Notas de apoio de Fiabilidade e Controlo de

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Notas de apoio de
Fiabilidade e Controlo de Qualidade
Manuel Cabral Morais
Secção de Estatı́stica e Aplicações
Instituto Superior Técnico
Lisboa, Fevereiro—Junho de 2007
Índice
Lista de tabelas
vii
Lista de figuras
xi
1 Conceitos básicos em fiabilidade
1
1.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Breve nota histórica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Função de estrutura e outros conceitos básicos . . . . .
8
1.4
Estruturas coerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5
Fiabilidade de sistemas com componentes independentes 19
1.6
Associação e limites para a fiabilidade . . . . . . . . . .
27
2 Estatı́sticas ordinais e tempos de vida de estruturas
usuais em fiabilidade
34
2.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.2
Associação e limites para a função de fiabilidade . . . .
40
2.3
Mecanismos de censura . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3 Envelhecimento estocástico e função taxa de falha
47
3.1
Função taxa de falha . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.2
Monotonia da função taxa de falha . . . . . . . . . . .
52
3.3
Preservação da monotonia da taxa de falha . . . . . . .
55
ii
3.4
Outras noções de envelhecimento estocástico . . . . . .
63
3.5
Limites para a função de fiabilidade e momentos . . . .
69
3.5.1
Limites para a função de fiabilidade baseados
num quantil conhecido . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2
Limites para a função de fiabilidade baseados
num momento conhecido . . . . . . . . . . . . .
3.5.3
74
Limites para a função de fiabilidade de um
sistema baseados em momentos conhecidos . . .
3.5.5
71
Limites para momentos da duração de uma
componente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4
70
76
Limites para a duração esperada de um sistema
baseados em momentos conhecidos . . . . . . .
4 Modelos paramétricos importantes em fiabilidade
78
82
4.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.2
Distribuições discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.2.1
A distribuição geométrica . . . . . . . . . . . .
84
4.2.2
A distribuição binomial . . . . . . . . . . . . . .
86
4.2.3
A distribuição de Poisson
. . . . . . . . . . . .
88
Distribuições contı́nuas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.3.1
A distribuição exponencial . . . . . . . . . . . .
91
4.3.2
A distribuição bathtub . . . . . . . . . . . . . .
95
4.3.3
A distribuição log-normal . . . . . . . . . . . .
96
4.3.4
A distribuição de Weibull . . . . . . . . . . . .
97
4.3.5
As distribuições normal e normal truncada . . . 103
4.3.6
A distribuição gama . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.7
A distribuição gaussiana inversa . . . . . . . . . 106
4.3.8
As distribuições gama inversa e beta . . . . . . 108
4.3
iii
5 Inferências sobre modelos para diferentes tipos de
ensaio
111
5.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2
Identificação e selecção de modelos . . . . . . . . . . . 114
5.2.1
Estimação não paramétrica de caracterı́sticas da
fiabilidade — dados completos . . . . . . . . . . 114
5.2.2
Gráficos TTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2.3
Papel de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.4
Testes de ajustamento . . . . . . . . . . . . . . 127
5.3
Testes de vida e estimação de MV . . . . . . . . . . . . 129
5.4
Estimação no modelo exponencial . . . . . . . . . . . . 135
5.4.1
Validação do modelo exponencial . . . . . . . . 136
5.4.2
Amostra completa . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.3
Testes de vida com censura . . . . . . . . . . . 141
5.4.4
Escolha da fracção a censurar e minimização de
custos de amostragem . . . . . . . . . . . . . . 146
6 Estratégias de manutenção
149
6.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2
Sobre o impacto das noções de envelhecimento em
manutenção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3
Teoria do renovamento e manutenção . . . . . . . . . . 153
6.3.1
Limites para a convolução . . . . . . . . . . . . 154
6.3.2
Limites para a função de renovamento . . . . . 159
6.3.3
Limites para algumas funções do número de
renovamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.4
Algumas estratégias de manutenção . . . . . . . . . . . 164
6.5
Comparação de estratégias de manutenção . . . . . . . 168
iv
6.6
A polı́tica de manutenção random age replacement . . 172
6.7
Alguns resultados sobre disponibilidade . . . . . . . . . 175
6.7.1
Disponibilidade de sistemas com componentes
independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.7.2
Disponibilidade de sistemas em série . . . . . . 178
6.7.3
Disponibilidade de sistema com uma unidade de
operação, uma sobressalente e uma de reparação 183
6.7.4
Disponibilidade de sistema com m unidades de
operação, n sobressalentes e s de reparação . . . 185
7 Controlo estatı́stico de processos
188
7.1
O significado de qualidade . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.2
Os custos e os aspectos legais da qualidade . . . . . . . 192
7.3
Um apanhado da história do controlo de qualidade . . 196
7.3.1
Um apanhado geral . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.3.2
As guildas da Europa medieval . . . . . . . . . 198
7.3.3
A Revolução Industrial . . . . . . . . . . . . . . 199
7.3.4
O inı́cio do sec. XX . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3.5
A II Guerra Mundial . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.6
A qualidade total . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.3.7
Para além da qualidade total . . . . . . . . . . 207
7.3.8
Walter A. Shewhart — Pai do controlo
estatı́stico de qualidade . . . . . . . . . . . . . . 209
8 Esquemas de controlo de qualidade do tipo Shewhart
para atributos e variáveis
211
8.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.2
Esquemas Shewhart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.3
Desempenho de esquemas Shewhart . . . . . . . . . . . 222
v
8.4
Cartas Shewhart para atributos . . . . . . . . . . . . . 224
8.5
Cartas Shewhart para variáveis . . . . . . . . . . . . . 238
9 Esquemas de controlo de qualidade do tipo CUSUM e
EWMA para atributos e variáveis
249
9.1
Esquemas CUSUM e EWMA . . . . . . . . . . . . . . 249
9.2
Esquemas CUSUM para atributos . . . . . . . . . . . . 251
9.3
Desempenho de esquemas CUSUM para atributos . . . 256
9.4
Esquemas EWMA para variáveis . . . . . . . . . . . . 266
9.5
9.4.1
Esquema EWMA padrão para µ . . . . . . . . . 266
9.4.2
Esquema EWMA unilateral superior para σ 2 . . 271
Desempenho de esquemas individuais EWMA para
variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.6
Desempenho de esquemas conjuntos para µ e σ 2 . . . . 282
9.6.1
Sinais erróneos — Misleading Signals . . . . . . 283
9.6.2
Probabilidades de Misleading Signal (PMS) . . 285
10 Amostragem de aceitação
291
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
10.2 Planos de amostragem de aceitação simples por atributos296
10.3 A norma Military Standard 105 (ANSI/ASQC Z1.4) . . 302
10.4 Planos de amostragem de aceitação simples por
atributos – com rectificação da inspecção . . . . . . . . 307
10.5 Planos de amostragem de aceitação dupla por atributos
– com e sem rectificação da inspecção . . . . . . . . . . 311
10.6 Planos de amostragem de aceitação para variáveis . . . 318
10.7 Planos de amostragem de aceitação para variáveis —
distribuição gaussiana: desvio padrão conhecido . . . . 321
vi
10.8 Planos de amostragem de aceitação para variáveis —
distribuição gaussiana: desvio padrão desconhecido . . 324
10.9 A norma Military Standard 414 (ANSI/ASQC Z1.9) . . 327
11 Esquemas com intervalos amostrais variáveis
330
11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
11.2 Descrição das polı́ticas amostrais FSI e VSI . . . . . . 332
11.3 Caracterı́sticas primárias . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
11.4 Cálculo das caracterı́sticas primárias dos esquemas
Shewhart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
11.5 Obtenção numérica das caracterı́sticas primárias para
esquemas do tipo markoviano . . . . . . . . . . . . . . 339
11.6 Comparabilidade
sob
controlo;
caracterı́stica
primordial; comparação dos desempenhos de cartas
FSI e VSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
11.7 Ilustração: esquemas X̄ dos tipos FSI e VSI com limites
3σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Referências
347
vii
Lista de Tabelas
3.1
Preservação do comportamento monótono da taxa de
falha das estatı́sticas ordinais (“Não”≡ “Nem sempre”). 61
3.2
Preservação da propriedade de envelhecimento face a
operações de fiabilidade (“Não”≡ “Nem sempre”). . . .
67
4.1
Algumas distribuições discretas importantes. . . . . . .
86
4.2
Número de acidentes mensais. . . . . . . . . . . . . . .
88
4.3
Algumas distribuições contı́nuas importantes. . . . . .
92
5.1
Estimativas não paramétricas da f.d.p., f.f. e f.t.f. —
amostra não agrupada.
5.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Estimativas não paramétricas da f.d.p., f.f. e f.t.f. —
dados da refinaria de gasolina.
5.3
. . . . . . . . . . . . . 116
Estimativas não paramétricas da f.d.p., f.f e f.t.f. —
amostra agrupada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4
baterias.
5.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
turbofan jet engines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.6
Cálculos auxiliares para obter gráfico TTT — refinaria
de gasolina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.7
Horas até falha de 20 termóstatos . . . . . . . . . . . . 138
viii
5.8
Instantes de falha e os tempos entre falhas consecutivas
de camião . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.9
Dados referentes a nove locais de teste de termóstatos . 139
5.10 Algumas estimativas de MV . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.11 Estimadores de MV para λ — dados censurados . . . . 142
5.12 Tempos totais acumulados em teste — dados censurados 142
5.13 Estimadores de MV para λ — dados censurados . . . . 143
5.14 Estimadores UMVUE de E(T ) e RT (t) — dados
censurados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.15 Estatı́sticas suficientes para λ — dados censurados
. . 144
5.16 Intervalos de confiança para λ — dados censurados . . 144
5.17 V.a. fulcrais para λ — dados censurados . . . . . . . . 145
8.1
No. observado de defeituosos tN com: n = 100; p =
p0 = 0.05, para N = 1, . . . , 50; e p = p0 + θ = 0.056,
para N = 51, . . . , 70. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.2
Propriedades de RL (caso geométrico). . . . . . . . . . 223
8.3
Descrição das cartas (padrão) np e c, com limites 3-sigma.226
8.4
Valores de quantis de RL, ARL, SDRL, CVRL, CSRL
e CKRL para carta-np unilateral superior (n = 100,
p0 = 0.02 e U CL = 7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.5
No. de artigos não conformes em 30 amostras de 100
peças soldadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.6
No. de artigos defeituosos em 10 amostras de 100 peças. 232
8.7
No. de defeitos em 20 amostras de dimensão variável de
rolos de papel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.8
No. de defeitos de 16 amostras de 4 transmissões manuais.233
8.9
No. de defeitos à superfı́cie de 25 lâminas de aço. . . . . 234
ix
8.10 No. de defeitos na inspecção final de gravadores. . . . . 235
8.11 No. de artigos defeituosos em 20 amostras de dimensão
variável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.12 Descrição das cartas (padrão) X̄ e S 2 .
. . . . . . . . . 239
8.13 Médias de 10 amostras de dimensão n = 4. . . . . . . . 241
8.14 Médias de 24 amostras de dimensão n = 5 de três
últimas casas decimais do diâmetro de suportes metálicos.243
8.15 Valores de ξ(θ) para esquemas S 2 com σ02 = 1 e α =
0.002 (i.e., ARL(1) = 500). . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.16 Médias e desvios-padrão corrigidos de 20 amostras de
dimensão 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.1
Caracterı́sticas de esquemas Shewhart e CUSUM/EWMA.250
9.2
No. observado de defeituosos yN e estatı́stica CUSUM
para: n = 100, p = p0 = 0.05, para N = 1, . . . , 50,
p = p0 + θ = 0.056, para N = 51, . . . , 70; k = 5.29,
u = 0 e U CLC = 18.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.3
Algumas propriedades de RLu (θ). . . . . . . . . . . . . 260
9.4
Esquemas Shewhart vs. CUSUM . . . . . . . . . . . . . 261
9.5
Alguns quantis do RL e valores de ARL, SDRL, CVRL,
CSRL e CKRL para os esquemas unilaterais superiores
CUSUM e np (n = 100, p0 = 0.02, p1 = 0.0427685). . . . 264
9.6
Pesos médios de saquetas de produto quı́mico. . . . . . 270
9.7
Pesos médios de latas de óleo para motor de carro.
9.8
Temperaturas de reagente quı́mico. . . . . . . . . . . . 274
9.9
Médias e variâncias corrigidas do diâmetro de fibra têxtil.275
. . 271
9.10 Caracterização dos esquemas individuais . . . . . . . . 277
x
9.11 Médias (x̄),
variâncias (s2 ) e max{σ02 , s2 } das
temperaturas do reagente. . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.12 Expressões exactas das PMSs de Tipos III e IV para os
esquemas conjuntos SS e SS + . . . . . . . . . . . . . . 287
9.13 Valores das PMSs dos Tipos III e IV para esquemas
conjuntos SS + e EE + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
10.1 Planos de amostragem obtidos por uso da norma
ANSI/ASQC Z1.4-1981 e por recurso à distribuição
hipergeométrica, para N = 800, α = 0.05 e β = 0.1. . . 305
10.2 Alguns planos de amostragem para variáveis com
σ desconhecido (β
=
0.10), recorrendo norma
ANSI/ASQC Z1.9-1980 e a (10.38). . . . . . . . . . . . 328
11.1 Tempo até sinal para esquemas Shewhart . . . . . . . . 338
11.2 Valor esperado, variância e coeficiente de variação do
tempo até sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
xi
Lista de Figuras
8.1
Carta de controlo — No. amostra (abcissa) vs. valor
obs. estatı́stica (ordenada); limite superior de controlo
(U CL).
8.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Carta de controlo (unilateral superior) — No. amostra
(abcissa) vs. No. de defeitos por amostra (ordenada);
limite superior de controlo. . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.3
ARL de esquema X̄ com limites 3-sigma. . . . . . . . . 240
8.4
ARL de esquema S 2 padrão (n = 5). . . . . . . . . . . 245
9.1
Valores observados da estatı́stica CUSUM (zN ). . . . . 255
9.2
Redução percentual em ARL por substituição de
esquema Shewhart por esquema EWMA. . . . . . . . . 281
10.1 Descrição esquemática de um plano de amostragem dupla.311
xii
Capı́tulo 1
Conceitos básicos em fiabilidade
1.1
Introdução
Este capı́tulo introdutório debruça-se essencialmente sobre as relações
entre um sistema de interesse e as respectivas componentes. Apesar
do carácter aleatório do funcionamento das componentes do sistema,
assumir-se-á que as relações estruturais entre este e aquelas são
determinı́sticas.
Antes de prosseguir é crucial adiantar alguns conceitos básicos,
mesmo que de um modo informal, nomeadamente a capacidade que
um sistema tem de desempenhar adequadamente as funções a que se
propõe, em certo ambiente e durante um perı́odo de tempo.
Definição informal 1.1 — Fiabilidade
Diz respeito, de um modo geral, ao grau de confiança ou
probabilidade que atribuimos ao funcionamento sem falhas por
parte de um sistema, em certo ambiente e durante um perı́odo de
tempo de pelo menos t0 unidades.
1
•
Esta definição envolve quatro importantes termos/noções que
convém definir mesmo que informalmente. A saber: probabilidade;1
falhas; ambiente; tempo.
Definição informal 1.2 — Falhas
Cada sistema possui um conjunto especı́fico de eventos indesejáveis
•
ou falhas.
Para um relógio pode definir-se como um atraso que exceda
5 segundos durante um perı́odo de 24 horas.
Para um sistema
mecânico pode tratar-se de um aumento da vibração produzida acima
de um nı́vel regulamentar. Uma das mais perigosas falhas de um
reactor nuclear é a fuga de material radioactivo. Ao lidar-se com
um mı́ssil uma falha pode consistir em não atingir o alvo ou explodir
antes de atingir o alvo.
Escusado será dizer que um sistema diz-se absolutamente fiável se
não ocorrerem falhas durante o seu funcionamento.
Definição informal 1.3 — Ambiente
A fiabilidade de um sistema depende crucialmente do ambiente
em que opera um sistema.
O ambiente diz não só respeito às
condições climatéricas mas também a: empacotamento, transporte,
armazenamento;
instalação;
tipo de utilizador;
recursos de
manutenção disponı́veis; pó, quı́micos e outros poluentes.
•
Definição informal 1.4 — Tempo
A fiabilidade decresce com o tempo, na medida em que quanto maior
for o tempo de operação do sistema maior é a probabilidade de falha
do mesmo.
1
Escusamo-nos de definir este primeiro termo.
2
Atente-se, no entanto, que o tempo de operação nem sempre é
medido em unidades de tempo. Pode sê-lo em distância percorrida
para um veı́culo, ou turnos/ciclos de operação para um operário, ou
•
ainda uma combinação destas e outras medidas de “tempo”.
Metodologias
é
o
resultado
estatı́sticas/probabilı́sticas
da
acção
conjunta
de
—
Uma
diversos
falha
factores
aleatórios/imprevisı́veis intrı́nsecos ao sistema bem como das diversas
influências do ambiente em que o sistema opera.
Assim, o tratamento adequado da fiabilidade de sistemas só pode
ser feito recorrendo a metodologias estatı́sticas/probabilı́sticas.
Teoria da fiabilidade — Corpo de ideias, modelos e métodos
destinados à solução de problemas de estimação/optimização da
probabilidade de sobrevivência...
ou, mais genericamente, da
distribuição do
• tempo de vida de componentes, equipamento ou sistemas.
Outros dos problemas considerados em teoria da fiabilidade dizem
respeito ao cálculo da probabilidade de funcionamento de um sistema
e da proporção de tempo em que o sistema se encontra em
funcionamento.
Argumenta-se que a teoria da fiabilidade não passa de uma simples
aplicação da teoria das Probabilidades...
Contudo os problemas
de fiabilidade possuem uma estrutura própria e têm estimulado o
desenvolvimento de novas áreas em teoria das Probabilidades como:
• noções de envelhecimento estocástico (e tipos de monotonia);
• obtenção de resultados em teoria de renovamento como
resultado da comparação de polı́ticas de substituição.
3
Estratégias de manutenção — Algumas situações de fiabilidade
envolvem substituições, reparações e inspecções de componentes.
Estas operações básicas influenciam a fiabilidade de um sistema e
desempenham
um
papel
crucial
em
estratégias/polı́ticas
de
manutenção.
Testes de vida acelerados — De modo a induzir falhas em
equipamento muito fiável, são usados métodos de teste especiais
denominados de testes de vida acelerados.
Há, fundamentalmente, três formas distintas de acelerar um teste
de vida, i.e., reduzir o tempo de vida de produto submetido a teste:
• aumentar a taxa de utilização do produto (e.g., testar uma
torradeira 200 vezes ao dia);
• recorrer a temperaturas ou humidade elevadas e pouco usuais de
forma a aumentar a taxa de falha;
• aumentar factores de stresse (e.g., voltagem) de modo a que as
componentes se desgastem e falhem mais depressa.
Tópico relacionado com fiabilidade — Os problemas estatı́sticos
de estimação da função sobrevivência da vida de um sistema/indivı́duo
a partir de dados (eventualmente censurados) e uma série de
outros tipos de inferências (estimação de parâmetros de modelos,
comparações de funções de sobrevivência, etc.) são alvo de estudo
em Análise de Sobrevivência.
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, p. xi); Leitch (1995,
pp. 1–5).
4
1.2
Breve nota histórica
O surgimento da teoria da fiabilidade está intimamente ligado à
necessidade de lidar com tecnologia moderna, em particular, com os
sistemas militares complexos durante a II Guerra Mundial.
Uma das primeiras áreas de fiabilidade abordadas com alguma
sofisticação matemática foi a da manutenção de máquinas
(Khintchine (1932) e Palm (1947)).
As técnicas usadas foram
inspiradas em outras já utilizadas por Erlang e Palm em
problemas de dimensionamento de centrais telefónicas.
primeiras
de
tentativas
para
justificar
o
uso
da
As
distribuição
Poisson para o número de chamadas em perı́odos de
tempo fixos serviram de base para o uso da distribuição
exponencial na caracterização dos tempos entre falhas de
equipamentos complexos (Epstein (1958)).
A aplicação da teoria do renovamento em problemas de
substituição de equipamento começou por ser discutida por Lotka
(1939) e Campbell (1941).
A fadiga de materiais e um tópico associado, a teoria de
valores extremos, foram estudados por Weibull (1939), Gumbel (1935),
Epstein (1948), etc. Gumbel (1958) fornece uma série de ilustrações
da adequação de modelos extremais à representação de tempos de
vida.
No inı́cio da década de 50, algumas áreas da fiabilidade como
os testes de vida e os problemas de fiabilidade em equipamento
electrónico, em mı́sseis e aeronaves mereceram grande atenção por
parte, quer de estatı́sticos, quer de engenheiros ligados à indústria
5
armamentista e aeronáutica.2
A popularidade da distribuição exponencial em fiabilidade devese em grande parte aos trabalhos de Davis (1952) e Epstein e Sobel
(1953). Contudo, a partir de 1955 e graças aos trabalhos de Kao (1956,
1958) e Zelen-Dannemiller (1961), começou a considerar-se seriamente
outros modelos para o tempo de vida, com destaque para o modelo
Weibull.
A fiabilidade de sistemas com interruptores electromagnéticos
(“relays”) motivou o trabalho de Moore e Shannon (1956), estes
autores foram, por sua vez, estimulados pela tentativa de von
Neumann descrever certas operações do cérebro humano e a elevada
fiabilidade de organismos biológicos complexos.
Em 1956,
G.Weiss introduz o uso de processos
semi-
markovianos na resolução de problemas de manutenção.
Motivados pelos problemas de vibração surgidos na construção
de aeronaves comerciais a jacto, Birnbaum e Saunders (1958)
introduzem um modelo estatı́stico na descrição do tempo de vida de
estruturas sob sobrecarga dinâmica. Este modelo permite exprimir
a distribuição do tempo de vida em termos da carga e acabou por
sugerir o uso da distribuição gama em determinadas situações.
A introdução de funções de estrutura de sistemas coerentes devese ao trabalho de Birnbaum, Esary e Saunders (1961) e constitui uma
generalização de trabalho prévio da autoria de Moore e Shannon.
Nos anos 70 deu-se especial ênfase a problemas de fiabilidade
associados a segurança de reactores nucleares e outros problemas
2
Em 1950, a Força Aérea dos E.U.A. formou o Group on Reliability of Electronic Equipment
para recomendar medidas que aumentassem a fiabilidade do equipamento e diminuissem os custos
de manutenção do equipamento.
6
de segurança industrial.
Nos anos 80, deu-se particular atenção à fiabilidade de redes de
computadores, motivada pela Advanced Research Projects Agency
(ARPA), precursora da Internet e da World Wide Web (www).
Na década de 90, Mendel traçou novas direcções na investigação
em fiabilidade, inspirado pela Fı́sica e fazendo uso da geometria
diferencial.
A competição feroz no mercado é responsável por aquele que é,
hoje, o grande desafio para a indústria: o desenvolvimento de
produtos de complexidade crescente em pouco tempo mas com
elevados nı́veis de qualidade e fiabilidade.
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 1-5); Barlow
(1998, pp. xv-xvi).
7
1.3
Função de estrutura e outros conceitos
básicos
Em fiabilidade de sistemas constituı́dos por diversas componentes têm
particular relevo alguns conceitos.
Definição 1.5 — Ordem do sistema
Designação dada ao número de componentes de um sistema.
É
usualmente representada por n (i = 1, . . . , n).
•
Definição 1.6 — Função de estrutura (“structure function”)
Numa perspectiva estática pode definir-se a seguinte função



1, se o sistema está a funcionar

0, c.c.
φ(X) = 
(1.1)
onde X = (X1 , . . . , Xn ) denota o vector de estado e



1, se a componente i está a funcionar

0, c.c.,
Xi = 
(1.2)
para i = 1, . . . , n. Esta função será doravante denominada de função
•
de estrutura.
Definição 1.7 — Fiabilidade
Define-se à custa do valor esperado da função estrutura,
r = P [φ(X) = 1] = E[φ(X)],
(1.3)
logo corresponde à probabilidade de funcionamento.
•
A função estrutura pode ser obtida sem grande dificuldade nos
seguintes exemplos.
A fiabilidade de sistemas com componentes
independentes será discutida posteriormente.
8
Exemplo 1.8 — Estrutura em série
Uma estrutura em série funciona sse o mesmo ocorrer com todas as
suas componentes. Assim,
φ(X) = min{X1 , . . . , Xn } =
n
Y
Xi .
(1.4)
i=1
•
Exemplo 1.9 — Estrutura em paralelo
Uma estrutura em paralelo funciona desde que pelo menos uma das
suas componentes funcione. Logo
φ(X) = max{X1 , . . . , Xn } = 1 −
n
Y
(1 − Xi ).
(1.5)
i=1
•
Exemplo 1.10 — Estrutura k-de-n
Uma estrutura k − de − n funcionará sse funcionarem pelo menos k
das suas n componentes. Neste caso



1, se

0, c.c.
φ(X) = 
Pn
i=1 Xi
≥k
(1.6)
Um avião que é capaz de voar sse pelo menos 2 de 3 motores
funcionarem é um exemplo de uma estrutura 2 − de − 3.
De notar que uma estrutura em série (paralelo) corresponde a uma
estrutura n − de − n (1 − de − n).
•
Exercı́cio 1.11 — Considere um sistema com 4 componentes.
Suponha que este sistema funciona sse tal acontecer com as
componentes 1 e 2, e se as componentes 3 ou 4 funcionarem.
Represente esquematicamente este sistema e prove que a sua função
estrutura é igual a X1 × X2 × (X3 + X4 − X3 × X4 ). (Ver Ross (2003,
•
pp. 549–550).)
9
Exercı́cio 1.12 — Considere um sistema de alta fidelidade composto
por:
• Gravador
• CD player
• Amplificador
• Altifalante A
• Altifalante B
Considera-se que o sistema está a funcionar, caso se ouça música
(amplificada) mono ou stereo, vinda do gravador ou do CD player.
Represente diagramaticamente este sistema e determine a sua
•
função estrutura (Barlow e Proschan (1975, p. 4)).
Definição 1.13 —
Decomposição
fulcral
(“Pivotal
decomposition”) da função de estrutura
A função de estrutura de um sistema pode ser decomposta do seguinte
modo:
φ(x) = xi φ(1i , x) + (1 − xi ) φ(0i , x)
(1.7)
onde
• (1i , x) = (x1 , . . . , xi−1 , 1, xi+1 , . . . , xn ) e
• (0i , x) = (x1 , . . . , xi−1 , 0, xi+1 , . . . , xn ).
•
Este resultado é particularmente importante pois permite
reescrever a função de estrutura de um sistema de ordem n à custa
das funções de estrutura de dois sub-sistemas de ordem n − 1.
10
Exercı́cio 1.14 — Uma rede de tratamento de águas residuais possui
o figurino abaixo onde i denota a estação de tratamento i (i = 1, . . . 6).
Determine a função de estrutura por decomposição fulcral em torno
•
da estação de tratamento 4.
Na próxima secção será apresentado um método alternativo de
obtenção da função de estrutura.
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 1–6); Ross (2003,
pp. 547–550).
11
1.4
Estruturas coerentes
É desejável que os sistemas não possuam aquilo que se designa a seguir
por componentes irrelevantes.
Definição 1.15 — Componente irrelevante
A i−ésima componente de um sistema diz-se irrelevante caso a função
estrutura seja constante em xi , i.e.,
φ(1i , x) = φ(0i , x),
(1.8)
para qualquer (•i , x), onde (1i , x) = (x1 , . . . , xi−1 , 1, xi+1 , . . . , xn ) e
(0i , x) = (x1 , . . . , xi−1 , 0, xi+1 , . . . , xn ).
•
Exercı́cio 1.16 — Prove que a componente 2 do sistema descrito na
Figura 1.1.15 de Barlow e Proschan (1975, p. 5)
•
é irrelevante.
É natural assumir que a substituição de uma componente
inoperacional por uma que funcione nunca conduza à deterioração do
sistema. Ou por outra, é desejável lidar com sistemas cuja função de
estrutura é monótona não decrescente.
Definição 1.17 — Estruturas coerentes (ou monótonas)3
Estas estruturas são caracterizadas por possuı́rem função de
estrutura não decrescente, i.e.
φ(x) ≤ φ(y), se xi ≤ yi , i = 1, . . . , n,
e todas as componentes relevantes.
3
Esta última designação é preferida por Barlow e Proschan (1965/1996, p. 204).
12
(1.9)
•
Nota 1.18 — Estruturas coerentes
De notar que qualquer estrutura coerente possui função de estrutura
verificando:
• φ(1) = 1, onde 1 = (1, . . . , 1);
• φ(0) = 0, onde 0 = (0, . . . , 0).
•
Exercı́cio 1.19 — Represente todas as estruturas coerentes (a menos
de permutações das suas componentes) de ordem 1, 2 e 3 e determine
as respectivas funções de estrutura (Barlow e Proschan (1975, pp. 6–
•
7)).
Teorema 1.20 — Estruturas coerentes
Sejam φmin (x), φmax (x) e φ(x) as funções de estrutura de sistemas
de ordem n em série, em paralelo e de um sistema coerente genérico,
respectivamente. Então
φmin (x) ≤ φ(x) ≤ φmax (x).
(1.10)
•
Este resultado permite-nos afirmar que o desempenho de qualquer
estrutura coerente é limitada inferiormente (resp. superiormente) pelo
desempenho de uma estrutura em série (resp. paralelo).
Nota 1.21 — Estruturas coerentes
Qualquer estrutura coerente pode ser descrita como um sistema em
série (resp. paralelo) cujas componentes são por sua vez sub-sistemas
•
em paralelo (resp. série).
Exercı́cio 1.22 — Descreva diagramaticamente um sistema 2-de-3 e
reescreva a sua função estrutura, tendo em conta a observação anterior
•
(Ross (1989, p. 406)).
13
As estruturas coerentes podem ser também descritas à custa de
caminhos e cortes. Para tal, considere-se que o vector x indica os
estados de um conjunto de n componentes, C = {1, . . . , n}.
Definição 1.23 — Path vector e caminho (path set)
O vector x diz-se um path vector, caso φ(x) = 1. Ao conjunto de
ı́ndices C1 (x) = {i : xi = 1} dá-se o nome de caminho (path set).
•
Definição 1.24 — Minimal path vector e caminho mı́nimo
(minimal path set)
O vector x diz-se um minimal path vector, se y < x ⇒ φ(y) = 0
para todo o y.4 Nesta situação C1 (x) é designado de caminho mı́nimo
(minimal path set). C1 (x) corresponde a um conjunto de componentes
que permite o funcionamento do sistema; este conjunto não inclui
•
qualquer componente irrelevante.
Exercı́cio 1.25 — Identifique os caminhos mı́nimos do sistema de 5
componentes, descrito em Ross (2003, p. 551).
•
Definição 1.26 — Cut vector e corte (cut set)
O vector x diz-se um “cut vector”, caso φ(x) = 0. Ao conjunto de
ı́ndices C0 (x) = {i : xi = 0} dá-se o nome de corte (cut set).
4
y < x ⇔ (yi ≤ xi (i = 1, . . . , n) e yi < xi para algum i.
14
•
Definição 1.27 — Minimal cut vector e corte mı́nimo (minimal
cut set)
O vector x diz-se um “minimal cut vector”, se y > x ⇒ φ(y) = 1
para todo o y. Neste caso C0 (x) diz-se um corte mı́nimo (“minimal
cut set”). C0 (x) corresponde a um conjunto de componentes, todas
relevantes, sem as quais o sistema é incapaz de funcionar.
•
Exercı́cio 1.28 — Identifique path vectors, caminhos, caminhos
mı́nimos, cut vectors, cortes e cortes mı́nimos, no sistema em ponte
abaixo, descrito em Barlow e Proschan (1975, p. 9).
•
Nota 1.29 — Reescrita de sistemas coerentes
É possı́vel escrever a função de estrutura de um sistema coerente
à custa de caminhos mı́nimos ou cortes mı́nimos.
Para o efeito,
considere-se Pj o j-ésimo caminho mı́nimo (j = 1, . . . , p) e a função
binária com argumentos xi , i ∈ Pj
ρj (x) = min xi =
i∈Pj
Y
xi
(1.11)
i∈Pj
que toma valor unitário, se todas as componentes do j-ésimo caminho
mı́nimo estiverem a funcionar, e 0, caso contrário. Ou seja, ρj (x)
corresponde à função estrutura do sub-sistema em série j cujas
componentes fazem parte do caminho mı́nimo Pj .
15
Analogamente, tome-se Kj o j-ésimo corte mı́nimo (j = 1, . . . , q) e
a associe-se a função binária com argumentos xi , i ∈ Kj
kj (x) = max xi = 1 −
i∈Kj
Y
(1 − xi )
(1.12)
i∈Kj
que toma valor 0, se todas as componentes do j-ésimo corte mı́nimo
não estiverem a funcionar, e 1, caso contrário. I.e., kj (x) corresponde
à função estrutura do sub-sistema em paralelo j cujas componentes
fazem parte do corte mı́nimo Kj .
•
Teorema 1.30 — Reescrita de sistemas coerentes
Sejam P1 , . . . , Pp os caminhos mı́nimos e K1 , . . ., Kq os cortes mı́nimos
da referida estrutura coerente. Então
φ(x) =
max ρj (x) = max min xi
j=1,...,p

= 1−
φ(x) =
=
p
Y

1
j=1
−
j=1,...,p i∈Pj

Y
xi 
i∈Pj
min kj (x) = min max
j=1,...,q
j=1,...,q i∈Kj


q
Y
Y

1 −
(1 − xi ) .
j=1
i∈Kj
(1.13)
xi
(1.14)
I.e. uma estrutura original coerente pode ser pensada como uma
estrutura em paralelo (série) constituı́da por todos os sub-sistemas
em série (paralelo) passı́veis de se formar com as componentes que
constituem caminhos (cortes) mı́nimos.
•
Exercı́cio 1.31 — Obtenha a função de estrutura do sistema em
ponte à custa de um arranjo em paralelo (série) dos caminhos (cortes)
mı́nimos (Barlow e Proschan (1975, pp. 10–11) e Gertsbakh (1995,
•
p. 6)).
16
Exercı́cio 1.32 — A Figura 1.2 de Gertsbakh (1995, p. 4) descreve
um sistema de (re)distribuição de água a três cidades C1 , C2 e C3 a
partir de uma central de fornecimento de água W .
Diz-se que o sistema de (re)distribuição de água está operacional se
as três cidades receberem água.
Obtenha a função de estrutura deste sistema recorrendo ou a uma
decomposição fulcral, ou a caminhos mı́nimos, ou a cortes mı́nimos. •
Motivação 1.33 —
Importância
estrutural
relativa
das
componentes
Em certos sistemas coerentes, algumas componentes são mais
importantes que outras na medida em que elas são determinantes para
o funcionamento do sistema. Por exemplo, se uma das componentes
está em série com o resto do sistema então pode parecer que seja tão
importante quanto qualquer outra.
É, pois, importante que o analista disponha de uma medida da
importância das componentes individuais.
•
Definição 1.34 — Path vector crı́tico e caminho crı́tico para i
Um path vector diz-se crı́tico para a componente i sse φ(1i , x) = 1 e
φ(0i , x) = 0, i.e.,
φ(1i , x) − φ(0i , x) = 1.
(1.15)
O conjunto de ı́ndices Ci (1i , x) é denominado de caminho crı́tico para
•
i.
17
Importância
estrutural
relativa
da
componente i
O número de “path vectors”crı́ticos para i é dado por
X
nφ (i) =
[φ(1i , x) − φ(0i , x)]
(1.16)
{x: φ(x)=1, xi =1}
e a importância estrutural relativa da componente i definida por
Iφ (i) =
nφ (i)
2n−1
(1.17)
e corresponde à proporção de “path vectors”crı́ticos para i face aos
vectores de estado x caracterizados por xi = 1.
•
Exercı́cio 1.36 — Determine a importância estrutural relativa das
componentes de um sistema em série de ordem 3.
•
Exercı́cio 1.37 — Calcule a importância estrutural relativa das
componentes de uma estrutura 2 − de − 3 (Barlow e Proschan (1975,
•
p. 14)).
Exercı́cio 1.38 — Admita que um sistema tem função de estrutura
φ(x) = x1 [1 − (1 − x2 )(1 − x3 )].
Descreva diagramaticamente este sistema e obtenha a importância
estrutural de cada uma das suas três componentes (Barlow e Proschan
•
(1975, p. 14)).
Exercı́cio 1.39 — Calcule a importância estrutural de cada uma das
cinco componentes do sistema em ponte (Barlow e Proschan (1975,
•
p. 16).
pp. 404-411).
18
1.5
Fiabilidade de sistemas com componentes
independentes
Considere-se, doravante, que Xi representa o estado da componente
i e que pi = P (Xi = 1) = 1 − P (Xi = 0), i = 1, . . . , n denota a
fiabilidade da componente i. E seja p = (p1 , . . . , pn ) o vector das
fiabilidades das componentes e considere-se nesta secção que quaisquer
componentes funcionam de modo independente.
A fiabilidade de um sistema corresponde à probabilidade de este
estar a funcionar, i.e., caso a fiabilidade se represente por r, tem-se
r = P [φ(X) = 1].
Definição 1.40 — Fiabilidade
Ao lidarmos com componentes que funcionam de modo independente,5
a fiabilidade do sistema é passı́vel de escrever-se à custa do vector p
das fiabilidades das componentes:
r = r(p) = P [φ(X) = 1].
(1.18)
Mais, pelo facto de φ(X) ser uma v.a. com distribuição de Bernoulli
tem-se
r = r(p) = E[φ(X)].
(1.19)
•
Exemplo 1.41 — Fiabilidade
As estruturas em série e em paralelo com componentes independentes
possuem fiabilidades iguais a

r(p) = E[φ(X)] = E
n
Y


Xi =
i=1
5
n
Y

i=1
Ou seja, as v.a. X1 , . . . , Xn são independentes.
19
pi
(1.20)

r(p) = E[φ(X)] = E
1
−
n
Y

(1 − Xi
i=1
)
=1−
n
Y
(1 − pi ),
(1.21)
i=1
respectivamente.
Por seu lado, caso pi = p, a estrutura k −de−n possuem fiabilidade
dada por
r(p) = E[φ(X)]

= P
n
X


Xi ≥ k 
i=1
=
n
X
n!
pi (1 − p)n−i .
i=k i! (n − i)!
(1.22)
•
(Justifique!)
Exercı́cio 1.42 — Compare a fiabilidade das estruturas em série e
•
paralelo descritas no Exemplo 1.41.
Exercı́cio 1.43 — Considere uma estrutura com 4 componentes que
funciona quando tal acontece com as componentes 1 e 4 e pelo menos
1 das duas restantes componentes se encontra operacional.
Obtenha a fiabilidade desta estrutura (Ross (2003, p. 556)).
•
Nota 1.44 — Cálculo da fiabilidade
De modo a calcular r(p) quando existem caminhos mı́nimos (cortes
mı́nimos) com componentes em comum é necessário:
• em primeiro lugar, multiplicar todos os termos de φ(X);
• tirar partido do facto de Xi
indep
∼ Bernoulli(pi ) e Xik =st Xi ,
k ∈ IN de modo a reescrever φ(X);
• por fim, calcular os valores esperados de todas as parcelas de
φ(X).
20
O cálculo exacto da fiabilidade pode fazer-se também por recurso
a uma soma envolvendo todos os 2n vectores x:
r(p) = E[φ(X)]
=
X
φ(x) P (X = x)
x

=
X
φ(x)
x
=
n
Y

pxi i (1 − pi )1−xi 
i=1
X
P (X = x)
{x:φ(x)=1}

=
X
n
Y


pxi i (1 − pi )1−xi  .
(1.23)
{x:φ(x)=1} i=1
•
Exercı́cio 1.45 — Prove que a fiabilidade de uma estrutura do tipo
2−de−3, constituı́da por componentes independentes com fiabilidades
distintas p1 , p2 , p3 , é igual a p1 p2 + p1 p3 + p2 p3 − 2p1 p2 p3 (Ross (2003,
p. 555)).
Note também que
r(p) = E[1 − (1 − X1 X2 )(1 − X1 X3 )(1 − X2 X3 )]
6= 1 − E(1 − X1 X2 )E(1 − X1 X3 )E(1 − X2 X3 )]
= 1 − (1 − p1 p2 )(1 − p1 p3 )(1 − p2 p3 )
(1.24)
já que os caminhos mı́nimos têm componentes em comum e como tal
•
não são v.a. independentes.
Exercı́cio 1.46 — Obtenha agora a fiabilidade de uma estrutura 3 −
de − 4, constituı́da por componentes independentes com fiabilidades
distintas p1 , p2 , p3 , p4 (Ross (2003, p. 556)).
•
Exercı́cio 1.47 — Determine a fiabilidade do sistema em ponte já
descrito (Gertsbakh (1995, p. 10)).
21
•
A fiabilidade de sistemas coerentes com componentes independentes
possui entre outras caracterı́sticas as enunciadas a seguir.
Teorema 1.48 — Monotonia da fiabilidade
Seja r(p) a fiabilidade de um sistema com componentes independentes
e função de estrutura monótona. Então r(p) é uma função monótona
crescente de p.
•
Exercı́cio 1.49 — Demonstre o Teorema 1.48.6
•
Teorema 1.50 — Decomposição fulcral (pivotal decomposition)
da fiabilidade
À semelhança do que acontece com a função de estrutura, a fiabilidade
de um sistema pode ser decomposta do seguinte modo
r(p) = pi r(1i , p) + (1 − pi ) r(0i , p)
(1.25)
onde: (1i , p) = (p1 , . . . , pi−1 , 1, pi+1 , . . . , pn ) e (0i , p) = (p1 , . . . , pi−1 , 0,
pi+1 , . . . , pn ); r(1i , p) representa a fiabilidade de um sistema cuja
componente i foi substituı́da por outra absolutamente fiável; r(0i , p)
representa a fiabilidade do sistema cuja componente i já falhou.
•
O Teorema 1.50 permite concluir que r(p) é multilinear, ou seja, é
linear em cada pi . Para além disso, quando p1 = . . . = pn = p, r(p) é
um polinómio em p.
O exercı́cio seguinte ilustra a utilidade da decomposição fulcral da
fiabilidade.
6
Para mais detalhes acerca desta demonstração, consulte-se Ross (2003, p. 557).
22
Exercı́cio 1.51 — Considere o sistema de (re)distribuição de água
a três cidades a partir de uma central de fornecimento de água W ,
descrito do Exercı́cio 1.32.
Obtenha a fiabilidade deste sistema recorrendo para tal a
•
decomposições fulcrais (Gertsbakh (1995, pp. 11–12)).
Teorema 1.52 — Outra
propriedade
de
monotonia
da
fiabilidade
Seja r(p) a fiabilidade de uma estrutura coerente.
Então r(p) é
estritamente crescente para qualquer pi e para 0 p 1.7
•
Definição 1.53 — Replicação de componentes/sistemas
Sejam:
• r a fiabilidade de um sistema de ordem n;
• p e p0 dois vectores das fiabilidades das componentes.
Então:
• Replicação ao nı́vel das componentes — Um sistema dizse replicado ao nı́vel das componentes, caso qualquer das suas
componentes i (i = 1, . . . , n) seja substituı́da por um (sub)sistema em paralelo com duas componentes independentes com
probabilidades de funcionamento iguais a pi e p0i .
• Replicação ao nı́vel do sistema — Ao substituir-se um sistema
por outro dois similares colocados em paralelo, cujos vectores
de fiabilidade das componentes são dados por p e p0 , diz-se ter
efectuado uma replicação ao nı́vel do sistema.
7
a b ⇔ ai < bi , i = 1, . . . , n.
23
•
Exercı́cio 1.54 — Sejam:
• r a fiabilidade de um sistema coerente com componentes
independentes;
• p e p0 os vectores das fiabilidades das componentes e das
componentes resultantes da replicação, respectivamente.
Prove que uma replicação ao nı́vel do sistema está associada à
fiabilidade
1 − [1 − r(p)][1 − r(p0 )].
(1.26)
Demonstre ainda que, ao efectuar uma replicação ao nı́vel das
componentes, passa-se a lidar com um sistema com fiabilidade igual a
r[1 − (1 − p) • (1 − p0 )],
(1.27)
onde a operação • representa o produto componente a componente
entre dois vectores e 1 − (1 − pi )(1 − p0i ) representa a fiabilidade do
subsistema resultante da replicação da componente i. (Para mais
•
detalhes, Ross (2003, p. 557).)
Exercı́cio 1.55 — Calcule a fiabilidade de um sistema em série com
duas componentes (independentes e com fiabilidade pi = p0i = 0.5) e
compare-a com as fiabilidades do sistema replicado ao nı́vel do sistema
e das componentes (Ross (2003, p. 558)). Comente.
•
O exercı́cio sugere o seguinte resultado, que, por sinal, responde
a uma questão pertinente — O que será preferı́vel, caso se pretenda
maximizar a fiabilidade do sistema,
• a replicação ao nı́vel das componentes ou
• a replicação ao nı́vel do sistema?
24
Teorema 1.56 —
Fiabilidade
face
à
replicação
de
componentes/sistemas
Sejam:
• r a fiabilidade de um sistema coerente com componentes
independentes;
• p e p0 os vectores das fiabilidades das componentes e das
componentes resultantes da replicação, respectivamente.
Então
r[1 − (1 − p) • (1 − p0 )] ≥ 1 − [1 − r(p)][1 − r(p0 )],
(1.28)
i.e., a replicação ao nı́vel das componentes é preferı́vel à replicação ao
nı́vel do sistema.
•
Exercı́cio 1.57 — Prove o Teorema 1.56 (Ross (2003, p. 558)).
•
Exercı́cio 1.58 — Determine a fiabilidade de um sistema com três
componentes, que está operacional, caso a componente 1 funcione e
o mesmo aconteça com a componente 2 ou a 3. Ilustre graficamente
o resultado do Teorema 1.56 considerando replicações ao nı́vel das
componentes e do sistema e pi = p0i = p, i = 1, . . . , n (Barlow e
•
Proschan (1975, p. 23)).
Ao estudar-se a função de estrutura definiu-se a importância
estrutural da componente i de um sistema. É altura de definir a
importância da fiabilidade da componente i de um sistema.
25
Definição 1.59 — Importância da fiabilidade da componente
i
Analogamente pode falar-se na importância da fiabilidade da
componente i de um sistema que, ao recorrer-se-á decomposição fulcral
da fiabilidade, se escreve:
∂r(p)
Ir (i) =
∂pi
= r(1i , p) − r(0i , p)
= E[φ(1i , X)] − E[φ(0i , X)].
(1.29)
•
Exercı́cio 1.60 — Admita que as n componentes de um sistema
foram numeradas por ordem crescente da sua fiabilidade: p1 ≤ . . . ≤
pn . Determine a importância da fiabilidade das componentes de um
sistema em série e compare-as.
Repita os cálculos para um sistema em paralelo e de seguida para um
sistema 2 − de − 3 (Barlow e Proschan (1975, pp. 27–28)).
•
Nota 1.61 — Importância da fiabilidade da componente i
A importância da fiabilidade da componente i pode ser usada para
avaliar o impacto de uma alteração da fiabilidade (pi ) de tal
componente na fiabilidade do sistema.
Com efeito,
∆r(p) '
n
X
Ir (i) ∆pi
(1.30)
i=1
representa a perturbação na fiabilidade do sistema devido a
perturbações ∆pi nas fiabilidades das componentes.
•
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 20–28); Gertsbakh
(1995, pp. 9–16); Ross (1993, pp. 411-5); Ross (2003, pp. 554-8).
26
1.6
Associação e limites para a fiabilidade
A obtenção de expressões e valores exactos para a fiabilidade nem
sempre é tarefa fácil. Por esta razão serão adiantados alguns limites
inferiores e superiores para esta quantidade, limites esses grosseiros
mas fáceis de obter e muitas vezes utilizados pelos fabricantes, na
informação dada ao cliente.
Antes de os enunciar e refinar, será necessária uma definição.
Definição 1.62 — Variáveis associadas (positivamente)
As v.a. T1 , . . . , Tn (não necessariamente binárias) dizem-se associadas
(positivamente) sse
cov(Γ(T), ∆(T)) ≥ 0
(1.31)
•
para qualquer par de funções binárias Γ e ∆.
As v.a. independentes são, por sinal, associadas (positivamente).
Teorema 1.63 — Limites para a fiabilidade
Caso X1 , . . . , Xn sejam v.a. binárias associadas (positivamente), temse:
P ( min Xi = 1) ≥
i=1,...,n
n
Y
P (Xi = 1)
P ( max Xi = 1) ≤ 1 −
i=1,...,n
(1.32)
i=1
n
Y
[1 − P (Xi = 1)].
(1.33)
i=1
•
Nota 1.64 — Limites para a fiabilidade
Pode concluir-se que, ao assumir-se que as componentes de um
sistema em série são independentes quando de facto são associadas
(positivamente), subestimar-se-á a fiabilidade do sistema, ou seja,
27
estar-se-á a atribuir um valor à fiabilidade inferior ou igual ao seu
verdadeiro valor.
O resultado inverte-se para um sistema em paralelo.
•
Teorema 1.65 — Limites para a fiabilidade
Seja r(p) a fiabilidade de sistema constituı́do por componentes
associadas (positivamente). Então:
n
Y
pi ≤ r(p) = P [φ(X) = 1] ≤ 1 −
i=1
n
Y
(1 − pi ).
(1.34)
i=1
Estes limites para a fiabilidade podem ser melhorados caso se
lide com sistema coerente, constituı́do por componentes associadas
(positivamente), e com caminhos mı́nimos P1 , . . . , Pp e cortes mı́nimos
K1 , . . . , Kq :
q
Y
P [kj (X) = 1] ≤ r(p)
j=1
p
Y
≤ 1−
{1 − P [ρj (X) = 1]}.
(1.35)
j=1
onde, recorde-se,
ρj (x) = min xi =
i∈Pj
Y
xi
Y
kj (x) = max xi = 1 −
i∈Kj
(1.36)
i∈Pj
(1 − xi ).
(1.37)
i∈Kj
•
Nota 1.66 — Limites para a fiabilidade em termos de
caminhos/cortes mı́nimos
(1.34) pode traduzir-se do seguinte modo:
a fiabilidade de um
sistema com componentes associadas (positivamente) é enquadrada
pela fiabilidade de sistemas em série e em paralelo com componentes
independentes.
28
Por seu lado, (1.35) corresponde ao enquadramento da fiabilidade
de um sistema coerente com componentes associadas (positivamente)
pela fiabilidade de um sistema em série (paralelo) constituı́do por subsistemas em paralelo (série) cujas componentes pertencem a cortes
•
(caminhos) mı́nimos.
Exercı́cio 1.67 — Obtenha os limites inferiores e superiores,
definidos em (1.34), para a fiabilidade de uma estrutura em ponte
com componentes independentes e com fiabilidade comum pi = p
(p = 0.9, 0.95, 0.99). Compare os limites obtidos com os da fiabilidade
•
desta estrutura. Comente.
Os limites para a fiabilidade podem ser explicitados à custa das
fiabilidades das componentes quando estas são independentes como se
verá de seguida.
Teorema 1.68 — Limites para a fiabilidade em termos de
caminhos/cortes mı́nimos
Seja r(p) a fiabilidade de um sistema com componentes independentes.
Então:

q
Y 
1
j=1

−
Y
(1 − pi ) ≤ r(p) ≤ 1 −
i∈Kj

p
Y 
1
j=1

−
Y
.
pi 
(1.38)
i∈Pj
•
Exercı́cio 1.69 — Considere a rede com dois terminais
29
descrita pela Figura 2.3.1 de Barlow e Proschan (1975, p. 35).
Obtenha um limite inferior e outro superior para a fiabilidade
deste sistema assumindo que as suas componentes são independentes
•
e possuem todas fiabilidade igual a p.
Tirando partido do facto de a função de estrutura se poder escrever
do seguinte modo
φ(x) = max ρj (x) = max min xi
(1.39)
φ(x) = min kj (x) = min max xi ,
(1.40)
j=1,...,p
j=1,...,p i∈Pj
j=1,...,q
j=1,...,q i∈Kj
podem adiantar-se limites adicionais para a fiabilidade de um sistema.
Teorema 1.70 — Limites Min-Max para a fiabilidade
Seja r(p) a fiabilidade de um sistema coerente. Então a fiabilidade
pode ser enquadrada da seguinte forma
max P (min Xi = 1) ≤ r(p) ≤ min P (max Xi = 1).
j=1,...,p
Se
para
j=1,...,q
i∈Pj
além
disso
as
i∈Kj
componentes
estiverem
(1.41)
associadas
(positivamente), tem-se

max
Y
j=1,...,p i∈P
j
pi ≤ r(p) ≤ min
j=1,...,q

1

−
Y
(1 − pi ) .
(1.42)
i∈Kj
•
Exercı́cio 1.71 — Obtenha os limites enunciados no teorema
anterior para os seguintes sistemas com componentes associadas e com
pi = p:
a) sistema de alta fidelidade descrito no Exercı́cio 1.12 e na Figura
1.1.4 de Barlow e Proschan (1975, p. 4);
30
•
b) sistema em ponte.
Exercı́cio 1.72 — Considere um sistema 2−de−3 com componentes
independentes, possuindo cada uma delas fiabilidade p.
Compare os limites em (1.38) e os limites Min-Max (1.42) e
identifique as gamas de valores de p para os quais é preferı́vel usar
•
os limites Min-Max.
Em Ross (2003, pp. 560–568) pode encontrar-se a descrição de um
método alternativo para a obtenção de limites inferiores e superiores
para a fiabilidade: o método da inclusão e exclusão.
Este método baseia-se numa fórmula bem conhecida da reunião dos
eventos E1 , . . . , En ,
P
(∪ni=1 Ei )
=
n
X
P (Ei ) −
XX
P (Ei ∩ Ej )
i=1
i<j
X X X
P (Ei ∩ Ej ∩ Ek )
+
i<j<k
− . . . + (−1)n+1 P (E1 ∩ E1 ∩ . . . ∩ En ),
(1.43)
e, em particular, nas seguintes desigualdades:
P
(∪ni=1 Ei )
≤
P (∪ni=1 Ei ) ≥
P (∪ni=1 Ei ) ≤
n
X
i=1
n
X
i=1
n
X
P (Ei )
P (Ei ) −
(1.44)
XX
P (Ei ∩ Ej )
(1.45)
i<j
P (Ei ) −
XX
i=1
i<j
X X X
P (Ei ∩ Ej )
P (Ei ∩ Ej ∩ Ek )
+
i<j<k
≥ ...
≤ ...
31
(1.46)
Teorema 1.73 — Limites para a fiabilidade pelo método da
inclusão e exclusão
Sejam:
• r(p) a fiabilidade de um sistema coerente;
• Pi (i = 1, . . . , p) os caminhos mı́nimos;
• Ei o evento que representa o funcionamento de todas as
componentes que pertencem ao caminho mı́nimo Pi ;
• Ki (i = 1, . . . , q) os cortes mı́nimos;
• Fi o evento que representa o não funcionamento de todas as
componentes que pertencem ao corte mı́nimo Ki .
Então

r(p) = P
1 − r(p) = P
p
[


(1.47)
Ei 
i=1


q
[

Fi  ,
i=1
(1.48)
pelo que pode adiantar-se que a fiabilidade pode ser enquadrada da
seguinte forma:
r(p) ≤
r(p) ≥
r(p) ≤
p
X
i=1
p
X
i=1
p
X
P (Ei )
P (Ei ) −
(1.49)
XX
P (Ei ∩ Ej )
(1.50)
i<j
P (Ei ) −
XX
P (Ei ∩ Ej )
i=1
i<j
X X X
P (Ei ∩ Ej ∩ Ek ),
+
(1.51)
i<j<k
onde
P (Ei ∩ Ej ) =
Y
pl ,
(1.52)
l∈Pi ∪Pj
32
1 − r(p) ≤
1 − r(p) ≥
1 − r(p) ≤
q
X
i=1
q
X
i=1
q
X
P (Fi )
P (Fi ) −
(1.53)
XX
P (Fi ∩ Fj )
(1.54)
i<j
P (Fi ) −
XX
P (Fi ∩ Fj )
i=1
i<j
X X X
P (Fi ∩ Fj ∩ Fk )
+
(1.55)
i<j<k
onde
P (Fi ∩ Fj ) =
Y
(1 − pl ).
(1.56)
l∈Ki ∪Kj
•
Exercı́cio 1.74 — Baseie-se no teorema anterior de modo a obter
limites inferiores e superiores para a fiabilidade de um sistema em
ponte constituı́do por componentes independentes com fiabilidades
pi = p (Ross (2003, p. 563)).
Compare estes limites com os obtidos para o mesmo sistema no
Exercı́cio 1.71.
pp. 559–571).
33
Capı́tulo 2
Estatı́sticas ordinais e tempos de
vida de estruturas usuais em
fiabilidade
2.1
Introdução
Antes de nos debruçarmos sobre as estatı́sticas ordinais e a sua
pertinência no contexto da fiabilidade convém referir que, numa
perspectiva dinâmica/temporal, devem considerar-se as seguintes
quantidades importantes.
Definição informal 2.1 — Tempo de vida da componente i
A componente i vê o seu tempo de vida (tempo até falha) representado
por Ti . Trata-se de uma v.a. não negativa.
•
Definição informal 2.2 — Tempo de vida do sistema
É representado por T e depende (exclusivamente) das durações de vida
das n componentes, i.e., de T1 , . . . , Tn .
•
Definição 2.3 — Função de fiabilidade (de um sistema)
Expressa a probabilidade do sistema desempenhar as funções
requeridas sob certas condições num intervalo de tempo fixo,
34
usualmente [0, t]. Esta função é usualmente representada por R(t)
(ou RT (t)) e assume-se que R(0) = 1.
Do ponto de vista qualitativo a fiabilidade pode ser definida como a
capacidade de um sistema se manter funcional sem interrupções (pelo
menos) até ao instante t.1 Logo, corresponde à função de sobrevivência
de T , i.e.,
RT (t) = F T (t) = 1 − FT (t) = P (T > t).
(2.1)
•
Motivação 2.4 — Importância das estatı́sticas ordinais em
fiabilidade
Prende-se essencialmente com dois factos:
• o tempo de vida T de uma estrutura pode exprimir-se como
função de estatı́sticas ordinais envolvendo os tempos de vida das
componentes da estrutura, T1 , . . . , Tn ;
• em testes de vida/análise de sobrevivência é usual inferir sobre
parâmetros de T usando amostras censuradas, donde se faça
uso de verosimilhanças que estão associadas à f.d.p. de certo
número de estatı́sticas ordinais.
•
Ao assumir-se que os tempos de vida T1 , . . . , Tn são v.a. i.i.d.
com f.d. comum F (t) = P (Ti ≤ t), i = 1, . . . , n, pode obter-se a
função de fiabilidade (ou sobrevivência) RT (t) = P (T > t) de algumas
estruturas usuais em fiabilidade sem grande dificuldade.
1
Isto não significa que as “partes redundantes”do sistema não possam falhar e ser reparadas.
35
Exemplo 2.5 — Tempo de vida de estrutura em série
É sabido que uma estrutura em série funciona sse o mesmo ocorrer
com todas as suas componentes. Assim, o tempo de vida corresponde
à estatı́stica ordinal
T = min{T1 , . . . , Tn } = T(1)
(2.2)
e a função de fiabilidade é dada por
RT (t) = P (Ti > t, i = 1, . . . , n)
= [F (t)]n
= [R(t)]n ,
(2.3)
onde F (t) = 1 − F (t) = R(t).
•
Exemplo 2.6 — Tempo de vida de estrutura em paralelo
Uma estrutura em paralelo funciona desde que pelo menos uma das
suas componentes funcione, pelo que o tempo de vida da estrutura é
a estatı́stica ordinal
T = max{T1 , . . . , Tn } = T(n)
(2.4)
e a função de fiabilidade associada igual a
RT (t) = 1 − P (Ti ≤ t, i = 1, . . . , n)
= 1 − [F (t)]n
= 1 − [1 − R(t)]n .
(2.5)
•
Exemplo 2.7 — Tempo de vida de estrutura k-de-n
O tempo de vida de uma estrutura k − de − n também está associado
a uma estatı́stica ordinal:
T = T(n−k+1) .
(2.6)
36
Ao considerar-se k = n (resp. k = 1) lida-se com o tempo de vida de
uma estrutura em série (resp. paralelo).
A função de fiabilidade de T obtém-se recorrendo à seguinte v.a.
auxiliar:
Zt = número de Ti0 s > t ∼ binomial(n, F (t)).
(2.7)
Com efeito, a função de fiabilidade de uma estrutura k − de − n pode
escrever-se à custa da f.d. da v.a. auxiliar com distribuição binomial:
RT (t) = P (Zt ≥ k)
= 1 − P (Zt ≤ k − 1)
= 1 − Fbinomial(n,F (t)) (k − 1)
= P (n − Zt ≤ n − k)
= Fbinomial(n,F (t)) (n − k).
(2.8)
•
Nota 2.8 — Importa notar que a função de fiabilidade de um sistema
de ordem n, coerente e com componentes independentes pode escreverse à custa da fiabilidade do sistema (r) e das funções de fiabilidade
das componentes (R1 (t), . . . , Rn (t)):
RT (t) = r(p(t)) = r((R1 (t), . . . , Rn (t))).
(2.9)
•
Exercı́cio 2.9 — Determine a função de fiabilidade de uma estrutura
2 − de − 3 com componentes independentes e função de fiabilidade
comum F (t), recorrendo a (2.8) e a (2.9).
•
Exercı́cio 2.10 — Obtenha as funções de fiabilidade de estruturas
em série e em paralelo, assumindo que os tempos de vida possuem
distribuições distintas embora independentes.
37
•
Exercı́cio 2.11 — Considere um sistema em série constituı́do por n
componentes independentes. Determine a função de fiabilidade do
sistema considerando que o tempo de vida da componente i possui
distribuição:
a) exponencial(λi ), i.e., FTi (t) = 1 − exp(−λi t), t ≥ 0;
b) Uniforme(0, θ), i.e., fTi (t) = θ−1 , 0 ≤ t ≤ θ;
c) Weibull(λ, β), i.e., FTi (t) = 1 − exp[−(t/λ)β ], t ≥ 0.
•
Deduza agora a função de fiabilidade dos sistemas em paralelo com
•
componentes com as distribuições acima.
Nota 2.12 — Obtenção do valor esperado e variância à custa
da função de fiabilidade
Tratando-se a vida T de uma v.a. não negativa, pode adiantar-se que:
E(T ) =
Z ∞
0Z
E(T 2 ) = 2
V (T ) = 2
RT (t)dt
∞
0
Z ∞
0
(2.10)
t RT (t)dt
t RT (t)dt −
(2.11)
Z ∞
0
2
RT (t)dt
.
(2.12)
•
Exercı́cio 2.13 — Defina a vida do sistema descrito pela Figura 1.5
de Gertsbakh (1995, pp. 15–16) e determine a sua função de fiabilidade.
38
Calcule o valor esperado e variância do tempo de vida do sistema na
situação em que os tempos de vida das componentes são independentes
•
e possuem distribuição exponencial(1).
Exercı́cio 2.14 — Obtenha o valor esperado do tempo de vida de um
sistema em série com três componentes independentes e distribuı́das
•
uniformemente no intervalo (0, 10).
Exercı́cio 2.15 — Obtenha a função de fiabilidade do sistema
descrito na Figura 1.7 de Gertsbakh (1995, p. 29), considerando que
os tempos de vida das 5 componentes são independentes e possuem
distribuição exponencial(λi ).
Calcule o valor esperado do tempo de vida deste sistema.
•
Exercı́cio 2.16 — Um sistema tem a configuração descrita pela
Figura 1.11 de Gertsbakh (1995, p. 32), i.e., dois módulos em paralelo,
com n e m componentes independentes dispostas em série.
Deduza
as
a
função
componentes
módulos
possuam
de
do
fiabilidade
primeiro
com
RT (t),
caso
(segundo)
dos
distribuição
(exponencial(µ)). Obtenha também E(T ) e V (T ).
exponencial(λ)
•
Textos de apoio: Gomes e Barão (1999, pp. 140–3); Ross (2003,
pp. 571–586).
39
2.2
Associação e limites para a função de
fiabilidade
Ao contrário do que seria de esperar, não abundam expressões para
limites inferiores e superiores para a função de fiabilidade.
Antes de os enunciar é necessário relembrar que as v.a. contı́nuas
T1 , . . . , Tn dizem-se associadas (positivamente) sse cov(Γ(T), ∆(T)) ≥
0 para qualquer par de funções binárias Γ e ∆.
Teorema 2.17 — Limites para a função de fiabilidade
Para v.a. T1 , . . . , Tn associadas (positivamente) não necessariamente
binárias, tem-se
P (T1 > t1 , . . . , Tn > tn ) ≥
P (T1 ≤ t1 , . . . , Tn ≤ tn ) ≥
n
Y
i=1
n
Y
P (Ti > ti )
(2.13)
P (Ti ≤ ti ).
(2.14)
i=1
Consequentemente tem-se, para sistemas em série e paralelo:
RT(1) (t) = P ( min Ti > t) ≥
i=1,...,n
n
Y
P (Ti > t)
(2.15)
i=1
RT(n) (t) = P ( max Ti > t) ≤ 1 −
i=1,...,n
n
Y
[1 − P (Ti > t)]
(2.16)
i=1
•
Nota 2.18 — Limites para a função de fiabilidade
Ao assumir-se que as componentes de um sistema em série são
independentes quando de facto são associadas (positivamente),
subestimar-se-á a função de fiabilidade do sistema, i.e., estar-se-á
a atribuir um valor à função de fiabilidade inferior ou igual ao seu
verdadeiro valor.
O resultado inverte-se para um sistema em paralelo.
40
•
Teorema 2.19 — Limites para a função de fiabilidade
Seja RT (t) a função de fiabilidade de um sistema constituı́do
por componentes com tempos de vida T1 , . . . , Tn associados
(positivamente) e com funções de fiabilidade R1 (t), . . . , Rn (t). Então
a função de fiabilidade verifica
n
Y
i=1
Ri (t) ≤ RT (t) ≤ 1 −
n
Y
[1 − Ri (t)].
(2.17)
i=1
•
Nota 2.20 — Limites para a função de fiabilidade
O resultado (2.17) traduz-se do seguinte modo: a função de fiabilidade
de um sistema nas condições do Teorema 2.19 é superior (inferior) à
de um sistema em série (paralelo) com componentes independentes. •
Exercı́cio 2.21 — Obtenha limites para a função de fiabilidade de
um sistema 2−de−3 com componentes associadas e exponencialmente
distribuı́das com tempo esperado de vida igual a λ−1 .
Elabore um gráfico com estes limites e com a função de fiabilidade
de um sistema 2 − de − 3 com componentes i.i.d. a Exp(λ).
•
Teorema 2.22 — Outros limites para a função de fiabilidade
Sejam:
• RT (t) a função de fiabilidade de um sistema coerente constituı́do
por componentes com tempos de vida T1 , . . . , Tn associados
(positivamente) e com funções de fiabilidade R1 (t), . . . , Rn (t);
• Pj (j = 1, . . . , p) e Kj (j = 1, . . . , q) os caminhos mı́nimos e os
cortes mı́nimos deste sistema.
41
Então a função de fiabilidade pode ser enquadrada do seguinte modo:
max


