Material de apoio as aulas práticas

Análise de Estruturas - Simetria e anti-simetria
Apoio às Aulas Práticas
Simetria e anti-simetria na análise das estruturas
Estruturas simétricas: estruturas que têm um plano de simetria, plano que
funciona como um espelho para a estrutura - uma parte da estrutura que se
reflecte e a outra é um reflexo desta, e cuja intersecção com o plano da estrutura
dá origem ao eixo de simetria
Uma estrutura se considera simétrica quando se verificam relativamente ao
eixo (plano) de simetria as seguintes condições:
• simetria de topologia (distribuição das barras);
• simetria na distribuição dos aparelhos de apoio;
• simetria na distribuição das libertações;
• simetria das propriedades mecânicas (E, ν);
• simetria das propriedades geométricas (I, A);
Estruturas simétricas com carregamento simétrico
Caracterização do comportamento
O comportamento das estruturas simétricas com carregamento simétrico se
refere a três aspectos: deformada, reacções nos apoios e campo dos esforços.
• Reacções de apoio - simétricas
• Campo dos deslocamentos - simétrica
– pontos sobre o eixo da simetria:
∗ rotações nulas;
∗ deslocamentos perpendiculares ao eixo da simetria nulos;
∗ deslocamentos paralelos ao eixo de simetria em geral não nulos.
– pontos fora do eixo da simetria:
∗ rotações simétricas – rotação igual mas de sentido inverso da do
seu simétrico;
∗ deslocamentos perpendiculares ao eixo da simetria simétricas –
iguais mas de sentido inverso da do seu simétrico ;
∗ deslocamentos paralelos ao eixo de simetria iguais e no mesmo
sentido da do seu simétrico.
1
Ildi Cismasiu -2007/2008
Análise de Estruturas - Simetria e anti-simetria
Apoio às Aulas Práticas
• Campo de esforços – simétrico excepto o esforço transverso
– barras coincidentes com o eixo da simetria:
∗ diagrama do momento flector (M ) nulo;
∗ diagrama do esforço transverso (V ) nulo;
∗ diagrama do esforço normal (N ) em geral não nulo.
– barras não coincidentes com o eixo da simetria:
∗ diagrama do momento flector (M ) simétrico (em traçado);
∗ diagrama do esforço transverso (V ) anti-simétrico (em valor);
∗ diagrama do esforço normal (N ) simétrico (em valor).
Caso uma estrutura se encontra nesta situação, deixa de ser preciso estudar a
estrutura na globalidade.
Simplificações na análise
Estuda-se apenas metade da estrutura introduzindo simplificações para
simular o comportamento da outra metade podendo-se extrapolar os resultados
obtidos para toda a estrutura.
As simplificações devem atendidas da seguinte forma:
• cargas aplicadas sobre o eixo da simetria e que tenham a direcção do eixo
da simetria devem ser consideradas com metade do seu valor. (Não se
pode ter nenhuma força com direcção perpendicular ao eixo da simetria,
nem momento no eixo de simetria.
• nas barras coincidentes com o eixo de simetria deve ser libertado o
momento flector (as barras devem ser tornadas bi-rotuladas) e deve ser
considerado apenas metade da sua rigidez axial (A/2);
• sempre que o eixo de simetria intercepta a estrutura, deve ser libertado
libertado o deslocamento segundo o eixo da simetria (deve-se introduzir
encastramentos deslizantes e/ou apoios simples que permitam o
deslocamento paralelo com o eixo de simetria);
As extrapolações fazem-se de acordo com a caracterização dos esforços e
nas barras coincidentes com o eixo de simetria, o esforço normal na estrutura
real tem o valor dobro do valor existente na meia estrutura. (Todas as barras
com rigidez axial reduzido.)
"Deformada é simétrica "DMF (M) simétrico em traçado "DEV (V)
Anti-simétrico "DEA (N) Simétrico "Barras no eixo de simetria tem N a dobrar
e V,M nulos "Reacções de apoio - Simétricas
2
Ildi Cismasiu -2007/2008
Análise de Estruturas - Simetria e anti-simetria
Apoio às Aulas Práticas
Estruturas simétricas com carregamento anti-simétrico
Anti-simetria é o inverso de simetria, além de reflectir inverte a imagem que
simetricamente é reflectida.
Caracterização do comportamento
O comportamento das estruturas simétricas com carregamento anti-simétrico
se refere a três aspectos: deformada, reacções nos apoios e campo dos esforços.
• Reacções de apoio - anti-simétricas
• Campo dos deslocamentos - anti-simétrico
– pontos sobre o eixo de simetria:
∗ rotações, em geral, não nulas;
∗ deslocamentos perpendiculares ao eixo da simetria, em geral, não
nulos;
∗ deslocamentos paralelos ao eixo de simetria nulos.
– pontos fora do eixo da simetria:
∗ rotações – iguais e no mesmo sentido da do seu simétrico;
∗ deslocamentos perpendiculares ao eixo da simetria – e no mesmo
sentido da do seu simétrico;
∗ deslocamentos paralelos ao eixo de simetria iguais mas no sentido
inverso da do seu simétrico.
