten des Maschinenbaues
Inhalt
Der Inhalt des Buches ist in sieben Hauptkapitel gegliedert, die
in der rechten Spalte benannt sind. Er ist auf die Bildungspläne der Zielgruppen abgestimmt und der Entwicklung der
Technik und der KMK-Lehrpläne angepasst.
Die Tabellen enthalten die wichtigsten Regeln, Bauarten, Sorten, Abmessungen und Richtwerte der jeweiligen Sachgebiete.
Bei den Formeln wird in der Legende auf die Nennung von
Einheiten verzichtet, wenn mehrere Einheiten möglich sind.
Die oft parallel zum Buch verwendeten „Formeln für Metallberufe“ geben die Einheiten an, um vor allem Berufsanfängern beim Berechnen eine Hilfestellung zu geben.
Mit der CD „Tabellenbuch Metall digital“, der elektronischen
Form des Tabellenbuches, können bei Berechnungen die
Formeln und Einheiten gewählt und umgestellt werden. Die
elektronisch ermittelten Rechenergebnisse können ebenfalls
in verschiedenen Einheiten angezeigt werden. Ergänzt
wird das Medienangebot durch eine reine Web-Applikation
(www.tabellenbuch-metall-online.de).
Das Inhaltsverzeichnis am Anfang des Buches wird durch
Teilinhaltsverzeichnisse vor jedem Hauptkapitel ergänzt.
Das Sachwortverzeichnis am Schluss des Buches enthält
neben den deutschen auch die englischen Bezeichnungen.
Im Normenverzeichnis sind alle im Buch zitierten aktuellen
Normen und Regelwerke aufgeführt.
Änderungen in der 46. Auflage
In der vorliegenden Ausgabe wurden die zitierten Normen
aktualisiert und wegen der technischen Entwicklung besonders folgende Kapitel neu strukturiert, aktualisiert, erweitert
oder neu aufgenommen:
• Legierungssysteme, Messtechnik, Wälzlagerberechnung (neu)
• Festigkeitslehre (ergänzt und erweitert)
• Spanende Fertigung mit CNC-Technik (neu strukturiert und
erweitert)
• Arbeits- und Umweltschutz (neu strukturiert und erweitert)
• Automatisierungstechnik (neu strukturiert und erweitert)
Autoren und Verlag sind auch weiterhin allen Nutzern des
Tabellenbuches für Hinweise und Verbesserungsvorschläge
an [email protected] dankbar.
Dank
Herr Ulrich Fischer hat über viele Jahre durch seine hohe
fachliche Kompetenz als Autor und Lektor das Tabellenbuch
Metall geprägt. Kollegen und Verlag danken ihm für die gute
Zusammenarbeit verbunden mit den besten Wünschen für
die Zukunft.
Frühjahr 2014
Autoren und Verlag
1 Technische
Mathematik
M
M
P
P
K
K
W
W
M
N
F
F
A
A
9 … 28
2 Technische
Physik
29 … 54
3 Technische
Kommunikation
55 … 114
4 Werkstofftechnik
115 … 202
5 Maschinenelemente
203 … 272
6 Fertigungstechnik
273 … 412
7 Automatisierungstechnik
413 … 452
4
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1
Technische Mathematik (M)
1.1
Einheiten im Messwesen
SI-Basisgrößen und Einheiten . . . . . . .
Abgeleitete Größen und Einheiten. . .
Einheiten außerhalb des SI . . . . . . . . .
Formeln
Formelzeichen, mathem. Zeichen . . .
Formeln, Gleichungen, Diagramme. .
Umstellen von Formeln . . . . . . . . . . . .
Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . .
Rechnen mit Größen . . . . . . . . . . . . . .
Prozent- und Zinsrechnung. . . . . . . . .
Winkel und Dreiecke
Winkelarten, Satz des Pythagoras . . .
Funktionen im Dreieck . . . . . . . . . . . . .
Längen
Teilung von Längen . . . . . . . . . . . . . . .
Gestreckte Längen . . . . . . . . . . . . . . . .
Rohlängen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
1.3
1.4
2
Technische Physik (P)
2.1
Bewegungen
Konstante Bewegungen . . . . . . . . . . .
Beschleunigte Bewegungen . . . . . . . .
Geschwindigkeiten an Maschinen . . .
Kräfte
Zusammensetzen und Zerlegen . . . . .
Kräftearten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Drehmoment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad
Mechanische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . .
Einfache Maschinen. . . . . . . . . . . . . . .
Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . . .
Reibung
Reibungskraft, Reibungszahlen . . . . .
Rollreibungszahlen . . . . . . . . . . . . . . .
Druck in Flüssigkeiten und Gasen
Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hydraulische Kraftübersetzung . . . . .
Druckübersetzung . . . . . . . . . . . . . . . .
Durchflussgeschwindigkeit . . . . . . . . .
Zustandsänderung bei Gasen. . . . . . .
2.2
2.3
2.4
2.5
9
1.5
10
10
12
13
14
15
16
17
17
18
19
1.6
1.7
1.8
20
21
21
Flächen
Eckige Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dreieck, Vielecke, Kreis . . . . . . . . . . . .
Kreisausschnitt, -abschnitt, -ring . . . .
Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Volumen und Oberfläche
Würfel, Zylinder, Pyramide . . . . . . . . .
Kegel, Kegelstumpf, Kugel . . . . . . . . .
Zusammengesetzte Körper . . . . . . . . .
Masse
Allgemeine Berechnung . . . . . . . . . . .
Längenbezogene Masse . . . . . . . . . . .
Flächenbezogene Masse . . . . . . . . . . .
Schwerpunkte
Linienschwerpunkte. . . . . . . . . . . . . . .
Flächenschwerpunkte . . . . . . . . . . . . .
22
23
24
24
25
26
27
27
27
27
28
28
29
2.6
30
30
31
32
33
34
34
35
35
36
2.7
37
37
2.8
38
38
38
39
39
39
3
Technische Kommunikation (K)
3.1
Diagramme
Kartesisches Koordinatensystem . . . . 56
Polarkoordinatensystem . . . . . . . . . . . 57
Flächendiagramme . . . . . . . . . . . . . . . 57
Festigkeitslehre
Belastungsfälle, Grenzspannungen . .
Statische Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . .
Elastizitätsmodul . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zug, Druck, Flächenpressung . . . . . . .
Abscherung, Torsion, Biegung . . . . . .
Biegebelastung auf Bauteile . . . . . . . .
Widerstandsmomente . . . . . . . . . . . . .
Zusammengesetzte Beanspruchung .
Dynamische Festigkeit. . . . . . . . . . . . .
Gestaltfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wärmetechnik
Temperaturen, Längenänderung . . . .
Schwindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wärmemenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Heizwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrotechnik
Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . .
Ohmsches Gesetz. . . . . . . . . . . . . . . . .
Leiterwiderstand. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltung von Widerständen . . . . . . .
Stromarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrische Arbeit und Leistung . . . . .
Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
41
41
42
43
44
45
45
46
47
49
49
49
50
51
51
51
52
52
53
54
54
55
3.2
Geom. Grundkonstruktionen
Strecken, Lote, Winkel . . . . . . . . . . . . .
Tangenten, Kreisbögen . . . . . . . . . . . .
Inkreis, Ellipse, Spirale. . . . . . . . . . . . .
Zykloide, Evolvente, Hyperbel . . . . . .
58
59
60
61
5
Inhaltsverzeichnis
3.3
3.4
3.5
3.6
Zeichnungselemente
Schriftzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normzahlen, Radien, Maßstäbe . . . . .
Zeichenblätter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stücklisten, Positionsnummern . . . . .
Linienarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellung
Projektionsmethoden. . . . . . . . . . . . . .
Ansichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schnittdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . .
Schraffuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maßeintragung
Maßlinien, Maßzahlen . . . . . . . . . . . . .
Bemaßungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeichnungselemente . . . . . . . . . . . . . .
Toleranzangaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maßarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeichnungsvereinfachung. . . . . . . . . .
Maschinenelemente
Zahnräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wälzlager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sicherungsringe, Federn . . . . . . . . . . .
4
Werkstofftechnik (W)
4.1
Stoffe
Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Periodisches System der Elemente .
Chemikalien der Metalltechnik . . . . .
Bezeichnungssystem der Stähle
Definition und Einteilung. . . . . . . . . .
Normung von Stahlprodukten . . . . .
Werkstoffnummern . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungssystem . . . . . . . . . . . . .
Stahlsorten
Erzeugnisse aus Stahl, Übersicht . . .
Stähle, Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . .
Baustähle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einsatzstähle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergütungsstähle . . . . . . . . . . . . . . . .
Werkzeugstähle . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nichtrostende Stähle . . . . . . . . . . . . .
Federstähle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stähle für Blankstahlerzeugnisse . . .
Stahl-Fertigerzeugnisse
Bleche, Bänder, Rohre . . . . . . . . . . . .
Profile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Längen- u. flächenbezogene Masse.
Wärmebehandlung
Kristallgitter, Legierungssysteme . . .
Eisen-Kohlenstoff-Diagramm . . . . . .
Wärmebehandlung der Stähle . . . . .
4.2
4.3
4.4
4.5
3.7
62
63
64
65
66
68
70
72
74
75
76
77
79
80
82
83
84
85
86
Werkstückelemente
Butzen, Werkstückkanten . . . . . . . . . .
Gewindeausläufe und -freistiche . . . .
Gewinde, Schraubenverbindungen . .
Zentrierbohrungen, Rändel. . . . . . . . .
Freistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Schweißen und Löten
Sinnbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bemaßungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Oberflächen
Härteangaben in Zeichnungen . . . . . .
Gestaltabweichungen, Rauheit. . . . . .
Oberflächenprüfung, -angaben . . . . .
Erreichbare Rauheit . . . . . . . . . . . . . . .
Verzahnungsqualität . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Toleranzen, Passungen
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ISO-Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeintoleranzen . . . . . . . . . . . . .
Wälzlagerpassungen . . . . . . . . . . . . .
Passungsempfehlungen, -auswahl .
Geometrische Tolerierung . . . . . . . .
87
88
89
90
91
92
94
96
97
98
100
101
102
104
110
110
111
112
115
4.6
116
118
119
4.7
4.8
120
121
122
123
127
128
130
133
134
136
137
139
140
142
146
155
4.9
4.10
4.11
4.12
156
157
158
4.13
Gusseisen-Werkstoffe
Bezeichnung, Werkstoffnummern . .
Gusseisenarten. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gießereitechnik . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leichtmetalle
Übersicht Al-Legierungen . . . . . . . . .
Aluminium-Knetlegierungen . . . . . .
Aluminium-Gusslegierungen . . . . . .
Aluminium-Profile . . . . . . . . . . . . . . .
Magnesium- u. Titanlegierungen . . .
Schwermetalle
Bezeichnungssystem . . . . . . . . . . . . .
Kupfer-Legierungen . . . . . . . . . . . . . .
Sonstige Werkstoffe . . . . . . . . . . . . .
Kunststoffe
Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Duroplaste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Thermoplaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elastomere, Schaumstoffe . . . . . . . .
Kunststoffverarbeitung . . . . . . . . . . .
Polyblends, Schichtpressstoffe . . . .
Kunststoffprüfung . . . . . . . . . . . . . . .
Werkstoffprüfung
Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zugversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kerbschlag-, Umlaufbiegeversuch . .
Härteprüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Korrosion, Korrosionsschutz . . . . . .
163
164
167
169
171
173
174
177
179
180
182
184
187
188
191
192
193
194
195
197
198
199
202
6
Inhaltsverzeichnis
5
Maschinenelemente (M)
5.1
Gewinde
Gewindearten, Übersicht. . . . . . . . . .
Ausländische Normen . . . . . . . . . . . .
Metrisches ISO-Gewinde. . . . . . . . . .
Sonstige Gewinde . . . . . . . . . . . . . . .
Gewindetoleranzen . . . . . . . . . . . . . .
Schrauben
Schraubenarten, Übersicht . . . . . . . .
Bezeichnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sechskantschrauben . . . . . . . . . . . . .
Zylinderschrauben . . . . . . . . . . . . . . .
Sonstige Schrauben. . . . . . . . . . . . . .
Berechnung von Schrauben . . . . . . .
Schraubensicherungen, Übersicht. .
Schraubenantriebe. . . . . . . . . . . . . . .
Senkungen
Senkungen für Senkschrauben. . . . .
Senkungen für Zylinderschrauben. .
Muttern
Mutternarten, Übersicht . . . . . . . . . .
Bezeichnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sechskantmuttern . . . . . . . . . . . . . . .
Sonstige Muttern . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
5.3
5.4
6
Fertigungstechnik (F)
6.1
Messtechnik
Prüfmittel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Qualitätsmanagement
Normen, Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . .
Qualitätsplanung, Qualitätsprüfung . .
Statistische Auswertung . . . . . . . . . .
Qualitätsfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistische Prozesslenkung . . . . . . .
Maschinenrichtlinie . . . . . . . . . . . . . .
Produktionsorganisation
Erzeugnisgliederung . . . . . . . . . . . . .
Arbeitsplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Instandhaltung
Wartung, Instandsetzung. . . . . . . . . .
Instandhaltungskonzepte . . . . . . . . .
Dokumentationssystem. . . . . . . . . . .
Spanende Fertigung
Zeitspanungsvolumen . . . . . . . . . . . .
Kräfte beim Spanen . . . . . . . . . . . . . .
Drehzahldiagramm . . . . . . . . . . . . . .
Schneidstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wendeschneidplatten . . . . . . . . . . . .
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
203
5.5
204
205
206
207
209
210
211
212
213
216
217
222
224
225
226
227
228
229
230
231
232
Scheiben
Bauarten, Übersicht . . . . . . . . . . . . . .
Flache Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sonstige Scheiben . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Stifte und Bolzen
Bauarten, Übersicht . . . . . . . . . . . . . .
Zylinderstifte, Spannstifte . . . . . . . . .
Kerbstifte, Bolzen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Welle-Nabe-Verbindungen
Verbindung, Übersicht. . . . . . . . . . . .
Keile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Passfedern, Scheibenfedern . . . . . . .
Werkzeugkegel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Sonstige Maschinenelemente
Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Griffe, Aufnahmen, Nutensteine. . . .
Schnellspannvorrichtung . . . . . . . . .
5.9 Antriebselemente
Riemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stirnräder, Maße . . . . . . . . . . . . . . . .
Kegel- u. Schneckenräder, Maße . . .
Übersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Lager
Gleitlager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wälzlager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schmieröle und Schmierfette . . . . . .
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
249
251
253
256
258
259
260
262
271
273
274
275
276
278
279
281
282
285
287
289
293
296
297
299
300
301
302
304
306
6.7
6.8
6.9
Werkzeug-Aufnahmen . . . . . . . . . . . .
Kühlschmierung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Drehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fräsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bohren, Senken, Reiben . . . . . . . . . .
Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Honen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CNC-Technik, Null- u. Bezugspunkte
Werkzeug-/Bahnkorrekturen . . . . . . .
CNC-Fertigung nach DIN . . . . . . . . . .
CNC-Drehen nach PAL . . . . . . . . . . . .
CNC-Fräsen nach PAL . . . . . . . . . . . .
Abtragen
Drahterodieren, Senkerodieren . . . .
Einflüsse auf das Verfahren. . . . . . . .
Trennen durch Schneiden
Schneidkraft, Pressen . . . . . . . . . . . .
Schneidwerkzeug . . . . . . . . . . . . . . . .
Werkzeug- und Werkstückmaße . . . .
Streifenausnutzung . . . . . . . . . . . . . .
Umformen
Biegen: Werkzeug, Verfahren . . . . . .
Einstellwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tiefziehen: Werkzeug, Verfahren . . .
Einstellwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
307
308
310
321
331
337
342
343
344
345
348
354
363
364
365
366
368
369
370
372
374
376
7
Inhaltsverzeichnis
6.10 Spritzgießen
Spritzgießwerkzeug . . . . . . . . . . . . . .
Schwindung, Kühlung, Dosierung . .
6.11 Fügen
Schweißverfahren, Übersicht . . . . . .
Nahtvorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . .
Schutzgasschweißen . . . . . . . . . . . . .
Lichtbogenschweißen . . . . . . . . . . . .
Strahlschneiden . . . . . . . . . . . . . . . . .
378
381
383
385
386
388
390
7
Automatisierungstechnik (A)
7.1
Pneumatik, Hydraulik
Schaltzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltpläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pneumatische Steuerung . . . . . . . . .
Proportionalventile. . . . . . . . . . . . . . .
Pneumatikzylinder . . . . . . . . . . . . . . .
