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Linguagem Matemática - Instituto de Investigación sobre la
VIIColoquioInternacional EnseñanzadelasMatemáticas 11,12y13defebrerode2014 EducaciónMatemáticaencontexto ACTAS2014 Conferencias ReportesdeInvestigación SocializacióndeExperienciasDidácticas Talleres Pósteres PontificiaUniversidadCatólicadelPerú DepartamentoAcadémicodeCiencias SecciónMatemáticas‐IREM MaestríaenEnseñanzadelasMatemáticas Coordinadora:NormaRubioGoycochea EducaciónMatemáticaencontexto Actas2014 VIIColoquioInternacionalEnseñanzadelasMatemáticas EducaciónMatemáticaencontexto Primeraedición,junio2014 Tiraje:100ejemplares Coordinadora:NormaRubioGoycochea Diseñodecarátula:Ind.GráficaDala'sE.I.R.L. ImpresoenInd.GráficaDala'sE.I.R.L. Jr.SantaFranciscaRomana399,Urb.Palomino.Cdo.Lima. Teléfono:4025079 Correoelectrónico:[email protected] ©EditadoyproducidoporlaPontificiaUniversidadCatólica delPerú‐DepartamentodeCiencias,2014. AvenidaUniversitaria1801,Lima32 6262000‐anexo4151 E‐mail:[email protected] DirecciónURL:http://www.pucp.edu.pe/irem/index.html Derechosreservados,prohibidalareproduccióndeestelibroporcualquier medio, total o parcialemente, sin permiso expreso de los editores. El contenido de los artículos publicados en este libro es responsabilidad exclusivadesusautores. ISBN:978‐612‐46647‐2‐4 HechoelDepósitoLegalenla BibliotecaNacionaldelPerú:2014‐08477 ProducidoenelPerú–ProducedinPerú Presentación El Instituto de Investigación para la Enseñanza de las Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica del Perú (IREM‐PUCP), en coordinación con la Maestría en Enseñanza delasMatemáticasdelaPUCP,havenidoorganizandodesde el 2002, encuentros internacionales a los que denomina Coloquios Internacionales sobre Enseñanza de las Matemáticas. Esteañosellevóacabolaséptimaedicióndeestosencuentros académicos, con el título Educación Matemática en contexto. Su principal objetivo fue que los participantes ampliaran sus conocimientos acerca de la Didáctica de las Matemáticas y la evolución que esta disciplina está teniendo en los últimos tiempos. Estuvo dirigido a profesores de universidades, de institutos superiores y de educación básica regular (secundaria y primaria). Se realizó los días 11, 12 y 13de febrero en el campus de la PUCP y contó con la participación de reconocidos matemáticos y educadores matemáticos de diversospaísesiberoamericanos. En esta oportunidad disertaron conferencias plenarias y desarrollaron talleres, distinguidos investigadores invitados comoelDr.BrunoD’AmoreyMarthaFandinoPinilladeItalia, Vicenç Font de España, Cileda de Queiroz e Silva Coutinho de Brasil,reconocidosporsusgrandesaportesalaDidácticadela Matemáticas. Este volumen está dividido en 2conferencias plenarias, 3 conferencias en paralelo, 50reportes de investigación, 62 socializaciones de experiencias didácticas, 17 talleres, y 21 pósteres. Cada autor es responsable de haber realizado los cambios sugeridos por los integrantes del Comité Científico a losresúmenespresentadossegúnseaelcaso. ElComitéOrganizadordelVIIColoquioInternacionalsobre EnseñanzadelasMatemáticasagradecealosautoresporsus valiosos aportes y a las autoridades de la Pontificia Universidad Católica del Perú por el gran apoyo brindado;a colegas matemáticos y alumnos de Maestría por sudesprendidayeficientededicaciónalasmúltiplestareasen la organización; al especialista Ing. José Luis Barturén de la Dirección de Informática Académica (DIA), por su valioso apoyo con la administración de la plataforma INDICO; a las especialistas de la Oficina de Eventos; a la Dirección de Comunicación Institucional (DCI) y a la Oficina Central de AdmisióneInformación(OCAI)delaPUCP.Asícomotambién, a la Editorial Santillana por su apoyo con la difusión; a la Empresa MIRA por su apoyo con las pizarras digitales; y al personaladministrativodelDepartamentodeCienciasydela Sección Matemáticas, en particular, a las secretarias Doris MorenoyElvaHuerta,porsuidentificaciónydedicaciónalas tareasdedigitaciónycoordinaciónlogística. Asimismo el Comité Organizador agradece la presencia de profesores e investigadores de Argentina, Brasil, Colombia, Costa Rica, Ecuador, España, Estados Unidos, Italia, México, Venezuela y, en el caso de Perú, la presencia de profesores e investigadores de los departamentos de Ancash, Apurímac, Arequipa,Ayacucho,Cajamarca,Cusco,Huancavelica,Huánuco, Ica,Junín,LaLibertad,Lambayeque,Lima,Pasco,Piura,Puno, Tacna,TumbesydelaProvinciaConstitucionaldelCallao,sin las cuales hubiese sido imposible haber llevado a cabo este Coloquio. ElComitéOrganizador Convocan InstitutodeInvestigaciónparalaenseñanzadelas Matemáticas(IREM)‐Perú MaestríaenEnseñanzadelasMatemáticas–Escuelade PosgradodelaPUCP Auspician: EditorialSantillana EmpresaMIRA FacultaddeCienciaseIngenieríadelaPUCP ComitéCientífico SaddoAgAlmouloud(PUC‐SP,Brasil) EdelmiraBadillo(UniversidadAutónomadeBarcelona) MariselBeteta(PUCP,Perú) GilsonBispodeJesus(UFRB,Brasil) PatriciaCamarena(IPN,México) JesúsFlores(PUCP,Perú) CeciliaGaita(PUCP,Perú) TâniaGusmão(UESB,Brasil) MariaJoséFerreiradaSilva(PUC‐SP,Brasil) VicençFont(UniversitatdeBarcelona) UldaricoMalaspina(PUCP,Perú) AlejandroOrtiz(PUCP,Perú) NormaRubio(PUCP,Perú)‐Coordinadora MaríaTrigueros(InstitutoTecnológicoAutónomodeMéxico) FranciscoUgarte(PUCP,Perú) MiguelWilhelmi(UniversidadPúblicadeNavarra,España) ComitéOrganizador JuanAccostupa ElizabethAdvíncula JesúsFlores EmilioGonzaga MiguelGonzaga RosaJabo MaritzaLuna UldaricoMalaspina(Presidente) NélidaMedina AugustaOsorio NormaRubio NancySaravia FranciscoUgarte EstelaVallejo EdwinVillogas Contenido ConferenciasPlenarias .......................................... 1 Laformacióninicialdeprofesoresdesecundariade Matemáticas.Unenfoqueporcompetencias ................. 2 VicençFont EducaçãoEstatísticanoBrasil ...................................... 10 CiledadeQueirozeSilvaCoutinho ConferenciasParalelas .........................................17 Elaprendizajedefraccionesmedianteuna herramientatecnológica(Etoys) .................................. 18 CerapioQuintanilla LahistoriadelaMatemáticacomorecursode enseñanza ...................................................................... 32 AlejandroOrtíz Didáticanocontextodetransiçãointernadocálculoe osregistrosderepresentaçãosemiótica ..................... 56 FranciscoRégisVieiraAlves ReportesdeInvestigación .....................................70 Cuasiempirismoyconstructivismosocial:algunos aspectosepistemológicosdelaEtnomatemática........ 71 ChristianCamiloFuentesLeal AlgunasrelacionesentrelaEtnomatemáticayla EducaciónMatemáticaCrítica ...................................... 78 ChristianCamiloFuentesLeal MediaciondelsoftwareGeoGebraenelaprendizaje programaciónlinealenalumnosdelquintogradode educaciónsecundaria .................................................... 86 JudithBeatrizBelloDurand,MarianoGonzalez Análisepreliminareanáliseapriori:situações didáticasenvolvendoanoçãodeintegrais multiplas ........................................................................ 92 FranciscoRégisVieiraAlves Propuestadeunasecuenciadidácticaparala enseñanzadeporcentajesaestudiantesde administraciónysistemas .......................................... 100 JudithChávezSalinas Comprensiónlectoraparalaresoluciónenla enseñanzadelasmatemáticas ................................... 108 MarleneCuevasCorona,AlmaAdrianaLeónRomero Nivelesdecomprensiónalcanzadosporlosalumnos de2añodesecundariaconrespectoaelementos asociadosalacircunferenciahaciendousodel GeoGebra ...................................................................... 116 EnriqueSantosNapán Análisisdelasjustificacionesdelosestudiantesdel tercergradodeprimariacuandoconstruyansu propiocriteriodedivisibilidadpor5 ......................... 123 CandyOrdoñezMontañez Utilizandoahistóriadamatemáticanoensinoda álgebra:percepçõeseargumentosdestametodologia noensinoeaprendizagemdamatemática ................ 133 JosenildoSilvadoNascimento,AnaCarolinaCostaPereira, IsabelleCoêlhodaSilva Umolharsobreaformaçãodoprofessorde matemáticaemcontextosamazônicosàluzdatadeda Etnomatemática........................................................... 139 LucélidadeFátimaMaiadaCosta,ItamarMirandada Silva,ElisângelaAparecidaPereiradeMelo Anegatividadeeosmenoresprincipaisdematrizes Hermitianas ................................................................. 147 JoãoLuzeiltondeOliveira,AntoniaMariaJoséPinheiro, MariaFabíolaBorgesdeAraújo Procedimentoserepresentaçõesalgébricas:um estudocomacadêmicosdoensinosuperior ............. 153 NeivaIgnêsGrando,SandraMaraMarasini Temadecasanaatividadedeestudo:oquepensam estudantesdoensinofundamental ............................ 161 JussaraVanz,NeivaIgnêsGrando Antropologia:eloentreEtnomatemáticae aTAD ............................................................................ 169 ItamarMirandadaSilva,LucélidadeFátimaMaiada Costa,ElisângelaAparecidaPereiradeMelo Modelizaciónenelaula:contrastandolamatemática conlacotidianidad ...................................................... 177 JesenniaMa.ChavarríaVásquez,MarcelaGarcíaBorbón ASequênciaFedathinaformaçãodoprofessorparao usoqualitativodatecnologiadigital:umaexperiência comoSoftwareWinplot.............................................. 185 MartaAlvesdaSilva,HermínioBorgesNeto,Francisca CláudiaFernandesFontenelle Contribuiçõesdateoriahistórico‐culturalparaa formaçãodoeducadormatemático ........................... 192 BetineDiehlSetti,NeivaIgnêsGrando ASequênciaFedathinaformaçãoinicialdopedagogo: ousodastecnologiasdainformaçãoecomunicação (tic)nosconteúdosmatemáticos ............................... 200 RomilsonGomesdosSantos,FranciscaCláudiaFernandes Fontenelle,MariaJoséCostadosSantos CABRI3Dymaterialconcreto:unestudiodela representacióndelcubo ............................................. 208 MagnaFernándezContreras,JesúsFloresSalazar ¿Porquéalosalumnosdesecundariaselesdificulta realizardespejesalgebraicos? .................................... 220 VíctorArmentaSánchez,AlmaAdrianaLeónRomero Analisandoateoriadosregistrosderepresentação semióticaapartirdeumaatividadedemodelagem matemática .................................................................. 228 NeiladeToledoeToledo,DéboradeLimaVelhoJunges Apráticadodeverdecasanoensinode matemática .................................................................. 244 DéboradeLimaVelhoJunges,NeiladeToledoeToledo Latecnologíaacompañadadelasestrategiasdidácticas comoherramientaparalaenseñanzadelas matemáticasensecundaria ........................................ 254 JuanManuelLópezGonzález,MelissaLópezMartínez, AlmaAdrianaLeónRomero Preconceptosyerroresenelaprendizajedelos cuadriláteros ................................................................ 262 AlbertThomyMaguiñaRojas,ElizabethAdvíncula Clemente Revistaspedagógicas,históriadamatemáticaeo ensinodematemática:ocasodarevistadoensino doRS ............................................................................. 269 LuizHenriqueFerrazPereira Basesepistemológicassbjacentesaosobstáculosde comunicaçãodesurdosnainclusãoescolar matemática .................................................................. 277 IvaneteMariaBarrosoMoreira,GleisyKellyMoreiraLima, EdsonPinheiroWanzeler Formaçãodeprofessores:práticaseperspectivasà luzdaTAD .................................................................... 293 ItamarMirandaDaSilva,AlineAndreiaNicolli PIBIDmatemáticanaUPF:avaliandoasações desenvolvidasnoperíodo2010‐2012 ....................... 301 ScheilaMontellidosSantos,SandraMaraMarasini Estudiodelasemejanzadetriángulosmediada porelGeoGebra ........................................................... 309 LuisAlbertoMasgoLara,JesúsFloresSalazar Comunidadesvirtuaisdeprofessoresdematemática: potencialidadesepráticas .......................................... 322 JoserleneLimaPinheiro,MarciliaChagasBarreto Mobilizaçãoe(re)significaçãosaberes:umolhar sobreapráticadosprofessoresmatemática ............. 331 DéboraCristinaSantos Ojogodelinguagementreouvinteesurdonoensino deMatemática .............................................................. 342 IvaneteMariaBarrosoMoreira,MarisaRosâniAbreuda Silveira SignificadodelaasimetríaEstadísticaenlosalumnos deEconomíadelaUniversidadNacionaldel Callao ............................................................................ 357 TeresaSofíaOviedoMillones UsodahistóriadaMatemáticaemsaladeaula:vídeos daBBCcomopossívelrecursodeensino .................. 365 PriscilaAraújoSimões,AbigailFregniLins Ousodacalculadoravirtualnoensinodasoperações comfrações .................................................................. 373 IvaneteMariaBarrosoMoreira,PedrofrancodeSá Mapeandoaproduçãocientificasobrerobótica educacionaleoensinodeMatemáticanabasede dadosdacapes ............................................................. 387 EdvanilsonSantosdeOliveira,AbigailFregniLins AlinguagemdesinaisnoensinodeMatemática ...... 396 IvaneteMariaBarrosoMoreira,EdsonPinheiroWanzeler Construçõesalgorítmicasedemonstrações axiomáticas .................................................................. 408 LuizaMariaMoraisLima,HermínioBorgesNeto,Ana CláudiaMendonçaPinheiro Afunçãodaavaliaçãonoprocessodeenisino aprendizagem:umolharsobreaprática ................... 419 DéboraCristinaSantos Logrosdeaprendizajedelosestudiantesdeeducación básicaentemasdeEstadísticayProbabilidad ......... 431 AugustaOsorio,ElizabethAdvínculaClemente Tratamientodidácticodeladerivada–laaplicación delprogramaDERIVE ................................................. 439 DianaJudithQuintanaSánchez Práticascolaborativas:superandooisolamento profissional .................................................................. 445 AbigailFregniLins,PatriciaSandaloPereira,Mercedes Carvalho Oportunidadesydificultadeseneldesarrollode ambientesinclusivosparaelaprendizajedelas Matemáticas ................................................................. 453 GabrielManceraOrtiz,FranciscoJavierCameloBustos, JennyferZambranoArias Significadopersonaldeladerivadaenestudiantesde IngenieríadelaUniversidadNacionalMicaelaBastidas deApurímac ................................................................. 465 AlejandroManuelEcosEspino Génesisinstrumental:latransparenciayelarrastreen lainstrumentalizacióndelafuncióndefinidapor tramos .......................................................................... 472 LuisDanielChumpitazMalpartida,JesúsFloresSalazar Estudiodelasimetríaaxial:mediadoporelsoftware GeoGebra ...................................................................... 480 DaysiGarcíaCuéllar,JesúsFloresSalazar Altashabilidades/superdotaçãoemmatemática: reflexõesparaaforma‐açãodeprofessores ............. 489 AnaCristinaSchirlo,SanideCarvalhoRutzdaSilva Másalláderespuestascorrectasoerradasentornoal conceptodelímitedeunafunciónrealdevariablereal enunprimercursodecálculodelnivel universitario ................................................................ 497 CristinaSofíaLaPlataDelaCruz Deldibujoafiguraylasteoríasdelassituaciones didácticasydelainstrumenación .............................. 505 LuizMarcioSantosFarias,MariaAuxiliadoraLisboa MorenoPires,TâniaCristinaRochaSilvaGusmão, AfonsoHenriques,ClaudineideCarmargoSantana UnaexperienciaenEtnomatemáticasustentadaenel diseñoyconstruccióndelinstrumento musicalcuatro ............................................................. 537 OswaldoJesúsMartínezPadrón,AngélicaMartínezde López,AndrésA.GonzálezRondell,MaríaLuisaOliveras Contreras SocializacióndeExperienciasDidácticas .......... 547 Repensandoaformaçãodeprofessoresdematemática apartirdeatividaesdeensinoeaprendizagemde conceitosdetrigonometria ......................................... 548 MariaDeusaFerreiradaSilva Tratamientometodológicoydesarrollodelaunidad “Cuadriláteros”bajoenfoqueproblémico,enel4º gradodesecundariadelaI.E.Nº80915“MiguelGrau Seminario”deElPallar–Huamachuco,2013 ........... 556 LuisMiguelMaravíZavaleta AcercandolaenseñanzadelCálculoalperfildel ingeniero:resolucióndeproblemasabiertos ........... 564 SilvinaSanMiguel,SilvinaBeatrizChezzi,PatriciaCarina Gómez,MaríaFabianaAgout TICsymatemática:unaexperienciaconGeoGebra .. 569 SilvinaSanMiguel,SilvinaBeatrizChezzi,PatriciaCarina Gómez,MaríaFabianaAgout UnaalternativaparaaprenderMatemáticaenel colegio:lainiciacióncientifica .................................... 574 JaimeEdmundoApazaRodriguez,InocêncioFernandes BalieiroFilho,NairRodriguesdeSouza Buscandoelhotelmáscercano .................................. 580 CeciliaGómezMendoza Lafunciónlinealenlastarifasdeserviciodeagua potableyalcantarillado .............................................. 589 EdwinVillogasHinostroza AbrindocadeadoscomousodaMatemática ............ 596 JoãoLuzeiltondeOliveira Desafíosmatemáticoscomomotivaciónal aprendizaje .................................................................. 601 CarlosTorresNinahuanca Eldesarrollodelosprocesosdealfabetización matemáticas ................................................................. 609 NairRodriguesdeSouza,LucianaParoScarinFreitas Autilizaçãodaregradafalsaposiçãoparaoensinode equaçõesdo1ºGrauapartirdeumaabordagem histórica ........................................................................ 614 IsabelleCoêlhodaSilva,AnaCarolinaCostaPereira, JosenildoSilvadoNascimento FormaçãoinicialdeprofessoresindígenasnosEstados doTocantinseAmazonas:contribuiçõesdaeducação Matemática ................................................................... 621 ElisângelaAparecidaPereiradeMelo,LucélidadeFátima MaiadaCosta Estudiodefuncionesdevariablerealenelentorno dinámicoqueofreceGeoGebra .................................. 629 MabelAliciaGay,MaríaJosefinaTito,SilvinaSanMiguel Formaçãocontinuadaeresoluçãodeproblemas:uma propostametodológicatendocomobasequestõesda OBMEP .......................................................................... 637 NeuzaTerezinhaOro,MarianeKneippGiareta, RosaMariaTagliariRico,TacianaDóro,VanessaPansera Núcleoeimagendeunatransformaciónlinealusando Mathematica ................................................................ 644 NancySaravia Lasasíntotasysusmitos ............................................ 654 IrisFlores,NancySaravia AnálisisdetareasmatemáticasconGeoGebraparael aprendizajedefuncionescuadráticasdesdelateoría desituacionesdidácticas ............................................ 663 MabelAliciaGay,GracielaElenaGay,SilvinaBeatriz Chezzi Oficinasdematemáticanasescolas:umadasações extensionistasdoprojetointegraçãodaUniversidade comaEducaçãoBásica ................................................ 670 SandraMaraMarasini,BetineDiehlSetti,EliamarCeresoli Rizzon,MariadeFátimaBaptistaBetencourt,RosaMaria TagliariRico,RosanaMariaLuvezuteKripka RepensandoaeducaçãoMatemática:umaleiturada práticaapartirdaanalisedaanalisedaexperiência docente ......................................................................... 676 NeiladeToledoeToledo Avaliaçãoeanálisedodesempenhodealunosem atividadespráticasdeMatemática ............................. 682 RamoneTramontini,NeivaIgnêsGrando,SimoneAline Henn Apráticacomocomponentecurricularesuas implicaçõesnaconstituiçãodoserprofessorde Matemática ................................................................... 689 RobertoPreussler Optimizacióndefuncionesencontextos geométricos ................................................................. 698 NestorSánchezLeón ContribuiçõesdaDidáticadaMatemáticaemcursosde formaçãodeprofessoresdeMatemática ................... 704 ElisângelaAparecidaPereiradeMelo,PauloCléber TeixeiraMendonça,AlexandreOliveiradaSilva EnseñanzadeloscuadriláterossegúnelmodeloVan HieleymediadaporelsoftwareGeoGebra ............... 712 AlbertThomyMaguiñaRojas,ElizabethAdvíncula Clemente Umapropostadeensinodepré‐cálculoparaalunos queingressamnoscursosdaáreadasCiênciasExatas: umaexperiênciacomalunosdeFísicadaUESB ....... 718 AdrizaMacedoDamacenoLima,MariaDeusaFerreirada Silva UtilizandorecursosdaProgramaçãoNeurolinguística (PNL)paraoensinodaMatemática ........................... 725 LuizHenriqueFerrazPereira MatemáticaVédicanoensinodasquatro operações ..................................................................... 733 FreudRomão AimportânciadaSequênciaFedathinaconstruçãodo conceitodegeradoresemÁlgebraLinear ................. 749 FranciscaCláudiaFernandesFontenelle,HermínioBorges Neto,FranciscoEdisomEugeniodeSousa Umasequênciadidáticaparaoensinodeequaçãodo 2ºGrau:umapropostametodológicabaseadana SequênciaFedathi ....................................................... 757 AnaCláudiaMendonçaPinheiro,HermínioBorgesNeto ElMoodlecomoherramientadeenseñanzay aprendizajedelasMatemáticas ................................. 770 SumayaJaimesReátegui LinguagemMatemática:traduçãoepolissemia ........ 775 MarisaRosâniAbreudaSilveira,RobsonAndréBaratade Medeiros,JaneisideLimaMeira,CarlosEvaldodosSantos Silva ExploraçãodeconceitosdeGeometriaAnalíticacomo softwareGeoGebra ...................................................... 785 NilceFátimaScheffer,DanielaJéssicaVeroneze,Merielen FátimaCaramori Umolharsobreadificuldadedaresoluçãode problemasnoensinodamatemática ......................... 793 DéboraCristinaSantos Etnomatemáticaeaprendizagemsignificativa: articulaçõespossíveisemprocessosdeformaçãode professoresqueensinammatemáticaemescolas ribeirinhas .................................................................... 801 LucélidadeFátimaMaiadaCosta,IsabelCristina RodriguesdeLucena OusodoGeoGebranoensinoeaprendizagemde matemáticanoscursosdeEngenharia ...................... 810 EloizaGomes,JulianaMartinsPhilot,RobertaAlbanez Usandocompetênciasehabilidadesparadiferenciaras açõesdecontagememedida ...................................... 818 DavidRibeiroMourão,FranciscoEdisomEugeniode Sousa,RomilsonGomesdosSantos Umestudodoensinodaintegralimprópriacomouso daSequênciaFedathi‐umapropostametodológica paraaslicenciaturas.................................................... 825 AlessandroMendonçaNasserala,AnaCláudiaMendonça Pinheiro Unapropuestadeenseñanzacontecnologíadigitalen larepresentacióndelugaresgeométricos................. 833 MaritzaLuna ExplorandoamatemáticadabandeiradoBrasil: técnicasgeométricascomargolas .............................. 840 LeandroCarlosdeSouzaGomes,AbigailFregniLins ColetâneaLABGGparaescolaseuniversidades: NEF.801‐Estudodospolígonoseseuselementos ... 846 EimardGomesAntunesdoNascimento,MariaTeresa BixirãoNeto Ferramentasdaweb2.0paraeducaçãomatemática: estudodaarte .............................................................. 855 EimardGomesAntunesdoNascimento,DennysLeiteMaia, JoserleneLimaPinheiro,RodrigoLacerdaCarvalho Aartedetrabalharalgunsconceitosdageometria planaeespacialaoconstruirumacaixade presentes ...................................................................... 863 NeyrMunizBarreto ExplorandoGeometriaatravesdoprocessogeral derinaldini:ousodosoftwareeducacional GeoGebra ...................................................................... 868 DéboraCristinaSantos AOBMEPcomoexperiênciadeensinoda matemática .................................................................. 877 DéboraCristinaSantos,JonatasMarques,AirtonDanilo Oliveira Ousodequebra‐cabeçaparaodesenvolvendodo pensamentogeométrico ............................................. 886 MariaJoséCostadosSantos,IvoneidePinheirodeLima, DavidRibeiroMourão Integraçãodaeducaçãomatemáticaeambiental: umaabordageminterdisciplinarnocontextoda reciclagemdelixo ........................................................ 892 JosaphatSoaresNeto,JúlioWilsonRibeiro Fazendo,ensinandoeaprendendomatemática atravésdejogos ........................................................... 903 DéboraSernajotto,CristianTássioQueiroz,Lisandra BarretodaSilvia,LuizHenriqueFerrazPereira,Mariele Sitta,NilomarZanottoJúnior,RosideFátimaOliveira Portela PIBIDemação‐oprocessoformativodosfuturos professoresdematemática ......................................... 910 IvoneidePinheirodeLima,MariaJoséCostadosSantos Propuestadelarestauraciónarquitectónicadeuna casonadelCentrodeLima ......................................... 915 LydiaChungaLudeña,KianniZuritaMartinez,Ana AyamamaniJaimes AutilizaçãodoFacebookcomoferramenta metodológicanoEnsinodeMatemática(SE) ............ 923 MiriamCorreiaDaSilva ImpactodelaaplicacióndePodcastenlaclasede geometría ..................................................................... 930 MyrianLuzRicaldiEchevarria Umestudodasderivadasimplícitascomousodo softwareGeoGebraparavisualizaçãocartesiana: ocasodofóliodeDescartesedaCardioide .............. 938 AlessandroMendonçaNasserala,FranciscoRégisVieira Alves Mudançadeformasderegistro:umaatividade deusodalinguagemmatemáticaemcontexto cotidiano ....................................................................... 946 AirtonCarriãoMachado,PaulaResendeAdelino,Kelly ForneroMelillo,NoraCabreraZúñiga Puestaenmarchadelmétododeenseñanza‐ aprendizaje“aprendizajeorientadoaproyectos” .... 958 MarieCosetteGirónSuazo,VerónicaNeiraFernández, YulianaVillarealMontenegro,LuisFernandoVelarde Vela,LeninRolandoCabracanchaMontesino π:unarealidadtangible .............................................. 974 FredyRivadeneira,OscarIntriago SólidosderevoluciónconWinplot ............................ 981 ElizabethAdvínculaClemente Elaprendizajedelamatemáticaenalumnoscon déficitdeatención:unaaplicacióndelaprendizaje mediado ........................................................................ 988 GeovanaElizabethLinaresPurisaca Conjeturaydemostración.SucesióndeFibonacci .... 994 NélidaMedina Unapraxeologiaparalosjuegosquelosprofesores puedenutilizarensusclases ....................................1001 LuizMarcioSantosFarias,JoabyOliveiraSilva,Edmo FernandesCarvalho,AndersonSouzaNeves,JanySouza Goulart AlternativasenlaenseñanzadelaEstadísticaa personascondiscapacidadvisual ............................1019 AngélicaMartínezdeLópez MulticulturalidadyEtnomatemática:sehace caminoalandar .........................................................1027 OswaldoJesúsMartínezPadrón,FredyEnriqueGonzález, MaríaLuisaOliverasContreras Unaaplicacióndelprincipiodemultiplicación enlasprobabilidades ................................................1044 JoséFloresDelgado Talleres .............................................................. 1049 Visualizaçãonoensinodeintegraisgeneralizadas: situaçõesdidáticascomousodosoftware GeoGebra ....................................................................1050 FranciscoRégisVieiraAlves Geometrizandooensinodefração ...........................1058 MariaDeusaFerreiradaSilva,FerdinandMartinsdaSilva IntroducciónalageometríaconEtoys ....................1062 CerapioQuintanilla,AdrianaGewerc,FernandoFraga EscoladeHackers:umapropostametodológicaparao ensinodeconceitosmatemáticos ............................1075 ArianeMileidiPazinato,NeuzaTerezinhaOro,Eliamar CeresoliRizzon,MariaEleneMalmann,JosianeMuller, AdrianoCanabarroTeixeira,JaquelineZilli DinamizandooCálculodeáreasregularese irregulares:daeducaçãobásicaaoensino superior ......................................................................1081 DanieldeJesusSilva,MariaDeusaFerreiradaSilva Aimportanciadautilizaçãodematerialconcretono ensinodematemáticanonívelmédio:uma experiêncianoensinodefunções ............................1089 DanielaMacêdoDamacenoPinheiro,MariaDeusa FerreiradaSilva Estudodegeometriaespacial:origamicomo ferramentapedagógica .............................................1095 LeandroCarlosdeSouzaGomes,AbigailFregniLins, PriscilaAraújoSimões UsandoLABGG:posibilidadesparaestudiarlafunción delprimerysegundogrado ......................................1100 EimardGomesAntunesdoNascimento,MariaTeresa BixirãoNeto OusodoGeoplanonoensinodegeometria ............1103 NeyrMunizBarreto Estrategiasdidácticasparalaenseñanzadelas probabilidadeseneducaciónprimaria ....................1110 CésarFernandoSolísLavado Construyeaplicacionesmóvilesconbloques computacionales(Appinventor) ..............................1118 JoséLuisMorónValdivia ElmundodelaMatemágica ......................................1126 OswaldoJesúsMartínezPadrón Gráficosestatísticoseateoriadosregistrosde representaçãosemiótica ...........................................1142 CiledadeQueirozeSilvaCoutinho Problemasdeolimpiadasmatemáticasysuaporte alpensamientomatemáticoenlaeducación básica ..........................................................................1146 EmilioGonzagaRamírez,JorgeTipeVillanueva,JohnCuya Barrios Tareasyactividadestelemáticasparaelaprendizaje delasmatemáticas.Usodepizarrasdigitales .........1152 MariselRocíoBetetaSalas ElanálisisdidácticoenelmarcodelEnfoque Ontosemiótico ............................................................1161 VicençFont,NormaRubio,UldaricoMalaspina Actividadescolaborativasparaelusodelas propiedadesdelmodelonormalparaelcálculode probabilidadessincontarconintroducciónteórica deltema ......................................................................1165 AugustaOsorio Pósteres .............................................................. 1172 Contenidodelamediaaritméticaenloslibrosde textoysuinfluenciaenlacomprensiónpor estudiantesdelprimerciclodelaUniversidad NacionalMicaelaBastidasdeApurímac ..................1173 BelenCabreraNavarrete Transdisciplinandooensinodematemática:a rendadebilronasaladeaula ...................................1176 MariaJoséCostadosSantos,IranAbreuMendes Disciplinadedidáticadamatemática:atividades envolvendoumasessãodidáticaatravésda SequênciaFedathi .....................................................1183 HellenCristinaVieiraCosta,MariaJoséCostadosSantos, JessicaAparecidaSousa,JaneteBatista Explorandoconceitosgeométricoscomousodo scratch ........................................................................1189 NeuzaTerezinhaOro,ArianeMileidiPazinato,Eliamar CeresoliRizzon Educaçãoambientalintegradaaoensinodeconteúdos matemáticos ...............................................................1192 EliamarCeresoliRizzon,ArianeMileidiPazinato,Mariele Sitta,NeuzaTerezinhaOro,TanielaPena Resolucióndeproblemasconelusodemateriales didácticos ...................................................................1196 MarcoJoycePonceVera,ElenaAraceliFuentesZamarripa, AlmaAdrianaLeónRomero ManejodelaempresachicharronesdelInkaylas matemáticas ...............................................................1198 MagnaJuliaGuerreroCelis,JohanaAndreaCerdanBurga, ErnestoJuancarlosDurandBerrospi,SergioBrunoRuesta Velasquez ManejodelaempresaTextilAlpasurylas matemáticas ...............................................................1201 MagnaJuliaGuerreroCelis,AnaLucíaAlvaFigueroa, FiorellaCelesteCanavalTemoche,CarlosLeandroVenero Tupayachi,RicardoAlejandroCamposMedina,Kevin DerekFaríasFranco Utilidadesygananciasenlaempresa metropolitano ............................................................1204 CarlosReynagaAlarcón,MarielaAlejandraCastañeda Perales,AlwinRammelReyna,WilliamsAnderson ContrerasGreffa,JeanCarlosLuisVilchezFrancisco Estimacióndecostosenlarestauraciónarquitectónica deunacasonadelCentrodeLima ............................1207 LydiaChungaLudeña,KianniZuritaMartinez,Ana AyamamaniJaimes Resoluçãodeproblemasmatemáticosna agropecuária:umamotivaçãoparaoensinoda matemática ................................................................1209 AdeniseVieiradeSouza,MariaDeusaFerreiradaSilva Aimagencomoreferenciaparaoensinoda matemática ................................................................1217 LuizHenriqueFerrazPereira Explorandoacalculadoracomorecursodidático emumambientecolaborativo ..................................1219 AdriellySorayaGoçalvesRodrigues,AbigailFregniLins AimportânciadaSequenciaFedathinaformaçãode novosprofessores:umolhartransdisciplinarna graduaçãoempedagogia ..........................................1222 JéssicaLira,HellenCristinaVieiraCostaeMariaJoséCosta dosSantos,JoséEdinaldoFariasLira,IzabelSousaFarias Lira,CéliaMariaVieiraCosta,AntônioJosédosSantose MariaNediCostadosSantos Ositeescolagameseoscontributosnoprocessode ensinoeaprendizagemdematemáticanaeducação especial .......................................................................1228 EdvanilsonSantosdeOliveira Pesquisasobrealfabetismofuncionalemmatemática básicacompescadoresartesanaisdecabedelono estadodaParaíba ......................................................1233 NeyrMunizBarreto,AbigailFregniLins Sobredefasagemedeficiêncianoensinoda matemáticaescolar ...................................................1235 LuanCostadeLuna,ThayrineFariasCavalcante,Valbene BarbosaGuedes,AnielyRégisdoNascimento MatemáticagregaeAndreaPalladioretrospectiva históricasemcursosdeformaçãodeprofessores emNatal‐RN/BR ........................................................1247 FranciscaVandilmaCosta Umtrabalhocolaborativosobumaperspecitva inclusivadealunosdeficientesvisuaiscoma manipulaçãodemateriais .........................................1249 AndréadeAndradeMoura,AbigailFregniLins Aatuaçãodofuturoprofessordematemática,nos estágiossupervisionadosnaeducaçãoindígena ....1252 SheylaSilvaThéFreitas,AnaCarolinaCostaPereira, ValmirodeSantiagoLima ElusodelaRobóticaWeDoenlaenseñanzadela matemáticaenlaeducaciónprimariadelas InstitucionesPúblicasPeruanas ..............................1260 MaríadelCarmenBonilla ConferenciasPlenarias ConferenciasPlenarias 1 ConferenciasPlenarias LAFORMACIÓNINICIALDEPROFESORES DESECUNDARIADEMATEMÁTICAS.UN ENFOQUEPORCOMPETENCIAS VicençFont UniversitatdeBarcelona [email protected] Resumen Primero se explican brevemente las características de la formación inicial de los profesores de matemáticas de secundaria en España y se distingue entre el periodo 1971‐ 2010ylostresúltimosaños,enlosqueseaplicauncurrículo porcompetencias.Acontinuación,elcasodeEspañaseutiliza como contexto para la reflexión sobre un enfoque por competenciasenlaformacióndeprofesoresdesecundariade matemáticas, en particular se hacen algunas consideraciones sobre cuestiones de investigación relacionadas con el modelo deeducaciónporcompetenciasenlaformacióninicialdeeste profesorado. Por último, se presenta una propuesta de competencias del profesor de matemáticas y se ponen ejemplosdetareasparasudesarrolloyevaluación. Palabras clave: Formación inicial de profesores, matemáticas, secundaria,competenciasprofesionales. 1. La formación de los futuros profesores de matemáticas La investigación en España sobre la formación de los futuros profesores de matemáticas de secundaria ha servido para conocertantolaslimitacionesdelaformacióninicial,comoel tipo de competencias que los profesores que la recibieron fueron desarrollando a partir de su práctica profesional. Durante el periodo 1970‐2010 se fue generando un amplio consenso sobre los siguientes aspectos: 1) que la formación didáctica que se les exigía era insuficiente y 2) que las competenciasprofesionalesquelosprofesoresdesarrollabana 2 ConferenciasPlenarias partirdesuprácticasedeberíancomenzaradesarrollarenla formacióninicialdelosfuturosprofesores.Estosdosaspectos, entre otros, se han incorporado en España en la actual propuesta de formación del profesorado de secundaria de matemáticas,vigentedesdeel2010. Actualmente en España los currículos de secundaria están organizados por competencias. Se trata de currículos ambiciosos que exigen una formación muy calificada. Para conseguirestetipodeformaciónsehamodificadolaformación inicialdelosprofesoresdesecundariamediantelacreacióndel Máster de Formación de Profesor de Secundaria de matemáticas (MFPSM). Ahora bien, esta mejora en la formación inicial debería estar orientada por investigaciones sobrelaimplementacióndeestosestudios. 2. Cuestionesproblemáticasdeinvestigación Dado que el currículo de la enseñanza secundaria está organizadoporcompetenciasyelcurrículodelMFPSMloestá por competencias profesionales, aparecen las siguientes cuestiones que merecen ser investigadas: ¿Cuáles son las competencias profesionales que permiten a los profesores desarrollaryevaluarlascompetencias,generalesyespecíficas de matemáticas, prescritas en el currículo de secundaria? ¿Cómo desarrollarlas y evaluarlas? La respuesta a estas preguntas,asuvez,estárelacionadaconlarespuestaquesedé a la siguiente pregunta más general: ¿Cuáles son las competencias profesionales que necesita el profesorado para enseñarmatemáticas? Nuestro grupo de investigación se ha interesado sobre aspectos relacionados con estas preguntas en el marco de diferentes proyectos de investigación. En particular, nos interesamosporinvestigarlascuestionessiguientes: 1) Caracterizar globalmente competencias profesionales en laformacióninicialdelMFPSM,susgradosydescriptores. 3 ConferenciasPlenarias 2) Diseñar ciclos formativos multimodales (presencial y “online”), para el desarrollo de competencias profesionales en el MFPSM (en especial, la competencia enanálisisdidácticodeprocesosdeinstrucción). 3) Diseñar y aplicar instrumentos de evaluación de las competencias profesionales de los futuros profesores de secundariadematemáticas. Nos interesa analizar las prácticas profesionales que los futuros profesores realizan para resolver las tares profesionales propuestas, y el conocimiento matemático‐ didáctico activado en ellas, para encontrar indicadores que justifiquen la asignación de grados de desarrollo de la competenciaprofesionalquesepretendeevaluar. 3. MarcoTeórico Caracterizar el conocimiento del profesor necesario para la enseñanza es un tema de investigación relevante, entre otras razonesporquehayconocimientolimitadosobreél.Enelárea de la Educación Matemática se han realizado investigaciones para conocer la forma en que el conocimiento del contenido matemáticodelosprofesoressehaceevidenteensusclasesen formadebuenasprácticas.Setratadeinvestigacionesque,en mayoromenormedida,serelacionanconlacompetenciaen análisisdidáctico.Entreellashayquedestacar: 1) Conocimiento matemático para una enseñanza de las matemáticas de calidad. A partir de la noción de conocimiento matemático para la enseñanza, el grupo de Ball y col. (Hill, Ball y Schilling, 2008) se ha planteado cuáles son las características que ha de tener este conocimientoparaconseguirunaenseñanzadecalidad. 2) TheKnowledgeQuartet.Rowlandycol.(Rowland,Huckstep y Thwaites, 2005) se interesan por conocer cómo el conocimiento del contenido matemático del profesor se hace evidente en sus clases, para ello analizan clases, grabadas en video, con el objetivo de caracterizar el conocimientodelprofesoractivadodurantelainstrucción. 4 ConferenciasPlenarias 3) Competencia “mirar con sentido”: Algunas investigaciones sobre el desarrollo profesional del profesor subrayan la importancia de la competencia denominada “mirar con sentido” (Mason, 2002). Dicha competencia permite al profesor de matemáticas ver las situaciones de enseñanza aprendizajedelasmatemáticasdeunamaneraprofesional quelodiferenciadelamanerademirardealguienqueno esprofesordematemáticas. 4) La competencia en análisis didáctico en el marco del EnfoqueOntosemióticodelaInstrucciónMatemática(EOS). En este enfoque se proponen los siguientes niveles de análisisdidáctico(Font,PlanasyGodino,2010): a) análisisdeproblemasysistemasdeprácticas. b) análisis de las configuraciones de objetos y procesos matemáticos. c) análisisdetrayectoriaseinteraccionesdidácticas. d) identificacióndelsistemadenormasymetanormas. e) valoración de la idoneidad didáctica del proceso de instrucción para identificar y potenciar buenas prácticas. Consideramos importante caracterizar competencialmente un currículo factible y de calidad en el MFPSM y somos de la opiniónquelacompetenciaenanálisisdidácticodebetenerun papel relevante en dicho currículo (Font, 2011). Para su desarrollo tomamos como principal referente teórico el modelodeanálisisdidácticopropuestoporelEOS. 4. Hipótesisyobjetivos Nuestrogrupodeinvestigaciónasumelassiguienteshipótesis: H1) Es posible desarrollar un programa por competencias enelMFPSM. H2) La competencia que permite evaluar y desarrollar la competencia matemática se puede considerar compuestapordosmacrocompetenciasque,asuvez,se pueden descomponer en otras: a) la competencia 5 ConferenciasPlenarias matemáticayb)lacompetenciaenanálisisdidácticode procesosdeinstrucción. H3) Hay un núcleo de la competencia en análisis didáctico que entendemos como: Diseñar, aplicar y valorar secuencias de aprendizaje propias y de otros, mediante técnicasdeanálisisdidácticoycriteriosdecalidad,para establecer ciclos de planificación, implementación, valoración y plantear propuestas de mejora. Y podemos encontrar criterios e indicios del desarrollo de esta competencia. Ynosplanteamos,entreotros,lossiguientesobjetivos: 1) Elaborar la lista de competencias clave que se han de desarrollarenelMFPSM.Determinargradosdedesarrollo para cada competencia y perfil profesional de entrada al másterdeFPSM,apartirdeexperienciasyadesarrolladas. Proponerindicadoresyevidenciasasociadasquepermitan evaluarelgradodedesarrollodecadacompetencia. 2) Con relación a la competencia específica en análisis didáctico de procesos de instrucción, diseñar e implementar ciclos formativos para el desarrollo de dicha competenciaytambiéninvestigarcómosedesarrollaenla implementacióndeciclosformativos. 5. Enfoquemetodológicogeneral Nuestra investigación tiene un componente de “investigación más desarrollo” porque pretende proporcionar: (1) conocimientoteóricosobrelaformacióndefuturosprofesores desecundariadematemáticas,(2)caracterizacióndelestado actual de la formación de estos futuros profesores e identificacióndelosfactorescondicionantesdelamismay,(3) elaboraciónderecursosdidácticosespecíficosparamejorarsu formación. La investigación es primordialmente cualitativa, puestoquesebuscadescribireldesarrollodecompetenciasen estosfuturosprofesores.Losgruposdefuturosprofesoresque participanenlainvestigaciónsonmuestrasintencionales. 6 ConferenciasPlenarias En cuanto al componente instruccional experimentamos la aplicación de ciclos formativos para el desarrollo de competencias. En todos ellos, el análisis didáctico tiene un papel relevante y se realiza siguiendo un modelo de análisis (Font, Planas y Godino, 2010) que permite diseñar, aplicar y valorar secuencias de aprendizaje, para establecer ciclos de planificación, implementación, valoración y plantear propuestasdemejora. 6. Ejemplodecicloformativo A continuación explicamos brevemente parte de un ciclo formativo en el que, por una parte, se trata de desarrollar la competenciaenanálisisdidácticoy,porotra,investigarcómo seproduceestedesarrollo. EnelMFPSMdelaUniversitatdeBarcelonaeldesarrollodela competencia en análisis didáctico corresponde a todas las asignaturas.Aquícomentaremosbrevementelasecuenciaque sesigueentresasignaturasparacontribuirasudesarrollo.En la asignatura de “innovación e investigación sobre su propia práctica”sesiguelasiguientesecuencia(a‐e): a)Análisis de casos (sin teoría). Se propone a los alumnos la lectura y análisis del episodio descrito en Font, Planas y Godino (2010), dicho análisis se debe realizar a partir de sus conocimientos previos sobre análisis didáctico. El proceso seguido es: 1) Lectura individual del contexto del problemaydelatranscripción.2)Formacióndegruposde 3‐4personas.3)Análisisdidácticodelepisodiodeclaseen grupo. 4) Elaboración de conclusiones. 5) Presentación a losotrosgruposdelasconclusiones. b) Emergencia de los niveles de análisis didáctico propuestos por el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción Matemática (EOS). La puesta en común de los análisis realizada por los diferentes grupos, completada con la técnica de “otras voces”, si es necesario, permite observar comoelgrangrupocontemplaloscinconivelesdeanálisis quesiguen,aunquecadagruposólohacontempladoalguno 7 ConferenciasPlenarias de ellos: 1) Análisis de las prácticas matemáticas. 2) Análisis de objetos y procesos matemáticos activados y emergentesdelasprácticasmatemáticas.3)Análisisdelas trayectorias e interacciones didácticas y de conflictos semióticos. 4) Identificación del sistema de normas que condicionan y hacen posible el proceso de estudio (dimensión normativa). 5) Valoración de la idoneidad didácticadelprocesodeestudio. c) Teoría (criterios de idoneidad). De los cinco niveles anteriores sefocaliza laatención en el quinto, para ello se dan elementos teóricos a los alumnos, en concreto se les explican los criterios de idoneidad propuestos en el EOS. Esteenfoqueproponelossiguientescriteriosdeidoneidad: 1) Idoneidad epistémica, se refiere a que las matemáticas enseñadas sean unas “buenas matemáticas”. Para ello, ademásdetomarcomoreferenciaelcurrículoprescrito,se trata de tomar como referencia a las matemáticas institucionales que se han transpuesto en el currículo. 2) Idoneidad cognitiva, expresa el grado en que los aprendizajespretendidos/implementadosestánenlazona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los aprendizajes logrados a los pretendidos/implementados. 3) Idoneidad interaccional, gradoenquelosmodosdeinteracciónpermitenidentificar y resolver conflictos de significado y favorecen la autonomía en el aprendizaje. 4) Idoneidad mediacional, grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza‐aprendizaje. 5) Idoneidad afectiva, gradodeimplicación(interés,motivación)delalumnadoen el proceso de estudio. 6) Idoneidad ecológica, grado de adaptacióndelprocesodeestudioalproyectoeducativodel centro,lasdirectricescurriculares,alentornosocial,etc. d) Análisis de episodios de clase videograbados utilizando los criteriosdeidoneidad. e) Lecturaycomentariodepartesdealgunostrabajosfinalde máster en los que los futuros profesores de cursos 8 ConferenciasPlenarias anterioresutilizaronloscriteriosdeidoneidadparavalorar la unidad didáctica que implementaron en su periodo de prácticas. EnlasasignaturasPrácticumIIyTrabajoFinaldeMásterlos alumnoshandeutilizarloscriteriosdeidoneidadpara: f) Diseñaryvalorarsupropiapráctica,enconcretolaunidad quehandiseñadoeimplementadoenelPrácticumII. EnlaasignaturaTrabajoFinaldeMásterlosalumnos: g)Han de rediseñar la unidad didáctica implementada en el Prácticum II de manera que se mejoren algunos aspectos que la valoración realizada indica que se deben y pueden mejorar. Nuestro objetivo es investigar durante la enseñanza de este ciclo formativo, sobre todo, cómo aparecen y se conectan en los futuros profesores, por ejemplo, criterios sobre la calidad matemática(idoneidadepistémica). Agradecimientos TrabajorealizadoenelmarcodelproyectoEDU2012‐32644. Referencias Font, V. (2011). Competencias profesionales en la formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria. Unión,26,9‐25. Font, V., Planas, N. y Godino, J. D. (2010). Modelo para el análisis didáctico en educación matemática. Infancia y Aprendizaje,33(1),89‐105. Hill, H. C., Ball, D. L. y Schilling, S. G. (2008). Unpacking pedagogical content knowledge: Conceptualizing and measuringteachers'topic‐specificknowledgeofstudents. Journal for Research in Mathematics Education, 39, 372‐ 400. Mason, J. (2002). Researching your own practice. The disciplineofnoticing.London:Routledge‐Falmer. 9 ConferenciasPlenarias Rowland, T., Huckstep, P. y Thwaites, A. (2005). Elementary teachers'mathematicssubjectknowledge:theknowledge quartet and the case of Naomi. Journal of Mathematics TeacherEducation,8(3),255‐281. EDUCAÇÃOESTATÍSTICANOBRASIL CiledadeQueirozeSilvaCoutinho PontifíciaUniversidadeCatólicadeSãoPaulo [email protected] Resumo A pesquisa aqui retratada teve a finalidade de aprofundar a reflexão sobre aspectos relacionados à construção de organizaçõesmatemáticas,estatísticasedidáticas,tendocomo objeto a Estatística Descritiva e a Probabilidade, com professores da escola básica. Mais especificamente, os objetivos perseguidos foram dois. O primeiro foi estudar os fatores que interferem no processo de ensino e de aprendizagem de conceitos estatísticos e probabilísticos de base(conceitosbásicosdaestatísticadescritiva,ideiadoacaso, experimentoaleatórioeprobabilidade).Osegundoobjetivodo projeto foi promover uma reflexão entre pesquisadores e professores participantes do projeto sobre como desenvolver ações de formação de professores (inicial e continuada) de forma a que estes possam construir ferramentas teóricas e didáticas para organização e gestão de situações de aprendizagem. Os dois objetivos estão interligados, pois os resultados do primeiro nortearam, de alguma forma, as reflexõesquetecidassobreosaspectosmetodológicos,acoleta eanálisededadosrelativosaosegundoobjetivo.Citamosdois resultadosbastanteimportantes:atesededoutoradodeDiva Valério Novaes, que diagnosticou concepções docentes, e um tutorial construído pelos professores participantes, para utilizaçãodoGeogebranaconstruçãodegráficosestatísticos. 10 ConferenciasPlenarias Palavras‐chave: educação estatística; formação de profesores; Geogebra Introdução–começandoaconversa Os conteúdos relacionados ao bloco Tratamento da Informação,queconstituemsaberesindicadosnosParâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental II (Brasil, 1998) para abordagem ao longo de todo o Ensino Fundamental, constituem o cenário dessa conferencia. No cenáriobrasileiroenocenáriointernacional,emrelaçãoaesse tema, temos um campo em franca expansão: as pesquisas começamaapareceretomarcorpo,constituindo‐segruposde pesquisadores específicos desta área de conhecimento. Podemos observar a existencia de grupos nos mais diversos países, como França, Espanha, Portugal, México, entre outros. No Brasil, percebe‐se um início de trabalho de mobilização e sensibilização dos pesquisadores em Educação Matemática comostrabalhosdoGTdeProbabilidadeeEstatística,mantido pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática e coordenado por mim no período 2009‐2012, e atualmente pelasprofessorasIreneM.CazorlaeVerônicaY.Kataoka.Esse grupo, além de encontros presenciais durante os Seminários InternacionaisdePesquisaemEducaçãoMatemática(SIPEM), tambémviabilizadebatesvirtuais,cominscriçõeslivresnosite dogrupo: http://br.groups.yahoo.com/group/GT12_EnsinoProbEstat/. Damesmaforma,nointeriordosProgramasdePós‐Graduação em Educação, em Educação Matemática e em Ensino de Ciências e Matemática estão se organizando novos grupos de pesquisa em Educação Estatística, como na PUC‐SP, o grupo pesquisaPEA‐MAT,cadastradonoCNPq. Oprojetoquerelatamostevecomoobjetivosprincipais: 1) estudarosfatoresqueinterferemnoprocessodeensinoe deaprendizagemdeconceitosestatísticos,probabilísticos ecombinatóriosdebase(conceitosbásicosdaestatística descritiva, idéia do acaso, experimento aleatório e 11 ConferenciasPlenarias probabilidade, idéia agrupamentos); de contagem e tipos de 2) promover uma reflexão entre pesquisadores e professores participantes do projeto sobre como desenvolver ações de formação de professores (inicial e continuada) de forma a que estes possam construir ferramentas teóricas e didáticas para organização e gestãodesituaçõesdeaprendizagem. Osdoisobjetivosforambuscadossempredeformainterligada, poisosresultadosdoprimeironortearam,dealgumaforma,as reflexõesquetecidassobreosaspectosmetodológicos,acoleta e análise de dados relativos aos segundo objetivo. Para alcançaroprimeiroobjetivo,fizemosumtrabalhoqueintegrou resultadosdepesquisasemEducaçãoMatemáticaeEducação Estatística‐inclusiveasevidênciasempíricasacumuladaspela área de Psicologia Educacional ‐, e utilizou procedimentos de investigação envolvendo questionários, entrevistas, observaçõesepesquisasbibliográficasedocumentais. As ações desenvolvidas no projeto integraram as propostas dos professores pesquisadores (pesquisadores, mestrandos e doutorandos)comasdosprofessoresdaredepública,sujeitos da pesquisa. Nos momentos de encontro, os professores, sujeitosdapesquisa,puderamdescreversuaspráticas,discuti‐ las e escolher as que caminhassem para uma proposta de integração mais formal e passível de um acompanhamento sistemático. Fundamentosteóricosemetodológicos Nossa pesquisa realizou‐se em estreita associação com uma ação ou com a resolução de problema coletivo no qual os pesquisadores e os participantes são envolvidos de modo cooperativoouparticipativo(Thiollent,1998). A construção, a análise e a experimentação das situações de formação,tantodosprofessoresdoEnsinoFundamentalcomo de seus respectivos alunos, seguiram os princípios da Engenharia Didática e a Teoria das Situações Didáticas 12 ConferenciasPlenarias (Brousseau, 1996). A Engenharia Didática vista como metodologia de pesquisa (Artigue, 1980) caracteriza‐se, em primeiro lugar, por um esquema experimental baseado nas “realizaçõesdidáticas”emsaladeaula,istoé,naconcepção,na realização, na observação e na análise de sessões de ensino. Nesta visão, contemplamos as fases indicadas nessa metodologia: a análise epistemológica dos conteúdos visados; a análise do ensino tradicional e seus efeitos; a análise das concepções dos estudantes e professores, das dificuldades e obstáculosquedeterminamsuaevolução;aanálisedocampo noqualsituar‐se‐àarealizaçãoefetivadeumcenáriodidático. Todas estas etapas foram desenvolvidas, logicamente, pautadaspelosobjetivosespecíficosdenossainvestigação,que eraodesenvolvimentodopensamento,letramentoeraciocinio estatístico dos professores e, consequentemente, de seus respectivosalunos,nostermosassumidosporGal(2002)epor BenZvieGarfield(2004). Organizaçãodotrabalhorealizadocomosprofessores O projeto de pesquisa foi desenvolvido segundo as seguintes etapas, que não eram estanques: diagnóstico de concepções iniciaisdosprofessoresparticipantes;combasenosresultados e nos estudos didático‐epistemológicos, elaboração de um conjunto de situações que foram desenvolvidas com os profesores;orientaçãodosprofessoresnaelaboração,análisee aplicaçãodeumconjuntodeatividadesparaserdesenvolvido com seus alunos. A partir dessas ações, desenvolveram‐se procedimentos de diagnóstico de possíveis mudanças de concepçõesedapráticapedagógicadosprofessores,pormeio de mapa conceitual, entrevistas e de acompanhamentos em saladeaula. Para isto, o grupo de pesquisa manteve dois momentos distintosdetrabalho: • Os encontros de segunda‐feira: onde o grupo de pesquisadores e alunos da pós‐graduação, discutiam a fundamentação e os aspectos teóricos da pesquisa e da formaçãodosprofessores. 13 ConferenciasPlenarias • Os encontros de formação propriamente dita, que aconteciam com um grupo de professores voluntarios, semanalmente,comduraçãode3h. Participavam dessas reuniões não apenas os pesquisadores, mas também alunos de mestrado e doutorado, assim como outrosprofessoresquejáconcluíramseumestradonaPUC‐SP e que atuavam como colaboradores no projeto, seja como observadores nas oficinas, seja na pesquisa de novos textos e publicações que poderiam fazer evoluir a pesquisa. Cita‐se o exemplo dos alunos que desenvolveram seus mestrados em ensino e aprendizagem da Probabilidade e da Combinatória, temasquenãoforamabordadosnoprojetoatéomomentopor problema de tempo didático para construção dos conhecimentos específicos e didáticos relativos ao tema EstatísticaDescritiva. Decidiu‐se adotar, enquanto procedimento de formação, a elaboração de material de apoio pelo qual os professores pudessemrefletirassituaçõesapresentadaseproporpossíveis soluçõesemdiscussõescoletivas. Algunsdosresultadosobservados As questões que guiaram o projeto continuam ainda a ser respondidas. Retomando o objetivo de instrumentalizar o professor da escola básica para o trabalho com conteúdos de Estatística, Probabilidade e Combinatória, podemos assumir como parcialmente atingido, uma vez que o tempo foi suficienteapenasparaotrabalhocomconteúdosestatísticos. Pudemos constatar que os professores participantes, a pesar de“desconfortáveis”paraabordaremosconteúdosestatísticos com seus alunos, apresentavam atitudes francamente favoráveis à reflexão sobre as propostas feitas, conforme relatamCoutinhoeMiguel(2007). Pudemos avançar nas reflexões teóricas, articulando referenciaisdaDidáticadaMatemáticacomosdaDidáticada Estatística,comoapresentadoemCoutinho,SilvaeAlmouloud (2011), tratando específicamente da leitura da Teoria dos 14 ConferenciasPlenarias Registros de Representação Semiótica no que se refere aos gráficos estatísticos, articuladamente com as ideias sobre o desenvolvimentodopensamentoestatístico,particularmentea detransnumeração. Avançamos também no que se refere desenvolvimento do de conteúdos estatísticos na escola básica e na formação continuada de professores, a partir de reflexões guiadas pela Teoria Antropológica do Didático e pela Teoria das Concepções, campo nos quais ainda temos pesquisas em desenvolvimento.Resultadosigualmenteimportantesforama pesquisadedoutoradodesenvolvidaporDivaValérioNovaes, que estudou as concepções estatísticas e didáticas dos professoresparticipantes,àluzdaTeoriadasConcepções,ea construção de um tutorial, pelos professores participantes, para a construção de gráficos estatísticos com uso do Geogebra. Referências Artigue, M. (1980),“Ingénierie Didactique”. Recherches en Didactiquesdesmathématiques,9/3,p.281‐298. Ben‐Zvi, D. E Garfield, J (eds.) (2004), The challenge of developing statistical literacy, reasoning and thinking. Dordrecht,KluwerAcademicPublishers.423p. Brousseau, 1996. “Fundamentos e Métodos da Didáctica da Matemática”.In:Brun,J.(dir.).DidácticadasMatemáticas, pp.35‐113.Lisboa:InstitutoPiaget. Coutinho,C.Q.S.,Miguel,M.I.R.(2007)“Análisededados:um estudodiagnósticosobreconcepçõesdeprofessores”.In: Anais do 30º Encontro Anual da ANPEd. Disponível em http://www.anped.org.br, acesso em 22 de outubro de 2013. Coutinho, C. Q. S.; Silva, M. J. F.; Almouloud, S. Ag. (2011) “Desenvolvimento do Pensamento Estatístico e sua Articulação com a Mobilização de Registros de 15 ConferenciasPlenarias Representação Semiótica”. In Bolema. Boletim de EducaçãoMatemáticaUNESP.RioClaro.v.24,p.495–514. Gal, I. (2002) “Adults' Statistical literacy: Meanings, Components, Responsibilities”. International Statistical Review.70(1),p.1‐25. Thiollent, 1998. Metodologia da Pesquisa‐ação. São Paulo: Cortez. 16 ConferenciasParalelas ConferenciasParalelas 17 ConferenciasParalelas ELAPRENDIZAJEDEFRACCIONES MEDIANTEUNAHERRAMIENTA TECNOLÓGICA(ETOYS) CerapioQuintanilla PontificiaUniversidadCatólicadelPerú [email protected] Resumen La presencia de herramientas tecnológicas en el quehacer educativo es cada vez mayor, dejando incierta la escuela tradicional.Lastecnologíashacenlavidamásdificultosaalos profesores; esto implica el requerimiento de profesores con nuevas habilidades en su formación profesional (Collins & Halverson, 2009). En este contexto; en la nueva cultura de aprendizaje, lossalones de clases, comomodelo, están siendo reemplazados por ambientes de aprendizaje mediados con tecnologíasdigitales(Thomas&Brown,2011). La conferencia tiene el propósito de mostrar que estudiantes deeducaciónprimariasoncapacesdeconstruirelconceptode fracción, utilizando un entorno tecnológico constructivista denominado Etoys, que es un lenguaje de programación orientadoaobjetosdelibredistribución,unsistemainspirado enLOGO,SmalltalkyStarLogo(Kay,2007).Eltrabajodescribe y explica el papel que juegan las tecnologías como herramientas educativas (Fraga & Gewerc, 2004) en el aprendizaje de las matemáticas. Para tal efecto, el trabajo se enmarca dentro de dos teorías: el construccionismo de Seymour Papert, que orienta el marco teleológico de la investigación como una filosofía de la educación y la vida (Papert,1999),quefundamentaelusodetecnologíasdigitales en la educación (Badilla & Chacón, 2004) y la teoría APOS (acción,proceso,objetoyesquema)deEdDubinskyqueayuda a comprender y explicar los niveles de constructos mentales que los alumnos logran alcanzar durante el proceso de aprendizaje (Asiala etal., 1996). En base a los procesos 18 ConferenciasParalelas desarrollados por los estudiantes, los resultados de la investigaciónsonalentadores. Palabrasclave:Etoys,construccionismo,teoríaAPOS,concepto defracción,herramientatecnológica. Introducción La actividad matemática ocasiona en la mayoría de los alumnos dificultades de aprendizaje que en otras actividades del conocimiento. Esta situación particular que tiene el procesodeaprendizajedelasmatemáticas,esabordadadesde diversas vertientes teóricas, como las teorías psicológicas, teorías cognitivas y las disciplinas de las didácticas de las matemáticas; porque es muy complejo el proceso de enseñanza–aprendizaje. Uno de los conceptosmáscomplejos enel nivel de educación primaria, inclusive en la educación secundaria es el concepto de fracción; porque está asociado a las dificultades por diversos factores (simbolismo, conceptual, uso de materiales, uso de TIC, entre otros), errores que comenten durante la construcción del concepto y obstáculos que impiden el aprendizajedelasfracciones. Por otra parte, la presencia de las tecnologías tales como tablets, Smart phones y tecnologías similares, pueden ser usadosparatransformarlasenseñanzatradicionalcentradoen el profesor (Cuban, 2012). En tal sentido, el reporte de investigación introduce el uso del recurso tecnológico en el aprendizajedelasfracciones;bajoelcontextodelateoríadel construccionismo y la teoría APOS (acción, proceso, objeto y esquema). El trabajo se centra en el estudio de cómo los niños del 5to gradodeprimariaconstruyenelconceptodefracciónhaciendo usodelrecursotecnológicoEtoys(lenguajedeprogramación). Losresultadosdelosconstructosmentalesalcanzadosporlos niños/a en la construcción del concepto de fracción son analizadosatravésdelestudiodecasos. 19 ConferenciasParalelas Elementosteóricosypresupuestosbásicos Las dimensiones iniciales del trabajo de investigación se observaenlaFigura1.1.Graciasalaflexibilidaddelparadigma cualitativo,estasafloranyseamplíanalolargodelprocesode investigación y van profundizándose (Vera C & Vollalón C, 2005). Squeak Etoys Concepto fracción Dificultades en el aprendizaje de Construcción del concepto de fracción con Etoys Teorías de aprendizaje Figura1.1Dimensionesbásicasdelainvestigación ¿Por qué el concepto de fracciones? Al respecto, muchas investigaciones muestran que operar con fracciones y desarrollar problemas matemáticos con fracciones es una de las principales dificultades en el nivel primario (Fraser, Murray, Hayward, & Erwin, 2004), a pesar de que a menudo utilizan el concepto en su vida cotidiana y estas son muy complicadas (Duzenli‐Gokalp y Sharma (2010). Del mismo modo,laenseñanzadelasfraccionesesunadelastareasmás difícilesparalosmaestrosdeeducaciónprimaria,porello,un alto porcentaje de estudiantes fracasan en aprender este concepto(DeLeón&Fuenlabrada,1996;Sankaran,Sampath,& Sivaswamy,2009). Por su versatilidad se seleccionó a Etoys, porque es un lenguaje de programación que hereda la mayoría de las características de Smalltalk‐80 y se basa en una arquitectura simple denominado “marco mórfica”. En el periodo 2006 – 2007, Alan Kay y su equipo construyeron Etoyssobre la base deSqueakyfueusadoporelproyectoeducacionalOLPCXO–1, yen2009laFundaciónSqueaklandfuecreadaporViewpoints Research,Inc(Freudenberg,Ohshima,&Wallace,2009).Etoys es una herramienta educacional que permite a los niños realizarsimulacionesdesituacionesdelavidarealatravésde 20 ConferenciasParalelas la programación; siendo ésta un lenguaje de programación muy versátil, proporcionando al niño de un ambiente muy amigable. La base teórica del trabajo se fundamenta en el construccionismo de Papert, el que se sustenta en las teorías psicológicas de Piaget, Vygotsky y Bruner. Piaget hizo un estudiosobreeldesarrolloylaformacióndelosconocimientos tomandoencuentaelprocesocentraldeequilibración(Piaget, 1990, p. 9); tal sistema ocurre cuando el sujeto construye cognitivamenteunacomprensióndeunainformaciónatravés de un proceso llamado “abstracción reflexiva” (Dubinsky & Lewin,1986). Vygotsky destaca la función del lenguaje como medio de comunicaciónsocial,deexpresiónycomprensión(Ackermann, 2004; Baquero, 2001; Vygotsky, 1989); y el aprendizaje mediantelazonadedesarrollopróximo(ZDP).Esteban(2009, p. 238) considera que una fase cognitiva del pensamiento pedagógicodeBrunereselaprendizajepordescubrimiento.El papelcentraldelbuenmaestroconsisteendescubrirlaZDPde cadaestudiante,parafacilitarlelamediaciónyelapoyoenel aprendizaje. Esa actividad del profesor constituye el “andamiaje”, que permite a un niño/a o novato, resolver un problema o una tarea para alcanzar un objetivo (Wood, Bruner,&Ross,1976). Paradeterminarlaconstruccióndelconceptodefracción,por parte de los niños y las niñas, se incorpora la teoría APOS de Dubinsky dentro del construccionismo, luego se diseña la descomposición genética del concepto de fracción para identificar los niveles de constructos mentales que los niños/as alcanzan al momento de construir el concepto de fracción. Pre‐acción. Se considera cuando el estudiante no puede identificarlanocióndefracciónencualquieradelascategorías y no tiene preciso el concepto de fracción en las situaciones matemáticas. 21 ConferenciasParalelas Acción. Es una manipulación mental o física repetible de los objetos (Breidenbach, Dubinsky, Hawks, & Nichols, 1992). En este nivel de constructo el estudiante logra identificar o reconocerelconceptodefracciónenlasdiferentescategorías (una parte y el todo, objetos discretos, juegos, objetos continuos,expresiónverbalyescritura): A.1. Observaunagráficaeidentificalafracción. A.2. Reparteunconjuntodeobjetosenporciones. A.3. Reconoce los elementos (líneas, ángulos, números, polígonos) de un objeto matemático que determina una fracción. A.4. Considera a la fracción como la división de una circunferenciarelacionandoaunatarta. A.5. ConsideraladivisióndelplanodeLaCasadelasCiencias como una división clásica realizando trazos (sin analizar lasposibilidades). Laconcepcióndeprocesodeunafracciónocurrecuandouna acción es repetida y el estudiante reflexiona sobre ella; entonces,puedeinteriorizartalacciónenproceso.Esasíquela construccióninternapermiterealizarlamismaacción,masno puedeserdirigidaporestímulosexternos;porejemplo: P.1. Diferencia las fracciones en dos figuras e identifica sus elementos. P.2. Analiza los elementos u objetos matemáticos que componen La Casa de las Ciencias para realizar la división;porejemplo:unarecta,uncuadrado(compuesto de rectas y ángulos de 90°) y un triángulo (tres lados y tresángulos). P.3. Construye un segmento y ángulos considerando giros hacia la derecha o hacia la izquierda, ángulos complementarios y suplementarios, haciendo uso de Etoys. 22 ConferenciasParalelas P.4. Ensaya construyendo objetos, como cuadrados y triángulos que son elementos básicos que componen un objeto matemático, como es la fracción, haciendo uso de Etoys. La concepción de Objeto, se refiere a la reflexión que hace el individuosobrelasaccionesaplicadasaunprocesoespecífico. En esta etapa se espera que los estudiantes construyan y reconstruyanlasfracciones.Siesasíelcaso,sedicequeseha realizado una reconstrucción o se ha encapsulado como un objetocognitivo;entonces,elindividuo: O.1. Explica los elementos de un cuadrado y su construcción conEtoys. O.2. Explica los elementos de un triángulo, así como su construcciónconEtoys. O.3. Compone los diferentes mosaicos en un guion para la construccióndeuncuadrado. O.4.Compone los diferentes mosaicos en un guion para la construccióndeltriángulo. Esquema. Según Asiala et al. (1996) un esquema se realiza cuandolosobjetosyprocesosluegodeserconstruidospueden ser interconectados en varias formas. Los esquemas designados por Dubinsky et al. (1994) corresponden a los tematizados por Piaget, los cuales indican la colección fusionada en un objeto en el cual pueden tener lugar las acciones. Las fracciones construidas con Etoys mediante la utilización de diversos elementos matemáticos, como por ejemplo los elementos construidos con Etoys: segmentos, ángulos, triángulos, cuadrados, rectángulos forman un esquema, y cada uno de los elementos tienen un concepto definido. Entonces cuanto el estudiante alcanza este nivel de constructomental: S.1. Concibe el concepto de una fracción como la división de un objeto en varias partes iguales mediante el uso de Etoys. 23 ConferenciasParalelas S.2. Construye fracciones con el elemento triángulo (la distribucióndelaCasadelasCiencias),yotrasfracciones haciendousodeEtoys. S.3. Concibe el concepto de una fracción como la unión de varias partes iguales para formar un todo, haciendo uso deEtoys S.4. Diseña y explica las diversas situaciones del contexto de lavidaqueinvolucraelconceptodefracciones. Estas situaciones permiten identificar los niveles de constructos mentales que los niños/as alcanzan durante la construcción del concepto de fracción a través de los diseños deproyectosconEtoys. El paradigma del construccionismo provoca una ruptura del esquema tradicional del trabajo en el laboratorio; porque proponellevarellaboratorioalaula.Estoquieredecir,queel propio profesor de matemáticas introduzca los conceptos de lamatemáticaapoyándoseenelusodelasmicrocomputadoras (Papert, Watt, diSessa, & Weir, 1979). Porque el Construccionismocomounafilosofíadelaeducación,sostiene quelosniñosaprendenhaciendo,explorandoydescubriendo, en lugar de recibir una información pre‐envasada (Papert, 1986). Metodologíadeinvestigación La investigación es cualitativa, un estudio de casos, dedicada alestudiodelusodetecnologíasenelaulaporlosestudiantes (Savenye&Robinson,2004,p.1046).Centrasurespuestaala pregunta ¿cómo los niños construyen el concepto de fracción enlasmatemáticashaciendousodeEtoys?Paradarrespuesta a esta pregunta, no es necesario recurrir a valorar calificaciones de su rendimiento, o medir la adquisición de conocimientosdelosniños/as;sinoquerequierecomprender para explicar el proceso de la construcción del concepto, haciendo un seguimiento etapa por etapa, mientras niños y niñastrabajanconEtoysconelobjetodeubicarencadaetapa losnivelesdeconstructosmentalesalcanzados. 24 ConferenciasParalelas Paralarecoleccióndedatosseutilizólasecuenciaquemuestra la figura 1.2. Se buscó una situación real para formular la construccióndelconceptodefracción;detantasposibilidades se eligió La Casa de las Ciencias de la Coruña por su peculiar figura geométrica. Con este modelo los niños construyeron el conceptodefracción. Problema real Formulación de hipótesis Experiencias Solución A modo de conclusión Figura1.2Modelocíclicodedesarrollodeproyectosenel construccionismo. Una vez propuesto el objeto matemático, se hace la siguiente pregunta a los niños ¿qué forma geométrica tiene La Casa de lasCienciasdelaCoruña?Cadaestudianteformulasuhipótesis de estudio en sus carpetas de trabajo sobre la forma geométrica de la Casa de las Ciencias. Para contrastar las hipótesisbajoelparadigmadelconstruccionismoesnecesario verificar in situ el lugar. Los niños inician explorando por internet desde el espacio para ver la forma geométrica que tiene al Casa de las Ciencias. Una vez visto, cada estudiante verificasuhipótesis,escribeydibujaensulibretadenotasla verdadera forma geométrica. Además, para ayudar, se le provee de una fotografía del plano con las mediciones respectivas,luegoparatenerunvalorexacto,semultiplicapor 20acadaladodeltriángulo. 25 ConferenciasParalelas Figura1.3ElmuseovistodelespacioconGoogleEart,yla segundamuestraelplano. La ejecución de las experiencias se desarrolló durante dos semanas, con 4 horas cada una en el laboratorio de informática, donde los niños iniciaron diseñando con lápiz y papel la redistribución del plano de La Casa de las Ciencias. Luego discutieron sobre las diferentes formas de distribución que pudieran realizar, finalmente consensuaron en un diseño como se muestra en la figura 1.3.a., donde cada parte es un triánguloisósceles. (a) (b) Figura1.4Intentodedivisióndelplano. Como los estudiantes ya habían tenido contacto en experiencias anteriores con Etoys, se adaptaron fácilmente a diseñar y ejecutar un proyecto con Etoys; primero diseñaron un triángulo como se muestra en la figura 1.3.b.; segundo, se propusieron varias hipótesis sobre cómo utilizar el triángulo diseñado, luego de discusiones llegan a concluir que es necesario hacer pegados de triángulos utilizando el mosaico gira,lograndoasídiseñarladistribucióndelplanodeLaCasa delasCiencias. 26 ConferenciasParalelas Una vez concluido el proyecto se realizó una encuesta a cada estudiante sobre los conceptos aprendidos. Cada estudiante expusolosconceptosaprendidos,divididosendosconceptos: matemáticos y físicos; además en dos competencias: digital y aprestamiento de motora fina, durante el desarrollo de la experienciaconEtoys. Amododeconclusión Losresultadossonanalizadosenformaglobaldeacuerdoala descomposición genética del concepto de fracción propuesto. Seevaluóelprocesodesarrolladoencadaunodelosproyectos quefuerongrabadosenlosordenadores;contrastandoconlas filmacionesrealizadasdurantelaejecucióndelasexperiencias. Losconceptosmatemáticosderectaosegmentoseoriginanen eldiseñodelproyectoconelguionavanza;luegoelconcepto deánguloseoriginaconelguióngira;ambosguionesorientan la conceptualización de los números enteros. Además, al ejecutar los dos guiones aparece el concepto de ángulo suplementario.Finalmente,losguionesavanzaygirageneran lacircunferenciaylospolígonos. Elconceptodefracciónsurgedelaconstruccióniteradadeun triángulo,aldiseñarelplanodelaCasadelasCiencias.Eneste proceso, los niños pasan por proyectos diversos, desde la construcción de un segmento, ángulo, triángulo hasta la construccióndeunoctágonodivididoenochopartes.Encada proyecto diseñado los niños/as alcanzan un nivel de constructomental;ademáscadaproyectoesunsub‐esquema; 27 ConferenciasParalelas porqueanivelinterserelacionanentreellasparagenerarotro esquema mucho más grande denominado nivel trans, que vieneaserlaconstruccióndeloctágono,osealaredistribución del plano de la Casa de las Ciencias. Para Piaget, este tipo de resultadosedenominacoordinaciónporqueestácaracterizado por inferencias, implícitas o explícitas, realizados por el alumno/a(Piaget,1990),ademásellospuedenrealizarambas operaciones (dividir o agrupar) para expresar el concepto de fracción(Meel,2003). Respecto a la descomposición genética del concepto de fracción, los niños/as, utilizando la herramienta Etoys, alcanzaron el nivel de esquema; porque conciben el concepto deunafraccióncomoladivisióndeunobjetoenvariaspartes iguales; construyen fracciones con el elemento triángulo (la distribución de la Casa de las Ciencias). Finalmente, conciben el concepto de una fracción como la unión de varias partes iguales para formar un todo. A este proceso de inversión interiorizado,Piagetdenominóreversibilidad(Meel,2003). Etoys,comoherramientaeducacional,permitióalosniños/as aprender el concepto de fracción en interrelación con otros conceptos matemáticos de manera transversal; asimismo, Etoys contribuye en la construcción deconceptos pasandode unniveldeacciónaniveldeesquema:unnivelmáselevado. Referencias Ackermann, E. (2004). Constructing Knowledge and TransformingtheWorld.EnL.Steels&M.Tokoro(Eds.), A Learning zone of one´s own: sharing representations andflowcollaborativelearningenvironments(pp.15‐37). Amsterdam, Berlin, Oxford, Tokyo, Washington, DC: IOS Press.Recuperadoapartirde http://web.media.mit.edu/~edith/publications/2004‐ Constructing_Knowledge.pdf Asiala,M.,Brown,A.,Devries,D.J.,Dubinsky,E.,Mathews,D.,& Thomas, K. (1996).A Framework for Research and Curriculum Development in Undergraduate Mathematics 28 ConferenciasParalelas Education.CBMS. Issues in Mathematics Education: ResearchinCollegiateMathematicsEducation,6,1‐32. Badilla,E.,&Chacón,A.(2004).Construccionismo:Objetoscon elcualpensar,entidadespúblicasymicromundos.Revista ActualidadesInvestigativasenEducación,4(1),1‐12. Baquero, R. (2001). Vigotsky y el aprendizaje escolar. Buenos Aires:AiqueEditorS.A. Breidenbach, D., Dubinsky, E., Hawks, J., & Nichols, D. (1992).Development of the process conception of function.Educational Studies in Mathematics, 23(3), 247‐ 285.doi:10.1007/BF02309532 Collins,A.,&Halverson,R.(2009).Rethinkingeducationinthe ageoftechnology:thedigitalrevolutionandschoolingin America.NewYork:TeachersCollegePress. Cuban, L. (2012, abril).Integrating technology into a mathlesson.Larry Cuban on School Reform and Classroom Practice. Recuperado 20 de julio de 2012, a partir de http://larrycuban.wordpress.com/2012/04/04/integrati ng‐technology‐into‐a‐math‐lesson/ De León, H., & Fuenlabrada, I. (1996). Procedimiento de solución de niños de primaria en problemas de reparto. Revista Mexicana de Investigación Educativa, 1(2), 268‐ 282. Dubinsky,E.,Dautermann,J.,Leron,U.,&Zazkis,R.(1994).On Learning Fundamental Concepts of Group Theory.EducationalStudiesinMathematics,27,267‐305. Dubinsky, E., &Lewin, P. (1986). Reflective Abstraction and Mathematics Education: The Genetic Decomposition of InductionandCompactness.TheJournalofMathematical Behavior,(5),55‐92. Duzenli‐Gokalp, N., & Devi Sharma, M. D. (2010). A study on additionandsubtractionoffractions:TheuseofPirieand Kieren model and hands‐on activities. Procedia ‐ Social 29 ConferenciasParalelas and Behavioral Sciences, 2(2), doi:10.1016/j.sbspro.2010.03.840 5168‐5171. Esteban, M. (2009).Las ideas de Bruner: «de la revolución cognitiva» a la «revolución cultural». EDUCERE . Ideas y personajes,13(44),235‐241. Fraga,F.,&Gewerc,A.(2004).Unaexperienciainterdisciplinar en Ed. Primaria mediante el uso de Squeak. Innovación educativa, Universidad de Santiago de Compostela, (15), 1‐20. Fraser, C., Murray, H., Hayward, B., & Erwin, P. (2004).The development of the common fraction concept in grade threelearners.Pythagoras,59,26‐33. Freudenberg, B., Ohshima, Y., & Wallace, S. (2009). Etoys for One Laptop Per Child. En Seventh Annual International Conference on Creating, Computing, connecting and collaborating through Computing (pp. 57 ‐64). Kyoto University: IEEE Computer Society. doi:10.1109/C5.2009.9 Kay, A. (2007). Children Learning by Doing: Squeak Etoys on the OLPC XO. Viewpoints Research Institute. VPRI Research Note RN‐2007‐006‐a.Recuperado a partir de http://www.vpri.org/pdf/rn2007006a_olpc.pdf Meel, D. E. (2003).Modelos y teorías de la comprensión matemática: Comparación de los modelos de Pirie y Kieren sobre el crecimiento de la comprensión matemáticaylaTeoríaAPOE.RevistaLatinoamericanade InvestigaciónenMatemáticaEducativa,6(003),221‐278. Papert, S. (1986).Constructionism: A new opportunity for elementary science education. Massachusetts: MassachusettsInstituteofTechnology,MediaLaboratory, EpistemologyandLearningGroup. Papert, S. (1999). Logo Philosophy and Implementation. Cambridge: Logo Computer System Inc. Recuperado a partirde 30 ConferenciasParalelas http://www.microworlds.com/company/philosophy.pdf Papert,S.,Watt,D.,diSessa,A.,&Weir,S.(1979).FinalReport of the Brookline LOGO Project. Part II: Project Summary andData.MassachusettsInstituteTechnology,1‐223. Piaget,J.(1990).Laequilibracióndelasestructurascognitivas: Problema central del desarrollo. Madrid: Siglo XXI, EditoresS.A. Sankaran, S., Sampath, H., &Sivaswamy, J. (2009). Learning fractions by making patterns – An Ethnomathematics basedapproach.EnS.C.Kong,H.C.Ogata,C.K.Chang,T. Hirashima, J. H. M. Klett, C. C. Liu, … S. J. . Yang (Eds.), Proceedings of the 17 th International Conference on Computers in Education (pp. 341‐345). Hong Kong: Asia_Pacific Society for Computer in Education. Recuperadoapartirde http://www.apsce.net/ICCE2009/pdf/C2/proceedings34 1‐345.pdf Savenye, W. C., & Robinson, R. S. (2004). Qualitative research issues and methods: an introduction for educational technology. En D. H. Jonassen (Ed.), Handbook of Research for Educational Communications and Technology (2.a ed., pp. 1045‐1071). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. Recuperado a partir de http://www.aect.org/edtech/39.pdf Thomas, D., & Brown, J. S. (2011).A New Culture of Learning: Cultivating the Imagination for a World of Constant Change.USA:CreateSpace. Vera C, A., &Vollalón C, M. (2005). La triangulación entre métodos cuantitativos y cualitativos en el proceso de investigación.Ciencia&Trabajo,7(16),85‐87. Vygotsky,L.S.(1989).Thoughtandlanguage.USA:MITPress. Wood,D.,Bruner,J.S.,&Ross,G.(1976).TheRoleofTutoring in Problem Solving.Journal of ChildPsychology and 31 ConferenciasParalelas Psychiatry, 17(2), 7610.1976.tb00381.x 89‐100. doi:10.1111/j.1469‐ LAHISTORIADELAMATEMÁTICACOMO RECURSODEENSEÑANZA AlejandroOrtíz PontificiaUniversidadCatólicadelPerú [email protected] Resumen Enlaconferenciaseexpusoreflexionessobrelahistoriadela matemática como disciplina de investigación y los aportes de éstaa la enseñanzade la matemática. Se tuvo comopuntode partida la experiencia personal del autor, iniciado en la docencia en la educación secundaria y luego dedicado a la docencia universitaria y la investigación por más de 45 años, sin dejar de lado las preocupaciones por la enseñanza y el aprendizajepermanentedelasmatemáticas,vinculándolascon la investigación y su historia, como una manera de buscar caminosqueoptimicenelavancedeestaciencia. En la conferencia se trató, de manera especial los grandes aportesdeArquímedesenelcampodelamatemáticapura,así comoresaltar algunasde las ingeniosasaplicaciones que hizo en situaciones concretas. El legado de Arquímedes aboga en favordelahistoriadelamatemáticacomounabuenafuentede motivacionesenlaenseñanzadelamatemática. Palabrasclaves:Historia,enseñanza,aprendizaje,Arquímedes Laenseñanzadelamatemáticaesunartedecomunicación. 1. UnaExperienciaPersonal 1.1 MisPrimerosLibrossobreHistoriadelaMatemática Cuando estuve en secundaria (1951‐55) un profesor de matemáticaeraautordeunasnotasdeloscincosdeestudios 32 ConferenciasParalelas de matemática, y en las primeras hojas de cada curso habían unasreferenciashistóricasconalgunasilustraciones;recuerdo que gustaba de leer y releer periódicamente esas referencias históricaspuesmellevabanatiempospasadoscuyashistorias lasaprendíamosenloscursosdehistoriauniversalyestome causaba una gran satisfacción íntima y deseaba saber más sobreeltemapues,creo,lamentedeunjovenesinquietapor conocer tantas cosas hermosas que hubieron en el pasado, sobretodoenlaantiguaGrecia. Esas pocas páginas fueron mi primer contacto con la historia de la matemática. En Trujillo, mi ciudad, en esa época los colegiosnoteníanbuenasbibliotecasylauniversidaderaalgo que solo veía de lejos; de esta manera no pude tener mayor contacto con la historia de la matemática, así hasta el 06 de diciembre de 1954 (estaba terminando el cuarto año de secundaria) cuando tuve la oportunidad de comprar un pequeño libro que se titulaba: “Breve Historia de la Matemática”,suautoreraFranciscoVera.Eltítulodeestelibro atrajomicuriosidadpuespenséqueahípodríaleermáscosas que en las hojas de las publicaciones citadas antes; en el verano siguiente traté de leerlo pues no contenía símbolos matemáticos que podría no entender; me causó cierta curiosidad los título de algunos capítulos, como: geometría analítica,cálculoinfinitesimal,análisismatemático,geometrías no‐euclidianas, grupos, conjuntos entre otros, nombres que eran totalmente desconocidos para un joven de entonces que había terminado el cuarto de secundaria, año que habíamos estudiado la geometría plana y así los nombres de Tales, PitágorasyEuclidesnoseranfamiliar,almenosdenombre. Decualquiermodo,tratédeleerellibrodandograndesaltosy comprenderemosqueloscapítulosdedicadosalamatemática oriental y a la geometría griega hayan sido los que más me gustaronymeimpresionaranentalescircunstancias. 33 ConferenciasParalelas El segundo libro fue “Los Grandes Matemáticos” de E. T. Bell, una hermosa obra que contiene atractivas biografías de matemáticos,desdeZenónhastaCantor;elautoralpresentara sus personajes ofrece también el entorno histórico y de este modo el lector aprende a la vez aspectos de la historia de la matemática.Ellibrofueescritoconunestilosimple,atractivoy motivador; confieso que hasta ahora, de vez en cuando leo algunasbiografíasalazaryobtengolasmismasemocionesde entonces. Entré en contacto con este libro en mis primeros años de universidad (1956‐7). El tercer libro lo encontré en Brasilia (1963); fue: “Historia de la Matemática” de J. Rey Pastor‐J. Babini,obraenqueporprimeravezapreciéquelahistoriade la matemática también, y sobre todo, trata con sólidos argumentos matemáticos del mejor nivel en función al tema tratado.Enefecto,enestelibrotoméconcienciaqueunaforma de aprender matemática (una buena forma!) es estudiarla desde un punto de vista histórico o mejor, motivar las ideas conacontecimientoshistóricos. 34 ConferenciasParalelas Estostreslibros,deVera,BellyReyPastor‐Babini,fueronmis primerasvivenciasconlahistoriadelamatemática;agradezco al destino el haberme dada esta oportunidad pues, dadas las circunstancias no muy positivas de mi formación básica, esos libros me ayudaron mucho a motivarme para aprender esta bella ciencia, que deberíamos aprenderla y enseñarla con tal recurso didáctico, la historia de la matemática, pues de esta forma comprenderemos mejor las ideas, los métodos y también (es bueno saberlo) algunos fracasos habidos en la génesisdelasteorías. 1.2 Mi Vivencia Profesional con la Historia de la Matemática. La historia de la matemática siempre ha constituido para mí una fuente de motivación, tanto personal como en mi trabajo como profesor universitario; recuerdo que cuando me inicié comoprofesorenlaUniversidadNacionaldeTrujillo(UNT)en el año 1960 gustaba narrar la vida y obra de algunos matemáticos que leía en el libro de Bell y que los alumnos ponían mucha atención a las narraciones; algunas veces ilustraba tales narraciones con algunas fotografías de matemáticos obtenidas del citado libro. A partir de entonces, siempre que la ocasión lo permitía gustaba, y a los alumnos también, hablar algo sobre historia de la matemática en mis lecciones técnicas, aún para alumnos de la Maestría en Matemática. Esta costumbre aún la conservo pues estoy convencido que esta forma de enseñar la matemática es óptima para motivar a los alumnos y así obtener una mejor enseñanza. En mi época de estudiante y primeros años como profesor habían muy pocos libros sobre historia de la matemática o temas relacionados; con el tiempo este panorama fue cambiando, sobre todo en los últimos años con la llegada del internet nos podemos informar de la gran cantidad de libros sobreestaárea,muchosdeellossonexcelenteslibrosescritos porreconocidosmatemáticosehistoriadoresdelaciencia. 35 ConferenciasParalelas Fue en la Universidad de Trujillo (UNT) en que tuve mi primera experiencia de enseñar un curso sobre historia de la matemática teniendo como guía a los tres libros citados anteriormente; a decir verdad, el curso era electivo y poco interéshabíaporpartedelosprofesoresenenseñarlopuesles era desconocido el contenido del curso; además, en la bibliotecadelaFacultadnohabíancasilibrosdeestaárea.En mi caso, vi la oportunidad de ampliar mi información y mi cultura matemática; era la ocasión para transmitir a mis alumnosloquehabíaleídoperodeunaformaorganizada;en estatareameayudaronlostrescitadoslibros,sobretodoelde Rey Pastor‐Babini, libro que, confieso, no me fue de fácil lectura.Pasaronvariosañossinquetengaotrocontactoconla historia de la matemática; siendo profesor de la Pontificia Universidad Católica del Perú tuve otras oportunidades de enseñar el curso, así como de sugerir la compra de muchos librossobrehistoriadelamatemática,ydeestamanera,junto alosbuenoslibrosqueyaexistíanenlabibliotecadeCiencias, launiversidaddisponedeunaexcelentecoleccióndelibrosen estaárea;sonobrasdedistintosniveles,enfoquesyépocas;los haydesdelaantigüedadhastalibroscontemasdelsigloXX.De esta manera, nuestros colegas y alumnos disponen de un amplia bibliografía que motivan la formulación de diferentes proyectos de investigación, aunque a decir verdad, son muy pocos los colegas que se interesan por la historia de la matemática; esto es lamentable por los argumentos que expondremosdespués. ConlacreacióndelaMaestríaenEnseñanzadelaMatemática enmiuniversidad(PUCP)seintrodujoelcursodehistoriade lamatemáticaenelplandeestudios,inicialmentecomocurso obligatorio, luego como electivo; con tal motivo, tuve la oportunidaddedictarelcursodeunmodomáscontinuo,con contenidos que mantenían un esquema central pero con posiblesvariacionesenalgunoscapítulos.Elúltimocursoque lodictamosfueenelsemestre2012‐2ycuyocontenidofue: Lectura1LaMatemáticaenlaAntigüedad:BabiloniayEgipto. Lectura2LaMatemáticaenlaAntigüedad:Grecia 36 ConferenciasParalelas Lectura3TransiciónalaMatemáticaModerna. Lectura4LaGeometríaAnalítica. Lectura5ElCálculoInfinitesimal. Lectura6ApogeodelCálculo. Lectura7AnálisisdeFourier. Lectura8EvolucióndelAnálisisMatemático. Lectura9EvolucióndelÁlgebra. Lectura10EvolucióndelaGeometría;laTopología. Lectura11BreveVisióndelaMatemáticaenelPerú. Lectura12HistoriadelaMatemáticacomoRecursoDidáctico. Comoapreciamos,porelcontenidodelaslecturas(dadascon laayudadel“powerpoint”),elobjetivofuedarunpanorama, una visión general de la evolución de la matemática desde la antigüedad hasta los tiempos modernos (siglo XX) pero debemos remarcar que en cada lectura dimos argumentos matemáticos, métodos y comentarios analíticos de algunos fundamentales resultados, es decir, tratamos de explicar la matemática con argumentos históricos; creemos que es la forma más correcta de enseñar la historia de la matemática pues así haremos comprender a nuestros alumnos las motivaciones que tuvieron aquellos seres que hicieron tantas contribucionesenelpasado. 37 ConferenciasParalelas Así mismo, algo que siempre hemos observado en nuestros alumnos,quienesyaeranprofesionalesendiversasáreas,fue la atención y el interés que ponían en nuestras lecturas; esto fue una constante en los diferentes cursos que hemos enseñado.Porotrolado,yconelobjetivodequeelcursofuera dinámico,paraleloaldesarrollodelaslecturas,aliniciodabaa mis alumnos un conjunto de temas para que los estudiaran y los investigaran, y para ser expuestos al final del curso como conferenciasdadasporlosalumnosaunauditorioabierto;las dos ilustraciones anteriores corresponden a la “Conferencia Arquímedes” (diciembre 06, 2010) en donde apreciamos los títulosdelasexposicionesdadas.Deboconfesarqueestetipo de actividades enriquecen mucho a la enseñanza y al aprendizaje pues los estudiantes participan en forma directa en su aprendizaje de muchas cosas hermosas que hay en la matemática; además, los alumnos son motivados a investigar consuspropiosrecursos,yestoesimportante. Las lecturas 1 a 10 aspiran a dar una cultura básica a los estudiantes, algunos de los cuales eran profesores de matemáticas,tantoensecundariacomodeuniversidad. Así en la Lectura 1 se dio una visión de la evolución del pensamiento matemático en la antigüedad; algo difícil de explicar fue la matemática en la pre‐historia; las culturas babilónicas y la egipcia fueron enfocadas con algunos argumentos matemáticos; se resaltó al después llamado “teoremadePitágoras”. 38 ConferenciasParalelas La Lectura 2 estuvo dedicada a la matemática en Grecia; fue unalecturallenadegrandesacontecimientoslosquefueronel iniciodefundamentalesteoríassiglosdespués;lainformación dadagustóymotivóalauditorio,recomendandoquelausaran para optimizar sus propias enseñanzas. Posiblemente de la evolucióndelamatemática,lohechoenlaEdadMediaeinicios delRenacimientonoseabienconocido;estofuepresentadoen la Lectura 3 en donde se enfatizó la gran contribución de los árabes en el campo del álgebra en donde se dio especial atención a la teoría de ecuaciones, en particular a las ecuaciones cúbicas y cuárticas. Esta etapa fue la de la transición de la matemática griega a tiempos modernos, es el sigloXVI(siglodeF.Viête)épocaenqueyasehabíanlogrado grandes avances en la matemática y se vislumbraban nuevos tiemposyconquistas. Fig.1:Descartes Fig.2:Newton Fig.3:Leibnitz Uno de los objetivos del curso fue dar una “cultura” matemáticaanuestrosalumnossabiendoquemuchosdeellos eran profesores y de esta manera nuestra labor tendría un efecto multiplicativo; esta idea guió nuestras lecturas, en particular a partir de la Lectura 4 en donde tratamos a la geometría analítica, un descubrimiento fundamental en la evolución de la matemática, la que surgió bajo motivaciones esenciales de la geometría griega; fue importante rescatar las contribucionesdadaspornotablescientíficosdelossiglosXVI Y XVII (Kepler, Pascal, Descartes,...). Siendo la geometría analíticauncursobásicoenlaactualformacióndeunalumno universitario,elauditoriofuemotivadoacomprenderlasideas ylosmétodoshistóricos,algoquegustóalosalumnos. 39 ConferenciasParalelas Laslecturas5,6,7y8formanunpaquetededicadoalanálisis matemático, comenzando con la creación del cálculo infinitesimal (Lectura 5) y su desarrollo en el siglo XVIII (Lectura6);laLectura7estádedicadaaunaáreaesencialdel análisis, el análisis de Fourier, la cual es responsable de gran parte del progreso de la matemática, así como de las aplicaciones a la física, a la ingeniería, y de un modo general, vía el análisis de la señal, a todas las áreas científicas. La Lectura 8 estuvo dedicado a la evolución del análisis matemático desde los antecedentes en la antigua Grecia (Arquímedes), pasando por Newton y su influencia, hasta los aportes hechos en el siglo XVIII y sobre todo las conquistas logradasenelsigloXIXcuandoseproducelarigorizacióndel cálculodiferencialeintegral;sedioénfasisalacreacióndela teoría de conjuntos y a sus proyecciones en el siglo XX, en donde remarcamos a la teoría de la medida y a la moderna nocióndelaintegral. El álgebra y la geometría‐topología fueron presentadas en las Lecturas 9 y 10 respectivamente, áreas que también merecieron una atención cuidadosa pues en sus aspectos básicos son familiares a todo estudiante de matemática y por ellohicimoselesfuerzoporllegaralasconquistaslogradasen el siglo XX. Por otro lado, en la Lectura 11 desarrollamos un tema que casi nunca se aborda en nuestro país y quisimos romperestatradición(auncuandoenañospasadoslohicimos deunmodoparcial):enseñarlahistoriadelamatemáticaenel Perú. Logramos recopilar una suficiente información desde la época del Perú antiguo (pre inca, inca) y lo ocurrido a partir del siglo XIXdonde lafiguradominantefue Federico Villareal (aúnhastalasprimerasdécadasdelsigloXX);confesamosque fueunabuenaexperienciaconocerqueyaenlasculturaspre‐ incas hubieron ciertas manifestaciones culturales que revelan cierto pensamiento matemático. Nuestra moraleja fue que es necesario un estudio más completo sobre la matemática en nuestropaís;estoesunreto! Finalmente, la Lectura 12 estuvo dedicada a la historia de la matemática como recurso didáctico, tema que desarrollamos 40 ConferenciasParalelas según nuestra propia vivencia y concepción del asunto, basados en nuestra condición de profesor universitario (53 añosalafecha),dedondeextraímosnuestrasopinionessobre estetemaqueesobjetodeinvestigaciónenmucholugaresde prestigio pero que en nuestro país pareciera no tener interés alguno. Remarco que, con una presentación meditada y rigurosa la historia de la matemática puede ser ( lo es ! ) de unagranayudaenelprocesodelaenseñanza‐aprendizajede la matemática, lo que he verificado en muchos años como profesor;además,lasinvestigacioneshechasenestadirección concluyenconunaopiniónfavorable.Lacuestiónestenerlos profesores adecuadamente preparados para que no se distorsioneselobjetivoyseprovoquencríticasencontradela historiadelamatemáticaydesurealvalor.Estevalortambién escultural,algoimportanteenunasociedadcontemporánea. 2. EnseñaryAprenderMatemática 2.1. UnDelicadoReto ¡Enseñarmatemática,unproblema! Enseñar y aprender son dos acciones íntimamente relacionadas que implica alguien enseña y alguien aprende paraobtenerunresultadodeseado:aprender.Enelcasodela matemáticaestadualidadadquiriócaracterísticasespecialesa partir de los años 1960’s, tanto en nuestro país como en muchos otros, cuando se producen cambios notables en el contenidodeloscursos.Enmiépocadecolegial(1951‐55)la matemática se enseñaba en cuatro áreas: aritmética, álgebra, geometría y trigonometría, y se les enseñaba casi independientemente una de otra. ¿Qué pasó?. . .En 1957 los rusos lanzaron el primer satélite artificial, lo que produjo un gran impacto en la ciencia y la tecnología occidental, en particularenlosEEUUAAquienesalsentirsedesplazadosen el liderazgo científico iniciaron un estudio profundo de las posiblescausasdetalsituación.ELresultadofueque,engran medida ello era debido a un inadecuado sistema educacional, en particular en la enseñanza de la matemática, tanto en el contenido como en la metodología. De esta manera surgieron 41 ConferenciasParalelas significativos cambios pedagógicos, desde la enseñanza elemental hasta la superior, cambios que llegaron a nuestro país. Lo más significativo fue la introducción de la teoría de conjuntos, de funciones y de los sistemas de números (naturales, enteros, racionales y reales), y para ello hubo que preparar a los profesores surgiendo así muchos cursos de veranoenladécadadelos60’sy70’s. Sibienseobtuvieronalgunosbuenosresultados,almenosen los colegios de las principales ciudades del país, surgieron algunasdistorsionesenlaenseñanzadelallamadamatemática “moderna” pues algunos entusiastas profesores dejaron de ladolasmotivaciones,laintuiciónylasaplicacionesparahacer unaenseñanzateóricayfría”conlaidea(equivocada)deque haceresto,eraprogreso. Aniveldelauniversidad,laenseñanzadelamatemática(tanto encontenidocomoenmetodología)fueprogresandoconforme algunos profesores salieron al extranjero para hacer el postgrado y trajeron nuevas ideas y concepciones de como hacer y enseñar la matemática; esto ocurrió en algunas universidadesdeLimaydeprovincias,aúncuandoelmodelo deuniversidadquetenemos,engeneral,nopermitió(yaúnno permite!) mayores progresos, y el progreso quedó en la iniciativa,ysacrificio,depocosprofesores. Dentro de este panorama creemos que la historia de la matemática podría ayudar a conseguir las motivaciones necesarias para optimizar nuestra labor docente, y aún en la investigación, pues la enseñanza‐aprendizaje es un problema de comunicación y ésta se consigue cuando nos entusiasmamos, cuando nos motivamos y hasta cuando sentimos alegría al enseñar. Mi experiencia me dice que el tratar de conocer a la matemática a través de su historia me ayudó (y me sigue ayudando) a optimizar mi labor docente, aúnencondicionesambientalesnomuyfavorables. 42 ConferenciasParalelas 2.2. MiVivenciaenEEGGLL.PUCP Antecedentes En 1960 me inicié como profesor de matemática (en la U. N. Trujillo)dictandoloscursosdearitméticateórica(sistemasde números)yanálisismatemático(IyII),yalañosiguientedicté, además, álgebra moderna y el de topología; a partir de entonces mi mayor ocupación fue el dictar cursos de nivel avanzado en el contexto del nivel de entonces. Mis lecturas eranformales,posiblementemuyformales,puesmiénfasisera sobre todo en la imagen del profesor que “sabe bien” el tema que enseña, de no equivocarme en la pizarra a costa de exponerme a las críticas de mis alumnos. Por esto, y dada mi malaformaciónobtenidaenelpre‐grado,aquellosañosfueron detensionesyavecesdeangustias;deboreconocerquedeun modo natural, posiblemente algo innato en mí, siempre buscaba ser amigo de mis alumnos y de hablarles de cosas colaterales al curso que enseñaba, en especial de algunos pasajesdelahistoriadelamatemática,aunqueadecirverdad, máseranreferenciasbiográficasdealgunosmatemáticospero noentrabaalasideasmatemáticasdesdeelpuntodevistade suhistoriapuesesteenfoquenolosconocíaaún;enestatarea me ayudó mucho los libros de Vera y de Bell citados anteriormente. Pasadoslosañosmiestilodeenseñarseenriquecióconnuevas experiencias y vivencias; los estudios de post‐grado que tuve en el extranjero me dieron la oportunidad de tener como profesores a excelentes matemáticos quienes eran también ejemplares maestros; de todos ellos aprendí, vivencialmente, mucho en el estilo de enseñar. Una importante etapa en mi trabajocomoprofesordematemáticaseiniciócuandoen1989 llegué a ser docente en la Pontificia Universidad Católica del Perú pues el ambiente y el estilo de trabajo era diferente al tenidoenmianterioruniversidad;continuéenseñandocursos denivelmedio‐avanzadoenlaMaestríadeMatemáticaloque me exigió esfuerzo dado el nivel de los alumnos. También en 1989 comencé a trabajar por unos años en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, experiencia que me ayudó en 43 ConferenciasParalelas mi evolución como docente; ya desde mi época de estudiante universitario acostumbraba visitar a algunos profesores sanmarquinos quienes siempre me ayudaron a crecer como estudiante y luego como profesor; esta vivencia trato de mantenerlaaúnenlaactualidad. EnlaPUCPcomencéen1989dictandocursosenlaFacultadde CienciaseIngenieríayenlaEscueladeGraduadosdeentonces, lo que fue una constante hasta 1992, años que fueron de mucho provecho en mi condición de profesor pues puse toda miexperienciayformaciónenprovechodemisalumnospero también aprendí mucho y consolidé áreas matemáticas de mi interés; la calidad buena de mis alumnos me impulsaron a optimizarmitrabajo.Pedagógicamentetratédeestimularmis lecturasconalgunasreferenciashistóricas,mayormenteenel campo del análisis matemático; en esta tarea me ayudó mi vivenciadeestudiarenelexterior.En1992‐2dictéuncursoen EEGGCC lo que constituyó una experiencia no tenida en años anteriores;enefecto,nienlaUNTnienlaPUCPhabíadictado cursosdecálculobásico;además,eralaprimeravezquetenía unnúmerograndedealumnosyportantoteníaqueadoptarla mejor metodología para llegar a ellos. Esta experiencia me abrió un nuevo panorama como docente y sentí el deseo de continuar enseñando cursos en EEGGCC, pues a decir verdad meayudóaconsolidarmiformaciónbásica. 1993.MiPrimerContactoconEEGGLL En los primeros años de los 90’s comenzaba a conocer a la universidad; mi universo era el área de ciencias y me sentía bienubicado.Peroen1993,ademásdeenseñarenEEGGCCy en la Escuela de Graduados se presentó la oportunidad de enseñarenEEGGLL;confiesoqueeláreafísicadeestafacultad casi no la conocía, menos el ambiente en que trabajaría y el tipo de alumnos que tendría. Nunca había enseñado en una facultad de letras; el curso a dictar fue Matemática 4A (de entonces) y de esta manera mis alumnos ya tenían una vivenciaenlauniversidadyportantose“comportaríanbien”. FueunagrataexperienciatrabajarenEEGGLLpuescomencéa 44 ConferenciasParalelas conocer profesores de letras, algunos de las cuales eran reconocidosmaestrosdemuchasgeneracionesyqueteníanun prestigiodentroyfueradelauniversidad. Todo esto fue un estímulo para mí pues en mi juventud tuve cierta vocación por la literatura y por la historia al extremo quemecostótrabajoeldecidirmifuturoprofesionalentrelas cienciasylasletras.Porotrolado,eldictadodeMatemática4A mesirvióparaaprendercomooptimizarunaprendizajedela matemática en jóvenes que no eran de ciencias. Tuve que dominareldeseodedemostrarlosteoremasydarénfasisalas motivaciones y a las ideas y métodos, y sobre todo a las aplicaciones a cuestiones ligadas al área de interés de los alumnos.Desdeestepuntodevistafueunaexperienciabuena; comencé aaprender que ser profesor esalgo más queel solo transmitir conocimientos, aún cuando esto sea hecho muy bien. En el segundo semestre de 1993 fui propuesto para enseñar Matemática1enEEGGLL;uncolega,quehabíasidomialumno, me advirtió (con muy buena intención) que ello sería una no buenaexperienciaparamípueslosalumnosseríancachimbos recién venidos del colegio y que la disciplina no era fácil manejarse.Tuveeldilemacorrespondienteperomicuriosidad me llevó a aceptar el dictado del curso pues consideraba que tenía muchos años de experiencia como profesor, además ya habíaenseñadoenEEGGLL,asíquemesentíconlaseguridad deaceptarelreto. La realidad fue diferente a lo que había imaginado pues en clase siempre había bullas de los jóvenes ante cualquier motivo; no podía equivocarme en mis lecturas so pena de escuchar fuertes silbidos; los jovencitos entraban al salón fumando, algunas parejas entraban abrazados; en fin tal indisciplina era algo que estaba fuera de mis cálculos; ¿qué hacer?...algunasvecessacabadelsalónalosmás“movidos”; otrasvecesyoeraelquegritabapidiendosilencio;desdeluego todoestoerainformadoalaadministraciónrespectiva.Asílas cosas tenían que haber una salida pues estaba en juego mi condicióndeprofesorconmuchosañoscomotal.Laluzvino. 45 ConferenciasParalelas Enlaslecturasdedoshorassiemprehabíaunintervalodeun promedio de 15 minutos, tiempo que aproveché para acercarme a los alumnos para conversar sobre temas varios, sobretodoconversabaconlosjóvenesmás“inquietos”.Laidea fueganarlaamistadylaconfianzaperocuidandodeconservar el respeto debido; así, poco a poco nos fuimos haciendo más conocidos, y cuando había la oportunidad les pedía la disciplinanecesariaparaelprovechodeellosmismos;víaeste camino la calma vino al salón, con las risas cuando todos celebrábamosalgúnmotivo.Estaestrategialausévariosaños despuéspuesseguídictandoMatemática1.Aprendíqueenel salóndeclasenodeberíanhaberbarrerasentreelprofesory sus alumnos; bajo un respeto mutuo la amistad, aunque sea temporal,esalgoquenosmotivapararealizaruntrabajolleno dealegríaydesaludmental.Estoloaprendíparatodalavida. Losañospasaronytuvelaoportunidaddeenseñarhistoriade lamatemáticaenlaMaestríadelaEnseñanzadelaMatemática, curso que también forma parte del interés de esta obra. Por algúntiempodejédeenseñarenEEGGLLperolacoyunturade pocosañosatrásmellevónuevamenteaenseñarMatemática1 y también Matemática 2, tarea a lo que estoy dedicado gran partedemitiempoyenelcomplementomededicoaescribir libroscomounlegadodegratitudalaPUCP.Confiesoqueme siento feliz con mi actual trabajo pues me permite poner mi experiencia,sibienparanoformarnuevosmatemáticos,para queunbuennúmerodejóvenesaprendanlamatemáticadeun modo más atractivo, desterrando un cierto temor a la matemáticaqueparecieraquetraenalgunosestudiantesdela secundaria. 3. AlgunasConclusiones Por lo expuesto en este capítulo podríamos concluir con algunas sentencias que surgen de las reflexiones hechas en relación con el proceso de la enseñanza‐aprendizaje de la matemática, la que fundamentalmente, creemos, depende del niveldecomunicaciónentrequienenseñayquienesaprenden. Asíparaelaprendizajedelamatemáticaproponemos: 46 ConferenciasParalelas Comprender las ideas fundamentales para tener éxitos en lasolucióndelosproblemas. Buscar motivaciones que ayuden a impulsar el estudio comounaactividadplacentera;enestadirección,lahistoria delamatemáticapuedebrindartalesmotivaciones. Procurar un aprendizaje crítico, no memorístico, que permita entrenar a la mente para resolver cuestiones ligadasalaespecialidaddelalumno. Ser constante en el aprendizaje; no desmayar ante las dificultades naturales que ofrece la matemática; esto es crucialenalgunosestudiantes. Procurar aplicar los métodos enseñados en la solución de problemasrelacionadosalasáreasdelosalumnos. Respectoalaenseñanzadelamatemáticatenemos: Enseñares,también,unarte!;procuremosserartistas. Vía los conductos adecuados, enseñemos a pensar; la solucióndeproblemasexigeestahabilidad. Enseñemos de un modo dinámico, en forma activa; los alumnosdebenresolverproblemasdeunmodocontinuo. Elegirbuenosejerciciosyproblemasqueexijanpensar. Ilustraralosalumnosqueelmundomodernodebemucho alamatemática. Desterrarelmitodelprofesordematemática“perfecto”;el salóndeclasedebeserunescenarioendondesediscutan ejerciciosyproblemas;losalumnosyelprofesorproponen ideas algunas de las cuales podrían ser erradas; lo que interesaesllegaralaverdad. Conozcamos bien lo que enseñamos y transmitamos emocionesquehaganvibraralalumno. Motivaryrecuperarpsicológicamentealalumnoquepueda tenerdificultadesensuaprendizaje. 47 ConferenciasParalelas Después de haber enseñado varios años en EEGGLL concluimosque: Debemos concientizar la importancia de la matemática en las diferentes áreas a las que pertenecen los alumnos; nuestraenseñanzadebeestardirigidaaesteobjetivo. Existen alumnos con buenas condiciones para la matemática; en efecto, son alumnos que tienen un rendimientoparejoconexcelentescalificaciones. Losalumnosgustanescucharepisodiosdelahistoriadela matemática. Existenalumnosqueapriorirechazanalamatemática;los debemosrecuperarvíalamotivación. La cultura matemática debe formar parte de la formación delestudiante,quienviveenunaépocaaltamentecientífica ytecnológica. La enseñanza‐aprendizaje de la matemática es un reto que debemos, en forma continua, darle la atención necesaria para optimizarla de acuerdo a los tiempos actuales. Debemos ser másconscientesdelvalordelamatemáticaenlaformacióndel estudiante,aúndeláreadeletras;estaapreciaciónnosayudaa comprendermejoralmundoenquevivimosactualmente. 