Universidade Federal Fluminense Escola de Engenharia

Universidade Federal Fluminense
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda
Disciplina: Fı́sica I
Professores: Alexandre F. Fonseca, Adriano Martins, Aquino L. Espı́ndola, Ladário da Silva
Aluno(a):
1
Data: 18/05/2010
1. Um engenheiro precisa descobrir os valores dos coeficientes de atrito estático e dinâmico entre um bloco e uma
tábua plana, ambos de materiais desconhecidos. Para isso, ele resolve realizar um experimento simples onde a
partir do chão ele levanta, bem devagar, uma das extremidades da tábua com o bloco sobre ela, de modo que em
cada instante o plano da tábua forma um ângulo α com o plano do chão. O engenheiro descobre que o valor de α
a partir do qual o bloco começa a deslizar é igual a 45o . Em seguida, ele mede a aceleração do bloco deslizando
√
pela tábua igual a 2 m/s2 . A partir desses dados, calcule o valor dos coeficientes de atrito estático (1, 0 ponto)
e dinâmico (1, 5 pontos) entre o bloco e a tábua. Use g = 10 m/s2 . Obs. e dica: Não há necessidade do valor da
massa do bloco. Faça o diagrama de forças e use as leis de Newton em cada caso, estático e dinâmico. Demonstre
todos os cálculos.
Solução:
N
f
8
α
>
>
>
< a
> µs
>
>
:
µc
=
=
=
=
45o
√
2 m/s2
?
?
a
Dados:
m g cos a
m g sen a
a
mg
O coeficiente de atrito estático deverá ser calculado na eminência do movimento, ou seja, aceleração nula.
O somatório das forças em cada eixo será:
X
Fx → mgsen α − fs
X
Fy → N − mgcos α
=
0
⇒ fs = mgsen α
(1)
=
0
⇒ N = mgcos α
(2)
Sabendo que o atrito estático é dado por fs = µs N, e substituindo a Eq. (2) nesta expressão, obtemos:
fs = µs mgcos α.
(3)
Finalmente, substituindo a Eq. (3) na Eq. (1), temos que:
fs
=
mgsen α
µs mgcos α
=
mgsen α
µs
=
µs
=
mgsen α
mgcos α
tg α = tg 45o
µs
=
1, 0.
Para o cálculo do coeficiente de atrito cinético deve-se considerar que o bloco desce com aceleração de
das forças em cada eixo, no caso cinético, será:
X
Fx → mgsen α − fc = ma
X
Fy → N − mgcos α = 0
⇒ N = mgcos α
√
2 m/s2 . Assim, o somatório
(4)
(5)
2
Sabendo que o atrito cinético é dado por fc = µc N, e substituindo a Eq. (5) nesta expressão, obtemos:
fc = µc mgcos α.
(6)
Finalmente, substituindo a Eq. (6) na Eq. (4), temos que:
mgsen α − fc
=
ma
mgsen α − µc mgcos α
=
ma
gsen α − µc gcos α
=
a
−µc gcos α
=
a − gsen α
µc
=
a − gsen α
−gcos α
muc
=
µc
=
√
2 − 10sen 45o
−10cos 45o
0, 8.
2. Em uma certa região do espaço, a força que atua sobre um elétron é dada
C
por F~ = x+1
ĵ, onde C é uma constante positiva. O elétron percorre uma
trajetória quadrada no plano xy em um sentido contrário ao dos ponteiros do
relógio, como mostrado na figura ao lado. Os vértices do quadrado possuem
coordenadas (x, y) = (0, 0), (L, 0), (L, L) e (0, L). Calcule o trabalho realizado pela força F~ sobre o elétron no percurso fechado ao longo do quadrado.
(2, 0 pontos) Essa força é conservativa ou não conservativa? Justifique sua
resposta. Respostas sem justificativa não serão consideradas (0, 5 pontos)
y
(0,L)
3
4
(0,0)
(L,L)
2
1
(L,0)
x
Solução:
A força aponta na direção positiva do eixo y, variando em intensidade de acordo com a coordenada x, mas sempre perpendicular ao
~ portanto W1 = W3 = 0.
~ é perpendicular os descolamento d`,
eixo horizontal. Assim, nos trechos 1 e 3, a força F
No trecho 2, a força é constante e vale
C
ĵ,
L+1
pois o deslocamento é vertical e a coordenada x = L é constante.
~ =
F
~ é ∆y = L, portanto,
O deslocamento d`
Z
W2
=
W2
=
W2
=
~
~ .d`
F
F ∆y cos(0o )
F ∆y
L
W2 = C
.