Hydraulikzylinder, -pumpen . . . . . . .
Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
414
416
417
418
419
420
422
Grafcet
Grundstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schritte, Transitionen . . . . . . . . . . . .
Aktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verzweigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
423
424
425
427
Elektropneumatik, Elektrohydraulik
Schaltzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stromlaufpläne. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrohydraulische Steuerung . . . .
429
431
432
433
7.2
7.3
Kennzeichnung von Gasflaschen . . .
Löten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kleben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.12 Arbeits- und Umweltschutz
Gefahren am Arbeitsplatz . . . . . . . . .
Gefährliche Stoffe . . . . . . . . . . . . . . .
Warn-, Gebots-, Hinweiszeichen. . . .
Kennzeichnung von Rohrleitungen .
Schall und Lärm . . . . . . . . . . . . . . . . .
392
394
397
399
400
408
411
412
413
7.4
SPS-Steuerungen
SPS-Programmiersprachen . . . . . . . 435
Binäre Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . 439
Ablaufsteuerungen. . . . . . . . . . . . . . . 440
7.5
Regelungstechnik
Grundbegriffe, Kennbuchstaben . . . 442
Bildzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
7.6
Handhabungs-, Robotertechnik
Koordinatensysteme, Achsen . . . . . . 446
Aufbau von Robotern . . . . . . . . . . . . 447
Greifer, Arbeitssicherheit . . . . . . . . . 448
7.7
Motoren und Antriebe
Schutzmaßnahmen, Schutzarten . . . 449
Elektromotoren, Anschlüsse,
Berechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
Normenverzeichnis
453 … 456
Sachwortverzeichnis
457 … 478
8
Normen
Normen und andere Regelwerke
Normung und Normbegriffe
Normung ist eine planmäßig durchgeführte Vereinheitlichung von materiellen und nichtmateriellen Gegenständen,
wie z. B. Bauteilen, Berechnungsverfahren, Prozessabläufen und Dienstleistungen, zum Nutzen der Allgemeinheit.
Normbegriff
Beispiel
Erklärung
Norm
DIN 7157
Eine Norm ist das veröffentlichte Ergebnis der Normungsarbeit. Beispiel: Die Auswahl bestimmter Passungen in DIN 7157.
Teil
DIN 30910-2
Normen können aus mehreren in Zusammenhang stehenden Teilen bestehen.
Die Teilnummern werden mit Bindestrich an die Norm-Nummer angehängt.
DIN 30910-2 beschreibt z. B. Sinterwerkstoffe für Filter, während die Teile 3 und 4
Sinterwerkstoffe für Lager und Formteile beschreiben.
Beiblatt
DIN 743
Bbl 1
Ein Beiblatt enthält Informationen zu einer Norm, jedoch keine zusätzlichen Festlegungen. Das Beiblatt DIN 743 Bbl 1 enthält z. B. Anwendungsbeispiele zu den in
DIN 743 beschriebenen Tragfähigkeitsberechnungen von Wellen und Achsen.
Entwurf
E DIN EN
10027-2
(2013-09)
Normentwürfe werden zur Einsicht und Stellungnahme veröffentlicht. Die geplante
Neufassung DIN EN 10027-2 mit Werkstoffnummern für Stähle lag der Öffentlichkeit z. B. von September 2013 bis Februar 2014 für Einsprüche als Entwurf vor.
Vornorm
DIN V 66304
(1991-12)
Eine Vornorm ist das Ergebnis einer Normungsarbeit, das wegen Vorbehalten
nicht als Norm herausgegeben wird. DIN V 66304 behandelt z. B. ein Format zum
Austausch von Normteildateien für das rechnergestützte Konstruieren.
Ausgabedatum
DIN 76-1
(2004-06)
Zeitpunkt des Erscheinens, welcher im DIN-Anzeiger veröffentlicht wird und mit
dem die Norm Gültigkeit bekommt. Die DIN 76-1, welche Freistiche für metrische
ISO-Gewinde festlegt, ist z. B. seit Juni 2004 gültig.
Normenarten und Regelwerke (Auswahl)
Art
Kurzzeichen
Erklärung
Zweck und Inhalte
Internationale
Normen
(ISO-Normen)
ISO
International Organisation
for Standardization, Genf
(O und S werden in der Abkürzung
vertauscht)
Den internationalen Austausch von Gütern
und Dienstleistungen sowie die Zusammenarbeit auf wissenschaftlichem, technischem
und ökonomischem Gebiet erleichtern.
Europäische
Normen
(EN-Normen)
EN
Europäische Normungsorganisation
CEN (Comunité Européen de Normalisation), Brüssel
Technische Harmonisierung und damit verbundener Abbau von Handelshemmnissen
zur Förderung des Binnenmarktes und des
Zusammenwachsens von Europa.
Deutsche
Normen
(DIN-Normen)
DIN
Deutsches Institut für Normung e.V.,
Berlin
DIN EN
Deutsche Umsetzung einer europäischen Norm
Die nationale Normungsarbeit dient der
Rationalisierung, der Qualitätssicherung,
der Sicherheit, dem Umweltschutz und der
Verständigung in Wirtschaft, Technik, Wissenschaft, Verwaltung und Öffentlichkeit.
DIN ISO
Deutsche Norm, deren Inhalt unverändert von einer ISO-Norm übernommen wurde.
DIN EN ISO
Norm, die von ISO und CEN veröffentlicht wurde, und deren deutsche
Fassung als DIN-Norm Gültigkeit
hat.
DIN VDE
Druckschrift des VDE, die den
Status einer deutschen Norm hat.
VDI-Richtlinien VDI
Verein Deutscher Ingenieure e.V.,
Düsseldorf
VDE-Druckschriften
VDE
Verband der Elektrotechnik
Elektronik Informationstechnik e.V.,
Frankfurt am Main
Diese Richtlinien geben den aktuellen Stand
der Technik zu bestimmten Themenbereichen wieder und enthalten z. B. konkrete
Handlungsanleitungen zur Durchführung
von Berechnungen oder zur Gestaltung von
Prozessen im Maschinenbau bzw. in der
Elektrotechnik.
DGQ-Schriften
DGQ
Deutsche Gesellschaft für Qualität
e.V., Frankfurt am Main
Empfehlungen für den Bereich der Qualitätstechnik.
REFA-Blätter
REFA
Verband für Arbeitsstudien
REFA e.V., Darmstadt
Empfehlungen für den Bereich der Fertigung und Arbeitsplanung.
A1
A2
9
Inhaltsverzeichnis
Va
Ve
1 Technische Mathematik
Größe
Formelzeichen
Länge
Œ
1.1
Einheiten im Messwesen
SI-Basisgrößen und Einheiten. . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Abgeleitete Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . 10
Einheiten außerhalb des SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2
Formeln
Formelzeichen, mathematische Zeichen . . . . . . . .
Formeln, Gleichungen, Diagramme . . . . . . . . . . . .
Umstellen von Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen mit Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prozent- und Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
14
15
16
17
17
Winkel und Dreiecke
Winkelarten, Satz des Pythagoras. . . . . . . . . . . . . .
Strahlensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionen im rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . .
Funktionen im schiefwinkligen Dreieck . . . . . . . . .
18
18
19
19
19
Längen
Teilung von Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gestreckte Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Federdrahtlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rohlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
20
21
21
21
Flächen
Eckige Flächen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dreieck, Vielecke, Kreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreisausschnitt, Kreisabschnitt, Kreisring . . . . . . .
Ellipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
23
24
24
Einheit
Name Zeichen
Meter
m
Oberfläche
AO = p · d · h + 2 ·
p · d2
4
Mantelfläche
AM = p · d · h
Sinus
1.3
Gegenkathete
Hypotenuse
Ankathete
=
Hypotenuse
Gegenkathete
=
Ankathete
=
Kosinus
Tangens
1.4
1.5
kg
m' in m
1.6
Volumen und Oberfläche
Würfel, Zylinder, Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Kegel, Kegelstumpf, Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Zusammengesetzte Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7
Masse
Allgemeine Berechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Längenbezogene Masse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Flächenbezogene Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8
Schwerpunkte
Linienschwerpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Flächenschwerpunkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1m
d
y
S S2
xs
ys
S1
x
M
P
K
F
A
A1
A2
Va
Ve
10
1.1 Einheiten im Messwesen
Einheiten im Messwesen
SI1)-Basisgrößen und Basiseinheiten
vgl. DIN 1301-1 (2010-10), -2 (1978-02), -3 (1979-10)
M
Basisgröße
Länge
Masse
Zeit
Elektrische
Stromstärke
Thermodynamische
Temperatur
Stoffmenge
Lichtstärke
Basiseinheit
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Mol
Candela
m
kg
s
A
K
mol
cd
Einheitenzeichen
1)
P
Die Einheiten im Messwesen sind im Internationalen Einheitensystem (SI = Système International d’Unités) festgelegt. Es baut auf den sieben Basiseinheiten (SI-Einheiten) auf, von denen weitere Einheiten abgeleitet sind.