 Y
j=1,...,p 
i∈P
j







j=1,...,q 

Ri (t) ≤ RT (t) ≤ min
1−
Y
i∈Kj



[1 − Ri (t)] . (2.18)

•
Exercı́cio 2.23 — Retome o Exercı́cio 2.21 e obtenha novos limites
para a função de fiabilidade do sistema.
Elabore um gráfico que permita confrontar estes limites com os
•
obtidos naquele exercı́cio.
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 29–39, 150).
42
2.3
Mecanismos de censura
Nesta secção pretende ilustrar-se brevemente de que modo as
estatı́sticas ordinais (para além do máximo e do mı́nimo) são úteis
em fiabilidade, nomeadamente na estimação de parâmetros.
Este tema será aprofundado no Capı́tulo 5 aquando da discussão
de inferências sobre modelos para diferentes tipos de ensaio ou teste.
Em fiabilidade é frequente recolher dados/tempos de avaria de
equipamento e será com este tipo de dados que se introduzirá a noção
de censura/dados censurados.
Ao colocar-se em teste n componentes/equipamentos, com o
objectivo de inferir sobre o tempo de vida dessas componentes —
naquilo que se designa usualmente por teste de vida —, pode recolherse todos os instantes de avaria das componentes, t1 , . . . , tn .
Pode também optar-se pelo registo do instante da primeira avaria,
t(1) , da segunda avaria, t(2) , e assim por diante, sem se ter em
consideração quais das componentes avariaram. Está-se neste caso
a registar as observações de estatı́sticas ordinais, T(1) , T(2) , . . . , T(n) ,
e não as concretizações das v.a.s T1 , T2 , . . . , Tn .
Uma das vantagens do registo destas observações ordenadas prendese com o facto de o teste de vida poder terminar antes que todas as
componentes avariem sem que se perca muita informação, poupandose no entanto muito tempo de teste.
A este tipo de recolha de informação denomina-se de amostragem
censurada.
Por exemplo, 90% das lâmpadas colocadas em teste pode fundirse ao fim de um ano e algumas das restantes poderão vir a fundir-se
somente daı́ a três anos...
43
As inferências sobre o tempo de vida dessas componentes podem
basear-se directamente em estatı́sticas ordinais (T(1) , T(2) , . . . , T(n) ). E
uma vez que estas são função da amostra aleatória (T1 , T2 , . . . , Tn )
pode obter-se a f.d.p. conjunta de (T(1) , T(2) , . . . , T(n) ) do seguinte
modo.
Teorema 2.24 — Densidade conjunta das estatı́sticas ordinais
Seja (T1 , T2 , . . . , Tn ) uma amostra aleatória de dimensão n proveniente
da população com f.d.p. f (t) e f.d. F (t). Então a f.d.p. conjunta das
estatı́sticas ordinais (T(1) , T(2) , . . . , T(n) ) — ou mais convenientemente
T1:n , T2:n , . . . , Tn:n — é dada por
fT1:n ,T2:n ,...,Tn:n (t1:n , t2:n , . . . , tn:n ) = n!
n
Y
f (ti:n ),
(2.19)
i=1
para −∞ < t1:n < t2:n < . . . < tn:n < ∞.
•
Lidaremos com dados completos, caso se recolha os instantes de
avaria de todos os sistemas/componentes, e com dados incompletos
ou censurados, caso contrário. A seguir descrevem-se dois tipos de
censura de dados.
Definição informal 2.25 — Censura do Tipo I
Ao decidir-se concluir o teste de vida ao fim de tempo fixo t0 dir-se-á
que foi efectuada censura do Tipo I à direita.
•
Definição informal 2.26 — Censura do Tipo II
Caso se decida terminar o teste de vida após o registo das primeiras
r observações ordenadas, t1:n , . . . , tr:n , dir-se-á que foi efectuada
•
censura do tipo II à direita.
44
Nota 2.27 — Censuras dos Tipos I e II
Ao adoptar-se censura do Tipo I o número de tempos de vida
registados é uma v.a. (Qual é a sua distribuição e a probabilidade
de não serem registados quaisquer tempos de vida?)
Ao efectuar censura de Tipo II o número de observações a registar
é à partida fixo e igual a r mas a duração do teste é aleatória. (Qual
a duração do teste?)
A censura do tipo II à direita é de longe o tipo de censura mais
popular em testes de vida em fiabilidade.
O tempo esperado poupado, ao efectuar-se censura do tipo II à
direita, é igual a E(Tn:n − Tr:n ).
Factores como o custo das componentes em teste, a precisão
desejada para as inferências e o valor (monetário) que o tempo
poupado representa desempenham um papel crucial na escolha de r e
•
n.
Ao recorrer-se a dados completos a densidade conjunta é igual
f(T1 ,...,Tn ) (t1 , . . . , tn ) =
n
Y
f (ti )
(2.20)
i=1
Os dois teoremas seguintes adiantam para já as densidades conjuntas
(verosimilhanças) caso se efectue censuras do Tipo I e II.
Teorema 2.28 — Densidade conjunta na presença de censura
do Tipo I
Suponha-se que foi efectuada censura de Tipo I à direita no instante
t0 . E seja R o número aleatório de observações registadas até t0 e r o
número de estatı́sticas efectivamente observadas até t0 .
Então
a
f.d.p.
conjunta
(verosimilhança),
f(T1:n ,...,Tr:n ) (t1:n , . . . , tr:n ) ≡ f (t1:n , . . . , tr:n ), é neste caso dada por
45
f (t1:n , . . . , tr:n ) = h(t1:n , . . . , tr:n | R = r) × P (R = r)
r f (t )
Y
i:n
= r!
i=1 F (t0 )


×
n
r



[F (t0 )]r [1 − F (t0 )]n−r ,
(2.21)
para −∞ < t1:n < . . . < tr:n < t0 < ∞ e r = 1, . . . , n. (Justifique!) •
Teorema 2.29 — Densidade conjunta na presença de censura
do Tipo II
Suponha-se agora que foi efectuada censura de Tipo II à direita. Então
a f.d.p. conjunta (verosimilhança) é, para −∞ < t1:n < . . . < tr:n < ∞
e r = 1, . . . , n, igual a


r
n!  Y
f (ti:n ) × [1 − F (tr:n )]n−r . (2.22)
f (t1:n , . . . , tr:n ) =
(n − r)! i=1
•
(Justifique!)
Exercı́cio 2.30 — Admita que foram submetidas a teste n
componentes com tempos de vida i.i.d. a exponencial(λ) e que se
efectuou censura do Tipo II. Obtenha a estimativa (estimador) de
máxima verosimilhança de λ e compare-a com a que obteria com caso
dispusesse de dados completos (Gomes e Barão (1999, pp. 150–151). •
A caracterização e as propriedades do estimador de λ obtido no
Exercı́cio 2.30 serão estudadas posteriormente.
Textos de apoio: Bain (1991, pp. 49–53); Gomes e Barão (1999,
pp. 149–152).
46
Capı́tulo 3
Envelhecimento estocástico e
função taxa de falha
3.1
Função taxa de falha
Nesta secção discutir-se-á a caracterização
envelhecimento
de
qualquer
estocástica do
material/estrutura/dispositivo,
caracterização essa de importância crucial no domı́nio da fiabilidade.
Os materiais/estruturas/dispositivos podem “falhar”de diversos
modos. Basta pensar em:
• falhas (estáticas) aquando de fractura devida a esforço;
• corrosão quı́mica de materiais;
• falhas de equipamento electrónico devido a alterações de
temperatura, humidade ou manufactura deficiente.
De forma a distinguir as diversas funções (densidade) de
probabi-lidade (quando tal distinção não é passı́vel de ser feita com
base nas observações dos tempos até falha) apelar-se-á à noção de
função taxa de falha (hazard rate function ou failure rate function),
que é uma forma matemática de descrever o envelhecimento —
47
e corresponde ao que em análise de sobrevivência se designa por
força de mortalidade (instantânea).
Na definição de função taxa de falha de uma v.a. considerar-se-á que
esta é não negativa e distinguir-se-á o caso contı́nuo do caso discreto.
Definição 3.1 — Função taxa de falha (caso contı́nuo)
Seja T uma v.a. contı́nua não negativa, com f.d.p. e f.d. iguais a
fT (t) e FT (t), respectivamente. Então a função taxa de falha de T
é dada por
λT (t) =
fT (t)
.
RT (t)
(3.1)
•
Nota 3.2 — Função taxa de falha (caso contı́nuo)
Admita-se que T representa a duração de vida de uma estrutura.
Então a função taxa de falha possui um significado probabilı́stico
especı́fico:
P (t < T ≤ t + dt|T > t)
.
dt→0
dt
λT (t) = lim
(3.2)
Assim, λT (t)dt está associada à probabilidade condicional de um item
com idade t (t > 0) vir a falhar no intervalo (t, t + dt].
•
Proposição 3.3 — Funções taxa de falha e fiabilidade
A função de fiabilidade (ou sobrevivência) da v.a. T contı́nua não
negativa pode definir-se à custa da função taxa de falha:
RT (t) = exp{−
Z t
0
λT (u)du}.
(3.3)
onde o integral representa aquilo que, em análise de sobrevivência, se
designa de função hazard cumulativa.
48
•
Exercı́cio 3.4 — Após estudos preliminares, um engenheiro afirmou
que a duração da componente electrónica por ele construı́da possui
duração que podia ser muito bem representada por uma v.a. T cuja
função taxa de falha é constante e igual a µ, t ≥ 0.
•
Identifique a distribuição de T .
Exercı́cio 3.5 — Determine a função de fiabilidade de um sistema
cuja função taxa de falha é:
a) λT (t) = αt, t ≥ 0, α > 0;
b) λT (t) = α0 + α1 t, t ≥ 0, α0 ≥ 0, α1 > 0.
•
Exercı́cio 3.6 — Calcule a função de fiabilidade de um instrumento
cuja duração possui função taxa de falha igual a







0,
0≤t≤a
λT (t) =  β,
a<t≤b





βe(t−b)/c , t > b (c ≥ 0)
(3.4)
•
Exercı́cio 3.7 — A função taxa de falha duma componente mecânica
é constante e igual 0.005.
Suponha que a componente vai ser precisa para um serviço de
250 horas. Calcule a probabilidade da componente falhar durante
•
o serviço.
Exercı́cio 3.8 — Um consumidor pretende adquirir componentes
electrónicas com a seguinte especificação:
a fiabilidade de cada
componente deve ser de pelo menos 95% num perı́odo de
funcionamento de 500 dias.
Supondo que a taxa de falha da componente é constante, calcule a
vida esperada mı́nima da componente.
49
•
Exercı́cio 3.9 — Diz-se que a força de mortalidade dum fumador é,
para qualquer idade, o dobro da de um não fumador.
Qual o significado desta afirmação?
Quererá dizer que a
probabilidade do fumador sobreviver t anos corresponde a metade da
mesma probabilidade calculada para um não fumador?
•
Definição 3.10 — Função taxa de falha (caso discreto)
Seja T uma v.a. discreta não negativa. Então T possui função
taxa de falha definida por
λT (t) =
P (T = t)
.
P (T ≥ t)
(3.5)
•
Nota 3.11 — Função taxa de falha (caso discreto)
Observe-se que, ao contrário da definição de taxa de falha no caso
contı́nuo, no denominador não figura P (T > t). Caso tal ocorresse,
qualquer v.a.
T discreta não negativa, com contradomı́nio finito
{t1 , . . . , tn } (onde t1 < . . . < tn ) não possuı́ria função taxa de falha
definida no ponto tn .
Considere-se que a v.a. inteira não negativa T representa o número
de ciclos de vida de uma estrutura. Então a função taxa de falha, por
se identificar com P (T = t|T ≥ t), coincide com a probabilidade da
vida dessa mesma estrutura terminar ao fim de exactamente t ciclos,
condicional ao facto de a estrutura ter sobrevivido a pelo menos t
•
ciclos.
Exercı́cio 3.12 — Obtenha e elabore o gráfico da função taxa de
•
falha da v.a. geométrica(p).
50
Exercı́cio 3.13 — Seja T uma v.a. discreta que toma valores inteiros
não negativos.
a) Determine a função P (T ≥ t) por intermédio da função taxa de
falha de T .
b) Exemplifique o resultado para o caso em que T ∼ geométrica(p).
c) Verifique que, caso T tome os valores não negativos {t1 , t2 , . . .}
(onde t1 < t2 < . . .), se tem
P (T ≥ t) =
Y
[1 − λT (tj )].
(3.6)
{j:tj <t}
•
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 9–18).
51
3.2
Monotonia da função taxa de falha
A tempo de vida pode estar associado a funções taxa de falha com os
comportamentos mais diversos:
• constantes — a estrutura não envelhece nem rejuvenesce com o
tempo;
• crescentes — a estrutura envelhece com o tempo;
• decrescentes — a estrutura rejuvenesce com o tempo;1
• não monótono — por exemplo, em forma de banheira
(bathtub), i.e., inicialmente decrescente (“infância”), seguida de
fase constante (“adolescência e idade adulta”), e por fim crescente
(“velhice”). Ver Figura 3.1.1 de Barlow e Proschan (1975, pp. 55–
56).
Definição 3.14 — Distribuições IHR e DHR
Considere-se a v.a. não negativa T . Então:
• T diz-se IHR (“Increasing Hazard Rate”)2 — escrevendo-se neste
caso T ∈ IHR — sse λT (t) for uma função monótona crescente
(em sentido lato);
• T diz-se DHR (“Decreasing Hazard Rate”)3 — escrevendo-se
neste caso T ∈ DHR — sse λT (t) for uma função monótona
decrescente (em sentido lato).
•
Exercı́cio 3.15 — Mostre que a função taxa de falha de uma duração
de vida com distribuição uniforme no intervalo [a, b] é crescente.
1
•
Certos materiais, como o aço, aumentam de resistência à medida que vão sendo trabalhados.
Ou IFR (“Increasing Failure Rate”).
3
Ou DFR (“Decreasing Failure Rate”).
2
52
Exercı́cio 3.16 — a) Obtenha e elabore alguns gráficos da função
taxa de falha das seguintes distribuições:
1. Poisson
2. Weibull.
b) Classifique estas distribuições quanto ao comportamento da
•
função taxa de falha.
Exercı́cio 3.17 — A duração de vida de uma componente segue uma
distribuição normal com desvio padrão de 10 horas.
a) Se a componente tiver uma fiabilidade de 0.99 para um perı́odo
de operação de 100 horas, qual a duração de vida esperada?
b) Elabore o gráfico da função taxa de falha e classifique-a quanto
•
ao seu comportamento monótono.
Exercı́cio 3.18 — Elabore o gráfico da função taxa de falha das
v.a.s gama(α, δ), para α = 0.5, 1, 2.5 e δ = 1, onde α e δ
representam o parâmetro de forma e o inverso do parâmetro de escala,
respectivamente.
Demonstre que, efectuando a mudança de variável y = u − t, a
função taxa de falha de uma duração com distribuição gama(α, δ) se
escreve:
λgama(α,δ) (t) =
=
1
R +∞
(u/t)α−1 exp[−δ(u
t
− t)]du
1
R +∞
(1
0
+ y/t)α−1 exp(−δy)dy
.
(3.7)
Utilize este resultado para identificar condições suficientes que
garantam comportamentos monótonos decrescentes e crescentes da
função taxa de falha (Ross (2003, p. 573)).
53
•
Proposição 3.19 — Distribuições DHR e comportamento
monótono da f.d.p.
A monotonia da função de taxa de falha tem implicações na monotonia
da f.d.p. de um tempo de vida:
• T ∈ DHR ⇒ fT (t) é monótona decrescente.
•
Exercı́cio 3.20 — Prove a proposição anterior.
•
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 52–56); Barlow e
Proschan (1965/1996, pp. 22–6).
54
3.3
Preservação da monotonia da taxa de falha
Conhecido o comportamento monótono da taxa de falha das
componentes de uma estrutura, pode, nalguns casos, conhecer-se
também o da taxa de falha das
• suas estatı́sticas ordinais, da
• soma de tais tempos de vida, da
• mistura dos mesmos,
ou mesmo de um sistema coerente.
Serão
dados
alguns
exemplos
de
preservação
do
comportamento monótono da função taxa de falha face
às operações de fiabilidade acima descritas. Contudo antes de o fazer
reescrever-se-á a taxa de falha de estruturas em série e em paralelo à
custa da função taxa de falha comum às suas componentes.
Exercı́cio 3.21 — Considere duas estruturas em série e em paralelo,
constituı́das por componentes com durações Ti (i = 1, . . . , n) i.i.d.,
f.d. e taxa de falha comuns F (t) e λ(t).
a) Prove que as funções taxa de falha de estruturas em série e em
paralelo são iguais a
λT(1) (t) = n λ(t)
λT(n) (t) =
(3.8)
n λ(t)
(3.9)
Pn−1
−j
j=0 [F (t)]
respectivamente.
b) Compare λT(1) (t), λT(n) (t) e λ(t).
55
c) Faça comentários acerca da preservação do comportamento
monótono de λ(t) pela função taxa de falha destes dois tipos
•
de estrutura.
Exercı́cio 3.22 — Obtenha agora a função taxa de falha de uma
estrutura em série, assumindo somente independência dos tempos de
vida das n componentes, f.d.’s Fi (t) e funções taxa de falha λi (t), i =
1, . . . , n.
Verifique que nas mesmas circunstâncias o tempo de vida de uma
estrutura em paralelo, T , possui função taxa de falha igual a
FT (t)
λT (t) =
F T (t)
n
X
λi (t) [1/Fi (t) − 1].
(3.10)
i=1
•
Os exercı́cios anteriores sugere algumas das preservações do
comportamento monótono da função taxa de falha das estatı́sticas
ordinais enunciadas na proposição seguinte. Com efeito, a proposição
seguinte acrescenta que o comportamento monótono da função taxa de
falha da duração de uma estrutura constituı́da por n componentes com
durações independentes (identicamente distribuı́das, ou não) depende
não só do da função taxa de falha de tais componentes, como da
disposição das mesmas na estrutura.
56
Proposição 3.23 — Preservação da monotonia da taxa de
falha: mı́nimo e máximo
Considere-se
estrutura
com
n
componentes
com
durações
independentes. Caso a estrutura seja em série, verifica-se:
Ti ∼indep IHR, i = 1, . . . , n ⇒ T(1) ∈ IHR
(3.11)
Ti ∼indep DHR, i = 1, . . . , n ⇒ T(1) ∈ DHR.
(3.12)
Ao tratar-se de estrutura em paralelo tem-se:
Ti ∼indep IHR, i = 1, . . . , n 6⇒ T(n) ∈ IHR
(3.13)
Ti ∼iid IHR, i = 1, . . . , n ⇒ T(n) ∈ IHR.
(3.14)
•
Saliente-se que,
em estruturas em série constituı́das por
componentes cujas durações possuem função taxa de falha monótona,
para garantir a preservação do comportamento monótono da taxa
de falha da duração da estrutura é suficiente que tais componentes
possuam durações independentes.
Em estruturas em paralelo
tal preservação exige condições mais estritas:
não só durações
independentes, mas também identicamente distribuı́das e IHR.
Exercı́cio 3.24 — Demonstre que o tempo de vida de um sistema
em paralelo constituı́do por duas componentes com durações
indep
Ti ∼ exponencial(i), i = 1, 2, ilustra o resultado (3.13) (Ross (2003,
•
p. 575)).
É altura de averiguar em que circunstâncias uma estatı́stica de
ordem i preserva o comportamento monótono da taxa de falha das
57
componentes. Mais, os resultados que se seguem são particularmente
relevantes uma vez que o tempo de vida de uma estrutura do tipo
k − de − n é representado por uma estatı́stica ordinal.
falha: estatı́sticas ordinais
Sejam T1 , . . . , Tn tempos de vida i.i.d. (contı́nuos e não negativos).
Então as estatı́sticas ordinais T(i) verificam:
Ti ∼iid IHR, i = 1, . . . , n ⇒ T(i) ∈ IHR
(3.15)
Ti ∼iid DHR, i = 1, . . . , n 6⇒ T(i) ∈ DHR.
(3.16)
•
Assim, as estatı́sticas ordinais T(i) e os tempos de vida das
componentes, Ti , i = 1, . . . , n, possuem função taxa de falha com igual
comportamento monótono no caso em que Ti ∈ IHR, i = 1, . . . , n, o
que nem sempre ocorre quando Ti ∈ DHR, i = 1, . . . , n.
falha: spacings de primeira ordem
No que concerne à taxa de falha dos “spacings”de primeira ordem
(ou tempos entre falhas consecutivas) de tempos i.i.d. (contı́nuos e
não negativos) — (T(i) − T(i−1) ), i = 1, . . . , n, em que T(0) = 0 —, pode
afirmar-se que:
Ti ∼i.i.d. DHR, i = 1, . . . , n ⇒
(T(i) − T(i−1) ) ∈ DHR, i = 2, . . . , n
(3.17)
Ti ∼i.i.d. IHR, i = 1, . . . , n 6⇒
(T(i) − T(i−1) ) ∈ IHR, i = 2, . . . , n.
(3.18)
•
58
Pode então afirmar-se que, no teste simultâneo de componentes que
possuam durações i.i.d. a uma v.a. DHR (resp. IHR), o tempo entre
falhas consecutivas será igualmente (resp. poderá não ser) uma v.a.
DHR (resp. IHR).
A proposição seguinte permite tirar algumas conclusões sobre
o tempo total do ensaio quando se efectua o teste sequencial de
componentes.
falha: soma de v.a.s
Considere-se dois tempos de vidas Ti , i = 1, 2 (não negativos e
contı́nuos) com funções taxa de falha λi (t), i = 1, 2.
Então a
soma/convolução T = T1 + T2 satisfaz o seguinte resultado:



(T1 + T2 ) ∈ IHR

λT (t) ≤ mini=1,2 λi (t).
Ti ∈ IHR, i = 1, 2 ⇒ 
(3.19)
No entanto, caso T1 e T2 sejam DHR, a respectiva soma nem
sempre é caracterizada por uma função taxa de falha com o mesmo
comportamento monótono, i.e.:
Ti ∈ DHR, i = 1, 2 6⇒ (T1 + T2 ) ∈ DHR.
(3.20)
•
O resultado anterior é também válido para o caso discreto.
Exercı́cio 3.28 — Após um estudo detalhado do tempo até falha
de uma componente electrónica de um dispositivo de segurança,
concluiu-se que a respectiva distribuição pertencia ao modelo
{gama(α, δ)}.
Admita-se que, por questões de segurança, essa
componente só pode ser substituı́da uma única vez, por uma outra
com duração i.i.d.
59
Assumindo que a substituição da primeira componente é imediata,
identifique todas as situações em que:
• as duas componentes e a estrutura possuem durações DHR;
• o par de componentes possui tempo de vida DHR não ocorrendo
o mesmo com a duração da estrutura.
•
A preservação da monotonia da função taxa de falha de
misturas de distribuições é de particular relevância ao lidar-se com
componentes de diversas proveniências.
falha: misturas de distribuições
Considere-se Ti , i = 1, . . . , n, v.a.’s independentes (contı́nuas não
negativas) com f.d.’s Fi (t). E seja T a mistura destas distribuições,
i.e., FT (t) resulta da combinação linear convexa das f.d.s
Fi (t), i = 1, . . . , n:
FT (t) =
onde ai ≥ 0
n
X
ai Fi (t)
i=1
P
e ni=1 ai =
(3.21)
1. Então
Ti ∼indep. DHR, i = 1, . . . , n ⇒ T ∈ DHR
(3.22)
Contudo a mistura de distribuições IHR não é necessariamente IHR:
Ti ∼indep. IHR, i = 1, . . . , n 6⇒ T ∈ IHR
(3.23)
•
A proposição anterior é a particularização de outra que diz respeito
à preservação da monotonia da função taxa de falha da mistura
(contável ou não) de distribuições especı́ficas.
60
falha: misturas (contáveis ou não) de distribuições
Recorde-se que, caso T |Y = y (y > 0) e Y possuam f.d.’s Fy (t) e G(y),
respectivamente, a v.a. T diz-se a mistura das distribuições Fy e
possui f.d. FT (t) =
R +∞
Fy (t)dG(y).
0
Então
T |Y = y ∈ DHR, y > 0 ⇒ T ∈ DHR
(3.24)
T |Y = y ∈ IHR, y > 0 6⇒ T ∈ IHR
(3.25)
•
Na demonstração do primeiro dos resultados é fundamental a
aplicação da desigualdade de Schwarz.
Para mais detalhes desta
demonstração veja-se Barlow e Proschan (1965/1996, p.37).
A tabela seguinte condensa as propriedades de preservação do
comportamento monótono da função taxa de falha por parte das
estatı́sticas ordinais.
Tabela 3.1:
Preservação do comportamento monótono da taxa de falha das
estatı́sticas ordinais (“Não”≡ “Nem sempre”).
T(1)
T(n)
T(i)
Distribuição
i.i.d.
indep.
i.i.d.
indep.
i.i.d.
indep.
IHR
Sim
Sim
Sim
Não
Sim
Não
DHR
Sim
Sim
Não
Não
Não
Não
61
Exercı́cio 3.31 — Uma fábrica possui duas linhas de produção, I e II,
responsáveis por 20% e 80% dos artigos produzidos respectivamente.
Estudos extensivos levaram a concluir que a distribuição da duração
de cada artigo depende da sua proveniência embora o mesmo não
aconteça com o parâmetro de escala. Os artigos quando provenientes
das linhas de produção I e II possuem durações gama(1.1, 1) e
W eibull(1, 2), respectivamente, logo com taxa de falha crescente.
Obtenha a função taxa de falha da duração de um artigo escolhido
casualmente da produção da referida fábrica.
Os valores desta função, para valores da abcissa iguais a
t = 0.5, 4(0.5) são iguais a λT (t) = 0.984451, 1.76893, 2.22839, 1.92529,
1.26555, 1.01493, 0.980125, 0.979563. Assim se conclui que λT (t) não é
função monótona e o artigo em questão não possui duração nem IHR,
•
nem DHR.
Proschan (1965/1996, pp. 35–9); Ross (2003, pp. 571–576).
62
3.4
Outras noções de envelhecimento estocástico
Na realidade, exigir que a função taxa de falha seja crescente pode ser
tremendamente restritivo. Não surpreende pois que se considere em
certas situações que esse comportamento crescente se verifique somente
em média e se encontre na literatura outras formas de caracterização
dos tempos de vida em termos de envelhecimento estocástico.
Estas noções escrevem-se de um modo geral à custa da função de
fiabilidade e revelar-se-ão úteis no estabelecimento de limites para a
função de fiabilidade, limites esses de que se falará na próxima secção,
bem como no contexto de estratégias de manutenção.
Outras
noções
de
envelhecimento
estocástico (caso contı́nuo)
Sejam T uma v.a. contı́nua não negativa com função de fiabilidade
RT (t) e Tt =st (T − t|T ≥ t) a vida residual no instante t (t ≥ 0), cuja
função de fiabilidade é dada por RTt (u) = RT (t + u)/RT (t). Então:
• T diz-se ILR (Increasing Likelihood Ratio) 4 sse fT (t)/fT (t + )
for crescente em (0, +∞) para qualquer > 0, i.e.,
ln[fT (t)] for concâva em (0, +∞);
(3.26)
• T diz-se IHR (Increasing Hazard Rate) sse λT (t) for crescente
em (0, +∞), i.e., sse, para qualquer u fixo,
RT (t + u)
decrescer com t em (0, +∞);
RTt (u) =
RT (t)
(3.27)
1/t
• T diz-se IHRA (Increasing Hazard Rate in Average) sse RT (t)
decrescer em (0, +∞), ou seja,
ΛT (t) 1 Z t
=
λT (u)du ↑t , t ≥ 0;
t
t 0
4
(3.28)
Ou “razão de verosimilhança crescente”ou ainda designada por Barlow e Proschan (1975, p. 76)
de “Pólya frequency of order 2”(P F2 ),
63
• T diz-se NBU (New Better than Used) sse T ≥st Tt para t, u ≥ 0,
i.e.,
RT (u) ≥ RTt (u) =
RT (t + u)
, t, u ≥ 0;
RT (t)
(3.29)
• T diz-se NBUE (New Better than Used in Expectation) sse
E(T ) ≥ E(Tt ) para t ≥ 0, ou seja,
Z +∞
1 Z +∞
RT (u)du ≥
RT (u)du.
0
RT (t) t
(3.30)
•
Nota 3.33 — Outras noções de envelhecimento estocástico
(caso contı́nuo)
Pode, por exemplo, afirmar-se que, caso a duração de uma componente
seja uma v.a.
NBU/NBUE, valerá sempre a pena substituir a
componente que está a ser usada por uma nova componente. Por seu
lado, se a duração da componente for NWU/NWUE, nunca valerá
a pena efectuar semelhante substituição.
•
Exercı́cio 3.34 — Prove que a função taxa de falha da Figura 2.9 de
Gertsbakh (1995, pp. 70)
está associada a uma duração IHRA apesar de a respectiva função
taxa de falha,







t,





t − 1,
0<t≤2
λ(t) =  −t + 4, 2 < t ≤ 2.5
(3.31)
t > 2.5,
•
não ser crescente.
64
Segue-se o análogo discreto destas noções de envelhecimento
estocás-tico, reescrito de modo ligeiramente diferente mas equivalente.
Outras
noções
de
envelhecimento
estocástico (caso discreto)
Seja T uma v.a. discreta não negativa com função de probabilidade
P (i) = P (T = i) e função de fiabilidade definida agora por
RT (i) = P (T ≥ i). Considere-se ainda que Ti =st (T − i|T ≥ i)
representa a vida residual associada ao ciclo i e possui função de
fiabilidade RTi (i) =
RT (i+j)
RT (i) .
Então:
• T diz-se ILR (Increasing Likelihood Ratio) sse P (i)/P (i + 1) for
crescente em IN0 , i.e.,
P (i) × P (i + 2) ≤ P 2 (i + 1), i ∈ IN0 ;
(3.32)
• T diz-se IHR (Increasing Hazard Rate) sse λT (i) for crescente em
IN0 , ou seja,
RT (i) × RT (i + 2) ≤ RT2 (i + 1), i ∈ IN0 ;
(3.33)
• T diz-se IHRA (Increasing Hazard Rate in Average) sse
1/i
RT (i) ↓i , i ∈ IN0 ;
(3.34)
• T diz-se NBU (New Better than Used) sse T ≥st Ti , i ∈ IN0 , ou
seja,
RT (j) ≥ RTi (j) =
RT (i + j)
, i, j ∈ IN0 ;
RT (i)
(3.35)
• T diz-se NBUE (New Better than Used in Expectation) sse
E(T ) ≥ E(Ti ), i ∈ IN0
E(T ) =
+∞
X
j=0
RT (j) ≥
+∞
X
RT (i + j)
= E(Ti ), i ∈ IN0 .
RT (i)
j=0
65
(3.36)
•
As noções de v.a.’s DLR (Decreasing Likelihood Ratio), DHRA
(Decreasing Hazard Rate in Average), NWU (New Worse than Used)
e NWUE (New Worse than Used in Expectation) definem-se de modo
análogo considerando comportamentos monótonos e desigualdades nos
sentidos opostos quer para v.a. contı́nuas quer para v.a. discretas.
Proposição 3.36 — Implicações das noções de envelhecimento
estocástico
T ∈ ILR ⇒ T ∈ IHR ⇒ T ∈ IHRA ⇒ T ∈ N BU ⇒ T ∈
N BU E. Analogamente, T ∈ DLR ⇒ T ∈ DHR ⇒ T ∈ DHRA ⇒
T ∈ N W U ⇒ T ∈ N W U E.
•
Esta proposição permite averiguar, de uma forma mais cómoda,
se uma v.a. é ou não IHR/IHRA/NBU/NBUE (DHR/DHRA/NWU/
NWUE).
Exercı́cio 3.37 — a) Classifique as seguintes distribuições quanto ao
comportamento monótono da função taxa de falha:
1. binomial
2. normal truncada (não negativa e com µ = 0)
3. lognormal.
b) Discuta a pertinência desta última distribuição na caracterização
de tempos de vida, calculando para o efeito limt→+∞ λT (t).
•
Nota 3.38 — Implicações das noções de envelhecimento
estocástico
Refira-se a tı́tulo de curiosidade que uma estrutura coerente com
componentes cujas durações de vida são v.a. IHRA possui duração
também ela IHRA o mesmo nem sempre acontece caso sejam IHR.5 •
66
Tabela 3.2: Preservação da propriedade de envelhecimento face a operações de
fiabilidade (“Não”≡ “Nem sempre”).
Distribuição
Formação de sistemas coerentes
Convoluções
Misturas arbitrárias
IHR
Não
Sim
Não
IHRA
Sim
?
Não
NBU
Sim
Sim
Não
NBUE
Não
Sim
Não
DHR
Não
Não
Sim
DHRA
Não
Não
Sim
NWU
Não
Não
Não
NWUE
Não
Não
?
Para mais detalhes acerca deste e de outros resultados relacionados
com estas noções de envelhecimento e a preservação face a operações
de fiabilidade, consulte-se a Tabela 3.2 ou ainda Barlow e Proschan
(1975, pp. 104 e 187).
Exercı́cio 3.39 — Admita que um sistema coerente é constituı́do por
n componentes (não necessáriamente independentes) com durações
IHR e função de fiabilidade comum Ri (t) = R(t).
(a) Uma vez que a função de fiabilidade da duração T deste sistema é
dada por RT (t) = P (T > t) = r(p(t)) = r(R(t), . . . , R(t)), prove
que a função taxa de falha de T é igual a
λT (t) =
d
1
[1 − r(p(t))] ×
.
dt
r(p(t))
(3.37)
(b) Uma vez que a função de fiabilidade R(t) é comum a todas as
componentes pode simplificar-se a notação, passando a escreverse λT (t) =
5
(d/dt)[1−r(p(t))]
,
r(p(t))
onde p(t) = R(t).
Recorde-se o resultado (3.13) da Proposição 3.23, resultado este ilustrado pelo Exercı́cio 3.24.
67
Assim sendo, mostre que o sistema possui distribuição IHR, caso
p(t) ×
d r(p(t))
1
×
d p(t)
r(p(t))
(3.38)
seja uma função decrescente de p(t).
•
(Ver Ross (2003, pp. 573–574).)
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp.98–104 e pp.182–187).
68
3.5
Limites para a função de fiabilidade e
momentos
Nesta secção são apresentados limites para a função de fiabilidade e
outros parâmetros da duração de sistemas/componentes.
Estes limites assumem particular relevância pois obtêm-se
assumindo que se conhece somente um momento ou um percentil da
referida duração e que esta verifica uma propriedade de envelhecimento
estocástico. Por exemplo, assumir que a componente possui duração
esperada conhecida µ e função taxa de falha crescente porque sujeita
a desgaste.
Os limites que apresentaremos dividem-se nas seguintes categorias:
• limites para a função de fiabilidade baseados num quantil
conhecido;
• limites para a função de fiabilidade baseados num momento
conhecido;
• limites para momentos da duração de uma componente;
• limites para a função de fiabilidade de um sistema baseados em
momentos conhecidos;
• limites para o valor esperado da duração de um sistema baseados
em momentos conhecidos.
69
3.5.1
Limites para a função de fiabilidade baseados num
quantil conhecido
O resultado que se segue basea-se no facto de uma v.a. IHRA (DHRA)
possuir função de fiabilidade que se cruza uma única vez com a função
de fiabilidade de uma exponencial num ponto que corresponde ao
quantil de probabilidade p de ambas as v.a.s. A forma como tal
cruzamento ocorre é descrita no teorema seguinte.
Teorema 3.40 — Limites
para
a
função
de
fiabilidade
baseados num quantil conhecido
Sejam T ∈ IHRA, ξp o quantil de ordem p de T (i.e. RT (ξp ) = 1 − p)
e λ = −(1/ξp )ln(1 − p). Então



≥ e−λt = (1 − p)t/ξp , 0 < t ≤ ξp

≤ e−λt = (1 − p)t/ξp , t ≥ ξp .
RT (t) 
As desigualdades invertem-se para o caso DHRA.
(3.39)
•
Exercı́cio 3.41 — Elabore gráficos por forma a ilustrar o Teorema
•
3.40.
Exercı́cio 3.42 — Solicitou-se a um engenheiro que produzisse um
sistema com fiabilidade de 0.95 para um perı́odo de funcionamento de
1000 horas. O referido sistema deveria ser coerente e constituı́do por
pequenas peças com durações independentes e IHR.
Obtenha um limite inferior para a fiabilidade de tal sistema ao fim de
um perı́odo de funcionamento de 900 horas (Barlow e Proschan (1975,
•
p. 110).
70
3.5.2
Limites para a função de fiabilidade baseados num
momento conhecido
É também possı́vel obter limites superiores para a função de fiabilidade
de v.a. IHRA, uma vez conhecido o seu valor esperado.
para
a
função
de
fiabilidade
baseados num momento conhecido
Seja T ∈ IHRA com valor esperado µ. Então, para t fixo positivo



1,

e−wt , t > µ,
RT (t) ≤ 
t≤µ
(3.40)
onde w = w(t) é constante positiva e função de t satisfazendo
1 − wµ = e−wt
(3.41)
e e−wt , t > 0, a função de fiabilidade de v.a. exponencial com parâmetro
de escala w−1 .
•
Exemplo 3.44 — Limites para a função de fiabilidade
baseados num momento conhecido
Obtenha uma tabela com limites superiores para a função de
fiabilidade da duração de uma componente com valor esperado
unitário e função taxa de falha crescente, considerando para o efeito
t = 0.0, 2.0(0.5).
• t = 1.0;
While[(t = t + 0.5) ≤ 2,
h = FindRoot[1 - w - Exp[-w t] == 0, {w, 1}];
raiz = {w} /. Dispatch[h];
Print[{t, raiz[[1]], Exp[-raiz[[1]] t]}]]
{1.5, 0.582812, 0.417188}
{2., 0.796812, 0.203188}
•
71
Pode obter-se limites inferiores ainda mais sofisticados que os
limites superiores do Teorema 3.43 para a função de fiabilidade de
v.a. IHRA. Para mais detalhes consulte-se o Teorema 6.11 de Barlow
e Proschan (1975, p. 116).
Pode adiantar-se um limite inferior para a função de fiabilidade ao
lidar-se com uma v.a. contı́nua IHR com momento de ordem r (r > 0)
µr conhecido.
para
a
função
de
fiabilidade
baseados num momento conhecido de ordem r
Sejam T ∈ IHR,
µr =
Z +∞
tr dFT (t)
0
=
Z +∞
tr−1 RT (t)dt,
r
0
o momento ordem r > 0 de T , e λr =
µr
Γ(r+1) .



exp −t/λ1/r
, t < µ1/r
r
r

0,
RT (t) ≥ 
(3.42)
Então
t ≥ µ1/r
r .
(3.43)
•
Nota 3.46 — Limites para a função de fiabilidade baseados
num momento conhecido de ordem r
Na situação em que T ∈ IHRA (DHRA), demonstra-se que o limite
inferior exp −t/λ1/r
decresce (cresce) com r, para qualquer real t fixo
r
e não negativo.
Para além disso o domı́nio em que tal limite inferior é valido,
[0, µ1/r
r ], aumenta também com r para T ∈ IHRA.
•
Ao considerar-se r = 1 obtém-se limite inferior para a função de
fiabilidade da v.a. T ∈ IHR bastando para tal conhecer o seu valor
esperado.
72
Corolário 3.47 — Limites para a função de fiabilidade
baseados no momento conhecido de primeira ordem
Seja T ∈ IHR com valor esperado µ1 = E(T ). Logo



exp (−t/µ1 ) , t < µ1

0,
RT (t) ≥ 
(3.44)
t ≥ µ1 .
•
Exercı́cio 3.48 —
Obtenha
agora
uma
tabela
com
limites
inferiores para a função de fiabilidade da duração de uma componente
com valor esperado unitário e função taxa de falha crescente, para
t = 0.0, 3.0(0.1).
Elabore um gráfico com limites inferiores e superiores para a função
de fiabilidade da duração dessa mesma componente para perı́odos de
funcionamento t ∈ [0, 3].
•
para
a
função
de
fiabilidade
baseados num momento conhecido de ordem r (caso IHR)
Seja T ∈ IHR com momento de ordem r (r > 0), µr =
R +∞ r
t dFT (t).
0
Então, para t fixo positivo,



1,

e−wt , t ≥ µ1/r
r ,
RT (t) ≤ 
t ≤ µ1/r
r
(3.45)
onde w = w(t) é solução de
µr = r
Z t
0
xr−1 e−wx dx.
(3.46)
•
Debrucemo-nos agora sobre o caso em que se lida com componentes
com capacidade de rejuvenescimento/fortalecimento/melhoramento
(“training effect”) à medida que o tempo de operação aumenta.
73
O teorema e o corolário que se seguem são análogos ao Teorema
3.45 e Corolário 3.47. Dizem, no entanto, respeito a uma duração
DHR.
para
a
função
de
fiabilidade
baseados num momento conhecido de ordem r (caso DHR)
Sejam T ∈ DHR, µr o momento ordem r de T e λr =



RT (t) ≤ 
µr
Γ(r+1) .
Então
exp −t/λ1/r
, t < rλ1/r
r
r
r −r
 r e µr ,
Γ(r+1)tr
(3.47)
t ≥ rλ1/r
r .
•
Corolário 3.51 — Limites para a função de fiabilidade
baseados no valor esperado (caso DHR)
Seja T ∈ DHR com valor esperado conhecido µ1 . Logo



RT (t) ≤ 
e−t/µ1 , t ≤ µ1
−1
 µ1 e ,
t
(3.48)
t ≥ µ1 .
•
3.5.3
Limites
para
momentos
da
duração
de
uma
componente
O Teorema 3.40 e o que se segue são particularmente importantes
porque em testes de vida nem sempre se dispõe da média das durações
das componentes em teste (pois nem todas as componentes falham
durante o teste) mas é frequente dispôr de quantis de probabilidade
(empı́ricos). À custa destes quantis pode obter-se limites para o valor
esperado de v.a. IHR.
O próximo teorema pode encontrar-se em Barlow e Proschan (1965/
1996, p. 30).
74
Teorema 3.52 — Limites para o valor esperado da duração de
uma componente
Assuma
que
T
∈
IHR
e
que
o
seu
quantil
probabilidade p é representado por ξp . Se p ≤ 1 − e−1 então
ξp
p ξp
≤µ≤−
.
−
ln(1 − p)
ln(1 − p)
Caso p ≥ 1 − e−1 , tem-se
p ξp
≤ µ ≤ ξp .
−
ln(1 − p)
de
(3.49)
(3.50)
•
O teorema seguinte permite obter limites inferiores e superiores
para o momento de ordem r (r > 0) de v.a. IHRA (DHRA).
Teorema 3.53 — Limites para momentos de ordem r da
duração de uma componente
Seja T ∈ IHRA. Então os limites para o momento ordem r de T , µr ,
são dados por



≥ Γ(r + 1) µr1

≤ Γ(r + 1) µr1 , r ≥ 1.
µr 
0<r≤1
As desigualdades invertem-se ao lidar-se com T ∈ DHRA.
(3.51)
•
Corolário 3.54 — Limite para o coeficiente de variação
duração de uma componente
Ao considerar-se r = 2, o Teorema 3.53 permite comparar para o
coeficiente de variação de uma v.a. T ∈ IHRA com o coeficiente de
variação unitário de qualquer v.a. com distribuição exponencial:
σ
T ∈ IHRA ⇒ ≤ 1.
(3.52)
µ
A desigualdade inverte-se para T ∈ DHRA.
•
Exercı́cio 3.55 — Demonstre o Corolário 3.54.
75
•
3.5.4
Limites para a função de fiabilidade de um sistema
baseados em momentos conhecidos
Na fase inicial de planeamento da produção de sistemas é
frequentemente necessário predizer a fiabilidade dos mesmos com
o mı́nimo de informação — como o tipo de estrutura, os valores
esperados das durações das componentes que o constituem. Ora, os
limites fornecidos pelo Corolário 3.47 tem aplicações óbvias.
Teorema 3.56 — Limites para a função de fiabilidade de um
sistema em série baseados em momentos conhecidos
Caso um sistema seja constituı́do por n componentes dispostas em
série e com durações Ti independentes e IHR, com valores esperados
µi = E(Ti ) e funções de fiabilidade Ri (t), i = 1, . . . , n, pode concluir-se
que a função de fiabilidade do sistema verifica



exp −t

0,
RT(1) (t) ≥ 
h
i
Pn
−1
,
(µ
)
i
i=1
t < mini=1,...,n µi
t ≥ mini=1,...,n µi .
(3.53)
•
Exercı́cio 3.57 — Forneça limites para a função de fiabilidade
RT(n) (t) de um sistema constituı́do por n componentes independentes
IHR dispostas em paralelo e com durações esperadas µi (Barlow e
•
Proschan (1965/1996, p. 28)).
São
válidos
resultados
similares
para
sistemas
coerentes
constituı́dos por componentes com durações independentes e IHR.
Teorema 3.58 — Limites para a função de fiabilidade de um
sistema coerente baseados em momentos conhecidos
Considere-se sistema coerente com n componentes com durações Ti
independentes e IHR, com valores esperados µi e funções de fiabilidade
76
Ri (t), i = 1, . . . , n. Então, a função de fiabilidade do sistema verifica,
para t ≤ mini=1,...,n µi ,
RT (t) = r(R1 (t), . . . , Rn (t)) ≥ r(e−t/µ1 , . . . , e−t/µn ),
(3.54)
onde, recorde-se, r(p) representa a fiabilidade do sistema calculada
para o vector p das fiabilidades das componentes.
•
Nota 3.59 — Limites para a função de fiabilidade de um
Este resultado permite concluir que, no intervalo [0, mini=1,...,n µi ], a
fiabilidade do sistema no instante t é superior ou igual à de um outro
sistema exactamente com a mesma estrutura mas com componentes
com durações exponenciais e durações esperadas µi .
•
Exercı́cio 3.60 — Considere um circuito electrónico, com três
componentes, que funciona caso a primeira das componentes e uma das
duas restantes funcionem. Admita que estas componentes possuem
durações independentes, IHR e com valores esperados (em horas)
µ1 = 1000, µ2 = 1200, µ3 = 1600.
Obtenha um limite inferior para a função de fiabilidade do circuito
para um perı́odo de operação de 800, 900, 950 e 975 horas. (Barlow e
•
Proschan (1975, p. 119)).
Exercı́cio 3.61 — Um sistema em paralelo é composto por duas
componentes independentes e IHRA com fiabilidade de 0.95 para um
perı́odo de 500 horas.
a) Determine limites inferiores para a fiabilidade para um perı́odo
de 400 horas usando os dois métodos seguintes:
77
1. Calcular um limite inferior para cada uma das duas
componentes e de seguida um limite inferior para a fiabilidade
do sistema.
2. Calcular a função de fiabilidade do sistema para um perı́odo
de 500 horas e de seguida obter um limite inferior recorrendo
ao Teorema 3.40.
b) Qual destes dois métodos lhe parece conduzir a melhores
resultados considerando para o efeito t ∈ [0, 500)? (Barlow e
Proschan (1975, p. 119).)
c) Repita a) e b) admitindo que o sistema é em série e elaborando
um gráfico com os dois tipos de limites inferiores para a fiabilidade
para perı́odos de t horas (t ∈ [0, 500)).
3.5.5
•
Limites para a duração esperada de um sistema
baseados em momentos conhecidos
O próximo limite inferior (superior) diz respeito à duração esperada
de um sistema em série constituı́do por n componentes associadas e
NBUE (NWUE).
Teorema 3.62 — Limites para a duração esperada de um
sistema baseados em momentos conhecidos
Seja Ti (µi ) a duração (esperada) da i−ésima componente de um
sistema em série com n componentes com durações associadas e
NBUE. Então a duração esperada deste sistema em série µs verifica

µs ≥
n
X

−1

µ−1
i
.
(3.55)
i=1
A desigualdade inverte-se para T ∈ NWUE.
78
•
De notar que o limite inferior em (3.55) mais não é que o valor
esperado da duração de um sistema em série com componentes
independentes, exponencialmente distribuı́das e com duração esperada
µi .
Exercı́cio 3.63 — Demonstre o Teorema 3.62 (Gertsbakh (1995, pp.
•
62–63).
Teorema 3.64 — Limites para a duração esperada de sistema
em série/paralelo baseados em momentos conhecidos
Considere-se um sistema em série/ paralelo com n componentes com
durações associadas e IHRA. Então a duração esperada do sistema
em série/ paralelo, µs /µp , pode comparar-se com a duração esperada
de um sistema também em série/ paralelo com n componentes com
durações/ durações exponenciais, independentes e com valor esperado
µi (i = 1, . . . , n) e satisfaz

µs ≥
n
X

−1

µ−1
i
(3.56)
i=1
µp ≤
Z +∞
0

1
−
n
Y

(1 − e−t/µi ) dt.
(3.57)
i=1
A desigualdade inverte-se, caso as componentes sejam DHRA.
•
Importa referir que a integranda em (3.57) corresponde à
função de fiabilidade de um sistema em paralelo com componentes
independentes, exponencialmente distribuı́das e com duração esperada
µi . Assim sendo, o limite superior em (3.57) mais não é que o valor
esperado do sistema acabado de descrever.
O próximo resultado é apresentado a tı́tulo de exercı́cio em
Gertsbakh (1995, p. 71).
79
Teorema 3.65 — Limite para a duração esperada de um
Considere-se agora um sistema coerente com n componentes com
durações independentes e NBUE e caminhos mı́nimos P1 , . . . , Pp .
Então a duração esperada µ deste sistema satisfaz

