HISTÓRIA DA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU EM

Transcrição

HISTÓRIA DA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU EM LIVROS DIDÁTICOS
Kamila Gonçalaves Celestino
Universidade Estadual do Centro-Oeste
[email protected]
Resumo:
O presente estudo é fruto de um projeto de pesquisa vinculado ao regime de Tempo
Integral e Dedicação Exclusiva para professores da Universidade Estadual do CentroOeste. Tal estudo consiste em uma pesquisa bibliográfica referente à história da equação
do segundo grau e como esta é apresentada nos livros didáticos de Matemática. A pesquisa
teve como objetivo levantar informações sobre a história da equação do segundo grau
encontradas em obras clássicas da História da Matemática e em livros didáticos, bem como
comparar tais informações e propor uma nota histórica que possa ser utilizada pelos
professores de Matemática. Com este estudo foi possível perceber que, em geral, os livros
didáticos trazem informações inadequadas a respeito da história da equação do segundo
grau.
Palavras-chave: História da Matemática; Equação do Segundo Grau; Livro Didático.
1. Introdução
A pesquisa em História da Matemática tem se configurado como tema de interesse
crescente comprovado pelas diversas fontes e publicações já acessíveis, relacionadas ou
não ao ensino da Matemática e à educação Matemática. Dentre as modalidades de estudos
que se identificam como pesquisas em História da Matemática estão as que tratam da
investigação relativa à história de problemas, conceitos, métodos e também a figuras
humanas (BARONI e NOBRE, 1999).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) destacam a História da Matemática
como um recurso didático para ser utilizado em sala de aula:
Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer
ideias Matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno,
especialmente para dar respostas a alguns “porquês” e, desse modo,
contribuir para a constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de
conhecimento. (BRASIL, 1997, p.34)
As Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná tratam a História da Matemática
como um encaminhamento metodológico:
Anais do XI Encontro Nacional de Educação Matemática – ISSN 2178-034X
Página 1
XI Encontro Nacional de Educação Matemática
Curitiba – Paraná, 18 a 21 de julho de 2013
A História da Matemática é um elemento orientador na elaboração de
atividades, na criação das situações-problema, na busca de referências
para compreender melhor os conceitos matemáticos. Possibilita ao aluno
analisar e discutir razões para aceitação de determinados fatos,
raciocínios e procedimentos. (PARANÁ, 2008, p.66)
Para esta pesquisa, o tema equação do segundo grau foi adotado como relevante
para um estudo de natureza histórica por se tratar de um assunto presente na disciplina de
Matemática desde o Ensino Fundamental. E, apesar de ser tão recorrente, ainda existem
algumas inconsistências acerca de sua história, principalmente quando se trata dos nomes
de matemáticos envolvidos e da fórmula geral para resolver estas equações, o que acaba
deixando dúvidas nos estudantes do ensino básico e de graduação e até mesmo nos
professores de Matemática.
Segundo Eves (2002), em textos babilônicos, escritos há cerca de 4000 anos,
encontram-se descrições de procedimentos para resolução de problemas envolvendo
equações do segundo grau. Relata também que, na Grécia, utilizava-se geometria para
resolver equações do segundo grau. É sabido que construções geométricas são encontradas
no método de Euclides.
No século XII, um dos mais importantes matemáticos da época, o hindu Bhaskara
(1114-1185), em duas das suas obras, apresenta e resolve diversos problemas do segundo
grau. Antes dele, porém, no princípio do século IX, o matemático árabe Al-Khwarizmi,
empenhou-se na resolução de equações do segundo grau utilizando Álgebra e a geometria
dos gregos e chegou a fórmulas específicas para tipos diferentes de equação.
Esta análise da história da equação do segundo em livros didáticos teve o objetivo
de esclarecer se e como as informações sobre o tema estão sendo repassadas a professores
