Grenzbedingungen und Fresnel`sche Formeln

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Integraldarstellung der makroskop. Maxwellgleichungen 1
V. Grenzbedingungen der makroskop. em. Felds
und Fresnelsche Formeln
1. Integraldarstellung der makroskop. Maxwellgleichungen
(a)
∇ · D = ρm , integrieren über Volumen V , Rand ∂V (Oberfläche)
Nach Satz von Gauß:
∂V
dA · D = Qm :
Nettofluß der D-Felds aus V entspricht der umschlossenen
Gesamtladung.
(b)
∇ · B = 0 analoge Rechnung :
∂V
dA · B(r) = 0:
Nettofluß für mag.Feld an einer geschlossene Oberfläche ist 0
→ es gibt keine magnet. Ladungen.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 1/28
Integraldarstellung der makroskop. Maxwellgleichungen 2
(c)
∇ × H = jm + ∂t D, integrieren über Fläche S mit Rand ∂S(Kurve)
Nach Satz von Stokes:
∂S
dr · H(r) =
S
dA · (jm + ∂t D(r)) = Im
Ampere-Maxwell-Gesetz: Linienintegral über H ergibt Gesamtstrom I m ,
der durch die umschlossene Fläche fließt.
(d)
∇ × E = −∂B, analoge Rechnung:
d
dA · B(r)
dt
∂S
S
S
Faraday-Gesetz: Induzierte elektromagnetische Kraft ist proportional der
Zeitableitung des magnetischen Flußes
(festgehaltene Leiterschleife, bewegliche später).
dr · E(r) = −
dA · ∂t B(r) = −
Grenzflächen 3
2. Makroskopische Felder an Grenzflächen 3
Integrale Gleichungen nutzen, um Stetigkeitbedingungen an Grenzflächen
zweier Medien zu bestimmen:
Tangentialebene
1
L
Medium 2
( ∆ A)
n
E 2 B 2 D2 H 2
2
V
n
t
n
n : Oberflächenormalen Vektor
t : Vekor in tangentialebene
x = xn n + x t t
E1 B1 D1 H 1
t
( ∆ e)
S
L
Medium 1
L→ 0 betrachten um Bedingung an GF anzusehen, infinitisimale Gebilde
Normale der Schleife =
ˆ Tangentiale t der Oberfläche
Grenzflächen 4
Auswertung der integralen Maxwellgleichungen:
a)
dA · D(r) =
d3 r ρ(r), Integrale berechnen, L → 0, ∆A → 0
Mantelbeitrag, Deckelbeitrag (2πR0 L, ∆A = πR02 )
2πR0 LD̄ + (D2 − D1 ) · n∆A = ∆ALρ̄, L → 0, Mittelwertsatz: D̄, ρ̄
0 + (D2 − D1 ) · n∆A = 0, falls D, ρ endlich
Falls ρ unendlich, (D2 − D1 ) · n∆A = ∆A
∆Q
= ∆Aσ =Flächeladungsdichte
ˆ
∆A
σ : Ladung pro Oberfläche
(D2 − D1 ) · n = σ
(a)Die Normalkomponente von D springt an einer Grenzfläche um die
makroskopische Flächeladungsdichte σ, ist diese Null (z.B. Dielektrikum), so
gilt: → Dn1 = Dn2 oder n · (D1 − D2 ) = 0
(b) Die Normalkomponente von B an 2 Grenzfläche ist stetig:
Rechung analog zu (a), Bn1 = Bn2 oder n · (B2 − B1 ) = 0
Grenzflächen 5
c)
∂S
dr · E(r) = −
S
dA · ∂t B, Integrale berechnen, L → 0, ∆l → 0
nach dem MWS verschwinden Linienintegrale ⊥ Oberfläche links
ebenso verschwindet die rechte Seite der Gleichung,
da ∂t B endlich vorausgesetzt
0 + E2 · (∆l(t × n)) − E1 · (∆l(t × n)) = 0
E t1 = E t2
bzw.
n × (E2 − E1 ) = 0
(letzteres folgt aus zyklischer Vertauschung: t · (n × (E 2 − E1 )) = 0)
(c) Die Tangentialkomponente von E an 2 Grenzflächen ist stetig.
Grenzflächen 6
d)
∂S
dr · H =
dA(jm + ∂t D(r)) = Iges
gesamter makroskop. Strom
S

0
m
(H2 − H1 ) · (t × n) = ∆l ∆I
∆l

=Linienstromdichte
ˆ
für endliche mak. Stromdichte
für unendl. mak. Stromdichte
m
)
(t · K = ∆I
∆l
(d) Die Tangentialkomponente von H springt an einer Oberfläche um die mak.
