MODULADORES

PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
MODULAÇÃO EM AMPLITUDE
Vamos iniciar o processo a partir de uma expressão que define sinais de tensão
cossenoidais no tempo, expressos genericamente por :
e x ( t ) = E x cos ω x ( t )
onde
e x ( t ) → uma tensão senoidal qualquer
E x → amplitude do sinal
ω x → velocidade angular, expressa por → ω x = 2π f x
Para a onda portadora e o sinal modulante vamos usar as seguintes expressões :
e p (t ) = EP cos ω P (t ) → onda portadora
em (t ) = Em cos ω m (t ) → sinal mod ulante
Considerando - se estas definições preliminares, vamos então passar ao processo de
Modulação em Amplitude propriamente dito :
Tomemos uma onda portadora onde :
e P (t ) = E P cos ω P (t )
em (t ) = E m cos ω m (t )
com ω P = 2π f P e ω m = 2π f m
sinal modulado será :
[
]
e(t ) = E P + em cos ω P (t ) ou →
e(t ) = E P cos ω P (t ) + em cos ω P (t )
1
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
Modelo
e P (t )
Sistema
x
e( t )
cos ω P (t )
Este sinal modulado representa o PRINCÍPIO DA MODULAÇÃO AM - DSB ( Amplitude Dupla Banda Lateral ), pois neste tipo de modulação consiste no fato de que o sinal
modulante interfere exclusiva e diretamente na amplitude da portadora Ep.
Desta forma :
[
]
e(t ) = E P + E m cos ω m (t ) cos ω P (t )
que também pode ser escrita como
 

E
e(t ) =  E P  1 + m cosω m (t )  cosω P (t )
EP

 
onde podemos definir
m=
Em
como índice de modulação que será expresso por m , assim :
EP
Em
⇒ Índice de Modulação
EP
[
]
Desta forma ⇒ e(t ) = E P 1 + m cos ω m (t ) cos ω P ( t ) ou
⇒ e(t ) = [ E P + mE P cos ω m (t )]cos ω P (t ) ⇒ resultando
2
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
⇒ e(t ) = E P cos ω P (t ) + mE P cos ω m (t ) cos ω P (t )
Lembrando da relação trigonométrica
cos a cosh b =
1
1
cos(a + b) + cos(a − b) podemos escrever finalmente
2
2
e(t ) = E P cosω P (t ) +
⇓
Portadora
mE P
mE P
cos(ω P + ω m )t +
cos(ω P − ω m )t
2
2
⇓
⇓
Banda lateral
Banda Lateral
Superior
Inferior
Formas de Onda
3
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
[
]
Pela equação e(t ) = E P + em (t ) cos ω P ( t ) , no instante t = 0 ⇒ em (t ) = E m , assim :
e( t ) = E P + E m
A medida que o tempo varia, o valor instantâneo ( não da função ) vai mudando com a
frequência fm e o valor instantâneo da função varia com a frequência fp. Desta forma
tomando - se (a) e (b) pode-se compor a forma de onda em ©.
Análise Espectográfica
É bastante provável que até hoje, você só tenha analisado uma grandeza elétrica como
função do tempo ou seja através de uma forma de onda .
Neste caso a variável independente utilizada foi o tempo, pois normalmente as grandezas
elétricas são funções continuas no tempo.
Porém é importante que se saiba que nem só o tempo pode ser usado como variável
independente na representação de grandezas elétricas. Muitos são os casos em que a
velocidade angular ω e a frequência f são as variáveis independentes mais indicadas.
Da mesma forma que o gráfico em função do tempo é chamado de “forma de onda”, um
gráfico em função da velocidade angular ou da frequência é chamado de “Espectro”.
Pode-se definir o espectro em :
a) Amplitude
b) Fase
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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
GRÁFICO DO ESPECTRO
e( t )
EP
mE P
2
f
0
i
mE P
2
fC
fS
f ( Hz )
Potência do Sinal AM-DSB
A potência do sinal será dada por :
e( t ) 2
1
P=
=
R
T0
E 2
P= P
T0
T0
∫
0
2
T
∫E
P
cos(ω 0 t + φ ) dt , com R = 1Ω valor normalizado
0
2
T
EP2 0
cos(ω 0 t + φ ) dt =
cos 2 ( ω 0 t + φ ) dt =
∫
T0 0
cos 2 A = 2 cos2 A − 1
0
EP2
P=
T0
1 + cos(2ω 0 t + 2φ )
dt =
∫0
2
T0
T
EP2
T0
T0
T
dt 0
∫0 2 + ∫0 cos(2ω 0 t + 2φ ) dt =
EP2  t  0 EP2
EP2
=
T −0 =
T0  2  0
2T0 0
2
PP =
EP2
2
[
]
que é a potência da portadora
5
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
A potência das bandas laterais decorrem do espectro do sinal e será dada por :
PBLS
PBLI
 mE P 
2

