Um passeio pela sequˆencia de Fibonacci eon´umero de

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Um passeio pela sequˆencia de Fibonacci eon´umero de
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o
número de ouro
Reginaldo Leoncio Silva
Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB - Campus de Itapetinga
Departamento de Ciências Exatas e Naturais - DCEN
22 de abril de 2015
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Introdução
Neste Seminário iremos apresentar o seguinte:
A biografia do matemático Leonardo de Pisa (Fibonacci).
Suas contribuições matemáticas.
A sequência que leva seu nome (Sequência de Fibonacci) e
suas propriedades elementares.
O número de ouro.
A relação entre o número de ouro e a sequência de Fibonacci.
Aplicações da sequência de Fibonacci e do número de ouro.
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Objetivos
Conhecer a história de Fibonacci e suas principais obras.
Apresentar o problema que deu origem a sequência de
Fibonacci.
Definir a sequência de Fibonacci, elucidando suas principais
propriedades elementares.
Conhecer o número de ouro e sua história.
Determinar o número de ouro.
Construir o retângulo e a espiral áurea.
Apresentar a conexão entre o número de ouro e a sequência
de Fibonacci.
Apresentar algumas aplicações dos números de Fibonacci e da
razão áurea.
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Biografia de Fibonacci e suas principais obras
Leonardo de Pisa, Filho de um comerciante italiano chamado
Guilielmo dei Bonaccio, por isso ficou conhecido como
Fibonacci, viveu entre os anos de 1180 e 1250.
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Figura: Fibonacci
Reginaldo Leoncio Silva
Nasceu na cidade Pisa na Toscania (Itália).
Figura: ItUm
ália
passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Reginaldo Leoncio Silva
Iniciou estudando assuntos relacionados a negócios e
comércio mercantil, recebendo parte de sua educação em
Bejaia, norte da África, onde seu pai desempenhava uma
função alfandegária.
A partir daı́, estudando com professores árabes, estudou
também Matemática no Egito, Siria e Grécia. Assim teve a
oportunidade de conhecer e estudar o sistema de numeração
indo-arábico.
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Em 1202 retorna a Itália e escreve vários livros:
LIBER ABACI (1202): um livro sobre cálculos. Foi revisto em
1228 e nele encontra-se o problema dos coelhos.
PRACTICA GEOMETRIAE (1220): livro que aborda a
aplicação da álgebra à solução de problemas de Geometria e
trigonometria.
FLOS (1225): obra dedicada ao cardeal diácono Raniero
Capacci, com soluções para os problemas postos por João de
Parma.
LIBER QUADRATORUM (1225): É o maior livro que escreveu.
Trata de equações diofantinas, dedicado ao
imperador Frederico II.
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
O livro Liber Abaci (Livro do ábaco)
Mostra seus trabalhos em álgebra e aritmética, tais como:
métodos de cálculos com inteiros e frações, o cálculo de raı́zes
quadradas e cúbicas e a resolução de equações lineares e
quadráticas.
Tem muito a influência das álgebras de Al-Khowârizmı̂ e Abû
Kâmil.
Trata de conversão monetária e outros interesses do comércio
e de uma gama de problemas.
Este livro foi importante para a popularização dos números
indo-arábicos.
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Sentença de abertura do Liber Abaci
A sentença de abertura do “Liber Abacci” trazia a seguinte
mensagem:
“Nouem figure indorum he sunt
987654321
Cym his itaque nouem figuris, et cum hoc signo 0,
quod arabice zephirum appelatur, scribur quilibet
numeus, ut inferius demonstratur”
(Estes são os nove algarismos indianos
987654321
Com esses nove algarismos, e com o sinal 0, que os
árabes chamam de zephirum, pode-se escrever
qualquer numero, como se demonstrará a seguir.)
(EVES, 2004, p. 294)
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
O problema de reprodução dos coelhos
De todos os temas e problemas tratados no Liber Abaci o que
mais se destacou e que ainda hoje cria-se novas aplicações é o
problema dos coelhos, elucidado no livro História da Matemática de
Boyer (1974, p. 186):
Quantos pares de coelhos são produzidos num ano,
começando com um só par, se em cada mês gera um novo par
que se torna produtivo a partir do segundo mês?
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Qual o número de casais de coelhos numa população
considerando-se que:
1
No primeiro mês tem-se apenas um casal;
2
Casais reproduzem-se somente após o segundo mês de vida;
3
Não há problemas genéticos no cruzamento cossanguı́neo;
4
Todos os meses, cada casal fértil dá à luz um novo casal;
5
Os coelhos nunca morrem.
