Folien aus der Vorlesung: Hamilton-Formalismus

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Beschleuniger und Speicherringe – der Tragödie zweyter Theil
Universität Hamburg, Wintersemester 2006/2007
Vorlesung:
Übungen:
Shaukat Khan
Bernhard Schmidt
[email protected]
[email protected]
(Sprechstunde nach Vereinbarung per E-mail oder Telefon: 8998-5492)
- Kurze Wiederholung von Theil I
- Hamilton'sche Strahldynamik
- Synchrotronstrahlung, Freie-Elektronen-Laser
- Kollektive Phänomene: Instabilitäten, Strahllebensdauer
- Sonstiges z.B. Strahldiagnose, neue Konzepte etc.
Besichtigung von DESY/Hamburg
Exkursion zu GSI, PSI, CERN ...?
Folien und Skript von Teil I, Literaturhinweise etc. unter
www.desy.de/~khan/lehre
Literatur (allgemein)
Einführungen
K. Wille, Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen (Teubner, 1996)
H. Wiedemann, Particle Accelerator Physics I + II (Springer, 1993 und 1995)
D. Edwards, M. Syphers, An Introduction to ... High Energy Accelerators (John Wiley, 1993)
M. S. Livingston, J. P. Blewett, Particle Accelerators (McGraw-Hill, 1962)
W. Scharf, Particle Accelerators and their Uses, Part 1 + 2 (Harwood Acad. Publishers, 1986)
Geschichte
P. Waloschek (ed.), The Infancy of Particle Accelerators, DESY 94-039.
P. Waloschek (Hrsg.), Als die Teilchen laufen lernten (Vieweg, vergriffen) www-library.desy.de
Spezielle Themen
H. Wiedemann, Synchrotron Radiation (Springer, 2003)
A. Chao, M. Tigner, Handbook of Accelerator Physics and Engineering (World Scientific, 1998)
A. Chao, Physics of Collective Beam Instabilities in ... Accelerators (John Wiley, 1993)
E. Saldin, E. Schneidmiller, M. Yurkov, The Physics of Free Electron Lasers (Springer, 2000)
M. Minty, F. Zimmermann, Measurement and Control of Charges Particle Beams (Springer 2003)
D. Attwood, Soft X-Ray and Extreme Ultraviolett Radiation (Oxford University Press)
J. Als-Nielsen, D. McMorrow, Elements of Modern X-Ray Physics (John Wiley, 2003)
Schulen
CERN Accelerator School (CAS) cas.web.cern.ch/cas/CAS-Proceedings.html
Konferenzen
PAC Particle Accelerator Conference zB. 2005 in Knoxville/TN
EPAC European Particle Accelerator Conference zB. 2006 in Edinburgh
FEL Free-Electron Laser Conference zB. 2006 in Berlin
alle: accelconf.web.cern.ch/accelconf
Zeitschriften
Nuclear Instruments & Methods in Physics Research
Part. Accelerators (eingestellt)
Physical Review Letters, Physical Review
Physical Review Special Topics – Accelerators and Beams (PRST-AB) prst-ab.aps.org
Scientific American bzw. Spektrum der Wissenschaft
Web-Links zu Beschleunigern weltweit
www-elsa.physik.uni-bonn.de/Informationen/accelerator_list.html
Literatur (speziell für Teil II)
H. Wiedemann, Particle Accelerator Physics II (Springer, 1995)
D. Edwards, M. Syphers, An Introduction to ... High Energy Accelerators (John Wiley, 1993)
H. Wiedemann, Synchrotron Radiation (Springer, 2003)
A. Chao, Physics of Collective Beam Instabilities in ... Accelerators (John Wiley, 1993)
S. Khan, Collective Phenomena in Synchrotron Radiation Sources (Springer, 2006)
E. Saldin, E. Schneidmiller, M. Yurkov, The Physics of Free Electron Lasers (Springer, 2000)
M. Minty, F. Zimmermann, Measurement and Control of Charges Particle Beams (Springer 2003)
I.2 Der "Zoo" der Teilchenbeschleuniger
Elektrostatische Beschleuniger
- Cockroft-Walton-Generator
- Marx-Generator
- Van-de-Graaf-Generator, Tandem
Elektrisches Feld durch zeitliche Änderung des Magnetfeldes
- Betatron
- Induktions-Linearbeschleuniger
Beschleuniger mit hochfrequenten elektro-magnetischen Wellen
a) mehrere Strukturen hintereinander
- Linear-Beschleuniger (Linac)
- Radiofrequency-Quadrupole (RFQ)
b) mehrfacher Durchlauf derselben Struktur
- Zyklotron
- Mikrotron
- Synchrotron
Neue Konzepte
- Wakefeld-Beschleuniger, Inverser FEL, Laser-Plasmabeschleuniger
I.2.1 Elektrostatische Beschleuniger
(a)
(b)
(c)
+
4U
+
3U
+
+
+
+
2U
2U
+
+
+
U
U~
U
+
I.2.3 Hochfrequenzbeschleunigung: Hohlraumresonatoren
a)
b)
E=const.
c)
E ~ Jo(kr)
TM010
E ~ Jo(kr)
I.2.3 Hochfrequenzbeschleunigung: Linearbeschleuniger
a)
b)
c)
d)
I.2.4 Kreisbeschleuniger
(I.2.2)
a)
b)
c)
d)
E ~ dB/dt
~
Zentripetalkraft = Lorentzkraft
~
~
mv 2
= evB
R
mv = p = eBR
p[GeV / c ] = 0.3 ⋅ B[T ] ⋅ R[m]
I.3 Synchrotronstrahlung
I.3.1 Strahlung aus Dipolmagneten
Energieverlust pro Umlauf
ΔE =
e2
(
3ε o mc 2
)
4
E4
R
[
]
ΔE[keV ] = 88.5 ⋅ E 4 GeV / c 2 / R[m]
Halber Öffnungswinkel
Breites Spektrum
R
θ∼1/γ θ∼1/γ
∝
1
γ
3cγ 3
Ec =
2R
I.3 Synchrotronstrahlung
I.3.2 Wiggler und Undulatoren
Wellenlänge der 1. Undulator-Harmonischen
⎞
λU ⎛ K 2
λ = 2 ⎜⎜1 +
+ γ 2 Θ 2 ⎟⎟
2γ ⎝
2
⎠
ΔE 1
≈
E
N
1
Winkelverteilung σ x ', z ' ∝
N
Spektrale Breite
K≡
λU eB
2π ⋅ mc
I.3 Synchrotronstrahlung
I.3.3 Freie-Elektronen-Laser
Pendelgleichung
Ψ" (t ) + Ω 2 sin Ψ (t ) = 0
FEL-Oszillatoren:
optischer Resonator mit 2 Spiegeln, aber:
I.3 Synchrotronstrahlung
I.3.3 Freie-Elektronen-Laser (FEL)
SASE-FEL (self-amplified spontaneous emission)
RF gun
accelerator modules
Laser
bunch
compressor
bunch
compressor
4 MeV
125 MeV
380 MeV
electron beam
dump
collimator
undulator
440 MeV
photon beam
FLASH/DESY
I.3 Synchrotronstrahlung
I.3.3 Freie-Elektronen-Laser (FEL)
FELs mit Laser-Seeding zB. HGHG (high-gain harmonic generation)
SASE
HGHG
4
Zeitstruktur
Power [GW]
40
30
20
10
1.0
200
300
400
Time [fs]
0.8
0.6
Spektrum
0.4
0.2
0.0
10.2
10.3
10.4
Wavelength [nm]
2
1
500
100
Spectral power [a.u.]
100
3
10.5
1.0
200 300 400
Time [fs]
500
0.8
0.6
0.4
0.2
10.2
10.3
10.4
Wavelength [nm]
10.5
I.3 Synchrotronstrahlung
Synchrotronstrahlungsquelle
der 3. Generation
(ESRF, Grenoble)
Freie-Elektronen-Laser
(XFEL, Hamburg)
I.4 Lineare Teilchenoptik
I.4.1 Phasenraum
“mitbewegtes” Koordinatensystem
x’
x
horizontal
Δp/p
z’
φ
z
vertikal
longitudinal
I.4 Lineare Teilchenoptik
I.4.1 Phasenraum
Beispiel: Driftstrecke
x
s
x'
x'
x
x'
x
x
I.4 Lineare Teilchenoptik
I.4.2 Magnete
∫ H ⋅ ds = n ⋅ I
I.4 Lineare Teilchenoptik
I.4.2 Magnete
BESSY-II-Dipolmagnet
Festplatte
microtron
synchrotron
Strom 614 A
Strom 20 mA
84 Windungen
15 Windungen
Spalt 50 mm
Spalt 300
nm
storage
ring
experimental hall
I.4 Lineare Teilchenoptik
I.4.3 Bewegungsgleichungen
e
e
e dBz
