TEMA 4: Geometria AUTOR: Marco Antonio Oliveira da Silva

DICAS DO ENEM
MATEMÁTICA
TEMA 4:
Geometria
AUTOR:
Marco Antonio Oliveira da Silva
Mais próxima, para
você ir mais longe.
1. Interpretação
6. Equações e
problemas
2. Porcentagem
Matemática
ENEM.2014
5. Probabilidade e
Estatística
3. Cálculo simples
Índice
Este tema está localizado aqui!
4. Geometria
TEMA 4:
Geometria
Autor: Marco Antonio Oliveira da Silva
SILVA, Marco Antonio Oliveira da. Matemática: Geometria. Valinhos, 2014.
TEXTO E CONTEXTO
Pag. 04
GLOSSÁRIO
Pag. 23
VOCÊ ESTÁ PRONTO? Pag. 24
REFERÊNCIAS
Pag. 28
GABARITO
Pag. 28
© 2014 Kroton Educacional. Proibida a reprodução final ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica, resumida ou modificada em língua portuguesa ou
qualquer outro idioma.
Imagem: Freeimages
TEXTO E CONTEXTO
Geometria
Geo (terra) e metria (medida), originadas do grego, formam a palavra geometria, que significa estudo das propriedades,
medidas, posições e formas de objetos no plano (2D) ou espaço (3D).
Para sermos mais práticos, neste caderno iremos apenas focar a parte da geometria mais utilizada em questões do
Enem, pois é uma área bem extensa para estudarmos em apenas um caderno!
Aqui estudaremos um pouco sobre perímetro e área de algumas figuras planas, volume de objetos como cubo, prisma,
pirâmide, cilindro, cone e esfera. Temas mais pedidos em questões do Enem.
Perímetro e área
A medida de um contorno de uma imagem num plano é chamada de perímetro. Imagine um campo de futebol. A medida
da linha que o delimita formando um grande retângulo é o perímetro da área de jogo do campo.
A área de uma imagem é a medida do preenchimento de seu interior, ou seja, sua superfície. A parte verde (plano) do
4
TEXTO E CONTEXTO
gramado do campo pode ser medida e esta medida é chamada de área.
Figuras planas
Imagens construídas no MS-Word.
A linha (contorno) preta do retângulo, a verde da estrela e a vermelha do raio são
chamadas de perímetros; a parte (interior) azul do retângulo, a branca da estrela
e a amarela do raio são chamadas de áreas.
O perímetro é mais fácil de calcular: é só somar todos os segmentos do contorno, caso se tenha suas medidas. A área
é fácil de calcular para algumas figuras, tais como quadrado, triângulo, retângulo, losango, círculo, alguns polígonos,
entre outros.
Retângulos
Base de tamanho a e a altura de tamanho b:
b
a
Perímetro = a + b + a + b = 2a + 2b
5
TEXTO E CONTEXTO
Área = a . b
Note que o quadrado é um caso particular de retângulo de lados de tamanhos iguais:
a
Perímetro = a + a + a + a = 4a
Área = a . a = a2
Triângulos
Antes de estudarmos as áreas dos triângulos, vamos conhecer seus tipos:
B
a
A
B
a
a
b
C
A
B
c
b
a
C
AB = BC = AC
AB = BC e AB AC
Triângulo equilátero
Triângulo isósceles
A
AB
b
a
C
BC AC
Triângulo escaleno
Sua classificação quanto aos lados nos ajuda em várias situações, por exemplo: sabemos que o triângulo equilátero
possui lados iguais e, consequentemente, os ângulos internos iguais; se dividirmos a base do triângulo isósceles podemos
obter dois novos triângulos retos (já iremos ver também); e assim por diante.
Há um caso particular de triângulo muito utilizado nos problemas envolvendo geometria: o triângulo retângulo.
6
TEXTO E CONTEXTO
c
b
a
Um dos ângulos do triângulo retângulo deve necessariamente medir 90º (o ângulo indicado pelo quadradinho com a
bolinha no meio). Note que o lado a é a base e o lado b é a altura deste triângulo!
Teorema de Pitágoras
Vamos analisar um triângulo retângulo. Diz um teorema que a soma dos catetos
ao quadrado é igual à hipotenusa ao quadrado!
a2+b2=c2
Os catetos são os dois lados adjacentes (juntos) do ângulo de 90º e a hipotenusa
é o lado do triângulo que está oposto (não encosta) a esse ângulo.
Lembre-se que o Teorema de Pitágoras só serve para o triângulo retângulo!
Informações úteis sobre triângulos:
• A soma de todos os ângulos internos é 180º.
