Resolução

Resolução do Nível 2
Segunda fase de 2005
2005
01. Sendo p um número primo, temos que p2 tem
apenas três divisores naturais: 1, p e p2.
Portanto, os números são: 4, 9, 25 e 49.
alternativa C
02.
1) No início, temos 1 rapaz e 99 moças.
2) Ao retirarmos x moças, o único rapaz presente
passa a representar 2% do total; logo (99 - x) , número de moças restantes, passa a 98% do total. Assim, x = 50.
alternativa D
03. Sendo
1
um número real, podemos
x2 − 4x + m
afirmar que x2 - 4x + m ≠ 0 para todo x real, logo seu
discriminante é negativo. Assim:
14 - 4m < 0 ⇒ m > 4
alternativa E
08.
h
Todo triângulo retângulo está inscrito numa
semi-circunferência, sendo o diâmetro a hipotenusa.
Portanto, a maior altura será igual 5cm ( o raio da
circunferência). Só existe uma alternativa com medida igual ou menor que o raio.
alternativa D
Portanto, a altura pode ser no máximo igual a 5 m.
alternativa D
09.
6
1,6
y
= x + 1 ⇒ y = 2x + 2
2
Para y = 0, temos x = -1. Portanto, intercepta o eixo
das abscissas no ponto (-1,0).
alternativa E
04.
05. A face oposta a X é a O.
alternativa B
πx - π2 > 5x - 25
πx - 5x > π2 - 25
x . (π - 5) > (π - 5) . (π + 5)
Observe que (π - 5) < 0. Dividindo-se os dois
membros da desigualdade por (π - 5) invertemos seu
sentido. Assim:
x < π + 5 ≅ 8,14
06.
Como x é natural, V = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
alternativa B
07. f(1) + f(2) + f(3) = 1 −
f(1) + f(2) + f(3) = 1 −
alternativa B
1 1 1 1 1
+ − + −
2 2 3 3 4
1
3
=
4
4
x
1,5 - x
Sendo x a distância que a garota pode se afastar.
Temos que:
6
1,5
=
⇒ x = 1,1 m
1,6 1,5 - x
alternativa B
10.
1) MB = BN = OD = DP = x
2) Seja S a área do quadrilátero MNOP, obtida pela
diferença entre a área do retângulo ABCD e dos 4
triângulos AMP, DOP, BMN e CON. Assim:
(6 - x) . (10 - x)
x2
−2.
2
2
S = 2x 2 - 16x, sendo 0 < x < 6
3) A área máxima é dada pela ordenada do vértice
da parábola 2x 2 - 16x.
S = 60 − 2 .
∆
⇒ SMAX = 32 cm2
4a
alternativa D
SMAX = −
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Segunda fase de 2005
2005
11. Sabemos que em um triãngulo ao maior ângulo
está oposto o maior lado.
1) No ∆ ABC temos que: AB < AD < BD
2) No ∆ BCD temos que: BC < BD < CD
3) O maior segmento é CD.
alternativa C
12.
1) x = 2700 = (27)100 = 128100
2) y = 11 200 = (11 2)100 = 121100
3) z = 5300 = (53)100 = 125100
4) Portanto: x > z > y
alternativa C
13.
1) x = 1 é solução, pois 1
2) Para x > 0 e x ≠ 1
1
x
= xx ⇒ x
x
= x2 ⇒ x =
x
2
Quadrando, temos que:
x2
4
que resulta em x = 4 ou x = 0 (não serve, x > 0)
3) De (1) e (2), temos que V = {1, 4} e 1 . 4 = 4
alternativa E
x=
14. P = 10 . 102 . 103 . 104 . ....1015
P = 101 + 2 + 3 + 4 + 5 + ....+ 15
P = 10120
P tem 121 algarismos
alternativa B
15.
GH
x1
x2
Uma matriz quadrada de ordem 2 é da forma
x3
x4
JK
20 π
= 1,6666... .Aumento aproximado de 66,67%
12 π
alternativa E
4)
18. Repare no enunciado: “ .... Gatos, gatinhos, sacos e mulheres ....”. Ele não inclui o homem na pergunta. Temos 7 mulheres; 72 sacos; 73 gatos e 74
gatinhos. Sua soma é igual a 74 + 73 + 72 + 7.
alternativa E
= 11
x
x
17. Seja C1 o comprimento inicial e C2 , o final.
Seja A 1 a área inicial e A 2 , a final.
1) A 2 = 100π ⇒ π R2 = 100 π ⇒ R = 10
2) R = r + 4 ⇒ r = 6
3) C1 = 12.π e C2 = 20 π
, portanto tem 4 elementos.
19. Seja n o número procurado. Temos que:
1) n = 15 q1 + 4 ⇒ n - 4 = 15 q1 (q1 ∈N)
2) n = 25 q2 + 4 ⇒ n - 4 = 25 q2 (q2 ∈N)
3) n = 40 q3 + 4 ⇒ n - 4 = 40 q3 (q3 ∈N)
4) Concluímos que (n - 4) é múltiplo de 15, 25 e 40,
assim (n - 4) é múltiplo do mmc de 15, 25 e 40.
5) mmc (15, 25, 40) = 600
6) como n deve ser mínimo, n - 4 = 600 ⇒ n = 604
alternativa D
20.
1) Vgelo = 840 . 2 . 2 .2 ⇒ Vgelo = 6720 cm3
2) Vágua = 0,9 . 6720 ⇒ Vágua = 6048 cm3
3) 30 . 50 . h = 6048 ⇒ h ≅ 4 cm
alternativa E
21.
1
1
2
2
4
2
3
3
1
1− 2 + 2 − 2 = 2 − 1 + 2 − 2 = 1
alternativa E
1
3
Cada elemento pode assumir 5 valores: 0 , 1, 2, 3 e
4. Portanto, existem 5 . 5 . 5 . 5 = 54 matrizes.
alternativa D
16.
0
0
0
alternativa C
2
4
2
4
2
0
2
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2005
22.
1) concavidade voltada para baixo, então a < 0.
b
<0 ⇒ b< 0.
a
3) intercepto do eixo das ordenadas negativo, c < 0.
alternativa B
2) xv < 0 ⇒ −
23.
Número de
triângulos
1
2
3
4
.
.
.
n
número de
palitos
3 =2.1+1
5 =2.2+1
7 =2.3+1
9 =2.4+1
.
.
.
2n + 1 , sendo n natural
Assim, 2n + 1 = 134 ⇒ n = 67 triângulos
alternativa E
24. idade de Diofanto = x
x x
x
x
+
+ + 5 + + 4 ⇒ x = 84 anos
6 12 7
2
alternativa D
x=
25.
1) Para x =
1 x +1
,
é igual a -3.
2
x -1
-3 +1 1
=
-3 - 1 2
alternativa C
2)