µ≥
X

max 
j=1,...,p i∈P
j
−1

µ−1
.
i 
(3.58)
•
Exercı́cio 3.66 — Demonstre o Teorema 3.65 recorrendo ao Teorema
•
3.62.
Exercı́cio 3.67 — Considere um conjunto de dois geradores
eléctricos em paralelo que fornecem electricidade a uma bomba de
extracção de petróleo. Admita que estas três componentes possuem
durações até falha mecânica independentes, NBUE e com valores
esperados (em horas) µ1 = 1000, µ2 = 1200, µ3 = 1600.
Obtenha um limite inferior para duração esperada deste sistema
•
circuito.
Exercı́cio 3.68 — Repita o exercı́cio anterior considerando agora que
está a lidar com um sistema do tipo 2 − de − 3.
•
Barlow e Proschan (1975, p. 124) enunciam um resultado similar ao
Teorema 3.65.
80
Teorema 3.69 — Limites para a duração esperada de um
Considere-se um sistema coerente com n componentes com durações
independentes e IHRA, durações esperadas µi , caminhos mı́nimos
P1 , . . . , Pp e cortes mı́nimos K1 , . . . , Kq . Então a duração esperada
µ deste sistema satisfaz
−1
X −1 

max 
µi 
j=1,...,p i∈P
j

≤µ≤

Z +∞

1
min
j=1,...,q 0

−
Y
(1 − e−t/µi ) dt.
(3.59)
i∈Kj
•
Exercı́cio 3.70 — Demonstre e comente os resultados do Teorema
•
3.69.
É curioso notar que Barlow e Proschan (1965/96, pp. 41-45)
também adiantam limites para a função de fiabilidade e momentos,
baseados no valor limite e no comportamento monótono da função de
taxa de falha.
Proschan (1965/96, pp. 26–35 e 39–45); Gertsbakh (1995, p. 61–68);
Ross (2003, pp. 580–586).
81
Capı́tulo 4
Modelos paramétricos importantes
em fiabilidade
4.1
Introdução
Uma distribuição de falha 1 mais não é que o resultado de uma
tentativa de descrever matematicamente a duração de vida de um
material, estrutura ou dispositivo.
A forma como ocorrem as falhas num item afecta a forma analı́tica
da distribuição de falha.
Os materiais e as estruturas podem
falhar de diversas formas, podendo dar-se o caso de terem ocorrido
simultaneamente dois ou mais tipos de falhas.
Foram vistos previamente alguns exemplos de tipos de falha, como
as falhas estáticas aquando de fracturas por aplicação de carga, a
corrosão quı́mica devida a hydrogen embrittlement, a fadiga devido
a sobrecargas cı́clicas ou a gripagem de componentes mecânicas.
Certos aparelhos electrónicos ou digitais falham devido à alteração
de parâmetros crı́ticos para o seu desempenho devido a mudanças
de temperatura, de humidade ou de um modo geral das condições
1
Tradução livre de failure distribution.
82
atmosféricas.
Falhas iniciais no equipamento devem-se de um modo geral a
planeamento/ fabrico/ uso impróprio/ inadequado.
Infelizmente a escolha/ selecção de uma distribuição de falha
baseada nestas considerações fı́sicas ainda é uma arte.
No entanto, em alguns casos a relação entre o mecanismo de
falha e a função taxa de falha pode ser de utilidade na referida
selecção já que a observações são de um modo escassas nas caudas não
possibilitando a destrinça efectiva entre as distribuições candidatas à
modelação.
Neste capı́tulo irão ser revistas algumas das mais comuns
distribuições de falha, como é o caso da distribuição exponencial,
famosa pela sua propriedade de falta de memória entre algumas outras
propriedades que enunciaremos mais tarde.
83
4.2
Distribuições discretas
As distribuições discretas são muito menos utilizadas em fiabilidade
que as contı́nuas pelo que merecerão um pouco menos de atenção do
que seria de esperar.
4.2.1
A distribuição geométrica
É sabido que a distribuição geométrica é o análogo discreto da
distribuição exponencial e poderá representar:
• o número de insucessos que precedem o primeiro sucesso numa
sucessão de provas de Bernoulli independentes e identicamente
distribuı́das, tomando neste caso valores 0, 1, . . .; ou então
• o número total de provas de Bernoulli independentes e
identicamente distribuı́das realizadas até à ocorrência do primeiro
sucesso, assumindo neste caso os valores 1, 2, . . ..
Nota 4.1 — Distribuição geométrica
A distribuição geométrica é por vezes designada por distribuição
discreta do tempo de espera pelo primeiro sucesso.2
•
Exemplo 4.2 — Distribuição geométrica
Todas as manhãs verifica-se se um dispositivo de segurança falhou. Há
a probabilidade p de ocorrer falha num dia escolhido ao acaso. Não há
razões que levem a crer que esse probabilidade se altere com o tempo
nem que o facto de não ter ocorrido falha no dispositivo no dia m
venha a influenciar a probabilidade de isso ocorrer no dia (m + 1).
2
Sucesso significa aqui avaria, falha, etc.
84
O número total de inspecções até registar-se a falha, T , possui
distribuição geométrica(p) e função de probabilidade (f.p.) dada por
P (T = m) = (1 − p)m−1 p, m ∈ IN.
(4.1)
onde p representa a probabilidade de ocorrência de falha.
•
Nota 4.3 — Falta de memória
Não só esta distribuição possui função taxa de falha constante como
goza da seguinte propriedade:
P (T ≥ m1 + m2 |T ≥ m1 ) = P (T ≥ m2 ),
(4.2)
i.e., efectuadas pelo menos m1 inspecções sem que tenha sido
registada a primeira falha, a probabilidade de ainda vir a efectuarse adicionalmente pelo menos mais m2 inspecções é exactamente igual
à probabilidade de se efectuar – a partir do momento inicial – pelo
menos m2 inspecções até ao registo da primeira falha.
Esta propriedade é sugestivamente designada por falta de
•
memória.
Exercı́cio 4.4 — Considere agora que o dispositivo de segurança
descrito no Exemplo 4.2 só deixa de funcionar ao fim de exactamente
r falhas.
Qual a distribuição do número total de inspecções efectuadas
até que o dispositivo deixe de funcionar?
Escreva a função de
•
probabilidade desta nova v.a.
Nota 4.5 — Distribuição binomial negativa
A distribuição binomial negativa é por vezes designada por distribuição
discreta do tempo de espera pelo r−ésimo sucesso. E trata-se da
generalização da distribuição geométrica.
85
•
Na Tabela 4.1 pode encontrar-se algumas caracterı́sticas desta e de
outras distribuições discretas.
Tabela 4.1: Algumas distribuições discretas importantes.
P (T = k)
E[T ]
Uniforme ({1, 2, . . . , n})
1/n
(n + 1)/2 (n2 − 1)/12
Binomial (n, p)
Ckn pk (1 − p)n−k
np
np(1 − p)
Geométrica (p)
(1 − p)k−1 p
1/p
(1 − p)/p2
pz
1−(1−p)z
r(1 − p)/p2
λ
e−λ(1−z)
k−1 r
Binomial Negativa (r, p) Cr−1
p (1 − p)k−r r/p
e−λ λk /k!
Poisson (λ)
λ
V [T ]
E[z T ]
T
z(1−z n )
n(1−z)
(1 − p + pz)n
r
pz
1−(1−p)z
Texto de apoio: Gertsbakh (1989, pp. 43–44).
4.2.2
A distribuição binomial
Comece-se por recordar que a função de distribuição da v.a.
binomial(n, p) já foi utilizada para calcular a fiabilidade de sistemas
k − de − n. Com efeito, caso a fiabilidade das n componentes seja igual
a p e estas sejam independentes, o sistema k −de−n possui fiabilidade
dada por
r(p) = E[φ(X)]

n
X

Xi ≥ k 
(4.3)
n!
pi (1 − p)n−i
i=k i! (n − i)!
= 1 − Fbinomial(n,p) (k − 1).
(4.4)
= P

i=1
=
n
X
Recorde-se que a v.a.
binomial(n, p) representa o número de
sucessos num conjunto de n provas de Bernoulli independentes e
identicamente distribuı́das.
86
Exercı́cio 4.6 — Uma companhia produz um tipo especı́fico de
interruptores, tendo-se constatado que 5% da produção é defeituosa.
a) Calcule o valor esperado e a variância do número de interruptores
defeituosos numa amostra de 50 interruptores. (Dhillon (1984,
p. 132)).
b) Determine um valor aproximado para a probabilidade de tal número ser inferior a 15.
c) Obtenha o gráfico da função taxa de falha desta v.a. e classifique
quanto ao comportamento monótono da função taxa de falha. •
Exercı́cio 4.7 — Considere-se uma aeronave com 4 motores.
Suponha-se que ela só será capaz de voar se possuir pelo menos 2
dos motores a funcionar.
a) Determine a probabilidade de a aeronave estar em condições de
voar (i.e., a fiabilidade), caso a fiabilidade de cada motor seja de
99% (Leitch (1995, p. 47)).
b) Obtenha limites inferiores e superiores para a fiabilidade da
aeronave, assumindo agora que os 4 motores estão associados
•
(positivamente).
Texto de apoio: Leitch (1995, pp. 46–48).
87
4.2.3
A distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é utilizada na contabilização do número de
falhas que ocorrem independentemente num perı́odo fixo de tempo.
Poderá tratar-se do número de visitas mensais a uma oficina por
parte de uma frota de veı́culos ou do número de acidentes semanais
num troço especı́fico de auto-estrada. De notar que à partida não há
limite superior para o número de falhas/ acidentes como aconteceria
se considerássemos a distribuição binomial.
A independência a que se refere acima significa que uma falha num
futuro próximo não depende da ocorrência ou não de falhas no passado
recente.
A v.a. Poisson(λ) possui f.p. dada por
P (T = k) = e−λ λk /k!, k ∈ IN.
(4.5)
Na Tabela 4.1 encontram-se esta entre outras caracterı́sticas da
distribuição de Poisson(λ) que tem a particularidade de possuir o valor
esperado e a variância iguais ao parâmetro que define a distribuição
λ.
Exercı́cio 4.8 — Efectuou-se o registo do número de acidentes
mensais de uma frota de veı́culos na tabela abaixo.
Tabela 4.2: Número de acidentes mensais.
J F M A M J J A S O N D
1 2
1
0
3
1 0
3
2
2
1
2
a) Obtenha a estimativa de MV do número esperado de acidentes
mensais (Leitch (1995, p. 49)).
88
b) Determine uma estimativa para a probabilidade de o número de
acidentes mensais exceder 2 bem como para o quantil de ordem
q = 0.5. Dê uma interpretação a este quantil.
•
Mais tarde explorar-se-á a relação entre as distribuições de Poisson
e exponencial.
Texto de apoio: Leitch (1995, pp. 48–49).
89
4.3
Distribuições contı́nuas
Neste secção irão ser revistas algumas das distribuições contı́nuas mais
comuns na descrição tempos até falha, como é o caso da distribuição
exponencial que sabemos gozar da propriedade de falta de memória
entre outras propriedades enunciadas oportunamente.
Será ainda (re)vistas as distribuições:
• bathtub (ou distribuição em forma de banheira);
• log-normal que surge ao efectuar-se uma mudança de escala de t
para et mas de uso questionável em fiabilidade;
• Weibull, generalização do modelo exponencial que inclui distribuições com função taxa de falha monótona decrescente, constante
e crescente;
• normal e a normal truncada;
• gama, outra generalização natural do modelo exponencial que
descreve o tempo de vida no caso em que há a ocorrência de
vários choques até que a componente falha definitivamente;
• gaussiana inversa;
• gama inversa;
• beta.
Convinha notar que Bagdonavicius e Nikulin (2002, pp. 2–17) fazem
um apanhado de algumas destas distribuições contı́nuas e de outras
quantas nomeadamente a distribuição de Gompertz-Makeham (pp. 6–
7), a mistura de exponenciais (p. 8), a Weibull generalizada (p. 8),
90
a Weibull exponenciada (pp. 11–12), a Loglogı́stica (pp. 12–13) e a
distribuição de Birnbaum–Saunders (p. 14).
4.3.1
A distribuição exponencial
Trata-se certamente da distribuição contı́nua mais utilizada em
fiabilidade assim como o é a distribuição normal em Estatı́stica. Este
facto prende-se essencialmente com a evidência empı́rica e alguma
argumentação matemática...
Considere-se
um
grande
equipamento,
por
exemplo,
um
computador, e suponha-se que ele falha assim que tal aconteça com
pelo menos uma das suas componentes.
Caso se substitua uma
componente imediatamente a seguir à ocorrência da sua falha e as
durações das componentes sejam independentes, a sequência de falhas
do equipamento corresponderá grosso modo à sequência de falhas
individuais das componentes.
Ora, admitindo que o equipamento é constituı́do por um grande
número de componentes e são válidas certas condições (fracas), os
tempos entre falhas consecutivas do equipamento são i.i.d.
com
distribuição exponencial com parâmetro comum λ e o número de falhas
num perı́odo de tempo fixo de amplitude t é uma v.a. com distribuição
de Poisson(λ t).
Estamos na presença do que se designa na disciplina de Processos
Estocásticos de um Processo de Poisson.
Se a duração esperada das componentes for limitada uniforme e
superiormente por real (positivo) e tais durações forem IHR, o número
de falhas do referido equipamento é um processo de Poisson.
A f.d.p. e outras caracterı́sticas desta distribuição assim como
91
de outras distribuições contı́nuas importantes podem encontrar-se na
Tabela 4.3.
Tabela 4.3: Algumas distribuições contı́nuas importantes.
T
fT (t)
E[T ]
Uniforme (a, b)
1
b−a
(a + b)/2 (b − a)2 /12
Exponencial (λ) λe−λt
α−1
λe−λt (λt)
Γ(α)
Erlang (n, λ)
λe−λt (λt)
(n−1)!
Normal (µ, σ 2 )
√ 1 e−
2πσ
n−1
(t−µ)2
2σ 2
E[e−sT ]
e−as −e−bs
s(b−a)
1/λ2
λ
λ+s
α/λ
α/λ2
n/λ
n/λ2
α
λ
λ+s n
λ
λ+s
µ
σ2
e−µs+
1/λ
Gama (α, λ)
V [T ]
(sσ)2
2
Esta distribuição possui, recorde-se, função taxa de falha constante
λT (t) = λ, t ≥ 0,
(4.6)
pelo que é útil na descrição do comportamento probabilı́stico de
sistemas que não envelhecem, nem rejuvenescem no tempo.
Há
estruturas cujo tempo de vida goza desta propriedade como o caso de
fusı́veis eléctricos, cuja vida futura se mantém praticamente inalterada
desde que a falha ainda não tenha ocorrido.
Esta propriedade que caracteriza univocamente a distribuição
exponencial entre as distribuições contı́nuas tem uma consequência
importante aquando de testes de vida de componentes com o objectivo
de estimar o valor esperado, quantis e a fiabilidade desta distribuição:
• os dados recolhidos podem dizer exclusivamente respeito ao
número total observado de horas de vida e ao número de avarias
efectivamente registadas — as idades efectivas das componentes
testadas são irrelevantes.
92
Teorema 4.9 — Momentos da distribuição exponencial
Seja T ∼ exponencial(λ). Então
E(T s ) =
onde Γ(s) =
Γ(s + 1)
, s > −1,
λs
R +∞ s s−1 −λt
λ t e dt,
0
(4.7)
Γ(s + 1) = sΓ(s), s > 0 e Γ(s + 1) = s!,
para s ∈ IN0 .
•
Teorema 4.10 — Transformada inversa
Seja U ∼ uniforme(0, 1). Então T = −ln(U ) ∼ exponencial(1).
•
Exercı́cio 4.11 — Prove os Teoremas 4.9–4.10. Pronuncie-se sobre
a utilidade deste último resultado.
•
Importa referir (relembrar) outras propriedades da distribuição
exponencial particularmente relevantes em fiabilidade, nomeadamente
as propriedades dos spacings de primeira ordem, i.e., tempos entre
falhas sucessivas em testes simultâneos.
Teorema 4.12 — Spacings de primeira ordem
Sejam T(1) , T(2) , . . . , T(n) as estatı́sticas ordinais de uma distribuição
exponencial(λ) e D1 , D2 , . . . , Dn os correspondentes spacings de
primeira ordem, i.e.,
D1 = T(1) , D2 = T(2) − T(1) , . . . , Dn = T(n) − T(n−1) .
(4.8)
Então
Dk ∼indep exponencial((n − k + 1)λ)
Ek = (n − k + 1) Dk ∼i.i.d. exponencial(λ),
(4.9)
(4.10)
para k = 1, . . . , n, onde Ek é usualmente designado de spacing
•
normalizado.
93
O Teorema 4.12 permite concluir que os tempos entre falhas
sucessivas — em teste simultâneos de componentes com durações i.i.d.
e distribuição exponencial — possuem também ela exponencial.
Corolário 4.13 — Representação de Rényi
No que diz respeito às estatı́sticas ordinais T(r) (i.e. os tempos até à
r−ésima falha), pode afirmar-se que, para k = 1, . . . , n, correspondem
a combinações lineares de v.a. exponenciais independentes:


k
k
X
X
Ei
=
Di 
T(k) =
(n
−
i
+
1)
i=1
i=1
k
X
1
E[T(k) ] =
.
(n
−
i
+
1)λ
i=1
(4.11)
(4.12)
(4.11) corresponde ao tempo esperado até à r−ésima falha e aquilo
•
que se designa por representação de Rényi.
Exercı́cio 4.14 — Elabore um esquema que ilustre o resultado (4.11)
do Corolário 4.13 e permita demonstrar o Teorema 4.12 (Barlow e
•
Proschan (1975, p. 60)).
•
Nota 4.15 — Tempo total em teste
O tempo total em teste (ou tempo acumulado em teste) é definido por
Pn
i=1 Ti
=
Pn
i=1 T(i) .
•
Exercı́cio 4.16 — Identifique a distribuição do tempo total em teste,
Pn
i=1 Ti .
•
Exercı́cio 4.17 — Admita que T(i) ≤ t ≤ T(i+1) . Identifique o tempo
total em teste até ao instante t, τ (t), à custa de um esquema gráfico.
Prove ainda que τ (t) =
Pi
j=1 T(j)
+ (n − i)t.
94
•
Nota 4.18 — Exponencial biparamétrica
Há a possibilidade de generalizar a distribuição exponencial ao
considerar-se a f.d.p.
fX (x) = λe−λ(x−µ) , t ≥ µ.
(4.13)
Neste caso lida-se com a distribuição exponencial biparamétrica onde se
designa µ por parâmetro de localização (threshold parameter) que em
termos de fiabilidade corresponde perı́odo de garantia da componente,
i.e., no intervalo [0, µ] não ocorrem quaisquer falhas.
•
Textos de apoio: Gomes e Barão (1999, pp. 156–161); Martz e Waller
(1982, pp. 86–89).
4.3.2
A distribuição bathtub
A distribuição “bathtub”ou em forma de banheira vai buscar o seu
nome ao aspecto gráfico da sua função taxa de falha.
A f.d.p., f.d., função de fiabilidade e função taxa de falha da v.a.
T ∼ bathtub(µ, θ) são, para t ≥ 0, dadas por
θ
fT (t) = θµ(µt)θ−1 exp{−[e(µt) − (µt)θ − 1]}
θ
FT (t) = 1 − exp{−[e(µt) − 1]}
θ
RT (t) = exp{−[e(µt) − 1]}
(4.14)
(4.15)
(4.16)
θ
λT (t) = θµ(µt)θ−1 e(µt)
(4.17)
respectivamente, onde µ (µ > 0) é o inverso do parâmetro de escala e
θ (θ > 0) representa o parâmetro de forma.
Exercı́cio 4.19 — Elabore o gráfico da função taxa de falha da
distribuição bathtub com parâmetros µ = 1 e θ = 0.5.
Identifique os tipos de falhas tı́picos associados aos seus três troços. •
95
Os três troços distintos da função taxa de falha da distribuição
bathtub possuem as seguintes caracterı́sticas (veja-se a Figura 4.1 de
Martz e Waller (1982, p. 81)):
• Troço 1 — A função taxa de falha é decrescente neste troço. Esta
região é também conhecida por perı́odo de mortalidade infantil.
Neste perı́odo as falhas devem-se a defeitos de design e fabrico.
• Troço 2 — A função taxa de falha é praticamente constante neste
troço também designado por perı́odo de vida útil.
• Troço 3 — Neste último troço a função taxa de falha é crescente.
Por este motivo alguns autores designam-no de perı́odo de
desgaste. As falhas ocorrem com cada vez mais frequência porque
a componente já ultrapassou o seu perı́odo de vida útil.
Texto de apoio: Dhillon (1984, pp. 134–135).
4.3.3
A distribuição log-normal
As caracterı́sticas desta v.a. escrevem-se naturalmente à custa das
da v.a.
normal já que se X ∼ normal(µ, σ 2 ) então T = eX ∼
log-normal(µ, σ 2 ). Assim, para t ≥ 0,

1 ln t −
1
√ exp −
2
σ
σ t 2π
!
ln t − µ
RT (t) = 1 − Φ
σ
φ ln t−µ
1
σ
λT (t) =
×
σ t 1 − Φ ln t−µ
σ
fT (t) =
! 
µ 2
=
φ
ln t−µ
σ
σt
(4.18)
(4.19)
(4.20)
onde φ e Φ representam a f.d.p. e f.d. da v.a. normal padrão,
respectivamente.
96
Exercı́cio 4.20 — Obtenha o valor esperado e a variância da
distribuição log-normal e elabore o gráfico da função taxa de falha
de distribuição log-normal(0, 1), fazendo uso do Mathematica.
•
Alguns autores questionam a utilidade da distribuição log-normal
na modelação de tempos até falha. Tal deve-se essencialmente ao facto
de a sua função taxa de falha ser inicialmente crescente para depois
decrescer para zero.
Há, no entanto, evidência empı́rica e argumentação sólida
apontando no sentido da utilidade da distribuição log-normal na
modelação de tempos de reparação. Com efeito, parece razoável que se
após algum tempo a reparação ainda não tiver sido concluı́da, menos
verosı́mil será a sua conclusão imediata devido a factores psicológicos
e logı́sticos. Por exemplo, um reparador pode ficar desencorajado
depois de um perı́odo de trabalho mal sucedido, ou o tempo excessivo
de reparação poderá dever-se à não disponibilidade de uma peça
necessária à reparação.
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, p. 11); Martz e
Waller (1982, pp. 94–95).
4.3.4
A distribuição de Weibull
A distribuição de Weibull de mı́nimos — a que alguns autores se
referem como distribuição de Weibull — deve o seu nome ao apelido
do fı́sico sueco Waloddi Weibull. Este utilizou-a em Weibull (1939a,
1939b) para representar a tensão de ruptura de materiais e
discutiu, posteriormente, a sua utilidade na modelação de outras
v.a. em Weibull (1951).
97
É o caso da resistência do aço Bofors, do tamanho de cinzas
industriais, da resistência da fibra de algodão indiano. Nessa
mesma referência é ilustrada a utilização da mistura de duas
distribuições de Weibull na caracterização do comprimento da
espécie Cyrtoideae, do tempo até fatiga do aço do tipo St-37, da
estatura dos adultos do sexo masculino nascidos nas Ilhas
Britânicas, da largura das sementes da espécie Phaseolus Vulgaris.
Em Kao (1959) pode encontrar-se uma mistura de duas
distribuições
de
Weibull
a
caracterizar
o
comportamento
estocástico do tempo até falha de tubos de electrões.
Berrettoni
(1964)
também
ilustrou
o
uso
da
distribuição
de Weibull e da mistura de duas dessas distribuicões na
descrição de dados referentes:
à resistência à corrosão de
placas com uma liga de magnésio; à classificação de produtos
defeituosos devolvidos, de acordo com o número de semanas após
remessa; ao tempo até o derrame de pilhas; à esperança de
vida de produtos farmacêuticos; à fiabilidade de motores
descontı́nuos (reliability of step motors);
e à fiabilidade de
condensadores de tantálio sólido.
Definição 4.21 — Distribuição Weibull (biparamétrica)
A v.a. T diz-se com distribuição de Weibull (biparamétrica) com
parâmetro de forma α (α > 0) e de escala δ (δ > 0) se, para t ≥ 0,
α
fT (t) =
δ
t
δ
"
!α−1
t
exp −
δ
! #
"
!α #
t α
RT (t) = exp −
δ
!α−1
α t
λT (t) =
.
δ δ
(4.21)
(4.22)
(4.23)
98
Nesta caso é costume representar a distribuição de T de uma forma
mais abreviada: T ∼ Weibull(δ, α).
•
Exercı́cio 4.22 — Considere T ∼ Weibull(δ, α).
a) Elabore gráficos da f.d.p., da f. de fiabilidade e f. taxa de falha
da distribuição Weibull(1, α), α = 0.25, 1, 2, 4 (Martz e Waller
(1982, p. 91)), fazendo uso do seguinte package do Mathematica
<< Statistics ` ContinuousDistributions` .
b) Obtenha a expressão geral para o quantil de ordem p e
prove que o valor esperado e a variância de T são dadas
por E(T ) = δ Γ
1
α
h
+ 1 e V (T ) = δ 2 Γ
2
α
+ 1 − Γ2 ( α1 + 1) ,
i
respectivamente.
Sugestão: Calcule o momento de ordem k (k = 1, 2) efectuando
para o efeito a mudança de variável y = (t/δ)α e recordando que
Γ(s) =
R +∞ s−1 −y
y e dy,
0
•
s > 0.
A distribuição de Weibull, por possuir um parâmetro de forma, é
caracterizada por uma f.d.p. que pode tomar uma grande diversidade
de aspectos como se ilustrou no Exercı́cio 4.22. Quando o parâmetro
de forma pertence ao intervalo (0, 1], o aspecto da f.d.p. é em J
invertido; nesta situação a f.d.p. é monótona decrescente e a moda
coincide com a origem. Caso o referido parâmetro pertença a (1, +∞)
a f.d.p. é unimodal com moda definida, segundo Johnson e Kotz (1970,
p. 251), por mo(T ) = δ
α−1 1/α
.
α
A popularidade da distribuição de Weibull deve-se a esta
excepcional flexibilidade: engloba a distribuição exponencial (α =
√
1) e a distribuição Rayleigh (quando δ é substituı́do por 2δ) e
inclui funções taxa de falha constantes e monótonas crescentes e
99
decrescentes, dependendo do valor do parâmetro de forma como se
pôde ver no Exercı́cio 4.22 e se ilustra na tabela seguinte.
Parâmetro de forma
F. taxa de falha
0<α<1
Decrescente
T ∈ DHR
α=1
Constante
T ∈ CHR
α>1
Decrescente
T ∈ IHR
Não surpreende pois que a distribuição de Weibull seja
provavelmente a distribuição mais utilizada no domı́nio da fiabilidade,
a seguir à distribuição exponencial, e se encontre na maior parte dos
textos de introdução à estatı́stica e à fiabilidade.
Exercı́cio 4.23 — Foram registados os seguintes 9 tempos até falha
(em anos) de um heat exchanger used in the alkylation unit 3 de uma
refinaria de gasolina: 0.41, 0.58, 0.75, 0.83, 1.00, 1.08, 1.17, 1.25 e 1.35
(Martz e Waller (1982, pp. 395–396)).
a) Determine a estimativa de MV de δ assumindo que o parâmetro
de forma é conhecido e igual a α = 3.5.
b) Após ter escrito as equações de verosimilhança, determine
numericamente as estimativas de MV de ambos os parâmetros
δ e α.
Sugestão: Considere como estimativas iniciais do procedimento
de pesquisa as estimativas obtidas por recurso ao método dos
momentos.
3
The act or process of introducing one or more alkyl groups into a compound (as to increase
octane number in a motor fuel). An alkyl has a monovalent organic group and especially one
Cn H2n+1 (as methyl) derived from an alkane (as methane).
100
c) Obtenha estimativas da fiabilidade para perı́odos de 1 ano e de
1 ano e 3 meses, recorrendo para tal às estimativas obtidas nas
•
alı́neas a) e b).
A popularidade da distribuição de Weibull encontra uma
justificação não só prática como também num dos mais surpreendentes
resultados da teoria assintótica de valores extremos: o teorema de
Gnedenko na sua versão para o mı́nimo de um conjunto de v.a. i.i.d.
(Para mais detalhes consulte-se Morais (1995, pp. 109–115).)
Nota 4.24 — Distribuição Weibull (tri-paramétrica)
Há também a possibilidade de generalizar a distribuição Weibull de
mı́nimos ao considerar-se a f.d.p.
α
fT (t) =
δ
t−η
δ
!α−1
t−η
exp −
δ
"
!α #
, t ≥ η.
(4.24)
Neste caso é frequente dizer-se que T possui distribuição de Weibull
tri-paramétrica com parâmetros de localização, escala e forma iguais a
η, δ e α, respectivamente — e representar a distribuição de T de uma
forma mais abreviada: T ∼ Weibull(η, δ, α).
O parâmetro de localização corresponde mais uma vez ao perı́odo
de vida garantida ou perı́odo de garantia da componente.
Não existem razões matemáticas que impeçam que este parâmetro
seja negativo. Contudo, na maior parte das aplicações é costume ter-se
η ≥ 0.
•
É possı́vel estabelecer relações entre a distribuição de Weibull e,
pelo menos, duas outras distribuições (Johnson e Kotz (1970, p. 266))
como se poderá ver no exercı́cio seguinte.
101
Exercı́cio 4.25 — Suponha que T ∼ Weibull(η, δ, α).
a) Prove que a potência da v.a. T , Y = [(T − η)/δ]α , é uma v.a.
com distribuição exponencial(1). 4
b) Conclua que Y = α ln[(T − η)/δ] possui distribuição de Gumbel
de mı́nimos com parâmetro de localização nulo e parâmetro de
escala unitário. 5
c) Prove por fim que Ti ∼i.i.d. T, i = 1, . . . , n, se e só se
δ
, α).
T(1) ∼ Weibull(η, n1/α
•
Refira-se por fim que, entre os domı́nios em que tem sido
utilizada a distribuição de Weibull tri-paramétrica, conta-se também
a optimização combinatória. Golden (1977) refere que McRoberts
(1966), ao lidar com combinatorially explosive plant-layout problems,
foi o primeiro autor a associar a distribuição de Weibull à modelação
probabilı́stica de soluções aproximadas do problema do caixeiro
viajante. 6
Por tratar-se de um problema para o qual ainda se
conjectura a inexistência de algoritmos com tempo de execução
polinomial, o problema do caixeiro viajante tem vindo a ser abordado
sob o ponto de vista estatı́stico, com vista à obtenção de estimativas
quer pontuais (Golden (1977)), quer intervalares (Golden e Alt (1979))
para o custo do solução óptima que corresponde ao parâmetro de
localização de uma distribuição de Weibull tri-paramétrica. Para mais
detalhes consulte-se Morais (1998).
4
Este resultado será de extrema utilidade na caracterização distribucional de uma v.a. fulcral
para o parâmetro de escala quando os restantes parâmetros (localização e forma) são conhecidos.
5
Autores como Engelhardt e Bain (1977) tiraram partido desta relação para estimar os
parâmetros de escala e forma quando o parâmetro de localização é nulo.
6
Nesta mesma referência McRoberts sugeriu que a distribuição de Weibull também fosse
utilizada na modelação de soluções aproximadas de outros problemas de optimização combinatória:
Cerdeira (1986) é disso um exemplo.
102
Textos de apoio: Morais (1995, pp. 109–115); Martz e Waller (1982,
pp. 89–91).
4.3.5
As distribuições normal e normal truncada
A distribuição normal é sobejamente conhecida pelo que não nos
alongaremos nesta exposição. Convém no entanto realçar que, embora
o suporte desta distribuição seja (−∞, +∞), ao considerar-se valores
positivos para µ suficientemente grandes quando comparados com o
valor de σ (e.g. µ/σ >> 3) a probabilidade de registar-se valores
negativos é irrisória.
Caso tal não aconteça, a distribuição normal deve ser truncada para
valores negativos e reescalada em conformidade obtendo-se assim a
distribuição normal truncada cuja f.d.p. é dada por
(t − µ)2 
1

, t ≥ 0,
fT (t) = exp −
a
2σ 2

onde a =
R +∞
(t−µ)2
exp[−
0
2σ 2 ]dt.
2
T ∼ normal truncada(µ, σ ).

(4.25)
Neste caso escreve-se abreviadamente
Caso µ = 0 a distribuição normal
truncada é designada na literatura anglo-saxónica por half normal.
Exercı́cio 4.26 — Suponha que T ∼ normal(µ, σ 2 ).
a) Elabore gráficos da f.d.p., função de fiabilidade e função taxa
de falha, para os pares de valores (µ, σ) = (0.5, 0.075), (1, 0.1),
(2, 0.15).
b) Prove que a função taxa de falha λT (t) desta v.a. é crescente e
que possui a assı́ntota y = (t − µ)/σ.
Obs: Recorde-se que a recta mt+a diz-se uma assı́ntota da função
g(t) se e só se limt→+∞ g(t)/t = m e limt→+∞ [g(t) − mt] = a.
103
•
Exercı́cio 4.27 — Repita a alı́nea a) do exercı́cio anterior considerando agora T ∼ normal truncada(µ, σ 2 ).
•
Textos de apoio: Gomes e Barão (1999, p. 163); Martz e Waller
(1982, pp. 90–94).
4.3.6
A distribuição gama
Estamos mais uma vez na presença de uma distribuição com parâmetro
de forma pelo que apresenta um leque extremamente variado de f.d.p.s
— decrescentes ou monótonas por dois troços (crescentes e de seguida
decrescentes) —, embora todas positivamente assimétricas e mais
alongadas que a normal.
A f.d.p. desta v.a. é dada por
λα α−1 −λt
t
e ,t > 0
fT (t) =
Γ(α)
(4.26)
e passaremos a escrever abreviadamente T ∼ gama(λ, α), onde λ−1 e
α representam os parâmetros de escala e forma, respectivamente.
A distribuição gama possui como casos particulares as seguintes
distribuições:
• exponencial — α = 1;
• Erlang — α ∈ IN ;
• qui-quadrado com ν graus de liberdade — α = ν/2, λ = 1/2.
A distribuição gama, designadamente, a distribuição Erlang pode
descrever o tempo de vida no caso em que há a ocorrência de vários
choques até que a componente falha definitivamente aquando do
n−ésimo choque e em que os tempos entre choque sucessivos são
v.a. i.i.d. exponenciais. E é sabido que a distribuição Erlang surge
104
também como a distribuição do instante da n−ésima ocorrência de
um processo de Poisson, i.e. como a distribuição de uma soma de
v.a. i.i.d. exponenciais.
A grande variedade de formas desta distribuição e a sua
simplicidade matemática explicam o seu uso frequente em fiabilidade
como na descrição de fluxos máximos de corrente, de resistências
crı́ticas de betão pré-esforçado, etc.
Exercı́cio 4.28 — Ilustre a variedade de f.d.p.s e de comportamentos
monótonos da função taxa de falha da v.a.
T ∼ gama(λ, α),
•
considerando (λ, α) = (0.5, 0.5), (0.5, 1), (0.25, 2), (1, 2).
Exercı́cio 4.29 — É possı́vel relacionar a função de fiabilidade da
v.a. T ∼ Erlang(λ, α), α ∈ IN , com a função de distribuição de uma
v.a. de Poisson:
RT (t) = 1 −
∞
X
e−λt (λt)i /i!
i=α
= FP oisson(λt) (α − 1), t > 0.
(4.27)
Prove este resultado.
Sugestão: Usar um resultado conveniente da disciplina de Processos
Estocásticos ou então recorra à integração por partes.
•
Exercı́cio 4.30 — Com o objectivo de estudar o tempo até falha de
certo equipamento electrónico (em dezenas de milhar de horas), uma
gestora recolheu um total de 50 observações que conduziram à média
geométrica amostral mg =
Q
1/50
50
t
i=1 i
= 4.2427.
Admita que a f.d.p. do tempo até falha é, para λ > 0, dada por
fT (t) =

2.5λ

 λ λ+1
,t
t

 0, c.c.,
≥ 2.5
i.e., T ∼ Pareto(2.5, λ).
105
a) Prove que a estimativa de máxima verosimilhança de λ é igual a
λ̂ = [ln(mg ) − ln(2.5)]−1 .
b) Obtenha a estimativa de máxima verosimilhança da fiabilidade
para um perı́odo de 35.000 horas.
P50
2
i=1 ln(Ti /2.5) ∼ χ(100)
Q
1/50
50
T
, deduza um
i
i=1
c) Sabendo que 2λ
é uma v.a. fulcral para
λ, onde Mg =
intervalo de confiança a
95% para esse parâmetro bem como para a fiabilidade calculada
na alı́nea b).
d) Deduza um intervalo de confiança a 95% para λ com amplitude
•
esperada mı́nima.
Textos de apoio: Gomes e Barão (1999, p. 162); Barlow e Proschan
(1975, pp. 72–75).
4.3.7
A distribuição gaussiana inversa
O nome desta distribuição deve-se a uma relação entre a função
geradora dos cumulantes (ou segunda função caracterı́stica) da
gaussiana inversa e a da distribuição normal.
Nota 4.31 — Distribuição gaussiana inversa
√
Seja φT (z) = E(eizT ), onde i = −1, a função caracterı́stica de T .
Então φT (z) = 1+
s
P+∞
s (iz)
E(T
)
s=1
s! .
Para além disso, a função geradora
dos cumulantes é igual a
(iz)s
K(z) = ln φT (z) =
ξs
,
(4.28)
s!
s=1
onde os coeficientes ξs são denominados de cumulantes da distribuição
+∞
X
de T . Para mais detalhes consulte-se Murteira (1990, pp. 223–226 e
•
250–252).
106
A distribuição gaussiana inversa tem-se revelado útil na modelação
de situações em que as falhas iniciais dominam a vida de um
sistema. Estas situações poderiam sugerir a utilização da distribuição
lognormal pelo facto de possuir função taxa de falha crescente e
posteriormente decrescente: com efeito a taxa de falha destas duas
distribuições possuem o mesmo comportamento monótono por troços.
No entanto, há várias vantagens em usar a distribuição gaussiana
inversa. Primeiro, porque é menos difı́cil justificar fisicamente a sua
utilização já que surge como a distribuição de um tempo de primeira
passagem do movimento browniano. Segundo, porque vem enriquecer
a classe de distribuições de falha. E por último, os procedimentos
inferenciais estão muito bem desenvolvidos (para os parâmetros e para
a função de fiabilidade) e são similares aos da distribuição normal.
A f.d.p., a f. fiabilidade e a f. taxa de falha de T ∼ gaussiana
inversa(µ, λ) são, para t ≥ 0, µ, λ > 0, iguais a:
fT (t) =
λ
2πt3

RT (t) = Φ 
!1/2
λ
t
!1/2
λ(t − µ)2 

exp −
2µ2 t


t
1−
µ
(4.29)
!


λ
− exp (2λ/µ) Φ −
t
fT (t)
λT (t) =
,
RT (t)
!1/2
t
1+
µ
!

(4.30)
(4.31)
onde µ e λ não correspondem aos parâmetros de localização e forma
no sentido usual — na verdade λ/µ é que é o parâmetro de forma.
De notar também que
E(T ) = µ
µ3
V (T ) =
λ
(4.32)
(4.33)
107
1/2
3µ2
9µ2
mo(T ) = −
+ µ 1 + 2 
2λ
4λ

(4.34)
e que a função taxa de falha é crescente para t < mo(T ), decrescente
para t >
2λ
3
e atinge máximo no ponto t que satisfaz a seguinte
equação:
3
λ
λ
+ − 2 = 0.
2
2µ
2t 2t
(4.35)
Exercı́cio 4.32 — Admita que T ∼ gaussiana inversa(µ, λ).
a) Elabore gráficos da f.d.p., função de fiabilidade e função taxa de
falha, para µ = 1 e λ = 0.5, 1, 3, 10 (Martz e Waller (1982, p. 99)).
b) O registo de tempos até fadiga (em horas) de 10 rolamentos de
certo tipo conduziu às seguintes observações ordenadas:
152.7, 172.0, 172.5, 173.3, 193.0, 204.7, 216.5, 239.9, 262.6, 422.6
(Seshadri (1999, p. 35)).
Obtenha as estimativas de MV de µ, de λ, da fiabilidade e da
taxa de falha para um perı́odo de 100 horas.
•
Textos de apoio: Martz e Waller (1982, pp. 95–99); Seshardi (1999,
pp. 1–4, 206–219).
4.3.8
As distribuições gama inversa e beta
Este par de distribuições pouco interesse tem para a modelação
de tempos até falha. No entanto, as distribuições gama inversa e
beta revelam-se de extrema utilidade quando se efectua inferência
bayesiana sobre o parâmetro da distribuição exponencial e a
probabilidade de sucesso da distribuição binomial (respectivamente):
108
são aquilo que se denomina de densidades a priori dos parâmetros. 7
Por este motivo não nos alongaremos na descrição desta duas
distribuições nem nos reportaremos às respectivas funções de
fiabilidade e taxa de falha.
A distribuição gama inversa é derivada do seguinte modo: se Y ∼
gama(λ, α) então T = Y −1 ∼ gama inversa(λ, α). Assim, possui as
seguintes caracterı́sticas
1 α+1
λ
λα
exp − , t, λ, α > 0
fT (t) =
Γ(α) t
t
λ
E(T ) =
,α>1
α−1
λ2
,α>2
V (T ) =
(α − 1)2 (α − 2)
!
!
(4.36)
(4.37)
(4.38)
De notar que o momento de ordem s, E(T s ), e qualquer outro de
ordem superior a s não existem caso s seja maior que a parte inteira
de α.
A distribuição beta possui as seguintes caracterı́sticas:
1
fT (t) =
tα−1 (1 − t)β−1 , 0 < t < 1, λ, α > 0
B(α, β)
α
E(T ) =
α+β
αβ
V (T ) =
,
(α + β)2 (α + β + 1)
(4.39)
(4.40)
(4.41)
onde
B(α, β) =
=
7
Z 1
tα−1 (1
0
− t)β−1 dt
Γ(α + β)
.
Γ(α)Γ(β)
(4.42)
Em inferência bayesiana um parâmetro desconhecido é considerado uma v.a.
com uma
densidade a priori antes da recolha da informação e uma densidade a posteriori após a recolha de
observações. As estimativas pontuais mais frequentes de tal parâmetro são o valor esperado e a
moda a posteriori, i.e., calculados à custa da densidade a posteriori.
109
De referir que neste caso se escreve T ∼ beta(α, β) e que a
distribuição uniforme é obviamente um caso particular da distribuição
beta para α = β = 1.
Parâmetros
Aspecto da f.d.p.
α, β > 1
Uma única moda em t =
α < 1, β > 1
Uma única anti–moda em t =
(α − 1)(β − 1) ≤ 0
Forma em J
α=β
Simétrica em torno de 1/2 (e.g. constante ou parabólica)
α>β
Assimétrica positiva
α<β
Assimétrica negativa
α−1
α+β−2
α−1
α+β−2
(forma em U )
De realçar também a enorme variedade de formas admissı́veis para
a f.d.p., como se ilustra na Tabela 4.3.8, e a seguinte relação entre as
f.d.s das distribuições beta e binomial quando α e β são inteiros:
Fbeta(α,β) (t) = 1 − Fbinomial(α+β−1,t) (α − 1).
(4.43)
Exercı́cio 4.33 — Ilustre cada um dos aspectos da f.d.p. da
distribuição beta referidos na Tabela 4.3.8 e obtenha as equações de
verosimilhança cuja resolução conduzirá às estimativas de MV dos
•
parâmetros α e β.
Texto de apoio: Martz e Waller (1982, pp. 101–105).
110
Capı́tulo 5
Inferências sobre modelos para
diferentes tipos de ensaio
5.1
Introdução
Um dos objectivos da (teoria da) fiabilidade é adiantar estimativas de
caracterı́sticas como a função taxa de falha, a função de fiabilidade ou
a duração esperada de um sistema.
Uma breve revisão dos capı́tulos anteriores permite-nos concluir que
o ponto de partida para a obtenção de resultados é a informação
sobre a duração de vida.
Esta informação pode vir sob a forma
de considerações tão genéricas sobre o comportamento monótono da
função taxa de falha ou tão especı́ficas como a forma paramétrica da
distribuição de vida. É óbvio que somente a análise estatı́stica de
dados experimentais possibilita a validação destas considerações/
assunções.
Neste capı́tulo podemos encontrar a descrição de algumas das
técnicas para a análise de dados de fiabilidade.
Abordar-se-á a estimação não paramétrica da f.d.p., da
f. fiabilidade e da f. taxa de falha.
111
Serão descritos alguns procedimentos gráficos que orientarão a
selecção de modelos.
Serão revistos alguns tipos de censura já que uma das
caracterı́sticas mais comuns de dados experimentais que se
reportam ao domı́nio da fiabilidade é serem de um modo geral
incompletos/ censurados pois é frequente que alguns dos itens em
teste sobrevivam por perı́odos superiores à duração planeada para o
teste.
Far-se-á uso de uma das ferramentas mais importantes em
inferência paramétrica — o método da MV (v.a. fulcral) à custa
do qual se obterá estimativas pontuais (intervalares) para a fiabilidade,
método este facilmente aplicável a situações em que se lida com dados
completos ou censurados/ incompletos.
Gertsbakh (1989, p. 156) é da opinião que não é um exagero
afirmar que pelo menos dois terços da literatura de fiabilidade está
orientada para as distribuições exponencial e Weibull. A extrema
popularidade destas duas distribuições prende-se com dois factos:
elas permitem um tratamento matemático/ estatı́stico simples e
elegante e, simultaneamente, fornecem em muitas situações práticas
uma descrição adequada do comportamento estocástico das v.a. de
interesse. 1
Poderiam ainda ter sido abordadas outras técnicas/modelos
igualmente importantes e interessantes como a inferência bayesiana, os
modelos de Cox (que envolvem variáveis explicativas), ou os modelos
que fazem uso de dados multivariados, etc.
Para o leitor mais
interessado recomenda-se a consulta de Martz e Waller (1982) e Dhilon
1
No capı́tulo 9 de Martz e Waller (1985) pode encontrar-se a estimação bayesiana da fiabilidade
para os modelos Weibull, normal, log-normal, gaussiana inversa e gama.
112
(1985) no que respeita a inferência bayesiana e modelos de Cox (resp.).
Texto de apoio: Gertsbakh (1989, pp. 155–157).
113
5.2
Identificação e selecção de modelos
As caracterı́sticas de fiabilidade de um equipamento são estimadas
a partir dos registos dos tempos até falha.
Este dados são
usualmente obtidos durante a fase de desenvolvimento do equipamento
(development phase) ou durante a fase de uso em laboratório (field
use phase).
A recolha de dados deve ser efectuada com extremo
cuidado em qualquer das duas fases. Por exemplo, é preciso certificarse que os dados são recolhidos nas condições para que foi pensado o
equipamento.
Uma vez recolhidos os dados procede-se à análise dos dados,
obtendo diversos tipos de informação que vão de estimativas da f.d.p. a
intervalos de confiança para a função taxa de falha, tempo esperado até
falha e função de fiabilidade, passando pela bondade do ajustamento
da distribuição ao conjunto de dados.
Texto de apoio: Dhillon (1985, p. 207).
5.2.1
Estimação não paramétrica de caracterı́sticas da
fiabilidade — dados completos
Passe-se à discussão de procedimentos não paramétricos (i.e. procedimentos que não requerem o conhecimento da forma da distribuição
do tempo até falha) passı́veis de utilização na estimação da f.d.p.,
f. fiabilidade e f. taxa de falha à custa de um pequeno número de
observações ou de uma amostra de dimensão considerável que foi
previamente agrupada em classes.
Considere-se em primeiro lugar o caso em que se dispõe de uma
amostra com (dimensão pequena e) observações não agrupadas
114
(ungrouped failure data).
Sejam t(1) , . . . , t(n) as observações ordenadas de um grupo de
n tempos até falha.
Na Tabela 5.1 encontram-se expressões
para as estimativas não paramétricas das três mais importante
caracterı́sticas de fiabilidade — f.d.p., f.f. e f.t.f.
A estimativa R̂[t(i) ] =
n−i+0.625
n+0.25 ,
i = 1, . . . , n, deve-se a Blom (1958),
é muito usada na literatura por conduzir a bons resultados empı́ricos.
Apesar de as estimativas tabeladas serem muito utilizadas não são de
modo algum as únicas estimativas das referidas caracterı́sticas. Por
exemplo,
n−i+1 n−i+0.7 n−i+0.5
n+1 , n+0.4 ,
n
e
n−i
n
são outras estimativas possı́veis
para a f. fiabilidade.
Tabela 5.1: Estimativas não paramétricas da f.d.p., f.f. e f.t.f. — amostra não
agrupada.
Função
Estimativa
f.d.p.
fˆ[t(i) ] =
1
,
(n+0.25)×[t(i+1) −t(i) ]
f. fiabilidade
R̂[t(i) ] =
n−i+0.625
,
n+0.25
f. taxa de falha λ̂[t(i) ] =
i = 1, . . . , n − 1
i = 1, . . . , n
1
,
(n−i+0.625)×[t(i+1) −t(i) ]
i = 1, . . . , n − 1
Exercı́cio 5.1 — Discuta a pertinência e os inconvenientes da f.
fiabilidade empı́rica, R̃[t(i) ] = 1 − ni , i = 1, . . . , n, como estimativa
•
da f. fiabilidade.
Exercı́cio 5.2 — Foram recolhidos os seguintes 9 tempos ordenados
até falha (em anos) de um heat exchanger used in the alkylation unit
de uma refinaria de gasolina: 0.41, 0.58, 0.75, 0.83, 1.00, 1.08, 1.17,
1.25 e 1.35.
a) Determine estimativas da f.d.p., da f.f. e da f.t.f. preenchendo
para o efeito a Tabela 5.2 (Martz e Waller (1982, pp. 106–107)).
115
Tabela 5.2: Estimativas não paramétricas da f.d.p., f.f. e f.t.f. — dados da refinaria
de gasolina.
i
t(i)
t(i+1) − t(i)
1
0.41
0.17
2
0.58
3
0.75
4
0.83
5
1.00
6
1.08
7
1.17
8
1.25
9
1.35
fˆ[t(i) ]
1
9.25×0.17
R̂[t(i) ]
= 0.64
8.625
9.25
= 0.93
λ̂[t(i) ]
1
8.625×0.17
= 0.68
b) Elabore um gráfico de λ̂(t).
c) Que distribuição sugeriria para o tempo até falha face ao
comportamento monótono da estimativa da f.t.f.?
•
Nota — Ao lidar com amostras pequenas importa agir com extrema
cautela pois é sabido que uma simples observação discordante (outling
observation) pode ter uma influência considerável nas estimativas
obtidas.
Considere agora que se lida com uma amostra com dimensão n
considerável e observações agrupadas (grouped failure data).
Sejam:
• N (t) o número de unidades sobreviventes (em funcionamento) no
instante t (number of survivors at time t);
• k o número de classes em que foram agrupados os dados;
116
• [tj , tj+1 ) ([tk , tk+1 ]) a j−ésima classe, j = 1, . . . , k − 1 (j = k) e
∆tj = tj+1 − tj a respectiva amplitude.
Neste caso as estimativas não paramétricas da f.d.p. e da f.t.f. são
definidas por
no. de falhas na classe j
dimensão da amostra × amplitude da classe j
N (tj ) − N (tj+1 )
=
n × ∆tj
no. de falhas na classe j
λ̂(t) =
no. de sobrev. até ao instante tj × amp. classe j
N (tj ) − N (tj+1 )
=
,
N (tj ) × ∆tj
fˆ(t) =
(5.1)
(5.2)
para tj ≤ t < tj + ∆tj , e a da f.f. dada por
no. de sobreviventes até ao instante tj
dimensão da amostra
N (t)
=
, t ≥ 0.
n
R̂(t) =
(5.3)
A Tabela 5.3 resume estas expressões para as estimativas da f.d.p.,
f.f. e f.t.f. para dados agrupados.
Tabela 5.3: Estimativas não paramétricas da f.d.p., f.f e f.t.f. — amostra agrupada.
Função
Estimativa
f.d.p.
fˆ(t) =
N (tj )−N (tj+1 )
,
n×∆tj
tj ≤ t < tj + ∆tj
f. fiabilidade
R̂(t) =
N (t)
,t≥0
n
N (tj )−N (tj+1 )
,
N (tj )×∆tj
tj ≤ t < tj + ∆tj
f. taxa de falha λ̂(t) =
Exercı́cio 5.3 — São efectuadas medições da resistência de diversas
componentes, num grande laboratório governamental, recorrendo para
o efeito a dispositivos de teste cujo funcionamento depende de baterias.
117
A duração destas baterias tem sido um motivo constante de
preocupação pelo que se recolheu o seguinte conjunto de 50
observações do tempo até falha (em meses) dessas mesmas baterias:
Intervalo
No. de falhas
no intervalo
[0, 3)
21
[3, 6)
10
[6, 9)
7
[9, 12)
9
[12, 15)
2
[15, 18]
1
a) Preencha a Tabela 5.4 com estimativas da f.d.p., da f.f. e da f.t.f.
(Martz e Waller (1982, pp. 108–109)).
Tabela 5.4: Estimativas não paramétricas da f.d.p., f.f e f.t.f. — baterias.
j
tj
tj+1
N (tj )
N (tj ) − N (tj+1 )
1
0
3
50
50 − 29 = 21
2
3
6
3
6
9
4
9
12
5
12
15
6
15
18
fˆ(t)
21
50×3
= 0.14
R̂(t)
50
50
= 1.00
b) Elabore e comente os gráficos de fˆ(t), R̂(t) e λ̂(t).
118
λ̂(t)
21
50×3
= 0.14
•
Exercı́cio 5.4 — Os turbofan jet engines começaram a ser usados há
mais de 20 anos como meio de propulsão de aeronaves comerciais:
constituem o que se considera uma forma económica e segura de
transportar carga e passageiros.
Os números de pequenas falhas registadas em intervalos (em horas)
por parte de um conjunto de 432 desses motores estão resumidos na
Tabela 5.5 (Dhillon (1985, pp. 208–209)).
Elabore um programa no package Mathematica por forma a
preencher a Tabela 5.5 com estimativas da f.d.p., da f.f. e da f.t.f.
e a elaborar gráficos de fˆ(t), R̂(t) e λ̂(t).
Tabela 5.5: Estimativas não paramétricas da f.d.p., f.f e f.t.f. — turbofan jet engines.
tj
tj+1
N (tj )
N (tj ) − N (tj+1 )
0
100
432
121
100
200
80
200
300
70
300
400
63
400
500
30
500
600
25
600
700
21
700
800
10
800
900
7
900
1000
5
102 × fˆ(t)
102 ×121
432×100
= 0.281
R̂(t)
432
432
= 1.00
102 × λ̂(t)
102 ×121
432×100
= 0.281
•
Para a descrição da estimação não paramétrica de caracterı́sticas da
fiabilidade referentes a dados incompletos/censurados recomenda-se a
leitura de Gertsbakh (1989, pp. 158–168).
Textos de apoio: Dhillon (1985, pp. 207–210); Martz e Waller (1982,
pp. 105–109).
119
5.2.2
Gráficos TTT
Os gráficos TTT (total time on test plots) foram propostos nos anos
70 e, nesta subsecção, concentramo-nos-emos no seu uso como forma
de determinar qual o comportamento monótono da função taxa
de falha a partir de um conjunto de n observações completas.
Seja N (τ ) o número de unidades sobreviventes até ao instante τ .
Então
T (t) =
Z t
0
N (τ )dτ
(5.4)
representa o tempo total em teste (total time on test) até ao
instante t. Caso as unidades tenham falhado nos instantes ordenados
t(1) , . . . , t(n) o tempo total em teste observado até ao instante t(i) é
igual a
T (t(i) ) =
Z t
(i)
0
N (τ )dτ
= n t(1) + (n − 1) (t(2) − t(1) ) + . . .
+(n − i + 1) (t(i) − t(i−1) ).
(5.5)
(Justifique!) O quociente
0≤
T (t(i) )
≤1
T (t(n) )
(5.6)
é usualmente denominado de tempo total em teste escalado (scaled
total time on test) no instante t(i) .
Ao gráfico com abcissa i/n e ordenada T (t(i) )/T (t(n) ), com i =
0, 1, . . . , n e t(0) = 0, dá-se o nome de gráfico TTT (TTT plot). É
também costume unir estes pontos com segmentos de recta para uma
melhor visualização.
120
Nota 5.5 — O gráfico TTT para observações provenientes de um
modelo exponencial deve ser uma recta com 45o . 2 Se a função taxa
de falha for crescente então o gráfico TTT deverá ser côncavo (i.e.
acima de um segmento de recta com 45o ); caso λ(t) seja monótona
decrescente o correspondente gráfico TTT deverá ser convexo (i.e.
abaixo do referido segmento). Logo a curvatura do gráfico TTT dá
indicação do comportamento monótono mais ou menos acentuado de
•
função taxa de falha e, assim, sugerir um modelo adequado.
Exercı́cio 5.6 — Simule dados provenientes de uma distribuição
exponencial com parâmetro de escala unitário e confirme que o gráfico
TTT pouco se distingue de um segmento de recta com 45o .
•
Exercı́cio 5.7 — Considere-se novamente os 9 tempos ordenados até
falha (em anos) de um heat exchanger used in the alkylation unit de
uma refinaria de gasolina.
Tabela 5.6: Cálculos auxiliares para obter gráfico TTT — refinaria de gasolina.
2
i
t(i)
t(i) − t(i−1)
n−i+1
(n − i + 1)(t(i) − t(i−1) )
T (t(i) )
T (t(i) )
T (t(n) )
1
0.41
0.41
9
3.69
3.69
0.44
2
0.58
0.17
3
0.75
4
0.83
5
1.00
6
1.08
7
1.17
8
1.25
9
1.35
Para uma justificação formal deste resultado consulte-se Barlow (1998, pp. 28–30).
121
Após ter preenchido a Tabela 5.6, elabore e comente o gráfico TTT.
Serão as suas conclusões consistentes com aquelas a que chegou na
alı́nea c) do Exercı́cio 5.2 (Martz e Waller (1982, p. 111))?
•
Nota 5.8 — A construção de gráficos TTT restringe-se ao quadrado
unitário permitindo assim a comparação de vários conjuntos de dados
com distribuições distintas. Estes gráficos são ainda invariantes a
mudanças de escala e de interpretação simples e directa.
•
Exercı́cio 5.9 — Elabore os gráficos TTT num mesmo quadrado
unitário, para os dados dos Exercı́cios 5.10 e 5.12 e pronuncie-se sobre
o comportamento monótono das funções taxa de falha das durações
para estes dois conjuntos de dados.
•
Texto de apoio: Martz e Waller (1982, pp. 109–111).
5.2.3
Papel de probabilidade
A aplicação do papel de probabilidade visa essencialmente:
• a obtenção de uma confirmação visual rápida do ajustamento de
um determinado modelo e
• a estimação grosseira do(s) parâmetro(s) do modelo.
Para a sua construção postula-se que a amostra provém de um
membro da famı́lia de localização–escala, 3 i.e., a f.d. é do tipo
t−λ
,
Fλ,δ (t) = G
δ
!
(5.7)
onde λ (λ ∈ IR) e δ (δ > 0) representam aqui os parâmetros de
localização e escala, respectivamente.
3
Ou que esse membro está de algum modo relacionado com uma famı́lia desse tipo.
122
O papel de probabilidade é obtido considerando como ordenadas
as observações ordenadas (ou uma sua transformação, por exemplo,
logarı́tmica) e como abcissas quantis de probabilidade (ou uma
sua transformação) escolhidos de tal forma que o gráfico é
aproximadamente linear quando o modelo postulado se adequa
às observações.
Para compreender os aspectos teóricos subjacentes ao papel
de probabilidade, é necessário definir algumas quantidades e atender
a alguns factos:
• defina-se
t(i) − λ
;
pi = Fλ,δ [t(i) ] = G
δ
!
(5.8)
• o quantil de probabilidade pi é igual a
G−1 (pi ) =
1
λ
× t(i) − ,
δ
δ
(5.9)
logo corresponde a uma função linear de t(i) ;
• os quantis G−1 (pi ) são desconhecidos uma vez que se desconhece
os parâmetros da f.d. da população; estes quantis têm de ser,
portanto, estimados;
• a v.a. Fλ,δ [T(i) ] (função de distribuição da v.a. de interesse T ,
avaliada em T(i) ) verifica, para qualquer modelo contı́nuo,
Fλ,δ [T(i) ] ∼ beta(i, n − i + 1);
(5.10)
• uma estimativa possı́vel para pi = Fλ,δ [t(i) ] é o valor esperado
E{FT [T(i) ]} =
i
n+1 ,
usualmente designado de plotting point,
123
donde se segue que a correspondente estimativa do quantil
G−1 (pi ) seja
i
.
(5.11)
i) = G
n+1
Esta estimativa deve ser confrontada graficamente com t(i) . Ao
d
G−1
(p
!
−1
gráfico cuja
−1
• abcissa é igual a G
i
n+1
(ou uma sua transformada) e cuja
• ordenada é igual a t(i) (ou uma sua função)
dá-se o nome de papel de probabilidade. 4
A ordenada na origem (− λδ ) e o declive ( 1δ ) da recta traçada “a
olho”constituem estimativas grosseiras dos parâmetros do modelo.
Por forma a ilustrar a construção de papéis de probabilidade serão
considerados alguns exercı́cios.
Exercı́cio 5.10 — Foram registados os seguintes tempos até falha
(em meses) de um osciloscópio 5 usado numa das oficinas de um grande
laboratório: 0.30, 0.55, 0.56, 0.86, 0.93, 1.15, 1.42, 1.75. (Martz e
Waller (1982, pp. 113–114)).
a) Construa um papel de probabilidade para averiguar a adequação
do modelo exponencial a este conjunto de dados.
b) Obtenha uma estimativa grosseira para o parâmetro de escala
deste modelo.
c) Repita as alı́neas a) e b) considerando agora a seguinte abcissa
n + 0.25
ln
n − i + 0.625
e comente os resultados agora obtidos.
4
5
!
Este gráfico é por vezes designado de Q-Q plot (Q de quantil).
Aparelho que permite a visualização dos sinais eléctricos num ecrã fluorescente.
124
•
Exercı́cio 5.11 — Com o objectivo de estudar o tempo até falha
de certo equipamento electrónico (em milhares de horas), uma
matemática e um engenheiro recolheram e ordenaram um total de
50 observações, obtendo a seguinte conjunto de observações:
2.001
2.007
2.017
2.026
2.036
2.075
2.077
2.082
2.101
2.137
2.156
2.161
2.181
2.196
2.214
2.227
2.320
2.367
2.424
2.443
2.444
2.449
2.478
2.520
2.579
2.581
2.598
2.637
2.691
2.715
2.720
2.825
2.863
2.867
3.016
3.176
3.360
3.413
3.567
3.721
3.727
3.769
3.803
4.329
4.420
4.795
6.009
6.281
6.784
8.305
Dada a natureza dos dados, os elementos de tal equipa de trabalho
suspeitam que as observações tenham sido geradas por um modelo
Pareto, com parâmetros λ e δ e cuja função de distribuição é dada por
λδ
Fλ,δ (t) = 1 − δ , t ≥ λ,
t
(5.12)
para λ, δ > 0.
Descreva detalhadamente como poderia tal equipa confirmar
graficamente tal suspeita e ilustre a utilização da técnica gráfica
em questão elaborando para o efeito um programa no package
•
Mathematica.
Exercı́cio 5.12 — Suspeita-se que os seguintes tempos até falha
sejam provenientes de uma distribuição pertencente ao modelo Weibull
com parâmetros de escala e forma λ e α: 49, 73, 103, 140, 162, 164,
181, 196, 232, 248, 288, 290, 309, 377, 388, 464, 500 horas.
Construa o correspondente papel de probabilidade por forma a
averiguar a razoabilidade de tal suspeita.
125
•
Exercı́cio 5.13 — Para o estudo do tempo (em minutos) até à
ocorrência da mitose 6 de certa estirpe de bactéria recolheu-se a seguinte amostra: 1.242, 1.626, 0.123, 2.957, 0.388, 3.841, 1.961, 0.938.
Para escolher um modelo probabilı́stico adequado, um biólogo
traçou um gráfico, onde marcou os pontos ln(9/(9 − i)), t(i) .
Ao constatar que os pontos traçados apresentavam uma disposição
aproximadamente linear que passava pela origem, o biólogo escolheu
certo modelo uniparamétrico.
a) Identifique o modelo escolhido, justificando o procedimento usado
pelo biólogo.
b) Com base no gráfico, o biólogo considerou o valor 0.56 como
estimativa razoável para o parâmetro desconhecido. Diga como
procedeu o biólogo para obter a estimativa referida.
•
Como pudemos ver o papel de probabilidade — embora nos dê uma
ideia visual do ajustamento de um modelo a um conjunto de dados —
tem a desvantagem de terem de ser construı́do especificamente para
cada um dos modelos postulados, ao contrário do que acontecia com
os gráficos TTT. 7
Acrescente-se que a técnica do papel de probabilidade não pode ser
usado para modelos discretos 8 nem para modelos contı́nuos como os
modelos gama (a menos que o parâmetro de forma seja conhecido)
e beta (a menos que se trate do modelo uniforme, porque ambos os
parâmetros são de forma).
Em Martz e Waller (1982, pp. 112–118) podem encontrar-se papéis
de probabilidade para os modelos exponencial, Weibull, normal e log6
Conjunto de fenómenos citoplasmáticos e nucleares que culminam na divisão da célula em que
ocorreram.
7
Recorde-se que os gráficos TTT não se prestam à verificação do ajustamento de modelos.
8
Basta pensar na génese do plotting point usado no papel de probabilidade.
126
normal. Estes papéis de probabilidade fazem — sem excepção — uso
de plotting points distintos daquele aqui usado,
i
n+1 , i
= 1, . . . , n.
Textos de apoio: Martz e Waller (1982, pp. 112–118); Paulino (1992,
pp. 42–46).
5.2.4
Testes de ajustamento
Nesta subsecção serão recordados a tı́tulo de exercı́cio os testes de
ajustamento de Kolmogorov-Smirnov e do qui-quadrado.
São em
qualquer dos casos procedimentos estatı́sticos que permitem avaliar
se os dados são ou não consistentes com uma dada hipótese sobre
o modelo gerador dos dados, modelo este que poderá ser uma
distribuição especı́fica (hipótese nula simples) ou uma famı́lia de
distribuições (hipótese nula composta).
Exercı́cio 5.14 — Retome o Exercı́cio 5.13 e descreva, justificando e
efectuando alguns cálculos ilustrativos, o procedimento que o biólogo
deveria adoptar para testar a hipótese formulada: T ∼ exponencial
•
(0.56).
Exercı́cio 5.15 — Retome agora o Exercı́cio 5.12 e averigue a
adequação da distribuição Pareto(λ̂, δ̂) onde λ̂ = t(1) e δ̂ =
[ln(mg /t(1) )]−1 representam as estimativas de MV de λ e δ e mg =
Q
1/50
50
t
i=1 i
= 2.852 a média geométrica da amostra.
Para tal calcule estas mesmas estimativas e confirme que as frequências
absolutas observadas resultantes do agrupamento dos dados em 5
classes equiprováveis sob a conjectura acima são: 12, 6, 13, 7 e 12.
•
Para uma discussão mais alongada acerca destes testes de
ajustamento consulte-se Paulino (1992, pp. 46–56).
127
Texto de apoio: Paulino (1992, pp. 46–56).
128
5.3
Testes de vida e estimação de MV
Como se viu os métodos de estimação assumem a existência de dados
recolhidos naquilo que usualmente se designa de teste de vida ou
ensaios.
Para o efeito e dependendo do objectivo de tal teste, uma amostra
de n itens é posta em teste sob condições experimentais/ ambientais
especı́ficas, procedendo-se ao registo dos tempos até falha.
Caso um item seja substituı́do quando falha por um outro item
novo, diz-se que o teste de vida está a ser efectuado com reposição.
Caso contrário o teste de vida diz-se sem reposição.
Já tivemos oportunidade de referir que algumas situações
experimentais conduzem a dados
incompletos/ censurados,
aquando da ilustração da utilidade das estatı́sticas ordinais em
fiabilidade no Capı́tulo 2. É sabido que tal censura pode ser feita
ou ao fim de decorrido um tempo fixo t0 — Censura de Tipo I
(à direita) —, ou após o registo de um número fixo r de falhas —
Censura de Tipo II.
Em qualquer destes testes de vida pode ocorrer a retirada
(withdrawal) de um item antes de este sequer ter falhado, sendo
somente registado o tempo de sobrevivência/presença da unidade no
teste.
Refira-se ainda que, por forma a induzir falhas em equipamento
muito fiável, são usados métodos de teste especiais denominados de
testes de vida acelerados (accelerated life tests). Neste tipo de
teste, as unidades são testados sob condições ambientais extremas, de
longe mais severas que aquelas em que as unidades virão a funcionar
na prática. São então usadas relações matemáticas (propostas ou
129
existentes) para extrapolar os resultados obtidos nos testes de vida
acelerados para as condições ambientais usuais.
Definição 5.16 — Uma vez feitas estas considerações gerais sobre
testes de vida, é de listar os 4 tipos de testes de vida mais usuais
de acordo com Martz e Waller (1982, p. 119) e aqueles que irão ser
considerados doravante:
1. Teste de vida com reposição e censura do Tipo II
(Type II/item–censored testing with replacement) — O teste é
concluı́do após a ocorrência de um número pré-especificado r de
falhas e uma unidade que falhe é imediatamente substituı́da por
uma outra nova no decurso do teste.
2. Teste de vida sem reposição e com censura do Tipo II
(Type II/item–censored testing without replacement) — O teste é
concluı́do após a ocorrência de um número pré-especificado r de
falhas e as unidades não são substituı́das quando falham.
3. Teste de vida com reposição e censura do Tipo I
(Type I/item–censored testing with replacement) — O teste é
concluı́do após decorrido tempo pré-especificado t0 e uma unidade
que falhe é imediatamente substituı́da por uma outra nova no
decurso do teste.
4. Teste de vida sem reposição e com censura do Tipo I
(Type I/item–censored testing without replacement) — O teste é
concluı́do após decorrido tempo pré-especificado t0 e as unidades
não são substituı́das quando falham.
•
No planeamento do teste é importante ter presente que a qualidade
das estimativas depende do número de unidades em teste, do número
130
pré-especificado de falhas r até à conclusão do teste de vida (ou da
duração fixa do mesmo t0 ). Quanto mais unidades forem colocadas
em teste, mais rapidamente se registará r falhas; contudo, é preciso
arranjar uma solução de compromisso entre as vantagens económicas
de um teste com pequena duração e as desvantagens económicas de
ter muitas unidades em teste. O problema da optimização subjacente
à escolha de r e n será discutido mais adiante.
Definição 5.17 — Sejam T(1) , . . . , T(n) as estatı́sticas ordinais e T
o tempo total em teste acumulado pelas n unidades em teste
incluindo aquelas que falharam durante o teste e aquelas que não
falharam antes da conclusão do mesmo. Então tem-se para os 4 tipos
de testes de vida:
1. Teste de vida com reposição e censura do Tipo II
T = n T(r) , onde r é uma constante fixa à partida e T(r) uma v.a.;
2. Teste de vida sem reposição e com censura do Tipo II
T =
Pr
i=1 T(i)
+ (n − r)T(r)
= nT(1) +(n−1)(T(2) −T(1) )+. . .+(n−r+1)(T(r) −T(r−1) ), r ≤ n,
onde r é uma constante fixa à partida e T(r) uma v.a.;
3. Teste de vida com reposição e censura do Tipo I
T = n t0 , onde t0 é a duração fixa à partida para o teste de vida
e R representa o número de falhas ocorridas nesse intervalo de
tempo;
4. Teste de vida sem reposição e com censura do Tipo I
131
T =
PR
i=1 T(i)
+ (n − R)t0 , R ≤ n, onde t0 é a duração fixa à
partida para o teste de vida e R representa o número de falhas
•
ocorridas nesse intervalo de tempo.
Nota 5.18 — Nos casos 1. e 3., n representa o número de locais
disponı́veis para efectuação dos testes de vida e r e R podem exceder
n uma vez que há reposição/ substituição das unidades que falham. •
No Capı́tulo 2 constatou-se que o método da MV 9 facilmente se
adaptava aos tipos de censura I e II (sem substituição por falha das
unidades no decurso do teste), permitindo a estimação de parâmetros
à custa de dados censurados nas situações 2.
e 4.
da Definição
5.16. Na altura foram ainda adiantadas expressões para a função de
verosimilhança nestes dois casos.
A seguir encontram-se as funções de verosimilhança para as
situações 2.
e 4.
da referida definição, considerando-se para tal
que θ = (θ1 , . . . , θk ) é o vector de parâmetros desconhecidos que se
pretende estimar, que ti:n = t(i) e que θ̂ = (θˆ1 , . . . , θˆk ) é a respectiva
estimativa de MV.
Teorema 5.19 — Sejam L(θ) a função de verosimilhança e Fθ (t))
(Rθ (t)) a função de distribuição (fiabilidade) da duração de vida das
n unidades. Então a função de verosimilhança toma as seguintes
expressões dependendo do tipo de ensaio efectuado:
2. Teste de vida sem reposição e censura do Tipo II


r
n!  Y
L(θ) =
fθ (ti:n ) × [Rθ (tr:n )]n−r ,
(n − r)! i=1
(5.13)
para −∞ < t1:n < . . . < tr:n < ∞ e r = 1, . . . , n;
9
O método da MV foi introduzido por R. Fisher numa série de trabalhos, o primeiro dos quais
publicado em 1912.
132
4. Teste de vida sem reposição e censura do Tipo I
L(θ) = hθ (t1:n , . . . , tr:n | R = r) × Pθ (R = r)
= r!
r
Y


i=1


n
f (ti:n )  
×
Fθ (t0 )
r




[Fθ (t0 )]r [Rθ (t0 )]n−r

r
n!  Y
f (ti:n ) [R(t0 )]n−r ,
=
(n − r)! i=1
(5.14)
para −∞ < t1:n < . . . < tr:n < t0 < ∞ e r = 1, . . . , n.
•
A razão pela qual não foram adiantadas expressões para a função
de verosimilhança em testes de vida com substituição (situações 1. e
3.) prende-se com a dificuldade em obter expressões genéricas para
tais testes. Refira-se no entanto que elas são relativamente simples
para populações exponenciais, como poderemos constatar na secção
seguinte.
Os estimadores de MV obtidos à custa destas funções de verosimilhança possuem boas propriedades, senão melhores que as dos
estimadores obtidos por outros métodos de estimação.
Para
nos
debruçarmos
brevemente
sobre
algumas
dessas
propriedades importa considerar que Θ̂j (n) representa o estimador
de MV de θj , j = 1, . . . , k, obtido com base em amostra aleatória de
dimensão n e definir a seguinte matriz.
Definição 5.20 — A matriz de informação de Fisher é definida
por
I(θ, n) = [Iij (θ, n)]i,j=,...,k
∂ 2 ln L(θ) 