• A soma dos ângulos externos é 360º.
• O triângulo equilátero possui os 3 ângulos de iguais medidas de 60º.
• O triângulo isósceles possui pelos menos dois lados de iguais medidas.
7
TEXTO E CONTEXTO
Sua área é calculada multiplicando a base pela altura, depois dividindo por 2.
b
a
Área:
a.b
2
Note que se o triângulo não tiver os tamanhos dos 3 lados iguais (triângulo equilátero) não é possível calcular o perímetro
sem as medidas. Neste caso, de um triângulo isósceles, é possível calcular os outros 2 lados do triângulo 2a pelo
Teorema de Pitágoras. Note que se dividirmos a base por 2, teremos a base (cateto) do novo triângulo medindo e a altura
(outro cateto) de tamanho b. Só nos resta achar c!
c
b
a
2
c2 =
a
2
2
( ) +b
2
Portanto, o perímetro do triângulo seria
a+c+c=a+2c
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TEXTO E CONTEXTO
Elementos de um triângulo
Estudar elementos de triângulos é importante porque pode nos oferecer ferramentas que nos ajudam a encontrar a
solução de algum problema proposto.
Bissetriz – divide um ângulo
em duas partes iguais.
Mediana – divide um segmento
em duas partes iguais.
Altura – perpendicular à base
do triângulo até o vértice mais alto.
Agora, vamos descobrir os nomes dos encontros desses elementos:
Incentro – ponto de encontro
(interseção) das bissetrizes,
também é o centro da
circunferência inscrita no triângulo.
Baricentro – ponto de encontro
das medianas, também conhecido
como centro de massa ou centro
de gravidade.
Ortocentro – ponto de encontro
das alturas.
9
TEXTO E CONTEXTO
Temos também uma reta perpendicular ao segmento do triângulo, cuja interseção é o seu ponto médio. Essa reta se
chama mediatriz
Mediatriz – passa pelo ponto médio
e é perpendicular ao segmento.
Circuncentro – encontro (interseção) das mediatrizes e é o centro da
circunferência circunscrita ao triângulo.
O centro de uma circunferência circunscrita a um triângulo é chamado de circuncentro, e isto é uma propriedade!
Saiba Mais
Veja um pouco mais sobre elementos e nomenclatura de triângulos em um site
muito interessante:
Alfa Virtual School – Matemática. Geometria GEO: triângulos GEO 03 elementos e nomenclatura dos triângulos GEO0300. Disponível em: <http://
objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10396/geo0300.htm>.
Acesso em: 9 out. 2014.
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TEXTO E CONTEXTO
Semelhança de triângulos
Outra característica interessante entre os triângulos é que eles podem ser semelhantes. Através de congruências entre
seus ângulos e/ou proporções entre seus lados, é possível calcular o tamanho de seus segmentos. Primeiro, vejamos
os tipos de semelhanças:
LAL (lado, ângulo, lado): os triângulos são congruentes (∆ABC ≡ ∆DEF) se dois lados adjacentes a um ângulo forem
congruentes nos dois triângulos. Segue a mesma ideia para os próximos casos.
F
C
A
B
D
E
LLL: três lados congruentes.
F
C
A
B
D
E
ALA: Dois ângulos e um lado congruente
F
C
A
B
D
E
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TEXTO E CONTEXTO
LAA: um lado e dois ângulos congruentes
F
C
A
B
D
E
Note que se os tamanhos dos lados de dois triângulos forem proporcionais, então são congruentes se obedecerem
quaisquer um dos casos anteriores.
B
D
E
A
AB
CD
C
=
DE
CE
=
BD
AC
Saiba Mais
Estude um pouco sobre o Teorema de Tales, será útil!
MUNDO EDUCAÇÃO. Teorema de Tales. 2014. Disponível em: <http://www.
mundoeducacao.com/matematica/teorema-tales.htm>. Acesso em: 9 out. 2014.
Paralelogramo, losango, trapézio
Além dos retângulos e triângulos, os paralelogramos, losangos e trapézios também são famosos na área geométrica.
12
TEXTO E CONTEXTO
Vejamos como calcular suas áreas:
a
b
B
h
b
a
b
Losango.
Paralelogramo
Área = a . b
b é a altura.
Área =
ab
2
a e b são as diagonais do losango.
Trapézio
Área =
(B+b).h
2
h é a altura.