1
Bz = B z 0 +
+… = − k ⋅ x +…
p
p
p dx
R
⎛ 1
⎞
x" ( s ) + ⎜⎜ 2 − k ( s ) ⎟⎟ x( s ) = 0
⎝ R (s)
⎠
z" ( s ) + k ( s ) z ( s ) = 0
I.4.4 Spezielle Lösungen
z.B. Driftstrecke
Quadrupolmagnete und
Dipole (nur horizontal)
⎡
d 2x ⎤
⎢ x" ≡ 2 ⎥
ds ⎦
⎣
x ( s ) = x ( 0) + s ⋅ x ' ( 0)
x ' ( s ) = x ' ( 0)
x
Hill’sche DGL
⎛ x( s ) ⎞ ⎛ 1 s ⎞⎛ x(0) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟
⎝ x' ( s ) ⎠ ⎝ 0 1 ⎠⎝ x' (0) ⎠
s
I.4.6 Allgemeine Lösung
x( s ) = ε β ( s ) cos μ ( s )
μ ( s) = Ψ ( s) + φ
I.4 Lineare Teilchenoptik
I.4.4 Transfer- oder Transportmatrizen
Driftstrecke
Quadrupol
Dipol
Dipol
⎛1 s⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 1⎠
⎛
⎜ cos Ω
⎜
⎜⎜
⎝ − k sin Ω
s
⎛
⎜ cos
R
⎜
⎜⎜ − 1 sin s
R
⎝ R
⎛ 1
⎜ tan Ψ
⎜−
R
⎝
0⎞
⎟
1⎟
⎠
⎞
sin Ω ⎟
k
⎟
⎟
cos Ω ⎟⎠
1
s⎞
⎟
R⎟
s
cos ⎟⎟
R ⎠
⎛
⎜ cosh Ω
⎜
⎜⎜
⎝ k sinh Ω
⎞
sinh Ω ⎟
k
⎟
⎟
cosh Ω ⎟⎠
1
Ω≡
R sin
⎛ 1
⎜ tan Ψ
⎜
⎝ R
(“schwache” Fokussierung, nur horizontal)
0⎞
⎟
1⎟
⎠
(Kantenfokussierung)
ks
I.4 Lineare Teilchenoptik
I.4.4 Teilchen mit Impulsabweichung, Dispersion
⎛
s
s
s ⎞⎞
⎛
⎜
−
R
cos
sin
R
1
cos
⎟⎟ ⎛
⎜
⎞
⎞
⎛
⎜ x( s ) ⎟ ⎜
R
R
R ⎠ ⎟ ⎜ x ( 0) ⎟
⎝
⎟
⎟ ⎜ 1
⎜
s
s
s
⎟ ⎜
cos
sin
⎜ x' ( s ) ⎟ = ⎜ − sin
⎟ ⋅ ⎜ x ' ( 0) ⎟
R
R
R
R
⎜ Δp ⎟ ⎜
⎟ ⎜ Δp ⎟
0
0
1
⎟ ⎜
⎜
⎟ ⎜ p ⎟
⎠
⎝ p ⎠ ⎜
⎟ ⎝
⎝
⎠
x( s )
ΔL / L 1
Dispersion D ( s ) ≡
Momentum compaction factor α ≡
=
Δp / p
Δp / p L0
Transformation 6-dimensionaler Phasenraumvektoren
⎛ x ⎞ ⎛ Cx S x
⎜ ⎟ ⎜
⎜ x' ⎟ ⎜ C x′ S x′
⎜ z⎟ ⎜ 0 0
⎜ ⎟ =⎜
⎜ z' ⎟ ⎜ 0 0
⎜ l ⎟ ⎜ rc rs
⎜δ ⎟ ⎜ 0 0
⎝ p ⎠s ⎝
0
0
Cz
C z′
0
0
0
0
Sz
S z′
0
0
0
0
0
0
1
0
dx ⎞ ⎛ x ⎞
⎟ ⎜ ⎟
′
d x ⎟ ⎜ x' ⎟
0⎟ ⎜ z⎟
⎟⋅⎜ ⎟
0 ⎟ ⎜ z' ⎟
rd ⎟ ⎜ l ⎟
1 ⎟⎠ ⎜⎝ δ p ⎟⎠ 0
(δ p ≡ Δp / p )
D( s)
∫ R(s) ds
I.4 Lineare Teilchenoptik
I.4.6 Allgemeine Lösung
x( s ) = ε β ( s ) cos μ ( s )
μ ( s) = Ψ ( s) + φ
Courant-Snyder-Invariante, Beta-Funktion, optische Funtionen:
β (s)
Phasenraumellipse
α (s) ≡ −
β ′( s )
2
1 + α 2 (s)
γ (s) ≡
β (s)
ε = γ ( s ) ⋅ x 2 ( s ) + 2α ( s ) ⋅ x( s ) x′( s ) + β ( s ) ⋅ x′2 ( s )
x
s
x'
x'
x
x'
x
x
I.4 Lineare Teilchenoptik
I.4.7 Transformation der optischen Funktionen
2
S2 ⎞ ⎛β ⎞
− 2 SC
⎛β ⎞ ⎛ C
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜ α ⎟ = ⎜ − CC ′ SC ′ + CS ′ − SS ′ ⎟ ⋅ ⎜ α ⎟
2 ⎟ ⎜
⎜ γ ⎟ ⎜ C ′2
′
′
′
2
S
C
S
γ ⎟⎠ 0
−
⎝
⎝ ⎠1 ⎝
⎠
x
⎛C S ⎞
⎟⎟
M = ⎜⎜
⎝ C′ S ′⎠
s
z.B. Driftstrecke
β1 = β 0 +
s2
β0
x'
x'
x
x'
x
x
I.4.8 Periodische Lösung für Speicherringe
β0 = …
α0 = …
γ0 =…
←
2
S2 ⎞ ⎛β ⎞
− 2 SC
⎛β ⎞ ⎛ C
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜ α ⎟ = ⎜ − CC ′ SC ′ + CS ′ − SS ′ ⎟ ⋅ ⎜ α ⎟
2 ⎟ ⎜
⎟
⎜ γ ⎟ ⎜ C ′2
′
′
′
2
S
C
S
−
⎝ ⎠0 ⎝
⎠ ⎝ γ ⎠0
I.4 Lineare Teilchenoptik
I.4.8 Periodische Lösung
β sin 2πQ ⎞
⎛ cos 2πQ
⎜ 1
⎟
MU = ⎜
⎜ − β sin 2πQ cos 2πQ ⎟⎟
⎝
⎠
Q: Arbeitspunkt oder “tune”
I.4.11 Optische Resonanzen
mQx + nQz = p
m, n, p: ganze Zahlen
(α = 0)
I.4 Lineare Teilchenoptik
I.4.11 Optische Resonanzen
mQx + nQz = p
m, n, p: ganze Zahlen
Qz
Qz
Qz
j+1
j+1
j+1
Qx
j
i
i+1
Qx
j
i
i+1
Qx
j
i
i+1
I.4.12 Chromatizität und Sextupole
Sextupol
Quadrupol
Chromatizität: natürliche
korrigierte
ξ x, z ≡
ξ x, z
ΔQ x , z
=−
1
k ( s ) β ( s )ds
∫
4π
Δp / p
ΔQ x , z
1
≡
=
(m( s ) D ( s ) − k ( s ) β ( s )ds
Δp / p 4π ∫
I.4.10 Strahlemittanz
ε kann zwei Bedeutungen haben:
(1) Einzelteilchen: Courant-Snyder-Invariante oder manchmal “Einteilchen-Emittanz”
(2) Emittanz des Strahls (in x bzw. z)
Entstehung der Emittanz in Elektronenspeicherringen (I.5.3)
horizontal: Gleichgewicht von Strahlungsdämpfung und Anregung
vertikal: Aufstellungs- und Feldfehler
x’
x’
DΔE/E
Δp/p
z’
2
x
z
1
φ
x
D’ΔE/E
3
4
5
I.4.13 Gebräuchliche Magnetstrukturen
FODO-Struktur: zum Strahltransport (Collider, Transferstrecken, Linacs)
Achromate: hauptsächlich in Synchrotronstrahlungsquellen
Mini-β am Ort eines Detektors der Teilchenphysik
Lokale Orbit”beulen” z.B. für die Injektion in einen Speicherring
Kicker
Kicker
Kicker
Kicker
Septum
Orbitbeule des gespeicherten Strahls
Sollbahn des gespeicherten Strahls
(a)
x’
(b)
Septum
x’
(c)
Septum
x’
(d)
Septum
x’
Septum
2
3
1
gespeicherter
Strahl
x
x
x
4
Beule
x
5
Beule
I.5 Longitudinale Strahldynamik
Beschleunigung im Hohrraumresonator = Strahlungsverluste pro Umlauf
eU sin ϕ = W
Bewegungsgleichung
Δ E + 2 a s ΔE + Ω 2 Δ E = 0
Ω≈
2πeU 0 q cos Ψ0
1
−
α
T
E0
Lösung
Δ E = ΔE 0 e − a s t e
→
as =
i Ω 2 − a s2 t
W
1 dW
= 0 (2 − D )
2T dE 2TE0
long. Dämpfungskonst.
ax =
W0
(1 − D )
2TE0
hor. Dämpfungskonst.
az =
W0
2TE0
vert. Dämpfungskonst.
I.5 Longitudinale Strahldynamik
Bewegungsgleichung
ΔE + 2as ΔE + Ω 2 ΔE = 0
Lösung
→
ΔE = ΔE0 e − as t e
i Ω 2 − a s2 t
Wichtige Begriffe:
synchroner Phasenwinkel
Separatrix
Impulsakzeptanz bzw.
Energieakzeptanz
∝ U0
1. Hamiltonsche Strahldynamik
1.1
Nichtrelativistische Theorie
Sir Wiliam Rowan Hamilton
(1805-1865)
1.1.1 Lagrangesche Gleichungen
Generalisierte Koordinaten
k = 1, …, f
qk (t )
Giuseppe Luigi Lagrangia
(1736-1813)
f = N ⋅ N Dim − λ
Freiheitsgrade = Teilchen x Dimensionen – Zwangsbedingungen
Beispiel: 1-dim harmonischer Oszillator
f =1
N =1
N Dim = 1
λ =0
N Dim = 2
λ =1
Beispiel: Pendel
f =1
N =1
(x2 + y2 = l 2 )
N
1
T = ∑ mi ri 2 = T (q1 ,…, q f , q1 ,… , q f )
i =1 2
kinetische Energie
N
U = −∑ Fi ⋅ dri = U (q1 , …, q f , t )
potenzielle Energie
i =1
Lagrange-Funktion
L ( qk , qk , t ) = T ( qk , qk ) − U ( qk , t )
Lagrange-Gleichungen
d ⎛ ∂L
⎜⎜
dt ⎝ ∂qk
Beispiel: harmonischer Oszillator
Beispiel: Pendel
⎞ ∂L
⎟⎟ −
=0
⎠ ∂qk
U=
1
kq ⋅ q
2
d
(mq ) − (−kq) = 0
dt
→
T=
1
mq 2
2
1
mq 2 − kq 2 )
(
2
k
q+ q =0
m
L=
m 2
m
(
x + y 2 ) = l 2ϕ 2
U = mgh = mgl (1 − cos ϕ )
2
2
m
L = l 2ϕ 2 − mgl (1 − cos ϕ )
2
g
d
(
ml 2ϕ ) − (− mgl sin ϕ ) = 0
→
ϕ + sin ϕ = 0
dt
l
T=
Hamiltonsches Prinzip der kleinsten Wirkung
1
Lagrange-Gleichungen
P1 (t1 )
S = ∫ L(qk , qk , t )dt
0
δS = 0
q (t0 ), q(t1 ) festgelegt
P0 (t0 )
Für die “wirkliche” Bahn nimmt S ein Extremum (Minimum) an,
wobei
d ⎛ ∂L
⎜⎜
dt ⎝ ∂qk
⎞ ∂L
⎟⎟ −
=0
∂
q
k
⎠
f
1.1.2 Hamilton-Funktion
H = ∑ pk qk − L ( qk , qk , t )
k =1
generalisierte Impulse
(zu q konjugierte Impulse)
pk =
Beispiel: harmonischer Oszillator
∂L
∂qk
H = H ( qk , pk , t )
p = mq
q=
p
m
p2 1 2
1
2
2
+ kq
H = pq − (mq + kq ) =
2
2m 2
Gesamtenergie
Beispiel: Pendel
p = ml 2ϕ
ϕ=
p
ml 2
p ist der Drehimpuls !