= E −
∂θi ∂θj
i,j=,...,k



133
(5.15)
onde ln L(θ) depende de n e deve ser encarado como se de uma v.a.
se tratasse, i.e., as observações que figuram na sua expressão devem
•
ser substituı́das pelas respectivas v.a.
Nota 5.21 — Sob certas condições de regularidade os estimadores de
MV verificam entre outras propriedades as duas seguintes:
• Θ̂j (n) é estimador consistente de θj e
Θ̂j (n)−θj
−1
• o estimador de MV devidamente reduzido, √
−1 (onde [I(θ)]jj
[I(θ)]jj
representa a j−ésima entrada da diagonal da inversa da matriz
de informação de Fisher) possui distribuição assintótica normal
•
padrão.
É à custa deste último resultado que se pode adiantar intervalos
de confiança e construir testes de hipóteses (em qualquer dos casos
assintó-ticos) para os parâmetros desconhecidos.
Para mais generalidades e alguns detalhes acerca deste tipo de
inferência no domı́nio da fiabilidade consulte-se Gertsbakh (1989,
pp. 186–193).
Textos de apoio: Gertsbakh (1989, pp. 179–194); Martz e Waller
(1982, pp. 118–120).
134
5.4
Estimação no modelo exponencial
Como foi referido anteriormente, o modelo exponencial é sem dúvida
o mais frequentemente considerado em testes de vida. Não é raro
constatar que a sua aplicação prática se deve sobretudo à simplicidade
do modelo (e das inferências sobre o mesmo) e não à sua adequação
aos dados.
Pretende-se, essencialmente, nesta secção, adiantar procedimentos
que permitam inferir — com certa precisão e evitando ultrapassar
sempre que possı́vel certo custo fixo — algumas caracterı́sticas de
fiabilidade de um tempo até falha com distribuição pertencente ao
modelo exponencial uni-paramétrico, i.e., com a seguinte f.d.p.
fT (t) = λe−λt , t ≥ 0
(5.16)
Com efeito procurar-se-á, de um modo geral, obter estimadores
centrados de variância uniformemente mı́nima (UMVUE),10 bem como
intervalos de confiança (ou testes de hipóteses) para:
• E(T ) = λ−1 , o valor esperado do tempo até falha (ou,
equivalentemente, para a sua função taxa de falha, λT (t) = λ, t ≥
0);
• RT (t) = e−λt , t ≥ 0, a função de fiabilidade; ou ainda,
, o quantil de probabilidade p, também
• FT−1 (p) = − ln(1−p)
λ
designado de reliable life na literatura anglo-saxónica versando
fiabilidade.
Textos de apoio: Gomes e Barão (1999, pp. 164–175); Martz e Waller
(1982, pp. 120–129); Kapur e Lamberson (1977, pp. 233–290).
10
Uniformly minimum variance unbiased estimator.
135
5.4.1
Validação do modelo exponencial
Antes de nos debruçarmos sobre as inferências sobre o modelo
exponencial propriamente ditas, descreveremos um teste de hipóteses
que, a par dos testes de ajustamento de Kolmogorov–Smirnov e do
qui-quadrado, permitirá averiguar o adequação de um modelo com
taxa de falha constante, i.e., exponencial: o teste de ajustamento
de Bartlett que se basea numa razão de verosimilhanças.
Embora não se trate do mais comum dos testes para avaliar a
adequação do modelo exponencial é, de acordo com alguns autores,
o mais potente na avaliação da adequação deste modelo.
Considere-se que T(1) , . . . , T(r) , . . . , T(n) representam as estatı́sticas
ordinais e r o número de falhas que determinam o instante de conclusão
do teste de vida (com qualquer dos dois tipos de censura).
O procedimento geral deste teste compreende os seguintes passos
que nos escusamos a comentar em grande detalhe:
• Hipóteses — H0 : T ∼ exponencial vs. H1 : T ∼ Weibull(δ, α),
α 6= 1.11
• Nı́vel de significância — α0
• Estatı́stica de teste — Esta estatı́stica será doravante
representada por Br e depende do tipo de teste de vida com que
estejamos a lidar. Ao lidar-se com dados completos
Br
=
a
∼H0
2r
1 + r+1
6r
2
χ(r−1)


ln
Pr
!
i=1 T(i)
r


r

1X
−
ln[T(i) ]
r i=1
(5.17)
onde r = n e T(i) representa o instante da i−ésima falha.
11
A leitura de Kapur e Lamberson (1977, p. 240) leva a crer que seja esta a hipótese alternativa.
136
Ao lidar-se com teste de vida com censura do Tipo II sem
reposição tem-se
Br
=
a
∼H0
2r
1 + r+1
6r
T
ln
r
r
1X
−
ln{(n − i + 1)[T(i) − T(i−1) ]}
r i=1
χ2(r−1)
!
(5.18)
onde os T(i) − T(i−1) s representam os tempos entre falhas
consecutivas.
Tratando-se de teste de vida com censura do Tipo I com reposição
tem-se
Br
=
a
∼H0
2r
1 + r+1
6r
2
χ(r−1)


Pr
!
i=1 Zi
ln
r


r

1X
−
ln(Zi )
r i=1
(5.19)
onde os Zi s representam os tempos entre falhas.12
• Região de rejeição de H0 —
W =
!
−1
0, Fχ2 (α0 /2)
(r−1)
∪
Fχ−1
(1
2
(r−1)
!
− α0 /2), +∞
• Decisão — Seja br o valor observado da estatı́stica de teste.
Então:
– se br ∈ W devemos rejeitar H0 (hipótese de exponencialidade)
para qualquer nı́vel de significância α ≥ α0 ;
– caso contrário, não devemos rejeitar H0 para nenhum nı́vel
de significância α ≤ α0 .
O teste de Bartlett será aplicado de seguida a situações
representativas do que se pode encontrar na prática.
12
Kapur e Lamberson (1977, pp. 239–247) apresentam somente estas duas estatı́sticas de teste
ao longo dos exemplos apresentados com dados censurados.
137
Exercı́cio 5.22 — Os dados na Tabela 5.7 dizem respeito ao número
de horas até falha de 20 termóstatos sujeitos a testes de vida acelerados
por aplicação de sobrecarga voltaica (Kapur e Lamberson (1977,
p. 240)).
Tabela 5.7: Horas até falha de 20 termóstatos
No. de horas até falha
100
7120
24110
36860
340
12910
28570
38540
1940
13670
31620
42110
5670
19490
32800
43970
6010
23700
34910
64730
Tempo total em teste
469170
Averigue a adequação do modelo exponencial a este conjunto de
dados considerando para o efeito um nı́vel de significância de 10%. •
Exercı́cio 5.23 — Os instantes de falha e os tempos entre falhas de
travões consecutivas de um camião de meia tonelada sujeito a 245
horas de vibração encontram-se na Tabela 5.8.
Tabela 5.8: Instantes de falha e os tempos entre falhas consecutivas de camião
Instantes de falha
Tempos entre falhas
21.2
74.7
108.6
157.4
21.2
0.1
15.3
5.8
47.9
76.8
112.9
164.7
26.7
2.1
4.3
7.3
59.2
84.3
127.0
196.8
11.3
7.5
14.1
32.1
62.0
91.0
143.9
214.4
2.8
6.7
16.9
17.6
74.6
93.3
151.6
218.9
12.6
2.3
7.7
4.5
Após ter identificado o tipo de teste de vida, examine este
conjunto de dados e averigue se estes tempos entre falhas podem ser
138
exponencialmente distribuı́dos (Kapur e Lamberson (1977, pp. 239–
•
240)).
Exercı́cio 5.24 — A Tabela 5.9 contém um conjunto de dados
resultante de um teste de vida com caracterı́sticas distintas à do
Exercı́cio 5.22. Foram usados neste teste de vida 9 locais. Em cada um
deles foi colocado um termóstato que era imediatamente substituı́do
por outro novo assim que falhasse. Cada um dos locais de teste esteve
em observação durante 20000 horas.
Tabela 5.9: Dados referentes a nove locais de teste de termóstatos
Local
Instantes de falha
Tempos entre falhas
1
6700
6700
2
4600
4600
3
4100, 18100, 18950
4100, 14000, 850
4
5400
5400
5
3100, 8100
3100, 5000
6
2600
2600
7
Sem registo de falha
—
8
4700
4700
9
Sem registo de falha
—
Identifique o teste de vida descrito e averigue quão razoável é o
modelo exponencial para este conjunto de dados (Kapur e Lamberson
•
(1977, pp. 241–242)).
Texto de apoio: Kapur e Lamberson (1977, pp. 239–247).
5.4.2
Amostra completa
Começar-se-á por considerar a situação mais simples, aquela que
envolve dados completos, passando depois para inferências sobre o
139
modelo exponencial nas 4 situações consideradas em que há censura.
O estimador de MV de λ é, para o caso em que lidamos com a
amostra completa, igual ao inverso da média da amostra aleatória
Λ̂ =
n
=T
Pn
i=1 Ti
−1
.
(5.20)
Deste modo, invocando a propriedade de invariância dos estimadores
de MV, obtemos as estimativas de MV da Tabela 5.10.
Tabela 5.10: Algumas estimativas de MV
Parâmetro
Estimativa MV
E(T ) = λ−1
Ê(T ) = λ̂−1
RT (t) = e−λt
R̂T (t) = e−λ̂t
FT−1 (p) = − λ1 ln(1 − p)
F̂T−1 (p) = − λ̂1 ln(1 − p)
Mais adiantamos que Λ̂−1 = T é um estimador UMVUE para
E(T ) e que
Pn
i=1 Ti
(e naturalmente Λ̂) é uma estatı́stica suficiente 13
para λ.
Exercı́cio 5.25 — Prove que R̂T (t) = e−Λ̂t não é um estimador
centrado de RT (t), i.e., E[R̂T (t)] 6= RT (t)(= e−λt ).
•
Pelo facto de o estimador de MV não ser um estimador centrado da
função de fiabilidade é costume recorrer a um estimador alternativo
UMVUE 14 definido do seguinte modo:
 


R̃T (t) = 


13
14
n−1
1 − Λ̂t/n
0, t ≥ nΛ̂
, t < nΛ̂−1 =
−1
Pn
i=1 Ti
(5.21)
I.e., contém toda a informação relevante para a estimação de λ.
Este estimador é, por sinal, obtido por aplicação do Teorema de Rao-Blackwell (Bain (1978,
p. 124)). A dedução deste estimador pode encontrar-se em Gomes e Barão (1999, pp. 166–167).
140
Refira-se por fim que a v.a. fulcral a utilizar por forma a obter
um intervalo de confiança para λ (ou a obter uma estatı́stica de teste
para λ) é 2nλ/ Λ̂ = 2λ
Pn
i=1 Ti
∼ χ2(2n) .
Exercı́cio 5.26 — Retome o dados do Exercı́cio 5.22 se reportam ao
número de horas até falha de 20 termóstatos sujeitos a testes de vida
acelerados.
a) Obtenha uma estimativa pontual centrada bem como um
intervalo de confiança equilibrado a (1 − α) × 100% = 95% para
a fiabilidade para um perı́odo de 30000 horas, RT (30000).
Sugestão — Para obter este intervalo de confiança tire partido
de a função de fiabilidade ser uma função monótona decrescente
de λ e utilize os quantis de probabilidade α/2 e (1 − α/2).
b) A quantas horas se estima que metade dos termóstatos serão
capazes de resistir/ sobreviver? Adiante uma estimativa pontual
e outra intervalar para tal número, i.e., para FT−1 (0.50).
•
pp. 164–175); Martz e Waller (1982, pp. 120–123).
5.4.3
Testes de vida com censura
O tempo total acumulado em teste T (e R, o número de
falhas ocorridas em (0, t0 ]) representa(m) um papel preponderante na
estimação de λ ao lidar-se com o modelo exponencial e situações de
censura.
Para já, as expressões do estimador de MV de λ para os 4 casos
encontram-se nas Tabelas 5.11 e 5.13, onde, recorde-se, T se define
para os 4 tipos de teste de vida com censura de acordo com a Tabela
141
5.12, onde: r é uma constante fixa à partida e T(r) uma v.a., em testes
de vida com censura do Tipo II; t0 é a duração fixa à partida e R
representa o número de falhas ocorridas em (0, t0 ], para testes de vida
com censura do Tipo I.
Tabela 5.11: Estimadores de MV para λ — dados censurados
Censura
Estimador de MV (Λ̂)
1./2. Tipo II com/sem reposição
r/ T
3./4. Tipo I com/sem reposição
R/ T , R > 0
Tabela 5.12: Tempos totais acumulados em teste — dados censurados
Censura
Tempo total acumulado em teste (T )
1. Tipo II com reposição
n T(r)
2. Tipo II sem reposição
Pr
3. Tipo I com reposição
n t0
4. Tipo I sem reposição
PR
i=1
i=1
T(i) + (n − r)T(r) , r ≤ n
T(i) + (n − R)t0 , R ≤ n
Exercı́cio 5.27 — Escreva as funções de verosimilhança para testes
de vida com censura do Tipo I (situações 3. e 4.), distinguindo os
•
casos em que R = 0 e R > 0.
Importante — Na verdade para testes de vida com censura do
Tipo I, por termos duas expressões para a função de verosimilhança
nas situações 3. e 4., o estimador de MV de λ só é igual a R/ T para
R > 0. Assim, lidaremos com os estimadores de MV da Tabela 5.13.
Invocando mais uma vez a propriedade de invariância dos
estimadores de MV, os estimadores de MV de E(T ), RT (t) e FT−1 (p)
142
Tabela 5.13: Estimadores de MV para λ — dados censurados
Censura
Estimador de MV de λ (Λ̂)
r/ T


0, R = 0



R/ T , R = 1, . . . , n

R/ T , R = 1, . . . , n
1/ T , R = 0
obtêm-se substituindo λ̂ nas expressões da Tabela 5.10 por Λ̂ = r/ T .
Quanto à existência de estimadores UMVUE para E(T ) e RT (t),
a Tabela 5.14 deixa bem claro que modificações ligeiras nos testes de
vida podem gerar dificuldades na obtenção de estimadores deste tipo
para esse par de parâmetros.
Tabela 5.14: Estimadores UMVUE de E(T ) e RT (t) — dados censurados
Censura
Estimador UMVUE de
E(T )
RT (t)
T /r
Não existe
Em aberto

 1 − T −1 tr−1 , t < T
R̃T (t) =
 0, t ≥ T
−1 R
R̃T (t) = 1 − T
t
, t<T, R>0
Em aberto
Por outro lado, a Tabela 5.15 resume as estatı́sticas que, isolada
ou conjuntamente, são suficientes para o modelo/ parâmetro na
presença de censura.
Por fim adiante-se expressões para os intervalos de confiança
equilibrados a (1 − α) × 100% para λ, IC(1−α)×100% (λ), para alguns
143
Tabela 5.15: Estatı́sticas suficientes para λ — dados censurados
Censura
Estatı́stica suficiente
T
R
(T , R)
tipos de teste de vida. Para tal considere-se que o valor observado
do tempo total acumulado em teste é representado por t̃.
Tabela 5.16: Intervalos de confiança para λ — dados censurados
Censura
IC(1−α)×100% (λ)

F −1
2
χ
(2r)


2 t̃
F −1
2
χ
(2r)

(α/2) F −1
2
;
χ
(2r)
(α/2) F −1
2
2 t̃
;
(1−α/2)

2 t̃

χ
(2r+2)
(1−α/2)
2 t̃


Assinale-se que o intervalo de confiança para λ na situação 3. é
aproximado e depende de quantis respeitantes a duas distribuições do
qui-quadrado com número de graus de liberdade distintos.
Estes resultados prendem-se com o facto de a v.a. fulcral para λ
depender naturalmente do tipo de teste de vida.
Por exemplo, é suposto lidar com a v.a. fulcral da Tabela 5.17,
onde a expressão do estimador de MV (tempo total em teste), Λ̂ (T ),
depende do teste de vida efectuado com censura do Tipo II.
Ao lidar-se com censura do Tipo I com reposição vemo-nos
144
Tabela 5.17: V.a. fulcrais para λ — dados censurados
Censura
V.a. fulcral para λ
1./2. II com/sem reposição
2rλ
Λ̂
= 2λT ∼ χ2(2r)
confrontados com uma estatı́stica suficiente com distribuição discreta
R ∼ P oisson(nλ t0 ),
(5.22)
cuja f.d. está relacionada do seguinte modo com a f.d. de uma v.a. do
qui-quadrado:
P (R ≤ r) = FP oisson(nt0 λ) (r)
= 1 − Fχ2(2(r+1)) (2nt0 λ)
(5.23)
para qualquer inteiro positivo r, donde
P (R ≥ r) = 1 − P (R ≤ r − 1)
= 1 − FP oisson(nt0 λ) (r − 1)
= Fχ2(2r) (2nt0 λ).
(5.24)
A natureza discreta de R não permite a obtenção de um intervalo com
grau de confiança exactamente igual a (1 − α) × 100%, a menos que
se escolha em primeiro lugar um par de quantis de probabilidade da
distribuição de R, rL e rU , e se averigue depois qual o grau de confiança
do intervalo, i.e., se calcule a probabilidade P (rL ≤ R ≤ rU ).
De referir também que se pode tirar partido do facto de E(T ) = λ−1
ser uma função monótona decrescente de λ para obter intervalos de
confiança (exactos ou aproximados) a partir daqueles que constam da
Tabela 5.16.
145
Exercı́cio 5.28 — Deduza IC(1−α)×100% (λ) para um teste de vida
com censura do Tipo I com reposição (Bain (1978, pp. 156–7).
•
Exercı́cio 5.29 — Num estudo foram registadas 50 falhas no ano
de 1972 (8760 horas) num total de 5613 componentes utilizadas em
reactores nucleares (Martz e Waller (1982, p. 123)).
Determine
estimativas
pontuais
e
intervalos
de
confiança
equilibrados a 95% para: λ; a fiabilidade para um perı́odo de 1 ano,
i.e., RT (8760); e FT−1 (0.80).
•
pp. 167–171); Martz e Waller (1982, pp. 120–123).
5.4.4
Escolha da fracção a censurar e minimização de custos
de amostragem
Suponha-se que se está a efectuar um teste de vida em que é
conveniente dá-lo por concluı́do após a ocorrência de r falhas, i.e., o
teste está associado a censura do Tipo II (já agora) sem reposição.
Para além disso, assuma-se que se pretende seleccionar o número
de unidades a colocar em teste, n, por forma a verificar-se uma
redução especı́fica na duração esperada do mesmo ou de modo
a que o custo esperado do teste seja minimizado.
É sobre estes dois problemas de optimização que nos debruçaremos
já de seguida.
É sabido que o valor esperado do duração do teste com este tipo
de censura é igual a E(Tr:n ) =
Pr
1
i=1 (n−i+1)λ .
Por forma a eliminar
a dependência de E(Tr:n ) do parâmetro desconhecido λ é costume
considerar o quociente entre a duração esperada do teste com censura
146
do Tipo II sem reposição e o que se esperaria se n = r (Bain (1978,
p. 139) e Martz e Waller (1982, p. 121))
E(Tr:n )
=
E(Tr:r )
Pr
1
i=1 n−i+1
Pr
1 .
i=1 r−i+1
(5.25)
Alternativamente, pode considerar-se a redução relativa percentual na
duração esperada do teste, tendo como referência a duração esperada
do teste com censura do Tipo II sem reposição quando n = r:



E(Tr:n ) 
1 −
× 100% = 1 −
E(Tr:r )
Pr
1 
i=1 n−i+1 
Pr
1
i=1 r−i+1
× 100%.
(5.26)
Exercı́cio 5.30 — Apure a redução esperada se dispusse de 20 itens
e decidisse terminar o teste ao fim de 8 falhas (Martz e Waller (1982,
p. 121)). Construa uma tabela com os valores do quociente acima
para r = 10, 20, 30, 50, 100 e n/r = 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 2, 3 (Bain (1978,
•
p. 139)).
O custo associado a um teste de vida com censura do Tipo II
sem reposição — envolvendo n unidades e conclusão à ocorrência da
r−ésima falha — é dado pela equação
C(n, r) = c1 × Tr:n + c2 × n + c3 .
(5.27)
A constante c1 representa o custo por unidade de tempo em teste.
Por seu lado c2 poderá representar o custo por cada unidade em teste
Por último c3 representa o custo fixo de cada teste (por exemplo, o
custo incorrido por se usar equipamento de teste) independentemente
do número de unidades em teste e da duração do mesmo.
É possı́vel determinar n à custa de r por forma a minimizar
E[C(n, r)]. O valor recomendado por Bain (1978, p. 141) é
n=



0.5 r
4c1
+ 0.5 r 1 +
c2 rλ
!1/2 


.
147
(5.28)
Ora pelo facto de se desconhecer λ e de V (Tr:n ) =
1
rλ2
deve considerar-
se que r foi escolhido por forma a que o estimador de λ possuı́sse
variância v e deste modo substituir-se λ por (r × v)−1/2 , obtendo-se


1/2 
√




4c
r
×
v
1



.
n = 0.5 r + 0.5 r 1 +
(5.29)
c2 r
Exercı́cio 5.31 — Deduza a Equação (5.28).
Sugestão: Deve aumentar-se n até que D(n, r) = E[C(n − 1, r)] −
E[C(n, r)] seja negativo, para r fixo.
•
À laia de conclusão, refira-se que a estimação no modelo Weibull é
substancialmente mais difı́cil que no modelo exponencial pois aquele
não goza da propriedade chave que este último possui: a falta de
memória. Para o efeito, remete-se o leitor para os seguintes textos
de apoio: Bain (1978, pp. 205–301); Gertsbakh (1989, pp. 155–179);
Kapur e Lamberson (1977, pp. 291–341).
Texto de apoio: Bain (1978, pp. 138–142).
148
Capı́tulo 6
Estratégias de manutenção
6.1
Introdução
Em muitas situações, a falha de uma componente/estrutura durante
a sua fase de operação acarreta custos elevados ou pode mesmo
ser perigosa, pelo que, se a componente/estrutura possuir taxa de
falha crescente, parece razoável substituı́-la antes que ela envelheça
demasiado. A substituição é uma das muitas intervenções que se
enquadra no domı́nio da manutenção.
Definição informal 6.1 — Manutenção
Pode ser entendida como o conjunto de intervenções num sistema
para que este se mantenha ou volte a encontrar-se num estado
especı́fico de funcionamento. A manutenção subdivide-se em:
• manutenção preventiva (preventive maintenance) — efectuada
em intervalos e de acordo com procedimentos pré-determinados
por forma a reduzir, por ex., falhas por desgaste e a detectar e
reparar “hidden failures”(i.e., falhas em “partes redundantes”)1
1
As “partes redundantes”, quando implementadas, permitem que a reparação das mesmas seja
efectuada enquanto o sistema está a operar e sem que seja necessária a interrupção da operação
do mesmo.
149
de modo a aumentar a vida útil do sistema;
• manutenção correctiva (corrective maintenance ou repair)
— desencadeada após a detecção de falha e com o objectivo
de o sistema voltar a desempenhar as funções requeridas e
compreende pelo menos um dos seguintes passos: localização,
isolamento, desmontagem, substituição, montagem, alinhamento
•
e verificação.
As secções que se seguem debruçam-se, por exemplo, sobre a
utilidade e o impacto de algumas noções de envelhecimento no
contexto da manutenção nomeadamente no estabelecimento de limites
para:
• probabilidades de eventos que dizem respeito ao número de falhas
de equipamento num intervalo de tempo fixo;
• a função de renovamento;
• funções convexas crescentes do referido número de falhas.
Textos de apoio: Birolini (1999, p. 114 e pp. 117–122); Barlow e
Proschan (1965/96, pp. 46–48).
150
6.2
Sobre
o
impacto
das
noções
de
envelhecimento em manutenção
Há famı́lias de distribuições que, pelas suas caracterı́sticas de
envelhecimento estocástico, são particularmente úteis em manutenção.
São disso exemplo as distribuições NBU (NWU) e NBUE (NWUE) já
definidas no Capı́tulo 3.
Estas quatro famı́lias surgem por sinal no contexto de modelos de
choques (Barlow e Proschan (1975, p. 91–92)), descritos no exemplo
seguinte (Barlow e Proschan (1975, p. 160)).
Exemplo 6.2 — Dispositivo sujeito a choques
Considere-se que um dispositivo é sujeito a choques ao longo do tempo
de acordo com um processo de Poisson de taxa λ. Importa notar que o
dispositivo poderá ou não vir a sobreviver à ocorrência de um choque.
Com efeito, considere-se que P k representa a probabilidade de um
dispositivo sobreviver à ocorrência do k−ésimo choque (k ∈ IN0 ). Esta
probabilidade pode ser entendida como RX (k) = P (X ≥ k),2 a função
de fiabilidade da v.a. discreta X, que representa o número de choques
ocorridos até que o dispositivo falhe definitivamente.3 E, como seria
de esperar, estas probabilidades são decrescentes:
1 = RX (0) ≥ RX (1) ≥ . . .
(6.1)
Neste caso, a função de fiabilidade da duração T do dispositivo é
2
Barlow e Proschan (1975, p. 160) preferem representar a função de fiabilidade de X por P k ,
k = 0, 1, . . ..
3
Recorde-se que Barlow e Proschan (1975) definem do mesmo modo a função de fiabilidade de
uma v.a. discreta. Veja-se também a Definição 3.35. Recorde-se também que o denominador da
função taxa de falha de uma v.a. discreta é exactamente RY (k) = P (Y ≥ k).
151
dada por:
RT (t) =
+∞
X
k=0
k
−λt (λt)
RX (k) e
k!
, t ≥ 0.
(6.2)
•
Importa notar que a duração de um dispositivo sujeito a choques
preserva, em certos casos, o carácter de envelhecimento estocástico do
número de choques ocorridos até à falha definitiva do dispositivo como
se pode constatar no teorema seguinte.
Teorema 6.3 — Preservação do carácter de envelhecimento
estocástico por dispositivo sujeito a choques
Sejam T a duração de um dispositivo sujeito a choques e X o número
de choques ocorridos até à falha definitiva do mesmo. Então
X ∈ N BU (N W U ) ⇒ T ∈ N BU (N W U ).
(6.3)
Para além disso,
X ∈ N BU E (N W U E) ⇒ T ∈ N BU E (N W U E).
(6.4)
•
Uma vez enunciado este teorema convinha adiantar ao menos uma
interpretação de um dos seus resultados:
• caso a probabilidade do dispositivo sobreviver à ocorrência de k
choques adicionais dado que já sobreviveu a l choques (RX (k +
l)/RX (l)) for menor que a probabilidade de sobreviver a k choques
(RX (k)), i.e., X ∈ N BU então a vida residual do dispositivo em
qualquer instante t é estocasticamente menor no sentido usual
que a vida do dispositivo (RTt (x) ≤ RT (x), −∞ < x < ∞), pelo
que é razoável efectuar substituições preventivas do dispositivo.
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 159–161).
152
6.3
Teoria do renovamento e manutenção
A teoria do renovamento quando conjugada com algumas noções
de envelhecimento estocástico revela-se particularmente útil em
manutenção como se terá ocasião de ver já de seguida.
Comece-se por recordar (informalmente) a noção de processo de
renovamento e já agora alguns dos seus resultados básicos.
Um processo de renovamento é, grosso modo, uma sequência de
v.a. não negativas {X1 , X2 , . . .}, i.i.d. à v.a. X com f.d. F .
Estas
v.a. representam os tempos entre ocorrências consecutivas, sejam
elas eventos, falhas, etc. Mais, é costume representar o número de
renovamentos/eventos/falhas no intervalo [0, t], t ≥ 0, por N (t), e a
colecção de v.a. {N (t), t ≥ 0} é um processo de contagem.
Ao denotar por Sn =
Pn
i=1 Xi
o tempo até à ocorrência do n−ésimo
renovamento, pode adiantar-se que N (t) ≥ n ⇔ Sn ≤ t, pelo que:
P [N (t) ≥ n] = P (Sn ≤ t)
= F (n) (t)
(6.5)
P [N (t) = n] = F (n) (t) − F (n+1) (t),
(6.6)
onde F (n) (t) representa a convolução de ordem n da distribuição sobre
si própria.
A tı́tulo de exemplo, caso X ∼ exponencial(λ), {N (t), t ≥ 0} dizse um processo de Poisson de taxa λ e N (t) ∼ Poisson(λt). Note-se
também que Sn ∼ gama(λ, n), pelo que
P [N (t) ≥ n] = P (Sn ≤ t)
= F (n) (t)
= 1 − FP oisson(λt) (n − 1).
153
(6.7)
6.3.1
Limites para a convolução
Dado que a convolução F (n) (t) só se pode obter por via numérica, salvo
em rarı́ssimas excepções como aquela acabada de ver, é fundamental
adiantar limites para probabilidades de eventos que digam respeito ao
número de falhas N (t) e para o fazer será necessário saber de antemão
o comportamento monótono da função taxa de falha de X como se
poderá ver no teorema seguinte.
Teorema 6.4 — Limite superior para a convolução de v.a.
IHR
Considere que o tempo entre ocorrências sucessivas são v.a. i.i.d. com
função taxa de falha crescente (X ∈ IHR) e valor esperado E(X) = µ.
Então, tirando partido do facto de
X ∈ IHR ⇒ RX (t) ≥ e−t/µ , 0 ≤ t < µ,
(6.8)
conclui-se que, para n ∈ IN0 ,
(t/µ)j
j!
j=n
= RP oisson(t/µ) (n), 0 ≤ t < µ.
P [N (t) ≥ n] ≤
∞
X
e−t/µ
(6.9)
•
O Teorema 6.4 prova-se sem grande dificuldade a partir do resultado
(6.8) uma vez que este permite-nos concluir que um tempo entre
renovamentos IHR é estocasticamente maior (no sentido usual) que o
tempo entre ocorrências de um processo de Poisson, donde se conclui
que o número de renovamentos no intervalo [0, t] é estocasticamente
menor (também no sentido usual) que o número de ocorrências do
processo de Poisson no referido intervalo.
154
Este teorema permite ainda afirmar que, caso os tempos entre falhas
sucessivas das componentes sejam i.i.d., com valor esperado µ e taxa
de falha crescente, a função de fiabilidade da v.a. de Poisson(t/µ)
sobrestima a verdadeira probabilidade de ocorrerem pelo menos n
falhas no intervalo [0, t], desde que t seja inferior à duração esperada
das componentes.
Importa notar que o limite (6.9) não é válido para alguns tempos
entre falhas N BU , nem para t ≥ µ. Posto isto, é crucial estabelecer
limites para P [N (t) ≥ n] nestas situações.
Teorema 6.5 — Limites para a convolução de v.a.
NBU
(NWU) e IHR (DHR)
Seja X uma v.a. contı́nua com f.d. F (t) tal que F (0) = 0 e função
de fiabilidade R(t) = 1 − F (t). Considere-se ainda a função G(t) =
− ln[R(t)].
Se X ∈ N BU (N W U ) então, para n ∈ IN ,
[G(t)]j
P [N (t) ≥ n] ≤ (≥)
e
j!
j=n
=
RP oisson(G(t)) (n), t ≥ 0.
∞
X
−G(t)
(6.10)
Pode também afirmar-se que, caso X ∈ IHR (DHR), se tem, para
n ∈ IN ,
[nG(t/n)]j
P [N (t) ≥ n] ≥ (≤)
e
j!
j=n
=
RP oisson(nG(t/n)) (n), t ≥ 0.
∞
X
−nG(t/n)
(6.11)
•
155
Nota 6.6 — Limite superior para a convolução de v.a. IHR
Se tirarmos partido novamente do resultado (6.8) da desigualdade
(6.10) e do facto de X ∈ IHR ⇒ X ∈ N BU , rapidamente concluimos
que
∞
X
−G(t)
e
j=n
[G(t)]j
≤ RP oisson(t/µ) (n), 0 ≤ t < µ.
j!
(6.12)
Assim, o limite superior em (6.10) vem melhorar o limite superior
•
estabelecido em (6.9).
Exercı́cio 6.7 — Utilize o Teorema 6.5 para obter limites para
P [N (t) ≤ n] e P [N (t) ≥ n] onde N (t) é o número de falhas em [0, t]
associado ao tempos com distribuição Weibull(λ−1 , α), onde λ > 0 e
α > 1.
Escusado será dizer que estes limites são bastante convenientes já
que se desconhece uma fórmula fechada para a f.d. da soma de v.a. de
•
Weibull.
Exemplo 6.8 — Limite superior para a convolução de v.a.
IHR e obtenção do número de peças sobressalentes (Barlow e
Proschan (1975, pp. 164–166)
Os pneus de uma aeronave têm maior tendência a falhar quando esta
levanta vôo ou durante a aterragem que em qualquer outra altura.
Assim sendo, é razoável que a f.f. do tempo entre falhas consecutivas
de um pneu seja uma função em escada com pontos de descontinuidade
que distam de h unidades de tempo, onde h representa o tempo entre
(inı́cios de) vôos X. Uma possibilidade seria
RX (t) = e−αbt/hc , t ≥ 0,
(6.13)
onde α > 0 e bt/hc representa a parte inteira do quociente t/h. Por
sinal a v.a. assim definida é N BU (embora não seja nem IHR, nem
156
IHRA) o que é, aliás, razoável dado que um pneu novo é seguramente
preferı́vel a um pneu usado.
Tendo em conta o carácter de envelhecimento estocástico de X e
o Teorema 6.5, pode concluir-se que a probabilidade de o número de
falhas do pneu i não exceder n, no intervalo [0, t], satisfaz
(bt/hc)j
j!
j=0
= FP oisson(bt/hc) (n), t ≥ 0.
P [Ni (t) ≤ n] ≥
n
X
e−bt/hc
(6.14)
Admita-se agora que a duração dos vôos é de h = 2 horas, que os 8
pneus da aeronave funcionam de modo independente e que qualquer
deles possui f.f.
RX (t) = e−0.002bt/2c , t ≥ 0,
(6.15)
associada a um tempo esperado entre falhas igual a
2
.
0
1 − e−0.002
A questão que se coloca agora é a seguinte:
E(X) =
Z +∞
RX (t)dt =
(6.16)
• quantos pneus sobressalentes deve dispor-se de forma a assegurar
que a probabilidade de não haver falhas de pneus durante um
perı́odo de operação de t = 200 horas seja maior ou igual a 0.95?
Ora, se se considerar que Ni (200) representa o número de falhas do
pneu i no intervalo [0, 200], para i = 1, . . . , 8, e que
Mi (200) ∼iid Poisson(0.002 × b200/2c = 0.2), i = 1, . . . , 8, (6.17)
(6.14) pode reescrever-se do seguinte modo, para i = 1, . . . , 8:
P [Ni (200) ≥ n] ≤ RP oisson(0.2) (n), n ∈ IN0 ,
ou, equivalentemente, Ni (200) ≤st Mi (200).
157
(6.18)
Invocando agora o facto de a relação de ordem estocástica ≤st ser
fechada para somas de um número fixo de parcelas, o número total de
falhas dos 8 pneus num perı́odo de operação de 200 horas, N (200) =
P8
i=1 Ni (200),
satisfaz
8
X
N (200) ≤st
Mi (200) =st P oisson(8 × 0.2 = 1.6),
(6.19)
i=1
ou seja,
P [N (200) ≤ n] ≥ FP oisson(1.6) (n), n ∈ IN0 .
(6.20)
Por fim, ao consultar-se as tabelas da f.d. da Poisson, pode afirmarse que, para n = 4, se tem FP oisson(1.6) (4) = 0.970 ≥ 0.95. Assim, 4
pneus sobressalentes são suficientes para assegurar que a probabilidade
de não haver falhas de pneus durante 200 horas de operação seja maior
•
ou igual a 0.95.
Exercı́cio 6.9 — Um sistema em série possui três componentes (1, 2
e 3), cujas durações distribuem-se exponencialmente com taxas λ1 =
0.001, λ2 = 0.002 e λ3 = 0.0015. Para além disso, numa missão
em que se utiliza este sistema, requere-se que a primeira, a segunda
e a terceira componentes operem durante 3000, 5000 e 1000 horas,
respectivamente.
Determine o número de componentes sobressalentes dos tipos 1, 2
e 3 de modo a garantir que estas componentes sejam suficientes com
probabilidade não inferior a 0.95 para a missão em questão (Barlow e
•
Proschan (1975, p. 176)).
158
6.3.2
Limites para a função de renovamento
É altura de adiantar limites para a função de renovamento.
Comece-se por notar que
M (t) = E[N (t)] =
∞
X
P [N (t) ≥ n] =
n=1
∞
X
F (n) (t)
(6.21)
n=1
e recordar que, de acordo com o Teorema Elementar do Renovamento,
1
M (t)
= ,
t→+∞
t
µ
(6.22)
lim
onde µ representa o valor esperado do tempo entre renovamentos.
Relembre-se também que, caso a v.a. X não seja periódica4 e possua
valor esperado µ, então
lim [M (t + h) − M (t)] =
t→+∞
h
,
µ
(6.23)
segundo o Teorema de Blackwell.
Por fim, recorde-se que A(t) = t − SN (t) e Y (t) = SN (t)+1 − t
representam, respectivamente, a idade e a vida residual de um processo
de renovamento, no instante t.
Estamos pois em condições de tirar partido de algumas noções de
envelhecimento estocástico para estabelecer limites para a função de
renovamento.
4
A v.a. diz-se periódica se existir uma constante positiva h tal que P (X = nh, n ∈ IN0 ) = 1.
159
Lema 6.10 — Limite superior para a f.f. da vida residual no
instante t
Considere-se processo de renovamento {X1 , X2 , . . .}, onde Xi ∼iid X
e X uma v.a. com f.f. RX (t). Então
X ∈ N BU (N W U ) ⇒ P [Y (t) > u] ≤ (≥)RX (u), u ≥ 0.
(6.24)
Ou por outra, a vida residual, em qualquer instante t, é
estocasticamente menor (resp. maior) no sentido usual que o tempo
•
entre renovamentos, caso esta v.a. seja N BU (resp. N W U ).
O teorema que se segue permite concluir que a função de
renovamento é superaditiva (subaditiva) ao lidar-se com tempos entre
renovamentos N BU (resp. N W U ).5
Teorema 6.11 —
Superaditividade
(subaditividade)
da
função de renovamento
Considerem-se tempos entre renovamentos Xi ∼iid X. Então
X ∈ N BU (N W U ) ⇒ M (h) ≤ (≥)M (t + h) − M (t).
(6.25)
•
O próximo teorema estabelece limites para a função de
renovamento, limites estes particularmente úteis já que à semelhança
da convolução é de difı́cil cálculo.
Teorema 6.12 — Limites para a função de renovamento
Considerem-se tempos entre renovamentos Xi ∼iid X. Então
t
E(X) = µ < +∞ ⇒ M (t) ≥ − 1, t ≥ 0;
µ
t
X ∈ N BU E (N W U E) ⇒ M (t) ≤ (≥) , t ≥ 0.
µ
(6.26)
(6.27)
•
5
A função f (x) diz-se superaditiva (resp. subaditiva) se f (x + y) ≥ (≤)f (x) + f (y).
160
Ao conjugar-se os dois resultados do Teorema 6.12 pode enquadrarse a função de renovamento sob certas condições. Com efeito, para
t ≥ 0,
X ∈ N BU E, E(X) = µ < +∞ ⇒
t
t
− 1 ≤ M (t) ≤ ,
µ
µ
(6.28)
pelo que, neste caso, podemos adiantar a estimativa (t/µ − 1/2) para
a função de renovamento, bem como afirmar que o erro associado a
esta estimativa não excede 1/2 (uniformemente).
Teorema 6.13 —
Outros
limites
para
a
função
de
renovamento
Suponha que os tempos entre renovamentos possuem f.d. FX (x) e f.f.
RX (x). Então
X ∈ IHR ⇒
t
Rt
0 RX (x)dx
− 1 ≤ M (t) ≤
tFX (t)
.
Rt
0 RX (x)dx
(6.29)
•
Exercı́cio 6.14 — Estime o número esperado de renovamentos no
intervalo [0, 1000] num processo de renovamento associado à f.d.p.
fX (x) = 0.012 xe−0.01x , x ≥ 0 e determine o erro máximo da estimativa
•
que obteve (Barlow e Proschan (1975, p. 176)).
6.3.3
Limites
para
algumas
funções
do
número
de
renovamentos
Em determinadas situações lidamos não com o número de
renovamentos mas sim com suas funções. Caso estas funções sejam
convexas crescentes pode adiantar-se um limite superior para processos
de renovamento com tempos entre ocorrências N BU E.
161
Teorema 6.15 — Limites para funções convexas crescentes do
número de renovamentos
Considere-se um processo de renovamento tal que Xi ∼iid X ∈ N BU E
e E(X) = µ = 1/λ. Tome-se também uma função c(n) convexa
crescente tal que c(0) = 0.
∞
X
6
Então
c(n) × P [N (t) = n] ≤
n=0
∞
X
c(n) × e
n
−λt (λt)
n=0
n!
, t ≥ 0,
(6.30)
ou seja,
E{c[N (t)]} ≤ E{c[NP oisson (t)]}, t ≥ 0,
(6.31)
onde NP oisson (t) representa o número de eventos, no intervalo [0, t],
•
para um processo de Poisson de taxa λ.
Este resultado revela-se útil nomeadamente para resolver o
problema de minimização descrito no exemplo seguinte.
Exemplo 6.16 — Limites para uma função convexa crescente
do número de renovamentos
Suponha que pretende determinar o número de peças sobressalentes
N de modo a que o valor esperado do número de peças sobressalentes
necessárias não exceda determina valor considerado crı́tico N ∗
(minimizing expected shortage).
Para já refira-se que esta v.a. é definida por



0,

N (t) − N, N (t) > N.
c[N (t)] = 
N (t) ≤ N
(6.32)
Posto isto, caso a duração das peças seja N BU E e possua valor
esperado igual a µ = 1/λ, segue-se pelo Teorema 6.15:
∞
X
n=N
6
(n − N ) × P [N (t) = n] ≤
∞
X
n=N
n
−λt (λt)
(n − N ) × e
n!
,
(6.33)
Esta igualdade pode ler-se do seguinte modo: a ausência de falhas não acarreta custos.
162
para t ≥ 0. Por último, tendo em conta que
∞
X
n
−λt (λt)
(n − N ) × e
n=N
n!
= λt × [1 − FP oisson(λt) (N − 2)]
− N × [1 − FP oisson(λt) (N − 1)], (6.34)
a obtenção da solução de
N : c[N (t)] ≤ N ∗
(6.35)
passa por determinar o menor dos valores de N tal que
λt×[1−FP oisson(λt) (N −2)]−N ×[1−FP oisson(λt) (N −1)] ≤ N ∗ ,(6.36)
valor este que se obtém sem grande dificuldade após algumas consultas
das tabelas da f.d. da distribuição de Poisson.
•
Sob certas condições é também possı́vel estabelecer um limite
superior (resp. inferior) para uma outra função do número de
renovamentos que, embora convexa, não é crescente: a sua variância.
Teorema 6.17 — Limites para a variância do número de
renovamentos
Considere-se um processo de renovamento com tempos entre
ocorrências Xi ∼iid X. Então
X ∈ N BU (N W U ) ⇒ V [N (t)] ≤ (≥)M (t).
(6.37)
•
163
6.4
Algumas estratégias de manutenção
Barlow e Proschan (1965/1996) abordam as estratégias de
manutenção de um modo que nos parece mais completo que Birolini
(1999), fazem uso da teoria de renovamento e concentram-se nas
seguintes polı́ticas de substituição
• age replacement
• block replacement
• random age replacement.
Um dos primeiros tratamentos sobre polı́ticas de substituição devese a Lotka (1939).
Por seu lado, Campbell (1941) comparou as vantagens da
substituição de um grupo de lâmpadas de candeeiros de rua aquando
da falha de uma delas com as vantagens da substituição individual de
lâmpadas à medida que as falhas vão ocorrendo.7
Definição informal 6.18 — Age replacement
De acordo com esta polı́tica a componente i é substituı́da
imediatamente aquando de uma falha (failure replacement ou
substituição devido a falha) ou substituı́da caso atinja a
idade (não aleatória) Z (planned replacement ou substituições
planeadas/programadas).
Refira-se também que de acordo com esta polı́tica ao ocorrer
uma substituição planea-se imediatamente uma substituição daı́ a Z
7
É claro que o custo por lâmpada associado à substituição do grupo de lâmpadas é inferior àquele
associado à substituição individual somente aquando da ocorrência de uma falha de uma lâmpada.
Contudo o custo das lâmpadas adicionais requeridas na manutenção preventiva deve equilibrar-se
com o custo das falhas adicionais que venham a ocorrer caso a substituição das restantes lâmpadas
(ainda em funcionamento) seja adiada.
164
unidades de tempo ou antes disso caso a componente não chegue a
•
atingir a idade Z.
Exercı́cio 6.19 — A única componente relevante de um dispositivo
mecânico está sujeita à polı́tica de manutenção do tipo age
replacement, com substituições planeadas ao fim de 2 horas.
Admita que se sabe de antemão que as durações (em horas) da
componente e suas 5 substitutas é de 1.5h, 1.2h, 2.1h, 4.5h, 1.8h e
2.4h, respectivamente. Quantas substituições ocorrerão no intervalo
•
[0, 8] e em que instantes?
Exercı́cio 6.20 — Admita que a componente (resp. estrutura com n
componentes) possui duração de vida com função de fiabilidade R(t)
(resp. RT (t)).
(a) Prove que a probabilidade da componente não falhar durante o
serviço no intervalo [0, t] é, para a polı́tica do tipo age replacement
com substituições planeadas ao fim de Z unidades de tempo, dada
pela expressão
S Z (t) = [R(Z)]k [R(t − kZ)], kZ ≤ t < (k + 1)Z.
(6.38)
(b) Demonstre que a probabilidade da estrutura não falhar durante
o serviço no intervalo [0, t] é, nas condições acima, dada por
S Z,est (t) = [RT (Z)]k [RT (t − kZ)], kZ ≤ t < (k + 1)Z. (6.39)
(c) Obtenha expressões para S Z,est (t) ao considerar estruturas em
•
paralelo e em série.
165
Proposição 6.21 — Se T ∈ IHR então
S Z1 (t) ≥ S Z2 (t), t ≥ 0, Z1 ≤ Z2 ,
(6.40)
ou seja, quanto mais frequentes forem as substituições, maior é o
tempo até à ocorrência de uma falha durante o serviço, caso a duraç ao
das componentes possua f.t.f. crescente.
•
Proposição 6.22 — Caso T ∈ IHR tem-se
S Z (t) ≥ F (t), t ≥ 0,
(6.41)
i.e., a polı́tica de age replacement aumenta a probabilidade de
sobrevivência durante o intervalo [0, t] de uma componente quando
a respectiva duração (T ) é IHR.
•
Exercı́cio 6.23 — Prove as duas proposições anteriores.
•
Exercı́cio 6.24 — Demonstre que o tempo esperado até à primeira
ocorrência de uma falha de uma componente durante o serviço é igual
a
EZ =
RZ
o
F (x)dx
.
F (Z)
(6.42)
Obtenha uma expressão similar para EZ,est .8
•
Definição informal 6.25 — Block replacement
Ao adoptar-se esta polı́tica de substituição há substituições de
componentes nos instantes Z, 2Z, 3Z, . . . (planned replacement)
independentemente do historial de falhas da estrutura. Para além
disso ocorrem substituições das componentes no instante das
respectivas falhas (failure replacement).9
8
9
•
Em Barlow e Proschan (1965/1996, p. 62) encontram-se limites para este valor esperado.
De acordo com Barlow e Proschan (1965/1996, p. 67) esta polı́tica de subsituição é
provavelmente mais prática que as polı́ticas do tipo age replacement uma vez que não requere
o registo do uso das componentes.
166
A polı́tica de substituição do tipo block replacement é comum na
manutenção de computadores digitais e outros sistemas electrónicos
complexos, apesar de requerer a substituição de mais componentes
ainda em funcionamento que a polı́tica do tipo age replacement.
Refira-se, no entanto, que caso a duração das componente seja IHR o
número de falhas ao utilizar-se uma polı́tica do tipo block replacement
é menor que ao recorrer-se a uma polı́tica do tipo age replacement.
Exercı́cio 6.26 — Repita o Exercı́cio 6.19 considerando agora que a
polı́tica de substituição é do tipo block replacement.
•
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1965/96, pp. 48–61); Barlow
e Proschan (1975, pp. 159–161).
167
6.5
Comparação de estratégias de manutenção
Barlow e Proschan (1965/1996) debruçam-se também sobre algumas
caracterı́sticas primárias de algumas estratégias de manutenção
também denominadas de polı́ticas de substituição (replacement
policies). A saber:
• a distribuição do número de falhas;
• a distribuição do número total de substituições.
É com base nas caracterı́sticas primárias que é costume comparar
as duas polı́ticas de substituição já descritas, age replacement block
replacement.
Mas antes de enunciar quaisquer resultados convinha relembrar que:
• a v.a. X diz-se estocasticamente menor que Y (no sentido usual)
— escrevendo-se neste caso X ≤st Y — sse
RX (x) ≤ RY (x), −∞ < x < +∞;
(6.43)
• a v.a. Xθ cresce estocasticamente com o parâmetro θ (no sentido
usual) no conjunto Θ — escrevendo-se neste caso Xθ ↑st com θ
— sse
P (Xθ1 ≥ x) ≤ P (Xθ2 ≥ x), −∞ < x < +∞,
(6.44)
para quaisquer θ1 , θ2 ∈ Θ que verifiquem θ1 ≤ θ2 .
Note-se também que doravante:
• N (t) representa o número de renovamentos/falhas no intervalo
[0, t] de um processo de renovamento;
168
• NA (t, Z) (resp. RA (t, Z)) representa o número de falhas (resp.
substituições planeadas ou devidas a falha) no intervalo [0, t] ao
adoptar-se uma polı́tica de manutenção do tipo age replacement
com substituições planeadas ao fim de Z unidades de tempo;
• NB (t, Z) (resp. RB (t, Z)) representa o número de falhas (resp.
substituições planeadas ou devidas a falha) no intervalo [0, t] ao
adoptar-se uma polı́tica de manutenção do tipo block replacement
com substituições planeadas de Z em Z unidades de tempo.
É curioso notar que N (t) coincide com o número de substituições,
caso se efectue somente manutenção correctiva, i.e., substituições de
uma componente somente aquando da respectiva falha.
O teorema seguinte permitirá afirmar que a classe de distribuições
NBU é a maior das classes para a qual a adopção das polı́ticas de
manutenção dos tipo age e block replacement resulta numa diminuição
estocástica (em sentido usual) do número de falhas no intervalo [0, t],
t ≥ 0. Posto isto parece natural estudar estas duas polı́ticas de
manutenção para a classe das distribuições NBU.
Teorema 6.27 — Age e block replacement e a diminuição
estocástica do número de falhas
Considere-se que X representa a duração das componentes. Então:
• NA (t, Z) ≤st N (t), t, Z ≥ 0 ⇔ X ∈ N BU ;
• NB (t, Z) ≤st N (t), t, Z ≥ 0 ⇔ X ∈ N BU .
•
É altura de averiguar qual o impacto de uma alteração do intervalo
Z das polı́ticas de manutenção dos tipos age e block replacement no
número de falhas no intervalo [0, t].
169
Teorema 6.28 — Impacto da alteração do intervalo Z nas
polı́ticas age e block replacement
Considere-se mais uma vez que X representa a duração das
componentes. Então:
• NA (t, Z) ↑st com Z (Z ≥ 0), para t ≥ 0 fixo ⇔ X ∈ IHR;
• NA (t, Z) ≤st NB (t, kZ), t, Z ≥ 0, k = 1, 2, . . . ⇔ X ∈ N BU ;
• NB (t, Z) ≤st NB (t, kZ), t, Z ≥ 0, k = 1, 2, . . . ⇔ X ∈ N BU .
•
Por exemplo, pode concluir-se que, ao lidar com durações IHR e
com uma polı́tica de manutenção do tipo age replacement, o número de
falhas no intervalo [0, t] aumenta estocasticamente (no sentido usual),
caso se aumente o intervalo Z, i.e., se espace as substituições planeadas
nesta polı́tica de manutenção.
É igualmente útil confrontar o número de substituições planeadas
ou devidas a falha das polı́ticas de manutenção.
Teorema 6.29 — Confronto entre as polı́ticas age e block
replacement
Seja X a v.a. que representa a duração das componentes. Então, para
todo t, Z > 0:
• X ∈ IHR ⇒ NA (t, Z) ≥st NB (t, Z);
• RA (t, Z) ≤st RB (t, Z);
•
O primeiro resultado do Teorema 6.29 pode ser interpretado do
seguinte modo: caso as durações das componentes seja IHR, a polı́tica
de manutenção block replacement conduz a um menor número de falhas
no intervalo [0, t] que a polı́tica de manutenção age replacement.
170
O segundo dos resultados leva a afirmar que a polı́tica de
manutenção block replacement conduz a um maior número de
substituições planeadas ou devidas a falha que a polı́tica de
manutenção age replacement, independentemente da distribuição das
durações das componentes.
Teorema 6.30 — Diminuição (resp. aumento) estocástica(o)
do número de falhas
Caso a duração das componentes seja IHR (resp. DHR), tem-se
• N (t) ≥st NA (t, Z) ≥st NB (t, Z)
(resp. N (t) ≤st NA (t, Z) ≤st NB (t, Z)).
•
Para mais detalhes sobre o confronto destas polı́ticas de
substituição, consulte-se Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 67-74) ou
Shaked e Shanthikumar (1994, Cap. 15).
Textos de apoio:
Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 67–74);
Barlow e Proschan (1975, pp. 178–182); Shaked e Shanthikumar (1994,
pp. 461–483).
171
6.6
A
polı́tica
de
manutenção
random
age
replacement
Nem sempre é prático substituir componentes numa base periódica.
Basta pensar, por exemplo, num mecanismo com um ciclo de operação
variável que não permite ou que torna extraordinariamente difı́cil
qualquer tipo de substituição durante o referido ciclo.
A polı́tica de manutenção, descrita já a seguir, revela-se
particularmente útil nestes casos e acaba por ter associados pelo menos
três processos de renovamento.
Definição informal 6.31 — Random age replacement
Ao assumir-se que as componentes só são substituı́das quando falham,
a colecção dos tempos entre substituições {X1 , X2 , . . .}, onde Xi ∼iid
X, constitui um processo de renovamento.
A seguir defina-se um outro processo de renovamento {Z1 , Z2 , . . .},
onde Zi ∼iid Z. Este processo define os tempos entre substituições
planeadas que não têm em conta as falhas das componentes.
Por fim defina-se um terceiro processo de renovamento {U1 , U2 , . . .},
onde Ui = min{Xi , Zi } ∼iid U . Ora, {U1 , U2 , . . .} é a colecção dos
intervalos entre substituições quer planeadas, quer devidas a falha. •
Nota 6.32 — Random age replacement
Esta polı́tica de manutenção corresponde a uma polı́tica do tipo age
replacement com substituições planeadas ao fim de um intervalo
•
Z aleatório.
Sejam RX (x), RZ (x) e RU (x) as f.f. das v.a. X, Z e Y .
Então
é sabido que RU (x) = RX (x) × RZ (x) e o tempo esperado entre
substituiçẽs dado por E(U ) =
R∞
0 RX (x)
172
× RZ (x)dx.
Denote-se por NR (t, Z) (resp. RR (t, Z)) o número de falhas (resp. de
substituições quer planeadas quer devidas a falha) no intervalo [0, t] ao
adoptar-se uma polı́tica de manutenção do tipo random replacement
com substituições originalmente planeadas de Z em Z unidades de
tempo onde Z é uma v.a.
Ao recorrer-se ao Teorema Elementar do Renovamento pode ainda
adiantar-se que o número esperado de substituições por unidade de
tempo é, a longo-prazo, dado por:
1
RR (t, Z)
=
.
t→+∞
t
E(U )
(6.45)
lim
E ao tirar-se partido das propriedades de envelhecimento estocástico
de U podem adiantar-se limites quer para a f.f. de RR (t, Z), quer para
a função de renovamento ou funções convexas desta v.a.
É possı́vel associar esta polı́tica de manutenção a um quarto
processo de renovamento de particular interesse para a obtenção de
limites para o número esperado de falhas no intervalo [0, t]. A saber:
{V1 , V2 , . . .}, onde