Basisgrößen, abgeleitete Größen und ihre Einheiten
Größe
Formelzeichen
Einheit
Zeichen
Name
Beziehung
Bemerkung
Anwendungsbeispiele
Länge, Fläche, Volumen, Winkel
Länge
Œ
m
Meter
K
1m
1 mm
1 km
Fläche
Volumen
A, S
V
F
ebener
Winkel
(Winkel)
Ar
Hektar
a
ha
Kubikmeter
m3
Liter
—, L
a, b, g … Radiant
In der Luft- und Seefahrt gilt:
1 internationale Seemeile = 1852 m
= 10 000 cm2
Zeichen S nur für Querschnittsflächen
= 1 000 000 mm2
2
1a
= 100 m
Ar und Hektar nur für Flächen von
1 ha
= 100 a = 10 000 m2 Grundstücken
100 ha = 1 km2
1 m3
= 1000 dm3
= 1 000 000 cm3
1 — = 1 L = 1 dm3 = 10 d— =
0,001 m3
1 m—
= 1 cm3
Meist für Flüssigkeiten und Gase
1 rad ist der Winkel, der aus einem um
den Scheitelpunkt geschlagenen Kreis
mit 1 m Radius einen Bogen von 1 m
Länge schneidet.
Bei technischen Berechnungen statt
a = 33° 17* 27,6+ besser a = 33,291° verwenden.
Ein Objekt, dessen Ausdehnung in
einer Richtung 1 rad misst und senkrecht dazu ebenfalls 1 rad, bedeckt
einen Raumwinkel von 1 sr.
Grad
°
Minute
Sekunde
*
+
≈
Steradiant
sr
1 sr
m
Kilogramm
Gramm
kg
g
1 kg
1g
= 1000 g
= 1000 mg
Megagramm
Tonne
Mg
t
1t
0,2 g
= 1000 kg = 1 Mg
= 1 Kt
rad
1 inch = 1 Zoll = 25,4 mm
1 m2
1 rad = 1 m/m = 57,2957…°
= 180°/p
1°
= p rad = 60*
180
1*
= 1°/60 = 60+
1+
= 1*/60 = 1°/3600
A
Raumwinkel
Quadratmeter m2
= 10 dm = 100 cm
= 1000 mm
= 1000 µm
= 1000 m
= 1 m2/m2
Mechanik
Masse
Gewicht im Sinne eines Wägeergebnisses oder eines Wägestückes ist eine
Größe von der Art der Masse (Einheit
kg).
Masse für Edelsteine in Karat (Kt).
längenbezogene
Masse
m*
Kilogramm
pro Meter
kg/m
1 kg/m = 1 g/mm
Zur Berechnung der Masse von Stäben, Profilen, Rohren.
flächenbezogene
Masse
m+
Kilogramm
pro Meter
hoch zwei
kg/m2
1 kg/m2 = 0,1 g/cm2
Zur Berechnung der Masse von Blechen.
r
Kilogramm
pro Meter
hoch drei
kg/m3
1000 kg/m3 = 1 t/m3
= 1 kg/dm3
= 1 g/cm3
= 1 g/ml
= 1 mg/mm3
Für homogene Körper ist die Dichte
eine vom Ort unabhängige Größe.
Dichte
A1
A2
11
1.1 Einheiten im Messwesen
Va
Ve
Einheiten im Messwesen
Größen und Einheiten (Fortsetzung)
Größe
Formelzeichen
Einheit
Zeichen
Name
Bemerkung
Anwendungsbeispiele
Beziehung
M
Mechanik
Trägheitsmoment, Massenmoment
2. Grades
Kraft
Kilogramm
mal Meter
hoch zwei
kg · m2 Für homogene Körper gilt:
J = r · r2 · V
F
Newton
N
Die Kraft 1 N bewirkt bei der Masse
= 1 kg ·2 m = 1 J
1 kg in 1 s eine Geschwindigkeitsändem
s
3
1 MN = 10 kN = 1 000 000 N rung von 1 m/s.
Newton
mal Meter
N·m
2
1 N · m = 1 kg ·2m
s
1 N · m ist das Moment, das eine Kraft
von 1 N bei einem Hebelarm von 1 m
bewirkt.
Der Impuls ist das Produkt aus Masse
mal Geschwindigkeit. Er hat die Richtung der Geschwindigkeit.
Gewichtskraft
FG, G
Drehmoment
Biegemoment
Torsionsmoment
M
Mb
M T, T
1N
Impuls
p
Kilogramm
mal Meter
pro Sekunde
kg · m/s 1 kg · m/s = 1 N · s
Druck
p
Pascal
Pa
mechanische
Spannung
Flächenmoment
2. Grades
Das (Massen-)Trägheitsmoment hängt
neben der Gesamtmasse des Körpers
auch von dessen Form und der Lage
der Drehachse ab.
J
s, t
I
1 Pa = 1 N/m2 = 0,01 mbar
1 bar = 100 000 N/m2
= 10 N/cm2 = 105 Pa
1 mbar = 1 hPa
1 N/mm2 = 10 bar = 1 MN/m2
= 1 MPa
1 daN/cm2 = 0,1 N/mm2
Unter Druck versteht man die Kraft je
Flächeneinheit. Für Überdruck wird
das Formelzeichen pe verwendet (DIN
1314).
1 bar = 14,5 psi (pounds per square
inch = Pfund pro Quadratinch)
Meter hoch vier m4
cm4
Zentimeter
hoch vier
1 m4 = 100 000 000 cm4
früher: Flächenträgheitsmoment
Newton
N/mm2
pro Millimeter
hoch zwei
P
K
F
Energie,
Arbeit,
Wärmemenge
E, W
Joule
J
1J =1N·m=1W·s
= 1 kg · m2/s2
Joule für jede Energieart, kW · h
bevorzugt für elektrische Energie.
Leistung,
Wärmestrom
P
G
Watt
W
1 W = 1 J/s = 1 N · m/s
= 1 V · A = 1 m2 · kg/s3
Leistung beschreibt die Arbeit, die in
einer bestimmten Zeit verrichtet wurde.
t
Sekunde
Minute
Stunde
Tag
Jahr
s
min
h
d
a
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 3600 s
1 d = 24 h = 86 400 s
Hertz
Hz
1 Hz = 1/s
Zeit
Zeit,
Zeitspanne,
Dauer
Frequenz
f, v
Drehzahl,
Umdrehungsfrequenz
n
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
Beschleunigung
w
a, g
1 pro Sekunde 1/s
1 pro Minute
1/min
Meter pro
Sekunde
Meter pro
Minute
Kilometer pro
Stunde
m/s
3 h bedeutet eine Zeitspanne (3 Std.),
3h bedeutet einen Zeitpunkt (3 Uhr).
Werden Zeitpunkte in gemischter
Form, z. B. 3h24m10s geschrieben, so
kann das Zeichen min auf m verkürzt
werden.
1 Hz ‡ 1 Schwingung in 1 Sekunde.
= 60/min = 60
1/min = 1 min–1 = 1
60 s
Die Anzahl der Umdrehungen pro
Zeiteinheit ergibt die Drehzahl, auch
Drehfrequenz genannt.
1 m/s
Geschwindigkeit bei der Seefahrt in
Knoten (kn):
1 kn = 1,852 km/h
1/s
= 60 m/min
= 3,6 km/h
m/min 1 m/min = 1 m
60 s
km/h
1 km/h = 1 m
3,6 s
min–1
mile per hour = 1 mile/h = 1 mph
1 mph = 1,60934 km/h
1 pro Sekunde 1/s
Radiant pro
rad/s
Sekunde
w=2p·n
Bei einer Drehzahl von n = 2/s beträgt
die Winkelgeschwindigkeit w = 4 p/s.