m 2 2
p2
H = pϕ − l ϕ + mgl (1 − cos ϕ ) =
+ mgl (1 − cos ϕ )
2
2
2ml
Gesamtenergie
1.1.3 Hamiltonsche Gleichungen
f
H = ∑ pk qk − L ( qk , qk , t )
k =1
⎞ ∂H
⎛ ∂H
∂H
dH = ∑ ⎜⎜
dqk +
dpk ⎟⎟ +
dt
∂pk
k =1 ⎝ ∂qk
⎠ ∂t
f
⎞ ∂L
⎛
∂L
∂L
dH = ∑ ⎜⎜ qk dpk + pk dqk −
dqk −
dqk ⎟⎟ −
dt
q
q
t
∂
∂
∂
k =1 ⎝
k
k
⎠
dqk , dpk , dt unabhängig, Koeffizientenvergleich:
f
qk =
∂H
∂pk
pk = −
∂H
∂qk
f
⎞
⎛ ∂H
dH ∂H
∂H
qk +
pk ⎟⎟
=
+ ∑ ⎜⎜
dt
∂t k =1 ⎝ ∂qk
∂pk
⎠
Wenn
(linke Seite)
(rechte Seite)
∂H
∂L
=−
∂t
∂t
dH ∂H
=
dt
∂t
∂H
= 0, dann ist H eine Konstante der Bewegung (Energieerhaltung zB. beim Pendel)
∂t
(qk , pk ) → (Qk , Pk )
1.1.4 Kanonische Transformationen
Q = Q ( qk , pk )
alt qk =
neu Qk =
1
P = P ( qk , pk )
∂H
∂pk
pk = −
∂Η
∂Pk
Pk = −
∂H
∂qk
L = ∑ pk qk − H ( qk , pk , t )
∂Η
∂Qk
Λ = ∑ Pk Qk − Η (Qk , Pk , t )
k
k
1
δ ∫ Λdt = δ ∫ Ldt = 0
0
0
1
1
→
1
Λ = L+
dF
dt
1
dF
δ ∫ Λdt = δ ∫ Ldt + δ ∫
dt = δ ∫ Ldt + δ [F (t1 ) − F (t0 )]
dt
0
0
0
0
Endpunkte variieren nicht
F heisst “erzeugende Funktion”
Freie Wahl der generalisierten Koordinaten, in denen die Lösung besonders einfach
ist, doch wer die Wahl hat, hat die Qual! Das Problem ist nur auf die Suche nach den
Koordinaten verlagert und wird dadurch nicht einfacher.
Aber: man kann Koordinaten finden, in denen der Einfluss kleiner Störungen elegant
behandelt werden kann.
?
Erzeugende Funktion
F = F (qk , pk , Qk , Pk , t )
Von den 4f Variablen sind nur 2f unabhängig, da
{
Q = Q ( qk , pk )
P = P ( qk , pk )
Es gibt 4 Typen von erzeugenden Funktionen (Index k weggelassen):
F1 (q, Q, t )
F2 (q, P, t )
F3 ( p, Q, t )
F4 ( p, P, t )
F1 (q, Q, t )
∂F
∂F
∂F
dF1
= ∑ PQ − Η + ∑ 1 q + ∑ 1 Q + 1
∂q
∂Q
∂t
dt
∂F
∂F
Η=H+ 1
P=− 1
∂Q
∂t
∑ pq − H = ∑ PQ − Η +
→ p=
∂F1
∂q
F2 (q, P, t ) = F1 (q, Q, t ) + ∑ PQ
∂F
∂F
∂F
dF1
= ∑ PQ − Η + ∑ 2 q + ∑ 2 P + 2 − ∑ PQ − ∑ QP
∂q
∂P
∂t
dt
∂F
∂F
Η=H+ 2
Q= 2
∂P
∂t
∑ pq − H = ∑ PQ − Η +
→ p=
∂F2
∂q
Legendresche Transformation (siehe z.B. Goldstein)
F1 (q, Q, t )
∂F1
∂q
→ p=
P=−
∂F1
∂Q
Η=H+
∂F1
∂t
F2 (q, P, t ) = F1 (q, Q, t ) + ∑ PQ
∂F2
∂q
→ p=
Q=
∂F2
∂P
Η=H+
∂F2
∂t
F3 ( p, Q, t ) = F1 (q, Q, t ) − ∑ pq
→q=
∂F3
∂p
P=−
∂F3
∂Q
Η=H+
∂F3
∂t
F4 ( p, P, t ) = F1 (q, Q, t ) + ∑ PQ − ∑ pq
→q=
∂F4
∂p
Q=
∂F4
∂P
Η=H+
∂F4
∂t
Aus der Kenntnis der
erzeugenden Funktion
ergeben sich jeweils
die Transformationsgleichungen
Q = Q ( qk , pk )
P = P ( qk , pk )
sowie der Zusammenhang
zwischen H und H
Beispiel: harmonischer Oszillator
p2 1 2
H=
+ kq
2m 2
F=
1
mk ⋅ q 2 cot Q
2
erzeugende Funktion vom Typ F1 ( q, Q, t )
→ p=
∂F1
∂q
P=−
2P
sin 2 Q
mk
p, q eingesetzt Η = H +
Lösung
∂F1
∂t
p 2 = mkq 2 cot 2 Q =
2 P ⋅ mk
cos 2 Q
mk
∂F1 2 P ⋅ mk
k ⋅ 2P
k
=
cos 2 Q +
sin 2 Q =
P
∂t 2m mk
m
2 mk
∂Η
k
=
∂P
m
∂H
=0
P=−
∂Q
Q=
Η=H+
1
q2
P=
mk
2
sin 2 Q
p = mk q cot Q
q2 =
∂F1
∂Q
→Q =
⎛ k
⎞
q = A ⋅ sin ⎜⎜
t + ϕ ⎟⎟
⎝ m
⎠
k
t +ϕ
m
→P=A
neue Ortskoordinate
neue Impulskoordinate
1.1.5 Übergang zu einer neuen unabhängigen Variablen s
Variationsprinzip: Lagrange-Funktion ersetzt durch L =
1
1
n
∑p q
k
k
− H ( qk , pk , t )
k
n
δ ∫ ∑ pk dqk − Hdt = 0 = δ ∫ ∑ pk dqk
0 k =1
0 k =0
Wegen der Symmetrie kann auch ein qk unabhängige Variable werden:
neue Ortsvariable, neue Hamilton-Funktion
s ≡ qn
p s ≡ pn
Η = − ps
Dafür aber werden t und H zu gewöhnlichen Koordinaten degradiert:
q0 ≡ t
qk′ =
p0 ≡ − H
dqk ∂Η
=
ds ∂pk
pk′ =
dpk
∂Η
=−
ds
∂qk
(k = 0, …, n − 1)
1.1.5 Übergang zu einer neuen unabhängigen Variablen s
Variationsprinzip: Lagrange-Funktion ersetzt durch L =
1
1
n
∑p q
k
k
− H ( qk , pk , t )
k
n
δ ∫ ∑ pk dqk − Hdt = 0 = δ ∫ ∑ pk dqk
0 k =1
0 k =0
Wegen der Symmetrie kann auch ein qk unabhängige Variable werden:
neue Ortsvariable, neue Hamilton-Funktion
s ≡ qn
p s ≡ pn
Η = − ps
Dafür aber werden t und H zu gewöhnlichen Koordinaten degradiert:
q0 ≡ t
p0 ≡ − H
Die neuen Hamiltonschen Gleichungen sind
qk′ =
dqk ∂Η
=
ds ∂pk
( H ist keine Energie! )
pk′ =
dpk
∂Η
=−
ds
∂qk
(k = 0, …, n − 1)
1.1.6 Geladene Teilchen in elektromagnetischen Feldern
divB = 0
rotE = − B = −rot
→
B = rotA
→
E = −gradφ −
∂A
∂t
⎛
∂A ⎞
rot ⎜⎜ E + ⎟⎟ = 0
∂t ⎠
⎝
∂A
∂t
Teilchen mit der Ladung e (zunächst nicht-relativistisch):
T=
1
1
mv 2 = m∑ qk2
2
2 k
U (qk , qk ) = eφ − ev ⋅ A
geschwindigkeitsabhängiges Potenzial
T=
1
1
mv 2 = m∑ qk2
2
2 k
U (qk , qk ) = eφ − ev ⋅ A
(warum?)
L = T −U
d ⎛ ∂L
⎜⎜
dt ⎝ ∂qk
⎞ ∂L
d ⎛ ∂T
⎟⎟ −
= 0 = ⎜⎜
dt ⎝ ∂qk
⎠ ∂qk
⎞ d ⎛ ∂U
⎟⎟ − ⎜⎜
⎠ dt ⎝ ∂qk
⎞ ∂U
⎟⎟ +
= mqk − Fk
⎠ ∂qk
muss die
Lorentz-Kraft
sein
Nach ca. 2 Seiten Goldstein, Klassische Mechanik, Kap. I.5
⎡ ∂
⎞⎤
d ⎛ ∂
∂U d ⎛ ∂U
⎟
⎜
F = e E + v × B ↔ Fx = e ⎢−
v ⋅ A ⎟⎥ = −
φ −v⋅ A − ⎜
+ ⎜⎜
dt ⎝ ∂v x
∂qk dt ⎝ ∂qk
⎠⎦
⎣ ∂x
[ (
)]
(
)
( )
⎞
⎟⎟
⎠
Kanonischer Impuls
pk =
∂L
∂
(T − U ) = mqk + eAk
=
∂qk ∂qk
mechanischer Impuls
Hamilton-Funktion
(
)
1
H = ∑ pk qk − L = mq + eA ⋅ q − mq 2 − eA ⋅ q + eφ
2
k
1
H = mq 2 + eφ
2
kinetische + potenzielle Energie
das Vektorpotenzial kommt nicht vor
(B immer senkrecht auf v, keine Beschleunigung)
H ( qk , pk ) =
(
)
2
1
p − eA(q ) + eφ (q )
2m
q⇒
p − eA
m
(s. oben)
1.2 Relativistische Erweiterung
Hamilton-Funktion ohne Feld
H=
p 2 c 2 + m02c 4
Hamilton-Funktion mit Feld
H=
(p − eA) + m c
2
2 4
0
+ eφ
ergibt sich aus der Lagrange-Funktion
L=−
m0 c 2
γ
+ eAv − eφ
p = γm0v + eA =
vgl. L. Landau, E. Lifschitz, Th. Physik II, §16(*)
∂L
∂v
γ≡
1
v2
1− 2
c
Nicht-relativistische Näherung
m0 v 2
+ eAv − eφ
L≈
2
2
1
H≈
p − eA + eφ
2m
(
(s. letzte Seite)
)
p = mv − eA
*Die folgenden Behauptungen sind weitgehend
als Ergebnis der experimentellen Erfahrung
anzusehen. Die Wirkungsfunktion eines
Teilchens im elektromagnetischen Feld läßt
sich nicht durch allgemeine Überlegungen
finden, wie etwa durch die Forderung nach
relativistischer Invarianz ...