e alunos do Ensino Fundamental, para que então fosse possível estabelecer uma
comparação com fatos históricos das obras de História da Matemática e, por fim, destacar
os possíveis pontos que possam se caracterizar como duvidosos na apresentação do tema.
2. A História da Equação do Segundo Grau
Resolver uma equação do segundo grau da forma ax² + x +c = 0, hoje em dia, é
muito simples, uma vez que conhecemos uma fórmula para isso:
Página 2
A questão é como os matemáticos trabalhavam com estas equações antes de tal
fórmula ser desenvolvida. O que se sabe a respeito disso é que cada povo desenvolveu seus
próprios métodos para resolver este tipo de equação.
No Egito encontram-se indícios de problemas do segundo grau, envolvendo cálculo
de áreas, no papiro Golonishev (séc. XIX AEC), um dos mais famosos do mundo
juntamente com o papiro Rhind. Tais problemas podem ser traduzidos por equações do
tipo ax² = b.
Na Babilônia as primeiras equações do segundo grau aparecem nas tabletas
cuneiformes. Os babilônios, por terem uma Matemática mais desenvolvida que a do Egito,
já possuíam seu próprio método para solucionar as equações da forma x² - px = q. Este
método pode ser representado pela fórmula:
Na China é possível identificar problemas envolvendo equações do segundo grau
na obra Chiu Chang Suan Shu (Nove capítulos sobre a arte Matemática) (sec. II AEC), os
problemas tratam do cálculo de áreas e dimensões.
Na Grécia, Euclides (ca.325 – ca.265 AEC), em sua obra Os Elementos (ca. 300
AEC), propõe algumas construções que podem ser interpretadas como equações do
segundo grau. O matemático Diofanto (ca.200 – ca.284), na obra Arithmetica, apresenta as
seguintes fórmulas resolutivas para alguns tipos específicos de equações do segundo grau:
TIPO DE EQUAÇÃO
FÓRMULA RESOLUTIVA
ax² + bx = c
ax² + c = bx
ax² = bx + c
Fórmulas de Diofanto
Página 3
Na Índia e mundo árabe, Aryabhata I (476 – 550) estudou as equações do segundo
grau e Brahmagupta (628) deu a primeira solução geral para equações do tipo ax² + bx = c.
Pode-se representar esta solução pela fórmula:
O matemático árabe Al-Khwarizmi (780 – 850) resolveu equações de segundo grau
por meio de geometria e classificou-as em seis tipos. Al-Khwarizmi ainda apresentou
fórmulas resolutivas para dois destes tipos de equação, conforme segue:
TIPO DE EQUAÇÃO
ax² = bx
ax² = c
bx = c
bx + c = ax²
FÓRMULA RESOLUTIVA
-
ax² + bx = c
ax² + c = bx
Classificação de equações e fórmulas específicas de Al-Khwarizmi
O matemático hindu Bhaskara (1114 – 1185) estudou e resolveu problemas do
segundo grau e também se dedicou ao estudo de equações do tipo ax² + b = y², conhecidas
como equação de Pell.
Vale ressaltar que, apesar de utilizarmos todas as formas de equações e fórmulas na
linguagem simbólica, os povos citados não conheciam as equações da forma que nós as
conhecemos hoje, bem como não utilizavam a linguagem simbólica para representar e
resolver seus problemas.
3. Da Forma Geral à Fórmula Geral
Sabe-se que os estudos, dedicados a desenvolver uma fórmula geral para as
equações do segundo grau, se intensificaram no século XVI. Foi nesta época que o
matemático francês François Viéte (1540 – 1603) iniciou a Álgebra Simbólica e então
Página 4
surgiu a forma geral das equações do segundo grau, que é hoje escrita como ax² + bx + c =
0.
A partir da forma geral das equações de segundo grau, muitos matemáticos
utilizaram os resultados já conhecidos sobre o tema e tentaram generalizar uma fórmula.
Entre eles estão:
Michael Stifel (1486 – 1567) que encontrou a fórmula:
O inglês William Ougthred que, em 1631, publicou a fórmula generalizada da
forma que conhecemos e utilizamos até os dias atuais:
James Sylvester (1814 – 1897) foi o responsável pelo conceito de discriminante:
E, Albert Girard (1590 – 1633) foi quem encontrou relações entre os coeficientes de
uma equação do segundo grau e suas raízes:
Vale ressaltar aqui que tais tentativas que generalizar a fórmula, ocorrem alguns
séculos após a morte de Bhaskara. Não havendo, assim, possibilidades de a fórmula ter
sido encontrada em uma de suas obras.
4. Bhaskara e a Equação do Segundo Grau
Página 5
Bhaskara foi um matemático hindu que viveu entre 1114 e 1185, também