Meter pro
Sekunde
hoch zwei
1 m/s2 = 1 m/s
1s
Formelzeichen g nur für Fallbeschleunigung.
g = 9,81 m/s2 fi 10 m/s2
m/s2
A
A1
A2
Va
Ve
12
1.1 Einheiten im Messwesen
Einheiten im Messwesen
Größen und Einheiten (Fortsetzung)
M
Einheit
Zeichen
Name
Formelzeichen
Größe
Bemerkung
Anwendungsbeispiele
Beziehung
Elektrizität und Magnetismus
P
Elektrische
Stromstärke
Elektr. Spannung
Elektr. Widerstand
Elektr. Leitwert
Ampere
Volt
A
V
1 V = 1 W/1 A = 1 J/C
R
G
Ohm
Siemens
O
S
1 O = 1 V/1 A
1 S = 1 A/1 V = 1/O
r
Ohm mal
Meter
Siemens
pro Meter
O·m
10–6 O · m = 1 O · mm2/m
f
Hertz
Hz
1 Hz
= 1/s
1000 Hz = 1 kHz
Frequenz öffentlicher Stromnetze:
EU 50 Hz, USA 60 Hz
Elektr. Arbeit
W
Joule
J
1J
=1W·s=1N·m
1 kW · h = 3,6 MJ
1 W · h = 3,6 kJ
In der Atom- und Kernphysik wird die
Einheit eV (Elektronenvolt) verwendet.
Phasenverschiebungswinkel
j
–
–
für Wechselstrom gilt:
cos j = P
U·I
Winkel zwischen Strom und Spannung
bei induktiver oder kapazitiver Belastung.
Elektr. Feldstärke
Elektr. Ladung
Elektr. Kapazität
Induktivität
E
Q
C
L
Volt pro Meter
Coulomb
Farad
Henry
V/m
C
F
H
F
Q
1 C = 1 A · 1 s; 1 A · h = 3,6 kC E , C , Q = I · t
Q
U
1 F = 1 C/V
1 H = 1 V · s/A
Leistung
Wirkleistung
P
Watt
W
1 W = 1 J/s = 1 N · m/s
=1V·A
Spezifischer
Widerstand
Leitfähigkeit
Frequenz
K
F
Die bewegte elektrische Ladung nennt
man Strom. Die Spannung ist gleich
der Potentialdifferenz zweier Punkte im
elektrischen Feld. Den Kehrwert des
elektrischen Widerstands nennt man
elektrischen Leitwert.
I
U
g, k
S/m
1
7 · mm2
in
O
m
1
m
O in
V
7 · mm2
V
In der elektrischen Energietechnik:
Scheinleistung S in V · A
Thermodynamik und Wärmeübertragung
Formelzeichen
Größe
A
Thermodynamische
Temperatur
CelsiusTemperatur
Einheit
Zeichen
Name
Bemerkung
Anwendungsbeispiele
Beziehung
T, Q
Kelvin
K
0 K = – 273,15 °C
t, h
Grad Celsius
°C
0 °C = 273,15 K
0 °C = 32 °F
0 °F = – 17,77 °C
J
1J =1W·s=1N·m
1 kW · h = 3 600 000 J = 3,6 MJ
1 kcal ‡ 4,1868 kJ
1 MJ/kg = 1 000 000 J/kg
Freiwerdende Wärmeenergie je kg
(bzw. je m3) Brennstoff abzüglich der
Verdampfungswärme des in den
Abgasen enthaltenen Wasserdampfes.
Wärmemenge
Q
Joule
Spezifischer
Heizwert
Hu
Joule pro
J/kg
Kilogramm
Joule pro
J/m3
Meter hoch drei
1
MJ/m3
= 1 000 000
Kelvin (K) und Grad Celsius (°C) werden für Temperaturen und Temperaturdifferenzen verwendet.
t = T – T0; T0 = 273,15 K
Umrechnung in °F: Seite 49
J/m3
Einheiten außerhalb des Internationalen Einheitensystems SI
Länge
Fläche
1 inch (in) = 25,4 mm
1 sq.in
= 6,452 cm2
1 cu.in
= 16,39 cm3
1 oz
= 28,35 g
1 PSh
= 0,735 kWh
1 foot (ft) = 0,3048 m
1 sq.ft
= 9,29 dm2
1 cu.ft
= 28,32 dm3
1 lb
= 453,6 g
1 PS
= 0,7355 kW
1 sq.yd
= 0,8361 m2
1 cu.yd
= 764,6 dm3
1t
= 1000 kg
1 kcal
= 4186,8 Ws
1 acre
= 4046,856
m2
1 gallon
1 (US) = 3,785 —
1 short
ton
1 kcal
= 1,166 Wh
= 907,2 kg
1 gallon
1 (UK) = 4,546 —
1 Karat
= 0,2 g
1 yard
(yd)
1 Seemeile
= 0,9144 m
= 1,852 km
1 USLandmeile = 1,6093 km
Volumen
Druck, Spannung
1 bar
= 14,5
pound/in2
1 N/mm2 = 145,038
pound/in2
Masse
1 barrel = 158,8 —
Energie, Leistung
1 pound/in3 = 27,68
g/cm3
1 kpm/s = 9,807 W
1 Btu
= 1055 Ws
1 hp
= 745,7 W
A1
A2
13
1.2 Formeln
Va
Ve
Formelzeichen, mathematische Zeichen
Formelzeichen
Formelzeichen
Bedeutung
vgl. DIN 1304-1 (1994-03)
Formelzeichen
Bedeutung
Formelzeichen
r, R
d, D
A, S
V
Radius
Durchmesser
Fläche, Querschnittsfläche
Volumen
a, b, g
≈
l
ebener Winkel
Raumwinkel
Wellenlänge
Kraft
Gewichtskraft
Drehmoment
Torsionsmoment
Biegemoment
Normalspannung
Schubspannung
Dehnung
Elastizitätsmodul
G
μ, f
W
I
W, E
Wp, Ep
Wk, E k
P
n
Schubmodul
Reibungszahl
Widerstandsmonent
Flächenmoment 2. Grades
Arbeit, Energie
potenzielle Energie
kinetische Energie
Leistung
Wirkungsgrad
f, v
v, u
w
Frequenz
Geschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit
a
g
a
·
Q, V, qv
Beschleunigung
örtliche Fallbeschleunigung
Winkelbeschleunigung
Volumenstrom
L
R
r
g, k
Induktivität
Widerstand
spezifischer Widerstand
elektrische Leitfähigkeit
X
Z
j
N
Blindwiderstand
Scheinwiderstand
Phasenverschiebungswinkel
Windungszahl
Bedeutung
M
Länge, Fläche, Volumen, Winkel
Œ
b
h
s
Länge
Breite
Höhe
Weglänge
Mechanik
m
m*
m+
r
J
p
pabs
pamb
pe
Masse
längenbezogene Masse
flächenbezogene Masse
Dichte
Trägheitsmoment
Druck
absoluter Druck
Atmosphärendruck
Überdruck
F
FG, G
M
M T, T
Mb
s
t
e
E
Zeit
t
T
n
Zeit, Dauer
Periodendauer
Umdrehungsfrequenz,
Drehzahl
P
K
Elektrizität
Q
U
C
I
Ladung, Elektrizitätsmenge
Spannung
Kapazität
Stromstärke
Wärme
T, Q
thermodynamische
Temperatur
DT, Dt, Dh Temperaturdifferenz
t, h
Celsius-Temperatur
Längenausdehnungsa —, a
koeffizient
Q
l
a
k
Wärme, Wärmemenge
Wärmeleitfähigkeit
Wärmeübergangskoeffizient
Wärmedurchgangskoeffizient
·
G, Q
a
c
Hu
F
Wärmestrom
Temperaturleitfähigkeit
spezifische Wärmekapazität
spezifischer Heizwert
Licht, elektromagnetische Strahlung
Ev
Beleuchtungsstärke
f
n
Brennweite
Brechzahl
Schalldruck
Schallgeschwindigkeit
LP
I
Schalldruckpegel
Schallintensität
Ie
Q e, W
Strahlstärke
Strahlungsenergie
Akustik
p
c
N
LN
Mathematische Zeichen
Math.
Zeichen
fi
‡
…
6
=
Ï
def
==
<
‰
>
›
+
–
·
–, /, :
V
Lautheit
Lautstärkepegel
vgl. DIN 1302 (1999-12)
Sprechweise
Math.
