TU Ilmenau

Vorlesung Grundlagen der Videotechnik
Vorlesung 7
Modulationsarten
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7. Modulationsarten
Wie bekommen wir unser Signal über die Senderwelle
übertragen?
• wir können unser Signal (Ton, Video) nicht direkt auf eine
Antenne geben.
• die Wellenlängen wären zu groß
[Ton: einige 1000km, mit entsprechenden Antennenausmaßen]
• wir hätten auf diese Weise nur einen Sender
→ für die Übertragung müssen sehr viel höhere Frequenzen
gewählt werden
→ müssen für die Übertragung günstig sein und eine Auswahl
mehrerer Sender ermöglichen
Wie bekommen wir unsere Nutzinformationen (Ton, Video) auf
die Senderwelle?
• es gibt eine Reihe von Möglichkeiten
→ z.B. Amplituden Modulation (AM)
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7.1 Amplituden Modulation (AM)
• die Nutzinformation steckt in der Amplitude der Senderwelle
• älteste Modulationsart
[Fessenden, ca. 1910-1929, erste Experimente mit
Übertragung zu Schiffen. Anfangs war Nutzen unklar!]
• mathematische Formulierung:
• Nutzsignal: s(t ) ,∣ s (t )∣≤1
• Trägerwelle: sin (ω T t ) mit ω T als Trägerfrequenz
• Amplitudenmodulation: (1+ s(t))⋅A⋅sin (ωT t )
mittlere Amplitude der Trägerwelle
Warum die 1?
• um sicherzustellen, dass dieser Wert positiv bleibt (um eine
positive Amplitude sicher zu stellen)
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Veranschaulichung:
Signal [z.B. Ton]
s(t )
Quelle: www.elektronik-kompendium.de
Senderwelle
sin (ω T t )
Amplituden-Moduliertes Signal
(1+ s(t))⋅A⋅sin (ωT t )
.≥0
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Welche Eigenschaften hat diese Modulation?
Wie ist sie zu demodulieren?
Demodulation
• sehr einfach (einer der Vorteile der AM)
Diode, lässt Strom „nur in eine Richtung durch“
Zwischenfrequenz (ZF)
von Mischer/
ZF-Filter
Demoduliertes Signal
(1+s(t))
Kondensator
zur Tiefpassfilterung
→ entfernen der Trägerfrequenz
Beachte: die Modulation erscheint unverändert, nun auf der
Zwischenfrequenz.
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Kennlinie einer Diode
Strom I
I = I s⋅(e
U
n∗U T
−1) , mit I s ,U T , n = Diodenkonstanten
Spannung U
ca. 0,7 V
→ Diode hat eine exponentielle Kennlinie, also sehr stark nicht linear
Anschaulich:
Nach Diode:
Nach Tiefpassfilterung:
Beachte: auf einfache Weise sehr präzise Rekonstruktion.
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Eigenschaften
Wie ist die Bandbreite der AM?
Ansatz:
Wir können unser Nutzsignal s(t) zerlegen in eine
Summe von Sinussignalen, z.B. mit Hilfe einer FourierTransformation. Das gilt für den Ton und wie wir gesehen
haben auch für Bilder (Ortsfrequenzen).
Um die Bandbreite herauszufinden, können wir eine dieser SinusFrequenzen auswählen, z.B. die höchste Frequenz.
Nennen wir sie ω s (Kreisfrequenz ω s=2 π f s )
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Amplitudenmodulation mit dieser höchsten Nutzfrequenz ω s :
(1+ s(t ))⋅A⋅sin (ωT t )
= (1+sin (ω S t ))⋅A⋅sin (ωT t )
= ((sin (ωT t )+sin (ω S t ))⋅sin (ωT t))⋅A
Trägerfrequenz
Mult. von Träger mit Nutzfrequenz
→ Multiplikation von 2 Sinus-Termen: wir erhalten die Summenund Differenz-Frequenz
1
(sin (ωT t )+sin (ω S t))= (cos((ωT −ω S )t )−cos((ωT +ω S )t))
2
8
Veranschaulichung: Spektrum
Ampl.
1
1/2
sin(ωT t)
1
cos((ωT −ω S )t)
2
ωT −ω S
1
cos((ωT +ω S )t)
2
ωT
ωT +ω S
f
Also: wie groß ist die Bandbreite des AM Signals, wenn das
Nutzsignal eine Bandbreite von ωT hat?
(d.h. Signalfrequenzen 0,... ,ω S )
Antwort: AM Bandbreite ist 2 ωT !
