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Transcrição

Mecânica da Turbulência
Nelson Luís Dias
([email protected])
Departamento de Engenharia Ambiental
Universidade Federal do Paraná
25 de agosto de 2014
Sumário
1 Introdução
1.1 Probabilidade: variáveis aleatórias e valores esperados . . . . .
1.2 Processos estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 A decomposição em média e flutuação, e os postulados de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Independência ou morte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Termodinâmica de uma mistura diuluída
2.1 Regra de fase de Gibbs e relações de Maxwell . . . . . . . .
2.2 Mistura diluída de 2 gases ideais . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Equações de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Demais potenciais termodinâmicos de um gás ideal
2.2.3 A afinidade de uma mistura de gases ideais . . . .
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3 As equações diferenciais de transporte
3.1 Notação indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Dissipação viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 A decomposição de Reynolds para variáveis quadráticas .
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46
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4 As macro e micro escalas da turbulência
4.1 Macro e micro escalas: uma apresentação informal . . .
4.2 Uma definição formal das escalas macroscópicas . . . .
4.3 Uma definição formal das escalas microscópicas . . . .
4.4 A cascata de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Macro e microescalas de temperatura . . . . . . . . . .
4.6 Estimativas consistentes dos gradientes microscópicos
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5 As equações para o escoamento médio, e a aproximação de Boussinesq
5.1 O estado hidrostático de referência . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 O estado de referência na atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Magnitude das flutuações de densidade . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Conservação de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 A correlação pressão-temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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59
64
2
Sumário
5.7
5.8
As ordens de grandeza da equação para a temperatura . . . . . .
A equação para a temperatura potencial . . . . . . . . . . . . . .
65
70
6 As equações de ordem 2
6.1 Os gradientes microscópicos de densidade . . . . . . . . . .
6.2 A equação para as flutuações de densidade . . . . . . . . . .
6.3 Um teorema útil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Quantidade de movimento, a partir do zero . . . . . . . . . .
6.5 A dedução das equações de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Energia cinética turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 As ordens de grandeza dos termos das equações de ordem 2
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7 O espaço de Fourier
7.1 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Diferentes tipos de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Integral de Riemman . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Integral de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Energia cinética e a igualdade de Parseval . . . . . . . . . .
7.4 A transformada de Fourier do campo de velocidade . . . .
7.4.1 Teorema da convolução e igualdade de Parseval . .
7.5 Funções generalizadas (distribuições) . . . . . . . . . . . .
7.6 A transformada de Fourier das equações de Navier-Stokes
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8 Processos estocásticos e representação espectral
8.1 Espectros cruzados em uma dimensão (tempo) . . . . . . . . .
8.2 Espectros cruzados de processos estocásticos em 3 dimensões
espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Representação espectral de processos estocásticos . . . . . . .
8.3.1 De uma vez só: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Aos poucos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Soluções laminares das equações de Navier-Stokes
9.1 Algumas soluções laminares . . . . . . . . . . . .
9.2 A Solução de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Espessura de deslocamento . . . . . . . .
9.2.2 A solução de Blasius . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Blasius: solução numérica . . . . . . . . .
9.2.4 Uma alternativa . . . . . . . . . . . . . . .
10 Camadas-limite turbulentas
10.1 Escoamento turbulento em um duto . . . . .
10.2 Escoamentos turbulentos com parede rugosa
10.3 O regime de transição . . . . . . . . . . . . .
10.4 A fórmula de Manning . . . . . . . . . . . .
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126
132
134
135
3
Sumário
11 A Teoria de Kolmogorov
11.1 Alternativas de descrição da estrutura estocástica da turbulência
11.2 As hipóteses de similaridade de Kolmogorov . . . . . . . . . . .
11.3 Isotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
139
140
143
12 Dinâmica espectral
12.1 Balanços espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 O fluxo espectral de energia nas teorias clássicas . . . . . .
12.3 Modelos de fechamento fenomenológicos . . . . . . . . . .
12.3.1 Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 A aproximação quase-normal . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Uma abordagem com P e não com M . . . . . . . .