Linienstromdichte K: n × (H2 − H1 ) = K
Falls K = 0 (Dielektrika), so ist die Tangentialkomponente von H stetig.
n × (H2 − H1 ) = 0
bzw.
H t1 = H t2
Beispiel 7
Brechung von Feldlinien eines E-Felds im Dielektrikum
D = εE = ε0 εr E = ε0 E + P = ε0 (1 + χ)E
→ εr = n2
ϕ1
ε1
ε2
ϕ2
D n1 = D n2 ,
E t1 = E t2 ,
→
ε1 E1 cos ϕ1 = ε2 E2 cos ϕ2
E1 sin ϕ1 = E2 sin ϕ2
tan ϕ1
ε1
=
tan ϕ2
ε2
zB. für kleinen Winkel
ϕ 1 ≈ ϕ2
ε1
ε2
Die Feldlinien werden beim übergang von dichtem zu dünnem Medium
(ε1 > ε2 ) zum Lot hin gebrochen.
Achtung! man unterscheide von Ausbreitungsrichtung von Licht (k) !!
Folgerungen aus Stetigkeit 8
Licht an ebener Grenzfläche z = 0, Brechzahlen: n|n 0
einlaufende Welle, reflektierte 00 , gebrochene 0
z = 0 : x1 = x2 |z=0 (x1 , x2 seien die Normal/Tagentialkomp.d. Felder)
x01 e
i(k·r−ωt)
+
00 i(k00 ·r−ω 00 t)
x01 e
=
0
i(k0 ·r−ω 0 t)
x01 e
Da diese Bedingungen ∀ Zeit und alle Orte in der Ebene z = 0 gelten müssen,
müssen sich die Phasen der Felder heraus kürzen (1.u.2. Folgerung).
1. Folgerung ω = ω 0 = ω 00
Reflexion und Brechung ändern die Tägerfrequenz nicht.
weiterhin, da ω = ω 00 : cn k = cn k 00 → |k| = |k00 | = k
2. Folgerung
k
k · r = k00 · r gilt für alle Orte x, y in der Ebene z = 0
k = (k cos ϕ sin θ, k sin ϕ sin θ, k cos θ),
k"
r = (x, y, 0)
r’
i
ϕ
x
kx cos(π) sin(π − i) + ky sin(π) sin(π − i)
= k 00 x cos ϕ sin(π − r 0 ) + k 00 y sin ϕ sin(π − r 0 )
y
n
mit sin(π − α) = sin α
x sin i + 0 = x cos ϕ sin r 0 + y sin ϕ sin r 0
dann folgt, da die Beziehung für alle y erfüllt werden muß:
sin ϕ = 0, ϕ = 0 für alle y. also: sin(i) = sin(r 0 ), da cos(0) = 1
i.Eingestrahlter und reflektierter Strahl liegen in einer Ebene.
ii.ebenso gilt das Reflexionsgesetz:
Einfalls- und Reflexionswinkel sind gleich: r 0 = i
k · r = k0 · r, analoge Rechnung:
cn
sin(i)
sin(r)
sin(i)
n0
0
=
=
,
=
k sin(i) = k sin(r),
cn
cn0
sin(r)
cn0
n
3. Folgerung
i.Snelliussche Brechungsgesetz:
Sinusfkt. von Einfalls und Brechungswinkel verhalten sich umgekehrt wie die
Brechzahlen der Medien.
sin(r) = sin(i) nn0
Weiterhin, da wieder ϕ = 0 folgt:
ii. k, k0 , k00 liegen in einer Ebene, d.h. Einfalls-, Brechungs- und
Reflektionsebene fallen zusammen.
4. Folgerung
konkrete Auswertung der Stetigkeitbedingung ohne Phasen
a) Dn ist kontinuierlich bei z = 0:
Dn = D · n → (D + D00 ) · n = D0 · n|z=0
D = εε0 E = εε0 E0 ei(k·r−ωt)
ε(E0 + E000 ) · n = ε0 E00 · n
(z = 0)
b) Bn ist kontinuierlich bei z = 0:
Bn = B · n → (B + B00 ) · n = B0 · n|z=0
00
(k × E0 + k ×
E000 )
0
· n = (k ×
E00 )
·n
1
(B = k × E)
ω
c) Et ist kontinuierlich bei z = 0:
Et = E × n → (E + E00 ) × n = E0 × n|z=0
(E0 + E000 ) × n = E00 × n
d) Ht ist kontinuierlich bei z = 0:
Ht = E × n → (H + H00 ) × n = H0 × n|z=0
H = µµ0 B
{z
}
|
Magnetisierungseffekt
(analog zu D = 0 E )
| {z }
1
(k × E0 + k00 × E000 )
µ
Polarisationseffekt
×n=
1
0
(k
×
E
0) × n
µ0
Die Auswertung dieser Stetigkeitsbedigungen führt auf die Fresnelschen
Formeln, die das Verhältnis von reflektierter E000 bzw. gebrochener Feldstärke
E00 zur Eingangsfeldstärke E0 in Abhängigkeit der Polarisation der einfallenden
Welle beschreiben. Hat verschiedenste Anwendungen, z.B. Design von
Vielschichtsystemen, Antireflexionsbeschichtungen, photonische Kristalle ... .