4. La Historia de la Matemática como Disciplina de Investigación 4.1. La Historia de la Matemática nos puede ayudar a investigar Contodoloexpuestoanteriormentepodríamosinducirquela historia de la matemática se haya constituido en una área atractiva de dedicación, tanto en forma exclusiva como colateralconotrasáreas;escasicomúnquemuchosnotables matemáticos investigadores en la etapa final de sus vidas se hayandedicadoaestahistoria,yalhacerlohayanescritoobras deungranvalordidáctico‐matemático.Podríamospensarque esteeselcaminomáscorrectoparacultivaralahistoriadela 48 ConferenciasParalelas matemática, es decir, tener una buena formación de la matemáticapurayhabercultivadoporañosunadeterminada área, y culminar con un análisis histórico de todo ese conocimiento;ynoalrevésnecesariamente!puesacásecorre elriesgodeenfocaralahistoriadelamatemáticaenunnivel no deseado o en todo caso de hacerse descripciones puramente biográficos (que también tienen su valor en el momento oportuno) y por esto, quizás, la historia de la matemática no es bien entendida y en algunos casos (que ocurren) ella no es valorada ni aceptada. La matemática y su historia o enseñar teorías con las motivaciones históricas es algodiferentey,creo,noesfácildehacerseyestojustificaríala importanciadelprimercaminoseñalado. La historia de la matemática (h.m.) como instrumento de comprensión de los fundamentos y de las dificultades para entender las ideas y los métodos de la matemática, mucho tiene que ver con lo que opinen los matemáticos investigadores,lospedagogos,loshistoriadoresytambiénlos profesores quienes son los que están frente a los alumnos; todos ellos proclaman en los últimos tiempos que la h. m. es una excelente fuente de inspiración, que contribuye a la autoformación y a la orientación del trabajo docente, que vía ella obtenemos la real dimensión cultural que contiene la matemática.Asímismo,lah.m.permitealprofesorenriquecer su enseñanza integrándola dentro del universo científico‐ tecnológico en que vivimos en los últimos tiempos, inclusive integrándola con el mundo artístico y con el área de humanidades. Así,elnotablehistoriadordelamatemáticaE.T.Bellproclamó: “Ningúntemapierdetantocuandoseledivorciadesuhistoria comolasmatemáticas”. Ennuestroambiente,yenotros,avecessepiensaqueserun buen profesor y con un buen conocimiento del curso, es enseñar en forma fría con un método casi personal (solo el profesor habla), con evaluaciones demasiadas exigentes, a vecesmásalládeloque,ycomoseenseña.Yloqueespeor,el 49 ConferenciasParalelas entorno lo avala y felicita estas metodologías. Opuestamente, muchos grandes Maestros matemáticos investigadores fueron tambiéngrandespedagogos(sinhaberestudiadopedagogía)e hicieron de sus lecturas mensajes de motivaciones, de inspiraciones y de gusto por aprender y esto con temas difíciles técnicamente. Aún más, algunos de ellos recomendaron la importancia de la h. m. para obtener la calidad de la enseñanza. Algunos de estos Maestros fueron Poincaré,Kline,Zygmund,Santaló,...;portanto,creemosque el legado que ellos nos dejaron debería ser comprendido y usadopornosotroslosprofesoresennuestradiariatarea.Por otrolado,unaspectotambiéndeseableentodosnosotrosesel nivel cultural que debemos tener los profesores de matemática, y en general, todo profesional que trabaje en la docenciayvinculadoconlamatemática.Lacultura,esdecir,el cultivo de nuestras facultades humanas, mide el nivel intelectual de una institución y de un país. Conjeturo que en esteaspectohaymuchoporhaceraúndeunmodogeneral.En las últimas décadas muchos excelentes libros se han escrito sobre temas en esta dirección (algunos de ellos están en la bibliotecadeCiencias.PUCP)yqueconstituyenobrasquebien nospuedenayudarenlatareaenmención.Asímismo,víalah. m. podemos aprender lacultura habidadesde la época de los egipcios, de los babilonios, y sobre todo de los griegos; así a través del aprendizaje de la matemática vía la historia de las civilizaciones“sentiremos”elnivelculturaldeaquellasépocas, y esto enriquece mucho nuestra visión de la evolución del pensamientomatemático. Aúnmás,yahemosvistolaíntimarelaciónqueexisteentrela matemática y la filosofía, sobre todo en la antigüedad. (Ver [GON.1] y [GON.2]). Los filósofos de aquellos tiempos (Pitágoras, Platón, Aristóteles, . . . ) consideraron al número comoelfundamentodetodaslascosasyalamatemáticacomo propedéutica para entender a la filosofía. Siglos después, el filósofo‐matemático Descartes idealizaba un mundo matemático,esdecir,eluniversofísicosepuedematematizar; sucontribuciónfundamentalfuerelacionarintrínsecamentela geometría con el álgebra como la base de un nuevo 50 ConferenciasParalelas pensamientofilosófico.Dealgúnmodo,sospechamosqueesta relación puede aún mantenerse actualmente dada que tienen algoencomún:pensarconlarazónyconlalógicaenbuscade laverdaddelmundofísico. El historiador‐matemático Morris Kline escribió un hermoso libro (ver [KLI.1]) sobre matemáticas para estudiantes de humanidades.Comienzadiciendo: «Sigoconvencidodequeloscursosdematemáticasdirigidosa estudiantesdehumanidadesdebenhacerverelvalorcientífico yhumanistadelamateria.Aestosestudianteslasmatemáticas propiamentedichaslesparecenpocoatrayentesyhastasosas; pero adquieren su pleno significado cuando se les presentan en su contexto cultural. Las ramas de las matemáticas elementalesfueroncreadasenprimertérminoparasatisfacer necesidades e intereses ajenos a ellas. En el acto mismo de satisfacer esas necesidades cada creación matemática resultó serdeunvalorinestimableparaauxiliaralhombreensutarea deentenderlanaturalezadesumundoydesímismo.» Estas son sabias palabras que reflejan una sensibilidad por el valor de la matemática en la formación de un alumno de humanidades. Para lograr una enseñanza con tales características es necesario que el profesor tenga una suficiente preparación matemática y una necesaria cultura sobre la evolución de la ciencia y las humanidades‐arte a travésdeltiempo;ellibrocontienecapítulosenestadirección, así algunos tienen títulos sugestivos, como los siguientes: “Cartografía del Cielo y la Tierra”, “Las Matemáticas y la Pintura del Renacimiento”, “La aplicación de fórmulas matemáticas a la gravitación”, “el análisis trigonométrico de los sonidos musicales”, “Métodos estadísticos en las ciencias sociales y las biológicas”, “La naturaleza y los valores de las matemáticas”. Como apreciamos, Kline busca dar una formación sobre la relación de la matemática con otras disciplinas; el autor usa, algunas veces, la historia de la matemática como un recurso paraubicareneltiempomuchosdelospasajesqueaborda.Se 51 ConferenciasParalelas podría afirmar que la historia de nuestra ciencia es el lugara donde convergen las ciencias y las humanidades; así podríamosesquematizarestaideaconlasiguientefigura: Filosofía Ciencias Naturales Arte Religión Matemática Educación y su Historia Economía Poesía Literatura Ingeniería “Poderosaeslageometría,aliadaconelarte,irresistible”. Eurípides. “Unamentecultasecompone,porasídecirlo,detodaslas mentesdelasedadesanteriores”. LeBovierdeFontenelle. En esta dirección es oportuno mencionar que los estudiantes de Estudios Generales Letras de la PUCP llevan al menos un cursodematemáticabásicayenalgunasáreasmásdeuno;mi experiencia como profesor en esta Facultad me dice que este modelodeenseñanzadamuchosbeneficiospuespermiteque el alumno consolide su vocación, así como tenga una visión y una formación global, todo lo cual constituye una cultura básica, tan necesaria y deseable en nuestros profesionales en general. Por otro lado, en mi vivencia como profesor en tal Facultad hemos tratado de interrelacionar los fundamentos matemáticos con aplicaciones en áreas de interés a los 52 ConferenciasParalelas alumnos (economía, gestión, negocios, . . . ) y cuando las circunstanciaslopermitieronubicamoslasideasmatemáticas enelespaciohistórico,asícomo(algunasveces)narramoslas biografías de los personajes en relación al tema. Somos conscientes de que hay cosas por mejorar, lo que es algo naturalcuandosetratadehaceralgoenprodelaeducación.El modelodeenseñarlamatemáticaconelrecursodelahistoria es también adaptable al dictado de cursos de especialidad y aúnenelpost‐grado.Así,porejemplo,laenseñanzadelcálculo diferencial e integral se presta para hacerse lecturas muy ilustrativassobrecómofueconcebidodentrodelcontextodel siglo XVII; al proceder así veríamos que la historia de la matemática nos ayudaría a comprender mejor las ideas que con la sola exposición (a veces “fría”) pues conoceríamos aspectos de los trabajos de Newton y de Leibnitz, y de sus predecesores. El camino de usar la historia de la matemática en nuestro aprendizajeyenseñanzapuedeconducirnosalainvestigación dealgoquesurgieraenelanálisishistóricocomosucediócon la creación del análisis no‐estándar por Abraham Robinson (1918‐ 1974) quien descubrió como poner los infinitesimales bajo una teoría consistente. Otra fuente histórica llena de motivaciones son los trabajos de Arquímedes pues es sorprendentequeunserquevivióantesdeCristoseamotivo de estudio e investigación; en esta dirección, Bernard Beauzamy se dedicó a investigar a Arquímedes llegando a publicardiversostrabajoshechosenelperíodo2010‐12;como consolidación de estos trabajos publicó hace poco su libro “ArchimedesModernWorks”(SociétédeCalculMathématique, S.A.)endondeelautorexponenuevosresultadosenbasealas ideas del viejo matemático griego, contribuyendo de esta maneraalprogresodelamatemática;esdecir,ideasoteorías elaboradas en el pasado pueden servir para obtener nuevos resultadosennuestrostiempos. La historia de la matemática es una fuente inagotable de información que puede servir para hacer nuevas investigaciones de todo nivel. Esto podría ser suficiente para 53 ConferenciasParalelas darle su justo valor y que en nuestro país se le cultive y que tengamos nuevos investigadores que la usen como un instrumentodeinspiraciónydeinformación. 4.2. AlgunosLibrossobreHistoriadelaMatemática Muchos excelentes libros sobre historia de la matemática, o sobre temas relacionados a ella, se han escrito en las últimas décadas lo que revela que esta área está mereciendo la atención del mundo intelectual y de un mayor número de lectores; muchos de tales libros han sido escritos por reconocidos matemáticos lo que da lugar a enfoques con consistencia matemática e importantes análisis de las ideas y de las teorías matemáticas. Publicaciones sobre la historia de nuestracienciasehanescritodesdelaantigüedad;asítenemos aProclo(410‐485)aquienledebemosunaobraenquerelata los primeros pasos de la matemática griega. ¿Qué habría pasado si no hubieran habido matemáticos que escribieran sobre la historia de su ciencia?. . . es obvia la respuesta, no conoceríamosmuchodelpatrimoniodelamatemática.Siesto es una verdad, ¿por qué no la usamos con mayor frecuencia? Creoqueestoesunprocesoennuestropaísyllevarátiempo; este escrito pretende contribuir a ese logro. A continuación mencionaremos algunos clásicos libros sobre historia de la matemática; en la biblioteca de Ciencias de la PUCP el lector puede encontrar un número relativamente grande de libros sobreestaárea.Comenzamosmencionandoalostreslibrosde mi primera experiencia que como sabemos son los libros de Vera [VER.1], Bell [BEL.1] y Rey Pastor‐Babini [REY‐BAB], de loscualeslosdosprimerossondelecturageneralperoayudan mucho a conocer la evolución del pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos; la tercera obraesunlibrotécnicoyrequieredeunnivelbásicobueno;en estas condiciones es útil porque tiene argumentos matemáticos de clásicas áreas de la matemática. J. Newman [NEW] es una enciclopédica obra con 6 volúmenes que contienevariadosartículossobrelaevolución,lasaplicaciones y temas relacionados de la matemática; la lectura es amena y recomendable a un lector en general. Para un profesor de 54 ConferenciasParalelas historia de la matemática, Carl B. Boyer [BOY] puede ser un libro útil en tal área aunque la obra es voluminosa (±800 páginas) y esto exige al profesor hacer una selección y adaptacióndellibroalpropiointerésdelprofesor. Segúnelautordice,ellibroescomprensibleporunalumnode matemática de los primeros años de estudios; contiene variados ejercicios. De similar característica es la obra de Howard Eves [EVE] (existe una versión en portugués más ampliada) pero es de nivel matemático más exigente y con ejercicios más difíciles; caería bien para un curso para estudiantes de matemáticas de los últimos años y que tengan vocaciónporlainvestigacióndelamatemáticavíasuhistoria. Comosutítulolosugiere,ellibrodeJohnStillwell[STI]esuna obrasobrematemáticatratadaensucontextohistórico;esun libroquerequieredeunasólidaformaciónbásica;esútilpara hacerinvestigaciónbásica. LaEscuelaRusatambiéncultivalahistoriadelamatemática;el librodeK.Ríbnikov[RIB]esuninteresanteenfoqueendonde lanovedadeselúltimocapítulodedicadoalasmatemáticasen Rusia, tema que en general es poco conocido entre nosotros; puedeserunaobracomplementariaenuncursosobrehistoria de la matemática. Finalmente nos referimos al prestigioso historiador de la matemática antigua el prof. T. L. Heath y su obra [HEA] en donde aborda la obra del gran matemático Arquímedes; contiene un rico material que puede motivar actualesinvestigaciones,comoocurreen[BEA]. Conclusión La historia de la matemática es un magnífico recurso que disponemosparaoptimizarlaenseñanzadelamatemáticaen los distintos niveles educativos; así mismo, es una fuente de motivaciónparaaúnhacerinvestigación! Referencias Bell, E.T. (1948). Los Grandes Matemáticos. Argentina. Ed Losada. 55 ConferenciasParalelas DeGuzmán,M.(1983).SobrelaEducaciónMatemática.Revista de Occidente.26.pp 37‐48. Ver también: http://www/deptos/am/guzman/revistaoccidente/revis taoccid.html Ortiz, J.A. (2005). Historia de la Matemática. Vol 1: La MatemáticaenlaAntigüedad.PUCP. Ortiz, J. A. (2012). Reflexiones sobre la Enseñanza de la Matemática como ciencia Interdisciplinaria. Lima: PUCP_VICIDU. Piaget, J. et al (1978). La Enseñanza de las Matemáticas Modernas.Argentina.AlianzaEditorial. Stillwell, J. (2002). Mathematics and his History. Netherlands. Springer. DIDÁTICANOCONTEXTODETRANSIÇÃO INTERNADOCÁLCULOEOSREGISTROS DEREPRESENTAÇÃOSEMIÓTICA FranciscoRégisVieiraAlves InstitutoFederaldeEducação,CiênciaeTecnologiadoEstadodo Ceará‐IFCE [email protected] Resumo Registramos no Brasil a preocupação com o processo que envolve os estudos do Cálculo, e uma e várias variáveis que pode exigir um período de até dois anos. Ademais, quando consideramos os tópicos em análise complexa, o período de contatocomtaistópicospodevariaratétrêsanosdeestudos noBrasil.Nestetrabalhoindicamosnossaspreocupaçõescom o ensino desses conteúdos, apoiando‐nos na perspectiva sistematizada e prevista na Engenharia Didática – ED. Os pressupostos da ED são empregados a fim de uma 56 ConferenciasParalelas compreensão e sistematização de ações que visam à transmissão didática desses tópicos. Alem disso, a partir da perspectiva da Teoria dos Registros de Representação – TRR assinalamos,pois,elementosefenômenosatinentesaocontato emanipulaçãodeintrincadassimbologiasquenãopodemser desconsideradas pelo expert. Por fim, esperamos indicar elementos que possam fornecer indícios para futuras investigaçõesnestecontextodeensino. Palavras‐chave: Transição interna do Cálculo, Engenharia Didática,Registrosderepresentação,Visualização. Introdução A importância e lugar conquistado, no cenário das investigaçõesemEducaçãoMatemática,emváriospaíses,pela Engenharia Didática – ED é indubitável. Com efeito, a sistematização prevista e sua hierarquizada por etapas, relativas aos fenômenos que surgem e evoluem em torno do sabermatemático,proporcionaaopesquisador/professor,um olharsistemáticoecientificizado,bemcomo,apossibilidadede teorizarpráticaseducacionaisdenaturezadiferenciada. Não obstante, quando nos atemos ao processo de evolução destametodologiadepesquisa,patenteamosqueaprópriaED proporciona/reclama um viés de adaptação e olhar de complementaridade com outras teorias, nomeadamente, a TeoriadasSituações–TDS,aTeoriaAntropológicadoDidático –TADe,assinalamostambémopapelrelevantedaTeoriados RegistrosdeRepresentaçãoSemiótica–TRRS. Pois bem, neste trabalho, discutiremos algumas implicações relativas ao uso, na perspectiva de complementaridade, das teorias ED e TRRS. Ademais, o contexto de interesse e de ensinodosconteúdosquepropomosdiscutirfogeaouniverso dosconteúdosbásicosescolares.Assim,determinadostópicos atinentes ao ensino do Cálculo em uma variável real ‐ CUV, como o Cálculo a várias variáveis e o Cálculo em Variável Complexa‐CVCserãoobservadoseexemplificadosemcertas situações. 57 ConferenciasParalelas Nestesentido, apoiar‐nos‐emos na noção de transiçãointerna do Cálculo (Alves, 2011). Tal perspectiva aponta um olhar pormenorizado referente às mudanças de exigências e do contexto de ensino de certos assuntos que, imprimem a aquisição de certos hábitos e habilidades dos aprendizes que, dependendo da abordagem e significação dos conteúdos, podemsentirmaioresoumenoresdificuldades. Por outro lado, acentuamos que as teorias há pouco mencionadas e, de modo particular, a TRRS, detém certas limitações no sentido de explicar e descrever determinadas operaçõesesignificadosqueextrapolamaprópriaMatemática. Assim, de modo preliminar, feitas às primeiras indicações relativasaoselementosquenospreocupam,passaremos,pois, a apontar, certos elementos que carecem de vigilância, por partedoprofessor,nocontextodetransiçãointernadoCálculo. Outrossim, por que não adaptar outro termo, designado por nóscomotransiçãocomplexadoCálculo,referenteaoperíodo em que os estudantes de graduação em Matemática (licenciatura/bacharelado) passam em contato com os conteúdos do Cálculo e, algum tempo depois, na variável complexaque,doravante,designaremosporCVC. Transição Interna do Cálculo e os registros de representaçãosemiótica Nos cursos de graduação no Brasil, de modo tradicional, os estudantes mantêm contato com o Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável Real ‐ CUV, com duração de aproximadamenteumanoe,naetapaposterior,elesestudam o Cálculo a Várias Variáveis ‐ CVV. O período relativo aos estudos do CVV pode exigir um intervalo que varia entre seis meses (no caso da licenciatura) a um ano (tratando‐se do bacharelado em Matemática). Ademais, um pouco mais adiante, entram em cena os conteúdos de CVC. Neste ultimo caso,teremosfunçõesdotipo . Dopontodevistaformal,cabedestacarqueosfundamentosdo CUV residem na Análise Real (Lima, 2010), enquanto os fundamentos do CVV são oriundos da Análise no IRn (Lima, 58 ConferenciasParalelas 2009).Destemodo,podemosesperarmudanças,sejaasquese referemàsexigênciasconceituaisouaindanoquedizrespeito às argumentações formais inerentes às demonstrações, bem comadescriçãodedefiniçõesformais. As mudanças vinculadas às novas exigências conceituais, em muitos casos, são consequência das novas simbologias e fórmulasquedivisamosemprofusãonocontextodoCVV.Com efeito,indicamosnafigura1oquadrodatransiçãointernado CUVparaoCVV,propostonatesedeAlves(2011).Namesma, divisamos a mudança de simbologias que descrevem os principaisprocessosmatemáticosnoestudodoCálculo. Os elementos que tencionamos colocar em destaque nos processos indicados na fig. 1 referem‐se aos elementos e noções preservadas, na medida em que aumentamos a dimensão do espaço vetorial no qual tomamos certos objetos matemáticos. Não obstante, é possível demarcamos certas ideias e concepções que se tornam inadequadas e sem sentidos, quando aumentamos a quantidade de variáveis e a dimensão. Figura 1. Descrição das mudanças simbólicas no contexto de Transição Interna do Cálculo Ora,nafigura1,indicamosapenasàsmudançasocorridasnos registros de representação semióticas atinentes a teorias específicas. Vale observar, todavia, que, apesar da 59 ConferenciasParalelas possibilidade de se referir ao mesmo conceito, as regras operacionaiseosignificadoconceitualdosresultadosobtidos pode ser bem diferente. Por exemplo, quando buscamos avaliarosseguinteslimites: i lim √ → 1 ; ii 1 , lim → , ; iii lim → 1 , o solucionador de problemas precisa ter adquirido diferentes olhares para o mesmo conceito/objeto matemático que nomeamosporlimite. Com esta preocupação e direcionando nossa atenção aos significados que precisam evoluir, fruto da interação de um sujeito cognoscente com simbologias intrincadas e particulares, sublinharemos, então, algumas noções que nos servirão como referência para interpretação de parte dos fenômenos, sobretudo, os cognitivos, envolvidos em tarefas semelhantesasqueindicamoshápouco. Duval (1995, p. 36) descreve três atividades cognitivas de representação inerentes à semiósis que, de acordo com esse autor, envolvem a formação, tratamento e conversão de registros. No que diz respeito à formação de representações semióticas, falamos da “seleção de um certo número de caracteres de um conteúdo percebido, imaginado ou já representado em função das possibilidades de representação própriasaoregistroescolhido”.(Duval,1995,p,38). Vale sublinhar o caráter de proximidade entre a noção de formaçãoderegistroseasregrasdeconformidadequedefinem um sistema de representação. Neste sentido, observamos as duascadeiasindicadasabaixoderegistrosalgébricos.Tantono CUV como no CVV e o CVC, é comum a simplificação ou substituiçãodesimbologiasquetornamocálculoeaobtenção de resultados mais automática e rápida. Por exemplo, vamos compararosseguintessímbolos: i 60 ; ii , com ∈ . Noprimeirocaso, sabemos ConferenciasParalelas queasérie podemosescrever divergese| | 1⁄1 1, equando| | 1 . Ora, quandocomparamos osregistrosacimaem(i)e(ii),diferenciamosapenasporuma unidadedesignificado.Nestecaso,trocamos ∈ poroutra unidade ∈ . Com o auxílio do software Geogebra, adquirimos um entendimento visual, com ênfase no aspecto topológico do 50 comportamento da soma parcial z n . Neste caso, n 0 antecipando seu comportamento de convergência, que antecede o uso de qualquer teorema formal, depreendemos que seu raio de convergência 1. Na fig. 3 descrevemos alguns comandos básicos do software que permitem atribuir 50 umsignificadográfico‐geométricoaoregistro z n . n 0 Figura 2. Descrição gráfico‐geométrica das somas parciais 61 ConferenciasParalelas Figura 3. Indicação de certos comandos do software Geogebra Na figura 4 trazemos uma discussão que acentua nossa preocupaçãopedagógicacomoprocessodeTransiçãoInterna do Cálculo. Para tanto, sabemos que no CUV, os estudantes mantêmcontatocomoprocessodemudançadecoordenadas cartesianas para as coordenadas polares. Neste contexto, aprendem a determinar áreas por intermédio da seguinte .Poroutrolado,nocontexto expressão 1⁄2 do CVV, pelo intermédio do Teorema 2‐dimensional da mudança de variáveis, aprendem também a usar integrais ,paradeterminaçãodeáreas. duplas Vejamos,pois,nafigura4,asregiõesdelimitadaspelascurvas 1 e 2 cos 2 . Assinalamos a difícil tarefa para um professor transmitir as propriedades da figura abaixo, sem recurso tecnológico. Por outro lado, com apoio do software Geogebra, numa etapa preliminar de investigação, podemos explorar a região abaixo e identificar várias sub‐regiões limitadas entre essas curvas. O caráter dinâmico do software Geogebra e sua dinamicidade permitem extrair e elaborar conjecturasapoiadasnavisualização. 62 ConferenciasParalelas Figura 4. Exemplo no contexto de Transição Interna do Cálculo Vamos considerar, por exemplo, a seguinte função 1, com ∈ ∈ . Ora, com um recurso computacional, devemos obter que , 1 e , 2 . As expressões acima correspondemaparterealeaparteimagináriadafunção . Na figura abaixo, buscamos extrair determinadas propriedades, percebidas por intermédio da visualização preliminardosgráficosexibidosem2De3D.Reparemosainda | 0 ↔ apossibilidadedeidentificarasraízesdafunção| 0,relativoaográficononível 0. Figura 5. Descrição gráfico‐geométrica das partes real e imaginária de uma função na variável complexa 63 ConferenciasParalelas Nafigura5,indicamosapossibilidadedeapreensãovisualde registros gráficos, graças ao aparato computacional. Vale observar que uma função na variável complexa ∈ , . Por determinar uma superfície , , Re , Im ∈ outro lado, diante da complexidade dos registros indicados acima (de natureza gráfica e analítica), alertamos para a impossibilidade da conversão de registros, sem o apoio computacional. Na próxima seção apontaremos alguns elementos atinentes a ED que levam em consideração certos problemas atinentes ao contexto de transição interna e transiçãocomplexadoCálculoqueindicamosnestaseção. EngenhariaDidáticanocontextodaTransiçãoInterna Na medida em que indicamos um problema relevante ou entrave, efetuamos “o primeiro passo para uma Engenharia Didática”(Douady,2008,p.2).Douady(2008,p.2)acrescenta ainda que “a engenharia didática, vista como metodologia de pesquisa,écaracterizada,emprimeirolugar,porumesquema experimental com base em realizações didáticas em sala de aula, isto é, a construção, realização, observação e análise de sessõesdeensino.” Nessa seção, apontaremos problemas de ensino e de aprendizagem vinculados ao contexto da transição interna e transição complexa. Com base e amparo em tal sistemática, delinearemos questões, formularemos determinadas hipóteses,quedetémapossibilidadedesereminvestigadasde modoempírico.Doiselementosdevemserevidenciadosnessa etapa, de acordo com Almouloud (2007, p. 172), a saber: (i) estudo da organização matemática; (ii) análise didática do objetomatemáticoescolhido. Demodoespecífico,concernenteaoitem(i),noatemos:estudo dagênesehistóricaenvolvendoelementosrelacionadoscoma transição interna e a transição complexa; sua funcionalidade atual na Matemática (limitações para o uso didático); obstáculosrelativosaoselementosobservadosnocontextoda transição interna e transição complexa; a estrutura atual do 64 ConferenciasParalelas ensino no e seus efeitos. Relativo ao item (ii) apontamos a relevânciadaanálisedelivrosdidáticos.Umaanálisedelivros deCálculodevecontemplar:opapeldahistóriadosconteúdos; osobstáculosepistemológicosidentificáveisnaabordagemdos autores; antever as possíveis concepções dos alunos (dimensão cognitiva), oriundas a partir da abordagem proposta.Dessemodo,concluímos: ‐ os autores de livros enfatizam o caráter algorítmico no contextodatransiçãointernaetransiçãocomplexa; ‐ a noção de existência matemática é admitida de modo automáticopelosautores; ‐ os aspectos topológicos locais, de vários conceitos são desconsiderados; ‐ a visualização e a significação gráfico‐geométrica das simbologiassãonegligenciadas. Combasenessesentraves,formulamosasseguinteshipóteses de trabalho que não serão objeto de investigação empírica nesse estudo teórico, entretanto, podem ser objeto de interesse em outros estudos empíricos, envolvendo a mesma temáticaououtrotópiconoensinodoCVVoudoCVC: 1ª) Uma mediação condicionada pela abordagem standard dos livros de CVV e CVC não promove a visualização e o entendimentográfico‐geométricolocal; 2ª) Situações de aprendizagem definidas pelos exercícios propostospelosautoresdelivrosdeCVVeCVCpermitem apenas a aquisição de habilidades manipulativas de equações, que incidem ou acarretam em resultados de significadorestrito,semumentendimento. ProblemadaPesquisa Oproblemadeinvestigaçãodizrespeitoaumaabordagemdos conteúdos de CVV e de CVC que levem em consideração os elementospresentesnatransiçãodeumconteúdoparaoutro, quando exige do aluno, por exemplo, o entendimento a 65 ConferenciasParalelas generalização e/ou a mudança de significado, ou ainda as possibilidades de visualização tendo em vista o aumento da dimensão. Tais mudanças são, do ponto de vista matemático, ,com 1. decorrênciadoaumentodadimensão HipótesesdaPesquisa Desde que apoiamos nossas ações nos pressupostos da ED, entãoassumimosdeterminadashipótesesdetrabalhoaolongo detodooprocessoinvestigativo: 1ª) com o uso da tecnologia os alunos revêem suas estratégias empregadas nas atividades que passam a ser nãoapenasapoiadasnotratamentosobreosregistros; 2ª) o software proporciona a exploração de habilidade pertinentes à visualização e percepção no sentido de extrair conclusões para a aplicação no contexto do CUV, CVVeCVC; 3ª) o software proporciona a formulação de sentenças proposicionaisextraídasdavisualizaçãodosconceitosdo CUV,CVVeCVC. 4ª) A visualização impulsiona o entendimento relativo às mudanças de registro, no que concerne à conversão de registrosesobreousodasregrasdeconformidade. ConcepçãoeAnáliseapriori Salientamos que a ED é uma metodologia de pesquisa, sendo assim,torna‐seindispensávelousodeteoriasqueservempara fundamentarnossainvestigaçãoeparaaleitura/interpretação dos dados. Ademais, na análise a priori, determinaremos o controledocomportamentodosalunoseseusentido(Artigue, 1995a, p. 258). Em nosso caso, apontamos que o design de elaboração/estruturação das questões será afetado pela perspectivadaTRRS. Em nosso caso, quando tencionamos elaborar situações‐ problema no contexto da transição interna e transição complexa não podemos desconsiderar os elementos micro‐ didáticosqueintervém,namedidaemque,osoftwarealterao 66 ConferenciasParalelas próprioritmodamediaçãoetransposiçãodidáticadossaberes emsaladeaula(Alves,2013a,2013b). AnáliseaposteriorieValidação Na etapa anterior, imprimimos ênfase em se colocar para funcionartodoodispositivodidático,elaboradotendoemvista um problema. Assim, com dados empíricos colhidos na etapa de experimentação, daremos início a etapa de análise a posteriori. Os dados colhidos na etapa passada, conforme a indicaçãodeAlmouloud(2007,p.177),podemseroriginadas dos questionários, entrevistas semi‐estruturadas individuais, com a intenção de registrar o momento e as declarações produzidaspelosaprendentes,noatualcontatocomobjetos. Por fim, em consonância e dependência das ferramentas técnicasempregadasnafasedeexperimentação,opesquisador deverá confrontar os dados empíricos com os dados e elementosrelevantesnasfasesiniciaisdeumaED.Nafigura6 indicamos exemplos que ilustram o momento de coleta e entrevista com os aprendizes. Do ponto de vista da TRRS, o softwareproporcionaaformaçãodoregistrográfico. Um elemento merecedor de atenção é assinalado por Almouloud (2007, p. 177) ao mencionar que “o objetivo é relacionar as observações com os objetivos com os objetivos definidos a priori e estimar a reprodutibilidade e a regularidade dos fenômenos didáticos identificados”. Não obstante, embora patenteamos o cuidado indicado por este autor, alertamos a tímida produção de pesquisas relativas ao CVV e CVC. Tais restrições, no que concernem aos dados de cunho epistemológico e didático podem proporcionar certa resistêncianacomunidadecientífica. Consideraçõesfinais Reconhecidamente, o momento de transição dos estudos dos conteúdos de CUV, CVV e CVC requerem vigilância, por constituir um cenário no qual registramos a mudança de significação, diferenças conceituais requeridas no tratamento 67 ConferenciasParalelas de registros, bem como sérios entraves no que concerne à formação e coordenação de registros de representação semiótica. Nesta conferência, buscamos indicar, de modo preliminar, os possíveis entraves, no contexto do ensino da transição interna e transição complexa do Cálculo. Tais elementos aindatêm sidoconsideradosde maneiratímida na literaturaespecializadae,nocontextodoensinodoCVC,ainda nãoforamobjetodereflexãoporpartedosespecialistas.Desta maneira, indicamos elementos que detém aspectos possíveis de impulsionar o olhar de especialistas em futuros estudos (Alves,2012a;2013c).Porfim,devemospermanecervigilantes àsnovasdemandasdoensino(Atiyah,2002). Referências Alves, Francisco. R. V. Aplicações da Sequência Fedathi na promoção das categorias do raciocínio intuitivo no CálculoaVáriasVariáveis.Tese(DoutoradoemEducação) –UniversidadeFederaldoCeará,Fortaleza,2011,p.353p. Disponível em: http://www.teses.ufc.br/tde_biblioteca/login.php Alves, Francisco. R. V. Exploração de noções topológicas na transiçãodoCálculoparaaAnáliseRealcomoGeogebra. In:REVISTADOINSTITUTOGEOGEBRAINTERNACIONAL DE SÃO PAULO, 1, CLXV‐CLXXIX, 2012, Disponível em: http://revistas.pucsp.br/index.php/IGISP/index. Acessadoem:04deAbrilde2012. Alves, Francisco. R. V. Visualizing in Polar Coordinates with Geogebra. In:Geogebra International of Romania, 2013a. p.21‐30.Disponívelem: http://ggijro.wordpress.com/issues/vol‐3‐no‐1/ Alves, Francisco. R. V. Exploring L´Hospital Rule with the Geogebra.In:GeogebraInternationalofRomania,2013b. p.15‐20.Disponívelem: http://ggijro.wordpress.com/issues/vol‐3‐no‐1/ 68 ConferenciasParalelas Alves,Francisco.R.V.Visualizingthebehaviorofinfiniteseries and complex power series with Geogebra. In: Geogebra InternationalofRomania,2013c.p.25‐40. Alves, Francisco. R. V. Reconhecimento de padrões gráficos com o software Geogebra: o caso das convergência pontualeuniforme.In:RevistaTEAR‐RS,v.nº2013,p. 1‐15..Disponívelem: Artigue, Michelle. Ingénierie didactique, In: BRUN, J. Didactiques des Mathématiques, Paris: Delachaux et Niestlé,1996,p.243‐264. Artigue,Michelle.DidacticalDesigninMathematicsEducation. In: Proceedings of NORMA08 – Nordic Research in MathematicsEducation,2009. Atiyah, Michael. (2002). Mathematics in the 20H Century. In: BulletinLondonMath,vol.34:1‐15,2002.Disponivelem: http://www.math.tamu.edu/~rojas/atiyah20thcentury.p df 69 ReportesdeInvestigación ReportesdeInvestigación 70 ReportesdeInvestigación CUASIEMPIRISMOYCONSTRUCTIVISMO SOCIAL:ALGUNOSASPECTOS EPISTEMOLÓGICOSDELA ETNOMATEMÁTICA ChristianCamiloFuentesLeal UniversidadDistritalFranciscoJosédeCaldas [email protected] Resumen EnelprocesodeconsolidadodelaEtnomatemáticacomouna línea de investigación en educación matemática, ha sido necesario preguntarse cuáles son las posturas históricas, educacionales, políticas y epistemológicas de ésta, en el presente documento mostrará cómo los planteamientos que hace tanto el constructivismo social como el cuasi empirismo pueden aportar para la construcción de una postura epistemológica propia de la Etnomatemática, para esto se buscó información en la cual se presentara la postura epistemológica de la Etnomatemática y se analizó cómo esta posturasepodríarelacionarconloselementosplanteadospor constructivismosocialyelcuasiempirismo. Palabras clave: Epistemología, Constructivismosocial,Cuasiempirismo. Etnomatemática, Presentacióndelproblema La Etnomatemática como línea de investigación en educación matemática, ha evolucionado históricamente, ésta se ha enriquecido y complejizado cada vez más, en el proceso de construcción de esta línea es necesario caracterizar y comprender cuál es su propuesta epistemológica, reflexionar sobre ¿cómo se entiende la construcción el conocimiento? o ¿quésonlasmatemáticasparaéstalínea?,variosautorescomo D´ambrosio (2002) y Kluber(2007) han hecho propuestas al respecto, en estas propuestas se presentan ideas sobre el paradigma cuasi empírico y el constructivismo social, sin 71 ReportesdeInvestigación embargonosehareflexionadosobrelasrelacionesentrecada uno de éstos elementos, pues a partir de la comprensión de estasrelacionessepodrá,identificarconmayorprofundidadla propuestaepistemológicadeestalíneadeinvestigación. Marcodereferenciaconceptual Desde finales del siglo XIX e inicios del siglo XX, después de másdedosmilquinientosañosdehistoriadelasmatemáticas concebida como una ciencia fija, estática, monolítica y universal, como un sistema de verdades que han existido desdesiempre,Platónconsufrase“bastalarazónparacaptar larealidad”capturaengranmedidalaideaqueseteníasobre las matemáticas, sin embargo por paradojas encontradas por matemáticoscomoGeorgeCantorenelmodeloEuclídeodelas matemáticas(aprioríyestáticas),surgióelperiodollamando lacrisisdelosfundamentos,enestemomentofuecrucialenla historia de las matemáticas, con base en las contradicciones encontradas en la concepción y estructura de la matemáticas del modelo Euclídeo o Platónico surgieron propuestas alternativas de la naturaleza de las matemáticas, surgieron nuevasformasdefundamentarlas,hubointentoslogicistasde Russel,formalistasdeHilbert,intuicionistasdeBrouwer,éstos intentostrataronderescatarpartedelasteoríasclásicaspara darlejustificaciónyestructurapropiaalasmatemáticas,todos estosintentosfracasaron,ylasmatemáticasenlugardeseguir buscando su afirmación a partir del modelos propuesto por Euclides de la ciencia por excelencia, acepto el enfoque empiristaelcualfuefundamentadoporautorescomoPopper, modeloqueposteriormentefuediscutidoenlosañossetentas con las ideas de planteadas por autores (Lakatos, 1987) y (Wittgenstein,1988)generandodelmodelocuasi‐empíricode lasmatemáticas. La propuesta cuasi‐empírica de las matemáticas hace un llamadoanosóloconcentrarseenlosaspectosformalesdelos fundamentos de las matemáticas, sino incluir el estudio de la práctica matemática, la manera en que los matemáticos realmente proceden y el cómo esa práctica se relaciona con 72 ReportesdeInvestigación otras ramas del conocimiento, además propone que para entender y explicar las matemáticas no basta con estudiar únicamente su estructura lógica ni su lenguaje sino que hay queestudiarsuprácticaenelcontextoreal,laformaenquese aplicanlasmatemáticas,cómolasenseñanlosprofesoresylas aprendenlosestudiantes,suhistoria,ysusparadigmas,eltipo de retórica que se emplea en ellas y el papel que juega el conocimiento matemático en las distintas sociedades y culturas. Como crítica la propuesta de matemáticas modernas (mediadaspormodelosEuclídeosyempiristasdelanaturaleza delasmatemáticas)yapartirdelmodelocuasi‐empíricodelas matemáticas, surgen diferentes enfoques en educación matemática, uno de ellos es el enfoque sociocultural en educación matemática, la Etnomatemática es una línea de investigación que pertenece a este enfoque, ésta surgió en la décadadelosochentacomounmovimientoqueseoponeala implementacióndecurrículoscolonialistasenpaísesenvíade desarrollo,puesestosdeslegitimanlossaberespropiosdelas comunidades, esta línea de investigación combate el eurocentrismo y la idea de unicidad y universalidad de las matemáticas, para esta línea estas concepciones han sido impuestas con fines de dominación y aculturación de comunidades diferentes a la occidental, la Etnomatemática propone las matemáticas como un producto cultural y una construcciónsocial,todaslascomunidadeshangeneradossus propiasmatemáticasdeacuerdoasusnecesidades,interesesy cosmovisión. Metodología Paralaidentificacióndelapropuestaepistemológicaquehace la Etnomatemática y la relación de éstas con diferentes propuestas epistemológicas y filosóficas, fue necesario haber una búsqueda bibliográfica y posterior análisis de triangulación de la información relacionada con la postura epistemologíadelaEtnomatemática. 73 ReportesdeInvestigación Análisisdedatos En el proceso de la construcción de las categorías de análisis delainformaciónrecolectada,emergierontreselementosque estaban presentes en los diferentes documentos que presentabanlapropuestaepistemologíadelaEtnomatemática, por un lado está el modelo cuasi empírico y por el otro el constructivismo social, de igual forma se identificaron dos cuestionamientos que generalmente estaban presentes en los diferentes textos, estos eran las concepciones sobre el conocimiento y sobre las matemáticas, a continuación se mostrará el esquema de triangulación que fue implementado paraelanálisisdelainformaciónrecolectada: Categoría Propuesta Modelocuasi‐ empírico(relación epistemológica) Constructivismo social(relación filosófica) Concepciones sobreel conocimiento Concepciones sobrela matemática Lakatos(1987), Wittgenstein (1988) Lakatos(1987), Kim(2001) Ernest(1991, 1994) Wittgenstein (1988) Conbaseenlatabulacióndelainformaciónsepudoencontrar queporunladolacategoríadelmodelocuasiempíricoestaba vinculadoconunaposturaepistemológicadelasmatemáticas ylacategoríadeconstructivismosocialestabarelacionadacon unaposturadelafilosofíadelasmatemáticas,deestaformase puede identificar que en el proceso de construcción de una planteamiento epistemológico de la Etnomatemática es necesarioelusodemodelosfilosóficos. 74 ReportesdeInvestigación Por otro lado, se evidenció que los planteamientos del constructivismo social como postura filosófica de las matemáticas presentan están relacionados tanto con los planteamientos tanto del cuasi empirismo como de la Etnomatemática, pues autores como Kim (2001) caracterizan alconstructivismosocialcomounapropuestahaceénfasisen laimportanciadelaculturayelcontextoparacomprenderlo queocurreenlasociedadylaconstruccióndeconocimientoa partir de esta comprensión, además autores como Ernest (1991),presentaalconstructivismosocialcomounacorriente filosófica,dondeelindividuoyelconocimientodeladisciplina son mutuamente interdependientes y se van construyendo mediantelainteracciónpersonalpormediodelamediaciónde diferentesrepresentacioneslingüísticas,simbólicaseicónicas, desdeelpuntodevistadelconstructivismosocial,eldesarrollo del conocimiento matemático y la comprensión las matemáticas se derivan del dialogo y las negociaciones interpersonales. Conclusiones D´ambrosio (2002) presenta la Etnomatemática como una líneadeinvestigacióntransdisciplinarrelacionadaconcampos del conocimiento como las matemáticas, la antropología, la sociología, el lenguaje, la pedagogía, la filosofía, entre otros, dotada de dimensiones conceptuales, históricas, cognitivas, educacionales, políticas y epistemológicas propias, con respecto a esta última, la Etnomatemática toma al conocimiento,comounenteemergentedelavidasocialdiaria ligadoalossujetosdeungrupo,comounaformadevidaoun estado mental de éstos, idea que está relacionada con la propuesta cuasi‐ empírica de la matemática, ya que para autores como Harada (2005) el cuasi empírico ofrece una nueva imagen de las matemáticas, también del conocimiento en general, del ser humano y de la cultura, pues ha traído consigo un cuestionamiento de algunasdicotomías en las que descansa nuestro pensamiento (por ejemplo, lo empírico y lo formal,loanalíticoylosintético,loaprioriyloaposteriori,el descubrimiento y la justificación, etc.) que suelen ser 75 ReportesdeInvestigación aceptadas como si fueran universales, necesarias y hasta eternas,conlocualnosobligaarevisarnuestraconcepcióndel conocimiento,delarealidadydenosotrosmismos. De igual forma autores como Ernest (1991,1994) (autor perteneciente a la postura constructivista social de las matemáticas)mencionaquelatesisconstructivistasocialestá relacionada con la creencia que la matemática es una construcción social, un producto cultural, “inexacta” como cualquier otra rama del saber, lo cual coincide con lo comentado por Lakatos (1987) (autor perteneciente a la posturacuasiempíricadelaepistemologíadelasmatemáticas) quienconcibelasmatemáticascomounaactividadsocialmente construida, y por lo tanto, práctica, falible y situada, el autor menciona que estos métodos varíandeacuerdoal lugar ydel tiempo,pueslasdiferentesculturasgeneranformasdevalidar y construir el conocimiento, dichas características hacen considerar como verdadera la hipótesis que efectivamente tanto el enfoque de la filosofía de las matemáticas (constructivismosocial),comoelenfoqueepistemológicocuasi empíricodelasmatemática,estánrelacionadosconlapostura epistemología la Etnomatemática presente en D´ambrosio (2002)yKluber(2007). Finalmente se podría considerar que existen algunos puntos de coincidencia epistemológicas (cuasi empírico) y filosóficas (constructivismo social) de las matemáticas, que pueden ayudan a consolidación epistemológicade la Etnomatemática, deacuerdoalanálisisdelainformaciónrecolectadaalgunosde estoselementosson: La matemática es una actividad primariamente textual y simbólicaysonnecesariamentesimbólicas La conceptos y contenidos de las matemáticas son constitutivamentedialógicosydialecticos Laepistemologíaymetodologíadelasmatemáticaspueden ser tenidas en cuenta de una manera explícita y constitutivamente dialéctica, haciendo frente tanto a la 76 ReportesdeInvestigación justificacióndelconocimientomatemáticoobjetivocomoa laratificacióndelconocimientopersonal. Las matemáticas son construidas, no descubiertas y contextuales,nofundacionales,esteenfoqueexploraellado humanodelpensamientomatemático Referencias D´ambrosio,U.(2002).Etnomatemática:eloentreastradições eamodernidade.BeloHorizonte:Autentica. Ernest, P. (1991). The philosophy of mathematics education. Abingdon:Routledge. Ernest, P. (1994) Mathematics, education, and philosophy: an internationalperspective.Washington:Falmer. Harada, E. (2005). El cuasi‐empirismo en la filosofía de las matemáticas.RevistaElementos,15. Lakatos, E. (1987). Matemáticas, ciencia y epistemología. Madrid:Alianza. Kim, B. (2001). Social constructivism.In M. Orey (Ed.), Emerging perspectives on learning, teaching, and technology.AvailableWebsite: http://www.coe.uga.edu/epltt/SocialConstructivism.htm Klüber,T.(2007)modelagemmatemáticaeetnomatemáticano contexto da educação matemática: aspectos filosóficos e epistemológicos. Ponta grossa: Universidade estadual de pontagrossa. Wittgenstein, L. (1988). Investigacionesfilosóficas. Barcelona: Crítica. 77 ReportesdeInvestigación ALGUNASRELACIONESENTRELA ETNOMATEMÁTICAYLAEDUCACIÓN MATEMÁTICACRÍTICA ChristianCamiloFuentesLeal UniversidadDistritalFranciscoJosédeCaldas [email protected] Resumen La Etnomatemática y la Educación Matemática Crítica (EMC), son líneas de investigación en educación matemática que han emergido en las últimas décadas, en su proceso de construcción y consolidación se emergido la necesidad de identificar sus características, trabajo que se venido haciendo desde los años ochentas a partir del planteamiento de las posturas epistemológicas, filosóficas, políticas y escolares de cada una de éstas líneas, en este proceso de es necesario reflexionar sobre las concepciones presentadaspor cada una de éstas líneas y cómo estas se pueden relacionar, pues al establecer relaciones entre las líneas podrán enriquecerse y complejizarse mutuamente, para dicha tarea se hizo una búsqueda y posterior triangulación de escritos de autores pertenecientestantoaéstaslíneas. Palabrasclave:Etnomatemática,Educaciónmatemáticacrítica, Análisis y reflexión sobre la enseñanza, Paradigma interpretativo. Presentacióndelproblema El enfoque sociocultural y el sociopolítico, han aportado a la compresiónylatransformacióndelasprácticaseducativasen educaciónmatemática,hanpuestoareflexionarydiscutirala comunidad académica aspectos cómo ¿para qué educar en matemáticas?, ¿cómo el contexto social del estudiante puede serunmediadorenelaprendizajedelasmatemáticas?,¿cómo las matemáticas pueden a portar a la construcción de un ciudadano crítico?, ¿cómo las matemáticas pueden generar 78 ReportesdeInvestigación identidad?, usualmente se considera el primer enfoque está relacionado con la enseñanza de las matemáticas para minorías(Etnomatemática)yelsegundolaformaciónpolítica del estudiante (EMC), este tipo de caracterización genera la suposiciónqueestosenfoquestienenconcepcionesyobjetivos diferentes,locualgeneraunainterpretaciónsesgadadeéstos, por medio del presente escrito se pretenderá mostrar estos dos enfoques y especialmente las líneas de investigación de EtnomatemáticayEMCtienenmuchoselementosencomúny que pueden aportar significativamente a la comprensión y transformacióndenuestrasprácticaseducativas. Marcodereferenciaconceptual La caracterización del de los enfoque sociocultural y sociopolítico, son un elemento decisivo para relacionar las líneas de investigación de Etnomatemática y EMC, sin lugar a dudas estos dos se distancian totalmente la enseñanza tradicional, memorística y algorítmica de las matemáticas, pues estos enfoques preocupan por las características culturalesdelosestudiantes,locualconstituyeuncambioenla formadeconsideraralosestudiantes,yanocomoentesvacios en los cuales hay que depositar el conocimiento, sino como sujetos que llevan al aula conocimientos producto de su contexto social, Chronaki (2013) caracteriza al enfoque sociocultural, como el que se ha preocupado por abordar las cuestiones de la interacción social en el aula, del estudio de aprendizaje de las matemáticas, las interacciones entre profesoresyalumnosyeltipodeintervencionesquefomentan la enseñanza de las matemáticas y la construcción de los estudiantes del conocimiento matemático, en este enfoque la escuela francesa contribuyó de manera significativa a la conceptualización de la naturaleza del aprendizaje de las matemáticas y la enseñanza en el aula, algunas de estas contribuciones están relacionadas con la noción de transposición didáctica de Chevallard, la teoría de las situacionesdidácticasdeBrousseauyelconceptodeingeniería didáctica de Artigue, con respecto al enfoque sociopolítico, Chronaki (2013) menciona para este enfoque el papel 79 ReportesdeInvestigación principal de la formación en matemática es la formación en ciudadanía, los educadores de matemáticas, son los generadoresdeprocesosdealfabetizaciónmatemática,conel fin de formar personas participantes activos, reflexivos y críticos en nuestra sociedad a través de las matemáticas, ademásesteenfoqueafirmadequelaeducaciónmatemáticaes inevitablemente política, como cualquier forma de educación, pues reproduce las estructuras de la sociedad en la cual está inmersa, además de crear crea conciencia e ideologías en de los estudiantes, la autora sitúa las líneas de investigación de EtnomatemáticaylaEMCenaesteenfoque. Una vez identificas cada uno de estos enfoques, es necesario comprenderlascaracterísticadelaEtnomatemáticaylaEMC, la primera surgió como movimiento en África y en Brasil debidoalapreocupaciónporelefectonegativoquetienenlos programascurricularesimportadostienenenelaprendizajede lasmatemáticaenlosestudiantes,éstemovimientobuscaun currículo de matemáticas relacionado con la cultura, los artefactosculturalesylasactividadesdelascomunidadesalas cualespertenecen los estudiantes, ademáspropone hacer uso de la culturay de la historia matemática como unfactor que ademásdefacilitarelaprendizaje,tambiénbuscaaumentarla confianza,elautoestimadelosestudiantesydesusculturasde origen, además pretende luchar contra el colonialismo construido por el sistema educativo a través del currículo y prácticas en el aula, muestra los saberes matemáticos inmersos en diferentes artefactos y sus los métodos de producción,loscualespodríanserexploradosyre‐descubierto porlosestudiantes. PorotroladolaEMCsevinculaalaformacióndeciudadanos que pueden participar activa y responsablemente en la toma de decisiones exigidas vida personal y colectiva, éstas ideas surgieronapartirdelateoríacríticadeHabermas,laEscuela deFrankfurtydelapropuestapedagógicadeFreire,estalínea deinvestigaciónmencionanqueelusodelasmatemáticashan sido responsable de la creación de desigualdades y diversas formas de discriminación, por ejemplo Skovsmose (1992) 80 ReportesdeInvestigación menciona que la matemática ha funcionado históricamente como un poder simbólico y en ocasiones ha servido para limitarlaaplicacióndelacríticaendiferentescontextos. Metodología Lametodologíaconsistióenlabúsquedadedocumentaciónen dondeserelacionaranelementosteóricosyprácticostantode laEtnomatemáticacomodelaEMC,posteriormentepormedio delatriangulacióndelainformaciónseidentificaronalgunas categoríasdeanálisisqueayudaronaestablecervínculosentre estaslíneasdeinvestigación. Analisisdedatos Categoríasde relación Usodecontextos reales Autores Relación Skovsmose& Valero(2012), Bishop(1999), Lizarzaburu& Zapata(2001) TantolaEtnomatemáticacomo laEMC,aboganporlainclusión desituacionesrealeslos estudiantesenlaenseñanzade lasmatemáticas,estaideasurge delosplanteamientosdela educaciónmatemáticasrealista delprofesorHansFreudenthal, enlacualseinvitaareemplazar lavisióndelestudiantecomo receptorpasivodeuna matemáticaprefabricada,porla deunsujetoqueparticipa,junto conotros,concibiendola matemáticacomounaactividad humana. 81 ReportesdeInvestigación Papelsocialde lasmatemáticas Keitel(1989), Mora(2005), Skovsmose (1999), D´ambrosio (1985), Knijnik(2006, 2012) Re conceptualizació ndela educación matemática Skovsmose& Valero(2012), Bishop(1999), Monteiro (2005) Matemática, Alfabetización Frankenstein (1983), D´ambrosio (1998), Knijnik,G. (2006). 82 EnMora(2005),Skovsmose (1992)yKnijnik(2012) proponenquelasdoslíneasde investigaciónbuscan reflexionarsobrelaimportancia delasmatemáticasenla construccióndelasociedadmás justayequitativa,decómolas matemáticasestánpresentes enelprocesoderesoluciónde problemasrealesydelefecto queéstaspuedentenerensu contextosocial. Chronaki(2013) mencionaque lasdoslíneasdeinvestigacióny engeneralenenfoque sociopolíticoeneducación matemáticaaboganporuna reflexiónyreconceptualización dequéentendemospor matemática,cómose construyenlasmatemáticas, cuáleselpapeldelos contenidosydelcurrículo,cuál elpapeldelestudiante,del maestro,delaescuelaydela mismaeducaciónmatemática. Autores como D´ambrosio (1998) propone el término matemácia como la capacidad de interpretar y manejar los signos y códigos y proponer modelos y el uso en la vida cotidiana,conceptoqueasuvez está relacionado con la idea de alfabetización matemática propuesta por Skovsmose (1999) la cual consiste en la comprensión crítica de la realidad por medio de las matemáticas ReportesdeInvestigación Liberacióny apoderamiento Skovsmose& Valero(2012), Gerde(1985), Knijnik,G. (2006). Robles(2010)mencionaquela Etnomatemáticabuscaliberara laspersonasdelavisión eurocéntricayuniversaldelas matemáticas,pueslas matemáticassonproducidasde acuerdoauncontextohistórico, social,culturalyeconómico, estasnosonneutrasy reproducenlasrelacionesde poderenlascualesestán inmersas,elementoque tambiénmencionaautores comoSkovsmose(1999)quien hainvestigadoenlalíneade EMC. De acuerdo a la información encontrada se puede mencionar quelaEtnomatemáticaylaEMCserelacionanenlossiguientes aspectos: La Etnomatemática, además de identificar y comprender los aspectosmatemáticosdediferentescomunidades,serelaciona por un enfoque sociopolítico de las matemáticas (EMC), pues lasdosbuscandelfortalecimientodelascomunidadesapartir delavalorizacióndeconocimientospropios. Las dos líneas adquieren yapropian elementos teóricostanto delaEscueladeFrankfurtcomodelapropuestadeeducación matemática realista de Freudenthal, buscan potenciar actitudesreflexivasycríticaslasmatemáticasylaimportancia de ésta en sus prácticas sociales, además estas líneas de investigación presentan la educación como un facilitador de construccióndelatolerancia,lapazylaigualdad. Hay una relación de las dos líneas con respecto al papel que tiene la aplicación de los conocimientos matemáticos en la sociedad y la manera de cómo esta influencia la toma de decisionesdesdeelcontexto,tantolaEtnomatemáticacomola EMC busca generar una mayor reflexión y concientización 83 ReportesdeInvestigación sobre las maneras por las cuales los contenidos matemáticos sonconstruidosendiferentesgrupossociales. Lasdoslíneasdeinvestigaciónpretenderserunmedioporel cual se adquieran competencias críticas, para esta labor es necesario que el profesor con un sea un ente activo en el contexto escolar, el cual pueda lograr un ambiente favorable para el debate y la interacción entre diferentes maneras de explicar y entender, y note, las relaciones de dominación, resistencia,yaceptacióndelossaberesdelosestudiantes. Referencias Bishop, A. (1999) Enculturación matemática: La educación matemática desde una perspectiva cultural. Barcelona: Paidós. Chronaki,A.(2013).Contrastingthe‘Socio‐cultural’and‘Socio‐ political’ Perspectives in Maths Education and Exploring their Implications for Teacher Education. Recuperado de http://math.unipa.it/~grim/EChronaki11.PDF D'Ambrosio,U.(1985).Ethnomathematicsanditsplaceinthe historyandpedagogyofmathematies.FortheLearningof Mathematics,5(1),44‐48. Frankenstein, M. (1983). Critical mathematics education: An application of PauloFreire's epistemology. Journal of Education165(4),315‐339. Gascon,J.(2001).Incidenciadelmodeloepistemológicodelas matemáticas sobre las prácticas docentes. Revista latinoamericana de investigación educativa, 4 (2) , 129‐ 160. Gerdes,P.(1985).Conditionsandstrategiesforemancipatory mathematicseducationinundevelopedcountries.Forthe LearningofMathematics,5(1),15‐20. 84 ReportesdeInvestigación Keitel, C. (1989). Mathematics, education and society. Paris: UNESCO, Division of Science, Technical and EnvironmentalEducation. Knijnik, G. (2006). Educación matemática, culturas y concocimientosenelmovimientosintierra.Santadusul: Edunisc. Knijnik, G. (2012). Etnomatemática em movimiento. Belo Horizonte:Autentica. Lizarzaburu, A. & Zapata, G. (2001) Pluriculturalidad y aprendizajedelasmatemáticasMadrid:Morata. Monteiro,A.(2005).CurrículodeMatemáticas:reflexõesnuma perspectiva enomatemática. VII Encuentro de Educación Matemática.Tunja:Asocolme,23‐26. Mora, D. (2005). Didáctica ctítica, educación crítica de las matemáticasyetnomatemática.Lapaz:Campoiris. Robles,S.(2010).As(im)possibilidadesdaetnomatemáticano ensinoescolar.Bauru:Universidadesestadualpaulista. Skovsmose, O. (1992). Democratic competence and reflective knowing in mathematics.Learning of Mathematics 2 (2) , 2‐11. Skovsmose, O. (1999). Hacia una filosofía de la educación matemáticacrítica.Bogotá:UniversidaddelosAndes. Skovsmose, O. & Valero, P. (2012) Educación matemática crítica. Una visión sociopolítica del aprendizaje y la enseñanzadelasmatemáticas.Bogotá:Universidaddelos Andes. 85 ReportesdeInvestigación MEDIACIONDELSOFTWAREGEOGEBRA ENELAPRENDIZAJEPROGRAMACIÓN LINEALENALUMNOSDELQUINTO GRADODEEDUCACIÓNSECUNDARIA JudithBeatrizBelloDurand,MarianoGonzalez [email protected] Resumen Investigamos el aprendizaje de la Programación Lineal (PL) mediada por el software GeoGebra con alumnos del quinto gradodesecundaria,estetemaapesardeestarenelD.C.N.y textos escolares no suele enseñarse.siendo evidenciado por Malaspina(2008)yMoreno(2011),posteriormenteMorenoy Reaño(2011)loenseñaronusandolápizypapel,Paiva(2008) usó calculadoras gráficas y el programa Solver, Sánchez & López (1999) y Coronado (2012) usaron diseños y aplicaciones interactivas en internet. Nosotros usamos GeoGebra como mediador del aprendizaje de la PL logrando que los alumnos manipulen,conjeturen,esbocen y planteen posibles soluciones al construir el conocimiento sobre este tematransitandoporlosregistrosderepresentaciónsemiótica verbal,algebraicoygráficodemaneranaturalyespontánea,de ahíqueelmarcoteóricoutilizadoeslaTeoríadeR.R.Semiótica de Duval. La experiencia evidenció habilidad y destreza al resolver problemas, modelación de situaciones reales, precisión en la intersección de regiones sin distorsiones, graduación de escalas y visualizaron las representaciones algebraicas de las inecuaciones a través de la ventana de GeoGebramostrandoasíuntránsitocoordinadoyadecuadode registros.El método cualitativo se basó en Hernandez, Fernandez&Baptista(2007) Palabras clave: Programación Lineal, Registros de Representación semiótica, tratamiento y conversión, GeoGebra. 86 ReportesdeInvestigación LaProblemática En vista a la realidad que mencionamos en el resumen del presente RI y teniendo una Falta de uso de recursos tecnológicos como soporte gráfico asi como la Falta de escenarios tecnológicos en clases de matemáticas nos propusimos la siguiente pregunta de investigación:¿La mediacióndelsoftwareGeoGebrafavoreceelaprendizajede Programación Lineal transitando por los Registros de Representación: verbal, algebraico y gráfico en alumnos del quintogradodeeducaciónsecundaria? ObjetivoGeneral: Diseñar una propuesta de actividades mediadas por el software GeoGebra que favorece el aprendizaje de la Programación Lineal y que permita a los alumnos transitar entre los Registros de Representación verbal, algebraica y gráficoalresolverproblemascontextualizadosenalumnosde quintogradodeE.S.delaI.E ObjetivoEspecifico: ConstruiractividadesmediadasporelsoftwareGeoGebrapara el aprendizaje de Programación Lineal que favorezca la solucióndeproblemascontextualizados. Analizar el tránsito de registros de representación verbal, algebraicoygráficoalresolverproblemascontextualizadosde ProgramaciónLineal Teoria de Registros de Representacion Semiótica. Duval (1995) Lasrepresentacionessonproduccionesconstituídasporeluso de signos enunciados en lenguaje natural, forma algebraica, formagráficayformafigural.EnmatemáticalosRRSdebende ser usados en todas las actividadades matemáticas y no sólo serutilizadasparafinesdecomunicación. Existen dos terminologías que son muy usadas en la investigacionyson: 87 ReportesdeInvestigación Tratamiento: Es una transformación que se efectúa en el interior de un mismoregistro. Conversión: Es una transformación que hace pasar de un registro a otro, requieredesucoordinaciónporpartedelsujetoquelaefectúa Experimento: Debidoaquelainvestigaciónescualitativaestasebaasenuna toma de muestars pequeña de ahí que trabajamos de cada salón de 5to con dos alumnos, finalmente quedo solo una sección por motivos ajenos a nuestro trabajo y observamos soloalosalumnosdel5toBconrespectoaltrabajoefectuado desupropiosalón. 88 ReportesdeInvestigación Diseñamos 5 actividades y tres actividades de enlace. En las actividades fusionamos la adquisición de conocimientos básicos de PL y el conocimiento y aplicación de comandos de GeoGebrapararesolverproblemascontextualizadosdePL Aquíelalumnopudocomprobarsutrabajodesdelaaplicación de lápiz y papel y verificarlo luego con la aplicación de comandos de GeoGebra y viceversa y finalmente los alumnos realizaronestetrabajoenformamixtaincluyendolaaplicación de tablas adpatadas a nuestra realidad e impresas donde consignaban cada uno de sus procedimientos garantizándose eltransitoderegistrosderepresentaciónsemiotica Aprendizajesesperados: Para efectos de análisis, comparación y validadción de resultadosseefectuoesteestudiosóloenlaactividadN°1yla actividad N°5. Veamos los aprendizajes esperados en la actividadN°1 1. Realizargráficosdepuntosenelplano. 2. Realizar operaciones algebraicas para hallar el C.S. solución. 3. RepresentarelC.S.deunsistemadeecuacioneslinealesen elplano. 4. Representarpuntosenlaventanagráfica. 5. Representarrectasenlaventanagráfica. 6. DeterminarlascoordenadasdelC.S. EnlaactividadN°2 1. Identificavariables 2. Identificarestricciones 3. Identificafunciónobjetivo 4. GraficalaregiónfcatibleconelGeopGebra 89 ReportesdeInvestigación 5. Esbozalaregiónfcatibleenelpapelgraficándolo 6. Sombrealaregiónfactible. 7. Graficalascoordenadasdelospuntosenelpapel 8. Identifica los vértices del polígono convexo con el GeoGebra. 9. Evalúalafunciónobjetivo. 10. Realizaoperacionesaritméticas. 11. Identificaeltipodeoptimizaciónarealizar. 12. Determinalaventamáxima. 13. Determinalacantidadrequeridadecadaproducto. Conclusiones Alfinalizarlainvestigaciónverficamosque: Estar familiarizados con el uso de un vocabulario nuevo en matemática. Estar familiarizados con el uso de un vocabulario nuevo especializadoenGeometríaDinámicasobreGeoGebra Modelaronsituacionesreales. Obtenergráficoscompletosynográficosdistorsionados El conocimiento se logró de manera diferente el trabajo favorecióeltratamientoyconversiónderegistros. Los estudiantes no mostraron dificultad al representar los datosplanteadosenformaverbalalaformaalgebraica Losconceptosqueformabaneranmásduraderos ElmétododesolucióndeproblemasdeProgramaciónLineal fuecaptadodemaneraespontania El tránsito entre los R.R.S. logró que los alumnos resolvieran problemasdeP.L. 90 ReportesdeInvestigación Aumentólascapacidadescognitivasdelossujetos Aumentó el interés por las actividades realizadas y una modificaciónacertadaenlacalidaddelasproducciones Las gráficas, tablas y figuras ayudaron a organizar mejor el aprendizaje de este tema guiando a los alumnos realizar un trabajoespontáneoynatural Sugerencias: Sugerimos se realice investigaciones sobre la aplicación de rectas de nivel que si se da mediante la mediación de GeoGebra, porque no se incluyó en este trabajo previo de investigación. Hacer una réplica de esta investigación en alumnos de enseñanzapreuniversitariayuniversitaria. Trabajarenlacapacitacióndedocentesafindequenoexista una brecha tan alejada entre lo que exige el D.C.N y el libro textoyloquerealmentesedáenelaula. Diseñar nuevos problemas sobre distribución de recursos, transporteydietasadaptadosalarealidadperuana. Referencias Duval, Raymond. (2004) Semiosis y pensamientoHumano. Editorial del Instituto de Educación y pedagogía, UniversidaddelValle,Colombia. Coronado, T. (2012). Programación Lineal. Recuperado (2,Junio,2012)en: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/29 /matematicas‐29.html Grossman, S. (1992a). Álgebra Lineal, Tercera Edición en Español.Impresora y Maquiladora deLibros MIG. S.A. México,D.F. Grossman, S. (1992b). Aplicaciones de Álgebra Lineal, Cuarta EdiciónenEspañol,GráficaAmérica,México,D.F. 91 ReportesdeInvestigación GeoGebra (2012).Descarga gratuita. Recuperado (2, Junio, 2012)en:www.geogebra.org Malaspina, U. (2008). Intuición y rigor en la resolución de problemasdeOptimización.Unanálisisdesdeelenfoque ontosemióticodelacognicióneInstrucciónmatemática. (Tesis doctoral). Universidad PUCP, Lima, Perú. Recuperado(2Junio2012)en: http://irem.pucp.edu.pe/wp‐ content/uploads/2012/05/Tesis_Doctoral_Uldarico_Mala spina_Jurado.pdf ANÁLISEPRELIMINAREANÁLISEA PRIORI:SITUAÇÕESDIDÁTICAS ENVOLVENDOANOÇÃODEINTEGRAIS MULTIPLAS FranciscoRégisVieiraAlves InstitutoFederaldeEducação,CiênciaeTecnologiadoEstadodo Ceará‐IFCE [email protected] Resumo Oestudodeintegraismúltiplas–IM,envolvendoamudançade coordenadas cartesianas para coordenadas polares, detém aspectos diferenciados, na medida em que não restringimos nosso ensino ao domínio de técnicas algorítmicas de integração. Não obstante, o uso da tecnologia proporciona a exploraçãodesituaçõeseavisualizaçãoderegiõesgráficasno plano, cujo traçado é inexeqüível, quando desconsideramos a tecnologia.Destemodo,comarrimonaEngenhariaDidática– ED, discutiremos as fases de análises preliminares, análise a priori e estruturação de situações didáticas, a partir das considerações de Almouloud (2007). Deste modo, a partir de uma análise da abordagem atual adotada pelos autores de 92 ReportesdeInvestigación livros de Cálculo no Brasil, objetivaremos a estruturação de situações que permitam o fortalecimento do componente visualeasuavizaçãoderotinasalgorimizantesnoensinodeste tópico. Palavras‐chave:Integraismúltiplas,Engenhariadidática Sobreaintroduçãodanoçãodeintegraismúltiplas–IMnos livrosdeCálculo O contexto de transição do Cálculo, no que concerne ao processodeintegraçãodefunçõesproporcionaamudançade uma série de exigências do aprendiz. De modo particular, registramos as mudanças conceituais e de significado geométrico‐conceitual,desimbologiasdotipo: , , , , , e . Ora, vale distinguir e diferenciar que nas simbologias acima, podemos lidar com o comportamento de uma área, de um volume e, no caso e IM, dependendo da função integranda, podemoslidarcomfenômenosfísicos.E,porfim,divisamoso processodeintegraçãonavariávelcomplexa ∈ ,quepode representar/indicarelementosdistintosdosoutroscasos. VisualizaçãodeIMcomoauxíliodatecnologia Registramosalgunstrabalhosquealertamaênfasedocaracter algebrizante dos conteúdos envolvendo a noção de integral (Alves, 2013). Por exemplo, quando nos referimos ao uso de coordenadas polares, deparamos regiões que oferecem fortes entraves, no que concerne à visualização, quando nos empenhamos em transmitir, por exemplo, propriedades de ordemqualitativaatinenteaoseucomportamentográfico. Neste sentido, considerando as equações dadas por cos e . Podemos descrever área limitada entre essas duas curvas no plano polar. Nessa situação, que envolve um viés pouco explorado pelos autores 93 ReportesdeInvestigación delivrosdeCálculonoBrasil,valorizamosavisualizaçãocomo fator de aquisição de um significado tácito e preliminar. Elemento impulsionador para a formulação de conjecturas, quepossapermitiroindividuoiniciarumainvestigação. Figura 1. Descrição da região de avaliação de uma IM nas coordenadas polares Assinalamos que os elementos atinentes à visualização são passiveisdesereminvestigadosnasetapasiniciaisdeumaED que elege os conteúdos de IM como objeto de estudo. Para tanto,indicaremosqueousodatecnologiaéimprescindível. EngenhariaDidáticaparaosconteúdosdeIM AmetodologiadepesquisaadotadafoiaEngenhariaDidática‐ ED, que surgiu na área de investigação da Didática da Matemática,noiníciodosanos80(Artigue,2008,p.10).Esse termo é explicado por Artigue (1995, p. 243), com vista a caracterizar “uma forma de trabalho didático, semelhante ao trabalho de um engenheiro que para realizar um projeto preciso, apoia‐se sobre conhecimentos científicos de seu domínioeaceitasesubmeteraumcontroledotipocientifico”. 94 ReportesdeInvestigación A metodologia de pesquisa por nós adotada “se caracteriza como um esquema experimental baseado em realizações didáticas em classe, isto é, sobre a concepção, a realização, a observaçãoeanálisedesequênciasdeensino.”(Artigue,1995, p. 247). Almouloud (2007, p. 171) destaca que tal esquema experimental apresenta como um modo de validação “a comparaçãoentreanáliseapriorieanáliseaposteriori”e,em virtude de apresentar uma validação interna, não há a necessidadedeaplicaçãodepré‐testeoupós‐teste. Demodosistemático,conformeArtigue(1995,p.249‐250),na etapa de Analises preliminares consideramos: uma análise epistemológica dos conteúdos visados no ensino; análise dos entraves no campo de ensino em que pretendemos realizar uma ação didática; exame das concepções e conhecimentos prévios dos alunos e, por fim, análise do ensino atual e seus efeitos. Por fim, todos os elementos anteriores levaram em consideração os objetivos desta investigação. Neste escrito, deter‐nos‐emos ás fases de analises preliminares e análise a prioridassituaçõesrelativasaoobjetoIM. Figura 2. Cenário de aprendizagem apoiada na visualização Nas figuras 2 e 3, faz parte de uma ED, considerar que concepções os alunos carregam consigo de modo que lhes permita apoiar uma nova aprendizagem com vistas ao entendimento das ligações conceituais dos gráficos nesta figura com a noção de IM. Em cor vermelho, indicamos a 95 ReportesdeInvestigación projeção de uma superfície (fig. 2). Na fig. 3 podemos determinarovolumedaregiãonoespaço . Figura 3. Cenário de aprendizagem apoiada na visualização Salientamos que a ED é uma metodologia de pesquisa, sendo assim,torna‐seindispensávelousodeteoriasqueservempara fundamentarnossainvestigaçãoeparaaleitura/interpretação dos dados. Ademais, na análise a priori, determinaremos o controle do “comportamento dos alunos e seu sentido” (Artigue, 1995, p. 258). O controle pode ser exercido a partir de atividades que conduzem e estimulam a produção de sentençasproposicionaisapartirdavisualização. Figura 4. Cenário de aprendizagem apoiada na visualização 96 ReportesdeInvestigación Figura 5. Cenário de aprendizagem apoiada na visualização Nas figuras 4 e 5 indicamos determinadas regiões no espaço que se mostram impraticáveis ao traçado, quando dispensamososmeiosinformáticos,ComousodoCASMaple, porexemplo,possibilitamosoentendimentodaregiãolimitada no espaço e, correspondentemente, a ideia de volume. As técnicas envolvendo mudança de coordenadas cilíndricas e esféricas constituem estudo compulsório sobre IM. (Alves & Lopes,2013). Figura 6. Cenário de visualização que permita entender a mudança de coordenadas cilíndricas Com origem na figura 6 podemos levar o solucionador de problemas adquirir o entendimento do motivo de uso de coordenadascilíndricasoudecoordenadasesféricas. 97 ReportesdeInvestigación Concernentemente às etapas de uma ED, não podemos negligenciar problemas de investigação, intimamente relacionados com as situações‐problema que indicamos nas figuras anteriores. A partir desses problemas e as variáveis micro‐didáticasrelacionadascomousodosoftwarenoensino, indicam‐se as hipóteses de investigação na etapa de análises preliminares. Comafinalidadederesponderevalidarhipótesesindicadasna etapaanteriorpassamos,pois,aestruturaraanáliseapriorida ED. Neste momento da investigação, a elaboração e estruturaçãodesituações‐didáticas.Almouloud(2007,p.174) indica características fundamentais que não podem ser negligenciadas. Não obstante, não se pode criar a expectativa deseelaborarproblemasqueenvolvamtodososdomíniosde conhecimentosespecíficos. Por outro lado, assumimos posição concorde com Almouloud (2007, p. 174) quando assinala a importância de se desenvolver habilidades matemáticas específicas. Neste caso, quando indicamos as figuras 1, 2, 3, 4, 5 e 6, enfatizamos o entendimentoeadeterminaçãodeintegraisconvenientes,que expressãoáreaouvolume.Dianteessepressuposto,evitamosa proposição e “exercícios”, de um modo peremptório, para o . estudante,deIMdotipo Consideraçõesfinais Neste trabalho buscamos indicar alguns elementos preliminares que não podem ser desconsiderados numa ED envolvendo o objeto IM. Acentuamos, desde o início, a multiplicidadedesignificadospossíveisatinentesaoprocesso. Almouloud (2007, p. 172) referencia obstáculos a serem superados,quandonospropomosaumadescriçãoestruturada de uma ED. Assinalamos, entretanto, que em dependência da teoria associada ao uso da ED, sobretudo na fase de experimentação,alcançaremosumplateaudemaioroumenor possibilidadedeidentificaresuperarobstáculos(Alves,2012). 98 ReportesdeInvestigación Em nossa proposta, indicamos um papel diferenciado para a visualizaçãoparaoentendimentodadescriçãodeIM. Assinalamos ainda que numa fase de experimentação, buscamos proporcionar a estruturação de situações didáticas que apresentam o potencial de permitir sua replicabilidade (Artigue,1995,p.51)ou“reprodutividadeearegularidadedos fenômenosdidáticosidentificados”(Almouloud,2007,p.176) em outras experimentações relacionadas ao mesmo objeto matemático. Em nossas situações, o uso de um software constituielementoindispensávelparasepreverumamediação deconteúdosespecíficosdolocusacadêmico. Referências Almouloud, Saddo Ag. (2007). Fundamentos da Didática da Matemática.SãoPaulo:EditoraUFPR. Alves,Francisco,R,V;&Lopes,Marcos.A.(2013).Métodosde Integração: uma discussão do seu ensino com apoio no software Geogebra. In: Revista do Instituto Geogebra InternacionaldeSãoPaulo.v.2.nº1,p.5‐21. Alves, Francisco Régis Vieira. (2012). INSIGHT: descrição e possibilidadesdeseuusonoensinodoCálculo.In:Vidya (SantaMaria.Online),v.32,2012.p.149‐161. Alves,Francisco.R.V.(2013).VisualizinginPolarCoordinates with Geogebra. In: Geogebra International of Romania. p. 21‐30.Disponívelem: http://ggijro.wordpress.com/issues/vol‐3‐no‐1/ Artigue, Michèle. (1995). Ingénierie didactique. In: BRUN, J. Didactiques des Mathématiques. Paris: Délachaux et Niestle,p.243‐263. Artigue, Michèle. (2008). Didactical design in Mathematics Education. In: WINSLON, Carl. (ed.) Nordic Research in MathematicsEducation.NORMA08,p.7‐17. 99 ReportesdeInvestigación PROPUESTADEUNASECUENCIA DIDÁCTICAPARALAENSEÑANZADE PORCENTAJESAESTUDIANTESDE ADMINISTRACIÓNYSISTEMAS JudithChávezSalinas PontificiaUniversidadCatólicadelPerú [email protected] Resumen El presente trabajo de investigación, detalla el diseño, aplicación y análisis de resultados de una secuencia didáctica elaborada en el marco de la Teoría de Situaciones Didácticas, con el apoyo metodológico de la Ingeniería Didáctica, que contribuyeaquelosalumnosusenelconceptodeporcentajes para resolver problemas, teniendo una perspectiva más amplia. Aunque este tema está presente en los diseños curriculares escolares y reaparece no solo en los cursos iniciales de toda carrera profesional, especialmente en la carreradeAdministraciónySistemas–queusaesteconcepto conbastanteénfasis–sudesarrollogeneralmenteestábasado en el manejo mecánico de la regla de tres simple y la perspectiva parte‐todo, desaprovechando oportunidades de interrelacionar otros criterios como son el de razón, proporcionalidaddirectaylafunciónlineal. El trabajo realizado lleva a concluir, esencialmente, que: Es posible diseñar una secuencia didáctica que contribuya a que los estudiantes puedan tener una visión más amplia de este objeto matemático, especialmente al trabajar con funciones lineales que les permiten resolver problemas con porcentajes mayoresqueel100%. Palabrasclave:TeoríadeSituacionesDidácticas.Porcentajes. 100 ReportesdeInvestigación Problemática Desde nuestra experiencia docente en la enseñanza de proporcionalidad en particular del tema de porcentajes, con estudiantes del primer ciclo de la carrera de Administración, observamos que en las clases se presentan diversas dificultades relacionadas a la resolución de problemas de porcentajes haciendo uso solo de la regla de tres simple, situaciónquedeberíacambiarenelnivelsuperioreinsistiren laaproximaciónaesteconceptoporotrosmediosdiferentesa losaritméticos. Muchos de nuestros estudiantes de primer ciclo tienen una limitación en cuanto al hecho de la falta de comprensión de estoscontenidos,situaciónquesemanifiestaenlosresultados de la prueba de entrada a inicios de ciclo, resultando esto perjudicial en el aprendizaje de nuevos contenidos, ya que la noción de porcentajes es de mucha importancia en el desarrollo de su carrera profesional pues a partir de este concepto se articulan nociones sobre interés simple, interés compuesto, estadística, costos, presupuestos entre otros; los cuálessondesarrolladosapartirdelsegundociclodeestudios. Lasanterioresconsideraciones,permitenplantearlasiguiente interrogante: ¿Qué situaciones didácticas se podría diseñar para enseñar porcentajes a los alumnos de la carrera de administración, de manera que apliquen correctamente este conocimientoenlasolucióndeproblemasrelacionadosconsu carreraprofesional? MarcoTeóricoyMetodologíadeInvestigación Esta investigación se fundamenta en la Teoría de Situaciones Didácticas concebida por Guy Brousseau y la Ingeniería Didáctica como metodología asociada a esta teoría, que orientaráeldesarrollodelaexperimentaciónydelosanálisisa prioriyaposterioriaunniveldemicro–ingeniería. 101 ReportesdeInvestigación AnálisisPreliminar Seanalizacadaunodeloselementosdelsistemadidáctico,el saber matemático (porcentajes), la situación de enseñanza, el estudiante (de la carrera de Administración), así como las relacionesexistentesentreellos;esteanálisisseefectúaenlas dimensionesepistemológica,didácticaycognitiva. ConcepciónyAnálisisapriori Para la presente investigación hemos considerado dos variablesmicrodidácticas: CuadroN°01:Variablesmicrodidácticas Descripción Relaciónconel 100% Variación porcentual - Caso Menoroigual Mayor Positiva Negativa Código VMD1‐A VMD1‐B VMD2‐A VMD2‐B La secuencia didáctica diseñada de acuerdo con la teoría de Situaciones Didácticas, consta de cuatro actividades a desarrollar en forma individual y grupal. A continuación se presentaeltextodeunadelasactividadesmásrelevantesdel trabajo. Situación 4.2: Un supermercado vende el kilo de carne a S/. 17,00yestasemanaestáhaciendounapromociónenlaventa decarne:Silacompraespormásde3kilos,haceundescuento del10%alimportetotal. a) ¿CuántopagaráCarlossicompra2kilosdecarne? b) ¿CuántopagaráJuliasicompra5kilosdecarne? c) Expresar la función pago según la cantidad de kilos de carne(x)quesecompre. d) Graficarlafunciónhalladaenc). 102 ReportesdeInvestigación e) Determinar, en caso sea posible, la cantidad de kilos que fueronadquiridosporlosclientessi: e1)PagóS/.45e2)PagóS/.60e3)PagóS/.49 Interaccionesconelmedioycomportamientosesperadospara estaactividad: Ítem FaseTSD c Validación Comportamientoesperado Es probable que los estudiantes obtengan las funciones para cada caso, (con y sin descuento), pero se espera que expresen como una función por tramos, precisando el valordeldominiodelafunción. d Fomulación Se espera que los estudiantes no tengan en claro como graficar la función, pero es probable que grafiquen las dos funciones que se vanaoriginar,comoconsecuenciade lascondicionesdelproblema;quizás lo realicen en diferentes planos cartesianos. e Validación En relación a los casos presentados, se espera que los alumnos elijan la opción correcta de acuerdo a las condiciones del problema ya que paraelcasoe3)tendránqueadvertir que este monto se puede gastar en dossituacionesdecompra. FaseExperimental Esta fase la desarrollamos en 5 sesiones de 90 minutos cada una. A continuación se resume lo trabajado en la actividad mencionadaanteriormente(Situación4.2) Ítemc):Expresarlafunciónpagosegúnlacantidaddekilosde carne(x)quesecompre. 103 ReportesdeInvestigación Observaciones: Devolución: Selespreguntó:¿Paraquecasossecumpleestafunción? ¿Quévalorespuedetomarlavariable“x”? ¿Quésucedesix=3,1;aunsepuedetrabajarconestafunción? ¿Quésucedecuandosecompramásdetreskilos? Se les sugirió revisar lo trabajado en el ítem b) donde se trabajó para el caso si se comprara 5 kilos, ahora se pide de formamásampliasicompraramásde3kilos¿Cómosepodría escribirlafunción? Conestosdatosyapuedenhallarlaotrafunción. Figura1:Precisadominiodefunciones En la figura N°1, un grupo precisa cuál es el dominio de las funcionesqueestánhallando,teniendoencuentaelporcentaje comofunción. Figura2:Noprecisaeldominiodefunciones 104 ReportesdeInvestigación EnlafiguraN°2,ungruponoprecisaexactamenteeldominio, hallan las funciones por separado, ya que aún no conocen cómoexpresarunafunciónportramos. Ítemd):Graficarlafunciónhalladaenc) Observaciones: Devolución Se sugirió a los grupos observar los valores del dominio en cadacasoyluegograficardeacuerdoaestoenunsoloplano cartesiano. Figura3:Respuestaalítemd).Grupo1 En la figura N°3 se observa cómo un grupo trata de graficar ambasfuncionesenunsoloplano,peronotienenencuentael dominiodeambasfunciones. Figura4:Respuestaalítemd).Grupo2 105 ReportesdeInvestigación Enlafigura4,alparecerestegrupoesunpocomásprecisoy grafica ambas funciones teniendo en cuenta los dominios de ambas,perolasescalasutilizadasnosonlasmásapropiadasya quecomosepuedeobservarelgráficonoesdeltodoexacto. Ítem e): Determinar, en caso sea posible, la cantidad de kilos que fueron adquiridos por los clientes en cada uno de los siguientescasos e1)PagóS/.45e2)PagóS/.60 e3)PagóS/.49 Observaciones: Losgruposdetrabajobuscaronutilizarlasfuncionesobtenidas para poder obtener cuántos kilos habían comprado en cada caso.Pararealizarsuanálisisrespectivo,hallaronelvalordelo quesepagaríapor3kilosypartierondeahí.Comosepagaría 51 soles por 3 kilos entonces para el caso e1) utilizaron la primera función y para el caso e2) utilizaron la segunda función. En el caso e3), un grupo manifestó lo siguiente: “Depende en este caso profesora, pueda que si o pueda que no; ya que en este caso al 49 pudieron ya haberle restado la cantidad del descuento,otambiénpuedaquenolehayanrestadonada”. Figura5:Respuestaalíteme) En N°5, se muestra cómo para los dos primeros ítems no tuvieron dificultad, en el caso e3), trabajan con las dos alternativas, esto al parecer a consecuencia de lo que observaronenelgráfico. 106 ReportesdeInvestigación Conclusiones 1. Los estudiantes han tomado conciencia de que el objeto matemático porcentajes no se reduce al campo de la aritmética y a la regla de tres simple. Utilizan distintas estrategiaspararesolverproblemasycalcularporcentajes mayores que el 100%, y reconocen equivalencias entre distintas expresiones de porcentaje, como una fracción o comoundecimal. 2. Losestudiantespuedenresolverproblemasdeporcentajes con recursos algebraicos, planteando y resolviendo ecuacioneslineales. Los estudiantes han ampliado su visión de los porcentajes más allá de la visión parte‐todo, al trabajar con funciones lineales y emplearlas para resolver problemas con porcentajesmayoresqueel100%. Referencias Artigue, M., Régine D., Moreno, L. y Gómez, P. (1995). Ingeniería Didáctica en Educación Matemática. Bogotá: GrupoEditorialIberoamérica. Ben Chaim, D., Ilany, B. y Keret, Y. (2012). Ratio and Proportion.TheNetherlandas:SensePublishers. Brousseau, G. (2007). Iniciación al estudio de lateoría de las situacionesdidácticas.BuenosAires,Argentina:Librosdel Zorzal. Godino, J. D. (2004). Proporcionalidad y su didáctica para maestros. Recuperado el 12 de mayo de 2012en:http://www.ugr.es/~jgodino/edumat‐ maestros/manual/3_Proporcionalidad.pdf Lima, E. L., Pinto, P., Wagner E. y Morgado, A. (2000). La Matemática de la Enseñanza Media. (vol. 1). Lima: Hozlo S.R.L. 107 ReportesdeInvestigación Parker M. y Leinhardt G. (1995). Percent: A Privileged Proportion. Review of Educational Research, 65(4), 421‐ 481. Van den Heuvel‐Panhuizen, M. (2003). The Didactical use of models in realistic mathematics education: An example from a longitudinal trayectory on percentage. Recuperadoel17demayode2012en: http://www.jstor.org/stable/pdfplus/3483213.pdf?ac ceptTC=true COMPRENSIÓNLECTORAPARALA RESOLUCIÓNENLAENSEÑANZADELAS MATEMÁTICAS MarleneCuevasCorona,AlmaAdrianaLeónRomero UniversidadAutónomadeBajaCalifornia [email protected],[email protected] Resumen La presente investigación se centra en un tema mencionado frecuentemente entre profesores: «los alumnos no entienden quéleen».Indagarcómoafectalafaltadecomprensiónlectora enlaresolucióndeproblemasmatemáticosesrelevanteenla búsquedadelacalidaddelaeducación. Se tiene por finalidad reconocer la importancia de la comprensión lectora en la resolución de problemas, también, conocer y difundir estrategias que el docente pueda implementarparadisminuirlaproblemática El marco teórico está integrado por distintos conceptos de problema matemático y sus implicaciones; la comprensión de unproblema,importanciaydificultadesqueunalumnopuede enfrentaralresolverunproblema. 108 ReportesdeInvestigación El tipo de investigación cualitativa es la más apropiada de acuerdoalaproblemáticaquesepresenta,yaquelaformaen que la comprensión lectora repercute en la interpretación y resolucióndeproblemasmatemáticosnoesmedible,sinoque, es necesario analizar los factores que intervienen en esta problemática.Seconsideraelestudiodecasoscomoelmétodo apropiadoparalainvestigacióndebidoasucarácterheurístico einductivo. Palabrasclave:comprensiónlectora,resolucióndeproblemas. Definicióndelproblema Uno de los retos al momento de resolver problemas matemáticos1escomprenderquéesloqueseestápidiendoe interpretarlainformaciónqueseestáproveyendo.Enmuchas ocasioneslafaltadecomprensiónomalainterpretacióndelo escritoconducearespuestaserróneasosimplementeaqueel alumnonosolucioneelproblema. Laspreguntasalasquelainvestigaciónintentadarrespuesta son: ¿Qué capacidades y habilidades requiere el alumno para comprenderlosproblemasmatemáticos? ¿Por qué la comprensión lectora influye en la resolución deproblemasmatemáticos? ¿Qué capacidades y habilidades requiere el docente de matemáticasparamejorarelproblema? Importanciadelproblema La resolución de problemas matemáticos permite a los alumnosampliarsupensamientológicoycreativoasícomola autonomía. Además, Burroni (2004) menciona “el individuo a medidaquedemuestrahabilidadenresolverproblemasdeun cierto nivel, accede a problemas de nivel superior, lo que potenciasucapacidaddeaprendizaje”(p.17). 1 No confundir con ejercicio matemático en donde se aplican algoritmos de manerarutinaria. 109 ReportesdeInvestigación Conforme a las observaciones realizadas y en la experiencia adquiridaatravésdelaprácticaprofesionalsehanotadouna falta de comprensión de los problemas matemáticos, lo que estárelacionadoconlacalidaddelaprendizajedelosalumnos. Por tal motivo, descubrir como la comprensión lectora afecta enlaresolucióndeproblemasesdevitalimportancia. Laresolucióndeproblemaspermitealosalumnosampliarsu pensamiento lógico, así como su autonomía. Los profesores puedensintetizarlostemasenunsoloproblemayverificarlas fortalezas y debiliades de sus alumnos con respecto a su aprendizaje. Objetivo Analizarcómoafectalacomprensiónlectoraenlosalumnosal resolver problemas matemáticos a través de observación e interacción en el aula, para determinar las estrategias que el docentepuedaimplementarenlaresolucióndeproblemas. Supuesto Secreequeestasituaciónescausadaporvariasrazonesentre ellassepuedemencionarelaspectocultural,entornofamiliar, así como el enfoque que el profesor da a los problemas de matemáticas durante la clase. Además, se supone que es necesaria por parte del profesor, la implementación de diversasestrategiasparaapoyarelaprendizajedelalumnoen la resolución de problemas así como en su comprensión lectora. Marcoteórico Elpresentelistadodetemasconformaelmarcoteórico: Laresolucióndeproblemascomorecursodidáctico Cuáles son los pasos a seguir en la resolución de un problema 110 ReportesdeInvestigación Qué involucra la comprensión e interpretación de un problemaycuálessonlasdificultadesqueseenfrentanal momentoderesolverlo Importanciadelacomprensiónlectoraenlaresoluciónde problemas Importanciaquedaelsistemaeducativoalacomprensión einterpretaciónlectoradeproblemasmatemáticos Estrategias que el docente puede utilizar para que los alumnoscomprendanlosproblemasmatemáticos Metodología El tipo de investigación cualitativa es la más apropiada de acuerdo a la problemática que se presenta. Siguiendo los lineamientos de la misma, se considera que el método2 apropiado para desarrollar la investigación es el estudio de casos3. Pérez (2008) menciona “…creemos que problemas relacionados con (…) la educación, son susceptibles de un tratamiento único y diferente. Por ello, consideramos que es necesario profundizar en las metodologías cualitativas y, especialmente (…) en el estudio de casos, analizando sus posibilidadesylimitaciones…”(p.79). Elestudiosedesarrolladuranteelcicloescolar2013‐1y2013‐ 2.EnélparticipancuatroestudiantesdelaSecundariaEstatal No.30deSanLuisRíoColorado,Son.,ubicadaenCarreteradel Valle y Carranza, ésta colinda con el bachillerato CBTIS 33, localizada en una zona social media‐baja y la mayoría de los alumnos pertenecen a zonas cercanas. De estos cuatro alumnos,dossonpertenecientesalgrupo3“A”ydosalgrupo 3“B”. Losalumnosde3“A”sonCarlos4yDarla.Elprimeropresenta unahabilidadpococomúnparalamatemática,sonescasaslas 2 Entiéndase por método el camino que se toma para llevar a cabo la investigación. 3 No confundir con trabajo de casos, método de casos, historia de casos o informeconcasos. 4Algunosnombressehancambiado. 111 ReportesdeInvestigación ocasionesenquetienedudasyunadesuscaracterísticasmás interesanteessucapacidaddeabstracción;larazónporlaque seincluyeenelestudioesparadescubrirsilasestrategiasque él utiliza pueden ser puestas en práctica por otros de sus compañeros.Darlaporsuparteesunaalumnaregular,queno tiene problemas con la asignatura y los procedimientos de matemáticas,sinembargoalmomentoderesolverproblemas suele confundir las operaciones que tiene que realizar. En Darla se observa un ejemplo claro de cómo la lectura y la compresión repercute en la resolución de problemas matemáticos. Porpartedelgrupo3“B”seeligeaCarolinayDaniela.Carolina es atenta enclase, son pocas las veces en que no entiende un problema. En su caso, cuando va a preguntar al profesor sus mismas preguntas o suposiciones la llevan a confirmar o rectificar su procedimiento; su capacidad para resolver problemas y para detectar ambigüedades o ambivalencias en un enunciado es lo que la hacen un sujeto deseable para este estudio.Encambio,Danielaesunaalumnacuyainterpretación de los enunciados es muypobre si no es que a vecesnula, de ahíelinterésensabercuálesconlosfactoresqueintervienen paralacomprensióndeestaalumnasemirelimitadaasícomo encontrarestrategiasquepuedanserledeútiles. Dentro del método de estudio de casos se hace uso de diferentestécnicas.Enestainvestigaciónseseleccionantres:la entrevista5,elcuestionario6ylaobservación.7Laentrevistaes realizadaaloscasosyaquelainformaciónquelosestudiantes puedan dar es útil para determinar un plan estratégico para Una entrevista consiste en conseguir, mediante preguntas formuladas en el contexto de la investigación o mediante otro tipo de estímulos, que las personasobjetodeestudioemitaninformaciónqueseanútilespararesolverla preguntacentraldelainvestigación(Heinemann,2003). 6 “Un cuestionario es un conjunto articulado y coherente de preguntas para obtener la información necesaria para poder realizar la investigación que la requiere”(GrandeyAbascal,2009,p.189). 7Técnicasdecaptaciónsistemática,controladayestructuradadelosaspectos de un acontecimiento que son relevantes para el tema de estudio y para las suposicionesteóricasenqueéstesebasa(Heinemann,2003). 5 112 ReportesdeInvestigación disminuir la problemática. El cuestionario es aplicable tanto para los profesores de la secundaria (del ciclo anterior y del actual) como para los integrantes de los grupos a los que pertenecenloscasos,yaqueproveenunaperspectivaglobalde laproblemática.Laobservaciónserealizaconelfindecaptar aquellas técnicas que los alumnos y el profesor utilicen para resolveryenseñarlaresolucióndeproblemasmatemáticos. En el caso de la entrevista se hace uso del guión; en el cuestionario se realizan dos versiones un tipo para los profesores el cual contiene preguntas con opción abierta; y otro para losalumnos conopción de respuesta cerrada; en el caso de la observación, se crea un instrumento en el que se incluyenlosaspectosaobservartipolistadecotejoademásde incluirespacioparaobservacionesgeneralesenelqueselleva unregistroanecdótico. Las herramientas utilizadas son lápiz, pluma, papel con las respectivas guías (entrevista, cuestionario u observación), grabadora, cámara fotográfica y de video. Para todos los instrumentosdelainvestigaciónsehaceusodepaqueteríade Office®ya que en ella se transcribe la información necesaria, secreantablasygráficoscorrespondientes. La operacionalización de la información se lleva a cabo de manera sistemática, durante el proceso se obtiene palabras claves, después se reúnen las palabras clave de todos los instrumentos y de acuerdo a la frecuencia con que se presentan estas palabras o frases se realizan categorías tentativas y en basea estas se elaboran lascategoríasfinales, quepermiteninterpretarlainformación. Principalesresultados La información que revelan los instrumentos es consistente y se puede inferir la existente dualidad de la lengua y la matemática.Enbasealaoperacionalizacióndelainformación se han creado categorías con los aspectos más relevantes, dichas categorías se muestran equilibradas con los supuestos 113 ReportesdeInvestigación planteadosalprincipiodeestainvestigación,enbaseaestose puedeconfirmarque: El uso de palabras y términos matemáticos desconocidos provoca falta de comprensión e interpretación del problema El hábito y las diversas estrategias de lectura son factor determinanteparalacomprensión Elprofesoresguíaparaelaprendizajedelosalumnos Conclusiones Lalecturanoesunactoquesedebedarporhecho,esun proceso que involucra una serie de capacidades y habilidades por parte del alumno, y la falta de alguna de estashabilidadescambiaelsentidoqueseledaaltexto. Lacomprensión lleva a la interpretación, de hecho varios autores mencionan que el proceso de lectura involucra tantocomprensióncomointerpretación. Laredacciónqueseledaalproblemadebeserapropiaday no poseer ambigüedades, los problemas matemáticos no estánhechosparahacersufriralosalumnos. El hábito lector parece ser un factor determinante en la comprensiónycorrectainterpretacióndelosproblemas. El profesor debe de poseer una flexibilidad para aplicar estrategiasconsusalumnos En la situación de los casos se han ido obteniendo diferentes resultados, se han descubierto razones del por qué poseen o carecenenciertamedidadelacomprensiónlectora. CarlosyCarolinaposeenelhábitolectordesdehacetiempo,de ellos se recogen estrategias para compartirlas con sus compañeros, entre ellas está el leer parte por parte el enunciado,interpretarlasoracionesydespuésintegrarlas. Darla y Daniela necesitan hacer uso conciente de estrategias para comprender la lectura de problemas, se han utilizado muchas estrategias las que parecen funcionar son leer parte por parte, recapitular los temas previos, realizar esquemas 114 ReportesdeInvestigación entreotras.Cadaalumnatienesuspreferenciasysehanotado una mejoría en ambas, durante el desarrollo de esta investigación. Recomendaciones Diversificarestrategiasdeenseñanza,haciendousodelos estilos de aprendizaje de los alumnos para propiciar el aprendizajesignificativo Realizaresquemasdelproblema,inclusosilosproblemas no son geométricos, un esquema o dibujo puede llevar al alumnoacomprender Eldocentepuedepormediodepreguntasllevaralalumno a que comprenda o en dado caso, a través de las respuestas del estudiante percatarse de su manera de apreciar el problema, para así encontrar la o las estrategiasadecuadasparaelalumno Cuidar la creación y redacción de los problemas; el docente puede preguntarse qué es lo que los alumnos entenderán de ellos, para que existan menos dificultades deinterpretación Problemasdelavidarealconcifrasreales,seinsisteenel usodeproblemasrelacionadosconlavidadelalumno,de esta forma en alumno relaciona el contenido con cosas o situacionesconocidasparaél Sustituir números complejos por otros más sencillos puedeserbeneficiosoparacomprendermejorelproblema Realizarlecturaseneláreadematemáticas Tenerloslibrosalalcancedelosalumnos,colocarlosenun lugarvisible,parainfundirfamiliaridadconlalectura Referencias Burroni,Ester(2004).Unaportealaprendizajepermanente:la solución de problemas (SP). Premisa, 6, 23. Recuperado 20deabrilde2013en: http://www.soarem.org.ar/Documentos/23%20Burroni. pdf 115 ReportesdeInvestigación Grande, Idelfonso y Abascal, Elena (2009). Fundamentos y técnicas de investigación comercial. Ediciones ESIC, Madrid,España,433páginas. Heinemann,Klaus(2003).Introducciónalametodologíadela investigación empírica. En las ciencias del deporte. EdicionesPaidotribo,Barcelona,España,284páginas. Pérez, Gloria. (2008). Investigación cualitativa. Retos e interrogantes I. Métodos (tomo 1). Ediciones La muralla, Madrid,España,230páginas. Rodríguez, Ernesto (2005). Metodología de la investigación. Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, Villahermosa, México,186páginas. NIVELESDECOMPRENSIÓNALCANZADOS PORLOSALUMNOSDE2AÑODE SECUNDARIACONRESPECTOA ELEMENTOSASOCIADOSALA CIRCUNFERENCIAHACIENDOUSODEL GEOGEBRA EnriqueSantosNapán PUCP [email protected] Resumen Elpresentereportedeinvestigación,muestraunavancedela tesis del investigador que tiene por objetivo determinar los niveles de producción de demostración matemática de los estudiantesde2°desecundaria;yaqueennuestrasaulasnose profundiza la parte demostrativa de un teorema o propiedad geométricausada,siendolademostraciónelnivelmásaltode justificacióndelamatemática(Vallejo,2012).Poresemotivo, presentamos una actividad con respecto al elemento notable 116 ReportesdeInvestigación de la circunferencia: cuerda, cuando es mediada por el software Geogebra. Usaremos como referencias conceptuales losnivelesdeVanHieleparaelanálisisdelasrespuestas.Los procedimientosmetodológicossonbasadosdelainvestigación – acción que permite interactuar activamente con el estudiante. Palabrasclave:Justificación,Demostración. Problemática Duranteelejerciciodelaprácticadocente,enparticularenla enseñanzadelageometríaanivelsecundaria,seespera,taly cual establece el Diseño Curricular Nacional, que los estudiantes determinen “la validez de conjeturas geométricas por medio de la deducción y la demostración de teoremas y criticarlosargumentosdelosotros”(DCN,2009,p.31).Ental sentido, con respecto a los elementos asociados a la circunferencia(lacuerda),seapreciaenlasaulasquecuando los docentes realizan actividades, los estudiantes aplican de maneramecánicalaspropiedadesdedichoobjetogeométrico, usando como justificación los teoremas y propiedades de los mismos. Sin embargo, el problema radica en que en las aulas no se profundiza la parte demostrativa de un teorema o propiedad usada anteriormente, siendo la demostración el nivelmásaltodejustificacióndelamatemática(Vallejo,2012). Algunos alumnos tratan de justificar dichas propiedades con casos particulares que en esencia son medios de justificación que aún no han sido muyprofundos ensusargumentaciones. Otros manifiestan, para determinar su veracidad, con características o argumentaciones no muy aceptables para la matemática.Observamospuesqueexistendiversasformasde justificar (algunas de mayor jerarquía que otras) las que se pueden agrupar por niveles para llegar a un nivel de justificaciónmásalto:lademostraciónmatemática. De otro lado, consideramos como uno de los elementos que puede favorecer el fomento de las justificaciones mediados porelusodeunprogramadeGeometríaDinámica,yaquela tecnologíahaidoevolucionandoapasosagigantadosyademás 117 ReportesdeInvestigación existen investigaciones (Carmona, 2011 & Gutiérrez, 2009) quenosrespaldanquealintroducirunprogramadegeometría dinámicaeneldesarrollodeunasesióndeclaseseráfavorable, ya que fomenta una interacción positivaentre el estudiante y el objeto matemático (en particular, las líneas notables en la circunferencia). Con todo ello, nos formulamos la siguiente pregunta de investigación: ¿Cuáles son los niveles de comprensión sobre los elementos asociados a la circunferencia que pueden alcanzar los alumnos de 2° de secundaria, a través de un conjuntodeactividadesdesarrolladosconelGeogebra? ElementosTeóricos ElmodelodeRazonamientodeVanHiele En Jaime y Gutiérrez (1990) y en Corberán et al. (1994), encontramos algunos criterios de demostración desde el análisisdelosNivelesdeRazonamientodeVanHieleysonlos siguientes: Nivel1:Carecedesentidomatemático,locualsesueletraducir razonamientos de lo más dispar. La demostración no tiene ningún significado, pues no hay razonamiento realmente matemático ni se utilizan propiedades matemáticas. Esto no quieredecirquelaspersonasenelprimernivelnoconozcany entiendan la palabra “demostrar”, pero no serán capaces de utilizarlaenelcontextodeunproblemadeGeometría. Nivel2:Elestudiantedemuestraqueunaafirmaciónescierta comprobando unos pocos casos o ejemplos adecuados, realizando mediciones oportunas (comprobación experimental)conunaherramienta(midiendo,etc.). Nivel 3: Las demostraciones están formadas por razonamientos lógicos, si bien sus argumentos son de tipo informal basados en la experimentación y las deducciones obtenidasapartirdecasosconcretos:estopuedetraducirseen ocasiones en que la demostración sea incorrecta porque, en realidad,setratedeuncasoparticular. 118 ReportesdeInvestigación Paranosotros,siunalumnojustificaconuncasoparticularse ubicaría en el nivel 2 de Van Hiele y si el estudiante justifica sus respuestas con un caso anterior, entonces lo ubicaríamos enuntercerniveldeVanHiele. Análisisdelaactividad“únicacircunferencia” Para el presente reporte, vamos a analizar una de las actividadesimplementadasennuestratesis,enlascualestiene como actividad previa la propiedad de mediatriz, cuya finalidadfuequelosestudiantestrabajaranlaconstrucciónde una conjetura a partir de casos particulares, permitiendo establecer que si el estudiante enuncia de manera general dichapropiedad,perteneceríaaunnivel2deVanHiele. Con base en la propiedad de la mediatriz, se implementa la actividad4ymostramosdichaactividadacontinuación: Figura1.Pregunta1.ActividadN°4:“Circunferenciaúnicados” Estaactividadtienecomoobjetivoqueelestudiantedemuestre unaconjeturaplanteadaapartirdeloscasosyaanteriormente discutidos,queredefinalaanteriorconjetura.Seesperaqueel estudiante utilice la propiedad de la mediatriz para justificar queexisteunaúnicacircunferenciaquepaseportrespuntosy queredefinenlaconjeturaanteriormentediscutida. Para esta actividad, nos enfocaremos en la justificación para explicarunapropiedadgeométrica,conpasosyademostrados, deunestudiantede2°añodesecundaria. 119 ReportesdeInvestigación Análisisdelasrespuestasalapregunta1 PresentaremoslarespuestadelalumnoApazayobservaremos cómo utilizan (indirectamente) la actividad anterior para la afirmacióndelaconjeturainicial. RESPUESTADELAACTIVIDADN°4“CIRCUNFERENCIA ÚNICA2”(APAZA) TRANSCRIPCIÓNDELOGRABADOENCLASE Apaza:Heunidolostrespuntosyestaslíneas(señalandoen lapantalla)sonlasmediatrices,dondesucrucedeterminael centrodelacircunferencia. Profesor: ¿Cómo te basaste para encontrar el centro de la circunferencia? Apaza:porlascuerdas. Profesor:Explicaunpocomás. Apaza: Formé un ángulo uniendo los puntos. Hice dos cuerdasyencadaunadeellasforméunamediatrizydonde chocanformanelcentrodelacircunferencia. De la solución mostrada por el estudiante, observamos que utiliza la actividad realizada anteriormente ya que construye un par de segmentos y utiliza las mediatrices de las mismas para su construcción. Por lo tanto, dicho estudiante estaría ubicado en el nivel 3 de justificación ya que utiliza una actividadanteriormenteutilizada. 120 ReportesdeInvestigación Así mismo, mostraremos la redefinición de la conjetura del mismoestudiante: Análisisdelasrespuestassobrelapregunta2 Figura2.Pregunta2.ActividadParanormal4:“Unaúnicacircunferencia” En este apartado, se espera que el estudiante redefina la conjeturainicialmentepropuestautilizandolaspropiedadesde cuerdasanteriormenteestudiadasylasactividadesdiscutidos enclasedelasiguientemanera:existeunacircunferenciaque paseportrespuntosnoco‐lineales. RESPUESTASDELAACTIVIDADN°4“CIRCUNFERENCIA ÚNICA2”(APAZA) TRANSCRIPCIÓNDELOGRABADOENCLASE Apaza:Sipongosusmediatricesnuncavanachocar porquesonparalelas. Profesor:Mueveelpuntodelmedio¿Quésucede? Apaza:Seintersectanlasmediatricesyseformaríala circunferencia. Profesor:Entonces,¿Cómopodríasredefinirlaideade Rodrigo? Apaza:Sí,existeunaúnicacircunferenciaquepasapor trespuntosyesospuntosnodebendesercolineales. 121 ReportesdeInvestigación Observamos que el estudiante fue capaz de reformular la conjeturainicial,recurriendoalapropiedaddecuerdasyala actividad 3 antes demostrada. De acuerdo con nuestro referencialteórico,adichoalumnoloubicaríamosenelnivel3 deVanHiele,yaquejustificasuspasosmediantelaaplicación deactividadesyademostradasanteriormente. Referencias Carmona,J.(2011).LaCircunferencia.UnapropuestaDidáctica usando Modelo Van Hiele y Geometría Dinámica. Recuperado(12‐04‐13)en: http://www.bdigital.unal.edu.co/8855/ Corberán, R., Gutiérrez, A., Huerta, M., Jaime, A., Margarit, J., Peñas & A., Ruiz, E. (1994). Diseño y evaluación de una propuesta curricular de aprendizaje de la geometría en enseñanza de secundaria basada en el modelo de razonamiento de van hiele. Recuperado (12‐07‐12) dehttp://www.uv.es/gutierre/index.html Jaime, A. & Gutiérrez, A. (1990). Una propuesta de fundamentación para la enseñanza de la geometría: El modelo de Van Hiele”. Recuperado (12‐06‐13) dehttp://www.uv.es/gutierre/ Gutiérrez,R.W.(2009).Nivelesdepensamientoalcanzadosen SituacionesDidácticasRelativasalconceptodeSemejanza de Triángulos haciendo uso de la Geometría Dinámica. (Tesis de maestría). Pontificia Universidad Católica del Perú,Lima. Perú, Ministerio de Educación (2006). Orientaciones para el Trabajo Pedagógico. Lima. Recuperado (1‐07‐12) en:http://www.perueduca.edu.pe/c/document_library/g et_file?p_l_id=42501&folderId=90180&name=DLFE‐ 4622.pdf 122 ReportesdeInvestigación Vallejo, E. (2012). Análisis y Propuesta en torno a las JustificacionesenlaEnseñanzadelaDivisibilidadenel Primer Grado de Secundaria. (Tesis de maestría). PontificiaUniversidadCatólicadelPerú,Lima. ANÁLISISDELASJUSTIFICACIONESDE LOSESTUDIANTESDELTERCERGRADO DEPRIMARIACUANDOCONSTRUYAN SUPROPIOCRITERIODEDIVISIBILIDAD POR5 CandyOrdoñezMontañez [email protected] Resumen El presente reporte de investigación es una primera aproximacióndelatesisqueestáenelaboración.Estereporte tieneporobjetivo,presentarelanálisisdelasjustificacionesde 3 estudiantes de tercer gradode primaria cuando construyen supropiocriteriodedivisibilidadpor5,enunaactividad.Estos estudiantes pertenecen a una institución educativa estatal localizadaenSanMiguel‐Lima.Laactividadquepresentamos ha sido diseñada en base a la propuesta realizada por Vallejo (2012). Este trabajo contempla aspectos metodológicos de Investigación–AccióndeSegal(2009)yparaelanálisisdelas produccionesdelos3estudiantesrecurrimosalosnivelesde producciónmatemáticadedemostraciónmatemáticadeBieda, Choppin y Knuth, (2011). Los resultados de esta actividad estánenprocesodeanálisis. Palabrasclave:Justificación,reparticiónydivisibilidad. 123 ReportesdeInvestigación Introducciónyproblemática A lo largo de la educación primaria se espera que los estudiantesaprendanlautilizacióndelasoperacionesbásicas de los números naturales como la adición, la sustracción, la multiplicaciónyladivisión,asícomolautilizacióndemanera comprensiva de estos algoritmos. Sin embargo, en la actualidad,observamosqueenlasclasesdematemáticasuelen enseñarselosalgoritmosdelasoperacionesbásicasdemanera mecánica, que estos deben ser memorizados por los estudiantes. Más aún, se piensa que el aprendizaje de estas operaciones,yelavanceanuevosconocimientos,segarantiza coneldominiodealgoritmos,comosucedeenparticularpara elcasodeladivisióndenúmerosnaturales. Esta forma de enseñanza tradicional conlleva a que nuestros alumnos acepten siempre de forma pasiva los conocimientos impartidosporelmaestroenclase.Porotrolado,estoresulta ser bastante contradictorio con lo propuesto por nuestro Ministerio de Educación, el que demanda que al concluir la Educación Básica Regular nuestros alumnos se caractericen porserestudiantescríticos,reflexivosyracionales.Pensamos queunaformadedesarrollarestascaracterísticasennuestros estudiantes es con una formación en matemática rica en justificaciones,comoproponeVallejo(2012).Lainvestigación queestamosdesarrollandoenlatesisesunadelascuestiones abiertas dejada por la autora, quien muestra una serie de resultados positivos inmersos en una enseñanza de las matemáticas con justificaciones, lo que sugiere a su vez mostrar a nuestros alumnos el gusto por convencerse acerca delaveracidaddelasproposicionespresentadas,inducidaso deducidas en clase y no simplemente aceptarlas sin poder cuestionarlas,asícomoelserconscientesdequeellosmismos pueden ser capaces de construir su propio conocimiento matemático. Es importante además que tomemos en cuenta que en el Diseño Curricular Nacional (2009), la división de números naturales está contemplada para ser trabajada a partir del tercer grado de primaria; mientras que el tema divisibilidad 124 ReportesdeInvestigación recién se propone que sea tratado en el primer grado de secundaria. De esto podemos decir, que este último tema reciénseesperasertrabajadoensecundaria.Adicionalmente, hemos observado en este documento oficial y en diferentes libros de texto de matemática para el nivel en cuestión, incluyendoellibrodistribuidoporelMinisteriodeEducación dePerú,quesesugierelaenseñanzadeladivisióndenúmeros naturalescomorestassucesivasyreparto. En cambio a lo expuesto anteriormente nosotros preferimos unapropuestadiferentecomoloproponeVallejo(2012),enel que presenta una propuesta de enseñanza que tiene como perspectiva a la división de números naturales como repartición equitativa y máxima, en la que avanza gradualmente con el fin de que el estudiante entienda los conceptos relacionados con la divisibilidad de números naturales. El objetivo principal de nuestro trabajo de investigación es que adaptemos esta propuesta para el nivel primaria,yasíidentificarbajoquécondicionespodemoshacer posible que estudiantes de tercer grado construyan conocimientossobredivisibilidaddenúmerosnaturales. Enestereportedeinvestigación,presentamoselanálisisdelas produccionesdetresalumnosdetercergradodeprimariaala actividad“Justifica”.Estaactividadtienecomoobjetivoque el estudiante no solo responda con verdadero o falso a las siguientes interrogantes, sino también que muestre una justificaciónacadaunadesusrespuestas: - ¿Todonúmeroesdivisibleentreélmismo? - ¿Todonúmeroesdivisibleentre1? - ¿0esdivisibleentrequénúmeros? Acontinuaciónpresentaremos,losaspectosteóricosenloque nosbasaremosparaelanálisisdeestaactividad. 125 ReportesdeInvestigación Referencialteórico Nivelesdeproduccióndedemostraciónmatemática Bieda,ChoppinyKnuth(citadoenBlanton,StylianouyKnuth, 2011), muestran una clasificación de la demostración matemáticasegúnlosnivelesdeproducción. Nivel0 En este nivel, los estudiantes no son conscientes de la necesidad de proporcionar una justificación matemática para demostrar la verdad de una proposición o afirmación. Por ejemplo, un estudiante podría argumentar que una proposición matemática es verdadera porque le dijo el profesor,unlibro,uncompañerodeclasequeélconsideracon más conocimiento o por qué es así, siendo éstos una justificaciónnomatemática. Nivel1 En este nivel, los estudiantes son conscientes de la necesidad de proporcionar una justificación matemática. Estas justificaciones están basadas empíricamente y no son generales, se distinguen en los siguientes subniveles: estudiantes que comprueban unos pocos casos o que comprueban sistemáticamente unos pocos casos, estudiantes quecompruebancasosextremosoaleatoriosylosqueusanun ejemplogenérico(representantecaracterísticodesuclase). Nivel2 Enestenivel,losestudiantesreconocenlanecesidaddedarun argumentogeneralenelqueintentanproducirtalargumento enunadeestasdosformas:argumentonoviable(noconduce aunademostraciónaceptable)ounargumentoincompleto(si se completara sería una demostración aceptable). Como también, en este nivel se incluyen respuestas en las que reflejenqueenunajustificaciónempíricanoessuficientepara unademostración,oquelosestudiantesmuestrenreconocerla limitacióndelapresentacióndeejemploscomodemostración oquereconocenlanecesidaddetratarcontodasloscasos. 126 ReportesdeInvestigación Además, los estudiantes son conscientes de la necesidad de proporcionarunajustificaciónmatemática,conunargumento general; se caracterizan por intentar producir un argumento por ellos mismos, aunque no llegan a ser demostraciones aceptables(nologranproducirunargumentogeneral). Nivel3 En este nivel, los estudiantes son conscientes de la necesidad deproporcionarunajustificaciónmatemática,logranproducir exitosamenteunargumentogeneralporellosmismos,aunque sus argumentos podrían carecer de rigor o formalidad que implicaenunademostración,peroenesenciasusargumentos demuestran el caso general. Asimismo en este nivel se caracterizan por presentar demostraciones aceptables en el que frecuentemente presenta suposiciones o hechos, una cadena de deducciones usada para construir el argumento, y porúltimounaafirmaciónconcluyenteclara. Justificaciónmatemática En nuestra investigación, tomamos la perspectiva presentada porVallejo(2012),quienexplicaque: […] una justificación matemática presenta un sentido mucho más amplio que la demostración puesto que esta incluye aquellos primeros argumentos que son proporcionados por estudiantes que son nuevos en los procesos demostrativos. […] una justificación matemática nospuedeindicarelnivelalcanzadoporelestudiante,sus dificultades, sus errores, sus conflictos, sus concepciones, etc.(p.19). Asimismo,lainvestigadoramencionaqueunestudianterealiza una justificación matemática si sus argumentos se ubican en algunosdelosniveles1,2ó3delademostraciónmatemática, presentados anteriormente. Además nos aclara que una justificación matemática en el nivel 3 puede ser considerada unademostraciónmatemática. 127 ReportesdeInvestigación Procedimientosmetodológicos Para este trabajo emplearemos aspectos metodológicos de Investigación‐ Acción Colaborativa. En la aplicación de la actividad“Justifica”,centrodeestereportedeinvestigación,se trabajantresfasesdeunodelosmodelospresentadosenSegal (2009). En relación a nuestro estudio, la fase de la recomendacióneseldiseñodelaactividadcomolaexplicación del propósito de la actividad. La práctica de esta recomendación, es la aplicación de la actividad con tres alumnos de tercer grado de nivel primaria de la Institución EducativaN°0014“AndrésBello”,deLima.Resaltamosquelos alumnos para nuestra investigación no cuentan con conocimientos previos de división y/o divisibilidad de números naturales. En la última fase, reflexionamos sobre la actividad, analizando las justificaciones de estos tres estudiantesteniendoencuentanuestroreferencialteórico,ylo obtenidoenlasgrabacionesyeldiarioquesemantuvodurante lassesionesdelapuestaenpráctica. Acontinuaciónpresentamoselanálisisdelasproduccionesde tres alumnos de tercer grado de primaria de la actividad “Justifica”. Descripciónyanálisis Laactividad“Justifica”hasidodesarrolladaenlaúltimasesión –sesión14–delapuestaenprácticadelatesis.Estaactividad estádirigidaaquelosestudiantesproporcionenjustificaciones en relación a propiedades de divisibilidad de números naturales. Cabe resaltar que en las anteriores sesiones habíamos trabajado el tema de divisibilidad en función de la definicióndedivisiónyestaúltimaenfuncióndelanociónde reparticiónequitativaymáxima,comoproponeVallejo(2012). Asimismo, es importante mencionar que las actividades desarrolladas en las diferentes sesiones, han sido diseñadas con el fin que el nivel de dificultadseagradual detalmanera que se tenga un avance progresivo en la adquisición de conocimientossobredivisibilidadporpartedelosestudiantes. A continuación se presenta un análisis detallado de las 128 ReportesdeInvestigación justificaciones de tres estudiantes para cada una de tres interrogantes: a) ¿Todonúmeroesdivisibleentreélmismo?