(Einmal oberhalb des Trägers, einmal unterhalb des Trägers)
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Nochmal Demodulation: Diode ist starke Nichtlinearität.
• wenn wir ein Signal aus einer Summe von Sinustermen auf
eine Nichtlinearität geben, gibt es Wechselwirkungen zwischen
diesen Sinus-Termen.
• Mathematisch zu sehen: wenn Dioden-Kennlinie als TaylorReihe geschrieben wird
→ Exponentialfunktion ist bekannte Taylor-Reihe:
n
∞
x
e x =∑n=0
← enthält auch x 2 Term
n!
• Quadrat-Term von Summenfunktion enthält Multiplikation
zwischen Summanden:
(a+b)2=a 2 +2ab+b 2
→ hier bekommen wir wieder Multiplikation von Sinus-Termen!
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• Bei der AM haben wir (wie gesehen) die Frequenzen:
ωT , ωT +ω S ,ωT −ω S (also sin (ωT t) )
• Die Multiplikation mischt sie wieder und es ergeben sich
ωT +ωT +ω S ,ω T +ω S −ωT ...
• Jetzt müssen noch die „interessanten“ Anteile herausgefiltert
werden:
→ Tiefpassfilter:
• blockiert: ωT +ωT +ω S ,... ← die hohen Frequenzen
• lässt durch: ωT +ω S −ωT =ω S ← Nutzsignal
→ Mathematische Begründung, warum Demodulation
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• Einsicht: Demodulation ist eigentlich eine Mischung des AM
Signals mit seinem eigenen Träger! (Heruntersetzen auf die
Basisfrequenz des Signals)
• Träger bei AM (Term sin (ωT t ) ) hat keine eigene Information!
Er wird nur benötigt für die einfache Mischung im Empfänger
mittels Diode, um Empfänger einfach zuhalten!
• Wenn wir diese Frequenz im Empfänger erzeugen würden,
könnten wir auf diesen Träger bei der Übertragung, im Sender
verzichten.
• Weglassen des Trägers hätte Vorteile:
• eingesparte Senderleistung
• verringertes Störpotential für z.B. Nachbarsender
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• Weglassen des Trägers z.B. möglich durch weglassen des
Terms „1“ in der Modulation
→ sin (ω S t)⋅sin (ωT t )⋅A
• Auf diese Weise bekommen wir nur die beiden Seitenbänder
mit der eigentlichen Nutzinformation. Im Empfänger können wir
das Signal trotzdem demodulieren durch Hinzufügen einer
lokalen erzeugten Trägerfrequenz.
Beachte: Frequenz muss sehr genau stimmen, sonst gibt es
Frequenzverschiebungen des demodulierten Signals!
→ macht Empfänger teuer.
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7.2 Modulation – Matlab/Octave Beispiel
Wir haben einen Mittelwellen Sender mit 1 Mhz Trägerfrequenz (1 Mio.
Schwingungen pro Sekunde), und wollen einen Ton der Frequenz 1 kHz
(1000 Schwingungen pro Sekunde) mittels Amplituden-Modulation
übertragen.
Zunächst wollen wir sehen, wie der 1 kHz Ton klingt. Dafür nehmen wir
eine Sound-Ausgabe mit einer Abtastfrequenz von 32 kHz an (32000
Abtastwerte pro Sekunde). Dies bedeutet dass jede Schwingung unseres
1 kHz Tones durch 32 Abtastwerte abgetastet wird. Um diese
Abtastwerte zu erzeugen, schreiben wir in Matlab, für 2 Sekunden 1 kHz
Ton:
ton = sin(2*pi/32*(1:64000));
und zum anhören:
sound(ton,32000);
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Um die Modulation auf den 1 MHz Träger zu simulieren, brauchen wir
aber eine höhere Abtastfrequenz, z.B. 4 MHz. Damit ergeben sich für
eine Trägerperiode 4 Abtastwerte, und für eine Tonperiode 4000 (=(4 Mio
AW/s) /(1000 Schwingungen/s)) Abtastwerte.
Nehmen wir an wir wollen eine Zeitspanne von 10 Perioden unseres
Tonsignales simulieren, also 1/100 Sekunde. Dann brauchen wir 4 Mio.
AW pro Sek * 1/100 Sek=40000 Abtastwerte.
Der Träger wird dann
traeger = sin(2*pi/4*(1:40000));
und unser 1 kHz Tonsignal:
ton = sin(2*pi/4000*(1:40000));
Beachte dass wir unser Tonsignal nicht zu normalisieren zu brauchen,
weil sein Betrag schon nicht größer als 1 wird.
