Simetria de uma figura e isometrias no plano
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Simetria de uma figura e isometrias no plano
15º EREPM, 30/4/2011- Bragança O “mundo” da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB Ana Maria Roque Boavida [email protected] 15º ERBragança Observando o PMEB tendo a simetria por horizonte Tópicos Objectivos(extractos) 1º ciclo: Reflexão • Identificar no plano figuras simétricas em relação a um eixo; desenhar no plano figuras simétricas relativas a um eixo horizontal ou vertical (1º e 2º anos) • Identificar no plano eixos de simetria de figuras; construir frisos e identificar simetrias (3º e 4º anos). Notas: Exploração de reflexões; construção, no plano, de figuras simétricas através de dobragens e recortes; exemplos que evidenciem reflexões como simetrias axiais; exploração de frisos identificando simetrias de translação, reflexão, reflexão deslizante e rotação (meia-volta) 2º ciclo: Reflexão, Identificar, predizer e descrever a isometria em causa (...); construir o transformado de uma figura, a partir de uma isometria ou de uma composição de isometrias; compreender as noções de simetria axial e rotacional e identificar as simetrias numa figura; (...) explorar padrões geométricos que envolvam simetrias; identificar as simetrias de frisos e rosáceas; construir frisos e rosáceas. rotação e translação Noção e propriedades; simetrias axial e rotacional 3º ciclo: Isometrias Translação associada a um vector; propriedades das isometrias • Compreender as noções de vector e de translação e identificar e efectuar translações; identificar e utilizar as propriedades das translações; compor translações; reconhecer as propriedades comuns das isometrias O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 2 15º ERBragança Que imagens têm ou não têm simetria? O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 3 15º ERBragança Simetria: Que significado? Serão as mãos simétricas? Será a nossa cara simétrica? Serão os bonecos simétricos? Afinal, de que falamos quando falamos em simetria? O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 4 15º ERBragança Simetria: Que significado? A noção de simetria, sendo essencial em Matemática, não é exclusiva deste campo Simetria é uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição. (Serra, 1993, p. 304, cit. Weyl) A noção de simetria é deveras importante em Matemática, nas artes visuais e em diversas ciências como a Cristalografia e a Física. (Oliveira, 1997, p. 70) Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria. (Serra, 1993) O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 5 15º ERBragança Simetria: Estabilizando um significado Falar de simetria é falar de simetria de uma figura. Figura: um subconjunto de pontos do plano ou do espaço. Exs: Recta, rectângulo, esfera, desenho artístico,... (Bastos, 2006) Não tem sentido perguntar se as duas bonecas (duas figuras) são simétricas... ... embora possa perguntar-se se a boneca tem simetria. (uma figura) O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 6 15º ERBragança Simetria de uma figura: Estabilizando um significado Focando-nos nas figuras do plano Simetria de uma figura não é o mesmo que simetria axial de uma figura: a figura pode ter simetrias que não sejam axiais Simetria de uma figura F é uma particularidade dessa figura. Significa que existe uma isometria T do plano que deixa a figura invariante, isto é, tal que T (F ) = F. (adaptado de Bastos, 2006) Invariante significa globalmente invariante Podem alguns ou todos os pontos da figura mudar de posição, mas a figura, como um todo, fica invariante. (Veloso, 1998, p. 182) Manutenção da congruência e da posição O transformado da figura através da isometria coincide com a figura original: as figuras são geometricamente iguais e além disso ocupam a mesma posição no plano, mesmo que haja pontos que não coincidam com as suas imagens. O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 7 15º ERBragança Revisitando isometrias a propósito de simetria Analisar a simetria de uma figura remete para investigar se há isometrias (diferentes da identidade) que a deixam invariante Isometria: Transformação geométrica que preserva as distâncias; as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente iguais. Quatro tipos fundamentais de isometrias: — Rotação — Translação — Reflexão — Reflexão deslizante O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 8 15º ERBragança Revisitando isometrias a propósito de simetria Rotação .O 75º O peixe da esquerda “rodou” no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de vértice O e amplitude 75 graus. Rotação de centro O e amplitude 750 O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 9 15º ERBragança Revisitando isometrias a propósito de simetria .O Rotação 75º Centro de rotação: pode ser um ponto da figura Centro de rotação: pode ser um ponto que não pertence à figura .O 750 .O 1800 (meia .O volta) 2700 .O 3600 O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 10 15º ERBragança Revisitando isometrias a propósito de simetria Rotação Rotação