¿Porqué? Figura1.RespuestadeRenzoalaprimerapreguntaplanteada. Notamos que el alumno no escribe un sí como respuesta, aunquepodemosdeducirqueesteeselcaso.Observamosque elargumentodadoporelalumnoestábasadoinicialmenteen dos ejemplosconcretos: 6 es divisible entre 6 y 7 es divisible entre 7. Vemos que su explicación está dada en términos de una división exacta, lo que queda claro cuando escribe la expresión:“…siesexacta…”.Noobstante,elalumnonosolose quedadandoejemplossinotambiénintentadarunargumento general, cuando escribe en las dos últimas líneas: “todo es exactosiesdivisibleconélmismo”.Esteargumento,segúnla clasificacióndeBiedaetal.(2011),estaríaubicadaenelnivel2 de producción de demostración matemática. Es importante mencionar que así como en este caso, existen otros tantos en los que no se muestra unaclaridad necesariaal proporcionar argumentos. Esto lo vemos reflejado específicamente cuando los estudiantes escriben un argumento que puede ser considerado a primera vista como incorrecto, lo cual se debe principalmente a su desconocimiento del uso de las reglas de ortografíaydelossignosdepuntuación.Porejemplo,cuando 129 ReportesdeInvestigación Renzo escribe: “…si es exacta…”, y debe escribir: “…sí, es exacta…”; o también cuando escribe: “todo es exacto si es divisibleconélmismo”,ydebeescribir:“Todoesexacto.Sí,es divisibleconélmismo.” b) ¿0esdivisibleentrequénúmeros?¿Porqué? Figura2.RespuestadeYolandaalasegundapregunta. ObservemosqueYolandamuestraun“no”comorespuesta,de esto podemos deducir que la alumna está considerando que ceronoesdivisibleentreningúnnúmero,porque“elnúmeroes muy bajo”, refiriéndose al cero. De todo lo anterior, creemos que la alumna está haciendo alusión a los casos en que el dividendo(diferentedecero)esmenoraldivisor;porejemplo: 2 entre 4 (ó 2 no es divisible entre 4), 5 entre 9 (ó 5 no es divisible entre 9), etc. Sin embargo no han contemplado este casoespecial,0esdivisibleentrecualquiernúmero.Aunqueen su argumento emplea un ejemplo concreto como es el de dividir cero (chocolates) entre ocho (primos) el cual tendríamosunadivisióndetipoexacta,siendoesteunejemplo correctoenrelaciónalapreguntaplanteada.Pero,pareceser que la alumna no es consciente de su argumento dado. Esto reflejaquelaalumnanohalogradohacerlaconexiónentresu ejemplo de división exacta y la noción de divisibilidad. Su 130 ReportesdeInvestigación argumentoseclasificacomonocodificable,yenconsecuencia noseconsideraunajustificación. c) ¿Todonúmeroesdivisibleentre1?¿Porqué? Figura3.RespuestadeOrlandoalatercerapregunta. La respuesta dada por el alumno es correcta, así como su argumento.CuandoOrlandoescribe:“porquetodoselodaríaal 1”,observamosquesuargumentoestábasadoenlarepartición equitativa y máxima de una cantidad arbitraria de objetos entreunasolapersona,entregandotodosestosobjetosaesta única persona y quedándose sin ningún objeto después de la repartición. Asimismo notemos que el estudiante emplea un ejemplo general con la notación de la división trabajada en clase, en el que creemos que usa el símbolo infinito (∞) para representar una cantidadcualquiera que al serdividida entre uno, se tiene como cociente al mismo número (∞), y como residuo a cero. Notemos que el alumno pone énfasis en el residuo cero, al colocarlo en un recuadro de color oscuro, ya que gracias a esto puede hablar de divisibilidad. De esta manerapodemosconcluirdiciendoqueOrlandolograproducir exitosamenteunargumentogeneral,queestaríaubicadoenel nivel 3 de los niveles de producción de demostración matemática. 131 ReportesdeInvestigación Conclusiones Elhabertomadoennuestrainvestigación,lasconsideraciones hechas en la propuesta de Vallejo (2012) en lo referido a la noción de repartición equitativa y máxima, quien define división y divisibilidad de números naturales en función de este tipo específico de reparticiones, ha contribuido conjuntamente con las actividades diseñadas gradualmente por la autora de esta investigación, a que alumnos de nivel primario logren construir sus conocimientos de división y divisibilidad de números naturales de manera natural, significativa y coherente y, asimismo que logren hacer justificaciones. Esto es reflejado por ejemplo en los argumentos de Yolanda y Orlando respecto a cuestiones de divisibilidad en que es notorio su noción de repartición equitativaymáxima,yestoesdeesperaryaqueestanociónha sidobaseparalaconstruccióndelasotrasnociones(divisióny divisibilidad).Porúltimo,esimportanteresaltarquealumnos delnivelprimario,comoeselcasodeOrlando,puedenlograr alcanzar el nivel más alto de justificación; incluso dar un criterio de divisibilidad, en particular, el criterio de divisibilidadpor5. Referencias Bieda,K.,Choppin,J.,yKnuth,E.(2011).MiddleSchoolStudents’ ProductionofMathematicalJustifications.EnBlanton,M., Knuth, E. y Stylianou, D. (Eds), Teaching and learning proof across the grades: A K‐16 perspective. (pp.153‐ 155).NewYork:NY:Routledge. Perú, Ministerio de Educación (2009). Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular. Lima. Recuperadodehttp://www.minedu.gob.pe/ Segal, S. (2009). Action research in Mathematics Education: a study of a master’s program for teachers. Tesis doctoral, Montana StateUniversty, Bozeman, Montana, Estados Unidos. 132 ReportesdeInvestigación Vallejo, E. (2012). Análisis y propuesta en torno a las justificaciones en la enseñanza de la divisibilidad en el primer grado de secundaria.(Tesis de maestría, Pontificia UniversidadCatólicadelPerú). UTILIZANDOAHISTÓRIADA MATEMÁTICANOENSINODAÁLGEBRA: PERCEPÇÕESEARGUMENTOSDESTA METODOLOGIANOENSINOE APRENDIZAGEMDAMATEMÁTICA JosenildoSilvadoNascimento,AnaCarolinaCostaPereira, IsabelleCoêlhodaSilva UniversidadeEstadualdoCeará‐UECE [email protected],[email protected], [email protected] Resumo ÉcomumprofessoresquelecionamnoEnsinoFundamentale Médio utilizarem, no seu dia‐a‐dia, o método expositivo para conduzir as aulas de Matemática como seus antigos professores ministravam, acarretando em aulas desestimulantes,dificultandoaaprendizagemdessesalunos.A preocupação com o processo de ensino e aprendizagem em sala de aula, assim como a formação do professor que está atuando e também está iniciando em sua atividade docente é investigada pelos pesquisadores brasileiros. Através de uma pesquisainicialdoGrupodePesquisaemEducaçãoeHistória daMatemática(GPEHM)comalunosdocursodeLicenciatura em Matemática da Universidade Estadual do Ceará ofertamos nos meses de Setembro a Novembro de 2013, um curso utilizando a História da Matemática em alguns conteúdos da área de Álgebra. O objetivo era perceber se a nossa proposta deaulapodeserempregadaemsalasdeaulascomotambémo 133 ReportesdeInvestigación uso da História da Matemática. Assim, percebemos o desconhecimento dos alunos em conceitos Algébricos que podemseraplicadosutilizandoaHistóriadaMatemáticaoque acarretou uma contribuição para a formação inicial futuros docentes. Palavras‐chave:Álgebra,Ensino,Metodologia. O uso da Tendência de História da Matemática no Mundo Atual. Os atuais pesquisadores em Educação Matemática são unânimes ao afirmar que a tendência de História da Matemáticaéumaverdadeirafontedeatividadesparasefazer matemática em sala de aula. Nos ultimos anos pesquisas voltadas nesta perspectiva vem crescendo cada vez mais. ConheceraHistóriadaMatemáticaéumaformaindispensavel na formação do professor. Segundo Mendes (2006), Fossa (2006) e Valdés (2006), esta tendência proporcionará uma visão de que a matemática é uma criação humana e não uma ciênciameramenteprontaparaseraplicadanosmaisdiversos ramos.Elestambémafirmamque: “AperpectivaHistóricanosaproximadamatemáticacomo ciência humana, não‐endeuzada, às vezes penosamente rastejante,eemocasiõesfalíveis,porém,capazdecorrigir seuserros.Nosaproximadasinteressantes pessoalidades doshomens,quetemajudadoaimpulsioná‐laaolongodos séculos, por motivações distintas.” (Mendes, Fossa e Valdés,2006,P.16) AHistóriadaMatemáticanonossoveréumametodologiaque quando utilizada de forma correta, pode surtir efeitos efeitos inesperados em sala de aula. Concordamos com D'Ambrósio (1996) quando ele menciona que a História da Matemática serve para nos dá uma maior compreensão da evolução do conceito, enfatizando as dificuldades epistemológicas inerentesaessesconceitos,queestãosendotrabalhados.Além disso, a História da Matemática esclarece para o aluno ideias matemáticas que estão sendo construídas no seu dia‐a‐dia, podendo assim responder os “porquês” tão presentes nas 134 ReportesdeInvestigación aulas, formando cidadãos críticos sobre o conhecimento em geral. A busca para minimizar as dificuldades de aprendizagem dos alunos tem gerado grandes discussões sobre as metodologias que devem ser empregadas nas aulas de Matemática. Dentre essas metodologias, apoiado nos Parâmetros Curriculares Nacionais ‐ PCN (1998) e em pesquisas como as de Mendes (2006), a História da Matemática é uma forte tendência que pode dar condições ao aluno a entender a relação entre o homem e o conhecimento matemático de uma determinada época, estudando aspectos sociais, políticos, culturais e econômicos. Assim, trabalhando a Matemática dentro de uma perspectiva histórica é plausível contextualizar e dar significadoadeterminadosconteúdos. Trabalhando Equações do 1º e 2º grau numa perspectiva histórica: Percepções dos Estudantes do curso de Licenciatura em Matemática da UECE na utilização desta abordagememsaladeaula. Nos meses de setembro a novembro de 2013, depois de investigarmoscomoaHistóriadaMatemáticaestavapresente na vida acadêmica dos estudantes de Licenciatura em Matemática na UECE, realizamos cursos de extensão voltados nestaperspectivahistórica. Como a área da Álgebra foi a que os discentes mais se identificavamcomaMatemática,acabousendoanossaescolha para a criação dos cursos de extensão do nosso grupo de pesquisanasáreasdeEducaçãoeHistóriadaMatemática. Intitulado como “Utilizando a História da Matemática para ensinaralgunsconteúdosdaÁlgebranoEnsinoFundamentale Médio – Equações do 1º e 2º grau”, trabalhamos com os participantes atividades para contribuir na formação dos discentessobreoassuntoemquemuitasdasvezesosalunos sentem dificuldades ao estarem se deparando com estes problemas. No primeiromomentotraçamos umpanoramada História da Álgebra no decorrer dos anos, observando a evolução de 135 ReportesdeInvestigación alguns conceitos matemáticos e a forma escrita de um determinado problema. Depois abordamos os métodos egípcios para resolução de equações do 1º grau que foram a RegradaFalsaPosiçãoedaDuplaFalsaPosição,ondeatravés de exemplos históricos, ou seja, nos papiros de Rhind, problemas envolvendo o assunto analisando como se funcionavacadaum. Ao final através de um artigo de Wagner da Cunha Fragoso intitulado Equações do 2º grau: Uma aborgadem Histórica fizemos uma investigação de como as civilizações antigas conseguiamresolverestestiposdeequações. EssautilizaçãovaideencontroaosmodosdeutilizaraHistória da Matemática em sala de aula citados por Nobre e Baroni (1999): uso narrativo, descritivo e biográfico; leituras e discussões de textos históricos; relacionamento com o desenvolvimentocientífico;apresentaçãoediscussãodefilmes históricos;epreparaçãoeapresentaçãodepeçasteatrais. Depois de realizada todas as atividades os participantes realizaram um questionário. Assim analisamos se a proposta poderia ser aplicada em sala de aula e se a História da Matemática é uma alternativa válida para aplicar em sala de aula. ComoaHistóriadaMatemáticapodeservirdeauxílio paraoEnsinodeMatemática 136 Auxiliarna aprendizagem da matemática com seus significadoseporquês. Mostrar novas possibilidades, métodos de resoluçõesdeproblemas. Motivarosalunos,atravésdedebates,pesquisas. Interesse pela matemática, percebendo através de fatos históricos como resolver um determinado problema. Uma possibilidade de se fazer matemática em sala deaula. Fonte:EstudantesdoCursode MatemáticanaUECE ReportesdeInvestigación Todosestespontosafirmadospelosestudantessãoapontados realmentepelosvariospesquisadoresnaárea.Assimpercebe‐ se que o quanto a História da Matemática é uma alternativa viável para aplicar em sala de aula, claro, se utilizada corretamente. Percepçõesqueserviramparamelhorarsuaformação profissional Utilizar métodos que facilitam a construção de conceitosparaequaçõesde1ºe2ºgraus. Buscar outras maneiras de como se fazer matemáticaemsaladeaula. Perceberalguns“porquês”sobreasequações. Dinamizar a aula, para sair muitas vezes da “monotonia”. Poderiralémdo“métodomecanizado”. Repensarosaspectosdapráticaemsaladeaula. Melhorar a conceituação sobre os assuntos matemáticos. Fonte:EstudantesdoCursode MatemáticanaUECE Os estudantes como percebemos no quadro consideraram satisfatória a nossa proposta, como também proporcionaram umaaprimoraçãodosconhecimentosmatemáticosquemuitas vezes passam despercebidos durante nossa formação acadêmica.Contudohádesvantagensdevidoofatodequeos métodos como a Falsa Posição e a Dupla Falsa Posição só servemparaalgunstiposdeequaçõesenãotodas.Enfimcabe ao professor escolher o melhor recurso para cada assunto estudado buscando superar as dificuldades que apareçam duranteoprocessodeensinoeaprendizagem. ConsideraçõesFinais A história é uma das ferramentas que podem ser utilizadas para diminuir a dificuldade do aluno em alguns conteúdos 137 ReportesdeInvestigación matemáticos tanto da Educação Básica quanto Superior. Sua utilização deve ser promovida e propagada desde o início da formação do Professor de Matemática, ou seja, na Universidade. ApropostainicialdoGrupodePesquisasegundoosestudantes doCursodeLicenciaturaemMatemática,futurosprofessores, éválida.Emboracabeaoprofessorsaberutiliza‐láeescolhero melhor caminho para superar as dificuldades no processo de ensinoeaprendizagem. Agora o próximo passo será aplicado realmente na prática e será um dos próximos pontos a ser investigado: Aplicar a propostaemalgumasturmasde7ºano,8ºanoe9ºano.Nestes anosescolaressegundoosPârametrosCurricularesNacionais noBrasil–PCN(1998)emquesetrabalhainicialmentesobre Equações. Com isso, propomos aguçar o interesse e motivar esses discentes a buscar um conhecimento que não são adquiridos durante a graduação. Por isso pensando neste estadoda arte, estamos idealizamos estes cursos visando à complementação daformaçãodoalunodocursodeLicenciaturaemMatemática naUECE. Então, porque não avançarmos nesta ideia? E apesar das dificuldadesemsefazerMatemáticaemsaladeaula,podemos ser capazes de transformar em apenas “alguns toques” uma novavisãodoEnsinodaMatemáticaemsaladeaula. Referências Baroni, Rosa Lúcia Sverzut. Nobre, Sérgio Roberto (1999) A pesquisaemHistóriadaMatemáticaesuasrelaçõescoma EducaçãoMatemática.In:BICUDO,M.A.V.(Org.).Pesquisa em Educação Matemática: Concepções e Perspectivas, UNESP,SãoPaulo,Brasil,páginas129‐136. Brasil.(1998)ParâmetrosCurricularesNacionais–Matemática (5ª a 8ª série). Ministério da Educação e Cultura. EC. 138 ReportesdeInvestigación Secretaria de Educação Fundamental, Volume 3, Brasília, Brasil,151páginas. D’Ambrósio,Ubiratan.(1996)EducaçãoMatemática:Teoriaà Prática. Papirus, Coleção Perpectivas em Educação Matemática,SãoPaulo,Brasil,121páginas. Fossa, John Adrew. (2001) Ensaios sobre Educação Matemática,UEPA,Belém,Brasil,181páginas. Fossa,JohnAdrew.Mendes,IranAbreu.Valdés,JuanEduardo Napoles.(2006) Históriacomoumagentedecogniçãona EducaçãoMatemática,Sulina,Natal,Brasil,182páginas. UMOLHARSOBREAFORMAÇÃODO PROFESSORDEMATEMÁTICAEM CONTEXTOSAMAZÔNICOSÀLUZDATAD EDAETNOMATEMÁTICA LucélidadeFátimaMaiadaCosta UEA/FAPEAM/PPGECM‐UFPA [email protected] ItamarMirandadaSilva UFAC/PPGECM‐UFPA [email protected] ElisângelaAparecidaPereiradeMelo UFT/PPGECM‐UFPA [email protected] Resumo Neste trabalho trazemos à discussão resultados obtidos em trêspesquisasdedoutoramentoreferenteàcomplexidadedos processos de formação de professores de Matemática, refletindosobreadiversidadedemodosdeensinareaprender em contextos amazônicos. A metodologia adotada na elaboraçãodesteartigoexigiuadiscussãoeatriangulaçãodos resultados obtidos em nossas pesquisas sobre formação de 139 ReportesdeInvestigación professores de Matemática, na Amazônia brasileira, em busca depontoscomunsaumapropostadeformaçãoqueconsidere osaberaserensinado,osujeitodaaprendizagemeocontexto no qual a escola está inserida. A relevância da temática se corporifica ao identificarmos as dificuldades dos professores em formação, inicial e continuada, para perceber as relações entre conteúdos matemáticos e também, para adequar as teoriasestudadasaosdiversoscontextosamazônicos. Palavras‐chave:FormaçãodeProfessor,Etnomatemática,TAD, Ensino. Introdução A complexidade presente na formação de professores de Matemática ganha evidência, em contextos amazônicos, ao considerarmosadiversidadeculturaldestaregião.Nestetexto, abordamos,deformaleve,taltemáticaaodiscorrermosenos posicionarmosapartirdarealidadequeconhecemosdequatro estados da Amazônia brasileira: Acre, Amazonas, Pará e Tocantins, estados locus de nossas pesquisas. Desse modo, todasasvezesquefalarmosemcontextosamazônicoséaeles queestamosnosreferindo. Nossas pesquisas têm em comum o estudo de processos de formação(inicialecontinuada)deprofessoresdeMatemática, parte da fundamentação teórica e da metodologia adotada, poisnosapoiamosentreoutros,nosfundamentosdaTADeda Etnomatemática. Nas três pesquisas realizamos entrevistas, e desenvolvemosPercursosFormativoscomosprofessores. Ao pensarmos a relação do professor com os saberes matemáticos e os conhecimentos mobilizados nas práticas socioculturaisencontramosnosrecursosteóricosdaTADeda Etnomatemática meios para a análise e para o desenvolvimento de práticas docentes em contextos amazônicos, pois nos possilitam pensar as relações entre professor‐aluno‐sabernocontextoondeaspráticaseducativas eformativasacontecem. 140 ReportesdeInvestigación No decorrer de nossos estudos percebemos que o caráter antropológico é o cerne da interconexão entre a Teoria Antropológica do Didático‐TAD e a Etnomatemática, ou seja, ambas nos alertam para a importância de considerarmos o sujeito e a construção de conhecimentos em contextos amazônicos e as suas implicações à formação de professores deMatemática,umavezquenessaregiãoovivereoconviver propiciam a criação de formas culturais de medir, contar, localizar, fazer inferências, resolver problemas, configurando assim,umacomplexatramaderelaçõescujosfiosevidenciam formas de pensar matematicamente aprendidas no convívio sociocultural. Alguns aspectos da TAD e suas implicações à formação de professoresdeMatemática ATADtomaanoçãodepraxeologiasparasereferiraqualquer estrutura possível de atuação e conhecimento assumindo que toda atividade humana pode ser descrita como a ativação de praxeologias e que qualquer prática ou “saber‐fazer” (toda praxis)ésempreacompanhadadeumdiscursoou“saber”(um logos), isto é, uma descrição, uma explicação ou uma racionalidade mínima sobre o que é feito, como se faz e por quesefaz(Chevallard,1999). Nessecaminhar, éassumido quea pessoa é resultante deseu passado e presente de sujeições institucionais e o seu conhecimentopode,emdiacronia,serimaginadocomoofazer dahistóriadapessoacomosujeito,pormeiodacrônicadesuas sujeições e contrassujeições, e, em sincronia, com o conjunto de suas relações pessoais com os objetos, – considerado por Chevallard(2009,p.01)comoaprimeiranoçãofundamental,e se refere a “qualquer entidade, material ou não material, que existe pelo menos para um individuo” – que vivem nas instituições aonde vive ou viveu (grifos do autor, tradução nossa). Assim,oqueapessoafazoupensanoseiodeumainstituição em uma determinada posição, são frutos de assujeitamentos institucional. Isso significa que o indivíduo se torna uma 141 ReportesdeInvestigación pessoa à medida que é sujeito de múltiplas instituições e não hácomofalarderelaçãopessoalrelativaaumdadoobjetosem quesejadisponibilizadapelomenosumapraxeologiacomesse objetopelainstituiçãoparaapessoa,mesmoquenãoestejam clarososinteresseseasintençõesinstitucionaisqueenvolvam essapraxeologia. Assim, torna‐se imperioso como princípio basilar colocar as praxeologiasnocernedaproblemáticaeexercersobreelasum constantequestionamento,buscando“descobrir”ascondições e restrições que coderterminam essas praxeologias. Nesse sentido,comungamoscomAlmouloud(2007),aoevidenciara importante contribuição da TAD para a didática da matemática, pois, além de ser uma ampliação do conceito de transposição didática, insere a didática no campo da antropologia quando olha o estudo das organizações praxeológicas didáticas pensadas para o ensino, também, ao estudar as condições de possibilidades e funcionamento de sistemasdidáticos,compreendidoscomorelaçõesentresujeito –instituição–saber(Brousseau,2006). ATAD,segundoChevallard(1999),estudaohomemperanteo saber matemático, e mais estritamente, perante situações matemáticas. O aspecto antropológico da TAD surge quando localizamos a atividade matemática e, em consequência, o estudo da Matemática dentro do conjunto de atividades humanasedeinstituiçõessociais. SegundoSierra(2006),naTADpartimosdoprincípiodequeo saber matemático é construído como resposta ao estudo de questões problemáticas, aparecendo assim como o resultado de um processo de estudo. Este princípio permite considerar as Matemáticas como construções e atividades institucionais, incluindo todas as conotações culturais e sociais que estes podem significar. Em particular, permite tomar em consideração o relativismo institucional do conhecimento matemático,assimcomoocomponentematerialdaatividade. Dentro deste ponto de vista geral do conhecimento matemáticoChevallard(1999),propõeanoçãodeOrganização 142 ReportesdeInvestigación Praxeológica Matemática, e Praxeologia Matemática (ou simplesmente, Organização Matemática) como modelo mais adequado e relente para descrever o conhecimento matemático,cujaformamaissimplespodeserdescritaemdois níveis.Oprimeironíveléoqueremeteàpráticaqueserealiza, a praxis ou saber‐fazer, isto é, os tipos de problemas e tarefas que se estudam e as técnicas que se constrói e utilizam para abordá‐los. O segundo nível recorre à parte descritiva, organizadora e justificadora da atividade matemática, chamadologosou,simplesmente,saber.Essenívelnemsempre está presente no exercício das práticas escolares, por restrições decorrentes de outros níveis de codeterminação didática, como da sociedade, da pedagogia ou da cultura, por exemplo,porestaremsuficientementenaturalizadas. Assim sendo, a partir da TAD percebemos a didática como a ciência das condições e restrições da difusão social de praxeologiase,porconseguinte,adidáticadasmatemáticasse apresentacomoaciênciadascondiçõeserestriçõesdadifusão socialdepraxeologiasmatemáticasconformandooarcabouço deformaçãodeprofessoresdeMatemática. A Etnomatemática e a formação de professores de Matemática OsprincípiosdaEtnomatemáticanospermitemperceberqueo contextosocialesuasnormasculturaistêmforteinfluênciano comportamentodossujeitos,inclusivenaescola.Porisso,um processo de formação de professor de Matemática, requer prepará‐loparareconhecereidentificarpossíveisconstruções conceituais, que diferem das institucionalizadas em contextos escolares, desenvolvidas pelos alunos em seus diferentes ambientesdevida. A perspectiva antropológica, quando presente nos processos deformaçãodeprofessorespermitepensarnaaprendizagem, inclusive matemática, como uma construção decorrente, também, de práticas cotidianas como nos mostra Bishop (2009) e Gerdes (2007). Esses dois estudiosos mostram que independente do lugar de nascimento ou da classe social, os 143 ReportesdeInvestigación conhecimentos matemáticos inerentes ao cultural, têm importância na aprendizagem matemática escolar, pois permitem a relação e a comparação entre o que vivemos na teoriaenaprática. Em contextos amazônicos como comunidades ribeirinhas, indígenas, agricultores, construtores de barcos, percebemos a mobilização de ideias matemáticas e a construção de praxeologias próprias para a difusão do conhecimento construídoculturalmente.Conhecerosaspectossocioculturais da comunidade onde a escola está inserida é de fundamental importância para a elaboração de estratégias de ensino eficazes,poisdeacordocomD’Ambrósio(2005,p.35): Numa mesma cultura, os indivíduos dão as mesmas explicações e utilizam os mesmos instrumentos materiais e intelectuais no seu dia a dia. O conjunto desses instrumentos se manifesta nas maneiras, nos modos, nas habilidades, nas artes, nas técnicas, nas ticas de lidar com o ambiente, de entender e explicar fatos e fenômenos, de ensinar e compartilhar tudo isso, que é o matema próprio ao grupo, à comunidade, ao etno. Isto é, na etnomatemática (grifos do autor). Assim sendo, fica evidente a importância de pensarmos o caráter antropológico da formação do professor de Matemática,emcontextosamazônicos,demodoacontemplar as diferentes relações culturais que aí se estabelecem, pois essas relações permitem pensar em uma das dimensões fundamentais da antropologia, a dimensão comparativa, uma vez que, em contextos amazônicos, as nossas ações docentes poderiam nos levar a comparação de culturas, não para apontar a melhor, mas para percebermos as diferenças inerentesaosmodosdeensinarculturalmenteestabelecidos. Nessa relação de contraste, de comparação, percebemos a alteridade,porisso,pensamosqueaformaçãodoprofessorde Matemática, que vai atuar nesses contextos, deve ser estruturadatendotambém,comoreferênciapráticasculturais da sociedade local como as brincadeiras, os jogos, os modos 144 ReportesdeInvestigación instituídosdeagrupar,localizarecontarcolocandoladoalado as epistemologias dessas práticas com outras já institucionalizadasemambientesescolares. Consideraçõesfinais AspesquisasemEducaçãoMatemática,nasúltimasdécadasdo século XX e nas primeiras do atula século, buscam compreenderaconstruçãoeadifusãodoconhecimentosocial com vistas a diminuir os problemas enfrentados na profissão docente. Nossas pesquisas também contemplam tal intenção aoestudarmososproblemasdaformaçãodocente,nãotemos, comisso,aintençãoconstruirpraxeologiasúnicasdeensinode determinados objetos matemáticos para contextos amazônicos, as instituições investigadas, mas mostrar que a escola e as praxoologias devem se adequar ao ambiente culturalondeseinserem. Nossas pesquisas ao caminharem na direção de compreender praxeologias articuladas com os processos de formação de professores que ensinam Matemática evidenciam aspectos convergentes entre as concepções da TAD e da Etnomatemática que permitem ampliarmos as discussões sobreosprocessosdeformaçãodeprofessoresdeMatemática, pois tanto a TAD como a Etnomatemática trazem em seus fundamentos a importância dos aspectos antropológicos quando pensamos a formação de professores. Ou seja, a formação de professores tem que ser pensada levando em consideração a diversidade de realidades onde a escola está inserida e as regras explícitas e implícitas que direcionam a açãodocentedentrodeumadeterminadainstituição. Nossos esforços para compreender os problemas enfrentados pela profissão docente, mais especificamente a formação de professoresde Matemáticabuscaram embasamento na TAD e nos pressupostos da Etnomatemática, por consideramos que ambas,partemdacompreensãodequeossereshumanospara agiremsereúnememgruposculturais–asinstituições–que impõem certo modo de fazer e pensar próprios – as praxeologias–paraodesenvolvimentodesuasatividades. 145 ReportesdeInvestigación Dessemodo,parapensaraformaçãodocenteéimprescindível termos um olhar sobre as práticas socioculturais, pois delas emergem formas de ensinar e aprender validadas nos diferentes grupos sociais, as quais podem ser também, elementos fundantes de novas praxeologias no contexto escolar. Referências Almouloud, S. (2007). Ag. Fundamentos da didática da matemática.UFPR,Curitiba,Brasil.UFPR. Bishop, A. J. (1999). Enculturación Matemática: La educación matemática desde unaperspectiva cultural. Ediciones PaidósIbérica,S.A.Barcelona,Espanha. Brousseau, G. (2006). A teoria das situações didáticas e a formaçãodoprofessor.PUC,Palestra,SãoPaulo,Brasil. Chevallard, Y. (2009). La TAD face au professeur de mathematiques.Tuluse,UMRADEF. Chevallard,Y.(1999).“l’analysedespratiquesenseignantesem théorie anthropologique du didactique. Recherches em didactique des Mathématiques”.Grenoble: La Pensée Sauvage‐Éditions,v.19.2,p221‐265. D’Ambrósio,U.(2005).Etnomatemática:Eloentreastradiçõese amodernidade.Autêntica,BeloHorizonte,Brasil. Gerdes,P.(2007).GeometriaeCestariadosBoranaAmazonia Peruana.LuluEnterprises,Morrisville,NC27560.Estados UnidosdaAmérica. Sierra, T. A. (2006). Lo matemático en el diseño y análisis de organizacionesdidácticas.Lossistemasdenumeraciónyla medida de magnitudes. Madrid, UCM, Tesis Doctoral. UCM. 146 ReportesdeInvestigación ANEGATIVIDADEEOSMENORES PRINCIPAISDEMATRIZESHERMITIANAS JoãoLuzeiltondeOliveira,AntoniaMariaJoséPinheiro, MariaFabíolaBorgesdeAraújo UniversidadeEstadualdoCeará‐UECE/BRASIL [email protected];[email protected], [email protected],[email protected] Resumo Aquantificaçãoeclassificaçãodoentrelaçamentoquânticosão questões que ainda permanecem em aberto, e isto é, sem dúvidas, um dos aspectos que atraem muitos pesquisadores, principalmentematemáticos.Paraentenderaquantificaçãodo entrelaçamento, é interessante entender como se classifica o mesmo,ouseja,entenderalgunscritériosdeseparabilidadede estados quânticos (estados quânticos separáveis são também chamadosdeestadosnãoentrelaçadosoudesentrelaçados)ea definição de medida de entrelaçamento (isto é, as condições para que uma função, que depende da matriz densidade do estado quântico, deve satisfazer para que a mesma seja uma medida de entrelaçamento). Pretende‐se, neste estudo, apresentarumamedidadeentrelaçamentoquântico,chamada denegatividade,estabelecendo‐seumarelaçãoentreamesma e os menores principais de matrizes Hermitianas, o que permite analisar o entrelaçamento para estados puros de n qubits,usandoosmenoresprincipaisdematrizesHermitianas. Antesdeapresentartalmedida,serãoapresentadosconceitos e propriedades matemáticas necessários à compreensão do problema, alguns critérios de separabilidade de estados quânticoseadefiniçãodemedidadeentrelaçamento.Espera‐ sequeosresultados,frutosdesseestudo,alémdeinovadores, contribuamparapesquisasnasáreasdeComputaçãoQuântica eInformaçãoQuântica,comnovasmedidasdeentrelaçamento quântico, culminando com a descoberta do computador quântico,maisrápidodoqueoclássico. 147 ReportesdeInvestigación Palavras‐chave: entrelaçamento quântico, menores principais, matrizeshermitianas Introdução Apresentaremos um resultado sobre medidas de entrelaçamentodeestadosquânticos,ondeseestabeleceuma relação entre a negatividade e os menores principais de matrizes Hermitianas, analisando o entrelaçamento para estados puros de 2 qubits, usando os menores principais de matrizes Hermitianas. Para entender a medida de entrelaçamento proposta, é necessário compreender algumas propriedadesdamatrizdensidadedeumestadoquântico,que será feito a seguir. Uma matriz Hermitiana é positiva semidefinida, se todos os seus autovalores são não negativos. Um critério de separação para estados em sistemas C C (doisqubits)eC C (umqubiteumqutrit)foipropostopor PereseHorodecki.Peresprovouumacondiçãonecessáriapara a separabilidade de estados em sistemas C C e C C (estecritérioéconhecidocomocondiçãonecessáriadePeres) baseada na positividade da transposta parcial da matriz densidade do estado. Mas, existe um critério que relaciona a positividade semidefinida de uma matriz Hermitiana com os seusmenoresprincipais,oteoremadeSylvester,quenosdiz: “UmamatrizHermitianaρépositivasemidefinidasetodosos seusmenoresprincipaissãonãonegativos.”Naverdade,para verificar a positividade semidefinida de uma matriz Hermitiana, é suficiente testar apenas os menores principais líderes. Sendo A uma matriz , uma submatriz principal ,deA,com1 ,éumamatrizquepodeserobtida de A eliminando‐se linhas e colunas. Em outras palavras, uma submatriz principal de A, é uma matriz cuja diagonal está contida na diagonal de A. Assim, um menor principal de ordem , de A, é o determinante de uma submatriz principal . Seja o j‐ésimo menor principal de ordem k de A, com 1 significa que para matrizes 148 , onde ! ! . Isto ! , existem m menores ReportesdeInvestigación principaisdeordenk,eonúmerototaldesseséiguala2 1. Destaforma,opolinômiocaracterísticodamatrizA,édadopor ⋯ 1 ∑ ⋯ (1),onde éasomadosmenoresprincipais deordemi,deA,com1 ,e 2 ,paraalgum ∈ N.Já os menores principais líderes de A, são os determinantes das submatrizesdeAobtidaseliminando‐seasúltimaskcolunase as últimas k linhas, onde 1, 2, … ,0. Para uma , com 1 , 4, os menores matriz Hermitiana principaissão Ordem1 , , , ; Ordem2 , , , , , ; Ordem3 , , , ; Ordem4 ; são eosmenoresprincipaislíderesde , , , . ANegatividadecomoFunçãodosMenoresPrincipais Já foi visto acima, que a positividade semidefinida de uma matrizHermitianapodeserverificadausando‐seoteoremade 149 ReportesdeInvestigación Sylvester. Veja, agora, o resultado da comparação do critério de separabilidade de Peres‐Horodecki e o teorema de Sylvester:“Seatranspostaparcialdamatrizdensidadedeum estado em C C e C C não tem menores principais negativos,entãooestadoéseparável;casocontrário,oestado é entrelaçado.” Neste caso,a fimde verificar aseparabilidade dos estados bipartes, ao invés de calcular as raízes do polinômio característico da transposta parcial da matriz densidade,echecarsealgumadelasénegativa,calculam‐seos menores principais líderes da transposta parcial e verifica se um deles é negativo. Com o objetivo de estabelecer uma medida de entrelaçamento para sistemas de dois qubits, usando os menores principais, considere o polinômio em (1), (2). O com 4, isto é, polinômioem(2)temquatroraízese,seoestadoquântico é entrelaçado, então uma delas é negativa. O valor absoluto dessa raiz é a negatividade dada pela expressão ‖ (3), em que ‖ é a soma dos . Assim, a valores absolutos dos autovalores de negatividadedoestadoquântico podeserestabelecidacomo }(4),emque éaraizmínimade(2). 0, Observeque,diferentementedaideiadenegatividade,ovalor absolutodasomadosmenoresprincipaisnegativosnãoéuma medida de entrelaçamento. A seguir será apresentado o resultado, objetivo, deste trabalho: “uma relação entre a negatividade e os menores principais de uma matriz Hermitiana”.Seja amatrizdensidadedeumestadoquântico puro de um sistema biparte de dois qubits, cujo polinômio característico da transposta parcial de é dado pela Eq. (2). 0 (5) possui Como a equação umaúnicaraiznegativa,asaber 4 4 4 150 4 2 4 (6), tem‐ ReportesdeInvestigación sequeanegatividadecomofunçãodosmenoresprincipaisda transpostaparcialde ,édadapor | | 4 4 4 que 2 cos 4 2 , 4 (7), em com e , . Como exemplo, considere o estado , 00 11 e 01 10 , com em que , 0 e 1. O polinômio característico de é dado por . Assim, 1, , 0, e daí, , , 0 e SubstituindoessesvaloresnaEq.(7),obtem‐se 0. . Conclusão Após a comparação do teorema de Sylvester e o critério de Peres‐Horodecki, mostrou‐se comocalcular a negatividade de um estado biparte de dois qubits em função dos menores principais de uma matriz Hermitiana. A vantagem deste método,queutilizaoteoremadeSylvester,équeaoinvésde calcular os autovalores da transposta parcial da matriz densidade,aquisecalculamosSi,em(2),quesãoassomasdos menores principais de ordem 1, 2, 3 e 4 do polinômio característico da transposta parcial da matriz densidade, sem necessariamenteterquecalcularessesmenores.Sabe‐sequeo entrelaçamento é uma importante propriedade da mecânica quântica, chave para a Computação Quântica e a Informação Quântica. É, portanto, um recurso importante na busca do computadorquântico. 151 ReportesdeInvestigación Referências Nielsen, M. & Chuang, I. L. (2005) Computação Quântica e Informação Quântica. Bookman, 1ª Edição, São Paulo, Brasil,733páginas. Chen, C. –T (1999) Linear systems theory and design. Oxford UniversityPress,3rdedition,USA,334páginas. Oliveira, J. L. (2012) Ferramentas Algébricas para o Estudo do Entrelaçamento Quântico (Tese de Doutorado). Universidade Federal do Ceará – UFC, Fortaleza – Ce, Brasil. Oliveira, J. L., Oliveira. D. S. & Ramos R. V. (2012) “Entanglement Measure for Pure 6‐qubit Quantum States”.QuantumInformationProcessing.v.11,n1,p.255 –267. Peres, A. (1996) “Separability Criterion for Density Matrices”. Phys.Rev.Lett.v.8,p.77. Horodecki, M., Horodecki, P. & Horodecki R. (1996) “Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions”.PhysicsLettersA.223,p.1‐8. Vidal, G. & Werner, R. F (2002) “A computable measure of entanglement”.PhysicalReviewA.n65,p.1–11. 152 ReportesdeInvestigación PROCEDIMENTOSEREPRESENTAÇÕES ALGÉBRICAS:UMESTUDOCOM ACADÊMICOSDOENSINOSUPERIOR NeivaIgnêsGrando,SandraMaraMarasini UniversidadedePassoFundo [email protected],[email protected] Resumo Analisar procedimentos e representações utilizadas para resolverquestõesalgébricasrelacionadasaequaçõesefunções de 1° e 2° graus, constitui‐se no objetivo de uma pesquisa envolvendo acadêmicos iniciantes de um Curso de Graduação em Matemática ‐ licenciatura8, de Passo Fundo/RS/Brasil. Os fundamentosdapesquisa,cujaabordageméqualitativa,foram buscados principalmente na educação matemática e na psicologia histórico‐cultural. As análises apontaram dificuldades na aprendizagem de conceitos algébricos, já estudadosnaeducaçãobásica–ensinofundamentaloumédio, asquaisserelacionamàfaltadosfundamentosdamatemática, identificadascomousodemacetese,portanto,sematribuição de sentido aos conceitos. Frente a esse contexto, conclui‐se pela necessidade de repensar propostas conjuntas – professores da universidade e da escola de educação básica ‐ que possibilitem a apropriação dos significados dos conceitos algébricos e, ao mesmo tempo, o desenvolvimento do pensamento dos participantes dos processos de ensino e de aprendizagem. Palavras‐chave:Equaçõesefunções.Procedimentosalgébricos. Representaçõesgráficas.Ensinosuperior. Introdução A escolha por um curso de licenciatura em Matemática pressupõequeosacadêmicossintam‐semotivados,tantopela 8 CursodeformaçãodeprofessoresparaaEducaçãoBásica. 153 ReportesdeInvestigación futura atuação na área da educação como pela própria matemática.Poroutrolado,pelanossaexperiênciadesalade aula, sabemos que uma parte deles, mesmo gostando de matemática,trazemdificuldadesdeseusestudosdaeducação básica. Nessecontexto,nosperguntamos:comoacadêmicosiniciantes do Curso de Licenciatura em Matemática lidam com questões envolvendo conceitos algébricos? Que procedimentos e representaçõesessesacadêmicostrazemdaeducaçãobásica? Para melhor compreender a complexidade destas questões, desenvolvemos uma pesquisa com o objetivo de analisar os procedimentosutilizadospararesolverquestõesmatemáticas, especialmentedecunhoalgébrico. Fundamentosteóricos Com base nas concepções teóricas de Vygotski, nos apropriamosdosignificadodeumconceitoquando“chegamos a conhecer o objeto em todos seus nexos e relações”, quando “sintetizamos verbalmente essa diversidade em uma imagem total mediante múltiplas definições.” (1996, p. 78). Para o autor, o conceito se forma durante uma operação intelectual, daqual participam todas as funções intelectuais em uma combinaçãooriginal,cujofatorcentraléousofuncionalda palavracomomeiodeorientaçãodeliberadadaatenção,da abstração, da seleção de atributos e de sua síntese e simbolizaçãocomajudadosigno.(Vygotski,1993,p.176). Para a apropriação do significado de um conceito, os estudantespodemsedepararcomdificuldadesouobstáculose segundo Brousseau (1983) “a identificação e a caracterização de um obstáculo são essenciais para a análise e para a construção de situações didáticas”, ressaltando que um obstáculo cognitivo se manifesta através de erros (apud Grando,1995,p.110).Oautordádestaqueparaosobstáculos didáticos,osquaispodemserdeterminadospelametodologia utilizada em sala de aula, a qual geraria conhecimentos 154 ReportesdeInvestigación errôneos ou incompletos que seriam obstáculos para a formação de determinados conceitos científicos escolares; também, os obstáculos epistemológicos, que são inerentes ao próprioconhecimento. Com relaçãoà linguagemalgébrica,a história nosmostra que houve dificuldades de representação, sendo que numa primeirafase,caracterizadacomoálgebraterminológica,eram empregadassomentepalavras;numasegundafase,sincopada, foram introduzidas algumas abreviações de palavras; esse percursofoievoluindoatéchegaràlinguagematualdaálgebra (Ifrah,1997,p.560). É importante destacar que, para Vygotski a álgebra é uma linguagemque eleva a um nível superior o pensamento aritmético, permitindo compreender qualquer operação aritmética como um caso particular de uma operação algébrica, proporcionando uma visão mais livre, mais abstrata e generalizada e com isso mais profunda e rica do que as operaçõescomquantidadesconcretas.(1993,p.198). Nesse sentido, o planejamento e o desenvolvimento de uma propostapedagógicadependememboapartedaidentificação das dificuldades conceituais advindas da complexidade dos processos de ensino aprendizagem e de do tipo de proposta pedagógicadesenvolvidanaescola. Oprocessodepesquisa Ossujeitosdestapesquisaforamacadêmicosdoprimeironível do Curso de Licenciatura em Matemática, de dois Campi da Universidade de Passo Fundo/RS/Brasil. Participaram da pesquisa 37 acadêmicos de um Campus (turma 1) e 18 de outro(turma2).Parapreservaraidentidadedossujeitos,nas análisesdasquestõesosmesmosforamidentificadospelaletra “A”, maiúscula, inicial da palavra “acadêmico”, acompanhada do algarismo 1 ou 2, correspondente a turma, seguido do númerodecadaumdelesnaordemalfabéticadenomes. 155 ReportesdeInvestigación Para obter informações junto aos acadêmicos aplicamos um instrumentocontendoquestõessobreresoluçãodeequaçõese funções de 1º e 2º graus, com respectivas representações gráficas.Asquestõesforamasseguintes: 1) Resolvaasequações: a)2x+3=5x–12 b)x2+6x+9=0 2) Determineasraízesdasfunçõesetraceográficodecada umadelas: a)y=2x+2 b)y=x2+5x+6 Naanálise,destacaremosasdificuldadesreveladaspeloserros nosprocedimentosenosgráficoselaborados,refletindosobre aqualidadedoprocessodeaprendizagemdamatemática. Procedimentos e representações algébricas: resultados e discussões Nos conceitos de equação e função estão envolvidos vários outros conceitos que se inter‐relacionam e, ao mesmo tempo, ocupam lugares específicos (Vygotski, 1996). A própria formaçãodeumaequaçãoemsuarepresentaçãoalgébricatraz subjacente a relação de equivalência de duas expressões algébricas.Assim,paraoconceitodeequação,énecessárioque o estudante diferencie expressão de sentença, aritmética e algébrica. Na resolução das questões, constatamos que, no geral, os acadêmicosapresentaramdificuldades,tantonaresoluçãodas equaçõesefunçõescomonasrepresentaçõesgráficas. Equações Na equação de 1º grau constatamos que dos 55 sujeitos da pesquisa,34resolveramdeformacorreta(61,81%),sendo27 daturma1(72,97%)e7daturma2(38,88%).Osoutros,em sua maioria, resolveram de forma incorreta (32,72%) ou deixaramembranco(5,45%). 156 ReportesdeInvestigación Na equação de 2º grau, as dificuldades foram maiores, pois somente 19 dos 55 acadêmicos resolveram corretamente a questão(34,54%),sendo13daturma1(35,13%)e6daturma 2 (33,33%). Dos outros, 26 resolveram de forma incorreta (47,27%)e10nãoconseguiramresolveraquestão(18,18%). Constatamosque,dos55acadêmicos,somentetrêsdeles(A203; A205;A209)obtiveramovalorcorretoparaaincógnitanasduas equações. Nos procedimentos dos estudantes que tentaram resolver a equaçãode1ºgrau,percebemosquetodosutilizarammacetes. O procedimento mais utilizado foi aquele de “passar o termo paraooutroladomudandodesinal”,oqueinclusiveprovocou muitos erros com os sinais dos termos. Significa dizer que, nenhumacadêmicoutilizouosprincípiosmatemáticos,aditivo e multiplicativo para resolver a equação de 1º grau. A seguir apresentamos um exemplo de dificuldade revelada pelo erro causadopelousodemacete. Figura1:soluçãodaequação:2x+3=5x‐12(A128) Vemos que esse acadêmico, ao utilizar o referido macete, “passa” o coeficiente do termo ‐3x, para o outro “lado” trocandoosinal,oqueacarretounumerronosinaldovalorda incógnita. Por outro, nos procedimentos utilizados para resolver a equação de 2º grau, identificamos que a maioria dos 2 acadêmicos o fez com o uso da fórmula x = b ± 2ba - 4ac . No entanto, identificamos erros tanto na própria fórmula como nasestratégiasdecálculo. 157 ReportesdeInvestigación Vejamos um exemplo de dificuldade no uso da fórmula e de compreensão do significado de raiz de uma equação de 2º grau. Figura2:soluçãodaequação:x2+6x+9=0(A216) Outroexemplotemrelaçãocomoprocedimentoutilizadopara asoluçãodaequaçãode1ºgrau,considerandoinicialmentea idéiade“isolar”ostermoscomincógnita,no1ºmembro,para emseguidatentardeterminarovalordaincógnita. Figura3:soluçãodaequação:x2+6x+9=0(A 131) A idéia de juntar os termos em “x” no primeiro membro ou “isolarotermoemx”nãofoiválidaparaaequaçãode2ºgrau em função de a incógnita estar em dois termos e com graus diferentes, o que denota a falta de conhecimento sobre a composiçãoeosignificadodecadatermoalgébrico. Funções Ao analisar as questões envolvendo funções, identificamos maisdificuldadessecomparadocomasequações. 158 ReportesdeInvestigación Na função de 1º grau, 25 dos 55 acadêmicos deixaram a questão em branco ou justificaram não lembrar (45,45%): 11 da turma 1 (29,72%) e 14 da turma 2 (77,77%). Na questão envolvendo função de 2º grau, verificamos que um número aindamaiordeacadêmicos,ouseja,32dos55,nãoconseguiu resolvê‐la,deixandoembrancooujustificandonãolembrarem (58,18%):naturma1,18acadêmicos(48,64%);naturma2,14 (77,77%). Sobreafunçãode1ºgrau,naturma1,dos23acadêmicosque tentaram resolver a questão, somente oito determinaram a raiz da função e quatro desses construíram corretamente o respectivo gráfico. Na turma 2, foram quatro, mas somente dois deles determinaram a raiz e desses, apenas um representouográfico,porémdeformaincorreta. Dos acadêmicos que tentaram determinar as raízes e representargraficamenteafunçãode2ºgrau,naturma1,sete acadêmicosdeterminaramasraízes;nenhumdelesconstruiuo referido gráfico. Nessa turma, três acadêmicos determinaram as raízes das duas funções (A103; A108; A133). Na turma 2, os mesmos quatro acadêmicos que fizeram a tentativa de determinar a raiz da função de 1º grau, também tentaram determinarasraízesdafunçãode2ºgrau,porémsomenteum delesconseguiu;somenteumdeleselaborouográfico,masde forma incorreta. Também foi nessa mesma turma que um acadêmicodeterminouasraízesdasduasfunções(A203). Conclusões Considerando que os sujeitos que participaram da pesquisa foram acadêmicos iniciantes de um curso de licenciatura em Matemáticaetendofrequentadoaescolapor,nomínimo,onze anos, as dificuldades apresentadas preocupam e, ao mesmo tempo, fornecem indicativos, tanto para a educação básica comoparaoCursodeLicenciaturaemMatemática. A análise mostrou que uma parte significativa desses acadêmicosnãotemosconceitosmatemáticosformados,falta‐ lhesfundamentaçãomatemáticaenãofazemdistinçãoentreos 159 ReportesdeInvestigación tipos de equações e funções. O fazer mecânico e o uso de macetes e fórmulas, sem compreensão, também foram identificados. Asdificuldadesdeaprendizagemapontamparaanecessidade de processos de ensino e de aprendizagem que privilegiem, dentreoutrosaspectos,afundamentaçãomatemática.Grando eMarasini(2008)indicamaimportânciadedefinirprincípios pedagógicos para a elaboração e o desenvolvimento de propostas pedagógicas, destacando‐se o domínio dos fundamentos da matemática e a importância de relacionar os novos conceitos a outros já formados, no interior de um sistemadeconceitos. ParaalémdessecontextoespecíficoecombaseemVygostski (1993) emerge uma preocupação sobre a possibilidade de a escola estar possibilitando aos estudantes a constituição de umalinguagemalgébricaquesupereoconcretodaaritmética. Referências Grando, N. I. (1995). “Dificuldades e obstáculos em educação matemática”.Espaçopedagógico,2(1),109‐122. Ifrah, G. (1997).História universal dos algarismos,volume 2: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Tradução de Alberto Muñoz e Ana Beatriz Katinsky.RiodeJaneiro:NovaFronteira.1046p. Grando, N. I.&Marasini, S. M. (2008). Educação matemática: a sala de aula como espaço de pesquisa. Passo Fundo: UPF. 118p. Vygotski, L. S. (1993). Obras escogidas II. Madrid: Visor Distribuciones.484p. Vygotski, L. S. (1996). Obras escogidas IV. Madrid: Visor Distribuciones.427p. 160 ReportesdeInvestigación TEMADECASANAATIVIDADEDE ESTUDO:OQUEPENSAMESTUDANTES DOENSINOFUNDAMENTAL JussaraVanz,NeivaIgnêsGrando EscolaMunicipaldeEnsinoFundamentalProfessoraHelenaSalton; UniversidadedePassoFundo [email protected],[email protected] Resumo Nesta pesquisa teve‐secomo objetivo analisar o sentido do tema de casa atribuído por estudantes do 5º ano do ensino fundamental de uma escola da rede pública de Passo Fundo/RS/Brasil, no processo de aprendizagem de Matemática. A abordagem é qualitativa e os instrumentos utilizados para a coleta de informações junto aos estudantes foram entrevista, produção textual e elaboração de uma proposta de tema de casa e, da professora da turma, considerou‐se o planejamento das aulas. O embasamento teórico foi constituído de obras de autores como Vigotski, Leontiev e Davídov por destacarem aspectos significativos do ensino sistematizado pela escola. A pesquisa revelou que o tema de casa contribui para os estudantes construírem relaçõesderesponsabilidadeedeautonomia,alémdeampliar as possibilidades de interações com os familiares, colegas e professores. Também, para ampliar os níveis de desenvolvimentomental,desdequesejaplanejado,orientado, corrigido e avaliado pelos professores. Para a prática dos professores, auxilia no planejamento e na avaliação da aprendizagem, na reflexão sobre o andamento da prática pedagógicaenaavaliaçãodosestudantesdemodoformativo. Palavras‐chave: Educação Matemática. Atividade de estudo. EnsinoFundamental.Temadecasa. 161 ReportesdeInvestigación Introdução Duranteapráticapedagógica,percebemosqueotemadecasa ainda inda ainda é um recurso didático que precisa ser conhecido e utilizado adequadamente. Porém, muitos professoresdesconhecemsuaimportância,nãotêm,paraeles, objetivos claros, definidos, e tampouco os discutem com os estudantes.E,emalgunscasos,nãoédedicadoumtempopara planejá‐lo e corrigi‐lo, apenas é solicitado como prática cotidiana,sempensarsobresuarelevâncianaescola. Comumenfoquemaisvoltadoparaosestudantes,definimosa questãoquenorteouestapesquisa:Qualéosentidoatribuído ao tema de casa pelos estudantes no processo de aprendizagem de Matemática? Diante dessa interrogação o objetivodestetrabalhoconfigurou‐secomo:analisarosentido do tema de casa para os estudantes, no processo de aprendizagemdeMatemática. Adotamos aabordagem qualitativa,tendo como instrumentos de coleta de dados junto com os estudantes a entrevista, a produçãotextual e a alaboraçãode umapropostade tema de casa. Neste artigo, abordaremos os resultados obtidos após a análise dos dados da entrevista realizada com estudantes de 10 a 12 anos de idade, do 5º ano, numa escola municipal da cidadedePassoFundo/RS/Brasil.Estaescolhajustifica‐sepor ser uma turma pequena, com 13 alunos, possível de realizar entrevistas, individualmente, e também por ser a turma de atuaçãodaprofessora‐pesquisadora. Contribuiçõesdateoriahistórico‐cultural Para Vigostski “o processo de desenvolvimento progride de forma mais lenta e atrás do processo de aprendizado; desta sequenciação resultam, então, as zonas de desenvolvimento proximal” (1998, p. 118), espaço onde a escola, com o ensino sistematizado,podeinterferirecolaborarnodesenvolvimento dosestudantes. Uma vez que a aprendizagem está diretamente relacionada com o desenvolvimento, quando se volta o olhar para a 162 ReportesdeInvestigación perguntadestapesquisa–Qualosentidoatribuídoaotemade casa pelos estudantes no processo de aprendizagem de matemática? – faz‐se necessário explicitar como a teoria histórico‐cultural define sentido a partir das contribuições de Leontiev. Leontiev explica que “o sentido é antes de mais nada uma relação que se cria na vida, na atividade do sujeito” (1978, p. 97).Sendoassim,osentido9queosestudantes,sujeitosdesta pesquisa, dão as tarefas de casa, depende da relação que estabelecem com esse assunto. Então, para buscarmos o sentido atribuído ao tema de casa pelos estudantes, se faz necessáriodescobriromotivopeloqualsãoestimuladospara arealizaçãoounão,dostemasdecasa. Segundooautor,osentido,queépessoal,estáintrinsecamente ligado à significação, ou seja, o sentido se manifesta nas significações.Oautorafirmaquea“significaçãoéoreflexoda realidadeindependentementedarelaçãoindividualoupessoal dohomemaesta”(1978,p.96).Então,aassimilaçãoounãode um significado cultural por um indivíduo depende do sentido queesteindivíduoatribuiaosignificadosocialmenteválido. Na medida em que o desenvolvimento da consciência do indivíduoavança,ancoradonarelaçãoentresentido(emnível pessoal) e significado (em nível social), o sentido vai modificando, ficando mais profundo e assim aproximando‐se do conceito social. Nesse sentido, como bem sublinha o autor “devemos considerar o desenvolvimento do psiquismo humano como um processo de transformações qualitativas” (Leontiev,1978,p.89). Também afirma que “motivo designa aquilo em que a necessidade se concretiza de objetivo nas condições consideradas e para as quais a atividade se orienta, que a estimula” (1978, p. 97). Existem dois tipos de motivos, os motivos compreensíveis e os motivos eficazes para a 9 Tambémdefinido,nestateoria,comosignificadopessoal. 163 ReportesdeInvestigación realização de uma atividade por uma pessoa. E, a cada novo motivo,tem‐senovasatividades. Um exemplo que diferencia os motivos: um estudante lendo um livro de matemática para fazer uma avaliação, se refere a ummotivocompreensível,senodecorrerdestaleitura,elese motivasse pelo conteúdo do livro, o motivo se transformaria em motivo eficaz porque coincide com o objeto da atividade. Sãoosmotivoscompreensíveisquesetornammotivoseficazes (1988,p.70). Pode‐se observar que, inicialmente, o estudante não estava realizando umaatividade, poisa sua atividade principal eraa preparação para a prova. Na medida em que o motivo do sujeito se volta para o conteúdo do livro, tem‐se a atividade principal coincidindo com o objeto, e neste caso pode‐se afirmar,segundoateoriadaatividadedeLeontiev(1988)que oestudanteestavapsicologicamenteematividade. Com as contribuições da teoria histórico‐cultural, pode‐se considerarotemadecasacomosendoumaaçãodaatividade de estudo que visa à aprendizagem e, com isso, o desenvolvimentodosestudantes,pois, [...] o aprendizado desperta vários processos internos de desenvolvimento, que são capazes de operar somente quandoacriançainteragecompessoasemseuambiente e quando em cooperação com seus companheiros. Uma vez internalizados, esses processos tornam‐se parte das aquisições do desenvolvimento independente da criança. (Vigotski,1998,p.117). Sentidoatribuídoaotemadecasapelosestudantes Observou‐se que, para todos os entrevistados, os professores solicitam temas de casa visando à aprendizagem, como é possívelpercebernasfalasaseguir: 164 ReportesdeInvestigación Pra melhorar nosso aprendizado, até mesmo em casa. (E1)10. Pragenteaprendermais,sabermaiscoisas.(E3). Pra aprender mais! Por causa que daí a gente aprende algumacoisanaaulaetupassatemadecasapraversea genteentendeualgumacoisa,praverseagenteconsegue fazersozinho,individual.(E2). Ah!Porqueeuachoqueeles[professores]dãopragente aprender mais ainda, pra gente i aprendendo, evoluindo. (E6). Essa percepção dos alunos sobre o objetivo que a professora tinhaaosolicitartemasdecasaédeclaradocomosendopara ampliaraaprendizagem,tambémétrazidaporNérici(1993),o qual apresenta outros pontos positivos, que justificam essa prática, como por exemplo, dar continuidade e unidade ao trabalhodentroeforadohorárioescolar,estimularoespírito depesquisa,buscaroutrasfontesdeinformação. Todososalunosconsideraramqueéimportantefazerotema de casa, apresentando dois motivos em maior número, relacionadocomaaprendizagem,e,emmenornúmero,comos valores que estão construindo na convivência escolar e familiar. Para os motivos cujo foco era a aprendizagem, pode‐se destacar: “para aprender mais” (E2, E3, E4, E5, E6, E7, E9); “aumenta minha capacidade, pra ficar um pouco mais inteligente”(E1);“demonstráoqueeusei”(E4). Segundoateoriahistórico‐cultural,quandoosalunosatribuem sentido às tarefas de casa é porque eles possuem um motivo para fazê‐lo, o qual direciona suas ações para a realização da Comointuitodepreservaraidentidadedosestudantes,utilizou‐seletraE, seguida da posição que o mesmo ocupou durante a realização das entrevistas. Também se utilizou a legenda [...] indica a supressão de partes dafala;[]explicaçãodepalavrascomumenteutilizadaspelosestudantes.A linguagemoriginaldossujeitosfoimantida. 10 165 ReportesdeInvestigación atividadedeestudo.DavídoveMárkova(1987)mostramque, ao ingressar na escola, as crianças iniciam uma nova fase em suavida,provocandomodificaçõesnasuaorganizaçãoexterna einterna. Os depoimentos desses alunos vêm ao encontro da teoria destes autores de que a atividade de estudo proporciona a transformaçãodosalunoseseuconsequentedesenvolvimento. Essa transformação ocorre a partir do momento que o aluno forma novas capacidades em sua relação com os conceitos científicos. Por isso, Davídov e Márkova (1987) consideram que a atividade de estudo é uma atividade de autotransformaçãoparaoalunoetambémparaoprofessor. No entendimento dos entrevistados, todos consideram que fazerotemadeMatemáticaéumaformadeestudar,pois, mostra pra professora que a gente aprendeu, e que a gente sabe a tabuada, pro ano que vem não ficá pensando,assim,naresposta.(E4). Estudando em casa, a gente, nas provas, a gente pode tiráumanotaaltadaí,[...],nahoradumtrabalho,assim, dumaoutracoisa.(E10). Quenem, [como assim] todo tema é uma forma de estudar.(E13). Verificou‐se que o tema de casa foi considerado importante por todos os alunos, pois significa mais um momento de estudo, além do período na escola, podendo, dessa forma, ampliaraaprendizagem. A maioria dos estudantes reconheceu na entrevista a contribuição do tema para a aprendizagem, neste sentido, pode‐se reportar a Vigotski quando menciona que o aprendizadoorganizado,comobjetivosclaros,contribuiparao desenvolvimento dos estudantes. No entanto, se não for organizado, de forma adequada aos objetivos visando à aprendizagem,arealizaçãodasatividadesdotemadecasanão serádesafiadoraosuficienteparatrazernovasaprendizagens. 166 ReportesdeInvestigación Em resumo, na visão dos estudantes que participaram desta pesquisa, o tema de casa visa à aprendizagem, contribui para ficarem mais inteligentes, para a dedicação aos estudos, aprimoração da responsabilidade com o estudo individual, para o compromisso. A sua realização, por parte de todos os alunos, demonstra que estão em processo de construção do conhecimento. Assim sendo, acreditam que os professores solicitam temas de casa para os alunos visando à evolução destesnaaprendizagem,namemorização,napreparaçãopara aaulaseguinte,e,porisso,consideramimportantefazê‐lo. EspecificamentesobreostemasdeMatemática,consideraram que realizá‐lo é uma forma de estudar, então, pode‐se dizer que são ações da atividade de estudo, que motivadas pelo desejo de aprender, fazem parte desse tipo de atividade. (Leontiev, 1978). A maioria dos estudantes acredita que está autônoma noprocessode lembrar sozinho dotema de casaa sercumprido,porém,quantoàautonomiapararesolveremas tarefassemajuda,nãoseobteverespostaunânime,poisalguns ainda precisam de auxílio dos familiares, revelando, assim, algumas dificuldades. Ao referirem essa necessidade, trazem indícios para o planejamento e paraa avaliaçãoda práticada professora,docontratodidáticoestabelecidocomaturmaeda aprendizagemdosestudantes.Comisso,podem‐seretomaros conteúdos que ainda estão em processo de construção com outra metodologia, com aplicações diferentes como sugerem Vygotsky(1998),Meirieu(1998)eWood(2003). Algumasconclusões Pode‐seconcluirqueostemasdecasaprecisamestarincluídos nocontratodidático,seremplanejadoseorientadosdeacordo com a realidade dos estudantes, a fim de apresentarem diferentesmodalidadesdeummesmoconhecimento,paraque o estudante possa apropriar‐se do conceito em diferentes contextos. Ainda nesse viés, na perspectiva de Vigotski, a escola estará cumprindo seu papel de criar novas zonas de desenvolvimento proximais e de interferir nas mesmas em 167 ReportesdeInvestigación proldodesenvolvimentointelectualnoprocessodeformação deconceitos. Pensandonotemadecasacomopartedoprocessodeensinoe aprendizagem, concordamos com Wood (2003) ao destacar o papel do professor, no sentido de evitar a repetição de uma mesma estratégia matemática, pois, segundo o autor, ao contrário de promover a aprendizagem, “acaba por ‘cegar’” o alunonabuscadeoutrosprocedimentosparaaresoluçãodos problemas que surgem na escola, e, consequentemente, no futuro. Referências Davídov, V. &Márkova, A. (1987). “La concepcion de la actividad de estúdio de los escolares.” In: La psicologia evolutiva y pedagógica en la URSS: Antología (pp. 316‐ 337).URSS:EditorialProgreso. Leontiev, A. (1978). O desenvolvimento do Psiquismo. Lisboa: LivrosHorizontes.350p. Leontiev, A. N. (1988). Uma contribuição à Teoria do DesenvolvimentodaPsiqueInfantil.In:Vigotskii,L.V.,A.R. Luria &A. N. Leontiev, Linguagem, desenvolvimento e aprendizagem(pp.59‐83).SãoPaulo:Ícone. Nérice, I. (1993). Didática: uma introdução. 2. ed. São Paulo: Atlas,310p. Vigotski, L. S. (1998). Pensamento e linguagem. Tradução: Jefferson Luís Camargo. 2. ed. São Paulo:Martins Fontes 135p. Wood, D.(2003). Como as crianças pensam e aprendem: os contextossociaisdodesenvolvimentocognitivo.SãoPaulo: EdiçõesLoyola.305p. 168 ReportesdeInvestigación ANTROPOLOGIA:ELOENTRE ETNOMATEMÁTICAEATAD ItamarMirandadaSilva UniversidadeFederaldoAcre–UFAC‐BRASIL [email protected] LucélidadeFátimaMaiadaCosta UniversidadedoEstadodoAmazonas–UEA‐BRASIL [email protected] ElisângelaAparecidaPereiradeMelo UniversidadeFederaldoTocantins‐UFT‐BRASIL [email protected] Resumo Neste trabalho, trazemos uma discussão sobre elementos da antropologia que permitem uma aproximação entre a Etnomatemática e a Teoria Antropológica do Didático(TAD) permeando a problemática da formação de professores. Tomaremos como referência para a discussão elementos que emergiram de formações de professores oriundos de vários contextos e foram analisados a partir da intersecção antropológica entre a Etnomatemática e a TAD. Objetivamos ainda, ampliar o debate na construção da articulação entre teoria e prática que poderão constituir maneiras de agir e pensar para compor o repertório do professor formador e ainda viabilizar possibilidades e perspectivas a serem observadas nos processos de implementação de políticas públicas para a formação de professores que ensinam/ensinarão matemática, tanto a nível inicial quanto aquelesemserviço. Palavras‐chave: Formação de profesor ‐ Antropologia ‐ TAD – Etnomatemática Introdução A relevância de estudos e pesquisas que levem em consideração as problemáticas no que tange a profissão docente vem se intensificando nos últimos anos. Também é 169 ReportesdeInvestigación notório se considerarmoso que tem se discutido noseventos em educação matemática temas sobre os saberes docentes, atitudes, o estágio, a didática, o pensamento do profesor, o contexto,porémoqueoprofesorfazrealmenteemsaladeaula como,porexemplo,ensinarumconteúdo,emgeralsãopoucos os estudos que tem se interessado em questionar e propor maneiras de agir e pensar para o profesor com a capacidade de fornecer condições de difundir o conhecimento produzido naspráticassociaisequeatendaafunçãosocial. Então, é neste sentido que discutimos a viabilização, na formação de professores de matemática, da constituição de maneiras de agir e pensar levando em consideração o saber matemático, o contexto e as condições que podem ser potencializadas bem como aquelas que poderão ser criadas atendendo aos interesses dos sujeitos em formação a luz do queédesenvolvidonaspráticassociais.Comefeito,esteéoelo quebuscamosentreaTADquantodaEtnomatemática. NoçõesdealgunselementosdaTAD De maneira sintética apresentaremos algunas noções que julgamos relevantes para este trabalho no que tange a TAD. Com base em Bosch et al (2006), a TAD aparece com as primeiras(re)formulaçõesdaTransposiçãoDidática.Podeser considerada como desenvolvimento da Teoria das Situações Didáticas,aqualcompartilhaseusprincípiosfundamentaisea partir de dois problemas essenciais podem ser considerados comoaorigemdaTADquesãoosseguintes:1)porumlado,a necessidade do pesquisador libertasse dos modelos epistemológicos dominantes nas instituições escolares segundo Chevallard (2006) e isso implica que a TAD nos proporciona noções para estamos livres e considerarmos o saber matemático e a atividade matemática nas instituições escolares;2)deoutro,levantaarelevânciadoquestionamento de condições e restrições que afetam todo o processo de difusão do saber matemático na instituição escolar, isto é, o professor deve decidir o estudo do que é possível ensinar e comrelaçãoaaprendizagemdamatemáticaoquedificulta. 170 ReportesdeInvestigación Neste sentido, a TAD vem propondo que toda atividade humanapodeserrepresentadapormodelosmediantemaneira de agir e pensar, ou seja, praxeologias (práxis + logos). Nesta perspectiva, Chevallard (2009) apresenta a estrutura praxeológica mais simples como sendo aquela de um fazer pontualecompõe‐sedeumtipodetarefasT,deumatécnicaτ, quesãoosmodosderealizarastarefastdotipoT,ouseja,o blocoprático(T,τ)queéosaberfazeredeumatecnologiaθ, que é o discurso que fundamenta e justifica (logos) a técnica (tekhne)equetornaτinteligívelcomoummeiopararealizar as tarefas do tipo T, e finalmente um componente teórico Θ, que rege a tecnologia θ em si mesmo formando o segundo bloco lógico (θ, Θ) que é o saber (e, portanto, todos os componentes da praxeologia). Não adentraremos em profundidade sobre o estudo das praxeologias, mas adiantamos que do ponto de vista teórico não existe práxis semumdiscursoqueajustifique,istoé,ologos. Por este prisma destacamos que a TAD, segundo Chevallard (1999), estuda o homem perante o saber matemático, e mais estritamente,perantesituaçõesmatemáticas.Ummotivopara eleição e utilização do termo “antropológico” é que a TAD localiza a atividade matemática e, em consequência, o estudo damatemáticadentrodoconjuntodeatividadeshumanasede instituições sociais. Assim, propõe um modelo de atividade matemática institucional, que inclui a atividade matemática escolarcomocasoparticular,ummodelodosabermatemático que permite descrever a matemática escolar como caso particular. Por que a antropologia no contexto da formação de profesoresqueensinammatemática? ConsiderandoqueaantropologiaquesegundoGomes(2013)é a ciência que estuda o homem perante ao seu contexto observando as interações que ele estabelece como os seus pares, então, inserindo a matemática na seara antropológica, recorremosaWhite(1999),quenosauxiliouaencontraruma posição que sustenta a matemática dentro de um contexto 171 ReportesdeInvestigación antropológico quando afirma que não temos que buscar verdades matemáticas na mente divina e na estrutura do universo. As matemáticas são um tipo de conduta primata comoosidiomas,ossistemasmusicais,oscódigoseasleis.Os conceitos matemáticos são construídos pelo homem, assim como os valores éticos, as regras de trânsito e até mesmo as gaiolas dos pássaros. Mas tudo isso não invalida a crença de que as proposições matemáticas estão externas a nós e que possuemumarealidadeobjetiva.Estãoforadenós,namedida em existem antes que nascermos e na medida que cremos as encontrarmosnomundoquenosrodeia. Diante da posição de White (1999), podemos inferir que as ideias matemáticas são independentes da mente individual, mais que residem por completo dentro da mente da espécie, isto é, da cultura, e, portanto, a invenção, criação e o descobrimentodasideiasmatemáticassãoexclusivamentedos aspectosdeumeventoquetemlugarsimultaneamentedentro da tradição cultural, e em um, ou mais sistemas cerebrais, e destes dois fatores (cultura e indivíduo), a cultura é o mais significativo e os fatores determinantes da evolução da matemática se encontram nela e assim, o sistema cerebral humano é o mero catalizador que viabiliza e torna possível o processocultural. Neste sentido, cada indivíduo nasce no seio de uma organizaçãopreexistente de crenças, costumes,ferramentas e instituições.Estascaracterísticasculturaisformamemodelam avidadecadapessoa,dando‐lheconteúdoedireção.Assim,a matemática é apenas uma das correntes da cultura total atuando sobre os indivíduos em grau variável, e os irá responder segundo suas compreensões e daí, as matemáticas são a conduta orgânica que constitui uma resposta a cultura matemática. Como podemos perceber, dentrodocontexto cultural quando o indivíduo reflete sobre as suas interações, em certo grau, geraaçõesereaçõesentreosdiversoselementos.Umconceito reage frente a outro; as ideias se fundem e formam novas sínteses. Este processo avança através da cultura com muita 172 ReportesdeInvestigación rapidez e intensidade em algumas zonas centrais (comunidades especificas, por exemplo, a dos matemáticos) mais do que outras periféricas, e assim quando este processo de interação e desenvolvimento alcança certo ponto, se formamnovassínteses. Desta feita, pelo viés antropológico, a matemática pode ser vistacomopráticasocioculturalquesedesenvolvenoseioda humanidade e que de certa maneira será compreendida proporcionalmenteaoenvolvimentodosujeitocomela.Istoé, seosujeitotemcomoobjetivoconstruirumarelaçãofortecom a matemática ele terá grandes chances de encontrar essas condições interagindo com a comunidade que exerce tais práticas, e, portanto, isso indica que para se criar ou desenvolvertaispráticasénecessárioaimersãonaculturaque mobilizaessesconhecimentos. Cultura:aspectoantropológicoinerenteaEtnomatemática ConsiderandoculturadeacordoasideiasdeWhite(2099,p.9) como a capacidade de simbologizar, ou seja, “criar, atribuir e compreender significados”, a Etnomatemática emerge como programa de pesquisa que nos permite explicar, conhecer e entender como pessoas de determinados realidades culturais criam reperesentações, símbolos para matematizar fenômeno do mundo real ou imaginário (D’Ambrosio, 1993). É essa preocupação ecológica da Etnomatemática, essa preocupação decompreendercomoohomemorganizadoemsociedadecria, valida e difunde saberes, em particular saberes matemáticos, queaaproximadospressupostosdaTADumavezqueambas concebem o conhecimento como uma construção social com uma intenção pedagógica intrínseca e diversos níveis de implicaçõeseinfluências. Para D’Ambrosio (2005), a cultura é um conjunto de conhecimentos compartilhados e comportamentos compatibilizados, que sofre influência e se modifica na experiência construída no convívio individual e coletivo de cadapessoa,ouseja,“numamesmacultura,osindivíduosdão as mesmas explicações e utilizam os mesmos instrumentos 173 ReportesdeInvestigación materiais e intelectuais no seu dia a dia” (D’Ambrosio, 2005, p.32). Certamente, em culturas distintas as pessoas podem explicar usandoinstrumentosesímbolosdiferentes,mastodascontém emsuaessênciaumcaráterpedagógicoforte,umaintençãode ensinar presente na vida cotidiana das pessoas, pois o cotidiano está impregnado de modos próprios de pensar, organizarepropagarsaberesdaculturaqueexpressamideias, inclusivematemáticas,nassuasmaisvariadasformas,osquais adquirem validade quando se integram localmente em um grupo e se tornam parte do diálogo que as pessoas desenvolvemcomomeio. Então, o programa etnomatemática vem discutindo e apresentandonosúltimosanosumaperspectivanosconceitos pertinentes ao campo da Educação Matemática a partir de elementos teóricos que tomam em consideração as matemáticas como produtos culturais, permitindo a construção de maneiras de agir e pensar sobre o trabalho docentefrenteaeducaçãocientífica. Neste sentido, ultimamente as investigações antropológicas e interculturais vem produzindo uma grande quantidade de dados e informações que só corrobora está perspectiva, mas que também nos permitem compreender sua importância e significadoeissoseconfiguraemtornodemaneirasdeagire pensarpautadopelareflexãosistemáticaarespeitodafunção dos fatores culturais presentes no ensino e na aprendizagem das matemáticas, considerando os distintos enfonques, sejam eles epistemológicos, cognitivos, curriculares e mais específicamente a nível da sala de aula. Por este prisma a etnomatemática deve ser entendida como um programa epistemológico, que se ocupa de uma aproximação holística a respeitodoreconhecimentodasmatemáticasquecirculamem diferentescontextosemodosdeexpressãohumanasedaíque etnomatemática permite uma confluência entre as matemáticas e a antropologia cultural ampliando a compreensão da sociedade, de grupos, ou seja, as práticas 174 ReportesdeInvestigación sociaiseespecifícascomoatividadehumanaqueraciociname pensamsobreestaatividade. Considerações Podemos perceber que as maneiras de agir e pensar de qualquer atividade humana e nomeadamente a atividade de estudodoprofessornãodeveselimitaraoâmbitoescolaredo ensino, devemos considerar que há estudo em todas as instituiçõesdasociedadeenamedidaemqueexistealgopara mudar as práticas institucionais que se consideram problemáticas, torna se, portanto, plausível que levemos em conta o contexto dos sujeitos, tanto professor, pesquisador, alunos quanto aos saberes matemáticos produzidos no seio daspráticassociaisequeestessaberespormeiodainstitução escolarpossaatenderafunçãosocial. Nocasodosabermatemático,anoçãodeestudoaparececomo uma noção integradora que permite analisar sob um mesmo prisma o trabalho que realiza o pesquisador matemático, o professorquandoensinamatemáticaeoalunoqueaprendena escola.Assim,opesquisadorcolocaeestudaproblemascomo objetivo de construir novos saberes buscando apresentar soluçõesaosproblemasenfrentadosnaspráticasdessegrupo; o professor e seus alunos também estudam os saberes matemáticos reconhecidas nas práticas das instituições escolares julgadas pertinentes e que permitem contribuir nas respostas as questões problemáticas consideradas importantes, sem perder de vista o seu contexto e determinadaspelasociedade. Portanto, é por este viés do homem como elemento que compõeedeterminaaspráticassociaisqueaantropologiavem potencializar a formação de professores com base nos pressupostostantodaTADcomodaEtnomatemática. Referências Bosch, M et al. (2006). “La modelización matemática y el problemadelaarticulacióndelamatemáticaescolar.Una 175 ReportesdeInvestigación propuesta desde la teoría antropológica de lo didáctico”. EducaciónMatemática.Vol.18,nº002,pp.37‐74. Chevallard, Y. (1999). L’analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique du didactique, Recherches en DidactiquedêsMathématiques,19/2,221‐266. ________________. (2001). Aspectos problemáticos de la formación docente,XVIJornadasdelSeminarioInteruniversitariode Investigación em Didáctica de las Matemáticas, Huesca. Recuperableen http://www.ugr.es/local/jgodino/siidm.htm. ________________. (2006). Steps towards a new epistemology in mathematicseducation.InBOSCH,M.(ed.)Proceedingsof the4thConferenceoftheEuropeanSocietyforResearch inMathematicsEducation(CERME4),(pp.21‐30). D’Ambrósio, U. (2009). Educação Matemática: da teoria a prática:Campinas‐SP:Papirus.p.121. _________________.(2005).Etnomatemática:Eloentreastradições eamodernidade.BeloHorizonte:Autêntica.p.110. _________________. (1993). Etnomatemática. Editora Ática, São Paulo.p.88. Gomes, M. P. (2013). Antropologia: ciência do homem filosofia dacultura.SãoPaulo:Contexto.p.237 White, L. A. & Beth Dillingham. (2009). O conceito de cultura. EditoraContraponto,RiodeJaneiro.p.160. ______________. (1985). El lugar de la realidad matemática: una referencia antropológica, vl. 6. En: James R. Newman: Sigma: el mundo de la matemática. 6 vls. Grijalbo. Barcelona,p.294. 176 ReportesdeInvestigación MODELIZACIÓNENELAULA: CONTRASTANDOLAMATEMÁTICACON LACOTIDIANIDAD JesenniaMa.ChavarríaVásquez, MarcelaGarcíaBorbón UniversidadNacionaldeCostaRica [email protected], [email protected] Resumen Elobjetivodelainvestigaciónconsistióenanalizarelproceso que siguen los docentes de matemática en educación secundaria para llevar a cabo modelización matemática en el aula. La investigación se circunscribe bajo el paradigma cualitativo y se utilizaron como técnicas de investigación la revisión bibliográfica, grupos focales con profesores en servicio y estudiantes de formación docente y la observación, enunamuestraescogidaporelcriteriodeconveniencia. Los principales resultados obtenidos refieren a que tanto docentes como estudiantes de la carrera asimilan en forma paulatina cómo el contexto les permite generar procesos de modelizaciónenelaulaynoenformainmediata,perounavez superada esta fase son capaces de crear diversos e interesantesproblemasdeaplicación.Además,lamodelización es visualizada como una oportunidad de integrar diversas disciplinas o temáticas. Los talleres permitieron evidenciar y reflexionar acerca de la importancia de seleccionar el modelo matemático correcto que se asocia a un hecho o situación problemacontextualizado. Palabras clave: cotidianidad. Educación Matemática, Modelización, 177 ReportesdeInvestigación Introducción Enlaenseñanzayaprendizajedelamatemática,laresolución de problemas ha sido un proceso analizado por múltiples autores, quienes han tenido como referente indiscutible el trabajorealizadoporPolyaconlateoríadeloscuatropasosy Schoenfeldqueamplíalospasosaseguirenlaresolucióndeun problema. Las investigaciones alrededor de la resolución de problemas hanfortalecidolosprocesosdeaprendizajedelosestudiantes así como la forma de mediar todo el proceso educativo por parte de los docentes. Pero hace algunas décadas inició un interés, que actualmente va en aumento, por la modelización matemática en el aula, que se preocupa por la creación de problemas contextualizados para ser resueltos por los estudiantes. Este creciente interés ha llegado a consolidarse como una línea de investigación en Educación Matemática (Blum,Galbraith,HennyNiss,2007). Unejemplodelinterésinternacionalporlamodelizaciónylas aplicaciones en la educación matemática, se puede evidenciar en las discusiones e investigaciones expuestas en congresos comoelCIAEM,RELME,ICMI,entreotros.Enestoseventosse hananalizadotemasrelacionadosconaspectosconceptualesy epistemológicos de la modelización, qué competencias están ligadas e inmersas en dicho proceso, o bien, la modelación comorecursoyprocesodidáctico. Esta investigación, acorde con la tendencia internacional, plantea como objetivo general, el analizar el proceso que siguen los docentes de matemática, en educación secundaria de Costa Rica, para llevar a cabo procesos de modelización matemáticaenelaula. Particularmente, los objetivos específicos definidos consisten en: 1. 178 Indagarelniveldeconocimientoquetienenlosdocentes de secundaria en cuanto a teorías de modelización matemática. ReportesdeInvestigación 2. Conocerelprocesoquesiguenlosdocentesdesecundaria en la construcción de problemas relacionados con modelosmatemáticos,apartirdeunasituacióndada. 3. Describir la forma en la cual docentes y estudiantes de enseñanza de la matemática construyen modelos matemáticosapartirdesituacionesdelcontexto. Cabe destacar que en el 2013 entraron en vigencia en Costa Rica, a nivel de primaria y secundaria, los nuevos programas de estudio para matemáticas, los cuales establecen dentro de las estrategias metodológicas para el abordaje de los contenidos y objetivos, la resolución de problemas y la modelizaciónmatemática.Deestaforma,elestudiorealizado parte de una población de estudiantes y docentes que recién inician un proceso de adaptación a nuevas metodologías de enseñanza. Marcoconceptual ModelizaciónMatemáticaenelAula En primer lugar, se debe comprender ¿qué se entiende por modelización?;enestesentido,setomaráncomoreferenteslas definiciones dadas por Barbosa (2001), Bassanezi (2002) y Sadovsky (2005). Barbosa (2001) define la modelización matemática como un escenario de aprendizaje en donde el estudianteindagaeinvestigaunasituaciónrealoconreferente enlarealidad,apartirdelamatemática,generandohipótesisy eligiendo determinados conocimientos matemáticos que le permitanresolverdichaproblemática. Bassanezi(2002),porsuparte,agregaaladefiniciónanterior un aspecto fundamental, a nuestro criterio, que consiste en evidenciarelpapeldeldocenteenunprocesodemodelización, cualeselartíficeenlatransformacióndesituacionesrealesen problemasmatemáticos. Y finalmente, Sadovsky (2005), enriquece las definiciones anteriores facilitando una secuencia de pasos para llevar a 179 ReportesdeInvestigación cabo un proceso de modelización, en donde plantea que se debe iniciar con la identificación de una problemática en la realidad, determinar el conjunto de variables involucradas en dicho problema y la forma en la cual dichas variables se relacionan, elegir una teoría o modelo que permita operacionalizar las variables y producir un nuevo conocimientoapartirdedichaproblemática. Todas las definiciones anteriores permiten visualizar la modelación matemática en el aula como una réplica de la modelizacióncientífica.Elaulaseconvierteenunlaboratorio desde el cual los estudiantes toman decisiones acerca de los recursos que se utilizarán, serán responsables de los resultados obtenidos y de su adecuada validación. Todo lo anterior, a través de la identificación de un problema de la realidadtraídooguiadoporeldocente. Procesosdeenseñanza‐aprendizajedelamatemáticadesde locotidiano Alolargodelahistoriasehadiscutidoampliamentesobrela racionalidadylosprocesosderazonamiento.Entendiendopor teoría de la racionalidad aquella que procura establecer las condicionesbajolascualesunserhumanoesracional.Eneste sentido,tradicionalmentesehaconcebidocomoserracionala aquel que “razona de acuerdo con los principios normativos del razonamiento, cuya legitimación se funda en las reglas de lalógicaydelateoríadelaprobabilidad.”Stein(1996)citado porHuang,X(2008,p.16). Noobstante,esteconceptoderacionalidadhatrancendidoen el sentido de que la racionalidad ya no se circunscribe al pensamiento establecido a partir de un conjunto de reglas de razonamientos,sino“enexaminarsilaaplicacióndeunaregla es adecuada o no dentro del contexto de una práctica específica”. Esto conlleva implícitamente a un nuevo modelo derazonamiento,queHuang,X(2008)denominaelconceptual contextualista de racionalidad, “según el cual, para poder entender adecuadamente la racionalidad, es importante modelar los diferentes tipos de razonamientos tomando en 180 ReportesdeInvestigación cuenta los factores contextuales que configuran las condiciones bajo las cuales las aplicaciones de estos razonamientossonadecuadas.”(p.16) De esta forma, dentrode la teoríade la racionalidad entra en discusiónelcontextoyconellonuevosparadigmasdecómose aprende o cómo se debe enseñar. Este marco de discusión enriquece y orienta nuevos procesos de enseñanza y aprendizaje de las distintas disciplinas, entre ellas, de la matemática, considerando como un factor indispensable el reconocimientodelacotidianidad. Rodríguez,M(2011)definelacotidianidadcomounelemento esencialenelaprendizajequepermitepotenciarelrespetopor cadapersonaapartirdesussingularidadesquevandesdesu crianza, su comunidad hasta su formación. En este sentido, estemismoautorseñalaquelaenseñanza,enparticulardela matemática, debe concebirse en un contexto determinado de manera que tome sentido para los estudiantes, y además, contribuya con su formación integral, en tanto que los haga competentesparaanalizar,identificaryresolverunasituación cotidiana que amerite de procedimientos matemáticos. (Rodríguez,2010c) Así,seconsideraquelamodelizaciónmatemáticaenelaulaes una estrategia que contribuye a este acercamiento de la disciplinaconlocotidiano. Metodología Lainvestigaciónseconcibebajoelparadigmacualitativo,yse toma como método la fenomenología interpretativa, también llamada hermenéutica. Este método fundamenta la comprensiónydescripcióndefenómenoshumanosapartirde sus habilidades, prácticas y experiencias cotidianas. Particularmente en los procesos de enseñanza y aprendizaje, interesa estudiar los fenómenos desde la visión de los docentes,estudiantesyactoresenelsistemaeducativo. Las técnicas utilizadas para el cumplimiento del objetivo propuesto consistieron en una revisión bibliográfica que 181 ReportesdeInvestigación fundamentara a nivel metodológico la implementación en el aula de los procesos de modelización. La implementación de unproyectodirigidoaestudiantesdelcursoDidácticaparael AprendizajedelasMatemáticasdelacarreraEnseñanzadela Matemática en la Universidad Nacional de Costa Rica, para visualizar la forma en la cual establecen relaciones reales y directas de la cotidianidad con diferentes temáticas de la disciplina. Además, la realización de un grupo focal con docentes en servicio por medio de un taller, que tuvo como propósito sensibilizarlos sobre la utilzación de modelización matemática en el aula y, mediante la técnica de observación participante, visualizar cómo conciben y aplican la modelizaciónmatemáticaensituacionesdelcontexto. La selección de las muestras se realizó a partir del muestreo por conveniencia. En el caso de la implementación del proyecto dirigido a estudiantes de la carrera, participaron la totalidad de estudiantes matriculados en el curso Didáctica para el Aprendizaje de las Matemáticas, desarrollado en el II ciclo del 2013. Y en el grupo focal, con docentes en servicio, participaron 32 docentes de secundaria de la región Chorotega. En la implementación del proyecto se les solicitó a los estudiantes realizar una gira educativa cuyo propósito consistía en visualizar en diferentes contextos modelos o elementos matemáticos que sirvieran de insumo para construir situaciones problema que establecieran modelos o relaciones directas con diferentes temáticas de la disciplina y queademásestuvieranapegadasalarealidad.Conrespectoal grupo focal, se realizaron dos sesiones con docentes en servicio; en la primera sesión se estableció un marco teórico sobremodelizaciónmatemáticaenelaulayselesplantearona los participantes situaciones que podrían ser modeladas o problematizadas matemáticamente para que ellos redactaran el problema o condiciones, tal y como lo harían con sus estudiantes.Enlasegundasesiónselessolicitó,basadosenel contextoenelqueseestabatrabajando,establecersituaciones que podrían ser modeladas matemáticamente. En ambas 182 ReportesdeInvestigación sesiones se utilizó la observación participante para la recoleccióndeinformación. Presentacióndehallazgos En un primer acercamiento de docentes y estudiantes de matemática con teorías y procesos de modelización, se visualiza un apego a la racionalidad tradicional, en el sentido decontinuaraplicandometodologíasbasadasúnicamenteenel razonamientocomolaaplicacióndeunconjuntodereglas,sin llegar a contextualizarlas en una práctica específica. A través del proyecto y del desarrollo del taller con el grupo focal de docentes, se llegó a la comprensión de la teoría de la modelización para su aplicación metodológica en el aula. Ademas, a partir del proyecto y desarrollo del taller, con estudiantes y docentes en servicio respectivamente, se logró construir y explotar su competencia matemática en la visualizacióndelarealidadcomonichoparalacontrucciónde problemasmatemáticos. Lareflexiónentornoalasteoríasdelamodelizaciónpermitió la sensibilización del docente ante la necesidad de utilizar el contexto para construir conocimiento matemático en los estudiantes.Apartirdelaconstruccióndelosproblemasenel proyectodesarrolladpenelcursoyeneltallercondocentes,se observó que estos actores consideran la integración de diferentes áreas de la matemática en la construcción de problemas contextualizados, lo cual conlleva al desarrollo de habilidades y destrezas para la solución de cada situación problemaplanteado.Porejemplo,enuncasoserelacionaron conceptos de álgebra, funciones y estadística, lo que permite ver la riqueza de la matemática en todo su conjunto. La integración con otras disciplinas también fue un elemento considerado por los docentes y estudiantes para la construccióndeproblemas. 183 ReportesdeInvestigación Referencias Blum, W., Galbraith, P., Henn, H. & Niss, M. (2007). Modelling andApplicationsinMathematicsEducation.The14thICMI Study,NewYork:Springer,p.521. Huang, X. (2008). De la racionalidad tradicional a la racionalidadcontextual.MéxicoDF,PublicacionesCruz. Rodríguez,M.(2010c).“Matemática,cotidianidadypedagogía integral: tendencias oferentes desde una óptica humanistaintegral”.RevistaElectrónicaInteruniversitaria deFormacióndelProfesorado,13(3),105–112. Rodríguez, M. (2011). “Elementos epistémicos de la triada: matemática,cotidianidadypedagogíaintegral”.Revistade Formación e Innovación Educativa Universitaria. 4(3), p.p.177–191. Barbosa, J.C. (2001). Modelización matemática: conceptos y experiencias de futuros profesores. Tesis de Doctorado en EducaciónMatemática.RíoClaro:UNESP,Brasil;2001 Barbosa, J.C. (2001a). Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico. In Anais da 24 ReuniãoAnualdaAnped.Caxambu:ANPED.1CD‐ROM. Bassanezi, R. (2002). Ensino‐aprendizagem com modelagem matemática:umanovaestratégia.SãoPaulo:Contexto. Sadovsky,P.2005.EnseñarMatemáticahoy.Miradas,sentidosy desafíos.LibrosdelZorzal. Salett, M. y Hein, N. (2004). Modelación matemática y los desafíosparaenseñarmatemática.EducaciónMatemática, agosto,16(2),105–125. 184 ReportesdeInvestigación ASEQUÊNCIAFEDATHINAFORMAÇÃO DOPROFESSORPARAOUSO QUALITATIVODATECNOLOGIADIGITAL: UMAEXPERIÊNCIACOMOSOFTWARE WINPLOT MartaAlvesdaSilva, HermínioBorgesNeto, FranciscaCláudiaFernandesFontenelle UniversidadeFederaldoCeará [email protected], [email protected], [email protected] Resumo Este trabalhoapresenta os resultados preliminares de uma pesquisavoltadaparaaformaçãodoprofessor,paraousoda tecnologia digital, por meio da aplicação da metodología Sequência Fedathi (SF), estaconsiderada como método didático. Objetivou‐se analisar a prática pedagógica de umprofessor de matemática, no Laboratório de Informática Educativa (LIE), utilizando o Software Winplot. Buscou‐se a construção da prática fundamentada naação‐reflexão‐ação, para romper com modelos de ensinobaseadona lógica transmissiva do conhecimento, que por sua vez, torna praticamentesemefeitoousodatecnologiadigital.Apesquisa insere‐se numaabordagemqualitativa, caracterizada como estudo de caso, de cunhodescritivo e interpretativo. Os dados foramcoletados mediante entrevistas semiestruturadascom o professor e filmagens das sessõesdidáticas. Os resultados evidenciaramousodaSFcomométododidáticoeficazparao melhoraproveitamento da tecnologia, sinalizando a transformação da postura do professor, numa perspectiva do ensinocríticoereflexivo. Palabras‐chave: SequênciaFedathi; Formação do professor de matemática,tecnologiadigital. 185 ReportesdeInvestigación Introdução O estudo apresenta um recorte da pesquisa (em andamento) desenvolvida no âmbito do Curso de Doutorado, na Linha Educação Currículo e Ensino, do Eixo Temático Tecnologias Digitais(TD)doprogramadePós‐GraduaçãoemEducação,da Universidade Federal do Ceará (UFC) e tem como objetivo aplicar a Sequência Fedathi (SF) na prática pedagógica do professor, para o uso apropriado das tecnologias digitais. Neste recorte mostrou‐se uma situação de ensino, em que se observou a postura do professor mediante o uso do Software educativoWinplot,aplicandoaSF,comométododidático. O Software Winplot foi criado por volta de 1985, tendo como idealizador Richard Parris, professor da Philips Exeter Academyevemsendoutilizadoporeducadores,noensinode conteúdosmatemáticos.Trabalhaaconstruçãodegráficosem duasetrêsdimensões,podendoseracessadodeformasimples nainternet. Em relação à SF, ela é resultado dos estudos do matemático prof. Dr. Hermínio Borges Neto, com professores e pesquisadores de Pós‐Graduação, envolvendo Mestres e doutores da Faculdade de Educação da UFC, que passaram a utilizá‐la e aprimorá‐la em suas pesquisas, em diversas áreas doconhecimento.(SOUSA,etal.,2013). DiacordocomBorgesNetoetal.,(2007),aSFéconstituídapor quatro fases: I – Tomada de Posição; II – Maturação; II – Solução e IV– Prova. Naprimeira fase é apresentada a uma situação desafiadora para o aluno ou grupos de alunos, correspondendoaoproblemarelacionadocomoconteúdoque sedesejaensinar. Nafase deMaturação, os alunos deverão debruçar‐sesobre o problema proposto e investigar os possíveis caminhos que os levem à solução do problema. Durante esta fase, o professor participa do processo de aprendizagem, como um orientador, mediando, promovendo discussão e apontando as direções necessárias,frenteàsrealizaçõesdosalunos. 186 ReportesdeInvestigación Afasedasoluçãoconfigura‐senarepresentaçãoeorganização de esquemas ou modelos construídos pelos alunos, durante a maturação, a respeito do problema. Nesta etapa, o professor solicitará aos alunos que apresentem as soluções, no caso, usandooWinplot.Aetapaseguinte,denominadadeprovaéa fase em que o professor formaliza o conhecimento novo, em relação ao conhecimento científico, partindo‐se das próprias construçõesdosalunos. A pesquisa em questão considerou a SF como um método didático para establecer interconexão entre a prática e o uso datecnologiadigital,visandoauxiliaroprofessorapropriar‐se dessemétodo,noseufazerpedagógico,demaneiraapassarde umapráticatradicionalista,baseadanomodeloinstrucionista, que se perpetua nos ambientes educacionais, para outra práticapautadanaação‐reflexivaeinvestigativadaprática. A discussão sobre a prática reflexiva passa pela temática da formação do professor, tema bastante recorrente no contexto educacional, que vem enfatizando como problemática um modelo pedagógico centrado em concepções respaldadas no ensinoinstrucionista. No ensino visto sob o prisma instrucionista, Freire (1987, p. 58)advertequea“educaçãotorna‐seumatodedepositar,em que os educandos são os depositários e o educador o depositante”. No caso, o autor defende uma prática transformadoraquesecontraponhaaomodelobancário.Essa prática, classificada como tradicional, não agrega capacitação ao sujeito porque as informações quando memorizadas e avaliadasperdem‐senamemoria.(SACRSTÁN,2011). Esse modelo pedagógico parece conduzir o professor ao despreparo,semquecompreendaarealidadedaescoladaqual faz parte, pois esta se apresenta muito distinta das teorias repassadas,asquaisvisamtransmitirconteúdosprontospara asoluçãodeproblemas. Sousaetal.,(2013,p.93),enfatizaessaproblemáticaafirmando que o ensino de Matemática também apresenta muitos obstáculos de caráter didático, “porque nem sempre o 187 ReportesdeInvestigación professor apropria‐se de métodos e técnicas mais adequadas paraestimularaaprendizagem”. Desse modo, o método didático proposto pela SF, integrado à práticadoprofessor,comousodatecnologia,procuracolocar o aluno como o centro do processo, valorizando suas construções e as situações de aprendizagem, tornando‐o um serparticipante,atuanteeinvestigadordoconhecimento. O autor, reportando‐se ao professor como agente de uma prática reflexiva, assinala as seguintes estratégias para planejarasatividadesdesaladeaula: Conter orientação e clareza necessárias para a boa compreensãodoaluno. Haver interação do professor com os alunos durante o desenvolvimentodostrabalhospropostos. Asaulasnãopoderãosermeramenteexpositivas. Deverão contemplar pesquisas, experimentações, troca de informações,resoluçãodeproblemas,tomadasdedecisões, registrosedivulgaçãodosconhecimentosconstruídos. Durante a sessão didática, o professor deverá estimular a curiosidade,apolêmicaeodebateentreosalunos. Neste âmbito, as estratégias supracitadas possibilitaram, no estudo empírico da pesquisa, a integração do conteúdo matemático com a tecnologia, na medida em que o professor, aoutilizarosoftwarewinplot,promoviaaaçãoeareflexãodos alunos,deformainvestigativaecolaborativasobreoconteúdo. SegundoDemo(2012,p.49),“osaberpensarnãoserestringe mais, portanto, a uma atividade individual dos estudantes, recolhida, ensimesmada, produto de uma cabeça privilegiada, masasumeodesafiodetornar‐seumjogocoletivo”. AmparadosnasconcepçõesdeShön(2000),oprofessorpode serlevadoarefletirsobresuaprópriaprática,seupensareseu fazer,numprocessodereflexãonaação,reflexãosobreaação ereflexãosobreareflexãonaação,demodoacontrapor‐seà umavisãopuramenteinstrucionista. 188 ReportesdeInvestigación É,portanto,pormeiodaaçãoqueoalunopoderátornar‐seum ser reflexivo e investigativo, para tanto, o professor, deverá, durante sua caminhada, ir modificando sua prática e adaptando os conhecimentos, em função da realidadeem que estáinserido. Ressalte‐se que os meios informáticos, não podem ser considerados como grandes dificultadores dessa prática. Na realidade, deve‐se questionar que métodos didáticos são adequados e quais posturas o educador deve assumir nos ambientesdeensinopermeadospelosrecursosdigitais. Metodologia AaulanoLIEinicia‐secombreveexplanaçãosobreoconteúdo matemático,feitonaformaoral,retomandoosconceitosvistos na aula passada, sem o uso do winplot. Neste momento, a situação desafiadora é lançada, na forma de perguntas reflexivas. Em seguida, o professor pede aos alunos para esboçaremosgráficosdasfunçõespropostasnaatividade.Este momentoécaracterizadopelaSFdeTomadadePosição.Nesta etapa, professores e alunos interagem logo no início da aula, comomostraafigura1,abaixo. Figura1:PosturadoprofessoredoalunonoLIAED Fontediretadapesquisa Apósasituaçãodesafiadoraserlançada,deu‐seoprocessoda Maturação,faseemqueosgrupos,formadosdetrês,quatroe cincoalunos,passamatrabalharcomowinplot.Nestaetapa,os alunos debruçaram‐se sobre a atividade para investigarem 189 ReportesdeInvestigación qual o caminho conduziriam a solução desejada. Este é o momento de reflexão, da socialização e da discussão, em que todos participam, oportunizando ao professor trabalhar com contra‐exemplos,paraproporcionarfeedbakdosalunos. Nafaseseguinte,chamadadeSolução,osalunosapresentaram, na forma oral, os gráficos feitos no winplot, explicando e respondendoas perguntasque foram lançadas comosituação desafiadora,natomadadeposição.Nestemomento,adidática do professor foi de fundamental importância para consolidar osconhecimentos. A última fase da SF, chamada de prova, foi realizada pelo professor fazendo a conexão do conhecimento construido pelosalunoseomodelomatemáticocientífico.Osgráficosdas funçõesforamprojetadosnoquadrointerativoeservirampara osalunosvisualizaremsuasconstruções,enquantooprofessor explicavaoconceitomatemático,finalizando,assim,aaula. ConsideraçõesFinais O método didático proposto pela SF propiciou feedback dos alunos, durante o ensino e a aprendizagem, ocorrendo de forma colaborativa, bem como, transformou a postura do professor que passou a colocar‐se como um mediador pedagógico,deixandodeocuparocentrodoprocesso. Compreendeu‐se que a tecnologia digital (software winplot), por si só, não é suficiente para transformar a prática pedagógica. Isto dependerá de métodos apropriados para os cenários educacionais, que não permitem mais o ensino baseadopraticamentenaexposiçãodeconteúdosprontos. Ousodocomputador,portanto,nasatividadeseducativas,com a utilização da SF, como método didático, foi eficaz, posibilitando condições mais favoráveis que vai além da aula expositiva, do papel e do lápiz, para fazer a transposição dos conteúdosquesedesejaensinar. 190 ReportesdeInvestigación Referências Borges Neto et al., (2007). A SequênciaFedathi como proposta metodológica no ensino‐aprendizagem de matemática e suaaplicaçãonoensinoderetasparalelas.Acessadoem10 de setembrode2013(www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/fe dathi/fedathi‐a‐sequencia‐de‐fedathi‐como‐proposta.pdf) Demo,Pedro.(2012).HabilidadesecompetênciasnoséculoXXI. 3ª.ed.‐PortoAlegre:Mediação. Freire, Paulo. (1987). Pedagogia do oprimido. 17ª. ed. Rio de Janeiro:PazeTerra. Sacristán,JoséGimenoetal.,(2011).Educarporcompetências. Oquehádenovo?Tradução:CarlosHenriqueLucasLima. PortoAlegre:Artmed. Schön, D. A. (2000). Educando o Profissional Reflexivo: umnovodesing para o ensino e aprendizagem. Trad. RobertoCataldoCosta.PortoAlegre:ArtesMédicasSul. Sousa et al., (orgs.)(2013). Sequência Fedathi: umaproposta pedagógicaparaoensinodematemáticaeciencia.Edições UFC,Fortaleza–CE,Brasil.2013. TARDIF, Maurice. (2000). Saberes docentes e formação profissional.Petrópolis,RJ:Vozes. 191 ReportesdeInvestigación CONTRIBUIÇÕESDATEORIAHISTÓRICO‐ CULTURALPARAAFORMAÇÃODO EDUCADORMATEMÁTICO BetineDiehlSetti, NeivaIgnêsGrando UniversidadedePassoFundo–RS/Brasil [email protected], [email protected] Resumo O fato que o indivíduo se desenvolve por meio da aprendizagem, se constituindo a partir de situações sociais específicasnumaíntimarelaçãoedependênciaentreoeueo outro, sujeito às instabilidades da modernidade evidencia a necessidade de um novo modelo de formação. Desta forma, buscou‐se explicitar alguns fatores que têm influenciado o modo de vida das pessoas e a nova concepção de formação humana, bem como, as dificuldades que o educador matemáticotemenfrentadonodesempenhodasuaatividade. Na reflexão destacam‐se as contribuições que a teoria histórico‐cultural traz para a educação ao apontar caminhos para a superação da dicotomia social/individual assumindo queosujeitoconstituisuasformasdeaçãoematividadesesua consciêncianasrelaçõessociais.Nessesentido,essateoriatem oferecidosubsídiospararepensaraeducação,poiselacontém elementosedefineconceitosquepodemcontribuircomaação pedagógica docente de modo que o trabalho educativo possibilitequeaescolacumpracomseupapelnasocialização do conhecimento sistematizado disponibilizando ferramentas analíticas que auxiliem na liberação do potencial de cada indivíduo. Palavras‐chave: Formação de professores. Teoria histórico‐ cultural.Atividadedocente. 192 ReportesdeInvestigación Asociedadecontemporâneavemsedeparandocomumritmo acelerado de transformações em todas as áreas do conhecimento, da cultura e da vida social. Dois movimentos coletivos têm influenciado fortemente o modo de vida das pessoasnasúltimasdécadas:aexpansãodasnovastecnologias dainformaçãoecomunicaçãoeofenômenodaglobalização. Com a ebulição das tecnologias multimídia o acesso à informaçãoampliou‐seextraordinariamenteeemergemnovas formas de socialização visto que, ak o se tornar um enorme espaço global de trocas de informação e comunicação, a Internetpermitequeaspessoasexperimentemeestabeleçam formas de interagir e se comunicar diferentes daquelas propostas pelas mídias clássicas e que transitem pelos ambientes virtuais se conectando com o mundo todo, mediadospelociberespaço(Lévy,1999,p.11). Goergen (2009, p. 49‐50) afirma que indivíduo e sociedade encontram‐se em crescente e incontornável relação de dependência, imersos numa estrutura de relações entre as pessoas que se modifica com o enorme desenvolvimento de mecanismos de influência e envolvimento dos indivíduos. Ao observar que o indivíduo estabelece múltiplas relações e, consequentemente,seenvolvecomvisõesdemundo,hábitos, tradiçõesevalores,própriosdecadagrupo,Goergen,apoiado emElias11,identificaoserhumanocomopartedeummundo maior em que as relações entre indivíduo e sociedade podem ser interpretadas como uma rede entendida a partir do conjunto das relações que se estabelecem entre seus fios. Nesse sentido, o autor esclarece que “a identidade de cada pessoa só se forma em relação ao grupo com o qual ela se relaciona”e“opsiquismodapessoaéumconjuntodefunções de autorregulação da pessoa em relação a outras pessoas e coisas,ouseja,umconjuntodefunçõesrelacionais”(ibidem,p. 50).DissoderivaaquestãocolocadaporGoergencujaresposta irá definir os contornos do conceito contemporâneo de Elias, Norbert. A sociedade dos indivíduos. Trad. de Vera Ribeiro. Rio de Janeiro:JorgeZahar,1994. 11 193 ReportesdeInvestigación formação: as influências das relações sociais são determinantes para interferir ou inviabilizar a construção da autonomiadosujeito? Defato,oindivíduosedesenvolvepormeiodaaprendizagem social,seconstituindoapartirdesituaçõessociaisespecíficas numa íntima relação e dependência entre o eu e o outro, sujeito às instabilidades da modernidade e aos processos aceleradoseimprevisíveisdemudançasimpostaspelafluidez da realidade. Esse contexto evidencia a necessidade de um novomodelodeformaçãoqueimplicaráemnovospadrõesde socialização e individuação e que se diferencia dos modelos passados, conforme delineado por Goergen (2009), devido à “[...] nova concepção de espaço e tempo, de mobilidade e mudança, de aproximação e distanciamento num mundo carente das autoridades tradicionais e imerso em sempre renovados ambientes de convivência entre indivíduos e culturas.”(p.55).Oautorsinalizaaindaque,comaperdadas forças educativas tradicionais, as influências da mídia orientada por interesses econômicos e privados invadiram o espaço educativo e estão se tornando determinante na formaçãodaspessoas. Assim, no contexto da sociedade contemporânea marcada pelos novos modos de vida que se estabelecem influenciados pelas tecnologias, pela globalização, pelo consumismo e pelo individualismo, o professor depara‐se com desafios na sua atividade de trabalho que se colocam a partir das exigências impostas pelas atuais organizações sociais, políticas e econômicas e pelos movimentos de contínuas mudanças da atualidade tornando a educação escolar refém da lógica individualista, privatista e utilitarista (Silva, 2000; Goergen, 2009). Frente a essa realidade, o papel do professor também se transforma e muitas vezes seu trabalho acaba se tornando desprovidodesentidoaorevelarodespreparoparaenfrentar essa problemática. Desta forma, para buscar novo significado para a ação docente é fundamental ter consciência da atual conjuntura educacional, das expectativas e demandas 194 ReportesdeInvestigación requeridas ao educador, da concepção de formação integral contemporâneaedanecessidadedepermaneceremcontínuo processo de formação devido às instabilidades geradas pela diversidade e imprevisibilidade que caracterizam a pós‐ modernidade(Silva,2000,p.100). Goergen (2009), ao refletir sobre a formação do ser humano, sinalizaparaabuscaporcaminhosnovoscomespecialatenção para a dimensão social de modo que se estreitem os laços entre indivíduo, sociedade e formação como um projeto conjunto. As modificações que estão sendo requeridas na escola necessitamdepreparaçãodosprofessoresparamudaremsuas práticas. Na escola, o professor se sente sozinho e sem subsídios para refletir e planejar propostas de atividades de ensinoquetransformemasaladeaula. Opróprioprofessortemconsciênciadanecessidadedemudar suaspráticasàmedidaqueenfrentadificuldadesnarealização de seu trabalho, ao mesmo tempo em que é pressionado e criticadopelasociedadecomcobrançasquantoaosresultados daaçãoeducativa.E,enquantonãoassimilaessacomplexidade do ambiente escolar, o professor continua reproduzindo as antigas formas de trabalho na sala de aula. Aliadas a essa problemática,aindaháodesacordodaformaçãoinicialcomas demandasdaatualidadeeabaixaremuneraçãoqueafligemo professor. Na busca por identidade teórica no desenvolvimento da atividade docente, destacam‐se as contribuições que a teoria histórico‐cultural traz para a educação ao apontar caminhos para a superação da dicotomia social/individual assumindo queosujeitoconstituisuasformasdeaçãoematividadesesua consciência nas relações sociais, pois “[...] a ação do sujeito é considerada a partir da ação entre sujeitos e o sujeito só é sujeitonocontextosocial.”(Pereira,2008). Ao discutir as características psicológicas tipicamente humanas e a gênese social do desenvolvimento psicológico apontandonovosolharessobrearelaçãoentreoplanosociale 195 ReportesdeInvestigación individual da ação e o processo de apropriação das formas culturaisdeatividadessocialmenteestabelecidasVigotski,um dos precursores da teoria histórico‐cultural, assume que o desenvolvimentoéalicerçadosobreoplanodasinteraçõespor meiodasexperiênciasdeaprendizagem. A maneira de conceber o sujeito e seu desenvolvimento determinouocarátersócio‐históricodateoriaqueimplicaem entenderqueoconhecimentoéconstruídonainteraçãoentre sujeitoeobjetoequeessainteraçãoésocialmentemediada.A partir das trocas recíprocas com o meio o sujeito se apropria daculturadasgeraçõesprecedentes,aomesmotempoemque transforma e intervém no universo que o cerca durante toda suavida,sefazendoindivíduoealcançandoformassuperiores de ação. Conforme afirmou Leontiev (2004, p. 55), o homem aprendeaserhumanonarelaçãocomosoutroshomens.Nesse processo de apropriação do conhecimento culturalmente acumuladoaeducaçãoescolartemumpapelinsubstituívelno desenvolvimento psíquico dos indivíduos possibilitando a expansãodosseusconhecimentosaointroduzirnovosmodos deoperaçãointelectualpormeiodasatividadesdesenvolvidas e os conceitos aprendidos na escola. As novas formas de pensamento superiores que podem ser desenvolvidas no processoeducacionalpromovemaampliaçãodaconsciênciae modificam a relação cognitiva do indivíduo com o mundo auxiliando‐oacompreender‐seecontribuindoparaaformação desuapersonalidade(Pereira,2008). Vigotski (1998), na sua proposta de que a aquisição do conhecimento se dá pela interação do sujeito com o meio, a mediação coloca‐se como um conceito fundamental na teoria histórico‐cultural na medida em que nesse processo, o qual caracterizaarelaçãodoindivíduocomomeioecomosoutros indivíduos, as funções psicológicas superiores – essencialmentehumanas–sedesenvolvem. Assim, a partir desses pressupostos da teoria histórico‐ cultural, quanto à influência da aprendizagem no desenvolvimento mental da criança, a posição teórica de Vigotski sustenta que a relação mais adequada entre 196 ReportesdeInvestigación aprendizagem e desenvolvimento é a ideia de que a aprendizagem e desenvolvimento não coincidem e que a aprendizagem promove o desenvolvimento. Para amparar a teoria ele identifica dois níveis de desenvolvimento: o desenvolvimentoreal–jáadquiridoequedeterminaaçõesque a criança realiza sozinha; e o desenvolvimento potencial – referindo‐seaoqueacriançaconseguefazercomoauxíliodos adultos. Azonadedesenvolvimentoreal(ZDR)compreendeasfunções psíquicas já dominadas pelo sujeito e a zona de desenvolvimento potencial/proximal (ZDP) indica o conjunto dehabilidadesondeosujeitopodetersucessoseassistidopor alguémmaisexperiente.NaZDPestãoashabilidadesaindaem desenvolvimento pelo sujeito e nas quais ele poderá ter sucessosozinhodepoisdealgumtempo,seodesenvolvimento seguirocursonormal. Deste modo, ao verificar que a gênese dos conceitos espontâneos e científicos se dá de forma diferente e que os conceitos científicos precisam do papel mediador de outros conceitosparasuaformação,Vigotski(2000)consideraquea escola é o espaço por excelência para a ação pedagógica de alavancar o processo de desenvolvimento das funções psíquicassuperioresequearegiãoemoprofessordeveatuar éadazonadedesenvolvimentoproximaldoaluno. Na teoria de Vigotski a concepção do condicionamento histórico‐social do desenvolvimento do psiquismo humano, queserealizanoprocessodeapropriaçãodaculturamediante acomunicaçãoentrepessoas,realçaaatividadesócio‐histórica e coletiva dos indivíduos na formação das funções mentais superiores, implicando na constituição da educação e do ensino como formas universais e necessárias do desenvolvimento mental, considerando‐se que os saberes e instrumentos cognitivos se constituem nas relações intersubjetivas e, assim, sua apropriação implica a interação com os outros já portadores desses saberes e instrumentos (Libâneo,2004). 197 ReportesdeInvestigación Neste sentido, essa teoria tem fundamentado muitos estudos das atividades educacionais e tem oferecido contribuições importantes para repensar a educação, pois ela contém elementosedefineconceitosquepodemcolaborarcomaação pedagógica docente de modo que o trabalho educativo organizado possibilite que a escola cumpra com seu papel na socialização do conhecimento sistematizado disponibilizando ferramentas analíticas que auxiliem na liberação do potencial decadaindivíduo. Libâneo (2004) afirma que relacionar a psicologia histórico‐ culturalcomaeducaçãopossibilitaampliaracompreensãodas relações entre cultura, aprendizagem e desenvolvimento humano.