conhecido como Bhaskaracharya que significa “Bhaskara, o Professor”, ou simplesmente
Bhaskara.
Considerado o matemático mais famoso do século XII, seus trabalhos eram
basicamente sobre Matemática e Astronomia. Alguns historiadores o destacam como o
cimo do conhecimento matemático no século XII por ele ter alcançado um nível de
entendimento dos sistemas de números e resolução de equações que não havia sido
realizado na Europa por vários séculos.
Bhaskara estudou trabalhos de Brahmagupta e, portanto, tinha conhecimento sobre
o zero e os números negativos. Sabia também que a equação x² = 9 tinha duas soluções, e
forneceu a fórmula:
Nos estudos de Bhaskara também estão presentes muitos problemas diofantinos e a
equação de Pell 1,
, a qual ele resolveu para p = 8, 11, 32, 61 e 67.
São conhecidas seis obras de Bhaskara, a mais famosa é Lilavati, que leva o nome
de sua filha.
Em uma de suas obras, chamada Bijaganita, Bhaskara propõe equações quadráticas
e diz que as duas soluções que podem ser encontradas são igualmente admissíveis. E em
um livro sobre Astronomia Matemática, Siddhantasiromani, Bhaskara traz alguns
resultados interessantes de Trigonometria, entre eles estão as fórmulas:
e
1
John Pell (1611-1685, matemático inglês). Trabalhou em Álgebra e Teoria dos Números. A equação
, na qual a é um inteiro não quadrado, foi primeiramente estudada por Brahmagupta e
Bhaskara II. No entanto, a teoria decorrente desse estudo é exibida em um livro cuja verdadeira autoria é
conferida a Pell. A denominação “equação de Pell” é atribuída a Euler.
Página 6
Bhaskara foi um grande matemático, o mais importante de sua época na Índia, mas
não há indícios de sua participação na descoberta da fórmula resolutiva para equações do
segundo grau. Assim, percebe-se que Bhaskara estudou alguns tipos de equação do
segundo grau, bem como desenvolveu métodos para resolvê-las, porém a elaboração da
famosa fórmula geral não é um mérito seu.
5. Procedimentos de Estudo
A pesquisa foi baseada em livros didáticos de Matemática, dando preferência aos
provados pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), e também em alguns
referenciais bibliográficos considerados clássicos na História da Matemática, tais como
BOYER (1996), EVES (1997), KATZ (1998), STRUIK (1997), entre outros.
Inicialmente foi feito um estudo dos livros didáticos para que fosse possível
descrever como as equações do segundo grau são apresentadas, e verificar se os livros
trazem informações históricas acerca do tema. Em um segundo momento o estudo
bibliográfico se estendeu aos referenciais de História da Matemática para comparar as
informações trazidas pelos autores dos livros didáticos e pelos historiadores da
Matemática.
6. Equação do Segundo Grau em Livros Didáticos
Foram analisados quinze livros didáticos publicados entre 2000 e 2009, dos quais
treze foram aprovados pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) nas avaliações
de 2002, 2005, 2008 ou 2011.
Analisando o capítulo dedicado ao estudo de equações do segundo nos livros
didáticos, o primeiro fato evidente é que, em quase todos os livros pesquisados, existe um
tópico ou subitem chamado Fórmula de Bhaskara.
Vários livros apresentam notas históricas sobre o tema, quase sempre relacionando
a fórmula geral ao nome de Bhaskara ou Al-Khwarizmi:
Página 7
No século XII, baseado nos estudos feitos por al-Khowarizmi, o
matemático hindu Bhaskara apresentou um processo puramente algébrico
que permitia resolver qualquer equação do segundo grau. Ele chegou a
uma fórmula que é usada até hoje e que ficou conhecida como fórmula
resolutiva de Bhaskara para equações do segundo grau. (GIOVANNI,
2000, p.101)
No século XII, Bhaskara, um matemático indiano, escreveu sobre a
Matemática conhecida na Índia. Dentre seus importantes escritos
encontra-se a fórmula de Bhaskara, que é a generalização da resolução de
equações do 2º grau com uma incógnita. (MORI, 2005, p.104)
No século XII, baseado nos estudos feitos por al-Khowarizmi, o
matemático hindu Bhaskara(1114-1185) apresentou um processo
puramente algébrico que permitia resolver qualquer tipo de equação do 2º