12.4.2 Detours in search of truth . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Uma nova tentativa de obter a aproximação quase-normal
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A Difusão em sistemas binários
160
B Soluções dos problemas
161
C Vorticidade
162
D Constantes físico-químicas
166
E Equação de estado para a água
167
Lista de Tabelas
2.1
2.2
Propriedades de gases atmosféricos a 0◦ C e 101325 Pa † . . . . .
Entalpia e energia livre de Gibbs de formação, e entropia padrão
de gases atmosféricos a 298,15 K e 100.000 Pa † . . . . . . . . . .
22
26
10.1 Rugosidade equivalente de areia. Fonte: (Morris e Wiggert, 1972,
Tabela 3-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4
Lista de Figuras
1.1
10 minutos de medições de concentração de CO2 sobre uma grameira em Tijucas do Sul, PR, em 2011-02-17, 10:30–10:40. . . . .
Ilustração de um processo estocástico univariado U (t; ω): as
unidades de U e t são arbitrárias. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.1
4.2
Expansão súbida em uma tubulação. . . . . . . . . . . . . . . . .
Escoamento clássico em um tubo com perda de carga. . . . . . .
40
42
5.1
Dependência da pressão de referência Pr e da densidade de referência ℘r em uma atmosfera hidrostática e adiabática com a
altitude z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dependência de βP T com a temperatura para água líquida . . .
Dependência de βP T com a temperatura para água líquida na
faixa 10–20◦ C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
65
1.2
5.2
5.3
12
66
7.1
7.2
Soma inferior de Riemman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A equação dinâmica de Navier-Stokes no espaço de números de
onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
8.1
O espaço amostral das funções aleatórias u (t ). . . . . . . . . . .
99
9.1
9.2
9.3
Escoamento laminar sobre uma placa porosa . . . . . . . . . .
A camada-limite laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Volume de controle para a definição da espessura de quantidade
de movimento θ ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfil de velocidade adimensional de Blasius. . . . . . . . . . .
9.4
97
. 113
. 114
. 117
. 124
10.1 A distribuição da tensão cisalhante total em um escoamento turbulento em um duto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.2 Fator de atrito f em função de Re e da rugosidade relativa z 0 /δ
em um escoamento turbulento em um duto . . . . . . . . . . . . 136
11.1 Invariantes geométricos em turbulência isotrópica . . . . . . . . 143
11.2 funções de correlação longitudinal e transversal . . . . . . . . . 145
5
Notação
Uma grande dificuldade ao escrever este texto foi a enorme quantidade de grandezas diferentes com as quais é necessário tratar. Nós utilizamos ao mesmo
tempo grandezas extensivas (em geral escritas com letras maiúsculas) e intensivas (idem); variáveis aleatórias e valores observados (realizações) das mesmas,
médias turbulentas e flutuações. Diferentes autores encontraram diferentes soluções para denotar com um número limitado de símbolos romanos e gregos
um número muito maior de grandezas físicas e suas interpretações e abordagens
matemáticas. As soluções que eu encontrei são, como sempre, um compromisso.
A notação que utilizo é em parte original, e segue a idéia de ser tão simples
quanto possível e ao mesmo razoavelmente clara. No entanto, alguns conflitos
de símbolos são inevitáveis, conflitos os quais só podem ser parcialmente aliviados pela notação utilizada. A seguir, são dadas as principais explicações sobre
a notação adotada no texto e sobre como lidar com as suas eventuais ambiguidades.
Variáveis extensivas e intensivas
Variáveis extensivas dizem respeito a um corpo como um todo. Em geral,
mas não sempre, elas são denotadas por letras maiúsculas em itálico com um
til. Exemplos são
H˙ : a taxa de trabalho realizada sobre um corpo,
W
H a energia interna total de um corpo,
U:
H
P: a quantidade de movimento total de um corpo.