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Um das Prinzip zu verdeutlichen, multiplizieren wir es trotzdem mit 0.5.
Die Amplituden-Modulation wird nun:
AM = (1+0.5*ton) .* traeger;
Beachte das .* was eine elementweise Multiplikation durchführt.
Mit plot(AM) erhält man den zeitlichen Verlauf des AM Signales:
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Beachte dass der Ton als einhüllende des Trägers erscheint. Dies
entspricht dem Bild, dass ein Oszilloskop in einer Hardwareimplementierung erzeugen würde.
Mit plot(AM(1:100)) erhält man einen Ausschnitt vom Anfang des
Signals, der die Trägerwelle zeigt:
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Nun können wir den Frequenzbereichs-Plot berechnen, mit dem Befehl
„freqz“. Dies kann als Entsprechung eines Spectrum-Analyzers in einer
Hardwareimplementierung angesehen werden.
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Da die Seitenbänder durch die Modulation nur 1/1000 der Trägerfrequenz neben dieser erscheinen, brauchen wir eine entsprechend hohe
Frequenzauflösung. Die Gesamtzahl der Abtastpunkte im
Frequenzbereich lässt sich in freqz vorgeben. Wir wählen 2^16 =
65536, und erhalten daher:
freqz(AM,1,65536)
Nach hereinzoomen um den Träger erhalten wir folgenden Plot, in
Octave z.B. mit:
subplot(3,1,2)
axis([0.4975 0.503 20 95])
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Hier sehen wir im oberen Plot den Betrag, im unteren die Phase (die hier
uninteressant ist). Wir sehen den Träger bei der normaliserten Frequenz
0.5, welches die halbe Nyquist-Frequenz bedeutet, welches wiederum
die halbe Abtastfrequenz ist. Bei 4 MHz Abtastfrequenz ist unsere
Nyquistfrequenz also 2 MHz, und die normierte Frequenz 0.5 entspricht
unserer 1 MHz Trägerfrequenz. Im Abstand von +/- 0.0005 um den
Träger sehen wir unsere Seitenbänder, welches in der Tat dem Abstand
+/- 1 kHz entspricht!
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7.3 Modulation – Zeigerdiagramm
Spektrum des Nutzsignals:
ω max
f
viele Sinus-Komponenten
Amplituden moduliertes Signal:
ωT −ω max
ωT +ω max
2 π f T =ωT
Frequenz der Trägerwelle
f
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Beachte: Bandbreite des AM Signals ist doppelt so groß wie die
Bandbreite des aufmodulierten Nutzsignals.
Beispiel AM Rundfunk:
Nutzsignal ist Audiosignal mit 4 kHz Bandbreite
→ AM Signal hat eine Bandbreite von 8 kHz
Heisst auch: Bandbreite des Nutzsignals wird beschränkt durch die
Bandbreite des Übertragungskanals (Hälfte des
Übertragungskanals).
Mittelwelle Europa: Kanalabstand 9 kHz, benachbarte KanalSender sollten weit entfernt sein.
Aber: Meiste Empfänger filtern nur die 9 kHz
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Nur etwas breiter als Telefon (3,5 kHz).
Grund für geringe Bandbreite: Mittelwelle ist bei relativ niedrigen
Frequenzen (550-1600 kHz), man möchte möglichst viele Sender
unterbringen.
Anwendung im Fernsehen: Übertragung der Helligkeitsinformation/
Luminanz
TV: Basisband: ca. 5 MHz für die Luminanz
→ erhebliche Bandbreite, größer als z.B. gesamtes Mittelwellen
Band
→ Brauchen breiteres Band → brauchen höhere Frequenzen:
2 VHF Bänder: 45 – 68 MHz, 175-225 MHz
1 UHF Band: 470 – 800 MHz → 330 MHz Bandbreite
7 MHz → 47 Kanäle
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Besonders im UHF Band ist die gebrauchte Bandbreite vorhanden.
Kanalabstand im UHF Band: 7 MHz (UHF = Ultra-High-Frequency)
Aber: AM mit Videobandbreite 5 MHz ergibt 10 MHz Bandbreite
→ zu viel
Lösung: Wegfiltern eines der beiden AM Seitenbänder (das
untere), so dass nur ein kleiner Rest bleibt.
→ Rest-Seitenband Modulation
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Filter-Übertragungsfunktion
für Rest-Seitenband
Amplitude
ω
ωT
Rest-Seitenband
reduzierter Träger
→ Durch das Filtern: Bandbreite verringert, so dass das Signal
über den Kanal passt, Nutzinformation bleibt aber die gleiche,
steckt vollständig im oberen Seitenband.