=
2
2
 mE P 
2

=
2
2
→ Banda Lateral Superior
→ Banda Lateral Inferior
E P 2 m2 E P 2 m2 E P 2
+
+
=
Potência Total ⇒ PT =
2
8
8
PT =
E P 2 m2 E P 2
+
2
4
Potência AM-DSB
Espectro
Potência do Sinal AM-DSB
PT
E p2
2
m2 E p 2
m2 E p 2
8
8
f p − fm
fp
f p + fm
6
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
MODULAÇÃO AM - DSB/SC
A modulação AM - DSB/SC surgiu como uma forma de se economizar a potência utilizada
pela portadora no sistema AM-DSB, que é no mínimo 67% da potência total do sinal
modulado.
• sistema AM-DSB/SC tem por princípio para economia de potência, a supressão da
portadora, fazendo com que a potência do sinal modulado seja destinado às raias de
informação.
A obtenção desse sinal é simples e baseia-se na propriedade trigonométrica de que um
produto entre duas cossenoides gera outro par de cossenoides com frequência da soma e
da diferença entre as frequências das cossenoídes originais.
Assim :
e( t ) = K e m ( t ) e p ( t )
onde:
K → constante do modulador, que permite a multiplicação de duas tensões resultar outra
tensão.
e(t ) = K E m cos ω m (t ) E p cos (t )
e(t ) = K E m E p cos ω m (t ) cos (t )
mas : cos a cosh b =
1
1
cos(a + b) + cos(a − b)
2
2
Então :
1
1

