Aula 1_Medidas de Assimetria e Curtose

2º Bimestre
1
Estatística e Probabilidade
Aula 1
Assimetria e Curtose
Professor Luciano Nóbrega
Medidas de assimetria
As medidas de assimetria e curtose (esta última veremos na
próxima aula) são as que restam para completarmos o quadro das
estatísticas descritivas, que proporcionam, juntamente com as
medidas de posição e dispersão, a descrição e compreensão
completas da distribuição de freqüências estudadas até agora.
As medidas de assimetria referem-se à forma da curva de
uma distribuição de freqüências, mais especificamente do polígono
de freqüência ou do histograma.
Você lembra?
Distribiuição simétrica
Medidas de assimetria
A idéia é que podemos classificar aqueles gráficos a partir do
comportamento da série com o auxílio de algumas fórmulas.
Vejamos alguns casos:
1º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Simétrica
Neste caso, a média, a moda e a mediana são iguais.
Assim:
x = md = m o
Em resumo:
x = mo  Simetria
Medidas de assimetria
2º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Assimétrica Negativa
Neste caso, a média aritmética apresentará um valor menor do que a
mediana, e esta, por sua vez, apresentará um valor menor do que a
moda.
Assim: x
< md < m o
Em resumo:
x < mo  Assimetria Negativa
Distribuição
assimétrica
negativa
A “cauda”
apresenta-se à
esquerda do
eixo de
simetria.
<
<
Medidas de assimetria
3º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Assimétrica Positiva
Neste caso, a média aritmética apresentará um valor MAIOR do que a
mediana, e esta, por sua vez, apresentará um valor MAIOR do que
a moda. Assim:
mo < m d < x
Em resumo:
x > mo  Assimetria Positiva
Distribuição
assimétrica
positiva
A “cauda”
apresenta-se à
direita do eixo
de simetria.
<
<
Medidas de assimetria
Como calcular o coeficiente de assimetria?
Existem diversos modos, todos obtidos empiricamente, de se calcular
o coeficiente de assimetria.
Vamos estudar os mais usuais:
1º Coeficiente de Pearson
AS = (x - mo) = (x - mo)
σ
DP
Quando:
AS = 0 temos que a distribuição é simétrica;
AS > 0 temos que a distribuição é assimétrica positiva;
AS < 0 temos que a distribuição é assimétrica negativa.
1º Coeficiente de Pearson
AS = (x - mo) = (x - mo)
σ
DP
Medidas de assimetria
x < mo  Assimetria Negativa
x = mo  Simetria
Exemplo:
x > mo  Assimetria Positiva
Em uma distribuição de frequências foram encontradas as seguintes
medidas: x = 45,23
mo = 42,51
md = 43,48 e DP = 21,3
a) Classifique o tipo de assimetria;
b) Calcule o coeficiente de assimetria.
Medidas de assimetria
2º Coeficiente de Pearson
AS = 3.(x - md) = 3(x - md)
σ
DP
Da mesma forma:
AS = 0 temos que a distribuição é simétrica;
AS > 0 temos que a distribuição é assimétrica positiva;
AS < 0 temos que a distribuição é assimétrica negativa.
2º Coeficiente de Pearson
AS = 3(x - md) = 3(x - md)
σ
DP
Medidas de assimetria
x < mo  Assimetria Negativa
x = mo  Simetria
Exemplo:
x > mo  Assimetria Positiva
Em uma distribuição de frequências foram encontradas as seguintes
medidas: x = 15,23
mo = 12,89
md = 13,48 e DP = 7,3
a) Classifique o tipo de assimetria;
b) Calcule o coeficiente de assimetria.
1º Coeficiente de Pearson
AS = (x - mo)
DP
2º Coeficiente de Pearson
AS = 3(x - md)
DP
Testando os conhecimentos
1 – Considerando a distribuição de frequência relativa aos
pesos de 100 operários de uma fábrica:
Classifique, quanto à
Pesos (Kg) fi xifi (xi – x)2.fi
assimetria, segundo os
coeficientes de Pearson. Para
50 |--- 58
10
isso, siga o seguinte
58 |--- 66
15
procedimento:
66 |--- 74
25
74 |--- 82
24
82 |--- 90
16
90 |--- 98
10
Moda de Pearson
mo = 3.md – 2.x
a) Preencha a tabela;
b) Determine a média, a moda, a
mediana, a var. e o D.P.;
c) Substitua as variáveis nas fórmulas:
md = ℓmd + n/2 - Fant . h
fm d
1º Coeficiente de Pearson
AS = (x - mo)
DP
2º Coeficiente de Pearson
AS = 3(x - md)
DP
Testando os conhecimentos
2 – Considerando a distribuição de frequência relativa aos
salários de 70 operários de uma fábrica:
Classifique, quanto à
Pesos (Kg) fi xifi (xi – x)2.fi
assimetria, segundo os
coeficientes de Pearson. Para
500 |--- 580 10
isso, siga o seguinte
580 |--- 660 15
procedimento:
660 |--- 740 25
740 |--- 820 20
Moda de Pearson
mo = 3.md – 2.x
a) Preencha a tabela;
b) Determine a média, a moda, a
mediana, a var. e o D.P.;
c) Substitua as variáveis nas fórmulas:
md = ℓmd + n/2 - Fant . h
fm d
1º Coeficiente de Pearson
AS = (x - mo)
DP
2º Coeficiente de Pearson
AS = 3(x - md)
DP
Testando os conhecimentos:
3 – Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequências. Determine os
coeficientes de assimetria de Pearson e classifique-as de acordo com a escala.
