transferência de calor ii - PUC-Rio

TRANSFERÊNCIA DE CALOR II
Profa. Mônica F. Naccache h1p://naccache.usuarios.rdc.puc-­‐rio.br/Cursos/
Trans_Calor_II.html Sala 153-­‐L naccache@puc-­‐rio.br Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 1 •  Termodinâmica: estuda as interações de energia entre um sistema e a vizinhaça (calor e trabalho). Trata de estados em equilíbrio. Não trata da natureza da interação. •  Transferência de calor: estuda os mecanismos de transferência de calor, e relações para o cálculo das taxas de transferência de calor. Exemplos: Projetos de paredes refratárias, calor perdido em equipamentos, trocadores de calor, etc. Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 2
Modos de transferência de calor Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 3
Condução •  Mecanismo: movimentos randômicos translacionais (difusão) de moléculas (fluidos) ou elétrons (sólidos) •  Lei de Fourier: fornece a taxa de transferência de calor por condução 1 D: q"
x
fluxo calor por
unid .area(W / m 2)
€
=
−k

dT
dx

condutividade
térmica(W / mK ) gradiente
temperatura
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 4
Convecção •  Mecanismo: difusão + energia transferida pelo movimento macroscópico do fluido (advecção) •  Convecção forçada: movimento do fluido é causado por agentes externos (bombas, ven_ladores, etc.) •  Convecção natural: movimento do fluido ocorre devido a forças de empuxo, que surgem devido a diferenças de densidade, causadas por diferenças de temperatura •  Convecção mista: natural+forçada •  Evaporação/Condensação: casos especiais de convecção, onde a energia é transferida na forma de calor latente. Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 5
€
Convecção (cont.) •  Lei de Newton de resfriamento: fornece a taxa de transferência de calor por convecção q"= h(Ts − T∞ )
h -­‐ coeficiente de troca de calor por convecção (W/m2K) Ts -­‐ temperatura da superecie T∞ -­‐ temperatura do fluido Exemplo: Em convecção natural, har ≈ 10 W/m2K e hágua ≈ 100 W/m2K ⇒ q”água > q”ar (i.e., para um mesmo intervalo de tempo, um corpo na água perde mais calor do que um no ar) Tágua=20 0C Tar=20 0C Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 6
Convecção (cont.) •  Ordem de grandeza de h (W/m2K): –  Convecção natural: gases -­‐ 2 a 25 líquidos -­‐ 50 a 1000 –  Convecção forçada: gases -­‐ 25 a 250 líquidos -­‐ 50 a 20000 –  Convecção com mudança de fase: 2500 a 100000 Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 7
Radiação •  Energia emi_da pela matéria (sólido, líquido ou gás) a temperatura finita. O transporte ocorre por ondas eletromagné_cas. Não é necessário um meio material para a propagação de energia. •  Lei de Steffan-­‐Boltzman: Fluxo máximo de radiação que pode ser emi_da por uma superecie q"= σTs4
σ = 5.67x10−8 W /m 2K 4 → cte Steffan Boltzman
A superecie que emite radiação de acordo com esta relação é chamada de corpo negro €
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 8
Radiação (cont.) 4
q"=
εσ
T
s
•  Para uma superecie real: ε → emissividade
0 ≤ ε ≤1
•  Radiação incidente: €
q"inc = q"ref +q"trans +q"abs
⇒1=
q"ref
q"inc

+
= ρ −refletividade
€
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio q"trans
q"
inc