Variáveis intensivas (definidas em um ponto) e instantâneas em geral são
indicadas em maiúsculas em itálico também. . . ou então em letras gregas maiúsculas:
U: a energia interna específica (por unidade de massa),
U : a velocidade vetorial do fluido,
T : a temperatura,
t: o vetor de tensões,
T : o tensor de tensões,
℘: a densidade,
6
7
Notação
Θ: a temperatura potencial.
Observe a exceção para o vetor de tensões t.
Médias e flutuações turbulentas
A decomposição de Reynolds (Reynolds, 1895) é o procedimento padrão para
distinguir grandezas às quais preferimos dar um tratamento determinístico (as
“médias” de Reynolds) daquelas que necessitam ser modeladas como variáveis
aleatórias ou como processos estocásticos (as “flutuações turbulentas”). Talvez
a maneira mais antiga (mas ainda extremamente usada em engenharia) seja
ui = u i + ui0,
onde a barra indica a média, e a linha indica a flutuação, da grandeza ui . A
honrosa lista de autores que a utilizam inclui Monin e Yaglom (1971, equações
3.3–3.7, p. 207), Richardson (1920), e Stull (1988, equações 2.4.2k, 2.4.3a–c, p.
40–41). Durante muito tempo ela foi minha preferida, mas o seu efeito quando
se trabalha com a transformada de Fourier da flutuação,
1
0
D
ui ≡
u 0 (x,t ) e−i(k·x ) d3x,
(2π ) 3 R3 i
é feio e particularmente trabalhoso sempre que se escreve as equações espectrais
de turbulência à mão.
Tennekes e Lumley (1972) (equação 2.1.6, p. 28) preferem
ũi = Ui + ui ;
Hinze (1975) (p. 4) utiliza
Ui = U i + ui ,
enquanto que Pope (2000) usa um misto de
Ui = hUi i + ui
para a velocidade (equação 4.1, p. 83) e
ϕ = ϕ + ϕ0
para um escalar transportado (equação 4.36, p. 91).
Em todos os casos acima, o lado esquerdo é a grandeza intensiva instantânea, para a qual valem as leis de conservação e/ou as equações constitutivas
clássicas, e o lado direito é a soma de uma média probabilística e de uma flutuação turbulenta. Talvez o caso mais infeliz seja o da confusão entre densidade
e pressão. Utilizando-se por exemplo uma notação uniforme de letras maiúsculas para as grandezas instantâneas, e os símbolos clássicos p para (flutuação de)
pressão e ρ para (flutuação de) densidade, tem-se
P = hPi + p,
P = hPi + ρ,
8
Notação
onde P, além de ser um rô maiúsculo, infelizmente, é igual (a menos do tipo
itálico) ao P romano maiúsculo. A diferença é demasiadamente sutil para ser
aceitável, de forma que nenhum autor ousa na prática usar o símbolo P para indicar um rô maiúsculo. Muitos autores contornam este problema simplesmente
utilizando a hipótese de um escoamento com densidade estritamente constante
ou apelando velada ou abertamente para a aproximação de Boussinesq (sobre
a qual falaremos com um razoável nível de detalhe neste texto) e utilizando
apenas uma densidade de referência constante (digamos, ρr ) nas equações. Por
exemplo, Richardson (1920) sabia perfeitamente disto:
Note that there is no need to assume ρ to be independent of position. Reynolds assumed this, but for a reason that does not need
concern us. It will be necessary however to assume that ρ 0, the variation of density at a fixed point, is so much smaller in comparison
with ρ than is v 0∗ in comparison with v, that we may put ρ 0 = 0.
O outro problema de notação encontrado em livros de turbulência são as
flutuações de temperatura. A notação original de Reynolds,
T = T +T0
funciona bem, mas o uso estrito de maiúsculas-minúsculas preferido por autores
mais recentes produziria neste caso
T = hT i + t,
o que é desagradável, já que t está comprometido com a variável “tempo”.