1, se Ui = Xi (substituição i devida a falha)

0, c.c.
Vi = 
(6.46)
Ora, Vi ∼iid Bernoulli(E(V )), onde
E(V ) = P (X ≤ Z) =
Z ∞
0
FX (x)dFZ (x).
173
(6.47)
Teorema 6.33 — Limites para o número esperado de falhas
para a polı́tica random age replacement
É possı́vel enquadrar o número esperado de falhas no intervalo [0, t]
ao recorrer-se à polı́tica random age replacement (E[RR (t, Z)]) à custa
de E(V ) e do número esperado de substituições nesse mesmo intervalo
(E[NR (t, Z)]):
E(V ) × {E[RR (t, Z)] + 1} − 1
(6.48)
≤ E[NR (t, Z)] ≤
E(V ) × {E[RR (t, Z)] + 1}.
E, ao tirar partido do Teorema 6.13,10 tem-se
R∞
0 FX (x)dFZ (x)
×
Rt
0
t
RU (x)dx
−1
≤ E[NR (t, Z)] ≤
R∞
0 FX (x)dFZ (x)
(6.49)
"
×
tFU (t)
RU (x)dx
0
Rt
#
+1 .
•
Para uma descrição um pouco mais alargada desta polı́tica de
substituição ver Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 72–74).
10
É curioso notar que Barlow e Proschan (1965/96, p. 74) enunciam o resultado que se segue sem
exigir que a v.a. seja IHR.
174
6.7
Alguns resultados sobre disponibilidade
A manutenção de componentes/estruturas/equipamentos/sistemas
possui grande influência na fiabilidade e disponibilidade (availability)
dos mesmos.
Nesta secção serão enunciados alguns resultados que dizem respeito
à disponibilidade de componentes sujeitas a reparação e dos sistemas
por elas constituı́dos.
Disponibilidade
no
instante
t
e
disponibilidade a longo prazo
Seja X(t) uma v.a. binária que toma o valor 1 caso a componente
esteja a operar no instante t. Então a disponibilidade da componente
no instante t é representada por A(t) e igual a
A(t) = P [X(t) = 1] = E[X(t)].
(6.50)
Ao limite
A = lim A(t)
(6.51)
t→+∞
dá-se o nome de disponibilidade a longo prazo (ou simplesmente
•
disponibilidade).
Definição 6.35 — Disponibilidade média no intervalo [0, T ] e
disponibilidade média a longo prazo
A disponibilidade média no intervalo [0, T ] é dada por
1ZT
A(t)dt
T 0
e a disponibilidade média a longo prazo pelo seguinte limite
1ZT
Aav = lim
A(t)dt.
T →+∞ T 0
(6.52)
(6.53)
•
175
Nota 6.36 — Disponibilidades
Importa referir que a disponilidade média no intervalo [0, T ]
corresponde à proporção esperada de tempo em que o sistema está
a operar nesse mesmo intervalo. Com efeito,
U (T ) =
Z T
0
X(t)dt
(6.54)
representa o tempo total em que sistema está a operar no intervalo
[0, T ], pelo que
Z T
1
1
E[U (T )] =
E
X(t)dt
0
T
T
1ZT
E[X(t)]dt
=
T 0
1ZT
A(t)dt.
=
T 0
"
#
(6.55)
Por fim mencione-se que, caso exista limt→+∞ A(t) e seja igual a A,
então Aav = A. Ou por outra, a disponibilidade média a longo prazo
e a disponibilidade a longo prazo coincidem.
•
É altura de avançar com uma expressão para a disponibilidade a
longo prazo em termos dos perı́odos de funcionamento e de reparação.
Comece-se por considerar uma sequência de vectores i.i.d.
{(Ti , Di ), i = 1, 2, . . .}, onde Ti e Di representam os tempos de
operação contı́nua (sistema ON) e de reparação (sistema OFF),
respectivamente. De mencionar que, para i = 1, 2, . . ., Ti ∼iid T e
Di ∼iid D, no entanto, as v.a. Ti e Di podem depender uma da outra.
{(Ti , Di ), i = 1, 2, . . .} é claramente um processo de renovamento
alternado e se se assumir que a v.a. T +D é não periódica pode concluirse que
A = lim A(t) =
t→+∞
E(T )
,
E(T ) + E(D)
176
(6.56)
bastando para isso invocar o Teorema-Chave do Renovamento.
A vantagem deste resultado é mais que óbvia: a disponibilidade a
longo-prazo depende exclusivamente dos valores esperados dos tempos
de operação e de reparação e nunca das respectivas distribuições.
6.7.1
Disponibilidade
de
sistemas
com
componentes
independentes
Tal como aconteceu no capı́tulo inicial começamos por considerar
um sistema coerente cujas n componentes funcionam de forma
independente. Mais, quando ocorre falha da componente i esta vai
a reparar ao passo que as restantes continuam a operar.
Assim sendo, se a v.a. X(t) (resp. Xi (t)) tomar valor 1, caso o
sistema (resp. a componente i) estiver a operar no instante t, então
X(t) = φ(X1 (t), . . . , Xn (t)),
(6.57)
onde φ representa, naturalmente, a função de estrutura do sistema.
Para além disso, a disponibilidade do sistema no instante t é igual a
A(t) = E[X(t)]
= r(E[X1 (t)], . . . , E[Xn (t)])
= r(A1 (t), . . . , An (t))
(6.58)
onde, note-se, r denota a fiabilidade associada à função de estrutura
φ e Ai (t) representa a disponibilidade da componente i no instante t.
Resta calcular a disponibilidade do sistema a longo prazo. Para
tal, considere-se uma sequência dupla de v.a. independentes {(Tij +
Dij ), i, j = 1, 2, . . .}, onde Tij representa o j−ésimo perı́odo de
operação contı́nua da componente i e Dij a duração da j−ésima
reparação da componente i, respectivamente. Assuma-se também que:
177
para qualquer i fixo, se tem, para j = 1, 2, . . ., Tij ∼iid Ti e Dij ∼iid Di ;
para i = 1, 2, . . ., µi = E(Ti ) < ∞, νi = E(Di ) < ∞ e Ti + Di é uma
v.a. não periódica. Então, ao ter em conta sucessivamente o facto
de a fiabilidade ser uma função multilinear nos seus argumentos e o
Teorema-Chave do Renovamento, a disponibilidade deste sistema de
com n componentes é, a longo prazo, igual a:
A = r(A1 , . . . , An )
!
µn
µ1
,...,
,
= r
µ1 + ν1
µ n + νn
(6.59)
onde Ai representa a disponibilidade da componente i a longo prazo.
Exercı́cio 6.37 — Um sistema é constituı́do por um computador
e dois geradores eléctricos colocados em paralelo. Assuma que as
durações das componentes e os perı́odos de reparação se comportam
como se descreveu há pouco e possuem os valores esperados (em horas)
condensados na tabela seguinte.
Componente i
µi = E(Ti ) νi = E(Di )
1
1000
1
2
98
2
3
96
4
Determine a disponibilidade das três componentes a longo-prazo,
bem como a disponibilidade do sistema a longo prazo (Barlow e
•
Proschan (1975, pp. 193–4)).
6.7.2
Disponibilidade de sistemas em série
Desta feita está a lidar-se com um sistema ligeiramente diferente
daquele considerado na sub-secção anterior.
178
• Para já assume-se que o sistema não é um sistema coerente
arbitrário mas que possui todas as suas componentes dispostas
em série.
• Para além disso, enquanto a componente responsável pela
falha do sistema em série está a ser substituı́da, as restantes
componentes mantêm-se em suspended animation.
Finda a
referida reparação estas mesmas componentes retoma o seu
funcionamento.11
• Assuma-se também que duas ou mais componentes não podem
falhar no mesmo instante.12
A Figura 7.2.4 de Barlow e Proschan (1975, p. 195) ilustra uma
realização deste tipo de sistema, em particular chama atenção para
o facto de esta realização se descrever à custa de duas v.a.: U (t)
que representa o tempo acumulado em que o sistema está em
funcionamento (up time); D(t) = t − U (t) que representa o tempo
acumulado em que as componentes do sistema suspendem o seu
funcionamento devido a uma reparação (down time).
É possı́vel adiantar resultados para, por exemplo, a percentagem
de tempo em que o sistema está em funcionamento a longo prazo e
para a disponibilidade do sistema a longo prazo. É curioso notar que
estes resultados dependem exclusivamente dos valores esperados dos
tempos de vidas das componentes µi (0 < µi < +∞, i = 1, . . . , n), bem
como das durações esperadas das substituições νi (0 < νi < +∞, i =
1, . . . , n), e não das distribuições destas v.a.
11
Neste instante não estão propriamente “como novas”mas sim tal como estavam quando
suspenderam o seu funcionamento.
12
O que, aliás, é verdade, caso todas as distribuições sejam contı́nuas.
179
Teorema 6.38 — Percentagem de tempo em que o sistema em
série está em funcionamento a longo prazo
Tem-se, com probabilidade um,

−1
n ν
X
U (t) 
i
= 1+
lim
t→+∞ t
i=1 µi
.
(6.60)
•
Corolário 6.39 — Disponibilidade média do sistema em série
a longo prazo
−1

Aav
n ν
X
E[U (t)] 
i
= lim
= 1+
t→+∞
t
i=1 µi
.
(6.61)
•
Nota 6.40 — Disponibilidade do sistema em série a longo
prazo
Considere-se que ξ(t) é igual a i, caso a componente i, responsável
pela falha do sistema em série, esteja a ser substituı́da, e igual a 0,
caso o sistema em série esteja a funcionar.
Importa notar que o processo {ξ(t), t ≥ 0} não tem pontos de
regeneração e que o limite limt→+∞ P [ξ(t) = 0] nem sempre existe. No
entanto, tal limite existe desde que os tempos de vida das componentes
sejam v.a. não periódicas ou possuam distribuição exponencial. Nesta
situação, a disponibilidade é dada por
A = lim P [ξ(t) = 0] = Aav .
t→+∞
(6.62)
•
É possı́vel estabelecer resultados assintóticos para D(t), assim como
para o tempo acumulado em que o sistema não está em funcionamento
devido a falhas da componente i no intervalo [0, t], Di (t).
180
Corolário 6.41 — Resultados assintóticos para o down time
Tem-se, com probabilidade 1:
νi
Di (t)
= Aav × ;
t→+∞
t
µi
n ν
X
D(t)
i
= Aav ×
.
= lim
t→+∞
t
i=1 µi
Di,av =
Dav
lim
(6.63)
(6.64)
•
A justificação heurı́stica de (6.63) assenta num argumento de
igualdade das taxas de entrada e de saı́da de um estado. Com efeito,
Aav (1/µi )dt pode ser entendido como a probabilidade estacionária de o
sistema deixar de funcionar nas próximas dt unidades de tempo devido
a falha da componente i sabendo que o sistema está de momento em
funcionamento, e, por seu lado, Di,av (1/νi )dt como a probabilidade
estacionária de se terminar a substituição da componente i nas
próximas dt unidades de tempo sabendo que o sistema está de
momento inoperacional.
De seguida apresentam-se resultados assintóticos para o número de
falhas da componente i no intervalo [0, t], Ni (t).
Corolário 6.42 — Resultados assintóticos para o número de
falhas da componente i
Tem-se, para i = 1, . . . , n:
Ni (t)
= Aav ×
t→+∞
t
E[Ni (t)]
lim
= Aav ×
t→+∞
t
lim
νi
com probabilidade 1;
µi
νi
.
µi
(6.65)
(6.66)
•
É interessante notar que, após qualquer reparação, a distribuição do
tempo até à próxima falha depende da história do sistema até àquele
181
instante mas que, no entanto, a duração média dos perı́odos em que o
sistema em série está a funcionar no intervalo [0, t] converge para uma
constante µ que se identifica no teorema seguinte. De modo análogo
a duração média dos perı́odos em que o sistema em série não está
operacional converge para uma outra constante ν.
Teorema 6.43 — Resultados assintóticos para a duração
média dos perı́odos em que o sistema em série está a
funcionar ou inoperacional
As durações médias dos perı́odos em que o sistema em série está a
funcionar e está inoperacional, no intervalo [0, t], convergem quase
certamente para

n
X
−1
1
µ=
i=1 µi
n ν
X
i
,
ν =µ×
i=1 µi
(6.67)
(6.68)
•
respectivamente.
componentes:
Um
sistema
um gerador,
é
constituı́do
por
quatro
um equipamento analógico,
um
equipamento digital e uma peça mecânica, colocados em série.
Assuma que as durações das componentes e os perı́odos de reparação
possuem os valores esperados (em horas) condensados na tabela
seguinte (Barlow e Proschan (1975, pp. 200–1)).
(a) Determine a percentagem de tempo em que a componente i está
inoperacional a longo prazo.
(b) Obtenha o número médio de falhas por unidade de tempo a longo
prazo para cada uma das componentes.
182
Componente i
Tipo
µi = E(Ti ) νi = E(Di )
1
Gerador
2
Equipamento analógico
3
Equipamento digital
4
Peça mecânica
50
.1
100
.2
1000
1.0
10000
20.0
(c) Calcule os valores a longo prazo das durações médias dos perı́odos
em que este sistema em série está a funcionar e em que está
•
inoperacional.
6.7.3
Disponibilidade de sistema com uma unidade de
operação, uma sobressalente e uma de reparação
Na secção anterior assumiu-se que dispunhamos sempre de peças
sobressalentes para substituir qualquer peça que falhasse.
Desta
feita assume-se que se dispõe de um número limitado de peças
sobressalentes, que o sistema falha caso deixe de haver peças
sobressalentes para substituir as peças que tenham falhado e que existe
uma unidade de reparação para onde se envia estas últimas peças.
Comece-se por considerar um sistema com uma unidade de
operação com uma componente, uma componente sobressalente e uma
unidade de reparação. Refira-se também que:
• quando a componente da unidade de operação falha, ela
é substituı́da pela peça sobressalente, substituição esta com
duração negligenciável;
• a componente que acaba de falhar é enviada para a unidade de
183
reparação e este instante constitui um instante de regeneração;
• o sistema falha quando a unidade de operação falha e a
componente sobressalente não está disponı́vel por ainda não ter
sido completada a sua reparação.
Assuma-se que as componentes (resp. reparações) possuem duração X
(resp. Y ), com distribução F (resp. G) e valor esperado µ (resp. ν). E,
por fim, assuma-se que, no instante t = 0, a componente da unidade
de operação e a peça sobressalente nunca foram utilizadas previamente
(completamente novas).
O tempo que decorre até à ocorrência da primeira falha do sistema,
tempo este contabilizado a partir do instante 0, pode ser representado
por
T1 = X10 + X2 + . . . + XN ,
(6.69)
onde: X10 , X2 , X3 , . . . são v.a. i.i.d. a X; N denota o número (aleatório)
de falhas da unidade de operação até à ocorrência da falha do sistema.
Ora, a v.a. N possui função de probabilidade
P (N = k + 1) = αk−1 (1 − α), k = 1, 2, . . . ,
(6.70)
onde 1 − α representa a probabilidade de o tempo de reparação da
peça na unidade de reparação exceder o de operação da componente,
i.e.,
α = P (Y ≤ X) =
Z +∞
0
G(t)dF (t).
(6.71)
Assim sendo e tirando partido da equação de Wald, pode adiantar-se
que o tempo esperado até à primeira falha do sistema:
1
.
E(T1 ) = µ E(N ) = µ 1 +
1−α
!
184
(6.72)
Do mesmo modo pode calcular-se o valor esperado do tempo até à
primeira falha do sistema, medindo o tempo a partir de um instante
de regeneração,13 tempo este representado pela v.a. T :
µ
.
E(T ) = E(T1 − X10 ) =
1−α
(6.73)
É necessário ainda calcular o valor esperado dos perı́odos em que o
sistema está inoperacional. Este valor esperado é dado por
E(D) =
=
=
Z +∞
0
Z +∞
P (D > t)dt
P (Y > t + X|Y > X)dt
0
Z +∞ Z +∞
0
0
1 − G(t + x)
dF (x) dt.
1 − G(x)
(6.74)
Por último, a disponibilidade a longo prazo do sistema com uma
unidade de operação, uma peça sobressalente e uma unidade de
reparação é igual a
E(T )
µ(1 − α)−1
A=
=
E(T ) + E(D) µ(1 − α)−1 + E(D)
(6.75)
e depende não só dos valores esperados do tempo de operação contı́nua
das componentes e da duração das reparações, mas também das
distribuições propriamente ditas destas v.a.
6.7.4
Disponibilidade de sistema com m unidades de
operação, n sobressalentes e s de reparação
O sistema com que se lida nesta sub-secção possui m unidades
de operação e respectivas componentes, n peças sobressalentes
13
Recorde que o instante de substituição da componente da unidade de operação e consequente
envio da componente (que acabou de falhar) para a unidade de reparação é um instante de
regeneração.
185
e s unidades de reparação.
Mais, os perı́odos de operação
contı́nua (resp. reparação) das componentes são independentes e têm
distribuição exponencial de parâmetro λ (resp. γ).
Tal como na secção anterior, uma componente que falhe é
imediatamente substituı́da por uma peça sobressalente caso existam
peças sobressalentes disponı́veis; a par disso, uma componente segue
para as unidades de reparação assim que falha. Escusado será dizer
que a reparação é iniciada imediatamente a menos que as s unidades
de reparação estejam todas ocupadas.
Um processo de particular interesse diz respeito ao número de
componentes inoperacionais no instante t, X(t), ou porque estão a
ser reparadas, ou porque aguardam o inı́cio da respectiva reparação.
Ora, {X(t), t ≥ 0} é, naturalmente, um processo de nascimento
e morte14 cujas probabilidades de estado estacionárias (π0 , π1 , π2 , . . .)
são de cálculo trivial e funções das taxas de nascimento λi = f (λ, γ),
i = 0, 1, 2, . . ., e de morte µi = g(λ, γ), i = 1, 2, . . .:
πi = π 0 ×
i−1
Y
λj
,
j=0 µj+1
(6.76)
onde
π0 =
1
1+
P+∞ Qk−1 λj .
k=1 j=0 µj+1
(6.77)
Por seu lado a disponibilidade do sistema a longo prazo é dada por:
A =
=
14
lim P [X(t) ≤ m]
t→+∞
m
X
πi .
i=0
(6.78)
Ou por outra, trata-se se uma cadeia de Markov em tempo contı́nuo, com espaço de estados
{0, 1, 2 . . .}, matriz de probabilidades de transição homógenea e transições de um estado i para os
dois estados vizinhos i − 1 e i + 1.
186
Exercı́cio 6.45 — Considere um sistema constituı́do por uma
unidade de operação e respectiva componente, uma peça sobressalente
e uma unidade de reparação.
Assuma que as durações das
componentes (resp. os perı́odos de reparação) são independentes e
possuem distribuição exponencial de parâmetro λ (resp. γ) (Barlow
e Proschan (1975, pp. 205–6)).
(a) Obtenha uma expressão para a disponibilidade a longo prazo
deste sistema.
(b) Considere agora que o sistema é constituı́do por n unidades de
operação e respectivas componentes, m peças sobressalentes e s
unidades de reparação.
Identifique as expressões para as taxas do processo de nascimento
e de morte associado ao número de componentes inoperacionais
•
no instante t neste sistema.
187
Capı́tulo 7
Controlo estatı́stico de processos
7.1
O significado de qualidade
É tradicional afirmar-se no meio industrial que a qualidade e a
produtividade não podem andar de mãos dadas: ao desejarmos mais
qualidade, sacrificaremos a produtividade e vice-versa.
À semelhança de muitos lugares comuns, aceites e produto de
pouca reflexão, este é também falso. Na realidade ao melhorar-se a
qualidade, por aperfeiçoamento do processo de produção e maior
uniformidade do produto, há, de um modo geral, melhorias na
produtividade já que se reduzem desperdı́cios de mão de obra, de
equipamento e de matéria-prima e, consequentemente, diminuem-se
os custos de produção bem como os prejuı́zos.
Definição informal 7.1 — Qualidade
Significa frequentemente adequação do produto/serviço ao
consumidor/utilizador (fitness for use), i.e., satisfação de requisitos
considerados essenciais para o consumidor/utilizador.
188
•
A qualidade é, nos dias de hoje, um critério básico que
influencia a decisão pela aquisição/utilização de qualquer
produto/serviço.
Montgomery (1985, p. 1–2) acaba por distinguir dois tipos de
qualidade. Nada melhor que ilustrá-los com exemplos.
Todos os bens e serviços são intencionalmente produzidos com
diversos nı́veis de qualidade pensados para tipos distintos de
consumidores. Estas diferenças de qualidade devem-se, por exemplo,
às diferenças de materiais usados na confecção dos estofos dos assentos
de um carro (cabedal, napa, tecido, etc.). Estes aspectos prendem-se
com a quality of design (qualidade do design).
A qualidade no que diz respeito à adequação às especificações
e tolerâncias exigidas pelo produtor tem a ver com quality of
conformance.1
Definição informal 7.2 — Caracterı́sticas de qualidade
Qualquer produto possui um grupo de caracterı́sticas que descrevem
conjuntamente a sua adequação ao consumidor.
Estas são
designadas de caracterı́sticas de qualidade, não passam de v.a. e podem
ser, por exemplo, dos tipos:
• fı́sico — voltagem, viscosidade, peso e diâmetro;
• sensorial — gosto, cor e aparência;
• temporal — fiabilidade, operacionabilidade e manutenção.
1
Termo que aqui traduzimos livremente para “qualidade da adequação”.
189
•
Controlo estatı́stico de qualidade — Não há processos de
produção perfeitos ou sem variabilidade por mais cuidadosos que
sejamos no seu planeamento e a sua manutenção. A presença dessa
variabilidade torna necessário o uso de métodos estatı́sticos dos
quais destacamos:
• Planeamento de experiências (experimental design) — É
amplamente reconhecida a necessidade desta técnica off-line que
consiste do planeamento cuidadoso do produto e da identificação
dos nı́veis óptimos dos factores que claramente influenciam
as caracterı́sticas de qualidade (por exemplo, a pressão
atmosférica, temperatura de cozedura, tipo de catalisador usado,
etc.).
• Controlo estatı́stico de processos (statistical process control,
SPC) — Técnica on–line cujo objectivo principal é o acompanhamento do processo de produção e pressupõe de um modo
geral o uso de esquemas (ou cartas) de controlo de qualidade.
• Amostragem de aceitação (acceptance sampling) — técnica
off–line frequentemente utilizada para avaliar a “qualidade à
saı́da”dos produtos, por inspecção dos lotes destinados aos
consumidores.
Assim, pode afirmar-se que o controlo de qualidade é uma
actividade pertencente aos domı́nios da engenharia, da gestão e,
sobretudo, da Estatı́stica, que permite:
• avaliar o produto e confrontá-lo com as especificações e
tolerâncias requeridas pelo produtor e com os requisitos do
consumidor;
190
• tomar medidas capazes de corrigir situações caracterizadas por
diferenças acentuadas entre o que é produzido e o que é
requerido pelo produtor ou pelo consumidor.
Textos de apoio: Gomes e Barão (1999, pp. 1–4); Montgomery
(1985, pp. 1–3).
191
7.2
Os custos e os aspectos legais da qualidade
Por tratar-se, como referimos, de critério que de um modo geral
determina a aquisição de bens/serviços, a qualidade influencia
substancialmente o êxito e o crescimento de uma empresa e vem
reforçar e melhorar a posição da mesma no mercado.
Os programas de garantia de qualidade têm associados por vezes
custos (nem sempre negligenciáveis) que devem ser encarados como
uma estratégia que a prazo resultará em maior penetração de mercado,
em maior produtividade e em menores custos de produção. Senão
vejamos um exemplo (Montgomery (1985, pp. 3–4)).
Exemplo 7.3 — Um fabricante de produz componentes mecânicas a
uma taxa de aproximadamente 100 componentes por dia, a um custo
de 20 USD por componente.
Por diversas razões, o processo de produção opera de modo
que somente 75% das componentes satisfazem as especificações do
produtor e estão em condições de ser vendidas. 60% das componentes
que não satisfazem tais especificações podem ser retrabalhadas
(“reworked”) — a um custo adicional de 4 USD — de modo a
poderem ser vendidas, sendo as restantes 40% transformados em
sucata (“scrapped”).
Deste modo, após ter-se retrabalhado as componentes, somente
90% = 75% × 100 + 60% × (0.25 × 100) da produção é passı́vel de
ser vendida a um custo por componente igual a
22.89 USD =
20 USD × 100 + 4 USD × (0.6 × 0.25 × 100)
.
90
Assuma-se que estudos revelaram que a elevada percentagem de
componentes não conformes pode ser diminuı́da, caso se implemente
192
um par de cartas de controlo de qualidade que permitem minimizar
desvios no valor esperado e na variância do diâmetro das componentes.
Assuma-se agora que a implementação de tal par de cartas
tem custos adicionais negligenciáveis e resultou num aumento da
percentagem inicial de componentes conformes às especificações
do produtor de 75% para 95%, mantendo-se a percentagem
de componentes que, embora não conformes podem vir a ser
retrabalhadas e posteriormente vendidas, em 60%.
Deste modo aumentou-se a percentagem de componentes passı́veis
de venda para 98% = 95% × 100 + 60% × (0.05 × 100) e reduziu-se o
respectivo custo por componente para
20.53 USD =
20 USD × 100 + 4 USD × (0.6 × 0.05 × 100)
.
98
O acompanhamento do processo de produção resultou pois numa
redução de 10.3% dos custos de produção por unidade.
•
Montgomery (1985, p. 5–6) identifica quatros categorias de
custos de qualidade e as respectivas subcategorias. A saber:
• custos de prevenção (“prevention costs”);
• custos de avaliação (“appraisal costs”);
• custos devidos a falhas anteriores à venda (traduccão livre
de “internal failure costs”);
• custos devidos a falhas ulteriores à venda (traduccão livre
de “external failure costs”).
Os custos de prevenção estão associados aos esforços durante o
planeamento e a manufactura no sentido de prevenir a produção de
193
artigos não conformes, i.e., de produzir bem à primeira (“do it
right the first time”).2
Os custos de avaliação dizem respeito à medição e inspecção
de produtos, componentes e matérias-primas de forma a garantir o
cumprimento das especificações do produtor.3
Quando os produtos, componentes, materiais e serviços não
cumprem os requisitos do produtor e este se apercebe de tal facto
antes de os fazer chegar ao consumidor, o produtor incorre em custos
devidos a falhas anteriores à venda.4
Caso o desempenho dos produtos não seja satisfatório quando já
foram fornecidos ao cliente, o produtor terá que suportar os custos
devidos a falhas ulteriores à venda.5
Ao analisar estes custos é fundamental ter em mente que, por
exemplo, o lucro do investimento de uma unidade monetária em custos
de prevenção é de longe superior ao da mesma unidade monetária em
custos de avaliação.
O consumismo e a responsabilidade legal pelo produto que
se coloca no mercado são razões mais que suficientes para a qualidade
deva ser encarada como uma estratégia empresarial importante.
O consumismo é em parte devido ao aparente aumento do número
de falhas durante a utilização dos produtos pelos consumidores. Mais,
quando estas falhas se tornam demasiado evidentes, rapidamente nos
2
Prevention costs: quality planning and engineering; new products review; product/process
design; process control; burn-in; training; quality data acquisition and analysis.
3
Appraisal costs: inspection and test of incoming material; production and test; material and
services consumed; maintaining accuracy of test equipment.
4
Internal failure costs: scrap; rework; retest; failure analysis; downtime; yield losses;
downgrading/off-specing.
5
External failure costs: complaint adjustment; returned product/material; warranty charges;
liability costs; indirect costs.
194
questionamos se os produtos de hoje não têm qualidade inferior aos
seus predecessores e se a qualidade é uma verdadeira preocupação dos
fabricantes de hoje.6 Não surpreende pois que os fabricantes estejam
particularmente preocupados em reduzir tais falhas; com efeito, ao
diminuir o número de tais falhas reduzem os custos ulteriores à venda
e os ameaças à sua competitividade no mercado.
A responsabilidade legal por um produto lançado no mercado
deve ser encarada de forma séria quer pelos produtores, quer pelos
distribuidores e vendedores.
A obrigação legal de compensar o
cliente caso ocorram danos devidos a produtos defeituosos não é um
fenómeno recente e a ênfase que lhe tem sido dada tem aumentado
substancialmente.
Para além disso, as afirmações feitas acerca
de um produto quando este é publicitado e promovido devem ser
consubstanciadas por dados que as validem. Como seria de esperar
estes dois aspectos da responsabilidade legal por um produto exercem
uma pressão enorme sobre produtores, distribuidores e vendedores.
Texto de apoio: Montgomery (1985, pp. 3–11, 17–19).
6
A explosão do número de produtos e os lançamentos prematuros de alguns nos dias de hoje
também contribuem para esta sensação.
195
7.3
Um apanhado da história do controlo de
qualidade
7.3.1
Um apanhado geral
O movimento para a promoção da qualidade encontra as suas raı́zes
na Europa medieval onde os artesãos começam por organizar-se
em associações/sindicatos denominados de guildas (“guilds”) no final
do sec. XIII. A manufactura no mundo dito industrializado tende a
seguir este modelo até ao inı́cio do sec. XIX.
O sistema fabril, que enfatiza a inspecção dos produtos, teve
inı́cio no Reino Unido em meados da década de 50 do sec. XVIII e
floresce, tendo por resultado a Revolução Industrial no inı́cio do
sec. XIX.
No inı́cio do sec. XX, os produtores incluem, por fim, a noção de
processo de qualidade nas suas práticas de qualidade.
Com a participação dos EUA na II Guerra Mundial, a qualidade
torna-se crucial no esforço de guerra: por exemplo, as balas/munições
produzidas num estado/fábrica devem ser adequar-se às espingardas
fabricadas noutro/a. Inicialmente, as forças armadas inspeccionam
virtualmente todas as unidades produzidas; a seguir, de modo a
simplificar e acelerar este processo sem comprometer a segurança,
começam a recorrer a técnicas de amostragem de aceitação,
impulsionadas pela publicação de tabelas com especificações e regras
de decisão e pelos cursos de formação baseados nas técnicas de
controlo estatı́stico de processos de Walter A. Shewhart.
O nascimento da noção de Qualidade Total (“total quality”)
nos EUA surge como uma resposta directa à revolução que a
Qualidade sofreu no Japão após a II Guerra Mundial.
196
Os
japoneses mostram-se receptivos às contribuições de dois especialistas
americanos em Qualidade, Joseph M. Juran and W. Edwards
Deming, e, ao invés de se concentrarem na inspecção dos produtos,
apostam na melhoria dos processos de produção por intermédio
das pessoas que neles intervêm.
Na década de 70 do século passado, sectores dos EUA, tais como
a indústria automóvel ou electrónica, não resistem à competição
feroz dos produtos japoneses de qualidade largamente superior.
A resposta dos EUA, que enfatiza não só a Estatı́stica mas também
abordagens que abarcam a organização no seu todo, vem a designarse de Gestão da Qualidade Total (“total quality management”,
TQM).
Na última década do sec. XX, o termo TQM cai em desuso,
particularmente nos EUA, no entanto, a sua prática mantém-se.
Poucos anos após o final do século passado, o movimento
da Qualidade parece ter amadurecido para além da noção de “total
quality”. Surgem novos sistemas de qualidade dos contributos
fundamentais de Deming, Juran e de especialistas japoneses como
G. Taguchi, e a qualidade é aplicada em áreas bem distintas
da indústria, tais como a saúde, a educação e a função pública,
entre muitas outras.
Fonte:
http://www.asq.org/learn-about-quality/history-of-quality/
overview/overview.html
197
7.3.2
As guildas da Europa medieval
Entre o final do sec. XIII e o inı́cio do sec. XIX, os artesãos
da Europa
medieval organizam-se em associações/sindicatos
denominados de guildas.
Estas guildas são responsáveis pelo
estabelecimento de regras rigorosas que garantem a qualidade
dos produtos fornecidos e dos serviços prestados. Para o efeito
existem comissões de inspecção que verificam os produtos um a
um e de certo modo forçam ao cumprimento das referidas regras já
que marcam os artigos sem defeitos com um sı́mbolo que serve
de garantia de qualidade.
É frequente os artesãos acrescentarem uma segunda marca
ou sı́mbolo aos artigos por eles produzidos.
Inicialmente esta
marca é usada para identificar a origem de artigos com defeitos.
Posteriormente, esta marca passou a simbolizar a boa reputação
do artesão.
Por exemplo, as marcas dos pedreiros simbolizam
a obrigação de cada membro da guilda de satisfazer a clientela e
melhorar a reputação do respectivo ofı́cio.
As marcas brandidas pelas comissões de inspecção e pelos mestresartesãos servem de prova de qualidade para os clientes pela Europa
medieval fora.
Esta abordagem à qualidade dos produtos manufacturados e dos
serviços prestados é a dominante até à Revolução Industrial no
inı́cio do sec. XIX.
Fonte:
overview/guilds.html
198
7.3.3
A Revolução Industrial
As práticas de qualidade americanas no sec. XIX são moldadas pelas
mudanças nos métodos de produção dominantes:
• O modelo de manufactura dos artesãos (craftsmanship) —
no inı́cio do sec. XIX, a produção nos EUA tende a seguir o
modelo de manufactura dos artesãos vigente em paı́ses europeus.
Segundo este modelo, os jovens aprendem um ofı́cio enquanto
aprendizes de um mestre, por vezes durante diversos anos.
Uma vez que os artesãos vendem os seus artigos localmente,
acabam por pôr em risco a sua reputação profissional e também
pessoal caso não consigam ir ao encontro das necessidades dos
clientes. Caso os requisitos de qualidade não sejam cumpridos, o
artesão corre o risco de perder a clientela que dificilmente pode ser
substituı́da. Assim, os mestres mantêm uma espécie de controlo
de qualidade ao inspeccionarem os artigos antes de os venderem.
• O sistema fabril — Este sistema, fruto da Revolução Industrial,
acaba por transformar os diversos ofı́cios dos artesãos em
diversas tarefas especializadas. Esta transformação não só
força os artesãos a tornarem-se operários fabris e os donos
de lojas a passarem a ser supervisores da produção, mas
marca também o inı́cio do declı́nio do sentido de autonomia
e da confiança nas próprias capacidades (“empowerment”)
por parte dos empregados no local de trabalho.
A qualidade no sistema fabril é assegurada pela perı́cia dos
operários complementada pelas revisões sistemáticas ou pelas
inspecções. Os produtos considerados defeituosos são ou
199
retrabalhados (“reworked”), i.e., voltam à linha de produção)
ou transformados em sucata (“scrapped”).
• O sistema tayloriano — No final do sec. XIX os EUA afastamse da tradição europeia e adoptam uma nova abordagem de gestão
desenvolvida por Frederick W. Taylor. O objectivo de Taylor
é aumentar a produtividade sem aumentar o número
de artesãos especializados.
Ele atinge este objectivo ao
atribuir a tarefa de planeamento da fábrica a engenheiros
especializados e ao usar artesãos e supervisores, que
foram entretanto transferidos com o aumento de fábricas, como
inspectores e gestores que executam os planos dos engenheiros.
A abordagem de Taylor conduz a aumentos notáveis da
produtividade mas levanta alguns problemas: os trabalhadores
são despojados do seu já diminuto sentido de autonomia e de
confiança nas suas próprias capacidades, pelo que a nova ênfase
na produtividade tem um efeito negativo na qualidade.
De modo a remediar o declı́nio da qualidade, os gestores das
fábricas criam departamentos de inspecção que impedem
que os artigos defeituosos cheguem às mãos dos clientes. Caso
um artigo defeituoso chegue a um cliente, é comum os gestores
interrogarem o inspector ”Como pôde deixar isto chegar ao
cliente?”ao invés de perguntar ao gestor da produção ”Por que
produzimos artigos defeituosos?”
Fonte:
overview/industrial-revolution.html
200
7.3.4
O inı́cio do sec. XX
O inı́cio do sec. XX é marcado pela inclusão da noção de
“processo”nas práticas de qualidade.
Um “processo”é definido por um grupo de actividades que,
tendo como ponto de partida matéria-prima (“input”), valoriza-a e
transforma-a num produto acabado (“output”), da mesma maneira
que um mestre de cozinha transforma um conjunto de ingredientes
numa bela refeição.
Walter A. Shewhart, um estatı́stico dos “Bell Laboratories”, começa
por concentrar-se no controlo de processos em meados dos anos 20
do sec. passado, tornando a qualidade relevante não só para o
produto final mas também para os processos responsáveis pela
sua produção.
Shewhart reconhece que os processos industriais produzem
dados. Por exemplo, um processo em que um metal é cortado em
folhas às quais estão associadas medições, tais como o comprimento,
a espessura e o peso das folhas de metal. Shewhart entende que estes
dados podem ser analisados usando técnicas de Estatı́stica de
modo a veriguar se o processo está estável ou sob controlo, ou se
pelo contrário, está fora de controlo por estar a ser afectado por
causas assinaláveis. Ao fazê-lo, Shewhart fundou os alicerces da
carta de controlo, uma ferramenta essencial para a qualidade nos
dias de hoje.
Os conceitos de Shewhart são usualmente designados por controlo
estatı́stico de qualidade. Diferem de qualquer sistema orientado
para o produto na medida em que tornam a qualidade relevante quer
para o produto final, quer para o processo que o processo que o criou.
201
W. Edwards Deming, um estatı́stico do “U.S. Department of
Agriculture and Census Bureau”, torna-se um defensor e promotor
dos métodos de controlo estatı́stico de qualidade propostos por
W. Shewhart e mais tarde vem a ser a tornar-se mais tarde o lı́der
do movimento para a qualidade quer no Japão, quer nos EUA.
Fonte:
overview/20th-century.html
7.3.5
A II Guerra Mundial
Ao entrarem na II Guerra Mundial em Dezembro de 1941, os EUA
promulgam leis de modo a ajustar a economia civil à produção
de armas.
Até então, os contratos militares são geralmente
atribuı́dos ao fabricante que produz mais barato. Os produtos
são inspeccionados antes de serem entregues de modo a garantir
a sua conformidade com os requesitos.
Durante este conflito, a qualidade torna-se uma questão de
segurança crucial no esforço de guerra. O equipamento militar
inseguro é claramente inaceitável e as forças armadas americanas
inpeccionam virtualmente todas as unidades produzidas de
forma a garantir a segurança durante a operação das mesmas.
Este procedimento requer imensos recursos humanos dedicados
exclusivamente à inspeção da produção e causa problemas no
recrutamento; mais, manter o pessoal competente revela-se tarefa
difı́cil dado o carácter temporário/transitório do serviço militar.
De forma a diminuir os problemas sem comprometer a
segurança dos produtos, as forças armadas começam a recorrer
à amostragem de aceitação ao invés da inspeção a 100%.
202
Com a ajuda de consultores da indústria, em particular dos “Bell
Laboratories”, adaptam-se e publicam-se tabelas de amostragem
sob a forma de uma norma militar (“military standard”)
denominada Mil-Std-105. Estas tabelas são incorporadas nos
contratos militares de forma a que os fornecedores compreendam
de facto o que espera que produzam.
As forças armadas ajudam também os fornecedores a melhorar
a qualidade ao promoverem cursos de formação nas técnicas de
controlo estatı́stico de qualidade de Walter A. Shewhart.
Se por um lado estes cursos de formação conduzem a alguma
melhoria da qualidade em algumas organizações, por outro a maioria
das companhias sentem-se pouca motivadas a integrarem plenamente
tais técnicas. Desde que o governo efectue os pagamentos previstos
pelos contratos, a prioridade máxima das organizações é, sem sombra
de dúvida, o cumprimento dos prazos de produção. Mais, a maioria
dos programas de controlo estatı́stico de qualidade é cessada
mal terminam os contratos com o governo dos EUA.
Fonte:
overview/wwii.html
203
7.3.6
A qualidade total
Após a II Guerra Mundial os fabricantes japoneses abandonam
a produção de artigos militares para uso interno e apostam na
produção e exportação de artigos quotidianos.
Inicialmente, o Japão goza da reputação de produtor de artigos de
qualidade inferior e estes ignorados no mercado internacional. Isto
leva as organizações japonesas a explorar novas formas de pensar a
qualidade.
Deming, Juran e o Japão — Os japoneses são receptivos à
informação dada pelas companhias estrangeiras e aos contributos de
conferencistas estrangeiros, entre eles dois peritos americanos:
• W. Edwards Deming, frustrado com os gestores americanos por
terem posto um termo aos programas de controlo estatı́stico de
processos aquando do fim da II Guerra Mundial e dos contratos
governamentais de fornecimento de armas.
• Joseph M. Juran, que prediz que a qualidade dos bens de consumo
japoneses vai ultrapassar a dos produzidos nos EUA em meados
dos anos 70 do século passado graças à taxa revolucionária a que
a qualidade da melhora no Japão.
De acordo com Bartmann (1986, p.5), os métodos estatı́sticos de
controlo de qualidade são introduzidos em 1947 no Japão, aquando
da fundação da “União Japonesa para a Ciência e Engenharia”(JUSE),
Em 1949, esta instituição convida Deming para proferir uma série
de conferências alusivas ao tema. Estas contaram na altura com a
presença de 400 engenheiros em 1950 e foram rapidamente seguidas
por outras quantas promovidas por Ishikawa (então presidente da
204
“Federação das Sociedades Económicas”) e dirigidas a executivos
da indústria.
Estes esforços foram, mais tarde, estendidos a
trabalhadores de todos os nı́veis e áreas da indústria. Esta estratégia
japonesa representa a nova aobordagem para a qualidade total.
Ao invés de contarem somente com a inspecção dos produtos, os
produtores japoneses centram-se na melhoria de todos os processos
organizacionais com a intervenção das pessoas envolvidas nesses
mesmos processos. Com efeito, na década de 60 do sec. XX surgem
os Cı́rculos de Controlo de Qualidade da autoria de Ishikawa,
que consistem em grupos de trabalhadores treinados em técnicas
elementares de controlo de qualidade. Estes cı́rculos desempenham
um papel crucial no aperfeiçoamento dos processos de produção.
Como resultado, o Japão passa a produzir e a exportar artigos de
qualidade elevada a preços baixos, beneficiando os consumidores de
todo o mundo e conseguida à custa do aperfeiçoamento contı́nuo
dos processos de produção, de inúmeras inovações tecnológicas e
muita Estatı́stica.
O impacto dos métodos introduzidos por Deming no Japão é
enorme e tal facto é há muito reconhecido pelo Japão onde se atribui
um prémio de extremo prestı́gio com o nome de Deming.
A indústria americana, que ocupa um lugar dominante nos anos
50 e inı́cio da década de 60 do século anterior, rapidamente se
vê a braços com a competição feroz da indústria japonesa e da
de outros paı́ses asiáticos e europeus. Os gestores americanos não
se apercebem à partida das profundas transformações na indústria
japonesa e assumem que toda e qualquer competição vinda do Japão
se reduziria a uma questão de preço e não de qualidade. Entretanto os
produtores japoneses aumentam as suas quotas no mercado americano,
205
com consequênias económicas evidentes nos EUA: os produtores
americanos perdem quotas de mercado, as organizações começam
a transferir as suas unidades fabris para paragens onde a mão-deobra á mais barata, e a economia americana sofre um grande revés,
provando que as profundas transformações da economia mundial no
sec. XX mostram claramente que a “selecção natural”também se
aplica à indústria (Bartmann (1986, pp.2–3)). Um exemplo extremo
da perda de competividade da indústria americana relatado
por Bartmann (1986) é a inexistência de fábricas de CDs nos EUA (à
data de Março de 1986).
Este quadro geral nada favorável à economia americana leva,
felizmente, os EUA a reagirem. Com efeito, o nascimento da qualidade
total nos EUA é a resposta directa à revolução da qualidade que ocorre
no Japão logo após a II Guerra Mundial.
A resposta americana — Inicialmente os produtores americanos
assumem que o sucesso japonês se deve ao preço dos seus artigos e
adoptam estratégias de redução dos custos da produção doméstica e
restrições das importações nomeadamente do Japão. É claro que isto
em nada melhora a competividade dos produtos americanos no que
diz respeito à qualidade.
Com o decorrer dos anos, a competição de preços diminui ao passo
que a competição ao nı́vel da qualidade aumenta. No final dos anos
70 do sec. XX, a crise da qualidade nos EUA atinge proporções
enormes, atraindo a atenção de legisladores, administradores e dos
meios de comunicação social. Um programa da cadeia americana NBC
intitulado “If Japan Can... Why Can’t We ?”chama a atenção para
a forma como o Japão conquistou os mercados mundiais de automóveis
e de equipamento electrónico. Os EUA caem, por fim, em si.
206
Os administradores de topo das maiores companhias americanas
dão um passo em frente e assumem a liderança do movimento para
a qualidade. A resposta americana, que enfatiza não só a Estatı́stica
mas também estratégias que envolvem a organização como um todo,
passa a ser conhecida por Gestão da Qualidade Total (TQM).
Seguem-se diversas iniciativas no âmbito da qualidade. Em 1987
publica-se a série ISO 9000 de normas de gestão da qualidade. O
“Baldrige National Quality Program”e o “Malcolm Baldrige National
Quality Award”são promovidos pelo congresso americano nesse
mesmo ano. As companhias americanas levam inicialmente algum
tempo a adoptar estas novas normas mas acabam eventualmente por
render-se às mesmas.
Fonte:
overview/total-quality.html
7.3.7
Para além da qualidade total
No final dos anos 90 do sec. passado a gestão da qualidade total é
considerada por alguns lı́deres do mundo de negócios dos EUA pouco
mais de uma moda, apesar de ter mantido a sua importância na
Europa.
Apesar do termo TQM ter caı́do, de algum modo, em desuso,
em particular nos EUA, a perita em qualidade Nancy Tague afirma:
“Muitas organizações usam a TQM com sucesso.”
O movimento para a qualidade amadurece no inı́cio do sec. XXI.
A perita Tague afirma ainda que os novos sistemas de qualidade
evoluı́ram muito para além do que Deming, Juran e os primeiros
defensores do movimento para a qualidade no Japão.
207
Eis alguns
exemplos de tal maturação:
• Em 2000 a série ISO 9000 de normas de gestão da qualidade é
revisto de modo a dar mais enfâse à satisfação do cliente.
• O “Malcolm Baldrige National Quality Award”passa a incluir, a
partir de 1995, os resultados da empresa entre os vários critérios
para a atribuição deste galardão.
• A metodologia “Six-Sigma”, desenvolvida pela Motorola com o
objectivo de minimizar o número de defeitos e assim melhorar
os processos de produção, evolui consideravelmente e conduz
a resultados significativos.
A Motorola recebe o “Baldrige
Award”em 1988 e partilha as suas boas práticas de qualidade
com outras empresas.
• A função de qualidade é desenvolvida por Yoji Akao como uma
forma de se concentrar no que o cliente pretende ou necessita no
planeamento de um produto ou serviço.
• São desenvolvidas versões especı́ficas da série ISO 9000 de
normas de gestão da qualidade para sectores tais como a
indústria automóvel (QS-9000), a aeroespacial (AS9000) e a de
telecomunicações (TL9000 e ISO/TS 16949) e a gestão ambiental
(ISO 14000).
• A qualidade estabelece-se em sectores bem distintos da indústria
tais como a administração, a saúde, a educação e o governo.
• O “Malcolm Baldrige National Quality Award”acrescenta a
educação e a saúde às categorias originais (manufactura,
208
pequenas empresas e serviços). Muitos advogam que se acrescente
a categoria de “organizações sem fins lucrativos”.
Fonte:
overview/beyond-total-quality.html
7.3.8
Walter A. Shewhart — Pai do controlo estatı́stico de
qualidade
Shewhart simulated theoretical models by marking numbers
on three different sets of metal-rimmed tags. Then he used an
ordinary kitchen bowl — the Shewhart bowl — to hold each
set of chips as different sized samples were drawn from his
three different populations. There was a bowl, and it played
a vital role in the development of ideas and formulation of
methods culminating in the Shewhart control charts.
Ellis R. Ott, Tribute to Walter A. Shewhart, 1967
Tinham decorrido cerca de dois séculos de revolução industrial,
quando o jovem engenheiro Walter Andrew Shewhart (1891–1967)
altera o curso da história da Indústria ao celebrar aquilo que se pode
considerar um casamento perfeito entre Estatı́stica, Engenharia
e Economia.
Shewhart publica numerosos trabalhos, mas é entre os seus
manuscritos que se encontra o fruto mais duradouro e tangı́vel desta
curiosa união.
Com efeito, no histórico memorandum de 16
de Maio de 1924 (ASQ), Shewhart propõe aos seus superiores
hierárquicos a carta ou esquema de controlo, uma ferramenta
gráfica fundamental na distinção entre causas aleatórias e causas
209
assinaláveis de variação de um processo de produção que representa
um passo inicial para aquilo que Shewhart designa por “formulação
de uma base cientı́fica para assegurar o controlo económico”.
A vida de Shewhart está cheia de concretizações que não são
alheias à sua forte preparação em ciências e em engenharia. Licenciase na University of Illinois e obtém o grau de Doutor em Fı́sica
pela University of California at Berkeley em 1917. Lecciona nestas
duas universidades e lidera brevemente o Departamento de Fı́sica da
Wisconsin Normal School in LaCrosse.
A sua carreira profissional compreende também o exercı́cio da
Engenharia na companhia Western Electric de 1918 a 1924, e nos
Bell Telephone Laboratories, onde exerce vários cargos enquanto
membro do pessoal técnico de 1925 até à sua reforma em 1956,
Lecciona controlo de qualidade e estatı́stica aplicada na University
of London, no Stevens Institute of Technology, na Graduate School
of the U.S. Department of Agriculture, e na Índia.
É professor
honorário da Rutgers University e colabora em comités em Harvard e
do Departamento de Matemática de Princeton.
É frequentemente consultor do Departamento de Guerra dos EUA,
das Nações Unidas e do Governo indiano. Membro activo do National
Research Council e do International Statistical Institute, nos EUA.
Membro honorário da Royal Statistical Society (Reino Unido) e
da Calcutta Statistical Association (India). É editor principal da
Mathematical Statistics Series publicada pela John Wiley & Sons
durante mais de vinte anos.
Fonte:
http://www.asq.org/about-asq/who-we-are/bio shewhart.html
210
Capı́tulo 8
Esquemas de controlo de
qualidade do tipo Shewhart para
atributos e variáveis
8.1
Introdução
Concentrar-nos-emos
doravante
no
controlo
estatı́stico
de
processos, muito em particular em esquemas de controlo de
qualidade, e posteriormente na amostragem de aceitação.
O acompanhamento de processos de produção pressupõe, de
um modo geral:
• a escolha de uma caracterı́stica de qualidade (e.g. número de
defeitos, diâmetro, etc.);
• a selecção de parâmetro (s) a controlar (e.g. valor esperado,
variância, probabilidade de selecção de artigo defeituoso);
• a recolha regular de amostras (e.g. de hora em hora);
• o registo sequencial dos valores observados de uma estatı́stica
(e.g. média, variância amostrais ou percentagens observadas de
211
defeituosos),
• em gráfico com limite(s) apropriado(s).
O dispositivo gráfico resultante denomina-se
• esquema/carta de controlo.
Esta ferramenta estatı́stica foi proposta por Walter A.
Shewhart dos “Bell Telephone Laboratories”, em 1924, com o intuito
de vigiar e reduzir a variabilidade dos processos de produção.
Figura 8.1: Carta de controlo — No. amostra (abcissa) vs. valor obs. estatı́stica
(ordenada); limite superior de controlo (U CL).
Segundo Shewhart a variabilidade da caracterı́stica de qualidade
pode ter duas origens:
• causas aleatórias (chance causes) — o efeito destas resulta
em variações negligenciáveis, incontroláveis e intrı́nsecas
à natureza aleatória da caracterı́stica de qualidade (background
noise);
• causas assinaláveis (assignable causes) — traduzem-se em
alterações inaceitáveis da caracterı́stica de qualidade; e podem
dever-se ao ajustamento incorrecto da maquinaria, a erros dos
operadores, de matéria prima inadequada, etc.
212
A ocorrência de uma causa assinalável pode, por exemplo,
resultar na alteração de um ou mais parâmetros da distribuição
da caracterı́stica de qualidade. Estudar-se-ão somente
• shifts — alterações bruscas do valor de um ou mais parâmetros,
do nı́vel desejado para um outro distinto.
Exemplo 8.1 — O valor esperado µ toma valor µ0 num primeiro
turno de 8 horas um processo de fabrico, tendo passado a tomar valor
µ1 (µ1 6= µ0 ) em todos os turnos seguintes. Assim, se a recolha
de amostras ocorresse de uma em uma hora terı́amos µ = µ0 , nos
instantes N = 1, . . . , 8, e µ = µ1 , para N = 9, 10 . . ..
•
Podem ocorrer também
• drifts — alterações graduais do(s) valor(es) do(s) parâmetros,
ou ainda alterações do(s) parâmetros — durante curto espaço de
tempo — seguidas de retorno ao nı́vel alvo.
Exemplo 8.2 — Um drift linear pode ser descrito do seguinte modo
para o exemplo anterior: µ = µ0 , N = 1, . . . , 8, e µ = µ0 + aN , a 6= 0
•
e N = 9, 10, . . .
Estados estatı́sticos de processos de produção — Um processo
de produção diz-se
• sob controlo (in control) na presença exclusiva de causas
aleatórias.
Se para além destas estiverem presentes causas assinaláveis o processo
dir-se-á
• fora de controlo (out of control).
213
Objectivo dos esquemas de controlo de qualidade — Têm por
fim auxiliar-nos na detecção de causas assinaláveis, que, por
traduzirem-se num desvio do(s) parâmetro(s) do seu valor alvo,
resultam de um modo geral na deterioração da qualidade dos
produtos. A detecção deverá ser o mais rápida possı́vel de forma a
iniciar acções de correcção que tragam o(s) parâmetro(s) de novo
ao(s) seu(s) alvo(s).
Graças à sua simplicidade e utilidade o esquema de controlo tornouse uma ferramenta clássica e ainda hoje muito popular em controlo
estatı́stico de processos/gestão da qualidade.
Aplicações dos esquemas de controlo — A utilização de esquemas
de controlo não se confina à indústria:
• a
administração
(Hawkins
e
Olwell
(1998,
p.v)
—
preenchimento incorrecto de documentos),
• a epidemiologia (Blacksell et al.
(1994) — diagnóstico de
doenças veterinárias),
• a detecção de fraudes (Johnson (1984) — roubo sistemático
pelos caixas de supermercado),
• gestão
de
pessoal
(Olwell
(1997)
—
“avaliação”de
comportamento no local de trabalho),
e também o atletismo, a biologia, as ciências do ambiente, a
genética e as finanças (Hawkins e Olwell (1998) e Stoumbos et al.
(2000)) são algumas das áreas de aplicação corrente dos esquemas de
controlo de qualidade.
Texto de apoio: Montgomery (1985, pp. 99–102).
214
8.2
Esquemas Shewhart
Os esquemas de controlo de qualidade mais divulgados são os
propostos por Walter A. Shewhart (1931) e justamente designados
de esquemas Shewhart:
os esquemas X̄ (mean) e R (range)
para a detecção de eventuais alterações no valor esperado µ e
desvio-padrão σ de uma caracterı́stica de qualidade de um processo,
respectivamente.
Esquema Shewhart — Um esquema tı́pico do tipo Shewhart
para um parâmetro (e.g. o valor esperado µ) tem as seguintes
caracterı́sticas:
• em abcissa representa-se o número da amostra N (ou o
instante da respectiva recolha);
• em ordenada regista-se o valor observado de uma estatı́stica
(usualmente suficiente para o parâmetro sob vigilância), valor
esse calculado com base numa amostra de dimensão n.
É costume unir os pontos com segmentos de recta para uma melhor
visualização da evolução das observações.
A carta de controlo possui ainda três linhas:
• CL — linha central (central line) representando o valor alvo do
parâmetro sob viligância;
• LCL e UCL — limite inferior de controlo (lower control limit) e
limite superior de controlo (upper control limit)
As designações destes dois limites tem a sua razão de ser como
poderemos ver de seguida.
215
Emissão de sinal — O operador de um esquema de controlo é
alertado para a possı́vel presença de uma causa assinalável assim
que se registar observação para além dos limites de controlo,
seguindo-se a emissão de sinal, tal como se ilustra no Exemplo 8.3.
Tipos de sinal — À semelhança de um teste de hipóteses podem
ocorrer:
• falsos alarmes — emissão de sinal na ausência de desvio no
parâmetro (erro de tipo I dos testes de hipóteses);
• sinais válidos — emissão de sinal na presença de desvio no
parâmetro.
Escolha dos limites de controlo — Os limites de controlo devem
ser escolhidos tendo em conta a distribuição amostral da estatı́stica
utilizada e de tal forma que seja muito pouco provável que esta
estatı́stica tome valores para além dos limites de controlo,
quando o processo de produção está sob controlo.
Nesta escolha deve ter-se em consideração que o esquema não deve
emitir sinais por perı́odos o mais longos possı́vel quando o processo
está sob controlo, contribuindo assim para a redução da frequência
de falsos alarmes. Por outro lado, a carta de controlo deverá possuir
limites escolhidos de forma a emitir sinais o mais depressa possı́vel
caso o processo de produção esteja fora de controlo.
216
Exemplo 8.3 — Foram registadas 70 observações do número de
artigos defeituosos em amostras de dimensão n = 100 numa
carta de controlo−np.1
Tabela 8.1: No. observado de defeituosos tN com: n = 100; p = p0 = 0.05, para
N = 1, . . . , 50; e p = p0 + θ = 0.056, para N = 51, . . . , 70.
N
tN
N tN
N tN
N
tN
N tN
N tN
N tN
1
4
11
5
21
4
31
6
41
4
51
5
61 6
2 10†
12
5
22
6
32
5
42
2
52
5
62 9
3
13
5
23
7
33
5
43
8
53
7
63 5
4 11‡
14
3
24
5
34
7
44
4
54 9*
64 3
5
2
15
4
25
6
35 9††
45
5
55
4
65 6
6
6
16
4
26
7
36
5
46
8
56
6
66 8
7
2
17
8
27
8
37
8
47
6
57
9
67 4
8
8
18
4
28
3
38
6
48
6
58
7
68 6
9
8
19
7
29
6
39
6
49
1
59
6
69 4
10
4
20
1
30
4
40
5
50
3
60
6
70 6
5
† 1o. falso alarme; ‡ 2o. falso alarme; †† 3o. falso alarme
* 1o. sinal válido
As primeiras 50 observações foram recolhidas enquanto o
processo de produção operava sob controlo ao nı́vel alvo/nominal
np0 = 100 × 0.05.
As 20 observações seguintes foram recolhidas do mesmo
processo após a ocorrência de um shift para n(p0 + θ) = 100 ×
(0.05 + 0.006).
Os valores observados da estatı́stica TN encontram-se na Tabela
8.3. Os limites inferior e superior de controlo deste esquema Shewhart
são iguais a LCL = 0 e U CL = 8.79, respectivamente. (Assinale no
esquema o alvo e o nı́vel após ocorrência de shift...)
1
Ver a descrição desta carta para atributos na Secção 8.4.
217
Figura 8.2: Carta de controlo (unilateral superior) — No. amostra (abcissa) vs.
No. de defeitos por amostra (ordenada); limite superior de controlo.
Convém referir que este esquema foi responsável por 3 falsos
alarmes (sinais emitidos antes da ocorrência do shift) e por um sinal
válido emitido pela 54a. amostra, i.e., 4 observações após a ocorrência
•
da alteração do parâmetro np.
Convém ainda referir que um esquema de controlo pode ser
utilizado como um dispositivo de estimação de parâmetros, desde
que o processo esteja sob controlo.
Mais, os esquemas de controlo têm uma longa história de
utilização na indústria. Montgomery (1985, p. 107) nomea cinco
razões para tal facto. Com efeito, os esquemas de controlo:
• constituem técnica estatı́stica que contribui para aumento
da produtividade pois reduzem a quantidade de artigos que
necessitam de ser retrabalhados ou transformados em sucata;
• são forma eficiente de prevenir a produção de artigos
defeituosos e como tal consistente com a filosofia “do it right
218
the first time”;
• contribuem
para
a
diminuição
de
ajustamentos
desnecessários do processo de produção já que são
capazes de distinguir as causas aleatórias das assinaláveis;
• fornecem informação essencial para o diagnóstico do tipo
de causa assinalável por parte de um operador experiente;
• fornecem informação sobre a evolução dos processos de
produção e como tal permitem a (re)estimação de parâmetros
cruciais desses mesmos processos.
Dimensão da amostra, frequência amostral e recolha das
unidades amostrais — Ao escolher a dimensão da amostra deve terse em mente a magnitude do shift que se pretende detectar. Assim,
caso a magnitude dos shifts seja grande, deve recorrer-se a uma
amostra pequena (e vice-versa).
Acrescente-se também que na indústria tende a recorrer-se a
amostras pequenas recolhidas muito frequentemente, em
particular, quando se lida com elevadas taxas de produção ou com
a possibilidade de ocorrência de vários tipos de causas assinaláveis.
A forma como são recolhidas as unidades que constituem cada
amostra (“rational subgroup”) é crucial. Uma abordagem possı́vel
passa pela constituição de uma amostra com unidades produzidas
sensivelmente ao mesmo tempo; esta abordagem é recomendada
quando se tem por objectivo principal a detecção de shifts. Outra
abordagem consiste em formar uma amostra com unidades do
produto que sejam representativas de todas as unidades
produzidas desde a recolha da última amostra; esta abordagem
219
é particularmente recomendada quando o esquema de controlo é usado
para tomar decisões sobre a aceitação de todas as unidades produzidas
desde a recolha da última amostra.
Regras/emissões de sinal alternativas — É essencial que as
observações da carta de controlo se disponham de modo aleatório
em torno do alvo.
Quando estas apresentam um comportamento sistemático ou
não aleatório deve emitir-se também sinal. Por comportamento
sistemático entenda-se séries de observações (runs) para além dos
limites de controlo (3-sigma) ou todas acima/abaixo do alvo, dos
warning limits (2 ou 1-sigma), etc.2
Estas regras usualmente denominadas de run rules ou Western
Electric rules sugerem a emissão de sinal caso:
• uma ou mais observações estejam para além dos limites de
controlo 3-sigma;
• sete ou oito observações consecutivas se encontrem ou todas acima
ou todas abaixo do alvo;
• duas de três observações consecutivas estejam para além dos
warning limits 2-sigma (mas ainda entre os limites de controlo
3-sigma);
• se vereiiquem quatro de cinco observações consecutivas para além
os warning limits 1-sigma;
• se registe um padrão pouco usual e não aleatório de observações.
Para mais detalhes acerca das Western Electric rules veja-se
Montgomery (1985, p. 112–115).
2
Este tipo de limites será posteriormente descrito em mais detalhe.
220
Como seria de esperar as diversas regras de emissão de sinal
conduzem a diferentes probabilidades de emissão de sinal e não são
independentes. Mais, o uso de uma mais de uma destas regras aumenta
não só a probabilidade de emissão de sinais válidos como a de falsos
alarmes, pelo que não se deve exagerar na adopção de regras de emissão
de sinal sob pena de emitir sinal sempre se recolha uma amostra.
É sobre o desempenho dos esquemas de controlo que nos
debruçaremos na próxima secção.
Textos de apoio: Montgomery (1985, pp 102–107); Morais (2001,
pp. 16–23, 56–57).
221
8.3
Desempenho de esquemas Shewhart
Comece-se por destacar alguns parâmetros relevantes na descrição
do desempenho de esquemas de controlo antes mesmo de
passarmos a exemplos de cartas do tipo Shewhart.
Magnitude do shift — Diferença relativa (ou rácio) entre os nı́veis
sob controlo, e.g. µ0 (σ0 ), e fora de controlo, e.g. µ1 (σ1 ), do parâmetro
de localização (escala) sob vigilância, e.g. µ (σ).
Exemplo 8.4 — No controlo do valor esperado é costume considerarse δ =
µ−µ
√0 ;
σ/ n
e δ = 0 (δ 6= 0) significa que o processo está sob controlo
(fora de controlo).
Por seu lado, no controlo do desvio-padrão é frequente considerarse θ = σ/σ0 ; e θ = 1 (θ 6= 1) significa que o processo está sob controlo
•
(fora de controlo).
Average Run Length (ARL) — Na literatura de controlo de
qualidade é usual recorrer ao no. esperado de amostras recolhidas
até à emissão de sinal na avaliação do desempenho de esquemas de
controlo. (Assume-se que a magnitude do shift se mantém constante
durante a contabilização deste número de amostras.)
Por um lado é desejável que os falsos alarmes sejam emitidos com
pouca frequência → ARL grande. Por outro a emissão de sinal
válido deverá ocorrer com a maior brevidade → ARL pequeno.
Run Length (RL) — A distribuição do no. de amostras recolhidas
até sinal é relevante na avaliação do desempenho dos esquemas de
controlo. Esta medida de desempenho depende da magnitude do
shift, da distribuição da estatı́stica utilizada, etc.
222
Proposição 8.5 — O desempenho de um esquema Shewhart usual
— condicional ao facto da magnitude do shift no parâmetro sob
vigilância ser igual a δ, RL(δ) — possui distribuição geométrica
com parâmetro
ξ(δ) = P (emissão de sinal|δ)
= 1 − P (LCL ≤ T ≤ U CL|δ),
(8.1)
onde T representa a estatı́stica usada pela carta Shewhart. Assim
tem-se
P [RL(δ) = m] = [1 − ξ(δ)]m−1 ξ(δ), m = 1, 2, . . .
1
,
ARL(δ) =
ξ(δ)
bem como outras propriedades de RL(δ) na Tabela 8.2.
(8.2)
(8.3)
•
Tabela 8.2: Propriedades de RL (caso geométrico).
F.p.
PRL(δ) (m) = [1 − ξ(δ)]m−1 ξ(δ), m ∈ IN
F.s.