e(t ) = KE m E p  cos (ω p − ω m )t + cos (ω p + ω m )t 
2
2

que resulta finalmente :
e( t ) =
KE m E p
2
cos (ω p − ω m )t +
KE m E p
2
cos(ω p + ω m )t
que representa a expressão do sinal modulado AM-DSB/SC
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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
Exemplo do processo de modulação AM-DSB/SC
ANÁLISE DOS ESPECTROS
1) Sinal modulante
2) Portadora
ep
em
Ep
Em
fp
fm
3) Sinal Modulado
e
kE p E m
2
f p − fm
kE p E m
2
fp
f p + fm
4) Potência do Sinal AM-DSB/SC
Pm
k 2 Em2 E p 2
k 2 Em2 E p 2
8
8
f p − fm
f p + fm
8
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
Observar que a potência contida no sinal modulado pertence as raias que contém
informação, já que não há raia na frequência da portadora.
Desta forma, não há sentido, em qualquer comentário a respeito do rendimento da
transmissão, uma vez que ele será de 100% distribuído entre as duas bandas laterais.
FREQUÊNCIA INTERMEDIÁRIA
É uma frequência fixa e pré-determinada, cuja função é evitar a alteração da banda
passante com a variação da frequência.
Isto é possível, uma vez que a etapa de RF do receptor funciona como um filtro que
seleciona a estação desejada e em conjunto com a mesma é variada a frequência de
oscilação do oscilador local.
Como a frequência do sinal gerado pelo oscilador local varia juntamente com a frequência
de sintonia da etapa de RF, é possivel manter a diferença entre elas sempre constante igual
a frequência intermediária.
Assim :
f OL = f RF + f FI
onde :
f OL = frequência oscilador local
f RF = freqüência sintonia da Etapa de RF
f FI = freqüência Intermediária
Modelo Ideal
RF
X
FI
DET
DET
AUDIO
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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
EXERCÍCIOS
1) Um receptor para radiodifusão comercial AM-DSB (faixa de 535 a 1650KHz) trabalha
com um capacitor variável de seção dupla, cujos valores encontram-se entre 30 pF a 300
pF. Determinar o valor da indutância do Oscilador Local, sabendo - se que quando
sintonizamos a etapa de RF em 1100 KHz, ocorre um erro de rastreio de +3 KHz na
sintonia.
Teoricamente :
f OL = f RF + f FI
f OL = f RF + f FI + ε
⇒ ε = erro de rastreio
f OL = f RF + f FI + ε
⇒ f OL = 1100 + 455 + 3 = 1558 KHz
Quando calculamos o valor da indutância do Oscilador Local, precisamos saber que valor
está posicionado o capacitor variável de sintonia e esta informação pode ser dada pela
etapa de RF.
⇒
No extremo inferior da faixa
f Rmin = 535 KHz
⇒ 535 . 10 3 =
1
2π
L . 300 . 10 −12
L = 295 µ H
Assim para f R = 1100 KHz
1100 . 10 3 =
1
2 π 300 . 10 − 6 . C
⇒
C = 69,8 pF
Este valor é usado tanto para a etapa de RF quanto para o Oscilador Local
Desta forma para a frequência na qual está sintonizado o Oscilador Local :
1558 . 10 3 =
1
2π
L . 69,8 . 10 −12
⇒
L = 147 µ H
2) Um teste de controle de qualidade de um receptor AM-DSB leva em consideração que o
erro de rastreio não deve provocar atenuação maior que 3 dBna frequência da portadora
do sinal recebido. Para um receptor com os seguintes parâmetros :
C v → 45 pF a 450 pF
10
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
 L = 200µ H
−3
 R S = 10 + 27 . 10 . f
indutância da RF 
( dependência de R S com a frequência )
Determinar qual o máximo erro de rastreio permissível quando o valor de Cv for 300 pF.
Solução :
Para Cv = 300 pF , temos :
fR =
1
2 π 200 . 10
−6
. 300 . 10 −12
= 649 ,7 KHz
Nessa frequência, o valor de R S será :
R S = 10 + 27 . 10 −3 . 649,7 . 10 3 = 31,8 Ω
Assim :
Q=
X L 2 π . 649,7 . 10 3 . 200 . 10 −6
=
= 26
RS
31,7
A banda passante será : ⇒
B=
fR
649 ,7 . 10 3
=
= 25 KHz
Q
26
Desta forma a resposta da RF será :
0 dB
3 dB
649 ,7
f ( KHz )
25 KHz
A atenuação de 3 dB está compreendida dentro da banda passante da RF, com desvios de
± 12,5 KHz em relação a frequência de 649,7 KHz.
Assim podemos ter para f R = 649,7 KHz no máximo ε = ± 12,5 KHz
11
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
É evidente que em receptores de qualidade razoável se conseguem erros de rastreio de
ordens de grandeza bem menores que o valor encontrado neste exemplo, conseguindo -se
atenuações bem menores que 3 dB, devidas ao erro de rastreio.
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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
MODULADORES
Moduladores AM
Consideremos o caso de um dispositivo que opera usando a lei de potências, ou seja, um
dispositivo não linear com características de transferência do tipo que obedece alei de
potências :
v S = a1 v e + a 2 v e 2
omitindo-se os termos de ordem superior, pressupõe-se portanto um dispositivo com lei
quadrática.
Assim se → v e (t ) = x (t ) + cos ω P t teremos:
[
v S = a1 x (t ) + a1 cos ω P t + a 2 x (t ) cos ω P t
]
2
[
v S = a1 x (t ) + a1 cos ω P t + a 2 x (t ) 2 + 2 x (t ) cos ω P t + cos 2 ω P t
]
v S = a1 x (t ) + a1 cos ω P t + a 2 x (t ) 2 + 2a 2 x (t ) cos ω P t + a 2 cos 2 ω P t
[
]
= a1 x (t ) + a 2 x 2 (t ) + cos ω P t a1 + 2a 2 x (t ) + a 2 cos 2 ω P t
[
= a1 x (t ) + a 2 x 2 (t ) + a 2 cos 2 ω P t + cos ω P t a1 + 2a 2 x ( t )

= a1 x (t ) + a 2 x 2 ( t ) + a 2 cos 2 ω P t + a1 1 +

]