“Oensinoeaeducaçãosãovistoscomoformassociais de organização do processo de apropriação, pelo homem, das capacidades formadas sócio‐historicamente e objetivadas na culturamaterialeespiritual.”(p.118‐119). ParaLeontievtodohomemnascecandidatoaserhumano, mas somente se constituirá como tal ao se apropriar da cultura produzida pelos homens. O processo de apropriação da cultura humana é resultado da atividade efetivadohomemsobreosobjetoseomundocircundante mediadospelacomunicação.Logo,acriançaprecisaentrar em relação com os objetos do mundo por meio da relação comosoutroshomens,pormeiodacomunicação,paratera possibilidade de se apropriar das obras humanas. (Cedro, Moraes&Rosa,2010,p.428). Assim, segundo essa teoria, e destacado por Saviani (2003), humanizar o indivíduo passa pelo processo de produzir e reproduzirde formadiretae intencionala humanidade que é produzidahistóricaecoletivamentepeloconjuntodehomens. Essaéatarefaqueconstituiotrabalhoeducativoequepodese utilizardasidéiasdeVigotskivistoqueestãoemconsonância comoidealdeformaçãocontemporânea. 198 ReportesdeInvestigación Referências Goergen,P.(2009).Formaçãoontemehoje.In:CENCI,A.V.et al.Sobrefilosofiaeeducação:racionalidade,diversidadee formaçãopedagógica.PassoFundo–RS:UPF. Cedro,W.L.;Moraes,S.P.G.&Rosa,J.E.(2010).Aatividadede ensino e o desenvolvimento do pensamento teórico em matemática.Ciência&Educação,16(2),427‐445. Leontiev, A. N. (2004). O desenvolvimento do psiquismo. Tradução:RubensE.Frias.SãoPaulo‐SP:Centauro. Lévy, Pierre. (1999). Cibercultura. Tradução de Carlos Irineu daCosta.SãoPaulo‐SP:Ed.34,254p. Libâneo,J.C.(2004).Aaprendizagemescolareaformaçãode professoresnaperspectivadapsicologiahistórico‐culturaleda teoriadaatividade.Educar,n.24,113‐147. Pereira, M. (2008). Desenvolvimento Psicológico segundo Vygotsky: papel da educação. Recuperado em 30 dezembro 2012, de http://www.portaleducacao.com.br/ pedagogia/artigos/3820/desenvolvimento‐psicologico‐segundo‐ vygotsky‐papel‐da‐educacao‐1. Saviani, D. (2003). Pedagogia histórico‐crítica: primeiras aproximações.Campinas‐SP:AutoresAssociados,8ed. Silva,A.M.C.(2000).Aformaçãocontínuadeprofessores:uma reflexão sobre as práticas e as práticas de reflexão em formação.Educação&Sociedade,n.72,89‐109. Vigotski, L. S. (2000). A construção do pensamento e da linguagem. Tradução: Paulo Bezerra. São Paulo ‐ SP: MartinsFontes. ______ (1998). A formação social da mente. São Paulo – SP: MartinsFontes,6ed. 199 ReportesdeInvestigación ASEQUÊNCIAFEDATHINAFORMAÇÃO INICIALDOPEDAGOGO:OUSODAS TECNOLOGIASDAINFORMAÇÃOE COMUNICAÇÃO(TIC)NOSCONTEÚDOS MATEMÁTICOS RomilsonGomesdosSantos, FranciscaCláudiaFernandesFontenelle, MariaJoséCostadosSantos UniversidadeFederaldoCeará–UFC [email protected]; [email protected]; [email protected] Resumo Diante dosavanços nasociedadeatual,o usodas Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC), está cada vez mais presente no âmbito educacional. Essa realidade remete uma reflexãosobreoensinodamatemáticanocursodePedagogia na disciplina Tópicos em Educação Matemática, utilizando a Sequência Fedathi (SF) que serve como subsídio de uma proposta organizacional didática. Objetivando mostrar a SF como nova perspectiva no ensino‐aprendizagem, nos conteúdos matemáticos. Método elaborado e executado no estado do Ceará, a pesquisa se dará através de um estudo de caso descritivo com abordagem qualitativa incluindo à SF, desenvolvida na Universidade Federal do Ceará (UFC). Portantoousodessaferramenta,visainteraçõestecnológicas, integrando SF com a plataforma TelEduc por meio de interfacesdeinteraçãocomo:fórumdediscussão,interlocução entre professores e alunos, dentre outros pesquisadores do núcleo, derivado de um acompanhamento do Laboratório de Pesquisa Multimeios, composto por: doutores, e doutorandos, mestres,emestrandosegraduandos.Dessaforma,aSequência Fedathi integrada às tecnologias promove novas perspectivas naformaçãodoprofessor. 200 ReportesdeInvestigación Palavras‐chave: Sequência Fedathi; TIC; Formação de professoresnassériesiniciais. O uso das tecnologias da informação e comunicação nos conteúdosmatemáticos A Matemática foi criada e vem sendo desenvolvida pela humanidade em função de necessidades sociais. O homem viveu da caça e da coleta, competindo com outros animais utilizando deobjetoscomo: paus, pedrase, posteriormente,o fogo, vivendo numa dependência do que pudesse extrair da natureza. Assim, ele necessitava apenas das noções de mais‐ menos, maior‐menor e algumas formas e simetria no lançamentodepedrasenasconfecçõesdeporretes. O contexto histórico da matemática deve ser mostrada e compreendida, porém os PCN (1998, p.20), defendem que: “o conhecimento matemático deve ser apresentado aos alunos como historicamente construído e em permanente evolução”. O ensino da Matemática é componente importante e fundamentalnaconstruçãodacidadania,namedidaemquea sociedade atual utilizava cada vez mais de recursos tecnológicos, nos quais os professores e alunos devem se apropriarcadadiamais,poisestamosvivenciandomomentos detransformações. A formação inicial do professor, no atual contexto, é indispensável para a prática pedagógica em todas as áreas educacionaisenãopoderiaserdiferenteparaoprofessordos anos iniciais do ensino fundamental, visto que o mesmo deve estarpreparadoparaasmaisdiversassituaçõesqueenvolvem oprocessodeensinoeaprendizagem.Destaforma,aoanalisar a concepção da formação inicial dos professores, que até há poucotempoparticipavamdecapacitaçãoetreinamento,afim de que aprendessem a atuar com eficiência na sala de aula, nota‐se que vem sendo substituída pela abordagem de compreenderapráticaeaformaçãoinicialquetalprofissional vem desenvolvendo, enfatizando a busca de uma base de conhecimentomaisconsolidado. 201 ReportesdeInvestigación Paramelhorrefletirsobreaformaçãoinicialeamobilizaçãode saberes necessários para a atuação docente, buscam‐se as DiretrizesCurricularesNacionaisdoCursodePedagogiaBrasil (2006,p.1):[…]art.2º§1ºCompreende‐seadocênciacomo açãoeducativaeprocessopedagógicometódicoeintencional, construído em relações sociais, étnico‐raciais e produtivas, as quais influenciam conceitos, princípios e objetivos da Pedagogia, desenvolvimento nas articulações entre conhecimentocientíficoeculturais,[...]. No entanto, entender a importância da formação inicial do professor (pedagogo) proporciona ao ensino da Matemática um novo olhar, que pode nos levar a diversas reflexões, principalmente sobre as funções das politicas publicas inerentesem umasociedadeenocampoeducacional,poisde acordo com Santos (2006) “No Brasil, nos últimos anos, a formaçãodosprofessoressetornoualvodaspolíticaspúblicas educacionais, além de também ser motivo de reflexões e alteraçõesnasvisõesdasInstituiçõesdeEnsinoSuperior‐IES”. Nessesentido,oensinodaMatemáticanassériesiniciaiséde responsabilidade das Instituições de ensino, na qual ela deveria nortear didaticamente os pedagogos para um ensino diferenciado nos conteúdos matemáticos, desse modo o pedagogo possivelmente aplicaria em suas aulas e consequentemente proporcionaria uma nova construção de conhecimentosapartirdoensinofundamentalI.SegundoLima (2007) “O ensino de Matemática das séries iniciais do Ensino Fundamental é da responsabilidade dos pedagogos, cuja formação acadêmica é totalmente diferente da formação do matemáticoedoprofessordeMatemática”. Nessa perspectiva, para que haja um avanço no ensino da Matemática,osprofissionaisdocursodepedagogiadevemter uma formação completa, capazes de produzir práticas educativas eficazes e significativas que favoreça a produção intelectual do conhecimento valorizando a aprendizagem do alunocomoparceriadessaconstrução. 202 ReportesdeInvestigación No entanto, o uso das tecnologias da informação e comunicação tende a propiciar para a formação do professor nosanosiniciasnovoscaminhos,poiscomorecursosdidáticos pedagógicos, a utilização dessas ferramentas pode contribuir de forma significativa para um olhar tridimensional sobre o ensinodamatemática. Para Viseu e Ponte, (2009) as potencialidades das TIC como instrumento de trabalho, de informação e de comunicação durante a prática pedagógica são amplamente reconhecidas. Como meio de informação, as TIC permitem que os futuros professores, por um lado, pesquisem e explorem sites, links, softwareedocumentoson‐linecominteresseparaoensinode Matemática e, por outro lado, selecionem recursos tecnológicosparautilizarnasaladeaula. Desse modo, diante dos avanços tecnológicos que vêm ocorrendonaatualsociedade,ousodasTICestácadavezmais presente na educação. Essa realidade nos remete a uma reflexão sobre o ensino da matemática a partir da formação inicial do pedagogo, utilizando a SF como proposta de organizaçãodidática. A SF é uma teoria nova, sendo apresentada formalmente em 1996,naTesedePós‐DoutoradodoProf.Dr.HermínioBorges Neto, da UFC, na Universidade de Paris VI. Desde sua apresentação formal, a referida Sequência vem sendo experimentadaeaperfeiçoadacombasenosestudosdeBorges Neto,juntamentecomoGrupoFedathi–FACED/UFC(SOUSA, 2013,p.18). O uso da SF propõe dentro dos parâmetros do ensino e aprendizagem uma forma de sistematizar o planejamento, seguido de construção de sessões didáticas através de etapas desenvolvidaseelaboradasporBorgesNetocomo:tomadade posição, maturação, solução e prova. A primeira fase é a TomadadePosição,nesta,ocorreàapresentaçãodoproblema, podendo ser de forma escrita, verbal, jogo, material concreto ou por meio de outro recurso tecnológico. Na Maturação, os alunos já tomaram posse do problema em questão, então 203 ReportesdeInvestigación ocorreacompreensãoeidentificaçãodasvariáveisenvolvidas noproblema.Nessafase,oprofessordeveestaremalertapara perceberquandoecomomediarasinformações,estimulandoe desenvolvendo a parte reflexiva dos alunos a levantarem hipótesesquesolucionemoproblemaemquestão. NaetapadaSolução,osalunosdeverãoorganizareapresentar formasdesoluçõesquepossamresolveroproblemaproposto, ouseja,representaçãoeorganizaçãodeesquemasoumodelos que visem à solução do problema inicial. A última etapa é a Prova, nesse momento ocorre à apresentação e formalização do modelo matemático pelo professor, fazendo as devidas orientações,usandolinguagemmatemáticaformalefechando oproblemaproposto. Assim, é através desta organização que permite e possibilita uma maior interação entre professor, aluno e conteúdo, enfatizandotambémaspossíveismudançasdeposturadentro do contexto dos sujeitos envolvidos principalmente do professor. ASFpropõeumensinonumaconcepçãotecnológicanoensino de matemática, propondo novas formas de trabalhar os conteúdos matemáticos com aulas planejadas e organizadas possibilitando o aluno a reflexão e criar suas próprias estratégias de soluções. De acordo com Sousa (2013) “a SF busca diferenciar‐se positivamente em relação ao ensino tradicional,valorizandoigualmenteasaçõesdoprofessoredo alunoduranteoensino”. Do ponto inicial é pertinente ressaltar que esse trabalho é voltado a uma linha de pesquisa usando a SF. O percurso de observação será baseado no método qualitativo. Os procedimentos podem ser formais ou informais. Do ponto de vistaformal,podesedesenvolverprotocolosdeobservaçãopara avaliar certos tipos de comportamentos durante determinados períodos. A observação terá o objetivo definindo o explicito e que se refereaofatoquedeveserobservado,oobservadordefiniráo período. Foi realizado um trabalho de observação de linha 204 ReportesdeInvestigación metodológica direcionando a um estudo de caso, foram observados aspectos sobre o ensino da SF objetivando a interação dos conteúdos programáticos com os alunos e a interação organizacional entre o professor e o aluno, dentre diversosaspectos. RelatodePesquisa Duranteumperíodoregularfoiacompanhadoasaulasdaprofª Dra. SANTOS, M.J.C na disciplina Tópicos em Educação MatemáticanocursodePedagogia(UFC),diantedasaulasbem elaboradaseplanejadasnosdespertoueminvestigarerelatar como aconteceu a aula com o conteúdo “Visualização Matemática”, utilizando as sessões didáticas sugeridas pela Sequência Fedathi. É pertinente ressaltar que os conteúdos trabalhadosemsaladeaulaestãoabertosadiscursão,dentro da proposta do ensino e aprendizagem para que haja um feedbackentreoprofessoreosalunos. Partindo do conteúdo proposto, no transcorrer da aula a professora indagou aos alunados um método indutivo e reflexivo sobre a temática, nesta proposta teve a intenção de inquietar os alunos a ter uma percepção da matemática em todos os ambientes tais como: logomarca de carros, sinalizadores de trânsitos, edifícios, ruas, avenidas, natureza dentre outros, no intuito de despertar nos alunos “um olhar tridimensional”, para a matemática e consequentemente ser aplicado a partir das séries iniciais e a sua importância no contexto social ao referenciar a premência importância que vemseramatemáticanocotidianosocial. Após a explanação do conteúdo a professora aplicou um exercício como forma de atividade para os alunos elucidar o que foi absorvido, no qual os alunos construíram de acordo com seus entendimentos sobre o conteúdo abordado contemplando com a elaboração de um foco problema que envolvesseoassuntoeasdiversasmaneirasdeseresolverem. Após o exercício foi proposto que cada um apresentasse as suasformasderesoluçõeseestratégiasdiantedaproblemática 205 ReportesdeInvestigación elaboradaporelesecomoaplicariamnodiaadianaeducação infantil. Deste modo, após o término da aula a professora incentiva a participação do que foi abordado em sala no fórum de discussão (plataforma virtual TelEduc); essa plataforma tem como objetivo o feedback de forma onde os alunos com o professor possa tirar suas dúvidas e abrir espaço para novas discussões sobre a temática estudada. Assim, a partir das participaçõestantoemsaladeaulacomonoambientevirtual sãoavaliadososdesempenhosdosalunosdeacordocomsuas produçõescomo:participação,exercíciospropostoemsalade aula,frequênciaeprovaavaliativadeacordocomasnormasda Universidade. Para Kaleff, (2003) enfatizar a importância do olhar e da visualizaçãonaaquisiçãodoconhecimentoemmatemática.As reflexões, as atividades e as discussões propostas pretendem propiciar um modo de ver a imagem além do olhar. Objetivando propiciar o desenvolvimento visual no aluno; Relacionar os conceitos e a visualização de imagens; Reconhecer e evidenciar a importância da leitura e compreensãodetextoeimagensemsituaçõesproblema. Apropostainicialédecurta,médiaealongoprazoetrabalha com novos recursos tecnológicos, com intuito de inovar, contribuir, interagir, aplicando tele vídeos em aulas ao depender do tema proposto e se é pertinente, além de trabalhar em parceria, pois o ensino aprendizagem pelo instrumento Sequência Fedathi provém da UFC, onde é encontradatodaumaestruturadecorpodocentecompostade graduandos, mestrandos e doutorandos com a finalidade de abraçar novas perspectivas de aprimoramento na educação. Essa didática serve como ponto de partida para todas as temáticas como novas perspectivas ao ensino de Matemática nocursodepedagogia. 206 ReportesdeInvestigación ConsideraçõesFinais Ousodastecnoligiasdainformaçãoecomunicaçãoédesuma importanciaparaoensinodosconteúdosmatemáticosapartir daformaçãodopedagogoutilizadandoorganizaçõesdidáticas proposta pela Sequência Fedathi, dessa forma a integração desses recursos proporciono uma maior participação e conhecimentoparaoprocesodeensinoeaprendizagem. Referências Brasil. MEC/SEF(1998) Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília,Brasil,páginas148. Cne. (2013) Diretrizes Curriculares Nacionais do Curso de Pedagogia. Brasília novembrode 2013. http:/www.mec.org.br. Kaleff, A. M. (2003)”Vendo e Entendendo Poliedros”. EDUNFF, Série conversando com o profesor, volumen 2, Niteroi, Brasil,página211. Lima, I.P. (2007). A matemática na formação do pedagogo: oficinaspedagógicaseaplataformaTelEducnaelaboração dosconceitos.Tesededoutorado,UniversidadeFederaldo Ceará,Fortaleza,CE,Brasil. Santos, M.J.C. (2012). A formação Matemática do pedagogo: reflexão dedutiva. In: 3o. SIPEMAT, 2012, Fortaleza. Simpósio Internacional de pesquisa em Educação Matemática.Fortaleza,CE:IUFCV,v.1. Sousa, F.E.E. et al (Orgs) (2013). Sequência Fedathi: uma proposta pedagógica para o ensino de matemática e ciência,EdiçõesUFC,Fortaleza–CE,Brasil,p.184 Viseu,F.Ponte.J.P(2009).Desenvolvimentodoconhecimento didático do futuro professor de matemática com apoio das tic. Revista latino‐americana de investigação en MatemáticaEducativa.Relime,Vol.12(3) 383‐413 207 ReportesdeInvestigación CABRI3DYMATERIALCONCRETO:UN ESTUDIODELAREPRESENTACIÓNDEL CUBO MagnaFernándezContreras [email protected] JesúsFloresSalazar PontificiaUniversidadCatólicadelPerú InstitutodeInvestigaciónsobreEnseñanzadelasMatemáticas‐IREM [email protected] Resumen El presente artículo es un recorte de la investigación de Fernández (2013) que se desarrolló en el contexto de la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría Espacial con estudiantes de primer grado de Educación Secundaria (11‐13 años). La elección del estudio del objeto matemático cubo, especialmentesurepresentación,sebasaenlaobservaciónde lasdificultadesquemuestranlosestudiantesalrepresentarloe identificar sus características. Pensamos que la manipulación de la representación del cubo en material concreto y con el software CABRI 3D favorece la visión e interpretación de la representación del cubo. Tomamos como base teórica los aportes de Parzysz (1988; 1991, 2001) y como método de investigación, aspectos de Ingeniería Didáctica de Artigue (1995), ya que este método permite validar las conjeturas a partir de la confrontación entre los análisis a priori y a posteriori. Los resultados mostraron que, la utilización del material concreto y el software CABRI 3D, especialmente el arrastredeestesoftware,ayudaronenlainterpretacióndela representacióndelcubo. Palabrasclave:Representación,CABRI3D,materialconcreto. 208 ReportesdeInvestigación Introducción La elección de este tema de investigación se basa en la dificultad que muestran estudiantes de primer año de secundaria (entre 11 y trece años) de Educación Básica Regular,alrepresentareinterpretarunobjetotridimensional enelplano,enparticularenelcasodelcubo.Pensamosqueen nuestro trabajo, la manipulación de la representación de objetosenmaterialconcretoyenCABRI3Dayudaránparaque el estudiante visualice, represente e interprete objetos tridimensionales,específicamenteelcubo. Para ello tomamos los aportes de Parzysz (1991) que afirma que las maquetas tridimensionales favorecen la formación de imágenesmentalesdelobjetoycontribuyenamejorarelnivel de visualización y los cambios de puntos de vista que son indispensables para la resolución de problemas. Retomando susalcancesesqueelegimostrabajarconalgunosmodelosde cuboenmaterialconcreto. Además de eso, Salazar (2009), Cozzolino (2008) y Rosalves (2006) afirman que los ambientes computacionales pueden servir de apoyo en la enseñanza y aprendizaje de los contenidos matemáticos, en la medida en que posibilitan trabajar de manera interactiva, visual y dinámica. Mencionan también, que la geometría dinámica CABRI 3D; facilita la construcción de objetos tridimensionales y contribuye a explorar diferentes puntos de vista de sus representaciones, mediante su recurso de manipulación directa y el uso de cambio de vista; y además posibilita al estudiante la observacióndepropiedadesyelusodemedidas,animaciones ysimulacionesvisuales. Es así, que este artículo busca responder a las siguiente pregunta:¿ElusodelCABRI3Dydelmaterialconcretopuede ayudar al estudiante a articular diferentes puntos de vista sobre la representación del cubo? Para responder a la pregunta propuesta, nos basamos en las cuatro etapas de desarrollo del pensamiento geométrico de Parzysz (2001), porquepensamosqueestateoríapermiteanalizarlasacciones 209 ReportesdeInvestigación y las nociones matemáticas, de acuerdo a la naturaleza de materiales a utilizar. Nos basamos también en las investigaciones de lo visto y lo sabido de Parzysz (1988); y añadimos el uso del CABRI 3D, pues consideramos que disminuyen el conflicto de lo visto y lo sabido de la representacióndelcuboycomometodologíadeinvestigación, aspectos de la Ingeniería Didáctica de Artigue et al. (1995) porque esta metodología permite validar o no nuestros supuestosapartirdelaconfrontaciónentrelosanálisisapriori y a posteriori. En la parte experimental, trabajamos con doce estudiantes de primer grado de Educación Secundaria de una InstituciónEducativaEstataldelaciudaddeLima,dispuestos en duplas; la actividad de relacionar los diferentes puntos de vistadelcuboenelsoftwareCABRI3Dylospuntosdevistade la representación del cubo en material concreto; y para la recolección de datos utilizamos cuestionarios, fichas de observaciónygrabacióndearchivosenCABRI3D. Problemática Nuestra problemática se centra en losproblemas de los estudiantes de primer año de Educación Secundaria, en relación al estudio del cubo, sus características y su representaciónplana. Frente a dificultades de los estudiantes de primer grado de Educación Secundaria (11 a 13 años), detectadas en nuestra labordocentealolargodeaños,comoson:laidentificaciónde las características del cubo (mencionar por ejemplo que el cubotieneladoscuadrados,elcubotieneseisladosiguales,el cuboestáformadoporcuadradosyparalelogramos),dificultad alasociarelcuboconeldesarrollodesusuperficieymostrar dudas al realizar su representación plana (no identificar los puntos de vista desde la cual ven su representación, representarlo como comúnmente lo presentan los libros de consulta); nos interesamos por revisar investigaciones en DidácticadelaMatemáticacomolasdeParzysz(1988;1991), Cozzolino (2008) y Rosalves (2006); encontrando que 210 ReportesdeInvestigación destacandificultadescomunesalasnuestrasquesintetizamos acontinuación: - Dificultad en comprender las relaciones entre las figuras geométricasfundamentalesenlageometríaespacial,como planossecantes,rectasalabeadasentreotras. - Los estudiantes tienen dificultades con la representación de objetos espaciales en el plano, como por ejemplo con respecto a los poliedros, en lo que se refiere a su representaciónyasuinterpretación. - La necesidad de trabajar en el primer año de Educación Secundaria, los principios de la representación plana de figurasespaciales. - La representación no siempre es utilizada y sirve apenas comomerailustración. Porellopensamosqueesnecesarioyrelevanteelestudiodel cuboysurepresentación,enelprimerañodeEducación Secundaria. Aspectosteóricoymetodológico TomamoslosaportesdeParzysz(1988,1991y2001)encuanto alainfluenciade“lovisto”y“losabido”queconsideramosnos ayudaránaintentardisminuirladificultaddela representacióndelcubo. Elinvestigadorsostienequedichasituaciónllevaaunconflicto quellama:conflictode“losabido”y“lovisto”;relacionándolo con la codificación (elaboración de una representación) y la decodificación (interpretación de una representación). Además,distinguedosnivelesderepresentaciones:próximasy distantes. Nivel 01 (Representaciones próximas): son las representaciones de los objetos en su forma concreta. Por ejemplo, la representación de un cubo hecho en madera, representación de un cubo hecho con varitas, etc. En general lasrepresentacionespróximasdelasfiguraspuedenser: 211 ReportesdeInvestigación Bidimensionales o 2D (diseños o dibujos) en el caso que la figurapertenezcaalcampodelageometríaplana.Porejemplo eldibujodeuncuadrado. Tridimensionales o 3D (maquetas) si ellas pertenecen al campo de la geometría espacial. Por ejemplo un cubo construidoenmaterialtransparente. Nivel 02 (Representaciones distantes): La dimensión de la representación es inferior a la dimensión propia de la figura. Por ejemplo la representación de un cubo de varitas, en una hojadepapelesdedimensióndos. Observación:Elrepresentaelnivel0(comofigurasparatodos losobjetosgeométricos,seaenelplanoyenelespacio)como unareferencia,centrándoseenlosnivelesunoydos. Además el investigador propone un modelo teórico para la enseñanzadelageometríaconcuatroetapasdedesarrollodel pensamientogeométrico. Los elementos sobre los que se basa este modelo son, en primer lugar, la naturaleza de los objetos en juego (físicos versus teóricos), y por otra parte los modos de validación (perceptualversushipotético‐deductivo).Así, Geometríaconcreta( ):Separtedelarealidad,deloconcreto y los objetos son materiales. Por ejemplo: observar las características de un ejemplar de un cubo construido en varitas. Geometría espacio‐ gráfica ( ): Es la geometría de representacionesfiguralesygráficas;enestenivellosobjetos son bidimensionales, como por ejemplo, dibujos del cubo hechosenpapel. Geometría pro‐axiomática ( ): Los conceptos son objetos teóricos y las demostraciones de los teoremas son hechas a partir de premisas aceptadas por los estudiantes de manera intuitiva. Porejemplo, que el estudianteentienda que el cubo tienediagonalescuyalongituddependedesuarista. 212 ReportesdeInvestigación Geometría axiomática ( ): Llamada etapa axiomática. Los axiomas son explicados completamente. Por ejemplo, demostrar la diagonal del cubo en función de sus aristas y justificarunoaunosuspasos. En cuanto a la metodología para orientar nuestro estudio utilizamoslosaspectosdelaIngenieríaDidácticadeArtigueet al.(1995). Según Artigue (1995) La Ingeniería Didáctica se caracteriza por un esquema experimental basado en las “realizaciones didácticas”enclase;esdecirsobrelaconcepción,realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza. La investigadora señala que en la Ingeniería Didáctica se distinguen cuatro fases: análisis preliminar, concepción y el análisis a priori, experimentación y análisis a posteriori y validación. Además, para recolectar los datos utilizamos: Fichas de trabajo,cuestionarios,observacionesygrabaciones. Descripciónyanálisisdelaactividad Elcolegioelegidoparanuestrainvestigacióntienepornombre “Telésforo Catacora”; es una Institución Educativa estatal de nivel secundario situada en la comunidad de Santa Clara, distrito de Vitarte, departamento de Lima. Participaron doce estudiantes del primer grado (entre 11 y 13 años) en dos sesiones taller, dictadas fuera de su horario de clase y agrupados en seis duplas; de las cuales fueron elegidas y observadasdosdeellas(dupla1ydupla5),pormostrarmás interésyresponsabilidadpornuestrotrabajo. Cabe resaltar que los estudiantes elegidos para nuestra investigación tienen conocimientos básicos de geometría, es decir conocen lo que es: punto, segmento, recta, semirrecta, plano, planos paralelos, planos perpendiculares y poliedro; tomadoscomoconocimientosnecesariosparainteractuarcon elsoftwareCABRI3D. Laactividadquenosproponemosanalizareslasiguiente: 213 ReportesdeInvestigación Relacionarlosdiferentespuntosdevistadelcuboenelsoftware CABRI3Dylospuntosdevistadelarepresentacióndelcuboen materialconcreto Pretendemosqueelestudianteexplorelasdiferentesvistasdel cubo usando el software CABRI 3D y los relacione a los diferentespuntosdevistaqueobservaenelmodelodelcubo en material concreto, con el fin de que observe la representación plana del cubo e identifique en ella sus características. Proponemos al estudiante conseguir representaciones de distintospuntosdevistadelcuboutilizandoelsoftwareCABRI 3D,manipulandoelcuboenestilodesuperficievacío;comolo muestralafiguraaseguir; Figura1.Diferentesrepresentacionesdelcubo Fuente:AdaptadodeParzysz(1991)p.580 Acontinuacióndebededeterminarelpuntodevistaconlaque se mira el cubo; deduciendo así la ubicación y la mirada que sigue el observador en la representación y en el ejemplar de materialconcreto. A través de dichas acciones pretendemos que el estudiante explore las diferentes vistas del cubo usando el software 214 ReportesdeInvestigación CABRI 3D; luego relacione y reconozca los diferentes puntos de vista que observa en el modelo del cubo en material concreto. Análisisapriori Enlaactividadesperábamosquelasduplasmanipulenelcubo en estilo de superficie vacío y encuentren las diferentes representaciones que proponemos y deduzcan el punto de vistadesdeelquesevelarepresentacióndelcubo.Esperamos que en la representación 1) mencionen que se ve desde un puntodevistafrontal;enlarepresentación2)quesevedesde lacarafrontalylacaralateralderecha;enla3)desdelaarista frontal derecha hacia la arista posterior izquierda; en la 4) desdelacarasuperiorylaaristafrontalderechahacialacara inferior y arista posterior izquierda; en la 5) desde la arista superior de la cara frontal hacia la arista inferior de la cara posterioryenla6)desdeelvérticesuperiorderechodelacara frontalhaciaelvérticeinferiorizquierdodesucaraposterior. Pensábamosademásqueencontraríandificultadalidentificar el punto de vista desde donde se mira la representación del cubo; ya que se encuentra manipulando representaciones distantes;ysegúnParzysz(1988)alestudianteleresultadifícil deducir propiedades de la representación de un objeto tridimensionalyseayudenconelmodelodecubodematerial concreto. En esta actividad se encuentran interactuando con representaciones distantes (en el CABRI 3D); pero además tendránquerecurriralasrepresentacionespróximas(modelo de cubo en material concreto) y relacionar así los puntos de vista del cubo; buscando favorecer la formación de la imagen mental del objeto y contribuir a mejorar el nivel de visualización,comoloafirmaParzysz(1991). Aposteriori Los duplas lograron encontrar las representaciones del cubo en el CABRI 3D; pero mostraron dificultad al identificar el punto vista desde donde se le mira, tal como habíamos previsto a priori. En la figura 2 a continuación mostramos las 215 ReportesdeInvestigación representacionesencontradasporladuplaD1ysusrespectivas vistas. Figura2.Representacionesdelcubodesdediferentesvistas,dupla Comopodemosobservar,estaduplamuestraimprecisionesal nombrarlospuntosdevistadesdedondesemiraelcubo,aun recurriendoalejemplardematerialconcreto;comoeselcaso de la representación dos, debería ser “desde la arista frontal superior hacia la arista inferior de lacara posterior y lacara lateralderecha”;enlarepresentacióntres,deberíaser“desde la arista frontal superior hacia la arista inferior de su cara posterior”yenlarepresentacióncuatrodeberíaser“desdeel vértice superior derecho de la cara frontal hacia el vértice inferior izquierdo de su cara posterior”; sin embargo la mayoría de sus repuestas no están mal; sino que faltan precisar. 216 ReportesdeInvestigación Acontinuaciónenlafigura3semuestralasrepresentaciones ysusrespectivasvistas,encontradasporladuplaD5 Figura3.Representacionesdelcubodesdediferentesvistas,duplaD5 Comopodemosnotar,ladupla aligualqueladupla tuvo dificultadalidentificarelpuntodevistadesdedondeselemira alcubo,comoeselcasodelarepresentaciónuno,deberíaser “desde la cara frontal”; en la representación tres, debería ser “desde la arista derecha de la cara frontal hacia la arista izquierda se su cara posterior” y en la representación cuatro, debería ser “desde el vértice superior izquierdo”; siendo notorioquelamayoríadesusrespuestasfaltanprecisar. Debemos indicar, a través del alcance de los docentes observadores, que las duplas encontraron de manera fácil las distintas representaciones en el software; pero tuvieron 217 ReportesdeInvestigación dificultadesalidentificareinterpretarelpuntodevistadesde dondesemiradicharepresentación;locualnosdaindiciosque al estudiante le resulta difícil deducir propiedades de la representación de un objeto tridimensional según Parzysz (1988). Es por ello que vimos por necesario que las duplas manipulen también el modelo del cubo en material concreto, yaquesegúnParzysz(1991)contribuyeparqueelestudiante mejore su nivel de visualización. Es decir, las duplas al manipularejemplaresdecuboenmaterialconcreto(etapaG0) asociabanasurespectivarepresentaciónenelsoftware(etapa G1);dedondepodíandeducirelpuntodevistadesdedondese miraelcubo. Conclusiones Alosestudianteslescostótrabajoidentificarelpuntodevista desdedondesemiraelcubo;delocualpensamosqueporuna parte se debe a la interpretación que realiza de una representación distante, ya que según Parzysz (1988) al estudiante le resulta difícil deducir propiedades de la representación de un objeto tridimensional, o de otra parte puedaserquenotengaclarolaideadepuntodevistadesdela quesemiraelcubo.Esporelloque,consideramosconveniente quelosestudiantesmanipulentambiénelmodelodelcuboen material concreto, ya que según Parzysz (1991) contribuye paraqueelestudiantemejoreelniveldevisualización. De otro lado, es necesario notar que los estudiantes al manipular el CABRI 3D se encuentran en la etapa ( ) del desarrollo del pensamiento geométrico; donde aún deducen por lo que ven y lo que se pretende al utilizar el cubo en es ayudarle a deducir la vista material concreto (etapa desdedondesemiralarepresentación. Consideramos que el referencial teórico de Parzysz (1988; 1991; 2001), fuepertinenteparanuestroestudio,porquenos ayudóaanalizarlainteraccióndelosestudiantespormediode modelos concretos y garantizar que diferencie las característicasdelobjetorealconrespectoalrepresentadoen los libros. Debemos indicar, que la investigación se centró en 218 ReportesdeInvestigación actividades que permitieron observar y analizar las dos primeras etapas del desarrollo del pensamiento geométrico ( )y( ). Debemosmencionarademás;queelusodelCABRI3Dayudóal estudiante a diferenciar características entre el modelo y su representación.Lamanipulacióndirecta,queesteambientede geometríadinámicatiene,ayudóaquelosestudiantespuedan observar la representación del cubo desde diferentes puntos devistayademásaestablecerdiferenciaentrepuntodevistay perspectiva. Logramosverificarqueelusodelsoftwarefavorecióelpolode lo visto y lo sabido, ya que facilitó que los estudiantes construyan e interpreten la representación del cubo. En esta parte debemos destacar también que con el uso de material concreto(modelo)ydelsoftwarelogramosquelosestudiantes relacionenlosdiferentespuntosdevistadelcubo. Referencias Artigue, M., Douady, R. &Moreno, L. (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. Bogotá. Grupo EditorialIberoamérica. Cozzolino, A. (2008). La enseñanza de la Perspectiva usando CABRI 3D: Una experiencia con alumnos de ensino medio(Tesis para optar el grado de maestría profesional en Educación Matemática). Pontificia Universidad CatólicadeSaoPaulo Fernández, M. (2013). La representación del cubo y el CABRI 3D:UnestudioconalumnosdeprimergradodeEducación Secundaria. (Tesis para optar el grado de Magister en la Enseñanza de la Matemática). Pontificia Universidad CatólicadelPerú. Parsysz, B. (1988). Knowing vs seeing: Problems of the plane representation of space geometry figures. Educational StudiesinMathematics.19,79‐82. 219 ReportesdeInvestigación Parzysz, B. (1991). Representatión of Space and Students´Conceptions at High School Level.Educational StudiesinMathematics.22,575‐593. Parzysz,B.(2001).Articulatiónentreperceptionetdeduction dansune demarche geométriqueem PE1. Extrait du coloquedelaCOPIRELEM–Tours Rosalves,M.(2006).Relacoesentreospólosdovistoedosabido noCABRI3D:Umaexperienciacomalunosdoensinomedio. (Tesis para obtener maestrado en Educación Matemática).SaoPaulo Salazar,J(2009).GeneseInstrumentalnainteracciónconCABRI 3D: Un estuduo de Transformaciones Geométricas nol espaco. (Tesis para optar el título de Doctorado en EducaciónMatemática).PontificiaUniversidadCatólicade SaoPaulo. ¿PORQUÉALOSALUMNOSDE SECUNDARIASELESDIFICULTA REALIZARDESPEJESALGEBRAICOS? VíctorArmentaSánchez, AlmaAdrianaLeónRomero UniversidadAutónomadeBajaCalifornia [email protected], [email protected] Resumen Existensituacionesdondenoseprestaladebidaatenciónenla relación entre la Aritmética y el Algebra, como consecuencia, los alumnos de secundaria no logran diferenciarlas y esto provoca dificultades para utilizar el lenguaje algebraico y encontrar la solución al problema a través de los despejes algebraicos.Entrelasprincipalescausasseresaltaelcómose 220 ReportesdeInvestigación llevanacabolasclases,eldesinterésporlamateriayfaltade conocimientosacercadelarazóndelalgoritmoabreviadoque seaprendendememoria. La investigación de tipo cualitativa se basa en el método etnográfico, con apoyo de las técnicas de observación, entrevista y encuesta, permite conocer las razones que dificultan el dominio sobre los despejes algebraicos desde la perspectivadelprofesorylosestudiantesencontrasteconlo propuestopordistintosautoresyloocurridoenelaula De acuerdo al supuesto, se recomienda desarrollar los temas con base en estrategias didácticasadecuadas acadacontexto, evitandoeltradicionalismoenlarealizacióndeejerciciospara captar el interés del alumno y cumplir con los tiempos establecidosenlosprogramasdeestudio. Definicióndelproblema Según Navarro y Gregorio (1863) la dificultad para la realizacióndedespejesalgebraicosradicaenlaformacomose lesenseñoyenlapocaprácticaquehantenido.Deacuerdoa losautores,algunasdelasposiblessolucionespuedenserdos: la primera, consiste en una manera más significativa de enseñar ese tema, apoyándose de actividades y material didáctico12, y la segunda, en más ejercicios de alguna forma menos tediosa pero que involucre mayor práctica del procedimientoutilizadopararealizarlosdespejes. Porlogenerallosautorescoincidenenlascausasquegeneran elproblemayenloquedifierenobviamenteeslasoluciónque proponen,algunossólodanideasgenerales,comoeselcasode NavarroyGregorio(1863)enelpárrafoanterior,yotroscomo Gallo y Pichardo (2008) quienes proponen una estrategia conformada por tres técnicas que se complementan gradualmente, o como Cruz (2006), quien propone una 12Materialdidáctico:“Cualquierobjetoocosaquecolaboracomoinstrumento en algún momento del proceso de enseñanza‐aprendizaje y provocan la actividadescolar”(BernardoyBasterretche,2004,p.221). 221 ReportesdeInvestigación enseñanza basada en diagramas de árbol perfectamente estructuradopasoporpaso. Para abordar la problemática planteada y no desviarse de lo que es de interés, se establecen las siguientes preguntas: ¿Cuáles son los conocimientos y habilidades que se deben tener para realizar despejes matemáticos?, ¿Cuáles son las condicionesquesepresentanalabordareltema?,¿Cuálesson losfactoresqueafectaneldominiodeldespejematemático? Importanciadelproblema La utilización de despejes algebraicos se ve involucrada a lo largodeotrosnivelesdeformaciónescolar,comoeselcasode laeducaciónmediaeinclusosuperior. Estasituaciónpuedesermuydelicadaynosedebeignorar,ya que puede ser causante de muchas deficiencias en conocimientos que se adquieren posteriormente. No es recomendable que continúen avanzando de grado y nivel educativo con esa deficiencia, debido a que al mantenerla, dificultaelaprendizajeenotroscontenidos,ademásdeaburrir alosalumnosycrearmomentostediosos.Inclusoesunodelos grandes factores que provocan la falta de interés por las matemáticas, debido a que se les hacen muy complicadas, lo que se deriva de todo ese tiempo que en lugar de haber realizadounsencillodespejepararesolverproblemassetrata deresolverlosdeunaformamástediosayextensasinnotarlo. Objetivo El objetivo de la investigación es analizar las distintas habilidades y conocimientos, mediante la interacción con los alumnos y la observación de sus actividades diarias en la realizacióndedespejesdeecuacionesparaconocerlasrazones quecausandificultadesalosmismos. Supuesto Enunprincipio,secreequeladeficienciaporlarealizaciónde los despejes algebraicos se debe principalmente a tres 222 ReportesdeInvestigación aspectos:primero,laformaenqueseabordaronlasclasesson repetitivas y sin actividades lúdicas o recursos tecnológicos. Segundo,lamaneraenqueseabreviaelalgoritmoprovocaque no puedan recurrir al procedimiento sin brincarse pasos al olvidarelabreviado(número,letraotérminosepasadelotro lado del signo igual con la operación contraria). Tercero, el desinterés provocado por la falta de comprensión y los momentostediosos que se pueden crear debido a la ausencia de conocimientos previos, clases repetitivas que se vuelven rutinarias, influencia de sus compañeros, las características propiasdelgrupo(sedistraenfácilmente,noprestanatención ysonmuyinquietos). Fundamentaciónteórica LostemasabordadosenelMarcoTeóricoson:1.Elsaltodela AritméticaalAlgebra.2.PropiedadUniformadelaIgualdad:el camino correcto para despejar. 3. Reducción de términos: Factorización. 4. Las diversas estrategas didácticas utilizadas enlaenseñanzadelosdespejesalgebraicos.5.Lasdificultades creadas desde los planes y programas de estudio. 6. Las razones que puedan dificultar el aprendizaje por parte del profesor. 7. Los aspectos del alumno que interfieren con el aprendizajedelcontenido. Metodología Lainvestigaciónseiniciaapartirdelperiodoescolar2013‐1y se finaliza en el periodo escolar 2013‐2 de la licenciatura en docencia de la Matemática a través de las prácticas profesionales.Unfactorquesetieneafavor,eselhechodeque éstas se realizan a la parcon las asignaturas de Investigación AplicadaalaDisciplinaeInvestigaciónenlaPrácticaDocentea travésdelascualessedesarrollaestainvestigación. El trabajo de campo se lleva a cabo en la Escuela Secundaria General No. 12 “Centenario de Mexicali”, donde el grupo estudio es alumnos de segundo y tercero. La escuela se encuentra en un contexto ecoómico y social de clase media, 223 ReportesdeInvestigación asimismo se cuenta con lo elemental sobre las tecnologías: proyectoresuotrotipodeequipobásico. La investigación que se realiza es cualitativa, debido a que el interésseencuentraensaberlasrazonesporlascualesseles dificulta la realización de despejes, también de considerar algunas medidas de precaución para tratar de seguir con el problema, además proponer alguna solución que ayude a contrarrestar ésta deficiencia en el grupo que se está trabajandoyenotrosgrupos. El método utilizado es el Etnográfico, según Guerrero (2002), se refiere al hecho de recabar información estando presente, de ahí su importancia, ya que permite acercarse de forma directaalconocimiento.Éstesefacilitaporelhechodellevara laparlasprácticasprofesionalesconlosgruposdeestudio. Las técnicas utilizadas son la entrevista13, la encuesta y la observación. La entrevista va dirigida principalmente al profesor, con ella se busca obtener su versión de la situación desde el punto de vista personal y profesional. Las preguntas del guion para la entrevista son abiertas y flexibles con la finalidaddeconocerlosaspectosrealesqueintervienenyque no se vea alterada la información por el hecho de marcar parámetro al realizar preguntas cerradas en las cuales sólo respondansíono. La encuesta14, por su fácil aplicación a masas se encuentra dirigida hacia los alumnos, con el objetivo de obtener su versiónsobrelosdespejes–objetodeestudio‐.Sebuscasaber: ¿qué es lo que les molesta?, ¿qué es lo que les interesa?,¿por quécreenellosqueselesdificultaelrealizardespejes?,entre otras cuestiones. El cuestionario se aplica a ocho estudiantes de segundo grado y a ocho de tercer grado, debido a que en segundoañoseabordanestetipodetemasyenterceroseda “El término entrevista se ha definido como la visita que se hace a una persona para interrogarla sobre ciertos aspectos y, después informar al públicodesusrespuestas”(Acevedo,FlorenciayLópez,2008,p.8). 14 Para García (2004), la encuesta se utiliza con la finalidad de obtener informaciónrelativaalascaracterísticaspredominantesdeunapoblación. 13 224 ReportesdeInvestigación porsupuestolaexistenciadelconocimientodeltema.También se utiliza el cuestionario para conocer la opinión de un segundoprofesor. Otra de las técnicas es la observación, para confirmar lo que manifiesten tanto los alumnos como el profesor, además de sabercuáleslavivenciadelarealidadconelgrupo. Conclusiones Se logra el objetivo, gracias a que se imparten y observan las clases, lo que facilita la implementación de instrumentos de investigaciónylavalidacióndelamisma. Enunprincipioseconsiderabaqueelproblemaradicaensíen cómoseenseñabaelprocedimientopararealizarlosdespejes algebraicos, pero en base a la investigación se llega a la conclusión de que el problema es originado desde la raíz, los estudiantes no comprenden el lenguaje algebraico y se les dificulta el contemplar que una sola letra puede tener cualquier valor, y combinar letras con números, además de transportardellenguajecotidianoalalgebraicoyviceversa.De ahí que se le dificulte realizar éste procedimiento, si se distraenynocomprendenloqueobtienendehaceresoosise puedehacerdeunauotramanera. A su vez, las razones por las que se les dificulta a los estudiantes de secundaria realizar despejes algebraicos son diversas por parte de cada uno de los involucrados en el proceso de enseñanza: a) el profesor imparte las clases con una metodología repetitiva, lo que provoca en los alumnos aburrimiento y falta de atención; b) por su parte, los estudiantessepredisponenconunaactitudmuyapáticadesde un principio hacia la materia de matemáticas en sí, son muy inquietos, platican y se distraen muy fácilmente, debido a la falta de interés; y c) por otro lado, el sistema educativo y los planes y programas de estudio establecen tiempos y contenidos,loquetraecomoconsecuencialaimposibilidadde modificarlosparaincluireltemasobredespejesalgebraicos. 225 ReportesdeInvestigación Recomendaciones Lasrecomendacionesquesurgendelanálisiseinterpretación de los resultados obtenidos a lo largo de la investigación son lassiguientes: Aunque no se presente como tema en sí, se recomienda destinarsesionesytiempoaéstetema. Nocaerenlorutinarioporquepuedeconvertirseenalgo tedioso o aburrido (variar estrategias y complementar con diversas técnicas). Implementar actividades tipo juegosadaptadosalcontenidoeinsertarelusodelasTIC. Elpresentarlesvideosalusivosaltemadelinterésdelos estudiantesesmuyeficiente,pormediodesituacionesdel agrado de los adolescentes explicar contenidos matemáticos, por ejemplo las aventuras de Troncho y PonchoqueseencuentranenYouTube. La práctica es inevitable, pero no se debe abusar con la cantidad de ejercicios. También pueden implementarse de una forma menos tediosa, además con un par de ejerciciosdiseñadosestratégicamentepuedebastar. Relacionareltemaconlosdemáscontenidosdelcurso. Prestarmuchaatenciónenlascaracterísticasdelgrupoy adecuar las estrategias en función a ellos, pero hasta cierto punto, en ocasiones es conveniente hacer que los alumnosseadaptenalaclase. Evitar brincarse pasos en el algoritmo para despejar expresionesalgebraicashastaasegurarsequelosalumnos están conscientes del por qué se realiza de esa forma. Como sugerencia, se recomienda solicitar por lo menos que el primer ejercicio siempre lo realicen sin brincarse pasos. Tomando en cuenta lo anterior se propone principalmente utilizarlocomounproyectoalolargodelcurso,enelcual,se debe destinar una clase al mes para el proyecto, ya sea implementar alguna técnica para reforzar los contenidos, la construcción de la balanza o del material necesario para realizarejerciciosconlabalanzaconstruida. 226 ReportesdeInvestigación El proyecto se desarrolla por equipos (a propuesta del docente) y las principales técnicas que se proponen para fortalecerelconocimientosonlassiguientes: Primero, la elaboración de un mapa conceptual, en el que se relacionan los aspectos teóricos y finalizar con un ejemplo redactadosinsaltarsepasos,elcualdebepresentarseenclase por lo menos en dos equipos de trabajo o a propuesta del docentedelamateria. Lasegundaactividad,unmapamental,permiteapropiarseaún más de la información teórica al explicarla por medio de imágenes. La tercera actividad, es la realización de un par de ejercicios peroexplicadospasoporpasoylacreacióndeunejercicio,en esta ocasión se tiene que hacer énfasis en la explicación y revisióndelejercicioformuladoporcadaequipo. La cuarta o última actividad, es la manipulación de ciertos ejercicios por medio de la balanza construida, y se podrá manejar ya sea presencialmente o que se hayan grabado con anterioridadlosequiposypresentarelvideo,complementado con explicaciones y respuesta a preguntas realizadas por la clase y docente. Se resalta que cada actividad mencionada anteriormentefácilmentepuedeabarcardosclases. Referencias Acevedo,Alejandro;Florencia,Alba;yLópez,Martín.(2008).El proceso de la entrevista: conceptos y modelos. Ediciones Limusa,México,202páginas. Bernardo,JoséyBasterretche,Juan.(2004).Técnicasyrecursos para motivar a los alumnos. Ediciones Rialp, S.A, España, 260páginas. Cruz, Marisa. (2006). Diagramas interactivos para mejorar la enseñanza del despeje de variables en educación media y superior.UniversidadCentraldeVenezuela,Venezuela,99 páginas. 227 ReportesdeInvestigación García, Fernando. (2004). El cuestionario: Recomendaciones metodológicasparaeldiseñodeuncuestionario.Edciones Limusa,México,122páginas. Gallo, Johana y Pichardo, Romer. (2008). Estrategias para propiciar el aprendizaje significativo del despeje de fórmulas matemáticas en el Liceo Bolivariano “Ignacio Carrasquero”. Edciones Núcleo “Rafael Rangel” UniversidaddelosAndes,Venezuela,132páginas. Guerrero,Patricio.(2002).Guíaetnográfica:sistematizaciónde datos sobre la diversidad y la diferencia de las culturas. EdcionesAbyayala,Ecuador,80páginas. Navarro, Miguel y Gregorio, Vicente. (1863). La revista de BuenosAires:historiaamericana,literaturayderecho.Vol. 21,Argentina. ANALISANDOATEORIADOSREGISTROS DEREPRESENTAÇÃOSEMIÓTICAA PARTIRDEUMAATIVIDADEDE MODELAGEMMATEMÁTICA NeiladeToledoeToledo, DéboradeLimaVelhoJunges UniversidadedoValedoRiodosSinos;UniversidadedoValedoRio dosSinos(Brasil) [email protected], [email protected] Resumo Neste trabalho, apresentamos uma atividade de Modelagem Matemática realizada com estudantes do primeiro ano do CursoTécnicoemAgropecuáriaIntegradoaoEnsinoMédio,do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (RS). O objetivo principal foi analisar a Teoria 228 ReportesdeInvestigación dos Registros de Representações Semióticas, mais precisamente a atividade de conversão e tratamento entre registrosemsituações‐problemaselaboradaseresolvidaspor alunos durante o processo de modelagem matemática desenvolvida em sala de aula. Segundo Raymond Duval, é fundamental que os estudantes entrem em contato com os diferentes registros associados ao mesmo objeto matemático, uma vez que, de modo geral, estes são complementares em relação às diferentes características do objeto. Os alunos demonstraram durante a atividade, facilidade em realizar conversões entre todos os registros, só observamos que em geral, optam pelo registro tabular como registro de partida, considerando que a partir deste será fácil interpretar e analisarocomportamentodasituaçãoestudada. Palavras‐chave: Função. Educação Matemática. Registros de RepresentaçãoSemiótica.ModelagemMatemática AspectosTeóricos A matemática é uma das disciplinas que está presente nos currículos escolares de todos os níveis da Educação Básica, sendo apontada muitas vezes como fator decisivo no desenvolvimento de competências e habilidades necessárias tanto para o ingresso no Ensino Superior como para o exercício da cidadania. Para isso, faz‐se necessária uma formaçãoinicialecontinuadadoeducadormatemático,sendo convidadonãosóaconhecerafundosuadisciplina,mascomo também à saber dotar às suas aulas de significado para um público heterogêneo, ou seja, práticas pedagógicas que contribuamparaumaformaçãomaisintegral,humanaecrítica deseualuno. Conforme Carneiro (2000), na década de 50 os matemáticos preocupados com a realidade do ensino da matemática no Brasil, iniciaram as discussões para investigar a possibilidade de mudar a realidade crítica do ensino‐aprendizagem da Matemáticaencontradanocenárioescolareacadêmico,oque veioadarinícioaosestudosnaáreadeEducaçãoMatemática noBrasil. 229 ReportesdeInvestigación A Educação Matemática é uma grande área de pesquisa educacional, e sua consolidação como tal é relativamente recente, tanto no Brasil como em outros países, sendo que os estudos nessa área começaram a consolidar‐se na década de 80. Fiorentini e Lorenzato à consideram como um campo de ensino e de pesquisa com saberes próprios, mas ao mesmo temporesultantedasmúltiplasrelaçõesentre: [...] a filosofia, com a matemática, com a psicologia e com a sociologia, mas a história, a antropologia, a semiótica, a economia e a epistemologia têm também prestado sua colaboração. Ou seja, é uma área com amplo espectro, de inúmeros e complexos saberes, na qual apenas o conhecimento da matemática e a experiência de magistério não garantem competência a qualquer profissional que nela trabalhe(2009,p5). Fiorentini e Lorenzato (2009), enfatizam que a partir dos resultados obtidos pelo estudo de documentos que datam o períodoantesde1970eapósesseperíodo,entre1970e1980, mais especificamente a produção científica realizada no âmbito dos cursos de pós‐graduação do país, foram identificadas quatro fases que caracterizam a evolução da Educação Matemática no Brasil como campo profissional e área de investigação. Aanalise mostra que apartirda década de 60 foram implementadas algumas mudanças no ensino da matemática, com proposição de novos programas, metodologias de ensino, conteúdos e currículos para a formação de professores. Estas mudanças coincidem com o impulso que teve a Educação Matemática no Brasil e que se identificoucomagrandediversidadedetendênciastemáticas emetodológicasquesurgiram. A Modelagem Matemática, como proposta de ensino‐ aprendizagem da matemática, começou a fazer parte das discussõesentreoseducadoresapartirdadécadade70.Essa tendência tem como objetivo, conectar a realidade com a matemática, sendo que a matemática enfocada na escola 230 ReportesdeInvestigación partirádointeressedosalunos,docontextosocialemqueeles estão inseridos, para depois chegar na análise dos conteúdos abstratos e a resolução de problemas que propiciam a compreensãoeaconstituiçãodesaberesealternativasparao contexto. De acordo com Bassanezi (2002) o modelo matemático é consideradoumconjuntodesímboloserelaçõesmatemáticas que representam de alguma forma, o objeto estudado. Para o autor um modelo matemático nem sempre representaria um problemarealemtodaasuacomplexidade,maspoderálevara soluçõesbastantepróximasdaquelasobservadasnarealidade. Para o autor a Modelagem Matemática pode ser considerada como um dos caminhos pedagógicos que desperta maior interesse, que amplia o conhecimento dos alunos e que os auxilia a estruturar a maneira pela qual eles pensam, raciocinam e agem. Esta tendência de ensino tem como objetivodesenvolveraformaçãodealunoscríticos,reflexivose que estejam atentos aos diferentes problemas que são enfrentados no cotidiano. No entanto, para que o mesmo seja atingido, existe a necessidade de que os alunos estejam inseridosemumambientedeaprendizagemqueproporcione a utilização do conhecimento matemático que eles previamente adquiriram na escola e na comunidade na qual elesestãoinseridos. Já Caldeira considera a Modelagem Matemática não como um método de ensino e de aprendizagem cujo foco seria o como ensinar, mas como uma “concepção de educação matemática que incorpore proposições matemáticas advindas das interaçõessociais”(Caldeira,2009,p.38).Navisãodoautor,a Modelagem Matemática seria um dos possíveis caminhos de estabelecer, nos espaços escolares, a inserção da maneira de pensar, tanto nos aspectos sociais como culturais, as relações dos conhecimentos matemáticos com a sociedade. Nessa óptica, os conhecimentos estariam sendo construídos de acordo com os interesses sociais, políticos, culturais e econômicosdecadaum,poisaModelagemMatemáticaestaria intimamenterelacionadaàrealidadedoaluno. 231 ReportesdeInvestigación OconceitodeFunçãoédesumaimportânciaparaaconstrução do conhecimento matemático, sendo este abordado em todos os níveis de ensino, quer seja implícita ou explicitamente, sendo fundamental na busca do entendimento ou explicação de muitosfenômenos. Com relação à importânciadoconceito deFunção,Rêgodestacaque: [...] O conceito de Função constitui‐se um dos principais pré‐requisitos para grande parte dos conteúdos desenvolvidos no Ensino Superior, uma vez que inúmeros problemas das Ciências Exatas,daTecnologia,daSaúdeeCiênciasSociais Aplicadas podem ser modelados e estudados utilizando‐sefunções de umaou váriasvariáveis (2000,p20). Como vemos, o conceito de Função configura‐se como um conceito relevante dentro da Matemática e o seu processo de ensino‐aprendizagem possui grande importância para o entendimento do mesmo, sendo que é fundamental que primeiro seja trabalhado o conceito intuitivo de função, para depois formalizá‐lo através de diferentes representações como: representação verbal, representação algébrica, representaçãográficaerepresentaçãotabular. De acordo com a Teoria dos Registros de Representação Semiótica, para Duval (2003), os objetos com que se trabalha são abstratos, ou seja, não estão diretamente acessíveis à percepção com o auxílio de instrumentos (microscópio, telescópio,etc.),sendonecessárioparaasuaapropriaçãouma formaderepresentação,porissopodemosdizerquenoensino damatemática,todaacomunicaçãoseestabelececombaseem representações, e somente através dessas é que os conceitos matemáticosserãoapropriadospelosalunos,ouseja,estassão essenciaisparaasatividadescognitivasdopensamento.Nesse sentido,oautorafirmaque: “Não obstante, as diversas representações semióticas de um objeto matemático são absolutamente necessárias. De fato, os objetos 232 ReportesdeInvestigación matemáticosnãoestãodiretamenteacessíveisna percepção, ou numa experiência intuitiva imediata,comoestãoosobjetoscomumentedito reais‟ ou físicos‟! É preciso portanto poder dar representantes.E,poroutrolado,apossibilidade de efetuar tratamentos sobre os objetos matemáticosdependediretamentedosistemade representação semiótico utilizado” (Duval, 1993, p3). Conforme Duval (2003), uma abordagem cognitiva desses conceitos, ou seja, para alcançar o entendimento de um conceito e entãopoder aplicar estes,torna‐se necessário uma coordenação por parte do sujeito que aprende, de ao menos dois registros de representação de um mesmo objeto matemático e esta coordenação manifesta‐se pela rapidez e espontaneidadedaatividadecognitivadeconversão. ComrelaçãoàModelagemMatemática,Vertuan(2007)afirma quenautilizaçãodestacomoalternativapedagógica,épossível viabilizar o uso de diferentes registros associados ao mesmo objetomatemático,bemcomocolocaraoalunoanecessidade derealizaraconversãoentreosdiferentesregistros. Duval (1993) considera que existem três tipos de representações:asmentaisousubjetivas,quesãoconjuntosde imagens, conceitos, noções, crenças, concepções que uma pessoa pode ter sobre um objeto ou sobre uma situação; as representações internas ou computacionais, caracterizadas pela execução automática de uma tarefa, ou seja, representações internas e não conscientes do sujeito; as representações semióticas, que são externas e conscientes do sujeito, são através dessas que os sujeitos têm acesso aos objetos matemático. Esse tipo de sistema de representação permite preencher as funções de comunicação, objetivação e tratamento que são fundamentais para o funcionamento cognitivo.Sãoconsideradascomorepresentaçõessemióticas:a língua natural, os sistemas de escrita (numérico, algébrico e simbólico),osgráficoscartesianoseasfigurasgeométricas. 233 ReportesdeInvestigación Para que um sistema semiótico seja um registro de representação são necessárias três atividades cognitivas: a primeira é aformaçãode uma representação identificável, ou seja,quandoépossívelreconhecernestarepresentaçãoaquilo que ela representa, dentro de um sistema de signos estabelecido socialmente, isso sendo estabelecido através de um enunciado compreensível, na composição de um texto, no desenhodeumafigurageométrica,naescritadeumafórmula; a segunda é o tratamento, que é uma transformação que se efetua no interior de um mesmo sistema de registros, como, por exemplo, resolver um sistema de equações; a terceira é a conversão, que é a transformação da representação de um objeto matemático em outra representação desse mesmo objeto(Duval,1993). Para Duval “as conversões são transformações de representações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo, passardaescritaalgébricadeumafunçãoàsuarepresentação gráfica”(2004,apud,Rosa,2009,p.113). ConformeDammaconversãonãopodeserconfundidacomo tratamento: [...] A conversão é um passo fundamental no trabalho com representações semióticas, pois a transformação de um registro em outro, conservandoatotalidadeouumapartedoobjeto matemático que está sendo representado, não pode ser confundida com o tratamento. O tratamento é interno ao registro, já a conversão se dá entre os registros, ou seja, é exterior ao registrodepartida.Aconversãoexigedosujeitoo estabelecimento da diferença entre o significado esignificante(2008,p.181). A coordenação entre os diferentes registros é enfatizada por Duval como necessária para a aprendizagem em Matemática, ouseja,nãoéadeterminaçãodasrepresentaçõesouàsvárias representações possíveis de um mesmo objeto, que garante a 234 ReportesdeInvestigación apreensãodoobjetomatemático,massimacoordenaçãoentre esses vários registros de representação. Para Nehring (1996, apudDAMM,2008,p.183)“[...]nãoadiantaosujeitoresolver uma operação usando material concreto ou através de um desenho, se não conseguir enxergar/coordenar esses procedimentos no tratamento aritmético (algoritmo da operação),noproblemaenvolvendoessaoperaçãooumesmo emoutroregistroderepresentaçãoqualquer”. Os registros de representação podem ser classificados em multifuncionaisemonofuncionaisesuasformasemdiscursiva e não‐discursiva. Esses registros são caracterizados pela sua formadetratamento:osmonofuncionaispossuemtratamentos algoritmizáveis e os multifuncionais são utilizados em diferentes domínios da via cultural e social, não são algoritmizáveis.Paraqueumregistroderepresentaçãosejada forma discursiva, precisa permitir argumentações, deduções, escritasimbólica(línguanatural,sistemanumérico,algébrico) enquantodaformanão‐discursivasãoasfigurasgeométricase osgráficos(Duval,1993). Opresenteartigotraráumaexperiênciavivenciadaduranteo processo de ensino‐aprendizagem de funções, em que será utilizado à Modelagem Matemática como método para favorecer a atribuição de sentido e construção de significado matemático e terá como fundamentação teórica, a Teoria dos RegistrosdeRepresentaçãoSemióticadeRaymondDuval. DescriçãodaAtividadedeModelagem Essaatividadefoirealizadanoanode2011,comumaturmado primeiroanodoCursoTécnicoemAgropecuáriaIntegradoao Ensino Médio, do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul ‐ Câmpus Sertão (RS). Essa turmaeraformadaporvinteeoitoalunos,queestudavamem turnointegral,sendoqueamaioriadosalunoseramoriundos dazonaruraldeaproximadamentevintemunicípiosdiferentes do RS. Uma das características marcantes dessa turma era a disponibilidade que demonstravam em participar das 235 ReportesdeInvestigación atividadespropostasnasaladeaula,sendoadolescentesmuito ativosecríticos. A turma foi dividida em grupos de quatro componentes, em queestesteriamcomotarefainicialtrazerparaapróximaaula, contas de energia elétrica, contas de água e faturas da produçãoleiteiradeseismesesconsecutivos. Na aula seguinte, os grupos apresentaram o material aos colegas, momento este em que o professor foi realizando intervençõesequestionamentos,nointuitodefazê‐losrefletir sobre algumas ideias básicas de grande importância para a apropriação do conceito de Função, como por exemplo: variação entre grandezas, variável independente, variável dependente, regularidade e generalização dos fenômenos, neste momento estava sendo trabalhado o conceito intuitivo deFunção. Nomomentoseguinte,osgruposelaboraram,comoauxilioda professora,situações‐problema,atividadeestanecessáriapara evidenciar que o estudo de Funções está relacionado à necessidade de resolver situações‐problema advinda da relação do homem com o seu cotidiano. Após terem sido elaboradasassituações‐problema,osgrupostrocaramestase resolverão.Todaaatividadeteveduraçãodeseisperíodos. AnaliserealizadaduranteaModelagemMatemática Para a análise proposta neste trabalho, serão apresentados alguns exemplos de modelagem que foram desenvolvidos pelosgruposdealunos. Na maior parte das situações modeladas, os alunos apresentaram inicialmente uma representação tabular, forma de representação relatada por eles como meio de melhor interpretar a situação. O registro gráfico e algébrico, não foi utilizadocomorepresentaçãoinicial,pornenhumdosgrupos, mesmo quando estimulados pelo professor a construírem a representação do objeto matemático através destes registros. No decorrer da atividade, a prática de utilizar tais registros, seja comoformade complementar a resolução ou como meio 236 ReportesdeInvestigación de melhor interpretar a situação, tornou‐se mais frequente. Observou‐seque a representaçãográfica, surgiageralmente a partir de conversões do registro algébrico ou do registro tabular. Na Figura, é possível observar a conversão entre o registro tabular (registro de partida) e o registro verbal (registro de chegada), esta forma de conversão do objeto matemático apareceuemtodasassituaçõesapresentadaspelosgrupos. Figura1‐ExemplodeConversãoentreregistrotabulare registroverbal 237 ReportesdeInvestigación Durante a atividade, verificou‐se que o registro algébrico era considerado um registro necessário e suficiente pelos alunos, às conversões se davam sempre entre o registro inicial, representaçãoverbal,eoregistroalgébrico,noqualsedavam as conversões para obtenção de uma expressão matemática querepresentasseasituaçãoestudada.Obtidaestaexpressão, muitos alunos consideravam o problema resolvido, pois para elesencontradaàleimatemática(representaçãoalgébrica)as demais representações, gráfica, ou tabular, ficariam fáceis de serem feitas. Podemos observar na figura 2, uma conversão entre registro verbal e registro algébrico, a qual foi a mais encontradanassituaçõesdemodelagem. Figura2‐ExemplodeConversãoentreregistroverbal eregistroalgébrico Nesta situação podemos verificar que os alunos realizaram uma conversão entre um registro de natureza multifuncional (língua natural) para um registro de natureza monofuncional (algébrico),quedeacordocomDuval(2003)émaiscomplexo do que converter registros de mesma natureza. Nessa conversãooregistrodechegadaéoregistroalgébrico,quepor suaveznãodeixatranspareceroregistrodepartida,queéem línguanatural. 238 ReportesdeInvestigación Embora as conversões entre os registros gráfico e algébrico tenham acontecido em todos os casos no sentido algébrico para gráfico e nunca no sentido do gráfico para o algébrico, reconhecemos a importância em se utilizar conversões nos dois sentidos, uma vez que as dificuldades e os custos cognitivos de cada conversão são distintos. Segundo Duval (2003) “a conversão entre gráficos e equações supõe que se consiga levar em conta, de um lado, as variáveis visuais próprias dos gráficos (inclinação, intersecção com os eixos etc.) e, de outro, os valores escalares das equações (coeficientespositivosounegativos,maior,menorouiguala1, etc.)”(p17). DeacordocomTrindade: “Oestudodasrepresentaçõesgráficasdefunções é, também, de fundamental importância para o aprendizado desse conceito. Representações gráficas são talvez a forma mais utilizada de representação de funções e a maneira mais adequada para apresentar informações sobre linearidade,intervalosdecrescimento,[...]”(2000, p45). Na conversão do registroalgébrico parao registrográfico, na maioria das situações de Modelagem, os alunos não apresentaram dificuldades, embora os mesmos, às vezes, por nãoutilizarumaescalaadequadaparaaconstruçãodográfico, faziaminterpretaçõesequivocadasarespeitodasituação. Apresentamosaseguir,umexemplodetratamentoencontrado nassituaçõesmodeladaspelosalunos. 239 ReportesdeInvestigación Figura3–Exemplo1deTratamento Analisandooexemplo1,verificamosqueelesapresentamsua resolução no registro algébrico, ou seja, o aluno necessita apenassubstituirvaloresnasequaçõeserealizaraoperação.O quesignificaqueelepartedoregistroalgébricojáfornecidona questãoeterminasuaresoluçãonomesmoregistroalgébrico. Jánoexemplo2,osalunosapresentamaresoluçãoutilizando somenteregistroaritmético. AlgumasConsiderações Durante a atividade, as narrativas dos alunos foram significantes, possuindo um papel fundamental para a aprendizagem do conceito de Função, pois os alunos, ao explicitarem suas ideias, pensamentos e raciocínios, estavam refletindo sobre as mesmas e argumentando para justificar seus posicionamentos. As informações obtidas neste trabalho noslevamacrerqueasatividadesdemodelagemmatemática 240 ReportesdeInvestigación podemauxiliaroalunoacompreenderoaspectodinâmicodo conceito de função, pensando‐a como uma relação entre variáveis.Alémdisso,namodelagem,oalunopodepercebero papel instrumental da matemática. Pode perceber a matemática como uma ferramenta, como um instrumento utilizadoparaexplicareentendersituaçõesreais. Os alunos demonstraram durante a atividade facilidade em realizar conversões entre todos os registros, só observamos que em geral, optam pelo registro tabular como registro de partida,considerandoqueapartirdesteseráfácilinterpretare analisar o comportamento da situação estudada. Já o registro gráficonãoéutilizadoemnenhummomentocomoregistrode partida, como também apresentam dificuldade em realizar conversões do registro gráfico para o registro algébrico, preferindo fazer conversões do registro algébrico para o gráfico. Com relação aos tratamentos, demonstraram facilidade em realizá‐los,sendoquenamaioriadoscasospreferiramutilizar a lei matemática, ou seja, registro algébrico já fornecido na questãoeconcluisuaresoluçãonomesmoregistroalgébrico. Referências Bassanezi, Rodney Carlos. (2002). Ensino‐Aprendizagem Com Modelagem Matemática. Editora Contexto, São Paulo, Brasil,pp.389. Carneiro, Vera Clotilde Garcia. (2000). “Educação Matemática no Brasil: Uma Meta Investigação”. Quadrante‐Revista TeóricaedeInvestigação,v.9,n.1,pp117‐140. Colombo, Janecler Aparecida Amorin.; Flores, Claúdia Regina.; Moretti, Méricles Thadeu.(2008). “Registros de Representação Semiótica nas Pesquisas Brasileiras em Educação Matemática: Pontuando Tendêncais”. Zetetiké, v.16,n.29,pp41‐72. Damm,ReginaFlemming.(2008).RegistrosDeRepresentação. In: Machado, Silvia Dias Alcântara (et. al).Educação 241 ReportesdeInvestigación Matemática:umaintrodução.3ªedição,SãoPaulo:EDUC, Brasil,p.167‐188. D’ambrosio, Ubiratan. (1993). “Educação Matemática: Uma VisãodoEstadodaArte”.Pró‐Posições,v.4,n.1,pp7‐17. Duval, Raymond. Registre de représentation sémiotique et foucionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. Strasbourg:IREM – ULP,1993. _______, Raymond. (2003). Registros De Representação Semiótica E Funcionamento Cognitivo Da Compreensão Matemática.In:MACHADO,SílviaDiasdeAlcântara(org). AprendizagememMatemática:registrosderepresentação semiótica.Papirus,Campinas,Brasil. _______, Raymond. Semiosis y pensamiento humano: registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Tradução de Myriam Veja Restrepo. Colômbia: Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogi, Grupo de Educacion Matemática,2004. Fiorentini, Dario; Lorenzato, Sergio. (2009). Investigação Em Educação Matemática: Percursos Teóricos E Metodológicos. Autores Associados: 3ª ed., Coleção FormaçãodeProfessores,Brasil. Flores, Claúdia Regina; Moretti, Méricles Thadeu. (2008). A Articulação de Registros Semióticos para a Aprendizagem: Analisando a Noção de Congruência Semântica na Matemática e na Física. Perspectivas Da EducaçãoMatemática,v.1,n.1,pp25‐40. Jurkiewicz, Samuel & Fridemann, Clícia Valladares Peixoto. (2007).ModelagemMatemáticaNaEscolaENaFormação DoProfessor.Zetetiké,v.15,n.28,PP.23‐30. Rêgo, Rogeria Gaudencio do. (2000). Um Estudo Sobre A Construção Do Conceito De Função. Tese (Doutorado em Educação)UFRGN,Natal,Brasil. 242 ReportesdeInvestigación Rosa,ClaudiaCarreira.(2009).“OsRegistrosdeRepresentação Semiótica e a Modelagem Matemática: A Realização de Conversações em uma Atividade de Ensino Médio”. Diálogos&Saberes,v.5,n.1,pp111‐124. Santos, Cintia A. B & Curi, Edda. (2011). “Os Registros de Representação Semiótica como Ferramenta Didática no Ensino da Disciplina de Física”. REVEMAT, v. 06, n. 1, pp.21‐35. Trindade, José Análio de Oliveira; Moretti, Méricles Thadeu. (2000). UmaRelação Entre A TeoriaHistórico‐Cultural E A EpistemologiaHistórico‐Crítica No Ensino De Funções: AMediação.Zetetiké,v.8,n.13/14,pp7‐28. Vertuan, Eduardo Rodolfo. (2007).Um Olhar Sobre A ModelagemMatemáticaàLuzDaTeoriaDosRegistrosDe RepresentaçãoSemiótica.Dissertação(Mestrado),Ensino de Ciências e Educação Matemática, Universidade EstadualdeLondrina,Brasil. __________, Eduardo Rodolfo, et al. O Registro Gráfico Em Atividades De Modelagem Matemática –Um Estudo Da Conversão Entre Registros Seguindo A Teoria Dos Registros De Represetnação SEMIÓTICA. Recuperado 20 de setembro de 2013, Disponível em: http://www.uel.br/grupopesquisa/grupemat/docs/CC01 _siemat2009.pdf. 243 ReportesdeInvestigación APRÁTICADODEVERDECASANO ENSINODEMATEMÁTICA DéboradeLimaVelhoJunges, NeiladeToledoeToledo DoutorandadaUniversidadedoValedoRiodosSinos(UNISINOS) Brasil [email protected], [email protected] Resumo Oartigotemcomoobjetivoapresentardoisdosresultadosde uma investigação que procurou discutir a relação família‐ escolanoquedizrespeitoàeducaçãomatemáticapormeioda prática do dever de casa em uma escola localizada em Novo Hamburgo/RS (Brasil), identificando como foram descritos pelos participantes os jogos de linguagem praticados pelas famílias e aqueles praticados na forma de vida escolar. As ferramentasteóricasdoestudoestãoemconformidadecoma perspectiva etnomatemática proposta por Knijnik (2012a) formuladanainterlocuçãodasteorizaçõesdeMichelFoucault e de Ludwig Wittgenstein em sua obra considerada de maturidade. O material de pesquisa consiste em entrevistas comfamíliasvinculadasaescolaecomaprofessoradaclasse. Aanálisemostrouaexistênciadesemelhançasdefamíliaque aproximavam os jogos de linguagem matemáticos praticados pelaformadevidaescolareosjogosdelinguagempraticados pelasfamíliasquandoajudavamseusfilhosemtaisatividades. Tal argumento é justificado ao se observar que as mães entrevistadas tentavam reproduzir em casa os jogos de linguagem da matemática escolar, por considerarem tais estratégias como “corretas”. Entretanto, era aceito que os filhosfizessemusodeoutrosjogosdelinguagemmatemáticos foradaformadevidaescolar. Palavras‐chave:deverdecasadematemática.Etnomatemática. Relaçãofamília‐escola. 244 ReportesdeInvestigación Introdução Esteartigoapresentadoisdosresultadosdeumainvestigação mais ampla que procurou discutir a relação família‐escola no quedizrespeitoàeducaçãomatemáticapormeiodapráticado deverdecasaemumaescoladocampomultisseriadadeNovo Hamburgo/RS. Tendo como referencial teórico a perspectiva etnomatemática(Knijnik,2012a)formuladanainterlocuçãode algumas das ferramentas advindas do pensamento de Michel Foucault e das ideias de Ludwig Wittgenstein, desenvolvidas em sua obra Investigações Filosóficas, o estudo procurou contribuir para a discussão brasileira sobre a relação família‐ escolanoâmbitodaeducaçãomatemática. Em décadas mais recentes, foram elaborados novos planos e projetos educacionais, formulados para garantir o acesso e a permanência dos alunos nos espaços escolares. Essas legislações estão intimamente ligadas à questão da participaçãodafamílianointeriordainstituiçãoescolarenas aprendizagens formais (Dal’igna, 2011), tendo em vista que, legalmente, a família tem o dever de manter suas crianças e adolescentes em idade escolar frequentando a escola (LDB, 1996).Assim,aocompreenderafamíliacomoumaparceirada escola, o Estado divide a responsabilidade de educar formalmenteapopulação. A produção do material de pesquisa foi realizada uma escola de classe multisseriada situada na localidade rural de Morro dos Bois do município de Novo Hamburgo. Neste artigo, o material empírico analisado é composto de entrevistas com setefamíliasvinculadasaescolaecomaprofessoradaturma, além de observações na classe, com o intuito de apresentar elementos para responder a seguinte questão de pesquisa: como são descritos pelos participantes os jogos de linguagem praticadospelasfamíliaseaquelespraticadosnaformadevida escolar no contexto do dever de casa de matemática? É possívelidentificarsemelhançasdefamíliaentretaisjogosde linguagem? 245 ReportesdeInvestigación ReferencialTeórico Paralevaraefeitoaanálisedomaterialdepesquisa,utilizamos como aporte teórico a perspectiva da etnomatemática propostaporKnijnik(2012a),queaconcebe como uma caixa de ferramenta (no sentido deleuziano). Esta caixa de ferramenta permite analisar os jogos de linguagem matemáticos de diferentes formas de vida e suas semelhanças de família, bem como os discursos eurocêntricos da matemática acadêmica e escolar e seus efeitos de verdade. (ibidem, p. 3, grifos do autor, tradução nossa) Inicialmente é preciso referenciar que a perspectiva etnomatemática questiona o discurso de uma única matemática e aceita a existência de diferentes matemáticas, produzidaspordistintosgruposculturais.Ospensamentosde Wittgenstein em sua obra Investigações Filosóficas amparam filosoficamente a afirmação de existência de diferentes etnomatemáticas ao problematizar o entendimento de unicidadedalinguagem(Knijnik,2006a). Ao criticar a ideia de que uma palavra possui significado quandorelacionadaaumdeterminadoobjeto–queeraavisão agostiniana da linguagem – Wittgenstein (1999) passou a assumirumanovaconcepçãosobrealinguagem,poisnãoseria possível que todas as palavras denominassem objetos. Sendo assim, a concepção de linguagem para Wittgenstein está relacionada ao uso que é feito da palavra em determinada situaçãoecontexto(Condé,1998).“Pode‐separaumagrande classedecasosdeutilizaçãodapalavra“significação”‐senão para todos os casos de sua utilização ‐, explicá‐la assim: a significação de uma palavra é seu uso na linguagem” (Wittgenstein,1999,§43,grifosdoautor). EmInvestigaçõesFilosóficas,Wittgensteintrazalinguagemao seu uso no cotidiano, no qual, para ele, as palavras e frases ganharão significação e passa a utiliza o termo jogos de linguagem para tratar do uso da linguagem em contextos 246 ReportesdeInvestigación variados(Condé,1998).Nestaperspectiva,dependedojogode linguagem em que a palavra ou expressão é dita para compreendermos a sua significação. Se uma palavra ou expressãopossuiváriossignificadoseasignificaçãosevincula ao jogo de linguagem operante, somos levados a negação de que exista “a” linguagem, ou seja, uma linguagem única e universal.Aaceitaçãodediferentesjogosdelinguagemlevaà compreensãodaexistênciadelinguagens(noplural). No§23,Wittgenstein(1999,grifosdoautor)esclareceque“o termo ‘jogo de linguagem’ deve aqui salientar que o falar da linguageméumapartedeumaatividadeoudeumaformade vida”. Podemos dizer que é no contexto de uma determinada formadevidaqueosjogosdelinguagemganhamseuvalor,ou seja,asignificaçãoédadapelousonaprática.Entretanto,não existem características comuns a todos os jogos, apenas semelhanças. Tais parentescos são chamados pelo austríaco como semelhanças de família. Da mesma forma, não há algo essencial a toda a linguagem, mas, sim, semelhanças entre as linguagens. Sendo assim, não poderíamos mais falar em linguagemcomouniversalouúnica. Asnoçõesdejogosdelinguagem,desemelhançasdefamíliae de formas de vida são os apoios teóricos que sustentam a afirmaçãodeexistênciadediferentesmatemáticas.Conformea perspectiva etnomatemática, é possível considerar a matemática como um conjunto de jogos de linguagem constituído por meio de diversos usos, já que a matemática é um produtocultural produzido por diferentes formasde vida (Knijnik; et al., 2012b). O entendimento de que uma única Matemática – a Matemática ocidental, que se pretende universal(Knijnik,Wanderer,2006b)–poderiaexplicartodas as práticas matemáticas das mais diversas formas de vida perdesentido.“Dopontodevistaepistemológico,nãohaveria umaúnicaMatemática–aquelanomeadapor“a”Matemática– que se ‘desdobraria’ em diferentes situações” (Knijnik; et al., 2012b, p. 31). Por meio das teorizações de Wittgenstein a perspectiva etnomatemática de Knijnik (2012a) coloca sob suspeição a noção de uma linguagem matemática superior e 247 ReportesdeInvestigación universal. Sendo assim, o que temos são diferentes matemáticas, ou etnomatemáticas, cujos jogos de linguagem podempossuirsemelhançasdefamília. Metodologia Antes de tudo, é importante ressaltar que a pesquisa apresentada integra um projeto de pesquisa de uma universidade particular que, dentre outros objetivos específicos, busca estudar as formas de vida do campo em relação à educação matemática de escolas multisseriadas do ValedoRiodosSinosedoqualomunicípiodeNovoHamburgo fazparte,oquejustificaaescolhadeumaclassemultisseriada comolocaldepesquisa. A produção do material de pesquisa foi realizada no segundo semestre de 2011. Nesse ano a escola de Morro dos Bois possuíaumasingularidadesecomparadaàsoutrasescolasda redemunicipaldeNovoHamburgo:eraaúnicaemquetodos os treze alunos, do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental, estudavamnamesmaclassemultisseriada. Asentrevistas(gravadasedepoistranscritas)comasfamílias da escola ocorram em duas etapas. Na primeira, foram realizadas entrevistas com sete15, das doze mães ligadas à classe multisseriada. Na segunda etapa, foram selecionadas duas mães para aprofundamento das questões relacionadas aosdeveresdecasadematemática.Alémdisso,paracomporo material analítico, também foram realizadas duas entrevistas com a professora da turma multisseriada e observações de aulas. Para a análise do material de pesquisa relacionada à teoria foucaultiana do discurso, tomamos as falas das entrevistadas situadas dentro de determinados campos discursivos e procuramos ficar no nível do dito. Para Foucault (1995), as 15Mesmosemtermoslimitadoaparticipaçãodepaisoudemães,todasassete famíliasescolheramrealizarasentrevistassomentecomasmães,oquesugere com contexto da pesquisa questões de gênero que optamos por não aprofundarnesteartigo. 248 ReportesdeInvestigación falas obedecem a um conjunto de regras discursivas que são produzidas historicamente e submetidas a um regime de verdade.Nestaperspectiva,nãoháespaçoparainterpretações acerca do dito pelos entrevistados ou a procura por um significadooculto. DiscussãodosResultados Inicialmente, a realização das entrevistas com as sete mães cujos filhos estudavam na escola pesquisada tinha como principal finalidade produzir um material para compreender como elas descreviam as suas relações com a escola. Entretanto,jánasprimeirasentrevistas,odeverdecasafoise configurando como principal elemento para o estudo da relação família‐escola‐educação matemática naquela classe multisseriada. Era recorrente tratar da temática do dever de casanasentrevistas,jáqueestaestratégiadeensinoutilizada pela professora também era reconhecida pelas famílias como uma forma de participação destas nas aprendizagens de seus membros:“Ébomqueaprofessorapassetemadecasa,porque aíeles[osalunos]podemtreinaremcasaeaprendermaiscoma nossaajuda”. Aparticipaçãoparentalnosassuntosrelacionadosàescolafoi considerada pelas mães um item importante para o desempenhoescolardeseusfilhos.Apartirdessatendência,é possível identificar a ênfase da parceria família‐escola que Dal’Igna (2011) compreende como um imperativo contemporâneo,poisaosetornaremparceirasparagerenciar os riscos da escolarização e poderem resolver problemas da ordem escolar, família e escola compartilham responsabilidadesetarefasqueanteseramdelegadassomente a esta. Nessa perspectiva, o dever de casa se torna uma estratégia relevante para que as famílias sejam chamadas a participar ativamente das questões escolares e de aprendizagem, visando “evitar o aumento das taxas de reprovação e melhorar o desempenho escolar das crianças” (ibidem,p.106). 249 ReportesdeInvestigación “As continhas de matemática eu tento mostrar como a professorafaznaescola”;“quandoelapedeeusempremostro como tem que fazer usando o que ela tem no caderno, da formaqueaprofessorafez”.Emtodasessasfalas,épossível identificar que as mães procuravam ajudar seus filhos nos deveresdecasadematemáticaassimcomoaprofessorahavia ensinado na escola, ou seja, as mães procuravam reproduzir em casa os mesmos jogos de linguagem praticados pela professoraaoensinarmatemáticanasaladeaula.Ou,ditode outra maneira, existiam semelhanças de família que aproximavam os jogos de linguagem matemáticos praticados pelaformadevidaescolareosjogosdelinguagempraticados pelas famílias quando estas ajudavam seus filhos com os deveresdecasadematemática. As mães, em que foram realizadas mais de uma entrevista, reforçam este argumento. Nestes dois casos específicos, as mãestinhamumaatividadeeconômica,umaeraagricultorae vendia a produção familiar em uma feira, enquanto a outra trabalhavacomseumaridoemumasociedade.Ambaslidavam com dinheiro em seus trabalhos e quando possível, ou se necessário, levavam os filhos para que ajudassem em atividadesqueestavamassociadasaousododinheiro. É possível identificar muitos pontos em comum nas falas das duas mães com relação ao que elas consideravam como a “matemática correta”, às estratégias que elas utilizavam quando ajudavam seus filhos na realização de deveres de matemática,eainda,comrelaçãoàmatemáticadequeasmães e os filhos faziam uso quando estavam no ambiente de trabalho. Primeiramente, observamos que os jogos de linguagem matemáticos praticados na escola de seus filhos eram consideradospelasmãescomooscorretos.Valeressaltarque, de acordo com a análise realizada sobre as estratégias utilizadas pela professora em suas aulas de matemática, a gramáticadamatemáticapraticadanaclassemultisseriadaera marcada pela escrita e pelo formalismo presente no uso de algoritmos(Knijnik,2006b). 250 ReportesdeInvestigación Constatamos tais considerações na seguinte fala de uma das mães:“quandoajudoelas,tentofazercomoaprofessoraensinou elas,olhandooquetemnocadernoqueelascopiaram,porque assim está certo né. [...] Não quero mostrar alguma coisa que está errado, elas precisam aprender o certo”. Estas afirmativas também estão presentes na outra entrevistada: “Isso já aconteceu de eu sabe fazer, mas não do jeito da professora, aí eu disse pra ela que eu até sabia fazer, mas do jeito que eu fazia tava errado, não era o jeito da professora”. As falas anteriores reforçam a análise realizada a partir das entrevistascomasoutrasmães,ouseja,aideiadequeasmães participantes da pesquisa percebiam os jogos de linguagem matemáticos praticados na forma de vida escolar (marcados pelaescritaepeloformalismodousodealgoritmos)comoos corretos e, que, por assim serem compreendidos, elas procuravam reproduzir em casa os mesmos jogos de linguagempraticadospelaprofessoraaoajudaremseusfilhos comosdeveresdecasadematemática. Entretanto, quando no ambiente de trabalho, era aceito pelas mãesqueosfilhosutilizassemestratégiasmatemáticasquese diferenciavam dasdaquelaMatemática praticada na formade vida escolar: “elas [as filhas] fazem de cabeça, que é mais rápidoquefazernopapel”;“nafeirapode[fazercálculo‘de cabeça’], na escola não. Na escola tem que escrever a conta”; “na escola tem que fazer com papel e lápis, que nem a professora mostra. Mas lá na sociedade não dá. Ela [a filha] fazdecabeça.Àsvezesusacalculadora,masquasesempreéde cabeça”. Osjogos de linguagemmatemáticos usados pelas filhas no ambiente de trabalho tinhamsemelhanças de famíliacom os queasmãestambémutilizavamemrelaçãoaumamatemática realizada mentalmente, “de cabeça”, que se distancia da matemáticaescrita,porteremgramáticasdiferentes.Enquanto que a linguagem da matemática escolar é marcada por formalismos, por abstrações e pela supremacia do registro escrito,Knijnik(2006b)compreendequeestaestádistanteda 251 ReportesdeInvestigación gramáticadamatemáticaoral.Umadasmarcasdamatemática oraléocálculo“decabeça”,quenãonecessariamenteutilizao recurso dos algoritmos, e de estratégias matemáticas de decomposição e de arredondamento (KNIJNIK, et al. 2012b). São estratégias que se distanciam daquelas praticadas na formadevidaescolar,naqualaescritaeousodealgoritmos paraarealizaçãodecálculossãopriorizados. É interessante observar que as mães entrevistadas aceitavam queosfilhos,noambientedetrabalho,fizessemusodosjogos de linguagem matemáticos cuja gramática era marcada pela oralidade, por serem considerados como uma estratégia mais rápida de calcular do que aquela praticada na forma de vida escolar.Foradocontextoescolar,amatemáticaoraleraaceita pelasfamílias,casocontrário,taisregraseramrejeitadasesua aplicaçãoseriaconsiderada“errada”,pornãoseramatemática ensinadaepraticadapelaprofessoranaformadevidaescolar. ConsideraçõesFinais No exercício analítico procuramos mostrar como as mães entrevistadas descreveram a ajuda das famílias quanto a realização dedeveres de casade matemática,articulandotais elementos com estudos realizados na perspectiva etnomatemática,talcomoentendidaporKnijnik(2012a). Ostrechosdestacadosdasentrevistasmostraramaexistência de semelhanças de família que aproximavam os jogos de linguagemmatemáticospraticadospelaformadevidaescolar eosjogosdelinguagempraticadospelasfamíliasquandoestas ajudavam seus filhos em tais atividades. Tal argumento é justificado ao se observar que as mães tentavam reproduzir em casa os jogos de linguagem da matemática escolar, por consideraremtaisestratégiascomoas“corretas”,jáqueforam ensinadaspelaprofessoranaescola.Noentanto,eraaceitoque os filhos fizessem uso de outros jogos de linguagem matemáticosforadaformadevidaescolar. Em síntese, nestaanálise, foi possível evidenciar queos jogos de linguagem da matemática escolar são posicionados como 252 ReportesdeInvestigación um conhecimento de valor superior se comparados a outros jogos de linguagem praticados em um contexto diferente do escolar, mesmo que os resultados alcançados sejam os mesmos. Referências Brasil, Presidência da República. Lei nº 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as diretrizes e bases da educação nacional. Disponível em: <http://www.planalto.gov.br/ ccivil_03/Leis/L9394.htm>. Condé,MauroLúcioLeitão.Wittgenstein:linguagememundo. SãoPaulo:Annablume,1998. Dal’igna, Maria Claudia. Família S/A: um estudo sobre a parceriafamília‐escola.2011.182f.Tese(Doutoradoem Educação). Programa de Pós‐Graduação em Educação. UFRGS,PortoAlegre,2011. Foucault, Michel. Arqueologia do saber. 4. ed. Rio de Janeiro: ForenseUniversitária,1995. Knijnik, Gelsa. La oralidad y la escrita en la educación matemática: reflexiones sobre el tema. Educación Matemática,México,v.18,2006a,p.149‐164. Knijnik, Gelsa. Educação matemática e diferença cultural: o desafio de “virar ao avesso” saberes matemáticos e pedagógicos. In: Encontro Nacional de Didática e Prática de Ensino – ENDIPE. Anais do Encontro Nacional de Didática e Prática de Ensino. Recife: Edições Bagaço, 2006b.p.1‐8 Knijnik, Gelsa. Differentially positioned language games: ethnomathematics from a philosophical perspective. Educational Studies in Mathematics, v. 80, n. 1‐2, p. 87‐ 100,2012a. Knijnik, Gelsa [et al.]. Etnomatemática em movimento. Belo Horizonte:AutênticaEditora,2012b. 253 ReportesdeInvestigación Knijnik, Gelsa; Wanderer, Fernanda. Educação Matemática e oralidade:umestudosobreaculturadejovenseadultos camponeses. Anais do IX EGEM ‐ Encontro Gaúcho de Educação, Caxias do Sul: Universidade de Caxias do Sul, 2006b,(CD‐ROM). Wittgenstein, Ludwig. Investigações Filosóficas. Trad. José CarlosBruni.SãoPaulo:NovaCultural,1999. LATECNOLOGÍAACOMPAÑADADELAS ESTRATEGIASDIDÁCTICASCOMO HERRAMIENTAPARALAENSEÑANZADE LASMATEMÁTICASENSECUNDARIA JuanManuelLópezGonzález, MelissaLópezMartínez, AlmaAdrianaLeónRomero UniversidadAutónomadeBajaCalifornia [email protected], [email protected], [email protected] Resumen El objetivo de la investigación es analizar las diversas estrategiasyrecursostecnológicoscomoherramientasparael desarrollodelprocesodeenseñanzaaprendizaje,identificando el impacto que tienen dentro de las aulas en el área de las matemáticasanivelsecundaria. La investigación de tipo cualitativo con apoyo de las técnicas de observación participante y de la entrevista semiestructurada, aplicadas a profesores y alumnos de educaciónsecundariaenlaclasedematemáticas,secentraen las ventajas y desventajas de los recursos tecnológicos apoyadasdelasestrategiasdidácticas. 254 ReportesdeInvestigación Loanteriorconduceaunanálisissobrelaintervencióndeotro recursoenelaprendizaje,tratandoderesponderalasiguiente pregunta ¿Cuáles son los resultados en el desarrollo de las competencias matemáticas en alumnos de secundaria con el usodelasTIC? Se puede suponer que el recurso tecnológico facilita el aprendizaje de los alumnos, pero es necesario que exista una correlaciónentrelatecnologíaylasestrategiasdidácticas,con esta combinación y su utilización adecuada enfocadas al aprendizaje del alumno, los contenidos matemáticos son más comprensibles para el alumno, de tal manera que motiva al alumnoabuscarsupropioconocimiento. Palabras clave: matemáticas estrategias didácticas, tecnología y Definicióndelproblema Existeelcompromisodeinvestigarsobreelusodelosrecursos tecnológicos acompañados de las estrategias didácticas, como herramienta para la enseñanza de la matemática en secundaria. El poco uso que se le da a la tecnología crea la inquietud de conocer si las ventajas o desventajas de la utilización de los recursos tecnológicos propician el aprendizajeenlamateriadematemáticas. Ante esta situación surgen las siguientes preguntas de investigación: ¿Qué tipos de recursos tecnológicos pueden contribuir a mejorarelaprendizajedelasmatemáticas? ¿Cuáles son las estrategias más efectivas que se implementan durantelaenseñanzadelasmatemáticas? ¿Cómo influye en los alumnos el uso de los recursos tecnológicos acompañado de las estrategias didácticas en la clasedematemáticas? 255 ReportesdeInvestigación Importanciadelproblema Cada alumno comprende el proceso de aprendizaje de las matemáticas según el tipo de enseñanza que el docente imparte. Comprender las matemáticas resulta difícil, pero puedenresultarmásdifícilescuandoel quelasimpartenose apoya de ningún recurso tecnológico, no aclara dudas o no permitequeselleveadecuadamenteelprocesodeenseñanza. Los diferentes recursos establecidos en el aula, facilita la comprensión de la asignatura. Se rompe la enseñanza tradicionalista, para desarrollar un nuevo aprendizaje por partedelalumno.Lasdinámicasfuncionancuandolaclaseestá bienplaneadasinperderelsentidodelcontenidomatemático, todoestoresultainútilsisepierdeelobjetivoalquesequiere llegar, porque el estudiante se percata que sólo participa en una actividad limitando su aprendizaje, convirtiéndose en pérdidadetiempo. Estosrecursostecnológicosyestrategiastienencomofinalidad mejoraryfacilitarlacompetencia16delalumno,lafaltadeuso de dicho recurso puede ser un factor para que a él se le dificulte desarrollar dichas competencias, si se usan los recursos es posible que se logre un mejor aprendizaje, un nuevo desarrollo de habilidades e incluso nuevos conocimientos. Elinterésdeestaproblemáticasurgeatravésdeldesarrollode laprácticaprofesional,alobservardemaneracotidianacomo los diferentes docentes llevan a cabo la clase de matemáticas con la poca implementación de los recursos tecnológicos, ya que se observa a los alumnos desinteresados en la clase, porque el método de enseñanza del maestro es repetitivo y tradicionalista. 16Competencia: Generalmente se conoce como el desempeño exitoso en un puestodetrabajo(Chávez,2002). 256 ReportesdeInvestigación Objetivo El objetivo de la investigación es analizar las diversas estrategiasyrecursostecnológicoscomoherramientasparael desarrollodelprocesodeenseñanzaaprendizaje,identificando el impacto que tienen dentro de las aulas en el área de matemáticas. Supuestos Secuentaconelsupuestodequeelrecursotecnológicofacilita elaprendizajedelosalumnos,peroesfundamentalqueexista unacorrelaciónentrelatecnologíaylasestrategiasdidácticas, con esta combinación y su utilización adecuada enfocadas al aprendizaje, los contenidos matemáticos pueden ser más comprensibles, de tal manera que motiva al alumno a buscar supropioconocimiento. También se puede suponer que el docente carece del conocimiento para utilizar adecuadamente el recurso tecnológico en una clase de matemáticas porque no está a su alcance el uso de dicho recurso, obigandolo a buscar otras estrategias y adecuarlas para abordar los contenidos matemáticosconsiderandolaausenciadelatecnología. Fundamentaciónteórica Lafundamentaciónteóricaseconsideraimportanteparallevar a cabo el análisis e interpretación de la información, para lo cual se realiza una revisión exhaustiva de los temas, los autoresprincipalesybásicos. En base a la problemática surgida y con el apoyo de los distintos autores para su argumentación se proponen tres temas integrados en el marco teórico del trabajo de investigación: Elsignificadoyutilizacióndelrecursodidácticoy estrategiadidácticaenlaenseñanzadelasmatemáticas 257 ReportesdeInvestigación Lacorrelaciónentrelatecnologíaylasestrategias didácticasenelcampodelasmatemáticas Laimplementacióneimpactodelasestrategiasyrecursos didácticosenlaenseñanzadelasmatemáticas Lautilizacióndelosrecursostecnológicosenlaenseñanza delasmatemáticas Metodología Se inicia la obtención de la información en el periodo escolar 2013‐1atravésdelaasignaturadeInvestigaciónaplicadaala disciplina y se continúa en el 2013‐2 en la asignatura de Investigación en la práctica docente, ambas relacionadas a la práctica profesional. El trabajo de campo se realiza en SecundariaNo.87“Educación”,conelgrupode3er.Gradoen elcualsetrabajademaneraestrechadebidoaqueformaparte del campo ocupacional de la licenciatura en Docencia de la Matemática. La investigación de tipo cualitativo apoyada el método etnográfico17 y las técnicas de observación participante, la entrevistasemiestructuradaylaencuestacerrada,aplicadasa profesores y alumnos de secundaria de la clase de matemáticas, se centra en las ventajas y desventajas de las estrategiasdidácticasapoyadasderecursostecnológicos. “La investigación cualitativa es el que enfatiza en conocer la realidad desde una perspectiva de insider, de captar el significado particular que a cada hecho atribuye su propio protagonista,ydecontemplarestoselementoscomopiezasde unconjuntosistemático”(Ruiz,2012,p.11). 17En este mismo orden de ideas es importante aclarar que el método de investigaciónesetnográfico,yaquemediantelaobservaciónydescripciónde lo que la gente hace, cómo se comportan y cómo interactúan entre sí, para describir sus creencias, valores, motivaciones, perspectivas y como éstos pueden variar en diferentes momentos y circunstancias (Taylor y Bogdan, 1980),detalmaneraqueestemétodollevaadarumanálisismásprofundoa partirdelanálisisdelosindividuosydelcontextoaloquesequierellegaren estainvestigación. 258 ReportesdeInvestigación Enestesentidoloquesebuscaesmantenersedentrodelaula, detalmaneraquesepuedahacerunanálisisdeloquesucede dentroenunaclasedematemáticas,brindandolaoportunidad de encontrar situaciones que el investigador (en este caso el practicante)creeimportanteretomarparahacerdichoanálisis y trabajar sobre esa situación, con las personas y el contexto escolar donde suceden los hechos, donde se utiliza o no la tecnologíaconapoyodelasestrategiasdidácticas. Conclusiones Se puede afirmar que el objetivo de la investigación ha sido logrado.Ademáslaexperienciaderalizarestetipodetrabajos es muy enriquecedora, ya que brinda la oportunidad de visualizar la realidad de lo que acontece en la práctica educativa. Durante la formación como docentes se aborda muchateoría,elidealismodeunacatedranotradicionalista,el mundo de recursos didácticos y tecnológicos que se pueden implementarparamejorarycontribuirenelaprendizaje,pero al tener este acercamiento a lo que la realidad puede contribuir con posibles soluciones de lo que se ve difícil de cumplir, ya que ofrece otra visión y de cómo se debe actuar anteciertassituacionesproblemáticas. Eldesarrollodelainvestigacióndacuentaquelautilizaciónde los recursos tecnológicos implementados en las escuelas van más allá de capacitar a los maestros o de contar con la tecnología en el centro educativo. Hasta el momento se observa que existen otros factores que pueden hacer más difícilestetipodeimplementación,asísehacereferenciaaque a veces es imposible o difícil, porque se tiene que hacer un cambioenlaformadepensardetodoslosinvolucradosenla procesoeducativo. Esdecir,nosólosetienequehacerelcambiodepensamiento en los docentes encargados de dar una clase de matemáticas detipotradicionalista,sinoquetambiénsetienequehacerel cambioenlosalumnos,ellostambiénestánacostumbradosala mismaformadeenseñanza. 259 ReportesdeInvestigación Los jóvenes no visualizan una clase de matemáticas de otra manera,porquecasisiempresehaimpartidoigual.Eltrabajar con otro tipo de método de enseñanza, se les hace difícil, porquesientenquelaclasedematemáticastienequesercomo es, pizarrón,maestro, alumno, tomade notas y realización de ejercicios. De la misma manera en la obtención de los resultados se encuentran aspectos positivos como la apertura del maestro paramanejarsuclaseconapoyodelosrecursostecnológicos, contribuyendoasíconotrasformasdeenseñanza. Recomendaciones Algunasrecomendacionesson: Se considera significativo que al implementar la tecnología,serealicedosificadamenteparaqueelalumno se familiarice con estos materiales, ya que a pesar de manejaralgunos recursostecnológicos le cuesta asimilar elmanejodeestosenlaeducación. Es importante no perder de vista que el uso de los recursos tecnológicos tienen su función propia, es importante el enfoque educativo y que el alumno tenga claro para qué se usa este recurso, de esta manera se comprendesuutilizaciónyayudaamejorareldesempeño delalumno,aldesarrollardiferentescompetenciasquele sirvaenlavidadiaria. Otro aspecto que se considera fundamental es que el maestro utilice clase tras clase las diferentes estrategias didácticas,quesedéalatareadeinvestigaryconocerlos recursos con el cual se puede apoyar para llegar al aprendizajedeseado. Se debe tratar de no limitar al alumno para conocer las tecnologías, si no se tienen cerca de ellos o si la unidad académica no cuenta con ellos, el docente debe de crear un ambientetecnológicodentrodelgrupoguiadoporél. 260 ReportesdeInvestigación Referencias Aymerich, José y Vives, Sergio. (2006). Matemáticas para elsiglo XXI. Universitat Jaume, Vol.22, Castelló, España, 388páginas. Carrasco,JoséBernardo.(2004).Unadidácticaparahoy:como enseñarmejor.EdicionesRialp,S.A.Madrid,España,379 páginas. Chávez, Guillermo. (2002). Manual para el diseño de normas decompetenciaslaboral.EdicionesPanorama,D.F,México, 156páginas. Corrales, Maria Isabel y Sierras, Milagros. (2002). Diseño de medios y recursos didácticos. Ediciones Innova, Málaga, España,172páginas. Levis,DiegoyCabello,Roxana.(2007).Mediosinformáticosen laeducaciónaprincipiosdelsigloXXI.EditorialPrometeo libros,BuenosAires,Argentina,311páginas. Rodríguez, Ernesto. (2005). Metodología de la investigación.Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, Tabasco,México,186páginas. Ruiz, José Ignacio. (2012). Metodología de la investigacióncualitativa.EdicionesDeusto,Vol.15,Bilbao, España,344páginas. Taylor, Sally y Bogdan, Robert. (1980).Introducción a losmétodoscualitativosdeinvestigación.EdicionesPaidós, Barcelona,España,344páginas. 261 ReportesdeInvestigación PRECONCEPTOSYERRORESENEL APRENDIZAJEDELOSCUADRILÁTEROS AlbertThomyMaguiñaRojas, ElizabethAdvínculaClemente PontificiaUniversidadCatólicadelPerú [email protected], [email protected] Resumen En este reporte de investigación mostraremos los preconceptos y errores que presentan los estudiantes de 4to grado de educación secundaria, respecto al aprendizaje del objeto matemático cuadriláteros, cuyas causas muchas veces no son conocidas o estudiadas. Asimismo, mostraremos el análisis de la naturaleza de estos preconceptos y errores basado en el Modelo Van Hiele. La metodología utilizada en estetrabajofuedetipocualitativaysebasóenlatesisdoctoral “Aportaciones a la implementación y aplicación del Modelo Van Hiele”, presentada por Jaime (1993). Los instrumentos aplicados a un grupo de 10 alumnos fueron: una prueba de entrada, actividades diseñadas según el modelo Van Hiele y una prueba de salida. Entre los principales resultados que presentamosenestetrabajo,seencuentraelhechodequelas respuestasproporcionadasporlosalumnos,enlamayoríade los casos, estuvieron supeditadas por prototipos visuales. Lo que pone en evidencia la carencia de justificaciones en el uso delosconceptosypropiedadesmatemáticasrelacionadascon loscuadriláteros. Palabras clave: Cuadriláteros, Preconceptos y errores, Modelo VanHiele. 1. Introducción Cada vez que evaluamos a nuestros estudiantes, obtenemos resultados desalentadores.Una muestrade ello, es el informe quepresentólaUnidaddelaMedicióndelaCalidadEducativa 262 ReportesdeInvestigación (UMC)enrelaciónaldesempeñodelosestudiantesrespectoa la geometría, en el 2001. A continuación mostramos parte de esteinforme. Tabla1.PorcentajedeestudiantessegúnNivelesdeDesempeño COMPETENCIA2:GEOMETRÍA NIVELESDEDESEMPEÑO PORCENTAJESDEESTUDIANTES SUFICIENTE 2.6% BÁSICO 5.9% PORDEBAJODELBÁSICO 91.6% GRUPO1 GRUPO2 59.6% 32% Fuente:UnidaddeMedicióndelaCalidadEducativa(2001,p.40). Más allá de todos los factores que puedan estar involucrados en este fenómeno, como la metodología del docente, la predisposicióndeldiscenteyelinvolucramientodelospadres enlaenseñanzadesushijos,etc.,consideramosquelasraíces de este problema están en el entramado básico del discente, adquirida en su infancia, específicamente en el desarrollo de laspercepcionesydellenguaje. Al respecto Piaget (1969) y Van Hiele (1957) mencionan que las estructuras perceptivas son esencialmente irreversibles, porqueseasientanenunmododecomparaciónprobabilística. Además, señalan que hay una correlación sorprendente entre ellenguajeempleadoyelmododerazonamiento. Efectivamente, cuando evaluamos a dos estudiantes con distinto nivel de razonamiento, aquél que se encuentra en un nivel de razonamiento superior describirá los objetos matemáticos utilizando un lenguaje mucho más apropiado en comparacióndeaquellosalumnosquenohanalcanzado,aun, elmismonivelderazonamiento.Lomismosucedealmomento deargumentarsusideas. 263 ReportesdeInvestigación Otrasituaciónsimilarseda,porejemplo,cuandoselesolicita al estudiante graficar el cuadrilátero ABCD y bajo determinadas condiciones (datos) resolver el problema. Lo primero que hace es tomar como punto de referencia el lado izquierdo y en sentido horario construir la figura. Esta situacióndemuestraelusodeprototiposvisuales.Másaún,si se le solicita al estudiante que resuelva este problema, pero, usandootraconstrucción(porejemplo,quetomecomopunto de referencia el lado derecho y construya en sentido antihorario la figura), con seguridad tendrá dificultades para resolverlo. Es probable, incluso, que no lo pueda resolver a pesardetratarsedelmismoproblema. Muchasveces,losprimerospatronesgeométricosformadosen nuestra infancia están supeditados por un solo tipo característica, lo cual hace que, eventualmente, se creen estereotiposdefiguras. 2. Problema Eldiseñodeactividadesparalaenseñanzadeloscuadriláteros permitirá identificar los errores y preconceptos de los estudiantesrespectoalasdefinicionesdeloscuadriláteros. 3. Objetivogeneral Diseñar actividades, según el modelo Van Hiele, para identificar los errores y preconceptos de los estudiantes respectoalasdefinicionesdeloscuadriláteros. 3.1. Objetivosespecíficos Identificar los errores y preconceptos de los estudiantes respectoalasdefinicionesdeloscuadriláteros. Identificarelorigendeestoserroresypreconceptos. 4. Basesteóricas El presente estudio tomó como marco teórico al Modelo Van Hiele. Este modelo presenta dos componentes esenciales. Por 264 ReportesdeInvestigación un lado, los niveles de razonamiento, lo cuales nos indican cómo se produce el desarrollo del pensamientogeométrico y, por otro lado, las fases de aprendizaje, las cuales guían el trabajo del docente. Asimismo, hemos utilizado algunos aspectosdelateoríadePiaget. 4.1. Losnivelesderazonamiento Nivel1:Reconocimiento Frecuentemente,loserroresenestenivelestánligadosaluso de estereotipos. Esto se debe a que el alumno no es capaz de relacionarlasfigurasentresí,esdecir,lasfigurasgeométricas sonvistasdemaneraaislada. Nivel2:Análisis En este nivel, si bien es cierto, los alumnos empiezan a relacionar las figuras, no obstante, aún no son capaces de establecer propiedades mínimas para caracterizar una figura. Esporello,quesuserroresestánligadosalusodeunlenguaje inapropiado para exponer sus ideas, a veces excesivo (redundante)yotrasvecesescaso(limitado) Nivel3:Deduccióninformal En este nivel el alumno es capaz de establecer propiedades necesarias y suficientes para caracterizar a una figura geométrica.Yaenestenivelloserroressonmenosfrecuentes, sin embargo, los alumnos tienden a generalizar basándose en característicasirrelevantesdesdeelpuntodevistaconceptual. 4.2. Lasfasesdeaprendizaje Fase1:Información Enestafaseeldocentedebedeterminarcuálessonlossaberes previos de sus aprendices, ya sea mediante una entrevista o unapruebaescrita. 265 ReportesdeInvestigación Fase2:Orientacióndirigida Unavezdeterminadolossaberespreviosdelosestudiantes,en lafaseanterior,losaprendicesexploranelobjetomatemático que se va trabajar. Para ello,eldocenteproponeunaseriede actividades que le permitirá al aprendiz adquirir las estructuras características de cada nivel. Las cuestiones a plantear por el profesor deberían ser concisas y sin ninguna ambigüedad. Fase3:Explicitación Estafasesedebedesarrollarenparejasogruposconelfinde promover el diálogo entre los estudiantes. Ello permitirá intercambiar ideas y eventualmente desterrar algunos preconceptosqueposeanlosaprendices.Elpapeldelprofesor debe ser mínimo si bien debe cuidar que el lenguaje del alumnoseaelapropiadoasunivel. 5. Metodología Lametodologíaempleadaenestetrabajofuelapropuestapor Jaime (1993), en la cual menciona, porun lado, los gradosde adquisición, los cuales permiten observar el mayor o menor dominiodeundeterminadonivelderazonamientoy,porotro lado, los tipos de respuestas, los cuales están enmarcados dentro de los parámetros del nivel de razonamiento que se estáanalizando. 5.1. Gradosdeadquisición Adquisición nula: no se emplean las características del nivelqueseestáevaluando. Adquisiciónbaja:seempiezaaemplearlascaracterísticas propiasdelnivelqueseestáevaluando,peroesmuypobre lautilizaciónquesehacedeellas. Adquisición intermedia: el empleo de las características delnivelqueseestáevaluandoesmásfrecuenteypreciso, sin embargo, ante la aparición de alguna dificultad y 266 ReportesdeInvestigación considerandoqueeldominionoescompleto,serealizaun retroceso al nivel anterior intentando regresar al actual luego. Adquisiciónalta:setienecomoniveldetrabajohabitualel que se está evaluando, aunque muy de vez en cuando se produceelretrocesoalnivelanterior. Adquisición completa: hay dominio total de las herramientasymétodosdetrabajospropiosdelnivelque seestáevaluando. 5.2. Tiposderespuesta Tipo 1: está caracterizado por ítems que no son contestados o en todo caso sus repuestas no son codificables. Tipo 2: está caracterizado por respuestas incorrectas e incompletas. Se trata, por lo general, de respuestas muy brevesypobres. Tipo 3: está caracterizado por respuestas correctas pero incompletas. Se trata, por lo general, de respuestas muy brevesypobres. Tipo 4: está caracterizado por respuestas que reflejan claramentecaracterísticasdedosnivelesderazonamiento diferentes. Esta es la situación más típica de los alumnos entransiciónentrenivelesderazonamientoconsecutivos. Tipo 5: está caracterizado por respuestas bastante completas pero incorrectas que reflejan claramente un nivelderazonamientodeterminado. Tipo 6: está caracterizado por respuestas bastante completasycorrectas. Tipo 7: está caracterizado por respuestas correctas y completas que reflejan claramente un nivel de razonamiento. 