 1, m < 1
F RL(δ) (m) =
 [1 − ξ(δ)]bmc , m ≥ 1
F. taxa de falha
λRL(δ) (m) = ξ(δ), m ∈ IN
Quantil de ordem p
−1
(p) = inf{m ∈ IR : FRL(δ) (m) ≥ p}, 0 < p < 1
FRL(δ)
F.g.p.
P GRL(δ) (z) = z{1 − z[1 − ξ(δ)]}−1 ξ(δ), 0 ≤ z < [1 − ξ(δ)]−1
Momento fact. ordem s
F MRL(δ) (s) = s! × [1 − ξ(δ)]s−1 [ξ(δ)]−s , s ∈ IN
Valor esperado
ARL(δ) = [ξ(δ)]−1
Desvio-padrão
SD[RL(δ)] = [1 − ξ(δ)]1/2 [ξ(δ)]−1
Coef. de variação
CV [RL(δ)] = [1 − ξ(δ)]1/2
Coef. de assimetria
CS[RL(δ)] = [2 − ξ(δ)][1 − ξ(δ)]−1/2
Coef. de achatamento
CK[RL(δ)] = 5 + [1 − ξ(δ)]−1 − ξ(δ)
Texto de apoio: Morais (2001, pp. 16–23).
223
8.4
Cartas Shewhart para atributos
Em muitas situações práticas é usual classificar cada artigo
inspeccionado de conforme ou não conforme com um conjunto de
especificações relativas à qualidade de um produto.
Defeito — Cada especificação não satisfeita constitui um defeito
do artigo (e.g. irregularidade à superfı́cie de painel).
Artigo defeituoso — Um artigo inspeccionado não conforme é uma
unidade que não satisfaz pelo menos uma dessas especificações, i.e.,
com pelo menos um defeito.
Cartas para atributos — É costume designar as cartas que resumem
informação relativa ao número/percentagem de artigos defeituosos
numa amostra, ou ao número (total) de defeitos numa amostra/artigo,
de cartas para atributos.
Serão descritas duas cartas para caracterı́sticas de qualidade do
tipo qualitativo:
• carta–np — com este tipo de esquema pretende controlar-se
a probabilidade (p) de um artigo seleccionado do fabrico ser
defeituoso;
• carta–c — esta carta controla o número esperado de defeitos (λ)
numa amostra de dimensão n.
As cartas−np e −c têm como estatı́stica:
• carta-np — o número de artigos defeituosos na amostra de
dimensão n;
• carta-c — o número total de defeitos nos n artigos de uma
amostra.
224
Para além destas cartas pode considerar-se a carta–p para a
percentagem observada de artigos defeituosos numa amostra ou ainda
a carta–u para o número observado de defeitos por artigo.
De notar que as distribuições usualmente associadas a estas duas
estatı́sticas pertencem aos modelos uniparamétricos:
• carta-np — {Binomial(n, p), 0 < p < 1};
• carta-c — {P oisson(λ), λ > 0}.
Importa referir que o modelo de Poisson faz sentido quando se
admite que
• os defeitos ocorrem de modo independente em qualquer artigo
produzido e de um artigo para outro — isto é, a ocorrência de
um defeito não torna nem mais, nem menos provável, a ocorrência
de um outro defeito, nesse mesmo artigo e nos restantes que
constituem a amostra, e que
• o número máximo de defeitos é muito maior que o número
esperado de defeitos em cada artigo produzido.
Na Tabela 8.3 encontram-se mais detalhes acerca de ambas as
cartas, assumindo que
• na N −ésima recolha se obteve amostra de dimensão n,
(x1 N , . . . xn N ), proveniente de população X, e
• considerando limites de controlo do tipo 3–sigma.
Convém notar que, na carta-np, ao perder-se o controlo da
produção, a probabilidade de um artigo seleccionado ser defeituoso
tomará valor p, onde p 6= p0 . Caso p > p0 (p < p0 ), a perda de
controlo tem como consequência o agravamento (melhoramento) da
qualidade dos artigos produzidos.
225
Tabela 8.3: Descrição das cartas (padrão) np e c, com limites 3-sigma.
Carta-np
Carta-c
sob controlo
X ∼ Bernoulli(p0 )
X ∼ P oisson(λ0 /n)
fora de controlo
X ∼ Bernoulli(p), p 6= p0
X ∼ P oisson(λ/n), λ 6= λ0
Shift
δ = p − p0
δ = λ − λ0
Estatı́stica
Pn
População
i=1 XiN
∼ binomial(n, p)
número de artigos defeituosos
Pn
i=1 XiN
∼ P oisson(λ)
LCL
np0 − 3 np0 (1 − p0 )
número total de defeitos
√
λ0 − 3 λ0
CL
np0
λ0
UCL
p
p
np0 + 3 np0 (1 − p0 )
√
λ0 + 3 λ0
Exercı́cio 8.6 — Justifique a adopção dos limites de controlo na
Tabela 8.3.
Que consequências terá o facto de estes limites de controlo
não estarem associados a uma sequência de testes de hipóteses
•
uniformemente mais potentes centrados (UMPU).
Exercı́cio 8.7 — Identifique a distribuição (e respectivo parâmetro)
•
do desempenho RL destas duas cartas para atributos.
Exemplo 8.8 (carta-np unilateral superior) — Na fase final da
produção de gravadores de CDs, um gravador é considerado
defeituoso se possuir mais de duas inconsistências cromáticas à
superfı́cie do seu painel frontal.
Para além disso,
3
o número
esperado
de
gravadores
defeituosos, em amostras de 100, não deve exceder 2.
3
I.e.,
Estas imperfeições, embora não afectem o funcionamento do gravador, são perceptı́veis e podem
afectar o preço do gravador de CDs.
226
sob controlo a caracterı́stica de qualidade possui distribuição
Bernoulli(p0 ) com p0 = 0.02.
A presença de uma causa assinalável é responsável por um
aumento do número esperado de defeituosos em amostras de
dimensão n — de np0 para n(p0 + δ), onde 0 < np0 < n(p0 + δ) < n.
Os limites de controlo da carta-np unilateral superior são
q
C = [LCL, U CL] = [0, bnp0 + γ np0 (1 − p0 )c]
(8.4)
onde γ é uma constante real positiva, escolhida de tal forma que a
taxa de falsos alarmes emitidos pela carta de controlo tome um
valor especı́fico — preferencialmente pequeno.
√
Por exemplo, se γ = 5/ 1.96 então U CL = 7 e um falso alarme
ocorre com probabilidade
ξ(0) = P (emitir falso alarme)

= P
n
X


XiN > U CL|δ = 0
i=1
= 1 − Fbin(100,0.02) (7) ' 0.000932.
(8.5)
Note que, uma vez que a distribuição dos dados é Bernoulli(0.02 + δ),
o RL deste esquema de controlo possui distribuição geométrica com
parâmetro
ξ(δ) = 1 − Fbin(100,0.02+δ) (7),
(8.6)
√
√
independentemente do valor de γ no intervalo [5/ 1.96, 6/ 1.96).
A Tabela 8.4 descreve o comportamento estocástico de RL(δ),
através da inclusão de várias caracterı́sticas relacionadas com RL, para
o valor nominal e diversos valores fora de controlo de np associados a
δ = 0, 0.001, 0.0025, 0.005, 0.0075, 0.01, 0.02, 0.03.
Esta tabela ilustra também quão pouco fiável é ARL como
medida de desempenho de um esquema, quando o processo está
227
Tabela 8.4: Valores de quantis de RL, ARL, SDRL, CVRL, CSRL e CKRL para
carta-np unilateral superior (n = 100, p0 = 0.02 e U CL = 7).
Quantis
RL
δ = p − p0
0
0.001
0.0025
0.005
0.0075
0.01
0.02
0.03
5%
56
41
27
14
8
5
2
1
25%
309
227
148
78
45
27
6
3
Mediana
744
546
355
187
107
65
15
6
75%
1487
1092
710
374
214
130
29
11
90%
2470
1813
1179
621
355
216
48
17
95%
3214
2359
1534
808
461
281
62
22
ARL
1073.030 787.737
512.346
270.112
154.275
94.128
21.047
7.815
SDRL
1072.530 787.237
511.846
269.611
153.774
93.627
20.541
7.298
CVRL
1.000
0.999
0.999
0.998
0.997
0.995
0.976
0.934
CSRL
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
2.001
2.005
CKRL
6.000
6.000
6.000
6.000
6.000
6.000
6.002
6.019
sob controlo. Por exemplo, a probabilidade de um sinal ser emitido
pelas primeiras 309 amostras é de pelo menos 0.25, apesar do ARL
sob controlo pouco exceder as 1073 amostras. Para além disso, na
ausência de um shift em p, o desvio-padrão de RL (SDRL) é igual a
cerca de 1072 amostras, logo é possı́vel registar observações para além
dos limites de controlo mais cedo e mais tarde que o esperado.
Pode ainda acrescentar-se que os coeficientes de assimetria (CSRL)
e achatamento (CKRL) aumentam ligeiramente com o valor de δ
quando se usa o esquema unilateral superior np.
228
•
Exercı́cio 8.9 — Num processo de produção de frigorı́ficos recorreuse a carta de controlo np com as seguintes caracterı́sticas:
• n = 100, LCL = 0, U CL = 16.1 e p0 = 0.080.
a) Determine o número esperado de amostras recolhidas até falso
alarme. Comente o resultado.
b) Qual a probabilidade de uma amostra arbitrária detectar um shift
para p = 0.2?
c) Obtenha a probabilidade do shift referido em b) ser detectado o
mais tardar pela 4a. amostra recolhida a seguir à ocorrência do
•
shift.
Exercı́cio 8.10 — Uma carta de controlo np (padrão) indica que a
um determinado processo de fabrico está associada a produção de 2%
de itens defeituosos.
a) Qual a probabilidade da carta detectar um shift para 4% no dia
a seguir à ocorrência do shift, caso se inspeccione diariamente 50
itens?
b) E ao fim do 4o. dia a seguir à ocorrência do shift?
•
Exercı́cio 8.11 / Exemplo — Os dados abaixo dizem respeito ao
número de artigos defeituosos em 30 amostras de 100 peças soldadas
por uma máquina recentemente adquirida, totalizando 237 artigos
defeituosos (De Vor et al. (1992, p.440)).
a) Utilizando a estimativa de MV da verdadeira fracção de peças
defeituosas, p̂ = 0.079, construa e desenhe uma carta de controlo
conveniente, com limites 3-sigma.
As estimativas de LCL, CL e UCL obtêm-se substituindo p0 por
p̂ nas respectivas expressões. Assim:
229
q
– LCL = np̂ − 3 np̂(1 − p̂) = −0.19 < 0 → LCL = 0;
d
d
– CL
= np̂ = 7.9;
q
– Ud
CL = np̂ + 3 np̂(1 − p̂) = 16.00.
Tabela 8.5: No. de artigos não conformes em 30 amostras de 100 peças soldadas.
Amostra
Não conformes
Amostra
Não conformes
Amostra
Não conformes
1
7
11
7
21
8
2
8
12
9
22
10
3
6
13
8
23
4
4
8
14
7
24
10
5
6
15
8
25
7
6
8
16
10
26
7
7
3
17
10
27
9
8
5
18
5
28
8
9
9
19
12
29
10
10
7
20
11
30
10
b) Assumindo doravante que p0 é igual a p̂, diga se terá ocorrido
algum sinal de perda de controlo?
Qual o número esperado de amostras recolhidas até à emissão de
um falso alarme?
c) Determine a probabilidade de uma amostra arbitrária ser
responsável pela emissão de um sinal quando a fracção de
defeituosos passa a ser igual a p = 10% e ao utilizar-se a carta de
controlo construı́da em a).
Determine o valor de ARL nessa situação?
d) Qual o valor de ARL caso haja um melhoramento da qualidade
associado a p = 0.05?
Compare este valor com os anteriores e comente a adequação da
carta para a detecção de diminuições em p.
230
e) Elabore um programa para obter o gráfico de log[ARL(δ)] com
δ ∈ (−p0 , 1 − p0 ) ou em outros intervalos que entender mais
•
convenientes.
Exercı́cio 8.12 — Uma carta de controlo p (padrão) para a fracção
de defeituosos é utilizada para controlar um processo que se julga
produzir p0 = 1.6% de peças defeituosas. Admitindo que se recolhe
diariamente uma amostra de 100 peças:
a) Calcule os limites de controlo desta carta;
b) Obtenha a probabilidade de um shift para p = 2.0% ser detectado
pela carta no primeiro dia a seguir à ocorrência do shift;
c) Determine a probabilidade desse mesmo shift ser detectado 3 dias
depois da sua ocorrência.
d) Qual o menor valor da dimensão da amostra à qual corresponde
uma carta de controlo p (padrão) com o respectivo limite inferior
•
de controlo positivo?
Exercı́cio 8.13 — Procura-se construir uma carta de controlo para a
fracção de defeituosos que possua alvo igual a 10% e limites de controlo
3-sigma.
Que dimensão deverão possuir as amostras que irá recolher de modo
a que a detecção de um shift para 16% seja detectada por uma dessas
amostras com probabilidade não inferior a 0.50?
•
Exercı́cio 8.14 — Pretende controlar-se um processo de fabrico
através da utilização de uma carta de controlo para a fracção de
defeituosos. Para o efeito foram inicialmente recolhidas 10 amostras
de dimensão 100 tendo-se obtido o conjunto de resultados da tabela
seguinte.
231
Tabela 8.6: No. de artigos defeituosos em 10 amostras de 100 peças.
Amostra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Defeituosos
3
2
6
2
7
2
1
2
0
5
a) Estabeleça e desenhe uma carta para controlar futuramente a
produção.
b) Qual é a dimensão amostral mı́nima a adoptar de modo a obter
uma carta de controlo com um limite inferior positivo?
•
Exercı́cio 8.15 — Numa fábrica de papel pretende usar-se uma carta
de controlo para vigiar o processo de produção de rolos de papel.
A produção foi inspeccionada durante 20 dias consecutivos tendose registado o número total de imperfeições dos rolos produzidos
diariamente.
Tabela 8.7: No. de defeitos em 20 amostras de dimensão variável de rolos de papel.
Amostra
No. rolos
Defeitos
Amostra
No. rolos
Defeitos
1
18
12
11
18
8
2
18
14
12
18
14
3
18
20
13
18
9
4
22
18
14
20
10
5
22
15
15
20
14
6
22
12
16
20
13
7
20
11
17
24
16
8
20
15
18
24
18
9
20
12
19
22
20
10
20
10
20
21
17
232
a) Use este conjunto de dados para determinar uma estimativa de
MV do alvo da carta de controlo c para o número de defeitos por
rolo de papel.
Obtenha também os limites de controlo 3-sigma da mesma carta e
desenhe-a utilizando para o efeito as 20 observações de que dispõe.
b) Acha que a recolha das 20 amostras foi efectuada com o processo
de produção sob controlo? Justifique a sua resposta.
c) Que alvo e limites de controlo recomendaria para controlar a
produção futura de rolos de papel de forma a que a emissão de um
falso alarme ocorra com probabilidade menor ou igual a 0.002? •
Exercı́cio 8.16 — Um fabricante de automóveis pretende controlar
o número esperado de defeitos das transmissões manuais. Para isso
recolhe 16 amostras de 4 unidades cada tendo obtido o conjunto de
resultados da Tabela 8.8.
Tabela 8.8: No. de defeitos de 16 amostras de 4 transmissões manuais.
Amostra
Defeitos
Amostra
Defeitos
1
2
9
2
2
4
10
1
3
3
11
3
4
1
12
4
5
0
13
5
6
2
14
4
7
1
15
2
8
8
16
3
a) Construa e desenhe uma carta c (padrão) para controlar
futuramente o número esperado de defeitos por amostra.
233
b) Serão os dados provenientes de um processo sob controlo? Em
caso negativo, assuma que as causas assinaláveis responsáveis
por todos os pontos para além dos limites de controlo foram
detectadas e posteriormente eliminadas, e volte a calcular os
parâmetros da carta.
c) Qual a estimativa do valor esperado e do desvio-padrão do número
de amostras recolhidas até à detecção de um shift do valor
•
nominal para 5 defeitos?
Exercı́cio 8.17 — Os dados da Tabela 8.9 dizem respeito ao número
de defeitos à superfı́cie de 25 lâminas de aço.
Tabela 8.9: No. de defeitos à superfı́cie de 25 lâminas de aço.
Amostra
Defeitos
Amostra
Defeitos
1
1
14
0
2
0
15
2
3
4
16
1
4
3
17
3
5
1
18
5
6
2
19
4
7
5
20
6
8
0
21
3
9
2
22
1
10
1
23
0
11
1
24
2
12
0
25
4
13
8
a) Com base nestes dados construa uma carta 3-sigma para controlar
o número de defeitos em lâminas de aço. Considere amostras
diárias de uma lâmina de aço.
234
b) Será que o processo está sob controlo?
c) Qual a probabilidade de uma amostra arbitrária ser responsável
•
pela emissão de um falso alarme?
Exercı́cio 8.18 — O número de defeitos detectados na inspecção
final de gravadores foi registado na Tabela 8.10.
Tabela 8.10: No. de defeitos na inspecção final de gravadores.
Gravador
Defeitos
Gravador
Defeitos
2412
0
2421
1
2413
1
2422
0
2414
1
2423
3
2415
0
2424
2
2416
2
2425
5
2417
1
2426
1
2418
1
2427
2
2419
3
2428
1
2420
2
2429
1
a) Estará o processo de produção sob controlo?
Justifique
convenientemente a sua resposta desenhando uma carta u obtida
com as observações de que dispõe.
b) Que carta de controlo para número de defeitos por unidade
recomendaria para vigiar a produção futura de gravadores?
•
Exercı́cio 8.19 — Numa linha de produção procede-se à inspecção
dos televisores fabricados com o objectivo de detectar imperfeições à
superfı́cie dos mesmos.
O gestor da linha de produção pretende que seja construı́da uma
carta u que cumpra os seguintes requisitos:
235
• caso o número esperado de defeitos por unidade seja igual a 8, a
probabilidade do processo ser declarado como sob controlo seja
superior ou igual a 0.99;
• a carta não deverá possuir limite inferior de controlo.
Qual o tipo de carta de controlo mais apropriado e o respectivo
•
limite superior de controlo?
Exercı́cio 8.20 — O seguinte conjunto de dados diz respeito a um
processo de produção que se pretende controlar à custa da utilização
de uma carta para a fracção de defeituosos.
Tabela 8.11: No. de artigos defeituosos em 20 amostras de dimensão variável.
Amostra
Dimensão
Defeituosos
Amostra
Dimensão
Defeituosos
1
200
6
11
100
1
2
250
8
12
100
0
3
250
9
13
100
1
4
250
7
14
200
4
5
200
3
15
200
5
6
200
4
16
200
3
7
150
2
17
200
10
8
150
1
18
200
4
9
150
0
19
250
7
10
150
2
20
250
6
a) Determine uma estimativa para o alvo da carta de controlo para
a fracção de defeituosos.
b) Adoptando o procedimento descrito no Exercı́cio 8.11, obtenha os
limites de controlo da carta e desenhe-a. Atente que as dimensões
das amostras são variáveis.
236
c) Qual a estimativa da probabilidade de uma amostra com
dimensão 200, recolhida imediatamente a seguir à ocorrência de
um shift para p = 0.15, detectar semelhante alteração?
•
Textos de apoio: Morais (2001, pp. 27–29); Montgomery (1985,
pp. 119–157).
237
8.5
Cartas Shewhart para variáveis
Cartas para variáveis — Muitas caracterı́sticas de qualidade, como
o peso, o diâmetro, a pressão arterial, o consumo de combustı́vel e
prémios de seguros, são expressas à custa de medidas numéricas e não
são definidas de acordo com a presença ou ausência de determinado
atributo.
Os esquemas para tais caracterı́sticas de qualidade são denominados
de esquemas de controlo para variáveis e fornecem de um modo
geral mais informação sobre o processo de produção e são mais
eficientes que os esquemas para atributos.
Serão apresentados esquemas para o valor esperado e a
variância de uma caracterı́stica de qualidade normalmente
distribuı́da, i.e., esquemas do tipo X̄ e S 2 cujas estatı́sticas sumárias
são naturalmente:
• carta X̄ — média (reduzida) da amostra;
• carta S 2 — variância corrigida da amostra.
Na Tabela 8.12 encontra-se uma descrição mais detalhada de ambas
as cartas nas suas versões padrão, ou seja, usadas na literatura para a
detecção de qualquer tipo de alteração no valor esperado ou variância
(Montgomery (1995, p. 188, 200)).
A constante γ (resp. α) é escolhida de forma que o valor de ARL
sob controlo, ARL(δ = 0) (resp. ARL(θ = 1)) tome um valor elevado
e considerado razoável. Assim, γ = Φ−1 (1 − [2ARL(0)]−1 ) (resp. α =
1/ARL(1)).
Distribuição do desempenho — O número de amostras recolhidas
até à emissão de um sinal por parte da carta X̄ (resp. S 2 ), RL(δ)
238
Tabela 8.12: Descrição das cartas (padrão) X̄ e S 2 .
Carta X̄
Carta S 2
sob controlo
X ∼ N (µ0 , σ 2 )
X ∼ N (µ, σ02 )
fora de controlo
X ∼ N (µ, σ 2 ), µ 6= µ0
X ∼ N (µ, σ 2 ), σ 6= σ0
µ desconhecido mas fixo
Shift
σ conhecido
√
δ = n(µ − µ0 )/σ
Estatı́stica
P
X̄N = n1 ni=1 XiN
2 =
SN
variância corrigida da a.a.
LCL
média da a.a.
√
µ0 − γσ/ n
Alvo
µ0
σ02
UCL
√
µ0 + γσ/ n
σ02
n−1
População
θ = σ/σ0
σ02
n−1
1
n−1
Pn
i=1 [XiN
− X̄N ]2
× Fχ−1
(α/2)
2
n−1
× Fχ−1
(1 − α/2)
2
n−1
(resp. RL(θ)), é também uma v.a. com distribuição geométrica. O
parâmetro é, neste caso, igual a
ξ(δ) = 1 − [Φ(γ − δ) − Φ(−γ − δ)]
(8.7)
(resp.




F −1 (1 − α2 ) 
 χ2

ξ(θ) = 1 − Fχ2(n−1) 



(n−1)
θ2



F −1 ( α2 ) 

 χ2


− Fχ2(n−1) 
(n−1)
θ2




Exercı́cio 8.21 — Justifique os resultados (8.7) e (8.8).
239
).
(8.8)
•
Exercı́cio 8.22 / Exemplo — O esquema de controlo X̄ mais
utilizado é, sem dúvida, o esquema padrão com γ = 3, i.e., com
limites 3-sigma.
A probabilidade de emissão de sinal condicional ao valor da
√
magnitude do shift em µ, δ = n(µ − µ0 )/σ, é dada por
ξ(δ) = 1 − [Φ(3 − δ) − Φ(−3 − δ)],
(8.9)
logo aproximadamente igual a 0.0027, 0.00287, 0.02267, 0.8413, para
δ = 0, 0.1, 1.0, 4.0.
A função ARL(δ) encontra-se representada no gráfico seguinte e
permite concluir que se trata de função simétrica em torno da origem.
Figura 8.3: ARL de esquema X̄ com limites 3-sigma.
Prove que ARL(δ) e F RL(δ) (m), m ∈ IR, são funções decrescentes
de |δ|.
•
Importa notar a carta X̄ com limites 3-sigma é extremamente lenta
(resp. rápida) a detectar shift de pequena (resp. média e grande)
magnitude, tal como ilustra o gráfico da função ARL(δ). Daı́ que
para a detecção de shift de pequena e média magnitude se recorra a
cartas de controlo mais sofisticadas que estudaremos mais tarde.
240
Exercı́cio 8.23 — Um fabricante produz peças cujo diâmetro
externo se admite ser normalmente distribuı́do com valor esperado
sob controlo igual a µ0 = 3mm e desvio-padrão constante e igual a
σ = 0.1mm independentemente do estado do processo de produção.
Um conjunto de 10 amostras sucessivas de 4 peças conduziram às
seguintes médias amostrais:
Tabela 8.13: Médias de 10 amostras de dimensão n = 4.
Amostra
Média
Amostra
Média
1
3.01
6
3.02
2
2.97
7
3.10
3
3.12
8
3.14
4
2.99
9
3.09
5
3.03
10
3.20
a) Construa e desenhe uma carta com limites 3-sigma que permita
controlar o valor esperado do diâmetro externo da peça fabricada.
b) Que conclusões pode tirar acerca do estado do processo de
produção ao utilizar a carta construı́da em a)?
c) Obtenha novos limites de controlo de modo que a probabilidade
da carta emitir um falso alarme seja igual a 0.002.
d) Ao adoptar a carta construı́da em c), determine a probabilidade
de um shift para µ = 3.3 mm ser detectado pela amostra recolhida
imediatamente a seguir ao instante de ocorrência desse mesmo
•
shift.
241
Exercı́cio 8.24 — Uma carta X̄ é utilizada para controlar o valor
esperado da resistência à tracção do aço A400 que se assume possuir
distribuição normal com desvio-padrão conhecido e igual a σ = 6.0.
A esta carta estão associadas amostras de dimensão n = 4, µ0 = 200,
LCL = 191 e U CL = 209.
Determine a probabilidade da carta descrita emitir um sinal
aquando da ocorrência um shift para:
a) µ = 188 e µ = 212.
b) Compare e comente os dois resultados anteriores.
•
Exercı́cio 8.25 — Elabore o gráfico de ARL(δ) de uma carta
unilateral superior X̄ e ARL(0) = 500, para o valor esperado de uma
caracterı́stica normalmente distribuı́da.
Compare-o com o do desempenho esperado do esquema X̄ padrão
com o mesmo ARL sob controlo e adiante qual das cartas lhe parece ser
mais rápida a detectar aumentos em µ. E para detectar diminuições
•
em µ?
Exercı́cio 8.26 — Os dados da Tabela 8.14 dizem respeito a médias
de 24 amostras de dimensão n = 5 recolhidas num processo de
produção de suportes metálicos.
As medidas são referentes às três últimas casas decimais do
diâmetro de tais suportes (por exemplo, 34.5 corresponde a 0.50345).
Mais, assuma que a caracterı́stica de qualidade possui distribuição
normal com variância conhecida e igual 49.
a) Construa e desenhe uma carta X̄ com limites 3-sigma recorrendo
ao conjunto de dados obtidos. Será que as 24 amostras foram
recolhidas sob controlo? Caso ache necessário, recalcule os limites
de controlo.
242
Tabela 8.14: Médias de 24 amostras de dimensão n = 5 de três últimas casas
decimais do diâmetro de suportes metálicos.
Amostra
Média
Amostra
Média
1
34.5
13
35.4
2
34.2
14
34.0
3
31.6
15
37.1
4
31.5
16
34.9
5
35.0
17
33.5
6
34.1
18
31.7
7
32.6
19
34.0
8
33.8
20
35.1
9
34.8
21
33.7
10
33.6
22
32.8
11
31.9
23
33.5
12
38.6
24
34.2
b) Determine a probabilidade de uma amostra arbitrária emitir um
falso alarme.
c) Qual a probabilidade da ocorrência de um shift (no valor esperado
do diâmetro dos suportes) para 0.5045 ser assinalado somente pela
5a. amostra recolhida a seguir à ocorrência de semelhante shift?
d) Admitindo que as especificações do diâmetro dos suportes
metálicos são 0.5030 ± 0.0010, determine uma estimativa da
fracção de suportes defeituosos produzidos por um processo de
•
produção sob controlo.
Exercı́cio 8.27 — Com o objectivo de controlar a variância do peso
de latas de meio quilo de café, pretende recolher-se amostras com
dimensão 5 e registar as respectivas variâncias corrigidas numa carta
S 2.
243
Admita que tal caracterı́stica de qualidade possui distribuição
normal com valor esperado constante,
embora desconhecido
independentemente do estado da produção, e variância, sob controlo,
igual a σ02 = 4.
a) Obtenha os limites de controlo da carta de forma que o número
esperado de amostras até falso alarme seja 200.
b) Qual a probabilidade de um shift para σ 2 = 6 ser detectado
pela amostra recolhida imediatamente a seguir à ocorrência de
•
tal shift?
Exemplo 8.28 — O esquema S 2 com os limites descritos na Tabela
8.12 é recomendado na literatura para controlar a variância σ 2 de
dados normalmente distribuı́dos.
Tabela 8.15: Valores de ξ(θ) para esquemas S 2 com σ02 = 1 e α = 0.002 (i.e.,
ARL(1) = 500).
n
θ
4
5
7
10
15
100
0.50
0.007828
0.014624
0.042134
0.132929
0.406761
1.000000
0.75
0.002359
0.003089
0.005036
0.009313
0.020672
0.762450
0.80
0.001958
0.002409
0.003528
0.005751
0.011016
0.419837
0.90
0.001533
0.001652
0.001926
0.002391
0.003274
0.037724
0.95
0.001600
0.001628
0.001699
0.001819
0.002035
0.006949
1.00
0.002000
0.002000
0.002000
0.002000
0.002000
0.002000
1.10
0.004522
0.004874
0.005553
0.006569
0.008323
0.054761
1.20
0.010808
0.012654
0.016447
0.022530
0.033848
0.373172
No entanto, esta carta possui probabilidades de emissão de
sinais válidos menores que a probabilidade de emitir falso
alarme como ilustra a Tabela 8.15. Por exemplo, a função ARL(θ)
não possui valor máximo sob controlo.
244
Este comportamento traduz-se em propriedades indesejáveis
como a velocidade de detecção de determinados “shifts”poder ser
inferior à da emissão de um falso alarme, como ilustra o gráfico da
Figura 8.4.
Figura 8.4: ARL de esquema S 2 padrão (n = 5).
•
Exercı́cio 8.29 — Redefina os limites de controlo da carta S 2 por
forma a que
ARL(1) = max+ ARL(θ).
(8.10)
θ∈IR
a) Considerando σ02 = 1, α = 0.002 e n = 4, 5, 7, 10, 15, 100,
ilustre numericamente a obtenção dos quantis de probabilidade
que definem o par de limites de controlo desta nova carta S 2 .
b) Determine os correspondentes valores de ξ(θ) por forma a
preencher a Tabela 8.15 e elabore os gráficos de ARL(θ)
•
associados.
245
Nota 8.30 — As cartas X̄ e S 2 são frequentemente utilizadas em
conjunto já que são raras as situações em que o valor esperado e a
variância não se alteram separada ou simultaneamente.
Como alternativa ao esquema S 2 é costume recorrer ao esquema
R para amplitude amostral (“range chart”) apesar do estimador
da variância associado ser pouco eficiente, especialmente quando a
dimensão da amostra é média ou grande.
(Para uma descrição
alongada sobre esta carta sugere-se a consulta de Montgomery (1985,
•
pp.173–92).)
Exercı́cio 8.31 — Caracterize a carta S para o desvio-padrão com
limites do tipo E(S) ± 3DP (S), provando para o efeito que S não é
estimador centrado de σ e que
2
E(S) = σ ×
n−1
!1/2
Γ(n/2)
Γ[(n − 1)/2]
v
u
u
t
E 2 (S)
DP (S) = σ × 1 −
σ2
(Ver Montgomery (1985, p.197).)
(8.11)
(8.12)
•
Exercı́cio 8.32 — Estude os esquemas X̄ e S descritos em
Montgomery (1985, pp.198–199) que fazem uso de estimativas de
•
µ e σ.
Exercı́cio 8.33 — Um processo de produção foi recentemente
iniciado.
De modo a construir cartas que controlassem o valor
esperado e o desvio-padrão do diâmetro de pistões de automóveis que
se assume ter distribuição normal, foram recolhidas 20 amostras de
dimensão 5 tendo-se obtido o seguinte conjunto de resultados.
Construa e desenhe as cartas de controlo X̄ e S definidas em
Montgomery (1985, pp.198–199), fazendo uso dos dados que constam
246
Tabela 8.16: Médias e desvios-padrão corrigidos de 20 amostras de dimensão 5.
Amostra
Média
Desvio-padrão
Amostra
Média
Defeitos
1
35.1
4.2
11
38.1
4.2
2
33.2
4.4
12
37.6
3.9
3
31.7
2.5
13
38.8
3.2
4
35.4
3.2
14
34.3
4.0
5
34.5
2.6
15
43.2
3.5
6
36.4
4.5
16
41.3
8.2
7
35.9
3.4
17
35.7
8.1
8
38.4
5.1
18
36.3
4.2
9
35.7
3.8
19
35.4
4.1
10
27.2
6.2
20
34.6
3.7
da Tabela 8.16 e considerando limites de controlo 3-sigma para ambas
•
as cartas.
Exercı́cio 8.34 — Amostras de dimensão n = 6 são recolhidas
regularmente de um processo de enchimento de garrafões de azeite.
Assume-se que esta caracterı́stica de qualidade tem distribuição
normal e é medida e de seguida são calculadas as médias e desviopadrão amostrais. Da análise de 50 subgrupos obtiveram-se
50
X
i=1
x̄i = 1000,
50
X
s̄i = 75.
(8.13)
i=1
a) Estime os limites de controlo 3-sigma das cartas X̄ e S.
b) Considerando os limites calculados em a) definitivos e os valores
estimados para µ e σ como os verdadeiros valores destes dois
parâmetros, determine a probabilidade de emissão de falso alarme
de cada uma das cartas.
c) Nas condições da alı́nea anterior, qual seria a estimativa da
probabilidade da carta X̄ emitir sinal o mais tardar 5 amostras
247
após a ocorrência de um shift no valor esperado para o valor 25
(resp. no desvio-padrão para 2)?
•
Textos de apoio: Montgomery (1985, pp. 171-209); Morais (2001,
pp. 19–23).
248
Capı́tulo 9
Esquemas de controlo de
qualidade do tipo CUSUM e
EWMA para atributos e variáveis
9.1
Esquemas CUSUM e EWMA
As cartas de controlo mais frequentemente utilizadas são do tipo
Shewhart.
A sua popularidade deve-se, fundamentalmente, à
simplicidade da sua construção e da caracterização do desempenho
destas cartas de controlo. Contudo, por fazerem uso exclusivo da
informação mais recente, desprezando toda a restante informação
disponı́vel, as cartas Shewhart são particularmente lentas a detectar
algumas alterações de importância prática, as alterações ligeiras num
processo de produção. Com efeito no capı́tulo anterior constatou-se
que as cartas do tipo Shewhart são, em média, extremamente lentas
a detectar shifts de pequena e média magnitude.
Em contrapartida, as cartas Shewhart são particularmente
rápidas (mais uma vez em média) a detectar shifts de grande
magnitude. Esta caracterı́stica deve-se ao facto de a estatı́stica de
249
qualquer carta Shewhart utilizar somente a informação respeitante
à última amostra, ignorando as restantes amostras.
Uma forma de aumentar a capacidade de detecção de
shifts passa pela acumulação de informação relativa às amostras
sucessivas. Os esquemas de controlo dos tipos CUSUM (cumulative
sum) e EWMA (exponentially weighted moving average) são disso
exemplo e foram originalmente propostos por Page (1954) e Roberts
(1959), respectivamente, para detectar shifts (quer aumentos, quer
diminuições) do valor esperado de uma caracterı́stica de qualidade
normalmente distribuı́da.
Nestas referências constatou-se que os
esquemas CUSUM e EWMA são mais rápidos, em valor
esperado, que os esquemas Shewhart, no que diz respeito à
detecção de shifts de pequena e média magnitude do referido
parâmetro, devendo-se isso ao facto deste tipo de carta de controlo
conjugar a informação mais recente e toda a história passada do
processo de produção.
Tabela 9.1: Caracterı́sticas de esquemas Shewhart e CUSUM/EWMA.
Shewhart
CUSUM/ EWMA
Shewhart (1924)
Page(1954)/ Roberts (1959)
Estatı́stica dependente da
Estatı́stica dependente de
amostra mais recente
todas as amostras recolhidas
Simplicidade
Carácter recursivo
TN = g(TN −1 , X N , . . .)
Popularidade inquestionável
Popularidade crescente
Estes esquemas podem ser também definidos para os parâmetros de
todas as distribuições usuais a que se recorre em controlo de qualidade,
tal como o valor esperado do número total de artigos defeituosos numa
amostra de dimensão n, à semelhança do que se ilustra a seguir.
Textos de apoio: Morais (1995, pp. 57–58); Morais (2001, p. 23).
250
9.2
Esquemas CUSUM para atributos
O esquema CUSUM é, sem sombra de dúvida, um dispositivo gráfico
de controlo muito informativo uma vez que pode fornecer estimativas
da magnitude do shift e valores preditos para o instante de ocorrência
dessa mesma alteração (Hawkins e Olwell (1998, pp. 20–22)).
Nesta secção apresentaremos brevemente um esquema CUSUM
padrão para dados binomiais que se presta à detecção quer de
aumentos, quer de diminuições de p (ou equivalentemente de np).
Em
adição
debruçar-nos-emos
longamente
sobre
esquemas
CUSUM unilaterais superiores para p cuja utilização se presta
à detecção exclusiva de aumentos no número esperado de artigos
defeituosos numa amostra de dimensão fixa.
Definição 9.1 — O esquema CUSUM padrão para dados
binomiais caracteriza-se pela utilização da estatı́stica:



ZN = 
0, N = 0
 PN (Y
j=1 j
− np0 ) = ZN −1 + (YN − np0 ), N ∈ IN,
(9.1)
onde:
• 0 é o valor inicial atribuı́do à estatı́stica (ao (re)iniciar-se o
processo de controlo de produção);
• YN ∼ binomial(n, p = p0 + θ) é o número de artigos defeituosos
na N −ésima amostra aleatória (de dimensão n), i.e., corresponde
ao estimador de MV de np; e
• np0 o valor sob controlo de np.
•
Nota 9.2 — A estatı́stica ZN acumula os desvios entre o número de
artigos defeituosos e o respectivo valor esperado sob controlo. Mais,
•
não é um estimador de np
251
Definição 9.3 — O esquema CUSUM unilateral superior para
dados binomiais faz uso da seguinte estatı́stica:



u, N = 0

max{0, ZN −1 + (YN − k)}, N ∈ IN,
ZN = 
(9.2)
onde:
• u é o valor inicial atribuı́do à estatı́stica, também pertencente a
[LCL, U CL] = [0, U CL] para este esquema;
• YN é de novo o número de artigos defeituosos na N −ésima
amostra aleatória (de dimensão n) e possui distribuição,
condicional a θ, binomial(n, p = p0 + θ); e
• k representa o que se chama de valor de referência
necessariamente inferior a n já que YN toma valores em
{0, 1, . . . , n}.
•
Nota 9.4 — Lucas e Crosier (1982) recomendam a utilização de head
start (HS) values, i.e, um valor inicial não nulo para a estatı́stica do
esquema CUSUM (ou EWMA). Esta recomendação prende-se com
os seguinte:
• se o processo estiver a operar sob controlo, a estatı́stica do
esquema é rapidamente “forçada”a ficar perto da origem já que os
desvios entre o observado e o esperado não são de grande monta,
logo o efeito esperado do head start é mı́nimo no desempenho
da carta;
• caso contrário, o operador do esquema é alertado para a situação
de perda de controlo antes do que é habitual, prevenindo assim
start–up problems (i.e., problemas quando se (re)inicia o
processo de produção).
252
Nota 9.5 — Uma vez que a carta CUSUM unilateral superior
se propõe à detecção exclusiva de aumentos no parâmetro p de nada
adianta assinalar qualquer valor negativo da estatı́stica. 1 Assim,
altera-se imediatamente o valor observado da estatı́stica para 0,
sempre que ela tome valor negativo. Daı́ o uso da função max.
Nota 9.6 — Refira-se, por fim, que a obtenção não só dos limites
de controlo como do valor de referência e de u será discutida mais
tarde. Pode, no entanto, adiantar-se que a selecção destas constantes
dependerá do desempenho desejado para o esquema sob e fora de
controlo, assunto que discutiremos na próxima secção.
Exemplo 9.7 — Na Tabela 9.2 encontram-se os valores observados
dos números de artigos defeituosos em amostras de dimensão n = 100.
As primeiras 50 observações foram recolhidas quando o processo
operava ao nı́vel nominal np0 = 100×0.05. As 20 observações seguintes
foram recolhidas do mesmo processo após um shift para n(p0 + θ) =
100 × (0.05 + 0.006).
Os valores observados para a estatı́stica CUSUM, ZN , encontram-se
igualmente na Tabela 9.2, para o valor de referência k = 5.29 e valor
inicial u = 0 (i.e., não se atribuiu head start (0%HS) a este esquema).
O limite superior de controlo do esquema CUSUM unilateral superior
é igual a U CLC = 18.3.
De notar que o esquema CUSUM unilateral superior para dados
binomiais assinalou a perda de controlo somente à 60a. observação tal
como confirmam a Tabela 9.2 e a Figura 9.1.
De referir também que o esquema não foi responsável por nenhum
falso alarme antes da ocorrência do shift.
1
Valor este que se deveria ao acumular de desvios negativos entre o que se observa e o valor de
referência.
253
Tabela 9.2: No. observado de defeituosos yN e estatı́stica CUSUM para: n = 100,
p = p0 = 0.05, para N = 1, . . . , 50, p = p0 + θ = 0.056, para N = 51, . . . , 70;
k = 5.29, u = 0 e U CLC = 18.3.
N
yN
N
yN
N
yN
N
yN
N
yN
N
yN
N
yN
1
4
11
5
21
4
31
6
41
4
51
5
61
6
2
10
12
5
22
6
32
5
42
2
52
5
62
9
3
5
13
5
23
7
33
5
43
8
53
7
63
5
4
11
14
3
24
5
34
7
44
4
54
9
64
3
5
2
15
4
25
6
35
9
45
5
55
4
65
6
6
6
16
4
26
7
36
5
46
8
56
6
66
8
7
2
17
8
27
8
37
8
47
6
57
9
67
4
8
8
18
4
28
3
38
6
48
6
58
7
68
6
9
8
19
7
29
6
39
6
49
1
59
6
69
4
10
4
20
1
30
4
40
5
50
3
60
6
70
6
N
zN
N
zN
N
zN
N
zN
N
zN
N
zN
N
zN
1
0
11
8.1
21 0.20
31
5.30
41 12.40
51
7.50
61 19.60
2
4.71
12 7.81
22 0.91
32
5.01
42
9.11
52
7.21
62 23.31
3
4.42
13 7.52
23 2.62
33
4.72
43 11.82
53
8.92
63 23.02
4
10.13
14 5.23
24 2.33
34
6.43
44 10.53
54
12.63
64 20.73
5
6.84
15 3.94
25 3.04
35 10.14
45 10.24
55
11.34
65 21.44
6
7.55
16 2.65
26 4.75
36
9.85
46 12.95
56
12.05
66 24.15
7
4.26
17 5.36
27 7.46
37 12.56
47 13.66
57
15.76
67 22.86
8
6.97
18 4.07
28 5.17
38 13.27
48 14.37
58
17.47
68 23.57
9
9.68
19 5.78
29 5.88
39 13.98
49 10.08
59
18.18
69 22.28
10
8.39
20 1.49
30 4.59
40 13.69
50
60 18.89*
70 22.99
* primeiro sinal válido
254
7.79
Figura 9.1: Valores observados da estatı́stica CUSUM (zN ).
•
Exercı́cio 9.8 — Obtenha os valores observados da estatı́stica
CUSUM padrão para os dados do Exemplo 9.7 e averigue se, com
LCL = 3 e U CL = 17, e esquema CUSUM padrão teria emitido
algum sinal válido.
Desenhe e comente o esquema com os valores observados desta
•
estatı́stica.
Textos de apoio: Hawkins e Olwell (1998, pp. 105–133); Morais
(2001, pp. 55–58).
255
9.3
Desempenho de esquemas CUSUM para
atributos
O esquema CUSUM possui estatı́sticas sumárias dependentes e dado
o carácter recursivo das mesmas pode ser vistas como constituindo
uma cadeia de Markov em tempo discreto com espaço de
estados discreto 2 uma vez que estamos a lidar neste caso com dados
discretos. 3
Apesar de os esquemas CUSUM serem mais rápidos a
detectar shifts de pequena e média magnitude que os esquemas
Shewhart, os esquemas CUSUM não atingiram, até hoje, a
popularidade das cartas do tipo Shewhart.
Uma das razões que se pode apontar é o facto dos esquemas
CUSUM (a par dos do tipo EWMA) não serem de fácil implementação
e a caracterização do respectivo desempenho não ser necessariamente
trivial, ao contrário do que acontece com os esquemas do tipo
Shewhart.
A avaliação do desempenho do esquema CUSUM tirando partido
das estatı́sticas constituı́rem uma cadeia de Markov facto conduz
àquilo que se designa usualmente de abordagem markoviana.
2
{ZN , N ∈ IN0 } diz-se uma cadeia de Markov homogénea em tempo discreto com espaço de
estados discreto S sse
P (ZN +1 = j
|
ZN = i, ZN −1 = iN −1 , . . . , Z1 = i1 , Z0 = i0 )
= P (ZN +1 = j|ZN = i)
= pij , ∀i0 , i1 , . . . , iN −1 ∈ S, N ∈ IN0 .
(9.3)
Ou seja, a probabilidade do estado vir a tomar certo valor no instante futuro (N + 1) —
condicionalmente à informação sobre o estado no instante presente N e os estados nos instantes
passados N − 1, . . . , 0 — depende exclusivamente do estado presente. À matriz [pij ]i,j∈S dá-se o
nome de matriz de probabilidades de transição (entre estados e a um passo). Note-se ainda que
P
pij = P (transição do estado i → estado j) e j∈S pij = soma da linha i = 1.
3
O espaço de estados seria contı́nuo para dados contı́nuos.
256
Esta abordagem, originalmente proposta por Brook e Evans (1972),
permite determinar a distribuição exacta (ou aproximada) do
número de amostras recolhidas até à emissão de sinal, RL, e
consequentemente qualquer outra caracterı́stica que diga respeito a
RL como é o caso de ARL.
Exemplo 9.9 / Exercı́cio — Considere um esquema CUSUM
unilateral superior para dados binomiais cuja estatı́stica é



u, N = 0

max{0, ZN −1 (θ) + [YN (θ) − k]}, N ∈ IN.
ZN = ZN (θ) = 
(9.4)
Caso k e u sejam inteiros positivos, a estatı́stica é regida por uma
cadeia de Markov em tempo discreto com espaço de estados IN0 ,
estado inicial nulo, e matriz de probabilidades de transição,
dependente da magnitude do shift θ

P̃(θ) =
onde Fθ (i)













Fθ (k)
Pθ (k + 1) Pθ (k + 2) · · ·
Fθ (k − 1) Pθ (k)
Pθ (k + 1) · · ·
Fθ (k − 2) Pθ (k − 1) Pθ (k)
Fθ (k − 3)
..
.
=
Pθ (k − 2)
..
.
···
Pθ (k − 1) · · ·
..
...
.
Fbinomial(n,p0 +θ) (i) e Pθ (i)
=







,






(9.5)
Pbinomial(n,p0 +θ) (i)
representam a função de distribuição e a função de probabilidade de
YN = YN (θ) para qualquer inteiro não negativo i. (Justifique!)
Assuma agora que se emite um sinal assim que a estatı́stica
exceda o limite superior de controlo U CL = x, onde x é um
inteiro positivo. Nestas circunstâncias, o run length deste esquema
CUSUM unilateral superior pode ser representado pelo seguinte
tempo de primeira passagem:
RLu (θ) = min{N : ZN (θ) > x | Z0 (θ) = u}.
257
(9.6)
De facto o run length tem exactamente a mesma distribuição que certo
tempo de primeira passagem da seguinte cadeia de Markov absorvente
em tempo discreto {SN (θ), N ∈ IN0 }, onde: S0 (θ) = Z0 (θ) = u; e, para
N ∈ IN ,



ZN (θ), se ZN (θ) ≤ x e SN −1 (θ) ≤ x

x + 1, c.c..
SN (θ) = 
(9.7)
Esta cadeia de Markov possui espaço de estado finito {0, 1, . . . , x + 1}
e estado absorvente x + 1. Para além disso, as suas transições são
regidas pela matriz de probabilidades de transição P(θ) dada por

Fθ (k)
Pθ (k + 1)

Pθ (k)
 Fθ (k − 1)

 Fθ (k − 2)
Pθ (k − 1)


.
..
..

.


 Fθ (k − x) Pθ (k − x + 1)
0
0
Pθ (k + 2)
···
Pθ (k + x)
Pθ (k + 1)
···
Pθ (k + x − 1)
Pθ (k)
..
.
···
..
.
Pθ (k + x − 2)
..
.
Pθ (k − x + 2)
···
Pθ (k)
0
···
0
1 − Fθ (k + x)


1 − Fθ (k + x − 1) 

1 − Fθ (k + x − 2) 

.
..

.



1 − Fθ (k)
(9.8)
1
Com efeito,
RLu (θ) =st min{N : SN (θ) = x + 1 | S0 (θ) = u}.
(9.9)
•
Exercı́cio 9.10 — Obtenha a matriz de probabilidades de transição
associada a uma carta CUSUM padrão para dados binomiais com
limites de controlo e valor de referência inteiros, LCL = 2, U CL = 10
e k = 6, respectivamente e YN ∼ binomial(10, 0.5).
•
Tal como se constatou no exemplo anterior lidaremos com uma
cadeia de Markov absorvente em tempo discreto e com espaço de
estados finito {0, 1, . . . , x + 1}, estado absorvente x + 1, estados
258
transeuntes 0, 1, . . . , x e matriz de probabilidades de transição, passı́vel
da seguinte representação:

P(θ) = 
Q(θ) [I − Q(θ)] 1
0
>

(9.10)


1
onde:
• Q(θ) = [pij (θ)]xi,j=0 , i.e., esta matriz (x + 1) × (x + 1) é obtida a
partir da matriz P̃(θ) por eliminação da última linha e da última
coluna; esta matriz rege as transições entre os estados transeuntes
da cadeia;
• 1 (0> ) é um vector-coluna (vector-linha) com x + 1 uns (zeros); e
• I é a matriz identidade com caracterı́stica x + 1.
Considere
agora
que
os
dados
possuem
distribuição fora de controlo de Poisson(0.04), i.e., o número de
defeitos em amostras aleatórias de dimensão 80 possuem distribuição
de Poisson(3.2).
Prove que a carta CUSUM unilateral superior com valor de
referência k = 2 e limite superior de controlo U CL = 2 está associada
à matriz Q:







0.3799 0.2226 0.1781
0.1712 0.2087 0.2226
0.0408 0.1304 0.2087




.