de centro O e amplitude α é uma transformação geométrica tal que: •qualquer que seja o ponto P do plano, a distância de O a P é igual à distância de O à imagem de P (P’ ); •a amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P’ é igual a α. Rotação de centro O e amplitude 900 F F O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 11 15º ERBragança Revisitando isometrias a propósito de simetria Translação Translação associada ao vector v Translação associada ao vector u v u Numa translação todos os pontos de uma figura se “deslocam” na mesma direcção, no mesmo sentido e a mesma distância. O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 12 15º ERBragança Revisitando isometrias a propósito de simetria Translação u Translação associada ao vector é uma transformação geométrica em que cada ponto O do plano é transformado num outro ponto O’ (imagem de O) em que O’ = O + u u Translação da figura F associada ao vector u F O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 13 15º ERBragança Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão Os eixos de reflexão podem, ou não ter pontos em comum com a(s) figura(s) eixo de reflexão Cada ponto de uma figura e a sua imagem estão sobre uma recta perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo. É como se o peixe e a estrela se estivessem “a ver ao espelho”... O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 14 15º ERBragança Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão Reflexão de eixo s é a transformação geométrica que faz corresponder a cada ponto O do plano o ponto O’ (imagem de O) de tal modo que: •a recta s é perpendicular a *O O’+ e passa pelo ponto médio de *O O’+ (ou s é a mediatriz de *O O’+; •se O pertence a s, a sua imagem coincide com O. F Reflexão da figura F de de eixo s s O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 15 15º ERBragança Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão deslizante Transformação geométrica que resulta da composição de uma reflexão de eixo s com uma translação cujo vector tem direcção paralela a s. F u s O’’ imagem de O através da reflexão deslizante associada a s e ao vector u O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 16 15º ERBragança Retomando a ideia de simetria de uma figura De entre as aplicações mais interessantes das transformações e grupos de transformações estão as relacionadas com questões de simetria. Existindo muitas espécies de simetrias no plano e no espaço (...). (Oliveira, 1996, p. 187) Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias referidos. (Serra, 1993, p. 305) — Simetria de reflexão (ou simetria axial) — Simetria de rotação (ou simetria rotacional) —Simetria de translação —Simetria de reflexão deslizante O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 17 15º ERBragança Simetria de reflexão de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Várias hipóteses... Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente; Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda; Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher exactamente o buraco que fica na folha com a parte recortada mas virada ao contrário (com a parte de baixo do papel virada para cima); ... O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 18 15º ERBragança Simetria de reflexão de uma figura Por vezes a simetria de reflexão é designada por simetria axial; o eixo de reflexão também se pode designar por eixo de simetria ou linha de simetria. (Serra, 1993, p. 305) Eixo de simetria? 1 eixo de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 19 15º ERBragança Simetria de reflexão de uma figura Eixo de simetria? 1 eixo de simetria 2 eixos de simetria 6 eixos de simetria 0 eixos de simetria 4 eixos de simetria Eixo de simetria de uma figura: Recta (sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira…) que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria. O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 20 15º ERBragança Simetria rotacional de uma figura Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 00 e inferior a 3600 que deixa a figura globalmente invariante. Só neste caso se admite também uma simetria rotacional associada a um ângulo de 3600. Como a reconhecemos? Se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original. Figura com simetria rotacional Figura sem simetria rotacional (ou qualquer outro tipo de simetria) O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 21 15º ERBragança Simetria rotacional de uma figura Que simetrias rotacionais tem a figura? C: Centro da simetria rotacional (ponto em torno do qual a figura “roda”) C Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o “movimento” da figura. Um quarto de volta (90º) Meia volta (180º) Três quartos de volta (270º) Uma volta inteira (360º) O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 22 15º ERBragança Simetria de translação de uma figura Existe, pelo menos, uma translação que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e uma dada direcção (identificadas pelo vector da translação) de tal modo que o seu transformado