→ könnte man auch für AM-Rundfunk verwenden. Da dafür neue
Standards nötig sind (neue Empfänger) wird gleich auf digitalen
Rundfunk umgestellt (DRM).
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Rest-Seitenband-Modulation ist eine einfache Möglichkeit,
Bandbreite zu reduzieren, und den Empfänger trotzdem simpel zu
halten. → Es gibt weitere, auch effizientere Möglichkeiten.
Dafür ist mathematische Beschreibung sinnvoll:
j ω ⋅t
sin (ω T⋅t)=I m(e
)
Eulersche Formel:
j ω ⋅t
e
=cos (ω T⋅t)+ j⋅sin (ω T⋅t)
T
T
Veranschaulichung:
Im
∣(e j ϕ )∣ ← Betrag: j ϕ
abs (e
j∗sin (ϕ)
ϕ
cos(ϕ)
)= √ cos2 (ϕ)+sin 2 (ϕ)=1
Re
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Diese mathematische Formulierung kann für die Beschreibung der
AM Demodulation verwendet werden, durch Verwenden des
Betrages.
→ Denn: Betrag entspricht der Amplitude oder Einhüllenden
Modulation: I m((1+ s(t))e
j ωT⋅t
Demodulation: abs ((1+ s(t)) e
)
j ωT⋅t
)
reell-wertig
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Beachte: der Empfänger hat meist nicht beides, Imaginär und
Realteil. Aber das Ergebnis der Betragsbildung entspricht der AM
Demodulation über Diode, welche die Einhüllende liefert.
s(t) lässt sich auf ähnliche Weise zerlegen:
Angenommen: s(t )=sin(ω s⋅t )=
1 j ω ⋅t − j ω ⋅t
(e −e
)
2j
s
s
1 j ω ⋅t − j ω ⋅t j ω ⋅t
(e −e
))e
)
2j
1 j(ω +ω )⋅t − j(ω −ω )⋅t
j ω ⋅t
(e
+
(e
−e
))
= abs
2j
Demodulation: abs ((1+
T
Träger
s
s
T
s
T
T
s
oberes
unteres
Seitenband Seitenband
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Veranschaulichung durch 3 Drehzeiger:
j ω ⋅t
: Drehzeiger mit der Winkelfrequenz des Trägers (schnell)
e
e j (ω +ω )⋅t ,e j (ω −ω )⋅t : Drehzeiger vom Nutzsignal
T
T
S
T
S
→ erster dreht schnell, zweiter dreht langsamer als Träger-Zeiger.
Im
ω T⋅t
Re
Projektion auf Im-Achse ergibt sin des Trägers
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Interessant: wie verhalten sich die Nutzsignal-Zeiger relativ zum TrägerZeiger?
Im
oberes
Seitenband
ωS
ωS
unteres
Seitenband
Schwankungsbereich
ωT
Träger Zeiger
Re
Beachte: Absolutwertbildung (Einhüllende bei Diodendemodulation) ist
identisch mit Imaginärteil. Kein Realteil, da die Realteile der beiden
Seitenbänder sich aufheben.
Bei (fiktiver) Imaginärteilbildung würde daher nur eines der Seitenbänder
zur korrekten Demodulation reichen.
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Rest-Seitenband: unteres Seitenband verkleinert
Im
oberes
Seitenband
ωS
ωS
unteres
Seitenband
Summen-Zeiger
Re
→ Realteile heben sich nicht mehr auf!
→ Betrag (Einhüllende bei Diodendemod.) ist nicht mehr gleich dem
(eigentlich korrekten) Imaginärteil, wie bei 2 vollständigen
Seitenbändern
→ Leichte Verzerrungen bei Dioden-Demodulation!
→ Diese Verzerrungen können durch den Sender ausgeglichen werden,
da sie bekannt sind (Vorverzerrung)
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Beachte: Durch die Betragsbildung ist die AM unabhängig von der
Phase des Zeigers der Trägerwelle
→ AM Demodulation ist unabhängig von der Phasenlage des
Trägers.
Beispiel: es ist egal, ob eine sin oder cos Funktion Träger ist
(nur 90° Phasen-Diff.)
→ praktische Beschreibung!
→ können wir so die weiteren Probleme der AM lösen?
→ Träger (nicht wirklich für Informationsübertragung nötig)
→ doppeltes Seitenband (Bandbreiten-ineffizient)
AM mit Träger:
(1+ s(t))sin (ωT⋅t )
AM ohne Träger: s(t )sin (ω T⋅t)
→ keine 1 mehr!
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