Zeichen
ungefähr gleich, rund, etwa
entspricht
und so weiter
unendlich
gleich
ungleich
ist definitionsgemäß gleich
kleiner als
kleiner oder gleich
größer als
größer oder gleich
plus
minus
mal, multipliziert mit
durch, geteilt durch, zu, pro
Summe
,
ax
03
n
03
æxæ
o
ø
ΩΩ
Ωº
@
™
9
Dx
%
‰
Sprechweise
Math.
Zeichen
Sprechweise
proportional
a hoch x, x-te Potenz von a
Quadratwurzel aus
n-te Wurzel aus
Betrag von x
senkrecht zu
ist parallel zu
gleichsinnig parallel
gegensinnig parallel
Winkel
Dreieck
kongruent zu
Delta x
(Differenz zweier Werte)
Prozent, vom Hundert
Promille, vom Tausend
log
lg
ln
e
sin
cos
tan
cot
(), [], { }
Logarithmus (allgemein)
dekadischer Logarithmus
natürlicher Logarithmus
Eulersche Zahl (e = 2,718281…)
Sinus
Kosinus
Tangens
Kotangens
runde, eckige, geschweifte
Klammer auf und zu
pi (Kreiszahl = 3,14159 …)
p
AB
B
A£
a*, a+
a1, a2
Strecke AB
Bogen AB
a Strich, a zwei Strich
a eins, a zwei
A
A1
A2
Va
Ve
14
1.2 Formeln
Formeln, Gleichungen, Diagramme
Formeln
M
Die Berechnung physikalischer Größen erfolgt meist über Formeln. Sie bestehen aus:
• Formelzeichen, z. B. vc für die Schnittgeschwindigkeit, d für den Durchmesser,
n für die Drehzahl
• Operatoren (Rechenvorschriften), z. B. · für Multiplikation, + für Addition,
– für Subtraktion, –– (Bruchstrich) für Division
• Konstanten, z. B. p (pi) = 3,14159 …
• Zahlen, z. B. 10, 15 …
P
Formel für die Schnittgeschwindigkeit
vc = p · d · n
Die Formelzeichen (Seite 13) sind Platzhalter für Größen. Bei der Lösung von Aufgaben
werden die bekannten Größen mit ihren Einheiten in die Formel eingesetzt. Vor oder
während der Berechnung werden die Einheiten so umgeformt, dass
• der Rechengang möglich wird oder
• das Ergebnis die geforderte Einheit erhält.
Die meisten Größen und ihre Einheiten sind genormt (Seite 10).
Das Ergebnis ist immer ein Zahlenwert mit einer Einheit, z. B. 4,5 m, 15 s
Beispiel:
Wie groß ist die Schnittgeschwindigkeit vc in m/min für d = 200 mm und n = 630/min?
K
vc = p · d · n = p · 200 mm · 630
1
1m
1
m
= p · 200 mm ·
· 630
= 395,84
min
1000 mm
min
min
Zahlenwertgleichungen
Zahlenwertgleichungen sind Formeln, in welche die üblichen Umrechnungen von Einheiten bereits eingearbeitet sind. Bei ihrer Anwendung ist zu beachten:
Die Zahlenwerte der einzelnen Größen dürfen nur in der vorgeschriebenen Einheit verwendet werden.
F
• Die Einheiten werden bei der Berechnung nicht mitgeführt.
• Die Einheit der gesuchten Größe ist vorgegeben.
Wie groß ist das Drehmoment M eines Elektromotors mit der Antriebsleistung
P = 15 kW und der Drehzahl n = 750/min?
9550 · P
n
9550 · P 9550 · 15
=
N · m = 191 N · m
n
750
Bezeichnung
Einheit
M Drehmoment N · m
P Leistung
kW
n Drehzahl
1/min
Gleichungen und Diagramme
Bei Funktionsgleichungen ist y die Funktion von x, mit x als unabhängige und y als
abhängige Variable. Die Zahlenpaare (x, y ) einer Wertetabelle bilden ein Diagramm im
x-y -Koordinatensystem.
1. Beispiel:
y = 0,5 x + 1
Beispiel:
y = 0,5x+1
3
x
y
y
2
–1
–1
1
2
3
x
800 000
Gewinnschwelle (Gs)
600 000
400 000
0
t
us
200 000
rl
Ve
0
y = f(x)
Lineare Funktion
0
1
2
2
3
2,5
2. Beispiel:
Kostenfunktion und Erlösfunktion
KG = 60 €/Stck · M + 200 000 €
E = 110 €/Stck · M
b =1
–2
–2
0
Zuordnungsfunktion
y=m·x+b
m = 0,5
1
Kosten bzw. Erlös
A
M=
vorgeschriebene Einheiten
Beispiel:
M=
Zahlenwertgleichung
für das Drehmoment
Erlös
M
KG
E
n
win
Ge
Gesamtkosten
variable Kosten
fixe Kosten
2000
4000 Stück 6000
Menge
KG
M
Kf
Kv
E
0
200 000
0
4 000
440 000
440 000
6 000
560 000
660 000
Gesamtkosten ∫ abhängige Variable
Menge ∫ unabhängige Variable
Fixe Kosten ∫ y-Koordinatenabschnitt
Variable Kosten ∫ Steigung der Funktion
Erlös ∫ abhängige Variable
Beispiele:
Kostenfunktion
KG = KV · M + Kf
Erlösfunktion
E = E/Stück · M
A1
A2
15
1.2 Formeln
Va
Ve
Umstellen von Formeln
Umstellen von Formeln
Formeln und Zahlenwertgleichungen werden umgestellt, damit die gesuchte Größe
allein auf der linken Seite der Gleichung steht. Dabei darf sich der Wert der linken und
der rechten Formelseite nicht ändern. Für alle Schritte einer Formelumstellung gilt:
Veränderungen auf der
linken Formelseite
=
Veränderungen auf der
rechten Formelseite
Formel
M
P = F·s
t
linke
rechte
Formel- = Formelseite
seite
Zur Rekonstruktion der einzelnen Schritte ist es sinnvoll, jeden Schritt rechts neben der
Formel zu kennzeichnen:
P
æ· t ∫ beide Formelseiten werden mit t multipliziert.
æ: F ∫ beide Formelseiten werden durch F dividiert.
Umstellung von Summen
Beispiel: Formel L = Œ1 + Œ2, Umstellung nach Œ2
1 L = Œ1 + Œ2
æ– Œ1
2 L – Œ1 = Œ1+ Œ2 – Œ1
Œ1 subtrahieren
3 L – Œ1 = Œ2
Seiten vertauschen
subtrahieren
durchführen
4 Œ2 = L – Œ1
umgestellte Formel
dividieren durch b
3 A=Œ
b
Seiten vertauschen
kürzen mit b
4 Œ=A
b
umgestellte Formel
K
Umstellung von Produkten
Beispiel: Formel A = Œ · b, Umstellung nach Œ
1 A=Œ·b
æ: b
2 A= Œ·b
b
b
F
Umstellung von Brüchen
Beispiel: Formel n =
Œ
1 n=
Œ1 + s
Œ
, Umstellung nach s
Œ1 + s
A
subtrahieren
æ: n
dividieren durch n
mit (Œ1 + s)
multiplizieren
4 n · Œ1 – n · Œ1 + n · s = Œ – n · Œ1
2 n · (Œ1 + s) = Œ · (Œ1 + s)
(Œ1 + s)
rechte Formelseite
kürzen
Klammer auflösen
5 s · n = Œ – n · Œ1
n
n
kürzen mit n
3 n · Œ1 + n · s = Œ
– n · Œ1 subtrahieren
6 s = Œ – n · Œ1
n
umgestellte Formel
æ· (Œ1 + s)
æ– n · Œ1
Umstellung von Wurzeln
Beispiel: Formel c = 122222
a 2 + b22, Umstellung nach a
a2 + b2
1 c = 122222
æ( )2
Formel
quadrieren
4 a2 = c2 – b2
2 c2 = a2 + b2
æ– b2
b2 subtrahieren
5
2 – b2
c22
a22 = 12
12
222
subtrahieren,
Seite tauschen
6
2 – b2
a = 12
c22
222
3 c2 – b2 = a2 + b2 – b2
æ12 radizieren
Ausdruck
vereinfachen
umgestellte Formel
A1
A2
Va
Ve
16
1.2 Formeln
Größen und Einheiten
Zahlenwerte und Einheiten
M
Physikalische Größen, z. B. 125 mm, bestehen aus einem
Physikalische Größe
• Zahlenwert, der durch Messung oder Berechnung ermittelt wird, und aus einer
• Einheit, z. B. m, kg
10 mm
Die Einheiten sind nach DIN 1301-1 genormt (Seite 10).