Reflexion und Transmission ebener Wellen 12
3. Ableitung der Fresnelschen Formeln
Ausbreitung einer Welle durch Grenzfläche zwischen
2 Medien verschiedener Brechzahlen (n2 = χ + 1)
z
Normalvektor
der Oberfläche
1
∆E − 2 ∂t2 E0 = 0
cn0
n’−Medium
−−−−−−−−−
n−Medium
0
∆E −
1 2
∂t E = 0
c2n
(gebrochen)
k’
r
i
r’
x
k"
k
(eingestrahlt)
(reflektiert)
x−z Ebene =Einfallsebne (k, n)
eingestrahlt
E = E0 ei(k·r−ωt)
B = c1n kk × E
c2n k 2 = ω 2
gebrochen
0
0 i(k0 ·r−ω 0 t)
E = E0 e
0
B0 = c 1 0 kk0 × E0
n
2
02
cn0 k = ω 02
reflektiert
00
00 i(k00 ·r−ω 00 t)
E = E0 e
00
B00 = c1n kk00 × E00
c2n k 002 = ω 002
E und B-Felder hängen folgendermaßen zusammen:
∇ × E = −∂t B;
Ansatz:
B = B0 ei(k·r−ωt)
ik × E0 ei(k·r−ωt) = iωB00 ei(k·r−ωt)
B=
1
1 k
×E= k×E
cn k
ω
Ebene aufgespannt durch k, n ist die Einfallsebene (EFE), hier x-z Ebene
i) Polarisationsrichtung des eingestrahlten E-Felds ⊥ zur EFE
(s-polarisiert)
ii) Polarisationsrichtung des eingestrahlten E-Felds q zur EFE
(p-polarisiert)
(Der Allgemeinfall von elliptisch polarisiertem Licht kann durch Superposition
dargestellt werden)
z
i
B’
x−z Ebene
n
r
E’
x
B
k
E
i
Jetzt die Grenzbedingungen
a-d auswerten:
B"
i
E"
a,b) Die Felder bleiben in der Ebene polarisiert (E : ⊗), weil E tangential ist.
Sonst keine interessate Information, weil rein tangential ist.
c) (E0 + Eq0 ) × n = E00 × n, weil alle E⊥n.
E0 + E000 = E00
1
1 0
00
00
0
+
k
×
E
)
×
n
=
(k
×
E
(k
×
E
0
0
0 ) × n,
d)
µ
µ0
weil a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c
n×(k × E) = (n · E)k − (n · k)E, mit E⊥n folgt:
1
1
(n · k)E0 + (n · k00 )E000 = 0 (n · k0 )E00
µ
µ
k 00 00
k0 0
k
E0 cos i −
E0 cos i = 0 E0 cos r
µ
µ
µ
Aus ω = ck und Bedingung c) folgt:
−1
c 0
c−1
c−1
n
E0 cos i − n (E00 − E0 ) cos i = n0 E00 cos r
µ
µ
µ
!
−1
−1
cn0
2c−1
cn
0
cos i + 0 cos r = E0 n cos i mit
E0
µ
µ
µ
E00
=
E0
2n
cos i
µ
n
µ
cos i +
n0
µ0
cos r
=
c0
= cn folgt:
n
2n cos i
n cos i + n0 µµ0 cos r
E00
2n cos i
p
=
µ
E0
n cos i + µ0 n02 − n2 sin2 i
unter Verwendung Brechungsgesetzes für die Einsetzung von cos r :
n
sin r
= 0,
sin i
n
cos r =
r
1−
n
n0
sin i
2
1 p 02
= 0 n − n2 sin2 i)
n
um eine Darstellung in Einfallswinkel i allein zu finden
Amplitudenverhältnis bei der Brechung bei E ⊥ Einfallsebene (s-Pol.)