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Solução:
1
A resolução deste problema gera uma sequência amplamente
estudada com várias aplicações na natureza e recheada de
inúmeras propriedade interessantes. Está sequência é
conhecida como sequência de Fibonacci.
Figura: Esquema de reprodução dos coelhos
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A sequência de Fibonacci
Definição: A sequência de inteiros
(Fn ) : (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .), onde F1 = F2 = 1 e
Fn = Fn−1 + Fn−2 , ∀n ≥ 3, n ∈ N, recebe o nome de sequência
de Fibonacci. Seus termos chamam-se números de Fibonacci.
No Século XIX essa sequência foi devidamente chamada de
sequência de Fibonacci pelo matemático francês Edouard
Lucas (1842-1891).
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Propriedades elementares
A soma dos primeiros números da sequência de Fibonacci é
igual a Fn+2 − 1.
A soma dos primeiros números de Fibonacci com ı́ndices
impares é igual a F2n
A soma dos primeiros números de Fibonacci com ı́ndices pares
é igual a F2n+1 − 1
(F1 )2 + (F2 )2 + (F3 )2 + . . . + (Fn )2 = Fn Fn+1 , ∀n ≥ 1
Quaisquer dois números de Fibonacci consecutivos são primos
entre si.
Fm+n = Fm−1 Fn + Fn+1 Fm , ∀n ≥ 1, ∀m ≥ 2.
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Prova da propriedade 4:
Vamos fazer a prova usando indução sobre n.
Para n = 1, temos que: (F1 )2 = 12 = 1.1 = F1 F2 . Logo o caso
base é verdade.
Suponhamos agora que
(F1 )2 + (F2 )2 + (F3 )2 + . . . + (Fn )2 = Fn Fn+1 , ∀n ≥ 1.
Iremos provar que:
(F1 )2 + (F2 )2 + (F3 )2 + . . . + (Fn )2 + (Fn+1 )2 = Fn+1 Fn+2 , ∀n ≥ 1.
Usando a hipótese de indução, temos que:
(F1 )2 + (F2 )2 + (F3 )2 + . . . + (Fn )2 + (Fn+1 )2 =
Fn Fn+1 + (Fn+1 )2 = Fn+1 (Fn + Fn+1 ) = Fn+1 Fn+2 , como querı́amos
provar.
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Fórmula de Binnet
No século XIX, o matemático francês Jacques Philippe Marie
Binet deduziu a fórmula que permite encontrar o enésimo
número da série de Fibonacci sem a necessidade de se
conhecer os números anteriores.
√ √ n n
5
1
1+
Para todo n ≥ 1, tem-se que Fn = √5
− 1−2 5
,
2
onde (Fn ) é a sequência de Fibonacci.
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O número de ouro
Definição: O número de ouro, também conhecido como
proporção áurea, número áureo, secção áurea, proporção de
ouro, é um número irracional, cujo valor é:
√
1+ 5
φ=
= 1, 6180339887498948482045868343656 . . .
2
É um número muito misterioso e enigmático.
No Egito as pirâmides de Gizé foram construı́das usando a
razão áurea.
A razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base
da grande pirâmide é igual ao número de ouro.
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Relações áureas na pirâmide
Figura: Pirâmide
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Os Pitagóricos perceberam a secção de ouro na construção
da estrela pentagonal (ou pentagrama).
Temos que:
CA
CD
=
9,51
5,88
≈ 1, 61 e
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BP
PE
=
5,88
3,63
≈ 1, 61
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Euclides (360-295a.C.) escreveu em seus “Elementos” que
havia encontrado uma proporção que se repete na natureza.
esta proporção ele chamou de “média e extrema razão”.
Em 1509, o monge Luca Paccioli publicou o livro A Divina
Proporção, com ilustrações de Leonardo da Vinci (1452-1519).
Neste livro Paccioli diviniza a proporção áurea ligando-a ao
Criador.
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A seção áurea
Definição: Diz-se que um ponto divide um segmento de reta
em média e extrema razão ou em seção áurea, se o mais longo
dos segmentos é média geométrica entre o menor e o
segmento todo. A razão entre o maior segmento e o menor
segmento chama-se razão áurea.
Entre outras palavras, dado um segmento AB de medida a + b,
seja C o ponto entre A e B, tal que, AC = a > CB = b como
mostra a figura abaixo.