grau. Partindo desse processo e com o uso da Álgebra simbólica, os
matemáticos puderam chegar a uma fórmula que é usada até hoje e que
ficou conhecida como fórmula resolutiva para equações do 2º grau.
(CASTRUCCI, 2007, p.95)
No século XII, o matemático hindu Bhaskara baseou-se em estudos de alKhowarizmi para apresentar um processo algébrico que permitia resolver
qualquer equação do 2º grau. Usando o processo de Bhaskara e partindo
da equação escrita na sua forma reduzida, foi possível determinar, de
maneira mais simples, as raízes de qualquer equação do 2º grau com uma
incógnita. (CASTRUCCI, 2007, p.113)
A partir dos coeficientes de uma equação do 2º grau, o matemático hindu
Bhaskara (1114-1185) desenvolveu um método algébrico para obter as
raízes de qualquer equação do 2º grau. Com os coeficientes, foi possível
chegar a uma fórmula conhecida como fórmula de Bhaskara ou fórmula
resolutiva. (RIBEIRO, 2009, p.84)
A fórmula para resolução de equações do 2º grau, que atribuímos ao
matemático hindu Bhaskara (1114-1185), teve sua origem na Babilônia
por volta de 2000 a.C.
Os babilônios resolviam muitas equações do 2º grau, porém, cada
equação era resolvida particularmente, sendo sua solução específica.
Embora a maneira, utilizada pelos babilônios, de resolver problemas
envolvendo equações do 2º grau conduzisse naturalmente à dedução da
fórmula de Bhaskara, os matemáticos babilônicos não a generalizaram.
Por volta do ano 830 d.C., o matemático árabe al-Khowarizmi, em
seu livro al-Jabr w’al mugabalah, título que originou o termo Álgebra,
detalha o método geométrico para resolver equações do 2º grau. Esse
método consistia na utilização da construção de quadrados e retângulos.
Três séculos mais tarde, Bhaskara, em seu livro Lilavati, generaliza
o método utilizado pelos babilônios para a resolução de equações do 2º
grau. O fato de Bhaskara ter sido o primeiro matemático a generalizar tal
método é o motivo pelo qual atribuímos seu nome à fórmula que
conhecemos hoje.
Entretanto, somente no século XVI, quando se iniciou grande parte
da simbolização algébrica, os coeficientes de uma equação passaram a ser
representados por letras. Isso ocorreu graças ao matemático francês
Página 8
François Viète (1540-1603). Desde então, a fórmula sofreu modificações
até chegar à forma como a conhecemos. (RIBEIRO, 2009, p.99)
De todos os livros apenas três, dos que apresentaram notas históricas, não trazem a
informação que foi Bhaskara quem descobriu a fórmula resolutiva, mas, apesar disso,
alguns ainda chamam tal fórmula como fórmula de Bhaskara:
A obra Lilavati, de Bhaskara, contém muitos problemas que são
resolvidos por equações do segundo grau. Muitos foram compilados da
obra indiana de Brahmagupta, e Bhaskara acrescentou novas
observações. Talvez seja por esse motivo que a fórmula de resolução de
uma equação do segundo grau ficou conhecida, aqui no Brasil, como
fórmula de Bhaskara. Mas sabe-se que essa forma de resolução
apresentada em Lilavati foi encontrada por Bhaskara em documentos que
datam de século XI, um século antes da publicação do Lilavati.
(BARROSO, 2006, p.48)
De onde veio a fórmula de Bhaskara?
Sabe-se que a famosa fórmula que resolve a equação do 2º grau
não foi descoberta por Bhaskara. Mas não se sabe por que ela leva o
nome dele.
Bhaskara viveu na Índia por volta de 1550. Esse ilustre matemático
resolveu vários problemas complicados, alguns dos quais envolviam
equações de 2º grau. No entanto, muito antes dele, a resolução da
equação já era conhecida.
Os historiadores encontram indícios de que, na civilização da
Babilônia, em 1700 a.C., já eram resolvidas algumas equações de 2º grau.
Depois dessa época remota, parece ter sido al-Khowarizmi, no século IX,
o maior especialista no assunto. Ele viveu em Bagdá e é considerado um
dos principais criadores da Álgebra... (IMENES, 2009, p.120-121)
Conhecemos a fórmula para resolver equações do 2º grau como fórmula
de Bhaskara, entretanto não foi Bhaskara quem resolveu equações do 2º
grau pela primeira vez.
...É importante lembrar que, no século XII, não havia uma notação
algébrica e a complexidade na escrita da solução da equação dificultava a
percepção de procedimentos gerais.