267 ReportesdeInvestigación 6. Conclusiones El desarrollo de las actividades ha permitido superar varios errores comunes y preconceptos que estaban presentes en las respuestas de los estudiantes. Como ejemplo,citamoslossiguientescasos: ‐ Elusodefigurasprototiposparaejemplificarojustificarsus respuestas. ‐ Consideranqueunparalelogramoesuntrapecioyviceversa. ‐ Consideranqueelromboide=cuadrado+rombo. ‐ Escaso conocimiento sobre la notación matemática propia delageometría. ‐ Consideran que las diagonales de un rombo son congruentes. Encuantoalmarcoteóricoempleado,consideramosque el modelo Van Hiele fue indispensable para analizar la evolución del pensamiento geométrico de los alumnos, asimismo, fue indispensable para lograr coherencia y secuencialidad en el diseño de cada una de las actividadesqueformanpartedelapropuestadidáctica. Referencias Godino, J., Batenero, C. & Font, V. (2004). Didáctica de las matemáticas para maestros. Recuperado de http://www.ugr.es/ Jaime, A. (1993). Aportaciones a la interpretación y aplicación delModelodeVanHiele:laenseñanzadelasisomerías.La evaluación del nivel de razonamiento. (Tesis de doctorado),UniversidaddeValencia. Morales, C. & Majé, R. (2011). Competencia matemática y desarrollo del pensamiento espacial. Una aproximación desde la enseñanza de los cuadriláteros. (Tesis de maestría),UniversidaddelaAmazonia,Colombia. 268 ReportesdeInvestigación Piaget,J.(1969).Psicologíadelniño.EdicionesMorata.Madrid. España. Renzulli, F. & Scaglia, S. (2006). Clasificación de cuadriláteros enestudiantesdeegb3yfuturosprofesoresdenivelinicial. Educación matemática. Recuperado de http://www.famaf.unc.edu.ar/ Unidaddemedicióndelacalidadeducativa(2001).Documento de trabajo 4. Informe pedagógico. Cuarto grado de secundaria.Recuperadode:http://umc.minedu.gob.pe/ REVISTASPEDAGÓGICAS,HISTÓRIADA MATEMÁTICAEOENSINODE MATEMÁTICA:OCASODAREVISTADO ENSINODORS LuizHenriqueFerrazPereira UnivesidadedePassoFundo [email protected] Resumo ARevistadoEnsinodoRioGrandedoSul–RS(Brasil)foium periódico que circulou a partir da cidade de Porto Alegre e atingiu,comexpressivacirculação,oBrasil,aAméricaLatinae também países da Europa. Era um material elaborado por profesoresedestinadoasubsidiar,inicialmente,asprofessoras primáriasemsuaspráticasdocentes.Otrabalhobuscamostrar sua importância como elemento de constituição da matemática, pois seu estudo dá um panorama de como esta, através dos artigos da revista, foi se instaurando como disciplinaescolar.Otrabalhofoielaboratendocomobase233 artigos sobre matemática, publicados de 1951 a 1978, tomandoMichelFoucaultcomoreferência,noquedizrespeito 269 ReportesdeInvestigación àconstruçãodediscursosquecriamverdadesepoderaosque as enunciam buscando ser indicativo a uma reflexão sobre o momentoquesevivehojenoensinodestadisciplina. Palavras‐chave:matemática,RevistadoEnsino,metodología. ARevistadoEnsinodoRioGrandedoSul Comopublicaçãoimpressa,aRevistadoEnsinodoRioGrande do Sul (RE/RS) pode ser entendida como um veículo da imprensa educacional e ensino e, como tal, sua história remete‐nos às primeiras décadas do século pasado. Editada pelaprimeiravezemsetembrode1939,arevistafoipublicada atéoanode1942,primeirafasedaedição,ede1951a1978, segundafase.Naprimeirafase,aRE/RStinhapretençãodeser um instrumento técnico‐pedagógico de atualização permanentedosprofesores,comoobjetivodeelevaronívelde qualidade das intervenções destes professores, através da publicação e divulgação de experiências pedagógicas, da realidade da educação e do ensino (Bastos, 2005). Já na segunda fase tinha a missão de ocupar a lacuna que se instalaranouniversodasprofessorasprimárias,estagiáriasou emformação.(Bastos,1999) A RE/RS contava com o apoio da Secretaria de Educação e CulturadoRioGrandedoSule,apósoanode1956,passoua ser de responsabilidade da supervisão ténica do Centro de Pesquisas e Orientações Educacionais – CPOE/Rs. Assim, tornou‐se uma publicação oficial deste orgão, bem como adquiriu a função de divulgar as orientações de cunho pedagógicodestecentrodepesquisa. Nesse período de 26 anos em que esteve circulando foram publicadas 170 edições, numa média de oito a dez números anuais, tendo cada revista, cerca de oitenta páginas. É importantedestacarqueaRE/RSteveumatiragemexpressiva, chegando ao ano de 1963 com um volume de cincoenta mil exemplares.Suacirculaçãodava‐sepelosistemadeassinaturas eabrangiaacoberturadetodooterritorionacional,bemcomo de outros países, como é possivel de identificar em vários 270 ReportesdeInvestigación fragmentos de textos de cartas recebidas pela Revista. Com esse volume de números publicados, a RE/RS ganhou repercussãojuntoaomeioeducacionaldesuaépoca.Também, emseçõescomo“OquedizemdaRevistadoEnsino”épossível deseidentificarmuitasdestasopiniões. Ao pesquisar o períodico é possível se dar conta de uma grande alternancia de seções, em razão da troca de editoras responsáveis pela publicação da revista. Contudo a linha editorialda RE/RS esteve sempre voltada ao magistério, num primerio momento, ao primário e, posteriormente, apliando suaabrangênciaparaoutrasséries. Damesmaforma,conformeBastos(1997),aRE/RSpublicava um encarte que continha orientações, como recurso visual a serutilizadopeloprofesoremsuasaulas,bemcomotratavade temas específicos. Com relação a matemática, o material analisadopermitiuconstataraexistenciadecincoencartes. Emconformidadecomasfalasanteriores,oquedavarespaldo àRE/RS,alémdaqualidadeeaprimoramentodesuasedições, era o fato de oferecer um grande número de material e sugestões para o profesor trabalhar em suas aulas, com encaminhamento metodológico minucioso. Assim, essas características tornaram a revista um orgáo merecedor de respeito e fonte de onde se enunciavam “verdades”, as quais eramconsideradascomotaispelosseusleitores. Desta forma é possível compreender a RE/RS como manisfestação da imprensa educacional e de ensino de valor inestimável, uma vez que se constitui em uma referencia privilegiadaparaseassimilaroquesepensava,nocaso,sobre matemática, de forma direta, pelo acesso aos diferentes discursosquecirculavamemsuaspáginas.Compreenderesta dimensãodecunhohistóricopodeemmuitojogarluzessobre oquefazemosepensamoshojenoensinodamatemática. MichelFoucault:discurso,verdadeesistemadepoder Paul‐Michel Foucault nasceu em 1926 na cidade de Poitiers, França,emorrreunoanode1984.Foiumdosmaisinfluentes 271 ReportesdeInvestigación pensadoresfrancesesesdacontemporaneidade.Emseuestudo desenvolveu importante análise da epistemología do surgimento das ciências humanas e da sua função na nossa cultura, bem como fez uma profunda reflexão, que o levou a umnovodirecionamentoànoçãoquesetinhaatéentãosobre a definição de sujeito. Por outro lado, por empregar um método e interpretação que consistía na análise do discurso, tomoucomopontodepartidaoconceitodeepisteme Foi reintroduzida na linguagem filosófica por Michel Foucault com um sentido novo, para designar o “espaço” históricamente situado onde se repete o conjunto dos enunciados que se referem a territórios empíricos constituindo o objeto de um conheciemento positivo (não – científico)(Jupiassú&Marcondes,2006,p.87–88) Ou, ainda, como uma rede de significados – uma estrutura discursiva – que caracterizaría uma determinada época nos diferentessetoresdeumasociedadeoudeumacultura. Foucaultrealizouoquechamoude“análisearqueológica”,com o qual, de forma original característica de seu pensamento, analisaahistóriadasideias.Asbasesdessepensamentoestão naobraArqueologiadoSaber(2000).Oestudoé,naverdade, uma análise do discurso, tomado, no entanto, num sentido anterior a qualquer padronização ou categorização, na tentativa de estabelecer relações que fujam a temas previamente postos. No caso do conceito de sujeito, por exemplo,estesefaznãodeformajáposta,jádadapelomundo, comoapregoavaafilosofíaatéentão,massedápelosdiscursos quefalam,quedizemsobreele.Oconceitodesujeitoéoquese fala dele. “O homem é uma invenção que a arqueología de nosso pensamento mostra claramente a data recente, e, também,ofimpróximo”.(Foucault,2000,p.40). Influenciado por Nietzsche, Foucault direciona seu método para outra pespectiva, que chamou de “genealogía”, conceito introduzidonaobraVigiarepunir,de1975.SegundoJupiassú & Marcondes (2006) “a genealogia passa a ser uma arqueologíadosconjuntosconceituais,queeleconsideracomo 272 ReportesdeInvestigación um tipo novo de epistemologoa histórica, englobando tanto a filosofía,aliteraturaeasartesquantososmétodoscientíficos”. (p.120) Também entende que a genealogía é, em sua essência, uma análisehistóricadecomoopoderpodeserconsideradocomo elementoqueexplicaaproduçãodesaberes.Suaconcepçãode poder pode ser entendida como sendo um modo de ação de alguns sobre os outros. Nessa perspectiva, o exercício do poder está vinculado às condições políticas que o tornam possível,semquecomissoaideiadepoderestejadiretamente vinculada ao Estado, mas, sim, às varias instâncias da vida socialeculturaldeumasociedade,oqueeleprópriochamade “microfísicadopoder”. Combasenessasconsiderações,odiscurso,naperspectivade Foucault, é compreendido como uma prática que forma o próprio objeto de se fala, ou, em suas próprias palavras, […] queconsisteemnãomaistratarosdiscursoscomoconjuntos de signos (elementos significantes que remetem a conteúdos ou a representação), mas como práticas que formam sistemáticamenteosobjetosdequefalam”.(2000,p.56) Assim, no caso dos discuros sobre matemática, tendo origen em proposições de mudança, de conteúdo, de abordagem pedagógica, de inserção de novos procedimentos no ensino e na avaliação da matemática, entre outros, vão contribuir, em termos práticos, para que a matemática seja fruto do próprio discursoqueaconstitui.Amatemáticatorna‐seaquiloqueo(s) discurso(s) enunciava (m) sobre ela, no caso deste trabalho, entre1951e1978. Desta forma, os artigos publicados, sobre matemática, na RE/RS tentaram dar conta de levar aos leitores e envolvidos em suas propostas informações sobre o que se estava se descortinando em matemática no mundo e no Brasil naquele momento. Ao mesmo tempo em que traziam informações sobreamatemática,constituíram‐secomoelementoconceitual junto a todos que estavam, naquele período, interesados em compreendê‐lamelhor. 273 ReportesdeInvestigación É possível entender que os artigos publicados na RE/RS catalisaram para si as atenções e o reconhecimento como publicação com poder de produzir conhecimento numa dinámica constante. Nesta perspectiva, a RE/RS é admitida, através de seus artigos, como um foco privilegiado de onde emanaram discursos sobre matemática, bem como criaram discursos de verdade que até hoje ecoam nas práticas escolares. Consideraçõesfinais Pelo viés das ideias de Foucault, a RE/RS possui em seus artigos elementos discursivos que projetaram um ideario de professor(a),aluno(a)e,também,dematemáticaaassessorar seus leitores continuamente. De forma constante e incisiva, a revistavinculapadrõesdecomportamentometodológicopara que sejam incorporados às práticas docentes a fim de padronizar ações, métodos, conteúdos e perspectivas educacionais,alicerçadosnumadimensãomaiordecontrolee profissionalização do magisterio gaúcho (Peres, 2000), (Quadros, 2006), representado pela presença, como articuladordesseproceso,doCPOE/RSjuntoàpublicação. Ao folhear suas edições os autores dos artigos esboçaram elementos teóricos e práticos para dar sustentação as suas ideias. Justificavam seus pontos de vista balizados pela intenção de prover o leitor de subsídios para proceder alterações em suas prática como profesores(as). Com este objetivo, mesclam‐se ideias de vanguarda, como texto sobre MatemáticaModerna,comumavisãodematemáticaensinada por si mesma, sem envolvimento do aluno e principalmente, não o considerando como agente em potencial para que, em suas inserções pela aritmética e geometria, descobrisse padrões, regras e estruturas a sustentar os elementos da matemática. Aliando‐se a isso, a autoria dos artigos, escritos por especialistas, professores, catedráticos e entendidos em matemática, referendava e legitimava o poder de enunciar verdades, reconhecidas como autênticas pelos responsáveis 274 ReportesdeInvestigación pelapublicaçãodoperiódico.Aoveremnasfalasdosautores, via seus artigos, ideias condizentes com o pensamento da RE/RS, estas eram legitimadas pela permissão para publicação; consequentemente, ao serem publicas, davam à revista poder para influir no universo pedagógico do período de sua circulação. Esse grau de influencia estimulava outros autores a produzirem outros artigos condizentes com a linha editorial da revista, Desta forma, a dinâmica de concentrar poder,editarverdadesebuscarinfluenciaramassadeleitores conseguia colocar em movimento um periódico com grande penetraçaonomercadoeditorialdaeducação. ARE/RSfoiummarcoculturalepedagógicosemprecedentes na história recente da educação brasileira; foi um referencial na imprensa pedagógica do Rio Grande do Sul e, não menos importante, do Brasil. Em matemática seus artigos foram fundamentais para estimular a compreensão, a vivência, a experimentaçãoeacritica(entreoconsideradotradicionaleo o novo) envolvento seus fundamentos e conceitos. A versatilidadedetemasdaRE/RSaolongodoperíodoemque esteve em circularção marcou profundamente gerações de educadores que a tinham como referencia. Evidências dessas marcassãoobservadasaindahojenaspráticasescolares,visto quemuitodoquesefaz(atividadescomjogos,usodecartazes ou encartes em sala de aula, entre outros) remente às orientaçõesesugestõespresentesnarevista. OsdiscursossobrematemáticapropostaspelaRE/RS,eainda presentes na atualidade, não podem ser vistas como desatualizadas ou inapropriadas; precisam, sim, ser contextualizadas,entendidasemseucorretoentorno,afimde compreender que tudo o que se fez, e ainda se faz, para um ensino de qualidade em matemática denota a necessidade de concepçõesbemelaboradas,deestratégiasbemplanejadas,de acompanhamentoeassessoramentoconstantesaosprofesores ealunos.Observar,peloviésdahistóriarecentedamatemática os artigos da RE/RS, pode em muito lançar luzes sobre os muitosdiscursosquehojepontuamoensinodamatemática. 275 ReportesdeInvestigación Referencias Bastos,M.H.C.(1997).AsRevistasPedagógicaseaAtualização do Professor: a Revista do Ensino no Rio Grande do Sul(1951–1992).In:Bastos,M.H.C.&Catani,D.B.(Org.) Educaçãoemrevista–Aimprensaperiódicaeahistóriada educação.(p.47‐75)SãoPaulo:EditoraEscrituras. Bastos,M.H.C.(1999).HistóriadaeducaçãodoRioGrandedo Sul: o estadoda arte. História:debates e tendências. Passo Fundo:Ediupf,v.1,n.1. Bastos, M. H. C. (2005). A Revista do Ensino do Rio Grande do Sul(1929–1942):onovoeonacionalemrevista.Pelotas: Seiva. Foucault, M. (2000). A arqueologia do Saber. Rio de Janeiro: ForenseUniversitária. Japiassú, H & Marcondes, D. (2006). Dicionário básico de filosofia.RiodeJaneiro:JorgeZahared.,4.ed. Peres,E.T.(2000).Aprendendoformasdepensar,desentirede agir:aescolacomooficinadavida–discursospedagógicos e práticas escolares da escola pública primária gaúcha (1909–1959)(Tesededoutorado).UniversidadeFederal deMinasGerais,BeloHorizonte. Quadros, C. (2006). Reforma, ciência e profissionalização da educação:oCentrodePesquisaseOrientaçãoEducacionais do Rio Gande do Sul. (Tese de doutorado). Universidade FederaldoRioGrandedoSul,PortoAlegre. 276 ReportesdeInvestigación BASESEPISTEMOLÓGICASSBJACENTES AOSOBSTÁCULOSDECOMUNICAÇÃODE SURDOSNAINCLUSÃOESCOLAR MATEMÁTICA IvaneteMariaBarrosoMoreira, GleisyKellyMoreiraLima, EdsonPinheiroWanzeler UFPA/Brasil–UNAMA/Brasil–UEPA/Brasil [email protected] [email protected] [email protected] Resumo Este resumo apresenta um estudo teórico, para formalização da disciplina Educação Matemática Inclusiva na Universidade do Estado do Pará ‐ UEPA, sobre a compreensão de aspectos epistemológicos que expliquem, a alunos de graduação em Matemática, os obstáculos de comunicação de sujeitos surdos no processo de aprendizagem na Matemática. Optamos por estudar o assunto a partir de quatro diferentes visões epistemológicas: Sociocultural; Socioantropológica; SociolinguísticaeSociointeracionista,porémsemnosatermos a uma discussão aprofundada e filosófica das mesmas. O estudofoifundamentadoporColleGillieron;Fernandez;Skliar e Quadros. As conclusões foram: a visão Sociocultural dá‐se por uma complexa afirmação de identidade surda; a visão Socioantropológicaindicaqueaindaresistemobstáculos,com relaçãoaideiadedoença“surdez”;avisãoSociolinguísticatem obstáculossituadosnodesconhecimentodalínguadesinais,e carência de profissionais para tradução/interpretação da língua de sinais na Matemática; e a visão Sociointeracionista esta voltada para a dificuldade de aprendizagem do surdo, a dificuldadedeassimilaçãodalínguaportuguesacomosegunda língua,eaprecáriaexistênciadesinaismatemáticosnalíngua desinais. 277 ReportesdeInvestigación Palavras‐chave: Obstáculos. Matemática; Epistemologia; Surdez; Introdução A Inclusão, em sentido amplo, é uma novidade do período modernoepós‐modernoqueexigedasinstituiçõesdeensino, da família, e da sociedade, novas atitudes e um novo pensar, fundados na necessidade de mudanças de paradigmas e concepções, arraigadas no imaginário social, sobre atitudes discriminatórias e excludentes para com indivíduos marginalizados (analfabetos, ribeirinhos, deficientes, moradores de rua, etc.). Essas mudanças no agir e no pensar, de certa forma em âmbito macro, acarretam mudanças em setores micros como, por exemplo: o aperfeiçoamento de profissionais da área da Educação (professores, pedagogos, intérpretes, tradutores, etc.) e afins (psicólogos, assistentes sociais, médicos, fisioterapeutas, etc.), interlocuções entre setores variados de conhecimento, incursões e novas pesquisassobreespecificidadesdegrupossociais(quilombola, indígenaedeficientes),quepossampropiciarpossibilidadese progressos significativos não apenas para esses indivíduos, mas principalmente para a melhoria da sociedade da qual fazemparte. Nestecontextodeinclusão,aeducaçãodesurdoséumassunto extremamente intrigante e estimulante; intrigante pelas diversas visões já existentes, decorrentes de pesquisas, como asde:GesuellieGóes(2007),Lacerda(1998),Souza(1996)e Góes e Souza (1997), sobre a importância do processo de interação e nos processos cognitivos e os obstáculos que a linguagemacarretanessesprocessos;eintrigantepelofatode que muito ainda se tem para investigar. Assim como as investigaçõescitadas,outrastrazemcomopontoquediscussão àsdificuldadesdaplenainclusãodosurdonaescolaridadeem relação à “linguagem e comunicação”, nas variadas áreas de conhecimento,comonaMatemática. Entreautoresquepesquisamnaáreadacomunicaçãoesurdez podemosdestacar:Sacks(1998),neurologistaqueestudouos 278 ReportesdeInvestigación surdos e seu desenvolvimento intelectual, recolhendo relatos deexperiênciadesurdosjáinclusosemescolasregulareseem universidadeseosobstáculosenfrentados;Skliar(1997,1998, 1999,2001),quedirecionouseutrabalhoparaoobstáculoda comunicaçãoeapropostadaeducaçãobilíngue;Brito(1993), Souza (1998), Góes (1999) e Quadros (1997, 1998, 2004, 2006), o processo de alfabetização (comunicação) da criança surda e suas relações com os pares ouvintes. Esses estudos nos reportam diretamente aos aspectos epistemológicos que explicam estes obstáculos voltados ao ensino de Matemática parasujeitosurdo,nestesentidoestudou‐seaformalizaçãoda disciplina “Educação Matemática Inclusiva”, para turmas de graduaçãoemMatemáticanaUniversidadeEstadualdoPará‐ UEPA, de forma a apresentar aspectos epistemológicos que possamexplicarestesobstáculos. BasesEpistemológicasnoProcessodeInclusão Existemmuitosestudossobreoensinoedaaprendizagemdos alunos surdos, sobre variados enfoques teóricos, filosóficos e metodológicosetambémenfoquescontextuais.Apresentamos a seguir, a escolha dos autores que podem trazer explicações relacionadas à comunicação, para compor o referencial da disciplinaEducaçãoMatemáticaInclusiva.Essesautoresserão mencionados a partir de quatro diferentes visões que são: Socioantropológica; Sociocultural; Sociolinguística e Sociointeracionista. 1. VisãoSocioantropológicadasurdez Para discutirmos a visão socio‐antropológica da surdez é necessária uma compreensão básica sobre dois pontos conflitantes historicamente: a surdez como algo a ser tratado clinicamente (como doença) e socialmente (como individuo quefazpartedeumgruposocial). Os estudos de Skliar (1997, 2001) esclarecem que durante a evolução histórica da pessoa surda, dois modelos prevaleceram; são eles o modelo Clínico (patológico, terapêutico)eoSócio‐antropológico(oindividuocomoumser 279 ReportesdeInvestigación social). Para este autor, esses modelos interferem causando, em todo o desenvolvimento temporal da humanidade, mudanças na vida familiar e escolar dos indivíduos surdos. Corroborando com Skliar encontramos Slomski (2010) que afirma que esses modelos divergem em sua constituição, mas queaindacoexistememnossasociedade. Osdoisautorescitadosconcordamqueédevitalimportância queosprofissionaisqueatuemnaáreadaeducaçãodossurdos identifiquem que modelos se têm de ‘pessoa surda’ e de ‘surdez’ que amparam os padrões de atendimento, métodos, currículos e filosofias, que podem ser escolhidas para a educaçãodessaspessoas. Para uma melhor compreensão das diferenças, entre os dois modelos,veremosaseguirumresumodecada: OModeloClínico‐terapêutico Nomodeloclínico,asurdezéclassificadaporautoresdaárea patológica a partir do exame de audiometria18, expresso por medidas audiométricas, que demonstram as perdas auditivas (leve, moderada, severa e profunda). Nesse sentido, Slomski (2010), afirma que o termo Deficiente Auditivo e/ou Deficiência Auditiva são utilizados clinicamente, e trazem em seu bojo preconceitos e julgamentos preconcebidos pelo imaginário social, de incapacidade e doença, consequentementederejeiçãodoindivíduosurdo. EmThomaeLopes(2004)nota‐sequenestemodelo,asurdez évistaereconhecidacomoumapatologiaquedevesertratada, de forma a não ocasionar novas e inúmeras outras falhas ou inaptidões. O surdo é entendido como um indivíduo 18Aaudiometriaéumexamequeavaliaaaudição.Geralmente,érealizadopor um fonoaudiólogo ou otorrinolaringologista. O resultado é expresso em um audiograma,queéumgráficoquerevelaascapacidadesauditivasdopaciente por meio de medidas audiométricas (medidas utilizadas nos exames de audiometria,queéapesquisadoslimiaresmínimosdeaudiçãoporviaaérea (por meio de fones)), e por via óssea (por meio de vibradores), realizada em cabine acústica. Esse teste permite determinar o grau e o tipo da perda auditiva.(DIÓGENES,2004) 280 ReportesdeInvestigación incapacitado auditivamente, ou seja, com a falta da audição, devendo ser cuidado clinicamente para ter sua imperfeição removida ou minimizada por meio de terapias de fala, cirurgias reparadoras, utilização de próteses, sessões de oralizaçãoeoutrasformasdecuidadosparaqueseassemelhe ao máximo com os indivíduos saudáveis (ouvintes). Esses cuidadosapenasmascaramafaltadeaudição,comproibições de linguagem sinalizada, com a receituação de vocalização e leituralabial. Os Oralistas, como se autodenominam os profissionais que tentammodificarpormeiodoOralismoaenfermidadesurdez, alcançaramoaugeapósoCongressodeMilão,ocorridonoano de 1880, foi um marco para a história dos surdos, pois neste congressointernacionaldeprofessoresdesurdos,naItália,se discutiu e foi avaliada a importância de três métodos de educação rivais no período ‐ língua de sinais, oralista e mista (línguadesinaiseooral). De acordo com Borne (2002) alguns dos temas propostos neste congresso foram: Vantagens e desvantagens do internato; Tempo de instrução; Número de alunos por classe; Trabalhos mais apropriados aos surdos; Enfermidades; Medidas curativas e preventivas; entre outros. O autor ainda comenta que apesar da variedade de temas, as discussões se concentraramnasquestõesdeComunicação,entreooralismo elínguadesinais. O Método Oralista como método para a educação dos surdos, comoasseveraSkliar(1997),saiuvencedordasdiscussões,em uma votação covarde, com 160 votos a favor e 4 contra, a partir daí a língua de sinais foi proibida oficialmente, sendo alegadaparaissoadeformaçãooudestruiçãodahabilidadede oralização dos indivíduos surdos. A maioria dos países europeus e americanos, após este evento, adotaram rapidamente o método oral nas escolas para surdos, começando,apartirdesteimpacto,umalongaesofridabatalha dopovosurdoparadefenderoseudireitolingüísticocultural, que perdurou por décadas, obrigando os surdos as práticas 281 ReportesdeInvestigación ouvintes,tendoqueabdicardesuaidentidade,culturaelíngua, tornando‐seimitaçõesdefeituosasdosouvintes. SegundoMachado(2002),avisãooralistaeclínico‐terapêutica ainda hoje aparece presente na educação de surdos, cujo objetivoéa“cura”dasurdez,visandoaumamelhorintegração social e educacional do surdo. Concordando com este autor Skliar (1998) explica que dentro dessa concepção, a inclusão do surdo no âmbito social e escolar só ocorre com a transformaçãodaespéciesurdapormeiodapráticadalíngua oral e do suposto, como denominou o autor, etnocentrismo19 ouvintista, copiando valores e arquétipos culturais dos que ouvemefalam. OModeloSocioantropológica A visão sócio‐antropológica de acordo com Skliar (2001), diz respeito a outra forma, oposta, de entendimento da surdez e daspessoassurdas.Estaoutravisãoapresentaossurdoscomo constituintes de grupos minoritários de pessoas que se congregamparadiscutireopinarsobresuasvidas,nãoapenas porquetememcomumofatodequenãoescutam,masporque necessitam de uma cultura visual para entendimento e apreensão do mundo, o que se traduz pelo reconhecimento, legalização e utilização da língua de sinais pelas pessoas que trabalham com os surdos. Nesta perspectiva, Thoma e Lopes (2004) comenta que vários estudos na área da antropologia indicamque,mesmoantedetodaaproibiçãodousodesinais pelos surdos originários do século passado, a comunidade surda passou a existir, se organizando, produzindo, desenvolvendo e autorizando as línguas de sinais em todo o mundo. Etnocentrismo, de acordo com Rocha (1984, p. 7), é “uma visão do mundo ondeonossoprópriogrupoétomadocomocentrodetudoetodososoutros são pensados e sentidos através dos nossos valores, nossos modelos, nossas definiçõesdoqueéaexistência.”,partindodesteconceito,dentrodaevolução histórica dos surdos, podemos considerar o ‘etnocentrismo ouvintista’ (SKLIAR, 1998) como a idéia de sujeitos surdos tendo que se moldar nos padrõesouvintes,istoé,tendoqueimitarosouvintesnofalareouvir. 19 282 ReportesdeInvestigación Neste século e a partir desta visão, a qual se comentou, começa‐se apensar, discutir e pesquisar sobre uma educação bilíngue, que leve em conta a necessidade de socialização da criança surda o mais cedo possível, na comunidade de seus pares e também na comunidade ouvinte, permitindo que ela encontre arquétipos aos quais possa se identificar, abandonando a idéia da ausência, e dando relevância apenas aquilo que faz com que os surdos sejam diferentes linguisticamente e socialmente, e também na cultural e identidade. Esses dois modelos são o diferencial da visão socio‐ antropológica tornando esta um ponto de estudo como base para inúmeros outros, pois ainda na atualidade é constante a discriminaçãoindividualelinguística.Enfatizandoestepensar Machado (2002), afirma que a visão sócio‐antropológica da surdez, pelo seu caráter inovador e único, ainda está em construção. Reportando‐nos para o ensino‐aprendizagem matemático, ou seja, a escolarização matemática, a partir desta visão, autores como Mazzota (1996), Sacks (1998), Quadros (1998) e Skliar (1998) consideram que esteve em um limbo, pois as discussõesgiravamemtornodaslinguagens/comunicaçãoque eramutilizadasparaaproduçãodeconhecimentosdosalunos surdos. Esse alunado foi durante todo este período confinado em Unidades Técnicas Especializadas, com poucos casos de escolarizaçãoemescolasregulares.Entãopodemosinferirque estavisãotemcomoobstáculoasdivergênciasdelinguageme comunicação,alémda‘clausura’dossujeitossurdosemlocais específicos. 2. VisãoSocioculturaldasurdez A partir da visão socio‐antropológica descortinou‐se novos desdobramentosemrelaçãoaeducaçãodapessoasurda.Para ThomaeLopes(2004),éapartirdeumolhardiferenciadoque se começa a pensar em uma educação voltada a língua gesto‐ visual fluente nos indivíduos surdos, a necessidade de apresentar a pessoa surda condições de apreender o mundo 283 ReportesdeInvestigación que a cerca por meio da construção, produção e identificação de sua própria identidade, cultura e linguagem, deixando de ladoaidéiadaincapacidadeedadeficiênciaepondoempauta o que faz com que os surdos sejam diferentes linguística e socialmente, dando a sociedade um novo patamar; a Visão Sócio‐cultural. Considerando os estudos de Quadros (2003, p. 88), a Visão Sócio‐cultural da surdez considera os aspectos sociais, linguísticoseculturaisdosindivíduosqueaconstitui,osurdo. Neste ponto de vista, a surdez não é identificada como uma deficiência, pois os aspectos legítimos do surdo são enaltecidos, como sua criatividade, atenção, interesse, habilidadeecognição,epelousodesualínguamaternaeasua capacidade de adaptação, ocorrência de décadas de lutas, havendo o favorecimento da inclusão. De acordo com essa concepção, a surdez se distingue por experiências visuais, ou seja,umaformadiferenciadaeúnicadeestabelecerarealidade histórica,políticaesocialdoindivíduo. Apartirdepesquisascientíficassobreasurdezedosvariados movimentos de grupos minoritários que buscavam, por meio de denuncias contra a discriminação, seus direitos. Direito a suaprópriaculturaeidentidade,porseremdiferentesemsua essência e natureza. Essas lutas formaram um vultuoso movimento multicultural que tomou forma e se alastrou, chamando a atenção da sociedade, fazendo com que esta transformasse o seu olhar para o social e o cultural desses grupos. Neste sentido um novogrupode surdos se constituiu mudandooconceitode‘serdeficiente’relacionadoaosentir‐se deficiente,tendototalconsciênciadoquelhefalta,ouseja,na concepção da palavra, como se istoas definisse e caracteriza‐ se,dessaformaopensamentoqueseconcretizaédequetodos os obstáculos residem no ambiente no qual estão inseridos e nãoemsicomoser.Behares(1993)defineestenovoindividuo surdo como uma pessoa que “por portar um déficit auditivo, apresentaumadiferençaemrelaçãoaopadrãodenormalidade esperado” devendo estabelecer uma identidade que lhe será 284 ReportesdeInvestigación própria de forma a “se integrar na sociedade e na cultura na qualnasceu”. A diferença entre o Modelo Clínico‐terapeutico e o Modelo Sócio‐cultural, na concepção de Almeida (2000), é que no primeirooinsucessonaaquisiçãoedesenvolvimentodalíngua oral padrão, é conferido à deficiência do individuo, a qual restringe as capacidades de abstração, comunicação, socialização e cognitiva. No segundo as dificuldades são remetidos aos fracassos dos métodos de educação, que se mostram inadequados em favorecer o desenvolvimento do sujeito, necessitando ser aprimorados. Para isto, tem‐se a importância da língua de sinais como instrumento fundamental para que a educação do sujeito surdo se efetive, modificando não somente os preceitos filosóficos embutidos neste processo como também as práticas educativas e o processoderelaçãoeinter‐relaçãodosindivíduossurdoscom seusfamiliares. ApartirdasvisõesanterioreseprincipalmentedaVisãoSócio‐ cultural,podemosanuirqueaescolarizaçãodetodasasáreas deconhecimentoinclusiveaMatemática,começaasertratado de forma cautelosa, necessitando de novos estudos, novas apreciações para métodos de ensino e aprendizagem, com o intuitodeencontrarmeiosquedêemqualidadeemelhoriaao ensino,visandoacogniçãodoeducandosurdo.Nestemomento se inicia uma corrida por práticas diferenciadas na educação de indivíduos especiais, mudanças nas formações de professores,nãoapenaspelanecessidadeescolar,mastambém social e cultural. A dedução que podemos retirar quanto a obstáculos nesta visão, principalmente na escolarização matemática, se localiza nas dificuldades de formações e práticasdocentesquantoafaltadeconhecimentolinguísticoe notratocomossujeitossurdos. 3. VisãoSociolinguísticadasurdez Nesta Visão de acordo com Skliar (1997) a fundamentação teórica de modelo sócio‐linguístico e cultural defende que a língua de sinais deve ser considerada como primeira língua 285 ReportesdeInvestigación ocasionando competências comunicativas e cognitivas do indivíduo surdo, tendo como princípio que a deficiência auditivanãoimpedeaesteadquirircompetênciaslinguísticas e cognitivas.Destaforma a línguade sinaisdeve ser utilizada para transmissão de todo e qualquer conteúdo escolar para que este indivíduo, o surdo, se sinta respeitado em sua condição única, além de favorecer o aprendizado da segunda língua,nestecasoaLínguaPortuguesa,dandoaoportunidade deaprendizadoeconhecimentodesta,oportunizandoaosurdo aintegraçãoemummundobilíngueebi‐culturalqueocerca. Nas escolas regulares a entrada e permanência de surdos adultos mesclados com crianças também surdas têm papel importante neste contexto, pois além dos adultos surdos tornarem‐se modelos linguísticos para os que ainda não tem um desenvolvimento comunicativo com a língua de sinais, tambémsãoreferenciasafetivas,sociaiseculturaisparaosque aindasesentemrelegadosporsuacondição. Esta Visão ainda traz um fator primordial que é retirar do canaloral‐auditivo(membrosconstitutivosdafalaeaudição)a responsabilidade do indivíduo surdo não ter habilidades linguísticas, de comunicação e cognitivas. Corroborando com este pensar Slomski (2010), comenta que o modelo sócio‐ linguístico e cultural e a Educação tem o Bilinguismo como organizador metodológico, considerando o indivíduo surdo possuidor de uma primeira língua (língua de sinais), que é o instrumento de acesso aos processos de aprendizagem de antigos e novos conhecimentos, a informação, a cultura e ao reconhecimentodeumasegundalínguaquelhepodeservirde apoioemqualquercontextodoqualparticipenacomunidade maior,deouvintes. Neste aspecto a língua passa a ser a diferença no desenvolvimento do individuo surdo, em todos os aspectos (lazer, trabalho, escola, etc.), pois possuindo uma língua própria, este grupo, consegue uma integração à comunidade maior,deouvinte,deformaanãoacentuarsuadeficiência,mas ressaltar sua diferença e diversidade, nas áreas sociais, de comunicaçãoecultural. 286 ReportesdeInvestigación O pesquisador Almeida(2000) asseveraque não há patologia ou mesmo uma diferença inferior entre o surdo e o ouvinte, apenasumadesigualdadeaserconsiderada,tendoalínguade sinais como recurso próprio para interagir com o meio, permitindoaossurdosexpressar‐se. Os autores Behares (1997); Fernandes (1990) e Quadros (1997)acreditamqueossurdosdesenvolvemavisãocomoum canal sensorial para o processamento cognitivo, pois são privados do sentido da audição, necessitando de uma língua diferenciada na qual alcancem um nível de comunicação tão eficientequantoodosouvintes,aqualgaranteodesempenho de todas as funções de uma língua reconhecida pela Linguística.Paraessesautoresnaperspectivasócio‐linguística de surdez, devemos pensar uma educação para surdos que ponderesuascaracterísticassociais,descartandoaáreaclínica eaconstantevontadedecaracterizar.Asemelhançadosurdo comoouvinteétarefaquesómuitorecentementevemsendo alcançadaeestáalémdeserconsonânciaentreamaioriados envolvidos,poisaformadepensaressaeducaçãoestáatrelada aoutrasrepresentaçõesfrenteaossurdoseàsurdez. TodosospormenoresapresentadosnestaVisãocolaboramno sentido de percebermos que o ensino‐aprendizagem de todas as áreas de conhecimento estão atrelados a expressão, comunicação, relação língua/linguagem. Para o ensino e a aprendizagem da Matemática podemos deduzir que, por sua constituição de linguagem formal, se torna em determinados momentos de difícil acesso pela falta de recursos linguísticos na língua de sinais, porém por também ser extremamente visual, na sua operacionalização, tem‐se a sua apreensão em determinados pontos facilitada. Os obstáculos com os quais podemosnosdepararapartirdestaVisãosão:ousodalíngua de sinais como primeira língua pelos docentes sem qualificação adequada; o uso da Língua Portuguesa como segundalínguapelosalunossurdos,semrealmenteentendero que estão fazendo; o ensino‐aprendizagem da Matemática na formadelinguagemformal,aqualnãoseencaixaemnenhuma 287 ReportesdeInvestigación dasformaslinguísticasreconhecidapelosurdotronando‐sede certaformaumaterceira‘Língua’paraaprendizagem. 4. VisãoSociointeracionistadasurdez Segundo Coll e Gillièron (1987, p. 30), a visão sócio‐ interacionistatemcomoobjetivoabrangercomoosujeito(ser humano)seconstituienquantosujeitocognitivoeprodutorde conhecimentos ‘verdadeiros’, ou seja, conceitos reconhecidos nasvariadasáreascientíficasdeconhecimento. No contexto linguístico, a perspectiva sócio‐interacionista, paraFernandez(1993,p.14),éresgatardinâmicasinterativas que possibilitem o fluir da língua e a composição de outro espaço de trabalho ou de estudo que permita sobrevir o verdadeirodomíniolingüísticoporpartesdosestudantes. Concordandocomestaafirmação,Perlin(1998),asseguraque a língua existe constituída de signos e significados, para a comunidade ouvinte, a partir da cultura fundamentalmente auditiva, o indivíduo surdo tem dificuldades de utilizar‐se de todos os signos e significados dos vocábulos dos ouvintes, principalmente com variada epistemologia, mantendo uma compreensão limitada, pois as duas línguas têm embutidas dentrodesuautilizaçãosignosvisuais. A integração da criança surda na comunidade ouvinte é o objetivodavisãoeducacionalsócio‐interacionista,acarretando paraissoopré‐requisitodaoralização.Alínguadesinaisnesse paradigma, não é aceita e valorizada como meio de comunicação, instrução, socialização e cultural das crianças surdas e sim como barreira para a integração/comunicação comelementosdacomunidadeouvinte. Entendemos, assim, que essa percepção procura explorar o conhecimentolinguísticodosurdoaliadoàsfunçõessociais,e determina o aprendizado como sendo erigido por todos os componentes envolvidos no processo de produção de conhecimento, para tanto, a atenção parte tanto de todos os pares envolvidos (professores, estudantes, familiares, etc.), interagindo em determinado contexto de ação, ou seja, no 288 ReportesdeInvestigación ambiente educativo. Ao pensarmos a prática educativa, descobrimos que ela é de suma importância para professores que pretendem trabalhar a formação de conceitos científicos matemáticos com o sujeito surdo, é importante que no processo de interação se busque a reorganização de significados prévios e antigos e a construção de novos significadoseconceitos,evidenciandoosmúltiplosaspectos. Para o autor Goldfeld (2002) em seu estudo sobre a criança surda e a linguagem numa perspectiva sócio‐interacionista, determinaquediversosdanosaodesenvolvimentolinguístico e cognitivo desta criança das competências lingüísticas e cognitivas acarretadas pela inadequação da filosofia oralista, argumentando que o oralismo prioriza a linguagem oral‐ auditivaemdetrimentoalinguagemgestualnãovalorizandoo diálogoexistentenocontextodascomunidadessurdas. Os posicionamentos aqui suscitados nos permitem compreender que o ensino para pessoas surdas baseado somentenaoralizaçãopodelimitá‐lasàpronunciadepalavras isoladas,enoensinodedeterminadosconhecimentos,comoa nomenclaturadeobjetos,masnãoaodomíniodafala,nemno aprendizado dos conceitos complexos matemáticos, uma vez que a repetição, a aquisição de um número reduzido de palavras não constitui um aprendizado de uma língua, mas sim, a produção de uma linguagem sem significado para o sujeito,tornando‐seesteoobstáculoprincipaldestaVisão. ConsideraçõesFinais Na apresentação e explanação de todas as visões aqui suscitadas podemos então compreender os aspectos epistemológicos que podem explicar os obstáculos de comunicação dos alunos surdos no processo de inclusão escolar matemático, tendo os seguintes pontos como sendo estesobstáculos:Asdivergênciasdelinguagemecomunicação entreossujeitosquecompõemoambienteescolar;Aentradae permanênciadossujeitossurdosemlocaisespecíficos(Classes Especiais), ainda existentes no Brasil; Cursos de formação inicial e continuada deficitária; Práticas docentes com 289 ReportesdeInvestigación defasagem; Falta de qualificação no conhecimento linguístico específico para a compreensão do alunado surdo; Desconhecimentodecomosetrabalharcomossujeitossurdos; Odesconhecimentodedocentessobreousodalínguadesinais comoprimeiralíngua;Oensino‐aprendizagemeusodaLíngua Portuguesa inadequados, como segunda língua, pelos alunos surdos; A dificuldade no ensino‐aprendizagem da Matemática na forma de linguagem formal, contextualizada, algébrica ou aritmética, dentro do que se conhece como segunda língua, ‘LínguaPortuguesa’;Oensinodasáreasdeconhecimentopara pessoassurdasbaseadassomentenaoralização. Após umdesvelar dos possíveis obstáculos que podem ser os entraves para que o aluno surdo adquira os conhecimentos sobre conceitos matemáticos é relevante comentar a necessidade de novas organizações, interferências e estudos voltados para este grupo de indivíduos. Atualmente estes se constituem em comunidades extensas e em constante expansão em nossa sociedade, por este e outros ensejos, que não são importantes citar neste momento, devemos efetivar parcerias, procurando melhorias no ensino‐aprendizagem, comunicação, socialização, cultura, trabalho, lazer, entre outros, que deverão não somente incluí‐los, mas principalmente nos aproximar desses pares seres humanos semdistinçãoediscriminação. Referências Almeida,N.L.T.(2000).OServiçoSocialnaEducação.Revista INSCRITA, nº 6. Conselho Federal de Serviço Social. Brasília,n.6,ano3,jul,p.19‐24. Behares, L. E. (1993). Nuevas corrientes en la education del sordo:delosenfoquesclínicosalosculturales‐Cadernos deEducação‐UniversidadeFederaldeSantaMaria,Santa Maria. Behares, L. E. (1997). A língua materna dos surdos: reflexões sobre o sentido da aquisição da linguagem pelos surdos. 290 ReportesdeInvestigación Revista Espaço. Informativo Técnico‐Científico do Ines, RiodeJaneiro,ano4,n.6,pp.40‐48,mar. Borne,R.(2002).Representaçõessociaisdasurdez.Dissertação deMestrado,UniversidadeTuiutidoParaná,Curitiba,PR. Brito,L.F.(1993).Integraçãosocial&educaçãodesurdos.Rio deJaneiro:Babel. Coll,C.;Gillièron,C.(1987).JeanPiaget:odesenvolvimentoda inteligência e a construção do pensamento racional. In, LEITE,L.B.(org.)PiageteaEscoladeGenebra.SãoPaulo: Cortez,p.15‐49. Diógenes, C. (2004). Provas Auditivas I. Seminário de “Provas Auditivas”. Residentes do Departamento de Otorrinolaringologiado.HCFMUSP. Fernandes, E. (1990). Problemas lingüísticos e cognitivos do surdo.RiodeJaneiro:Agir. Fernandes, S. M. M. (1993). A educação do deficiente auditivo: um espaço dialógico de produção de conhecimento. Dissertação de Mestrado, Universidade do Estado do Rio deJaneiro. Gesueli,Z.M.eGóesM.C.R.de(2007).ALínguadeSinaisna Elaboração da Criança Surda sobre a Escrita. Campinas, SP:AutoresAssociados. Góes,M.C.R.eSouza,M.R.(1997).Alinguagemeas"práticas comunicativas" entre educador ouvinte e aluno surdo. TrabalhoapresentadonoXXVICongressoInteramericano dePsicologia‐SãoPaulo. Góes, M. C. R. (1999). de. Linguagem, surdez e educação. (2a ed.).Campinas,SP:AutoresAssociados. Goldfeld, M. (2002). A criança surda: linguagem e cognição numa perspectiva sociointeracionista. 2. ed. São Paulo: PlexusEditora,p.27‐87. 291 ReportesdeInvestigación Lacerda, C. B. F. (1998). Um pouco da história das diferentes abordagens na educação dos surdos. volume 19, N. 46. cadernoCEDES,p.27‐88. Machado, A. D. (2002). As Interações do sujeito com surdez severa e o processo de construção de identidade. Santa Maria:UFSM–ProgramadePós‐graduaçãoemEducação Especial. Mazzota,M.J.S.(1996).EducaçãoespecialnoBrasil:históriae políticas.SãoPaulo:Cortez. Perlin, G. T. T. (1998). Histórias de vida surdas: identidade em questão. Dissertação de Mestrado. Porto alegre: Ufrgs/Faced. Quadros, R. M. (1997). Educação de surdos: a aquisição da linguagem.PortoAlegre:ArtesMédicas. Quadros,R.M.(1998).Ocontextoescolardoalunosurdoeo papeldaslínguas.RevistaEspaço.INES. Quadros, R. M. (2003). Situando as diferenças implicadas na educação de surdos: inclusão/exclusão. Revista Ponto de Vista.No.5.81‐112.NUP.Florianópolis. Quadros, R. M. (2004). Educação de surdos: efeitos de modalidade e práticas pedagógicas. No livro pós‐ congresso "Temas em Educação Especial IV", pela EDUFSCar. Quadros, R. M. (2006). Políticas lingüísticas e educação de surdos em Santa Catarina: espaço de negociações. CadernosCEDES,Campinas,v.26,n.69,p.141‐162. Rocha,E.(1984).OQueÉEtnocentrismo?EditoraBrasiliense. Slomski, V. G. (2010). Educação Bilíngue para Surdos: Concepçõeseimplicaçõespráticas.1ªed.Curitiba:Juará. Souza, R. M. (1996). Que palavra que te falta? In Linguística e educação: considerações epistemológicas a partir da surdez.SãoPaulo:MartinsFontes. 292 ReportesdeInvestigación Souza,R.M.(1998).Linguística,educaçãoesurdez.SãoPaulo: MartinsFontes. Sacks, O. (1998). Vendo vozes: uma jornada pelo mundo dos surdos.RJ:Imago. Skliar, C. (1997). Educação e exclusão: abordagens socioantropológicas em educação especial. Porto Alegre: Mediação. Skliar,C.(1998).Asurdez:umolharsobreasdiferenças.Porto Alegre:Medição. Skliar,C.(1999).AtualidadedaEducaçãoBilíngüeparaSurdos. v.2PortoAlegre:Mediação. Skliar, C. (2001). Educação & Exclusão, Abordagens Sócio‐ AntropológicasemEducaçãoEspecial.InSkliar,C.B.(Org.) Uma perspectiva sócio‐histórica sobre a psicologia e a educaçãodossurdos.PortoAlegre:Mediação. Thoma, A. da S.; Lopes, M. C. (2004). (Org.) A invenção da Surdez: Cultura, alteridade, identidades e diferenças no campodaeducação.SantaCruzdoSul:EDUNISC,p.20‐21. FORMAÇÃODEPROFESSORES:PRÁTICAS EPERSPECTIVASÀLUZDATAD ItamarMirandaDaSilva, AlineAndreiaNicolli UnivrsidadeFederalDoAcre [email protected], [email protected] Resumo Nestetrabalhotemosaintençãodeapresentarumadiscussão sobre elementos da Teoria Antropológica do Didático (TAD) que, quando articulados, se constituem em instrumentos 293 ReportesdeInvestigación potentes para a análise de problemas enfrentados pela profissão docente. A discussão se justifica, pois na atual conjuntura da educação matemática, é notória a preocupação das pesquisas com a formação de profesores e, que mesmo tendo avançado, ainda não deram conta de responder problemáticas que envolvem osprocesos de ensino, de aprendizagem dos alunos. Nesta obra, desenvolveremos uma discussão acercada seguinte questão: De que maneira um percurso de formação pode contribuir para elaboração e assimilaçãodemaneirasdeagirepensarsubsidiandoolabor docente? Então, explorando pressupostos da TAD em confrontocomsaberesmatemáticosquesematerializamcomo objetos de ensino que podem ser investigamos em um percurso de formação continuada, evidenciamos possibilidadesparafomentarepromoveroutrosmodosdeagir epensarnospercursosdeformação. Palavras‐chave:TAD;Práticas;FormaçãodeProfessores Introdução Considerando as duas últimas décadas do século passado e início deste, é possível constatarmos o avanço e o desenvolvimento das pesquisas no âmbito da Educação Matemática,demodogeral.Deformaespecífica,desenvolvem‐ seàquelascentradasnosproblemasenfrentadospelaprofissão docente. Segundo Silva e Silva (2013), vem ganhando maior relevância, àquelas relativas ao conhecimento do professor que ensina matemática no que tange suas atitudes, seus pensamentosesuaspráticasdocentes. Outro posicionamento majoritário da literatura especializada no tocante aos percursos de formações de professores, em especial do professor de matemática, tanto em nível inicial quantoemcursosdeaperfeiçoamento,éporserumprocesso complexoecontínuo,noqual,diretaouindiretamente,devem estar presentes preocupações concernentes às questões da diversidade em seus múltiplos contextos bem como a constante evolução das maneiras deagir e pensar,assim com as condições de que precisam para o trabalho docente. No 294 ReportesdeInvestigación entanto, muitos dos problemas continuam sem solução, ou aquelas dadas são insatisfatórias, com isso entendemos que a presente discussão contribuirá para ampliar o enfrentamento dasproblemáticasdaprofissãodocente. ATADeoselementosquecompõemaneiradeagirepensar Teoria Antropológica do Didático (TAD) desenvolvida por Chevallard (1999, 2009) e colaboradores, que situa a problemática da profissão docente no campo das práticas sociais e se destaca de outras por compreender que a problemática da profissão docente deve ser atacada considerandoascondiçõesdedifusãodosobjetosdeensino. Nesse sentido, a TAD se apresenta como um importante instrumento para analisar as práticas docentes, em particular as da matemática e, para isso desenvolveu algumas noções fundamentais que segundo Chevallard (2009) podem ser expressacomomostraremosaseguir. Aprimeiranoçãofundamentaléadeobjeto:objetoéqualquer entidade,materialounãomaterial,queexistepelomenospara um individuo. Então, tudo é objeto, incluindo pessoas. Em particular,qualquerprática,ouseja,todoprodutointencional da atividadehumana é um objeto, por exemplo, um conteúdo de ensino da matemática é um objeto; A segunda noção fundamental é o de relação pessoal de um indivíduo x para comumobjetoo,quesignificaosistemadenotadoporR(x,o) de todas as interações que x possa ter com o objeto o que x manipula, utiliza, fala, sonha etc. Dizemos então, que o existe searelaçãopessoaldexcomo"nãoévazia",denota‐sequeR (x, o) ≠ ∅. Assim, neste contexto importante considerar que essa relação se constitui levando em conta toda a história do indivíduo;Aterceiranoçãofundamental,éadepessoap,queé o par formado por um indivíduo x e o sistema de relações pessoaisR(x,o)emumdadomomentodahistóriadex.Nesta evolução, o invariante é o indivíduo, o que muda é a pessoa; Uma quarta noção fundamental é de instituição. Uma instituiçãoIéumdispositivosocialtotal,e/ouquecertamente pode ser apenas uma parte muito pequena do espaço social, 295 ReportesdeInvestigación isto é, há micro‐instituições, como por exemplo uma pessoa, desdequetenhacondiçõesdepermitireimporaseussujeitos ummodusoperandi,eportanto,paraaspessoasxqueviveme ocupam diferentes posições p oferecidas em I, e com isso colocandoemjogoasmaneirasdefazeredepensarpróprios, ouseja,aspraxeologiasconformeChevallad(2009). SegundoChevallard(1999)anoçãodePraxeologiaresultada uniãodosdoistermospraxiselogos.Tiposdetarefas,técnicas, tecnologiaeteoriasãoasquatrocategoriasdeelementosque compõe uma Organização e Praxeologia Matemática. Diremos agoraquefazerMatemáticasconsisteemporempráticauma PraxeologiaMatemáticaparachegaraumdeterminadotipode tarefa e que estudar Matemáticas consiste em (re)construir determinadoselementosdeumaPraxeologiaMatemáticapara darrespostaaumdeterminadotipodetarefaproblemática(é decidirumtipodetarefaparaoqualnãoexisteenãosedispõe deumaPraxeologiaadequadapararesolvê‐lanainstituiçãoem questão). Neste contexto, de acordo com a teoria o saber matemático aparece organizado em dois níveis. O primeiro nível é o que remete a prática que se realiza, a praxis, o saber‐fazer, isto é, decidir os tipos de problemas e tarefas que se estudam e as técnicasqueseconstróieutilizamparaabordá‐los.Osegundo nívelrecorreàpartedescritiva,organizadoraejustificadorada atividade matemática, que chamaremos logos ou, simplesmente,saber.Incluiasdescriçõeseexplicaçõesquese elaboram para fazer inteligíveis as técnicas, isto é, o discurso tecnológico (o logos sobre a técnica e, em última instância, o fundamentodaproduçãodenovastécnicas)eateoriaquedá sentidoaosproblemasapresentadosepermitefundamentare interpretar as descrições e demonstrações tecnológicas a modo de justificativas de segundo nível (a teoria pode interpretar‐se,portanto,comoumatecnologiadatecnologia). Nesta perspectiva, Chevallard (2009) apresenta a estrutura praxeológica mais simples como sendo aquela de um fazer pontualecompõe‐sedeumtipodetarefasT,deumatécnicaτ, que são os modos de realizar as tarefas t do tipo T, de uma 296 ReportesdeInvestigación tecnologiaθ,queéodiscursoquefundamenta(logos)atécnica (tekhne)equetornaτinteligívelcomoummeiopararealizar as tarefas do tipo T, e finalmente um componente teórico Θ, que rege a tecnologia θ em si mesmo (e, portanto, todos os componentes da praxeologia). Uma praxeologia pontual é denotadapor[T/τ/θ/Θ].Elacomportaumaparteprático‐ técnica Π = [T / τ] ou práxis (que pode, se necessário, denominar"saber‐fazer")eumapartetécnológico‐teóricoΛ= [θ/Θ],oulogosquepodemosidentificarcomosaber. Nestesentido,aTADpropõequetodaatividadehumanapode ser representada por modelos mediante maneira de agir e pensar, ou seja, praxeologias (práxis + logos), com relação a estepontodaspraxeologias,ressaltamosquecompartilhamos das ideias de Almouloud (2007) ao afirmar que a TAD tras contribuição importante para a Didática da Matemática, pois, além de ser uma ampliação do conceito de transposição didática,insereadidáticanocampodaantropologia,olhandoo estudo das organizações praxeológicas e didáticas pensadas paraoensino. E assim, a TAD estuda as condições de possibilidade e funcionamento de sistemas didáticos, compreendidos como relaçõesentresujeito,instituiçãoesaberequedeacordocom Chevallard (1999), ela permiti estudar o homem perante o saber matemático, e mais estritamente, perante situações matemáticas. E portanto, um motivo para eleição e utilização do termo “antropológico” é que a TAD localiza a atividade matemática e, em consequência, o estudo da matemática dentro do conjunto de atividades humanas e de instituições sociais.Assim,elapropõeummodelodeatividadematemática institucional, que inclui a atividade matemática escolar como casoparticular,ummodelodosabermatemáticoquepermite descreveramatemáticaescolarcomocasoparticular. Percursodeformaçãorealizadocomprofesoresemserviço Esta investigação foi realizada com a constituição de um percursodeestudoepesquisacombaseemChevallard(2009) e foi desenvolvido com a participação de 07 alunos‐ 297 ReportesdeInvestigación professores que cursavam uma Especialização em Educação MatemáticaofertadapeloInstitutodeEducaçãoMatemáticae Científica– IEMCI, da Universidade Federal do Pará–UFPA e atuavamnadocênciaemvárioscontextoseníveis. A investigação foi proposta com a intenção de compreender maneirasdeagirepensardoprofessorquandoesteassumea tarefa de ensinar um determinado objeto de ensino. Neste caso, após longo debate, escolhemos como objeto de ensino AnáliseCombinátoriaeelaboramosaseguintequestão:Como identificareconstruirmaneiradeagirepensarquepermitaao professor compreender o saber matemático Análise Combinatória considerando a sua transacionalidade face ao currículo escolar e articulando‐o com outros objetos matemáticos? Apartirdaeleiçãodaquestãoacimapassamosaestudarobras que contemplassem o objetivo e trouxessem respostas a questão. Neste sentido, investigamos obras como: artigos publicados em revista, em eventos, dissertações, teses, livros didáticosdematemáticadoensinobásicoedocumentoscomo osPCNsnoquecontemplaaquiloqueversasobreoobjetoese coadunacomocurrículodaeducaçãobásica. Opercursodeestudoepesquisafoirealizadoem14encontros de 1h30min, durante uma vez por semana. O estudo tomou como princípios (a) a transacionalidade do objeto, ou seja, verificamosasnoçõeseideiasqueantecedemesteobjeto,bem como o futuro do objeto; (b) as articulações que este objeto estabelece com outros tanto em nível de técnica quanto em nível de tecnologia, este último não foi possível explorar com profundidade,masfoipossívelevidenciarmosalgunsaspectos doobjetodeensinoAnáliseCombinatóriaquejustificaarazão de ser da probabilidade; (c) o paradigma do questionamento, istoé,emtodooprocesosequestionouoqueensinar,porque ensinar,paraquemensinarecomoensinaroobjetodeensino Análise Combinatória e (d) as dimensões do saber (epistemológica,ecológicaeeconômica). 298 ReportesdeInvestigación Como resultado do percurso de estudo e pesquisa sobre o objetodeensinoAnáliseCombinatóriaapartirdasanálisesde todo o processo foi possível identificar alguns aspectos como osqueseguem: 1) Quanto a transacionalidade do objeto de ensino Análise Combinatórianocurrículoescolardaeducaçãobásicaestá explícitotanto no Parâmetro CurricularNacional ‐ PCN do Ensino Fundamental no bloco tratamento da informação. No entanto, quando analisamos alguns livros didáticos de matemática da educação básica, que ainda são a principal organização didática e matemática do professor, constatamos que não é atribuido ao objeto de ensino AnáliseCombinatóriaestetermo.Demaneirarecorrenteas tarefas apresentadas giram em torno do termo PossibilidadesequasesempresãoresolvidaspeloPrincípio FundamentaldaContagem; 2) Quanto as articulações que o objeto de ensino Análise Combinatória estabelece com outros, pudemos constatar que apenas algumas obras abordam de uma maneira pontualeespecíficaatemática.Jánoslivrosdidáticoseste objeto aparece de maneira geral, isolado sem manter nenhumainterlocuçãocomoutrosobjetos; 3) Quanto ao questionamento sobre o objeto de ensino Análise Combinatória evidenciamos a relevância do conhecimento curricular, pois em geral o profesor de matemáticadosanosfinaisdoensinofundamentalnãotem apreocupaçãoderealizarumaretomadasistemáticasobre aquilo que o aluno já estudou e que ainda poderá se deparar no futuro. Assim, é fundamental desenvolver a capacidade de transacionar e articular com objeto de ensino, decidindo o que ensinar, por que ensinar, para quemensinarecomoensinar. 4) Quanto as dimensões do saber matemático sobre o objeto de ensino Análise Combinatória o percurso de estudo e pesquisa nos permitiu identificar que a dimensão 299 ReportesdeInvestigación epistemológicasobreacompreensãodoobjetocentra‐sena percepçãoeintuição. Considerações AmpliaoalcancedaTAD,osapontamentosapresentadospelo Programa Epistemológico (PE), desenvolvido por Shulman, e pelocampodaeducaçãomatemática,nosestudosdeBalletal (2008). Ambos os estudos ampliaram o seu alcance investigando práticas inerentes a profissão docente em matemática e se destacando por identificar um conjunto de tarefas do professor que ensina matemática, bem como apresentando uma maneira de agir e pensar próprio da atividade matemática a qual chamaram de conhecimento especializadodoprofessor. A partir dessas reflexões e do processo que emergiu do percurso de estudo e pesquisa foi possível observar que a formação do professor não poderá ser tão somente um percurso de simples transposição dos conhecimentos matemáticosepedagógicos. Será necessário um trabalho de estreita cooperação entre o sistemaescolar,queconstituiocampodaatividadedocente,a investigação didática e a matemática que atua como fonte de questionamento e produção de recursos que permitem vislumbrar maneira de agir e de pensar para a renovação e melhoria da profissão do professor de matemática, sobre a qual recai, em última instância, o dever de identificar as necessidades que devem enfrentar os sujeitos com os quais trabalha. Referências Almouloud, S. A. (2007). Fundamentos de didática da matemática.Curitiba:Ed.UFPR,p.218. Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G.(2008). Content knowledgeforteaching:Whatmakesitspecial?Journalof TeacherEducation,59(5),p.389–407. 300 ReportesdeInvestigación Chevallard, Y. (1999). l’analyse des pratiques enseignantes em théorie anthropologique du didactique. Recherches em didactique des Mathématiques. Grenoble: La Pensée Sauvage‐Éditions,v.19.2,p.221‐265. Chevallard, Yves. (2009). La TAD face auprofesseur de mathématiques, Toulouse.http://yves.chevallard.free.fr. Acessadoem02deout.2013. Silva, I.M., Silva, G. C. C. (2013). Trasacionalidade da Análise CombinatóriaàluzdaTAD.ColeçãoEducaçãoMatemática naAmazônia–SBEM‐PA/UNAMA.V.6,Ed.III,Belém‐PA‐ Brasil,p.50. PIBIDMATEMÁTICANAUPF:AVALIANDO ASAÇÕESDESENVOLVIDASNOPERÍODO 2010‐2012 ScheilaMontellidosSantos Brasil [email protected] SandraMaraMarasini UniversidadedePassoFundo–UPF/Brasil [email protected] Resumo Objetivando investigar as ações desenvolvidas no PIBID/CAPES, na Universidade de Passo Fundo, no período 2010‐2012, com a finalidade de avaliar o subprojeto PIBID Matemática e sugerir melhorias para próximos editais. O estudo teve como base as concepções dos professores de matemática da educação básica, bolsistas do Programa, acadêmicos bolsistas e professores do curso de Licenciatura em Matemática da UPF. Os dados para a pesquisa qualitativa foram obtidos pela aplicação de questionário, cuja análise os dividiu em categorias quanto à formação docente, o processo 301 ReportesdeInvestigación ensinoaprendizagemdaMatemáticaecontribuiçõesdoPIBID para a formação docente dos bolsistas. A análise, baseada em autores como Fiorentini e Lorenzato (2006), Haydt (2006), Machado(2002),Pozo(2002)eTardif(2002),mostrouqueo grupo que mais percebe contribuições do Programa é dos acadêmicos bolsistas, mas todos se beneficiam em níveis distintos. Os resultados, identificam ações que demonstram maior potencial na educação básica, tais como, elaboração de sequenciasdidáticasqueenvolvaminvestigaçõesmatemáticas, materiaisejogospedagógicos. Palavras‐chave: Formação docente. Matemática. PIBID. Introdução A preocupação com a formação docente e a prática do professoremsaladeaulaéumdosfocosprincipaisdaáreada EducaçãoMatemática,ecomoconsequência,surgeademanda deumaaprendizagemconstanteediversa,oquesegundoPozo (2002), requer do professor, sólida formação docente em relaçãoaosfundamentos matemáticos eaosaspectosteórico‐ metodológicosparaaEducaçãoBásica. Nessa perspectiva, surge no Brasil, pelo Plano de DesenvolvimentodaEducação(PDE),oProgramaInstitucional de Bolsade Iniciaçãoa Docência (PIBID), coma finalidade de aproximar acadêmicos de Licenciaturas do seu campo de atuação. Na Universidade de Passo Fundo (UPF), o Programa, iniciou em junho de 2010, com cinco Licenciaturas, e dentre elasoCursodeLicenciaturaemMatemática. Nessetexto,seráapresentadapartedapesquisaqueobjetivou avaliar as ações desenvolvidas no PIBID/CAPES/UPF, na área da Matemática, no período 2010‐2012, com o propósito de identificar ações que qualifiquem a docência e que possam sugerirmudançasqualitativasparaospróximoseditais. OensinodamatemáticaeoPIBIDnaUPF Falar do processo de ensino e aprendizagem matemática, implica falar de alguém que ensina, de alguém que aprende e 302 ReportesdeInvestigación do conhecimento matemático, e isso nos remete ao papel do professorcomoorientadoremediadordoconhecimento.Com essa preocupação, na década de 1970, no Brasil, surge a Educação Matemática, que segundo, Fiorentini e Lorenzato (2006), visa a melhoria da qualidade do ensino e da aprendizagem matemática, e busca o desenvolvimento da EducaçãoMatemáticacomocampodepesquisaeproduçãode conhecimento. Desde então, estudos buscam conhecer o docente e o seu desenvolvimento profissional. Um deles, revelou a preocupação com o expressivo número de professores que deixam a docência e os altos índices de reprovação dos alunos da Educação Básica. Diante desse quadro, o Governo Brasileiro, decide promover ações que mudem esses índices, por ser a educação o indicativo de desenvolvimentodeumpaís.UmadestasaçõeséoPIBID,cujo projeto institucional, no edital 18/2010/CAPES, está dividido emquatroeixosdeatuação. O primeiro eixo, o da contextualização do ambiente escolar e daEducaçãoBásica,realizaestudosdedocumentosqueregem oespaçoescolareestudosdeembasamentoteóricoacercada Educação Matemática, pesquisa educacional e assuntos relativos à escola e ao ensino da matemática nas escolas brasileiras.Comosíntesedesseeixofoifeitaumainvestigação, pormeiodeumquestionáriosócio‐econômico‐cultural,coma finalidade de conhecer a realidade dos alunos, do ensino de matemáticanaescolaeseusprofessores.Nosegundoeixo,oda investigação das práticas de ensino‐aprendizagem, foi feita análise dos questionários, com ênfase na aprendizagem matemática dos alunos. Paralelamente, foram realizadas observações em sala de aula, na qual cada acadêmico adotou umaturmaevivenciou“inloco”oambientedesaladeaula.O terceiro eixo, o das ações/inovações pedagógicas, possibilitou a elaboração, desenvolvimento e avaliação de intervenções pedagógicasnasescolasnaformadeoficinaspedagógicas20.As oficinas, resultado das investigações e observações das aulas, 20 Oficinas pedagógicas são espaços de aprendizagem semelhantes a talleres peruano. 303 ReportesdeInvestigación foram desenvolvidas pelos acadêmicos bolsistas do PIBID/Matemática, acompanhados dos professores supervisores de cada escola. Nessa fase, houve a produção e exploraçãodemateriaisdidáticosparautilizaçãonasoficinas. Finalmente, o quarto eixo, o da integração, sistematização, avaliaçãoedifusãodosresultadosdoprocesso,acontecedesde oprimeirosemestredoprojetonaUPF. O subprojeto PIBID/Matemática, conta com vinte acadêmicos bolsistas,quatroprofessoressupervisoresdaEducaçãoBásica do município de Passo Fundo/RS e um coordenador de área (professordalicenciaturanaUPF),eaopçãoédesenvolveras ações do projeto institucional em séries finais do Ensino FundamentaledoEnsinoMédio. Oprocessodepesquisa A avaliação acerca das ações desenvolvidas pelo PIBID/Matemática, no período de 2010 e 2012, foi realizada por meio de pesquisa de cunho qualitativo, porque buscou, através da análise das concepções dos sujeitos da pesquisa, verificar quais as contribuições desse programa para a formação docente, e quais ações desenvolvidas no programa tiverammaiorretornoparaaEducaçãoMatemáticalocal. Avaliar a validade ou não do programa, exige estudo sobre o processo vivenciado pelos bolsistas do programa, suas expectativas e realizações em relação à formação docente, os quais,nãopodemseravaliadosdopontodevistaquantitativo, masqualitativamente,porque,essaanálise,segundoFiorentini e Lorenzato (2006), busca compreender a visão dos sujeitos emrelaçãoaoproblemadepesquisa,numprocessodetalhado do conteúdo que considere “palavras utilizadas nas respostas, as idéias ou opiniões expressas e as interpretações e justificativasapresentadas”.(p.137,grifodosautores). A pesquisa foi desenvolvida em três etapas: pesquisa bibliográfica,pesquisadecampoeanálisecomparativadessas comoreferencialteórico.Ossujeitosinformantesdapesquisa são bolsistas do programa PIBID/UPF/Matemática, desde 304 ReportesdeInvestigación agosto de 2010, e que vivenciaram os quatro eixos do programa. Participaram da pesquisa, três professores de matemática da rede estadual de ensino, os três do sexo feminino,domunicípiodePassoFundoedozeacadêmicosdo curso de Licenciatura em Matemática, da UPF. Além desses, seis professores do Curso de Licenciatura em Matemática, docentesdosacadêmicosbolsistasnesseperíodo. Para preservar a identidade dos sujeitos, nas análises as professoras supervisoras foram identificadas como S1, S2 e S3. Os acadêmicos, pela letra “A”, maiúscula, inicial da palavra “acadêmico”, acompanhada do algarismo 1 a 12, na ordem alfabética dos nomes, e os professores da UPF, pela letra “P”, maiúscula, inicial da palavra “professor”, acompanhada do algarismo1a6,naordemalfabéticadosnomes. As questões do questionário eram do tipo questões abertas, para que os sujeitos pudessem responder sem indução de resposta do pesquisador. Na análise, elas foram divididas em três categorias que permitiram conhecer os sujeitos quanto à formação docente, suas visões em relação ao processo ensino aprendizagem da Matemática e contribuições do Programa PIBID para a formação docente de seus bolsistas. A coleta de informação,napesquisaqualitativa,segundoBrandão(2002), pode ser por questionários e entrevistas e esses “precisam ancorar‐seemcategorias:quandobemdefinidos,assegurama consistênciadosdadosepotencializamadensidadedaanálise einterpretaçãodosmesmos”(p.39). Resultadoparcialdaanáliserealizada Em relação a ser professor na atualidade, a maioria dos acadêmicosclassificouapráticadocentecomoumdesafio.Os professores formadores, ressaltaram que ser professor, não é somentechegaremsaladeaulaerepassaroconteúdoparaos alunos,masprecisa[...]alémdetermosconhecimentosdaárea matemática, devemos ter habilidades de mediação, gestão, relaçõesinterpessoais,entreoutras(P3).Quantoàimportância daformaçãodocente,sejaelaemníveldeformaçãoinicialou formação continuada, todos os acadêmicos, consideram a 305 ReportesdeInvestigación formação docente essencial para a prática em sala de aula, desdeque,sejafundamentadateoricamente,alémdodomínio deconteúdo. Sobre os conhecimentos necessários para a prática docente, estudados na graduação, os acadêmicos bolsistas indicam conceitos fundamentais da Matemática, conhecimentos que permitam a reflexão sobre o ambiente escolar e sobre a postura do educador matemático e de metodologias que potencializem a aprendizagem matemática. Na análise, constatou‐sequeasrespostasdosacadêmicos,estavabaseada nosconhecimentosobtidospelasaçõesvivenciadasporelesno PIBID. Isso revela uma das vantagens de ser bolsista PIBID enquantoformaçãoinicial. Para os supervisores, a formação docente é importante para que o profissional, não só aprenda os saberes básicos e necessários para a prática educativa, mas possa avaliar e redimensionarsuaprática.Quantoaosconhecimentosbásicos para o início da carreira docente, as supervisoras, indicam o domínio dosconceitos daEducação Básica, e o contato coma escolaantesdarealizaçãodoestágiosupervisionado. Para os professores formadores, a formação inicial é fundamental,poisénessafasequeéconstituídaabaseparaa prática pedagógica, por meio de embasamento teórico e metodológico, essenciais para a formação de um profissional competente.Dentreosconhecimentosnecessários,indicamde matemática, de metodologias, de didática da matemática, de relaçõeshumanasedosdocumentosdoespaçoescolar. EssaideiaécompartilhadaporTardif(2002),aodefenderque a prática docente envolve “um saber plural, formado pelo amálgama, mais ou menos coerente, de saberes oriundos da formaçãoprofissionaledesaberesdisciplinares,curricularese experienciais”. (p.36). Haydt (2006), ainda diz que, no “processodeconstruçãodoconhecimento,ovalorpedagógico dainteraçãohumanaéaindamaisevidente”(p.57). Nasegundacategoriadeanálise,sobreopapeldoprofessorno atualcontextoeducacional,paraosacadêmicosesupervisores, 306 ReportesdeInvestigación éodemediador,deorientador,aquelequefazaponteentreo sabermatemáticoeoaluno.Umacadêmico,afirmaque“nosso papel é ensinar, sempre foi este, porém as formas e metodologias de ensino variam de acordo com a turma, a escolaeacomunidade”(A6).Paraassupervisoras,tambéméo de proporcionar ao aluno o desenvolvimento de capacidades necessárias para poder atuar como cidadão, por meio da disciplinaMatemática.Nessacategoria,asrespostas,mostram preocupação com a aprendizagem dos alunos, e destacam o papel do profesor para o sucesso disso. Outras respostas destacamanecessidadedeatualizaçãoconstantedoprofessor, conhecimento dos alunos e da comunidade escolar. Entre os acadêmicos,aideiadeoprofessorserresponsávelemformar cidadão críticos e autônomos emerge naturalmente. E, para isso, Machado (2002), chama a atenção dizendo que, “o que resta de mais valioso, o que permanece depois que o tempo apaga da memória os conteúdos/pretextos [...]são as competênciaspessoais,desenvolvidastacitamentepormeiode disciplinas.(p.153). Finalmente, as contribuições do PIBID/Matemática para a formação docente dos seus bolsistas, como terceira categoria, são percebidas por todos os acadêmicos, as quais, vão da possibilidade de vivenciar a sala de aula, antes de realizar os estágios curriculares à possibilidade de visualizar a relação teoria e prática quanto ao conhecimento matemático e a sala de aula. Outra contribuição, para eles, está nafundamentação teórica construída pelos seminários. Essa, também é uma das contribuições destacada pelos supervisores, associada à atualizaçãodapráticadoprofessor.Ascontribuiçõesindicadas pelos dois grupos coincidem com as características de um professor ideal, defendido por Tardif (2002), quando diz ser “[...] alguém que deve conhecer sua matéria, sua disciplina e seuprograma,alémdepossuircertosconhecimentosrelativos àsciênciasdaeducaçãoeàpedagogiaedesenvolverumsaber prático baseado em sua experiência cotidiana com os alunos” (p.39). 307 ReportesdeInvestigación Conclusões Considerando que a pesquisa objetivava avaliar o subprojeto PIBID/Matemática e sugerir elementos que qualifiquem o próprio programa, a análise das concepções dos diferentes grupos de sujeitos, sugerem que todas as ações contribuem para a formação inicial de acadêmicos e para a formação continuadadeprofessoresdaEducaçãoBásica.Dentreasações desenvolvidas, a que demonstrou maior potencial foram as oficinaspedagógicas. O grupo que mais percebe contribuições é a dos acadêmicos bolsistas. Outro aspecto importante está na atualização e aquisiçãodemateriaispedagógicosadiquiridosouelaborados pelos acadêmicos bolsistas, utilizados nas intervenções realizadasnasescolaspeloPIBID/Matemática. Em relação ao curso deformação, os professores formadores, percebem contribuições ao identificarem carcaterísticas semelhantesemacadêmicosbolsistas,aexemplodeautonomia de atitudes e ideias, iniciativa de busca e persistência nas atividadesdeestudo. Em relação a continuidade do Programa PIBID/Matemática, combasenoestudorealizado,todasasaçõesdesenvolvidasse constituíram em potencialidades para a formação docente. Sendo assim, é possível afirmar que o projeto na área de Matemática,mostrou‐sesuficienteparaosfinsparaoqualfoi planejado. Referências Brandão,Z.(2002).Pesquisaemeducação:conversascompós‐ graduandos.SãoPaulo:Loyola. Fiorentini, D.; Lorenzato, S. (2006). Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas:AutoresAssociados. Haydt,R.C.C.(2006).CursodeDidáticaGeral.8ª.ed.SãoPaulo: Ática. 308 ReportesdeInvestigación Machado, N. J. (2002). Sobre a idéia de competência. In: PERRENOUDetal.Ascompetênciasparaensinarnoséculo XXI: a formação dos professores e o desafio da avaliação. Tradução de Cláudia Schilling e Fátima Murad. Porto Alegre:Artmed,137‐155. Pozo,J.I.;Mortiner,E.F.(Rev.).(2008).Aprendizesemestres:a nova cultura da aprendizagem. Trad. de Ernani Rosa. PortoAlegre:Artmed,22‐66. Tardif, Maurice. (2012). Saberes docentes e formação profissional.Petrópolis,RJ:Vozes. ESTUDIODELASEMEJANZADE TRIÁNGULOSMEDIADAPOREL GEOGEBRA LuisAlbertoMasgoLara, JesúsFloresSalazar PontificiaUniversidadCatólicadelPerú MaestríaenEnseñanzadelasMatemáticas InstitutodeInvestigaciónsobreEnseñanzadelasMatemáticas–IREM [email protected], [email protected] Resumen El presente reporte de investigación muestra un avance de la tesisdemaestríadelprimerautor.Enesteavanceproponemos dos actividades y problemas del cotidiano, mediados por el Geogebraqueauxilianalosestudiantesde4todesecundaria (14 y 15 años) en su aprendizaje de las propiedades de la semejanza de triángulos. Para la concepción y análisis de las actividades utilizamos como base teórica la dialéctica Herramienta‐Objeto de Douady (1986) y nos centraremos en descubrir las condiciones básicas de la semejanza de triángulos–fasedebúsqueda–porserelpuntoneurálgicode dicho concepto. Tomamos como método de investigación a la 309 ReportesdeInvestigación Ingeniería Didáctica de Artigue (1995). Esperamos validar el supuestoqueesposible,pormediodeactividadesyproblemas utilizando tanto lápiz y papel y el Geogebra, optimizar el aprendizajedelconceptodesemejanzadetriángulos,debidoa que los estudiantes son capaces de formular las propiedades básicasdesemejanzaalmovilizarsusconocimientosprevios. Palabras clave: problemáticas. Semejanza, Geogebra, situaciones ElProblemadeInvestigación En el presente reporte de investigación,proponemosabordar con el Geogebra problemas del tema de semejanza de triángulosperocentrándonosenlospostuladosquejustifican dichasemejanza, perosin dejar de ladoel lápiz y el papel, de manera que el Geogebra sea un buen complemento para la resolucióndediversosproblemas. El tema de investigación fue elegido a partir de nuestra experiencia docente en la enseñanza del concepto de semejanza de triángulos a estudiantes entre 14 y 15 años de edadde4toañodesecundariadeEducaciónBásicaRegular.El concepto de semejanza es tratado en tercero y cuarto de secundaria y forma parte de la componente Geometría y Medida del área de matemática, sin embargo se inicia desde primaria con la enseñanza de la proporcionalidad directa, tal comoloseñalaelDiseñoCurricularNacional(DCN2009).Este concepto involucra temas como la proporcionalidad directa, regla de tres simple, fracciones, porcentajes y congruencia de triángulos y a su vez sirve de base para otros conceptos de geometría como las relaciones métricas en el triángulo (rectángulos y oblicuángulos), relaciones métricas en la circunferencia, relaciones de áreas y volúmenes de figuras semejantes,lahomoteciaetc. Pensamos que el uso del dinamismo del software Geogebra permitirá comprender las propiedades de la semejanza de triángulosydescubrirlascondicionesbásicasquedebentener dos triángulos para que estos sean considerados semejantes, 310 ReportesdeInvestigación estogracias,alarrastreylosdeslizadoresconlasquecuentael programa. Investigaciones en el área de matemáticas como el de Gutiérrez, (2010), sobre los niveles de pensamiento alcanzados en situaciones didácticas relativas al concepto de semejanzade triángulos haciendo uso del Geogebra, concluye queelusodelatecnologíamotivaalosestudiantesylosobliga a hacer uso de diferentes estrategias con las que tiene que enfrentar nuevos retos provocando una nueva forma de aprender,saliendodelarutinadelapizarraylosplumones. Esta investigación y la de Salazar et al. (2013) evidencian la importancia del uso del software de geometría dinámica, por ello buscamos en nuestra investigación, que el Geogebra se acople al sistema tradicional del uso de lápiz y papel para facilitar el aprendizaje de las propiedades inmersas en la semejanza de triángulos, interiorizarlas y aplicarlas luego en uncontextoreal. EnesteartículotomamoslosaportesdeDouady(1986)consu teoríaladialécticaHerramienta‐objetoycomometodologíade investigación a la Ingeniería Didáctica de Artigue (1995), que acontinuacióndescribimos. AspectosdelaDialécticaHerramienta–Objeto La dialéctica herramienta‐objeto permite en las actividades propuestasporelprofesorquelasnocionesdelosestudiantes de un concepto matemático puedan ser abordadas, modificadas y trabajadas derivando en nuevos conceptos que son a su vez susceptibles de ser abordados, modificados, trabajados y generalizados proporcionando así un proceso cíclico. El profesor debe proponer en sus actividades situacionesqueincentivenalestudianteatenerqueanalizarel conceptoendiferentesrepresentacionesocuadros(numérico, el gráfico, el algebraico, entre otros). De acuerdo con la investigadora,uncambiodecuadroeselpasodeuncuadroa otroparaobtenerdiferentesformulacionesdeunproblema,es decirotraformadepercibirelproblema.Elfuncionamientode 311 ReportesdeInvestigación esta teoría dialéctica herramienta‐objeto esta caracterizada por la organización esquemática en base a fases para la presentación de un concepto. A continuación mostramos las fasesparalasemejanzadetriángulos: Fase 1: Antiguo: El problema presentado debe movilizar este conocimiento“antiguo”delosestudiantesparaelaprendizaje delasemejanzadetriángulos. Fase 2: Búsqueda: Los estudiantes al enfrentarse a los problemas propuestos entraran en conflicto o en resonancia con sus conocimientos antiguas al resolver un problema. En estafaseelusodeunjuegodecuadrosdesempeñaelpapelde motor en el desarrollo de esa dialéctica ya que favorece la ampliación de los conocimientos antiguos de los estudiantes paraproducirunconceptonuevo. Fase 3: Explicitación: En esta fase el saber del estudiante es contextualizado pero ya no es personalizado, aparece la opinión de otros estudiantes y la guía oportuna del docente que permite que los estudiantes puedan resolver los problemas propuestos de manera que en esta fase el docente controlalavalidezdeproduccióndelosestudiantes. Fase 4: Institucionalización: En esta fase el concepto es descontextualizado y el saber de los estudiantes es despersonalizado mientras que el docente institucionaliza los objetos matemáticos nuevos que en nuestro caso es los criteriosdesemejanzadetriángulos,presentándolosdeforma organizada y estructurada con definiciones, teoremas, demostraciones, dándole el estatus de conocimiento reconocidoporlacomunidadcientífica(objetomatemático). Fase 5: Familiarización: Se muestran diversos problemas destinados a provocar el funcionamiento como instrumentos. Esos problemas simples o complejos sólo ponen en juego lo conocido. Es decir, se utiliza el nuevo concepto como herramientapararesolverunasituaciónnueva. Fase 6:Reutilización: Se utiliza el conceptocomo herramienta enunasituaciónmáscompleja,perodondeseponenenjuego 312 ReportesdeInvestigación los criterios de semejanza de triángulos con otros conceptos matemáticos. Por lo expresado anteriormente podemos decir queDouady(1986)presentaentonces,unanuevaorganización paralaconstruccióndelosconceptosmatemáticos. IngenieríaDidáctica LaingenieríadidácticadeArtigue(1995),secaracterizaporun esquema experimental basado en las resoluciones de situaciones problemáticas en clase, es decir sobre la concepción, realización, observación y análisis de secuencias deenseñanza;asimismo,estábasadaenlaconfrontaciónentre lo que se planificó y lo que realmente sucedió en clase. El término de Ingeniería Didáctica se utiliza en didáctica de las matemáticas con una doble función: 1) Como metodología de investigación y 2) Como producciones de situaciones de enseñanza y aprendizaje. Es oportuno aclarar que en nuestra metodología, la parte experimental de la Ingeniería Didáctica estáorientadaalasobservacionesyanálisisdesecuenciasde aprendizajeenelauladelasemejanzadetriángulosteniendo como mediador al GEOGEBRA. En nuestro trabajo de investigación (tesis), se ha realizado cada uno de estas fases, pero para este trabajo solo analizaremos el trabajo de Alexandra en dos preguntas en base a la confrontación de un análisisaprioriyaposteriori. MetodologíaEmpleada En esta experiencia participaron 6 estudiantes de 4to de secundaria (14‐15 años) y pertenecen a un colegio del cono norte, situado en el distrito de Los Olivos, departamento de Lima,sinembargosóloanalizaremoseltrabajodeunodeellos aquiéndenominaremosAlexandra.Laexperienciatotalpara el aprendizaje del concepto de semejanza de triángulos fue estructurada de la siguiente manera: se les proporcionó a los estudiantes cinco actividades organizadas cada una en una ficha de trabajo; las cuales fueron desarrolladas en cinco sesionesdeclase(unaactividadporsesión).Cadaunadeestas actividades consta de problemas que permiten que los 313 ReportesdeInvestigación estudiantes vayan aprendiendo los diferentes aspectos del conceptosemejanzadetriángulos,entreellosloscriteriosque debentenerdostriángulosparaqueestosseansemejantes;La segundaactividad,motivodeestainvestigación,fuepreparada para que los estudiantes construyan conceptos como el teoremadeproporcionalidad,loscriteriosdesemejanzaentre dos polígonos y los criterios de semejanza entre dos triángulos; y es en este último aspecto que nosotros haremos el análisis en esta investigación. De acuerdo con la teoría Herramienta‐Objeto corresponde a la fase de búsqueda y explicitación; Las otras actividades, fueron preparadas para activar conocimientos antiguos a la semejanza de triángulos, institucionalizaresteconceptodesemejanzayluegoutilizarlo como herramienta para la solución de problemas de la vida cotidiana. A continuación mostramos la pregunta 5, desarrollada por la estudiante a quién denominamos Alexandra. 5. Si de un triángulo ABC se conoce las medidas de los tres lados del triángulo , y la razón de proporcionalidad con sus lados homólogos , ¿Es suficienteparaconstruirsiempreuntriángulosemejanteal triánguloABC? Construir este triángulo A partir de este triángulo B1 B a c A b ak ck C A1 bk C1 Abre el archivo SEM‐ACT2‐PREG5 y encontrarás un triángulo ABC y tres segmentos , , con las medidas de sus longitudes.ActivelaanimaciónaB1yB2¿Esposibleentonces, construir un triángulo DEF con las mismas medidas que el triángulo ABC? _______. Desactive las animaciones y activa 314 ReportesdeInvestigación rastro del Geogebra y manipule a E1 y E2 de tal manera que coincidanparaformareltriánguloDEF.Completelastablas: ÁNGULOS TRIÁNGULOABC ∠ ∠ TRIANGULODEF ∠ ∠ ∠ ∠ LADOS TRIÁNGULOABC TRIANGULODEF F ¿LostriángulosABCyDEFsoncongruentes?________¿Porqué? ______________. Movilice k del deslizador y ubíquelo en k=2 y complete las tablas anteriores nuevamente. ¿Los triángulos ABC y DEF son semejantes? ________ ¿Por qué? _____________. Movilizakdeldeslizador,entonces¿LostriángulosABCyDEF siguensiendosemejantes?,_________¿Porqué?___________ AnálisisAPriori Los estudiantes a partir del archivo SEM‐ACT2‐PREG5 que nosotros les proporcionamos, deben ser capaces de ser capaces de contestar las preguntas formuladas sin mayor dificultad; es así que ante la pregunta ¿Es posible entonces, construir un triángulo DEF con las mismas medidas que el triángulo ABC?, la respuesta de ellos debe ser SI. Luego los estudiantesdebendesactivarlasanimacionesyeliconoactiva rastro del Geogebra, para manipular los puntos E1 y E2 y lograrformareltriánguloDEF.Enseguidahaciendousodelos iconos medida de segmentos y ángulos que proporciona el Geogebra deben completar las tablas con los siguientes valores: 315 ReportesdeInvestigación ÁNGULOS TRIÁNGULOABC ∠ 71.57° ∠ 63.43° TRIANGULODEF ∠ 45° ∠ 71.57° ∠ 63.43° ∠ 45° LADOS TRIÁNGULOABC 3,16 4,24 TRIANGULODEF 3,16 4 F 4,24 4 DE/AB=1EF/BC=1DF/AC=1 Antelapregunta¿LostriángulosABCyDEFsoncongruentes?, deben contestar que SI, ¿Por qué?, ellos deben manifestar es porque poseen las mismas medidas angulares y sus lados tambiénsoniguales. Luegodebenmovilizarkdeldeslizadoryubicarloenk=2para completarlastablasconlossiguientesvalores: ÁNGULOS TRIÁNGULOABC ∠ 71.57° ∠ 63.43° TRIANGULODEF ∠ 45° ∠ 71.57° ∠ 63.43° ∠ 45° LADOS TRIÁNGULOABC 3,16 4,24 TRIANGULODEF 4 6,32 F 8,48 DE/AB=2EF/BC=2DF/AC=2 316 8 ReportesdeInvestigación Ante la pregunta ¿Los triángulos ABC y DEF son semejantes?, losestudiantesdebenresponderqueSi¿Porqué?,porquelas medidasdesusángulosinterioressonigualesysusladosson proporcionalesconrazóniguala2. Almovilizarkdeldeslizadoryantelapregunta¿Lostriángulos ABC y DEF siguen siendo semejantes?, la respuesta es SI ¿Por qué?,porquesusángulossiguensiendoigualesysemantiene laproporcionalidadentresuslados. AnálisisAPosteriori AcontinuacióneltrabajorealizadoporAlexandra. 317 ReportesdeInvestigación 318 ReportesdeInvestigación DescripcióndeltrabajodeAlexandra Alexandra encuentra que los triángulos DEF y ABC son iguales, pero su justificación esta dada por el uso de la razón de proporcionalidad, ya que no menciona que las medidas de los ángulos de ambos triángulos son iguales. Luegoalmovilizareldeslizadorencuentraquelosnuevos triángulos son semejantes porque poseen las mismas medidasangularesysusladossonproporcionales. Este problema reforzó lo que los estudiantes habían encontrado en los ítems anteriores 1, 2 y 3 con respecto al teorema de proporcionalidad y los polígonos semejantes. Asimismo, encuentra otro criterio de la semejanza de triángulos (caso LLL), diferente al que encontró en el item 4 (caso AAA). La información sobre lo desarrollado por los estudiantes en estos ítems 1, 2, 3 y 4 no forma parte de este trabajo,perosiseencuentraennuestrotrabajodetesis. De acuerdo con la teoría herramienta‐objeto esta pregunta corresponde a la fase de búsqueda en donde el cambio de cuadro es fundamental y en donde los estudiantes forman su propio conocimiento de manera que este saber es contextualizado y personalizado. De lo anterior, podemos asegurar que estamos en una institucionalización local del segundocriteriodesemejanzadetriángulos(casoLLL). Por otro lado se comprueba que la geometría dinámica proporciona a los estudiantes una herramienta mediante el cual pueden hacer conjeturas y corroborarlas. En esta pregunta el cambio de cuadro geométrico estático al cuadro geométrico dinámico facilita el aprendizaje del concepto en estudio porque gracias a la capacidad del Geogebra de arrastrarobjetosymoverlosasícomoelusodelosiconosde medida de distancias y de ángulos facilita no sólo la visualización del problema sino que analiza varias casos particularesyenconsecuenciasepuedegeneralizar. 319 ReportesdeInvestigación Para una mejor comprensión de nuestro trabajo, queremos señalar que esta pregunta 5 analizada, corresponde a la segunda actividad de nuestra tesis, que consta de dos preguntas más. La pregunta 6 pretende institucionalizar localmenteeltercercriteriodesemejanza(LAL)ylapregunta 7analizaruncasoendondeconocidodosángulosigualesyun lado proporcional se compruebe que no es suficiente para asegurarquedostriángulossonsemejantes. Por lo dicho anteriormente, al terminar con esta actividad 2, tresdelosseisestudianteshansidocapacesdeformularasu manera: el teorema de proporcionalidad, las condiciones de semejanza de polígonos y las condiciones de semejanza entre dostriángulos,merefieroaloscasos(AAA,LLLyLAL),siendo elsegundocaso,elanalizadoenestetrabajo. AlgunasReflexiones EnestetrabajodeinvestigaciónseanalizóelusodelGeogebra comounaherramientaparaelaprendizajedeloscriteriosque deben tener dostriángulospara que estos seansemejantes, y porotroladoparaconoceraquefasellegaronlosestudiantes al desarrollar la actividad así como el uso de los cambios de cuadroparalaresolucióndeproblemas,todoestoenbuscade disminuir las dificultades por aprender el concepto de semejanza de triángulos en los estudiantes de 4to año de Educación secundaria (entre 14 y 15 años) del sistema educativoperuano. Creemos que fue pertinente el uso de la teoría herramienta‐ objetoyusodecuadrosdeDouady(1986)comomarcoteórico en nuestra investigación, porque nos ayudo a analizar la interacción entre los estudiantes así como el proceso de construccióndelconceptodesemejanzadetriángulosenbase a las fases que la investigadora propone. Creemos que las fases: antigua y búsqueda del concepto de semejanza se ha logradoaun75%. Porotroladoserevaloralaparticipacióndelestudianteydel docente, el primero en la construcción del conocimiento pues 320 ReportesdeInvestigación pasa a una etapa activa, incentivándolo a recurrir a conocimientosantiguosparaconstruirotrosnuevos,formular hipótesis y proponer soluciones a los problemas planteados ayudadosporlanuevaperspectivadinámicaqueproporciona el Geogebra; y el segundo, convirtiéndolo en un facilitador y participandoenelmomentoprecisoparaayudaralestudiante ensuprocesodeconstruccióndelconcepto. Finalmente,resaltamosqueelGeogebrafacilitaelaprendizaje deloscriteriosdelasemejanzadetriángulosporquelogramos que los estudiantes comprendan que dos triángulos son semejantessiposeenciertascaracterísticas,comotresángulos iguales,tresladosproporcionales,etc. Referencias Artigue, M. &Douady, R & Moreno, L (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. Colombia: Grupo EditorialIberoamericana. Douady, R. (1986). Jeux de cadres et dialectiqueoutil‐objet. RecherchesenDidactiquedesMathématiques.7(2),5‐31. Douady,R.(2003).EnseñanzadeladialécticaHERRAMIENTA‐ OBJETO y de los JUEGOS DE CUADROS en formación matemáticadeprofesoresdeescuela.Laenseñanzadelas matemáticasparaalumnosde2a12años:Herramientas paralaformacióndeprofesoresenFrancia.pp.323‐334. Gutierrez, W.(2009). Niveles de pensamiento alcanzados en situaciones didácticas relativas al concepto de semejanza detriánguloshaciendousodelageometríadinámica.Tesis de maestría en la Enseñanza de las Matemáticas. Lima: PontificiaUniversidadCatólicadelPerú,Perú. Perú, Ministerio de Educación (2009), Diseño Curricular Nacional de la educación Básica Regular. Lima. Recuperadodehttp:/www.minedu.gob.pe/. 321 ReportesdeInvestigación Salazar, J.V.F. y Chumpitaz, L.D. (2013). Génesis instrumental: unestudiodelprocesodeinstrumentalizacióndelafunción definida por tramos. VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática.Uruguay: VII CIBEM, pp. 7165 ‐ 71611. COMUNIDADESVIRTUAISDE PROFESSORESDEMATEMÁTICA: POTENCIALIDADESEPRÁTICAS JoserleneLimaPinheiro, MarciliaChagasBarreto UniversidadeEstadualdoCeará [email protected], [email protected] Resumo Crescem as Comunidades Virtuais (CV) compostas por professores de Matemática para de troca de informação, relatos de experiência e reflexões sobre práticas docentes. Nesta perspectiva elas configuram‐se como Comunidades Virtuais de Aprendizagem (CVA). A presente pesquisa possui caráter qualitativo e apresenta achados de observação não participante.Oobjetivodestetrabalhoéexplicitarpráticasde professoresdeMatemáticaemCV/CVA.Observou‐sequeestas comunidades favorecem a interação e colaboração entre os sujeitos e permitem construir conhecimentos sobre temas específicos de forma colaborativa e não hierárquica. Entretanto, a reprodução de práticas acadêmicas/escolares subutilizam este potencial. Poucos sujeitos se favorecem das interfaces síncronas e assíncronas de comunicação e da multiplicidade de mídias e linguagens que potencializam formas de sociabilidade, processos educacionais e formativos baseadoseminteratividadeehipertextualidade.Emboraestas iniciativas denotem possibilidades tanto do ponto de vista 322 ReportesdeInvestigación cognitivo como profissional, as práticas de ensino e aprendizagemeaformaçãodeprofessoresdeMatemáticaem CV/CVAaindaapresentamdiversosaspectosnãoexploradose quemerecemmaioratençãodacomunidadeacadêmica. Palavras‐chave: Comunidades Virtuais, Professores de Matemática,Culturadocente Introdução O presente trabalho trata‐se de um recorte da pesquisa de dissertação em andamento, realizada pelo autor principal deste artigo, sob orientação de sua coautora. A presente pesquisa possui caráter qualitativo e apresenta achados de observação não participante realizada sobre Comunidades Virtuais no intuito de estabelecer uma primeira aproximação comocampometodológicotomadoparaodesenvolvimentoda pesquisadecampo.Portanto,apresentaaanalisedasrelações queossujeitosestabelecemnessecontextoparadimensionaro quanto as mesmas podem efetivamente contribuir com a implementação de Comunidades Virtuais de Aprendizagem. Nestas,compreende‐seque,alémdasociabilidadeeafirmação de grupos profissionais, há um favorecimento às mudanças qualitativasnapráticadocentedossujeitosenvovidos. Estas considerações são ainda mais relevantes, devido a aspectosquemarcamaculturadosprofessoresqueministram essa disciplina. Segundo Costa (2004), Mariano (2008) e Tractenberg (2011), a cultura docente exerce grande influência na forma de interação entre colegas e outras relaçõesinterpessoais.Certamente,nãoéfácilparaoprofessor substituirpráticasrealizadascotidianamente,frutodehábitos incorporadosaolongodesuaformaçãoinicialereforçadasna suaatuaçãodocente. Segundo Costa (2004, p.36) o professor de Matemática adota uma postura de isolamento profissional “associada a uma pseudo‐autonomia, pois protegido pelas paredes da sala de aulaepelapseudo‐imponênciadadisciplinaelesesentelivre parareproduzirpráticasmuitasvezesobsoletas,inadequadas”. 323 ReportesdeInvestigación Tractenberg (2011) enfatiza que diferentemente da posição maniqueísta e depreciativa, este individualismo deve ser reconhecido no sentido de dar destaque ao papel das motivações voltadas para interesses próprios de cada indivíduo. Assim, Mariano (2008) considera estratégica a influência que a prática social do professor de Matemática apresenta na cultura escolar na qual ele está inserido e a impressão de aspectos marcantes da sua cultura docente. O trabalho da pesquisadora aponta que apesar da cultura do professor que ensina matemática apresentar traços de individualismo e isolamento profissional, é crescentemente marcadapela“presençadaInternetparabuscaainformações, materiais didáticos e cursos de aperfeiçoamento”. Uma vez que as práticas sociais dos professores que ensinam Matemáticaapresentamrelaçãocomousodessastecnologias, é possível que as mesmas tecnologias possam tornar‐se instrumentos de ensino que melhorem os resultados pedagógicos(Borba&Penteado,2012). Investirnestapossibilidadeparaplanejarecolocaremprática projetos educativos que respondam às necessidades de formações continuadas parece pertinente. Afinal, sujeitos formados com e através de cursos mediados por tecnologias digitais podem, inclusive, caso reconheçam o valor da experiência como significativo, provocar outros agentes escolares a revisar sua forma de entender como se ensina e como aprendem as crianças e jovens de hoje em dia. Neste sentido convém refletir sobre o papel da tecnologia na Educação Matemática enquanto fator mobilizador de práticas docentesapartirdasdemandassubjetivasdessesprofessores. Ademais,mudançasprovocadasnosmodosderelacionarem‐se emrede,marcadamentepeloadventodacibercultura(Bicudo &Rosa,2010;Lévy,1999),apontamquepráticasdeformação emcomunidadesvirtuaispodempromoverumaformaoriginal deformação. 324 ReportesdeInvestigación OquemostramasComunidadesVirtuaisdeprofessoresque ensinamMatemática? Os ambientes virtuais difundidos após a popularização da internet no Brasil oferecem diferentes interfaces para que professores possam interagir. De fato, estes professores já se fazem presentes na internet e utilizam as interfaces lá presentes para favorecer suas práticas de ensino, de acordo comsuasprópriasconcepçõespedagógicas. Para uma percepção de quanto os professores que ensinam Matemática estão inseridos no uso de ambientes virtuais, realizou‐se uma aproximação a algumas comunidades formadas por estes profissionais entre junho/2012 e junho/2013. Percebeu‐se, através de observação não participante, o modo como suas interações ocorrem, a frequência das mesmas e avaliou‐se qual o espaço que se mostra mais favoráveis para o estabelecimento comunidade virtualcomosfinsformativos. Em linhas gerais, destaca‐se o fato que estas comunidades estãodisponíveisparalivreadesãoporpartedosusuáriosda Internet.Alémdecomunidadesformadasapartirdeinterfaces popularmenteconhecidaspor“redessociais”comoéocasodo Facebook,OrkuteLinkedIn,apresentamosalgunsBlogs,Sites e listas dediscussões. Estaopção deve‐se à compreensão que entre estas interfaces encontramos, além do número elevado de sujeitos inscritos, um maior tempo de existência das comunidades(2anosoumais). Destaca‐se, neste sentido as listas de discussões por e‐mails. Na interface da lista de e‐mails do Google Grupos intitulado ProfessoresdeMatemática (https://groups.google.com/forum/#!forum/profmat), encontram‐se mais de 3500 Professores de Matemática associados. São professores de todos os níveis e partes do Brasil, entre licenciados nos cursos de Pedagogia e Matemática. O objetivo declarado deste grupo é melhorar a qualidade do ensino e aprendizagem da disciplina, além de contemplar pesquisas em Educação Matemática. O grupo 325 ReportesdeInvestigación pretende compartilhar notícias sobre concursos, cursos de pós‐graduação, eventos, artigos, livros, etc. Nesta lista, circularam, em média, nos últimos seis meses, 95 (noventa e cinco)mensagens.Amaioriadelas,voltadasparaadivulgação derecursosproduzidosourecomendadospelomoderadorda lista,presençademaiorexpressãonacomunidade. Outra lista de e‐mails que apresenta um fluxo de mensagens intenso(diariamentesãopostadasentre9‐12mensagens)éa da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (http://listas.rc.unesp.br/mailman/listinfo/sbem‐l). Nesta lista de mensagens, circulam e‐mails de teor acadêmico, primordialmentevoltadasparadiscussõespolítico‐ideológicas da organização e das iniciativas por ela apoiadas. Diferentemente, da lista anteriormente citada, a maior preocupação dos sujeitos, captadas das mensagens que trafegam na comunidade é sobre a natureza da formação inicial que é dada aos professores da licenciatura em Matemática e a consolidação da Educação Matemática no campodapesquisaeatuaçãoprofissional. Apesar do fluxo constante de mensagens entre sujeitos com perfil variado e das discussões realizadas, percebe‐se que, quanto ao ensino da Matemática, os exemplos de listas de discussão acima apresentam uma forte separação existente entre o campo profissional e acadêmico nesta área. Embora existam sujeitos que participem de ambas as listas e estabeleçamumricodebate,predominaseparaçãoentrequem pesquisasobreequemensinaMatemática. Porestefato,compreende‐semelhoraproliferaçãodeBlogse sites pessoais desenvolvidos para auxiliar professores em atividades de ensino. A criação de blogs é um expediente simples e rápido mesmo para usuários com pouca familiaridadecomainternet.Estasinterfacesauxiliamoapoio mútuo de professores através do compartilhamento de materiaisvoltadosdiretamenteparaoensinoemsaladeaula. Uma vez que em espaços de discussões como as listas de e‐ mails a maioria das mensagens resume‐se a indicações 326 ReportesdeInvestigación bibliográficas, os professores que procuram por orientações voltadas à prática em sala de aula encontram nos blogs a divulgaçãoeavaliaçãodeferramentasjáutilizadasporoutros professores na superação de desafios. Estes materiais em diversos casos acompanham planos de aula e pequenas descrições sobre o processo de trabalho adotado. Este expediente é bem recebido pelos visitantes das páginas dos blogs,vistoqueamaioriadoscomentáriossobreasentradasé de agradecimentos e mensagens de incentivo a novas postagens. Porseremdeiniciativapessoal,muitosblogsnãoapresentam uma continuidade ou mesmo regularidade de postagens. Isto obriga os usuários a vasculhar constantemente diversas interfacesdestanaturezadeformaaencontrarpostagensque possamatenderproblemasenfrentados.Portanto,osblogsnão oferecem, efetivamente, uma solução com continuidade ou maiores desenvolvimentos a partir de reflexões sobre suas práticas. O blog do professor Edigley Alexandre (www.edigleyalexandre.blogspot.com),criadoem2007,ilustra uma iniciativa com continuidade e que integra diversas áreas ao ensino de Matemática, particularmente o uso de tecnologias.Aestimativadeapenas883usuáriosativosdentre os mais de 1350 inscritos no blog demonstra que iniciativas nesta interface são vistas como soluções rápidas e pontuais, adequadas à proposta de compartilhamento de informações entre alunos e outros professores, com vistas a uma aprendizagem de conteúdos ligados à disciplina. Outro Blog queapresentacontinuidade,funcionandohámaisdedoisanos, foi criado pelos professores Paulo Sérgio C. Lino e Kleber Kilhian. Este blog intitula‐se União dos Blogs de Matemática (http://ubmatematica.blogspot.com.br)eseuobjetoéagregar, compartilharexperiênciasedivulgarosblogsdeMatemática Alémdaslistasdee‐mailseblogs,destaca‐seaexistênciasde sites pessoais voltados para o auxilio de professores que ensinam Matemática. Entretanto, estes são mais fortemente dependentes de apenas uma pessoa para a manutenção dos 327 ReportesdeInvestigación materiaisdisponibilizados.Éimportantedestacarqueembora existam diversos sites pessoaisde professores de Matemática que oferecem apoio a praticas em sala de aula, estes apresentam um maior grau de descontinuidade entre as interfacesanalisadas.Muitossites,alémdenãoacompanharem o ritmo de inovação tecnológica que as linguagens e recursos na internet apresentam, têm endereços desatualizados. Além disso, por serem espaços particulares, muitas vezes integram assuntos que não interessam diretamente à prática dos professoresesãoatualizadosdeformainconstante,deacordo com um interesse casual dos autores. Por estes motivos, os sites pessoais que mais podem auxiliar são aqueles dos membrosativosemoutrasinterfacesque,deformaintegrada, fornecem links para as outras comunidades onde os usuários sãoativoseproduzemconteúdoregularmente,comoéocaso do site dos professores Leo Akio Yokoyama (http://www.leoakio.com) e Edigley Alexandre (http://www.prof‐edigleyalexandre.com). Recentemente, o crescimento dos serviços oferecidos por interfaces como o Facebook (facebook.com) interferem profundamente na constituição desses espaços utilizados por estes professores. De modo crescente, listas de discussões, blogs, sites pessoais, de grupos e empresas estão integrando oumigrandoseusconteúdosaestasinterfaces.Essefenômeno, apesarderecente,faz‐senotardeformacontundente(Em4de outubro de 2012 o Facebook atingiu a marca de 1 bilhão de usuários ativos). Efetivamente a quantidade de grupos e páginas no Facebook implementadas por professores que ensinam matemática cresce acompanhando a adesão dos usuários à interface, originando comunidades de compartilhamento, interconexão e interatividade inéditas quantoàsinterfacesatéentãoutilizadas. Outro tipo de interface que vem ganhando espaço é aquela implementada através de grupos do Linkedin (linkedin.com ‐ Rede profissional, com 225 milhões de usuários até junho de 2013). Enquanto o facebook apresenta uma interface mais 328 ReportesdeInvestigación abertaevoltadapararelaçõespessoais,olinkedindiferencia‐ seporinvestiremrelaçõesprofissionaiseinstitucionais. Além do fato das duas interfaces apresentarem interoperabilidade, seus perfis por um lado mais informal e, por outro, voltado para a formação e desenvolvimento profissionalvemfavorecendodiscussõesmelhorqualificadase voltadas para focos de interesse que contemplam diversos interesses, de modo não hierárquico entre os sujeitos das comunidades. ConsideraçõesFinais AemersãodeComunidadesVirtuaisabertasàspráticassociais no contexto de adesão intensiva dos sujeitos interessados nestas interfaces chama à implementação de ambientes de efetiva aprendizagem. O contexto sociotécnico (Santos, 2005) marcado pelo computador em rede online contempla a expressãosemprecedentesporqueaproduçãocolaborativa,o compartilhamento e socialização de informações e de conhecimentos fogem do modelo da mídia de massa baseado naapresentaçãoenatransmissãoparaoreceptor. Demodogradativoecomplexo,muitosusuáriosqueatépouco tempoeramemissoresdeinformaçãoedesignavamconteúdos relacionados à suas experiências, iniciam um diálogo descentralizado e que pode ser concebido com uma maior horizontalidade. Em outras palavras, os conteúdos das interaçõesassumemcrescentementeumamaiordialogicidade em um fenômeno característico do contexto desenvolvido na Cibercultura. Observou‐se que estas comunidades favorecem a interação e colaboração entre os sujeitos e permitem construir conhecimentossobretemasespecíficosdeformacolaborativa e não hierárquica. Entretanto, a reprodução de práticas acadêmicas/escolares subutilizam este potencial. Poucos sujeitossefavorecemdasinterfacessíncronaseassíncronasde comunicação e da multiplicidade de mídias e linguagens que potencializamformasdesociabilidade,processoseducacionais 329 ReportesdeInvestigación e formativos baseados em interatividade e hipertextualidade. Embora estas iniciativas denotem possibilidades tanto do ponto de vista cognitivo como profissional, as práticas de ensino e aprendizagem e a formação de professores de Matemática em CV/CVA ainda apresentam diversos aspectos nãoexploradosequemerecemmaioratençãodacomunidade acadêmica. A pesquisa em andamento identificou que o Facebook é uma dessas comunidades que merece destaque. Este fato decorre do crescente uso por parte do publico observado nesta pesquisa, seja para fins de entretenimento, divulgação acadêmicaouformaçãoprofissional.Comefeito,estainterface vemalbergandodemodocrescentecomunidadesvirtuais,pelo fato desses professores já utilizarem o Facebook independentementedointeressedeparticiparemdequalquer tipo de capacitação profissional e por ela favorecer em um mesmoambiente,trabalhoelazer Referências Bicudo, M. A. V., & Rosa, M. (2010). Educação Matemática na Realidade do Ciberespaço ‐ Que Aspectos Ontológicos e Científicos se Apresentam? RELIME Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa, 13(1), 33–57. Retrieved from http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=31629 35&orden=242284&info=link Borba, M. de C., & Penteado, M. G. (2012). Informática e Educação Matemática (5th ed.). Belo Horizonte: Autêntica. Costa, G. L. M. (2004). O professor de Matemática e as Tecnologias de Informação e Comunicação: abrindo caminho para uma nova cultura profissional. Unicamp, Campinas. Lévy,P.(1999).Cibercultura.(C.I.daCosta,Trans.).SãoPaulo: Ed.34. 330 ReportesdeInvestigación Mariano,C.R.(2008).Indíciosdaculturadocentereveladosem umcontextoonlinenoprocessodaformaçãodeprofessores deMatemática.UniversidadeEstadualPaulista. Santos, E. O. dos. (2005). Educação Online: Cibercultura e Pesquisa‐Formação na Prática Docente. Universidade FederaldaBahia. Tractenberg, L. E. F. (2011). Colaboração docente e ensino colaborativo na educação superior em ciências, matemática e saúde: contexto, fundamentos e revisão sistemática.UFRJ. MOBILIZAÇÃOE(RE)SIGNIFICAÇÃO SABERES:UMOLHARSOBREAPRÁTICA DOSPROFESSORESMATEMÁTICA DéboraCristinaSantos InstitutoFederaldeEducação,CiênciaseTecnologiadaParaíba [email protected] Resumo Estetrabalhotemcomoobjetivoinvestigardequemaneirasão mobilizadose(re)significadososdiferentessaberesnaaçãoda prática pedagógica de alguns professores mestres pela UEPB paradarcontadaespecificidadeedasdiferentesexigênciasdo ato de ensinar. Sua realização teve como intuito abordar a relação entre saberes docentes e a prática do professor, o sujeitocriativoqueestabeleceafinalidadeglobaldoexercício pedagógico, desenvolve com reflexão a sua formação continuada considerando complexidade e pluralidade dos saberes docente. Nessa perspectiva, o professor desenvolve competências e habilidades de formador e estimulador do pensamento do aluno. A metodologia é de caso descritivo e qualitativo. A pesquisa revela que à prática pedagógica, dos professoresconcordamcomaideiadequeadocênciaéocanal 331 ReportesdeInvestigación que possibilita o processo de formação, sendo esse canal de transiçãopotencializadopeloMestradoProfissionaldeEnsino deCiênciaseMatemática. Palavras‐chave: Prática pedagógica. Docência superior. Formaçãodeprofessores.Saberesdocentes. IntroduçãoeJustificativa Depois de alguns anos de atividade na assessoria de professores de Matemática do antigo Ensino Fundamental, hoje Educação Básica, no Centro Estadual Experimental de Ensino e Aprendizagem Sesquicentenário e professora mediadora do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal da Paraíba – UFPB, na modalidade de EducaçãoaDistância‐EaD,sentiumacertainquietaçãoquanto a minha formação profissional, tendo concluído em 2007 a graduação em Licenciatura em Matemática e em 2010 a especializaçãoemEnsinodeMatemática,tencionavacontinuar ainvestirnaminhaformaçãoprofissionaleintelectual.Assim, submetei o processo de seleção em 2011 do Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática da UniversidadeEstadualdaParaíba‐UEPB,noqualfuiaprovada. Após o ingresso no Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática, como orientanda da professora Drª. Abigail Fregni Lins fui convidada a participar de um projeto interinstitucional composto pela Universidade Federal Rural dePernambuco–UFRPE,UniversidadeFederaldoRioGrande doNorte–UFRNeUniversidadeEstadualdaParaíba–UEPB, intitulado Pesquisa e Formação em Ensino de Ciências e Matemática:umrecortedaproduçãoacademicanoNordestee panoramadeaçãodeformaçãonaEducaçãoBásica,oqualfaz do Projeto Observatório da Educação, fomentado pela CoordenaçãodeAperfeiçoamentodePessoaldeNívelSuperior –CAPES,queconcentra‐seemdoiseixosquevemocupando recentes discussões em pesquisas em Educação Matemática: formação continuada de professores e produção acadêmica a partir da prática pedagógica. Quanto aos integrantes desse projeto,estamosdivididosdaseguinteforma:Coordenadordo 332 ReportesdeInvestigación núcleo (C), Professor Pesquisador (P), Mestrando (M), ProfessordoEnsinoBásico(EB)eLicenciando(L).Nafiguraa seguirpodeverificaraestruturadoprojeto. O percorrer dessas práticas pedagógicas, enquanto professor emformação(licenciando)eprofessoremexercício(formação contínua) pode vir a ser um dos indicadores de processo de mudançanoprocessodeensinoaprendizagem,oqualenvolve umconstanterefletirnaesobreaaçãodocente. Problematização Ao longo da vida os professores se apropriam de diversos saberes entre eles: os pessoais, os acadêmicos e os profissionais.Porémquandocomeçamalecionar,ossaberesse articulamformandoossaberesdocentesquecorrespondemao mododeser,agir,asestratégiasdesaladeaula,osdiscursos, os objetivos, planejamentos, conteúdos e métodos e esses saberessofreminfluenciadavidapessoal,pois“nãoépossível dissociaroeupessoaldoeuprofissional”(Nóvoa,1995). Considerandooprofessorcomoumsujeitoativodesuaprática pedagógica. Tardif (2003, p. 230), em relação à subjetividade dos professores, aponta que “[...] um professor de profissão não é somente alguém que aplica conhecimentos produzidos por outros, não somente um agente determinado por mecanismossociais:éumatornosentidofortedotermo,isto é,umsujeitoqueassumesuapráticaapartirdossignificados queelemesmodáumsujeitoquepossuiconhecimentoseum saber‐fazer provenientes de sua própria atividade e a partir dos quais ele a estrutura e a orienta. Nessa perspectiva, toda pesquisa sobre o ensino tem, por conseguinte, o dever de registrar o ponto de vista dos professores, ou seja, sua subjetividade de atores em ação, assim como os conhecimentos e o saber–fazer por eles mobilizados na ação cotidiana.Demodomaisradical,issoquerdizertambémquea pesquisa sobre o ensino deve se basear num diálogo fecundo com os professores, considerados não como objetos de pesquisa, mas como sujeitos competentes que detêm saberes específicosaoseutrabalho”. 