= τ −transmissividade
+
q"abs
q"inc

= α −absortividade
9
Princípios Fundamentais •  Equações de conservação: massa, quan_dade de movimento linear, energia, conservação de massa de espécies químicas •  Equações cons_tu_vas: lei de Fourier, lei da viscosidade de Newton, lei de Newton da convecção, lei de Stefan-­‐Boltzman Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 10 Hipótese de cononuo •  Fluido é modelado como sendo infinitamente divisível, sem mudança de suas caracterís_cas •  Todas as propriedades materiais (ρ, µ, κ, …) e variáveis (p, v, T, …) são definidas num ponto como o limite da média da grandeza nas flutuações moleculares •  Estudo do movimento a nível macroscópico (p. ex.: escoamento em tubos, em volta de corpos, etc … Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 11 Consequências da hipótese de cononuo •  Mecanismos de transporte: –  Transporte associado ao campo de velocidade macroscópico u –  Mecanismo de transporte “molecular”: contribuição de superecie nas eqs. momentum e energia. •  Na formulação cononua, são necessários modelos para descrever o fluxo de momentum e calor a nível molecular •  Incerteza nas condições de contorno Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 12 Derivada material ou convectada •  Volume material Vm(t): volume arbitrário que contém um certo número de pontos materiais em t=0. Vm(t) se move e se deforma tal que o fluxo de massa através de todos os pontos na sua superecie é zero: D
Dt
[∫
Vm ( t )
]
ρdV = 0
U(x) Vm(0) Derivada no tempo da massa total associada a Vm Sm(0), Us=u(x) €
•  Derivada material ou convectada: DB ∂B
=
+ u • ∇B
Dt ∂t
n expressa a variação com o tempo seguindo uma par5cula material Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio t Vm(t) Sm(t) n 13 •  Derivada parcial com relação ao tempo: ∂B $ ∂ B '
≡& )
∂t % ∂ t ( z
•  Derivada total: €
DB ∂B
Dt
€
=
∂t
+ v • ∇B
expressa a variação com o tempo, numa posição fixa expressa a variação com o tempo em relação a um “material” arbitrário Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 14 Teorema do Transporte de Reynolds •  O teorema do transporte é uma generalização da Regra de Leibnitz para diferenciação de uma integral, 1-­‐D, quando ambos integrando e limites de integração variam D
Dt
[
&1
'
∫Vm ( t ) B(x(t),t)dV ≡ lim
δt →0 ( δt
]
[
)
∫Vm ( t +δt ) B(t + δt)dV - ∫Vm ( t ) B(t )dV *+
]
∫
Adicionando e subtraindo o termo: D
Dt
[
1
B( t + δt ) dV - ∫V ( t ) B( t + δt ) dV
∫Vm ( t ) B(x(t),t)dV ≡ lim
∫
V
(
t
+
δ
t
)
m
m
δt →0 δt 


]
[
]
'1
*
= lim )
∫Vm ( t +δt )−Vm ( t ) B ( t +δt ) dV ,
(δt
+
€
+
Vm
B
t
+
δ
t
dV
(
)
(t)
[
1
B( t + δt ) dV − ∫
B( t ) dV
∫
V
(
t
)
V
(
t
)
m
m
δt 