Zahlenwert
Sehr große oder sehr kleine Zahlenwerte lassen sich über Vorsatzzeichen als dezimale Vielfache oder Teile vereinfacht darstellen, z. B. 0,004 mm = 4 µm.
Einheit
Dezimale Vielfache oder Teile von Einheiten
P
K
F
VorsatzName
Zeichen
Zehnerpotenz
vgl. DIN 1301-2 (1978-02)
Mathematische
Bezeichnung
Beispiele
T
Tera
1012
Billion
12 000 000 000 000 N = 12 · 1012 N = 12 TN (Tera-Newton)
G
Giga
109
Milliarde
45 000 000 000 W = 45 · 109 W = 45 GW (Giga-Watt)
M
Mega
106
Million
8 500 000 V = 8,5 · 106 V = 8,5 MV (Mega-Volt)
k
Kilo
103
Tausend
12 600 W = 12,6 · 103 W = 12,6 kW (Kilo-Watt)
h
Hekto
102
Hundert
500 — = 5 · 102 — = 5 h— (Hekto-Liter)
da
Deka
101
Zehn
32 m = 3,2 · 101 m = 3,2 dam (Deka-Meter)
–
–
100
Eins
1,5 m = 1,5 · 100 m
d
Dezi
10–1
Zehntel
0,5 — = 5 · 10–1 — = 5 d— (Dezi-Liter)
c
Zenti
10–2
Hundertstel
0,25 m = 25 · 10–2 m = 25 cm (Zenti-Meter)
m
Milli
10–3
Tausendstel
0,375 A = 375 · 10–3 A = 375 mA (Milli-Ampere)
µ
Mikro
10–6
Millionstel
0,000 052 m = 52 · 10–6 m = 52 µm (Mikro-Meter)
n
Nano
10–9
Milliardstel
0,000 000 075 m = 75 · 10–9 m = 75 nm (Nano-Meter)
p
Piko
10–12
Billionstel
0,000 000 000 006 F = 6 · 10–12 F = 6 pF (Pico-Farad)
Umrechnung von Einheiten
Berechnungen mit physikalischen Größen sind nur dann möglich, wenn sich ihre Einheiten jeweils auf eine Basis
beziehen. Bei der Lösung von Aufgaben müssen Einheiten häufig auf Basiseinheiten umgerechnet werden, z. B.
mm in m, h in s, mm2 in m2. Dies geschieht durch Umrechnungsfaktoren, die den Wert 1 (kohärente Einheiten) darstellen.
Umrechnungsfaktoren für Einheiten (Auszug)
A
Größe
Umrechnungsfaktoren, z. B.
Größe
Umrechnungsfaktoren, z. B.
Längen
1m
1 = 10 mm = 1000 mm =
= 1 km
1 cm
1m
1000 mm 1000 m
Zeit
1 = 60 min = 3600 s = 60 s = 1 min
1h
1h
1 min
60 s
Flächen
2
2
2
2
= 100 cm
= 1 cm = 1 dm
1 = 100 mm
1 cm2
1 dm2
100 mm2 100 cm2
Winkel
1 = 60’ = 60’’ = 3600’’ = 1°
1°
1’
1°
60 s
Volumen
3
3
3
3
= 1000 cm
= 1 cm
= 1 dm
1 = 1000 mm
1 cm3
1 dm3
1000 mm3 1000 cm3
Zoll
1 inch = 25,4 mm; 1 mm =
1 inch
25,4
1. Beispiel:
Das Volumen V = 3416 mm3 ist in cm3 umzurechnen.
Das Volumen V wird mit dem Umrechnungsfaktor multipliziert, der im Zähler die Einheit cm3 und im Nenner die
Einheit mm3 aufweist.
V = 3416 mm3 =
1 cm3 · 3416 mm3 3416 cm3
=
= 3,416 cm3
1000 mm3
1000
2. Beispiel:
Die Winkelangabe a = 42° 16’ ist in Grad (°) auszudrücken.
Der Teilwinkel 16’ muss in Grad (°) umgewandelt werden. Er wird mit dem Umrechnungsfaktor multipliziert, der
im Zähler die Einheit Grad (°) und im Nenner die Einheit Minute (’) hat.
␣ = 42° + 16’ ·
1°
16 · 1°
= 42° +
= 42° + 0,267° = 42,267°
60’
60
A1
A2
17
1.2 Formeln
Va
Ve
Rechnen mit Größen, Prozentrechnung, Zinsrechnung
Rechnen mit Größen
Physikalische Größen werden mathematisch behandelt wie Produkte.
• Addition und Subtraktion
Bei gleichen Einheiten werden die Zahlenwerte addiert und die Einheit im
Ergebnis übernommen.
M
Regeln beim
Potenzieren
a
m, n …
Basis
Exponenten
Beispiel:
L = Œ1 + Œ2 – Œ3 mit Œ1 = 124 mm, Œ2 = 18 mm, Œ3 = 44 mm; L = ?
Multiplikation von
Potenzen
L = 124 mm + 18 mm – 44 mm = (124 + 18 – 44) mm = 98 mm
a2 · a3 = a2+3
Die Zahlenwerte und die Einheiten entsprechen den Faktoren von
Produkten.
Beispiel:
Division von
Potenzen
a2
= a2–3
a3
F1 · Œ1 = F2 · Œ2 mit F1 = 180 N, Œ1 = 75 mm, Œ2 = 105 mm; F2 = ?
F2 =
P
am · an = am+n
• Multiplikation und Division
N · mm
F1 · Œ1 180 N · 75 mm
=
= 128,57
= 128,57 N
105 mm
mm
Œ2
am
= am–n
an
K
• Multiplizieren und Dividieren von Potenzen
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert bzw. dividiert, indem die
Exponenten addiert bzw. subtrahiert werden.
Sonderformen
a –2 =
Beispiel:
W=
A · a2 mit A = 15 cm2, a = 7,5 cm, e = 2,4 cm; W = ?
e
W=
15 cm2 · (7,5 cm)2 = 15 · 56,25 cm2+2 = 351,56 cm4–1 = 351,56 cm3
2,4 cm
2,4 cm1
a–m =
a1 = a
1
a2
1
am
a0 = 1
F
Prozentrechnung
Der Prozentsatz gibt den Teil des Grundwertes in Hundertstel an.
Der Grundwert ist der Wert, von dem die Prozente zu rechnen sind.
Der Prozentwert ist der Betrag, den die Prozente des Grundwertes ergeben.
Ps Prozentsatz, Prozent
Pw Prozentwert
Prozentwert
Pw =
Gw Grundwert
Gw · Ps
100 %
A
Beispiel:
Werkstückrohteilgewicht 250 kg (Grundwert); Abbrand 2 % (Prozentsatz)
Abbrand in kg = ? (Prozentwert)
G ·P
250 kg · 2 % = 5 kg
Pw = w s =
100 %
100 %
Zinsrechnung
K0
Kt
Anfangskapital
Endkapital
Z
p
Zinsen
Zinssatz pro Jahr
K0 = 2800,00 €; p = 6
% ; t = ½ a; Z = ?
a
2800,00 € · 6 %
a · 0,5 a
= 84,00 €
100 %
2. Beispiel:
% ; t = 50 d; Z = ?
a
· 50 d
= 34,00 €
d
K0 = 4800,00 €; p = 5,1
Z=
Laufzeit in Tagen,
Verzinsungszeit
Zins
Z=
1. Beispiel:
Z=
t
4800,00 € ·
5,1 %
a
100 % · 360
a
K0 · p · t
100 % · 360
1 Zinsjahr (1 a) = 360 Tage (360 d)
360 d = 12 Monate
1 Zinsmonat = 30 Tage
A1
A2
Va
Ve
18
1.3 Winkel und Dreiecke
Winkelarten, Strahlensatz, Winkel im Dreieck, Satz des Pythagoras
Winkelarten
M
g
Gerade
g1, g2 parallele Geraden
¿
g2
¶
å
a, b
Stufenwinkel
b, d
Scheitelwinkel
a, d
Wechselwinkel
a, g
Nebenwinkel
Stufenwinkel
a=b
Scheitelwinkel
b=d
Wechselwinkel
©
g1
P
g
Werden zwei Parallelen durch eine Gerade geschnitten,
so bestehen unter den dabei gebildeten Winkeln geometrische Beziehungen.
a=d
Nebenwinkel
a + g = 180°
Strahlensatz
tta Torsionsspannung außen
tti Torsionsspannung innen
K
Werden zwei Geraden durch zwei Parallelen geschnitten, so bilden die zugehörigen Strahlenabschnitte gleiche Verhältnisse.
a2
a1
Beispiel:
†ta
†ti
b1
D
d
b2
D = 40 mm, d = 30 mm,
tta = 135 N/mm2; tti = ?