Figura: Segmento áureo
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Figura: Segmento áureo
Assim temos que:
AC
BC
=
AB
AC
⇒
a
b
=
a+b
a
⇒ a2 = ab + b2
Dividindo ambos os membros por b2 , obtemos:
a2
= ba + 1
b2
Como φ = ba , resulta que:
φ2 − φ − 1 = 0, cujas raizes são: φ =
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√
1± 5
2
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
O retângulo áureo, a sequência de Fibonacci e a
espiral áurea
O retângulo áureo é um retângulo no qual a razão entre as
medidas de seus lados é o número de ouro, ou seja, se x e y
são, respectivamente, o maior e o menor lado, tem se que:
√
1+ 5
x
=φ=
y
2
Por ser considerado uma figura esteticamente agradável, este
retângulo exerceu enorme influência em obras arquitetônicas e
em pinturas.
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Construção da espiral áurea
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Passos para a construção da espiral áurea no Geogebra:
Figura: Construção de um quadrado de lado 1
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Figura: Construção de um quadrado de lado 1
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Figura: Construção de um quadrado de lado 1
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Figura: Construindo outro quadrado de lado 1
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Figura: Construindo um quadrado de lado 2
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Figura: Construindo um quadrado de lado 3
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Figura: Construindo um quadrado de lado 5
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Figura: Construindo um quadrado de lado 8
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Figura: Construindo um quadrado de lado 13
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Figura: Traçando a espiral no quadrado INOP
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Figura: Traçando a espiral no quadrado INOP
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Figura: Traçando a espiral no quadrado LMNG
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Figura: Traçando a espiral no quadrado LEJK
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Figura: Traçando a espiral no quadrado JDHI
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Figura: Traçando a espiral no quadrado CFGH
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Figura: Traçando a espiral no quadrado AEFB
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Figura: Traçando a espiral no quadrado DABC
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Relação entre o número de ouro e a sequência de
Fibonacci
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Se rn =
Fn+1
Fn
então limn→∞ rn = L = φ =
√
1+ 5
2
Essa relação foi estabelecida primeiramente pelo matemático
escocês Robert Simpson, em 1753.
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Prova:
Seja rn =
Fn+1
Fn ,
Fn +Fn−1
Fn
n ≥ 2. Como Fn+1 = Fn + Fn−1 , temos que:
F
1
rn =
= 1 + Fn−1
= 1 + rn−1
.
n
Seja limn→∞ rn = L. Como limn→∞ rn−1 = L, segue-se que:
L = 1 + 1L , ou seja, L2 − L − 1 = 0.
Resolvendo
esta equação vem que:
√
L = 1±2 5 .
Como rn ≥ 0, ∀n, podemos concluir que L =
querı́amos provar.
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√
1+ 5
2
= φ, como
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Potências de φ
Desenvolvendo as potências de φ, temos:
√ 2
√
√
φ2 = 1+2 5 = 1+2 4 5+5 = 1+2 45+4+1 = 1 +
1+
√
1+ 5
2
√
2+2 5
4
=
=1+φ
φ3 = φ2 φ = (1 + φ) φ = φ + φ2 = φ + 1 + φ = 1 + 2φ
φ4 = φ3 φ = (1 + 2φ) φ = φ + 2φ2 = φ + 2 (1 + φ) =
φ + 2 + 2φ = 2 + 3φ
φ5 = φ4 φ = (2 + 3φ) φ = 2φ + 3φ2 = 2φ + 3 (1 + φ) = 3 + 5φ
φ6 = φ5 φ = (3 + 5φ) φ = 3φ + 5φ2 = 3φ + 5 (1 + φ) = 5 + 8φ
................................................
φn = Fn−1 + Fn φ, n ≥ 2, onde (Fn ) é a sequência de Fibonacci.
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Outras expressões que geram o número de ouro
O número φ pode ser gerado por outras expressões
interessantı́ssimas. Vejamos:
φ=1+
1
1+
1
1+
1+
1
1
1+...
r
φ=
q
√
1 + 1 + 1 + ...
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Prova:
Fazendo y = 1 +
1
1+
1
1+
1+
1
1
1+...
, obtemos que: y = 1 + y1 , ou seja,
√
y 2 − y − 1 = 0. Resolvendo obtemos: y = 1±2 5
r
q
p
√
Fazendo y = 1 + 1 + 1 + 1 + . . ., obtemos que:
p
y = 1 + y. Daı́, y 2 = 1 + y,√ou seja, y 2 − y − 1 = 0.