∂B
≡∫
dV
Vm ( t ) ∂t
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio [
]
]
15 %1
(
%1
(
lim' [ ∫Vm ( t +δt )−Vm ( t ) B( t + δt ) dV ]* = lim' [ ∫ A m ( t ) B( t + δt )u • nδdA ]*
&δt
)
&δt
)
=
∫
Am ( t )
B( t )u • nδdA
Usando o teorema da divergêngia, chega-­‐se a forma final para o Teorema de Transporte: D
Dt
[
%∂B
(
∫Vm ( t ) B(x,t )dV = ∫Vm ( t ) '& ∂t + ∇ • (Bu)*)dV
]
Caso o volume esteja se movendo a uma velocidade u*, diferente da velocidade do fluido u: D*
Dt *
[
%∂B
* (
∫V *m ( t ) B(x,t )dV = ∫V *m ( t ) '& ∂t + ∇ • (Bu )*)dV
D* ∂
*
≡
+
u
•∇
*
Dt
∂t
]
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 16 Equação de Conservação de Massa •  A equação de conservação de massa (con_nuidade) pode ser derivada usando o conceito de volume material e o Teorema de Transporte: D
Dt
[
&∂ρ
)
∫Vm ( t ) ρdV = ∫Vm ( t ) (' ∂t + ∇ • (ρu)+*dV = 0
]
∂ρ
+ ∇ • ( ρu) = 0
∂t
Dρ
ou
+ ρ∇ • (u) = 0
Dt
∇ • ( ρ u) = ρ ∇ • u + u • ∇ ρ
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 17 Em coordenadas cartesianas: ∂ρ ∂ ( ρu) ∂ ( ρv ) ∂ ( ρw )
+
+
+
=0
∂t
∂x
∂y
∂z
Em coordenadas cilíndricas: €
∂ρ ∂ ( rρur ) ∂ ( ρuθ ) ∂ ( ρuz )
+
+
+
=0
∂t
r ∂r
r ∂θ
∂z
€
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 18 Casos par_culares •  Densidade constante (fluido real: ρ=ρ(p,T); fluido incompressível, boa hipótese quando M=|u|/usom<<1) ∇ • u ≡ div u = 0
Obs: a validade da equação acima não implica na incompressibilidade do fluido € permanente: •  Regime ∇ • ρu ≡ div ρu = 0
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 19 Taxa de deformação •  A taxa de deformação no ponto de interseção de 2 curvas materiais é descrita pela taxa instântanea de variação do comprimento das curvas e pela taxa de variação do ângulo entre elas Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 20 Tensor taxa de deformação #taxas de alongamento na direção da coordenada quando i = j
Dij = $
%metade da taxa de cisalhamento na direção das coordenadas quando i ≠ j
1
T
D = (∇v) + (∇v)
parte simétrica de (∇v)
2
(∇v) = D+ W
[
]
W : tensor vorticidade (parte antissimétrica de (∇v))
Wij … ½ da soma da taxa de rotação, de acordo com a regra da mão direita, em torno da direção k de elementos materiais instantâneamente alinhados com i e j w ≡ tr (ε • W ) = εijkW kj ei =
vetor vor_cidade: representação polar de W ∂v j )
1 & ∂v k
∂v
− εijk
((εijk
++ei = εijk k ei = rot ( v)
2 ' ∂z j
∂z k *
∂z j
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 21 €
•  A direção de w é a do eixo de rotação do fluido •  Primeiro Teorema de Cauchy:”O componente do vetor vor_cidade em qualquer direção é a soma das taxas de rotação (no sen_do da regra da mão direita) sobre a direção dos elementos em quaisquer direções perpendiculares a ela e a cada uma outra” w = 0 esc. irrotacional
w ≠ 0 esc. rotacional
•  Se podemos escrever v = −∇P ⇒ w = 0 pois rot (∇α ) = 0 sempre
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 22 Tensor Taxa de Deformação: 1
D = γ˙
2
€
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 23 Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 24 Equação de conservação de momentum •  Da Segunda Lei de Newton: "taxa variação quantidade
% "soma das forças%
$
' $
'
movimento
linear
num
corpo
=
agindo
sobre
o
$
' $
'
$#em relação a um ref inercial '& $#corpo
'&
€• 
Aplicando num volume material de fluido: D
Dt
[
$soma das forças '
∫Vm ( t ) ρudV = &%agindo em V (t))(
m
]
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 25 Tipos de força •  Forças de corpo: associadas a presença de campos externos (Ex.: força gravitacional). Neste curso só iremos considerar o efeito da força gravitacional. •  Forças de contato ou de superecie: forças do material fora de Vm(t) sobre Vm(t) Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 26 Segunda Lei de Newton para Vm D$
'
ρ u dV )( = ∫V ( t ) ρgdV +
∫
&
V
(
t
)
%
m
Dtm 