=
d
a1 b1 2
a2 b2 D
2
a1 a2
=
b1 b2
tti d
t ·d
π tti = ta
=
tta D
D
F
Strahlensatz
b1 b2
=
d D
135 N/mm2 · 30 mm
= 101,25 N/mm2
40 mm
Winkelsumme im Dreieck
©
a
Winkelsumme
im Dreieck
Dreieckseiten
Winkel im Dreieck
a + b + g = 180°
Beispiel:
å
¿
b
A
a, b, c
a, b, g
a = 21°, b = 95°, g = ?
c
␥ = 180° – a – b = 180° – 21° – 95° = 64°
In jedem Dreieck ist die
Winkelsumme 180°.
Lehrsatz des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat
flächengleich der Summe der beiden Kathetenquadrate.
a Kathete
b Kathete
c Hypotenuse
2
a
b2
bc a
Quadrat über
der Hypotenuse
c2 = a2 + b2
1. Beispiel:
c2
Länge der Hypotenuse
c 35 mm; a = 21 mm; b = ?
b=
c2
– a2
(35
mm)2
– (21 mm)2
28 mm
c a2 b2
2. Beispiel:
CNC-Programm mit R = 50 mm und I = 25 mm.
K=?
P2
c2
G0
3
R K
I
a2
b2
R2 I 2 K 2
P1 X
Z
K R 2 – I 2 502 mm2 – 252 mm2
K 43,, 3 mm
Länge der Katheten
a c 2 – b2
b c 2 – a2
A1
A2
19
1.3 Winkel und Dreiecke
Va
Ve
Funktionen im Dreieck
Funktionen im rechtwinkligen Dreieck (Winkelfunktionen)
c Hypotenuse
a Gegenkathete
von å
å
b Ankathete von å
¿
c Hypotenuse
a Ankathete
von ¿
b Gegenkathete von ¿
c
a, b
Hypotenuse (längste Seite)
Katheten
Bezogen auf den Winkel a ist
– b die Ankathete und
– a die Gegenkathete
a, b, g Winkel im Dreieck, mit g = 90°
sin
Schreibweise für Sinus
cos
Schreibweise für Kosinus
tan
Schreibweise für Tangens
sina Sinus des Winkels a
1. Beispiel
L3 = 140mm
Winkelfunktionen
Sinus
Gegenkathete
=
Hypotenuse
Kosinus
=
Tangens =
M
Ankathete
Hypotenuse
Gegenkathete
Ankathete
Bezogen auf den Winkel a ist:
P
sin a = a cos a = b tan a = a
c
c
b
L1 = 150 mm, L2 = 30 mm, L3 = 140 mm;
Winkel a = ?
L
L1 = 150 mm
Bezogen auf den Winkel b ist:
L2= 30 mm
å
ß
F
tan a =
L1 + L2 = 180 mm = 1,286
L3
140 mm
sin b = b cos b = a tan b = b
c
c
a
Winkel ␣ = 52°
2. Beispiel
L1 = 150 mm, L2 = 30 mm, a = 52°;
Länge des Stoßdämpfers L = ?
L=
K
Die Berechnung eines Winkels
in Grad (°) oder als Bogenmaß
(rad) erfolgt mit der Arcus-Funktion, z. B. arc sin.
L1 + L2 = 180 mm = 228,42 mm
sin a
sin 52°
F
Funktionen im schiefwinkligen Dreieck (Sinussatz, Kosinussatz)
©
a
å
¿
b
Im Sinussatz entsprechen die Seitenverhältnisse dem Sinus der entsprechenden
Gegenwinkel im Dreieck. Aus einer Seite
und zwei Winkeln lassen sich die anderen
Werte berechnen.
Seite a ∫ Gegenwinkel a
Seite b ∫ Gegenwinkel b
Seite c ∫ Gegenwinkel g
c
Beispiel
Fz
40}
Fd
a = b = c
sin a sin b sin g
Vielfältige Umstellungen sind
möglich:
12}
F = 800 N, a = 40°, b = 38°; Fz = ?, Fd = ?
a = b · sin a = c · sin a
sin b
sin g
Die Berechnung erfolgt jeweils aus dem
Kräfteplan.
b = a · sin b = c · sin b
sin a
sin g
F = Fz π F = F · sin b
z
sin a sin b
sin a
c = a · sin g = b · sin g
sin a
sin b
Fz =
F
Sinussatz
a : b : c = sin a : sin b : sin g
800 N · sin 38° = 766,24 N
sin 40°
Kosinussatz
F = Fd π F = F · sin j
d
sin a sin j
sin a
Kräfteplan
F
Fd =
ß=38
Fz
12}
}
40
å=
Fd
©=
10
2}
}
800 N · sin 102° = 1217,38 N
sin 40°
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos a
b2 = a2 + c2 – 2 · a · c · cos b
c2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos g
Die Berechnung eines Winkels in Grad (°)
oder als Bogenmaß (rad) erfolgt mit der Umstellung, z. B.
Arcus-Funktion, z. B. arc cos.
2
2
2
cos a = b + c – a
2·b·c
A
A1
A2
Va
Ve
20
1.4 Längen
Teilung von Längen, Bogenlänge, zusammengesetzte Länge
Teilung von Längen
M
Œ Gesamtlänge
p Teilung
Randabstand = Teilung
p
p
p
n Anzahl der Bohrungen
Teilung
p=
p
Beispiel:
Œ
n+1
Π= 2 m; n = 24 Bohrungen; p = ?
p=
l
Π= 2000 mm = 80 mm
24 + 1
n+1
P
Randabstand ÍTeilung
p
p
p
Œ Gesamtlänge
p Teilung
n
Anzahl der Bohrungen
a, b Randabstände
p
Teilung
p=
Beispiel:
a
Π= 1950 mm; a = 100 mm; b = 50 mm;
n = 25 Bohrungen; p = ?
b
l
K
p=
ΠР(a + b) = 1950 mm Р150 mm = 75 mm
25 – 1
n–1
Œ Stablänge
z Anzahl der Teile
Œs Teillänge
Trennung von Teilstücken
l
lR
s Sägeschnittbreite
ŒR Restlänge
z=
Œ = 6 m; Œs = 230 mm; s = 1,2 mm; z = ?; ŒR = ?
6000 mm
Π=
= 25,95 = 25 Teile
z =
Œs + s 230 mm + 1,2 mm
s
Anzahl der Teile
Œ
Œs + s
Beispiel:
F
ls
ΠР(a + b)
n–1
s
Restlänge
ŒR = Œ – z · (Œs + s)
œR = Œ – z · (Œs + s) = 6000 mm – 25 · (230 mm + 1,2mm)
= 220 mm
Bogenlänge
ŒB Bogenlänge
r Radius
å
d
Bogenlänge
ŒB =
p·r·a
180°
ŒB =
p·d·a
360°
Beispiel:
r
r = 36 mm; a = 120°; ŒB = ?
p · r · a = p · 36 mm · 120° = 75,36 mm
œB =
180°
180°
Zusammengesetzte Länge
D
dm
Œ1, Œ2
a
l2
Außendurchmesser
mittlerer Durchmesser
Teillängen
Mittelpunktswinkel
d Innendurchmesser
s Dicke
L zusammengesetzte
Länge
Beispiel (Zusammengesetzte Länge, Bild links):
s
D
dm
d
A
a Mittelpunktswinkel
d Durchmesser
lB
Beispiel: Schenkelfeder
D = 360 mm; s = 5 mm; a = 270°; Œ2 = 70 mm;
dm = ?; L = ?
å
dm = D – s = 360 mm – 5 mm = 355 mm
l1
p · dm · a
+ Œ2
360°
p · 355 mm · 270°
=
+ 70 mm = 906,45 mm
360°
L = Œ1 + Œ2 =
Zusammengesetzte
Länge
L = Œ1 + Œ2 + …