• Campo de esforços
– barras coincidentes com o eixo da simetria:
∗ diagrama do momento flector (M ), em geral, não nulo;
∗ diagrama do esforço transverso (V ), em geral, não nulo;
∗ diagrama do esforço normal (N ) nulo.
– barras não coincidentes com o eixo da simetria:
∗ diagrama do momento flector (M ) anti-simétrico (em traçado);
∗ diagrama do esforço transverso (V ) simétrico (em valor);
∗ diagrama do esforço normal (N ) anti-simétrico (em valor).
Caso uma estrutura se encontra nesta situação, deixa de ser preciso estudar a
estrutura na globalidade.
3
Ildi Cismasiu -2007/2008
Análise de Estruturas - Simetria e anti-simetria
Apoio às Aulas Práticas
Simplificações na análise
Estuda-se apenas metade da estrutura introduzindo simplificações para
simular o comportamento da outra metade podendo-se extrapolar os resultados
obtidos para toda a estrutura.
As simplificações devem atendidas da seguinte forma:
• cargas aplicadas sobre o eixo da simetria e que tenham a direcção
perpendicular ao eixo da simetria devem ser consideradas com metade
do seu valor. (Não se pode ter nenhuma força com direcção do eixo da
simetria)
• nas barras coincidentes com o eixo de simetria deve ser libertado o
esforço axial (deve ser colocada uma libertação axial) e deve ser
considerado apenas metade da sua rigidez a flexão e corte (I/2 e A?/2);
• sempre que o eixo de simetria intercepta a estrutura, deve ser impedido o
deslocamento segundo o eixo da simetria (deve-se introduzir apoios
simples que impeçam o deslocamento paralelo com o eixo de simetria);
As extrapolações fazem-se de acordo com a caracterização dos esforços e
nas barras coincidentes com o eixo de simetria, o momento flector e o esforço
transverso na estrutura real tem o valor dobro do valor existente na meia
estrutura. (Todas as barras com rigidez a flexão e corte reduzidos.)
"Deformada é anti-simétrica "DMF (M) anti-simétrico em traçado "DEV (V)
Simétrico "DEA (N) Anti-simétrico "Barras no eixo de simetria tem N=0 e V,M
a dobrar "Reacções de apoio Anti-simétricas
Estruturas simétricas com carregamento assimétrico
Qualquer carregamento pode ser sempre decomposto numa parcela simétrica
e numa parcela anti-simétrica, desde que seja válida a sobreposição dos efeitos,
o comportamento de uma estrutura simétrica pode ser obtida na soma dos efeitos
devidos à parcela simétrica e anti-simétrica do carregamento.
A parcela simétrica do carregamento pode ser obtida por meio da soma
de metade do carregamento com o complemento simétrico do metade do
carregamento.
A parcela anti-simétrica do carregamento pode ser obtida por meio da soma
de metade do carregamento com o complemento anti-simétrico do metade do
carregamento.
4
Ildi Cismasiu -2007/2008
Análise
0.1 Estruturas
de Estruturas
simétricas
- Simetria
- resumo
e anti-simetria
Apoio às Aulas Práticas
0.1 Estruturas simétricas - resumo
ESTRUTURAS SIMETRICAS
CARREGAMENTO SIM
CARREGAMENTO AS
CARACTERIZAÇAO/COMPORTAMENTO
DEFORMADA
SIMETRICA
PONTOS COINCID.
C/EIXO DE SIMETRIA
φ=0
δ
❊
=0
δ
ANTI−SIMETRICA
❊
φ=0
=0
δ
=0
δ
REACÇOES
REACÇOES − SIM
REACÇOES − AS
ESFORÇOS
DMF − SIM
DEN − SIM
DEV − AS
DMF − AS
DEN − AS
DEV − SIM
BARRAS COINCID.
C/EIXO DE SIMETRIA
M=0
V=0
N=0
M=0
=0
V=0 N=0
SIMPLIFICAÇOES − 1/2 ESTRUTURA
BARRAS QUE COINCIDEM C/EIXO DE SIMETRIA
MF
LIBERTACOES
EN
EI/2, GA´/2
EA/2 (EI − qq, GA´ − qq)
RIGIDEZ
CARREGAMENTO
λ/2
λ
λ
(EA − qq)
,M
λ/2
BARRAS QUE INTERCEPTAM O EIXO DE SIMETRIA
DESLOCAMENTOS
❊
PERMITIR δ
IMPEDIR δ
EXTRAPOLAÇOES − ESTRUTURA ORIGINAL
BARRAS QUE COINCIDEM C/EIXO DE SIMETRIA
ESFORÇOS FINAS
NA ESTRUT. ORIG
❊
Nf = 2xN1/2E
Mf = 2xM1/2E Vf = 2xV1/2E
excepto se tiver impedido por apoios na estrutura
5
Ildi Cismasiu -2007/2008