coincide com a figura original Se a figura for infinita, existe essa possibilidade… O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 23 15º ERBragança Simetria de reflexão deslizante de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Se, por exemplo, depois de desenharmos a figura em papel transparente, de virarmos o papel ao contrário “em torno” de uma determinada recta e de o deslocarmos segundo a direcção dessa recta, conseguirmos que o transformado da figura coincida com a figura original. Se a figura for infinita, existe essa possibilidade… O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 24 15º ERBragança Em busca de simetrias de figuras Potencialidades O estudo das simetrias das figuras constitui uma aplicação muito interessante das isometrias que permite desenvolver o conhecimento matemático destas transformações geométricas e fornecer, consequentemente, ferramentas que podem ser muito úteis na resolução de problemas geométricos. (...) O conceito de simetria pode ser também a base para actividades de descrição e classificação de figuras geométricas, de argumentação/demonstração (…) A análise de objectos artísticos ou de cristais através das suas simetrias são actividades que estabelecem ligações entre a matemática e outros domínios do saber (...) (Bastos, 2006, p. 11) Conhecimento matemático Resolução de problemas Conhecimento matemático Comunicação e raciocínio Conexões matemáticas O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 25 15º ERBragança Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? D A C B O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 26 15º ERBragança Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? Simetrias de reflexão 4 Eixos de simetria: 2 rectas que contêm as diagonais do quadrado e 2 rectas que passam pelos pontos médios de lados opostos 90º Simetrias rotacionais 4 D C Com centro no ponto de encontro das diagonais do quadrado e amplitudes 900, 1800, 2700 e 3600. B O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 27 15º ERBragança Simetrias de polígonos Exemplo de material de apoio à exploração de simetrias em polígonos O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 28 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplos de rosáceas Rosáceas Figuras compostas por diversos módulos geometricamente iguais que se repetem por rotação. O centro de rotação é sempre o mesmo ponto, a amplitude da rotação é sempre a mesma e a divisão entre 3600 e a medida desta amplitude é exacta. Existe sempre um ponto do plano que é fixo para o grupo de simetria da figura (conjunto das transformações de simetria da figura). Têm sempre simetrias rotacionais, podendo ter também simetrias de reflexão. O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 29 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Que simetrias existem nestas rosáceas? Identificar • • assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 30 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Que simetrias existem nestas rosáceas? Identificar • • assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura Simetria de reflexão e simetria rotacional Só simetria rotacional Simetria de reflexão 2 eixos de simetria – lado/lado Simetria rotacional R rotação de 1800 R2 rotação de 3600 (identidade) R rotação de 600 R2 rotação de 1200 R3 rotação de 1800 R4 rotação de 2400 R5 rotação de 3000 R6 rotação de 3600 (identidade) O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 31 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch Motivo simples O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 32 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch Motivo simples O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 33 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Exemplos de frisos Friso Figura infinita caracterizada por apresentar sempre simetrias de translação com a mesma e uma só direcção. No friso, o grupo de simetria fixa uma recta. Pode haver outras simetrias para além das de translação As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente para a esquerda e para a direita O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 34 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? Identificar Nomenclatura adoptada recta horizontal recta vertical O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 35 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? u Identificar Nomenclatura adoptada recta horizontal recta vertical v De translação. Por exemplo, translações associadas aos vectores u e v . De reflexão de eixo horizontal O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 36 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? Identificar O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 37 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? Identificar De reflexão de eixo horizontal De reflexão de eixos verticais De translação da figura u associadas a vectores com a direcção de u e comprimento múltiplo do deste vector. O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 38 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos A partir de um motivo simples podem-se construir frisos muito diversos usando isometrias Construir r A’ B’ C’ D’ Motivo simples [A´, B’, C’, D’+ imagem do motivo simples através de uma reflexão de eixo r. Nota: O motivo simples é, por vezes, designado por módulo A’ A’’ B’ C’ D’ B’’ C’’ D’’ *A’´, B’’, C’’, D’’+ imagem de [A´, B’, C’, D’+ através de uma translação de vector paralelo ao eixo de reflexão (recta r). O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 39 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Construir (continuação) Através de translações sucessivas da figura Obtém-se o friso Simetrias do friso: de translação e de reflexão deslizante (AMB, FM, MR, SM: PMEB: Geometria, 2009/2010) 40 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que tipos de frisos há? Investigar Investigar que tipos de frisos existem (...) [é] perceber que “estruturas” de frisos existem e, para isso, devemos investigar que grupos de simetria podem ter os frisos (...) [trata-se] de procurar uma classificação dos frisos baseada nos respectivos grupos de simetria. (Veloso, 1998, p. 202) O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 41 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples Investigar Tipo 1: gerado por translação Motivo composto Tipo 2: gerado por reflexão de eixo horizontal e translação O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 42 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples Investigar Motivo composto Tipo 3: gerado por reflexão de eixo vertical e translação Motivo4: composto Tipo gerado por reflexão de eixo horizontal, reflexão de eixo vertical e translação O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 43 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Investigar Motivo simples Tipo 5: gerado por rotação de 1800 e translação O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 44 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Investigar Motivo simples Tipo 6: gerado por reflexão deslizante e translação O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 45 15º ERBragança Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples Investigar Motivo composto Tipo 7: gerado por reflexão de eixo vertical, reflexão deslizante e translação Há apenas sete tipos de frisos... O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 46 15º ERBragança (Alcazar, Sevilha) 47 O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 15º ERBragança Bibliografia e outros materiais consultados Bastos, R. (2006). Notas sobre o Ensino da Geometria do Grupo de Trabalho de Geometria da APM – Simetria. Educação Matemática, 88, 9-11. Bastos, R. (2007). Notas sobre o ensino da Geometria: Transformações geométricas. Educação e Matemática, 94, 23-27. Deledicq, A. & Raba, R. (1997). Le monde des pavages. Paris: ACL- Éditions. Devlin, K. (2002). Matemática: A ciência dos padrões. Porto: Porto Editora. Hargittai, I. & Hargittai, M. (1994). Symmetry: A unifying concept. Bolinas, California: Shelter Publications. Haylock, D. (2001). Mathematics explained for primary teachers. London: Sage. Musser, G., Burger, W. (1997). Mathematics for elementary teachers: A contemporary approach (4ª ed.). Upper Saddle River: Prentice-Hall. Oliveira, A. (1997). Transformações geométricas. Lisboa: Universidade Aberta. Serra, M. (1993). Discovering geometry: An inductive approach. Berkeley: Key Curriculum Press. Veloso, E., Bastos, R. & Figueirinhas, S. (2009). Notas para o ensino da Geometria: isometrias e simetria com materiais manipuláveis. Educação e Matemática, 101, 23-28. Veloso, E. (1998). Geometria. Temas actuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 48 15º ERBragança Bibliografia e outros materiais consultados Documentos não publicados Conjunto de slides elaborados por Ana Maria Boavida para a conferência Revisitando simetrias e isometrias no plano... a propósito do PMEB realizada no âmbito do PFCM da Universidade de Évora (Julho de 2010). Conjunto de slides sobre Simetrias de uma figura e isometrias no plano elaborados por Ana Maria Boavida, Fernanda Matias, Margarida Rodrigues e Sílvia Machado para a Formação de Professores Acompanhantes do PMEB: Geometria promovida pela DGIDC (Setembro 2009) . Conjunto de slides sobre isometrias e simetria de uma figura no plano elaborado por Lina Brunheira, professora acompanhante do Plano da Matemática II (Fevereiro de 2011). Conjunto de slides sobre Simetria e frisos elaborados pela equipa do Programa de Formação Contínua em Matemática para professores dos 1º e 2º ciclos da Universidade de Évora (2008/2009). Sites http://www.apm.pt/formacao/tgs_2008/index.html http://www.atm.org.uk/resources/ http://www.atractor.pt/simetria/matematica/index.html http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=168 http://mathstitch.com/Rosettes__Friezes_and_Wallp.html O “mundo” da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 49 15º EREPM, 30/4/2011- Bragança O “mundo” da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB Ana Maria Roque Boavida [email protected]
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