Resolvendo obtemos: y = 1±2 5
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
A sequência de Fibonacci e o número de ouro na
natureza
A sequência de Fibonacci está intimamente relacionada com a
natureza. Ela aparece em inúmeras situações, seja na forma
de sequência numérica ou através da espiral de Fibonacci,
como por exemplo, nos troncos de árvores, em folhas, frutos,
animais, etc. A seguir, veremos algumas dessas aparições.
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
O número de ouro e o pentagrama
Figura: O pentagrama
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A razão entre o segmento AP e PC é igual ao número de ouro.
Em um pentagrama a razão entre a diagonal e o lado do
pentágono é igual ao número de ouro.
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Passos para a construção do pentagrama no Geogebra:
Figura: Construindo um cı́rculo
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Figura: Inserindo o valor do raio
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Figura: Cı́rculo de raio 5
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Figura: Inserindo um ponto B no cı́rculo
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Figura: Inserindo um ponto B no cı́rculo
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Figura: Construindo um ângulo de 72o
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Figura: Construindo um ângulo de 72o
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Figura: Obtendo os outros ângulos de 72o
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Figura: Pentagrama
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Figura: Pentagrama
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Exemplos de aparições do pentagrama na natureza
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A galáxia
Na figura abaixo, temos a foto de uma galáxia, que apresenta o
formato da espiral áurea.
Figura: A galáxia
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O Nautilus marinho
O Nautilus é uma espécie de molusco oriundo do sudoeste do
Oceano Pacı́fico. Na sua concha aparece a espiral áurea.
Figura: O Nautilus
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O antı́lope
Se os chifres deste animal continuassem crescendo
indefinidamente, o resultado seria o aparecimento da espiral de
Fibonacci.
Figura: Antı́lope
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O camaleão
Quando o rabo deste animal está contraı́do, percebe-se
claramente umas das representações mais perfeitas da espiral
de Fibonacci.
Figura: O camaleão
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Arranjo de folhas
No arranjo das folhas de algumas plantas há a descrição da
sequência de Fibonacci. Este arranjo é relevante na captação
uniforme de raios solares e no escoamento das águas das
chuvas.
Figura: Espiral na folha
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Ramos e troncos de plantas
Existem várias plantas que descrevem os números de
Fibonacci no crescimento de seus galhos. A Achillea ptarmica
é um exemplo de planta que detém estas caracterı́sticas.
Figura: EspiralUmna
folha
passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
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Pétalas de flores
Em muitas flores, o número de pétalas é um número de
Fibonacci.
Figura: Flores
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Sementes
Nas sementes da pinha e do girassol, podemos encontrar os
números de Fibonacci. Na pinha, as sementes crescem e se
dispõe em duas espirais que lembram a de Fibonacci: oito
irradiando no sentido horário e 13 no anti-horário. Já no
girassol, suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois
conjuntos de espirais: 21 no sentido horário e 34 no
anti-horário.
Figura:
Sementes
e do
Reginaldo
Leoncio Silva da pinha
Um passeio
pelagirassol
sequência de Fibonacci e o número de ouro
Árvore genealógica de um zangão
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Aplicações da sequência de Fibonacci e do número
de ouro
CONVERSÃO DE MILHAS EM QUILÔMETROS
Um milha é uma unidade de medida que equivale a 1609
metros, ou seja, 1,609 quilômetros. Note que este número é
bem próximo do número de ouro cujo valor é 1,618. Assim, por
exemplo, para converter 5 milhas em quilômetros, basta olhar
para o próximo número de Fibonacci depois do 5, que é o 8,
pois como sabemos o número 5 é um número de Fibonacci.
Outro exemplo: Quantas milhas são 30 quilômetros?
Basta decompor o número 30 como soma dos números de
Fibonacci.
Temos que 30 = 1 + 8 + 21 ≈ 1 + 5 + 13 = 19 milhas.
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
A sequência de Fibonacci na Fı́sica
Na óptica dos raios de luz podemos verificar a presença da
sequência de Fibonacci. Vamos considerar duas placas de
vidro, de ı́ndices de refração diferentes, justapostas uma sobre
a outra. Sabemos que um raio de luz que incida sobre esse
conjunto pode sofrer reflexões e desvios. Assim sendo, vamos
contar o número de caminhos possı́veis de um raio de
luz aumentando gradualmente o número de reflexões nesses
caminhos.
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Figura: Reflexão da luz
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Triângulo de Pascal
No triângulo de Pascal, a soma dos elementos da n-ésima
diagonal é um número de Fibonacci.