taxa variação QML em Vm
força gravitacional
∫tdA


Am ( t )
força agindo sobre a superfície de Vm
•  Vetor tensão t: força local de superecie por unidade de área •  Usando o Teorema do Transporte &∂ ( ρu)
)
∫Vm ( t ) (' ∂t + ∇ • (ρuu) − ρg+*dV =
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio ∫
Am
t
dA
(t)
27 €
Tensor das tensões •  Seja l a dimensão caracterís_ca de Vm. Quando l →0, a integral de volume vai a zero mais rapidamente do que a integral de área do vetor tensão. Assim, da eq. de momentum aplicada ao tetraedro: lim ∫
l →0
Princípio de equilíbrio da tensão Am ( t )
tdA → 0
Logo: t(n) ΔAn − t(e1 ) ΔA1 − t(e 2 ) ΔA2 − t(e 3 ) ΔA3 = 0
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 28 €
ΔAi = ΔAn (n • e i ) i = 1,2,3
Então: [ t(n) − t(e1) (n • e1 ) − t(e 2 ) (n • e 2 ) −
t(e 3 ) (n • e 3 )]ΔAn = 0
No limite l →0: t(n) = n • [(e1 t(e1 ) ) + (e 2t(e 2 ) ) + (e 3t(e 3 ) )]

Tensor das tensões T
t(x p ,n) = n • T(x p )
Então: ∫
Am ( t )
tdA =
∫
Am ( t )
n • TdA =
∫
Vm ( t )
(∇ • T)dV
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 29 Equação de momentum linear •  A equação de momentum fica então: &∂ ( ρu)
)
∫Vm ( t ) (' ∂t + ∇ • (ρuu) − ρg − ∇ • T+*dV = 0
Como Vm é arbitrário, o integrando tem que ser nulo: ∂ ( ρu)
+ ∇ • ( ρuu) = ρg + ∇ • T
∂t
€
Combinando a eq. acima com a eq. con_nuidade: €
% ∂ (u)
(
ρ'
+ u • ∇ (u)* = ρg + ∇ • T
& ∂t
)
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio Equação de Cauchy 30 Equação de momento angular •  Observando as equações de massa e momentum, vemos que temos mais incógnitas (u, p, T) do que equações •  Generalização da Segunda Lei de Newton: D
x × ρu) dV = soma dos torques agindo sobre Vm
(
∫
V
(
t
)
Dtm


Taxa de variação de momento
angular em Vm
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 31 €
Assim: D
Dt
∫
Vm ( t )
( x × ρu)dV = ∫ A ( t ) [ x × (n • T) + r ] dA + ∫V ( t ) [x × ρg + ρc]dV
m


Torque forças superfície
m


Torque forças corpo
Hipótese: torques devido a pares de forças nulos (r=0, c=0). Obs: fluidos ferrosos, c≠0. Aplicando o Teo Transporte (lado esquerdo) e o Teo divergência: . '∂ ( ρu)
1
*
∫Vm ( t ) /x × )( ∂t + ∇ • (ρuu) − ρg − ∇ • T,+ + ε  T2 dV = 0
0
3
#+1 se (ijk) for permutação par de (123)
%
ε ijk = $-1 se (ijk) for permutação ímpar de (123)
%0 qualquer outro caso (algum índice igual)
&
Usando a Eq. momentum linear e considerando que Vm é arbitrário, chega-­‐se a ε°T=0, e portanto: T=TT, i.e., o tensor das tensões tem que ser simétrico. Obs: se c≠0, ε°T-­‐ρc=0, e T não é simétrico. Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 32 Equação de conservação de Energia “A taxa de variação de energia com o tempo, das energias interna e ciné_ca de um corpo, com relação às estrelas fixas é igual a taxa de trabalho das forças que agem sobre ele mais a taxa de transferência de energia para o corpo” E˙ at = E˙ e − E˙ s + E˙ g
€
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 33 * Taxa de trabalho
. *Fluxo de calor . * Taxa de energia.
2
#
&
,
, ,
, ,
,
D
ρv
+ ρu( dV = +feito sobre Vm pelas / + +através das
/ + +gerada
/
%
∫
V
(
t
)
m
Dt
2
$
'
, ,fronteiras de V , ,internamente ,