1.3 Transformation in das “mitbewegte Bezugssystem”
Neue Koordinaten
(Q1 , Q2 , Q3 ) = ( x, z , s)
r ( s) = (R + x )ex ( s ) + zez ( s )
Frenet’sche Gleichungen
des
1
= − ex
ds
R
dex 1
= es
ds R
dez
=0
ds
R
s
no, désolé
es
ex
Erzeugende Funktion
F3 = −r ⋅ p = −(( R + x)ex ( s) + zez ( s ) ) ⋅ p
F3 ( p, Q, t ) = F1 (q, Q, t ) − ∑ pq
→q=
∂F3
∂p
P=−
∂F3
∂Q
Η=H+
∂F3
∂t
∂F3
= pex ( s )
∂x
∂F
Pz = − 3 = pez ( s )
∂z
∂F
x⎞
1 ⎞
⎛ 1
⎛
Ps = − 3 = p⎜ R es + x es ⎟ = pes ( s )⎜1 + ⎟
∂s
R ⎠
⎝ R
⎝ R⎠
Px = −
F3 = −r ⋅ p = −(( R + x)ex ( s) + zez ( s ) ) ⋅ p
bisherige Hamilton-Funktion (s. weiter oben)
H=
( p − eA) + m c
2
2 4
0
+ eφ
neue Hamilton-Funktion
(
)
~ 2
2
2
P
e
A
∂F3
−
~
~
s
+ m02 c 4 + eφ (Q)
Η=H+
= c 2 Px − eAx + c 2 Pz − eAz + c 2 s
2
∂t
x⎞
⎛
⎜1 + ⎟
⎝ R⎠
(
)
(
)
~
~
wobei das Vektorfeld dargestellt wurde durch A = Ax ex + Az ez +
~
As
x⎞
⎛
⎜1 + ⎟
⎝ R⎠
es
(
)
~ 2
2
2
P
e
A
∂F3
−
~
~
2 4
s
+
m
c + eφ (Q)
Η=H+
= c 2 Px − eAx + c 2 Pz − eAz + c 2 s
0
2
∂t
x⎞
⎛
1
+
⎜
⎟
⎝ R⎠
(
)
(
)
Jetzt soll nicht mehr t, sondern die Bahnlänge s unabhängige Variable sein:
(vgl. weiter oben)
x ⎞ (H − eφ )
~ ⎛
~ 2
~ 2
H s = − Ps = −eAs − ⎜1 + ⎟
−
P
−
e
A
−
P
−
e
A
− m02 c 2
x
x
z
z
2
c
⎝ R⎠
x⎞ 2
~ ⎛
~ 2
~ 2
H s = −eAs − ⎜1 + ⎟ pmech
− Px − eAx − Pz − eAz
⎝ R⎠
2
(
(
) (
) (
)
)
Begründung für die zweite Zeile
H − eφ = Ekin + m0 c 2 = γm0 c 2
(H − eφ )2 − m 2c 2 = γ 2 m 2c 2 − m 2c 2 = (γ 2 − 1)m 2c 2 = m 2c 2 β 2γ 2 = p 2
c2
0
0
0
0
0
mech
Bis hierher ist noch alles exakt. Nun werden folgende Spezialfälle betrachtet:
- Magnetfelder senkrecht zur Sollbahn (nur Dipol und Quadrupol)
- vertikale Dipolfelder ("flache Maschine")
- nur kleine Winkel zur Sollbahn
- nur kleine Abweichungen vom Sollimpuls
~
~
Magnetfeld senkrecht zur Sollbahn Ax = Ax = 0
x⎞ 2
~ ⎛
− Px2 − Pz2
H s = −eAs − ⎜1 + ⎟ pmech
⎝ R⎠
x⎞
Px2
Pz2
~ ⎛
H s = −eAs − ⎜1 + ⎟ pmech 1 − 2 − 2
pmech pmech
⎝ R⎠
kleine Winkel zur Sollbahn (Wurzel entwickelt)
x⎞ ⎛
Px2
Px2 ⎞
~ ⎛
⎟⎟
H s = −eAs − ⎜1 + ⎟ ⋅ ⎜⎜ pmech −
−
R
p
p
2
2
⎝
⎠ ⎝
mech
mech ⎠
nur Quadrupole und horizontal ablenkende Dipole
Bz = B0 +
e
∂Bz
= B0 − k
p0
∂x
p
As = − B0 x + 0
e
⎛ x 2 z 2 ⎞ B0 x 2
k ⎜⎜ + ⎟⎟ +
+ O(3)
2
2
2
R
⎠
⎝
z
r=R+x
B = ∇× A
in Zylinderkoordinaten (r,z)
∂AΘ
1
→ AΘ = − gz 2 + f ( x)
∂z
2
p
1 ∂
(rAΘ ) = ∂ ⎛⎜⎜ ⎛⎜1 + x ⎞⎟ f ( x) ⎞⎟⎟
Bz = 0 − gx =
eR
r ∂r
∂x ⎝ ⎝ R ⎠
⎠
Br = Bx = gz = −
R
nur kleine Abweichungen vom Sollimpuls
pmech = p0 + Δp
1 eB0
=
R
p0
⎛ x 2 z 2 ⎞ p0 x 2 ⎞
x⎞
x ⎞⎛⎜ p0 x
~
⎛
⎛
⎟
eAs = e⎜1 + ⎟ As = ⎜1 + ⎟⎜ −
+ p0 k ⎜⎜ + ⎟⎟ +
2 ⎟
⎝ R ⎠⎝ R
⎝ R⎠
⎝ 2 2 ⎠ 2R ⎠
mit (s. vorige Seite)
pmech = p0 + Δp
1
pmech
=
1
1 ⎛ Δp ⎞
⎟⎟
⎜⎜1 −
≈
p0 (1 + Δp / p0 ) p0 ⎝
p0 ⎠
⎛ x 2 z 2 ⎞ p0 x 2 ⎞
x⎞
x ⎞⎛⎜ p0 x
~
⎛
⎛
⎟
eAs = e⎜1 + ⎟ As = ⎜1 + ⎟⎜ −
+ p0 k ⎜⎜ + ⎟⎟ +
2 ⎟
⎝ R ⎠⎝ R
⎝ R⎠
⎝ 2 2 ⎠ 2R ⎠
Px2
Px2 ⎞
x⎞ ⎛
~ ⎛
⎟⎟
H s = −eAs − ⎜1 + ⎟ ⋅ ⎜⎜ pmech −
−
2 pmech 2 pmech ⎠
⎝ R⎠ ⎝
⎛ Px2
⎛ x2 z 2 ⎞
x⎞ ⎡ x
x2
Pz2 ⎞⎛ Δp ⎞⎤
⎛
⎟⎟⎥
⎟⎟⎜⎜1 −
H s = ⎜1 + ⎟ ⋅ ⎢ p0 − p0 k ⎜⎜ − ⎟⎟ − p0
− p0 − Δp + ⎜⎜
+
2
p0 ⎠ ⎦
2R
⎝ R⎠ ⎣ R
⎝ 2 2⎠
⎝ 2 p0 2 p0 ⎠⎝
⎛ x2 z 2 ⎞
p x2
x
x2
p z2
x2
x
x
H s = p0 − p0 k ⎜⎜ − ⎟⎟ − p0
p
p
p
p
p
−
−
Δ
+
+
+
−
−
Δ
+ O(3)
0
0
0
2
2
R
R
R
R
2R
2 p0 2 p0
⎝ 2 2⎠
2
⎡⎛ 1
z 2 ⎤ p x2
p z2
x
⎞x
H s = − pmech + p0 ⎢⎜ 2 − k ⎟ + k ⎥ +
+
− Δp + O(3)
2 ⎦ 2 p0 2 p0
R
⎠ 2
⎣⎝ R
(Terme mit
x
p p Δp
bis zur 2. Ordnung)
, k x, k z, x , z ,
R
p0 p0 p0
pmech kann man weglassen, weil
(H − eφ )2 − m 2c 2 = p 2
c2
0
und
mech
∂H s
nicht von Interesse ist (φ=0, kein E-Feld)
∂H
2
⎡⎛ 1
z 2 ⎤ p x2
p z2
x
⎞x
H s = p0 ⎢⎜ 2 − k ⎟ + k ⎥ +
+
− Δp
2 ⎦ 2 p0 2 p0
R
⎠ 2
⎣⎝ R
Normierung auf p0, neue Hamilton-Funktion
2
Hs ⎛ 1
p x2
z2
p z2
x Δp
⎞x
H0 =
=⎜ 2 −k⎟ +k + 2 + 2 −
p0 ⎝ R
2 2 p0 2 p0 R p0
⎠ 2
2
z 2 x′2 z ′2 x Δp
⎛ 1
⎞x
H0 = ⎜ 2 − k ⎟ + k +
+
−
2
2
2 R p0
⎠ 2
⎝R
neue kanonische Inpulse
x′ ≡
Px
p0
∂H 0
dx
= x′ =
ds
∂x′
z′ ≡
Pz
p0
∂H 0
dz
= z′ =
∂z ′
ds
Hamilton-Funktion (s. vorige Seite)
2
z 2 x′2 z′2 x Δp
⎞x
⎛ 1
+
−
H0 = ⎜ 2 − k ⎟ + k +
R
R p0
2
2
2
2
⎠
⎝
Anwendung der Hamiltonschen Gleichungen: Bewegungsgleichungen
∂H 0
1 Δp
⎛ 1
⎞
= −⎜ 2 − k ⎟ x +
∂x
R p0
⎝R
⎠
∂H
z ′′ = − 0 = − kz
∂z
x′′ = −
1 Δp
⎛ 1
⎞
x′′ + ⎜ 2 − k ⎟ x =
R p0
⎝R
⎠
z ′′ + kz = 0
Bewegungsgleichungen im mitbewegten Bezugssystem
Lösungen (vgl. Vorlesung Teil I):
- Transport-(Transfer-)Matrizen für Drift, Dipol, Quadrupol
- allgemeiner Ausdruck x( s ) = ε β ( s ) cos μ ( s )
μ ( s) = Ψ ( s) + φ
Zur Behandlung schwacher Nichtlinearitäten wird ein Koordinatensystem
gewählt, in dem die Teilchenbewegung noch einfacher erscheint.