Círculo
Agora, vamos conhecer uma figura geométrica que não é composta por segmentos retilíneos: o círculo. Ele é delimitado
por uma circunferência. A distância do centro à circunferência é chamada de raio.
r
Área do círculo = π.r2
Perímetro = 2.π.r
π = 3,1415... é uma constante
Note que o perímetro é a medida da própria circunferência. Uma curiosidade, que é sempre bom relembrarmos, é que a
função que gera uma circunferência em um gráfico bidimensional é x2+y2=r2.
Volumes
Volume é o espaço ocupado por um corpo e normalmente sua medida é feita em m3 ou L (litros).
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TEXTO E CONTEXTO
r
h
a
h
r
a
a
Cilindro
V = π.r2.h
É a área do círculo (base) vezes a
altura.
Cone
1
V= 3
π. r2 .h
É a área do círculo (base) vezes a
altura dividido por 3.
Cubo
V = a.a.a=a3
É a largura vezes a altura vezes a
profundidade.
Dica: para calcular o volume de prismas e pirâmides, use a analogia do cilindro e do cone respectivamente. Perceba
que o cilindro tem a base circular e sobe reto até o final e o cone começa como círculo e afina até formar um ponto.
Calcule a área da base e multiplique pela altura (ou profundidade) para prismas e para pirâmides multiplique pela altura
e divida por 3. Vejamos como:
14
TEXTO E CONTEXTO
Prisma com base triangular:
Área do triângulo (base) =
a.b
2
Volume do prisma = área do triângulo . c =
b
c
a.b.c
2
Viu como é fácil? Como o cilindro!
a
Prisma com base retangular:
Área do retângulo (base) = a.b
b
Volume do prisma = a.b.c
c
a
Pirâmide com base retangular:
c
Área do retângulo (base) = a.b
Volume da pirâmide =
a
b
a.b.c
3
A mesma ideia do cone! E serve para qualquer base!
15
TEXTO E CONTEXTO
Para terminar, vejamos agora o volume da esfera (bola):
Volume de uma esfera:
r
V=
4
3
r
π.
3
O raio da esfera é a distância do seu centro até
qualquer uma de suas extremidades.
Vejamos alguns exemplos:
a) (ENEM 2013) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade
de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico
para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses
benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie
sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano
cartesiano:
A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa
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TEXTO E CONTEXTO
torre corresponde ao ponto de coordenadas:
a)
(65 ; 35).
b)
(53 ; 30).
c)
(45 ; 35).
d)
(50 ; 20).
e)
(50 ; 30).
Note que o ponto equidistante aos 3 pontos do gráfico forma o raio (r) de uma circunferência circunscrita ao triângulo
formado por eles, cujo ponto do centro da circunferência é o circuncentro.
Sabemos também que o circuncentro é a interseção das mediatrizes do triângulo.
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TEXTO E CONTEXTO
A equação da mediatriz no segmento AB já sabemos só de olhar o gráfico! É x = 50 (α)!
Agora vamos descobrir a equação da reta (mediatriz) que passa pela mediana do segmento AC :
Ponto médio (onde a reta passa) de AC :
(
30+60 20+50
,
2
2
Coeficiente angular da reta colinear com AC :
m
=
(
)
=
(45,35)
y2-y1
50-20
=
x2-x1
60-30
)
=1
Coeficiente angular da reta mediatriz = -1. Lembre-se que AC e a mediatriz são perpendiculares e o coeficiente
angular de um é o inverso (multiplicado por -1) do outro. Portanto, para obter a equação da reta é só necessário
descobrir o valor de b:
y = -x+b
Podemos descobrir substituindo o ponto (45, 35) em (x, y):
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TEXTO E CONTEXTO
35 = -45+b
b=80
Logo, a equação da reta é
y = -x+80 (β)
Pronto! Agora só precisamos saber em que ponto as equações α e β se encontram:
y = -50+80=30
Já temos o valor de x e y! É (50, 30).
Portanto, a resposta é a E.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) (ENEM 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes
de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos
segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo
segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a)
1 m.
b)
2 m.
c)
2,4 m.
19
TEXTO E CONTEXTO
d)
3 m.
e)
2 6m.
Sabemos que o ∆ABC ≡ ∆FBE, assim como ∆ABD ≡ ∆AFE, Vamos chamar a medida de EF de x e AF de y e
FB de z. Então:
AC
=
AB
FE
FB
4
x
=
y+z
z (a)e
BD
=
AB
FE
FA
6
x
=
y+z
z (β)
Em seguida, isolamos o valor de x para as duas equações:
x =
4z
y+z
(a)e x=
Igualando α e β, temos
6y
y+z
(β)
12 =
3
2,4
y. Substituindo z em α, temos que x =
z =
5
2
. Portanto, a resposta é C.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------c) (ENEM 2013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados
dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma
distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador
de metal, conforme a figura:
20
TEXTO E CONTEXTO
Utilize 1,7 como aproximação para 3.