Figura: Triângulo de Pascal
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A sequência de Fibonacci e o Teorema de Pitágoras
A soma dos quadrados de dois números consecutivos da
sequência de Fibonacci é um número de Fibonacci, isto é,
F2n+1 = (Fn )2 + (Fn+1 )2 , ∀n ≥ 1
Figura: Teorema de Pitágoras
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Prova:
Vimos que umas das propriedades dos números de Fibonacci é:
Fm+n = Fm−1 Fn + Fn+1 Fm , ∀n ≥ 1 e ∀m > 1. Tomando m = n + 1,
temos que:
Fm+n = F(n+1)+n = F2n+1 = Fn Fn + Fn+1 Fn+1 = (Fn )2 + (Fn+1 )2 ,
como querı́amos provar.
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
A proporção áurea no dia-a-dia
Ao padronizar internacionalmente algumas medidas usadas
em nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram respeitar a
proporção divina.
Figura: Objetos com proporção áurea
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Arte
Muitos artistas consagrados, como Piet Mondrian, Cândido
Portnari, Michelangelo, Leonardo da Vinci, usaram a razão
áurea em suas obras artı́sticas, com o intuito de obter
harmonia, beleza e perfeição. Como exemplo, podemos citar a
famosa pintura Monalisa do famoso pintor italiano Leonardo da
Vinci, produzido em 1505. Nesta obra, há a aparição de vários
retângulos áureos, como por exemplo, em torno do rosto, num
retângulo de dimensões 4,1 por 2,533, cuja razão é de
aproximadamente 1,618.
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Figura: A Monalisa
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
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Outro exemplo, é a Santa Ceia, obra também de Leonardo da
Vinci.
Figura: A Santa Ceia
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Arquitetura
Com o mesmo objetivo de obter harmonia, beleza e perfeição,
muitos arquitetos usaram em suas construções o número de
ouro. Um dos exemplos mais ilustres é o Partenon, na Grécia,
que foi obra do Grego Fı́dias (Phidias - 490 a.C. a 430 a.C),
que era considerado um dos mais brilhantes arquitetos da
Grécia Antiga. Nesta obra, percebe-se inúmeras aparições do
retângulo áureo em sua estrutura.
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Figura: O Partenon
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Outro exemplo, é a torre de Toronto, no Canadá.
Figura: Torre de Toronto
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Outro exemplo, é a Catedral de Notre Dame em Paris
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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Razões áureas no corpo humano
O número de ouro aparece como razão de medidas em
inúmeras partes do corpo humano. Como exemplo, citaremos
as seguintes:
A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.
A altura do crânio e a medida da mandı́bula até o alto da
cabeça.
A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax
A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à
ponta do dedo.
Tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.
A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até
o chão.
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Essas proporções anatômicas foram bem representadas pelo
”Homem Vitruviano”, obra de Leonardo Da Vinci, que é
baseado numa famosa passagem do arquitecto romano
Marcus Vitruvius Pollio na sua série de dez livros intitulados de
“De Architectura”.
Figura: O homem vitruviano
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Conclusão
Este seminário possibilitou um conhecimento sobre a
sequência de Fibonacci e o número de ouro, bem como sua
relação e propriedades, mostrando várias aplicações no mundo
material. Esperamos que o mesmo seja fonte de pesquisa para
muitas pessoas que queiram conhecer tal sequência e que
venha a ser trabalhado em sala de aula, devido a sua vasta
riqueza.
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Referências
B. H. Gundlach. Números e numerais: Tópicos de História da
Matemática para sala de aula. Trad. Hygino H. Domingues.
São Paulo: Ediora Atual,1992.
H. Eves. Introdução a História da Matemática. Tradução:
Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da UNICAMP,
2004.
C. B. Boyer. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide.
São Paulo: Editora Edgard Blucher LTDA, 1974.
E. de A. , Filho. Funções Aritméticas: Números notáveis. São
Paulo: Nobel, 1988.
A. Ferreira. Sequência de Fibonacci. Osasco, 2007.
R. M. Queiroz. Razão Áurea. Londrina, 2007.
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
F. M. Freitas. A Proporção Áurea e curiosidades históricas
ligadas ao desenvolvimento da ciência, 2008.
VOROBIOV, N. N. Números de Fibonacci: Lecciones populares
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ZAHN, Maurı́cio. Sequência de Fibonacci e o Número de Ouro.
Rio de Janeiro: Ciência Moderna Ltda., 2011.
CONTADOR, P. R. M. A matemática na arte e na vida. 2. ed.
rev.. São Paulo: Livraria da Fı́sica, 2011.
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Muito obrigado pela atenção!
Reginaldo Leoncio Silva
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro

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