vgl I.4 Lineare Teilchenoptik
I.4.4 Teilchen mit Impulsabweichung, Dispersion
1
1 Δp
x
=
R2
R p
1
1
D′′ + 2 D =
R
R
D ( 0)
s
s
s⎞
⎛
D( s) =
sin + D′(0) R sin + R⎜1 − cos ⎟
R
R
R
R⎠
⎝
x′′ +
Dispersion
D( s) ≡
x( s )
Δp / p
Momentum compaction factor
α≡
ΔL / L 1
=
Δp / p L0
D( s)
∫ R(s) ds
⎛ x ⎞ ⎛ Cx S x
⎜ ⎟ ⎜
⎜ x' ⎟ ⎜ C x′ S x′
⎜ z⎟ ⎜ 0 0
⎜ ⎟ =⎜
⎜ z' ⎟ ⎜ 0 0
⎜ l ⎟ ⎜ rc rs
⎜δ ⎟ ⎜
⎝ p ⎠s ⎝ 0 0
0
0
Cz
C z′
0
0
0
0
Sz
S z′
0
0
0
0
0
0
1
0
dx ⎞ ⎛ x ⎞
⎟ ⎜ ⎟
d x′ ⎟ ⎜ x' ⎟
0⎟ ⎜ z⎟
⎟⋅⎜ ⎟
0 ⎟ ⎜ z' ⎟
rd ⎟ ⎜ l ⎟
1 ⎟⎠ ⎜⎝ δ p ⎟⎠
0
1.4 Übergang zu Wirkung-Winkel-Variablen
x2 ⎛
β ′( s ) ⎞
1.4.1 F1 ( x,ψ , s ) = −
⎜ tanψ −
⎟
2β ( s) ⎝
2 ⎠
erzeugende Funktion vom Typ F1 ( q, Q, t )
→ p=
∂F1
∂q
P=−
∂F1
∂Q
∂F
x⎛
β ′( s) ⎞
x′ = 1 = ⎜ tanψ −
⎟
∂x β ⎝
2 ⎠
Η=H+
∂F1
∂t
∂F1
x2
J =−
=
∂ψ 2 β cos 2 ψ
Vergleich mit der früheren Lösung
x( s ) = ε β ( s ) cos φ ( s )
x′( s ) = −
ε ⎛
⎜ sin φ ( s ) −
β (s) ⎝
εβ ( s ) cos 2 φ ( s ) ε
J=
=
2 β ( s ) cos 2 φ ( s ) 2
φ ( s ) = Ψ ( s ) + φ0
Ψ ′( s ) = φ ′( s ) =
1
β ( s)
β ′( s )
x( s ) ⎛
β ′( s ) ⎞
⎞
cos φ ( s ) ⎟ = −
⎜ tan φ ( s ) −
⎟
2
s
(
)
2
β
⎝
⎠
⎠
Winkelvariable = Phase der Betatronschwingung
Wirkungsvariable = “Einteilchen-Emittanz”/2
1.4.2 Anmerkung zur Wirkungsvariablen
dx(φ )
dφ = πε = 2πJ
dφ
adiabatisch
∫ x′dx =∫ x′(φ )
I = ∫ pdq = ∫∫ dpdq
Bei periodischen Bewegungen:
- besonders einfache Form der
Hamilton-Funktion, da J konstant
- gut geeignet zur Untersuchung
kleiner Störungen
- J bleibt konstant bei adiabatischen
Änderungen eines Parameters λ
λ
dλ
<<
dt
T0
p
p
q
q
⎡ Δp
⎤
′
=
0
,
=
0
,
=
0
z
z
⎢
⎥
⎣ p0
⎦
1.4.3 Neue Hamilton-Funktion
2
z 2 x′2 z′2 x Δp
⎛ 1
⎞x
H0 = ⎜ 2 − k ⎟ + k +
+
−
2
2
2 R p0
⎝R
⎠ 2
2
1 2 ∂ ⎡ x2 ⎛
1
1
∂F1 ⎛ 1
⎞⎤
⎞x
HW = H 0 +
J
= ⎜ 2 − k ⎟ + x′ − ⎢
⎜ tan φ − β ′( s ) ⎟⎥ =
2
∂s ⎝ R
∂s ⎣ 2β ( s ) ⎝
⎠⎦ β ( s )
⎠ 2 2
x′ =
∂F1 x ⎛
β ′( s ) ⎞
= ⎜ tan φ −
⎟
2 ⎠
∂x β ⎝
x2
∂F1
J =−
=
∂ψ 2 β cos 2 φ
K≡
↓
2 J cos 2 φ ⎛
β ′( s ) ⎞
x' =
⎜ tan φ −
⎟ ←
β
2 ⎠
⎝
2
2
x 2 = 2 Jβ cos 2 φ
1
−k
R2
2
β′
β ′ ⎞ x 2 β ′′
J⎛
⎞ x β′⎛
H W = KJβ cos φ + ⎜ sin φ − cos φ ⎟ +
⎜ tan φ − ⎟ +
β⎝
2
2 β ⎝
2 ⎠ 4β
⎠
⎤
⎡⎛
β ′2 β ′′ ⎞ 2
1
2
= ⎢⎜⎜ Kβ −
+ ⎟⎟ cos φ + sin φ ⎥
β
4
2 ⎠
β
⎦
⎣⎝
2
2
ohne Beweis*
β ′2 β ′′ 1
+
=
Kβ = γ + α ′ → Kβ −
4β
2 β
*z.B. Edwards, Syphers (3.73)
H W (φ , J , s ) =
1
J
β (s)
H W (φ , J , s ) =
J′ = −
1
J
β (s)
∂H W
=0
∂φ
→ J = const.
p
2 J entspricht der Courant-Snyder-Invariante
q
∂H
1
φ′ = W =
∂J
β (s)
“Frequenz” des Umlaufs
im Phasenraum
s
→ φ (s) = ∫
0
1
ds + φ0
β (s )
Betatron-Phase
1.5 Anwendungen des Hamilton-Formalismus
1.5.1 Gradienten-Fehler des Quadrupols
Ausgangspunkt (s. weiter oben)
2
1 2 ∂ ⎡ x2 ⎛
1
1
∂F1 ⎛ 1
⎞⎤
⎞x
HW = H 0 +
J
= ⎜ 2 − k ⎟ + x′ − ⎢
⎜ tan φ − β ′( s ) ⎟⎥ =
2
∂s ⎝ R
∂s ⎣ 2β ( s ) ⎝
⎠⎦ β ( s )
⎠ 2 2
Hamilton-Funktion mit Gradienten-Fehler k → k + Δk
HW =
J
1
− Δk ( s ) x 2
β ( s) 2
HW =
1
J 1
β
− ΔkJβ cos 2 φ = − ΔkJ (1 + cos 2φ )
2
β 2
β 2
Δk =
e
Δg
p0
z.B. g =
∂B
∂x
J
Änderung des Arbeitspunkts (“tune”)
Q=
1
1 dφ
1
d
=
ds
=
φ
2π ∫
2π ∫ ds
2π
1
∫β
weil
ds −
1
1
β
Δ
kds
−
βΔk cos(2φ )ds
∫
∫
4π
4π
dφ ∂H W 1 β
= − Δk (1 + cos 2φ )
=
∂J
ds
β 2
Änderung des Arbeitspunkts (“tune”)
Q=
1
1 dφ
1
d
=
ds
=
φ
2π ∫
2π ∫ ds
2π
1
∫β
Q0
ΔQ = Q − Q0 = −
1
βΔkds
4π ∫
ds −
1
1
β
Δ
kds
−
βΔk cos(2φ )ds
∫
∫
4π
4π
im Mittel 0, solange
Q nicht n/2 ist
(n = ganze Zahl):
cos 2(φ + 2πQ ) = cos(2φ + n 2π ) = cos 2φ
vgl. natürliche Chromatizität
Δk
Δp
=−
k
p0
ξ x, z ≡
ΔQx , z
Δp / p
=−
1
k ( s) β ( s )ds
∫
4π
Sextupol
Quadrupol
1.5.2 Sextupole
∂g ∂ 2 Bz
g′ =
=
∂x ∂x 2
g′
As = − (x 3 − 3 xy 2 )
6
y =0
⎯⎯
→
B = rot A
∂A 1
Bz = − s = g ′(x 2 − y 2 )
∂x 2
m
e
e g′ 3
As = −
x = − s x3
6
p0
p0 6
[Ax = 0]
~
eAs
HW = −
β p0
J
HW =
J
β
[x
2
+
/ R =0
⎯1⎯
⎯→
HW =
J
β
−
eAs J ms 3
x
= +
p0 β 6
ms
(2 Jβ )3 / 2 cos3 φ = J + ms (2 Jβ )3 / 2 (cos 3φ + 3 cos φ )
6
β 24
= 2 Jβ cos 2 φ
]
1
⎤
⎡ 3
(
)
cos
φ
cos
3
φ
3
cos
φ
=
+
⎥⎦
⎢⎣
4
dφ ∂H W 1 ms
(2β )3 / 2 J (cos 3φ + 3 cos φ )
=
= +
ds
∂J
β 16
Qz
Wie ändert sich der Arbeitspunkt?
Q=
j+1
1
1 dφ
d
=
ds
φ
∫
∫
2π
2π ds
Änderung im Mittel 0,
solange Q nicht n oder n/3
(n = ganze Zahl)
Qx
j
i
i+1
qk =
Was bisher geschah ...
Hauptpersonen der Handlung:
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
1.1.6
1.2
1.3
1.4
1.4.1
1.4.2
1.4.3
1.5
1.5.1
1.5.2
∂H
∂pk
pk = −
∂H
∂qk
d ⎛ ∂L
⎜
dt ⎜⎝ ∂qk
⎞ ∂L
⎟⎟ −
=0
⎠ ∂qk
Sir William
Graf Lagrange
Nicht-relativistische Theorie
Lagrangesche Gleichungen
Hamilton-Funktion
Hamiltonsche Gleichungen
Kanonische Transformationen, erzeugende Funktion
Übergang der unabhängigen Variablen von t zu s
Geladene Teilchen in elektromagnetischen Feldern
Relativistische Erweiterung
Transformation in das “mitbewegte Bezugssystem”
Übergang zu Wirkung-Winkel-Variablen
Erzeugende Funktion
Anmerkung zur Wirkungsvariablen
Die neue Hamilton-Funktion
Anwendungen
Gradientenfehler
Sextupole
H=
p 2 c 2 + m02 c 4
Blödmann
z ′′( s) + k ( s ) z ( s ) = 0
Hamilton-Funktion muss nicht immer der Gesamtenergie entsprechen
f
Hamilton-Funktion
H=
∑ p q − L( q , q , t )
k k
k =1
k
k
1
∫
δS = δ L( qk , qk , t )dt = 0
0
pk =
∂L
∂qk
qk =
∂H
∂pk
pk = −
∂H
∂qk
dH ∂H
=
dt
∂t
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L
⎜⎜
⎟⎟ −
=0
dt ⎝ ∂qk ⎠ ∂qk
H=
( p − eA) + m c
2
2 4
0
Was bisher geschah ...