333 ReportesdeInvestigación Este contexto de produção de saberes nos orientou a desenvolver a pesquisa intitulada Ressignificando o saber docente pelo olhar da prática dos professores mestres pela UEPB: Perspectivas e desafios. Visando a contribuir com o projetomaior,buscou‐seobservarapráticadosprofessores,a fim de analisar quais saberes são construídos, mobilizados e (re)significadosnapráticapedagógicadosprofessoresmestres pela UEPB. Sendo assim, considerou‐se relevante investigar a seguinte questão: Como o professor produz, mobiliza e ressignifica os diferentes saberes para dar conta da especificidadeedasdiferentesexigênciasdoatodeensinar? Objetivos Pensou‐se nos aspectos que possam a vir colaborar com o processode formação inicial e continuadadosprofessores de matemáticapormeiodopensaredoagir,apresentepesquisa não pretende exaurir a questão quanto aos saberes na ação pedagógicadeprofessoresdematemática. Nestesentidoediantedeumcontextodesafiadoréquepropôs compreender e analisar: Que saberes sobre a docência, são produzidos, mobilizados e (re) significados pelos professores mestrepelaUEPB,emrefletiremsuaaçãodocentenaprática. Sendo a prática docente uma função inerente a prática docente. Metodologia Apesquisaqualitativa,deacordocomBogdaneBiklen(1994, p.17)“[...]éfrequentementedesignadapornaturalista,porque o investigador frequenta os locais em que naturalmente se verificam os fenômenos nos quais está interessado, incidindo os dados recolhidos nos comportamentos naturais das pessoas: conversar, visitar, observar [...]”, caracterizando‐se comoanálisedeestudodecaso,vistosetratardeumgrupode professores egressos do Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática – MECM, que segundo Yin (1994) estudo de caso trata‐se de uma abordagem metodológica de investigaçãoqueprocuracompreender,exploraroudescrever 334 ReportesdeInvestigación acontecimentos e contextos complexos, de tal forma que dificulta a identificação das variáveis consideradas importantes, quando o investigador procura respostas para o “como?”eo“porquê?”. OuniversodapesquisaéoProgramadeMestradoProfissional emEnsinodeCiênciaseMatemáticadaUEPB,opçãofeitapela proximidade da autora com a referida Instituição enquanto partedoprograma. Ossujeitosdapesquisasãoosegressosdasturmasde2009e 2010, de Educação Matemática e Ensino de Física no total de 24 sujeitos. No ano de 2009, temos 13 sujeitos, sendo 11 em EnsinodeMatemáticae2noEnsinodeFísica.Noanode2010, foram4sujeitosnoEnsinodeFísicae7sujeitosnoensinode Matemática, em total 11 sujeitos, não houve nenhuma desistência neste ano. Portanto, temos um total geral de 24 sujeitos. Os instrumentos que utilizamos foram questionário, entrevistassemiestruturadaseobservações.Paraseleçãodos sujeitos,buscou‐sedadosnosquestionários,utilizandoquatro critérios distribuídos da seguinte forma: (1) atuar em instituições públicas e serem egressos, do ano de 2009 ou do ano de 2010; (2) ter concluído o mestrado no programa de MCEM; (3) ter no mínimo quatro anos de experiência e (4) aceitarcolaborarcomonossapesquisa. A coleta dos dados foi obtida em três momentos. O primeiro momentofoiatravésdocontatocomaSecretariadoMECMda UEPB, a qual disponibilizou as fichas de matrícula dos professoresegressosde2009e2010queconstamnoSistema de Controle Acadêmico da Pós‐Graduação. Posteriormente foi realizadoumfichamentocontendoinformaçõessobreocurso de formação acadêmica (Licenciatura em Matemática ou Física), nome completo, endereço residencial, número de telefone e e‐mail. Estas informações foram essenciais para iniciarmos contato com os sujeitos. O segundo momento foi pormeiodeumquestionárioenviadopore‐mailparatodosos professores egressos em 2009 e 2010 do PPGECM da UEPB. 335 ReportesdeInvestigación No terceiro momento selecionaram‐se, para um estudo de caso,doisprofessores,aquemforamdadososnomesfictícios deLuziaePedro,apósoqueseprocedeuàinvestigaçãopara formação dos dados da pesquisa relativos aos saberes docentes, procuramos os professores mestre selecionados paraaobservaçãodasaulasparaobservaçõeseentrevistasde março do ano de 2012 a maio do ano de 2012, ocorrendo entrevistas sempre após a observação das aulas. Posterior a coleta de dados, seguiu‐se a analise dos dados, onde inicialmente traçou‐se um perfil dos sujeitos, o qual se apresentoucomovistoaseguir. ApresentaçãodosProfessores ProfessoraLuzia Luzia é uma professora de 27 anos, casada, quase 9 anos de serviço como professora de Matemática, onde inicialmente começou substituindo um professor por três meses. No ano seguinte foi contratada para lecionar como professora de Matemática da Educação Básica, onde atuou até o inicio de 2012, completando 9 anos. Atualmente professora efetiva de umaInstituiçãodeEnsinoSuperiorpública. ProfessorPedro Pedroéumprofessorcomcercade30anos,casadoecomdois filhos. Tem dez anos de atuação como professor na Educação Básica e 4 anos no Ensino Superior. Atualmente professor efetivodeumaInstituiçãodeEnsinoSuperiorpública. Diante do perfil dos sujeitos, percebe‐se a necessidade de conhecer um pouco sobre a Prática Pedagógica no Ensino Superior, o que possibilitou criação da seção, intitulada Docência e Prática Pedagógica, na qual se revelam as inquietações,concepçõesesuarelaçãocomosaber. Docênciaepráticapedagógica Oconhecimentodaspráticaspedagógicasparaodesempenho dadocênciasuperioréimportanteparafundamentarasações 336 ReportesdeInvestigación didáticaspedagógicas.Todaaçãodocentedemandaumateoria que a sustente. Por essa razão, a sua compreensão é necessária. Assim, nesta subcategoria, serão revelados os diversosentendimentossobredocêncianoEnsinoSuperior. O fato de estar na docência superior, estar permanentemente exercitando a reflexão, revendo suas metodologias, uso de recursos tecnológicos adequados para sala de aula, planejamentos e tendo a oportunidade de amadurecer profissionalmente. Tomando cada experiência vivenciada uma possibilidade para o enriquecimento do perfil como educador Matemático.(Luzia) É a docência no Ensino Superior... Define‐se como todas as atividades desenvolvidas pelos professores, que vão desde prepararaulaatéasorientaçõesparaosfuturosprofessoresna sala de aula e fora dela. Essas atividades devem estar ligadas não só de conhecimentos, saberes e fazeres, mas relações interpessoais,deconhecerarealidadedoaluno,valoreseética, remetemaoquedemaispessoalexistenoprofessor.Adocência superior é a dinâmica da interação e compartilhamento de diferentesprocessosquerespaldamomodocomoosprofessores concebem o conhecer, o fazer, o ensinar, e o aprender. Eu diria que docência ocorre no espaço de articulação entre modo de ensinareaprender.(Pedro) É interessante iniciar esta análise das revelações dos sujeitos dizendoqueosprofessorespercebemqueadocênciasuperior éumespaçodemobilizaçãoeproduçãodesaberes. Sob este aspecto, Tardif, Lessard e Lahaye (1991, p. 218) mostram que “a relação dos docentes com os saberes não se reduz a uma função de transmissão dos conhecimentos já constituídos, pois sua prática integra diferentes saberes, com osquaisocorpodocentemantémdiferentesrelações”.Assim, para dar conta dos objetivos traçados, os professores comumente utilizam: os saberes das disciplinas, os saberes curriculares,ossaberesdaformaçãoprofissionaleossaberesda experiência. Desse modo, essa mescla de saberes, para Tardif, Lessard e Lahaye (1991) constitui, possivelmente, o que é necessáriosaberparaensinar. 337 ReportesdeInvestigación Sobre as concepções de docência superior, Pedro assim se expressa “[...] Essas atividades devem estar ligadas não só de conhecimentos,saberesefazeres,masrelaçõesinterpessoais,de conhecerarealidadedoaluno,valoreseética,remetemaoque demaispessoalexistenoprofessor[...”]. Perez Gomez (1995, p. 96) reitera esse pensamento, complementando que “a racionalidade técnica, a atividade do profissional é, sobretudo, instrumental, dirigida para solução de problemas mediante a aplicação rigorosa de teorias e técnicas científicas”. Tal dimensão é vista em quase todas as práticas docentes, mas os sujeitos desta pesquisa apresentam umaconsciênciapolíticamuitoincisivaemrelaçãoàdocência superior,comorevelaPedro: [...] A docência superior é a dinâmica da interação e compartilhamento de diferentes processos que respaldem o modo como os professores concebem o conhecer, o fazer, o ensinar,eoaprender.Eudiriaquedocênciaocorrenoespaçode articulaçãoentremododeensinareaprender. Luzia,porseuturno,seexpressa: O fato de estar na docência superior, está permanentemente exercitando a reflexão, revendo suas metodologias, uso de recursos tecnológicos adequados para sala de aula, planejamentos e tendo a oportunidade de amadurecer profissionalmente. Tomando cada experiência vivenciada uma possibilidade para o enriquecimento do perfil como educador Matemático. Comisso, Luzia revela que a sua visão de docência está além dosditosdaformação,masquetembuscadofocaraatençãona aprendizagemdoalunocomotambémemfortaleceroperfilde educador matemático. Dessa maneira, compreende‐se que os saberesestãosendoproduzidosnumaperspectivacrítica. Outro fator importante nesse processo é a valorização da formação,dascompetênciasedosentidodeaprendizagem,os quaispromovemprofissionaismaisreflexivos. 338 ReportesdeInvestigación Naseçãoseguinte,contemplaram‐seasanálisesemtornodos professores, alguns desafios e potencialidades enfrentados na prática. Dandocontinuidade,apresenta‐senaseçãoaseguirosSaberes Docentes:umarelaçãonapráticapedagógica. Considerações O objetivo desta pesquisa foi o de investigar os saberes que estavamsendoproduzidos,mobilizadose(re)significadosnas práticas pedagógicasdos docentesmestres egressosdosanos de 2009‐2010 do Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Estadual da Paraíba (MECM/UEPB),buscandoencaminhamentoatravésdeautores queestudamediscutemestatemática,mastambémutilizando a pesquisa qualitativa e as técnicas da narrativa que validam esteestudo. A análise da categoria que trata da prática pedagógica no Ensino Superior revela que à prática pedagógica, dos professoresconcordamcomaideiadequeadocênciaéocanal que possibilita o processo de formação, sendo esse canal de transição potencializado pelo mestrado MECM/UEPB, o qual tornoupossívelumembasamentoteóricoemqueserelaciona teoria e prática, e onde reflexão e ação andam atrelados para melhoria do ensino. Perrenoud (1999) ressalta que é necessárioqueapráticapedagógicasejafundamentadanuma perspectiva reflexiva, validada no exercício da docência. As colocações dos sujeitos de nossa pesquisa revelam o grau de comprometimento com a produção do saber no Ensino Superior. Não temos nenhuma dúvida da importância dos saberes docentes para a ação pedagógica desenvolvida pelos professores, bem como se acredita que somos capazes de construir novos saberes que nos possibilitem enfrentar as diversas situações que se manifestam tanto na gestão da matéria de ensino como na gestão das salas de aula. Considerou‐se que as contribuições apresentadas pelos autores são de fundamental importância para orientar o 339 ReportesdeInvestigación trabalho docente no que concerne à mobilização/construção dossaberesdocentesnecessáriosaoensino. Referências Brasil.SecretariadeEducaçãoFundamental.2011.Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.Disponívelem: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf >. Bogdan,Robert;Biklen,Sari.1994.InvestigaçãoQualitativaem Educação. Tradução: Maria João Alvarez; Sara Bahia dos Santos e Telmo Mourinho Baptista. Porto‐PT: Porto Editora,. Bombassaro,LuizCarlos.1992.Asfronteirasdaepistemologia: comoseproduzoconhecimento.2.ed.Petrópolis:Vozes Campelo,MariaEstelaCostaH.2001.Alfabetizarcrianças:um ofício, múltiplos saberes.256 f. Tese (Doutorado em Educação) – Programa de Pós‐Graduação em Educação, Universidade Federal do Rio Grande do Norte,Morroró‐ RN. Fiorentini, Dario; Lorenzato, Sérgio. 2006. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos.Campinas‐SP:AutoresAssociados. Gauthier, Clermont et al. 1998.Por uma teoria da Pedagogia. Pesquisas contemporâneas sobre o saber docente. Tradução:FranciscoPereiradeLima.Ijuí‐RS:INIJUI. Imbernón, Francisco. 1994. La formación del professorado. BuenosAires:Paidós. Nóvoa,António(Org.).1992.VidasdeProfessores.Porto:Porto Editora. Perrenoud,Philippe.1999.ConstruirasCompetênciasdesdea escola.PortoAlegre:Artmed. 340 ReportesdeInvestigación Pimenta, Selma Garrido. (Org.). 2005. Saberes pedagógicos e atividadedocente.4.ed.SãoPaulo:Cortez. ______. Formação de professores: saberes da docência e identidade do professor. In: FAZENDA, Ivani Catarina (Org.). Didática e interdisciplinaridade. Campinas‐SP: Papirus,1998.p.161‐178. Tardif, Maurice. , 2003. Saberes docentes e formação profissional.3.ed.Petrópolis‐RJ:Vozes. Tardif,Maurice;Gauthier,Clermont.1996.Osaberprofissional dos professores – fundamentos e epistemologia. In: SEMINÁRIO DE PESQUISA SOBRE O SABER DOCENTE, , Fortaleza.Anais.Fortaleza:UFCE. Therrien, Jacques. 1996. Uma abordagem para o estudo do saberdaexperiênciadaspráticaseducativas.Cadernosde Pós‐Graduação,Fortaleza,n.5,p.1‐4,set. ______.Saberdaexperiênciaecompetênciaprofissional:como os docentes produzem sua profissão. Contexto e Educação,Ijuí,v.12,n.48,p.7‐36,1997.Disponívelem: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_nlinks&ref= 000230&pid=S1516‐ 7313201100020000400033&lng=en>. Yin,Robert.1994.CaseStudyResearch:DesignandMethods.2ª EdiçãoThousandOaks,CA:SAGEPublications 341 ReportesdeInvestigación OJOGODELINGUAGEMENTREOUVINTE ESURDONOENSINODEMATEMÁTICA IvaneteMariaBarrosoMoreira, MarisaRosâniAbreudaSilveira UFPA/Brasil–UFPA/Brasil [email protected], [email protected] Resumo Neste texto apresentamos o resultado de pesquisa que teve comoobjetivoanalisarascaracterísticasqueconstituemojogo delinguagementrealunossurdosealunosouvintes,do2ºano do Ensino Médio, no ensino e na aprendizagem de conteúdos matemáticos. A fundamentação teórica foi baseada principalmente no filósofo da Linguagem Matemática, Ludwig Wittgensteinesuasideiassobreosjogosdelinguagem,regras e vivências visuais. O lócus foi uma escola do Município de Ananindeua/PA ‐ Brasil, e como sujeitos de pesquisa têm‐se sete alunos surdos e vinte e oito alunos ouvintes. Como metodologia de pesquisa optou‐se pelo estudo de caso qualitativo.Algunsdosresultadosforam:ojogodelinguagem transcende a palavra, levando a comunicação matemática a outros níveis de compreensão; o jogo de linguagem entre surdoseouvintesutilizaregraspreviamentedefinidasporum dos participantes; a existência de transferência de jogo de linguagem e a reorganização da regra para que haja uma ressignificaçãodeconceitomatemático. Palavras‐chave:Matemática;Surdo;Linguagem. Introdução O presente trabalho tem como finalidade apresentar os resultados preliminares da tese, “O jogo de linguagem entre surdoseouvintescomodiscursoestabelecidonacompreensão de regras matemáticas” (Moreira, 2013), analisando arelação 342 ReportesdeInvestigación entre a linguagem de sinais, a linguagem natural21 e a linguagem matemática, ou seja, entre alunos surdos e alunos ouvintes na produção de um jogo de linguagem ‘particular’22, no ensino de conteúdos matemáticos em uma sala de aula inclusivado2ºanodoEnsinoMédio. Paratantoserãoanalisadasascaracterísticasqueconstituemo jogo de linguagem particular entre alunos surdos, alunos ouvintes,professoreintérpretequecolaboremcomoensinoe a aprendizagem de conteúdos matemáticos em sala de aula inclusiva. O interesse em compreender esse jogo de linguagem, bem como suas particularidades se desenvolveu de experiências como professora tradutora/intérprete em escolas públicas. Como fundamentação teórica, para este estudo, houve o ancorar no filósofo da Linguagem e da Matemática, Ludwig Wittgenstein (1979). E após uma profunda leitura do autor pareceu óbvio a escolha, por este filósofo, na abrangência de suasideiassobre:jogodelinguagem,formasdevida,regrase vivênciasvisuais,conceitosqueforamatingidosnapesquisade campo. Outrosteóricosquefundaramesteestudoforam:Perlin(1998, 2002,2004),Quadros(2007),Gottschalk(2008),entreoutros, que colaborassem no reconhecimento das linguagens e dos sujeitosdepesquisa. Opresentetextoserádesenvolvidoemtópicosesubtópicoque trazem os esclarecimentos sobre a fundamentação teórica escolhida,olócuseossujeitosdepesquisa,ametodologiaeos instrumentos utilizados durante a pesquisa. Além desses esclarecimentostambémseapresentaacaracterizaçãodoque Otermolinguagemnatural,nesteestudo,seráutilizadopararepresentara linguagem da comunidade ouvinte, especificamente, a língua portuguesa brasileira. 22 O termo jogo de linguagem particular, que está sendo exposto refere‐se diretamente a características encontradas durante a pesquisa, características essas que se adequam a ideia de jogo de linguagem do filosofo Ludwig Wittgenstein,ouseja,éumtermoconstruídoparadesignarcaracterísticasdo jogodelinguagemqueforamencontradosduranteapesquisa. 21 343 ReportesdeInvestigación foi considerado como ‘jogo de linguagem’ em sala de aula inclusiva,ascategoriaseumvislumbrardasanalises,alémde partedoreferencialbibliográficoquefoieestásendoutilizado nafinalizaçãodoestudo. ReferencialTeórico Atualmente, várias são as pesquisas sobre ensino e aprendizagem da Matemática, uma quantidade considerável dessas pesquisas, enfatizam as interações linguísticas entre professor, aluno e conhecimento em sala de aula, como as de Danyluk (2002), sobre a linguagem como um aspecto fundamental do modo de ser e de existir do ser humano na alfabetização matemática nas séries iniciais. Outro autor é Garnica (1992), que olhar a linguagem a partir da interpretaçãodetextosmatemáticosnasaladeaula,eaanalise daspossibilidadesdetransformarestaatividadedoprofessor numprocessohermenêutico. Nos estudos de Machado (1993), existe o ensino de Matemática com a mediação da língua materna, a qual para este autor, como primeira língua que aprendemos nos proporciona uma ponte para construção de conceitos matemáticos. Já para Santos (2005), há a valorização da linguagem como estratégia paraa criaçãode umambiente de comunicação do conhecimento matemático, com relevância paraarelaçãoentreossujeitosqueparticipamdesteambiente. EmMenezes(1999)encontramosaverificaçãodaslinguagens de sala de aula e no abordar da linguagem matemática, nos seus diversos níveis de elaboração, conforme a competência daquelesqueautilizam. As pesquisas comentadas acima, não se referem ao ensino de alunos surdos. As pesquisas encontradas com o sujeito surdo se referem a conexão de duas linguagens específicas: a linguagem de sinais e a linguagem materna/natural; ou a linguagemdesinaisealinguagemmatemática,enãoarelação dastrês linguagens (linguagemde sinais, linguagem natural e linguagemmatemática). 344 ReportesdeInvestigación Como demonstração trago o exemplo da pesquisa de Albino (2009), sobre as barreiras à comunicação e ao acesso às ferramentasculturais;napesquisadeSilvaeNogueira(2011), encontra‐seumentrelaçamentoentrealinguagemcomumea linguagemmatemática, fazendo uma releiturade informações ederesultadosdepesquisaanteriormenterealizadaacercado processodeaquisiçãodeescritanuméricaemcriançassurdas, mediadopelaLibras;oestudodeSilva(2012),vemproporum cenário de representações para que a comunicação matemática possa acontecer nas aulas de matemática para surdos,dialogandosobrealínguamaterna,nocasodossurdos a Libras, e como ela é aplicada no trabalho matemático; e os autores Leonel e Borges (2012), pesquisaram a utilização da Librasnasaulasdematemática,ecomoestáacontecendoessa comunicação entre aluno surdo e intérprete de Libras, intérprete e professor, aluno surdo e professor e ainda aluno surdo e aluno ouvinte em salas de aula regular, para uma inclusãoefetiva. Osdebatessobrelinguagemeaprendizagemmatemáticaalém de se concentrarem em grupos de teóricos linguistas e matemáticos,estãosediversificandoparaespecialistasnaárea daEducaçãoEspecial,quandoseacrescentaoSurdoeaLíngua deSinais. Levando este debate da linguagem para a fundamentação teórica na obra, Investigações Filosóficas do filosofo austríaco Wittgenstein(1979)étomadanosentidodequesuasposições, nesse momento, não estabelecem algo como verdadeiro, absoluto,nemmesmotentaexplicitarumadefiniçãocategórica paraalinguagem. OqueWittgensteinexpõesobrealinguagem,nadatemhaver comdefiniçõesfechadas,fixas,mas,sobretudo,apossibilidade de expor sobre ela em determinadas ocorrências, contextos. Neste sentido este estudioso nos proporciona condições de trabalhar com algumas de suas ideias, como suporte para concepçõesediscussõesqueserãoagregadasnestatese,como: jogosdelinguagem,formasdevida,regras,vivênciasvisuais,as 345 ReportesdeInvestigación quaisserãoexplicitadasabaixodemaneiraahabituaroleitora essasnoções. Ojogodelinguagem NaobradeWittgenstein(1979)encontramosaideiadejogode linguagem, que será a principal ideia utilizada neste estudo, como uma combinação de palavras, atitudes e formas de comportamento,compreendendoo processode uso da língua em sua totalidade. É por meio dos jogos de linguagem que os indivíduos aprendem na infância a usar certas palavras e expressões,narealidade,esseaprendizadodoindivíduonãoé pura e simplesmente o aprendizado de uma palavra ou expressão, o que este autor chamou de ‘linguagem primitiva’, masumjogodelinguagemcompletoecomplexo,ouseja,ouso de determinada expressão linguística em um contexto determinadoecomregrasdeterminadasparaobtercertosfins. Na elaboração da ideia de jogo de linguagem, Wittgenstein (1979)associaesteconceitocomoutraideia,queele chamou de formas de vida, que pretende acentuar, por um lado, o caráterpráticodalinguagem,istoé,dequealinguageméuma atividade,mas,poroutrolado,queestaéumaatividadedoser humano, pois “comandar, perguntar, contar, tagarelar pertencem à história de nossa natureza assim como andar, comer, beber, jogar” (Wittgenstein, 1979, p. 20§25). O autor afirma que “o termo ‘jogo de linguagem’ deve aqui salientar queofalardalinguageméumapartedeumaatividadeoude uma forma de vida” (1979, p. 18§23), com isso trazendo a próximaexplanação. Formadevida Asformasdevidapodemserconsideradascomofundamento paraasnossaspráticaslinguísticas,umavezqueseapresenta como pano de fundo sobre os quais se desenvolvem os possíveis jogos de linguagem, fornecendo uma simetria nas ações e nos modos de uso das expressões linguísticas. Para Wittgenstein (1979: p. 20§27) “somos educados, treinados para perguntar”, ou seja, para reagir de uma determinada forma, em determinado contexto, com isso espera‐se que as 346 ReportesdeInvestigación palavras sejam acompanhadas de um determinado comportamento adequado, como exemplo, espera‐se que determinada reação ocorra frente a um pedido ou a uma ordem, e essa reação, esse comportamento é comum a todos que participam desse jogo de linguagem, uma alusão o autor relembraoexemplo§2,apresentadoanteriormente. Outraideiaenfatizadapelofilósofo,aorelacionarasignificação linguísticacomousodapalavraemumjogodelinguagem,éo fato de que os jogos de linguagem são atividades, formas de vida, guiadas por regras, reafirmando o estilo social inegável dalinguagem,poistodaatividadeconvencionadaporregrasé uma prática social. Seguiremos então com essa nova ideia do autor. Regras Ousodalinguagem,nosentidodadoporWittgenstein,implica no domínio e uso de regras, pois a aplicação correta de um termo significa que se age de acordo com as regras estabelecidas pelo contexto de sua aplicação. O descuido de tais regras contraria o seu uso apropriado no contexto determinado, podendo tornar sua aplicação sem sentido. A possibilidadedeagirdeacordocomasregrascaracterizaque um participante tem a compreensãodo jogo de linguagem do qual esta participando. Compreender torna‐se, então, a expressão de uma capacidade, uma técnica que nada requer alémdeseuprópriodesempenho. As manifestações linguísticas, que ocorrem na sala de aula inclusiva,sãopartesdejogosdelinguagemdistintos:ojogode linguagem da Matemática Escolar, mais familiar àqueles que têm ou tiveram alguma formação matemática ‐ o uso da linguagem matemática com regras, símbolos e gramática própria;ojogodelinguagemnatural,comumaomeiodoqual aspessoasparticipamnaturalmenteecomoqualsabemjogar, ou seja, o modo de usar a linguagem nas situações do cotidiano;eojogodelinguagemdesinais,comumaossujeitos da Comunidade Surda, que acontece entre os usuários e 347 ReportesdeInvestigación estudiosos da língua de sinais e simpatizantes aprendizes23. Estas manifestações linguísticas são provenientes de ações vivenciadas visualmente pelos sujeitos, experiências que identificam e significam o mundo, contexto do qual estão fazendo parte. A essas vivências Wittgenstein chamou de vivênciasvisuais,asquaisserãoexplanadasadiante. Vivênciasvisuais Para que os jogos de linguagem com surdos se efetivem é necessárioossujeitosparticipantesterem,oqueWittgenstein (1979,p.188),chamoudevivênciavisual,equeoutrosautores (Skliar, 1998; Perlin, 2002, 2004) identificam como experiência visual, que se refere a diferentes formas de se perceber,estarnomundo,edesignificá‐lo,apartirdavivência do ver, também diz respeito a outras formas de se relacionar com o meio, com as pessoas (surdas ou ouvintes), com as tecnologias,pormeiodovereinterpretarestever. A língua de sinais aqui também compõe como um fator necessárioaesclarecimentosnestesentidoacrescentou‐seeste ponto a nossas elucidações como fundante para futuros entendimentos. ALínguadeSinais As pesquisadoras, da língua de sinais brasileira, Quadros e Karnopp (2004), afirmam que a diferença básica entre as línguas de sinais e as línguas orais diz respeito à estrutura simultâneadeorganizaçãodoselementos,enquantoaslínguas orais possuem uma ordem gramatical, as línguas de sinais possuem uma organização sem os conectivos gramaticais reconhecidosnalinguagemoral,ouseja,setornandolinearao reconhecimentodamensagemqueseestatransmitindo. A linguagem de sinais, assim como a linguagem natural e a linguagem matemática, no ambiente sala de aula, quando em usopelosseusrespectivosusuários,emumamisturasingular Simpatizantesaprendizes,notexto,dizrespeitoatodosossujeitosouvintes e surdos que estão se alfabetizando na língua de sinais, e ainda tem dificuldadescomagramaticaeasregrasdeuso. 23 348 ReportesdeInvestigación proporciona uma visão sobre o jogo de linguagem que se apresentaounãonocontatodessessujeitos. APesquisa A linguagem tem um aspecto central em todas as atividades humanas e em particular nas salas de aula, como cita Stubbs (1987),acomunicaçãoconfunde‐secomoensinar,aprendere refletir sobreas práticasde sala deaula,em que a linguagem assumegrandepredomínio. Aligaçãoentrealinguagemeacomunicaçãoéóbvia,umavez que esta última é a principal função da primeira. Com este pensar, e tendo em conta a capacidade de existência da linguagem em todos os âmbitos na sala de aula, parece oportunoquestionar,porumlado,oensinoeaprendizagem,a partirdalinguagem,quetemlugarnumaauladeMatemáticae, poroutro,problematizaraprópriaexistênciaouconstruçãodo jogodelinguagemexistente,easuacontribuiçãocomoensino eaprendizagemdadisciplinaMatemáticaemsaladeaula. Ao partilhar e estudar este ambiente complexo e dinâmico confirma‐se ser prioritário, como instrumento principal para registrodosdados,ousodegravações(filmagemeáudio)nas aulas, podendo assim, posteriormente, estes serem revistos, catalogados e selecionados para serem transcritos e fazerem parte das análises, e ao concluir o trabalho anexar ‐ as transcrições na íntegra ‐ com o intento de disponibilizá‐las comofonte,paraleitoresepesquisadores. Porternomeadoesteprocedimento,opteitambémporconfiar queasimagens(paraalinguagemdesinaisematemática)eo áudio(paraalinguagemnatural/oral)captados,favoreceriam asanalises,dandopossibilidadesdeverereverdiálogos,entre: oprofessor,alunossurdoseouvintes;alunossurdosealunos ouvintes; professor e intérprete; intérprete e alunos surdos; intérprete e alunos ouvintes; além das entonações verbais e expressõesfaciais. 349 ReportesdeInvestigación Outras formas de instrumentos de coleta de dados utilizados neste estudo foram a entrevista, o questionário, as atividades matemáticasusadasemsalapeloprofessoreodiáriodebordo. UniversodePesquisa A pesquisa foi realizada em uma Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio do Município de Ananindeua‐Pará. Os sujeitosforamsete(7)alunossurdosevinteeoito(28)alunos ouvintesdeumaturmado2ºanodoEnsinoMédio,oprofessor deMatemáticaeointérprete. OJogodeLinguagem Segundo Wittgenstein (1979), as expressões linguísticas têm significado nos diferentes jogos de linguagem que são formações complexas de linguagem e de usos das palavras. Estasexpressõespossuemumagramáticaprópriaencontrada nesses jogos de linguagem, isto é, estas atividades, jogos de linguagem,obedecemaregras. As regras do jogo dizem respeito não somente aos signos linguísticos,mas,também,aosparticipantesdalinguagem,aos objetos, as ações, ao contexto. Portanto, considerar o significadodasexpressõesnosjogosdelinguageméconsiderá‐ lodopontodevistadeseuuso,istoé,comopartenaturaldas ações humanas. Surdos ou ouvintes todos fazemos parte de variados jogos, variadas ações, variados usos de expressões, utilizandoparaissovariadasregras. Neste sentido torna‐se possível a caracterização de jogos de linguagem que aqui neste trabalho considero ‘particular’, por setratarderegrasdiferenciadasdasmaisdiversasformasde expressão, tantas quanto temos ou participamos nos nossos usospossíveisdalinguagem. Apresento a seguir as características do particular que observei em dois (2) dos sujeitos escolhidos para a pesquisa, sãoeles: 350 ReportesdeInvestigación Alunosurdo: A Seleção – O aluno surdo faz uma seleção, ou recrutamento de alunos ouvintes, em seguida instruem‐nos na língua de sinais para que posteriormente colaborarem no reconhecimento deconceitosmatemáticos; A confirmação – Após a seleção o aluno ouvinte passa por um período de confirmação, ou seja, pode ou não ser descartado, por algum motivo interno ou externo a sala de aula ‐ exemplos; faltas, desavenças, irresponsabilidade, etc. – o aluno surdo sempre tem outro aluno ouvinte (jogador)comoreserva. Intérprete: A Traidora – a intérprete quando não compreendeoconteúdomatemático,produzuma interpretação equivocada, que o aluno surdo tomacomoverdadeabsoluta; Saber antigo – a intérprete quando reconhece totalmente ou parcialmente o conceito matemático, produz uma interpretação além da devida, acrescentando sua opinião, interferindo no trabalho do docente titular, deixando sua funçãodeinterpretarparasegundoplano. Após esta caracterização de particularidades, foi possível construircategoriasparaas analises e identificaçãodos jogos delinguagemparticularentreossujeitossurdoseouvintes. ObtençãoeAnaliseDosDados Aobtençãodedadosdecadaumdosparticipantesfoiobtidaa partir de questionários, entrevistas e relatos em diário de bordo, além de gravações em áudio e vídeo. Os dados iniciais são referentes ao tipo de interação discursiva estabelecida entre professor e alunos ouvintes (questionamentos e 351 ReportesdeInvestigación participação) dentro do contexto da sala de aula; a interação do professor com os alunos surdos (suas reações, dúvidas); a relação entre o professor e a intérprete; a análise das atividadesmatemáticasproduzidaspeloprofessoreutilizados pelosalunosemsala. Organizaçãoeanálisedascategorias O trabalho foi desenvolvido a partir de um estudo de caso qualitativo, que a autora Merriam (1988) caracteriza como tendo um carácter descritivo, indutivo, particular e a sua natureza heurística pode levar à compreensão do próprio estudo,sejaeleumprograma,umacontecimento,umapessoa, umprocesso,umainstituiçãoouumgruposocial.ParaLudkee André(1986)ointeressedessetipodeestudoestaexatamente naquilo que ele tem de único, de particular, mesmo que posteriormentepossamserevidentescertassemelhançascom outroscasosousituações. Neste sentido as categorias formuladas partiram dos sujeitos caracterizados nas particulares no tópico acima: o surdo e a intérprete,comopontodereferencia: O surdo e o professor ‐ O jogo de linguagem no “ver, interpretar e compreender” – ocorre na compreensão das regras entre os pares, ou seja, as linguagens (linguagem matemática e linguagem natural) e as regras que são utilizadas são compreendidas, transcendendo o simples uso da palavra, englobando assim, outros meios como o gesto de apontar, o ver‐ interpretar, as vivências visuais, além das expressões faciaise/oucorporais; Osurdoeaintérprete–Ojogodelinguagemcomoum “jogo de surdos” – ocorre em um jogo, que podemos considerar como isolado, interagem apenas entre si, compartilhando ideias, significados e cooperação. Falam sobre a mesma coisa quando os conceitos matemáticossãocompreendidospelospares,contudo, a partir do momento em que um dos pares perde a compreensão das regras do jogo, esses deixam de se 352 ReportesdeInvestigación entender, consequentemente o jogo se transforma e/oumudaderegras; O surdo e o aluno ouvinte – O jogo de linguagem na “negociação de poder” ‐ ocorre na mudança de regra, do jogo anterior, ou seja, a intérprete deixa de jogar, nestecasooalunosurdoseapresentacomoodetentor de outra opção, o aluno ouvinte, para quem será transferido o jogo de linguagem, este par receberá o conhecimento em uma linguagem especifica (linguagemdesinais),somenteparacomplementona linguagem natural, e para a futura compreensão do quesepretendeapreender; Aintérpreteeoprofessor‐Ojogodelinguagemno“que sealegaconhecer”‐ocorremquandoasregrasdojogo são reconhecidas parcialmente, ou seja, a intérprete compreende alguns conceitos matemáticos apresentados pelo professor e não compreende outros, repassando para o aluno surdo um conhecimento fragmentado, podendo utilizar suas própriasopiniões,comprometendooensino; Aintérpreteeoalunoouvinte‐Ojogodelinguagemno “significar o saber” ‐ ocorre quando a intérprete não reconhece as regras, os conceitos matemáticos, formando um jogo de linguagem sem sentido, onde o alunoouvintepercebeeinterferedandosignificadoa estes conceitos/saberes para os alunos surdos, consequentementereorganizandoasregrasdojogo. As categorias foram organizadas referentes a momentos de elucidaçãode conceitosoufixação de conteúdos matemáticos oferecidos pelo professor, dentro dessas situações foram eleitas às transcrições que podem comprovar os jogos de linguagem. ConsideraçõesFinais Tendoemmenteestanovaformadeconceitualizarosjogosde linguagem encontrados em uma sala de aula inclusiva dentro 353 ReportesdeInvestigación deumgrupodiferenciado,masaomesmotempocrescenteno quadro atual do Sistema Educacional e acreditando em mudanças na educação dos surdos e ouvintes em relação não somente a disciplina Matemática, mas aqui especificamente nesta disciplina, acho de extrema relevância este estudo, demonstrando que as formas de interação linguísticas entre quaisquerindivíduos,sejamditosnormaisoudeficientes,abre novasperspectivasnaáreaeducacional. Comprovou‐se que os jogos de linguagem existentes entre surdos e ouvintes transcendem a palavra, promovendo a comunicação e a compreensão de conceitos e regras matemáticas. Esses jogos de linguagem utilizam regras previamente definidas por um dos participantes sejam eles surdos ou ouvintes. Durante a efetivação dos jogos de linguagempodehavertransferênciasdeumdeterminadojogo de linguagem para outro, e consequentemente pode haver a reorganizaçãodaregraqueestasendoutilizadaparaquehaja uma significação e compreensão do conceito matemático que estasendopassado. Nestecontexto,osjogosdelinguagementresurdoseouvintes podem provocar alterações em um futuro relativamente próximo, nos discursos, sobre surdos, já cristalizados na sociedade sobre as dificuldades de ensino e aprendizagem destegrupominoritário. Com essesargumentos compreende‐ se que se deve continuamente repensar nossas ações quanto aosmétodosetécnicaspedagógicasenopapelqueatribuímos a linguagem nesses diversos momentos, e ao olharmos estes contextos linguísticos repensar na transformação de determinados conceitos ou mesmo preconceitos concebidos durante uma formação conhecidamente repleta de lacunas, e então reorganizar e refletir em nossas futuras práticas, priorizando o aprendizado matemático para todas as clientelas,sejam“normais”ou“especiais”. Referências Albino;I.L.N.daS.B.(2009).Alunossurdoseamatemática: dois estudos de caso, no 12.º ano de escolaridade do 354 ReportesdeInvestigación ensino regular. Universidade de Lisboa ‐ Faculdade de Ciências ‐ Departamento de Educação,Mestrado em Educação. Danyluk, O. (2002). Alfabetização matemática: as primeiras manifestações da escrita infantil. Porto Alegre: Sulina, PassoFundo:Ediupf. Garnica, A. V. M. A interpretação e o fazer do professor de Matemática: um estudo sobre a possibilidade do exame hermenêutico na Educação Matemática ‐ Dissertação de Mestrado em Educação Matemática,Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo: SP, 1992. Gottschalk, C. M. C. (2008). A construção e transmissão do conhecimento matemático sob uma perspectiva wittgensteiniana.CadernosCedes,Campinas,v.28,n.74, p.75‐96,jan./abr. Leonel, R.; Borges, F. (2012).O Ensino de Matemática para Surdos Inclusos em salas regulares do Ensino Médio: possibilidades e desafios. VII Encontro de Produção Cientifica e Tecnológica ‐ EPCT‐ Ética na Pesquisa Tecnológica. 22 a 26 out. Campo Mourão ‐ Paraná/BRASIL. Ludke, M.; André, M. E. D. A. (1986). Pesquisa em educação: abordagensqualitativas.SãoPaulo,E.P.U.,p.99. Machado,N.J.(1993).Matemáticaelínguamaterna:análisede umaimpregnaçãomútua.SãoPaulo:Cortez. Menezes, L. (1999). Matemática, Linguagem e Comunicação. Porfmat99.Lisboa,Portugal. Merriam, S. (1988). Case study research in education: A qualitativeapproach.SanFrancisco,CA:Jossey–Bass. Moreira, I. M. B. (2013).O jogo de linguagem entre surdos e ouvintes como discurso estabelecido na compreensão de regrasmatemáticas.(emandamento)TesedeDoutorado 355 ReportesdeInvestigación emEducaçãoemCiênciaseMatemática–REAMEC/UFPA. Belém/Pará. Perlin,G.T.T.(1998).Identidadessurdas.In:(Org.)Skiliar,C. A surdez: um olhar sobre as diferenças. Porto Alegre: Mediação. Perlin,G.T.T.(2002).PedagogiadaDiferença–Pedagogiade Surdos.Local,2002.(Textodigitado). Perlin, G. T. T. (2004).O lugar da cultura surda. In: THOMA, Adriana da Silva; LOPES, Maura Corcini (Orgs.). A Invenção da Surdez: cultura, alteridade e diferença no campodaeducação.SantaCruzdoSul:EDUNISC,2004.P. 74‐82 Quadros, R. M. de. (2007).O Tradutor e Intérprete de Língua Brasileira de Sinais e Língua Portuguesa. Secretaria de EducaçãoEspecial;Brasília:MEC;SEESP. Quadros, R. M.; Karnopp, L. B. (2004).Língua de Sinais Brasileira: estudos linguísticos. Porto Alegre: Artmed,p. 221. Santos, S. A. (2005). Explorações da linguagem escrita nas aulas de Matemática.In:Lopes, C. A. E. Escritas e leituras naEducaçãoMatemática.BeloHorizonte:Autêntica. Silva, I. B.da. (2012). Comunicação Matemática: Professor e alunosfalandoamesmalíngua.SãoCristovão‐SE/Brasil, 20 a 22 de set. VI colóquio internacional “Educação e Contemporaneidade”. Silva, M. C. A.; Nogueira, C. M. I. (2011).Linguagem Comum e Linguagem Matemática: A Educação de Surdos em questão.XCongressoNacionaldeEducação–EDUCERE;I Seminário Internacional de Representações Sociais e Educação – SIRSSE – Pontifícia Universidade Católica do Paraná–Curitiba,7a10nov. Skliar, C. B. (1998). Os Estudos Surdos em Educação: problematizando a normalidade. In: SKLIAR, Carlos 356 ReportesdeInvestigación Bernardo.(Org.).ASurdez:umolharsobreasdiferenças. PortoAlegre:Mediação,p.7–32. Stubbs, M. (1987).Linguagem, escolas e aulas. Lisboa: Livros Horizonte. Wittgenstein, L. J. J. (1979). Investigações Filosóficas. Trad. José Carlos Bruni. 12 ed. São Paulo: Nova Cultural, Coleção:OsPensadores. SIGNIFICADODELAASIMETRÍA ESTADÍSTICAENLOSALUMNOSDE ECONOMÍADELAUNIVERSIDAD NACIONALDELCALLAO TeresaSofíaOviedoMillones PontificiaUniversidadCatólicadelPerú/APINEMA(Asociación PeruanadeInvestigacióndelaEducaciónMatemática) [email protected] Resumen La Asimetría estadística es parte de la Estadística descriptiva donde se asocia con las medidas de tendencia central y también forma parte de la Estadística Inferencial donde se aplicaenlasdistribucionesdeprobabilidad. Para contribuir a mejorar la enseñanza y en consecuencia el aprendizajedelaAsimetríaestadísticaesnecesarioconocerla concordancia existente entre el significado institucional y los significados personales de los alumnos y así deducir las dificultades que tienen en el aprendizaje de este objeto matemático.Porello,enestainvestigaciónsetuvocomomarco teóricoelEnfoqueOntosemióticodelaInstrucciónyCognición matemática (EOS) desarrollado por Godino y colaboradores, utilizando el primer nivel del EOS: “Sistemas de prácticas y objetosmatemáticos”.Setomócomomuestradeestudioalos 357 ReportesdeInvestigación alumnos de Economía de la Universidad Nacional del Callao. Se analizó mediante un cuestionario sus significados personales y el significado institucional se dedujo del análisis deloslibrosdetextorecomendadosalosalumnosyseverificó que el significado institucional no llegó a formar parte de los significadospersonalesdelosalumnosenmención. Palabras clave: institucional Significados personales, significado Elproblemadeinvestigación: Las investigaciones respecto a la Asimetría estadística son escasas;sinembargo,esteobjetomatemáticoesbásicoymuy importante en el análisis de los datos tanto en la estadística descriptiva, donde se asocia con las medidas de tendencia central: media, mediana y moda, como también en la Estadísticainferencial,dondeseaplicaenlasdistribucionesde probabilidad,especialmenteparamodelizarlascaracterísticas cuantitativas de casi todas las grandes poblaciones hacia la distribución normal. Además, gran número de fenómenos reales se pueden modelizar, conociendo la Asimetría estadística, hacia la distribución normal, que es la más importantedetodaslasdistribucionesdeprobabilidad. Esta investigación se centró en el aprendizaje de la Asimetría estadística – que es un objeto matemático básico de la EstadísticadescriptivaqueseaplicatambiénenlaEstadística inferencial–delosalumnosdetercerciclodeEconomíadela Universidad Nacional del Callao (UNAC) que llevaron en el ciclo académico 2012‐II un primer curso de Estadística denominado: “Estadística Básica”. Para ello se tuvo una muestra de 14 alumnos de los mencionados que optaron voluntariamenteacolaborarconestainvestigación. En esta investigación se quiso dar respuesta a la pregunta: ¿Cuáles son los significados institucionales respecto a la Asimetría estadística que la Facultad de Economía de la Universidad Nacional del Callao (UNAC) pretende adquieran sus alumnos de tercer ciclo de la carrera profesional de 358 ReportesdeInvestigación Economía y cuáles son los significados personales adquiridos porestosalumnosrespectoalaAsimetríaestadística? Fundamentoteórico: Primerosehizounestudiodelfundamentoteóricorespectoa la Asimetría estadística, como también de los objetos matemáticos previos al conocimiento de la Asimetría estadística que son: las variables aleatorias, las funciones de distribución, las funciones de densidad, la esperanza matemática de una variable aleatoria y los momentos estadísticos de una variable aleatoria. Se llegó a ver que hay tres distintas definiciones de la Asimetría estadística: La Asimetría estadística de una variable aleatoria, la Asimetría estadística de una muestra aleatoria (Estimadores de la Asimetríaestadística)ylasAproximacionesdelosestimadores de la Asimetría estadística. Todos estos conceptos fueron obtenidos siguiendo inicialmente a James (2004), posteriormente a Canavos (2008) y finalmente a Bonato (2010). Metodología: Para el análisis del significado institucional y de los significadospersonales,setomóelprimerniveldeanálisisdel EOS de los objetos y procesos primarios de la Asimetría estadísticadeloslibrosdetextorecomendadosalosalumnos mencionados y de un cuestionario aplicado a los alumnos respectivamente. 1. Metodologíaparaelanálisisdelsignificadoinstitucionalde referencia:Paraesteanálisisseconsideró4etapas ‐ Se identificó los libros de texto: Fueron 5 los libros analizados que contenían el tema de la Asimetría estadística. ‐ Se seleccionólos capítulosque tratande la Asimetría estadística. 359 ReportesdeInvestigación 2. ‐ Se identificó los “objetos y procesos primarios” respecto a la Asimetría estadística en los libros de texto: elementos lingüísticos (notaciones, símbolos y gráficos), situaciones problemáticas, definiciones (conceptos previos y definiciones de la Asimetría estadística), propiedades y procedimientos, procedimientosyargumentos. ‐ Se analizó los “objetos y procesos primarios” de los libros de texto del curso considerando tablas comparativas. Metodologíaparaelanálisisdelossignificadospersonales: ‐ Se hizo la construcción de un cuestionario considerando 10 especificaciones (contenidos) clasificados en 4 categorías: Definiciones de conocimientos previos y de la Asimetría estadística, aplicaciones de los conocimientos previos, interpretacionesycálculosdelaAsimetríaestadística; estas categoríasa su vezse clasificaron en 3 tiposde contenido:conceptual,procedimentalyreflexivo.Este cuestionario fue validado por 6 expertos en Estadísticoy/oenelEOS.Despuésdeestavalidación, de10preguntasconsideradasenuninicio,seprocedió a extender a 16 preguntas para que resuelvan los alumnos. ‐ Se hizo el análisis cognitivo, según el EOS, de la respuestaexpertaydelasrespuestasdelosalumnosa las preguntas 12 y 16 identificando los objetos matemáticos previos, lenguajes, procesos, procedimientosyargumentos. ‐ Se hizo el análisis de las respuestas de los alumnos desde la pregunta 1 hasta la pregunta 11 y desde la pregunta 13 hasta la pregunta 15, sin considerar el análisiscognitivodelEOS,porserlasrespuestasdelos alumnosmuycortas. 360 ReportesdeInvestigación ‐ Seidentificólosconocimientosquetienenlosalumnos de acuerdo a los contenidos de las preguntas y de acuerdo a los tres tipos de contenido: conceptual, procedimentalyreflexivo. Resultados: Habiendo analizado los 5 libros de texto recomendados a los alumnos y habiendo analizado las respuestas al cuestionario de los alumnos mencionados, se obtuvieron los siguientes resultados: 1. Resultados del significado institucional de referencia de la Asimetríaestadística: Las situaciones presentadas en los libros de texto son descontextualizadas y no permiten la emergencia de un nuevo concepto matemático: La Asimetría estadística, es decir,sehaceunaenseñanzatradicional. Las situaciones planteadas o como ejemplos conllevan a utilizar procesos en los que predomina el rigor matemáticoynoelpensamientoreflexivoestadístico. Engeneral,lassituacionesdadasenloslibrosdetextono hacen ver a los alumnos la relación de las medidas de tendenciacentralconlaAsimetríaestadística. En general, los libros de texto no profundizan en dar aplicacionesdelaAsimetríaestadística. Lasdemostracionesformalesyargumentosestánausentes enestoslibrosdetextoanalizados. Las definiciones para la Asimetría estadística que se dan enloslibrosdetextoanalizados,son6:4paralamuestra (que se deberían definir como Aproximaciones de los estimadoresdelaAsimetríaestadísticaynoloconsideran así,esdecir,noseestáenseñandoladefinicióncorrecta)y 361 ReportesdeInvestigación 2paralavariablealeatoria.Las6definicionesquesedan enloslibrosdetextoanalizadosson: ‐ ElprimercoeficientedeAsimetríadePearson. ‐ ElsegundocoeficientedeAsimetríadePearson. ‐ El coeficiente de Fisher o coeficiente de Asimetría de tercerorden(paraunamuestra). ‐ El índice de Asimetría de Pearson utilizando momentos. ‐ Elíndicebasadoenlostrescuartiles. ‐ ElíndicedeAsimetríadeFisher(paraunapoblación). 2. Resultados de los significados personales declarados de la Asimetríaestadística: Delasrespuestasdelosalumnosenelcuestionariodadoa las preguntas 12 y 16 (que se analizaron según el EOS) se pudo deducir que los alumnos no entienden los conocimientos previos de la Asimetría estadística como son:lasmedidasdetendenciacentralytampocoresuelven el proceso algorítmico para hallar la media aritmética y la moda para datos agrupados como tampoco saben el procesoalgorítmicoparahallarlaAsimetríaestadística. De acuerdo a las respuestas de los alumnos en el cuestionariodadodesdelapregunta1hastalapregunta11 y desde la pregunta 13 hasta la pregunta 15 (que se analizaron sin considerar el EOS, por ser las respuestas muycortas)sucedióelresultadoanálogoalresultadodelas preguntasanalizadosconelEOS,sededujoque,engeneral, los alumnos no entienden los conocimientos previos de la Asimetría estadística, no resuelven el proceso algorítmico para hallar la media aritmética y la moda de datos agrupados y tampoco reconocen la diferencia entre Asimetría estadística de variable aleatoria y Asimetría estadísticademuestra. 362 ReportesdeInvestigación De acuerdo a las 10 especificaciones dadas en el cuestionario agrupadas en las 3 categorías antes mencionadas y según el tipo de contenido: conceptual, procedimental y reflexivo, los alumnos, en general, no lograronaplicarestostiposdecontenido. Conclusiones: El significado institucional de referencia visto en los libros de texto respecto a la Asimetría estadística no corresponde a la definición teórica (dada en el fundamento teórico); es decir, en los libros de texto la definición que se da a la Asimetría estadística correspondea la definición de las aproximacionesde los estimadores estadísticos (que es para una muestra de datos). Con esto comprobamos que se requiere de una presentaciónadecuadadeesteobjetomatemáticoanivel de libros de texto que distinga diferencias entre: la Asimetría estadística de una variable aleatoria (parámetro) con la Asimetría estadística de una muestra de datos (estimador) y la Asimetría estadística de las aproximacionesdelosestimadoresestadísticos. ParalaenseñanzadelaAsimetríaestadística,losejercicios que se presentan en los libros de texto, enfocan a una enseñanzatradicional. El procedimiento que se siguió para la construcción del cuestionariosepuedeseguirparahaceruncuestionarioa aplicar a alumnos de distintas carreras profesionales, ya seaparaconocerlaformacómoaprenden,lasdificultades quetienenyloquehanaprendidorespectoalaAsimetría estadística o para conocer el aprendizaje de los alumnos respecto a otros temas estadísticos, especialmente los temasbásicos. Los significados personales declarados no coincidieron con el significado institucional de referencia; es decir, las 363 ReportesdeInvestigación respuestas que los alumnos dieron, mediante el cuestionario,fueronenlamayoría,incorrectas,deestose notaqueelconocimientodelaAsimetríaestadísticaylos conocimientos previos a este objeto matemático ‐ que se enseña en los libros de texto – no pasó a ser parte del conocimientodelosalumnos. Se identificó la necesidad de mejorar el contenido de los libros de texto en relación a la presentación de la Asimetría estadística, puesto que este aprendizaje está enfocado al proceso algorítmico sin comprender el concepto del objeto matemático, esto se deduce al haber hechoelanálisisdeloslibrosdetextoqueenfatizaaeste aprendizaje. En consecuencia también es necesario mejorar el diseño de clases que incidan en la interpretación de este objeto matemático en situaciones contextualizadas. Referencias Canavos, G. (1988). Nombre del autor. Probabilidad y estadística, aplicaciones y métodos. McGraw‐Hill/ InteramericanadeMéxico,S.AdeC.V. Bonato, M. (2010), “Robust estimation of skewness and kurtosis in distribution with infinite higher moments”. FinanceResearchLetters,8(2),79‐82. Godino, J., Batanero, C., y Font, V. (2007), “ The onto‐semiotic approach to research in mathematics educationRobust”. ZMD The international Journal in Mathematics Education, 39(1‐2),127‐135. James, B. (2004). Probabilidad: Un curso de nivel intermedio y estadística,aplicacionesymétodos.IMCA,Lima‐Perú. 364 ReportesdeInvestigación USODAHISTÓRIADAMATEMÁTICAEM SALADEAULA:VÍDEOSDABBCCOMO POSSÍVELRECURSODEENSINO PriscilaAraújoSimões, AbigailFregniLins UniversidadeEstadualdaParaíba‐Brasil [email protected], [email protected] Resumo A utilização da História da Matemática pode se dar de várias formas com objetivo de promover atividades diferenciadas. O documentário da BBC, The Story of Maths, por exemplo, mostra diversos assuntos matemáticos de forma clara e acessível, explora histórias cativantes e história de vida dos maiores matemáticos ao redor do mundo. Em nossa pesquisa de iniciação científica, de carácter qualitativo, através de questionários, pudemos constatar o interesse de quinze professores de Matemática da educação básica da cidade de CampinaGrande,Paraíba,Brasil,autilizarodocumentárioda BBCdesdequehajaelaboraçãodeumapropostadidáticapara seu uso em sala de aula, pois os professores, ao assistirem quinze minutos do documentário, entre a parte I e II do questionário, ficaram deslumbrados com a qualidade do mesmo.Apesquisanosmostrouquedevemosnosdebruçarno desenvolvimento de uma proposta didática adequada ao uso detaldocumentário,poisomesmofoiaprovadoportodosos professores pesquisados. Portanto, devemos levar em consideração um olhar para as tecnologias e mídias a repensarmos uma maneira diferente de usarmos recursos audiovisuais em sala de aula, em especial ao explorar a HistóriadaMatemáticacomorecursodeensino. Palavras‐Chave:HistóriadaMatemática.EducaçãoMatemática. DocumentáriodaBBC.TheStoryofMaths.RecursodeEnsino. 365 ReportesdeInvestigación Introdução Esta pesquisa é fruto do Projeto Iniciação Científica, bolsita CNPq. InicialmenteapesquisaasertrabalhadaeraousodaHistória daMatemáticaemsaladeaula:vídeosdaBBCenquantorecurso deensino.JáhavíamosassistidoalgunsdocumentáriossobreA História da Matemática, mas não tínhamos conhecimento sobre os documentários da BBC, emissora pública de rádio e televisãodoReinoUnido.Oprimeirocontatocomosvídeosse deu durante reuniões que fazíamos aproximadamente uma hora todas as quintas‐feiras e foi relativamente impactante. Desdeentão,nossointeressepeloassunto,emsipelapesquisa, foi despertado. Portanto, sabíamos que era exatamente sobre aquele assunto e com todo o material apresentado que eu gostaríamos de estar trabalhando. Por fim, o grupo se iniciou comdezalunosecomeçamosacolocaremprática. Durante as reuniões passava‐se uns vinte minutos do vídeo e logo em seguida sentávamos em círculo e começávamos a debatersobreoquefoivistoportodos.Eramfeitasperguntas pelos alunos, curiosidades despertadas por todos sobre como essapesquisasedariaequaisosresultadosaosertrabalhado em sala de aula. Com o passar das reuniões a quantidade de alunos foi diminuindo e então só restou nós no Projeto, continuamosseguindocomasreuniões. O intuito da pesquisa era trabalharmos em sala de aula se houvesse todo o material disponível, e se seria valioso dar continuidade trabalhando a História da Matemática usando como ferramenta os vídeos da BBC. Não tivemos este tempo, então optamos pela aplicação de um questionário para professores de Matemática a nível Fundamental e Médio em duas escolas públicas de Campina Grande: Monte Carmelo e EstadualdaPrata. A seguir descrição de todo o processo realizado com os professores, os objetivos, a metodologia utilizada e os resultadosobtidos. 366 ReportesdeInvestigación Uso da História da Matemática em sala de aula: vídeos da BBCenquantoopçãocurricularerecursodeensino OdocumentáriodaBBC,TheStoryofMaths,éapresentadopelo matemático puro e pesquisador da Universidade de Oxford, professor Marcus Du Saoutoy.O vídeo é divido em quatro capítulos, tendo cada capítulo cinco ou sete episódios que contamaHistóriadaMatemáticaaoredordomundo. Os vídeos da BBC tratam diversos assuntos matemáticos, os quais são apresentados com imagens produzidas com o objetivo de explicar de forma clara e acessível às ideias matemáticas, como resolução de problemas práticos, envolvendo comércio, construções, agriculturas e até mesmo construções abstratas, envolvendo propriedades de figuras geométricas, do infinito, dos números e das operações. Os episódiostambémexploramhistóriascativantesehistóriasde vidadosmaioresmatemáticosaoredordomundo. Segundo o professor Marcus (primeiro episódio), este documentário da BBC oferece para as pessoas vislumbres novos e extraordinários, relacionados à importância da Matemática, estabelecendo para esta disciplina um dos maioresfeitos.Ateseutilizadanodocumentárioéamaisaceita atualmente pela a Humanidade, isto é, de que a Matemática primitivaoriginou‐seemcertasáreasdoOrienteAntigocomo uma ciência prática para assistir determinadas atividades ligadas à engenharia e a agricultura. Essas atividades requeriam cálculos, desenvolvimento de sistema de pesos e medidas empregados na colheita, distribuição de alimentos, lançamentoearrecadaçãodastaxaseimpostos,entreoutros. Ainda no primeiro episódio, professor Marcus explora que semelhanteaosbabilônios,osegípciostambémapresentavam seus resultados por meio de receitas. Como podemos ver na FiguraI,abaixo,apedraderoseta,opapirodeRhindeopapiro de Moscou são achados arqueológicos que mostram os métodos de multiplicação e divisão egípcios é o documento maisimportantequetemoshojedaMatemáticaEgípcia.Dadaa formafrágilcomoregistramseusconhecimentos,pormeiode 367 ReportesdeInvestigación papiros, temos hoje poucos registros sobre o conhecimento egípcio: Fonte: <http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/prhind.htm>, acesso em24/09/13A Figura1‐PapirodeRhindeoPapirodeMoscou Metodologia Apenascomumabreveideiadoconteúdododocumentárioda BBCpodemosafirmarqueomesmoseriadegrandevaliacomo recurso a ser utilizado em sala de aula de Matemática. Mas, como?Dequeforma? Como o primeiro episódio determinados assuntos de Matemática como sistema decimal, frações, área do círculo, números binários, entre outros. Isto é, assuntos dados nos EnsinosFundamentaleMédio,elaboramosnossapesquisano sentido de sabermos sobre o conhecimento do documentário da BBC entre professores de Matemática para que soubéssemos se seria mesmo de valia o desenvolver material baseadonodocumentárioaserutilizadoemsaladeaula.Para isso, planejamos mostrar aos professores 15 minutos do EpisódioI,quemencionamosagoraapouco. Sendo assim,a pesquisa se deu a partir de um questionário aplicado para os professores de Matemática de duas escolas públicas de Campina Grande, tomando como abordagem investigaçãoqualitativaemeducação(BodganeBiklen,1994). As escolas envolvidas foram Monte Carmelo com relação ao Ensino Fundamental e Estadual da Prata com relação ao Ensino Médio. No Monte Carmelo aplicamos o questionário 368 ReportesdeInvestigación para oito professores de Matemática, já no Estadual da Prata aplicamos para seis professores. A escolha das escolasse deu porjátermosfamiliaridadecomasmesmas,facilitandoassima realização da pesquisa. Todos os professores de ambas as escolasfizerampartedapesquisa. O questionário totalizou em oito perguntas, sendo divididas emduaspartes.Ascincoprimeirasperguntasforamnomeadas como Parte I e as três últimas perguntas foram nomeadas como Parte II. Entre as Partes, passamos os 15 minutos do EpisódioI.NaParteIfizemosasseguintesperguntas: 1. Queescolaleciona? 2. Quegraduaçãocursoueemqueanoseformou? 3. Háquantotempoleciona? 4. Utiliza recursos tecnológicos em suas aulas de Matemática?Sesim,quais.Senão,justifique. 5. Já ouviu falar sobre os vídeos da BBC relacionados á História da Matemática? Se sim, por quem? Como? Temosvídeos? Essas perguntas foram feitas objetivando saber sobre a formação de cada professor e se durante esse processo eles tiveramalgumcontatocomrecursostecnológicosrelacionados à História da Matemática. Já na Parte II, após eles assistirem quinzeminutosdo(Capítulo1,EpisódioIdaBBC)foramfeitas asseguintesperguntas: 1. Você trabalharia com os vídeos da BBC em sala de aula?Sesim,comoeparaque?Senão,justifique. 2. Seriavaliosoteracessoaummaterialelaboradocom os vídeos da BBC a ser utilizado em sala de aula de Matemática?Sesim,explique.Senão,justifique. 3. VocêacreditaqueosvídeosdaBBCpermitemtrataros conteúdos e conhecimentos matemáticos de forma contextualizada favorecendo o crescimento 369 ReportesdeInvestigación intelectual, histórico e cultural do aluno? Se sim, por quê?Senão,justifique. Essas três perguntas objetivaram saber se os professores tinham gostado dos vídeos e se caso eles tivessem acesso a essematerialrelacionadoaosvídeosdaBBCtrabalhariamem sala de aula com os seus alunos. Os vídeos da BBC não mostram apenas a Matemática com o uso da tecnologia, mas simaMatemáticadouniversopresentenavidaenocotidiano decadaum. Logoapósaaplicaçãodosquestionáriosemambasasescolas públicas, dialogamos com os professores sobre o objetivo da pesquisacomoumtodo. Discussãodosresultados Pudemosnotar,viaParteIdoQuestionário,queamaioriados professores não teve nenhum contato com recursos tecnológicos em sua graduação. Muitos também não tinham ouvido falar dos vídeos da BBC, com exceção de dois professores,dasEscolasIeII,quetrabalharamcomosvídeos quandoosapresentamos. Um dos professores da Escola I respondeu a questão dois da ParteIIcomo: Sim. Acredito que ter acesso a um material elaborado comouapartirdessesvídeospoderiacontribuirpara aulas de Matemática mais significativas, nas quais os alunospoderiamestabelecerconexõescomarealidade mais facilmente. Mas de modo que antes dos vídeos serem trabalhados que pudéssemos fazer toda uma preparação, seja ela a História propriamente dita, ou com seminários, ou através de pesquisas. Pois os vídeosseráumacomplementaçãodeumaaulacriativa, diferenciadaeatrativa. Essarespostanoslevouachegaraoobjetivoaqualestávamos buscando. É justamente dessa forma que pensaríamos em trabalharemsaladeaulasedesenvolvêssemosumaproposta didáticaparaaulasdeMatemática. 370 ReportesdeInvestigación Após assistir o vídeo, os professores notaram facilmente os assuntos abordados. Alguns disseram sistema decimal, outros frações,cálculodaárea,númerosbinários,entreoutros. Finalizada a aplicação do Questionário em ambas as Escolas, conversamos um pouco com todos os professores. Eles nos disseram o quanto seria importante para os alunos trabalhar comesserecursoetodosestavambastanteanimadosparaque essa pesquisa de iniciação científica se desse futuramente comoumtrabalhomaior,noqualosprofessoresgostariamde estar trabalhando juntamente conosco na elaboração de uma proposta didática envolvendo os vídeos BBC a trabalhar a HistóriadaMatemáticaemsaladeaula. Alguns dos professores disseram que tentam melhorar o ensino para que não fique na mesmice. Tentam trabalhar de formas diferenciadas com os seus alunos, mas por falta do reconhecimentosobreousodatecnologianaeducaçãoefalta deinfra‐estruturaficacomplicadotrabalharnessassituações. Percebemos o quanto eles gostaram dos vídeos da BBC no momentoemquetodosnospediramqueanotássemosseuse‐ mails e que enviássemos os links dos vídeos. Ficamos satisfeitas ao conversar com os professores, pois demonstraram interesse na pesquisa e colaboraram do início ao fim. Por fim, conversamos e debatemos entre nós, orientadora e orientanda,sobre o trabalho como um todo e a forte possibilidade de desenvolvermos uma proposta didática com os vídeos da BBC, em colaboração com os professores pesquisados. Reflexões A pesquisa realizada nos mostrou a necessidade de um novo olhar para as tecnologias e que sejam repensadas como recursosaudiovisuaisemsaladeaulaaofalarsobreaHistória da Matemática. Alguns professores, muitas vezes, não sabem utilizar as tecnologias ou até mesmo não as tem disponível paratrabalharcomseusalunos. 371 ReportesdeInvestigación Apesardeastecnologiasestarememalta,elasaindanãoforam alcançadas em muitas escolas. A escola precisa ter objetivos bem definidos para que possa desempenhar bem o seu papel social, onde a maior preocupação deve ser o crescimento intelectual,emocionaleespiritualdoaluno. Os alunos na maioria das vezes só aprendem a disciplina quando relacionam fatos, confrontam pontos de vista e consultamfontesdepesquisas.Entendemosserocasodouso dos vídeos da BBC em sala de aula, uma forma totalmente prazerosadetrabalharconteúdosnasaulasdeMatemática. Referências Duarte, Samuel. Sinopse. A História da Matemática‐BBC. Disponível em:<http://www.ime.usp.br/~brolezzi/disciplinas/2010 2/mat341/sinopsessamuel.htm>,acessoem23/09/13. Ibiapina, Ivana Maria Lopes de Melo. Pesquisa Colaborativa: investigação, formação e produção de conhecimentos. EditoraLiberLivro,2008,p.134. Junior, Ivail Muniz. Vídeos da TV escola/canal de educação‐ Dicas Pedagógicas.Disponívelem:http://tvescola.mec.gov.br/im ages/stories/dowload_aulas_pdf/fichas_ok/educacao/his toria_da_matematica_a_linguagem_do_universo.pdf, acessoem23/09/13. Lintz,RubensG.HistóriadaMatemática,volumeI.Blumenau: EditoradaFURB,1999.521p. Robert, Bogdan e Biklen, Sari. Investigação Qualitativa em Educação, uma introdução á teoria e aos métodos. Porto Editora,336p,1994. 372 ReportesdeInvestigación OUSODACALCULADORAVIRTUALNO ENSINODASOPERAÇÕESCOMFRAÇÕES IvaneteMariaBarrosoMoreira, PedrofrancodeSá UFPA/Brasil–UEPA/Brasil [email protected], [email protected] Resumo Este texto apresenta os resultados de uma pesquisa que teve comoobjetivoinvestigarousodacalculadoravirtualnoensino das operações com frações a partir de situações‐problema. O experimento foi desenvolvido em uma escola pública do Município de Belém no Estado do Pará ‐ Brasil, os sujeitos foram 45 alunos de 5ª série do Ensino Fundamental. A metodologia utilizada foi a Engenharia Didática com estudos poratividades,osestudospréviosforamrealizadosapartirde uma consulta a 100 docentes sobre o processo de ensino e aprendizagem de frações; a parte experimental deu‐se por meio de 10 questões/situações problemas e uma calculadora virtual de frações como recurso didático. Este experimento trouxe entre outros, os seguintes resultados: a viabilidade da calculadora virtual de fração como recurso didático para o ensino de operações com frações; a facilidade de percepção e generalizaçãoderegrasdasoperaçõescomfraçõesapartirdo usodesituaçõesproblemas;arelegaçãodousodaferramenta m.m.c.paraaresoluçãodesituaçõesproblemasnasoperações defrações. Palavras‐chave:Matemática;Fração;Calculadora;Resoluçãode problemas. Introdução Nestetexto,temoscomoobjetivoapresentarosresultadosdo estudo dissertativo que teve como titulo “O ensino das operações com frações envolvendo calculadora” (Moreira, 373 ReportesdeInvestigación 2010), realizada com 45 alunos de uma turma de 5ª série do Ensino Fundamental de uma escola do município de Ananindeua‐Pará, no ensino das operações com frações em atividadesmediadasporumacalculadoravirtual.Oobjetivodo experimento foi investigar a viabilidade do ensino das operaçõescomfraçõespormeiodeatividadesdesenvolvidasa partir de situações‐problema mediadas por uma calculadora virtualdefração. Dentreosváriosconteúdosmatemáticosexistentes,oconjunto dosNúmerosRacionaisnaformafracionáriaéconsideradode grande complexidade. As frações quando são empregadas em situações cotidianas e analisadas no cenário pedagógico, assumem interpretações que variam de acordo com a visão, interesseequestionamentosdedeterminadaspesquisas.Neste sentido foi realizado um estudo preliminar sobre pesquisas existentes sobre o ensino de Fração, aos quais encontramos algumas investigações sobre: propostas e prática docente no ensino de frações como as de Monteiro, Pinto e Figueiredo (2005), e Nascimento (2008); dificuldades no processo de ensino‐aprendizagemdasfrações,comoasdeNotari(2002)e Magina e Campos (2008); as operações com frações e suas dificuldades, que são as de Silva (2007), Oliveira e Aguila (2005), Guerra e Silva (2008); o uso de recursostecnológicos no ensino defrações, deacordocomFagundes (2005) e Rosa (2007). Quanto a pesquisas sobre o uso da calculadora no ensino de conteúdos matemáticos encontraram‐se as que tratam: da mudança nas estratégias de alguns alunos da 6a série do ensinofundamental,quandoelespassamausaracalculadora na resolução de problemas matemáticos abertos, de Ruthven (1994); e o ensino das operações com números relativos por meio de atividades envolvendo a calculadora como recurso didático e jogos, onde a multiplicação é trabalhada em uma única atividade, em Sá et al (2006). Mediante o exposto, o referencial se concentrou entre a metodologia da Engenharia Didática com Brousseau (1996) e Pais (2001), a Tendência Resolução de Problemas com Borin (1995), onde se focou na 374 ReportesdeInvestigación pesquisa, a viabilidade do ensino das operações com frações por meio de atividades desenvolvidas a partir de situações problemas com Mendes (2006), mediadas por uma CalculadoravirtualdeFração. Metodologia Participaram do estudo 45 alunos de 5ª série do ensino fundamentaldeumainstituiçãopúblicaestadualdomunicípio de Ananindeua‐Pará, com faixa etária variando entre 9 e 11 anos. Sendo que nenhum desses alunos se encontrava na situaçãoderepetênciae/oudependência.Asatividadesforam aplicadasemtrezeencontros,comduraçãode1he30minutos cadauma. Apesquisafoidesenvolvidapormeiodasseguintesetapasda Engenharia Didática: diagnóstico inicial; elaboração das atividades,aplicaçãodasatividades,fixação,diagnósticofinale analisedosresultados(Brousseau,1996;Pais,2001). O diagnóstico inicial da turma foi realizado por meio de um pré‐testecomquestõessobreadição,subtração,multiplicação edivisãodefrações,comoobjetivodeavaliaroconhecimento prévio da turma acerca dessas operações. Os resultados nos indicaram que a turma não tinha domínio dos algoritmos das operaçõesemquestão.Comosresultadosdopré‐teste,houvea elaboração das atividades, sendo cinco atividades para cada operação(adição,subtração,multiplicaçãoedivisão)defração, as quais foram desenvolvidas pelos alunos, no laboratório de informática, organizados em grupos de três pessoas e utilizando como recurso pedagógico a Calculadora de Fração (máquinavirtual). Abaixo temos uma imagem do modelo de maquina que foi utilizado no computador. A Calculadora de Fração é um software educativo, baseado em uma calculadora convencional. Imagem1:Calculadoravirtualdefração 375 ReportesdeInvestigación Figura01:Interfacedamaquinavirtualdefrações Aáreadetrabalhoconstruídaésemelhanteàdeumaplicativo simples.Olayout,napartesuperior,possuiumabarravertical e campos destinados a representar a fração numericamente. Antesdarealizaçãodaprimeiraatividade,houveummomento deexploraçãodamáquinadecalcularvirtual.Nestemomento, foiexpostoque;paracalcularbastaclicarnosvaloresquese deseja operacionalizar e no algoritmo da operação desejada (+,‐,xe÷). A interface possui teclas numéricas e de algoritmos, como a tecla: “Limpar”, que serve para reiniciar as operações; “+/‐” reservada para efetuar operações com valores positivos e/ou negativos e; os modos “Ensino” e “Normal”. Os “modos”, procedimentosutilizadosnesteinstrumento,sãodois:“Modo: Normal”, ativada por meio da tecla “Normal”, representa os resultados, da operação desejada, na forma fracionária e na forma decimal; e “Modo: Ensino de Fração”, ativada por meio datecla “Ensino”, representa os resultadossomente na forma fracionária,estainterfacetemcomovantagemapraticidadede execuçãodasatividades. Após a elaboração, propusemos a aplicação das atividades, tendo antes um momento de exploração da máquina de 376 ReportesdeInvestigación calcular. Com o manuseio iniciou‐se a 1ª atividade, que tinha como objetivo, fazer com que os alunos descobrissem um algoritmo para o cálculo da adição de frações com denominadores diferentes, porém, foi notório o desconforto por parte dos alunos ao resolverem os primeiros problemas com a calculadora, por não conseguirem abstrair de onde surgiam alguns elementos contidos nas respostas. Levando‐ nosaalteraraordemdeapresentaçãodosconteúdos,nocaso a troca da atividade de adição de fração com denominadores diferentes pela atividade de multiplicação de frações, por teremcaracterísticaspeculiares,naresoluçãodosproblemas. Durante o desenvolvimento da atividade, os alunos tiveram a percepção imediata do acontecia na operação após o uso da calculadorapararesolverosproblemas,ouseja,apósousoda calculadoraeseremdesafiadosadescobriremumamaneirade obter os resultados produzidos pela máquina sem o uso da mesma,osalunoschegaramàconclusãoquepoderiamusaro . , pois o resultado das algoritmo assim descrito . . questões era visivelmente organizado desta forma, comprovadopelasfalasdealunos: A2‐Professora,a‘A12’(falouonomedacolega)estacomrazão eu fiz como ela na calculadora e olhando a gente vê que esta sendo“multiplicadoosdoisnúmerosqueestãonotraçodecima, umcomooutro,eéigualembaixo”,fiznomeucadernoedepois nacalculadoraeasrespostatavaigual. A11‐ Hei! Eu também fiz igualzinho, se for tudo assim, as continha,vôtirar10naprova,éfácil. Ofatodadescobertadoalgoritmomotivouaturmaarealizara 2ª atividade que foi desenvolvida no encontro seguinte. A atividadetinhacomoobjetivoqueosalunosdescobrissemum algoritmo para o cálculo da divisão de frações. Durante o desenvolvimento da atividade os alunos foram novamente desafiadosadescobriremumamaneiradeobterosresultados produzidospelamáquinasemousodamesma. 377 ReportesdeInvestigación Os alunos sentiram dificuldades, pois começaram a perceber que para se resolver uma divisão de frações, em vez de utilizarem a operação ‘divisão’, eles precisavam usar a operação ‘multiplicação’, como na atividade anterior. Neste momento foi notória a mudança de atitude dos alunos em relação à atenção e cuidados nas resoluções, conseguindo chegaràgeneralizaçãodosalgoritmos,descritaparaadivisão . . Como se percebe nasfalasdos daseguinteforma . alunos: A12‐Professora,acalculadora“tabugando”!!! P‐Porquê?[espantopelaexclamação] A12‐ Por que professora, ela não “tá” dividindo as frações, ela “tá”multiplicando! A16‐ Verdade fêssora, “olha só”, se Eu pego e multiplico as fraçõesassim [em forma de x], eu tenho o resultado dela, igual nacalculadora.Issotácerto? Na 3ª atividade, os alunos já conseguiam perceber a operacionalização existente em relação a multiplicação direta dos denominadores, mas sentiram dificuldades em encontrar como se realizava a multiplicação dos numeradores. Este obstáculo durou até a compreensão, mediada, da semelhança de resolução da operação de divisão de frações, sendo extremamente proveitoso este estímulo de conhecimento, ao finaldoesforçoosgruposdealunoschegaramaconclusãoque . . . poderiam usar o algoritmo assim descrito . Vejamosduasfalasdealunosparailustrarestatrajetória: A18‐ Professora, todos os resultados dessas contas,tema parte debaixomultiplicadadireto! A33‐Deixadeser‘hããã’,nósvamosmultiplicarem‘X’odecima pelodebaixo,colocarosinaldeadição,depoisooutrodebaixo pelo de cima, e colocar tudo isso em cima e depois vamos 378 ReportesdeInvestigación multiplicarosdoisdebaixoecolocarembaixo.Eunãotôcerto ‘fessora’? Na 4ª atividade, os alunos resolveram sem esforço, pois conseguiramfazerarelaçãocomadescobertadoalgoritmoda adição com frações, perceberam a semelhança entre as duas operações, os grupos então chegaram ao algoritmo . . .Asfalasabaixocomprovamestarealização: . A21‐Professora,eujáresolviasquestões... A33‐Claro,professora,nósjásomoscraquenessascontinhas. O efeito do desenvolvimento das atividades foi avaliado 12 semanas após as atividades de fixação, por meio de um pós‐ teste com as mesmas questões do pré‐teste que constituiu o diagnósticofinaldapesquisa. AnálisedosResultados Com o objetivo de avaliar os efeitos das atividades propostas foi aplicado o pós‐teste e para realizarmos a análise dos resultadosobtidoscomaexperiênciadesenvolvidaemsalade aula, criamos uma tabela comparativa entre os resultados obtidosnopréepós‐teste. Analisando a tabela comparativa, no anexo A e B, podemos notarqueemrelaçãoaoitem“erro”,emtodososcasos,háuma diminuiçãononúmerodealunosquenopré‐testeerraramas questões, e acreditamos que esses resultados são tão expressivos quanto no item acerto. Uma comprovação dessa importância aparece nas questões que não tiveram acertos, questões 6, 7, 8, 10, no primeiro momento com um aumento deste percentual para 77,8%, 91,1%, 88,9% e 82,2%, para as mesmasquestões,nosegundomomento. Quantoaoitem“acerto”,queserepetiuentre2,2%e4,4%,no primeiro momento, houve um aumento expressivo desses valores, chegando ao percentual de 88,9% (maior valor) para 379 ReportesdeInvestigación os que tiveram 2,2% e 95,6% para os que tiraram 4,4% no segundomomento. Estes resultados indicam que o conteúdo trabalhado foi assimilado de forma significativa. A partir disto acreditamos que esses conhecimentos adquiridos serão extremamente importantesnaaplicaçãodeoutrosconteúdosnodecorrerda vida acadêmica desses alunos. De acordo com as tabelas (AnexoAeB),tambémpodemosperceberadiscrepânciados resultadosentreopréeopós‐teste. Analisandooresultadodosacertoseerrosdopós‐testetem‐se um crescimento considerável das melhorias nas resoluções, consequentemente nas construções dos algoritmos, com atividades mediadas pela Calculadora de Fração e sem o recursodommc. ConsideraçõesFinais Osresultadosobtidosindicaramqueoexperimentocomouso da calculadora de fração virtual, como recurso didático em atividades para o ensino das operações com frações, permite que os alunos acessem as regras operatórias, sem que as mesmas sejam previamente proporcionadas pelo professor e as resoluções de problemas motivaram os discentes a exercitaremasoperaçõesenvolvendoamultiplicação,divisão, adição e subtração de fração com denominadores diferentes combasenasregrasporelesdescobertas. A análise dos resultados dos pré‐testes e pós‐testes nos permitem concluir que: não há a necessidade de uso da ferramentam.m.c.paraaresoluçãodesituaçõesproblemacom frações; o uso das atividades com a máquina virtual de calcular, para levar os alunos a descobrirem as regras das operações com fração com denominadores diferentes são alternativasmetodológicasquelevamabonsresultadostanto nocampodoconhecimentomatemático,quantonacapacidade de expressão e registro de observações e conclusões. Neste contexto acreditamos que no caso entre o resultado do pré‐ teste e o desempenho dos alunos no pós‐teste, pode estar 380 ReportesdeInvestigación relacionado, de acordo com Magina e Campos (2008), ao fato desses conteúdos serem apresentados em suas bases na 4ª série do ensino fundamental, não têm explícitos os seus invariantes, e que existe uma tendência considerável, dos professores, em não levar em consideração o grau de dificuldadeinerenteemcadaitemdoensinodesteconteúdoe sua operacionalização, encontrados nas séries posteriores e a necessidadecrescentedenovasmetodologiasetécnicasparao seuensino. Referências Borin,J.(1995).Jogoseresoluçãodeproblemas:umaestratégia paraasaulasdematemática.SãoPaulo:USP. Brousseau, G. (1996). Fundamentos e Métodosda Didáticada Matemática. In: BRUN, J. Didáctica da Matemática, p. 35‐ 111.Portugal:InstitutoPiaget,1996. Fagundes, M. D. SAE‐Fra ‐ software de apoio ao ensino de frações ‐ FRAC‐SOMA. Relatório (Trabalho de Conclusão II).RioGrandedoSul:PUC,2005. Guerra,R.B.;Silva,F.H.S.(2008)Asoperaçõescomfraçõeseo princípioda contagem.Bolema, ano 21, nº 31: p. 41 a54. RioClaro‐SP. Magina,S;Campos,T.Afraçãonasperspectivasdoprofessore do aluno dos dois primeiros ciclos do Ensino Fundamental.Bolema,ano21,nº31:p.23a40.RioClaro‐ SP,2008. Mendes, I. A.; Sá, P. F. de. (2006) Matemática por atividades: sugestõesparaasaladeaula.Natal:FlechadoTempo. Moreira, I. M. B. O ensino das operações com fraçõesenvolvendo calculadora. Dissertação – Mestrado emEducação.UEPA;Belém/PA,2010. Nascimento,J.(2008).Perspectivaparaaprendizagemeensino dos números racionais. Revista de Iniciação Científica da FFC,v.8,n.2,p.196–208. 381 ReportesdeInvestigación Notari, A. M. (2002). Simplificação de frações aritméticas e algébricas: um diagnóstico comparativo dos procedimentos.SãoPaulo:PUC. Oliveira, M. S. S.; Aguila, M. J. S. D.(2005). Dificuldade no processo de ensino ‐ aprendizagem na resolução de problemas envolvendo fração na 5ª série do Ensino Fundamental.UEPA,Belém‐Brasil. Pais, L. C. (2001). Didática da Matemática: uma análise da influênciafrancesa.BeloHorizonte:Autêntica. Rosa, R. R. Dificuldades na compreensão e na formação de conceitos de números racionais: uma proposta de solução.Dissertação(MestradoemEducaçãoemCiênciase Matemática) – Faculdade de Física, Rio Grande do Sul: PUC,2007. Ruthven, R. (1994). Pupils’views of calculators and calculation.In:PME18,vol.4,Lisboa,Portugal. Sá, P. F.; Silva, R. C.; Barros Neto, A. J.; Alves, F. J. C. (2006). Calculadora em sala de aula: uma experiência no ensino de números relativos. In: III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. Anais: 1 CD‐ROM. ÁguasdeLindóia‐Brasil. Silva, A. da F. G. (2007). O desafio do desenvolvimento profissional:análisedaformaçãocontinuadadeumgrupo de professores das séries iniciais do ensino fundamental, tendo como objeto de discussão o processo de ensino e aprendizagemdasfrações.SãoPaulo:PUC. ANEXOS AnexoA Tabela1:Comparativodosresultadosobtidosnopré‐testeeno pós‐testedasquestõesdeadiçãoesubtraçãocomfraçõescom denominadoresdiferentes. 382 ReportesdeInvestigación ACERTO(%) QUESTÕES 1‐ Ana Maria está lendo um livro. Em um dia ela leu 1/2 do livro e, no dia seguinteleu1/7dolivro. Quefraçãocorrespondea parte que Ana Maria já leudolivro? 2‐Umaescolaofereceaos seus alunos duas atividades em educação física: basquete e vôlei. Entreosalunosdaescola, 2/4 se inscreveram em basquete e 1/6 em vôlei. Quefraçãocorrespondea todososalunosinscritos? 3‐Paraencherumálbum de figurinhas, Leila contribuiu com 1/2 das figurinhas enquanto Sandra contribuiu com 1/4 das figurinhas. Que fração corresponde as figurinhas das duas juntas? 4‐ A área total de uma fazenda foi utilizada para o plantio. A plantação de milho foi feita em 3/4 da fazenda, e o cultivo de frutas diversas em 1/12. Qual é a fração que corresponde a área total dafazenda? 5‐ Dona Carmem deu uma caixa de bombons para seus filhos Carlos e Raimundo. Carlos comeu 5/9 dos bombons dessa caixa e Raimundo comeu 3/2. Qual é a fração que representa a parte dos bombons que eles comeramdacaixa? ERRO(%) Pré‐teste Pós‐teste Pré‐teste Pós‐teste 2,2% 88,9% 97,8% 11,1% 2,2% 86,7% 97,8% 13,3% 4,4% 93,3% 95,6% 6,7% 4,4% 95,6% 95,6% 4,4% 2,2% 88,9% 97,8% 11,1% 383 ReportesdeInvestigación 6‐ Em um loteamento com 3/7 de terreno, foram vendidos avista 1/4dosloteseorestante foi vendido a prazo. Que fração do loteamento foi vendidaaprazo? 0% 77,8% 100% 22,2% 7‐Emumacidade,3/4da população votou na eleição para prefeito. As mulheres correspondiam a 1/2 das pessoas. Que fração representa os votosdoshomens? 0% 91,1% 100% 8,9 8‐ Em uma lanchonete restam 5/8 de um bolo para serem vendidos. No final da tarde foram vendidos 1/3. Que fração dobolonãofoivendida? 0% 88,9% 100% 11,1% 9‐ Augusto levou 4/3 de umapizzaparacasa,mas só comeu 1/12. Que fração da pizza Augusto nãocomeu? 2,2% 84,4% 97,8% 15,6% 10‐ Paulo foi ao parque dediversõesetem8/5de sua mesada para gastar. Comosbrinquedoselejá gastou 5/2. Que fração restou de sua mesada paracomprarumlanche? 0% 82,2% 100% 17,8% AnexoB Tabela15:Comparativodosresultadosobtidosnopré‐testee no pós‐teste das questões de multiplicação e divisão com frações. 384 ReportesdeInvestigación QUESTÕESDE MULTIPLICAÇÃOE DIVISÃO 1‐ Uma bandeira tem três cores: vermelho, amarelo e branco. Nessa bandeira 1/3 corresponde à faixa vermelha e, dessa faixa 1/4 foi reservado para desenhar um emblema. Qual é a fração da bandeira na qual está o emblema? 2‐ Você dedica 1/2 do tempolivreparaestudar. Desse tempo de estudo 1/5 você gasta estudando matemática. Qualéafraçãodotempo livre que você utiliza para estudar matemática? 3‐Deumafolhadepapel deseda.Rodrigosótema 1/2. Dessa metade, ele usou 1/3 para fazer um remendo em sua pipa. Que fração da folha de papel de seda ele usou pararemendarapipa? 4‐ Gastei 1/4 de hora parairapédaescolaaté a casa da minha tia. Minha irmã foi de bicicletaegastou1/6do tempo que gastei. Que fração da hora ela gastou? 5‐Umajarradesucoestá preenchida com 1/3 de sua capacidade. Fabiana tomou 1/7 do suco que havia na jarra. Que fração da jarra representa o que ela bebeu? ERRO ACERTO Pré‐teste Pós‐teste Pré‐teste Pós‐teste 62% 11% 38% 89% 67% 7% 33% 93% 64% 11% 36% 89% 64% 4% 36% 96% 64% 7% 36% 93% 385 ReportesdeInvestigación 6‐ Quantos pacotes de 1/6 kg de leite são necessário para obtermospacotesde1/2 kgdeleite? 100% 9% 0% 91% 7‐ Dona Marina quer embalar 2/3 de kg de balas de coco em saquinhos com 4/9 de Kg. Quantos saquinhos elaconseguiraencher? 100% 18% 0% 89% 8‐ Dona Carmem distribuiu 1/3 do bolo, dando 1/6 a cada um de seus sobrinhos. Quantos sobrinhos a dona Carmemtem? 100% 7% 0% 93% 9‐ Para fazer um vestido umacostureiragasta3/2 de metro de linha. Quantosvestidosiguaisa esse podem ser feitos com 5/9 de metros de linha? 100% 18% 0% 89% 10‐ Tatiana usa 1/12 metros de fita para enfeitar toalhinhas. Quantas toalhinhas ela poderá enfeitar com 4/3 defita? 100% 13% 0% 87% Fonte:Pesquisadecampo/2009 386 ReportesdeInvestigación MAPEANDOAPRODUÇÃOCIENTIFICA SOBREROBÓTICAEDUCACIONALEO ENSINODEMATEMÁTICANABASEDE DADOSDACAPES EdvanilsonSantosdeOliveira, AbigailFregniLins(BibiLins) UniversidadeEstadualdaParaíba [email protected], [email protected] Resumo Durante muito tempo os computadores foram reservadosaos militares para cálculos científicos (Levy, 1999). Na sociedade da informação as máquinas adquirem alto poder de processamento, as linguagens de programação cada vez mais se tornam populares, os avanços da ciência e tecnologia alcançamassalas deaula,onde montare programarrobôs já são realidade. No entanto, toda essa aceleração tecnológica e virtualizaçãodesaberestêmproduzidonovossignificadosnos processo de ensino e aprendizagem, e desta maneira, inquietado pesquisadores que buscam compreender as transformações do universo escolar provenientes do impacto das tecnologias na educação. O presente artigo apresenta o resultado de um estudo bibliográfico construído a partir de tesesedissertaçõesveiculadasnabasededadosdaCAPES,nos anos de 1998 a 2012, que tem como tema central a robótica educacional e o ensino de matemática. Acreditamos que o mapeamentodocenárioacadêmicobrasileiropodecontribuir de maneira significativa para compilação e análise de pesquisas, considerando as demandas educacionais contemporâneas. Palavras‐chave:RobóticaEducacional;EducaçãoMatemática; ProduçãoAcadêmica. 387 ReportesdeInvestigación Introdução Oambienteescolarécenáriodeváriasmudanças.Osavanços da ciência e tecnologia promovem transformações na sociedade contemporânea, refletidas também na comunidade escolar. As possiblidades de utilização de novos recursos didáticos metodológicos são amplificadas com o desenvolvimentodeferramentaspedagógicasamparadaspelo usodetecnologiasnodiaadiadasaladeaula. Com a popularização dos computadores, o computador deixa deserapenasumapoderosamáquinadecalcular,passandoa serutilizadonaindústriaautomobilísticaenaengenharia,logo sua versatilidade permitiu que fosse utilizado em outros setoresalcançandoassimaeducação.Atualmente,tematraído a atenção dos alunos, das escolas e dos professores despertandoointeressepelousodosrecursoscomputacionais nasdisciplinasemgeral. Naprática,arobóticaeducacionaléumaáreadeproduçãode conhecimentoessencialmenteinterdisciplinar,constituindo‐se da interlocução entre disciplinas como a matemática, a engenharia,acomputação,aeducação,apsicologia,amedicina entreoutros. No campo tecnológico o professor pode criar ambientes de aprendizagem interativos, estas possibilidades aumentam a cadapassoemqueaciênciaeatecnologiasãoaperfeiçoadas. Acreditamos no potencial estratégico e abrangente do uso de artefatos robóticos, aliados a criatividade do professor é possível a criação de um ambiente rico em possibilidades de ensino e aprendizagem, transformando a sala de aula, proporcionando a construção de saberes de modo lúdico e divertido. Metodologia O presente artigo articula‐se a partir dos campos da Tecnologia Educativa (TE) e da Educação Tecnológica (ET). Tratamos de um estudo exploratório de natureza qualitativa, 388 ReportesdeInvestigación tipobibliográfico(Costa,2012).Comopontodepartidatem‐se asseguintesperguntas:Quaisosconhecimentosproduzidosao longo da história recente dos Programas de Pós‐Graduação brasileiros sobre Robótica Educacional e o ensino de Matemática? Como a Robótica Educacional é compreendida, conceitualizada? Quais níveis de ensinos são explorados nas investigações? As bases de dados utilizados para o levantamento das fontes bibliográficas foram o Portal da Capes; a BDTD (Biblioteca DigitaldeTeseseDissertações)easbibliotecasvirtuais. Como categorias de busca utilizamos os seguintes termos: robótica educacional, robótica educacional e matemática, robóticanaeducaçãoMatemática. Resultados Foram identificadas cinco produções acadêmicas distribuídas entreosanosde2005 e2012.Considerandoaquantidadede teses e dissertações produzidas pelos programas de Pós‐ Graduação, pode‐se afirmar que a robótica na Educação Matemática não se constitui como um tema frequentemente estudado pelos pesquisadores brasileiros. Trata‐se de uma áreaaindainsipienteemtermosdepesquisasnacionais,oque difereseudestaqueacadêmiconoâmbitointernacional. Os estudos acessados sobre a respectiva temática foram: Robótica e as Transformações Geométricas: um estudo exploratório com os alunos do ensino fundamental, de RosângelaMengaiAccioli(2005),Interpretaçãodegráficosde velocidade em um ambiente robótico, de Renata Martins Fortes (2007), Robótica Educacional como cenário investigativo nas aulas de Matemática, de Karina Disconsi Maliuk (2009), Robótica Educacional: socializando e construindo saberes Matemáticos, de Maritza Costa Moraes (2010),e,porfim,RobóticanasaladeauladeMatemática:os alunos aprendem Matemática? , de Elisa Friedrich Martins (2012). 389 ReportesdeInvestigación Quanto aos procedimentos para análise, verificamos todos os resumos. Neste primeiro tempo de leitura, obteve‐se um mapeamento da produção acadêmica das Instituições de Ensino Superior por Regiões brasileiras e das temáticas abordadas.Posteriormenteostrabalhosforamlidosnaintegra. Investigamos os temas pesquisados, procedimentos metodológicos, os conteúdos matemáticos e, sobretudo, os fundamentosteóricos. Considerando a distribuição das produções acadêmicas nas instituições de ensino superior obtemos a seguinte configuração: Fonte:elaboradopeloautor Figura1–MapadoBrasilcomindicaçãodeproduções acadêmicasnasregiõesdoBrasil A partir da Figura 1, verificamos que a produção acadêmica nacional encontra‐se concentrada nas regiões sul (três estudos,doisnaUFRGSeumnaFURG)esudeste(doisestudos, naPUC/SP). 390 ReportesdeInvestigación No Programa de Pós‐Graduação em Ensino de Matemática da UFRGS, a dissertação Robótica educacional como cenário investigativo nas aulas de Matemática defendida pela professora Karina Disconsi Maliuk em 2009, apresenta a robótica educacional como recurso de ensino para trabalhar matemática nos anos finais do ensino fundamental. O foco da pesquisa não é aprendizagem de conceitos matemáticos, mas osmodelosdecenárioinvestigativopresentes,fundamentados na teoria de Skovsmose, e suas contribuições para aprendizagem.Apesardisso,aabordagemdealgunsconteúdos matemáticos como equações, ângulos, circunferências, distancia (medidas), tabelas e gráficos via robótica, é apresentadaepropostanotexto. No mesmo Programa de Pós‐Graduação citado no paragrafo acima,naUFRGS,ElisaFriedrichMartinsem2012,propõeuma dissertaçãointituladaRobóticanasaladeauladeMatemática: osestudantesaprendemMatemática?Otrabalhoérealizadoem uma escola da rede Municipal de Ensino de Porto Alegre, as atividades desenvolvidas pela autora visam a integração de conceitos matemáticos e robótica educacional, sendo elaboradas e implementadas à luz das teorias de Seymour Papert e Gérard Vergnaud. O ambiente de aprendizagem e a Teoria dos Campos Conceituais também forneceram suporte para análise dos dados. Como resultados, a autora relata um maior envolvimento dos estudantes nos estudos de Matemática e robótica, a aceitação do erro como uma estratégianabuscadesoluçõesdeproblemasdematemáticae odesenvolvimentodeestratégiasparaorganizar‐seemgrupo detrabalhos. Aautora,RosângelaMengaiAcciolidiscutiatemáticaRobótica e as transformações geométricas: um estudo exploratório com alunosdoensinofundamental,em2005,naPUC/SP.Oprocesso de investigação verifica as possibilidades do ambiente de programação ROBOLAB funcionar como um micromundo, no sentidodepossibilitaraconstruçãodenovossignificadospara a Simetria. A partir das observações de três oficinas de robótica na primeira fase, surgiu a hipótese que o ambiente 391 ReportesdeInvestigación robóticopoderiaserexploradoematividadesquefocalizassem a Reflexão e a Simetria. Em um segundo momento foram coletados dados durante duas oficinas extracurriculares de robótica, uma destinada a crianças de 2º e 3º anos e outra a crianças de 4º e 5º anos, ambas no Ensino Fundamental, envolvendo atividades que exploravam os movimentos dos robôs como se fosse uma dança. As análises indicaram diferentes significados matemáticos, expressados pelos participantes,relacionadosàmídiadisponívelparaaresolução das atividades. Na mídia papel e lápis, congruência em propriedade da reflexão mais destacadas pelos alunos, privilegiando as propriedades internas de objetos (intrafigural). As estratégias de resoluções possíveis no ROBOLAB, em particular, a necessidade de se expressar usando uma linguagem formal, parece ter contribuído para a construção ou para a percepção do conhecimento sobre Simetria, os resultados confirmaram as mídias presentes nas situações de aprendizagem tem um papel central na organizaçãoeexposiçãodopensamentooaluno. Em 2007, Renata Martins Fortes, no Mestrado em Educação Matemática, da PUC/SP apresenta a pesquisa intitulada Interpretação de gráficos de velocidade em um ambiente robótico, cujo principal objetivo foi investigar o impacto do ambiente robótico nas estratégias e representações utilizadas por estudantes na interpretação de gráficos apresentando relações entre distância, tempo e velocidade. Como metodologiaepesquisasãoutilizadosDesignExperiments,isto é, um processo de ciclo de reflexões acerca do ensinar e do aprender. Para o desenvolvimento das atividades, a autora busca referência na concepção construcionista de Seymour Papert, em que o professor estimula os alunos a criarem soluçõesinovadoras,apartirdesuasconjecturaspormeiode desafios.Asatividadesforamaplicadasemturmade7ºanodo Ensino Fundamental 1º ano do Ensino Médio, de uma escola privada localizada na cidade de São Bernardo do Campo no estado de São Paulo. De acordo com a análise dos dados, as dificuldadesenvolvidasnainterpretaçãodegráficosapontadas naspesquisasanteriorestambémemergemquandoosalunos 392 ReportesdeInvestigación interagemnumambienterobótico,noentanto,épercebidoque o trabalho com robôs proporciona oportunidade para criar conexõesentrediversasrepresentações. MaritzaCostaMoraesapresentaem2010umadissertaçãono Programa de Pós‐Graduação em Educação em Ciências: Químicadavidaesaúde,UniversidadeFederaldoRioGrande– FURG, sobre a temática Robótica Educacional: Socializando e Produzindo conhecimentos Matemáticos, investiga o uso da robótica educacional e sua contribuição para o conhecimento da Ciência, identificando as aprendizagens possíveis, pela observação e pelo relato dos estudantes. O trabalho foi realizado com a participação de alunos do Ensino Fundamental.Dasatividadesrealizadasnasaladerobóticade robótica e problematizadas nas aulas de Matemática, discutem‐se três experimentos: Balança de dois pratos, Robô girafaePontelevadiça.Duranteacoletadedados,utilizou‐sea adaptação do método clinico de Piaget, por possibilitar a verificaçãodecomoosujeitopensa,percebeeage.Paraanálise da experiência vivida, utilizaram‐se procedimentos da análise textualdiscursiva,queconsistenaunitarização,composterior categorização dos dados, seguindo a produção de um metatexto. Desta análise, emergiram as categorias: aprendizagens Matemáticas, Motivação e socialização, que foramdiscutidascomaporteteóricofundamentadosnateoria de Piaget. A partir da primeira categoria, observou‐se que a robótica, integradaao currículo, potencializouacompreensão conceitual matemática, bem como instigou a curiosidade dos estudantes pela ciência e tecnologia. Outra característica observada foi a motivação, percebida pelo interesse e satisfação demonstrados pelos estudantes, acarretando numa mudança de postura. A pesquisa revela a importância do trabalho em grupo, que permitem exercitar a cooperação e a colaboração, potencializando assim a socialização. O desenvolvimentodapesquisareafirmouqueaprendizagemda Ciência e, em particular da Matemática pode ser prazerosa, quandoaexperimentaçãoérealizadaeoconhecimentopassaa tersignificadoparaoestudante. 393 ReportesdeInvestigación Demodogeral,aconstruçãodosprojetosderobóticademanda tolerância e persistência por parte dos alunos e professores, pois permeiam caminhos interdisciplinares e requerem conhecimentos básicos de informática. É necessário estabelecerrelaçõesentreproposta,execuçãoeconstruçãode uma ideia, projeto, sistematizar raciocínios abstratos, lógicos, trabalhar em grupo, com colaboração e negociação de argumentos, participar ativamente na formulação de hipóteses, refletindo e avaliando as diferentes etapas e procedimentos. A experiência da robótica educacional no contexto da Educação Matemática é capaz de promover e valorar a cooperação, o diálogo, a interação, a participação pela via da consciênciaautônomaque,porsuavez,permitiráaossujeitos situarem‐se uns em relação aos outros, sem que as particularidades e singularidades sejam suprimidas, além de corroborar para a construção do conhecimento com um formatodiferentedasaulas,inovandooespaçoescolar. Conclusões O tema Robótica Educacional e o Ensino de Matemática não é aindamuitodiscutidonocenárioacadêmicobrasileiro.Apartir do levantamento e da compilação das pesquisas pôde‐se perceber que entre 1998 a 2004 uma zona de silêncio cientifico relacionada ao desenvolvimento de pesquisas na áreaemquestão,apartirde2005iniciam‐seasinvestigações sobreRobóticaeoEnsinodeMatemática. Quanto aos níveis de ensino, os focos dos estudos estão no Ensino Fundamental, apenas Fortes (2007), trata em seu trabalho da Matemática no Ensino Médio, indicando questões em aberto a serem discutidas com olhar as aplicações da RobóticaEducacionalnoEnsinoSuperior. Apesar da Ciência, Tecnologia e Sociedade apresentar constantesavanços,equecadavezmaisasescolasestaremse apropriandodetecnologiaseducacionais,comocomputadores, softwares educativos e o acesso internet ter se tornado 394 ReportesdeInvestigación popular,ousodeKitsdeRobóticaEducacionalaindaépouco utilizado,emtodosostrabalhospesquisados,omaisutilizado foi o LEGO. Segundo Oliveira (2013), a utilização da robótica como recurso didático e metodológico époucoconhecido por professores e pesquisadores em formação, fazendo parte da realidadedealgumasescolasparticulares. As situações problemas presentes em atividades de robótica desenvolvidas nas dissertações, promoveram desejos, questionamentos, contradições, desequilíbrios necessários à construçãodenovasestruturascognitivas. Aimplantaçãodetecnologiasnasescolaseodesenvolvimento depesquisasqueacompanheosimpactosdetaisferramentas nasaçõeseducacionaiséumdesafioaservencido.Masissosó acontecerá quando a potencialidade deste recurso for compreendida e incorporada critica e reflexivamente pelos gestores, professores, alunos e demais participantes da comunidadeescolar,umprocessoqueseencontraporfazer. Referências Accioli,R.M.(2005).Robóticaeastransformaçõesgeométricas: Um estudo exploratório com alunos do ensino fundamental.248 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)–PUC,SãoPaulo,Brasil. Costa, M.A.F; (2012) Projeto de pesquisa: entenda e faça. 3,ed. Vozes,Petrópolis,RiodeJaneiro,Brasil. Fortes, R.M;(2007) Interpretação de gráficos de velocidade em um ambiente robótico. Dissertação (Mestrado em EducaçãoMatemática)–PUC,SãoPaulo,Brasil. Levy,P.(1999)Cibercultura.Editora34,SãoPaulo,Brasil. Maluk, K. D; (2009) Robótica Educacional como cenário investigativo nas aulas de Matemática. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) – Universidade FederaldoRioGrandedoSul,PortoAlegre,Brasil. 395 ReportesdeInvestigación Martins, E. F; (2012) Robótica na sala de aula de Matemática: os estudantes aprendem Matemática? Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) – Universidade FederaldoRioGrandedoSul,PortoAlegre,Brasil. Moraes, M. C; (2010) Robótica Educacional: Socializando e Produzindo conhecimentos Matemáticos.Dissertação (Educação em Ciências: Química da vida e saúde) UniversidadeFederaldoRioGrande–FURG,PortoAlegre, Brasil. Oliveira,E.S.(2013)UmbreveprognósticodousodaRobótica Educativanapráticaeducacionaldediscentes/professores domestradoMECM/UEPB.AnaisdoXIEncontroNacional deEducaçãoMatemática,Curitiba,Brasil. ALINGUAGEMDESINAISNOENSINODE MATEMÁTICA IvaneteMariaBarrosoMoreira, EdsonPinheiroWanzeler UFPA–Brasil–UEPA‐Brasil [email protected], [email protected] Resumo Este texto apresenta os resultados de uma pesquisa que teve como objetivo investigar, o uso e divulgação de 100 sinais matemáticos em Língua de sinais no ensino de conteúdos matemáticos com alunos de 5ª série do Ensino Fundamental. Ossinaismatemáticosforamproduzidosporestesalunos,que trabalharam com as imagens de enunciados em linguagem/simbologia matemática. O experimento foi desenvolvido com alunos 20 alunos surdos selecionados em seisturmasde5ªsériedeumaescoladoMunicípiodeBelém 396 ReportesdeInvestigación noEstadodoPará‐Brasil.Ametodologiautilizadafoioestudo de caso qualitativo e o experimento deu‐se por meio de apresentações de conteúdos matemáticos por imagens, culminando na produção eseleçãode 100 sinais na línguade sinais que foram selecionados para representar conceitos matemáticos. Este experimento trouxe como resultados: o reconhecimento de 70 sinais matemáticos pela comunidade surda do Município; a aceitação e uso dos sinais matemáticos pelos surdos; a multiplicação da experiência para outras escolas;novasreflexõesnacomunidadesurdadaproduçãode novos sinais específicos para o ensino de conceitos matemáticos. Palavras‐chave:Libras;Imagens;Surdo;Matemática. Introdução A educação de indivíduos com surdez é um assunto inquietante,principalmentepelasdificuldadesqueimpõeepor suas limitações, dentro de uma sociedade ouvinte que insiste emtornaropreconceitoumobstáculoparaainclusãoemsalas deauladasescolas‘comunsdeensino’–EscolaInclusiva24. Diferentespráticasclínicasepedagógicasenvolvendoosujeito surdotêmsidoabordadasdesdeaIdadeMédia,umexemploé Girolamo Cardamo (1501‐1576), matemático, médico e astrólogo italiano que éapontado por Quirós e Gueler (1966) como um dos “primeiros educadores de surdos”, apesar de seus estudos referirem‐se mais à fisiologia, como a descrição daconduçãoósseadosom. Váriosoutrosindivíduoscontribuíramparaoensinodesurdos durante o passar dos anos; religiosos, estudiosos linguistas, entreoutros.Algunstiveramgrandedestaque,como:Poncede León (1510‐1534), da ordem dos beneditinos, se dedicou a educação de surdos, filhos de nobres da época; outro é Juan 24 Escola inclusiva é aquela que garante a qualidade de ensino educacional a cada um de seus alunos, reconhecendo e respeitando a diversidade e respondendo a cada um de acordo com suas potencialidades e necessidades. (Aranha,2004) 397 ReportesdeInvestigación Pablo Bonet (1579‐1633) que para Werner (1949:18‐20), iniciou o ensino de surdos pela escrita e fazendo correspondência com o alfabeto datilológico – utilização dos dedos e da mão para representar em sinais as letras do alfabeto (soletração), este estudioso também publicou o primeiro livro sobre a educação dos surdos em 1620, em Madrid, com o título Redução das Letras e Arte de Ensinar a Falar os Mudos, e não podemos esquecer o abade Charles‐ Michel de l'Épée que fundou a primeira escola para surdos a nívelmundial,abertaaopúblico,em1760naFrança. AEducaçãoInclusivanoBrasile,emparticular,aeducaçãodo surdo,temrespondidofundamentalmentedurantetodooseu transcurso histórico, à legitimação da seletividade escolar mesmo nos centros mais desenvolvidos. Dentre as inúmeras mudanças legais ocorridas mundialmente, algumas estão sendo adotadas para a remoção das barreiras no ensino e aprendizagem,edarsuporteasinstituiçõesparamelhoriasnas formações iniciais e continuadas, como a Lei 10.436/02, também denominada Lei de Libras, sancionada em 2002 pelo então presidente Fernando Henrique Cardoso e o Decreto 5626, de 22 de dezembro de 2005, que regulamenta a lei anterior,sancionadaporLuizInácioLuladaSilva.Normativas estas também existentes em relação às adaptações curriculares, como exemplo, temos alguns temas básicos de Educação Especial ‐ a língua de sinais (Libras) e o ensino do código Braille, em licenciaturas de áreas específicas. (Soares, 1999) Nestesentido,váriasforamàspesquisasquecolaborarampara o ensino e a aprendizagem de pessoas com deficiência, especificamente neste caso o surdo. Uma das pesquisas com produção nacional, de alta relevância, foi a que teve como resultadooDicionárioTrilínguedaLínguadeSinaisBrasileira, dos editores Fernando César Capovilla e Walkiria Duarte Raphael(2001). Neste sentido, este texto, tem como objetivo apresentar os resultados de uma pesquisa investigativa para a produção de ummaterialimpressocom100sinaismatemáticosemLibras 398 ReportesdeInvestigación representando simbologias na linguagem matemática para o ensinodeconteúdosmatemáticosdoEnsinoFundamental(5ª série/6º ano), com a intensão de melhorar o ensino bilíngue para alunos surdos. O experimento foi desenvolvido com o intuito de produção, registro e disseminação de ‘sinais matemáticos’ por alunos da 8ª série/9º ano, a partir de imagensdeenunciadosnalinguagemmatemáticaereflexãoda comunidadesurdadeBelém/Parásobreproduçõesreferentes às áreas específicas das disciplinas existentes no Ensino Fundamental,MédioeSuperior. Metodologia Participaramdoestudo20alunossurdosda5ªsériedoensino fundamentaldeumainstituiçãopúblicaestadualdoMunicípio deBelém‐Pará,comfaixaetáriavariandoentre09e14anos.A esses alunos foram apresentados 10 atividades matemática, cada atividade contendo quatro enunciados em linguagem matemáticos referentes a conteúdos da 5ª série. A partir dos enunciadososalunosselecionaramprimeiramente142termos matemáticos para a formulação de sinais correspondentes, após muita discussão do grupo, foram convidados 05 surdos graduadosemMatemática,paraajudarnavalidaçãodossinais produzidos. Ao final do experimento foram selecionados 100 termosmatemáticosparaproduçãodossinais. As atividades foram aplicadas em cinco encontros, com duração de 90 minutos cada um, após a seleção preliminar ocorrida durante esses encontros, sucederam mais três encontros para discussão entre os alunos surdos sobre: (a) a escolhaeresponsabilidadedosujeitoqueseriafotografado(a) e/ou filmado(a) para representar o grupo de sujeitos; (b) a organizaçãoeordemdeapresentaçãodostermosnomaterial impresso;e(c)apublicação,divulgaçãoeparceriasqueiriam colaborarnessatarefa. Asimagensqueseencontramnestematerialforamdeumdos experimentos de seleção do sujeito que iria representar o grupodesurdos. 399 ReportesdeInvestigación A apresentação do material finalizado em reunião da Associação dos Surdos do Município de Belém abriu portas para reflexões sobre futuras produções de sinais nas áreas específicasdaEducação(Matemática,Ciências,Geografia,etc.) e validação do material produzido para divulgação e publicação. Essas reflexões ocasionaram reuniões em vários setores vinculados ou não ao sistema público, onde falas apareceram na defesa da produção de materiais não apenas por alunos surdos do Ensino Fundamental, mas também por acadêmicos surdos, professores surdos, etc. Além de estimularem os sujeitos surdos que estão em formação continuadae/ouemgruposdepesquisadalínguadesinais. AnálisedosResultados Com o objetivo de avaliar a seleção e a produção dos sinais correspondentes, criamos uma tabela com os sinais relacionadosàMatemática(conteúdosda8ªsérie),emanexo, produzidos pelos alunos sujeitos da pesquisa. Trazemos também a imagem do Dicionário Capovilla para reconhecimentodaobra. Imagem1:DicionárioCapovilla Fonte:Imagemretiradadosite:www.larpsi.com.Acesso:out. 2012 400 ReportesdeInvestigación No Dicionário Capovilla, percebe‐se a quantidade mínima de sinaisrelacionadosàMatemática.Oseditorestrazemnosdois volumesdodicionáriopalavrasnalínguaportuguesabrasileira comsuarepresentaçãoemlínguadesinaiseseusrespectivos significados explicativos, além da tradução em inglês e SignWriting25 ou Sistema Sutton, sem a preocupação de atender ou mesmo atingir as áreas especificas do conhecimento instrucional (Matemática, Ciências, Geografia, etc.),representandoemsuamaioria,aspalavrascomusosno cotidianoeemmenorquantidadeasespecificidades. Aidentidadeeparticularidadedosersurdovêmdesualíngua específica. A língua de sinais, como Stokoe (1969) descreve, vista como um sistema completo é semelhante ao português, inglêsouaqualqueroutralíngua.Seuselementossecombinam entre si, de modo visual em vez de auditivo. Essas combinações, sinais, possuem significados como os vocábulos ou fonemas. Suas construções combinam sinais que, por sua vez,acabamexpressandoideiascompletasecomplexas. As línguas de sinais, como qualquer língua oral, possui sua própriaestruturalinguística,istoé,compreendemagramática em seus diversos níveis: morfológico, sintático, semântico e pragmático. Quanto a seus princípios gerais, significação, são iguaisaosdaslínguasorais,existindoatraduçãodequaisquer assuntos e conceitos, sejam eles concretos ou abstratos. (Karnopp,2004;Quadros,2004) As pesquisadoras, da língua de sinais brasileira, Quadros e Karnopp (2004), afirmam que a diferença básica entre as línguas de sinais e as línguas orais diz respeito à estrutura simultâneadeorganizaçãodoselementos,enquantoaslínguas orais possuem uma ordem gramatical, as línguas de sinais O SignWriting foi desenvolvido pela norte‐americana Valérie Sutton, em 1974, quando ela estava na Universidade de Copenhague, na Dinamarca, grafando balés tradicionais por meio de um sistema criado para o DanceWriting.Estapesquisadoradespertouaatençãodeestudiososdalíngua desinaisdinamarquesesnaUniversidadedeCopenhague,queviramnaescrita uma possibilidade para notação dos sinais utilizados na comunicação de pessoasqueusamdestalínguavisual. 25 401 ReportesdeInvestigación possuem uma organização sem os conectivos gramaticais reconhecidosnalinguagemoral,ouseja,setornandolinearao reconhecimentodamensagemqueseestátransmitindo. A linguagem de sinais, voltada para o ensino de conceitos matemáticos, no ambiente sala de aula, proporciona a efetivação do ensino e aprendizagem dos alunos surdos, quandoestesreconhecemalinguagemmatemáticaapartirde suapróprialínguadesinais.Nestesentidotorna‐senecessário o acréscimo de sinais matemáticos no vocabulário linguístico dossurdos,comoformadedesenvolvimentodoconhecimento específicodasáreas. Após o estudo do dicionário de língua de sinais, onde se percebeu a quantidade mínima de sinais matemáticos e da confirmação, por observação contínua, da dificuldade e necessidade dos alunos em se apoderar de conhecimentos matemáticos, foi pensado em comum acordo entre pesquisadora, professora e os alunos surdos na possibilidade de produção de sinais matemáticos para melhorar os ensinamentos dos conteúdos que fazem parte da grade curricular da 8ª série. Para demonstrar os resultados em produção de sinais, foi colocado no anexo A uma tabela com alguns dos sinais matemáticos produzidos pelos sujeitos de pesquisa. ConsideraçõesFinais Muitoaindapodeedeveserrealizadoemproldaeducaçãode surdos. A oficialização de Libras (Língua Brasileira de Sinais) foi um grande passo para a Comunidade Surda brasileira. Ela prevê intérpretes em escolas, hospitais, repartições pública, estabelecimentoscomerciaisetc.eabreumconjuntodeopções quedeveseraproveitadoparasedaraosurdooacessoàsua cultura,àsuahistóriaeàhistóriadahumanidade. Os Educadores devem descobrir o seu papel nesse cenário, conscientizando‐se de que cabe ao “surdo” o papel principal, umpapeldeprotagonista,nasuaidentificaçãoecomomundo demaneiraricaemulticultural.Devemos,portanto,promover 402 ReportesdeInvestigación uma educação sustentada numa experiência global a ser organizada dentro de uma universalidade linguística em que todos podem participar colaborando em aprender, conhecer, fazer,eviverjunto. A linguagem matemática faz parte desse universo linguístico nãoésomenteumtemaquefazpartedonossousodiário.Sua funçãodeproduçãodeconhecimentostendeaseresquecido.O diálogo materno e matemático do surdo em sala de aula desempenha um papel prioritário no desenvolvimento da competência de reconhecimento e aprimoramento de conteúdossignificativosparaoseudesenvolvimentoescolare social. Para o surdo não é importante apenas conversar, deve‐se tambémanalisarcomoseproduzemessesdiálogosequepapel esta experiênciade produçãofavoreceasuacomunicação eo seu aprendizado. Corroborando com este pensar houve a necessidade,jáexpressaanteriormente,daproduçãodesinais matemáticos para o ensino de conteúdos matemáticos. Nesta pesquisa foram produzidos 100 sinais, mas apenas foram reconhecidospelacomunidadesurda,pormeiodaAssociação dos Surdos de Belém 70 sinais, os quais foram revisados e esperam autorização para serem considerados sinais efetivos nacomunidade. Durante a pesquisa os sujeitos levaram o material experimental para três outras unidades de ensino, com o objetivo de analisar se essa construção coletiva conseguiria melhoraroensinoeaaprendizagemdadisciplinaMatemática, trazendo resultados visíveis quanto a compreensão e aceitação, dos sinais matemáticos produzidos, principalmente para aqueles com dificuldades em apreender conceitos matemáticos e sabendo da falta ou escassez de sinais específicos. Houve o esclarecimento de todas as etapas da construçãoeissoincentivouaosalunossurdosdasinstituições a reivindicar seus direitos a produção ou acompanhamento nasproduçõesdesinais,nacomunidadesurdaenosgruposde validaçãolinguística. 