 ,-forças externas
0 0
m0
taxa de variação de energia em Vm
•  v 2 = v⋅
v : velocidade local do meio cononuo •  ρu: energia interna (representa en. ciné_ca adicional a nível molecular) •  Primeira Lei da Termodinâmica Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 34 Equação de conservação de energia na forma diferencial D
Dt
# ρv 2
&
∫Vm ( t ) % 2 + ρu(dV =
$
'
∫
Am ( t )
[t(n) • v] dA + ∫V ( t ) [( ρg) • v]dV − ∫ A ( t ) [q • n] dA + ∫V ( t ) q˙ dV
m
m
m
q: vetor fluxo de calor (cruza a superecie de Vm). Posi_vo quando calor é transferido a Vm Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência, e igualando o integrando a zero: ∂ ( ρe)
+ div( ρe v) = q˙ − divq
+ ρ
v⋅g +








∂t

em. gerada
fluxo calor cond.
trab. força
taxa var. en.
fluxo en. por
convecção
gravitacional
div(Tv)



trab. forças
viscosas e de pressão
e = u + v2 / 2
div(Tv) = vdivT+ tr (Tgrad v)
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 35 •  Balanço de Energia Mecânica: u•(eq. Cauchy) ρ Dv 2
= ( ρg) • v+ v• (divT)
2 Dt
•  Balanço de Energia Térmico: subs_tuindo a eq. acima na Eq. conservação energia €
Du
ρ
Dt


variação en.
interna por un. vol.
=
q˙
−divq
p
div
v
( τ∇
 −



v + tr


)
geração ganho en. aumento rev. de
en. por un. por
en. int.
vol.
condução por compressão
T = − pΙ + τ
1
D ≡ (∇ v+ ∇ vT )
2
1
1
∇ v ≡ (∇ v+ ∇ vT ) + (∇ v+ ∇ vT ) = D+ W
2 
2 


 


parte simétrica
aumento irrev.
en. int. por
dissipação viscosa
D:Tensor taxa de deformação W: Tensor vor_cidade parte anti-simétrica
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 36 •  Usando a entalpia específica: h≡u+p/ρ o balanço de energia térmico fica: Dh
Dp
ρ
= q˙ − div q +
+ tr ( τ ∇ v)
Dt
Dt
•  Novas incógnitas: u (ou h), q •  Relações entre u (ou h) e θ e p podem ser ob_das assumindo o equilíbrio termodinâmico: €
,. 1
&∂ (1/ ρ ) ) 0.
dh = CP dθ + - − θ (
+ 1 dp
./ ρ
' ∂θ * p .2
&∂ (1/ ρ ) ) 0. Dp
Dh
Dθ ,. 1
⇒
= CP
+ - − θ(
+ 1
Dt
Dt ./ ρ
' ∂θ * p .2 Dt
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 37 €
Equação de energia em termos da temperatura •  A equação de balanço de energia térmico fica (sem o termo de geração): ( ∂ lnv + Dp
*
) ∂ ln θ , p Dt

Dθ
ρC p
= tr ( τ ∇ v) − div q −



Dt
dissipação viscosa
trabalho de compressão
Dθ
∂p
ρCv
= tr ( τ ∇ v) − div q − θ
div v