+ eφ
F3 = −(( R + x )ex ( s ) + zez ( s ) ) ⋅ p
(
)
~ 2
2
2
P
e
A
−
~
~
s
+ m02c 4 + eφ (Q )
Η = c 2 Px − eAx + c 2 Pz − eAz + c 2 s
2
x⎞
⎛
⎜1 + ⎟
⎝ R⎠
(
)
unabhängige Variable t → s
~ ~
Ax = Ax = 0
(
)
(
) (
x⎞ 2
~ ⎛
~ 2
~
H s = −eAs − ⎜1 + ⎟ pmech
− Px − eAx − Pz − eAz
⎝ R⎠
)
2
p x , y << p0
x⎞ ⎛
Px2
Px2 ⎞
~ ⎛
⎟⎟
H s = −eAs − ⎜1 + ⎟ ⋅ ⎜⎜ pmech −
−
R
p
p
2
2
⎝
⎠ ⎝
mech
mech ⎠
~
As : Quadrupol - und vert. Dipolfelder
2
⎡⎛ 1
z 2 ⎤ p x2
pz2
x
⎞x
H s = − pmech + p0 ⎢⎜ 2 − k ⎟ + k ⎥ +
+
− Δp + O (3)
2 ⎦ 2 p0 2 p0
R
⎠ 2
⎣⎝ R
pmech ignoriert, Normierung auf p0
2
z 2 x′2 z′2 x Δp
⎛ 1
⎞x
H0 = ⎜ 2 − k ⎟ + k +
+
−
R
2
2
2
2
R p0
⎝
⎠
x2 ⎛
β ′( s ) ⎞
F1 ( x,ψ , s ) = −
⎜ tanψ −
⎟
2β ( s) ⎝
2 ⎠
H W (φ , J , s ) =
1
J
β (s)
Störungen
Hamilton- Gl.
1 Δp
⎛ 1
⎞
x′′ + ⎜ 2 − k ⎟ x =
R p0
⎝R
⎠
z ′′ + kz = 0
J
1
HW =
− Δk ( s ) x 2
β ( s) 2
HW =
J
β
+
ms 3
x
6
Hill'sche DGL
Gradientenfehler
und Sextupolfelder
1.6
Kanonische Störungsrechnung
Lokale Störung ist periodisch in der Umlaufzeit T=C/v (oft T=C/c)
Phase der Teilchenbewegung ist periodisch in T/Q (Q = Arbeitspunkt)
1.6.1 Transformation auf eine neue Winkelvariable ~ s
bisher H W (φ , J , s ) =
1
J
β (s)
~
~ ⎛⎜ Q
s−
F2 (φ , J , s ) = φJ +
⎜R
⎝
allg.
s
∫
0
d~
s ⎞⎟ ~
J
~
⎟
β(s )
⎠
R=
C
2π
F2 (q, P, t ) = F1 (q, Q, t ) + ∑ PQ
→ p=
∂F2
∂q
∂F
φ = ~2 = φ −
∂J
~
J=
∂F2 ~
=J
∂φ
Q=
s
∫
0
∂F2
∂P
Η=H+
∂F2
∂t
d~
s
Q
Q
+
=
+
φ
(
0
)
s
s Winkel linear in s
~
β (s ) R
R
J ändert sich nicht
}
analog zum
harmonischen
Oszillator
~
~ ⎛⎜ Q
s−
F2 (φ , J , s ) = φJ +
⎜R
⎝
s
∫
0
d~
s ⎞⎟ ~
J
β(~
s)⎟
⎠
R=
C
2π
neue Hamiltonfunktion
J Q
Q
∂F
1
~
Η W = HW + 2 = + J − J = J
∂s β R
β
R
(
)
Q
~ ~
Η W φ , J , s = J = const.
R
J
~
∂H
J′ = − ~ = 0
∂φ
Phase
Phase
←
Qc
= ω0
R
s
1.6.2 Sextupol-Resonanz
(
Phase
Sextupolfelder
)
Q
eA Q
m ( s) 3
~ ~
ΗW φ , J ,s = J − s = J + s
x
R
p0 R
6
⎛
2
2
2⎜ ~
x = 2 Jβ cos φ = 2 Jβ cos φ +
⎜
⎝
s
∫
0
d~
s
Q ⎞⎟
− s
β (~s ) R ⎟
⎠
⎛
Q
ms ( s )
~
3/ 2
3⎜ ~
(2 Jβ ( s ) ) cos ⎜ φ +
HW = J +
R
6
⎝
s
∫
0
→
d~
s
Q ⎞⎟
− s
~
(
)
s
R ⎟
β
⎠
s
τ(s)
τ(s)
umlaufperiodisch
1
⎡ 3
⎤
(
)
x
x
x
=
+
cos
3
cos
cos
3
⎢⎣
⎥⎦
4
Q
m ( s)
~
~
~
3/ 2
HW = J + s (2 Jβ ( s ) ) 3 cos φ + τ ( s ) + cos 3φ + 3τ ( s )
R
24
[cos( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y ]
Q
m ( s)
~
~
~
~
~
3/ 2
HW = J + s (2 Jβ ( s ) ) 3 cos φ cosτ − 3 sin φ sin τ + cos 3φ cos 3τ − sin 3φ sin 3τ
R
24
{ (
{
)
(
)}
}
{
~
~
~
~
Q
m ( s)
~
3/ 2
HW = J + s (2 Jβ ( s ) ) 3 cos φ cosτ − 3 sin φ sin τ + cos 3φ cos 3τ − sin 3φ sin 3τ
24
R
Q
( 2 J )3 / 2
~
~
~
~
3[…]cos φ − 3[…]sin φ + […]cos 3φ − […]sin 3φ
= J+
R
24
{
}
}
wobei [...] die umlaufperiodischen Anteile sind, für die eine Entwicklung nach
Harmonischen angegeben werden kann:
ms ( s)(β ( s) )
3/ 2
∞
cosτ ( s) = ∑ V
n =0
=
cosτ
n ,c
∞
∑W
n = −∞
ms ( s)(β ( s) )
3/ 2
ms ( s)(β ( s) )
3/ 2
ms ( s )(β ( s ) )
3/ 2
sin τ ( s) =
cosτ
n ,c
∞
cos 3τ ( s ) =
sin τ
n ,c
∞
τ
cos(nθ ) + Wnsin
, s sin (nθ )
cos 3τ
n ,c
n = −∞
sin 3τ ( s ) =
τ
cos(nθ ) + Wncos
, s sin (nθ )
∑W
∞
∑W
n = −∞
sin (nθ )
sin 3τ
n ,c
3τ
cos(nθ ) + Wncos
sin (nθ )
,s
3τ
cos(nθ ) + Wnsin
sin (nθ )
,s
Azimuthalwinkel
s
θ≡
R
R
s
∑W
n = −∞
cos(nθ ) + V
cosτ
n,s
θ
z.B.
∞
ms ( s )(β ( s ) )
3/ 2
cosτ ( s ) =
∑
cosτ
n ,c
V
cos(nθ ) + V
cosτ
n ,s
sin (nθ ) =
n =0
τ
Vncos
=
,c
cosτ
n ,c
W
cosτ
n ,c
W
τ
Wnsin
,c
π
2π
∫
0
1
=
2π
1
β 3 / 2ms cosτ cos(nθ )dθ =
2π
2π
∫β
1
2πR
ms cos(τ − nθ )dθ
n = −∞
2π
∫
β 3 / 2ms [cos(τ − nθ ) + cos(τ + nθ )]dθ *)
0
*) hier ist n=0 doppelt, wird vernachlässigt, weil
schnell oszillierender Term (nicht resonant)
2π
∫β
2π
3/ 2
ms cos(τ − nθ )ds
cosτ
n ,s
W
0
2π
∫
β 3 / 2ms sin(τ + nθ )ds
0
1
=
2πR
1
=
2πR
3/ 2
∑
τ
cosτ
Wncos
,c cos(nθ ) + Wn , s sin (nθ )
0
1
=
2πR
τ
Wnsin
,c =
3τ
Wncos
,c
1
∞
2π
∫
β 3 / 2ms cos(3τ − nθ )ds
0
∫
0
1
d~
s
Q
3/ 2
=
τβ( s ) m
=s sin(τ~+−nθ )ds
s
2πR
β (s ) R
∫
∫
0
0
s
2π
F2 3 / 2
d~
s
Q
~
∂
1
sinτ
s = φ −τ
φ
=
=
φ
−
+
~
β ms cos(τ~− nθ )ds
Wn ,s =
J
s
R
∂
β
(
)
2πR
0
0
~
cos(τ1) =2πcos(φ − φ )
τ
β 3 / 2ms sin(3τ + nθ )ds
Wncos
=
,s
2πR
∫
∫
∫
0
2π
β 3 / 2ms sin(3τ + nθ )ds
s
τ
Wnsin
,s
1
=
2πR
2π
∫
0
β 3 / 2ms cos(3τ − nθ )ds
z.B.
∞
ms ( s )(β ( s ) )
cosτ ( s ) =
3/ 2
∑
cosτ
n ,c
V
cos(nθ ) + V
cosτ
n ,s
sin (nθ ) =
n = −∞
τ
Vncos
,c
cosτ
n ,c
W
τ
Wncos
,c
sin τ
n ,c
W
cos 3τ
n ,c
W
sin 3τ
n ,c
W
2π
1
= ∫ β 3 / 2 ms cosτ cos(nθ )dθ =
π 0
2π
1
1
=
2π
∞
∑
τ
cosτ
Wncos
,c cos(nθ ) + Wn , s sin (nθ )
n = −∞
2π
∫β
3/ 2
ms [cos(τ − nθ ) + cos(τ + nθ )]dθ
0
2π
3/ 2
β
∫ ms cos(τ − nθ )dθ
0
2πR
1
=
2πR
1
=
2πR
∫β
3/ 2
ms cos(τ − nθ )ds
τ
Wncos
,s
0
2πR
1
=
2πR
1
=
2πR
∫β
3/ 2
ms sin(τ + nθ )ds
sin τ
n,s
W
0
2πR
∫β
3/ 2
ms cos(3τ − nθ )ds
1
=
2πR
1
=
2πR
cos 3τ
n,s
W
0
2πR
∫β
0
3/ 2
ms sin(3τ + nθ )ds
sin 3τ
n,s
W
2πR
∫β
3/ 2
ms sin(τ + nθ )ds
0
2πR
3/ 2
β
∫ ms cos(τ − nθ )ds
0
1
=
2πR
1
=
2πR
2πR
3/ 2
β
∫ ms sin(3τ + nθ )ds
0
2πR
3/ 2
β
∫ ms cos(3τ − nθ )ds
0
gleiche Terme!