2n cos i
E00
p
=
µ
E0
n cos i + 0 n02 − n2 sin2 i
µ
Analog Amplitudenverhältnis bei der Reflexion:
p
µ
00
n cos i − µ0 n02 − n2 sin2 i
E0
p
=
µ
E0
n cos i + 0 n02 − n2 sin2 i
µ
Damit sind die reflektierte und die gebrochene Amplitude für die s-Polarisation
bestimmt.
Analoge Rechnung für Ek zur Einfallsebene (p-Pol.) ergibt:
ii
n’,µ’
n, µ
z
E’
x−z Ebene
n
E
B
k
i
r
Amplitudenverhältnis bei der Brechung E k
Einfallsebene (s-Pol.)
E00
2nn0 cos i
p
=
µ
02
E0
n 0 cos i + n n02 − n2 sin2 i
µ
B’ w
E"
i
B"
x
Bei der Reflexion:
p
µ
02
n µ0 cos i − n n02 − n2 sin2 i
E000
p
=
µ
02 cos i + n
02 − n2 sin2 i
E0
n
n
0
µ
Damit sind beide (s,p) Anteile bestimmt und wir erhalten eine Mgl. beliebig
polarisierte Felder durch Überlagerung von s,p an einer Grenzfläche zu
bestimmen, wenn man die Stärke des Einfallenden Felds und den
Einfallswinkel als auch die Materialkonstanten kennt.
Fresnelformeln 18
Bemerkungen
a)
Die Formeln heißen Fresnelsche Formeln.
b)
Für Felder, die sich entlang der Normalen ausbreiten (⊥ Einfall), gehen die
s-,p-Formel ineinander über, für µ = µ0 findet man:
2n
E00
,
= 0
E0
n +n
E000
n0 − n
= 0
E0
n +n
n’
n
E"0
Wenn n0 > n ist, so erleidet E000 (reflektiertes Signal) ein Phasensprung π,
da das Vorzeichen wechselt (−1 = eiπ und kann in die Gesamtphase für
das E-Feld eingebaut werden)
Fresnelformeln 19
c)
Brewsterwinkel
Polarisation k zu EFE: Es existiert ein Winkel, für den keine reflektierte
Welle existiert: “Brewsterwinkel”, daher sind alle Wellen die reflektiert
werden immer s-polarisiert, d.h. es liegt eine feste, wohldefinierte
Polarisationsrichtung vor.
Zähler bei Amplitudeverhältnis gleich “Null” setzen und ’µ = µ 0 Material
annehmen:
p
→ n cos iB = n n02 − n2 sin2 iB , n04 cos2 iB = n2 (n02 − n2 sin2 iB )
0 2
0 4
n0
n
n
2
2
cos iB =
− sin iB , (α ≡ )
n
n
n
02
Fresnelformeln 20
α4 (1 − sin2 iB ) = α2 − sin2 iB
1/2
1/2
2
α
α − α4
1 − α2
√
sin iB =
=
α
=
1 − α4
(1 − α2 )(1 + α2 )
1 + α2
x
mit arcsin √
= arctan x,
1 + x2
0
α
n
=
arctan
α
=
arctan
iB = arcsin
n
(1 + α)1/2
z.B. n0 /n = 1.5 für Glas-Luftübergang: iB = 56◦
Eine ebene Welle mit gemischter Polarisation(k, ⊥), die unter dem Brewster ^
der einfällt, ist im reflektierten Strahl komplett ⊥ zur Einfallsebene polarisiert.
(es gibt keinen parallelen Anteil.)
→ bzgl. der Erzeugung von linear polarisiertem Licht.
Fresnelformeln 21
d)
Totalreflektion
Brechungsgesetz: n > n0 → r > i, betrachten Extremfall r = π/2
die gebrochene Welle ist dann eine Oberflächenwelle auf der Grenze,
wenn man mit dem Extremfall r = π/2 bei einem festen i = i0 erreicht
π
n sin 2
sin i
sin r
n
n0
= 0,
Brechungsgesetz:
= 0 , sin i0 = , sin r =
i
n sin i0
n
n
sin i0
sin
n0
Einfallswinkel der Totalreflexion i0
→ i0 = arcsin
n
Für elek.Welle, eingestrahlt unter i = i0 gilt, daß die gebrochene Welle
sich k zur Oberfläche verbreitet
Fresnelformeln 22
jetzt allgemeine Behandlung der Totalreflexion (für i ≥ i 0 )
p
sin i
, cos r = 1 − sin2 r
sin r =
sin i0
s
2
2
sin i
sin i
für i > i0 angenommen →
>1
cos r = 1 −
sin i0
sin i0
d.h., Einstellung unter ^ größer als der Totalreflexion
s
2
sin i
−1
=i
sin i0
z
r
Betrachte die gebrochene Welle:
0
0
0
eik ·r = ei(kx x+kz z)
e
ik0 ·r
=e
ik
0
sin i
x sin
i0
e
x
(kx0 x = k 0 cos(
−k0 z
r
sin i
sin i0
k’
2
−1
π
− r)x = k 0 sin rx, kz0 z = k 0 cos rz)
2
(Skalarprodukte ausgeführt.)