...Foi necessário esperar mais de quatrocentos anos para que o
matemático francês François Viète (15040-1603) inaugurasse a era das
fórmulas em Matemática, a partir de quando se intensificaram tentativas
de dar um procedimento único para a resolução de equações de um
determinado grau e, em particular, para as equações do 2º grau,
procedimento esse que ficou conhecido como fórmula de Bhaskara, em
homenagem a esse conhecimento sobre resolução de equações.
(BIANCHINI, 2006, p. 108)
Em geral, as informações históricas encontradas nos livros didáticos não são
coerentes com as das obras de História da Matemática. Apenas dois livros didáticos
Página 9
informam que a fórmula não foi realmente descoberta por Bhaskara e que não se sabe ao
certo porque tal associação foi feita.
7. Resultados da Pesquisa
O estudo das referências de História da Matemática permitiu observar que, apesar
de ter o matemático Bhaskara um grande mérito por uma descoberta que não foi sua, os
estudos realmente feitos por ele são pouco conhecidos. Por esse motivo quando se
comprova que a famigerada fórmula de Bhaskara não foi deduzida por ele, muitos
imaginam então que ele não tem mais destaque para a Matemática, o que é uma conclusão
equivocada. Afinal, não se pode desmerecer toda a obra de Bhaskara apenas por uma
associação inconveniente que, aparentemente, só é feita no Brasil.
Bhaskara não estudou apenas Matemática, ele foi também astrônomo, poeta e
filósofo e, em todas essas áreas ele deixou contribuições importantes como, por exemplo,
as fórmulas para encontrar o seno de uma soma ou diferença de arcos, mencionadas nesse
trabalho.
Dessa forma, mesmo desvinculando Bhaskara da fórmula resolutiva para equações
do segundo grau, pode-se e deve-se não só associá-lo a outros estudos matemáticos como
também relevantes na História da Matemática.
A análise feita em livros didáticos destacou que a História da Matemática, referente
ao assunto objeto deste estudo, ainda é pouco explorada pelos autores. A grande maioria
daqueles que contém alguma informação histórica atribuem a descoberta da fórmula
resolutiva para as equações do segundo grau ao matemático hindu Bhaskara.
Na maioria dos livros pesquisados essa fórmula é denominada fórmula de
Bhaskara, porém apenas alguns mencionam a informação de que a fórmula leva o nome de
Bhaskara erradamente.
Em geral, os livros apresentaram uma mesma estrutura para a discussão do tema. O
diferencial encontrado em algumas obras foi um breve comentário sobre os matemáticos
Bhaskara (hindu) e Al-Khowarizmi (árabe).
Comparando as duas fontes de pesquisa, obras de História da Matemática e livros
didáticos, percebe-se que os historiadores da Matemática deixam claro que Bhaskara foi
um grande matemático, mas não esteve envolvido na generalização da fórmula resolutiva
para equações do segundo grau, vários outros matemáticos importantes fizeram isso,
Página 10
porém alguns séculos depois da morte de Bhaskara. Já nos livros didáticos encontramos,
em geral, a informação de que Bhaskara deduziu a fórmula e então ficou conhecido por
esta descoberta.
Utilizando as informações obtidas acerca da história da equação do segundo grau,
da fórmula resolutiva e da relação de Bhaskara com o tema, proponho aqui uma nota que
resume os fatos e pode ser usada pelos professores de Matemática para explicar
rapidamente à seus alunos porque a fórmula de Bhaskara não é de Bhaskara:
“Quando se trata do tema equação do segundo grau, de pronto se remete à fórmula
geral que resolve qualquer equação do tipo ax² + bx + c = 0. Esta fórmula é conhecida
como fórmula de Bhaskara, no entanto não foi Bhaskara o responsável por sua descoberta.
Sabemos que apenas no Brasil a fórmula é conhecida por este nome e não se sabe ao certo
a origem de tal associação.
Bhaskara foi um matemático que viveu no século XII na Índia, estudou vários
temas relacionados à Matemática e Astronomia e alcançou um nível de entendimento dos
sistemas de números e resolução de equações que não havia sido realizado na Europa por
vários séculos. Então, ao desvincular o nome de Bhaskara da fórmula resolutiva para