Distribuições x
mo md DP
A
54 54
54
20
B
35 40
15
38
C
45 30
20
42
Quando:
AS = 0 → Distribuição Simétrica
0 < |AS| < 1 → Assimétrica Fraca
|AS| ≥ 1 → Assimétrica Forte
Resumo
Classificação quanto a assimetria
x – mo = 0 → Distribuição Simétrica
x – mo < 0 → Distribuição Assimétrica Negativa
x – mo > 0 → Distribuição Simétrica Positiva
1º Coeficiente de Pearson
AS = (x - mo)
DP
2º Coeficiente de Pearson
AS = 3(x - md)
DP
Quando:
AS = 0 → Distribuição Simétrica
0 < |AS| < 1 → Assimétrica Fraca
|AS| ≥ 1 → Assimétrica Forte
Medidas de Curtose
Definição
Denominamos por “CURTOSE” o grau de achatamento de uma curva de distribuição de frequência. Esse
comportamento é dado pela concentração dos valores em relação a moda.
São duas as fórmulas:
Índice de Momento de Curtose (fórmula do 4)
4
c = ∑(xi – x) .fi
∑fi
4
DP
–3
Coeficiente Percentílico de Curtose
c = 0,263 –
Q3 – Q1
2.(D9 – D1)
Medidas de Curtose
São três casos para classificarmos a curtose:
1º caso: Curva Normal
Os dados estão razoavelmente em torno da moda.
Mesocúrtica
c=0
mo
Medidas de Curtose
2º caso: Curva Afilada
Os dados estão fortemente em torno da moda.
Leptocúrtica
c >0
mo
Medidas de Curtose
3º caso: Curva Achatada
Os dados estão fracamente em torno da moda.
Platicúrtica
c <0
mo
4
c = ∑(xi – x) .fi
∑fi
–3
c = 0,263 –
Q3 – Q1
2.(D9 – D1)
4
DP
Medidas de Curtose
Exemplo:
Sabendo que uma distribuição apresenta as seguintes
4 medidas: ∑fi = 20
Q1 = 24. P75 = 41, P10 = 20, P90 = 48, ∑(xi – x) .fi = 29 e DP = 1,5
Determine o momento de curtose e o coeficiente percentílico de curtose, em seguida, classifique a curva de
frequência quanto à curtose.
c = 0 → Mesocúrtica
c = 29
20
1,5
–3
c > 0 → Leptocúrtica
c = 1,45 – 3
4
c = 0,263 –
c < 0 → Platicúrtica
41 – 24
2.(48 – 20)
5,0625
c = 0,286 – 3 = – 2,714
Platicúrtica
c = 0,263 –
17
56
c = 0,263 – 0,303 = – 0,04
Platicúrtica
4
c = ∑(xi – x) .fi
∑fi
c = 0,263 –
–3
Q3 – Q1
2.(D9 – D1)
4
DP
Testando os conhecimentos
1 – Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequências.
Determine os coeficientes de assimetria de Pearson e classifique-as de acordo com a
escala.
Distribuições ∑(xi – x)4.fi
∑fi DP P75 P25 P90
P10
A
54
20
1,8
93
81
101
77
B
35
40
0,3
80
63
86
55
C
45
30
0,9
45
28
49
20
c = 0 → Mesocúrtica
c > 0 → Leptocúrtica
c < 0 → Platicúrtica
1º Coeficiente de Pearson
AS = (x - mo)
DP
2º Coeficiente de Pearson
AS = 3(x - md)
DP
2
var = ∑ (xi – x)
n
Testando os conhecimentos
2 – Uma amostra aleatória de 250 residências revelou a seguinte distribuição do consumo de
energia elétrica mensal.
Consumo (Kw/h) fi
0 |----- 50
2
50 |----- 100
15
100 |----- 150
32
150 |----- 200
47
200 |----- 250
23
fri
Fi
Fri
Complete a tabela e responda:
a) Qual o consumo médio?
b) Qual o desvio padrão?
c) Qual os coeficientes de Pearson e os de curtose?
xi
xifi (xi – x) (xi – x)2 (xi – x)2.fi
Pi = ℓi +
i.n
/100 - Fant .
h
fi
Testando os conhecimentos
3 – Com base na tabela abaixo, determine o coeficiente de curtose e classifique em relação à curva.
Pesos (kg)
Quant. Func.
50 |--- 58 |--- 66 |--- 74 |--- 82 |--- 90 |--- 98
10
15
Para isso, faça o que se pede:
a) Determine as separatrizes Q1, Q3, D1 e D9
b) Utilize a fórmula
c = 0,263 –
25
24
Q3 – Q1
2.(D9 – D1)
16
10
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