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VII Semana de Matemática da UFF
Alexander Affonso
Escola Terra Nova e Tutor Presencial (CEDERJ).
E-mail: [email protected]
Cecília de Souza Fernandez
Universidade Federal Fluminense - Institutode Matemática e Estatística
24020-140, Campus do Valonguinho, Niterói, RJ
E-mail: [email protected]
RESUMO
O Binômio de Newton é um conteúdo matemático considerado, tanto por professores
como por alunos, difícil de ser tratado em sala de aula. Nesta palestra, apresentamos uma
proposta de ensino do Binômio de Newton através de sua relação com o Triângulo Aritmético,
conhecido como Triângulo de Pascal. Vamos apresentar o Triângulo de Pascal em várias
sociedades antigas, acompanhando sua evolução histórica. Também enunciamos e provamos
algumas propriedades do Triângulo de Pascal, como a relação de Stifel, o teorema das linhas e o
teorema das colunas. Enunciamos o Binômio de Newton e apresentamos uma demonstração
deste resultado diferente da que usualmente é apresentada nos livros de Matemática de Ensino
Médio. De fato, a prova que aqui será apresentada utiliza basicamente o Princípio de Indução
Matemática. Observamos que esta prova é conhecida. Nosso trabalho aqui é destacar esta
demonstração para o professor de Matemática, que deve conhecer o Princípio de Indução
Matemática, pois é uma importante técnica de demonstração. Terminamos comentando sobre
generalizações do Triângulo de Pascal encontradas na literatura como, por exemplo, a Pirâmide
de Pascal.
Palavras chaves: Binômio de Newton, Triângulo de Pascal, Pirâmide de Pascal, Ensino.
1. Descrição da atividade:
1.1. Proponentes/Ministrantes:
1.Alexander Affonso.
Instituição de origem: Escola Terra Nova e Tutor Presencial (CEDERJ).
Titulação: Mestre em Matemática (IME/UFF).
2. Cecília de Souza Fernandez.
Instituição de origem: Universidade Federal Fluminense (UFF).
Titulação: Ph.D. em Matemática (Kent State University/EUA).
Obs.: Alexander Affonso será o ministrante da palestra.
1.2. Título: O Triângulo de Pascal e o Binômio de Newton.
1.3. Formato: Palestra.
1.4. Horário preferencial: Matutino.
1.5.Pré requisitos: Não há pré-requisitos.
2. Público Alvo: Professores de Matemática do Ensino Médio e alunos de Licenciatura
em Matemática.
3. Objetivos da Palestra:
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Objetivos Gerais:
Apresentar uma proposta de ensino sobre o tema Binômio de Newton;
Mostrar para o professor a importância da História da Matemática;
Mostrar para o professor generalizações do Triângulo de Pascal.
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Objetivos Específicos:
Conhecer a evolução histórica do Triângulo de Pascal;
Definir fatorial e definir coeficiente binomial;
Provar a fórmula do coeficiente binomial;
Relacionar o Triângulo de Pascal com os coeficientes binomiais;
Apresentar algumas propriedades do Triângulo de Pascal;
Apresentar o Príncipio de Indução Matemática;
Enunciar e provar o Binômio de Newton;
Apresentar a Pirâmide de Pascal.
4. Justificativa da palestra:
O tema Binômio de Newton é apresentado no Ensino Médio dentro do conteúdo de
Análise Combinatória. Em geral, é apresentado em sala de aula sem conexão com os chamados
produtos notáveis, vistos pelo aluno no Ensino Fundamental, e sem nenhuma abordagem
histórica. Além disso, a maioria dos professores do Ensino Médio creditam a Newton o
resultado conhecido como Binômio de Newton. Nesta palestra, pretendemos oferecer ao
professor uma abordagem do Binômio de Newton através de sua relação com o Triângulo de
Pascal. Também pretendemos oferecer ao professor um aprofundamento em sua formação,
lembrando o Príncipio de Indução Matemática e exemplificando o uso desta técnica de
demonstração, tão importante em Matemática, demonstrando o Binômio de Newton.
5. Material a ser utilizado:
Data show, notebook, pilot para quadro branco.
6. Referências:
[1] A. Hefez, “Elementos de Aritmética”, 2ª edição, Coleção Textos Universitários. Sociedade
Brasileira de Matemática, 2006.
[2] V. J. Katz, “A History of Mathematics – an Introduction”, Harper Collins College
Publishers, 1993.