{
Q
( 2 J )3 / 2
~
~
~
~
~
HW = J +
3[…]cos φ − 3[…]sin φ + […]cos 3φ − […]sin 3φ
R
24
(2 J )
Q
~
HW = J +
R
24
3/ 2
∞
∑
}
~
~
cosτ
τ
(
)
(
)
n
θ
φ
+
W
n
θ
φ
3Wncos
cos
cos
3
sin
cos
,c
n ,s
n = −∞
~
~
τ
sinτ
(
)
(
)
− 3Wnsin
n
θ
φ
−
W
n
θ
φ
sin
sin
3
cos
sin
,s
n ,c
~
~
3τ
cos 3τ
(
)
(
)
+ 3Wncos
n
θ
φ
+
W
n
θ
φ
cos
cos
3
3
sin
cos
3
,c
n ,s
~
~
3τ
sin 3τ
(
)
(
)
− 3Wnsin
n
θ
φ
−
W
n
θ
φ
sin
sin
3
3
cos
sin
3
,s
n ,c
(2 J )
Q
~
HW = J +
24
R
3/ 2
∞
(
)
~
cos(nθ + 3φ ) + W
(
)
~
sin (nθ − 3φ )
~
~
cosτ
cosτ
3
cos
3
sin
W
n
θ
+
φ
+
W
n
θ
−
φ
∑ n ,c
n,s
n = −∞
3τ
+ Wncos
,c
cos 3τ
n,s
Resonanz, wenn eine der Winkelfunktionen (nahezu) konstant ist:
Q
s = φ ( 0) + Q θ
R
~
nθ ± φ = nθ ± φ (0) ± Qθ
→
~
φ = φ ( 0) +
Q = ∓n
ganzzahlige Resonanz
Q
s = φ ( 0) + Q θ
R
~
nθ ± φ = nθ ± φ (0) ± Qθ
→
~
φ = φ ( 0) +
~
nθ ± 3φ = nθ ± 3φ (0) ± 3Qθ
→
s
τ ( s) =
Q = ∓n
∫
0
Q=±
ganzzahlige Resonanz
n
3
drittelzahlige Resonanz
d~
s
Q
−
s = φ ( s ) − Qθ
β (~s ) R
3τ ± nθ
Beispiel:
Q = 8.33
cos 3τ
− 25,c
W
n = 25
R = 50 m
β = 10 m
m = 10 m-3
ds = 0.2 m
φ=0
1
=
2πR
1
=
2πR
3τ
W+cos
25, s
1
=
2πR
1
=
2πR
2πR
3/ 2
(
(
))
β
s
ms ( s ) cos{3φ ( s) − 3Qθ − (−25)θ }ds
∫
0
2πR
∫ ( β (s))
3/ 2
0
2πR
∫ (β ( s))
3/ 2
Wc3
ms ( s) cos 3φ ( s )ds ≡
R
= 0.2 m-3/2
ms ( s ) sin{3φ ( s ) − 3Qθ + (+25)θ }ds
0
2πR
∫ (β (s))
0
3/ 2
Ws3
ms ( s) sin 3φ ( s)ds ≡
R
= 0.0 m-3/2
W-Koeffizienten ("driving terms") ~ cos φ oder sin φ
z.B.
Δφ = 60 Grad
Δφ = 120 Grad
n
cos3φ
cos3φ
sin3φ
0
1
2
3
1
-1
1
-1
1
1
1
1
0
0
0
0
sin3φ
0
0
0
0
...
Verhalten in der Nähe der drittelzahligen Resonanz
(2 J )
Q
~
HW = J +
R
24
3/ 2
∞
(
)
~
cos(nθ + 3φ ) + W
(
)
~
sin (nθ − 3φ )
~
~
cosτ
cosτ
W
n
θ
+
φ
+
W
n
θ
−
φ
3
cos
3
sin
∑ n ,c
n,s
n = −∞
3τ
+ Wncos
,c
cos 3τ
n,s
Beschränkung auf drittelzahlige Resonanz (Summe fängt wieder bei 0 an!)
(2 J )
Q
~
HW = J +
24
R
3/ 2
∞
∑
n =0
(
)
(
~
~
3τ
cos 3τ
cos
3
sin
3
Wncos
n
θ
−
φ
+
W
n
θ
−
φ
n,s
,c
)
Q = Q0 + δQ
Q0 = n / 3
~
φ = φ (0) + Qθ
~
nθ − 3φ = nθ − 3(Q0 + δQ )θ − 3φ (0)
Phase
in der Nähe der Resonanz
s
nächster Schritt: Transformation auf
langsam veränderliche Winkelkoordinate
τ(s)
Transformation der Winkelkoordinate
~
⎛~ n ⎞
⎛~ n s ⎞
F2 (φ , Jˆ , s ) = Jˆ ⎜ φ − θ ⎟ = Jˆ ⎜ φ −
⎟
3
3
R
⎝
⎠
⎝
⎠
∂F
Impulskoordinate bleibt unverändert
J = ~2 = Jˆ
∂φ
∂F
~ n
φˆ = 2 = φ − θ langsam veränderliche Winkelkoordinate
3
∂Jˆ
(2 J )
n
∂F Q
~
Hˆ W = H W + 2 = J −
J+
∂s
R
3R
24
3/ 2
Hˆ W (φˆ, J ) =
δQ
R
3/ 2
(
2J )
J+
24
es geht noch einfacher ...
∞
∑W
n =0
cos 3τ
n ,c
∞
∑
n =0
( )
( )
3τ
ˆ + W cos 3τ sin − 3φˆ
Wncos
−
φ
cos
3
,c
n,s
( )
( )
3τ
cos 3φˆ − Wncos
sin 3φˆ
,s
hängt nicht mehr
explizit von s ab
Hˆ W (φˆ, J ) =
δQ
R
3/ 2
(
2J )
J+
24
∞
∑
( )
( )
3τ
3τ
Wncos
cos 3φˆ − Wncos
sin 3φˆ
,c
,s
n =0
n kommt nicht mehr vor:
J (2 J )
Hˆ W (φˆ, J ) = δQ +
Wc3 cos 3φˆ − Ws3 sin 3φˆ
R
24 R
3/ 2
wobei
und
1
Wc3 =
2π
Wc3 =
1
2π
( )
( )
2 πR
∫
β 3 / 2 ( s )ms ( s ) cos 3φ ( s )ds
0
2 πR
∫
β 3 / 2 ( s )ms ( s ) cos 3φ ( s )ds
0
J (2 J )
Hˆ W (φˆ, J ) = δQ +
W3 cos 3φˆ + φˆ0
24 R
R
3/ 2
mit
Form
W3 = (W ) + (W )
3 2
c
3 2
s
(
und
)
3
W
s
tan φˆ0 = 3
Wc
Hˆ W (φˆ, J ) = A ⋅ J + B ⋅ J 3 / 2 cos 3ϕ
H=
( p − eA) + m c
2
(
2 4
0
)
Was bisher geschah ...
+ eφ
(
)
~
~
Η = c 2 Px − eAx + c 2 Pz − eAz + c 2
2
~ ⎛
H s = −eAs − ⎜1 +
⎝
~ ⎛
H s = −eAs − ⎜1 +
⎝
2
(
(P − eA~ )
2
s
s
x⎞
⎛
1
+
⎜
⎟
⎝ R⎠
2
) (
+ m02c 4 + eφ (Q )
x⎞ 2
~ 2
~
p
−
P
−
e
A
−
P
−
e
A
⎟ mech
x
x
z
z
R⎠
)
2
x⎞ ⎛
Px2
Px2 ⎞
⎟
−
⎟ ⋅ ⎜ pmech −
R ⎠ ⎜⎝
2 pmech 2 pmech ⎟⎠
2
⎡⎛ 1
z 2 ⎤ p x2
pz2
x
⎞x
H s = − pmech + p0 ⎢⎜ 2 − k ⎟ + k ⎥ +
+
− Δp + O (3)
2 ⎦ 2 p0 2 p0
R
⎠ 2
⎣⎝ R
2
z 2 x′2 z′2 x Δp
⎛ 1
⎞x
Hill’sche DGL
H0 = ⎜ 2 − k ⎟ + k +
+
−
R
2
2
2
2
R
p
⎝
⎠
0
H W (φ , J , s ) =
m
1
J + s (2 J β )3/ 2 ( cos 3φ + 3cos φ )
β (s)
24
∞
2J )
Q
(
τ
τ
HW (φ , J , s ) = J +
Wncos3
cos nθ − 3φ + Wncos3
sin nθ − 3φ
∑
,c
,s
R
24 n =0
3/ 2
J
2
J
(
)
Hˆ W (φˆ, J ) = δ Q +
W3 cos 3φˆ + φˆ0
Hˆ W (φˆ, J ) = A ⋅ J + B ⋅ J 3/ 2 cos 3ϕ
R
24 R
3/ 2
(
(
)
)
(
)
H 0 ( x, x′, s)
HW (φ , J , s)
HW (φ , J , s )
Hˆ W (φˆ, J )
Form
Hˆ W (φˆ, J ) = A ⋅ J + B ⋅ J
cos 3ϕ = −1
3/ 2
cos 3ϕ
A=
3
∂Hˆ W
= 0 = A − BJ 1 / 2
2
∂J
→
Hˆ max = A ⋅ J max − B ⋅ J
3/ 2
max
→
δQ
J max
R
23 / 2
B=
W3
24 R
4 A2 32
=
= 2 (δQ )2
2
9B
W3
4 A3
32
=
=
(δQ )2
2
2
27 B
3RW3
Beispiel:
δ Q = −0.033
Q = 8.300
x = 2 J β cos φ
W3 = 10 m −1/ 2
→
J max = 3.5 ⋅10−4 m
→
xmax = 84 mm
β = 10 m
0.6
cos 3ϕ = 1
0.5
cos 3ϕ = 0
H
0.4
0.3
0.2
cos 3ϕ = −1
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
J
0.4
0.5
0.6
Fixpunkte
Hˆ W (φˆ, J ) = A ⋅ J + B ⋅ J
keine Änderung
der Position:
3/ 2
cos 3ϕ
A=
δQ
R
23 / 2
B=
W3
24 R
∂Hˆ W
∂φˆ
3B 1/ 2
=0=
→
A+
J cos(3φˆ + φˆ0 ) = 0
∂s
∂J
2
∂Hˆ W
∂J
=0=−
→ sin(3φˆ + φˆ0 ) = 0
∂s
∂φˆ
φˆ0 ⎡ 1 2
4 5 ⎤
ˆ
φ = − + ⎢0, π , π , π , π , π ⎥ und damit cos(3φˆ + φˆ0 ) = ±1
3 ⎣ 3 3
3 3 ⎦
z.B.
A > 0, B > 0
φˆ0 ⎡ 1
5 ⎤
ˆ
φ = − + ⎢ π ,π , π ⎥
3 ⎣3
3 ⎦
32
J = 2 (δ Q)2
W3
32
H=
(δ Q)2
2
3RW3
→
cos(3φˆ + φˆ0 ) = −1
entspricht dem max. stabilen H und J,
aber nur für 3 Winkel, d.h. bei anderen
Winkeln bleibt die Position nicht konstant
Fixpunkte
z.B.
A > 0, B > 0
φˆ0 ⎡ 1
5 ⎤
ˆ
φ = − + ⎢ π ,π , π ⎥
3 ⎣3
3 ⎦
32
J = 2 (δQ )2
W3
H=
→
cos(3φˆ + φˆ0 ) = −1
π/3
JJ
π
φ
32
(δQ )2
2
3RW3
5π/3
Fixpunkte
z.B.
A > 0, B > 0
φˆ0 ⎡ 1
5 ⎤
ˆ
φ = − + ⎢ π ,π , π ⎥
3 ⎣3
3 ⎦
32
J = 2 (δQ )2
W3
H=
→
cos(3φˆ + φˆ0 ) = −1
π/3
JJ
π
φ
32
(δQ )2
2
3RW3
5π/3
Fixpunkte
z.B.
