EXAME DE QUALIFICAC¸ ˜AO (TEORIA ERG ´ODICA) (1) Teorema

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EXAME DE QUALIFICAC¸ ˜AO (TEORIA ERG ´ODICA) (1) Teorema
EXAME DE QUALIFICAÇÃO (TEORIA ERGÓDICA)
(1) Teorema de recorrência de Poincaré:
• (15 pontos) Enuncie e demonstre o teorema de recorrência
de Poincaré e dê exemplos onde o teorema falha quando
espaço X tem medida infinita, i.e, µ(X) = ∞.
• (10 pontos) Seja T : X → X preservando a probabilidade µ
e f : X → R uma função mensurável tal que f (x) > 0 para
todo x ∈ X. Usando teorema de
de Poincaré
P recorrência
n
mostre que para q.t.p x temos ∞
f
(T
(x))
=
∞.
n=0
(2) Teorema Ergódica de Birkhoff: Para uma transformação ergódica
T de um espaço de probabilidade (X, B, µ) e f ∈ L1 (X, B, µ)
temos
Z
n−1
1X
j
lim
f (T (x)) →
f dµ, µ − q.t.p
n→∞ n
j=0
• (15 pontos) Usando teorema ergódica de Birkhoff mostre
que se f ≥ 0 é mensurável e f < L1 (X, B, µ) então
n−1
1X
f (T j (x)) → ∞, µ − q.t.p
lim
n→∞ n
j=0
(Dica: Use teorema de convergência monótona.)
• (10 pontos) Seja T : [0, 1] → [0, 1] : x → x1 (mod − 1) a
transformação de Gauss. Sabemos que T preserva a medida de Gauss µ dada pela
Z
1
1
µ(A) =
dx.
log(2) A 1 + x
Se λ(A) denotar a medida de Lebesgue de A então mostre
que existem c, C > 0 tais que cλ(A) ≤ µ(A) ≤ Cλ(A) para
todo boreleano A.
Para x ∈ [0, 1] seja x := [x0 , x1 , x2 , · · · ] a expansão de x em
fração contı́nua. Mostre que para Lebesgue q.t.p x ∈ [0, 1]
a média aritmética dos dı́gitos da fração contı́nua de x é
infinita, i.e:
1
lim (x0 + x1 + · · · xn−1 ) = ∞
n→∞ n
1
2
EXAME DE QUALIFICAÇÃO (TEORIA ERGÓDICA)
λ− q.t.p.
(3) Seja α ∈ R. Definimos
T : R2 /Z2 → R2 /Z2 : (x, y) → (x + α, x + y).
Estamos identificando R2 /Z2 com S1 × S1 e T é uma rotação
em cada coordenada.
• (15 pontos) Se α < R. Prove que T é ergódica com respeito
à medida de Lebesgue.
• (10 pontos) Se α = p/q, p, q ∈ Z, q , 0 mostre que T não é
ergódica com respeito à medida de Lebesgue.
(4) Sejam (X, F , µ) um espaço de probabilidade , T : X → X uma
transformação mensurável preservando µ e P uma partição
finita de X.
• (10 pontos) Prove que para todo k ≥ 1, hµ (Tk , ∨k−1
T−j (P)) =
j=0
hµ (T, P).
• (15 pontos) Prove que para todo k ≥ 1, hµ (Tk ) = khµ (T).