O valor de R, em centímetros, é igual a:
a)
64,0.
b)
65,5.
c)
74,0.
d)
81,0.
e)
91,0.
Se construirmos um triângulo equilátero formado pelos 3 centros dos círculos, fica muito mais fácil resolver,
21
TEXTO E CONTEXTO
a
60
b
30
Chamaremos a + b de h (altura do triângulo). Precisamos saber a medida de a e temos que
e baricentro).
a=
2 (é ortocentro
h
3
Agora só nos resta calcular h pelo Teorema de Pitágoras:
602 = h2 + 302
a=
h = 30 3 =30.1,7 = 51
2
.51= 34
3
Finalmente, podemos somar 10 cm + 30 cm + 34 cm = 74 cm. Resposta: C.
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GLOSSÁRIO
2D: duas dimensões formadas por infinitos pontos, isto é, um plano que pode ser mapeado por dois eixos perpendiculares.
3D: análogo a 2D, mas representa o espaço que pode ser mapeado por três eixos ortogonais (perpendicularidade) entre
si.
Analogia: relação de semelhança entre duas situações que seguem a mesma ideia.
Centro de massa: é um ponto que representa toda a massa de um ou mais corpos.
Circunscrita: descrita ao redor de algo.
Inscrita: descrita dentro de algo.
Perpendicular: a relação entre dois objetos (retas ou planos) cujo ângulo entre eles é de 90º.
23
VOCÊ ESTÁ PRONTO?
Instruções
Agora, chegou a sua vez de exercitar seu aprendizado. A seguir, você encontrará algumas questões de múltipla
escolha e dissertativas. Leia cuidadosamente os enunciados e atente-se para o que está sendo pedido.
Questão 1
(ENEM 2013) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto
o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém
48 metros de comprimento.
A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é:
a) 6.
b)7.
c) 8.
d)11.
e) 12.
24
VOCÊ ESTÁ PRONTO?
Questão 2
(ENEM 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem
mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento
(x) no comprimento e (y) na largura.
A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
Nestas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:
a) 2xy
b)15 − 3x
c) 15 − 5y
d)−5y − 3x
e) 5y + 3x − xy
Questão 3
(ENEM 2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas
imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.
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VOCÊ ESTÁ PRONTO?
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
b)Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.
d)Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
Questão 4
(ENEM 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que
isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.
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VOCÊ ESTÁ PRONTO?
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm3?
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.
b)O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.
d)O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
Questão 5
(ENEM 2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados
de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da
medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada
da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2.
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
a) R$ 22,50.
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VOCÊ ESTÁ PRONTO?
b)R$ 35,00.
c) R$ 40,00.
d)R$ 42,50.
e) R$ 45,00.
REFERÊNCIAS
ENEM – Exame Nacional do Ensino Médio. Provas e Gabaritos. Ministério da Educação. INEP - Instituto Nacional de
Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Brasília: Inep, 2011.
Disponível em: <http://inep.gov.br/web/enem/edicoes-anteriores/provas-e-gabaritos>. Acesso em: 10 out. 2014.
GABARITO
Questão 1
Resposta: Alternativa “C”.
Perímetro: 81 + 190 + 81 = 352
352
= 7,33
48
... A alternativa que possui o menor valor maior que 7,33 é a C, 8.
28
GABARITO
Questão 2
Resposta: Alternativa “E”.
5y + 3x – xy, a parte xy está tanto em 5y quanto em 3x, por isso deve subtrair um deles.
Questão 3
Resposta: Alternativa “A”. A primeira figura tem base circular, formando um cilindro; a segunda tem base de pentagrama,
formando um prisma; e a terceira, tem base triangular, formando uma pirâmide.
Questão 4
Resposta: Alternativa “C”. 40 . 30 . x = 24000 + 2400. O valor de x é 22, pois só essa dimensão pode ser alterada, pois
a base está fixa limitada pelo tanque.
Questão 5
Resposta: Alternativa “B”.
1 .1
2
Área do losango no meio:
=
2
1
4
Área dos triângulos nos 4 cantos (2 quadrados):
Total de áreas escuras:
Total de áreas claras:
Total:
1
1
4
-
+
3
1
2
=
=
2.
(
1 1
.
2 2
)
=
1
2
3
4
1
4 4
3
1
140
.30 + .50=
= 35
4
4
4
Portanto, o custo é de R$ 35,00.
29
Mais próxima, para
você ir mais longe.
unopar.br