A > 0, B > 0
radial: J
→
cos(3φˆ + φˆ0 ) = −1
φˆ0 ⎡ 1
5 ⎤
ˆ
φ = − + ⎢ π ,π , π ⎥
3 ⎣3
3 ⎦
32
J = 2 (δQ )2
W3
H=
32
(δQ )2
2
3RW3
radial:
J am Fixpunkt entspricht der größten
stabilen Trajektorie:
x ≤ 2J Fixpunkt β
2J (vgl. Ein-Teilchen-Emittanz) ist
die "dynamische Akzeptanz"
des Kreisbeschleunigers
J
ξ x, z ≡
ξ x, z
ΔQ x , z
=−
1
k ( s ) β ( s )ds
∫
4π
Δp / p
ΔQ x , z
1
≡
=
(m( s ) D ( s ) − k ( s ) β ( s )ds
Δp / p 4π ∫
2 Strategien
a) Kompensation der "driving terms" durch
geschickte Verteilung der
"chromatischen" Sextupole
b) Kompensation durch zusätzlicher
"harmonischer" Sextupole in dispersionsfreien
Strecken (kein Einfluß auf Chromatizität)
1.6.3 Oktupol-Resonanz
Hamiltonfunktion mit Oktupol-Störung (Annahme: z=0)
HW (φ , J , s ) =
mit cos 4 x =
HW =
J
β
+ C ⋅ x4 =
J
β
+ C ⋅ ( 2 J β cos 2 φ )
1
( cos 4 x + 4 cos 2 x + 3)
8
J
1
+ C β 2 J 2 ( cos 4φ + 4 cos 2φ + 3)
β 2
Hamiltonsche Gleichung
dφ ∂H 1
=
= + Cβ 2 J (cos 4φ + 4 cos 2φ + 3)
ds ∂J β
n
n
Q=
Q=
Resonanz bei
4
2
2
dφ ∂H 1
=
= + Cβ 2 J (cos 4φ + 4 cos 2φ + 3)
ds ∂J β
n
n
Q=
Resonanz bei Q =
4
2
Verhalten in der Nähe der Oktupol-Resonanz (cos2φ-Term ignoriert):
(
)
J
Hˆ W (φˆ, J ) = δQ + KJ 2 cos 4φˆ + 3
R
[
vgl. Sextupol-Resonanz:
Q = Q0 + δQ
J (2 J )
Hˆ W (φˆ, J ) = δQ +
W3 cos 3φˆ + φˆ0
24 R
R
3/ 2
(
)
]
zur Erinnerung
φ : Phasenvorschub der Betatron - Bewegung
φˆ : " langsam veränderliche" Winkelkoordinate
Q0 =
n
4
Fixpunkte
(
)
J
Hˆ W (φˆ, J ) = δQ + KJ 2 cos 4φˆ + 3
R
Q = Q0 + δQ
Bedingung:
dφˆ
∂Hˆ δ Q
=0=
=
+ 2 KJ cos 4φˆ + 3
∂J
ds
R
(
)
∂Hˆ
dJ
=0=−
= 2 KJ 2 4sin 4φˆ
ds
∂φˆ
→
unterschiedliches Vorzeichen für K und δ Q
→
φˆ = ⎢0, π , π , π , π , π , π , π ⎥
4 2 4 ⎦
⎣ 4 2 4
⎡ 1
z.B. K > 0
Jeder zweite Fixpunkt ist stabil (Insel)!
Instabiler Fixpunkt: Bifurkation, d.h.
kleinste Änderungen der Startbedingungen
führen zu völlig unterschiedlichen Trajektorien
1
3
5
3
7 ⎤
Q = 8.24 Fixpunkte
Q = 8.26 keine Fixpunkte
Abhängigkeit des Arbeitspunkts von der Amplitude
(
)
J
Hˆ W = δQ + KJ 2 cos 4φˆ + 3
Q = Q0 + δQ
R
∂Hˆ W ⎛
n⎞
Q=R
= ⎜ Q0 − ⎟ + 6 RKJ + …
∂J
4⎠
⎝
K > 0: Q wächst mit zunehmendem J
K < 0: Q nimmt mit zunehmendem J ab
z.B. K > 0
Q = 8.24 Fixpunkte
Q = 8.26 keine Fixpunkte
1.6.4 Kopplung
bisher: vereinfachende Annahme z=0
aber: Vektorpotenziale enthalten Terme der Form xm zn
Skew-Quadrupol
As ∝ xz
normaler Sextupol
As ∝ x 3 − 3xz
Skew-Sextupol
As ∝ 3x 2 z − z 3
normaler Oktupol
As ∝ x 4 − 6 x 2 z 2 + y 4
Skew-Oktupol
As ∝ 4 x 3 z − 4 xz 3
H0 =
1
1
k ( s ) ( x 2 + z 2 ) + ( x′2 + z ′2 ) + f ( s ) xz
2
2
Kanonische Transformation zu Winkel-Wirkungs-Variablen
H = Qx J x + Qz J z + U (φx , φz , J x , J z , θ )
U (φ x , φ z , J x , J z , θ ) =
∑U
mx m z n
ein Umlauf:
θ → θ + 2π
mx m z n
RHW
θ=
s
R
( J x , J z ) exp {i ( mxφx + mzφz − nθ )}
φi → φi + 2π Qi
mx Qx + mz Qz − n = 0
mx + mz = Ordnung der Resonanz
in der Nähe einer Resonanz δ Q = mx Qx + mz Qz − n
H = Qx J x + Qz J z + f ( J x , J z ) cos ( mxφx + mzφz − nθ )
Kanonische Tranformation zu langsam veränderlichen Winkelkoordinaten (“rotierendes System”)
H = Qx J x + Qz J z + f ( J x , J z ) cos ( mxφx + mzφz − nθ )
F2 (φx , K x , φz , K z ,θ ) = ( mxφx + mzφz − nθ ) K x + φ z K z
φˆx =
∂F2
= mxφx + mzφz − nθ
∂K x
φˆz =
∂F2
= φz
∂K z
Jx =
∂F2
= mx K x
∂φx
Jz =
∂F2
= mz K x + K z
∂φz
δ Q = mx Qx + mz Qz − n
∂F
Hˆ = H + 2 = Qx J x + Qz J z + f ( J x , J z ) cos φˆx − nK x
∂θ
Hˆ = Qx mx K x + Qz mz K x − nK x + Qz K z + f ( J x , J z ) cos φˆx
Hˆ = δ Q ⋅ K x + Qz K z + f ( J x , J z ) cos φˆx
zum Vergleich:
(
J
Hˆ W (φˆ, J ) = δ Q + f ( J ) cos 3φˆ + φˆ
R
)
Hˆ = δ Q ⋅ K x + Qz K z + f ( K x , K z ) cos φˆx
∂Hˆ dHˆ
=
=0
∂θ
dθ
∂K
∂Hˆ
=− z =0
∂θ
∂φˆz
→
δ Q = mx Qx + mz Qz − n
Hˆ = const.
→
mz J x − mx J z = const.
Jx =
∂F2
= mx K x
∂φx
Jz =
∂F2
= mz K x + K z
∂φz
weil
Beispiel: Skew-Quadrupol
Qz
z.B. mx = 1, mz = ±1
j+1
Summenresonanz instabil
m z = +1
J x − J z = const.
Qx + Qz = n
Differenzresonanz stabil
m z = −1
J x + J z = const.
Qx − Qz = n
Qx
j
i
i+1
Zeitliche Entwicklung der gekoppelten Bewegung
δ Q = mx Qx + mz Qz − n
Hˆ = δ Q ⋅ K x + Qz K z + f ( K x , K z ) cos φˆx
∂K z
∂Hˆ
Kz ≡
=−
=0
ˆ
∂θ
∂φz
∂K x
∂Hˆ
Kx ≡
=−
= f sin φˆx
∂θ
∂φˆ
x
∂Hˆ
∂f
= δQ +
φx =
cos φˆx
∂K x
∂K x
⎛ ∂f
⎞
∂f
Kx = ⎜
K z ⎟ sin φˆx + φˆx f cos φˆx
Kx +
∂K z
⎝ ∂K x
⎠
∂f
= f
sin 2 φˆx + cos 2 φˆx + δ Q ⋅ f cos φˆx
∂K x
(
=f
)
∂f
+ δ Q ( A − δ Q ⋅ Kx )
∂K x
A ≡ Hˆ − Qz K z
Zeitliche Entwicklung der gekoppelten Bewegung
Kx = f
∂f
+ δ Q ( A − δ Q ⋅ Kx )
∂K x
A ≡ Hˆ − Qz K z
Skew-Quadrupol (B ist ein Mass für die Quadrupol-Stärke)
f (J x , J z ) = B ⋅ J x J z
f ( K x , K z ) = B ⋅ K x ( mz K x + K z )
(mx = +1)
∂f
B2
f
=
( K z + 2 mz K x )
∂K x
2
(
)
B2
K x + ( δ Q ) − mz B K x = δ Q ⋅ A +
Kz
2
2
Summenresonanz
2
K x − α 2 K x = const.
α2 > 0
Differenzresonanz
→
exp. Anwachsen von K x
K x + ω 2 K x = const.
ω2 > 0
→
α 2 = B 2 − (δ Q) 2
ω 2 = B 2 + (δ Q) 2
periodische Oszillation von K x
(mx = −1)
Zeitliche Entwicklung der gekoppelten Bewegung
Differenzresonanz
K x + ω 2 K x = const.
ω2 > 0
Anfangsbedingungen: θ = 0 :
→
ω 2 = B 2 + (δ Q) 2
(mx = −1)
periodische Oszillation von K x
J x (0) = J 0
J z (0) = 0
K x (0) = J x (0) ≡ J 0
K z (0) = J z (0) − mz K x (0) = J 0
Hˆ (0) = (δ Q + Qz ) J 0 + B J 0 ( J 0 − J 0 ) cos φˆx
A = Hˆ − Qz K z = δ Q ⋅ J 0
⎛
B2 ⎞
2
2
K x + ω K x = ⎜ (δ Q ) +
⎟ J0
2
⎝
⎠
δ Q ) + B2 / 2
(
c0 =
J0
2
2
(δ Q ) + B
2
→
Ergebnisse:
J x (θ ) =
J0 ⎛
2
⎞⎞
2
2⎛1
cos
Q
+
B
δ
ωθ
(
)
⎜
⎟⎟
⎜
2 ⎝
⎝2
⎠⎠
J z (θ ) =
J0 2
⎛1
⎞
B cos 2 ⎜ ωθ ⎟
2
⎝2
⎠
K x = c0 + c1 cos(ωθ )
c1 =
B2 / 2
(δ Q )
2
+B
2
J0
vgl. F. Willeke, G. Ripken, Methods of Beam Optics, DESY 88-114