Dt
∂θ
v 


dissipação viscosa
trabalho de compressão
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 38 Segunda Lei da Termodinâmica •  Princípio da desigualdade de entropia D
n•q
dA ≥ 0
( ρs)dV + ∫ A ( t )
∫
V
(
t
)
Dt
θ
m
m
Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência: €
% q(
Ds
ρ
+ ∇ •' * ≥ 0
&θ )
Dt
Usando relações termodinâmicas, chega-­‐se a: €
1
q • ∇θ
tr
τ∇
v
+
p∇
•
v
−
≥0
( )
(
)
2
θ
θ
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 39 Comentários •  A solução de problemas de mecânica dos fluidos é ob_da com a solução das equações de conservação de massa, momento linear e energia •  A equação de momento angular e a Segunda Lei aparecem apenas indiretamente, como restrições às equações cons_tu_vas para τ e q •  Incógnitas: u (3), τ (9), q (3), θ e p (total:17) •  Equações: Conservação de massa (1), momento linear (3), energia (1) e momento angular (reduz as 9 incógnitas τij para 6). •  Temos então 14 incógnitas e 5 equações ⇒Equações cons_tu_vas para τ e q Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 40 Equações cons_tu_vas •  Fluidos (ou outros materiais) tem uma estrutura molecular definida, e não são indivisíveis e homogêneos como quando assumidos como meio cononuo •  Equações cons_tu_vas são relações entre T e q (representam processos de transporte molecular) e os campos (macroscópicos) de velocidade e temperatura. Em outras palavras, elas vão fornecer a relação entre a resposta de um material a uma dada solicitação (campo de escoamento/
temperatura) Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 41 Princípios que devem ser sa_sfeitos •  Determinismo: A tensão em um corpo é determinada pela história do movimento que o corpo descreveu •  Ação local: O movimento do material for a de uma vizinhança arbitrariamente pequena em torno de uma parocula não influencia a tensão nesta parocula •  Indiferença ao referencial: As descrições do comportamento do material (relações cons_tu_vas) têm que ser indiferentes ao referencial Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 42 €
Equação cons_tu_va para q: Lei de Fourier q=−
K

• ∇θ
Tensor
condutividade
térmica, > 0
•  A equação foi proposta a par_r da observação de que q€
= q(∇θ ,derivadas de θ de maior ordem)
•  A equação sa_sfaz ao princípio de obje_vidade (indiferença ao referencial) •  Processo de troca de calor é considerado instantâneo •  Fluido é considerado homogêneo •  A equação proposta foi validada experimentalmente Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 43 Lei de Fourier de condução de calor •  Para um fluido isotrópico, o fluxo de calor depende da magnitude do gradiente de temperatura e não da sua orientação (K=kI): q = −k∇θ
Lei de Fourier •  A Segunda Lei impõe que k>0 €
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 44 Equação cons_tu_va para o tensor das tensões -­‐ Fluido Newtoniano T + pI = τ (∇u, termos de maior ordem de derivadas em u)
τ: tensão desviadora Considerando que τ sa_sfaz ao princípio de obje_vidade, é simétrico e depende apenas da história do movimento: τ = τ (D)
1
T
D: parte simétrica de ∇u
:
∇u
+
∇u
(
)
2
1
€
T
Ω: parte an_-­‐simétrica de ∇u :
∇u
−
∇u
(
)
2
€
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 45 Equação cons_tu_va para Fluidos Newtonianos •  A forma mais geral para Τ é: T = x 0Ι + x1 D+ x 2 D⋅⋅ D
x k = x k (Ι D ,ΙΙ D ,ΙΙΙ D )
•  A forma linear mais geral para T, consistente com as hipóteses € anteriores é: T = ( − p + λ trD)I + 2 µ D
Equação ConsLtuLva para Fluidos Newtonianos €
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 46 •  Se o fluido for também incompressível: trD = ∇ • u = 0
T = − pI + 2 µD
•  A equação cons_tu_va é sa_sfeita pela maioria dos gases e líquidos com baixos e moderados pesos €moleculares •  Observa-­‐se que a restrição imposta pelo balanço de momento angular é sa_sfeita por T e q •  A Segunda Lei é sa_sfeita se: #
2 &
% λ + µ ( ≥ 0 , µ ≥ 0, k ≥ 0
$3
'
viscosidade de bulk
Profa. Mônica Naccache PUC-­‐Rio 47