Fresnelformeln 23
Die gebrochene Welle läuft entlang der x-Achse.
Sie ist in z exponentiell gedämpft(Skala λ0 = 2π/k 0 )
e−γ z
z=0
kx
eik’xx
(d.h. in dünner Schicht um die Oberfläche lokaliert, etwa auf ≈ Wellenlänge)
Solche Welle nennt man in z evaneszent. Die gesamte Intensität wird
reflektiert, Rechnung:
E000 E0 i=i0
I000
=1
I0
=
µ 02
n
µ0
µ 02
n
µ0
cos i − n
cos i + n
p
p
n02 − n2 sin2 i
n02 − n2 sin2 i
(denn die Wurzel ist rein imaginär)
Es wird alle Intensität reflektiert Totalreflexion! für i > i0 .
ohne Beweis: Berechnung des Poyntingvektors zeigt,
daß keine Energie in z-Richtung transportiert wird.
Reflexion der Metalle 24
3. Metallische Reflexion
Definition von Metallen:
bei ω = 0 ist σ endlich → Metall
γ0 = 1/10−14 [1/s] der typische Wert,
muß eigentlich aus Quantentheorie (Fetskörper) berechnet werden
Mikrowellenbereich σ oft als reell und frequenzunabhängig genommen
ab Infrarot: σ komplex und frequenzabhängig
gemessene Reflexion S.18
1 − ñ 2
,
R = 1 + ñ ñ =
1+
ñ =
ωpl2
p
−ω 2 − iωγ0
1+χ
!1/2
Reflexion der Metalle 25
diskutieren Grenzwerte der Reflexion:
1) ω → 0 ñ → ∞, R → 1 (vollständige Reflexion)
2) ω → ∞ ñ → 1, R → 0 (vollst. Trasmission)
3)spezialfall γ0 → 0 : ω → ωpl ist Übergang von imaginären zu reellen n,
d.h., Absorption verschwindet für ω > ωpl
R(ω )
ω pl >> γ
Übergang von
starke Absorption
zu Transparenz
ω pl ≅ γ
ω pl
ω
Metall wird tranparent für ω > ωpl
kann zur spektralen Filterung genutzt werden.
Reflexion der Dielektrika 26
4. Dielektrische Reflexion
Definition der Dielektrika
bei ω = 0 ist σ = 0 → Isolator
Bemerkung: Die Unterscheidung zwischen Isolator und Leiter ist nicht mehr
strikt bei ω 6= 0, also in zeitabhängigen Feldern.
Reflexion, S.18:
R=
ñ =
1 − ñ
1 + ñ
1+
2
,
w02 +
ñ =
ωpl2
ω2 −
p
iωγ
1+χ
!1/2
Reflexion der Dielektrika 27
diskutieren Grenzwerte:
1) ω → 0 ñ →
2) ω → ∞
1+
ωpl2
w02
!1/2
R<1
,
ñ → 1,
(keine vollständige Reflexion,
Eindringen in Medium)
R → 0 (vollst. Trasmission)
3) γ → 0 und ω 2 − ω02 < ωpl2 ist ñ rein imaginär
12 + κ 2
=1
ñ = n + iκ (n = 0) → R = 2
1 + κ2
R(ω)
1
ω pl >> γ
ω pl ≅γ
ω0
ω0+ωpl
Reststrahlbnade oder Stopband
Zwischen ω0 und ω0 + ωpl ist keine Lichtausbreitung mgl., verbotene Zone
(“Reststrahlbande”), Analogie zu Metallen.
Zusammenfassung 28
Zusammenfassung zur Reflexion
R
Isolierte Resonanz=Phononen
Isolierte Resonanz=Exzitonen
atomare Systeme
Plasma
10−2
1
hω
10
eV
Band−Band Übergänge
atomare System
Plasma: Elektron-Gase (metallisch)
Phononen/Rotonen: Resonanz des Gitters in Feskörper,
Molekühlschwingungen und Rotationen (kleinere Energien)
Elektronische Übergänge zwischen atomaren Niveaus,
Band-Band Übergänge, Ionisierungsprozesse ...

Grenzbedingungen und Fresnel`sche Formeln

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