equações do segundo grau, não podemos desmerecer seus outros trabalhos.
Apesar de Bhaskara não estar envolvido no desenvolvimento da fórmula geral para
resolução de equações do segundo grau, vários outros matemáticos estiveram. Por volta do
século XV, quando Viéte, matemático francês, escreveu a forma geral das equações de
segundo grau ax² + bx + c = 0, outros matemáticos da época utilizaram alguns resultados
já conhecidos de outros estudos juntamente com a forma geral das equações até que
chegaram a uma generalização. Quem publicou pela primeira vez a fórmula do jeito que
conhecemos hoje foi o matemático inglês William Ougthred, em 1631.”
8. Agradecimentos
Agradeço ao meu professor, orientador e colega de trabalho Edilson Roberto
Pacheco (in memoriam) por seus conselhos na redação do projeto desta pesquisa, pelas
suas sugestões de materiais para as análises e por sua grande dedicação no
desenvolvimento desta pesquisa.
9. Referências
Página 11
BARONI, R. L. S.; NOBRE, S. R. A Pesquisa em História da Matemática e suas
relações com a Educação Matemática. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani. (org.).
Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999.
BARROSO, J. M. (ed.). Projeto Araribá: Matemática. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2006.
BIANCHINI, E. Matemática. 1.ed. São Paulo, Moderna, 2006.
BIGODE, A. J. L. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000.
BOYER, C. B. História da Matemática. 2.ed. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard
Blücher, 1996.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf. Acesso em: 09 fev.13.
CARVALHO, A. L. T.; REIS, L. F. Aplicando a Matemática. 2.ed. Tatuí-SP, Casa
Publicadora Brasileira, 2009.
CARVALHO, J. B. P. Três excursões pela História da Matemática. Rio de Janeiro:
Intermat, 2008.
CASTRUCI, B.; GIOVANNI, J. R.; GIOVANNI JÚNIOR, J. R. A conquista da
Matemática: edição renovada. São Paulo, FTD, 2007.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática, 2002.
DOLCE, O.; IEZZI, G.; MACHADO, A. Matemática e realidade. 6.ed. São Paulo, Atual,
2009.
EVES, H. W. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 1997.
GIOVANNI, J. R.; GIOVANNI JÚNIOR, J. R. Matemática pensar e descobrir: novo.
São Paulo: FTD, 2000.
GIOVANNI, J. R.; GIOVANNI JÚNIOR, J. R. Matemática pensar e descobrir: novo.
São Paulo: FTD, 2002.
GIOVANNI, J. R.; PARENTE, E. A. M. Aprendendo Matemática: novo. São Paulo:
FTD, 2002.
Página 12
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade. 5. ed. São Paulo: Atual,
2005.
IMENES, L. M.; LELLIS, M. Matemática: Imenes e Lellis. 1. ed. São Paulo, Moderna,
2009.
KATZ, V. J. A History of Mathematics: an Introduction. 2. ed. Addison-Wesley, 1998.
MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: idéias e desafios. 14. ed. reform. São Paulo:
Saraiva, 2005.
NOBRE, Sergio. História da resolução da equação de 2º grau: uma abordagem
pedagógica. Rio Claro: Sociedade Brasileira de História da Matemática, 2003. (Coleção
História da Matemática para professores).
O'CONNOR, J.J.; E F ROBERTSON, E. F. Bhaskara. Disponível em: <wwwhistory.mcs.st-and.ac.uk/BiogIndex.html.2000> Acesso em: 10.nov.12.
PARANÁ. Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná: Matemática. Disponível em:
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arvosFile/diretrizes_2009/matematica
.pdf. Acesso em: 09 fev.13.
RIBEIRO, J. S. Projeto Radix. São Paulo, Scipione, 2009.
STRUIK, D. J. História Concisa das Matemáticas. 3.ed. Trad. João Cosme Santos
Guerreiro. Lisboa: Gradiva, 1997.
Página 13

HISTÓRIA DA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU EM

Transcrição

Documentos relacionados

lista de exercícios (derivadas implícitas)

História das resoluções de equações do segundo grau

CÁLCULO DE RAÇÃO PELO MÉTODO ALGÉBRICO

Page 1 | ______ | | | | | | | | | | | U.E.F.S | | DEPARTAMENTO: FÍSICA

INSTITUTO DE FÍSICA

EM 524 – aula 04

PROGRAMA 1. EQUAÇÕES DE LAGRANGE 1.1. Coordenadas

Logomarca do Colégio - Colégio Padre Ovídio

MÉTODO BABILÔNICO PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

TX751 - Métodos Numéricos em Engenharia Ambiental

REDESCOBRINDO O LILAVATI DE BHASKARA (1150)