403 ReportesdeInvestigación Na culminância do estudo organizamos um pequeno evento internonaEscola,oqualforamconvidadosvariadosramosdo Estado que trabalham, pesquisam, fazem parte ou estudam sobre o tema em questão, trazendo inúmeras reflexões na comunidadesurdaeouvintequesefezpresentenoevento. Espera‐se que esta pesquisa seja um incentivo no sentido de não se esgotar neste ponto e sim que traga novos estudos nesta linha de construção de material, com novas frestas nas reflexões já existentes, e um crescimento no cenário multicultural que se descortina em nossa sociedade, no qual não há indivíduos perfeitos, mas indivíduos diferentes e completosemsuacomplexidadeeplenitude. Referências Aranha, M. S. F. (2004). Educação Inclusiva:transformação socialouretórica.In:OMOTE,S.(org.).Inclusão:intençãoe realidade.Marília:Fundepe,p.37‐60. Capovilla, F. C.; Raphael, W. D. (Ed). (2001). Dicionário enciclopédico ilustrado trilíngue da língua de sinais brasileira. 2. ed. Ilustrações de Silvana Marques. São Paulo: USP /Imprensa Oficial do Estado, 2001.v.I: sinais deAaLev.11:sinaisdeMaZ. Karnopp, L. B. (2004). Língua de sinais na educação dos surdos.In:Thoma,A.daS.;Lopes,M.C.(Orgs.).Ainvenção da surdez: cultura, alteridade, identidades e diferença no campodaeducação.SantaCruzdoSul:EDUNISC. MinistériodaEducação.Leinº10.436–LeideLibras‐Língua Brasileira de Sinais. (2002).Brasil: DF. Disponível em http://www.planalto.gov.br. MinistériodaEducação.Decretonº5.626.RegulamentaLeide Libras ‐ Língua Brasileira de Sinais Libras.(2000). Brasil: DF.Disponívelem:http://www.planalto.gov.br. Quadros, R. M. de (1997). Educação de Surdos: a aquisição da linguagem.PortoAlegre:ArtesMédicas. 404 ReportesdeInvestigación Quadros, R. M.; Karnopp, L. B. (2004). Língua de sinais brasileira: estudos linguísticos. Porto Alegre: Artes Médicas. Quiròs, J. B. &Gueler, F. S. La comunicación humana y su patologia. Buenos Aires, Centro Médico de InvestigacionesFoniátricasyAudiológicas,1966. Sutton, V. (1981).Lessons in sign writing.La Jolla: Deaf Action ComiteeforSignWriting. Soares,M.A.L.(1999).AEducaçãodoSurdonoBrasil.EDUSF; EditoraAutoresAssociados. Stokoe, W. (1969).Sign language diglossia.Studies in Linguistics.21, 27‐40. Reprinted in Semiotics & Human SignLanguages,1969/1972.TheHague,Mouton. Werner,H.(1949).ASurdo‐Mudez.inActasCiba,AnoXVI,n.1. APÊNDICE Tabela 2: Termos matemáticos e seu respectivo sinal em LIBRAS. TERMO MATEMÁTICO Áreadecirculação Conjunto LÌNGUADESINAIS BelémeAnanindeua Conjuntodosnúmeros Naturais(N) 405 ReportesdeInvestigación Conjuntodosnúmeros Inteiros(Z) Conjuntodosnúmeros Racionais(Q) Conjuntodosnúmeros Irracionais(I) Conjuntodosnúmeros Reais(R) Equação Figura plana 406 geométrica ReportesdeInvestigación Figura sólida geométrica Função Geometria Gráfico Potência Raizn 407 ReportesdeInvestigación Sistema TeoremadePitágoras TeoremadeTalles Fonte:Pesquisadecampo,2012. CONSTRUÇÕESALGORÍTMICASE DEMONSTRAÇÕESAXIOMÁTICAS LuizaMariaMoraisLima, HermínioBorgesNeto, AnaCláudiaMendonçaPinheiro FaculdadeCatólicaRainhadoSertão FCRS;UniversidadeFederaldoCeará–UFC [email protected], [email protected], [email protected] Resumo Nestetrabalhodiscutimosautilizaçãodasprovasmatemáticas e demonstrações através de procedimentos construtivos e lógicos,nosentidodereforçaracompreensãodoalunoeobter 408 ReportesdeInvestigación um aprendizado mais concreto e completo. Para isso, estudamos diferentes tipos de demonstração, tais como Demonstração Direta, Por Contraposição/Por Absurdo, Por Contradição,PorInduçãoeExaustão,bemcomoosbenefícios desuasaplicaçõesduranteasaulasdematemáticaeousode processosconstrutivosnoprocessodeensinoeaprendizagem. Apresentamos alguns objetos matemáticos, analisando diferentes propostas de demonstrações e construções algorítmicas, que reforçam o experimento em sala de aula como ferramenta de ensino. Nosso objetivo é discutir a utilização das provas e demonstrações através de procedimentosconstrutivoselógicos,nosentidodereforçara compreensão do aluno no processo de aprendizagem na educação básica. Ao realizar demonstrações construtivas, os alunos podem experimentar, fazer conjecturas e dar um sentidoaoconhecimentomatemáticoantesdeformalizá‐lo. Palavras‐chave: Demonstrações, Processos Construtivos, Construções Algorítmicas, Algoritmos, Construções Geométricas. Introdução Atuando como professora de Matemática no ensino fundamental e médio há quase dez anos, percebi que muitas das dificuldades apresentadas pelos alunos decorrem da maneiraexcessivamentetécnicacomoelavemsendoensinada. Há,emnossasescolas,umaconcepçãodequeaMatemáticaé constituída apenas por um conjunto de técnicas. Como consequência disso, o ensino de Matemática se volta para a transmissãomecânicadessastécnicas.Oprofessorrepassaos conteúdos,apelandoapenasparaousoderegras,muitasvezes sem justificativa, forçando o aluno a absorver esse conhecimentopelamerarepetiçãodessasregras. ParalevaraMatemáticaomaispróximopossíveldarealidade do aluno, o professor enfatiza aplicações e, muitas vezes, as demonstrações são deixadas de lado. Um dos objetivos da demonstraçãoéconvencerosestudantes,atravésdarazãoeda intuição,sobreaverdadedecertasafirmações. 409 ReportesdeInvestigación Para o racionalista René Descartes (2001), as demonstrações comumenteutilizadasestãodeacordocomessemétodo,onde um teorema é comprovado a partir de diversas afirmações já consideradasverdadeiras,osaxiomas. Poroutrolado,seademonstraçãoforconstruídacomoaluno, em seu nível de entendimento, a aprendizagem será mais eficaz. Vale ressaltar que nem sempre os conteúdos matemáticostêmaplicaçõesreais,masaindaassimnãodeixam de ter significado, e é muito importante que esse significado sejaevidenciadoeserelacionecomosensocomum. AMatemáticaestudadanasescolaségeralmenteamatemática formalista, que consiste em uma ciência da dedução formal, dosaxiomasparaosteoremas.Osseustermosprimitivossão indefinidos e as suas afirmações não têm conteúdo até a interpretarmos. Sendo assim, esse “objeto de ensino” deveria sertransmitidoporquempodeoferecê‐lo(professor)aquem não o possui (aluno) sem risco de que o conhecimento se modifiqueduranteesseprocesso. SegundoLima(2013),amaioriadosprofessoresconsideraos conceitosmatemáticoscomoobjetosprontos,nãopercebendo que eles deveriam ser (re)construídos pelos alunos, de modo que os façam superar os obstáculos epistemológicos e minimizar as dificuldades conceituais. É importante que o professor conheça as etapas do conhecimento matemático, bem como as necessidades mentais e sociais que levaram o homem a produzir e utilizar esses conhecimentos, para que, em sala de aula, seus alunos possam reconstruí‐los a sua maneira. AlgunsestudiososcomoJohnDewey(1859‐1952)emseulivro Psicologia do Número (1895), vêm difundindo uma reação contraoformalismo(umensinodamatemáticavoltadoparao usodeexemplos).Paramudaressarealidade,devehaveruma mudança de postura do educador, que deve romper os pré‐ conceitos a respeito da superestimação do conhecimento matemáticoe,principalmente,resgatarocaráterinvestigativo daMatemática,fazendocomquesuasideiassejamexploradas 410 ReportesdeInvestigación e desenvolvidas pelo aluno a partir dos seus conhecimentos prévios. 26 O sistema educativo, implantado com a Logse na década de 1990, apostava em estratégias como a de “aprender a aprender” ou a de “aprender a pensar”, mas o sistema continuou sendo o formal, com aplicação de conceitos e demonstrações técnicas, por vezes sem fundamento concreto. Seaintuiçãoéusadano“fazermatemática”,porquenãousá‐la emsaladeaula,quandoestamosensinandomatemática? Em sala de aula, percebe‐se que o “fazer” (diferente do executar,dotarefeiro)tornaamatemáticamaisnatural.Sendo assim, quando os conceitos são apresentados de forma construtiva, utilizando o raciocínio e a dedução, o aluno consegue adquirir um melhor aprendizado. “Construir a Matemática”, com o objetivo de ensiná‐la, é uma necessidade, já que a falta de clareza com relação ao papel que ela deve desempenharnocorpodeconhecimentossistematizadospode seroprincipalresponsávelpelasdificuldadescrônicasdeque padeceoseuensino. Diante do exposto acima, surgem os seguintes questionamentos: Como melhorar o ensino da Matemática na Educação Básica? Que importância tem o uso de demonstraçõesnasaulasdeMatemática?Osalunosdoensino fundamental conseguem compreender os passos das demonstrações apresentadas pelos professores? A demonstração tem algum significado para o aluno? De que maneiraousodessaferramentapodesermaiseficaz? Sendo assim, este trabalho propõe discutir a utilização das provas e demonstrações através de procedimentos construtivos e lógicos, no sentido de reforçar a compreensão doalunonoprocessodeaprendizagemnaeducaçãobásica. Ley Orgánica General del Sistema Educativo(Fonte: O Ensino da Matemáica–FundamentosTeóricoseBasesPedagógicas,2006) 26 411 ReportesdeInvestigación DemonstraçõeseConstruções No trabalho Proofs and Refutations, Imre Lakatos (1976) defende que a Matemática desenvolve‐se a partir de um problema (situação‐problema) e de uma conjectura (possibilidade de resposta), com teoria a tomar forma. Para Lakatos, demonstração não é um processo mecânico, que conduz à verdade numa cadeia inquebrável das hipóteses às conclusões. Significa, antes, um conjunto de explicações, justificações, elaborações que tornam a conjectura mais plausível e mais convincente, além de um processo de desenvolvimentoedescoberta. A demonstração em matemática é uma das competências indicadas nos ParâmetrosCurricularesNacionais (1999) para o ensino fundamental e para o ensino médio como parte integrante do currículo da escola básica, embora não haja, no Brasil, pesquisas em número suficiente sobre a compreensão de seus mecanismos utilizados na formação dos conceitos matemáticos. Demonstraçãoéumaprovaaceitapelacomunidade(nonosso caso,matemática),fundamentadaemprocedimentos,métodos ou explicações apresentadas numa sequência de enunciados, organizados conforme regras determinadas. Ou seja, a demonstração não é um processo intuitivo procurando uma “imediatice”cognitiva. As demonstrações empregam lógica. Uma afirmação só deixa de ser considerada uma conjectura após ter uma demonstração usando dedução da lógica formal. No entanto, no ensino da matemática, muitas vezes realizamos demonstrações pelo uso de uma lógica considerada informal, por incluir alguma quantidade de linguagem natural, o que pode causar ambiguidades. Apesar do processo lógico, o professor tem que ter a noção do nível de conhecimento do aluno ou estágio de desenvolvimento, para que o entendimentodademonstraçãosejaalcançado. Oprocessodevalidaçãopormeiodeprovasedemonstrações transformou a natureza do saber matemático em uma 412 ReportesdeInvestigación abordagem racional argumentativa que foi capaz de superar obstáculos postos pela limitação dos instrumentos de verificaçãoepelapreservaçãodastradições.Ademonstração, sobretudo, é uma abordagem racional sobre o conhecimento humanoeaverdade. Nas demonstrações axiomáticas usuais, são apresentadas regras de inferência, que são restrições sintáticas que uma prova deve obedecer, num sistema matemático formal, com estruturas especificadas. Essas demonstrações podem ser do tipo: Demonstração Direta, Por Contraposição/ Por Absurdo, PorContradição,PorInduçãoeExaustão.Mesmoformalizando oqueestásendoestudado,ousodessetipodeprova,paraos alunos do ensino básico, não permite a ampliação do seu aprendizado, na perspectiva de habilidades e competências paraessenível(Lima,2013). No construtivismo, iniciado por Brouwer em 1908, não é a experiência, nem a lógica, que determina a aceitabilidade das ideias, mas sim a intuição. Ele defende que o pensamento matemático é, portanto, um processo de construção mental, que prossegue um número finito de passos e é independente da experiência (que pode muito bem ser considerada como a “repetição”,tãousadanasaulasdeMatemática). Demonstração por algoritmo ou por construção é aquela que sógaranteaexistênciadecertoobjetomatemáticoatravésda sua construção. Já uma demonstração construtiva fornece um algoritmoparaseobteroobjetomatemáticoemquestão,sem apelarparaprocessosinfinitos. Diferentemente do método de ensino que privilegia a transmissão de conhecimento e em que a avaliação deste conhecimento é dada pela habilidade do aluno em reproduzi‐ lo,ademonstraçãoconstrutivatemcomoprincípioconstruiro conhecimento a partir de percepções e ações do estudante, constantemente mediadas por estruturas mentais já construídase/ouquevãoseconstruindoaolongodoprocesso. A aprendizagem matemática, neste contexto, depende das ações que caracterizam o “fazer matemática”: experimentar, 413 ReportesdeInvestigación interpretar, visualizar, induzir, generalizare,enfim,demonstrar. conjecturar, abstrair, Usodedemonstraçõeseconstruçõesalgorítmicasnoensino daMatemática Parailustrarmelhoroqueotrabalhodefende,vamosmostrar dois exemplos matemáticos onde a construção algorítmica pode ser utilizada e quais suas vantagens em relação ao processoaxiomático. A Geometria Analítica estuda a geometria por meio de coordenadas cartesianas e álgebra, onde é utilizado o raciocínio dedutivo, a partir de axiomas e teoremas da geometria euclidiana, para a obtenção de proposições verdadeiras. O estudo de parábolas, por exemplo, parte de deduções algébricas para se chegar a sua equação e assim estudarseuselementos. Usando a construção algorítmica, podemos construir o conceito de parábola, passo a passo com o aluno, utilizando conhecimentos geométricos prévios, de acordo com seu nível intelectual. No exemplo a seguir, temos a construção da parábolausandooprogramaGeogebra,quenospermitefazer construçõesmaiseficazesdoquecomréguaecompasso. Sejam a reta r que passa pelos pontos A e B e o ponto F, respectivamente,adiretrizeofocodaparábola.Utilizandosua definição,marcamos,umpontoCnaretaretraçamosporele uma reta s, perpendicular à diretriz r, onde marcaremos o ponto P. Agora, precisamos definir em que posição o ponto P deveestarnaretas,demodoquesuad(P,C)=d(P,F).Paraisso, traçamos um triângulo de vértices P, C e F isósceles, que garanteacongruênciadosladosPCePF.Traçamosamediatriz dosegmentoFC,ainterseçãodessamediatrizcomaretaséo ponto P. Como estamos buscando todos os pontos onde a distânciaaofocoéamesmadistânciaàdiretriz,estamosentão buscandotodosostriângulosisóscelesquepossuemopontoP, ofocoFeumpontodaretarcomovértices.Aodeslocarmoso pontoC,pelaretar,encontramosaparábola.Notemosque,por 414 ReportesdeInvestigación causadarepresentaçãonuméricadosoftwareaparábolanãoé contínua,ouseja,nãosetratarealmentedeumaparábola,mas apenasumarepresentação. Figura1.ParábolaconstruídanoGeogebra. Atravésdaconstruçãoalgorítmicaoalunopodecompreender melhor a definição da cônica, além de experimentar os conceitos geométricos sem precisar utilizar a álgebra, no primeiro momento. É claro que o uso das coordenadas se faz necessário, principalmente na resolução de problemas de GeometriaAnalítica,maspassarpeloprocessodeconstruçãoé importante para o desenvolvimento do raciocínio e o entendimento concreto da parábola. Além disso, a experimentação nessa construção permite responder perguntas como: O que aconteceria se o foco se aproximasse ouseafastassedareta?Oqueaconteceriaaospontosseareta diretrizmudassededireção?Entreoutras. Oquesedevelevaremconsideraçãoéondeoalunotemmais chance de aprendizado? Na dedução algébrica da equação da parábola ou na sua construção? No processo acima, o aprendizado é construído, partindo do experimento do aluno. No caso, usamos o software Geogebra, mas poderia ter sido feitotambémutilizandoréguaecompasso. Outros tipos de demonstrações podem provar que existem pontos que formam essa parábola a partir da sua definição, 415 ReportesdeInvestigación mas não mostra como encontrá‐los e como construí‐la. Dessa forma, a construção algorítmica se faz necessária antes da demonstração algébrica, como uma introdução para o uso do cálculoalgébrico,nãomenosimportante. OutrocasoestudadofoioAlgoritmodaDivisãoEuclidiana,que diz:Sejamaebdoisnúmerosinteiroscomb>0.Existemdois únicosnúmerosinteirostaisque:a=bq+r.Existemdiversos tipos de demonstrações que podem ser utilizados nesse caso, comoporContradição: Consideremos a > b e, enquanto fizer sentido nos números naturais,osnúmeros: a,a−b,a–2b,...,a−n·b,... Pelo Princípio da Boa Ordenação (também conhecido por PrincípiodaBoaOrdemouPrincípiodoMenorInteiro,afirma que todo subconjunto não vazio do conjunto dos números inteiros possui um menor elemento), o conjunto S formado peloselementosacimatemummenorelementor=a–q.b.Se b|a(bdividea),entãor=0enadamaistemosaprovar.Se,por outro lado, se b não divide a, então r ≠ b, e, portanto basta mostrarquenãopodeocorrerr>b.Defato,seistoocorresse, existiria um número natural c < r, tal que r = c + b. Consequentemente,sendor=c+b=a–q.b,teríamos:c=a– (q + 1).b S, com c < r, contradição com o fato de r ser o menorelementodeS.Portanto,temosquea=bq+r,comr< b,oqueprovaaexistênciadeqer. Esse tipo de demonstração não permite que um aluno do ensinobásicoentendacompletamenteoalgoritmodadivisão, antes de formalizá‐lo é preciso que ele compreenda a divisão como o processo de “quantas vezes uma quantidade cabe dentro de outra”. O algoritmo que apresentaremos a seguir utilizaesseconceito. Vamos considerar a divisão de a por b. Sendo a > b, então diminuímosbdea,repetidasvezes,aténãosermaispossível. Fazendo algumas tentativas, encontramos o maior valor q,tal queb.q<a.Assim:a=b.q+r.Ser<a,adivisãoestáconcluída, 416 ReportesdeInvestigación se não, repetimos o processo da subtração. Como a diferença diminui,depoisdea–brepetições,oprocessoseexaure. Só após ter trabalhado bastante o algoritmo das divisões sucessivas é que o aluno pode adquirir uma base suficiente para que seja introduzido o algoritmo tradicional da divisão, visando obter êxito no aprendizado deste. Neste processo, o aluno pode fazer os experimentos necessários a fim de melhorar a compreensão e adquirir maior segurança no desenvolvimentodetodosospassosdoalgoritmo. ConsideraçõesFinais O bloqueio e o fracasso que muitos alunos apresentam em Matemática é preocupante, principalmente para nós que a lecionamos.Fazercomqueoalunosejacapazdenãosomente resolver questões, mas de entender todo o processo no conhecimentomatemáticodeveserumobjetivodoprofessor. Umaaulaondeoalunopossafazerexperimentoseconstruções a partir dos conceitos matemáticos pode levá‐lo ao êxito no processodeaprendizagemedá‐loumnovosentidoàdisciplina de Matemática, buscando resultados positivos. As demonstrações e construções desenvolvem um importante papel no ensino da Matemática, mas cabe ao professor e aos seus conhecimentos prévios fazer com que esse trabalho dê certo, mediando e argumentando com a turma afim de alcançaremessesobjetivos. Segundo Borges Neto (2013), uma aula onde o aluno possa fazer experimentos e construções a partir dos conceitos matemáticos pode levá‐lo ao êxito no processo de aprendizagem e dá‐lo um novo sentido à disciplina de Matemática,buscandoresultadospositivos. A demonstração matemática tem o seu papel, mas é preciso ressaltar que o aluno passe pela experiência de construção antes dessa demonstração. É na construção, no experimento que o aluno desenvolve o pensar matemático. É o professor que, através de um discurso questionador, incentivará os 417 ReportesdeInvestigación alunos a seguir os passos algorítmicos, justificar, explicar, e fundamentarasproposiçõesmatemáticas. Referências Balacheff, N. (1987) Processus de preuve et situations de validation.EducationalStudiesinMathematics,Vol.18,n. 2,p.147‐176. Balacheff, N. (1982). Preuve et démonstration en mathématiques au collège. Recherches em Didactique des Matémathiques,Grenoble,v.3,n.3,261‐304. Borges Neto, Hermínio. (1999). O Ensino de Matemática: Analisando o raciocínio matemático do mediador. In: Revista Educação em Debate. Fortaleza: Imprensa Universitária,Ano21–V.1,nº37. Borges Neto, Hermínio; Costa dos Santos, Maria José (Org). (2013)SequênciaFedathi:Umapropostaparaoensinode Ciências e Matemática. Edições UFC, Fortaleza, Brasil, p. 67‐80. Brasil, MEC. 1999. Parâmetros Curriculares Nacionais 5ª a 8ª Série.Online,http://www.mec.gov.br,14/10/1999. Descartes,René.(2001)DiscursodoMétodo.SãoPaulo,Martins FontesEditora. Huete,JuanCarlosSánchez;Bravo,JoséA.Fernández.(2006)O Ensino da Matemática: Fundamentos Teóricos e Bases Pedagógicas. Artmed Editora, Porto Alegre, Brasil. P. 15‐ 22. José Machado, Nilson. (1987) Matemática e Realidade. Cortez Editora,AutoresAssociados,SãoPaulo,Brasil. Lakatos, Imre. (1976) Proofs and Refutations: The Logic of MathematicalDiscovery.CambridgeUniversity. Maria Morais Lima, Luiza. (2013) Construções Algorítmicas e Demonstrações Axiomáticas. Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissional em Matemática 418 ReportesdeInvestigación (PROFMAT) da Universidade Estadual do Ceará, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. AFUNÇÃODAAVALIAÇÃONOPROCESSO DEENISINOAPRENDIZAGEM:UMOLHAR SOBREAPRÁTICA DéboraCristinaSantos InstitutoFederaldeEducação CiênciaseTecnologiadaParaíba‐Brasil [email protected] Resumo O presente trabalho aborda uma pesquisa histórico‐ bibliográfica sobre um breve percurso histórico dos exames escritos. O objetivo foi compreender a funçãoda avaliação no processo de ensino e aprendizagem na cultura escolar, em especial na disciplina de matemática. Neste contexto mostramosaimportânciadoconhecimentoacercadahistória dosexamesescritos,emespecialnadisciplinadeMatemática, para uma melhor compreensão do conceito de avaliação utilizado nos dias de hoje. O desenvolvimento dessa pesquisa se deu por meio de um levantamento histórico sobre os exames,evidenciandoosurgimentodosexamesescritosesua permanência. Para tanto, nossa metodologia foi pautada em uma pesquisa bibliográfica e nos apoiamos, principalmente, naspublicaçõesdeValadares&Graça(1995)eValente(2008), NCTM(1991),Abrantes(2002),Hadji(1994)eSantos(2002). Para este artigo ampliamos nossas leituras incluindo mais alguns pensamentos de outros autores. Com esse trabalho percebe‐se que que a avaliação tem uma função de análise, o quesabeparadescobrioqueaindanãosabem,poisaprincipal funçãosocialdoeducadoréinteragiremediarnoprocessode ensino. 419 ReportesdeInvestigación Palavras‐chave: Avaliação Matemática, Avaliação Escrita, CulturaEscolar. Introdução A avaliação se tornou algo mais aberto e menos mecanizado, diferente de tempos atrás, quando as escolas avaliavam seus alunos através de provas extensas confecionadas comexercicios estáticos. Essa discussão e abordada em todos os segmentos externos e internos da escola. A sua grande maioria, possuem uma política de avaliação de rendimento escolarcentradanadicotomiaaprovaçãooureprovação.Neste contexto,háumapreocupaçãocomapráticadeavaliação,que ajude na identificação de superação de dificuldades no processo de ensino e aprendizagem, tanto do aluno como do professor. Portanto,buscamosnahistóriarespostasparaquestõesdeum passado não muito distante de como a avaliação escrita ganhou força na cultura escolar. Essa busca nos trouxe, inicialmente, muitas incertezas frente ao desafio de encontrarmos indícios de como se deu a avaliação escrita. Percebemos, então, que fazemos parte de uma história que acontece hoje e somos sujeitos daquilo que amanhã será história. Logo, entendemos que ao buscarmos vestígios de como ocorreu o processo da avaliação escrita na História da EducaçãoBrasileira,teríamosapossibilidadederefletirmose compreendermosfatosquedeixaramimplicaçõesnopresente e que sinalizam para possíveis mudanças que ocorrerão no futuro. A história é dinâmica e as situações mudam de acordo com o contexto de cada época, entretanto, nem mesmo o tempo é capaz de apagar certos indícios que, se bem pesquisados, permitirão, compreender porque determinados modos de avaliarpermanecemvivosemnossasescolas. Kilpatrick (1994) afirma que as pesquisas que investigam a avaliaçãoeaspolíticaspúblicastêmsidomuitotímidasquanto 420 ReportesdeInvestigación à análise dos processos de adoção, adaptação ou resistência dosprofessoresàsavaliaçõesexternasenoprocesso. Dentre outras práticas escolares, a que nos inquietou foi à permanênciadaavaliaçãoescrita,especialmentenadisciplina Matemática.Aprimeiraautora,enquantoestudantedoEnsino Médio, não tinha ideia do significado de avaliação, mas diversas questões relacionadas a esse tema já provoca inquietaçõescomo,porexemplo:Porqueoalunoeraobrigado a decorar tanta coisa, de repente, na prova escrita desse um brancoficavacomnotainsuficientenoboletim,mesmoquando sabemaisdoqueocolegaquedavasortetiravanotaboa?Por que a prova escrita era quem determinava a nota do aluno julgandoseestáaptoouinaptoparasérieaseguinte? A necessidade de entendermos a permanência da avaliação escrita, como termo integrante no processo de ensino e aprendizagem nos dias de hoje, nos motivou a fazer uma pesquisa histórico‐bibliografica. Historicamente, o ensino da matemáticapassoupordiversastransformaçõese,aolongodo tempo, apresentou muitas alterações no que se refere à avaliação escrita. Para compreender tais, transformações consideramos importante recorrer à história da Educação Matemática. A necessidade de fazermos um trajeto histórico sobre avaliação tornou‐se um desafio, pois existem poucas fontes históricasetrabalhospublicadosnopaís.Consequentementea análise histórica sobre avaliação em Matemática, nos possibilitará compreendermos as mudanças ocorridas no âmbito da disciplina Matemática e suas implicações no processodeensinoeaprendizagem. Neste trabalho consideramos a investigação da avaliação em matemáticadesdeBrasilImpérioatéosmaisrecentesexames promovidosporórgãosoficiaisnosdiasatuais,possibilitando o conhecimento de aspectos históricos, não só para reconstituição do movimento avaliativo no cotidiano escolar, como para compreensão da influência avaliativa nas práticas pedagógicasatuais. 421 ReportesdeInvestigación Paraconstituiçãodopresentetrabalho,inicialmentetomamos comoreferênciaopercursodaavaliaçãoaolongodahistória,a buscarumpoucodahistóriadaavaliaçãodesdeaantiguidade, passandopelaamatemáticaescolarnoBrasil,comosjesuítas, até os dias atuais. Em seguida, procuramos apresentar a importância que avaliação escrita foi tomando em diferentes momentos da constituição da disciplina de Matemática no Brasil. Por fim, destaco as relações de poder que ambas, Matemática e Avaliação, historicamente estabeleceram no contextoescolaremuitasdelasaindapresentesnasescolasde hoje. Osurgimentodosexamesescritosesuaevoluçãonacultura escolar Se pensarmos em avaliação de modo geral, logo percebemos queamesmafazpartedavidacotidianadetodosossujeitos, historicamente os registros mostram a relevância que a avaliaçãotemparaossereshumanos.Nesseartigofocaremos o nosso olhar na avaliação escrita e sua evolução na cultura escolaremespecialnadisciplinadeMatemática. Nesse contexto a cultura dos exames escritos remonta de pouco tempo, tendo seus primeiros vestígios no século XVIII, nasuniversidadesmedievais(naEuropa).Ograndemarcodo século XIX foi à escolaridade obrigatória impossibilitando a realização dos inúmeros exames orais, surgindo assim à generalização e a valorização dos exames escritos. Com isso aconteceosurgimentodecontributosparaodesenvolvimento daavaliação,destacandoaintroduçãodosexamesescritosem diversasdisciplinascomoAritmética,AstrologiaeGramática. O caminho dos preparatórios foi mais curto do que o da seriação escolar secundária. Prepara‐se para o Ensino Superior,paraoingressonasfaculdades,representavaestudar os pontos dos exames preparatórios. Esses pontos organizavam toda a Matemática escolar e seu ensino. Os examesderamreferênciaàseriaçãonecessáriaparaconclusão doensinosecundário. 422 ReportesdeInvestigación Aavaliaçãoescritacomeçouasermaisintensamentediscutida no cenário educacional brasileiro partir das últimas duas décadas do século XX. Ainda é escassa a produção cientifica relativa ao processo avaliativo da disciplina Matemática, especialmente sobre a permanência da avaliação escrita na culturaescolaratéosdiashoje. Dentre os raros estudos históricos da avaliação, o estudo da históriaeperspectivasatuaisrealizadoporValente(2008)nos reveloucomoaspráticasavaliativascumpriramdeterminadas finalidadesdoImpérioàsprimeirasdécadasdaRepública.Na historia da Educação Matemática, a avaliação em Matemática, estáentreasquestõesquetempoucodestaquenosdebatesda comunidadecientificavigentesatéosanos1990. NosCongressosNacionaisdeEnsinodeMatemática,realizados a partir das décadas de 1950, a avaliação é pouco abordada, apresentando destaque mínimo em relação aos demais temas discutidos e relacionados às práticas pedagógicas para a Matemática. Os anais do III e do V Congressos Brasileiros de Matemática realizados respectivamente no Rio de Janeiro e 1959eemSãoJosédosCampos–SP,noanode1996apontam alguns vestígios de que havia alguma preocupação dos educadores matemáticos com o baixo rendimento apresentados pelos alunos naquele período com o uso da prova escrita como único instrumento de aferiação de aprendizagemmatemática,emgeralorientadaparaverificação do produto final, visando medir aquilo que se suponha que o aluno tenha aprendido e que era expresso por meio de um conceitoounota. Considerando a relevância de se compreender como os dispositivos legais, relativos à avaliação, foram apropriados pela sociedade e os professores de cada época, algumas das questões que permeiam o presente estudo são: O que dizia a legislação sobre as práticas avaliativas da época? Como a avaliação escrita ocupou um lugar tão importante na cultura escolar? 423 ReportesdeInvestigación Fazendo uso de fontes históricas dentre os raros estudos da avaliação, o estudo sobre a história numa perspectiva Européia, realizada por Valadares & Graça (1995) e no Brasil nas perspectivas atuais realizado por Valente (2008), revelou como as práticas avaliativas cumpriram determinadas finalidades do século XVIII até os dias atuais. Os NCTM27 (1991)apontamqueaavaliaçãodeveestardeacordocomtrês princípiosgerais,norteandoosinstrumentosdeavaliaçãoeas várias componentes do currículo afim a que se destina e ao níveldedesenvolvimentoematuridadedoaluno. O Grupo de Pesquisa de História da Educação Matemática no Brasil (GHEMAT) nos auxiliou na pesquisa com material históricocomo:provasdosexamesdeadmissãoaoginásiode 1931 da Escola da Capital de São Paulo. O Grupo tem como líderesosprofessoresNeuzaBertoniPinto(PUC‐PR)eWagner Rodrigues Valente (UNIFESP ‐ Campus Guarulhos) foi criado noano2000. ConsideraçõesMetodológicas Apesquisaédenaturezapredominantementequalitativa,cujo foco do trabalho se concentra, entre outros, em ampliar a compreensão do processo de avaliação escrita como um elementodepráticadocentepeloprofessornaculturaescolar nadisciplinadeMatemática.BogdaneBiklen(1994,p.47‐50) abordam que o conceito de pesquisa apresentando cinco característicasbásicasqueconfiguramestetipodeestudo: 1‐ Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural, constituindo o investigador o instrumentoprincipal; 2‐ Ainvestigaçãoqualitativaédescritiva; 3‐ Os investigadores qualitativos interessam‐se mais pelo processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos; 4‐Osinvestigadoresqualitativostendemaanalisaremosseus dadosdeformaindutiva;e, NationalCouncilofTeachersofMathematics 27 424 ReportesdeInvestigación 5‐ O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. Fiorentini e Lorenzato (2006, p.71) ressaltam que pesquisa bibliográficatemcomofinalidadeproporque: A pesquisa bibliográfica é a modalidade de estudo que se propõe realizar análises históricas de estudos ou processos tendo como material de analise documentos escritos e/ou produções culturais garimpados a partir dos arquivos e acervos. Quandopercorremoscaminhosaindapoucotrilhados,abuscar de fontes, precisamos de um olhar atento para percebemos detalhesenuancesquepassariamdespercebidos. Permanênciadosexamesescritosnaculturaescolar No Brasil, muitos estudos buscam discutir e dar visibilidade aos processos de avaliação inferindo a importância de se estudar a avaliação escolar por esta constituir um dos principais elementos do que se vem a chamar de cultura escolar.(Valente,2009) NoregimedeexamesinstituídonoiniciodoséculoXIXalunos sepreparavamparaumaprovaescritaeoral,guiadosporum conjuntodepontos.ConformeValente(2008),aEscolaPedro II, no Rio de Janeiro, adotava livretes que indicava os pontos adotados naquela época. Os mesmos eram utilizados para os exames orais e escritos, como previa as práticas avaliativas, orientada pela Reforma Francisco Campos de decreto nº 19.890,deabrilde1931,prescreviaparaoexamedeadmissão, provas de Português, Aritmética, e conhecimentos gerais. A provadeMatemáticaobjetivaapurarodomíniodasoperações fundamentaisedesembaraçonocálculo. No Brasil avaliação escolar é marcada por exames, testes, provas orais e escritas e pela tradição de justiça, rigor e imparcialidade. A preparação para os exames era dada pela impessoalidade do processo avaliativo, onde o professor não avaliava os seus alunos, em vez disso, eram formadas bancas 425 ReportesdeInvestigación de professores externos e desconhecidos dos alunos. Valente (2008). Na leitura das provas escritas de matemática do exame de admissão ao ginásio realizados 1931, na Escola Estadual de São Paulo, analisamos algumas particularidades. Observamos as provas era copiada pelos candidatos, a resolução é organizada, em solução e a resposta escrita com palavras, a maioria dos cálculos representados pelos alunos era por algoritmos convencionais, os conteúdos abordados: áreas, fraçõeseMínimomúltiplocomumeMáximomúltiplocomum. Emboraformascriativasencontradasnasresoluçõescontraria otradicionalismodasescolasnaquelaépocacommemorização impedindoodesenvolvimentodosalunos. Nesse período a Aritmética tem maior e ênfase enquanto a geométricasofreumdescasonasescolasprimárias,issopode ser detectado nos exames, pois o maior número de questões eravoltadoparaaAritmética.Noentantooserrosencontrados em Geometria foram mínimos. As informações detectadas se encontramnosexames,aseguirnasfigurasabaixo: Fonte:GHEMAT Figura1:Examedeadmissãode1931(Aritmética) 426 ReportesdeInvestigación Fonte:GHEMAT Figura2:Examedeadmissãode1931(geometria) Comumente as escolas não preservam seus documentos históricos, especialmente exames e provas, o que tem dificultado o estudo da cultura escolar. Objetivando verificarmos o conhecimento essencial para os alunos integrarem no nível ginasial, símbolo da escola primaria de excelência. Buscamos em fontes no GHEMT, vestígios dos exames ginasiais (exames desse período). Valente (2001) afirma que a preservação de grande parte dos arquivos escolaresdoGinásiodoEstadodaCapitaldeSãoPaulo,deve‐se aumasomadecontingênciasfavoráveis. Conforme Valente (2008) é extensamente reconhecido o impacto causado pela avaliação escrita em matemática entre alunoseprofessoreseasociedadeemgeral,particularmenteo lugarqueasprovaseosexamesocupamnaculturaescolar.A avaliação matemática escolar é um dos elementos de maior pesonamaneiracomoasociedadevêaescola. 427 ReportesdeInvestigación Avaliação na Cultura Escolar: detalhando sua função no processodeensino‐aprendizagem A principal função da avaliação é ajudar a promover a formação dos alunos, envolvendo interpretação, reflexão, informação e decisão sobre os processos de ensino‐ aprendizagem. A avaliação formativa assume, por isso, uma importânciaespecial.ComoindicaHadji(1994),pararealizara sua função geral de ajudar a promover a aprendizagem, ela deveenvolver: assistência:marcaretapas,darpontosdeapoioparaprogredir; segurança: ajudar a consolidar a confiança do aprendente em sipróprio; diálogo: alimentar um verdadeiro diálogo entre professor e aprendente,fundamentadoemdadosprecisos. feedback: dar, o mais rapidamente possível, informação útil sobreasetapasvencidaseasdificuldadesencontradas; Segundo Santos (2002) sublinha a ideia que a avaliação deve serdiversificadaeaconteceremsituaçõesformaiseinformais, coma participação ativados seusatores, contribuindo paraa evoluçãoesucessodeaprendizagens. De acordo com o NCTM (1991), a avaliação deve estar de acordo com três princípios gerais: (i) compatibilidade entre formas e instrumentos de avaliação e as várias componentes do currículo – finalidades, objetivos, conteúdos, processos matemáticos e experiências de aprendizagem; (ii) a diversidadedemodoseinstrumentos,quepermitamrecolher dados convergentes a partir de fontes diversas; e (iii) a adequaçãodosmétodosepráticasdeavaliaçãoemrelaçãoao tipo de informação pretendido, ao fim a que se destina e ao níveldedesenvolvimentoematuridadedoaluno. AavaliaçãoemMatemáticacompreendearecolhadediversas evidênciassobreaevoluçãodasaprendizagensdeumaluno:o conhecimento matemático, a sua aptidão para usá‐lo, e a sua predisposição para a Matemática. Porém o processo só fica 428 ReportesdeInvestigación completocomoestabelecimentodeinferências,apartirdessas evidências,paraváriospropósitos,emespecialodapromoção das aprendizagens. Para orientar a prática, é fundamental seguir três princípios base: consistência, diversidade e transparência (Abrantes, 2002, NCTM, 1999; Santos,2003). O princípiodaconsistênciaapontaosprocessosdeavaliação,às aprendizagens e às competências pretendidas. O princípio da diversidade ressalta a variedade de ambientes de aprendizagem e de modos e instrumentos de avaliação, para que as informações sobre o conjunto das aprendizagens e o desenvolvimento de competências sejam reais e consistentes. Porfim,oprincípiodatransparênciarefere‐seàclarificaçãoeà explicitaçãodoscritériosdeavaliaçãoutilizados. Considerações Nesse contexto, podemos afirmar que a avaliação escrita surgiunoséculoXIXesemantémarraigadanaculturaescolar, com intuito de atingir o maior número de pessoas possíveis. Observamos que no período ginasial as provas escrita determinava apenas o ingresso para o preparatório. Portanto analisamosqueaprovadeAritméticapercebeuqueamesma tinha maior ênfase enquanto ageométrica sofreu um descaso nasescolas,issopodeserobservadonosexames,poisomaior númerodequestõeseravoltadoparaaAritmética. Para tanto, os instrumentos avaliativos, de modo geral, em especial sobre tudo de matemática, devem ser instrumentos capazes de responder quais principais dificuldades e falhas cometidas no ensino e na aprendizagem, não a considerando erroneamente como um único fim, apenas para o registro de notasecompetências. Nessaperspectiva,questionarsempreéprecisonatentativade fazer com que os instrumentos avaliativos propostos favorecem os professores e alunos a pensarem, criarem hipóteses, utilizarem o que sabem para descobri o que ainda não sabem, pois a principal função social do educador é interagiremediarnoprocesso. 429 ReportesdeInvestigación Referências Bodgan, R., & Biklen, S. (1994). Investigação qualitativa em educação: Uma introdução à teoria e aos métodos. Ed. Porto.PortoPortugal. Abrantes,P.(2002).Introdução:Aavaliaçãodasaprendizagens no ensino básico. In Avaliação das aprendizagens: Das concepçõesàspráticas(pp.7‐15).MinistériodaEducação, DepartamentodeEducaçãoBásica.Lisboa‐Portugal. Fiorentini, D.; Lorenzato, S. (2009). Investigação em educação matemática:percursosteóricosemetodológicos.Autores Associados – Coleção formação de professores – 3. Ed. rev.–Campinas,SP‐Brasil. Hadji,C.(1994).Aavaliação,regrasdojogo:Dasintençõesaos instrumentos.PortoEditora.Porto‐Brasil Kilpatrick, J. Investigación em Educación Matemática: Su HistoriaAlgunsTemasdeActualidad.InKilpatrick,Rico& Gómez. Educación Matemática, México: Grupo Editorial Iberoamarica,1994. NCTM (1991). Normas para o currículo e a avaliação em matemáticaescolar.Lisboa:APMeIIE. NCTM(1999).Normasparaaavaliaçãoemmatemáticaescolar. Lisboa:APM. Nunes,C.C.(2004).Aavaliaçãocomoregulaçãodoprocessode ensino‐aprendizagem da Matemática: Um estudo com alunos do 3.º ciclo do ensino básico (Tese de Mestrado, UniversidadedeLisboa).Lisboa:APM. Valadares, J. Graça, M. Avaliando para melhorar a aprendizagem. Coimbra, Pt: Plátano 1995 – Edições Técnicas. Valente, W. R. (Org.) (2008). Avaliação em Matemática: História e perspectivas Atuais. Campinas, SP: Papirus. – ColeçãoMagistério:FormaçãoeTrabalhoPedagógico. 430 ReportesdeInvestigación OGrupodeHistóriaemEducaçãoMatemática.Disponível em: http://www.unifesp.br/centros/ghemat/paginas/teses.h tmAcessoem:22/08/201‐14:00h. Santos, L. (2002). Auto‐avaliação regulada: Porquê, o quê e como?InAvaliaçãodasaprendizagens:Dasconcepçõesàs práticas (pp. 77‐84). Lisboa: Ministério da Educação, DepartamentodeEducaçãoBásica. LOGROSDEAPRENDIZAJEDELOS ESTUDIANTESDEEDUCACIÓNBÁSICAEN TEMASDEESTADÍSTICAY PROBABILIDAD AugustaOsorio, ElizabethAdvínculaClemente PontificiaUniversidadCatólicadelPerú [email protected], [email protected] Resumen En este reporte presentaremos un avance de nuestra investigación, la cual busca conocer los logros de aprendizaje de los estudiantes del nivel educativo Medio en temas de Estadística y Probabilidad, con el fin de establecer si los conocimientosbásicosenestaáreaestánsiendoalcanzadosen elmomentoesperado.Paraestablecerlosdiferentesnivelesde logro de los estudiantes en estos conocimientos básicos, estamos haciendo uso de los Estándares de Aprendizaje Nacionales de la Educación Básica Regular del Perú, bajo la modalidad de Mapas de progreso del Aprendizaje. La identificación de los principales logros y deficiencias de los estudiantes en estos conocimientos básicos, nos permitirá identificar cuan cerca o lejos se encuentran los estudiantes 431 ReportesdeInvestigación respectodelaexpectativaquesetieneparaelcicloenelquese ubica en la Educación Básica Regular. Con esto se pretende obtener información relevante que permita establecer cuáles sonlosconocimientosquenecesitanserreforzadosyconello orientarmejornuestraacciónpedagógica. Palabras clave: Estadística, Probabilidad, mapa de progreso, niveldelogro. Introducción Esta investigación busca contribuir a la generación de evidenciasobreloslogrosdeaprendizajedelosestudiantesde la educación básica en relación a una competencia que no suele ser trabajada con la debida profundidad en el nivel escolar y que involucra aprendizajes relevantes para su formaciónmatemática. A través de los datos recogidos queremos confirmar que los temasbásicosdeEstadísticayprobabilidadquesonenseñados durante la Educación Básica Regular permiten a los alumnos de los ciclos 4 y 6 alcanzar las expectativas de aprendizaje previstasenelMapadeprogresodeEstadísticayProbabilidad propuesto por el Instituto de Peruano de Evaluación, Acreditación y Certificación de la Calidad de la Educación Básica(IPEBA). Los resultados de esta investigación serían relevantes para cualquier docente de un primer curso de Estadística a nivel universitario. Le permitirá contar con información sobre las posiblesdeficienciasqueencontraráensusfuturosalumnosy comprobarlas mediante pruebas de entrada, con el fin de establecerlasestrategiasnecesariasparalaconduccióndesu curso. Objetivosdelainvestigación Elobjetivogeneraldeestainvestigaciónesidentificarelnivel delogroalcanzadoporlosestudiantesdelaEducaciónBásica Regular, en relación a los contenidos de Estadística y Probabilidadesperadosparasugradodeestudioseidentificar 432 ReportesdeInvestigación susposiblesdeficiencias.Paralograresteobjetivo,tenemoslos siguientesobjetivosespecíficos: 1. AnalizarelmapadeprogresodeEstadísticayProbabilidad queseusaráparalamedicióndelosconocimientosbásicos. Determinandodesdelosnivelesdelmapa,cuálesseránlos objetos estadísticos que se establecerán como estos conocimientosbásicos. 2. Construir los instrumentos que permitirán realizar las mediciones en los alumnos de los ciclos escogidos. Esto incluyeunavalidaciónpreviadelosinstrumentosantesde suuso. 3. Escoger la muestra de colegios con los que conformará el grupodealumnosenestudioyenloscualesseaplicaranlos instrumentos. 4. Determinar para cada alumno de la muestra su nivel de logroenelmapadeprogresoparaladimensiónmedida. 5. Determinar el nivel promedio en que se encuentran los alumnosdelamuestraencadadimensiónmedida. 6. Establecerlasdiferenciasquesepresentanentrelomedido y lo esperado, con el fin de reportar adecuadamente a los interesados. Diseñodelainvestigación La investigación se ha organizado como un estudio exploratorio‐descriptivo que ha permitido llevar a cabo la medición de los estudiantes seleccionados, mediante instrumentos evaluativos diseñados acordes con los niveles propuestos por el mapa de progreso de Estadística y Probabilidad. Los instrumentos utilizados contenían situaciones problema de respuesta abierta, para permitirnos recogerlasjustificacionesdelosprocedimientosseguidosenla resolucióndelosmismos. La población considerada se centró en alumnos provenientes de colegios particularesde Lima Metropolitana,dadoque por 433 ReportesdeInvestigación recomendación del mismo IPEBA los contenidos a investigar no son materia de enseñanza en todos los colegios. Por este motivo la muestra a utilizar fue determinada de manera dirigida,conelfindepoderobtenerrespuestasquepermitiera analizar los logros de los estudiantes. Creímos conveniente tener dentro de la muestra colegios de diferentes niveles socioeconómicos,porloquenosbasamosenlascaracterísticas propiasdelosdiferentesdistritosdeLimaMetropolitana. Sehahechousodeunametodologíadetrabajobasadaenlos objetivosespecíficospropuestosyconellaseesperaestablecer el logro de cada alumno por nivel dentro de la dimensión medida. Finalmente, con estas mediciones establecer el nivel de logro general del grupo encuestado e identificar las deficienciasencontradas. Grupodeaplicación Nuestramuestraestuvocompuestaporunaproximadode380 alumnosdelquintogradodeeducaciónprimaria,396alumnos del tercer año del nivel secundario y 98 de alumnos recién ingresantesaunprimerciclodeEstudiosGeneralesLetrasde laPUCP. La muestra pertencecia a cinco colegios particulares, tres de ellosintegranellistadodecolegiosseleccionadosporlaPUCP paralaadmisiónmediantelamodalidaddeIngresoporTercio Superior. Esto era importante para nuestra muestra dirigida, puesto que el análisis de los resultados estaba dirigido a un primercursodeEstadísticadelaunidaddeEstudiosGenerales LetrasdelaPUCP. Dentro de la metodología de trabajo, no se midió a todos los alumnos en las tres dimensiones del mapa de progreso, esto por una cuestión de tiempo. La aplicación de un instrumento duraba en promedio 45 minutos y en general, todas las instituciones educativas solo nos permitían una hora de trabajo por aula. La elección de los alumnos para cada dimensiónfuetotalmentealeatoria. 434 ReportesdeInvestigación En el caso de los alumnos de reciente ingreso a la PUCP, se trabajócontodoslosmatriculadosenel cursodeMatemática (MAT128).Larazónesqueestosalumnossonlosúnicosenla universidadquellevantemasdeEstadísticayProbabilidaden suprimerciclo.Ensucasolosinstrumentosseaplicaroncomo unapruebadeentradadeestoscontenidos,paragarantizarla participacióndelosalumnoseneldesarrollodelaspreguntas. Instrumentosdeevaluación Los instrumentos utilizados en esta investigación se construyeron tomando como base el mapa de progreso de Estadística y Probabilidad. Este mapa como hemos explicado anteriormente, está dividido en siete niveles y tres dimensiones. Al momento de decidir la mejor estrategia de trabajo se determinó que era preferible que el logro de los alumnos se midiera en una única dimensión; de esta manera, se lograría la descripción del conocimiento del alumno a lo largodetodoslosnivelesenunaúnicamalladecontenidos. Cadainstrumentofuediseñadoparamediralosalumnosque hubieranculminadoelsegundoañodesecundariayportanto, deberían poder resolver problemas utilizando los contenidos de los niveles del 1 al 5 del mapa de progreso. En el cuestionario de cada dimensión, debía incluirse por lo menos cinco problemas, correspondiendo cada problema a un contenido por nivel de los considerados. Este contenido fue seleccionado en base a las problemáticas detectadas en los alumnos de un primer curso de Estadística a nivel universitario.Adicionalmentesequisoasegurarlamediciónde loslogrosdelosalumnosdestacadosyportantoseincluyóuna preguntadeloscontenidosmássencillosdelnivel6delmapa. Luego este mismo instrumento se recortó a redujo para el nivel primario, tomando como base las tres preguntas de los niveles del 1 al 3 del mapa de progreso y agregando una preguntadeloscontenidosmássencillosdelnivel4delmapa, para asegurar la medición de los logros de los alumnos destacadosdentrodelgrupodequintogrado. 435 ReportesdeInvestigación Para medir adecuadamente los logros de los alumnos era necesario contar con el desarrollo de cada problema y su debida justificación. La idea era poder detectar las características de cada respuesta de manera de poder catalogar el nivel de desarrollo de la misma. La idea no era soloobtenerrespuestascorrectassinoverificarlacompletitud delasmismas. Para la revisión de los enunciados de las preguntas y de los contenidosmedidos,seaplicóunapruebapilotoaungrupode alumnos de dos entidades educativas. Se trabajó con 25 alumnosdelcentroEducativoJoséCarlosMariáteguideComas y 10 del Cristo Rey de Pueblo Libre. Se aplicaron los seis instrumentos diseñados y se identificaron las falencias de diseño, estas básicamente se concentraron en los contextos presentados.Losalumnostuvieronproblemasparaidentificar algunos términos, que no les resultaban familiares. Por ejemplo,elterminodeportesgrupalesnolesresultófamiliary fuemodificadopordeporteenequipo. Aplicacióndelosinstrumentos Laaplicacióndelosinstrumentosdeestainvestigaciónsellevó a cabo desde la quincena del mes de agosto de este año. En todaslasentidadessesiguióunmismoesquemadeaplicación: Los docentes evaluadores se presentaban a la dirección del centro educativo y eran conducidos a las aulas de trabajo. Se realizaba una pequeña presentación a los alumnos de lainvestigaciónydelosfinesqueseperseguía. Se les indicaba a los alumnos que se podía hacer aclaracionessobrelosenunciadosyselespedíalevantar lamanocuandoseanecesario. Los cuestionarios estaban mezclados de manera que fuera aleatoria la dimensión a desarrollar por cada alumno. 436 ReportesdeInvestigación Nohabíauntiempolímite,peroseprocurónoexcederlos 45 minutos de aplicación. Si al término de ese tiempo, algúnalumnofaltabaculminarsupruebaselepedíaque laentreguecomoestaba. Durantetodaslasaplicacionesseprocuróqueeldocente acargoestuvierafamiliarizadoconlosinstrumentosylos temas estadísticos. Pero estaba impedido de dar sugerenciasparalaresolución. Durante la aplicación de los instrumentos se pudo observar diferentes comportamientos en los alumnos participantes. En algunoscasossemostraroncondudassobrealgunostérminos estadísticos e indicaban su desconocimiento sobre el mismo. Por ejemplo, aproximadamente un 40% de los alumnos de primaria podían identificar el término moda. En algunos colegiosesteporcentajedisminuíanotoriamente. Otra gran diferencia entre los diferentes grupos fue la justificación a sus procedimientos, la mayoría de los alumnos deprimariapresentabanunajustificaciónbastantepobreoera simplemente nula. Esta aumentaba considerablemente en secundaria. Se pudo observar además que las consultas durante las aplicaciones variaban considerablemente entre los centros educativos.MientrasqueenelcentroeducativodeComasyLa Molina las consultas evidenciaban un desconocimiento muy grande de los contenidos medidos, en los centros educativos deLosOlivosySanMartíndePorreslasconsultasmostraban unmanejodeloscontenidosymásbienundetenimientoenel análisis de los contexto propuesto y su interacción con los procedimientossolicitados. La aplicación dentro del curso Matemáticas (MAT128) presentó un problema por la falta de tiempo. Solo se nos concedió un aproximado de 15 minutos, dado que tomamos partedeltiempodeunaevaluación.Porlotanto,solosetienen resultadosvalidosdelosprimeroscuatronivelesdelmapade progreso. 437 ReportesdeInvestigación Resultadosesperados Lo que se considera como producto principal de esta investigación,esundocumentoquepermitiráladifusióndelos resultados encontrados, así como las recomendaciones para los docentes de un primer curso de Estadística a nivel universitario. Referencias Batanero, C.,Contreras, J.M. y Arteaga,P. (2011). El currículo de estadística en la enseñanza obligatoria. EM‐TEIA. Revista de EducaçaoMatematica e Tecnologica Iberoamericana. Recuperado 15 de febrero de 2013 en http://www.ugr.es/~batanero. Batanero, C. (2002). Los retos de la cultura estadística. Jornadas Interamericanas de Enseñanza de la Estadística,Buenos Aires. Conferencia inaugural. Recuperado 15 de febrero de 2013 en http://www.ugr.es/~batanero Batanero, C.,Contreras, J.M. y Arteaga,P. (2011).El currículo de estadística en la enseñanza obligatoria. EM‐TEIA. Revista de EducaçaoMatematica e Tecnologica Iberoamericana. Recuperado 15 de febrero de 2013 en http://www.ugr.es/~batanero Ipeba(2013).MapasdeProgresodelAprendizaje.Matemáticas: Estadística y Probabilidad. InstitutoPeruano de Evaluación,AcreditaciónyCertificacióndelaCalidaddela EducaciónBásica.HechoelDepósitoLegalenlaBiblioteca NacionaldelPerúN°2013‐11912. ISBN 978‐612‐46406‐ 4‐3. Recuperado 13 de diciembre de 2013 en http://www.ipeba.gob.pe/estandares/MapasProgreso_M atematica_EstadisticaProbabilidad.pdf 438 ReportesdeInvestigación TRATAMIENTODIDÁCTICODELA DERIVADA–LAAPLICACIÓNDEL PROGRAMADERIVE DianaJudithQuintanaSánchez UniversidadNacionaldePiura [email protected] Resumen El objetivo de nuestra investigación es comprobar la eficacia delprogramaDERIVEcomorecursodidácticoenelprocesode enseñanza –aprendizaje de las derivadas, en los alumnos de Ingeniería de la Universidad Cesar Vallejo. El tipo de investigaciónesPositivista(Latorre,DelRincón,Arnal,1997). Conunapoblaciónde46alumnos,distribuidosendosgrupos unoexperimentalyotrodecontrol.Lavariableindependiente es el Programa DERIVE y la variable dependiente es el Rendimientoacadémicodelosalumnos.Seaplicóunpretest, tratamientoyunpost‐test. Se elaboró un módulo dando un tratamiento didáctico a las definiciones, teoremas y propiedades, apoyándonos en la teoríadeRegistrosSemióticos(D’AmoreB,2004),dadoquelas diferentes representaciones semióticas favorecen el establecimiento de conexiones entre ellas, marcando las diferentesetapasdelaprendizaje.Ademásseelaboraronguías de laboratorio y prácticas calificadas, con ejercicios en los diferentesregistrosyordenadosdeacuerdoalascapacidades cognitivas indicadas por la Taxonomía de Bloom. De los resultadosobtenidos,suponiendomediasigualesyempleando la t‐ estudent, se determina que DERIVE es eficiente en el procesodeenseñanza‐aprendizajedelasderivadas. Palabras clave: Derivadas, DERIVE, Registros Semióticos, TaxonomíadeBloom. 439 ReportesdeInvestigación Problematización Algunos de los trabajos encontrados con ayuda del buscador REDEMAT son los que presentamos a continuación, estos trabajosdeinvestigaciónsehanrealizadoempleandosoftware educativos y desarrollando temas como Funciones, Matrices, Geometría en los niveles de secundaria, bachillerato y universidad. 1. Derive: Una herramienta para el aprendizaje de las matemáticas.UniversidaddeValladolid 2. Una propuesta metodológica de introducción temprana del concepto de aproximación local en su manifestación de recta tangente vía el asistente matemático. UniversidadPolitecnicadeValencia. 3. Algunasconsecuenciasdelusohabitualdelordenadoren laenseñanzadelasmatemáticas. 4. Curso de cálculo diferencial por UniversidaddelosAndes.Colombia. computadora. 5. Matemáticasconderiveenelsalóndeclases.Universidad NacionalAutónomadeMéxico. El problema de la investigación se planteó bajo la siguientes pregunta:¿EnquémedidalaaplicacióndelprogramaDERIVE contribuyeamejorarelaprendizajedelCálculoDiferencialen losalumnosdelaasignaturadeMatemáticaIdelaEscuelade Ingeniería Industrial y de Sistemas de la Universidad César Vallejo2006? Siendolasvariableslassiguientes: VariableIndependiente:UsodelprogramaDERIVE VariableDependiente:Rendimientoacadémicodelosalumnos. FundamentosTeóricos EnestecapítulohicimosreferenciaalsílabodeMatemáticaI,a continuación desarrollamos los contenidos matemáticos necesarios para la investigación. De las diversas teorías de la Didactica de la Matemática se consideró a Raymond Duval, 440 ReportesdeInvestigación quiensehainteresadoporlosproblemasdemanipulaciónde representantes dentro de un sistema matemático de signos y sobrelosproblemasdeconversiónderepresentacionesentre dos o más sistemas de un mismo objeto matemático, generando una nueva noción que es la de Registro de representación. Un registro, es un signo en el sentido más amplio de la palabra: trazos, íconos, símbolos, etc. La taxonomía de Bloom nos permite especificar los objetivos, seleccionar los contenidos y diseñar los instrumentos de evaluación, a partir de los niveles de conocimiento, comprensión,aplicación,análisis,síntesisyevaluación. El problema propuestos a continuación tiene por finalidad reforzar el conocimiento del alumno sobre razón de cambio promedio e instantánea, pendiente además interiorizar la relaciónqueexisteentreambosconceptos,asímismoponeren práctica el trabajo de cambio de registros semióticos pues se presentan problemas que hacen uso de los tres tipos de registroydeberánserconvertidosdeunoaotroregistropara mejorarsucomprensiónyllegaraunasolución. Problema1: Una enfermera controla la temperatura a un paciente y registralosresultados: Horas 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 Temp. 36 37 37.2 37.8 37.9 40 40 40 37.5 TablaNº3 TareasyPreguntas a. ¿Cuál es el cambio de temperatura entre las 16:00 y las 17:00 horas, las 19:00 y las 22:00 y las 22:00horas y las 23:00? b. Trazarlacurvadefiebredelpaciente. c. Calcular la razón de cambio entre las 15:00 y las 23:00 horasparaintervalosdeunahora. d. Graficarlosvaloresobtenidosenc. 441 ReportesdeInvestigación e. Completarlatablasiguiente: Temperatura Sube Quedaigual Baja Gráfica Sube RazóndeCambio positiva TablaNº4 Utilizando DERIVE los estudiantes puede resolver problemas de aplicación con mayor precisión y rapidez, obteniendo respuestas óptimas y así influir positivamente en la toma de decisiones.Laconstrucción,exploración,manipulacióndirecta ydinámicadeobjetosenpantalla,conducenenunnivelbajo,a la elaboración de conjeturas, en un nivel medio, a la argumentación y un nivel superior, a la realización de demostraciones. El siguiente es un problemas de los presentados en las guía que se trabajaron el las sesiones de laboratorioconayudadeDERIVE. Problema 1: Empleando DERIVE encuentra los intervalos 3 3 creciente y decreciente donde la función ylospuntosdondeesconstante.Luegocomparatushallazgos ycompletalainformación. 0, es ′ _________, será creciente donde decir donde 3 6 0; factorizando 3 obtenemos: 3 2 0recuerdaqueelproductodedosfactoreses mayor que cero sólo si ambos son positivos o ambos son negativos. 1. 3 0y 2 0 0y 2 Siempre que 2, se cumple también que revés.∴ escrecienteen 2, ∞ . 0. No al 2. 3 0y 2 0 0y 2 Siempre que 0, se cumple también que 2. No al revés.∴ escrecienteen ∞, 0 . será decreciente donde 0, es decir, donde 6 0: 3 442 ReportesdeInvestigación 3 2 0ahorarecordemosqueelproductodedos factores es negativo si y solo si________________o ____________________‐ 3. 3 ∴ 0y 2 0 0y 2 esdecrecienteen 0,2 . 4. 3 0y 2 0y 2 0 ¡Imposible!Nohayvaloresdexqueseanmenoresqueceroyal mismotiempomayoresque2. será constante, es decir, estará momentáneamente horizontal,sutangenteseráparalelaalejeX,donde 0: 3 2 0si 0y 2. Estossonlosdosvaloresdexdondelafunciónesconstantea losquellamamos“puntoscríticos”. Otra forma de encontrar los valores de x donde la función es creciente o decreciente, sin tener que resolver desigualdades eslasiguiente: Se encuentran los valores de x donde ′ resolviendolaecuación ′ 0. vale cero, Los n valores de x obtenidos al resolver la ecuación anterior nospermitendividirelejeXenn 1intervalosajenos. Se construye una tabla en la que los a x valores en cada intervaloy,analizandoelsignoquetoma ′ encadaunode ellos, podemos decidir si es creciente o decreciente, con baseenelcriterioalquearribamosantes. Trabajandoenestaformacon 3 0;si 2 6 ; 3 6 = 0; 3 0, 2. esconstanteen 0;yen 3 3 2 0; 3 0, 2. Los valores 0 y 2 dividen al eje X en tres intervalos: 0,2 2, ∞ . ∞, 0 , 443 ReportesdeInvestigación Por lo tanto es creciente en los intervalos ∞, 0 y 2, ∞ ,mientrasqueesdecrecienteenelintervalo 0,2 . Conclusiones 1. De acuerdo a los resultados obtenidos a través de las prácticas calificadas administradas, suponiendo medias iguales empleando la t‐ estudent, se determina que el programaDERIVEeseficienteenelprocesodeenseñanza‐ aprendizajedelCálculoDiferencial. 2. Se logro diseñar y presentar una propuesta metodológica, compuestaporunmódulodetrabajo,guíasyactividadesde laboratorio, que fueron aplicadas al grupo experimental y quepermitieronmejorarlascalificacionesdelosalumnos. 3. Elalumnotieneladisposicióndeaprendersóloaquelloque le encuentra sentido o lógica. Por ello el autentico aprendizaje es el aprendizaje significativo. Cualquier otro sería puramente mecánico, coyuntural o memorístico. Ademásestetrabajosignificativopuedeserestimuladocon las tecnologías de información y comunicación tales como elprogramaDERIVE. 4. El utilizar simultáneamente diferentes representaciones, favorece el establecimiento de conexiones entre ellas, siendo estas conexiones las que marcan las diferentes etapasdelaprendizajedelosestudiantes.Aquíesdondeel programa DERIVE juega un papel importante debido a su potenciavisual,queayudaalaformaciónytransformación de intuiciones y a la creación de imágenes del concepto, y debido también a la facilidad para realizar cálculos, eximiendoalestudiantedeestatediosalabor. Referencias Lages Lima, Elon. (1998) Mi Profesor de Matemática y otras historias.HozloS.R.L,RíodeJaneiro,Brasil,170pg. 444 ReportesdeInvestigación Menin, Ovide. (2001) Pedagogía y Universidad. Currículum, didáctica y evaluación. Homo Sapiens Ediciones. Argentina. Piskunov,N.(1973):CálculoDiferencialeIntegral.Montanery Simon.S.A.España. Wenzelburger, Elfriede. (1993) Didáctica del Cálculo Diferencial.GrupoEditorialIberoamérica. Zabalza, M. (2003) Competencias docentes del profesorado universitario.Calidad y desarrollo profesional. Narcea,S.A deEdiciones.Madrid.España. PRÁTICASCOLABORATIVAS:SUPERANDO OISOLAMENTOPROFISSIONAL AbigailFregniLins UniversidadeEstadualdaParaíba‐UEPB [email protected] PatriciaSandaloPereira UniversidadeFederaldoMatoGrossodoSul‐UFMS [email protected] MercedesCarvalho UniversidadeFederaldoAlagoas‐UFAL [email protected] Resumo Esteartigoéumrecortedoprojetointerinstitucionalvinculado ao Programa Observatório da Educação, financiado pela agência de fomento CAPES, envolvendo três universidades brasileiras, Universidade Federal do Mato Grosso do Sul (UFMS), Universidade Estadual da Paraíba (UEPB) e Universidade Federal de Alagoas (UFAL). Neste projeto investigamos práticas colaborativas envolvendo professores da escola pública e alunos de graduação e pós‐graduação. No presente artigo discutimosa percepção e o enfrentamentodo isolamento profissional. Como o projeto busca desenvolver 445 ReportesdeInvestigación práticascolaborativas,emseuprimeiromomentoobservamos o isolamento profissional, apontado por diversos autores nacionais e internacionais, como Nóvoa (1997), Fullan e Hargreaves(2000),CostaeLins(2010)eCarvalho(2011).Tal isolamento foi constatado após aplicação de questionário aos integrantes do Projeto, no qual buscamos investigar as expectativas e desafios que a participação no projeto lhes impõe. Os integrantes de cada uma das universidades sinalizaram o sentimento de isolamento profissional como fatorpreponderanteparaoenvolvimentonessetrabalho,pois esperamqueasdinâmicasdotrabalhocolaborativofavoreçam a superação da solidão profissional e intelectual, já que professoresepesquisadorespodemproduzirconhecimento. Palavras‐chave:EducaçãoMatemática.IsolamentoProfissional. PráticasColaborativas. SobrenossoProjetoOBEDUC O Projeto OBEDUC, intitulado Trabalho colaborativo com professores que ensinam Matemática na Educação Básica em escolas públicas das regiões Nordeste e Centro‐Oeste, em andamento,fazpartedoProgramaOBEDUC‐CAPES,Programa ObservatóriodaEducação.CAPES,orgãodefomentobrasileiro à pesquisa, financia projetos deste Programa, tanto projetos emrede(trêsoumaisuniversidades)comolocal(apenasuma universidade). Nosso Projeto, em rede, diz respeito à três instituições ‐ UFMS, UEPB e UFAL ‐ todas elas públicas. O Projeto,emandamentodesdemarçode2013comtérminoem 2016, objetiva estudar, pesquisar e desenvolver, de forma colaborativa, alternativas didáticas e metodológicas a serem trabalhadas em salas de aula de Matemática do Ensino Fundamental I ao Ensino Médio em escolas públicas nas regiões Nordeste e Centro‐Oeste. As alternativas didáticas e metodológicasenvolvemusosdosaparatostecnológicoscomo Tablet (Fundamental I), Materiais Manipulativos e Digitais (FundamentalII),Robótica,CalculadoraseAplicativos(Ensino Médio). O trabalho está sendo desenvolvido visando colaboração entre três doutoras/pesquisadoras educadoras 446 ReportesdeInvestigación matemáticas, mestrandos, doutorandos em Educação Matemática, professores polivalentes e de Matemática da Educação Básica (Fundamental I e II, Ensino Médio) e graduandosdosCursosdePedagogiaeLicenciaturaPlenaem Matemática (Formação de Professores) das regiões mencionadas. Acreditamos que ao trabalhar de forma colaborativa, pesquisa colaborativa de carácter qualitativo (Ibiapina, 2008), alcançaremos maior interação/integração/interlocução entre Universidade e Escola, entre Ensino e Pesquisa, aproximando assim professores em formação e em exercício, pesquisadores em formaçãoeprofissionais,provocandomaiorriqueza,clarezae aprofundamento no trabalho a ser desenvolvido nas aulas de Matemática,emespecialcomrelaçãoaousodetecnologias. São 46 os integrantes do Projeto, sendo 16 deles alocados na UFMS,chamadadegeral,21delesnaUEPB,chamadadenúcleo e9naUFAL,chamadadenúcleo.Dra.PatriciaSandaloPereira é coordenadora geral do Projeto e do núcleo UFMS; Dra. Abigail Fregni Lins coordena o núcleo UEPB e Dra. Mercedes CarvalhoonúcleoUFAL.Dentreosintegrantes,contamoscom quatro mestrandos, seis professores e cinco graduandos na UFMS; cinco mestrandos, sete professores e oito graduandos naUEPB;umdoutorando,doismestrandosedoisprofessores polivalentes e três graduandos na UFAL. Totalizando em 46, somadoanós,pesquisadorasecoordenadorasdoProjeto. Em outros espaços estaremos a discutir o que e como entendemospesquisacolaborativa,trabalhocolaborativoede que forma estamos trabalhando. Neste, nos restringimos à discussão sobre isolamento profissional, o qual faz parte da pesquisacolaborativa,emandamento,entreaspesquisadoras e coordenadoras do Projeto em questão, além de todas as pesquisasnelepresentes. SobreIsolamentoProfissional A autonomia docente tem sido historicamente debatida e é concebida como componente da profissionalidade. Fatos 447 ReportesdeInvestigación contribuíram para que a autonomia fosse perdida. Nóvoa (1997,p.17)ressaltaque: é evidente que a expansão escolar e o aumento do pessoaldocente,bemcomoumarelativaincertezaface àsfinalidadesdaescolaeàsmissõesdaescolaeaoseu papel na reprodução cultural e na formação de elites, também contribuíram para os movimentos de desprofissionalizaçãodoprofessorado. Osistemaescolarestácentradonoprofessor.Sacristán(1992) aponta uma hiper‐responsabilização dos docentes quanto aos resultadosdesuapráticapedagógicaequalidadedeensino.Ao mesmo tempo em que hácobranças, status e reconhecimento profissionais estão em queda. Professores se queixam quanto às condições de trabalho e baixos salários, provocando estresse e esgotamento físico. O quadro em questão gera desmotivação para enfrentar a realidade e, em especial, promover mudanças. O absenteísmo e o abandono também têm aumentado, impedindo uma sociabilidade possível entre professores,levando‐osaoisolamentoprofissional. Fullan e Hargreaves (2000) pesquisaram sobre o que os professores pensavam com relação às suas profissões e identificaram questões que podem diagnosticar uma crise de identidade profissional. Dentre elas, sobrecarga, isolamento e pensamentodegrupo. Sobreisolamento,FullaneHargreavesressaltamqueensinaré, hámuitotempo,entendidocomoprofissãosolitária.Considere‐ sequeoindividualismoémaisumaquestãoculturalemenos uma peculiaridade da profissão. Por outro lado, parece mais fácil e rápido preparar aulas sozinho. Nesse aspecto, muitos dos professores nem sequer imaginam a organização do seu trabalhocomaparticipaçãodeoutraspessoas.SegundoFullan e Hargreaves (2000), o problema do isolamento tem suas raízes, sendo elas, arquitetura escolar que isola espaços; horários rígidos; organização inflexível da rotina escolar, impedindo interações sociais; e, sobrecarga de trabalho, sustentandooindividualismo. 448 ReportesdeInvestigación Segundo Fullan e Hargreaves (2000), combater os contextos que levam o professor a isolar‐se dos seus pares constitui umas das questões fundamentais, pela qual vale a pena lutar. Embora ambos os autores retratem sua pesquisa especificamentenaInglaterra,épossívelestabeleceranalogias comoprofessoradoemnossopaís. Identificando Isolamento Profissional entre os integrantes doProjeto Comoprimeiropassodenossapesquisacolaborativa,decunho qualitativo (Bodgan e Biklen, 1994), com relação ao engajamento e desenvolvimento dos 46 integrantes de nosso Projeto,elaboramos4questionários,osquaisforamaplicados em nosso I Seminário Anual OBEDUC, ocorrido na UFAL, no ano corrente, no qual todos os 46 integrantes estavam presentes. Neste Seminário dialogamos sobre todas as pesquisas iniciadas em cada núcleo e como estávamos nos organizando em cada um deles. Em especial, o I Seminário proporcionou o encontro presencial de todos os 46 integrantes. Os questionários foram aplicados às categorias, como denominados no Programa OBEDUC: categoria graduando; categoria professor da educação básica; e, categoria mestrando‐doutorando. O quarto questionário foi único a todos, sobre suas impressões do I Seminário. Entre outras questõesnosquestionários,noscentraremosnaquestão5do questionário da categoria professor da educação básica, aplicadoaos23professores,sendoela: JásesentiusónaEscola? Senão,explique.Sesim,descreva. Dos 23 professores integrantes do Projeto, 12 responderam que já se sentiram só em suas escolas. A seguir respostasde 4 deles: "Jámesentisónaescola,éimportanteterumcolegade profissão para discutir as angústias que sentimos no ensinoenodia‐a‐diaemsaladeaula"(ProfessorA). "Sim. Sinto falta de compromisso de alguns profissionais da minha área, fico sem apoio para 449 ReportesdeInvestigación desenvolver algumas atividades diferenciadas e partilharexperiências"(ProfessorB). "Muitas vezes me senti só devido a necessidade que tenho em discutir questões pedagógicas na escola e que, às vezes, outros professores escutam, mas..." (ProfessorC). "Sim. A maioria das vezes que me senti só foi quando houve algum conteúdo que eu deveria começar/introduzir aos alunos e não sabia como, ou qualamelhorformadeiniciar"(ProfessorD). Entreoutros.Osdadospornóscoletadosvemaoencontroàs afirmações de Sacristán, Fullan e Hargreaves, em especial sobre as questões de arquitetura e ambiente escolar, provocandoassimisolamentoprofissional. Entreosprofessores,11responderamquenãosesentemsóna escola, pois são professores que trabalham em conjunto, de formacolaborativa,emsuasescolas,emespecialumadelas,na qualocoordenadordaáreadeMatemáticatrabalhadeforma muitopróximaaosseuscolegasprofessores. ExpectativasentreosintegrantesdoProjeto Emnossoquartoquestionário,únicoatodos,pudemosextrair algumasdasexpectativasdosprofessoresnaquestão1:Oque mais lhe motivou durante o I Seminário Anual do OBEDUC? Explique.Foramelas: "Asdiscussõesdotrabalhodecadagruponosmotivou abuscarmaisreferenciaisparaajudaracompreender oquevemasergrupo,trabalho,pesquisacolaborativa" (ProfessorA). "As discussões foram riquíssimas no sentido de esclarecer as ideias de pesquisa colaborativa. As apresentações dos grupos também foram de extrema importãncia, pois foi possível partilhar experiências profissionais e acadêmicas e compreender o enfoque da pesquisa do projeto OBEDUC. Me senti bastante motivada a escrever um projeto para submeter à seleção do Mestrado Profissional em Ensino de CiênciaseMatemáticaem2014,paradarcontinuidade 450 ReportesdeInvestigación à pesquisa que está sendo iniciada com o projeto OBEDUC"(ProfessorB). "Ler mais e dentro dessas leituras conseguir associá‐ lasàinvestigação"(ProfessorC). "O engajamento de todos no Projeto. As diferentes ideiasediscussões"(ProfessorD). Foiumprazerprofissionalmuitograndeànós,pesquisadoras e coordenadoras do Projeto, observarmos que os Professores A, B, C e D, tão isolados em seus ambientes escolares, profissionais,teremsentidobemestarprofissionallogoapóso término do I Seminário Anual OBEDUC. De ter o I Seminário Anual OBEDUC despertado neles e entre eles vigor profissional.Umsaltomuitograndeentreosentirnaescolaeo sentirnoProjeto.Diríamostersidoumfrescordesuperaçãodo isolamentoprofissional. ComentáriosFinais:desafios AcreditamosquenossoProjeto,alémdegerarnovaspesquisas, está a promover uma nova relação entre professores em exercicio e em formação, pesquisadores profissionais e em formação, e entre todos nós integrantes do mesmo. Como destaca Imbernón (2006, p. 20), "uma maneira de revitalizar profissionalmente o professor é a geração de processos de aprimoramento profissional coletivo, adotando inovações e dinâmicas de mudança nas instituições educativas”. Em seguida,afirmaseroprofessorum: agente dinâmico cultural, social e curricular, capaz de tomar decisões educativas, éticas e morais, de desenvolverocurrículoemumcontextodeterminadoe de elaborar projetos e materiais curriculares com a colaboração dos colegas, situando o processo em um contexto específico controlado pelo próprio coletivo. (Imbernón,2006,p.21). É o que imaginamos (e esperamos) estar a alcançar (já estamos) em nosso Projeto, entre nós e em cada um de nós. Estendendonãoapenasaosprofessores,quesomostodos,mas 451 ReportesdeInvestigación também aos pesquisadores, os quais por muitas vezes se encontramigualmenteisoladosprofissionalmente. Referências Boavida, A. M.; Ponte, J. P. (2002). Investigação colaborativa: potencialidades e problemas. In: Refletir e investigar sobreapráticaprofissional.Lisboa:APM,p.43‐55. Bogdan, Robert; Biklen, Sari (1994). Investigação qualitativa emeducação.Portugal:PortoEditora,340p. Carvalho, M. (2011). Escola, espaço de formação de professores. In: Carvalho, Mercedes (org.) Ensino Fundamental ‐ Práticas docentes nos anos iniciais. Petrópolis.Vozes5ªedição. Costa, M. L. C.; Lins, A. F. (2010). Trabalho colaborativo e a utilização das tecnologias da informação e comunicação na formação do professor de Matemática. Revista EducaçãoMatemática,PUCSP,vol.12,p.452‐470. Fiorentini, D. (2004). Pesquisar práticas colaborativas ou pesquisarcolaborativamente?In:Borba,M.C.;Araujo,J.L. (Org.)Pesquisaqualitativaemeducaçãomatemática.Belo Horizonte:Autêntica. Fullan, M.; Hargreaves, A. (2000). A escola como organização aprendente:buscandoumaeducaçãodequalidade.2ªed. PortoAlegre:ArtesMédicas,135p. Imbernón,Francisco.(2006).Formaçãodocenteeprofissional: formar‐separaamudançaeaincerteza.6aed.SãoPaulo: Cortez,179p. Ibiapina, I. M. L. M. (2008). Pesquisa Colaborativa: Investigação, Formação e Produção de Conhecimentos. Brasília:LíberLivroEditora,120p. Nóvoa, A. (1997). Formação de professores e profissão docente. In: Nóvoa, A. (Coord.). Os professores e sua formação.3.ed.Lisboa:DomQuixote,p.9‐33. 452 ReportesdeInvestigación Sacristán,J.Gimeno.(1992).Consciênciaeaçãosobreaprática como libertação profissional dos professores. In: Nóvoa, Antônio (Org.). Profissão professor. 2a ed. Porto: Porto Editora. OPORTUNIDADESYDIFICULTADESENEL DESARROLLODEAMBIENTESINCLUSIVOS PARAELAPRENDIZAJEDELAS MATEMÁTICAS GabrielManceraOrtiz, FranciscoJavierCameloBustos, JennyferZambranoArias UniversidadDistritalFranciscoJosédeCaldas [email protected], [email protected], [email protected] Resumen Presentamosunavancedelainvestigación:“Estudiodelpapel de los escenarios y ambientes de aprendizaje de las Matemáticasenlosprocesosdeinclusiónenlasclases”(García &Valero,2011),cofinanciada—enColombia—porColciencias y las Universidades Pedagógica Nacional y Distrital Francisco José de Caldas y —en Dinamarca— por Aalborg University (contrato 363). En los propósitos de tal investigación está “analizar las potencialidades y dificultades que pueden presentar, los ambientes de aprendizaje generados por escenariosconreferenciasasituacionesdelavidarealodelas matemáticas”. Para ello analizamos las oportunidades y dificultades —basados en la Educación Matemática Crítica (Skovsmose,1999)—quesepresentaronaldiseñaryplantear escenariosdeaprendizajeencontextossocialmenterelevantes para los estudiantes (cercanos a la vida social, política y 453 ReportesdeInvestigación económica) donde buscamos que explorarán, explicarán y justificarán sus decisiones. Es decir, que actuarán, a partir de sus disposiciones e intenciones, en el sentido que hemos planteado en Mancera, Camelo, Salazar & Valero (2012). Lo anterior dio cabida a una posibilidad (a estudiantes y profesores) de explorar razones del por qué y para qué del propósitodelprocesoeducativo. Paradarcuentadeloanterior,analizamosdichasdificultadesy oportunidades,enescenariosqueplanteamosaestudiantesde colegios públicos que consideramos, en el sentido de Skovsmose,Scandiuzzi,Valero&Alro(2012)comodefrontera. Encontrandoqueladecisión—porpartedelosestudiantes— de involucrarse (o no) en las actividades de aprendizaje, no sólo depende de las habilidades cognitivas, sino también por un interés que podría ubicarse en la compleja relación estudiante, contexto y profesor planteada por Valero (2002). Loanteriorponederelievelaimportanciadecrearambientes educativos que permitan identificar situaciones que tengan relevancia desde una perspectiva del contenido del aprendizaje, de la importancia sociológica de aprender en la escuela y de la posición misma de los estudiantes (Camelo, García,MancerayRomero,2008). Palabras clave: Relaciones interpersonales, socioeconómicos,Finespolíticos,Enseñanza. Aspectos Introducción Skovsmose(2000)yCameloyMancera(2005),hanseñalado– en términos generales– que en una clase de matemáticas tradicional, el profesor presenta definiciones y procedimientos, que se complementan con ejemplos para reforzar la noción que se quiere desarrollar. Para luego plantear a los estudiantes que trabajen en ejercicios seleccionados por el profesor. Lo anterior permitiría ubicar a la educación matemática tradicional en lo que Skovsmose (2000) ha denominado el paradigma del ejercicio, pues despuésdequeelprofesorexponesusideas,losestudiantesse 454 ReportesdeInvestigación ejercitan, generalmente, a través de las actividades presentadasenunlibrodetexto. Talesactividadesproponenejerciciosyproblemasquelimitan, además, la comprensión del contexto, pues sólo lo muestran comounareferenciageneralaunespaciootiempoquenose concibecomoesencialdeloquesequiereestudiar,dejandode ladoaspectossociales,políticosyculturalesdelosestudiantes. De esta manera se privilegia actividades algorítmicas donde hayunsolocaminodesoluciónydondesepresentanlosdatos necesariosparaqueelejerciciosearesuelto. Lo anterior se refuerza si se tiene en cuenta que las actuales políticas de cobertura para la educación colombiana (particularmente en el Distrito Capital) han generado superpoblación en las aulas de clase (entre 45 y 50 estudiantes),situaciónque–aunadaaloanterior–posibilitala perpetuidad de esquemas como los señalados anteriormente. Asíladensidaddelapoblaciónenlossalonesseconstituyeen un obstáculo político, en el sentido que ha mostrado Skovsmose (2012), provocando–por ejemplo– dificultadpara integraraspectossocialesypolíticosenelreconocimientodel contextoenquesedesenvuelvenlosestudiantes,disminución de tiempos y calidades de la atención a los estudiantes, entre otros. Posturas como la anterior han generado una base crítica a la enseñanza tradicional de las matemáticas. Por ejemplo, en Colombia,desdelosplanteamientosdadosporelMinisteriode Educación Nacional (MEN, 1998) se reconoce que el conocimiento matemático “[…] representa las experiencias de personas que interactúan en entornos, culturas y períodos históricosparticulares[...]”,situaciónqueabrelaposibilidada que se tengan en cuenta a los estudiantes como seres con sentimientos,concircunstanciasquetrasciendelaescuela,con disposiciones e intenciones para involucrarse (o no) en el aprendizaje y no sólo como sujetos cognitivos, tal como lo ha planteado(Valero,2002). 455 ReportesdeInvestigación A pesarde loanterior, la Secretaríade EducacióndelDistrito (SED) señala que si bien se ha avanzado en este sentido, posibilitando desarrollos importantes en materia de investigaciones e innovaciones pedagógicas, aún hay un gran recorrido que hacer para lograr transformar una enseñanza centrada en la transmisión, memorización, mecanización y segmentacióndehechosmatemáticos,porunaqueprocure“la comprensióngenuina”enlaquelosestudiantesseenfrentana situaciones integradas, permitiéndoles construir significados propiosdeloshechos(SED,2007). Skovsmose (2000), como una alternativa al paradigma del ejercicio, propone el paradigma con un enfoque investigativo, elcualsepresenta,generalmente,atravésdeproyectos,donde el trabajo se ubica dentro de un “escenario” que ofrece posibilidades para realizar investigaciones y representa un ambientedeaprendizajeenesenciadiferentealdelparadigma delejercicio. En el presente escrito se analizan las oportunidades y dificultades —basados en la Educación Matemática Crítica (Skovsmose,1999)—quesepresentaronaldiseñaryplantear escenariosdeaprendizajeencontextossocialmenterelevantes para los estudiantes (cercanos a la vida social, política y económica) donde se buscó –como ya se mencionó– que explorarán, explicarán y justificarán sus decisiones. Para ello, se plantearon escenarios con estudiantes de sexto grado en colegios que hemos considerado como de frontera (Skovsmose,etal.,2012),localizadosenBogotá(Colombia). Marcoteórico Adoptarunadistanciacríticafrentealaorganizaciónestándar de las prácticas educativas tradicionales en matemáticas, desde una postura socio‐política, nos permite pensar en organizar escenarios para el aprendizaje que posibiliten la identificación de problemas que tienen contenidos importantesdesdeunaperspectivadelaprendizajeydesdela perspectivamismadequienesaprenden(Cameloetal.,2008). 456 ReportesdeInvestigación En este sentido recogemos la idea que propone Skovsmose (2000)deescenariodeinvestigación,elcualesdefinidocomo “[…] una situación particular que tiene la potencialidad de promover un trabajo investigativo o de indagación […]”, desarrollando–porunaparte–unaalfabetizaciónmatemática, donde no sólo se potencian destrezas matemáticas, sino tambiénsedesarrollancompetenciassocialesquelepermitan alosestudiantes,interpretaryactuarsobreelcontextosocial, político y cultural que los rodean –y por otra– una visión democrática,dondeelescenariodelaclasedematemáticasno solo es visto para reflexionar alrededor de contenidos matemáticossinotambiénparaqueseposibiliteeldesarrollo deactitudesdemocráticascríticas. Sinembargo,diseñaryplantearescenariosdeaprendizajeque tengan en cuenta contextos socialmente relevantes para los estudiantes (cercanos a la vida social, política y económica) implicó situar y pensar las ideas de la Educación Matemática Crítica (EMC) para las realidades Colombianas (contextualizar), particularmente para las realidades de los estudiantesdedoscolegiospúblicosen Bogotá.Situaciónque nos llevó a tener en cuenta las ideas de escuela de frontera (escuelasdealtoriesgosocial).Deestamanera,larelaciónde los contenidos con los intereses y contextos de los niños implicaidentificarlasmúltiplesycomplejasrelacionesconsus vidas sociales (Camelo et al, 2008). Para ello se conjugan los antecedentesdelestudianteysuvisióndelasposibilidadesde vidafutura,esdecir,suporvenir(Skovsmose,1999). Disposicioneseintenciones Como lo hemos mencionado al inicio de este artículo, tradicionalmente en las clases de matemáticas se considera a los estudiantes como sujetos cognitivos. Esto es, los estudiantes están dispuestos a aprender y es función del docente preparar la clase de manera organizada, planeandola con base en la consideración de factores principalmente de contenidomatemático.Loanterior,dejadeladoaspectoscomo el por qué un estudiante se involucra en algún tipo de 457 ReportesdeInvestigación discusiónenelaula,laformaenquesedadichadiscusiónylo que implica socialmente el aprendizaje de nuevos conceptos matemáticos. En la búsqueda de alternativas que posibiliten involucrar los aspectosmencionados,debemoscomenzarporaceptarquelos estudiantes son sujetos que sobrepasan el ámbito de lo individual. Parafraseando a Valero (2002), es necesario aceptar que tanto el sujeto como el objeto mismo de conocimiento están en relación con otras personas y con el contexto donde se lleva a cabo la interacción. Lo que implica paraelcasodelaeducaciónmatemática,queelaprendizajede las mismas debe darse en un diálogo continuo y permanente entre los actores involucrados en un un espacio, tiempo y culturaespecífica. Al aceptar que tanto lo social como el diálogo son factores determinantes para el desarrollo de un ambiente inclusivo, estamos también aceptando que para involucrar a los estudiantesenlasactividades,debemostenerclarosobrequé dialogar, cómo y cuándo hacerlo. Así, es necesario prestar atención a las disposiciones ‐ intenciones y acciones (Skovsmose, 1999) de los estudiantes, pues en esta triada podría estar un camino hacia la posibilidad de reflexionar las razonesparaaprendermatemáticas. Ahorabien,paracomprendermejordichatriada,encontramos queelprocesodeenseñanzayaprendizajedelasmatemáticas en las instituciones educativas puede interpretarse como una acción,paraSkovsmose(1999,p.XVI)laacciónesdeliberada, conscienteeintencionada,asílapersonatienelaposibilidadde escoger, planteandose una claridad en el objetivo que persigue.Además,enesemismodocumento,esteautorseñala que dicha acción se relaciona con las intenciones y las disposiciones de la persona. Las intenciones pueden entenderse como guías para la acción que provienen de la habilidad de la persona para dirigirse hacia un objeto no presente. Siendo la acción, la que intentará satisfacer las intencionesdeunapersona.Almismotiempo,lasintenciones 458 ReportesdeInvestigación se relacionan con las disposiciones de la persona, en tanto antecedentesycontextoshistóricosenqueseencuentra. Porloanterior,latriadadisposiciones‐intenciones‐acciones posibilitóunmarcoparaentendertantolaenseñanzacomoel aprendizaje de las matemáticas desde la perspectiva de la educación matemática crítica y contribuyó a interpretar que un proceso de educación crítico no se realiza si las personas involucradasenélnotienenlaintencióndeactuar. Bajoestepanorama,seconstituyeenunatareaimprescindible conocerelcontextoenquesedesenvuelvenlosestudiantes.En CameloyPeñaloza(2009,p.66)planteamosque“[…]partimos poraceptarqueamenudoselanzanjuiciossobreunasuntosin conocerlo ni siquiera someramente”, por lo que nos hemos dado a la tarea de organizar situaciones que posibiliten tal compresión. Metodología Eldesarrollodelproyectoinicióconlaintencióndeidentificar situaciones de exclusión en las aulas de matemáticas. En este sentido, escuchamos la percepción que tienen los profesores desusestudiantes.Apartirdeello,identificamosqueexisteun curso en el colegio rotulado como “indisciplinado”, con estudiantes que son repitentes, considerados con nivel académicobajoydondeseevidenciandiferenciasnotablesen lasedadesdelosniños. A partir de la descripción de los profesores, iniciamos un procesodereconocimientodelosniñosdesexto(602)apartir delaactividad¿Quiénessomos?Quehacepartedeunproceso de conocer a los estudiantes. Este “conocer” implica ver más alládeloquereflejanlosniñosenelcolegio,pueseshaceruna miradaasuentorno(barrio‐localidad),familia,amigos,gustos, intereses, porvenir etc. Por ejemplo, en Triana, Cortes, Mancera & Camelo (2013) presentamos la experiencia inicial dereconocimientoapartirdeun“Compartirnutritivo”donde identificamos: 459 ReportesdeInvestigación […]aspectosdelasdisposicionesdelosniños,tales como: su baja experticia en el desarrollo de proyectos de investigación, su tendencia intencional de escoger bajo el criteriodelaestimaciónyelgusto;identificamoslosgrupos detrabajomejorconsolidadosjuntoconsuslíderes–quienes motivan acciones‐, ratificamos su disposición de encaminar sus acciones de aprendizaje hacia el uso de medios electrónicosovirtuales,yreflexionamosengeneralsobreel trabajo del docente y sus moderadores en función del desarrollo del escenario mediante el uso del enfoque de la EducaciónMatemáticaCrítica(Skovsmose,1999y2000). Partiendo,deestereconocimiento,seidentificanalgunasdelas disposiciones entendiendo éstas como “los antecedentes o la red social e histórica en la que la persona se encuentra, y el porvenirolasposibilidadesquelasituaciónsocialleofreceal individuo” (Skovsmose 1999), lo que permite proponer el escenario “¿Quiénes somos? “el cual tiene el objetivo de propiciarunespaciodondeelprofesorpuedeconoceraspectos de la vida de sus estudiantes y, por otro lado, los estudiantes tiene un espacio para compartir y de mostrar características que los identifican como sujetos, con sus individualidades, emociones,sentimientos,etc.(Valero2002). El cuestionar a los niños sobre ¿Quiénes son? permitió hacer una exploración hacia sus vivencias pasadas y aspectos generalesdesupresente(desdeelámbitopersonal,familiary social).Deallíseconcluyequetienenungranapoyofamiliary queseinteresanporloqueseránensuvidaprofesionalfutura. En el desarrollo del escenario se hizo necesario organizar el trabajoengruposdeestudiantessegúninteresescomunes.Tal decisión se debió a tres factores fundamentalmente: la poca experienciaentrabajosconproyectos,lainfraestructuradelos salonesylagrancantidaddeestudiantesenelsalón. Una vez, se identifican posibles disposiciones de los estudiantes, se hace un reconocimiento de las intenciones entendidascomolas“guíasparalaacciónqueprovienendela habilidad de la persona para dirigirse hacia un objeto no presente” (Skovsmose 1999). Dichas intenciones podría dirigirse hacia planes e ideas, expresándose como: “tengo la 460 ReportesdeInvestigación esperanzade…”,“micreenciadeque…”,“misueñode…”o“mi deseo de …”, que manifestaban los estudiantes al señalar sus perspectivasdefuturo. SegúnSkovsmose(1999)“Lasdisposicionessonunafuentede intenciones y, a su vez, un resultado de las acciones de la persona”,loquenospermiteevidenciarlarelaciónqueexiste entrecadaelementodelatriadadisposición–intención–acción. Sinembargotambiéndejaverquesonlasdisposicioneslasque permiten sentar una base en el proceso educativo, y más específicamente en el aprendizaje de las matemáticas, ya que los estudiantes no son una hoja en blanco, sino que traen elaboracionesdesuantecedentehistóricoydelasinfluencias de su contexto, lo que implica que según las disposiciones se generanintencionesdeactuar. Ahorabien,estaactividadpermitióalgrupodeinvestigadores trabajarenconjuntoconelprofesortitular,conquiensebuscó indagar acerca de ¿Quiénes son los estudiantes? y ¿Qué motivaciones tienen?, sobre todo a pensar como esas motivacionespuedenserllevadasalaclasedematemáticas.En este sentido, se dirige el trabajo no sólo a identificar que los problemasdeexclusiónseevidenciaenunsalóndeclases,sino además que la exclusión la puede hacer directa o indirectamente el profesor. Porque si el profesor no conoce a susestudiantesposiblementevaexcluirlosinteresesdeellosa la hora de enseñar matemáticas y se puede imponer actividades que para ellos no tengan sentido, ni individual, ni colectivamente. Porotrolado,latríada(disposiciones,intencionesyacciones) propuesta por Skovsmose (1999) permite identificar varios aspectosenlacreaciónydiseñodeambientesdeaprendizaje, queledanherramientasalprofesorparaconsolidar,juntocon los estudiantes, escenarios para la clase, que permitan promover en los estudiantes un pensamiento crítico de su realidadconlasmatemáticas.Noespensarunaactividadouna tarea para los estudiantes que permita únicamente llevar un objeto matemático al aula, se trata de todo un proceso de diseño y planeación de una atmósfera, de un contexto, de un 461 ReportesdeInvestigación marco que conlleve a situaciones socialmente relevantes, situaciones que involucran la vida misma de ellos, y que por medio, por ejemplo, de la modelación matemática lleva implícito una toma de decisiones y una reflexión en las manerasdepensarydeactuar. Reflexionesfinales El objetivo de la actividad estaba basado en la postura de Skovsmose (1999) donde hace referencia a que “No podemos describir una acción sin describir la orientación de un individuo. Preguntarse si las intenciones de una persona se han satisfecho es equivalente a preguntarse si realiz ciertas acciones” dado que se quiere invitar a los estudiantes a reflexionar sobre qué es lo que quieren para su futuro y aún másquehacenyharánparalograrloqueseproponen. De manera general, entonces, podemos plantear que las oportunidades y dificultades en el desarrollo de ambientes inclusivos para el aprendizaje de las matemáticas se pueden presentar en dos direcciones. La primera se ubica desde el profesor, quien (dado a las dinámicas institucionales, la gran cantidaddeestudiantesquemanejaporgrado,lospropósitos curricularesdecadaperiodoylametodologíaqueseaplicade lasclases)noadvierteadecuadamenteaaquellosestudiantes que presentan dificultades en matemáticas o a quienes no evidencianinterésporaprender. Por otro lado, la segunda, puede analizarse desde aquellos estudiantes que no se sienten interesados por aprender matemáticasoquetienendificultadesparalacomprensiónde loscontenidosquesepresentanyporlotantosedesmotivanal desarrollarlasactividadesqueelprofesorlepropone. En este sentido, es importante en el ejercicio docente, reconocerquenoselograenseñarmatemáticassielestudiante noquiereaprendermatemáticas.Porello,Skovsmose(1999) resalta que “En una situación educativa de las matemáticas escolaresdeberíadarseunanegociaciónentreelprofesorylos estudiantessobrelasintencionesydisposicionesdecadauno” 462 ReportesdeInvestigación (pág. XVII) porque no se pueden aislar las intenciones de los estudiantesdelasintencionesdelprofesor,sondoscarasdela mismamonedaqueinfluyendemaneradirectaenelproceso educativo. Esto se refiere a lo que Skovsmose (1999) indica como la acción intencionada del profesor por construir una situación en la que “el proceso educativo pueda encarnarse para dar un significado a las actividades individuales que los niños deben realizar” (pág. XVII). Por lo tanto, la función del docentenoradicaenenseñarmatemáticassinoeninvitaralos estudiantesainteresarseporaprendermatemáticas. Referencias Camelo, F. y Mancera, G. (2005). El currículo desarrollado en torno a la proporcionalidad: Un estudio cualitativo realizado en secundaria. Tesis de maestría, Universidad pedagógicanacional.Documentonopublicado. Camelo,F.yPeñaloza,G.(2009).Eltrabajocolaborativocomo estrategiaparalaformacióncontinuadadeprofesores.En G. García, P. Valero, F. Camelo, G. Mancera, J. Romero, G. Peñaloza y S. Samaca. Escenarios de aprendizaje de las matemáticas. Fondo editorial Universidad Pedagógica Nacional,Bogotá,Colombia. Camelo, F., García, G., Mancera, G. y Romero, J. (2008). Reinventandoelcurrículoylosescenariosdeaprendizaje de las Matemáticas, de la espacialidad. Un estudio desde laperspectivadelaEducaciónMatemáticaCrítica. García y Valero (2011). Estudio del papel de los escenarios y ambientes de aprendizaje de las matemáticas en los procesos de inclusión en las clases. Proyecto de investigación en desarrollo cofinanciado por Colciencias. Documentonopublicado. Mancera, G., Camelo, F., Salazar, C., & Valero P. (2012). Disposiciones, intenciones y acciones: una vía para negociaryconstruircampossemánticosparalasclasesde matemáticas. En D. Parga (Coordinador), Educación, Pedagogía Y Formación Docente. "La Construcción De 463 ReportesdeInvestigación ConocimientoEducativoParaUnFuturoHumano.Evento llevado a cabo en III Congreso Internacional Y VIII Nacional De Investigación En Educación, Pedagogía Y FormaciónDocente,Bogotá,Colombia. MEN (1998). Lineamientos curriculares. Área Matemáticas. Bogotá. SED (2007). Colegios Públicos de excelencia para Bogotá OrientacionescurricularesparaelcampodePensamiento Matemático.Bogotá. Skovsmose O. (1999). Un enfoque temático en la educación matemática.Filosofíadelaeducación. Skovsmose, O. (2000). Escenarios de investigación. Revista EMA,6(1),1‐25. Skovsmose,O.(2012).Porvenirypolíticadelosobstáculosde aprendizaje. En Valero, Paola; Skovsmose, Ole (Eds.), Educaciónmatemáticacrítica.Unavisiónsociopolíticadel aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas (pp. 131‐ 147).Bogotá:unaempresadocente. Skovsmose, O.; Scandiuzzi, P.; Valero, P. & Alr0, H. (2012). A aprendizagem matemática emumaposição de fronteira: foregrounds e intencionalidade de estudantes de uma favelabrasileira.Bolema[online].2012,vol.26,n.42a,pp. 231‐260. http://dx.doi.org/10.1590/S0103‐636X2012000100011. Triana, A., Camelo, F., Mancera, G. & Cortés, S. (2012). Disposiciones e intenciones en un escenario de investigación para una clase de matemáticas: el caso de un “compartir nutritivo” En: Memorias 13 Encuentro ColombianodeMatemáticaEducativa.Medellín‐Colombia. Valero, P. (2002). Consideraciones sobre el contexto y la educación matemática para la democracia. Quadrante, 11(1),33‐40. 464 ReportesdeInvestigación SIGNIFICADOPERSONALDELA DERIVADAENESTUDIANTESDE INGENIERÍADELAUNIVERSIDAD NACIONALMICAELABASTIDASDE APURÍMAC AlejandroManuelEcosEspino UniversidadNacionalMicaelaBastidasdeApurímac [email protected] Resumen El presente reporte de investigación tiene como objetivo principaldeterminarelsignificadopersonalsobreladerivada que logran los estudiantes de Ingeniería de la Universidad Nacional Micaela Bastidas de Apurímac y contrastarlo con el significadoinstitucionaldereferencia.Paraello,setomocomo marcoteóricolopropuestoenelEnfoqueOntosemióticodela CogniciónylaInstrucciónMatemática(EOS)desarrolladopor Godino y Batanero. La metodología seguida fue la de análisis de los libros de texto para identificar el significado institucionalreferencialylaaplicacióndeuncuestionariopara determinar el significado personal declarado en los estudiantes, todo dentro de un marco interpretativo y explicativo. El contraste de estos significados nos permitió llegar a la conclusión que el significado logrado por los estudiantes sobre la derivada es el manejo de reglas que permiten hallar la derivada de una función para determinar sus valores extremos, y a partir de ellos, tener una idea de cómo puede ser la gráfica de dicha función. El significado de derivadacomopendientedelarectatangenteycomorazónde cambioinstantáneanosehalogradoenlosestudiantes Palabras clave: Significado institucional, Significado personal, Derivada. 465 ReportesdeInvestigación Introducción El aprendizaje del cálculo diferencial representa un aspecto fundamental dentro del estudio de la matemática avanzada. Sin embargo, los resultados obtenidos por los estudiantes muestranlasgrandesdificultadesquetieneparaadquiriruna comprensión adecuada de los diferentes conceptos matemáticospresentesenestaramadelamatemática. Tradicionalmente la enseñanza del cálculo ha sido notablemente influida por la forma cómo se organiza el contenido matemático en la ciencia matemática. Sin embargo, esta estructuración poco ha contribuido a la comprensión de losconceptosmatemáticosenlosestudiantes. En importante entonces, conocer el significado tanto institucional como personal que se asignan a los diferentes objetosmatemáticosdelcálculodiferencialyesespecial,alde derivada;afindellevaracabouncontrasteentreambospara identificarsusrelacionesydiferencias. Objetivos Lainvestigaciónrealizadapersiguiólossiguientesobjetivos: Determinar el significado institucional de referencia sobre laderivada Determinar el significado personal declarado sobre la Derivada Determinar de la relaciónentre el significado institucional y de los significados personales declarados acerca de la Derivada. MarcoTeórico El fundamento teórico en la cual se ha basado la presente investigación es el Enfoque Ontosemiótico propuesto por Godino y Batanero (1994,1998). Este enfoque centra su atención en el análisis de los significados de los objetos matemáticos. En la resolución de problemas matemáticos, un 466 ReportesdeInvestigación sujetosuelerealizardiferentesaccionesconelfindeencontrar la solución del problema planteado, y a su vez, comunicar, validar y generalizar los resultados obtenidos. Estas acciones reciben el nombre de prácticas matemáticas J. Godino (2009, p.334). Cuando las prácticas matemáticas son realizadas por una persona se denominan prácticas matemáticas personales, y si sonrealizadasporunainstituciónorealizadasenelsenodela misma, se denominan practicas matemáticas institucionales (GodinoyBatanero,1994). Dentro del Enfoque Ontosemiótico, el significado que cada sujeto (persona o institución) da a un objeto matemático se considera como el sistema de prácticas matemáticas que empleaalresolverunmismotipodeproblemasdondesehace uso del objeto o a partir de las cuales lo construye; en otras palabras, lo que el sujeto puede hacer con el objeto y decir sobreéste. Como ladefinición de significado se establece en términos de las practicas matemáticas, si las practicas realizadas son institucionales,lellamaremossignificadoinstitucional,ysilas prácticas son personales, será significado personal (Grijalva, 2007;Godino,BataneroyFont,2008;Font2005). En virtud a lo anterior, Godino y cols (2008) señalan que el aprendizaje de un objeto matemático se logra cuando el estudianteseapropiadelossignificadosinstitucionalesdados a dicho objeto, mediante la negociación, el diálogo y acoplamientoprogresivodelossignificados. Esta dependencia de los significados a la persona que realiza los sistemas de prácticas y a la institución donde se realizan, implicaqueeldiseñodecualquierprocesodeenseñanzasobre algún objeto matemático debe tener en cuenta el significado que se pretende promover en la institución en la que se implementarátalproceso. DentrodelEnfoqueOntosemióticoseconsideranlossiguientes significadosinstitucionales: 467 ReportesdeInvestigación Referencial: Sistema de prácticas que se usa como referenciaparaelaborarelsignificadopretendido. Pretendido: Sistema de prácticas incluidas en la planificacióndelprocesodeestudio. Evaluado:Elsubsistemadeprácticasqueutilizaeldocente paraevaluarlosaprendizajes. Implementado: Es el sistema de prácticas efectivamente implementadasporeldocente. De manera similar, dentro de este enfoque se conisderan los siguientessignificadspersonales: Significados personales globales: Total de sistemas de prácticas personales potenciales que un sujeto manifiesta sobreunobjetomatemático. Significados personales declarados: Prácticas expresadas en las evaluaciones propuestas, incluyendo tanto las correctas como las incorrectas desde el punto de vista institucional. Significados personales logrados: Prácticas manifestadas quesonacordesconelsignificadoinstitucional. Godino y Batanero (1996), plantean los siguientes tipos de objetos que se ponen en juego en la actividad matemática y quefacilitanelanálisisdedichaactividad. • Situaciones ‐ problema: entendidas como problemas matemáticos, extra matemáticos, ejercicios, ejemplos, situacionesproblémicas,etc. • Lenguaje: Términos, expresiones, notaciones en sus diversasformas:verbal,numérico,gráfico,analítico. Procedimientos: Algoritmos, operaciones, técnicas de cálculo,etc. • Proposiciones: enunciados sobre conceptos teoremas,corolarios,propiedades,etc. 468 como ReportesdeInvestigación Argumentos:Enunciadosusadosparavalidaroexplicarlas proposicionesyprocedimientos. Conceptos: Expresados por medio de definiciones o descripciones. Al igual que las practicas y los significados, los objetos matemáticos también tienen una faceta personal y una institucional,esdecir,siquienrealizalossistemasdeprácticas es una persona, los objetos emergentes de dichas prácticas serán objetos matemáticos personales, mientras que si las prácticas son realizadas en el seno de una institución, los objetos emergentes de estas serán objetos matemáticos institucionales(Godino,BataneroyFont,2008;Font,2005). Desde esta perspectiva, uno de los objetivos de la enseñanza de las matemáticas consiste en conseguir que los estudiantes realicensistemasdeprácticasqueseasemejenlomásposible aquellos sistemas de prácticas establecidos por la institución educativa.Esdecir,enunainstitucióneducativaseesperaque los sistemas de prácticas personales de los estudiantes se correspondanalossistemasdeprácticasinstitucionales. Metodología Esta investigación se centró en el análisis de las relaciones entre los significados institucionales de los objetos matemáticosylossignificadospersonalesconstruidosporlos alumnos de segundo ciclo de Ingeniería Agroindustrial de la UNAMBA, respecto a la Derivada. Para este propósito se se desarrollaronlassiguientesfases: 1. Determinación del significado institucional de referencia sobre la derivada: Para ello se seleccionaron 3 libros de texto recomendados en los sílabos del curso “Cálculo I" a los alumnos de segundo ciclo de Ingenierìa. El análisis de los contenidos, nos permitió conocer las notaciones y símbolos, situaciones, definiciones, propiedades y proposiciones, procedimientos y argumentos que se abordanendichoslibrosenrelaciónalaDerivada. 469 ReportesdeInvestigación 2. Determinación del significado personal declarado sobre la Derivada: Para ello se elaboró un cuestionario de 06 preguntasenbasealsignificadoinstitucionaldereferencia. La aplicación de este cuestionario a una muestra de 27 estudiantespermitióelaborarlaconfiguracióncognitivade las respuestas de los alumnos en base a los diferentes elementos lingüísticos, definiciones, proposiciones, procedimientosyargumentosquehicieronuso. 3. Determinación de la relación entre el significado institucional y de los significados personales declarados acercadelaDerivada: Resultados En cuantoalsignificado institucional de referencia, el análisis de los libros de texto seleccionados permitió encontrar una gran variedad de campos de problemas, que van desde el cálculo de la derivada en un valor determinado o la función derivada,hallarlarectatangente,hallarlarazóndevariación deciertasmagnitudes,hallarciertoslímitesasícomooptimizar ygraficar.Encuantoallenguaje,predominaelusodesímbolos y expresiones algebraicas para representar la derivada y los conceptos relacionados. El uso de gráficos se reduce a la representacióngráficaderectastangentesydefunciones,más noparareflejarlavariacióndevariables.Tampocoseobserva el uso de tabla de valores que reflejen el cambio de las variables.Laspropiedadesserefierenaladeterminacióndela derivada así como descripción de la monotonía y los valores extremos de una función, lo cual determina el tipo de procedimientosquedebeejecutarlosestudiantes. En cuanto al significado personal declarado por los estudiantes; el análisis de sus respuestas al cuestionario elaborado permitió obtener información acerca de la configuración cognitiva. Se encontró que los estudiantes trabajan mejor en actividades en las cuales se hace uso de la aplicación algebraica de reglas de derivación. Si bien los estudiantes pueden aplicar estas reglas sin muchos inconvenientes,losargumentosutilizadosparainterpretarlos 470 ReportesdeInvestigación resultados que obtienen no reflejan una adecuada comprensión de la derivada ni como pendiente de la recta tangente,nicomounarazóndecambioinstantánea.Noexiste mucha familiaridad para el trabajo en otros registros de representacióncomoelgráficooeltabular;losestudiantesno utilizan estrategias adecuadas para la interpretación de gràficasniparahacerconversionesaotrosregistros.Encuanto al uso de propiedades relacionadas a la derivada, se observó queestánmásfamiliarizadosconelmanejodeloscriteriosde la primera y segunda derivada para determinar valores extremosyhacerunesbozodelagráficadelafunción;aúnasí, seencontróquelosestudiantesnotienenunaideaclarasobre laformadeinterpretarestoscriteriosdeformatalqueeluso quehacesesdeformamecánica. Conclusiones Estainvestigaciónpermiteafirmarqueelsignificadopersonal logradoporlosestudiantessobreladerivadaeselmanejode reglas que permiten hallar la derivada de una función para determinarsusvaloresextremos,yapartirdeellos,teneruna ideadecómopuedeserlagráficadedichafunción.Estovaen relación al significado institucional de referencia encontrado en los libros de texto. El significado de derivada como pendiente de la recta tangente y como razón de cambio instantáneanosehalogradoenlosestudiantes. Referencias Godino, J., Batanero, C. y Font, V. (2008) “Un enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática”.ActaScientiae.RevistadeEnsinodeCiencias eMatemàtica,10(2),7‐37. Godino,J.,Contreras,A.yFont,V.(2006)“Análisisdeprocesos de instrucción basados en el enfoque ontológico‐ semiótico de la cognicion matemática”. Recherches en DidactiquesdèsMathèmatiques,26(1),39‐88. 471 ReportesdeInvestigación Godino,J.,Font,V.yWilhelmi,M.(2008)“Análisisdidácticode procesos de estudio matemático basado en el enfoque ontosemiótico”.Publicaciones,38,25‐48. GÉNESISINSTRUMENTAL:LA TRANSPARENCIAYELARRASTREENLA INSTRUMENTALIZACIÓNDELAFUNCIÓN DEFINIDAPORTRAMOS LuisDanielChumpitazMalpartida, JesúsFloresSalazar PontificiaUniversidadCatólicadelPerú MaestríaenEnseñanzadelasMatemáticas InstitutodeInvestigaciónsobreEnseñanzadelasMatemáticas‐IREM [email protected], [email protected] Resumen Se desarrolló la experiencia con estudiantes del curso de AnálisisMatemáticoIdelauniversidadSanIgnaciodeLoyola, quienesinstrumentalizaron la función definida por tramos a través de una secuencia de aprendizaje mediada por el software GeoGebra. Esta secuencia permitió a los estudiantes asignar un nuevo significado a la función. El proceso de transformacióncognitivorespectoalafunciónfueelresultado de la identificar del dominio, rango, intervalos de monotonía, representarlagráficaenunplanocartesiano,determinardela regla de correspondencia y de otras interacciones de los estudiantes con dicha función. El estudio de esta función se debe a que creemos que un adecuado aprendizaje de esta podría minimizar las dificultades en el aprendizaje de nuevos conceptos,comolosdelímitesycontinuidaddefuncionescuya gráfica no puede ser realizada con un solo trazo. Para el análisisdelasaccionesdelosestudiantes,setomócomobase teóricaunenfoqueinstrumentaldeRabardel(1995).Producto 472 ReportesdeInvestigación del análisis de una de las actividades pudimos identificar el nivel de transparencia y los tipos de arrastres asociados con lasaccionesdelosestudiantessobrelasrepresentacionesdela funcióndefinidaportramosenelsoftwareGeoGebra. Palabras clave: Génesis Instrumental, Función definida por tramos,GeoGebra. Introducción Los aspectos de este artículo forman parte de la tesis de Chumpitaz (2013), de esta abordaremos el estudio de un proceso de instrumentalización relacionado con en el aprendizaje de la función definida por tramos por medio del software GeoGebra. La metodología de la Ingeniería Didáctica fué seleccionada para nuestra investigación y nos permitió confrontar los análisis a priori y a posteriori del ítem B de la actividad10quedescribiremosmásadelante. AspectosdelEnfoqueinstrumental Para estudiar los aspectos iniciales de la función definida por tramos como instrumentos de aprendizaje, describimos los términos,quesegúnRabardel(1995),nospermitiránrealizar un estudio de nuestra actividad con instrumentos: Sujeto, se refiere a un individuo o grupo de individuos que desarrollan una acción y/o son elegidos para el estudio. Esquemas de utilización,donde“unesquemaesunaorganizacióninvariante decomportamientosparaclasesdesituaciones”. Artefacto: Puede entenderse como una cosa susceptible de su uso, puede ser un medio material como un computador o puede ser un medio simbólico como el lenguaje algebraico. Instrumento: Lo entendemos como un artefacto en situación, involucra al artefacto como a los esquemas mentales desarrolladosporelestudiantecuandoenunaclasedetarea. 