(9.11)
•
Tal como se viu no Exemplo 9.9, o RL do esquema de
controlo CUSUM está relacionado com o número de transições
até absorção da cadeia de Markov {SN (θ), N ≥ 0} descrita
anteriormente.
259
Proposição 9.12 — Seja RLu (θ) o RL de um esquema CUSUM cuja
estatı́stica toma valor inicial u, u ∈ {0, 1, .., x}. Então RLu (θ) é uma
v.a. inteira positiva com função de probabilidade dada por:
m−1
[I − Q(θ)] 1, m ∈ IN,
PRLu (θ) (m) = e>
u [Q(θ)]
(9.12)
onde eu representa o (u + 1)−ésimo vector da base ortonormada de
IRx+1 .
•
Nota 9.13 — A distribuição de RLu (θ) é designada na literatura de
discrete phase-type distribution.
Tabela 9.3: Algumas propriedades de RLu (θ).
m−1 [I − Q(θ)] 1, m ∈ IN
PRLu (θ) (m) = e>
u [Q(θ)]
F.p.
F.s.
F RLu (θ) (m) =


 1, m < 1

bmc 1, m ≥ 1
 e>
u [Q(θ)]
m
e>
u [Q(θ)] 1
>
m−1
eu [Q(θ)]
1
F. taxa de falha
λRLu (θ) (m) = 1 −
, m ∈ IN
Quantil de ordem p
−1
FRL
u (θ) (p) = inf{m ∈ IN : FRLu (θ) (m) ≥ p}, 0 < p < 1
F.g.p.
−1 [I − Q(θ)] 1, 0 ≤ z ≤ 1
P GRLu (θ) (z) = z × e>
u [I − zQ(θ)]
s−1 [I − Q(θ)]−s 1, s ∈ IN
Momento fact. ordem s F MRLu (θ) (s) = s! × e>
u [Q(θ)]
Valor esperado
Para
referência
−1 1
E[RLu (θ)] = e>
u [I − Q(θ)]
futura
listamos
na
Tabela
9.3
algumas
caracterı́sticas de RLu (θ). De notar que:
• F RLu (θ) (m) representa a probabilidade de se emitir um sinal
após a recolha de mais de m amostras;
• λRLu (θ) (m) representa a probabilidade da amostra m emitir
um sinal, dado que as m − 1 amostras anteriores não
260
foram responsáveis por qualquer sinal, e pode ser entendida
como uma “taxa de alarme”do esquema aquando da recolha da
•
amostra m.
Há algumas semelhanças entre estas caracterı́sticas de RLu (θ) e as
do run length de uma carta Shewhart; para todos os efeitos Q(θ) pode
ser pensada como o análogo matricial de 1 − ξ(θ).
Esta analogia era de certo modo de esperar pois as discrete phasetype distributions correspondem a uma generalização matricial da
distribuição geométrica.
Tabela 9.4: Esquemas Shewhart vs. CUSUM
Shewhart
CUSUM
Estatı́sticas
Estatı́sticas regidas por
i.i.d.
RL(θ) =st Geométrica (ξ(θ))
Cadeia de Markov
RLu (θ) =st Phase-type (eu , Q(θ))
u = estado inicial
1 − ξ(θ) = Pθ (TN ∈ [LCL, U CL]) Q(θ) matriz sub-estocástica
Detecção lenta de desvios
Detecção eficiente de desvios
pequenos ou moderados
pequenos ou moderados
As distribuições phase-type são computacionalmente muito
apelativas, como se pode constatar após a consulta da Tabela 9.3.
Primeiro, porque as propriedades de RLu (θ) expressam-se à custa de
somente dois parâmetros (eu e Q(θ)). Segundo, porque a obtenção
das propriedades de RLu (θ) envolve operações triviais tais como:
• a multiplicação de matrizes (para obter, por exemplo, a f.p. e a
f.s);
• a inversão de matrizes (para calcular momentos factoriais e ARL).
261
Por último, porque algumas destas propriedades podem ser calculadas
de modo recursivo, como ilustram Champ e Rigdon (1991):
PRL(θ) (m) = [P [RLu (θ) = m]]u=0,...,x
= Q(θ) × PRL(θ) (m − 1).
(9.13)
No planeamento de um esquema de controlo é necessário estabelecer
um compromisso entre um RL grande sob controlo e um RL
pequeno fora de controlo, por forma a garantir falsos alarmes
pouco frequentes e uma detecção rápida de uma alteração especı́fica
no parâmetro que se pretende controlar.
Tendo presente este compromisso, Gan (1993) sugere, por exemplo,
que o valor de referência de um esquema CUSUM unilateral superior
para dados binomiais seja seleccionado o mais próximo de
n×
ln[(1 − p0 )/(1 − p1 )]
.
ln[(1 − p0 )p1 /(1 − p1 )p0 ]
(9.14)
Recorde-se que np0 é o valor esperado nominal do número de
defeituosos por amostra aleatória de dimensão n, e np1 denota o
correspondente valor fora de controlo que se pretende detectar com a
maior brevidade. Gan (1993) alega que resultados numéricos sugerem
que o valor de referência em (9.14) conduz a esquemas CUSUM
unilaterais superiores óptimos para dados binomiais — óptimos, em
termos de ARL — na detecção de um aumento em p com magnitude
p1 − p0 .
Exemplo 9.14 — Considere um esquema CUSUM unilateral
superior sem head start (i.e. u = 0) com np0 = 100 × 0.02 = 2,
valor de referência k = 3 — que corresponde a np1 = 4.27685 de
acordo com a Equação (9.14) — e U CL = x = 6. Neste caso, o RL
262
sob controlo, RL0 (0) possui distribuição phase-type discreta definida
por (e0 , Q(0)), onde, recorrendo à Equação (9.8),
Q(0) =


0.8590 0.0902 0.0353 0.0114 0.0031 0.0007 0.0002














0.6767 0.1823 0.0902 0.0353 0.0114 0.0031 0.0007 



0.4033 0.2734 0.1823 0.0902 0.0353 0.0114 0.0031 


0.1326 0.2707 0.2734 0.1823 0.0902 0.0353 0.0114  .
0
0
0
(9.15)

0.1326 0.2707 0.2734 0.1823 0.0902 0.0353 


0
0.1326 0.2707 0.2734 0.1823 0.0902 

0
0
0.1326 0.2707 0.2734 0.1823
O conjunto de parâmetros da carta conduz a ARLs para os valores
nomimais e fora de controlo de np, np0 e np1 , iguais a ARL0 (0) =
1015.71 — próximo do ARL sob controlo do esquema−np do Exemplo
9.8, 1073.03 — e ARL0 (p1 − p0 ) = 5.932, como reporta a Tabela 9.5.
Esta tabela descreve o comportamento de RL0 (θ), através da
inclusão de várias medidas de RL, para θ = 0, 0.001, 0.0025, 0.005,
0.0075, 0.01, 0.02, p1 − p0 , 0.03.
Ilustra também quão pouco fiável é ARL como medida de
desempenho do esquema quando o processo está sob controlo; por
exemplo, a probabilidade de um sinal ser emitido entre as primeiras
295 amostras é de pelo menos 0.25, apesar de o ARL sob controlo
exceder 1015 amostras. Para além disso, na ausência de shift em p,
o desvio-padrão SDRL é de cerca de 1000 amostras, logo é possı́vel
registar observações para além dos limites de controlo muito mais cedo
ou muito mais tarde do que o esperado; ARL0 (0) = 1015.71 amostras.
De acrescentar que RL0 (θ) possui assimetria positiva e
achatamento mais acentuado que RL(θ), run length do esquema−np
unilateral superior.
Para além disso, a substituição do esquema esquema−np unilateral
superior pelo esquema CUSUM unilateral superior resulta numa
263
Tabela 9.5: Alguns quantis do RL e valores de ARL, SDRL, CVRL, CSRL e CKRL
para os esquemas unilaterais superiores CUSUM e np (n = 100, p0 = 0.02, p1 =
0.0427685).
Esquema CUSUM unilateral superior para dados binomiais
RL perc.
points
θ = p − p0
0.02 p1 − p0
0
0.001
0.0025
0.005
0.0075
0.01
0.03
5%
55
34
18
9
6
4
2
2
2
25%
295
173
85
32
16
10
4
4
3
Median
705
411
198
72
33
19
6
5
4
75%
1407
819
392
140
63
34
9
7
5
90%
2334
1358
649
230
101
53
13
10
7
95%
3036
1765
843
297
130
68
16
12
8
ARL
1015.71
591.724
284.121
102.081
46.227
25.458
7.194
5.932
4.095
SDRL
1012.18
588.012
280.175
97.895
42.022
21.419
4.320
3.322
1.998
CVRL
0.997
0.994
0.986
0.959
0.909
0.841
0.600
0.560
0.488
CSRL
2.000
2.000
2.000
1.998
1.989
1.961
1.627
1.523
1.303
CKRL
6.000
6.000
5.999
5.992
5.953
5.833
4.296
3.814
2.853
0.02 p1 − p0
0.03
Esquema−np unilateral superior
RL perc.
points
θ = p − p0
0
0.001
0.0025
0.005
0.0075
0.01
5%
56
41
27
14
8
5
2
1
1
25%
309
227
148
78
45
27
6
5
3
Median
744
546
355
187
107
65
15
11
6
75%
1487
1092
710
374
214
130
29
21
11
90%
2470
1813
1179
621
355
216
48
35
17
95%
3214
2359
1534
808
461
281
62
45
22
ARL
1073.030
787.737
512.346
270.112
154.275
94.128
21.047
15.369
7.815
SDRL
1072.530
787.237
511.846
269.611
153.774
93.627
20.541
14.861
7.298
CVRL
1.000
0.999
0.999
0.998
0.997
0.995
0.976
0.967
0.934
CSRL
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
2.001
2.001
2.005
CKRL
6.000
6.000
6.000
6.000
6.000
6.000
6.002
6.005
6.019
redução quer em ARL quer em SDRL e na maior parte dos quantis,
•
tal como ilustra a Tabela 9.5.
264
Nota 9.15 — Caso a estatı́stica tome valores fraccionários ao invés
de inteiros pode também aplicar-se a abordagem markoviana após ser
ter coberto todos os valores possı́veis da mesma por um rescalamento
conveniente, tal como sugerem Brook e Evans (1972) e Lucas (1985)
•
e Gan (1993).
Exercı́cio 9.16 — Elabore um programa no package Mathematica
que permita obter um gráfico com as curvas de ARL para as cartas
unilaterais superiores para dados binomiais, descritas no Exemplo
•
9.14.
Exercı́cio 9.17 — Construa um esquema CUSUM padrão para o
controlo do valor esperado de uma caracterı́stica de qualidade com
distribuição normal, neste caso as medidas referentes às três últimas
casas decimais do diâmetro dos suportes descritos no Exercı́cio 9.26.
Assuma que o valor alvo para o valor esperado é igual a a µ0 = 32.5 e
que a variância é conhecida e igual σ02 = 49.
a) Será que o processo está sob controlo?
b) Como poderia obter o desempenho deste esquema de controlo? •
Para mais detalhes acerca de cartas CUSUM para variáveis é favor
consultar Montgomery (1985, pp. 221-239).
Textos de apoio: Hawkins e Olwell (1998, pp. 105–133); Morais
(2001, pp. 23–29).
265
9.4
Esquemas EWMA para variáveis
9.4.1
Esquema EWMA padrão para µ
À semelhança dos esquemas CUSUM, os esquemas do tipo EWMA
(exponentially weighted moving average) garantem em média uma
detecção mais rápida de shifts de pequena e média magnitude, por
fazerem uso de uma estatı́stica que tira partido não só da informação
mais recente como passada do processo de produção.
Definição 9.18 — O esquema EWMA padrão — para o valor
esperado de uma caracterı́stica de qualidade normalmente
distribuı́da com variância constante, conhecida e igual a σ02 — possui
estatı́stica dada por



w0, N = 0

(1 − λ) × WN −1 + λ × X̄N , N ∈ IN
WN = 
(9.16)
onde:
• w0 é o valor inicial atribuı́do à estatı́stica, usualmente igual ao
alvo da carta, i.e., w0 = µ0 ;
• λ ∈ (0, 1] é uma constante de amortecimento; e
• X̄N =
1 Pn
n i=1 XiN
a média da N −ésima amostra aleatória e n a
•
respectiva dimensão.
Equivalentemente e considerando agora as médias reduzidas, pode
adoptar-se também a seguinte estatı́stica para o esquema EWMA:



w0 , N = 0

(1 − λ) × WN∗ −1 + λ ×
WN∗ = 
X̄N −µ
√ 0,
σ0 / n
N ∈ IN.
Contudo deixa de se lidar com um estimador de µ.
266
(9.17)
A selecção de λ será discutida mais tarde.
Pode, no entanto,
adiantar-se que a sua selecção dependerá do desempenho que se
pretende para o esquemas sob e fora de controlo.
Nota 9.19 — A informação mais recente acerca do processo está
condensada em X̄N e tem associado o peso λ, λ ∈ (0, 1]. A história
passada do processo é representada na estatı́stica por WN −1 e possui
um peso associado igual a (1 − λ). A estatı́stica em (9.16) não só tem
um carácter recursivo,
WN = f (WN −1 , λ),
(9.18)
como pode escrever-se alternativamente do seguinte modo:
WN = (1 − λ)N w0 +
NX
−1
λ(1 − λ)j X̄N −j
(9.19)
j=0
Esta fórmula permite-nos concluir que o peso atribuı́do à média X̄N −j
decresce à medida que j aumenta, em particular, a importância
da informação decresce geometricamente (exponencialmente) com a
respectiva idade. Daı́ a designação do esquema de exponentially
•
weighted moving average.
Exercı́cio 9.20 — Demonstre o resultado (9.19). Com base neste
resultado e considerando para o efeito que a dimensão das amostras é
igual a n:
a) Obtenha o valor esperado sob controlo da estatı́stica e averigue
em que situações se trata de estimador centrado de µ.
b) Calcule a variância sob controlo de WN bem como o seu valor
assintótico, σa2 = limN →+∞ V (WN ).
•
Exercı́cio 9.21 — Compare os pesos atribuı́dos a observações com
idades 1 a 10 pelas cartas EWMA padrão com λ = 0.05, 0.1, 1.
267
•
Definição 9.22 — Ao recorrer-se so esquema EWMA padrão
descrito na Definição 9.29 podem usar-se de dois tipos de limites
de controlo:
• limites de controlo exactos, calculados com base em
momentos sob controlo de WN (δ = 0) e considerando w0 = µ0 ,
q
LCLN = E(WN ) − γ V (WN )
= µ0 −
v
u
u λ [1
u
γt
− (1 − λ)2N ] σ02
(2 − λ) n
(9.20)
q
U CLN = E(WN ) + γ V (WN )
= µ0 +
v
u
u λ [1
u
γt
− (1 − λ)2N ] σ02
(2 − λ) n
(9.21)
onde γ é uma constante real positiva que, cuja selecção é feita a
par da de λ, tendo sempre em vista o desempenho que se pretende
para carta sob e fora de controlo;
• limites de controlo assintóticos, calculados também com base
em momentos sob controlo de WN , w0 = µ0 e considerando
N → +∞,
LCLa =
N →+∞
= µ0 −
U CLa =
lim
lim
v
u
u
u
γt
= µ0 +
λ σ02
(2 − λ) n
N →+∞
q
E(WN ) − γ V (WN )
(9.22)
q
E(WN ) + γ V (WN )
v
u
u
u
γt
λ σ02
.
(2 − λ) n
(9.23)
•
268
Nota 9.23 — Com o objectivo de tornar menos complexa a
determinação do desempenho do esquema e de evitar cálculos
sucessivos dos limites de controlo (e deste modo aligeirar a
manipulação da carta) é costume substituir os limites de controlo
exactos pelos limites de controlo assintóticos.
•
Exercı́cio 9.24 — Elabore um gráfico com os limites de controlo
exactos e assintóticos admitindo que γ = 3, w0 = µ0 = 0, λ = 0.05,
σ0 = 1, n = 9 e N = 1, . . . , 10.
Repita o gráfico considerando desta feita λ = 0.25, 0.5. Compare e
•
comente os gráficos obtidos.
Atente-se que, ao utilizar o esquema com limites de controlo
assintóticos, se corre maior risco de não emitir sinal válido às primeiras
amostras e ser-se levado a crer que o processo está sob controlo quando
efectivamente está fora de controlo.
Há pois uma perda de sensibilidade do esquema no inı́cio do
processo. Este problema é agravado quando λ toma valores próximos
de 0 pois nestes casos V (WN ) converge mais lentamente para o seu
valor limite.
Por forma a minimizar as consequências da utilização dos limites
assintóticos na fase inicial do processo é costume adoptar os limites de
controlo exactos para as primeiras 8 a 10 observações e recorrer aos
limites de controlo assintóticos para as seguintes observações.
Exercı́cio 9.25 — Pretende controlar-se o processo de enchimento de
saquetas de produto quı́mico que conduziu ao conjunto de resultados
(em gramas) da Tabela 9.6.
a) Obtenha os valores da estatı́stica de um esquema EWMA padrão
269
para o controlo do valor esperado do peso de cada saqueta,
√
considerando µ0 = 10.0, w0 = µ0 , λ = 0.2, σ/ n = 2 e γ = 3.
Tabela 9.6: Pesos médios de saquetas de produto quı́mico.
Amostra
Média
Amostra
Média
Amostra
Média
1
10.5
11
9.5
21
12.0
2
6.0
12
12.0
22
6.0
3
10.0
13
12.5
23
12.0
4
11.0
14
10.5
24
15.0
5
12.5
15
8.0
25
11.0
6
9.5
16
9.5
26
7.0
7
6.0
17
7.0
27
9.5
8
10.0
18
10.0
28
10.0
9
10.5
19
13.0
29
12.0
10
14.5
20
9.0
30
18.0
b) Após ter elaborado um gráfico com os limites de controlo exactos
(e a seguir com os assintóticos) averigue se haverá alguma
•
observação fora de controlo.
Exercı́cio 9.26 — Uma máquina é utilizada no enchimento de latas
de óleo para motor de carro. Foram recolhidas amostras de n = 4
latas da produção, de meia em meia hora, tendo-se obtido os pesos
médios (em onças) da Tabela 9.7.
Uma vez que o processo de enchimento foi há muito automatizado o
desvio-padrão do mesmo já se estabilizou e a experiência aponta para
um valor de σ0 = 0.1.
a) Construa um esquema EWMA sem head start (i.e. tal que w0 =
µ0 ) e γ = 3, µ0 = 8.00 e λ = 0.05.
b) O que poderá dizer acerca do estado do processo de produção
considerando limites de controlo exactos. E considerando limites
270
de controlo assintóticos?
Tabela 9.7: Pesos médios de latas de óleo para motor de carro.
Amostra
Média
Amostra
Média
1
8.00
9
8.05
2
8.01
10
8.04
3
8.02
11
8.03
4
8.01
12
8.05
5
8.00
13
8.06
6
8.01
14
8.04
7
8.06
15
8.05
8
8.07
16
8.06
•
9.4.2
Esquema EWMA unilateral superior para σ 2
O controlo de aumentos da variância de uma caracterı́stica de
qualidade pode fazer-se também à custa de um esquema EWMA
unilateral superior.
Posto isto, a substituição de X̄N pelo estimador centrado da
variância σ 2 , SN2 , parece um passo natural para a obtenção de uma
estatı́stica do tipo EWMA para σ 2 . No entanto, essa substituição é
descabida já que as cartas de controlo do tipo EWMA se propõem a
detectar alterações no valor esperado e não em parâmetros de escala
ou suas funções como é o caso de σ 2 .
Crowder e Hamilton (1992) contornaram este problema do seguinte
modo: em vez de substituı́rem X̄N na expressão
WN = (1 − λ)WN −1 + λX̄N
(9.24)
pelo estimador centrado de σ 2 , substituı́ram-no por ln(SN2 ), logaritmo
da variância corrigida da N −ésima amostra aleatória.
271
A escolha desta função especı́fica de SN2 tem a sua razão de ser:
um aumento em σ 2 provoca um aumento no valor esperado de ln(SN2 ),
ln(σ 2 ) + ln(2) − ln(n − 1) + ψ[(n − 1)/2], bem como na variância de
ln(SN2 ), ψ 0 [(n − 1)/2], onde ψ e ψ 0 representam as funções digama e
trigama.
Nota 9.27 — Recorde-se que a função gama é definida por
Γ(z) =
Z +∞
tz−1 e−t dt, z
0
> 0.
(9.25)
Por seu lado as funções digama e trigama são definidas do seguinte
modo
d ln Γ(z)
(9.26)
dz
d2 ln Γ(z)
,
(9.27)
ψ 0 (z) =
dz 2
respectivamente (Abramovitz e Stegun (1964, pp. 255 e 260)),
ψ(z) =
tratando-se, portanto, de casos particulares da função poligama
dn ln Γ(z)
ψ (z) =
(9.28)
dz n
para n = 0, 1. Para além disso estas duas funções estão definidas no
(n)
package Mathematica (Polygamma[. . . ]).
A função digama é, para valores inteiros positivos e segundo a
fórmula 6.3.2 e a fórmula de recorrência 6.3.5 da p. 258 de Abramovitz
e Stegun (1964), igual a:



−γ, n = 0

ψ(n) + 1/n, n ∈ IN
ψ(n + 1) = 
(9.29)
onde γ representa a constante de Euler

m
X

1
γ = lim 
− ln(m)
m→+∞
j
j=1
= 0.5772156649
(9.30)
272
(Abramovitz e Stegun (1964, p. 255)).
Refira-se também que, tendo em conta o valor de ψ 0 (1) na tabela
6.1 da p. 267 de Abramovitz e Stegun (1964) e a fórmula de recorrência
6.4.6 da p. 260 dessa mesma referência, a função trigama para valores
inteiros positivos pode escrever-se recursivamente do seguinte modo:



1.6449340668, n = 0

ψ 0 (n) − 1/n2 , n ∈ IN
ψ 0 (n + 1) = 
(9.31)
•
Exercı́cio 9.28 — Tirando partido do facto de a variância corrigida
de uma amostra aleatória proveniente de uma população normal
verificar
(n−1)S 2
σ2
∼ χ2(n−1) (i.e., S 2 tem distribuição gama com
parâmetro de forma e de escala iguais a (n − 1)/2 e 2σ 2 /(n − 1))
e que ln(S 2 ) tem distribuição log-gama, demonstre que:
E[ln(SN2 )] = ln(σ 2 ) + ln(2) − ln(n − 1) + ψ[(n − 1)/2];
(9.32)
V [ln(SN2 )] = ψ 0 [(n − 1)/2].
(9.33)
•
Definição 9.29 — A carta EWMA unilateral superior — para
a variância de uma caracterı́stica de qualidade normalmente
distribuı́da — faz uso da estatı́stica



v0 , N = 0

max ln(σ02 ), (1 − λ) × VN −1 + λ × ln(SN2 ) , N ∈ IN
VN = 
n
o
(9.34)
onde, convenhamos, só vale a pena mencionar que:
• v0 é o valor inicial atribuı́do à estatı́stica, usualmente igual a
v0 = ln(σ02 );
• SN2 =
1 Pn
n−1 i=1 (XiN
− X̄)2 a variância corrigida da N −ésima
amostra aleatória.
273
Por seu lado esta carta possui limites de controlo assintóticos iguais a
LCLa = ln(σ02 )
(9.35)
U CLa = ln(σ02 ) +
v
u
u
γt
λ
ψ 0 [(n − 1)/2]
(2 − λ)
(9.36)
•
Exercı́cio 9.30 — A temperatura de um reagente quı́mico é uma
factor crucial para a obtenção de resultados satisfatórios um processo
quı́mico.
O valor nominal para a média e o desvio-padrão da
temperatura do reagente quı́mico são µ0 = 100o C e σ0 = 1o C,
respectivamente.
Tabela 9.8: Temperaturas de reagente quı́mico.
N
x1N
x2N
x3N
x4N
x5N
s2N
1
99.3
99.7
100.0
100.2
99.6
0.123
2
98.2
101.1
100.3
100.3
98.0
1.937
3
97.3
100.2
101.0
99.7
100.2
1.987
4
97.9
100.5
97.9
101.0
98.4
2.233
5
101.1
98.7
99.9
101.5
97.8
2.450
6
101.1
98.4
97.9
100.4
100.1
1.867
7
102.4
99.8
99.7
101.3
100.0
1.383
8
100.7
98.6
99.4
101.2
100.0
1.062
9
98.0
100.4
101.0
100.4
101.8
2.012
10
100.4
101.4
99.7
100.2
101.8
0.760
vN
Foram registados grupos de cinco observações da temperatura do
reagente quı́mico de hora a hora, durante um perı́odo de dez horas,
com a particularidade de o desvio-padrão do processo tomar valor
distinto do seu alvo e igual a σ = 1.1o C. As temperaturas encontramse na Tabela 9.8, a par dos valores observados da variância amostral
corrigida.
274
a) Preencha a Tabela 9.8 com os valores observados da estatı́stica
EWMA sem head start e considerando λ = 0.05 e v0 = ln(σ02 ).
b) Obtenha os limites de controlo da carta na situação em que γ =
1.25 e identifique a amostra responsável pelo primeiro sinal válido.
c) Determine agora os limites de controlo de uma carta Shewhart
unilateral superior com γShew = 1.25.
Serão as amostras
•
responsáveis por algum sinal válido?
Exercı́cio 9.31 — O diâmetro é uma caracterı́stica importante de
uma fibra têxtil. Foram recolhidas vinte amostras com dimensão igual
a n = 10 tendo-se obtido o conjunto de médias e variâncias corrigidas
amostrais da Tabela 9.9 (Montgomery (1985, pp. 251–252)).
Tabela 9.9: Médias e variâncias corrigidas do diâmetro de fibra têxtil.
N
x̄N
s2N
N
x̄N
s2N
1
1.04
0.87
11
0.99
0.79
2
1.06
0.85
12
1.06
0.82
3
1.09
0.90
13
1.05
0.75
4
1.05
0.85
14
1.07
0.76
5
1.07
0.73
15
1.11
0.89
6
1.06
0.80
16
1.04
0.91
7
1.05
0.78
17
1.03
0.85
8
1.10
0.83
18
1.05
0.83
9
1.09
0.87
19
1.06
0.79
10
1.05
0.86
20
1.04
0.85
wN
vN
wN
vN
a) Preencha a Tabela 9.9 com os valores observados da estatı́stica
EWMA padrão sem head start para µ e da estatı́stica EWMA
unilateral superior também sem head start para σ 2 , admitindo
que λµ = λσ = 0.05, w0 = 1.06 e v0 = ln(0.83).
275
b) Obtenha os limites de controlo de ambas as cartas na situação
em que γµ = 3 e γσ = 1.25.
c) Terá sido alguma amostra responsável por um sinal?
•
Textos de apoio: Montgomery (1985, pp. 239–243); Crowder e
Hamilton (1992).
276
9.5
Desempenho
de
esquemas
individuais
EWMA para variáveis
Sem perda de generalidade considerem-se cartas EWMA unilaterais
superiores individuais para µ e σ 2 descritos a seguir e que privilegiam
a detecção de aumentos em µ e na variância de
Caracterı́stica de qualidade =st N ormal(µ, σ 2 )
Sob controlo
µ = µ0
Fora de controlo
√
µ = µ0 + δ × σ0 / n, δ > 0
σ = σ0
θ × σ0 , θ > 1
e que fazem uso das seguintes estatı́sticas sumárias e dos seguintes
pares de limites de controlo:
Tabela 9.10: Caracterização dos esquemas individuais
Estatı́stica no instante de inspecção N
Esquema
E+ − µ
Limites de controlo

 w+ , N = 0
µ,0 n
+
Wµ,N
=
+
 max 0, (1 − λ+
µ)×W
+
µ,N −1 + λµ ×
CE + −µ = [LCLE + −µ , U CLE + −µ ] = 0, γµ+ ×
E+ − σ
q
X̄N −µ
√0
σ0 / n
o
, N >0
+
λ+
µ /(2 − λµ )

 w+ , N = 0
σ,0 n
+
o
Wσ,N
=
+
2
 max ln(σ 2 ), (1 − λ+ ) × W +
σ
0
σ,N −1 + λσ × ln(SN ) , N > 0
CE + −σ = [LCLE + −σ , U CLE + −σ ]
=
ln(σ02 ),
ln(σ02 )
+
γσ+
r
×
ψ0
n−1
2
×
λ+
σ
2−λ+
σ
onde os valores iniciais das estatı́sticas sumárias são iguais a:
+
wµ,0
= α × (U CLE + −µ − LCLE + −µ ), α ∈ [0, 1)
(9.37)
+
wσ,0
= ln(σ02 ) + β × (U CLE + −σ − LCLE + −σ ), β ∈ [0, 1).
(9.38)
Caso α > 0 (β > 0) afirma-se que foi dado um head start de α × 100%
(β × 100%).
277
Seja RLαE + −µ (δ, θ) (RLβE + −σ (θ)) o número de amostras recolhidas
até sinal da carta EWMA unilateral superior para µ (σ 2 ) quando
é dado head starts de α × 100% (β × 100%) e a magnitude do shift é
igual a δ (θ).
A
abordagem
markoviana
fornece
aproximação
caracterı́sticas de RLαE + −µ (δ, θ) e de RLβE + −σ (θ).
das
Por exemplo,
para o caso do esquema para µ é necessário:
• dividir o intervalo [LCLE + −µ , U CLE + −µ ] em x+
µ +1 sub-intervalos
com amplitude ∆µ , Ei = [eµ, i , eµ,
• associar
estes
sub-intervalos
i+1 ), i
aos
= 0, . . . , x+
µ;
estados
transeuntes
{0, 1, . . . , x+
µ } de uma cadeia de Markov absorvente com espaço
de estados discreto {0, 1, . . . , x+
µ + 1};
• aproximar RLαE + −µ (δ, θ) pelo tempo até absorção da cadeia de
Markov.
Procede-se do mesmo modo para obter as caracterı́sticas de
RLβE + −σ (θ). Assim, o número esperado de amostras recolhidas
até sinal e a probabilidade de não ser emitido sinal entre
as primeiras m amostras são, para os dois esquemas individuais
aproximados por:
Esquema
Aproximação Markoviana
E+ − µ
ARLαE + −µ (δ, θ) ' e>
× [I − Q(δ, θ)]−1 × 1
bα(x+ +1)c
µ
F RLα +
E
E+ − σ
−µ
(δ,θ) (m)
' e>
× [Q(δ, θ)]m × 1, m = 0, 1, 2, . . .
bα(x+ +1)c
µ
ARLβE + −σ (θ) ' e0[β(x+ +1)] × [I − Q(θ)]−1 × 1
σ
F RLβ
(θ)
E + −σ
(m) ' e0[β(x+ +1)] × [Q(θ)]m × 1
σ
Importa notar que no cálculo do desempenho do esquema para µ (σ 2 )
se admitiu que σ 2 (µ) é desconhecido embora constante.
278
Discutiremos oportunamente o controlo simultâneo dos parâmetros
µ e σ 2 e constataremos que o desempenho do esquema para µ
depende não só de δ como da magnitude do shift em σ. Daı́
termos lindo a lidar com RLE + −µ (δ, θ).
No que diz respeito ao esquema EWMA unilateral superior
para µ, as transições entre os estados transeuntes são regidas por
uma matriz sub-estocástica com entradas do tipo
+
+
qµ, ij (δ, θ) = P [Wµ,N
∈ Ej |Wµ,N
−1 = (eµ, i + eµ,
= aµ,
onde aµ,
i −1 (δ, θ) =

i j (δ, θ)
− aµ,
i+1 )/2, δ, θ]
i j−1 (δ, θ)
(9.39)
0, i = 0, . . . , x+
µ, e


+ × [(j + 1) − (1 − λ+ )(i + 1/2)]


γ
1
µ
µ
q
− δ ,
aµ, i j (δ, θ) = Φ  ×

+
+
+
θ 
(9.40)
(xµ + 1) λµ (2 − λµ )
para i, j = 0, . . . , x+
µ . Analogamente, tem-se, para o esquema EWMA
unilateral superior para σ 2 ,
+
+
qσ, ij (θ) = P [Wσ,N
∈ Ej |Wσ,N
−1 = (eσ, i + eσ,
= aσ,
i j (θ)
− aσ,
i+1 )/2, θ]
i j−1 (θ)
(9.41)
onde
aσ,
i j (θ)
n−1
θ2


 γ + × pψ0[(n − 1)/2] × [(j + 1) − (1 − λ+ )(i + 1/2)] 
σ
σ
,
q
× exp


+
+
+
(xσ + 1) λσ (2 − λσ )
= Fχ2
(n−1)
para i, j = 0, . . . , x+
σ e com aσ,
i −1 (θ)
(9.42)
= 0, i = 0, . . . , x+
σ.
Nota 9.32 — Importa notar que todas as entradas da matriz Qµ (δ, θ)
e Qσ (θ) são aproximações das probabilidades de transição da cadeia
de Markov original com espaço de estados contı́nuo, resultantes da
substituição, no acontecimento condicional, dos eventos {Wµ,+ N −1 ∈
Eµ, i } e {Wσ,+ N −1 ∈ Eσ, i } por {Wµ,+ N −1 = (eµ, i + eµ,
{Wσ,+ N −1 = (eσ, i + eσ,
i+1 )/2},
respectivamente.
279
i+1 )/2}
e
•
Exercı́cio 9.33 — Deduza a expressão de qµ,
i j (δ, θ)
para uma carta
EWMA unilateral superior e para uma carta EWMA padrão para µ.
•
Exercı́cio 9.34 — Deduza agora a expressão de qσ,
i j (θ)
para uma
carta EWMA unilateral superior para σ 2 .
•
Exercı́cio 9.35 — Recorrendo a um programa para o package
Mathematica e a 41 estados transeuntes, certifique-se que, de acordo
com a aproximação markoviana, ARLE + −µ (0, 1) ' 500 para o esquema
EWMA unilateral superior para µ com as seguintes caracterı́sticas:
• µ0 = 0, σ0 = 1, γµ+ = 2.8116 e λ+
µ = 0.134.
Obtenha o ARL desta carta para
• δ = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.40, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0.
•
Escreva
um
programa
para
o
package
Mathematica por forma a obter o ARL sob controlo da carta
EWMA padrão descrita no Exercı́cio 9.26, considerando 41 estados
transeuntes na aproximação markoviana.
•
Exercı́cio 9.37 — Considere uma carta EWMA unilateral superior
para a variância de uma caracterı́stica de qualidade com distribuição
sob controlo N ormal(µ0 , σ0 ), com n = 5, 0% head start, µ0 = 0,
σ0 = 1, λ = 0.05, LCL = 0, U CL = 0.157079, θ = σ/σ0 ≥
1 e o número esperado de amostras recolhidas até sinal igual a
ARLE + −σ (1) = 370.414.
Tome agora uma carta Shewhart unilateral superior para σ 2 com
limites de controlo LCL = 0 e U CL = 4.06286.
280
a) Prove que ARLS + −σ (1) = 370.414, i.e., as duas cartas são
comparáveis sob controlo.
b) Elabore um programa no Mathematica por forma a obter valores
de ARLS + −σ (θ), ARLE + −σ (θ) e a alteração percentual em ARL,


ARLE + −σ (θ) 
1 −
× 100%,
ARLS + −σ (θ)
(9.43)
por substituição do esquema Shewhart pelo esquema EWMA (ver
Figura 9.2). Considere 21 estados transeuntes na aproximação
markoviana (i.e. x+
σ = 20).
Figura 9.2: Redução percentual em ARL por substituição de esquema Shewhart por
esquema EWMA.
•
281
9.6
Desempenho de esquemas conjuntos para µ e
σ2
É irrealista considerar, no contexto de caracterı́sticas de qualidade
normalmente distribuı́das, que somente um dos parâmetros se altera
pois de um modo geral quer µ, quer σ 2 estão sujeitos a shifts que é
crucial detectar.
O controlo conjunto de µ e σ 2 é em geral efectuado usando esquemas
conjuntos, dividindo-se estes em duas categorias:
• esquemas que recorrem a uma só carta e uma estatı́stica
univariada (Chengalur et al. (1989), Domangue e Patch (1991))
ou bivariada (Takahashi (1989));
• esquemas que resultam do uso simultâneo de duas cartas
de controlo individuais — uma para µ outra para σ 2 (Crowder
(1987), Saniga (1989), Gan (1989, 1995), St. John e Bragg (1991),
Morais e Pacheco (2000)).
Exercı́cio 9.38 — Caracterize um esquema conjunto para µ e σ 2 que
faz uso de uma carta Shewhart padrão para µ e uma carta Shewhart
unilateral superior para σ 2 .
a) Em que situações é emitido sinal por este esquema conjunto?
b) Como se pode escrever o número de amostras recolhidas até que
o esquema conjunto emita sinal, RLµ,σ (δ, θ), à custa dos RLs das
cartas individuais?
c) Qual a distribuição de RLµ,σ (δ, θ)?
d) Obtenha um gráfico tridimensional de ARLµ,σ (δ, θ) para um
esquema conjunto à sua escolha.
282
•
Exercı́cio 9.39 — Retome o Exercı́cio 9.31 considerando agora um
esquema conjunto similar ao do Exercı́cio 9.38.
a) Defina os limites de controlo das cartas individuais de modo que
a probabilidade de emissão de falso alarme é em qualquer dos
casos igual a 0.002?
b) Obtenha a probabilidade de o esquema conjunto emitir um falso
alarme.
c) Qual a probabilidade de vir a ser emitido um sinal válido entre
as 10 primeiras amostras recolhidas após um shift simultâneo em
µ e σ com magnitude (δ, θ) = (0.1, 1.1)?
d) Obtenha um gráfico tridimensional de ARLµ,σ (δ, θ) para este
•
esquema conjunto.
9.6.1
Sinais erróneos — Misleading Signals
Qualquer dos esquemas conjuntos que faça uso simultâneo de duas
cartas emite um sinal aquando da recolha da N -ésima amostra desde
que pelo menos uma das duas cartas o faça.
Então há a
possibilidade de
• um aumento em σ ser seguido de sinal na carta para µ ou
de
• uma alteração em µ ser seguida de sinal na carta para σ.
Estas ocorrências foram designadas,
a par de outras,
de
Misleading Signals por St. John e Bragg (1991) e Morais e Pacheco
(2000) classificaram-nos de Tipos III e IV, respectivamente.
Exercı́cio 9.40 — Procure identificar outros tipos de misleading
signals quando se faz uso de esquema EWMA padrão para µ.
283
•
Exemplo 9.41 — Os valores alvo para o valor esperado e desviopadrão da temperatura de um reagente quı́mico são µ0 = 100o C and
σ0 = 1o C, respectivamente.
Suponha que se recolhe gupos de n = 9 temperaturas de reagente
de hora a hora, durante 10 horas consecutivas.
Considere-se um primeiro caso em que somente o desvio-padrão do
processo está fora de controlo e toma o valor σ = 1.2o C.
No segundo caso assuma-se que somente o valor esperado do
processo está fora de controlo mais precisamente no nı́vel µ =
100.05o C.
Tabela 9.11: Médias (x̄), variâncias (s2 ) e max{σ02 , s2 } das temperaturas do reagente.
(µ, σ) = (100o C, 1.2o C)
(µ, σ) = (100.05o C, 1o C)
N
x̄
s2
max{σ02 , s2 }
x̄
s2
max{σ02 , s2 }
1
99.887
0.437
1.000
99.980
3.295
3.295***
2
99.429
1.085
1.085
100.478
0.922
1.000
3
100.807
0.610
1.000
99.962
0.963
1.000
4
99.992
1.497
1.497
99.878
0.978
1.000
5
100.025
0.761
1.000
100.130
0.904
1.000
6
100.380
1.113
1.113
99.589
1.402
1.402
7
100.702
1.861
1.861
99.776
0.943
1.000
8
99.897
0.512
1.000
100.093
1.819
1.819
9
101.015*
1.343
1.343
100.408
1.507
1.507
10
100.139
4.779
4.779**
100.116
1.281
1.281
* Misleading signal de Tipo III
*** Misleading signal de Tipo IV
** Sinal válido
µ0 = 100o C; σ0 = 1o C; n = 9;
[LCLS−µ , U CLS−µ ] = [99.064, 100.936]; [LCLS + −σ , U CLS + −σ ] = [1, 2.744].
Os dados respeitantes às médias e variâncias corrigidas das
temperaturas de do reagente quı́mico encontram-se na Tabela 9.11
284
e ilustram a ocorrência de sinais erróneos nestes dois casos quando
se faz uso de um esquema conjunto com uma carta X̄ padrão para
µ (S − µ) e uma carta S 2 unilateral superior para σ 2 (S + − σ),
com limites de controlo (LCLS−µ , U CLS−µ ) = (99.064, 100.936) e
(LCLS + −σ , U CLS + −σ ) = (1, 2.744).
Com efeito, o esquema conjunto produziu um misleading signal
de Tipo III à 9a observação no 1o conjunto de dados como se pode
constatar na Tabela 9.11.
Analogamente, a 1a observação de 2o
conjunto de dados está para além dos limites de controlo do esquema
para σ 2 , dando a indicação de que o desvio-padrão do processo está
aparentemente fora de controlo, logo produzindo um misleading signal
de Tipo IV.
Convém mencionar que a 10a amostra do 1o conjunto de dados foi
responsável por um sinal válido, emitido pela carta S + − σ. Contudo,
a carta S − µ não emitiu nenhum sinal válido entre as primeiras 10
observações do 2o conjunto de dados.
9.6.2
•
Probabilidades de Misleading Signal (PMS)
Os misleading signals podem levar o utilizador do esquema
conjunto a tentar
• diagnosticar e corrigir causa determinı́stica inexistente,
logo a agravar custos de inspecção.
Esta situação sugere a utilização de pelo menos uma outra medida
de desempenho para além de RL:
• P M S — Probabilidade de MS.
A independência entre as estatı́sticas sumárias das cartas individuais
para µ e σ 2 volta a desempenhar um papel importante na obtenção
285
de expressões simples para as probabilidades de misleading signals dos
Tipos III e IV, denotadas por P M SIII (θ) e P M SIV (δ).
Lema 9.42 — As expressões das PMSs de Tipos III e IV para
esquemas conjuntos envolvendo esquemas individuais com estatı́sticas
sumárias independentes são iguais a
P M SIII (θ) = P [RLσ (θ) > RLµ (0, θ)]
=
=
+∞
X
i=2
+∞
X
FRLµ (0,θ) (i − 1) × PRLσ (θ) (i)
(9.44)
PRLµ (0,θ) (i) × F RLσ (θ) (i), θ > 1
(9.45)
i=1
P M SIV (δ) = P [RLµ (δ, 1) > RLσ (1)]
=
=
+∞
X
i=1
+∞
X
F RLµ (δ,1) (i) × PRLσ (1) (i)
(9.46)
PRLµ (δ,1) (i) × FRLσ (1) (i − 1), δ 6= 0
(9.47)
i=2
(ou δ > 0 ao utilizar-se esquemas unilaterais superiores para µ), onde
RLµ (δ, θ) e RLσ (θ) representam os RLs dos esquemas individuais para
µ e σ2.
•
Exercı́cio 9.43 — Prove que as expressões exactas das PMSs dos
esquemas conjuntos SS 4 e SS + 5 são as que se encontram na Tabela
9.12.
4
Este esquema conjunto resulta do uso de uma carta X̄ para µ e uma carta S 2 unilateral superior
para σ 2 .
5
Este esquema faz uso da carta X̄ unilateral superior para µ e carta S 2 unilateral superior para
σ2 .
286
Tabela 9.12: Expressões exactas das PMSs de Tipos III e IV para os esquemas
conjuntos SS e SS + .
Esq. conjunto
SS
P M SIII (θ), θ > 1
[Fχ2
n−1
SS +
1−[Φ(γµ /θ)−Φ(−γµ /θ)]
(γσ+ /θ2 )]−1 −[Φ(γµ /θ)−Φ(−γµ /θ)]
[Fχ2
n−1
+
1−Φ(γµ
/θ)
+ 2 −1
+
(γσ /θ )] −Φ(γµ
/θ)
P M SIV (δ), δ 6= 0 (δ > 0)
1−Fχ2
n−1
(γσ+ )
[Φ(γµ −δ)−Φ(−γµ −δ)]−1 −Fχ2
n−1
(γσ+ )
(γσ+ )
n−1
+
[Φ(γµ
−δ)]−1 −Fχ2 (γσ+ )
n−1
1−Fχ2
•
Exercı́cio 9.44 — Elabore gráficos para as PMSs dos Tipos III e IV,
considerando o esquema conjunto descrito no Exemplo 9.41.
•
Refira-se que a obtenção das PMSs para esquemas que fazem uso
de cartas do tipo EWMA ou CUSUM passa pela substituição das
funções de sobrevivência e de probabilidade em (9.45) e (9.46) pelas
suas aproximações markovianas.
Refira-se ainda que estes esquemas conjuntos possuem de um modo
geral PMSs inferiores às dos esquemas conjuntos do tipo Shewhart, a
acrescer a uma maior capacidade de detecção de shifts em µ e σ 2 , como
se ilustra no exemplo seguinte.
Exemplo 9.45 — Na tabela abaixo encontram-se valores das PMSs
dos Tipos III e IV para esquemas conjuntos SS + e EE + para
• dimensão da amostra igual a n = 5;
• valores nominais do parâmetros, µ0 = 0 e σ0 = 1; e
• δ = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.40, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0,
θ = 1.01, 1.03, 1.05, 1.10, 1.20, 1.30, 1.40, 1.50, 1.60, 1.70, 1.80, 1.90,
2.00, 3.00.
287
Estes esquemas conjuntos possuem as seguintes caracterı́sticas:
• SS + — faz uso de cartas X̄ e S 2 unilaterais superiores tais que
γµ+ = 2.87816, γσ+ = 16.9238 e ARLS + −µ (0, 1) = ARLS + −σ (1) =
500.000;
• EE + — resulta da utilização simultânea de cartas EWMA
unilaterais superiores para µ e σ 2 tais que γµ+ = 2.8116, λ+
µ =
0.134 e ARLE + −µ (0, 1) = 500.047, γσ+ = 1.2198, λ+
σ = 0.043,
ARLE + −σ (1) = 500.027, e 41 estados transeuntes na aplicação
da abordagem markoviana quer para a carta para µ, quer para a
carta para σ 2 .
Tabela 9.13: Valores das PMSs dos Tipos III e IV para esquemas conjuntos SS + e
EE + .
P M SIII (θ)
θ
SS +
P M SIV (δ)
EE +
δ
SS +
EE +
1.01 .484676
.455274
0.05 .460162 .403991
1.03 .456701
.377092
0.10 .421864 .319232
1.05 .430911
.313194
0.20 .349949 .191651
1.10 .375334
.206131
0.30 .286075 .114210
1.20 .295048
.114615
0.40 .231295 .069767
1.30 .242637
.081130
0.50 .185599 .044152
1.40 .206805
.065605
0.60 .148269 .028898
1.50 .180893
.057295
0.70 .118230 .019432
1.60 .161108
.052531
0.80 .094298 .013327
1.70 .145270
.049768
0.90 .075349 .009262
1.80 .132095
.048249
1.00 .060389 .006491
1.90 .120806 .047556
1.50 .021323 .001126
2.00 .110920 .047439
2.00 .008458 .000185
3.00 .051170 .059958
3.00 .001644 .000004
Importa notar que dar head-starts às cartas EWMA unilaterais
superiores para µ (σ) agrava as P M S’s de Tipos III (IV). Os resultados
288
sugerem que a substituição de um esquema combinado Shewhart
unilateral superior por um do tipo EWMA reduz as P M Ss e que
a ocorrência de misleading signals quer do Tipo III, quer do
Tipo IV, não parece negligenciável especialmente para os esquemas
SS + .
•
Exercı́cio 9.46 — A qualidade do enchimento de garrafas de
refrigerante é controlada recolhendo observações respeitantes ao desvio
entre a altura do lı́quido em cada garrafa e uma marca-chave no
gargalo da mesma. Admita que o referido desvio possui, sob controlo,
distribuição normal com valor esperado µ0 = 0cm e desvio-padrão
σ0 = 0.1cm.
Na tabela seguinte foram registadas as médias e as variâncias de 10
amostras de 5 garrafas cada:
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x̄N
0.108
-0.074
-0.248
0.539
0.144
0.497
0.206
1.152
0.560
0.235
s2N
0.236
1.364
0.552
1.823
2.504
0.504
0.923
1.354
0.898
3.723
a) Considere-se que o controlo de σ é feito à custa de uma carta
EWMA unilateral superior, caracterizada por λσ = 0.043 e γσ =
1.2198, que possui ARLσ (1) = 500.027 e ARLσ (1.9) = 4.120.
Averigue se alguma das três primeiras observações apontam para
a alteração de σ.
(b) Admita agora que para o controlo de µ se toma uma carta padrão
do tipo Shewhart cujos limites de controlo são tais que
– o número esperado de amostras recolhidas até à emissão de
falso alarme por parte desta carta é de 370.4.
289
Determine a probabilidade de esta carta emitir um sinal quando
ocorre um aumento de 81% na variância σ 2 . Comente.
(c) Ao utilizar-se a carta descrita em (b) e simultaneamente uma
carta unilateral superior do tipo Shewhart para σ, obtém-se o
que se designa por esquema conjunto para µ e σ. Determine
a probabilidade de ocorrência de sinal erróneo de Tipo III (IV)
quando θ = 1.9 (δ = 0.1), caso a carta para σ possua ARLσ (1) =
200. Comente estes resultados.
Nota: Na impossibilidade de obter valores exactos obtenha
intervalos de valores para estas duas probabilidades.
(Exame de Época Especial, 2o. Sem. – 2004/05) •
Exercı́cio 9.47 — O fenómeno dos sinais erróneos não é exclusivo
dos esquemas conjuntos para µ e σ.
a) Qual a probabilidade de ser emitido um sinal erróneo pelo
esquema S 2 unilateral superior com número esperado de amostras
até falso alarme igual a 100, quando n = 10 e há uma redução de
10% no desvio-padrão?
b) Compare-a com a correspondente probabilidade de emissão de
sinal válido por parte de um esquema S 2 padrão com ARL sob
controlo também igual a 100.
Confronte também as probabilidades de emissão de sinal entre as
primeiras 100 amostras destas duas cartas, mais uma vez quando
θ = 0.9. Comente estes resultados.
(Exame de 2a. Época, 2o. Sem. – 2004/05) •
290
Capı́tulo 10
Amostragem de aceitação
10.1
Introdução
Não existem processos de produção perfeitos ou sem variabilidade, por
mais cuidadosos que sejam o seu planeamento e a sua manutenção,
pelo que a inspecção de matéria-prima, de produtos semiacabados ou de produtos acabados é fundamental para assegurar
a qualidade da produção.
Quando a inspecção tem por propósito aceitar ou rejeitar um
lote de um produto de acordo com determinada regra padrão, ela é
habitualmente designada por amostragem de aceitação.
A amostragem de aceitação não fornece, no entanto, nenhuma
forma directa de reduzir a variabilidade do processo de produção, ao
contrário do que acontece com o controlo estatı́stico de processos.
Apresenta-se, de seguida, uma aplicação tı́pica da amostragem de
aceitação.
Exemplo 10.1 (Montgomery (1991, p. 551)) — Uma companhia
recebe um produto de um vendedor. Este produto é uma componente
ou matéria-prima usada no processo de fabrico da companhia. É
291
retirada uma amostra de um lote e são inspeccionadas algumas
caracterı́sticas de qualidade de cada unidade da amostra. Com base
na informação obtida desta amostra, é tomada uma decisão no que
diz respeito ao lote.
Os lotes aceites são utilizados na produção, ao passo que os lotes
rejeitados ou são devolvidos ao vendedor ou são sujeitos a outro tipo
•
de acção.
A amostragem de aceitação é pois um compromisso entre a
inspecção a 100% e a aceitação dos lotes sem recurso a qualquer
observação.
Segundo Montgomery (1991, p. 552), a amostragem de aceitação
é normalmente usada quando, por exemplo:
• testar uma unidade incorre na sua destruição;
• o custo de uma inspecção a 100% é demasiado elevado;
• a inspecção a 100% não é viável tecnologicamente ou requereria
tanto tempo que teria um impacto bastante negativo ao nı́vel da
produção;
• apesar do processo de produção ter uma notável história de
qualidade, a não inspecção não é de todo razoável e a inspecção
a 100% é desprovida de sentido.
A amostragem de aceitação apresenta vantagens óbvias,
quando confrontada com o recurso à inspecção a 100%:
• é geralmente menos dispendiosa por haver um menor número de
observações;
• diminui o contacto com o produto implicando, por isso, uma
redução em eventuais danos no produto;
292
• envolve menor número de operadores em actividades de
inspecção;
• reduz frequentemente o erro de inspecção, nomeadamente, pela
menor fadiga dos inspectores;
• provoca uma maior motivação ao vendedor no sentido de uma
melhor qualidade para os seus produtos, mediante a rejeição de
lotes completos por oposição à simples rejeição de unidades com
defeitos.
No entanto, a amostragem de aceitação tem também as suas
desvantagens por comparação com a inspecção a 100%. Entre elas
incluem-se, de acordo com Montgomery (1991, p. 556):
• a existência do risco de aceitar lotes “maus”e, naturalmente,
rejeitar lotes “bons”;
• a geração de menor informação acerca do produto ou do processo
de produção;
• a necessidade do planeamento e documentação dos planos de
amostragem de aceitação, ao contrário do que acontece com a
inspecção a 100%.
Os
planos
de
amostragem
de
aceitação
dividem-se
essencialmente em amostragem por atributos e amostragem
para variáveis. Note-se, no entanto, que ambos os tipos de planos
de amostragem de aceitação acabam por avaliar a qualidade do lote
através da fracção de unidades defeituosas (ou não-conformes) e a sua
aplicação passa, na prática, pela consulta de normas de falaremos
mais tarde. A saber:
293
• a norma Military Standard 105D (MIL-STD 105D)1 para
atributos ou a sua versão civil ANSI/ASQC Z1.4-1981 (1981) ou
ainda uma versão mais recente desta norma;2 e
• a norma Military Standard 414 (MIL-STD 414) para variáveis ou
a sua versão civil ANSI/ASQC Z1.9-1980 (1980).3
Embora menos popular, a amostragem de aceitação para variáveis
apresenta uma vantagem importante quando comparada com a
amostragem por atributos (Montgomery (1991, p. 623-624)):
• os planos de amostragem para variáveis apresentam um menor
risco de aceitação de lotes com qualidade inaceitável que os
planos de amostragem por atributos, ao considerar-se amostras
de dimensões iguais.
Debruçar-nos-emos também sobre dois tipos de amostragem de
aceitação:
• os planos de amostragem simples, de longe os mais usados
que estão associados a uma decisão sobre lotes baseada na
informação respeitante a uma amostra;
• os planos de amostragem dupla que, grosso modo, fazem
depender o processo de decisão da recolha de duas amostras;
estes planos podem ser generalizados, obtendo-se, por exemplo,
planos de amostragem múltipla ou ainda planos de amostragem
sequencial.
Acrescente-se ainda que se averiguará as implicações da
rectificação da inspecção no desempenho de planos de amostragem
de aceitação simples ou dupla.
1
De acordo com Montgomery (1985, p. 389), esta norma data de 1963.
É o caso da norma ANSI/ASQC Z1.4-2003 (2003).
3
Ou ainda a versão mais recente, a norma ANSI/ASQC Z1.9-2003 (2003).
2
294
Fontes: Casquilho et al. (2005) e Constantino (2004, pp. 6–9).
Texto de apoio: Gomes e Barão (1999, pp. 115-119).
295
10.2
Planos de amostragem de aceitação simples
por atributos
Comece-se por admitir que se tem um lote de dimensão N , com fracção
de unidades defeituosas p.
Recorrer a um plano de amostragem de aceitação simples por
atributos pressupõe normalmente a recolha aleatória de uma
amostra de dimensão n e apurar o número de unidades
defeituosas da amostra. De seguida, deve comparar-se esse valor
com o chamado número de aceitação, c. Se o número de unidades
defeituosas da amostra não for superior ao número de aceitação c ,
aceita-se o lote; caso contrário, rejeita-se o lote.
A definição de um plano de amostragem simples por
atributos passa por determinar a dimensão da amostra n e
o número de aceitação c.
A escolha destas duas constantes
pressupõe a obtenção prévia da curva caracterı́stica operatória
(“operating characteristic curve”ou curva OC). Esta curva não passa
da probabilidade de aceitação dum lote em função da sua qualidade,
i.e., de p.
Considere-se M = N ×p um inteiro que mais não é que o número de
unidades defeituosas no lote. Então a v.a. D que representa o número
de unidades defeituosas numa amostra de n unidades seleccionadas
ao acaso sem reposição segue uma distribuição hipergeométrica, cuja
função de probabilidade é dada por:


P (D = d) =
M
d

N −M


n−d




N
n
,

296
(10.1)
para d = max {0, n − (N − M )} , ..., min {n, M }.
A probabilidade de aceitação do lote é, evidentemente, função de p
e igual a:

Pa = Pa (p) = P (D ≤ c) =
c
X

M
d

N −M


n−d



d=0

N
n
,
(10.2)

onde, recorde-se, M = N p. A equação (10.2) define o que se denomina
de curva OC do tipo A.
Ao supor-se que a dimensão do lote é suficientemente grande, a
distribuição de D pode ser aproximada pela distribuição binomial de
parâmetros n e p = M/N . Esta aproximação é particularmente boa
quando n/N < 0.1 e conduz à seguinte aproximação da probabilidade
de aceitação do lote
Pa (p) '
c
X
n!
pd (1 − p)n−d = FBinomial(n,p) (c).
d=0 d!(n − d)!
(10.3)
(10.3) define a chamada curva OC do tipo B.
Exercı́cio 10.2 — Considere n = 89 e c = 2. Esboce a curva OC do
tipo B.
Esboce agora a curva OC ideal, ou seja, a curva que caracteriza
um plano de amostragem de aceitação que distingue perfeitamente os
lotes “bons”4 de lotes “maus”.
•
A escolha das constantes n e c que determinam o plano de
amostragem de aceitação simples por atributos é norteada por um
compromisso: é necessário que a curva OC passe por dois pontos,
4
I.e., lotes com fracção de unidades defeituosas não superior a p1 .
297
de forma a que a probabilidade de aceitação seja igual a 1 − α para
lotes com fracção de unidades defeituosas p1 , e que a probabilidade
de aceitação seja β para lotes com fracção de unidades defeituosas
p2 (p2 > p1 ). Assim:
(n, c) :



Pa (p1 ) = 1 − α


Pa (p2 ) = β.
(10.4)
É costume designar os valores da fracção de unidades defeituosas
p1 e p2 de ı́ndices:
• AQL (“Acceptable Quality Level”ou nı́vel de qualidade aceitável)
• LTPD (“Lot Tolerance Percent Defective”ou fracção tolerável de
defeituosos),
respectivamente.
O ı́ndice AQL(= p1 ) corresponde à pior qualidade a que o
processo pode operar e que ainda conduz a uma probabilidade
elevada de aceitação do lote. Por seu lado, o ı́ndice LTPD(= p2 )
é o valor da qualidade a partir do qual se considera que o
produto não é aceitável. (Veja-se Gomes e Barão (1999, pp. 121122).)
Deste modo, n e c são escolhidos de modo a curva OC passe
pelos pontos (AQL, 1 − α) e (LT P D, β), habitualmente designados de
ponto do risco do produtor e o ponto do risco do consumidor,
respectivamente.
Estas designações têm a sua razão de ser:
• o produtor deseja evitar rejeitar lotes de boa qualidade,
daı́ exigir-se que a probabilidade de aceitação do lote verifique
Pa (p) ≥ 1 − α, para p ≤ AQL, onde 1 − α toma um valor próximo
de 1 e α denota o risco do produtor;
298
• o consumidor pretende evitar aceitar lotes de má
qualidade, donde exigir-se que Pa (p) ≤ β, para p ≥ LT P D,
onde β toma valor próximo de 0 e representa o risco do
consumidor.
Ao recordar o carácter discreto da v.a. D, a natureza inteira de
n e c, o reparo do parágrafo anterior e ao assumir-se a validade da
aproximação à distribuição binomial, o tamanho da amostra n e o
número de aceitação c deverão ser escolhidos por forma a satisfazerem
as duas inequações seguintes:
(n, c) :
 P
n!
c


d=0 d!(n−d)!

n!
 Pc
d=0 d!(n−d)!
pd1 (1 − p1 )n−d ≥ 1 − α
pd2 (1 − p2 )n−d ≤ β.
(10.5)
(10.5) assegura (ao produtor) uma probabilidade de aceitação maior
que 1 − α para lotes com fracção de unidades defeituosas AQL = p1
e garante (ao consumidor) uma probabilidade de aceitação menor que
β para lotes com fracção de unidades defeituosas LT P D = p2 .
A resolução de (10.5) pode conduzir a diferentes pares de inteiros
(n, c) logo a distintos planos de amostragem de aceitação simples por
atributos, com as correspondentes curvas OC passando próximo dos
pontos do risco do produtor e do risco do consumidor.
Descreve-se, de seguida, um método aproximado de obtenção do par
(n, c) do plano de amostragem. Este método é descrito por Wetherill e
Brown (1991) e basea-se no uso da distribuição de Poisson como uma
aproximação binomial e tira partido de uma relação conhecida entre
a f.d. da v.a. de Poisson e a f.d. da v.a. qui-quadrado.
Uma vez estabelecidos os pontos do risco do consumidor (AQL =
p1 , 1−α) e do risco do produtor (LT P D = p2 , β), o uso da aproximação
299
da Poisson à binomial, leva-nos a concluir que
(n, c) :

Pc
e−np1 (np1 )d


d=0
d!
−np2
P

e
(np2 )d
c

d=0
d!
≥1−α
≤ β.
(10.6)
Tirando agora partido do facto de
e−λ λd
FP oisson(λ) (c) =
= 1 − Fχ22(c+1) (2λ),
d!
d=0
c
X
(10.7)
(10.6) passa a ser equivalente a
(n, c) :




1 − Fχ22(c+1) (2np1 ) ≥ 1 − α



1 − Fχ22(c+1) (2np2 ) ≤ β




2np1 ≤ Fχ−1
2
(α)



2np2 ≥ Fχ−1
2
(1 − β).
(10.8)
ou ainda a
(n, c) :
2(c+1)
(10.9)
2(c+1)
Agora, ao tomar-se
r(c) =
Fχ−1
2
(1 − β)
2(c+1)
Fχ−1
2
(α)
,
(10.10)
2(c+1)
conclui-se que a constante de aceitação do plano de amostragem
simples por atributos c é o menor inteiro que satisfaça a condição
p2
(10.11)
r(c) ≤ .
p1
Por seu lado, a dimensão da amostra n decorre das duas desigualdades
em (10.6) e como tal é enquadrada do seguinte modo:
Fχ−1
2
(1 − β)
2(c+1)
2p2
≤n≤
Fχ−1
2
(α)
2(c+1)
.
2p1
(10.12)
Qualquer valor de n que satisfaça (10.12) é solução do problema.
Recomenda-se, no entanto, que se tome, por exemplo, o menor inteiro
que satisfaça (10.12) para o valor da dimensão da amostra.
300
Exercı́cio 10.3 — Considere os valores
• p1 = AQL = 0.01,
• p2 = LT P D = 0.10,
• α = 0.05 (risco do produtor) e
• β = 0.10 (risco do consumidor),
e responda às questões seguintes:
(a) Defina o plano de amostragem simples por atributos.
(b) Obtenha uma tabela com valores aproximados da probabilidade
associada de aceitação do lote para p = 0.005, 0.01, 0.04, 0.065,
0.1, 0.15.
(c) Esboce o gráfico da curva OC do tipo B.
(d) Repita (a)–(c), resolvendo o sistema de inequações
(n, c) :