L+1
R
~ ou seja,
~ .d`,
O mesmo resultado será obtido usando-se a equação W = F
Z
~
~ .d`
W2 =
F
Z
W2 =
F dy cos(0o )
Z
W2
=
W2
=
W2
=
L
F dy
Atenção: integral é na variável y!
0
Z L
C
dy
L+1 0
L
.
C
L+1
No trecho 4, a força é constante e igual a:
~ = C ĵ.
F
Note que o deslocamente e a força formam um ângulo de
180o ,
W4
=
portanto
Z
~
~ .d`
F
W4
=
F ∆y cos(180o )
W4
=
−CL.
3
O trabalho total, W = W1 + W2 + W3 + W4 é:
L2
W = −C
.
L+1
• a força não é conservativa, pois o trabalho total realizado por ela é diferente de zero em uma trajetória fechada.
3. Em um projeto com um cenário para calcular o “pior caso”, um elevador de
2000 kg com o cabo quebrado cai a 4, 0 m/s sobre a mola de amortecimento
no fundo do poço. A mola é projetada para fazer o elevador parar quando
ela sofre uma compressão de 2, 0 m, conforme figura ao lado. Durante o
movimento, uma braçadeira de segurança exerce sobre o elevador uma força
de atrito constante igual a 17000 N . Como consultor do projeto, você tem
que calcular a constante da mola, k, que dever ser usada. (2, 5 pontos)
Solução:
No ponto 1, a velocidade do elevador é v1 = 4, 0 m/s, assim:
K1 =
1
1
mv12 = (2000)(4, 0)2 = 16000 J.
2
2
O elevador pára no ponto 2, logo, K2 = 0.
Tomando como referência o ponto 1, y1 = 0, resultando em Ugrav1 = 0.
A mola ainda não foi comprimida no ponto 1, por isso, Uel1 = 0.
No ponto 2, existem simultaneamente, energia potencial gravitacional e energia potencial elástica.
Ugrav2 = mgy2 = (2000)(9, 80)(−2, 0) = −39200 J
e
Uel2 =
1 2
ky .
2 2
A força de atrito age no sentido oposto ao movimento, portanto,
Woutra = −(17000)(2, 0) = −34000 J.
Pelo princı́pio de conservação de energia, sabemos que:
K1 + Ugrav1 + Uel1 + Woutra
=
K2 + Ugrav2 + Uel2
−16000 + 0 + 0 − 34000
=
0 − 39200 + 12k(−2, 0)2
k
=
1, 06 × 104 N/m
• Para quem usou g = 10 m/s2 o resultado é um pouco diferente, sem problemas.
4. Na figura abaixo, um bloco desliza ao longo de uma pista indo de um certo
nı́vel para um nı́vel mais elevado, atravessando um vale intermediário. A
pista possui atrito desprezı́vel até que o bloco atinja o nı́vel mais alto. Daı́
por diante, uma força de atrito faz com que o bloco pare em uma distância d.
Ache d, sabendo que a velocidade inicial v0 do bloco é igual a 6, 0 m/s, que
a diferença das alturas h igual a 1, 1 m e que o coefciente de atrito cinético
µ é igual a 0, 60. (2, 5 pontos)
Solução:
Dados:
8
>
< v0
h
>
:
µc
=
=
=
6, 0 m/s
1, 1 m/s
0, 60
d
v0
µ=0
111111111
000000000
h
µ=0,6
Na primeira parte do problema, nã há atrito, assim, não importa saber o tamanho do vale.
Chamaremos de posição 0 o local de onde o bloco sai, e posição h, onde o bloco chega antes de entrar na superfı́cie com atrito.
K0 + U0
=
Kh + Uh .
Tomando como referência para a energia potencial o ponto de onde o bloco parte, temos:
K0 + U0
1
mv02 + 0
2
1 2
v
2 0
1 2
v
2 h
=
vh
=
Kh + Uh
1
2
mvh
+ mgh
2
1 2
v + gh
2 h
1 2
v − gh
2 0
` 2
´1/2
v0 − 2gh
vh
=
3, 74 m/s
=
=
=
Na segunda parte do problema, o bloco se deslocará numa superfı́cie com atrito. Utilizando o teorema trabalho-energia cinética:
W
=
∆K
−f d
=
Kd − Kh .
O termo a esquerda na equação acima é o trabalho da forcça de atrito.
O primeiro termo da direita é a energia cinética do bloco no ponto d, ou seja, onde bloco pára, com vd = 0. Portanto:
−f d
=
µc mgd
=
d
=
−Kh
1
2
mvh
2
2
vh
2µc g
d
=
1, 17 m
4