2a 2
x (t )  cos ω P t
a1

O último fator é a onda AM desejada com AP = 1 e m =
2a 2
, desde que possa ser
a1
separado do restante.
[
Assim teremos o espectro de VS ( f ) = ℑ v S ( t )
]
usando X ( f )
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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
O termo x 2 (t ) corresponde x ( f ) * x ( f ) com banda limitada em 2W.
Assim se f P >3W não há superposição espectral, de tal modo que a separação necessária
pode ser implementada usando-se um filtro passa - faixa com banda B=2W centrada em
fP .
Uma versão prática possível de circuito é mostrado abaixo com esquema de um modulador
completo utilizando um transistor de efeito de campo FET.
A bateria Vg polariza o FET na região de saturação, onde esse componente segue a lei
quadrática e o circuito RLC paralelo serve como filtro passa-faixa.
Como há necessidade de uma filtragem apurada, os moduladores desta família ( lei de
Potências ) são usados principalmente em modulação de baixo nível ou seja níveis de
potência inferiores aos do valor a transmitir.
Devemos então ter uma amplificação linear substancial para elevar a potência até PT (
Potência média transmitida ).
Entretanto amplificadores de potência para RF com linearidade desejada constituem
problemas e é sempre melhor essa modulação de alto nível caso PT seja elevada.
Figura do circuito modulador
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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
Moduladores não Lineares
A característica típica de um modulador com dispositivo não linear é mostrado na figura a
seguir :
Um semicondutor diodo ou transistor é um exemplo de dispositivo não linear.
As características não lineares destes dispositivos podem ser aproximadas por uma série de
potência do tipo :
i = ae + be 2 ( lei quadrática de potências )
Para analisar o circuito acima , consideramos que o elemento não linear está em série com
o resistor R, compondo um elemento não linear cuja tensão de saída é e e a corrente i é
descrita pela série de potência acima.
As voltagens e1 e e2 são dadas por :
e1 = cos ω c t + m(t )
e2 = cos ω c t − m(t )
m(t ) = sinal mod ulante
cos ω c t = portadora
onde ⇒
Portanto as correntes i1 e i2 são dadas por :
i1 = ae1 + be1 2
[
] [
= a cosω c t + m(t ) + b cos ω c t + m(t )
[
]
] [
2
e i2 = a cosωct − m(t ) + b cosωc t − m(t )
]
2
A tensão de saída v 0 será dada por :
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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
[
v 0 = i1 . R − i 2 . R = 2 R 2b. m(t ) cos ω c t + am(t )
]
• sinal a. m(t ) nesta equação pode ser filtrado, usando-=se um filtro passa-banda
sintonizado em ω c .
A implementação deste sistema usando diodos pode ser visto na figura a seguir :
Modulador Não-Linear AM DSB/SC
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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
MODULADORES CHAVEADOS
A operação de multiplicação requerida para modulação, pode ser substituída por uma
simples operação de chaveamento. Um sinal modulado pode ser obtido pela multiplicação
de m(t ) não somente por um sinal senoidal puro, mas sim por qualquer sinal periódico
ϕ (t ) com freqüência fundamental ω .
Tal sinal periódico pode ser expresso por :
∞
ϕ (t ) = ∑ Cn cos(nω c t + θn )
n=0
Portanto :
∞
m(t ).ϕ (t ) = ∑ Cn . m(t ).cos ω c t + θn )
n=0
Isto nos mostra que o espectro do produto m(t ).ϕ (t ) é o espectro de M (ω ) deslocado de
± ω c ,±2ω c ,......, ± nω c .
Se o sinal original é passado por um filtro passa-banda com largura de banda 2B (Hz) e
sintonizado em ω c , nós teremos o sinal modulado:
C1m(t ).cos(ω c t + θn )
A figura abaixo representa o modulador chaveado AM-DSB/SC.
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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
• trem de pulso quadrado k(t) é um sinal periódico cuja série de Fourier pode ser
encontrada facilmente através de :
( n −1)
A 2 A ∞ (− 1)
K (t ) = +
∑
2
π n =1,3,5....
n
Para
A=1
cos nω c t
teremos
( n −1 )
1 2 ∞ ( − 1)
K (t ) = +
∑
2 π n =1,3,5....
n
=
2
2
cos nω c t =
1 2
1
1

+  cos ω c t − cos 3ω c t + cos 5ω c t −.......

2 π
3
5
• sinal m(t ). k (t ) é dado por :
m(t ). k (t ) =
1
2
1
1

m(t ) +  m(t ) cos ω c t − m(t ) cos 3ω c t + m(t ) cos 5ω c t − ..........

2
3
5
π
e no domínio da frequência :
( n −1)
( − 1)
1
1
m(t ). k (t ) ↔ M (ω ) +
∑
π n =1,3,....
n
2
2
[ M (ω + nω ) + M (ω − ω )]
c
c
• espectro do produto é mostrado no item c da figura .
Quando o sinal m(t ). k (t ) é passado por um filtro passa-banda centrado em ω c , a saída do
sinal modulado será :
 2
 . m(t ).cos ω c t
π
figura (d)
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