473 ReportesdeInvestigación Componentesdeuninstrumento Elmismoautor,denominóalatransformaciónprogresivadel artefacto en instrumento con el nombre de Génesis Instrumental. Para analizar las acciones de los estudiantes (sujetos)ensuaprendizajedelafuncióndefinidaportramos (objeto/instrumento) mediados por el GeoGebra (instrumento), creemos necesario considerar el modelo de Situaciones de la Actividad Instrumentada (SAI), propuesto por Rabardel (1995) ya que nos permite observar algunas interacciones entre los elementos de la triada en la situación de aprendizaje que planteamos para nuestro estudio. Las posiblesinteraccionessondescritasenlasiguientefigura. ModelodeSituacionesdelaActividadinstrumentada. Fuente:Rabardel(1995) La evolución de artefactos concierne a dos dimensiones, diferentesyalavezconjuntas: Lainstrumentalizaciónesunprocesoreferidoalsurgimientoy evolución de los componentes artefacto del instrumento: selección, reagrupación, producción, institución de funciones, 474 ReportesdeInvestigación catacresis, atribución de propiedades, transformación del artefacto(estructura,funcionamiento,etc.).Lainstrumentación es un proceso relativo al surgimiento y a la evolución de los esquemas de utilización y de acción instrumentada: constitución, funcionamiento, evolución por acomodación, coordinación, combinación, inclusión y asimilación recíproca, asimilacióndeartefactosnuevosaesquemasyaconstituidos. Se pueden distinguir dos niveles de instrumentalización por atribucióndefunciónaunartefacto: Enunprimernivel,lainstrumentalizacióneslocal,relacionada conunaacciónsingularyconcircunstanciasdesudesarrollo. Elartefactoestáinstrumentalizadomomentáneamente.Enun segundo nivel, la función adquirida se conserva de manera durablecomounapropiedaddelartefactoenrelaciónconuna clasedeacciones,deobjetosdelaactividaddesituaciones.La instrumentalizaciónesdurableopermanente. El enfoque instrumental establece que las acciones de los estudiantes están influenciadas por la manera como el artefacto es comprensible para ellos, que tan visible es el artefactoopartedeél.EstavisibilidadestratadaporRabardel (1995) en términos de “transparencia del artefacto”, de los distintos tipos de transparencia que analizó consideramos la “transparencia cognitiva” que nos permitirá analizar la visibilidad de las herramientascognitivas como lasfunciones. Estatransparenciadefineelgradodeaccesibilidaddelsujetoa los conocimientos, procedimientos y modelos subyacentes al funcionamientodelaherramienta. AspectosdelarrastredeobjetosenGeoGebra Estacualidadpermitealosestudiantesmodificarunobjetoen la vista gráfica de GeoGebra de manera que una figura pueda convertirse en otra, identificar o validar una característica de un objeto. De las investigaciones de Arzarello y otros (2002) destacamoscuatrotiposdearrastrecomoútilesparaanalizar lasactividadesdelosestudiantes: 475 ReportesdeInvestigación Arrastre errático: desplazar de manera aleatoria los puntos básicos, sin un plan preciso, para descubrir configuraciones interesantes o regularidades de la figura. Arrastre limitado: desplazarpuntossemi‐desplazables,esdecirpuntossobreun objetoyquesólopuedenserdesplazadossobreéste.Arrastre guiado:desplazarlospuntosbásicosdeungráficoconelfinde darle una forma particular y/o se mantenga una propiedad geométrica. Arrastre de test: mover un punto desplazable o semi‐desplazable a fin de ver si el dibujo conserva las propiedadesiniciales. Diseñodelaexperienciadeaprendizaje En esta experiencia participaron dos equipos de tres estudiantes de Análisis Matemático I de la universidad San IgnaciodeLoyola,quedenominamoscomo:Equipo1yEquipo 2. El encuentro consistió en el desenvolvimiento de los estudiantesenunasecuenciadeaprendizajetitulada“Función definida por tramos a través del software GeoGebra”. Esta estuvo estructurada por diez actividades instrumentadas que fueronentregadasacadaequipoenunafichadetrabajo,cada unadeestasactividadesfuerondenominadasenestafichacon el término “Pregunta”. En relación a la Pregunta 10, razón de este artículo, esta contiene 3 ítems cuya distribución se encuentra relacionada con el archivo de GeoGebra “Pregunta_10.ggb”, que fue entregado a los estudiantes. Este archivo presentó por defecto la activación o desactivación de algunas características como, la cuadrícula de la vista gráfica, lavistaalgebraicaylamuestradelaregladecorrespondencia. 476 ReportesdeInvestigación ImagendelaPregunta10 Observacionesyanálisis A continuación realizaremos la descripción y los respectivos análisis a priori y a posteriori de las acciones de los estudianteseneldesarrollodelítembdelapregunta10: Análisis a priori: Los estudiantes arrastrarán el punto del deslizador para observar la distintas transformaciones de la gráfica de f, de estas posibles formas de la gráfica de f identificaránaquelladondelostrestramosmostradosformen una representación gráfica que pueda trazarse sin levantar el lapicero.Acontinuaciónregistranenlafichadetrabajoelvalor de“a=1”queverificalacondiciónpresentadaenelítemb. 477 ReportesdeInvestigación Descripcióndeltrabajodelequipo1 Pregunta10‐bdesarrolladaporelequipo1 Los estudiantes, de forma inmediata,arrastraron el puntodel deslizadorhastaqueencontraronlagráficaquepuedetrazarse sin levantar el lapicero. Luego, se concluye en la ficha de trabajoquelodichoanteriormentesucedecuandoelvalordea es1. Descripcióndeltrabajodelequipo2 Pregunta10‐bdesarrolladaporelequipo2 Los estudiantes, de forma inmediata y sin ninguna complicación, arrastran el deslizador hasta encontrar una gráfica que se puede trazar sin levantar el lapicero. Proceden en registrar en la ficha de trabajo el valor de a=1, el cual es correcto. Análisis a posteriori para los dos equipos: En las acciones de los estudiantes y enfocando en el modelo SAI, tomamos en 478 ReportesdeInvestigación cuentalossiguientesestatusdeloselementosqueinteractúan enestatarea: En las acciones de los dos equipos de estudiantes identificamos, un arrastre guiado por el condicionamiento de la gráfica de f en una de un trazo continuo, el arrastre se encuentra en un segundo nivel de instrumentalización. Observamos que la gráfica de f presenta una restricción de intencionalidad debido a que esta permite el cambio del dominio de f . Los estudiantes no presentan dificultades en transformar la gráfica de la función en una gráfica de trazo continuo. La transformación de la gráfica de f se muestra suficientementetransparenteenestaactividad. Algunasconsideraciones Podemos concluir que el uso del aspecto dinámico del GeoGebraenlasecuenciadeaprendizaje,enparticularcuando diseñamos actividades de construcción de una función por tramos de trazo continuo, permitió minimizar dificultades en identificar el dominio y realizar transformaciones. En el caso del ítem b de la Pregunta 10, si bien observamos que los estudiantestransformaronlafiguratravésdelarrastredeltipo “guiado”, creemos en general, que la transformación de una función definida por tramos no es suficientemente transparente ya que si consideramos las posibilidades del aspectográficodeestafunciónylostiposdetransformaciones que se le pueden realizar. Finalmente, dejamos abierta posibilidad de diseñar nuevas secuencias de aprendizaje con 479 ReportesdeInvestigación un determinado conjunto de restricciones que hagan menos complicadoelaprendizajedeestafunciónenloscursoscálculo yprecálculo. Referencias Arzarello, F y otros. (2002) A cognitive analysis of dragging practicesinCabrienvironments..ZentralblattfurDidaktik der Mathematik. Vol 34(3). Recuperado 5/06/ 2012 en: http://www.matematica.it/paola/ArticoloZDM.pdf Chumpitaz, Luis Daniel. (2013) Génesis Instrumental: Un estudio de los procesos de instrumentalización en el aprendizajedelafuncióndefinidaportramosmediadopor el software GeoGebra con estudiantes de ingeniería. Tesis demaestría,PontificiauniversidadCatólicadelPerú Rabardel, P. (1995). Les Hommes et les Technologies: une approche cognitive des instruments contemporains. Université Paris. Armand Colin. Recuperado 5/06/ 2012 en:http://ergoserv.psy.univ‐paris8.fr/Site/ ESTUDIODELASIMETRÍAAXIAL: MEDIADOPORELSOFTWAREGEOGEBRA DaysiGarcíaCuéllar, JesúsFloresSalazar PontificiaUniversidadCatólicadelPerú MaestríaenEnseñanzadelasMatemáticas InstitutodeInvestigaciónsobreEnseñanzadelasMatemáticas‐IREM [email protected], [email protected] Resumen Presentamos un avance de la tesis de maestría de la primera autora. La investigación se centra en el estudio de la instrumentación de la noción de simetría axial y sus 480 ReportesdeInvestigación propiedades mediadas por el Geogebra en estudiantes de primerodeEducaciónSecundariaconedadesde11a12años. TomamoscomoantecedenteslasinvestigacionesenEducación Matemática para proponer actividades introductorias a la nocióndesimetríaaxialysuspropiedadesparacuyoanálisis, utilizamos aspectos del Enfoque Instrumental de Rabardel (2011), centrándonos en el proceso de instrumentación que permite analizar los posibles esquemas de utilización que desarrollan los estudiantes. La actividad tiene como objetivo que los estudiantes descubran las propiedades del eje de simetría, tales como: cada punto de la figura inicial con su respectivo punto simétrico son equidistantes al eje y el segmento que une un punto de la figura con su respectivo punto simétrico es perpendicular al eje. El método es la IngenieríadidácticadeArtigue(1995).Esperamosqueatravés de las actividades que proponemos con el software Geogebra losestudianteslogreninstrumentartantolanocióndesimetría axialcomosuspropiedades. Palabras clave: Simetría, génesis instrumental, Geogebra, ingenieríadidáctica. Introducción En la actualidad el avance tecnológico en diversos campos científicos como el educativo es constante. Nuestros alumnos son nativos digitales, es decir, nacen rodeados de tecnología comoSmartphone,tablets,laptops,juegosonline,pordarunos ejemplos;esporelloquenecesitamosdeunmarcoteóricoque nosdésoporteenelestudiodelasrelacionesentrelossujetos, elinstrumentoyelconocimiento. Por tanto, para nuestro estudio hemos consideramos el EnfoqueInstrumentaldadoporRabardel(1995),debidoaque tenemosinterésenidentificaryanalizarlosesquemasdeuso de los alumnos en el proceso de Instrumentación en el aprendizaje de la simetría por medio de un software de GeometríaDinámicacomoloeselGeogebra. 481 ReportesdeInvestigación Por todo lo mencionado anteriormente, vemos pertinente hacer un estudio de la simetría pero a través de una óptica diferente,queayudealestudianteadeducirlaspropiedadesde la simetría y sus aplicaciones, mediado por un ambiente de geometríadinámicacomoloeselGeogebra. AspectosdelEnfoqueInstrumental ParanuestroestudiohemosutilizadoelEnfoqueInstrumental de Rabardel (2011). Para Salazar (2009), las nociones claves deesteEnfoquesonlassiguientes: Esquema: Según Vergnaud (1990), es una organización invariante de la conducta del sujeto para una clase determinadadesituación. Artefacto: Es un objeto material o abstracto, destinado a dar sustentoalaactividaddelhombreenlaejecucióndeuncierto tipodetarea. Instrumento: es lo que un sujeto construye a partir del artefacto.Esentoncesunaentidadmixtaquecontienealavez un artefacto, material o no, y esquemas de utilización construidosporelsujetodurantesuinteracción. Figura1.ComponenteslaGénesisinstrumental De acuerdo a Rabardel (2011), el Enfoque Instrumental estudialadiferenciaqueexisteentreelartefacto,instrumento ylosprocesosquedesenvuelvenlatransformaciónprogresiva 482 ReportesdeInvestigación del artefacto en instrumento, transformación que denominó como proceso Génesis Instrumental. El autor considera tres polos importantes en la Génesis instrumental, estos son: el sujeto, que puede ser un usuario, operario, trabajador o agente; el instrumento, que se refiere de la herramienta, maquinas, sistemas, utensilio, etc; y el objeto, al cual va dirigidalaacciónconayudadelinstrumento.Estepuedeserla materiaprima,realidad,objetodelaactividadotrabajo. En cuanto a la génesis instrumental, el investigador sostiene queéstaconstadedosdimensiones:Lainstrumentalizacióny lainstrumentación. Lainstrumentalización:Estádirigidahacialaparteartefactual delinstrumento,constadeenriquecimientodelaspropiedades delartefactoporpartedelsujeto.Esdecir,eselresultantedela atribucióndeunafunciónalartefactoporpartedelsujeto. Lainstrumentación:Estádirigidahaciaelsujeto.Serefiereala construcción de esquemas de uso por parte del sujeto, relativos a la ejecución de ciertas tareas. En este proceso se llevaacabolaasimilacióndenuevosartefactosalosesquemas y la acomodación de los esquemas para dar nuevos significadosalosartefactos. Metodología Para nuestra investigación hemos utilizado algunos aspectos delaIngenieriadidácticadeArtigue(1995). A continuación presentamos el análisis a priori y a posteriori deunadelasactividadesqueseplanteóenlainvestigación: 483 ReportesdeInvestigación Actividad Abre el archivo actividad1_2_1.ggb. Moviliza la recta L haciendo clic izquierdo sin soltar el mouse. Responde: ¿Explique qué sucede con las figuras cuando mueves la recta L a la izquierda o a la derecha? __________________________________________________________________ ¿Qué sucede con las figuras cuando la recta L pasa por el lado FA de la primera figura? __________________________________________________________________ ¿Qué sucede con las figuras cuando la recta L se ubica en la mitad de la figura primera figura? __________________________________________________________________ Coloca la recta a tres cuadrículas a la derecha de la primera figura y traza el segmento FF’. Luego, traza el punto de intersección del segmento y la recta, nómbralo como punto M. Mide los segmentos FM y MF’ ¿Cómo son las medidas? ______________________________________ ¿Sucede lo mismo entre el segmente EE’? _________, por qué ___________________________________ Mueve la recta de izquierda a derecha ¿Qué sucede? Anota tus observaciones. __________________________________________________________________ Mide los ángulos internos de las figuras. ¿Qué sucede con las medidas de los ángulos cuando movilizas la recta L? Explica. _________________________________________________________________ 484 ReportesdeInvestigación Abre el archivo 1_2_2.ggb. Mueve el punto O, haciendo clic sobre él sin soltar el mouse. Anota tus observaciones: ___________________________________________________ De lo observado ¿A qué conclusión has llegado con respecto al recta y las figuras?_______________________________________________________ Análisisapriori: La actividad tiene como objetivo identificar las propiedades delejedesimetría,comoequidistanciaalospuntosdelafigura ysusimétrico,independientementedelaposicióndeeste.Así como también que los ángulos internos de la figura y su simétriconovarían. Esquemasdeutilización: Conceptoenacto:Segmentos,ángulos,polígono,puntomedio, medidadeunsegmento. Reglas de acción: Movilizar el eje de simetría (la recta L) de izquierda a derecha y observar la equidistancia del polígono ABCDEF y su simétrico A’B’C’D’E’F’ con respecto al eje de simetría.Trazarsegmentosysusrespectivossimétricos,medir dichos segmentos y luego movilizar el eje de simetría L para verquepormásqueéstesemovilicelossegmentostienen la misma medida y siempre son perpendiculares al eje de simetría.Finalmente,medirlosángulosinterioresdelafigura y de su simétrico, movilizar el eje y observar que los ángulos interioresnovarían.Enlasiguientefigurasepuedeobservar lo que las alumnas deberán realizar y descubrir las propiedadesdelasimetría. 485 ReportesdeInvestigación Figura2.Movilizandoelejedesimetría Análisisaposteriori: AcontinuaciónpresentamoslodesarrolladoporMayraunade lasalumnasconquiensellevoacabolaexperimentación. AnálisisdelasaccionesdeMAYRA: Con relación a los objetivos trazados en nuestro análisis a prioriparaestaactividad: Mayra reconoce la equidistancia de un punto del polígono ABCDEF con su simétrico en el polígono A’B’C’D’E’F’ con respecto al eje de simetría. Esto lo podemos observar en la figura3,quevemosaseguir. Figura3.RepuestasdeMayrasobrelaactividad Además la alumna reconoce que los ángulos internos de las figurasnovarían(comosepuedeevidenciarenlafigura4)ya queescribesujustificación. Figura4.RepuestasdeMayrasobrelaactividad 486 ReportesdeInvestigación Estas acciones nos dan indicios que el proceso de la génesis instrumental se dio en Mayra porque muestra una instrumentalización local de las herramientas del Geogebra utilizadasenestaparteparaelestudiodelasimetríacomo:la herramienta segmento entre dos puntos, cuando trazó los segmentos EN, NE’, FN y FN’; la herramienta distancia o longitud, cuando hizo la medición de las longitudes de los segmentos EN, NE’, FN y FN’; la herramienta ángulo, cuando determinólasmedidasdelosángulosinternosdelospolígonos ABCDEF y A’B’C’D’E’F’; la herramienta intersección de dos objetos cuando realizo el punto de intersección de la recta L conelsegmentoEE’resultandoelpuntoNylaintersecciónde la recta L con el segmento FF’ resultando el punto M y la herramientaeligeymueveasílogrodesplazarlarectaL. En la figura 5, podemos observar el procedimiento realizado porMayraenelGeogebra. Figura5.ProcedimientorealizadoporMayra Además podemos afirmar que los posibles esquemas de utilización desarrollados por Mayra para esta actividad son: equidistancia de un punto de la figura con su simétrico respecto a la recta, ángulos interiores de las figuras son invariantesyqueelsimétricoesinvarianteenformaytamaño de la figura, los que nos da indicios de que la alumnas está instrumentándose con esta noción. Esto último se observa en lasiguienterespuestadelaalumna. Figura6.RepuestasdeMayrasobrelaactividad 487 ReportesdeInvestigación Consideracionesfinales - Las alumnas lograron instrumentalizar localmente al Geogebra,yaqueesunaherramientadefáciluso. - Las alumnasutilizan laspropiedadesde la simétria sise les presentanactividadescerradasquedeenunciadosabiertos. - Mediante el análisis los esquemas en acto y las reglas de acción hemos podido identificar los posibles esquemas de utilizacióndelasalumnas. Referencias Artigue, M., Douady, R., Moreno, L.& Gomez, P. (1995). Ingenieríadidácticaeneducaciónmatemática:unesquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.Bogotá. Grupo editorial Iberoamérica. Rabardel, P. (1995). Les Hommes et les Technologies: une approche cognitive des instruments contemporains. Université Paris. Armand Colin. Recuperado de http://ergoserv.psy.univ‐paris8.fr/Site/ Rabardel, P. (2011). Los hombres y las tecnologías: Visión cognitiva de los instrumentos contemporáneos. (Trad. por M. Acosta) Colombia: Universidad Industrial de Santander. Salazar, J.V.F (2009). Gênese instrumental na interação com Cabri 3D: um estudo de transformações geométricas no espaço. (Tesis doctoral). Pontificia Universidade Católica deSãoPaulo,Brasil. Vergnaud,G.(1996).Ateoriadoscamposconceptuais.EnJean Brun (org), Didáctica das matemáticas. (pp. 155‐189). Lisboa:Horizontespedagógicos 488 ReportesdeInvestigación ALTASHABILIDADES/SUPERDOTAÇÃO EMMATEMÁTICA:REFLEXÕESPARAA FORMA‐AÇÃODEPROFESSORES AnaCristinaSchirlo SecretariadaEducaçãodoEstadodoParaná [email protected] SanideCarvalhoRutzdaSilva UniversiadeTecnológicaFederaldoParaná [email protected] Resumo Pensarnaeducaçãoemgeral,nosestudantesenasalternativas pedagógicas que permeiam a prática pedagógica, remete a reflexõessobreapropostadaescolainclusiva.Nessesentido,a educação inclusiva direciona‐se e preocupa‐se com as diferenças individuais que se encontram no ambiente educacional. Logo, a sala de aula é um ambiente privilegiado, onde se encontra educandos com características e interesses diversos. Principia‐se por evidenciar que, entre esses educandos,algunssedestacamporpossuíremumacapacidade intelectualacimadamédia,osquaismerecemumespaçopara desenvolver o potencial que apresentam. Nesse contexto, torna‐se necessário estimular e potencializar ao máximo os estudantes identificados com altas habilidades/superdotação. Para tanto, esse ensaio teórico, de cunho qualitativo e delineamentobibliográfico/documental,objetivarefletirsobre otema,visandoabarcarsubsídiosparapromoveriniciativasde ruptura paradigmática que auxiliem, professores e futuros professores, a vencerem o desafio de guiar seus estudantes para o desenvolvimento do talento, sem dicotomias para a formação de cidadãos reflexivos, críticos e com condições de continuaraaprendereaproduzirconhecimentossocialmente relevantesparaasociedade. Palavraschave:AltasHabilidades/Superdotação.Formaçãode Professores.Ensino.Aprendizagem. 489 ReportesdeInvestigación Introdução Atualmente, o contexto educacional vem discursando sobre a necessidade de a escola ser um espaço inclusivo, que reconhece as diferenças daqueles que a utilizam. Nesse contexto,umprojetodeeducação,coesocomostemposatuais, almeja um processo de reflexão sobre as especificidades da realidade que a sociedade apresenta. Assim como, sobre o papel do professor, como um dos principais agentes para produzirouprovocaramudançanecessária.Logo,érelevante queosprofissionaisdaeducaçãoestejamatentosaoprocesso de reconhecimento, bem como, passem a incentivar as capacidades,habilidadesepotenciaisdeseusestudantes. Mas, para se inserir no processo de inclusão educacional, o profissional da educação necessita receber formação, visando angariarconhecimentodasdefiniçõeseconceitosqueabarcam a escola inclusiva e suas práticas pedagógicas. Desse modo, o presente,temporfocoaFormaçãoContinuadadeProfessores, tratandoespecificamentedoreconhecimentodasnecessidades deestudantescomaltashabilidades/superdotação. Taldiscussãotemporbase,episódiosdosmovimentossociais, em prol dos direitos humanos, que auxiliam pessoas com necessidades educacionais especiais a conquistarem o direito de participação plena na sociedade, por meio de conquistas que norteiam a reformulação de marcos legal para o sistema educacional. Um desses marcos é a Declaração dos Direitos HumanosdeViena(UNESCO/MinistériodaEducaçãoeCiência daEspanha, 1993), que apresentao Princípioda Diversidade, tratando o direito à igualdade, no mesmo nível do direito à diferença. Somando‐se a Declaração dos Direitos Humanos de Viena (UNESCO/MinistériodaEducaçãoeCiênciadaEspanha,1993), aDeclaraçãodeSalamanca(UNESCO/MinistériodaEducaçãoe Ciência da Espanha, 1994), veio influenciar as decisões políticasbrasileirasjuntoaoMinistériodaEducação(MEC),no que diz respeito a debates sobre o conceito, indicadores, 490 ReportesdeInvestigación políticas sociais e à atenção educacional proporcionada ao estudantequeapresentanecessidadeseducacionaisespeciais. Ressalta‐se que, o avanço apresentado pelo pensamento político sobre a educação inclusiva, alarga a abrangência das políticas educacionais, inclusive em nível nacional, promovendoanecessidadederomperparadigmastradicionais existentes no interior das escolas. Mas, há de se aclarar que esse rompimento é um processo longo, que envolve desprendimento dos agentes educacionais, no que se refere à mudança na forma de agir. Para tanto, deve‐se propor ações amplas,queestejamdeacordocomasnecessidadeshistórico‐ culturaisdacomunidadequeacerca. Salienta‐seque,oParecerdaCâmaradeEducaçãoSuperiordo Conselho Nacional de Educação (CNE/CEB) nº 17/2001 (Brasil, 2001), alerta para o fato de que os estudantes superdotados e talentosos fazem parte das comunidades excluídas. Mas o que são estudantes superdotados e talentosos? Procurandorespostasparaessapergunta,traçou‐seumensaio teórico, de cunho qualitativo e delineamento bibliográfico/documental, que objetiva refletir sobre estudantes superdotados e talentosos, com a finalidade de abarcar subsídios para promover iniciativas de ruptura paradigmáticaqueauxiliemprofessoresefuturosprofessores, a vencerem o desafio de guiar seus estudantes para o desenvolvimento do talento, com a formação de cidadãos reflexivos,críticosecomcondiçõesdecontinuaraaprenderea produzir conhecimentos socialmente relevantes para a sociedade. AltasHabilidades/Superdotação A Política Nacional de Educação Especial do Ministério da Educação/Secretaria de Educação Especial (Brasil, 1994) adotaoconceitodeMarland(1972),quedefinecomopessoas (criançaseadultos)comaltashabilidades/superdotação,como sendo as que apresentam desempenho acima da média ou 491 ReportesdeInvestigación elevada potencialidade em qualquer dos seguintes aspectos, isolados oucombinados: capacidade intelectualgeral; aptidão acadêmica específica; pensamento criativo ou produtivo; capacidade de liderança; talento especial para artes e capacidadepsicomotora. De acordo com as Diretrizes, as altas habilidades/superdotação referem‐se a estudantes com “grande facilidade de aprendizagem que os leva a dominar rapidamente os conceitos, os procedimentos e as atitudes e que, por terem condições de aprofundar e enriquecer esses conteúdos devem receber desafios suplementares em classes comuns, em sala de recursos ou em outros espaços definidos pelos sistemas de ensino, inclusive para concluir, em menos tempo,asérieouetapaescolar”(Brasil,1998,p.39). Cabe ressaltar que, a Organização Mundial de Saúde (OMS) calcula que pelo menos 5% da população tem algum tipo de altas habilidades. Mas, muitas vezes, esses estudantes permanecemàmargemdosistemaeducacionalenãorecebem osserviçosespeciaisdequenecessitam,comoporexemplo,o enriquecimentoeoaprofundamentocurricular.Portanto,são relevantes as propostas de atendimento educacional especializado para os estudantes com altas habilidades/superdotação, que objetivam oportunizar a construção do processo de aprendizagem e ampliar o atendimento, com vistas ao pleno desenvolvimento das potencialidadesdesseseducandos. Nesse contexto, o MEC em conjunto com a Secretaria de Educação Especial do Ministério da Educação (SEESP), mantém esforços para implantar uma política de educação especial, embasada na identificação de oportunidades, no estímulo às iniciativas, na geração de alternativas e no apoio aos sistemas de ensino que encaminham para o melhor atendimento educacional do estudante com altas habilidades/superdotação. Pois, trabalhar com estudantes com altas habilidades requer, antes de tudo, derrubar dois mitos. Sendo o primeiro desses 492 ReportesdeInvestigación mitos, que esses educandos, também chamados de superdotados,nãosãogênioscomcapacidadesrarasemtudo, só apresentam mais facilidade do que a maioria em determinadas áreas. E, o segundo mito é o fato de eles terem raciocínio rápido não diminui o trabalho do professor. Ao contrário, eles precisam de mais estímulo para manter o interessepelaescolaedesenvolverseutalento,senão,podem atéseevadir. Destaca‐se que, muitas vezes, a criança entra na vida escolar, em geral, sem consciência de seus talentos. Muitas crianças não têm a oportunidade de explorar suas potencialidades em seus anos iniciais de vida e seus talentos podem ficar escondidos ainda durante os anos escolares e, às vezes, por todaasuavida.Évitalparaacriança,jánasprimeirasséries, sentir que é aceita pelos professores e colegas de classe. No entanto,seoprofessornãoauxiliaoureconheceashabilidades e interesses intelectuais do estudante, incorporando‐os ao currículo, esta pode deixar de vivenciar sentimentos de aceitação. Damesmaforma, se a criançacedodescobre que é diferente dos colegas e, que a comunicação é difícil, devido à diferença de vocabulário e modo de se expressar, pode vir a nãoseraceitapelosamigos. Assim é que os primeiros anos escolares, que deveriam fomentar o ímpeto para o entusiasmo e aprendizagem nos anosseguintes,podeserumsinal,paraoestudantebrilhante, atingirofracassoe/ouoinsucessoescolar.Nessecontexto,é peculiar aos educadores, (re)conhecer os pontos fortes e os interessesdoestudante,suasnecessidadescognitivas,sociaise afetivas, a fim de oferecer‐lhes oportunidades para construir seupróprioconhecimento,deacordocomoseupróprioritmo. Talvezassim,sejapossíveltransformarsuaspotencialidadese promessas,visualizadasemseusprimeirosanos,emcertezase realizações. Muitos são os desafios que as escolas têm que enfrentarparafornecerumaeducaçãodequalidadeeatender às demandas cognitivas de todo o seu alunado de forma inclusiva. 493 ReportesdeInvestigación Apardessesdesafios,acriaçãodosNúcleosdeApoioàsAltas Habilidades/Superdotação (NAAH/S) apresenta‐se como uma resposta adequada aos problemas propostos pela área. Além de atender ao alunado identificado como superdotados, os Núcleosobjetivamapromoçãodaformaçãoecapacitaçãodos professores para que possam identificar e atender a esses estudantes, aplicando técnicas e estratégias de ensino para a suplementação,adiferenciaçãoeoenriquecimentocurricular. Alémdisso,propõem‐seaofereceracompanhamentoaospais dessas crianças e à comunidade escolar em geral, e colaborar para a construção de uma educação inclusiva e de qualidade, assegurando o cumprimento da legislação brasileira e o princípiodaigualdadedeoportunidadesparatodos. Alencar (1986), já chamava a atenção para a importância do desenvolvimento dos talentos e para a implementação de programas educacionais direcionados a esta população. Já dizia essa autora que o futuro de qualquer nação depende da qualidadeecompetênciadeseusprofissionais,daextensãoem que a excelência for cultivada e do grau em que condições favoráveis ao desenvolvimento do talento, sobretudo do talento intelectual, estiverem presentes desde os primeiros anosdainfancia(Alencar,1986,p.11). Destaforma,aequidadenaeducaçãoseriaobtidanãopormeio do fornecimento de experiências de aprendizagem idênticas para todos os estudantes, mas sim por uma ampla gama de experiências cuidadosamente planejadas e diferenciadas que levam em conta as habilidades, interesses e estilos de aprendizagemdecadaestudante(Virgolim,1998). Nessa mesma linha de pensamento, e preocupada com o desperdícioeodesviodostalentoshumanos,Guenther(2000, p.20),refletequeopapeldoseducadores,éode“encaminhar o desenvolvimento de pessoas e encontrar a melhor e mais apropriada forma de prover a cada um aquilo de que ele necessitaparasetornaromelhorserhumanoquepodevira ser”. 494 ReportesdeInvestigación Reconhecer, estimular e aproveitar talentos humanos em desenvolvimentoouempotencialnasdiversasáreasdosaber humano é, afinal, responsabilidade de todos, família, escola e sociedade. AlgumasConsiderações A sociedade atual necessita de pessoas para resolver as situações‐problemas complexas. Logo, torna‐se relevante, o reforço às reflexões que valorizam as iniciativas de ruptura paradigmáticanosprocessosdeensinareaprenderque,acima detudo,devemtercompromissocomaformaçãodecidadãos reflexivos,críticosecomcondiçõesdecontinuaraaprenderea produzirconhecimentossocialmenteúteis. Nessecontexto,éimprescindívelabrirespaçoparaaformação de professores sobre o as altas habilidades/superdotação, visandoauxiliarapercepçãodarealidadeecolaboraçãoparaa formação crítica do conhecimento. Pois, nas escolas, muitas vezes,oeducadorcomeçaaensinarumconteúdopormeiode aulasexpositivas,nãoaproveitandoasexperiênciasadquiridas peloestudanteemseudiaadia.Assim,oensinodaMatemática deveproporcionarpossibilidadesparaodesenvolvimentodas potencialidades do estudante, tornando‐se um meio para o desenvolvimento da liberdade, criatividade e criticidade, que cadaestudanteapresentaepodedesenvolver. Dessa forma, a formação de professores, sobre o tema altas habilidades/superdotação, trás contribuições que devem permear o processo educativo. Logo, é pertinente que, no interior das salas de aula, sejam promovidas reflexões que valorizam as iniciativas de ruptura paradigmática nos processosdeensinareaprenderque,acimadetudo,devemter compromissocomaformaçãodecidadãosreflexivos,críticose com condições de continuar a aprender e a produzir conhecimentossocialmenterelevantes. 495 ReportesdeInvestigación Referências Alencar, E. M. L. S. (1986). Psicologia e educação do superdotado.SãoPaulo:EPU. Brasil. (2001). Parecer da Câmara de Educação Superior do Conselho Nacional de Educação. (CNE/CEB) nº 17/2001. Brasília:MEC/SEESP. Brasil/Diretrizes Gerais de Atendimento Educacional aosAlunos Portadores de Altas Habilidades/ Superdotação e Talentos. (1995).SérieDiretrizes 10. Brasília:MEC/SEESP. Brasil/Ministério da Educação. (1998). Parâmetros CurricularesNacionais:Matemática.Brasília:MEC. Fleith, D. de S. (2007). A construção de práticaseducacionais paraalunoscomaltashabilidades/superdotação.Volume 1: Orientação a Professores. Brasília: Ministério da EducaçãoSecretariadeEducaçãoEspecial. Marland, S. (1972).Education of the Gifted and Talented.SubcommitteeonEducation.CommitteeonLabor andPublicWelfare.USSenate.WashingtonD.C. UNESCO/MinistériodaEducaçãoeCiênciadaEspanha.(1993). DeclaraçãodosDireitosHumanos.Viena. _______.(1994).DeclaraçãodeSalamanca.Espanha:Salamanca. Virgolim, A. M. R. (2007). Altas habilidades/superdotação: encorajando potenciais. Brasília: Ministério da Educação, SecretariadeEducaçãoEspecial. 496 ReportesdeInvestigación MÁSALLÁDERESPUESTASCORRECTASO ERRADASENTORNOALCONCEPTODE LÍMITEDEUNAFUNCIÓNREALDE VARIABLEREALENUNPRIMERCURSODE CÁLCULODELNIVELUNIVERSITARIO CristinaSofíaLaPlataDelaCruz PontificiaUniversidadCatólicadelPerú [email protected] Resumen Consideramos que el conceptode límite finito de unafunción real de variable real es uno de los más complejos e importantes de las Matemáticas. Años atrás la investigadora tuvo la oportunidad de evidenciar gracias a su participación comoasistenteenunprimercursodeCálculoparaalumnosde Ciencias e Ingeniería, los serios errores que cometían los alumnos en la comprensión del concepto de límite (véase figura 1 y figura 2). Además, si tomamos en cuenta que la incomprensión de este concepto origina dificultades en el entendimiento de otros contenidos matemáticos que luego se desarrollan en los cursos de Cálculo tales como continuidad, derivada, integral, sucesiones y series, por citar algunos, ratifica la importancia y la necesidad de investigar este conceptoysuaprendizaje. Figura1 497 ReportesdeInvestigación Figura2 Por ello, este trabajo de investigación tiene por objetivo general analizar algunos errores al aprender el concepto de límite finito de una función real de variable real en el aprendizaje del concepto de límite de funciones reales de variablereal,enunamuestradealumnosdeunprimercurso deCálculo. Palabrasclave:límite,funciónrealdevariablereal,registrosde representaciónsemiótica,error. 498 ReportesdeInvestigación Conceptos previos necesarios para la comprensión del concepto de límite finito de una función real de variable real Con el objetivo de analizar algunos errores asociados a la comprensión del concepto de límite de una función real de variable real, primero se diseñó un test exploratorio con problemas que incluyan algunos de los conceptos previos necesarios para la comprensión del concepto de límite tales como función (dominio de una función, regla de correspondencia de una función, gráfica de una función) y númeroreal(intervalo,puntodeacumulación),yqueasuvez podrían constituir fuentes de error en la comprensión del conceptodelímite. Los conceptos que hemos considerado imprescindibles en el diseño de los problemas del test exploratorio también son tomados en cuenta por otras investigaciones acerca del concepto de límite. Según Sierpinska, A. (1987) existen obstáculos epistemológicos asociados al concepto de límite relacionadosacuatronociones: Conocimiento científico, la Matemática es un juego formal sobresímbolos.Probarteoremasessuprincipalobjetivo. Infinito, el infinito no existe. El infinito existe sólo potencialmente. Función, la función es reducida a su expresión analítica la cualsiempreexiste. Númeroreal,faltadeunconceptouniformedenúmeroreal. Diseño de problemas cuya solución permita identificar el manejo de transformaciones en diversos registros de representación semiótica en torno al concepto de límite finitodeunafunciónrealdevariablereal. Paraeldiseñodelosproblemasdeltestexploratorionosolose tomó en cuenta los conceptos que se debían considerar en estosproblemassinotambiénquecadaunodeellosobliguea losalumnosaquerealicenountratamientoenciertoregistro 499 ReportesdeInvestigación de representación semiótica o conversiones entre diversos registros de representación semiótica, transformaciones que son definidas en la Teoría de Registros de Representación Semiótica de Duval (2004). Esto debido a que consideramos que al trabajar en diversos registros de representación semiótica, nos permitirá evidenciar de forma más clara la comprensión del alumno respecto al concepto de límite finito de una función real de variable real. Encontramos que esta consideración está relacionada con la investigación de Blázquez, S. y Ortega, T. (2001) quienes nosdicen, que el uso dedistintossistemasderepresentacióncuandosetrabajacon elconceptodelímite,chocaconlasdificultadesdelcambiode sistema de representación, puesto que en la enseñanza tradicional se abusa del registro algebraico y se descuida del restoderepresentaciones.Ademáslosautoresafirman,queel uso de distintas representaciones favorece el aprendizaje ya que por un lado, compensa las limitaciones de unas representaciones con otras, y por otro, permite que los alumnosseformenunaimagenconceptualmásrica. A continuación presentamos un cuadro, a modo de ejemplo paraelproblema1deltestexploratorio,enelquesedetallalo quesepideenelproblema,lastransformacionesinvolucradas en el mismo y algunos comentarios que explican la relación que se tomó en cuenta debía existir entre los ítems que conforman el problema para el análisis posterior de los errores. Problema1 Apartirdel gráficodela funciónf se pide determinar algunos límites. 500 Transformación Comentario Conversiones entrelos registrosgráfico yalgebraico Laintencióndeesta preguntafueguiaralalumno ensuanálisis,pidiéndole primeroquedeterminelos límiteslaterales,cuandola variableseaproximapor izquierdayporderechaa2, yenbaseaestosresultados determineellímitecuando lavariableseaproximaa2. ReportesdeInvestigación Apartirdel gráficodela funcióngse pide determinar algunos límites Conversiones entrelos registrosgráfico yalgebraico Adiferenciadelapregunta anterior,lafinalidadenesta preguntaesqueelalumno sinnecesidaddedeterminar loslímiteslateralesde maneraexplícita,paracada límitequeselepide determine,analicelos límiteslateralesizquierdoy derecho,encadacaso,a travésdelgráficodela funciónyenbaseal razonamientoquesiguióen lapreguntaanterior, concluyacualeselvalordel límiterequerido. Porotrolado,lasrespuestas quelosalumnosdeterminen paraestapreguntase contrastaránconlas respuestasalapregunta anterior,puestoque consideramoscontradictorio queparaunapreguntase hayadeterminado correctamenteelvalordel límiterequerido, determinandopreviamente loslímiteslaterales explícitamenteydetermine erróneamenteloslímites cuandonoselespide previamente,determinar explícitamenteloslímites laterales. Tipificación de los errores encontrados en las respuestas dadasalosproblemasdiseñados. Alolargodeestereportenoshemosreferidomuchasvecesa los errores relacionados al concepto de límite pero qué entendemos por error. Para establecer el significado que le 501 ReportesdeInvestigación asignamosaeste términoen nuestro trabajode investigación recurriremos a definición dada por Godino, Batanero & Font (2003) quienes establecen que se habla de error cuando el alumnorealizaunaprácticamatemáticaquenoesválidadesde el punto de vista de la institución matemática. Después de haber establecido la definición de error que consideramos para nuestro trabajo de investigación, pasaremos a comentar algunos resultados de la aplicación del test exploratorio y cómosurgiólanecesidaddetipificarloserroresevidenciados. Conlafinalidadderecolectarlainformaciónnecesariaparael análisis de los errores al aprender el concepto de límite, se procedió a la aplicación del test en dos grupos de un primer curso de Cálculo dirigido a estudiantes de las carreras de Ciencias e Ingeniería después de haber desarrollado en el curso el concepto de límite y de habérseles evaluado el tema mediante una práctica calificada por los profesores del curso. Cada grupo estuvo conformado por 64 alumnos. Luego de revisar las diversas respuestas dadas a cada uno de los problemas del test exploratorio se consideró pertinente establecer una tipificación para las posibles respuestas principalmente con la necesidad de tipificar los errores encontrados, y con ello poder realizar un análisis más minucioso de los tipos de errores en la comprensión del concepto de límite finito de una función real de variable real. Así por ejemplo, para el problema 1 del cual detallamos anteriormente los tipos de transformaciones que los alumnos debíanrealizar,mostramoslatipificaciónestablecidaparalas posiblesrespuestas. 502 ReportesdeInvestigación Tipode respuesta Respuesta correcta Descripcióndeltipode respuesta Respondiócorrectamente. Notación a Errorde simbología Cuandoellímitelateral izquierdocorrespondeal límitelateralderechoy viceversa.Esteerrorsólose puededarenlosítems1Iy 1II. s Error conceptual Cuandoellímiteque determinanoescoherente consusrespuestasaotros ítemsqueseencuentran relacionadosconeste;ono escoherenteconel comportamientodela funciónsegúnelgráfico. c Cuando la respuesta es 0 al ítem 1V, porque asumimos Errorgráfico que predomina una mala correspondencia con la representacióngráficadada. Norespondió Dejoenblanco. g b En base a lo avanzado en esta investigación podemos establecer las siguientes conclusiones, el uso de las transformaciones en diversos tipos de registros de representación semiótica evidencia que algunos conceptos 503 ReportesdeInvestigación previosvinculadosalconceptodelímiteoriginanerroresenla comprensióndelmismo,losalumnosnovinculanlaexistencia deunlímiteconlaexistenciaeigualdaddeloslímiteslaterales y que la obtención del límite de una función real de variable realusandotratamientosalgebraicos,noesconsistenteconla interpretación en el registro gráfico o simbólico correspondiente. Referencias Blázquez, Sonsoles &Ortega, Tomás. (2001). Los sistemas de representación en la enseñanza del límite.Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa.Vol.4,Núm.3.Recuperadoen: http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=21478 76 Duval, Raymond. (2004).Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales. UniversidaddelValle,Bogotá,Colombia,pp.25‐83. Godino, Juan; Batanero, Carmen y Font, Vicenç. (2003). Fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas para maestros. Universidad de Granada.Recuperadoen: http://www.ugr.es/~jgodino/edumat‐ maestros/manual/1_Fundamentos.pdf Sierpinska, Anna. (1987).“Humanities Students and Epistemological Obstacles Related to Limits”. Educational Studies in Mathematics Editorial, Vol. 18, No. 4, pp. 371‐ 397. 504 ReportesdeInvestigación DELDIBUJOAFIGURAYLASTEORÍASDE LASSITUACIONESDIDÁCTICASYDELA INSTRUMENACIÓN LuizMarcioSantosFarias, MariaAuxiliadoraLisboaMorenoPires, TâniaCristinaRochaSilvaGusmão, AfonsoHenriques, ClaudineideCarmargoSantana UEFS/UFBA;UEFS/UCSAL;UESB;UESC;UESB [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Resumen La investigación que presentamos, se molestó en analizar el procesodegénesisinstrumentaldelosdesplazamientosenel softwareCabriGéomètreIIPlus,desarrolladoenlasclases,de dos escuelas diferentes en ocho sesiones. Interesante para la Geometría dinámica del entorno computacional que nos encontramos con que el uso del desplazamiento como herramienta podría promover cambios significativos en la enseñanza y el aprendizaje de la geometría. En este contexto, buscamos las posibles contribuciones o los cambios que el desplazamiento podría traer cuando se utiliza como una herramientaenlaenseñanzayelaprendizajedelageometría plana, en particular en la construcción de situaciones de aprendizaje utilizando el desplazamiento del entorno informático Cabri‐géomètre alrededor propiedades de los primitivos objetos geométricos clásicos (cuadriláteros, triángulos,círculos,etc.)ylasrelacionesentreellos.Eltrabajo en esta comunicación fuedesarrollado en colaboración con el Leibniz y escuelas de educación básica de laboratorio, sobre todoenlatransiciónentrelaescuelaprimariaydeEducación PrimariaII,ysehaconvertidoenunaliadoparaeltrabajode losprofesoresdematemáticas. 505 ReportesdeInvestigación Palabras clave: Situação didática, Ensino e aprendizagem de geometria;AmbientecomputacionalCabri‐GéomètreIIPlus Introducción Enlaprimaria,lostrabajosengeometríaquesonsolicitadosa los alumnos consisten esencialmente en la construcción de figurasgeométricas,utilizandopapelylápiz,enestaelénfasis es puesta en la lectura de propriedades y descripción de figuras construida de esta manera. El pasaje al “collége” trae cambiosbruscosenlasconcepcionesdelosalumnos.Pues,en estanuevafase,laspropriedadesgeométricasdeunafigurano debenserleídassolamentedeundibujoparticulardelafigura geométrica. Esa última debe ser analizada con ojos en las propriedades generales de la clase que ella pertenece. Las propriedades de un dibujo particular son vistas hipótesis de las características proprias de la figura geométrica. Por un lado,elcontrolqueunalumnodebetenersobreesashipótesis para obtener un concepto global da figura estudiada, difícilmentevaaserrealizadoenelambientepapel/lápiz,enel cual los dibujos son vistos como en posición fija y de manera aislada. Por otro lado, las tecnologías de información contemporáneas sugieren, a los profesionales de educación, diversosambientescomputacionalescapacesdeproporcionar nuevas formas de aprendizaje. Como enel caso particular del ambiente Cabri‐Géomètre II Plus. En este ambiente, el control quehablamos,empiezaserhechoporelalumno,mientrasque elalumnopuedeverlascaracterísticasy/opropriedadesdela figura en todas las direcciones posibles en tiempo real, por medio de la manipulación directa de objetos de base a través del ratón o de las herramientas de animación automática disponibles en el ambiente. Esas, y otras posibilidades ofrecidasporelCabri‐Géomètre,puedenconducirlosalumnos alaadquisicióndeconocimientosenestedominiodemanera dinámica. Por lo tanto, ese ambiente se presenta como una herramienta adecuada a la enseñanza e aprendizaje de la geometría plana, en particular en los primeros años de la educaciónbásica. 506 ReportesdeInvestigación Algunasexperienciasenesalineadeinvestigación Por una parte, hablando de la enseñanza tradicional, muchas pesquisas señalan que los sistemas de representación del conocimiento matemático tienen carácter estático. Ello se quedaevidentealpasoqueanalizamosloslibrosdidácticoso observamos una clase“clásica”. Este carácter estáticomuchas vecesdificultalaconstruccióndelsignificado,yelsignificante sevuelveenunconjuntodesímbolosypalabrasodibujosque deben ser memorizados. Así, como subraya Kaput (1992), no puede ser motivo de sorpresa que los alumnos no logren trasferirunconceptooteoremaaunasituacióndistintadela prototípica registrada en la presentación del libro o la hecha porelprofesor. La instancia física de un sistema de representación afecta substancialmentelaconstruccióndeconceptosyteoremas.Las nuevas tecnologías ofrecen instancias físicas donde la representación empieza tener un carácter dinámico, y ello influyeenlosprocesoscognitivos,particularmentealoquese refiere a las concretizaciones mentales. Un solo objeto matemático empieza a tener representación cambiante, distinta de la representación estática de las instancias físicas como “lápiz/papel” o “tiza/pizarra”. El dinamismo se obtiene pormediodelamanipulacióndirectadelasrepresentaciones quesemuestranenlapantalladelordenador.Porejemplo:en geometría son los elementos de un dibujo que son manipulables; en el estudio de funciones son los objetos manipulables que describen relación de crecimiento/decrecimientoentrelasvariables. Un aspecto importante del pensamiento matemático es la abstracción de la invariancia. Para reconocerla y entenderla, no hay nada mejor que la variación. El dinamismo de la representación distingue los invariantes. A este respecto, Kaput(1992)subraya: “Latransicióncontinuaentreestadosintermediarioses un recurso importante de los programas de representacióndinámicos,bajoelpuntodevista”(Op. Citado,p74)[TraducciónLibre] 507 ReportesdeInvestigación Lo podemos observar, por ejemplo, que después de una presentación estática del concepto de altura de un triangulo, losalumnosregistranque“laalturadeuntrianguloessiempre de la base hacia la parte mas alta [sin tener en cuenta la perpendicularidad]”o“alturaeslalineaverticalqueunelabase lado del triangulo al vértice opuesto” (GRAVINA, 1996), mostrando a concretización mental equivocada de los alumnos. En otra parte, las experiencias realizadas, por diversos investigadores, con alumnos en laboratorios de informáticas muestran lo cuanto es importante, significativo, facilitador, motivador y otras razones cognitivas, el uso positivo de herramientas tecnológicas en la aprendizaje de los alumnos, especialmente en geometría. Retomando, por ejemplo, la observación dicha arriba y teniendo en cuenta el ambiente computacionalCabri‐géomètre,laproblemáticadelaalturadel triangulo pude volverse visible al alumno, pues en este ambienteuntriangulopuedesermanipuladoenconjuntocon sus correspondientes alturas. Manteniendo uno de los lados fijo y moviendo el vérticeopuestosobre una recta paralelaal dicho lado, obteniéndose una familia de triángulos y alturas (segmentosperpendicularesallado)enmuchasposiciones,lo que puede facilitar la concretización mental en harmonía con elconceptomatemáticodealturadeuntriángulo. Lo que torna interesante la consideración de la geometría dinámica, al representar en la pantalla del ordenador las situaciones geométricas bien construidas, es la facilidad de controlar el proceso de elaboración y de la adquisición de conocimiento en geometría. Pues, las propriedades de las figuras geométricas analizadas pueden ser visualizadas en todas las dimensiones y direcciones posibles de los dibujos asociados.EnacuerdoconDurval(1988): El dibujo posee la facultad de organizar gráficamente datos formales y también realza las relaciones de carácter secuencial entre los elementos gráficos y evidenciasuspropriedades.(Op.Citado,p57) 508 ReportesdeInvestigación El carácter secuencial, al cual el autor refiérese, esta naturalmente presente en las propriedades de figuras geométricas, por lo tanto en la literatura. Sin embargo, él es casi inexplorado en la enseñanza de geometría, por causa de limitacionespropriasdelambientepapel/lápizbiencomodela pizarra. En esta perspectiva, el profesor pude basarse en el saber matemático encontrado el la literatura, sacando provecho de los recursos tecnológicos, pues, el desarrollo tecnológico, tanto de software, cuanto de hardware, proporciona a los profesionales de educación una gran variedad de medios y recursos con el objetivo de auxiliarles frecuentemente en sus trabajos didácticos en clase. Eso nos muestra que un bueno desarrollo del proceso enseñanza/aprendizaje podrá ser logrado por medio de la exploración de los medios y de los recursos tecnológicos disponibles.SegúnValente(1993): Los ordenadores pueden ser usados para enseñar. La cantidad de programas educativos y las diferentes modalidadesdeusodeordenadoresmuestranqueesta tecnología puede ser muy útil en el proceso de enseñanza/aprendizaje.Aunmás:paralaimplantación del ordenador en la educación, son necesarios cuatro ingredientes: el ordenador, el software educativo, el profesor capacitado para utilizar el ordenador como recurso educacional y el alumno. El software es un ingredientetanimportantecuantolosdemás,pues,sin él el ordenador jamás podría ser utilizado en la educación.(Op.Citado,p45) En nuestro caso, el software al que refiérese Valente, es el ambiente computacional Cabri‐géomètre II plus, lo cual presentamosenseguida. Cabri‐GéomètreIIPlus El Cabi‐Géomètre II Plus (Figura 01), es un ambiente computacionalconcaracterísticasdemicromundo28,destinado 28 Micromundo es como si fuera un subconjunto de la realidad o una realidad construida, cuya estructura ajústase con la estructura de un 509 ReportesdeInvestigación alaenseñanzayaprendizajedelaGeometríaEuclidianaPlana, desarrolladoporJean‐MarieLabordeeFranckBellemain,enel LaboratorioLeibnizdelInstitutodeInformáticayMatemáticas Aplicadas de Genoble (IMAG) – Francia, en conjunto con el CentrodePesquisasCientíficas(CNRS)yTexasInstrumentos. Ese ambiente, viene con las herramientas como lápiz, borrador, compás, regla y otras más que son necesarias a realización de actividades relacionadas a las construcciones geométricas en el papel. De este modo, él permite la exploracióndeluniversodelageometríaelementaly,presenta una interfaz con menú de construcción en lenguaje de la geometría clásica. Las figuras construidas con él pueden ser modificadas por medio del desplazamiento de sus elementos debase,conservandolaspropriedadesatribuidasinicialmente. Figura01 Es un software abierto29 e interactivo que permite al alumno construir su proprio conocimiento. Las muchas posibilidades mecanismo cognitivo de tal manera que promueve un ambiente donde esta pudeoperarefectivamente”(PAPERT,1980,p204)[TRADUÇAOLIVRE] 29 Abierto, pues, el usuario tiene la libertad de manipular y construir nuevasherramientaspormediodelasqueyaexisten. 510 ReportesdeInvestigación queélofrece,cuandobienexploradasenlaenseñanza,pueden contribuir significativamente a la aprendizaje de los alumnos. Henriques (2001), refiérese a las posibles contribuciones que ese micromundo puede traer en el proceso de enseñanza‐ aprendizajedelageometría,ysubraya: Esnotablequelavisualizaciónemanipulacióndirecta deobjetosmatemáticosenunambientecomputacional es tarea principal, cuando se quiere utilizar la tecnología de la informática en el proceso de la enseñanza/aprendiza.Enesesentido,hayquesetener en cuenta que una de las principales preocupaciones, en el momento da elaboración del software Cabri‐ Géomètre, fue permitir a los alumnos visualizar, en la pantalla del ordenador, distintos dibujos que corresponden a la misma descripción, o sea, pertenecientes a la misma configuración o clase, por medio de la manipulación directa. Esa idea permite a los alumnos explorar propriedades de una configuración geométrica. (Op. Citado, p. 45) [TraducciónLibre] Elmismoautorañade: El Cabri‐Géomètre II es un [ambiente computacional] quepermiteconstruireexplorardemanerainteractiva losobjetosdeluniversodelaGeometríaElementalen unlenguajemuycercanaadeluniverso“papel‐y‐lápiz”. Lasfigurasenélconstruidaspuedenserdeformadasa partir del desplazamiento de sus elementos de base, conservándole las propriedades. Esa característica del Cabri II posibilita observar todos los “casos de la figura”posiblesaunmismoconjuntodefigurasconlas mismaspropriedades. En este contexto, entendemos que, los dibujos de figuras geométricassonformadosapartirdelaspropriedadesqueles definen. Pero, no es solo eso que nos ofrece este ambiente, como subraya el autor, por medio de desplazamientos aplicados a los elementos que componen el dibujo, éste defórmase, conservando las relaciones geométricas que caracterizan la figura geométrica. Así siendo, a un objeto se 511 ReportesdeInvestigación puedeasociarunacolecciónde“dibujosenmovimiento”,ylas características invariantes, que surgen en este momento, correspondenalaspropriedadesgeométricasdelobjeto. Del punto de vista de la construcción del conocimiento, este ambiente pude significar mucho. Pues, si por medio del desplazamientodeobjetosdebase,eldibujonocorrespondea loquedeseamos,entoncesdoscosaspuedenocurrir: o el objeto no ha sido bien construido, o sea, las propriedades que le caracterizan no fueron utilizadas correctamente. o la idea que tenemos del objeto es desacertada, o sea, la construcción fue ejecutada correctamente, pero nuestra percepciónestaequivocada. En cualquiera de uno de estos, el recurso del “dibujo en movimiento” causa el ajuste de nuestra percepción y visualización del objeto. En este contexto, las configuraciones clásicasadquierenmúltiplosaspectosvisuales,yasíempiezan aseridentificadasensituacionesnoprototípicas.Los“dibujos en movimiento” crean naturalmente un ambiente de investigación;losinvariantessesobresalenyelloinfluyeenla adquisicióndenuevosconocimientosenconsecuenciade: (1) presenciadelainterfazdinámicaeinteractiva('dibujos en movimiento' y que pueden ser automatizados por entremediodelrecursode'botones'); (2) múltiplas representaciones (trabajo con geometría sintéticayunpocodeanalítica); (3) captura procedimientos (existencia de comandos que permitenteneraccesoalahistoriadelaconstruccióny, decomandosparacreacióndemacros)... 512 ReportesdeInvestigación Figura02 La figura anterior (Figura 02) muestra la barra de herramientas del Cabri‐Géomètre, y los nombres de las cajas de herramienta. Así, cada caja deja disponible al alumno las herramientas necesarias en la resolución de problemas. Es importante subrayar que por ser un ambiente abierto, se puederestringiroconstruirnovasherramientas,quenoestán disponiblesenlasdichascajas.Además,podemossacarlasque yaexistenafindequeellasseanconstruidasporlosalumnos. ProblemáticayJustificativa Alconsiderarlascaracterísticasdemicromundodegeometría dinámica Cabri‐géomètre, construido con la intención de conducirelutilizadoradescubrirconocimientosgeométricosy una mejor construcción de este conocimiento. Podemos observar que lo dinamismo del Cabri‐géomètre permite el pasaje de la representación de una construcción geométrica, undibujoestático,aunagranvariedadderepresentacionesde una sola figura geométrica, en este sentido el desplazamiento permiteconsecuentementepasardeldibujoalafigura. En conformidad con una definición hecha por Laborde y Capponi(1994): 513 ReportesdeInvestigación Lafigurageométricaeselobjetogeométricodescripto poreltextolodefine,unaidea,unacrianzadelespíritu mientras que el dibujo es una representación (…) El dibujopuedeserentendidocomunsignificadodeuna referenciateórica(…)Lafigurageométricaconsisteen unareferenciadadaatodoslosdibujos,entoncesella es definida como el conjunto de parejas formadas por dos elementos, donde el primero elemento es el referente;yelsegundoelementoesunodelosdibujos quelerepresenta;elsegundoelementoestomadoenel universodetodoslosdibujosposiblesdelreferente. Ladiferenciaentredibujoyfiguraengeometríanoesclarania losalumnosnialosprofesoresloscualessuponemosqueson conocedores de esta diferencia. El profesor cuando mira un dibujo ve tan solo la figura geométrica – el objeto representado. El alumno, de manera distinta, teniendo en cuenta que no tiene el mismo conocimiento del profesor, permaneceeneldibujo. El dibujo visto como un representante de una figura geométrica pude desempeñar el papel de un reductor y/o producto. Como representante de una figura geométrica, él puede no ser interpretado correctamente y las propriedades geométricas pueden perderse en esa interpretación. Del mismo modo que un dibujo pude fornecer informaciones que sonfalsas. Paraquesepuedaleerlaspropriedadesteóricasalascualesse interesa interpretar la información traída por el dibujo, es necesario tener los conocimientos suficientes para que se pueda ver loque busca.Es por eso quecada lector,conforme su percepción, va a dar su propria interpretación, su significado,aunmismodibujo. Undelosobjetivosdelcolegioesenseñaralosalumnoshacer una demostración matemática. El concepto de demostración matemática en geometría está relacionado con la posibilidad de encontrar un objeto geométrico que tenga determinadas propriedadesapartirdeundibujodado. 514 ReportesdeInvestigación El Cabri‐géomètre permite conservar las propriedades geométricas primitivas del dibujo por medio de la manipulación directa, lo que quiere decir que cuando desplázase un elemento, la figura defórmase guardando apenas las propriedades geométricas del trazado. Lo que permite invalidar los trazados que son hechos con cierto descuido, o sea, sin considerar las reglas da geometría, y de validarunafiguracuandoestahasidoconstruidapormediode primitivasgeométricas. Deestemodo,el“software”obligaelutilizadoramovilizarsus conocimientosmatemáticosparaconstruirunafiguraquevaa resistiraldesplazamiento.Eldesplazamientopermitedeigual manera en una construcción geométrica, que el utilizador puedadasecuenta–distinguirlas“verdaderas”propriedades delafiguraelas“falsas”propriedades,osea,aquellasqueson aparentes en el dibujo estático y son invalidadas por el desplazamiento. Una construcción de un objeto es válida, o correcta, si y solamente si, ella se opone al teste del desplazamiento,osea,siesaconstrucciónnodefórmaseporel desplazamiento.Lavalidaciónnodependedelosrasgosdeun dibujo. En la escuela primaria, los alumnos estudian la geometría basadaeneldibujo,elpasajealcolegiosesiguedeuncambio en la interpretación que se espera que los alumnos puedan hacer.Laspropriedadesgeométricasdelafiguranodebenmás ser leídas por la percepción sobre un dibujo específico, pero ahora deben ser establecidas como hipótesis o deducidas a partirdelosdatosdelproblemacuandoasíselopida. El desplazamiento en Cabri‐géomètre debe permitir a los alumnos vieren las propriedades geométricas que son de la figura (las hipótesis y las propriedades que pueden ser deducidas) de las propriedades que son específicas de un dibujo particular. Las primeras son conservadas al curso del desplazamientoalmismotiempoenquelassegundasnoson. En ese contexto, elegimos el Cabri‐géomètre como software paraserutilizadoennuestrainvestigaciónporlarazóndeésta 515 ReportesdeInvestigación habersidoiniciadaenellaboratorioLeibniz30 enelámbitodel proyecto MAGI31 del equipo IAM32 que se interesa en la enseñanza y aprendizaje de la geometría con el auxilio de la informática en la articulación entre la escuela primaria y el colegio.TrabajandoconelCabri‐géomètre,quefuecreadopara ser utilizado principalmente en la enseñanza fundamental y media. Grandes parte de las investigaciones en Geometría Dinámica, preocupase esencialmente en desarrollar sus investigaciones alrededor de temas de la enseñanza superior, a través del abordajedesurepercusiónenlapráctica,docentedelprofesor que se encuentra actuando en este nivel de enseñanza. Sin embargo,esimportantehacerhincapiéenlarelevanciadelas pesquisasquesecentranenlaenseñanzabásica,puesdeesta maneravamospoderbuscarunarelaciónmásuniformeydar unaatenciónmayoralosresultadosdepesquisasquevienen detodoslosnivelesdeenseñanza. La escasez de investigaciones en el nivel de la enseñanza básica, tiene como consecuencia la pequeña cantidad de métodos o estrategias de los profesores para enseñar las matemáticasconauxiliodelordenadoryesunadelasrazones que muchas veces le quita las ganas de desafiar la tecnología de “software” educativos, mismo reconociendo que esta tecnología es una realidad, no solo en la educación, pero tambiénenlagranmayoríadelossectoresdelasociedad.Hoy en día, la informatización es una de las cuestiones centrales debidoalacrecienteparticipaciónenlosserviciosofrecidosa lapoblación.Algunasescuelastambiénvienensiendoequipada con ordenadores. Es fundamental que los profesores comprendan que la utilización de recursos tecnológicos es necesariaeinevitable,enelactualcontextoenquesualumno se encuentra y que el ordenador no lo sustituirá, por lo contrario,loayudaráensufuncióndemediadoryformadorde ciudadanos históricamente situados. Es importante tener 30 LaboratoriodelaUniversidadJosephdeGenoble 31 MieuxApprendrelaGéométrieavecl'Informatique 32 InformatiqueetApprentissagedesMathématiques 516 ReportesdeInvestigación presente que las nuevas tecnologías están más y más accesiblesalhombre.Porlotanto,esnecesarioqueelalumno acompañe su evolución y que esté listo a utilizar las nuevas informaciones tecnológicas de una forma crítica para mejor comprender,interpretarytransformarlarealidad. Anuestrotrabajoletocaquelautilizacióndeestastecnologías aparece como característica relevante en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría a través del Cabri‐ géomètre como subraya Soury‐Lavergne (2004), el desplazamientoenCabri‐géomètredebepermitirvisualizarde maneradistintalaspropriedadesgeométricasquepertenecen a la figura (las hipótesis y las propriedades que se puede deducir)delasqueestánasociadasaundibujoespecífico.Las propriedades geométricas de la figura son conservadas duranteeldesplazamientoylaspropriedadesgeométricasde un dibujo específico no. Cabri‐géomètre, en consecuencia se presentacomo un instrumento muy relevante a ser utilizado por los alumnos desde el principio de la aprendizaje del razonamientodeductivo,consideradoeldesplazamientocomn mediodedistinguirelestatutodelaspropriedadesobservadas porlosalumnos. Objetivo Ésa comunicación básase en la informática en la Educación Matemáticadelosañosfinalesdelaenseñanzafundamentaly media, que tiene como un de los objetivos especificar una metodologíaalaenseñanzayaprendizajedelaMatemáticaen ambiente computacional. En este contexto, trazaremos un objetivogeneral: Presentar como el ambiente computacional Cabri‐ géomètreIIPluspudeserutilizadoenlaconstrucciónde situaciones de aprendizaje utilizado el desplazamiento de este software alrededor de las propriedades primitivas de los objetos geométricos clásicos (cuadriláteros, triángulos, círculos, etc.) y el estudio de lasrelacionesentretalespropriedades.Peroenespecial, el nuestro objetivo es presentar una análisis de la utilización del desplazamiento en el software Cabri‐ 517 ReportesdeInvestigación géomètreIIPlus,cuandoesedesplazamientoesutilizado como un instrumento capaz de promover cambios significativos en el proceso de enseñanza y aprendizaje delaGeometríaconauxiliodelasnuevastecnologíasen laEducación. Así, vamos buscar, presentar las posibles contribuciones o cambiosqueeseusopudetraeralprocesodeenseñanzayde aprendizajedelageometríaplanaenlosniveleseducacionales dichosantes,sabiendoqueenéstosseempiezalaconstrucción delrazonamientodeductivo. En este sentido, nuestro mayor deseo con este trabajo, es contribuir con el proceso de enseñanza‐aprendizaje de la geometría en la enseñanza fundamental y media, proporcionando a los alumnos y profesores, respectivamente, alternativas en la adquisición de conocimientos y en las prácticas pedagógicas, con la ayuda del ambiente computacional,enparticularCabri‐géomètreIIPlus. Metodología Durante este año escolar, los alumnos de dos grupos del sixième33dedoscolegiosfranceses,utilizaronCabri‐géomètre enlasclasesdematemáticas.Nuestroobjetivoconesteusoera ayudar los alumnos a estructuraren sólidamente los conocimientosgeométricosqueellosposeían,eintroducirlesa ladiferenciaentrefiguraydibujoyanocióndedemostración en matemática. Siendo así, durante esta fase el Cabri fue utilizado con tales objetivos además de hacer con que los alumnos aprendiesen a utilizar las primitivasde ese software asícomoeldesplazamiento. Enlasegundafaseeldesplazamientofueutilizadoparaclarear las invariantes de una figura y establecer conjetura, así que para invalidar una falsa conjetura que puede resultar de una malainterpretacióndeundibujoestático. 33 Equivalenteal6ºañodelaenseñanzafundamentalenBrasil. 518 ReportesdeInvestigación El escenario global utilizado en el análisis fue construido por un conjunto de ocho sesiones durante las clases en las cuales losalumnosutilizaronCabri. ElCabriJunio,especialparasixième,comosepuedeverenla Figura03: Figura03 Élhasidoelaboradoconelobjetivodeutilizarunanuevabarra deherramientasconteniendosololoselementosquejuzgamos necesariosalasnuestrasactividades,enlugardeutilizamosla barradeherramientastradicionaldelCabri,quesemuestraen laFigura04: Figura04 Pensando que llevar los a trabajaren con una barra de herramienta presentando una cantidad restricta de herramientas en relación a la barra de herramientas tradicional,ibacontribuirenelnuestrotrabajoimpidiendoel uso sin necesidad de la grande cantidad de herramientas que esabarraofrece. Durante las dichas sesiones, distintas utilidades del desplazamiento fueran mostradas y pedidas a los alumnos. Solicitamosparaqueelalumnodesplaceunpunto,seaporun desplazamiento directo, tomando el punto con el cursor y desplazándole, o sea por una relación de dependencia, en la cual el desplazamiento de un punto es consecuencia del desplazamiento de otro elemento, o sea, puede ocurrir que el puntonosedesplace.Tambiénsolicitamosalosalumnosque al desplazaren mirasen lo que pasaba, bien como desplazar 519 ReportesdeInvestigación paravalidaroinvalidarunafigurapormediodedeterminadas propriedadesfacilitadaspormediodeunaenunciación. Sin embargo, la apropiación del desplazamiento exige más tiempo desde el comienzo de su utilización hasta que los alumnoscomprendanrealmentesusignificado.Deestemodo, antesdepensarenutilizareldesplazamientoenunasesión,los alumnosvanaintentarhacerotrascosas.Porelloesnecesario investir en el significado del desplazamiento, para que los alumnos vengan a pasar en la secuencia a utilizarle. Por ejemplo,duranteunasesión,losalumnosrecibenunahojade papel con la enunciación y una figura dibujada a mano, esta presentaba señales que representaban la perpendicularidad y laigualdaddelasmedidasdedossegmentos,ydospreguntas comosepuedeverabajo: ABCDéumtrapézio(Figura05): Figura05 1–ElsegmentoEFesparaleloalsegmentoHG? 2–ElsegmentoDCesparaleloalsegmentoFG? Enseguida, como se pude ver, presentamos tres trapecios construidos en el Cabri y proponemos a los alumnos que escojan, entre los tres, cuál hacia correspondencia con la enunciacióndelafiguradibujadaamano. Figura06 520 ReportesdeInvestigación Figura07 Así que dos de éstas figuras fueran eliminadas los alumnos deberíanvolveralahojaquelesfueentregueyresponderlas doscuestiones. LospuntosEyHenlastresfiguraseranfijos.Enlafiguraazul, laperpendicularidaddelossegmentosEFyGHalsegmentoDC fue respectada en la construcción de la figura, pero las igualdadesentrelosvaloresdelasdistanciasdelossegmentos DEyHCnofuerarespectada.EldesplazamientodelpuntoDy del punto C permite constatar esto, pues al desplazarse el puntoDoelpuntoClossegmentosDEyHCnosequedancon lamismamedidaloqueconsecuentementeinvalidaestafigura. EnlafiguraamarillalossegmentosDEyHCposeíanlamisma medida, pero al desplazarse los puntos F, A, B y G constátase quelossegmentosEFyHGnopermanecenperpendicularesal segmentoDC.Porconsecuencia,lafigurarojaeslafiguraque se buscaba y que permitirá responder las cuestiones que fueranhechasenelprincipio,pueslossegmentosEFyGHson perpendiculares al segmento DC lo que permite constatar el paralelismo entre los segmento EF y HG que responde a la cuestión 1, no obstante, los segmentos FG yDC no son necesariamente paralelos, y la constatación de este hecho se pude hacer desplazando los puntos F y G de la figura, lo que respondealacuestión2. Durante una sesión el profesor organizó una discusión para revisar como invalidar las figuras que no presentaban las propriedades que se buscaba considerando el hecho de que cuandosehazeldesplazamientodeunafigura,hayquetener un objetivo, hay que saber lo que se busca, lo que se desea 521 ReportesdeInvestigación desplazaryloqueseobservar.Analizandoalgunosepisodiode deestadiscusión: Profesor:“Cuandotuagarracuálpunto?loquesemueve?(...)” Alumno1:“ElF” Profesor:“ElF,yloqueesquetupercibe?” Alumno1:“Loscentímetro” profesor:“Tuobservasloscentímetros,lostamaños!Tuobservas eltamañoentreDyEyentreHyC” Unotroalumno: Profesor:“Loquetuagarraparamoversufigura?” Alumno2:“ElpuntoAoBoCoDoEoFoGoH” Profesor:“Bien,cuandotuagarraselpuntoFoelpuntoG,loqué tuobservas?” Alumno2:“Bueno,el...lossegmentosDEyHC” Sepuedepercibirquelosalumnospresentandificultadesenla constatación e uso de las propriedades geométricas de la cuestión. En una segunda sesión de nuestra experiencia, criamos una situación de formulación a fin de observar se los alumnos aprendieran a utilizar el desplazamiento para invalidar un dibujo. Losobjetivosdeestaexperimentaciónerandeobservarselos alumnosanticiparíanlautilizacióndeldesplazamientoenuna situación de formulación, de observar como eses alumnos utilizaban el desplazamiento, lo que ellos observaban al utilizar el desplazamiento, cómo interpretaban y si esa interpretación ayudaba comprender una cuestión o una enunciación. En cada un de los grupos, los alumnos iban comenzar a trabajar con los cuadriláteros. Y pensamos que esta experimentación,osea,esanuevafasedelasocho,ibaseruna buena manera de introducir las propriedades de los 522 ReportesdeInvestigación cuadriláteros formalmente. Para ello, empezamos de dos construcciones presentadas en una configuración especifica: una “cometa” que “fue puesta en la posición” de rombo y un trapeciorectangular,enposiciónderectángulo.Lasdosfiguras fueran construidas funcionar de la misma manera, ellas no deberían ser muy distinto a los ojos de los alumnos que trabajan con una figura o con otra. El falso rombo, que era realmente una “cometa”, fue construido de este modo: trazamoselsegmentoBD,elpuntomedioMdelsegmentoBD, después trazamos la mediatriz del segmento BD donde trazamos, de manera aleatoria, los puntos A y C haciendo de modoqueABCDfuerauncuadriláteroconvexo.LospuntosAy C fueran trazados de tal manera que AB=BC=CD=AD, y preguntamos si el dibujo representado era en verdad un rombo. Figura08 El falso rectángulo construido de la manera que sigue: trazamoselsegmentoAB,despuéslarectad1perpendicularal segmento AB pasando por el punto A, después trazamos la rectad2 perpendicularalsegmentoABpasandoporelpunto B.Enseguidatrazamosdospuntoscualquiera,Cperteneciente a ala recta d1 y D perteneciente a la recta d2, los dos en el mismoladoenrelaciónalsegmentoAB,demaneraqueABCD sea un cuadrilátero convexo. Después colocamos los 523 ReportesdeInvestigación segmentos AB y CD en una posición que se quedase con la mismamedida,ehicimoslomismoconlossegmentosADyBC. Figura09 Preguntamos a los alumnos si el dibujo representado era de hecho un rectángulo. Cada grupo fue dividido en parejas, y cadaparejaestabaasociadaaunaotra.Deestemodo,teníamos un par de parejas, una pareja emisora y otra receptora en situación de comunicación. Demos a la pareja emisora un enunciadoconlaimagedeunafiguraenCabriyunapregunta que esa pareja debería responder sin manipular el Cabri. Sin embargo,laparejaemisoradeberíahacerpreguntasalapareja receptora, a través del registro, cuyas respuestas les permitiríanresponderlapreguntaquelefuehecha.Lapareja receptora debería manipular la figura en el Cabri para responderalaspreguntasquelehicieranlaparejaemisora.La pareja emisora después de recibir las respuestas de la pareja receptora, debería responder a la pregunta inicial. Las dos figuras fueran propuestas para que cada pareja pudiera desempeñar los dos papeles, o sea, ora representar como emisora, ora representar como receptor. Entonces utilizando unadelasfiguraslaparejadesempeñaríaelpapeldeemisores yutilizandolaotrafiguradesempeñaríaelpapeldereceptora. De esta manera, en el momento de responder la pregunta inicial, cada pareja tenía solamente as respuestas obtenidas porsuparejaasociado. 524 ReportesdeInvestigación Registrodelapareja EnesteregistroseencuentraundibujohechoenCabri. Los compañeros suyos, pertenecientes a la pareja a la cual tú parejaestáasociada,poseenestemismodibujoenelCabri,en elordenadorqueellosestánutilizando. Figura10 Eldibujoarriba¿esunrombo? Para descubrir vosotros podéis hacer preguntas a la pareja asociada a la tuya. ¡Ojo, pues vosotros no pueden utilizar el nombrerombo! Eldibujoarriba¿esunrombo? Expliquesurespuesta 525 ReportesdeInvestigación Figura11 Comofundamentoteóricotenemosalgunasdelosabordajesde la Didáctica de la Matemática francesa. La Teoría de las Situaciones Didácticas propuesta por Breousseau (1986), con la intención de organizar y analizar los distintos comportamientos de los alumnos delante de situaciones problemas. En la literatura relativa al estudio de las propriedades geométricas de las figuras clásicas, sin dejar de lado los efectos de la Transposición de Informática, para comprenderlasmejornecesitamosrecurriralaTransposición Didáctica propuesta por Yeves Chevalard (1991). Basados también en la abordaje cognitiva de los instrumentos contemporáneos en conformidad con Rabardel (1995), bien como en la problemática dibujo‐figura desarrollada por Laborde y Capponi (1994). Describiremos resumidamente los abordajesquejugamosmásinteresantesaesteartículo. 526 ReportesdeInvestigación La teoría de la Instrumentación surgió de un trabajo en ergonomíacognitiva,ydicerespectoalaprendizajedelusode herramientas tecnológicas. El punto de partida es la idea de que una herramienta no es automáticamente un instrumento eficaz y práctico. En este contexto Rabardel (1995), propuso esa teoría como una abordaje de la modelación didáctica, donde esencialmente él hace la distinción entre herramienta (artefacto)yinstrumento.Artefactoesundispositivomaterial utilizadocomomediodeacción.Uninstrumentoesconstruido por un individuo a lo largo de un proceso en el cual un artefacto transfórmase progresivamente en instrumento. Esa génesis,esunprocesocomplejounidasalascaracterísticasdel artefacto – sus potencialidades, sus experiencias anteriores y sus habilidades. Un martillo34, por ejemplo, es un objeto sin significado, a menos que haya algo que martillar, volviéndose así en un instrumento útil. Esa idea se aplica también para cualquier otro objeto como el ordenador o software (Cabri‐ Géomètre II Plus). En este ámbito, el individuo debe desarrollar competencias para identificar problemas de los cuales un cierto instrumento es lo mejor y, enseguida ejecutarle por medio de ese instrumento. Esa ejecución demanda al sujeto desarrollar bajo la forma de esquemas de utilización,quepuedeserdivididaentrescategorías: → esquema de uso – Correspondiente a las actividades relativas a gestión de las características y propriedades particularesdelartefacto; → esquemadeaccióninstrumentada–Correspondientealas actividades a las cuales un artefacto es un medio de realización; → esquemas de actividades colectivas instrumentadas – Correspondientesalautilizaciónsimultáneaoconjuntade un instrumento en un contexto de actividades respectivamentecompartidasocolectivas. 34 EjemplopresentadoporDriverges,2000(p.218)ensuartigointitulado:el álgebraenlapantalla,enlopapelyelpensamientoalgebraico[Trouche,2000]. 527 ReportesdeInvestigación Para análisis de las actividades instrumentadas Rabardel (1995) y Vérillon (1996), proponen el modelo SAI35 (representado abajo) evidenciando la multiplicidad de interacciónentreloselementosesencialesenalaaprendizaje. Donde, además de la interacción usual, sujeto‐objeto [S‐O], otras interacciones son consideradas, como las interacciones entre: el sujeto y el instrumento [S – i]; el instrumento y el objeto[i–O];elsujetoyelobjetomediadoporelinstrumento [S(i)‐O]. Ese sistema por su vez está inserido en un ambiente construido por el conjunto de condiciones (limitaciones, facilidades,etc.)queintervienenenlasactividades. Rabardel(1995),propusounmodeloquemuestraladiferencia entreinstrumentaciónyinstrumentalización.Enesadistinción Vérillon(1996),nosexplicaquelainstrumentación36consiste en la elaboración de relación [S‐i] situaciones construidas en otros contextos o con otros artefactos o, por lo contrario, construir nuevas relaciones de manera a explorarles o elaborarles por imitación. La instrumentalización se interesa, por la construcción de las relaciones [i‐O]. El sujeto da al instrumento una posibilidad de actuar sobre los objetos y construye las propriedades funcionales que permiten la actualización de esta posibilidad de acción. Esta acción pude casualmente ser diferente de aquellas previstas inicialmente porelautordelartefacto.Supongamosqueelobjetodelcualse refieren Rabardel y Vérillon sea un objeto matemático, como propriedades primitivas de objetos geométricos clásicos, que elsujetoSseaunestudiantedela“école‐premaire”o“collége” de una institución del enseñanza en Fracia, y i un software, como el Cabri‐géomètre II Plus: la modelación por instrumentación y instrumentalización describe la forma por la cual el instrumento influye por mediación en la construccióndelarelacción[S‐O].Estarelaciónentonces[S(i)‐ 35 SituacionesdeActividadesInstrumentadas. 36 Enlasactividadesinstrumentadasporinstrumentaciónelsujetoadaptasu problemaalosrecursosdelartefacto.Sinembargo,enlainstrumentalización el sujeto hace un cambio en las propriedades del artefacto, para resolver su problema. 528 ReportesdeInvestigación O]apareceráentodaslassituacionesdondeCabri‐géomètreII Plus estará disponible. Se puede ver que la génesis instrumental que se refieren Rabardel y Vérillon es presente en las actividades desarrolladas por cada individuo, en la construcción y adquisición de conocimiento individual o colectivo.Laevolucióndeesaconstrucciónnodependedelas interaccionesmantenidasporelsujetoconelobjetoenfunción de instrumento(s) construido(s). De esta manera, cuando Rabardel (1995), nos habla que artefacto es un dispositivo material utilizado como medio de acción y, un instrumento comoalgoconstruidoporelindividuoalolargodeunproceso de génesis instrumental, creemos que esa construcción es de unproductodelainstituciónenelcualeseindividuoessujeto. El desplazamiento del Cabri‐géomètre como un instrumento, como ya hemos dicho, el Cabri es un artefacto de geometría dinámica cuyo desplazamiento es una parte esencial. En esa dirección Rabardel señala que los instrumentos deben ser estudiados en relación a una actividad y, es la actividad instrumentada que debe ser observada con rigor, pues es a partir de esta observación que muchos instrumentos pueden serconstruidos. Siendo el desplazamiento una parte del Cabri‐géomètre, el sujeto pude construir varios instrumentos a partir del desplazamiento,loscualesseránelaboradosenfuncióndelos tipos de actividades realizadas, siendo así, el desplazamiento pude ser utilizado en distintos tipos de actividades. Por ejemplo,parabuscarinvariantesenunafigura,paravalidaro invalidar una figura conociendo las propriedades de la figura que son ofrecidas o de un dibujo presentado en una “buena” posición. Seguro e el desplazamiento pude ser utilizado para otros fines, los cuales cambian en conformidad con las necesidades de la persona que utiliza, permitiendo de este modolaconstruccióndeotrosinstrumentos. Por cuenta del desplazamiento, puédese partir de la construcción de un dibujo cualquiera en Cabri, explorar las propriedades que son verdaderamente constituidas de la figura, después que un dibujo construido en Cabri puede ser 529 ReportesdeInvestigación puesto en una posición en la cual parezca presentar las propriedadesgeométricasespecíficasparaaquellasfiguras. El desplazamiento puede también ser utilizado en sentido contrario a lo que presentamos antes, él puede ser utilizado para desplazar ciertos objetos de una figura en busca de ciertascaracterísticas,comoporejemplo,lasrectasquesean paralelas, rectas que sean perpendiculares, ángulos de determinadamedida,ángulosconlamismalongitud,asícomo sepuedeverificarciertaspropriedades. Esas tareas que utilizan el desplazamiento con el objetivo de validaroinvalidarunafiguraenCabriteniendoencuentalas propriedades dadas por un texto o un enunciado, pueden ser utilizados como un instrumento en la construcción del conocimiento en geometría. O sea, utilizando el desplazamiento en la procura de propriedades geométricas especificasde un figura, puédese entonces decidirse validar o invalidarunaconstrucción. La utilización del desplazamiento como un instrumento sigue exigiendo del utilizador del Cabri conocimiento geométrico preciso.Esnecesariotenerconocimientossuficientesparaque se pueda reconocer laspropriedadesgeométricasde la figura cuandoestasedesplaza.Eldesplazamientopermiteencontrar las primitivas geométricas de una figura que contienen, intrínsecamente,laideadepropriedadesvalidassubyacentesa lademostración.Ellopuedeserlacausadelasdificultadesde apropiacióndeldesplazamiento,especialmentedelosalumnos en los primeros años colegio, que no poseen todavía esta noción. Para que puedan utilizar el desplazamiento, es necesario no solo tener conocimientos geométricos sobre el objetorepresentadoyconocimientossobreel“software”,pero también es necesario saber lo que se quiere observar. De mismo modo, después de construir una figura en Cabri, se puede verificar por medio del desplazamiento, si todas las propriedadesquesequiereatribuiralafiguraestánpresentes. Entreestasdiferentestareasqueimplicanenlautilizacióndel desplazamiento, elegimos centrarnos en el aspecto de la génesis del desplazamiento y observar como esa génesis 530 ReportesdeInvestigación instrumental ocurre entre los alumnos del sixiéme, pues es justamente en este nivel de aprendizaje que se empieza la construccióndel razonamiento deductivo. Hasta unaetapa de la enseñanza en la “école‐primaire”, el trabajo en geometría realizadoporlosalumnosesuntrabajosobrelafigura:lectura de las propriedades de una figura, construcción de figuras, descripción de figuras. El pasaje al “collège” es seguida de cambios,principalmentealoqueserefierealaspercepciones de los alumnos. En el “collège” las propriedades geométricas delafiguranodebenmássersolamenteleídasbasándoseenla percepción sobre un dibujo, pero igualmente establecidas como hipótesis (los datos de la figura) o deducidas hipótesis. Por eso, es importante analizáramos la problemática dibujo‐ figura. DesarrolloyAnálisis Hicimos un análisis a priori de las posibles respuestas que podrían ser encontradas como respuestas para las cuestiones quefueranpropuestasalosalumnos,yunaanálisisposterior de los resultados de estas cuestiones que fueran entregues a los alumnos, las cuales no serán presentadas integralmente, peroenalgunosepisodiosqueapareceránenlaconclusiónde estearticulo. Conclusión Lageometríaelementalesconsideradaunespacioadecuadoa experiencias didácticas, sobre todo por su importancia en el procesodeadquisicióndelconocimiento(Ferneda,1993).Sin embargo, verifícase que ese espacio es poco explorado, las dificultades encontradas por los alumnos para trabajar de manera correcta con las propriedades geométricas de las figuras clásicas son con frecuencia encontradas, es lo que podemosverificar: 531 ReportesdeInvestigación Figura12 EldesplazamientoenelCabri‐géomètreduranteesafasedela experimentación fue presentada a los alumnos como un instrumento en la validación e invalidación de propriedades geométricas de una figura. Podemos constatar no solo por la análisisapriori,perotambiénatravésdedelaanálisisdelos resultadospresentadosporlosalumnos,queesautilizaciónse evidenciatantoenlasrespuestascuantoenlaspreguntasque hicieran,comopodemosconstatarabajo: Figura13 532 ReportesdeInvestigación Recogemos los datos de 34 parejas y 26 entre eses para analizar.Desdelaanálisisquehicimosdelas26parejashemos observadorigurosamentelashojasentreguesaéstosalumnos y la manipulación de la figura que ellos hicieron en el Cabrí. Desdelascualespudimosconstatarqueeldesplazamiento,de formageneral,esmovilizadoporlosalumnosensusacciones enelCabrí. Figura14 24 de las 26 parejas hicieran preguntas utilizando el desplazamiento. En contrapartida, 21 de las 24 parejas utilizaran el desplazamiento del Cabri de la manera que fue previstoenlaanálisisapriori,alexplorarenlafigura.Delos21 alumnos que utilizaran el desplazamiento 4 adelantaron su uso, pues ellos utilizaron el desplazamiento sin que les fuera solicitado por la pareja emisora. Por eso, el efecto del desplazamientoesconsideradoenlasaccionesdecasetodos losalumnos.Loscuales,desplazaronlospuntosdelasfiguras observandoloqueocurríaconlosdemáselementos. 533 ReportesdeInvestigación Figura15 No obstante, 8 parejas no han utilizado el desplazamiento de manera eficaz, ni lograran responder ni haces cuestiones, por esonoutilizamostodoslosdatosrecogidosenlasanálisis. Por causa de una herramienta del Cabri que registra paso a paso los trabajos hechos por los alumnos, hemos podido analizar precisamente el tipo de manipulación que hizo la pareja durante la experimentación. Percibimos que los alumnosquelosalumnosqueutilizaroneldesplazamientolo hicieranconunacomprensiónenmínimoparcialdelafunción deaquélinstrumento,mismocuandolamanipulaciónocurrió retrasadamente. Lautilizacióndeldesplazamientoparavalidaroinvalidaruna construcciónfueutilizadaduranteesasecuencia,peroellono significa que esta secuencia sea suficiente en sí misma, principalmente se tenemos en cuenta las dificultades que fueran presentadas por los alumnos durante todo su desarrollo. Por lo tanto, otros trabajos con el objetivo de ayudar en el proceso de instrumentalización del desplazamientopuedencontribuirparapromoveravanzosen esecamino. 534 ReportesdeInvestigación Referencias Artigue, M. Ingénnierie didactique. Recherches en Didactique deMathematiques.França,v.9,no3,p.245‐308,1988. Ballacheff, N. Contribuition de la didactique et de l’épistémologique aux recherches en EIAO. Actes des 13ème journnées Francophones sur I’Informatique, Formation Intelligemment A. Ordinateur, Genève, pages 9‐38,1991. Bellemain, F. Conception, realisation et experimentation d’un logiciel d’aide à l’enseignement lors de l’utilisation de l’ordinateur. Educational Studies in Mathematics, no 23, Kluwer Academic Publishers, pp. 59‐97, Amsterdã – Holanda,1992. Brousseau, G. Fondement et methodes de la didactiques de mathématiques.RDM,vol.7no2,1986. Brousseau,G.Theorisationdesphénomènesd’enseignementdes mathématiques. Thèse d’etat, Univesité de Bordeaux I, 1986. Câmara, M. (1997). Efeitos da utilização do Cabri‐geomètre no desenvolvimentodopensamentogeométrico.AnaisdoVIII SimpósiodeInformáticaEducativa,SãoPaulo. Chevallard, Y. et Marie‐Alberte Johsua: La transposition didactique.ÉditionsdelaPenséeSauvage,ed.1991. Douady,R.Jeuxdecadreetdialectiqueoutil‐objet.RDM,vol.7, no2,1986. Drijvers, P. & van Herwaarden, O. (2000). Instrumentation of ICT tolls: The case of algebra in a computer algebra environment, The International Journal of Computer AlgebrainMathematicsEducation,7(4),255‐275. DUVAL, R. Approche cognitive des problemès de géomètrie en termes de congruence, Analise de Didactique et de SciencesCognitives,IREMdeStrabourg,Vol.1,pp.57‐74, Stranburgo(Franca),1988. 535 ReportesdeInvestigación Ferneda, E., E. B. Costa, Henriques, A. A Geometria e seu Ensino/Aprendizagem em ambiente computacional. Anais da VI Semana de Informática da UFBA ‐ SEMINFO’96, p. 17a32Salvador,maio1996. Gravina, M.A. 1996: Geometria Dinâmica: uma nova abordagem para o aprendizado da Geometria, Anais do VIICongressoBrasileirodeInformáticanaEducação,Belo Horizonte,MG. Henriques, A, E. B. Costa; Ferneda, E. Um sistema de apoio à descoberta em Geometria”, Sociedade Brasileira para o ProgressodaCiência,48aReuniãoAnual,07a12dejulho de1996‐SãoPaulo,SP‐PontifíciaUSP.Inscriçãono 1897 área‐no:C.5‐005. Henriques, A. Dinâmica dos Elementos da Geometria Plana em AmbienteComputacionalCabri‐GéomètreII,Editus,2001. Kaput, J. 1992: Technology and Mathematics Education, em Grows, D. (ed), Handbook of Research on Mathematics TeachingandLearning,MacmillanPublishingCompany. Laborde,C.L’enseignementdelagéomètrieentantqueterrain d’exploration de phénomènes didactique. Recherches en DidactiquedeMathematiques,vol.9,n.3,1990. Laborde C. et Capponi B. [1994] Cabri‐Géomètre constituant d’un milieu pour l’apprentissage de la notion de figure géométrique, Recherches en didactique des mathématiques, Vol.14, no : 1.2, pp. 165‐210, Grenoble : LaPenséeSauvage Rabardel, P. (1995). Les hommes et les technologies. Approche cognitivedesinstrumentscontemporains.Paris:A.Colin Soury‐LavergneS.(2003)Del'étayageàl'effetTopaze,regard surlanégociationdanslarelationdidactique,Recherches enDidactiquedesMathématiques,Vol.23,n°1,pp.9‐40. Trouche.L.(2000).Laparaboledugaucheretdelacasseroleà becverseur:ètudedesprocessusd‘apprentissagedansun 536 ReportesdeInvestigación environnementdecalculatricessymboliques,Educational StudiesinMathematics,41(3),239–264. Vergnaud, G. & Laborde, C., (1994). L’apprentissage et l ‘enseignementdesmathématiquse.InVergnaud,G.,(org), Apprentissagesetdidactiquesoùenest‐on? Vergnaud, G., (1990). La théorie des champs conceptuels. In : Recherches en Didactiques des Mathématiques, vol. 10, n°23,pp133‐170. Verillon, P., & Rabardel, P. (1995). Cognition and artifacts: A contribution to the study of thought in relation to instrumented activity. European Journal of Psychology of Education,X,77‐101. UNAEXPERIENCIAENETNOMATEMÁTICA SUSTENTADAENELDISEÑOY CONSTRUCCIÓNDELINSTRUMENTO MUSICALCUATRO OswaldoJesúsMartínezPadrón, AngélicaMartínezdeLópez, AndrésA.GonzálezRondell, MaríaLuisaOliverasContreras UniversidadPedagógicaExperimentalLibertador; UniversidaddeGranada [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Resumen Enestainvestigaciónsereportaunconjuntodeinsumosútiles paralaelaboracióndeexperienciasdeaprendizajesustentadas en los contenidos aritmético‐geométricos que subyacen en el 537 ReportesdeInvestigación diseño y construcción del Cuatro, instrumento musical de cuatrocuerdascomúnmenteutilizadoenlamúsicavenezolana. Por ser muy representativo de nuestro folklore, su incorporaciónenelauladeMatemáticaresultarelevantepara lamayoríadenuestrosgrupossocioculturalesdadoquesuele estar presente en nuestra música tradicional y, por ende, resulta conocido por sus miembros. Con tales insumos se proponeconstruirProyectosdeAprendizaje,enconcordancia con los contenidos de aritmética y geometría que aparecen descritos en el Currículo correspondiente a la Educación Primaria y Secundaria de Venezuela. El estudio sigue un estudio de caso apoyado en una investigación documental seguida de un análisis de contenidos. Se emplean técnicas como la observación y entrevistas, en profundidad, que se realizaaloslutiers.Eltrabajoseencuentraenlafasefinalyen el diseño y construcción del Cuatro se distinguen varios conceptos matemáticos relacionados con formas y cuerpos geométricos, ángulos, semejanza, medida de magnitudes, simbolizaciones algebraicas, entre otras. Además, se aprecian actividades matemáticamente universales tales como contar, localizar,medir,diseñaryexplicar. Palabras clave: Educación Matemática, Etnomatemática, InstrumentoMusicalCuatro,ProyectosdeAprendizaje Introducción Esta investigación tiene como propósito reportar una experiencia en Etnomatemática sustentada en el diseño y construcción del Cuatro, instrumento musical de cuatro (4) cuerdas comúnmente utilizado en la música venezolana. Contiene insumos que permiten concretar proyectos de aprendizaje sustentados en los contenidos aritmético‐ geométricos que subyacen tales procesos. Debido a que el Cuatro es considerado representativo de nuestro folklore, es propiciasuincorporaciónenelauladeMatemáticaenfunción de la importante información numérica ligada a su uso, comercialización y, sobre todo, a su diseño y construcción. Para concretar detalles sobre tales contenidos se hizo una 538 ReportesdeInvestigación investigación documental apoyada en un análisis de contenidosdedondeemergieroninsumospropiciatoriospara el aprendizaje de contenidos matemáticos mirados desde la Etnomatemática.Atalefectosehizopropiciaunaobservación directa y se aplicaron entrevistas, en profundidad, a informantesclave. Loquesereportaacontinuaciónaúntienependientealgunas triangulaciones e interconexiones con otros detalles debidos no sólo a los procesos mencionados sino a cuestiones que tienen que ver con modelación ligada a varios conceptos matemáticos relacionados con las formas y los cuerpos geométricospresentesenlaestructuradelcuatro. ElCuatro:Instrumentomusicalvenezolano ElCuatroesuninstrumentomusicalqueconstadecuatro(4) cuerdas (ver Figura 1). Es considerado emblemático en la músicatípicavenezolanaporelhechodeestar“presenteenla mayoría de las manifestaciones tradicionales, festividades y celebraciones sociales y religiosas del acervo cultural venezolano” (Ministerio del Poder Popular para la Cultura, 2013, p. 1). Salazar (2007) señala que los españoles lo introdujeron en Venezuela bajoelnombredeguitarrade cuatro(4)cuerdas,adoptando elnombredeCuatrodebidoal númerodecuerdasqueposee. Desde el Siglo XVI, ha evolucionado a partir de la guitarra renacentista hasta adoptar la forma actual, que es ovalada y tiene forma parecidaaladelnúmeroocho (8). En el año 2013, el Ministerio del Poder Popular para la Cultura, de Venezuela, lo declara un bien cultural auténticamentevenezolano,locualsedebeasupresenciaenla ejecucióndegaitas,parrandas,merengues,tonadas,joroposy 539 ReportesdeInvestigación otros tantos géneros populares que forman parte de la tradiciónvenezolana. De acuerdo con su naturaleza, el Cuatro consta de las varias partes,entrelasquesedestacan:(a)Elcuerpoconformadopor una caja obtenida por la unión de varias figuras geométricas. Dicho cuerpo tiene dos caras planas: una anterior y otra posterior que vienen a ser, respectivamente, la tapa y el fondo). Cuando estas tapas son paralelas, la cara lateral (ondulada)quebordealascarasanterioresesrectangular;en caso contrario, tiene forma de trapecio; (b) Un agujero de forma circular ubicado en la tapa frontal; y (c) Un mástil con trastes a lo largo del cual hay cuatro cuerdas, usualmente de nylon,cadaunadelascualesestásujetaadosextremos:unoa unaclavijadetornilloyotroaunpuentepegadoalacajadel instrumento. De acuerdo con su forma, el Cuatro es una fuente de información invaluable de información, pues, allí subyacen variadoscontenidosmatemáticosquetambiénestánpresentes enlasdistintasfasesdesuconstrucciónyenlasherramientas queenellaintervienen.Valedecirqueeltamaño,laformaylas proporciones del instrumento son recogidas en plantillas utilizadas para concretar partes tales como su cuerpo y su mástil. De igual manera, su construcción es básicamente simétrica, componiéndose la tapa y el fondo de dos mitades idénticascolocadasfrenteafrente. En todo caso, se observan variados elementos aritmético‐ geométricos‐algebraicos característicos que permiten concretar experiencias de aprendizaje, tomando en cuenta lo siguiente: (a) La tapa y el fondo son congruentes entre si y suelen diferenciarse por el hecho de que la primera tiene un agujerocircularyelfondonolotiene;(b)Lacaralateraltiene la particularidad de adoptar formas curvas que siguen los bordesdelascarasplanas;(c)Lascarasplanasposeenuneje desimetríaquepasaporelcentrodelagujerocircularytiene la misma dirección de las cuerdas ya dispuestas en el mástil; (d) Las cuerdas suelen disponerse de manera tal que todas sean paralelas entre si y la distancia de una a la siguiente es 540 ReportesdeInvestigación siempre constante, quedando colocadas de manera equidistante; (e) La extensión de las cuerdas, sin instalar, suelen ser iguales entre sí, aunque luego de sujetadas a la clavijayalpuentepresentanlassiguientescaracterísticas:las cuerdas 1 y 4 tienen, aproximadamente, la misma longitud peroestevaloresmenorqueeldelasotrasdosquetambién tienen,aproximadamente,lamismalongitud. BondadesdelaEtnomatemática Entendida la Etnomatemática como el estudio de las técnicas matemáticas utilizadas por grupos culturales específicos para entender, explicar y manejar problemas y actividades que nacendesupropioambientesepuedeobservarquesuutilidad es muy extensa, dado que permite explorar la Matemática usadafueradelaescuelaengrupossocioculturalestalescomo los conformados por las costureras, los agricultores, los ingenieros, los médicos y constructores de viviendas, pudiéndose concretar, por ejemplo, que la Matemática usada porunmédicopuedeserdiferentealadeunalgebristaoala de un constructor de viviendas, así como la usada por un Shaman puede diferir de la utilizada por los constructores de cestas. De igual manera, trabajar con la Etnomatemática permiteintegrarlaMatemáticaescolarconlaquesubyaceen las prácticas de cada uno de los grupos culturales que convergen en los salones de clase. En este sentido, el aula puedeconvertirseenunespacioparaproducirconocimientos yconstruirsaberesnoaisladosdeladinámicacotidianadelos miembrosdecadagrupo(D´Ambrosio,1985;MartínezPadrón, 2012), De acuerdo con lo anteriormente planteado, poner en escena actividades centradas en la Etnomatemática es integrar la Matemática con otras formas del conocimiento, utilizando así las prácticasde cada unode losgrupos socioculturales en los propios salones de clase, tal como sucede con los contenidos matemáticos que subyacen en el proceso de diseño y construccióndelinstrumentomusicalCuatro. 541 ReportesdeInvestigación Aspectosmetodológicos Paraconcretarlosinsumosteóricosreferencialesdelobjetode estudio de este trabajo se realizó una investigación documental que se apoyó en el análisis de contenidos de lo registrado en fuentes impresas y electrónicas que daban información sobre el Cuatro. Este análisis permitió concretar especificaciones de las formas y cuerpos que conforman la estructuradelinstrumentomusical,asícomodeotrosdetalles referidosaconteosymedicionesligadosalprocesodediseñoy elaboración del Cuatro. Tales insumos sirvieron de sustento para concretar observaciones y entrevistas, en profundidad, aplicada a un informante clave: un lutier considerado como experto constructor de Cuatros. A tal efecto, se elaboró un guión de preguntas y en la medida en que se fueron desarrollando emergieron otras preguntas que permitieron soterrar lo dicho por el informante. También se utilizaron cuaderno de notas y se tomaron fotografías a fin de registrar algunos episodios críticos que informaron detalles sobre las caracterizaciones del Cuatro y sobre los elementos matemáticos subyacentes en los procesos de diseño y construcción del instrumento. Desde aquí se hicieron conexiones con las especificaciones presentes en los programasoficialesdeMatemática,locualpermitióenlazarlos contenidos escolares con los encontrados en el desarrollo de estasprácticas. Aspectosmatemáticosobtenidosdelainvestigación Para obtener mayor información sobre el Cuatro, se realizó una entrevista al Lutier de la Casa de la Cultura de Maracay, quien labora en la Fundación del Estado para el Sistema Nacional de las Orquestas Juveniles e Infantiles de Venezuela (FESNOJIV).Estaentrevistapermitióestablecergrancantidad de aspectos matemáticos emergentes de la elaboración del Cuatro.Valedestacarqueellutierpresentósupropioesquema paramontarelinstrumentoyasegurótenerlasmedidasa“ojo y por oído” para ubicar trastes y otros partes del mismo; es decir, está familiarizado con la escala musical que debe 542 ReportesdeInvestigación generar el Cuatro a lo largo de su diapasón. Mostró una plantilla con sus medidas para armar la caja del instrumento (verFigura2),esdecir,queparalaelaboracióndelastapasde la caja se utiliza como base una forma de semi ocho, generándoseporsimetría el resto de la misma. Luego, realiza en una de las tapas una circunferencia, que se convertirá en un agujero llamado “boca”, el cual no va en el centro de la caja y suele decorarseconfigurasgeométricas,usandorotación,traslación yjuegodepatrones. Unido a esto, se pudoobservar el uso de aparatos específicos paratomarmedidas:Enelcasodelespesordelamaderapara lastapasdelacaja,ellutierusaunmedidordegrosor,también empleaeldenominado“calibre”devernieryuntransportador metálico que, a diferencia del usado tradicionalmente, tiene anexado a su centro una lámina giratoria para medir ángulos (verFigura3),conestetomólamedidaparacolocarlacabeza delCuatroalbrazo,lacualdebíatenerunainclinaciónde15°. Para el trabajo con los trates, aunque previamente el lutier manifestórealizarloacordeconsuexperiencia,mencionóque puedenusarsetambiénfórmulasmatemáticas,porlocualnos presentó una guía de posibles planos para llevarlos como referente (ver Figura 4); sin embargo, aún quedan más aspectos a tratar y seguimos trabajando en la obtención de otrosreferentesmatemáticos. 543 ReportesdeInvestigación ConexionesconlaMatemáticaescolar EnlosprocesosdediseñoyconstruccióndelCuatrosegeneran estructuras complejas de figuras y cuerpos que los hacen propiciatorios para construir experiencias de aprendizaje sustentadas en los contenidos matemáticos que subyacen en tales procesos. Igual sucede si se tomara en cuenta su uso y comercialización. Entre tales contenidos destacan los siguientes: (a) Conceptuales: longitud de una circunferencia, rectas paralelas, perpendicularidad, figuras planas, área de figuras planas, cuerpos geométricos, volumen de cuerpos geométricos, distancia entre dos puntos y triangulación de figuras en el plano; (b) Procedimentales: construcción de figuras planas, identificación de las dimensiones de un triángulo, resolución de adiciones, sustracciones, multiplicacionesydivisionesenN,utilizacióndefórmulaspara el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes, y utilización de instrumentospararealizarmedicionesenelplanoytrazadode circunferencias, líneas paralelas y perpendiculares; y (c) Actitudinales: valoración del uso de fórmulas para el cálculo del perímetros, áreas y volúmenes; manifestación de curiosidad ante la búsqueda de métodos para realizar mediciones; y manifestación de curiosidad e interés por descubrirregularidadesyestablecergeneralizaciones. Conclusiones La Matemática constituye un fenómeno cultural (Bishop, 1999). Si se toma en cuenta el folclor, se puede apreciar la riqueza informativa que ofrece en el contexto donde se pone 544 ReportesdeInvestigación en escena ese tipo de manifestaciones que, en nuestro caso, tiene que ver con el diseño y construcción del Cuatro, instrumento musical venezolano que posee una riqueza informativadecontenidosmatemáticosquesubyacenenesos procesos.Deacuerdoconlaexperiencia,sepuedeconcluirque en dichos procesos se distinguen conceptos matemáticos observables en su estructura tales como figuras y cuerpos geométricos, ángulos, semejanza, medida de magnitudes y simbolizacionesalgebraicaspropiciasparaconstruirproyectos de aprendizaje donde se pueden ponerse en escena las acciones de contar, localizar, medir, diseñar y explicar, reconocidas por Bishop como actividades matemáticamente universales.Esoquieredecirquefluyenmatemáticasvivasque resultan útiles para sustentar tales proyectos, a la luz de la Etnomatemática, donde ha de tomarse en cuenta el contexto social de la escuela, los aspectos socioculturales de la clase y las particularidades de cada estudiante. Estos proyectos de aprendizaje también deben estar matizados con variados referentes multiculturales en vista de que en aula de clase suelenconfluirestudiantesqueprovienendediversosgrupos socioculturales.Portanto,losproyectosaserdesarrolladosen las escuelas deben ser aptos para arrostrar, en forma integrada, aspectos socioculturales específicos de cada grupo sociocultural. Además de lo anteriormente planteado, también se puede concluir que en la entrevista realizada al lutier se pudo concretar la existencia de instrumentos, para la construcción delCuatro,quenosonusualmenteimplementadosparamedir ángulos o comparar grosores de objetos. En esa entrevista afloraronfórmulasmatemáticaspropiasparaladeterminación de distancia entre los trastes o para la obtención de la circunferencia que está ubicada en la tapa delantera del Cuatro. Todos estos elementos posibilitan situaciones generadoras de cambios acordes con la dinámica social, así como son útiles para construir experiencias de aprendizaje centradasenlaEtnomatemáticaque,enestecaso,constituyeel hiloconductorparadesarrollarelcurrículoescolary,porende, 545 ReportesdeInvestigación paramejorarelprocesodeenseñanza‐aprendizaje‐evaluación delaMatemáticaengrupossocioculturalesespecíficos, Referencias Bishop, A. (1999). Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva cultural. Barcelona, España:Paidós. D'Ambrosio,U.(1985).Ethnomathematicsanditsplaceinthe historyandpedagogyofmathematics.FortheLearningof Mathematics,5(1),pp.44‐48. Martínez Padrón, O. (2012). “Una experiencia de capacitación en Etnomatemática, en docentes indígenas venezolanos”. JournalofMathematicsandCulture,6(1),286‐295. Ministerio del Poder Popular para la Cultura (2013, Abril). Providencia mediante la cual se declara al instrumento Cuatro bien de interés cultural para la República Bolivariana de Venezuela. Gaceta oficial N° 40.173. Venezuela. Oliveras, M. L. (2005). Microproyectos para la educación intercultural en Europa. Uno: Revista de didáctica de las matemáticas,Nº.38,2005,p.p.70‐81. Salazar, R. (2007). El mundo árabe en nuestra música. Fundación tradiciones caraqueñas, Consejo Nacional Electoral,Caracas,Venezuela. 546 ReportesdeInvestigación Socializaciónde ExperienciasDidácticas 547 SocializacióndeExperienciasDidácticas REPENSANDOAFORMAÇÃODE PROFESSORESDEMATEMÁTICAA PARTIRDEATIVIDAESDEENSINOE APRENDIZAGEMDECONCEITOSDE TRIGONOMETRIA MariaDeusaFerreiradaSilva UniversidadeEstadualdoSudoestedaBahia [email protected] Resumo Neste relatode experiênciaapresentoalgumasdasatividades inicialmente desenvolvidas nas disciplinas Prática V, para o curso de Formação de Professores de Matemática/PARFOR ‐ Plano Nacional de Formação de Professores da Educação Básica/UESB e Prática Como Componente Curricular IV para alunos da Licenciatura em Matemática da UESB, Campus Universitário de Vitória da Conquista. A experiência foi desenvolvidarealizandoumconjuntodeatividadesdestinadas ao ensino e aprendizagem de conceitos trigonométricos em que os dois grupos envolvidos tiveram a oportunidade de ressignificar o ensino de trigonometria realizando atividades envolvendoaconstruçãodematerialconcreto,arealizaçãode experimentospráticosearealizaçãodeexercícioseproblemas sobre os temas estudados. Esses diferentes procedimentos metodológicos visaram propiciar aos alunos construírem os conceitosenvolvidosnoestudodetrigonometria.Dessemodo, as duas experiências foram bastante frutíferas, uma vez que foram novamente realizadas em diferentes contextos, como atividadesdeextensão.Assim,nesserelatodestacotambéma experiência desenvolvida no programa PRODOCENCIA – ProgramadeConsolidaçãodasLicenciaturas/CAPES/UESB. Palavras‐chave: Formação inicial de professores – ensino e aprendizagemdematemática–aprendizagemsignificativa. 548 SocializacióndeExperienciasDidácticas Introdução AsDisciplinasdePráticadeEnsinoassumemumaimportante função na grade curricular dos cursos de formação de professores, haja vista se constituírem em um importante elo entreasdisciplinasdeConteúdoEspecíficoeasdisciplinasde Estágio Supervisionado, preparando os futuros professores para o efetivo exercício da docência. Tal importância foi garantida pelas “Diretrizes Curriculares para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena”, instituída em 200237 por força de resolução. Assim, um ganho da nova orientação curricularfoielevaracargahoráriadepráticapara400horas, desvinculando‐asdacargahoráriadoEstágioSupervisionado. A partir de então, foram introduzidas na grade curricular dos cursosdeLicenciaturaoferecidospelaUESB,paraseadequara resolução, essa nova carga horária. No caso específico da LicenciaturaemMatemática,cursoregular,essacargahorária foi dividida em quatro disciplinas: Prática Como Comp. Curricular I, II, III e IV e na Licenciatura/PARFOR em cinco disciplinas:PráticaI,II,III,IVeV.Aementadasdisciplinassão compostas de Conteúdos Matemáticos da Educação Básica e conteúdos teóricos para a formação do professor. Com isso, espera‐sequeosalunospossamseprepararparaosestágiose paraaatuaçãonadocência,aliandoosaberaosaberfazer. Nosegundosemestrede2011ministreiasdisciplinas:Prática Como Comp. Curricular IV, para a Licenciatura regular, e PráticaV,paraaLicenciaturaemmatemáticadoPARFOR.Em ambasresolvidesenvolveruma