Pa (p1 ) ≥ 1 − α


Pa (p2 ) ≤ β,
(10.13)
considerando agora a distribuição exacta de D (hipergeométrica)
e o tamanho do lote igual aN = 800. Comente.
(e) Repita (d) considerando somente a aproximação binomial à
hipergeométrica na resolução do problema.
(f) Compare as três curvas OC obtidas.
Fonte: Constantino (2004, pp. 13–21).
301
•
10.3
A
norma
Military
Standard
105
(ANSI/ASQC Z1.4)
A norma Military Standard 105D5 ou uma sua versão civil, como é
o caso de norma ANSI/ASQC Z1.4-1981 surge como alternativa
à resolução do sistema (10.13) para a definição de um plano de
amostragem de aceitação simples por atributos.
Ao invés dos valores correspondentes à dimensão do lote N e aos
pontos do risco do produtor (AQL, 1−α) e do consumidor (LT P D, β),
a norma ANSI/ASQC Z1.4-1981 requer simplesmente o ı́ndice
AQL e o letra de código da dimensão da amostra (sample
size code letter )6 para a obtenção do plano de amostragem
considerado acima.
De realçar que só é possı́vel considerar certos valores para o ı́ndice
AQL. O valor mı́nimo e máximo de AQL correspondem a 0.01%
e 10%, respectivamente.
Saliente-se que os valores tabelados
superiores a 10% correspondem ao número de defeitos por cada
100 unidades e não à percentagem de defeituosos.
É importante notar que a norma não dá qualquer indicação acerca
da probabilidade de aceitação do plano de amostragem ao nı́vel do
ı́ndice AQL, nem tão pouco dá qualquer informação acerca de LTPD
e respectiva probabilidade de aceitação.
A letra de código da dimensão da amostra é obtida por recurso
à Tabela I (Sample Size Code Letters) da norma ANSI/ASQC
5
A versão original desta norma, MIL-STD 105A, data de 1950, de acordo com Montgomery
(1985, p. 389).
6
Esta designação deveras enganadora diz, na verdade, respeito ao tamanho do lote mas é por
utilização desse código que se obtém, posteriormente e por recurso a outra tabela, a dimensão da
amostra.
302
Z1.4-1981, determinando a linha onde se situa o intervalo onde
se enquadra a dimensão do lote Nessa mesma linha encontra-se,
consoante o nı́vel geral de inspecção (que aqui será sempre considerado
o nı́vel II geral de inspecção), a correspondente letra de código da
dimensão da amostra.
Por exemplo, o código obtido para a dimensão da amostra é a letra
H para lotes com dimensões compreendidas no intervalo entre 281 e
500).
Inspeccionando a Tabela II-A (Single Sampling Plans for Normal
Inspection) da norma ANSI/ASQC Z1.4-1981, obtém-se a
dimensão da amostra n na linha correspondente ao código da dimensão
da amostra. E ao intersectar esta linha com a coluna correspondente
ao valor do ı́ndice AQL, obtém-se a constante de aceitação c. Está
assim definido o plano de amostragem de aceitação simples por
atributos.
A tı́tulo de exemplo, ao considerar-se AQL=0.01 obtém-se o plano
de amostragem caracterizado por n = 50 e c = 1.
Exercı́cio 10.4 — Averigue quão concordantes são os planos obtidos
no Exercı́cio 10.3 com o plano de amostragem determinado pela norma
ANSI/ASQC Z1.4-1981, no que diz respeito à curva OC. Relembrese que naquele exercı́cio considerou-se AQL = p1 = 0.01, α = 0.05,
•
LT P D = p2 = 0.1 e β = 0.1.
Exemplo 10.5 — A Tabela 10.1 permite uma comparação entre as
constantes n e c dos planos de amostragem simples obtidos pela norma
ANSI/ASQC Z1.4-1981 e dos planos obtidos resolvendo o sistema
(10.6) fazendo uso da distribuição exacta de D, considerando para
o efeito o tamanho do lote igual a N = 800 e diversos valores dos
303
pontos do consumidor e do produtor.
Esta tabela revela uma série de diferenças entre os planos de
amostragem obtidos pela norma e pelo sistema (10.6). Estas diferenças
devem-se ao facto de serem considerados pela norma diferentes valores
para o LTPD, sobre os quais não existe, por sinal, qualquer referência.
Aliás, a norma vai fazendo uso de diferentes ı́ndices de LTPD para
diferentes valores de AQL.
De assinalar, igualmente, a evolução do tamanho da amostra para
planos de amostragem em que só varia o valor de p2 . Assim, mantendo
p1 constante e à medida que p2 vai aumentando, o valor obtido
para a dimensão da amostra n vai diminuindo (para a distribuição
hipergeométrica). Tal deve-se ao facto de um plano de amostragem
com valores de p1 e p2 relativamente próximos ter que ser mais sensı́vel
a pequenas alterações ao nı́vel da qualidade, exigindo, por isso, que se
recolha uma amostra de dimensão maior.
Repare-se por fim que, para um valor baixo de p1 , o plano de
amostragem requer uma dimensão de amostra elevada: por sinal, para
a norma ANSI/ASQC Z1.4-1981, é necessária uma inspecção a 100%;
o valor obtido para n considerando a distribuição hipergeométrica não
•
lhe é muito inferior.
Recomenda-se vivamente a leitura de Montgomery (1985, pp. 389–
413) para mais detalhes acerca da utilização das tabelas MIL-STD
105D e similares, nomeadamente no que diz respeito aos nı́veis de
inspecção.
Por curiosidade refira-se que existem três nı́veis gerais de inspecção
(general inspection levels). A saber:
• Nı́vel II (Level II) — é designado também de nı́vel normal de
inspecção (normal level);
304
Tabela 10.1: Planos de amostragem obtidos por uso da norma ANSI/ASQC Z1.41981 e por recurso à distribuição hipergeométrica, para N = 800, α = 0.05 e β = 0.1.
Norma ANSI/ASQC Z1.4-1981
p1 =AQL
p2 =LTPD
0.0001
Hipergeométrica
n
c
n
c
0.001
800
0
720
0
0.001
0.01
125
0
325
1
0.001
0.05
125
0
74
1
0.01
0.1
80
2
37
1
0.04
0.2
80
7
32
3
0.04
0.3
80
7
16
2
0.1
0.2
80
14
96
14
0.1
0.3
80
14
33
6
• Nı́vel I (Level I) — requer cerca de metade da quantidade
de unidades a inspeccionar que o nı́vel II, é designado de
nı́vel reduzido de inspecção (reduced level) e o seu uso
é recomendado quando não se pretende grande poder de
discriminação entre lotes “bons”e ”maus”;
• Nı́vel III (Level III) — requer cerca do dobro da quantidade de
unidades a inspeccionar que o nı́vel II, é denominado de nı́vel
“rigoroso”de inspecção (tightened level) e recomenda-se o seu
uso quando se pretende uma grande discriminação entre lotes
“bons”e ”maus”.
A forma como se transita entre estes três nı́veis é também descrita
por Montgomery (1985, pp. 390–391).
Refira-se também que existem quatro nı́veis especiais de inspecção
(special inspection levels), S1, S2, S3, S4. De acordo com Montgomery
(1985, p. 390), os nı́veis especiais de inspecção requerem amostras
de dimensão pequena e só devem ser usados quando os custos de
305
inspecção são proibitivos e quando pode tolerar-se uma certa falta
de poder discriminatório por parte do plano de amostragem.
Fonte (parcial): Constantino (2004, pp. 21–24).
306
10.4
Planos de amostragem de aceitação simples
por atributos – com rectificação da inspecção
Por um lado parece perfeitamente natural que, face à aceitação de
um lote, se
• substitua todas as unidades amostrais que tendo sido
inspeccionadas revelaram-se defeituosas e
• não se inspeccione as restantes N − n unidades do lote.
Por outro lado a rejeição de um lote deverá desencadear uma acção
correctiva por parte do produtor que compreenda não só a substituição
das unidades amostrais inspeccionadas e defeituosas como a inspecção
das restantes N − n unidades do lote e a substituição de eventuais
unidades defeituosas. Em resumo, a rejeição de um lote deve ter
como resultado
• uma inspecção a 100% do mesmo e
• a substituição de todas as unidades defeituosas do lote.
A este tipo de procedimento damos o nome de rectificação
da inspecção.
Esta designação tem a sua razão de ser já
que as acções acabadas de descrever acabam por resultar numa
“melhoria/rectificação”da qualidade do lote.
Os planos com rectificação da inspecção são anteriores à II Guerra
Mundial e são normalmente usados na inspecção de matéria-prima
ou produtos semi-acabados (receiving inspection) antes de seguirem
no processo de produção ou antes de os produtos acabados (final
inspection) seguirem para os consumidores.
Após a rectificação da inspecção, a fracção de unidades defeituosas
nos lotes diminui, muito em particular nos lotes rejeitados. Importa
307
pois calcular a fracção de unidades defeituosas após a rectificação da
inspecção. Para tal recorre-se ao que se designa de qualidade média
à saı́da e se representa abreviadamente por AOQ (average outgoing
quality).7
Para calcular AOQ basta notar que após a rectificação da
inspecção:
• acabamos por ficar com 0 (zero) unidades defeituosas no lote,
caso se tenha rejeitado o lote.
• restam em média p(N − n) unidades defeituosas entre as
restantes N − n unidades não inspeccionadas do lote, caso o lote
tenha sido aceite.8
Dividindo estes dois números pela dimensão do lote N obtém-se a
fracção desejada:
AOQ = AOQ(p)
1
× {0 × [1 − Pa (p)] + p (N − n) × Pa (p)}
=
N
p (N − n) Pa (p)
.
=
N
(10.14)
Este indicador é, obviamente, bem aproximado por p Pa (p), caso n/N
seja suficientemente pequeno.
De referir também que as curvas
AOQ(p) estão sempre abaixo da recta y = x.9
Exercı́cio 10.6 — Esboce e compare as curvas AOQ(p), associadas
a um par de planos de amostragem simples à sua escolha de entre os
descritos na Tabela 10.1, ao adoptar-se rectificação da inspecção.
7
•
Convém voltar a referir que AOQ, ao contrário do que possa sugerir esta designação,
corresponde à fracção de unidades defeituosas após a rectificação da inspecção.
8
Recorde-se que entre as n unidades amostrais de um lote aceite não há quaisquer unidades
defeituosas após a rectificação da inspecção.
9
Basta ter em conta a expressão (10.14) que define AOQ(p).
308
Ao esboçar curvas AOQ(p) rapidamente se conclui que AOQ é uma
função monótona por troços:
• começa por ser monótona crescente para valores pequenos
da fracção original de unidades defeituosas p;
• atinge um valor máximo e é, naturalmente, decrescente para
valores de p associados a lotes originalmente com má
qualidade.
Ao máximo de AOQ(p), p ∈ (0, 1), dá-se o nome de (Average
Outgoing Quality Limit) ou limite AOQ e representamo-lo por AOQL;
trata-se da maior das fracções de unidades defeituosas devido à
adopção de rectificação da inspecção.
Por seu lado, 1 −
AOQ(p)
p
× 100% corresponde à redução relativa
da fracção de unidades defeituosas nos lotes graças à rectificação
da inspecção.
A rectificação da inspecção imprime não só um carácter
aleatório ao número de unidades defeituosas num lote como ao
número de unidades que é necessário inspeccionar. Se por
um lado num plano de amostragem simples são recolhidas n unidades
do lote, por outro ao efectuar rectificação da inspecção acabamos
por inspeccionar um total de:
• n unidades, caso o lote seja aceite;
• N unidades, caso o lote seja rejeitado.
O número esperado de unidades inspeccionadas é designado na
literatura anglo-saxónica por ATI (average total inspection) e é uma
outra medida de desempenho do plano de amostragem simples com
rectificação da inspecção, e por sinal igual a
AT I = AT I(p) = nPa (p) + N [1 − Pa (p)].
309
(10.15)
Exercı́cio 10.7 — Esboce agora as curvas AT I(p) para dois dos
planos de amostragem simples descritos na Tabela 10.1, assumindo
rectificação da inspecção.
Confronte-as com o número de unidades inspeccionadas caso não
se tivesse adoptado rectificação da inspecção.
•
É perfeitamente natural que AOQL e ATI sirvam, em conjunto,
de critério para a selecção de um plano de amostragem
simples com rectificação da inspecção. Com efeito, Montgomery
(1985, pp. 372–373) sugere que se fixe um valor para AOQL e
simultaneamente se minimize ATI, para um valor especı́fico de p,
obtendo-se assim o que usualmente se designa por plano AOQL.
Analogamente, pode procurar-se escolher um plano de amostragem
simples com rectificação da inspecção com um risco fixo ao nı́vel LTPD
que minimize o ATI para um valor especı́fico de p, obtendo-se deste
modo um plano LTPD.
Os valores de n e c que respeitam (aproximadamente) um destes
dois critérios de selecção encontram-se em tabelas que se devem
a Dodge e Romig e cuja utilização é descrita aturadamente em
Montgomery (1985, Sec. 10-6).
Textos de apoio: Gomes e Barão (1999, pp. 122-125); Montgomery
(1985, pp. 368–373).
310
10.5
Planos de amostragem de aceitação dupla
por atributos – com e sem rectificação da
inspecção
A extensão natural óbvia dos planos de amostragem simples
compreende duas etapas de amostragem, sendo que a segunda amostra
é recolhida somente em determinadas circunstâncias.
Os planos
resultantes denominam-se planos de amostragem dupla e são
definidos à custa de quatro parâmetros:
• n1 , a dimensão da primeira amostra;
• c1 , o número de aceitação da primeira amostra;
• n2 , a dimensão da segunda amostra;
• c2 , o número de aceitação face à recolha das duas
amostras;
Dado que há a possibilidade de recolher duas amostras lida-se
com duas v.a. D1 e D2 que representam os números de unidades
defeituosas na primeira e na segunda amostras.
Posto isto pode
recorrer-se ao esquema abaixo para descrever sumariamente um plano
de amostragem dupla:
Figura 10.1: Descrição esquemática de um plano de amostragem dupla.
% D1 ≤ c1 →
Amostra 1
n1 Êunidades
→ c1 < D 1 ≤ c2 →
& D1 > c2 →
Aceitar lote
Amostra 2
n2 Êunidades
Rejeitar lote
311
% D1 + D2 ≤ c2 →
Aceitar lote
& D1 + D2 > c2 →
Rejeitar lote
Montgomery (1985, pp. 374–375) aponta não só vantagens como
algumas desvantagens aos planos de amostragem dupla quando
confrontados com os planos de amostragem simples.
A tı́tulo de exemplo refere que o recurso a planos de amostragem
dupla pode resultar numa diminuição dos custos de inspecção,
para além da vantagem psicológica de dar ao lote (e, é claro, ao
produtor) uma segunda oportunidade.
Por sinal, ao dar-se esta segunda oportunidade ao lote, podemos ter
que inspeccionar uma segunda amostra até ao fim a menos que
se decida fazer o que se designa por censura (curtailment) e consiste
em dar por finda a inspecção da segunda amostra assim que o número
registado de unidades defeituosas nas duas amostras exceda c2 . É
pois natural que, sem uma escolha criteriosa dos parâmetros
n1 , c1 , n2 e c2 e sem a adopção de censura, se possa pôr em risco
as potenciais vantagens económicas dos planos de amostragem
dupla.
Por fim, outra desvantagem óbvia dos planos de amostragem
dupla prende-se com a complexidade (administrativa) deste
procedimento e dos erros de inspecção daı́ decorrentes.
Como seria de esperar, os planos de amostragem dupla requerem
um cuidado particular no cálculo de medidas de desempenho como a
probabilidade de aceitação do lote, bem como a determinação de uma
medida adicional de desempenho: a dimensão média da amostra
(average sample number).
Sejam PaI (p) e PaII (p) as probabilidades de aceitação do lote na
primeira e segunda fases do plano de amostragem simples. Ora, de
acordo com o esquema da Figura 10.1, pode afirmar-se que
PaI (p) = P (D1 ≤ c1 )
(10.16)
312
PaII (p) = P (c1 < D1 ≤ c2 , D1 + D2 ≤ c2 )
=
c2
X
P (D1 = k) × P (D2 ≤ c2 − k),
(10.17)
k=c1 +1
pelo que a probabilidade de aceitação do lote é, para um plano
de amostragem dupla, dada por:
Pa (p) = PaI (p) + PaII (p).
(10.18)
A esta função é usual dar o nome de curva OC primária (primary
OC curve) do plano de amostragem dupla. Às probabilidades de
aceitação e rejeição do lote à primeira amostra, PaI (p) e 1 − PaI (p), é
costume dar o nome de curvas OC suplementares (supplementary
OC curves).
Saliente-se também que PaI (p) mais não é que a probabilidade
de aceitação de um lote associada a um plano de amostragem
simples com n = n1 e c = c2 .
De assinalar que sob a validade da aproximação binomial
obtemos as seguintes curvas OC do tipo B das quais depende a
aproximação de Pa (p), também ela uma curva OC do tipo B:
PaI (p) ' FBin(n1 ,p) (c1 )
PaII (p) '
c2
X
(10.19)
PBin(n1 ,p) (k) × FBin(n2 ,p) (c2 − k).
(10.20)
k=c1 +1
Exercı́cio 10.8 — Esboce as três curvas OC do tipo B que
aproximam PaI (p), PaII (p) e Pa (p) para um plano de amostragem dupla
caracterizado por n1 = 50, c1 = 1, n2 = 100 e c2 = 3. Acompanhe
estas curvas por valores destas funções para valores de p à sua escolha.
Compare e comente a curva OC primária de tipo B com a
probabilidade de aceitação de um lote associada a um plano de
amostragem simples com n = 75 e c = 2.
313
•
É altura de nos debruçarmos sobre a dimensão média da
amostra, que se designará abreviadamente por ASN.
Ao ter presente o esquema da Figura 10.1 rapidamente se conclui
que às n1 unidades amostrais vêm acrescidas outras n2 unidades
amostrais, caso a primeira amostra não conduza nem à aceitação do
lote nem à rejeição do mesmo. Assim:
ASN = ASN (p)
= n1 × [P (D1 ≤ c1 )
+P (D1 > c2 )] + (n1 + n2 ) × P (c1 < D1 ≤ c2 )
= n1 + n2 × P (c1 < D1 ≤ c2 ).
(10.21)
Exercı́cio 10.9 — Considere um plano de amostragem dupla
caracterizado por n1 = 50, c1 = 2, n2 = 100 e c2 = 6.
(a) Determine valores (aproximados) de ASN (p) e esboce o gráfico
dessa mesma curva.
(b) Compare ASN (p) e a dimensão (média) da amostra de um plano
de amostragem simples com n = 79 e c = 4. Comente.
•
O exercı́cio anterior permite concluir que a dimensão média da
amostra dos planos de amostragem dupla nem sempre é inferior à
dimensão fixa dos planos de amostragem simples com riscos idênticos.
Não surpreende pois que na prática se efectue censura (curtailment)
na segunda amostra de um plano de amostragem dupla, censura
esta que consistem em interromper a inspecção da segunda
amostra assim que D1 + D2 > c2 . Face a esta modificação, o ASN
do plano de amostragem dupla vem alterado:
ASN (p) = n1 +
c2
X
P (n1 , j) × [n2 PL (n2 , c2 − j)
j=c1 +1
+(c2 − j + 1)/p × PM (n2 + 1, c2 − j + 2)] , (10.22)
314
onde, caso se considere que D(ν) representa o número de unidades
defeituosas numa amostra de dimensão ν,
P (n1 , j) = P [D(n1 ) = j]
(10.23)
PL (n2 , c2 − j) = P [D(n2 ) ≤ c2 − j]
(10.24)
PM (n2 + 1, c2 − j + 2) = P [D(n2 + 1) = c2 − j + 2].
(10.25)
Exercı́cio 10.10 — Deduza a expressão de ASN (p) para planos de
•
amostragem dupla sem censura.
Exercı́cio 10.11 — Considere um plano de amostragem dupla com
censura caracterizado por n1 = 60, c1 = 2, n2 = 120 e c2 = 3.
(a) Determine valores de ASN (p) e esboce o gráfico desta curva.
(b) Confronte a curva OC primária do tipo B deste plano de
amostragem com o de um plano de amostragem simples com
n = 89 e c = 2.
(c) Compare ASN (p) e a dimensão da amostra do plano de
amostragem simples referido em (b).
•
A selecção de n1 , c1 , n2 e c2 pode fazer-se exigindo que a curva
OC passe o mais próximo possı́vel de um par de pontos de risco do
produtor e do consumidor: (AQL = p1 , 1 − α) e (LT P D = p2 , β).
Mas como seria de esperar estes dois pontos são insuficientes para
definir univocamente aqueles quatro parâmetros, pelo que é usual
acrescentar-lhe algumas restrições, nomeadamente, exigir que n2 seja
um múltiplo de n1 e que a razão p2 /p1 tome um valor especı́fico. Assim,
a selecção de planos de amostragem dupla passa pela consulta
de tabelas próprias, usualmente designadas de Tabelas de Grubbs.
315
Em Montgomery (1985, pp. 379–381) pode encontrar-se dois exemplos
dessas tabelas10 e ilustrações da utilização das mesmas.
Exercı́cio 10.12 — Defina um plano de amostragem dupla com p1 =
0.01, α = 0.05, p2 = 0.06, β = 0.10 e n2 = 2n1 e obtenha a respectiva
curva OC primária do tipo B e ASN (p).
•
Resta-nos falar do impacto da rectificação da inspecção neste
tipo de planos de amostragem e já agora da selecção de planos de
amostragem dupla.
A rectificação da inspecção num plano de amostragem dupla
sem censura conduz a uma qualidade média à saı́da AOQ igual
a
p[(N − n1 ) PaI (p) + (N − n1 − n2 ) PaII (p)]
,
AOQ(p) =
N
já que:
(10.26)
• ao rejeitar-se um lote à primeira ou à segunda amostra há
inspecção de todo o lote e substituição de todas as unidades
defeituosas e
• em média restam p(N − n1 ) unidades defeituosas, caso o lote seja
aceite à primeira amostra, e p(N − n1 − n2 ) unidades defeituosas,
caso tal aceitação ocorra à segunda amostra.
Por seu lado, o número médio de unidades inspeccionadas ATI num
plano de amostragem dupla sem censura e com rectificação
da inspecção é dado por:
AT I(p) = n1 PaI (p) + (n1 + n2 )PaII (p) + N [1 − Pa (p)],
(10.27)
dado que são inspeccionadas
10
Na Tabela 10-3 da página 380 desta referência encontram-se os números de aceitação c1 e c2 ,
para o caso em que n1 = n2 = n, α = 0.05 e β = 0.10 e diversos valores de n e respectivas razões
p2 /p1 . Por seu lado a Tabela 10-4 da página 381 reporta-se ao caso n2 = 2n1 , α = 0.05 e β = 0.10.
316
• n1 unidades se a primeira amostra conduzir à aceitação do lote;
• n1 + n2 unidades se a aceitação do lote decorrer do resultado da
inspecção da segunda amostra;
• N unidades se houver rejeição do lote quer à primeira amostra,
quer à segunda amostra.
Exercı́cio 10.13 — Considere o plano de amostragem dupla com
p1 = 0.01, α = 0.05, p2 = 0.06, β = 0.10 e n2 = 2n1 que definiu
no Exercı́cio 10.12.
(a) Obtenha a curva AOQ(p), determine AOQL e comente os seus
resultados.
(b) Esboce o gráfico de AT I(p) e compare este gráfico com o número
médio de unidades inspeccionadas de um plano de amostragem
simples com rectificação da inspecção com os pontos de risco do
produtor e do consumidor similares.
•
Textos de apoio: Gomes e Barão (1999, pp. 125-128); Montgomery
(1985, pp. 373–382).
317
10.6
Planos de amostragem de aceitação para
variáveis
Quando a caracterı́stica de qualidade é uma v.a. contı́nua,
nomeadamente quando se assume que possui distribuição normal,
o tratamento ao nı́vel dos planos de amostragem é totalmente
distinto.
É, de um modo geral, adoptado um intervalo [L, U ] de valores
razoáveis para a caracterı́stica de qualidade, onde os limites L e U
são denominados de limite superior e superior de especificação.
Sem qualquer risco de perda de generalidade, não abordaremos
o caso em que são usados dois limites de especificação. Considerese apenas o caso em que se faz uso de um limite superior de
especificação U .
Posto isto uma unidade amostral é considerada defeituosa, caso
o correspondente valor observado da caracterı́stica de qualidade X
exceda o limite superior de especificação U . Assim, a fracção de
peças defeituosas é dada por
U −µ
,
p = P (X > U ) = 1 − Φ
σ
!
(10.28)
caso se assuma que X ∼ N ormal(µ, σ 2 ).
Ao contrário da amostragem de aceitação por atributos que assenta
no número de unidades defeituosas numa amostra, o plano de
amostragem para variáveis baseia a decisão de aceitação ou
rejeição do lote naquilo se designa por ı́ndice de qualidade
que não passa de uma estatı́stica. Para além disso, a definição do
plano de amostragem para variáveis passa pela determinação de
uma dimensão da amostra e de uma constante de aceitação
318
que estejam associados a pontos de risco do produtor e do
consumidor pré-especificados.
Convinha também notar que o plano de amostragem de
aceitação para variáveis auxiliar-nos-á a evitar que sejam
expedidos lotes com valor esperado µ da caracterı́stica de
qualidade X demasiado elevado ou, equivalentemente, com uma
fracção de peças defeituosas11 demasiado elevada.
Por seu lado, a determinação das curvas OC, embora similar
à da amostragem de aceitação por atributos, conduz, de um modo
geral, a cálculos mais complexos. Estes cálculos estão omissos
na generalidade dos livros, que, após uma explicação normalmente
exaustiva sobre as curvas OC em planos de amostragem por atributos,
se limitam a referir que tais curvas se obtêm de forma análoga para
os planos de amostragem para variáveis.
Bowker e Goode (1952) é uma excepção. Refere, por exemplo, a
forma como se obtêm as curvas OC para os planos para variáveis:
os planos de amostragem para variáveis são definidos de forma que a
curva OC se aproxime o mais possı́vel da correspondente curva OC
obtida para os planos por atributos para um mesmo valor de AQL.
Refira-se também que, no inı́cio deste capı́tulo, foi referida uma
vantagem dos planos de amostragem por variáveis. Esta vantagem
prende-se essencialmente com o facto de ser possı́vel obter uma curva
OC similar à de um plano de amostragem por atributos recorrendo
para o efeito a um plano de amostragem para variáveis com menor
número de observações.
Este facto é particularmente importante
se notarmos que o custo das medições requeridas num plano de
11
Definida por exemplo por (10.28).
319
amostragem para variáveis é superior ao correspondente custo
num plano por atributos.
De assinalar também que as medições usadas num plano de
amostragem para variáveis proporcionam informação mais
detalhada acerca da qualidade do lote que as medições associadas
a planos de amostragem por atributos. Não surpreende pois que este
tipo de planos seja preterido a favor de planos de amostragem para
variáveis, quando o valor de AQL é muito pequeno como é caso de
situações em que este indicador é medido em número de defeitos por
milhão.
Montgomery (1985, p. 432) aponta também algumas desvantagens.
O recurso a um plano de amostragem para variáveis pressupõe
que se conheça a distribuição da caracterı́stica de qualidade.
É frequente assumir que se trata de uma distribuição normal.
E, como seria de esperar, o uso de um plano de amostragem
de aceitação, que assuma incorrectamente que os dados têm
distribuição normal, está necessariamente associado a riscos do
produtor e do consumidor distintos do que seriam esses riscos sob
a validade da distribuição normal.12
Fonte (parcial): Constantino (2004, pp. 25–26).
12
Vejam-se os resultados em Constantino (2004, Caps.4–5), para as distribuções gaussiana inversa
e exponencial.
320
10.7
variáveis — distribuição gaussiana: desvio
padrão conhecido
Ao lidarmos com uma caracterı́stica de qualidade com distribuição
normal com valor esperado desconhecido e desvio padrão conhecido,
teremos certamente que ter presente que deveremos rejeitar lotes
quando a média amostral for consideravelmente grande, caso se esteja
a lidar com um limite de especificação superior.
Posto isto e considerando um limite superior de especificação U ,
o plano de amostragem simples para variáveis deverá conduzir à
aceitação do lote se a média amostral x̄ satisfaz x̄ + kσ σ ≤ U , onde kσ
denota a constante de aceitação.
Ou seja, o lote será aceite se
Q=
U − X̄
≥ kσ ,
σ
(10.29)
onde Q é denominado de ı́ndice de qualidade e X̄ depende,
naturalmente, da dimensão da amostra nσ .
E, tal como para os planos de amostragem por atributos, os planos
para variáveis serão definidos à custa de nσ e kσ que satisfaçam as
duas condições seguintes:
• se a fracção de unidades defeituosas for igual a p1 = 1 − Φ[(U −
µ1 )/σ],13 deve aceitar-se o lote com probabilidade elevada 1 − α;
• se a fracção de defeituosos for p2 = 1 − Φ[(U − µ2 )/σ] > p1 ,14
deve aceitar-se o lote com probabilidade pequena β.
13
14
Equivalentemente, se o valor esperado de X for igual a µ1 .
Equivalentemente, se o valor esperado de X for igual a µ2 .
321
O método de obtenção das constantes nσ e kσ encontra-se descrito
em Wetherill e Brown (1991, pp. 271–275), embora de forma um pouco
menos clara:
(nσ , kσ ) :



P (Q ≥ kσ |µ = µ1 ) = 1 − α


P (Q ≥ kσ |µ = µ2 ) = β



P X̄ ≤ U + kσ σ|µ = µ1 = 1 − α






P X̄ ≤ U + kσ σ|µ = µ2 = β
U +k√
σ −µ1
σ/ nσ 
U +k√
σ −µ2

 Φ
σ/ nσ
Φ
=1−α
= β.
(10.30)
Notando agora que a fracção de unidades defeituosas (p) está
relacionada com o valor esperado (µ) da caracterı́stica de qualidade
X do seguinte modo
µ = U + σ Φ−1 (p),
(10.31)
obtém-se sucessivamente:

n√
h
io

 Φ
nσ kσ − Φ−1 (p1 ) = 1 − α
io
(nσ , kσ ) :  n√ h
 Φ
nσ kσ − Φ−1 (p2 ) = β














Φ−1 (1−α)
√
nσ
Φ−1 (β)
−1
kσ = Φ (p2 ) + √nσ
2
−1
−1
(β)
nσ = ΦΦ−1(1−α)−Φ
(p2 )−Φ−1 (p1 )
−1
−1
(1−α)−Φ−1 (p1 )Φ−1 (β)
kσ = Φ (p2 )Φ
.
−1
Φ (β)−Φ−1 (1−α)
kσ = Φ−1 (p1 ) +
(10.32)
Na prática nσ terá de ser aproximado pelo menor valor inteiro n∗σ
que satisfaça



Pa (p1 ) ≥ 1 − α


Pa (p2 ) ≤ β,
(10.33)
322
onde Pa (p) representa a probabilidade de aceitação do lote que pode
ser indistintamente escrita à custa do valor esperado µ ou da fracção
de peças defeituosas p:


h
io
n√
U + kσ − µ 
= Φ nσ kσ − Φ−1 (p) .
Pa (p) = Φ 
√
σ/ nσ
(10.34)
Trata-se, pois, da curva OC para um plano de amostragem de
aceitação para variáveis com limite superior de especificação.15
Exercı́cio 10.14 — Considere os seguintes pontos de risco do
produtor e do consumidor (p1 = 0.01, 1 − α = 0.95) e (p2 = 0.07, β =
0.10).
(a) Tirando partido do resultado (10.32) e das condições em (10.33),
certifique-se que o valor da dimensão da amostra e da constante
de aceitação são, respectivamente, nσ = 12 e kσ = 1.85.
(b) Justifique que os valores da dimensão da amostra e da constante
de aceitação seriam n = 72 e c = 2, caso se considerasse um
plano de amostragem por atributos para os mesmos pontos de
risco do produtor e do consumidor, se recorresse à distribuição
exacta hipergeométrica e se considerasse a dimensão do lote igual
a N = 500.
(c) Represente as curvas OC para estes dois tipos de planos
de amostragem de aceitação para variáveis e por atributos.
•
Comente.
Na Secção 10.9 debruçar-nos-emos sobre a utilização de uma norma,
forma alternativa de obtenção de valores para nσ e kσ .
15
De notar que (10.33) significa que a curva OC passará acima do ponto de risco do produtor e
abaixo do ponto de risco do consumidor.
323
10.8
variáveis — distribuição gaussiana: desvio
padrão desconhecido
Analise-se agora a situação em que o desvio padrão é desconhecido.
Neste caso o ı́ndice de qualidade será não só função de X̄ mas
também função do estimador centrado de σ 2 ,
S2 =
n 2
1 X
Xi − X̄
n − 1 i=1
(10.35)
e o procedimento de obtenção dos valores da dimensão da amostra
(ns ) e da constante de aceitação (ks ) para o plano de amostragem de
aceitação para variáveis é sem sombra de dúvida mais complexo.
Ao considerar-se mais uma vez um limite superior de especificação
U deve aceitar-se um lote se x̄ + ks s ≤ U ou, equivalentemente, e em
termos do ı́ndice de qualidade, se:
Q=
U − X̄
≥ ks .
S
(10.36)
Antes de proceder à obtenção da probabilidade de aceitação,
ao lidar-se com uma fracção de unidades defeituosas igual a p = 1 −
Φ[(U − µ)/σ], é necessário relembrar/considerar:
√
• Z = ns (X̄ − µ)/σ ∼ Normal(0,1);
• Y =
• δ=
(ns −1)S 2
σ2
√
ns (µ−U )
σ
∼ χ2ns −1 ;
√
= ns Φ−1 (p);
q
• T = (Z + δ)/ Y /(ns − 1) que representa uma variável aleatória
com distribuição t não-central com ns − 1 graus de liberdade e
parâmetro de “não centralidade”δ.
324
Assim sendo, tem-se a seguinte curva OC para o plano de
amostragem de aceitação para variáveis com o desvio-padrão
desconhecido:
Pa (p) = P (Q ≥ ks | p)
= P X̄ ≤ U − ks S | p


√
Z
+
δ

q
≤ − ns ks p
= P
Y /(ns − 1)
h
i
√
√
= P T ≤ − ns ks | δ = ns Φ−1 (p) .
Segundo Wetherill e Brown (1991,
p. 278),
(10.37)
os planos de
amostragem de aceitação para variáveis com desvio-padrão conhecido
e desconhecido deverão ter praticamente a mesma curva OC, caso ns
e ks sejam ajustados de tal forma que X̄ + ks S tenha o mesmo valor
esperado e variância que X̄ + kσ σ. Deste modo, obtêm-se as seguintes
expressões para ns e ks , em função de nσ e kσ :




ks =



ns =
r
3ns −3
kσ
3ns −4
3ns kσ2
1 + 6ns −8 nσ .
(10.38)
Mais uma vez deve aproximar-se ns ao menor inteiro n∗s que garanta
que Pa (p1 ) ≥ 1 − α e Pa (p2 ) ≤ β.
De salientar que a dimensão da amostra requerida quando o
desvio-padrão ns é desconhecido é, naturalmente, superior àquela
necessária caso se conhecesse σ; com efeito ns /nσ é igual a 1 +
claramente superior à unidade.
3ns kσ2
6ns −8
,
Por outro lado, a constante de
aceitação ks é praticamente igual a kσ .
Dado que a utilização da distribuição t não-central não é corrente,
recomenda-se o recurso à seguinte aproximação para a curva
OC, aproximação esta originalmente proposta por Hamaker (1979)
325
e disponı́vel em Wetherill e Brown (1991, p. 278-279):
Pa (p) ' Φ(θµ ) = Φ(θp ),
(10.39)
onde
θµ =
U − µ − ks σ
s
σ
r
3ns −4
3ns −3
−1
θp =
(10.40)
3n k2
s
1+ 6nss−8
ns
Φ (1 − p) − ks
s
3n k2
r
3ns −4
3ns −3
.
(10.41)
s
1+ 6nss−8
ns
Exercı́cio 10.15 — Considerando os pontos de risco do produtor e
do consumidor do Exercı́cio 10.14:
(a) Obtenha os valores (exactos e aproximados) das constantes ns e
ks .
(b) Compare (os valores) das curvas OC (exacta e aproximada)
com (os d)a curva OC obtida para o plano de amostragem
para variáveis com desvio-padrão conhecido naquele exercı́cio.
Comente os resultados obtidos.
326
•
10.9
A
norma
Military
Standard
414
(ANSI/ASQC Z1.9)
A norma Military Standard 414 ou uma sua versão civil, como é o
caso de norma ANSI/ASQC Z1.9-1980 (Sampling Procedures and
Tables for Inspection by Variables for Percent Nonconforming), surge
como alternativa a (10.32) e (10.38) para a definição de um plano
de amostragem de aceitação simples por variáveis com desvio-padrão
conhecido e desconhecido, respectivamente.
A consulta da norma ANSI/ASQC Z1.9-1980 é em tudo
similar à da norma para atributos ANSI/ASQC Z1.4-1981, pelo
que se sugere uma leitura breve de Montgomery (1985, pp. 439–453) e
do exemplo que se segue, bem como a elaboração do Exercı́cio 10.17.
Exemplo 10.16 — Proceda-se a uma comparação do plano de
amostragem para variáveis com desvio-padrão conhecido, obtido
recorrendo a (10.32), e do plano que se obtém por utilização da norma
ANSI/ ASQC Z1.9-1980.
Admita-se que N = 500 e que os pontos de risco do produtor e do
consumidor (p1 = 0.01, 1 − α = 0.95) e (p2 = 0.07, β = 0.10).
Ao considerar-se o nı́vel II geral de inspecção, pela observação da
Tabela A-2 (Sample Size Code Letters), o código obtido para a
dimensão da amostra é a letra I, para lotes com dimensão do lote
compreendida no intervalo entre 401 e 500.
A consulta da coluna respeitante ao valor de AQL = p1 = 0.01,
na Tabela D-1 (Master Table for Normal and Tightened Inspection
for Plans Based on Variability Known), permite obter o plano de
amostragem de aceitação para variáveis com desvio-padrão conhecido:
é, caracterizado por nσ = 9 e kσ = 1.83, valores estes ligeiramente
327
distintos dos referidos no Exercı́cio 10.14. Esta diferença deve-se ao
facto de a norma estar associada a: um valor da probabilidade de
aceitação ao nı́vel do ı́ndice AQL = p1 = 0.01 distinto de 1−α = 0.95;
e muito provavelmente a um risco do consumidor diferente de β = 0.10.
•
Tabela 10.2: Alguns planos de amostragem para variáveis com σ desconhecido (β =
0.10), recorrendo norma ANSI/ASQC Z1.9-1980 e a (10.38).
Norma
(10.38)
p1
α
p2
ns
ks
ns
ks
0.001
0.05
0.04
25
2.50
20
2.36
0.0025
0.07
0.04
25
2.26
26
2.26
0.004
0.07
0.06
25
2.14
20
2.08
0.015
0.07
0.10
25
1.72
25
1.70
0.04
0.07
0.20
25
1.35
17
1.27
0.10
0.07
0.30
25
0.94
18
0.89
Na Tabela 10.2 confrontam-se os planos de amostragem para
variáveis com σ desconhecido, para diferentes valores dos pontos de
risco do consumidor e do produtor, obtidos pela norma e por utilização
de (10.38).
A análise da Tabela 10.2 permite concluir que os planos obtidos
pela norma e pela expressão (10.38) conduzem a valores similares das
constantes de aceitação e a algumas discrepâncias na dimensão da
amostra.
Considerando
exactamente
os
mesmos
parâmetros que no Exemplo 10.16:
(a) Certifique-se que a utilização da norma ANSI/ASQC Z1.9-1980
328
conduz aos valores ns = 25 e ks = 1.85 e compare-os com os
obtidos na alı́nea (a) do Exercı́cio 10.15.
(b) Compare as curvas OC (exacta e aproximada) com a curva OC
obtida para o plano de amostragem para variáveis com desviopadrão desconhecido obtido na alı́nea anterior.
•
Assinale-se por fim que, ao contrário da norma, (10.32) e (10.38)
não fazem uso da dimensão do lote para determinação do plano de
amostragem.
Para uma discussão aturada sobre a norma MIL STD 414 e as
semelhanças entre esta norma e a MIL STD 105D, remete-se o leitor
para Montgomery (1985, pp. 453–455).
329
Capı́tulo 11
Esquemas com intervalos
amostrais variáveis
11.1
Introdução
O esquema de controlo de qualidade constitui, sem dúvida, o método
gráfico mais divulgado empregue na distinção entre causas aleatórias
e causas assinaláveis de variação de um processo.
É usual recorrer-se a esquemas de controlo com intervalos amostrais
fixos, isto é, a recolha de amostras é feita a intervalos fixos (e.g de
hora em hora). Neste caso diz-se fazer uso da polı́tica amostral Fixed
Sampling Intervals (FSI).
No entanto, alguns trabalhos sobre as propriedades estatı́sticas
dos esquemas de controlo com intervalos amostrais dependentes
das observações recolhidas mostraram que esta polı́tica amostral
denominada de Variable Sampling Intervals (VSI) pode aumentar
a rapidez de detecção de alterações no processo.
A ideia de fazer variar os intervalos entre recolhas amostrais
sucessivas tem vindo a ser empregue em diferentes domı́nios. Reynolds
e Arnold (1989) referem alguns exemplos. É o caso da amostragem
330
de aceitação em que surgem os continuous sampling plans (ver Dodge,
1943) cuja taxa de inspecção de itens produzidos varia de acordo com o
nı́vel de qualidade dos itens já inspeccionados.1 Todavia, a aplicação
formal desta ideia a esquemas de controlo e a averiguação das suas
consequências no desempenho das cartas data do final dos anos 80.
Embora existam alguns trabalhos anteriores a Reynolds et
al. (1988), crê-se ter sido este o primeiro artigo publicado versando
a aplicação da polı́tica amostral VSI ao esquema X̄ para o o valor
esperado µ de caracterı́stica de qualidade com distribuição normal.
De entre outros trabalhos com a mesma orientação destaque-se:
• Saccucci et al. (1989) que estudam a aplicação da polı́tica
amostral VSI às cartas EWMA;
• Reynolds et al. (1990) que se debruçam sobre o seu uso de
esquemas CUSUM associadas à polı́tica amostral VSI;
• Ramalhoto e Morais (1994) que apresentam um resumo dos
resultados mais importantes referentes à associação da polı́tica
amostral VSI aos esquemas X̄, EWMA e CUSUM.
A orientação comum a estas referências não é de estranhar dada
a popularidade dos esquemas para o valor esperado da distribuição
normal.
Fonte: Morais (1995, pp. 1–2).
1
O principal objectivo deste tipo de planos amostrais não é, no entanto, controlar a qualidade
dos itens on line mas sim o melhoramento da qualidade dos lotes a serem expedidos, por inspecção
dos mesmos.
331
11.2
Descrição das polı́ticas amostrais FSI e VSI
Ao utilizar uma carta de controlo para detectar alterações num
(ou mais) parâmetro(s) de uma caracterı́stica de qualidade, é
usual considerar os intervalos amostrais — intervalos entre qualquer
par de observações consecutivas — fixos e iguais a d (d > 0,
independentemente do resultado da primeira destas duas observações.
Esta polı́tica amostral é designada por FSI e pressupõe que, após a
recolha de cada amostra e registo do valor observado de uma estatı́stica
sumária no esquema de controlo, se tome uma única decisão:
• emitir (ou não) sinal de perda de controlo.
Contudo, é plausı́vel permitir que os intervalos amostrais variem
dependendo das observações recolhidas.
Se o valor observado da estatı́stica sumária for extremo,
mas não o suficiente para se emitir um sinal de perda de controlo, é
perfeitamente natural antecipar a recolha de uma nova amostra de
modo a confirmar se o referido valor é, ou não, uma indicação de que
o processo se alterou.
Por outro lado, se o valor observado da estatı́stica sumária
se encontrar próximo do alvo da carta de controlo, não é descabido
um adiamento do instante de recolha da próxima amostra.
Assim sendo, ao considerar uma carta de controlo genérica com
• região de continuação C = [LCL, U CL] e
• estatı́stica sumária WN , referente à N −ésima amostra
aleatória X N = (X1N , . . . , XnN ),
é razoável actuar da seguinte forma sempre que WN pertença a C:
332
• Acção 1 — antecipar a recolha da próxima amostra, se WN
estiver próximo dos extremos de C;
• Acção 2 — adiar a recolha da próxima amostra, se WN
estiver afastado dos extremos de C.
O intervalo amostral que precede a (N + 1)−ésima recolha é,
portanto, uma variável aleatória função de WN .
Doravante tal
intervalo amostral será designado por DN .
A adopção da polı́tica amostral VSI pressupõe a escolha de
• dois intervalos amostrais distintos d1 e d2 (d1 < d2 ).
O intervalo amostral mı́nimo d1 é utilizado quando WN se encontrar
próximo dos limites de controlo. Se pelo contrário WN estiver afastado
desses mesmos extremos, deve usar-se o intervalo máximo d2 . Estas
atribuições à variável aleatória DN sugerem a divisão da região
de continuação C em duas sub-regiões que constituem uma sua
partição:
C1 , C2 : C1 ∩ C2 = ∅, C1 ∪ C2 = C.
(11.1)
A C1 e C2 estão associados o menor e o maior dos intervalos amostrais,
respectivamente.
Assim, a variável intervalo amostral pode ser definida como



d1 (e.g. 10 min.; antecipação...), se WN ∈ C1

d2
DN = 
(e.g. 110 min.; adiamento...), se WN ∈ C2 .
333
(11.2)
11.3
Na
Caracterı́sticas primárias
caracterização
de
qualquer
esquema
de
controlo,
independentemente da polı́tica amostral, é da maior importância a
análise do comportamento de duas variáveis aleatórias que Reynolds
(1989) designou por caracterı́sticas primárias:
• o número de amostras recolhidas até sinal, RL (run length);
• o tempo até sinal, T S (time to signal).
T S representa o tempo decorrido desde o (re)inı́cio do processo até
ao instante em que é recolhida a amostra responsável pela emissão de
sinal de perda de controlo. Consequentemente:
• T SF SI = d × RL, se a polı́tica amostral adoptada for FSI
• T SV SI =
PRL
N =1 DN −1 ,
caso a polı́tica amostral seja VSI.
Note-se que, ao assumir que se recolhe uma amostra no instante em que
o processo se (re)inicia ou ao fixar/gerar um valor para W0 pertencente
a C, o intervalo amostral que precede a recolha da primeira amostra,
D0 , fica de imediato definido. Para além disso, é recomendável que
se considere D0 = d1 , caso se decida não atribuir/gerar ou não se
disponha de um valor inicial para W0 . (Justifique!)
Os valores esperados de RL e T S são representados por ARL e AT S
(average time to signal) Nos esquemas de controlo FSI, pelo facto do
intervalo amostral ser constante e igual a d tem-se
AT SF SI = d × ARL.
(11.3)
No entanto, nos esquemas VSI, AT SV SI não é um múltiplo de ARL e
escreve-se

AT SV SI = E 
RL
X

DN −1  .
(11.4)
N =1
334
Tanto AT SF SI como AT SV SI dependem da magnitude (θ)
da alteração do parâmetro sob controlo.
De forma a tornar
esta dependência mais explı́cita estes valores esperados passam a
escrever-se doravante do seguinte modo: AT SF SI (θ) e AT SV SI (θ),
respectivamente.
Serão tratadas outras caracterı́sticas do tempo até sinal para estes
dois tipos de polı́ticas amostrais na próxima secção.
335
11.4
Cálculo das caracterı́sticas primárias dos
esquemas Shewhart
Ao considerar um esquema do tipo Shewhart, a estatı́stica sumária
WN é função exclusiva da amostra aleatória mais recente, isto é,
WN = WN (X N ). Logo, ao assumir que as amostras aleatórias X N
são independentes e que o valor do parâmetro se mantém constante
e igual a µ, as estatı́sticas sumárias WN são i.i.d. a uma estatı́stica
sumária W .
Por consequência, a probabilidade de X N ser responsável pela
emissão de um sinal é dada por
ξ(θ) = P (W 6∈ C|θ),
(11.5)
independentemente do ı́ndice da amostra e da polı́tica amostral
adoptada. Logo o RL(θ) ∼ geométrica(ξ(θ)), qualquer que seja a
polı́tica amostral adoptada.
Em contraponto, o tempo esperado até sinal depende da polı́tica
amostral adoptada. Para o caso FSI, tal função é igual a
AT SF SI (θ) =
d
.
ξ(θ)
(11.6)
Na situação VSI a obtenção do tempo esperado até sinal
pressupõe a descrição probabilı́stica dos intervalos aleatórios DN =
DN (θ). Estes intervalos, pelas mesmas razões apontadas acima são,
condicionalmente ao facto de WN ∈ C e da magnitude da alteração
no parâmetro ser igual a θ, i.i.d. à variável aleatória D = D(θ) com
f.p. dada por



1 − ρ2 (θ), se y = d1

ρ2 (θ), se y = d2
P [D(θ) = y] = 
336
(11.7)
onde
ρ2 (θ) =
P [WN (θ) ∈ C2 ]
P [WN (θ) ∈ C]
(11.8)
representa a probabilidade de utilização do maior dos intervalos
amostrais. Ora, tendo em consideração esta f.p., a expressão (11.4) e
a equação de Wald, AT SV SI (θ) passa a escrever-se do seguinte modo:
AT SV SI (θ) = E[D(θ)] × ARL(θ)
d1 [1 − ρ2 (θ)] + d2 ρ2 (θ)
=
ξ(θ)
d1 + (d2 − d1 )ρ2 (θ)
× AT SF SI (θ).
=
d
(11.9)
Exercı́cio 11.1 — Na Tabela 11.1 podem encontrar-se estas e outras
caracterı́sticas do tempo até sinal de esquemas Shewhart associados
às polı́ticas FSI e VSI, nomeadamente os seus valores possı́veis, a sua
distribuição, a sua variância e a sua função geradora de probabilidades,
assumindo que o valor do intervalo amostral que antecede a recolha
da primeira amostra tem a mesma distribuição que os restantes.
337
Tabela 11.1: Tempo até sinal para esquemas Shewhart
FSI
TS
d × RL(θ)
VSI
PRL(θ)
Conj. valores possı́veis
{d, 2d, 3d, . . .}
{k1 d1 + k2 d2 : k1 , k2 ∈ IN0 }\0
Distribuição
d × Geométrica(ξ(θ))
Geométrica Composta
Valor esperado
AT SF SI (θ) =
N =1
DN −1 (θ)
d1 +(d2 −d1 )ρ2 (θ)
d
d
ξ(θ)
d2 [1−ξ(θ)]
ξ 2 (θ)
Variância
V [T SF SI (θ)] =
Coef. variação
p
CV [T SF SI (θ)] = 1 − p(θ)
n
× AT SF SI (θ)
[d1 +(d2 −d1 )ρ2 (θ)]2
d2
o
(d2 −d1 )2 p(θ)ρ2 (θ)[1−ρ2 (θ)]
+
d2
1−p(θ)
×V [T SF SI (θ)]
q
1+
(d2 −d1 )2
p(θ)ρ2 (θ)[1−ρ2 (θ)]
[d1 +(d2 −d1 )ρ2 (θ)]2
1−p(θ)
×CV [T SF SI (θ)]
F.geradora prob.
E(z T S(θ) ) =
z d ξ(θ)
1−z d [1−ξ(θ)]
E[z D(θ) ] ξ(θ)
1−E[z D(θ) ][1−ξ(θ)]
D(θ) ∼ d1 + (d2 − d1 ) × Bernoulli(ρ2 (θ)); E[z D(θ) ] = z d1 + z d2 − z d1 ρ2 (θ).
•
Prove todos estes resultados.
Importa notar que AT SV SI e V (T SV SI ) foram convenientemente
escritos à custa de AT SF SI e V (T SF SI ).
Fontes: Morais (1995, pp. 12–13), Morais e Pacheco (2007).
338
11.5
Obtenção
numérica
das
caracterı́sticas
primárias para esquemas do tipo markoviano
A estatı́stica sumária de um esquema do tipo markoviano
(CUSUM ou EWMA) não depende somente de X N .
O carácter
recursivo de WN = WN (WN −1 , X N ) impõe uma estrutura de
dependência às estatı́sticas sumárias. Por este motivo a avaliação
das caracterı́sticas primárias dos esquemas de controlo associadas
deixa de ser trivial, passando a ter de se fazer numericamente.
Ao adoptar-se a abordagem markoviana — descrita, por exemplo,
em Lucas e Saccucci (1990) e Reynolds et al. (1990) — a estatı́stica
sumária WN cujo espaço de estados é contı́nuo vê o seu contradomı́nio
discretizado, obtendo-se deste modo um cadeia de Markov cujas
propriedades podem ser avaliadas exactamente e que aproximam as
propriedades do processo estocástico original — uma cadeia de Markov
com espaço de estados contı́nuos.
Distinga-se a situação em que os intervalos amostrais são fixos
do caso em que se adopta a polı́tica amostral VSI. Segundo Lucas
e Saccucci (1990) e Reynolds et al. (1990), a discretização do
contradomı́nio da estatı́stica sumária deve ser feita, em qualquer dos
casos, nos seguintes moldes:
• a região de continuação C do esquema é dividida em k estados
transeuntes correspondendo estes estados a intervalos disjuntos
com amplitudes, de preferência, iguais;
• o complementar de C corresponde ao estado absorvente da cadeia
de Markov.
Ao
adoptar
intervalos
amostrais
339
variáveis
a
divisão
do
contradomı́nio em estados transeuntes deve ser feita de modo
mais cuidado já que a região C foi particionada. Assim:
• considera-se à mesma k estados transeuntes dos quais k1 e k2
estão associados a d1 e d2 , respectivamente;
• o estado absorvente mantém-se.
Os valores de k1 e k2 devem ser escolhidos de forma que a sua soma seja
igual a k e que todos os estados transeuntes correspondam a intervalos
disjuntos com amplitudes o menos distintas possı́vel.
Refira-se que nada impede de adoptar esta última discretização
quando a polı́tica amostral é a FSI. No entanto, a utilização da
discretização considerada na situação FSI não é recomendável para
o caso VSI pois ao fazê-lo pode tornar-se ambı́gua a definição do
intervalo amostral na fronteira de C2 .
Considere-se que:
• Q(θ) representa a matriz de probabilidades de transição entre os
k estados transeuntes da cadeia de Markov discretizada em que
ocorre uma transição sempre que é recolhida uma amostra;
• M(θ) = [mij (θ)]i,j=1,...,k = [I − Q(θ)]−1 denota a matriz
fundamental desta cadeia de Markov com um estado
absorvente, onde é sabido que mij (θ) representa o número
esperado de vezes que a cadeia de Markov se encontra no estado
transeunte Ej antes de atingir o estado absorvente, partindo do
estado transeunte Ei (Reynolds, 1989).
Sejam:
• Ei o estado transeunte a que pertence o valor inicial da estatı́stica
sumária, WN ;
340
• bj o intervalo amostral usado quando WN pertence ao
estado transeunte Ej ;
• D0 o primeiro intervalo amostral utilizado (D0 = bi ).
Por fim, condicione-se ao facto do estado inicial ser Ei e considere-se:
• ARLi (θ) o número esperado de amostras recolhidas até sinal;
• AT S i (θ) o tempo esperado até sinal.
Então, ao discretizar da mesma forma o contradomı́nio da estatı́stica
sumária nos casos FSI e VSI, tem-se
i
ARL (θ) =
k
X
−1
1, i = 1, . . . , k, (11.10)
mij (θ) = e>
i [I − Q(θ)]
j=1
qualquer que seja a polı́tica amostral adoptada, tal como no caso em
que as estatı́sticas sumárias são independentes.
O tempo esperado até sinal escreve-se de forma distinta para
as duas polı́ticas amostrais:
AT SFi SI (θ) = d × ARLi (θ), i = 1, . . . , k;
AT SVi SI (θ) =
k
X
(11.11)
mij (θ) × bj , i = 1, . . . , k.
(11.12)
j=1
ARLi (θ) e AT S i (θ) aproximam na verdade o número esperado
de amostras recolhidas até sinal e o tempo esperado até sinal
da cadeia original.
Os valores esperados ARLi (θ) e AT SVi SI (θ) podem ser obtidos de
forma alternativa (Reynolds et al., 1990).
Com efeito, considere-
se que ARLim (θ), m = 1, 2, o número esperado de vezes que o
341
intervalo amostral dm é utilizado depois do instante da obtenção da
concretização de W1 e até que seja emitido um sinal. Então:
ARLim (θ) =

Pk


j=1 mij (θ)

 Pk
j=1 mij (θ)
× Idm (bj ) − 1, D0 = dm
× Idm (bj ), D0 6= dm ,
(11.13)
para m = 1, 2; e
ARLi (θ) = 1 +
2
X
ARLim (θ)
(11.14)
i=1
Considere-se agora, para m = 1, 2,
ρm (θ) =

ARLim (θ)+1


ARLi (θ) , D0 = dm
i

 ARLm (θ) , D 6= d ,
0
m
ARLi (θ)
(11.15)
onde ρm (θ) pode ser interpretado como a proporção de tempo em que
o intervalo dm é utilizado até à emissão de sinal de perda de controlo.
Logo
AT SVi SI (θ) = D0 +
2
X
dm × ARLim (θ)
i=1
=
d1 + (d2 − d1 )ρ2 (θ)
× AT SFi SI (θ),
d
(11.16)
à semelhança do que aconteceu no caso em que as estatı́sticas sumárias
são independentes.
342
11.6
Comparabilidade
sob
controlo;
caracterı́stica primordial; comparação dos
desempenhos de cartas FSI e VSI
O tempo esperado até sinal não só quantifica o desempenho de
qualquer carta de controlo, como serve de termo de comparação dos
desempenhos de esquemas de controlo.
O critério de comparabilidade entre esquemas de controlo,
introduzido por Reynolds et al. (1988), refere que:
• dois (ou mais) esquemas de controlo dizem-se comparáveis
sob controlo (matched control charts) sse possuı́rem tempos
esperados até sinal iguais quando o processo de produção está
sob controlo, i.e., sse os respectivos tempos esperados até falso
alarme forem iguais.
A comparabilidade sob controlo escreve-se do seguinte modo, no
contexto da comparação dos desempenhos de dois esquemas para um
parâmetro, um com intervalos amostrais fixos e outro associado à
polı́tica amostral VSI:
AT SV SI (θ0 ) = AT SF SI (θ0 ),
(11.17)
onde θ0 corresponde ao valor de θ sob controlo (e.g. θ0 = 0 no controlo
de parâmetro de localização).
É recorrendo a esta igualdade que se obtém a partição de C do
esquema VSI. Com efeito, ao recordar a relação existente entre os
tempos esperados até sinal das versões FSI e VSI comparáveis sob
controlo de uma mesma carta, a igualdade (11.17) pode escrever-se à
343
custa da probabilidade de utilização do intervalo amostral máximo:
d − d1
d1 + (d2 − d1 )ρ2 (θ0 )
= 1 ⇔ ρ2 (θ0 ) =
.
(11.18)
d
d2 − d1
A escolha dos limites de controlo de um esquema bem como da
partição da sua região de continuação C deve ainda reger-se de acordo
com o seguinte princı́pio:
• é preciso ter a garantia que o tempo esperado de detecção de uma
alteração de magnitude θ, seja sempre inferior ao tempo esperado
até à emissão de um falso alarme, i.e., AT S(θ) < AT S(θ0 ), ∀θ 6=
θ0 ,
independentemente da polı́tica amostral e do tipo de esquema e
controlo adoptados. Esta propriedade do tempo esperado até sinal
é designada de caracterı́stica primordial.
Atente-se que a literatura de controlo de qualidade é fértil em
exemplos de esquemas de controlo que não possuem tempo esperado
até sinal gozando da caracterı́stica primordial. Acrescente-se, a tı́tulo
de curiosidade, que a caracterı́stica primordial contribui, nalgumas
situações, para a definição unı́voca da região de continuação e da
respectiva partição.
Uma vez obtida a partição da região de continuação do esquema
VSI e caracterizada este mesmo esquema, resta averiguar se se obteve
um esquema mais rápida, em valor esperado, que a versão FSI que lhe
é comparável sob controlo, na detecção de todas as alterações a que
estes esquemas se propõem detectar. Ou seja, se
AT SV SI (θ) < AT SF SI (θ), ∀θ 6= θ0 .
(11.19)
Só nesta situação o recurso à polı́tica amostral VSI é vantajoso.
A verificação analı́tica desta propriedade é, por vezes, difı́cil.
344
Compreende-se, por isso, que a literatura que discute a polı́tica
amostral VSI se limite de um modo geral à verificação numérica desta
condição.
Refira-se por fim que, qualquer confronto de tempos esperados até
sinal de esquemas FSI e VSI comparáveis sob controlo pode ser escrito
à custa da função ρ2 (θ). De facto (11.19) é equivalente a
ρ2 (θ) < ρ2 (θ0 ), ∀θ 6= θ0
(11.20)
A condição (11.20) é perfeitamente razoável já que sob controlo as
recolhas amostrais devem ser o mais espaçadas possı́vel: deste modo
não só se retarda as emissões de falsos alarmes, como se acelera a
detecção de uma alteração do parâmetro.
345
11.7
Ilustração: esquemas X̄ dos tipos FSI e VSI
com limites 3σ
Com este esquemas pretende-se detectar “shifts”no valor esperado de
caracterı́stica de qualidade com distribuição normal de µ0 para µ0 +
√
θ × σ0 / n, θ 6= 0.
Considere-se esquemas FSI e VSI com os seguintes intervalos
amostrais, limites de controlo e outras caracterı́sticas:
• d = 1.0, d1 = 0.1, d2 = 1.9;
√
√
• LCL = µ0 − γσ/ n, U CL = µ0 + γσ/ n, onde γ = 3.0;
ξ(θ) = P (X̄ ∈ [LCL, U CL]) = Φ(γ − θ) − Φ(−γ − θ)
√
√
• LBL = µ0 − ασ/ n, U BL = µ0 + ασ/ n, com
α = Φ−1
d−d1
d2 −d1
× [Φ(γ) − .5] + .5 = 0.672367;
• ρ2 (θ) = P (usar intervalo amostral máximo d2 )
= P (X̄ ∈ (LBL, U BL))
=
Φ(α−θ)−Φ(−α−θ)
Φ(γ−θ)−Φ(−γ−θ)
Com este conjunto de parâmetros obtêm-se os valores para o valor
esperado, variância e coeficiente de variação do tempo até sinal da
Tabela 11.2.
Pode concluir-se da Tabela 11.2 que as alterações no parâmetro
µ são, em valor esperado, mais facilmente detectadas pelo esquema
VSI que pelo esquema FSI. De notar, no entanto, que a utilização
desta polı́tica amostral é tanto mais vantajosa, quanto mais grave for
a alteração em µ.
Para além disso a adopção de intervalos amostrais variáveis nem
sempre resulta (resulta sempre) numa redução da variância (coeficiente
346
Tabela 11.2: Valor esperado, variância e coeficiente de variação do tempo até sinal
θ
AT SF SI (θ)
AT SV SI (θ)
370.4
155.2
43.9
2.0
370.4
141.5
30.6
0.3
V [T SF SI (θ)]
V [T SV SI (θ)]
369.9
365.4
43.4
1.4
370.3
365.5
30.8
0.4
0.999
0.997
0.989
0.707
1.000
1.000
1.005
1.485
0.00
0.50
1.00
3.00
θ
0.00
0.05
1.00
3.00
θ
1−
AT SV SI (θ)
AT SF SI (θ)
× 100%
0.000%
8.855%
30.253%
86.456%
SV SI (θ)]
1 − VV [T
[T SF SI (θ)] × 100%
-0.110%
-0.018%
29.062%
71.559%
[T SV SI (θ)]
CV [T SF SI (θ)] CV [T SV SI (θ)] 1 − CV
CV [T SF SI (θ)] × 100%
0.00
0.50
1.00
3.00
-0.110%
-0.313%
-1.707%
-109.982%
e variação) do tempo até sinal. (Justifique analiticamente estes dois
resultados!)
Em Ramalhoto e Morais (1995) e Ramalhoto e Morais (1997)
podem encontrar-se exemplos de esquemas VSI dos tipos Shewhart
e EWMA (respectivamente) para o parâmetro de escala de uma
caracterı́stica de qualidade com distribuição Weibull tri-paramétrica.
Por seu lado, em Morais e Natário (1998) procede-se à averiguação
das vantagens dos esquemas VSI no controlo do número esperado de
defeitos em amostras de dimensão fixa. Por sinal o carácter discreto
da caracterı́stica de qualidade exige cuidados especiais na adopção da
polı́tica amostral VSI.
Textos de apoio: Morais (2006); Morais e Pacheco (2007).
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Referências
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358
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Exponentially Weighted Moving Average Control Scheme. Drexel
University Faculty Working Paper Series.
359
Alguns reparos e um agradecimento
O autor destas notas de apoio salienta que a secção 8.3 resultou de uma
tradução livre de diversos textos disponı́veis em http://www.asq.org/
learn-about-quality/history-of-quality/ e recomenda vivamente a
leituras destes originais. A esta tradução livre foram acrescentados
alguns reparos inspirados pela leitura de Bartmann (1986, pp.2–3),
Derman e Ross (1997, pp.3–4) e Gomes e Barão (1999, pp.1–4).
O autor salienta também que o Capı́tulo 11 resultou de uma
adaptação parcial autorizada de Constantino (2004, Cap. 1–3) e muito
agradece a Marco Constantino a permissão para o fazer.
360

Notas de apoio de Fiabilidade e Controlo de

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