EXAME DE QUALIFICAC¸ ˜AO (TEORIA ERG ´ODICA) (1) Teorema
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EXAME DE QUALIFICAC¸ ˜AO (TEORIA ERG ´ODICA) (1) Teorema
EXAME DE QUALIFICAÇÃO (TEORIA ERGÓDICA) (1) Teorema de recorrência de Poincaré: • (15 pontos) Enuncie e demonstre o teorema de recorrência de Poincaré e dê exemplos onde o teorema falha quando espaço X tem medida infinita, i.e, µ(X) = ∞. • (10 pontos) Seja T : X → X preservando a probabilidade µ e f : X → R uma função mensurável tal que f (x) > 0 para todo x ∈ X. Usando teorema de de Poincaré P recorrência n mostre que para q.t.p x temos ∞ f (T (x)) = ∞. n=0 (2) Teorema Ergódica de Birkhoff: Para uma transformação ergódica T de um espaço de probabilidade (X, B, µ) e f ∈ L1 (X, B, µ) temos Z n−1 1X j lim f (T (x)) → f dµ, µ − q.t.p n→∞ n j=0 • (15 pontos) Usando teorema ergódica de Birkhoff mostre que se f ≥ 0 é mensurável e f < L1 (X, B, µ) então n−1 1X f (T j (x)) → ∞, µ − q.t.p lim n→∞ n j=0 (Dica: Use teorema de convergência monótona.) • (10 pontos) Seja T : [0, 1] → [0, 1] : x → x1 (mod − 1) a transformação de Gauss. Sabemos que T preserva a medida de Gauss µ dada pela Z 1 1 µ(A) = dx. log(2) A 1 + x Se λ(A) denotar a medida de Lebesgue de A então mostre que existem c, C > 0 tais que cλ(A) ≤ µ(A) ≤ Cλ(A) para todo boreleano A. Para x ∈ [0, 1] seja x := [x0 , x1 , x2 , · · · ] a expansão de x em fração contı́nua. Mostre que para Lebesgue q.t.p x ∈ [0, 1] a média aritmética dos dı́gitos da fração contı́nua de x é infinita, i.e: 1 lim (x0 + x1 + · · · xn−1 ) = ∞ n→∞ n 1 2 EXAME DE QUALIFICAÇÃO (TEORIA ERGÓDICA) λ− q.t.p. (3) Seja α ∈ R. Definimos T : R2 /Z2 → R2 /Z2 : (x, y) → (x + α, x + y). Estamos identificando R2 /Z2 com S1 × S1 e T é uma rotação em cada coordenada. • (15 pontos) Se α < R. Prove que T é ergódica com respeito à medida de Lebesgue. • (10 pontos) Se α = p/q, p, q ∈ Z, q , 0 mostre que T não é ergódica com respeito à medida de Lebesgue. (4) Sejam (X, F , µ) um espaço de probabilidade , T : X → X uma transformação mensurável preservando µ e P uma partição finita de X. • (10 pontos) Prove que para todo k ≥ 1, hµ (Tk , ∨k−1 T−j (P)) = j=0 hµ (T, P). • (15 pontos) Prove que para todo k ≥ 1, hµ (Tk ) = khµ (T).