Minha solução para estes dilemas é utilizar sucedâneos para as letras gregas maiúsculas que estão “faltando”, e letras maiúsculas pequenas (small caps)
alternativas quando as minúsculas já estiverem “comprometidas”. Em resumo,
a notação deste texto para a decomposição de Reynolds é
Ui = hUi i + ui
(velocidade),
P = hPi + p
(pressão),
T = hT i + T
℘= ℘ +ρ
(temperatura),
(densidade),
etc.. Infelizmente, nem tudo está perfeitamente resolvido; ainda restam dois
problemas.
Conflitos entre símbolos
Muitos símbolos utilizados neste texto possuem significados distintos em
termodinâmica e em mecânica, ou mesmo dentro da mecânica. Alguns casos
notórios (na notação deste texto) são
• F é a energia livre de Helmholtz; fi é uma força de corpo;
∗v
é o símbolo de Richardson para a velocidade
9
Notação
• G é a energia livre de Gibbs; д é o módulo da aceleração da gravidade; д
é o vetor aceleração da gravidade, e дi é sua i-ésima componente;
• t é o tempo; t é o vetor-tensão;
• T é a temperatura; T é o tensor de tensões,
etc..
Em lugar de tentar criar um número suficiente de símbolos novos (por exemplo, Batchelor (1967) utiliza e e não u para a energia interna específica), o que de
qualquer forma terminaria por esgotar o estoque de símbolos antes que todas
as grandezas estivessem representadas, eu preferi:
1. procurar separar os símbolos sempre que possível por capítulo ou pelo
menos por seção (por exemplo, a maior parte dos símbolos termodinâmicos está utilizada no capítulo sobre termodinâmica); e
2. deixar ao leitor atento a compreensão do significado dos símbolos em seu
contexto.
Variáveis aleatórias e suas realizações
Em teoria de probabilidades, é usual separar uma variável aleatória X de uma
particular realização ou valor de quantil x; isto facilita muito escrever coisas do
tipo:
“P (X ≤ x )
é a probabilidade de que a variável aleatória X seja menor ou igual que o valor x”.
Neste texto, entretanto, as letras maiúsculas representam valores instantâneos.
Em particular, as flutuações de velocidade ui , variáveis aleatórias extremamente
importantes, são denotadas em letras minúsculas. Infelizmente, não parece possível separar de forma “limpa” o símbolo de uma variável aleatória do símbolo
de uma particular realização ou de um quantil. O melhor que pode ser feito é
utilizar os argumentos da variável para explicitar a diferença. Assim, voltando
à decomposição de Reynolds, em geral teremos
U (x,t; ω) = hU i (x,t ) + u (x,t; ω).
Aqui, as variáveis aleatórias são função do elemento ω do espaço amostral Ω,
além de o serem da posição e do tempo. É conveniente imaginar Ω como uma
urna de sorteio, e ω como o particular valor sorteado, que neste caso vai definir
uma realização da função aleatória U (x,t; ω) ou u (x,t; ω).
“É função de . . . ”
Neste trabalho, quando uma variável ϕ qualquer é (por hipótese) uma função
univariada de uma outra variável k, nós escrevemos
ϕ := ff(k ).
Quando ϕ é uma função (multivariada) de k entre outras variáveis, nós escrevemos
ϕ := ff(k, . . .).
10
Notação
Quando ϕ não é função de k (mas é, possivelmente, função de outras variáveis),
dizemos ff:
ϕ :, ff(k );
Finalmente, ϕ pode ser uma constante:
ϕ := ¢
1
Introdução
Todo autor e todo curso se sente na obrigação de fornecer uma introdução de
“largo espectro” ao assunto que vai ser estudado. Este é, efetivamente, o espírito
deste primeiro capítulo. O objetivo geral deste curso é estudar os aspectos mais
teóricos e matemáticos da Teoria de Turbulência. Este é um desafio formidável.
Para se entender turbulência, é preciso antes de mais nada “vê-la”. Richardson a via como turbilhões, de diversos tamanhos, os maiores “alimentando” os
menores num processo “contínuo” até que as flutuações do escoamento fossem
amortecidas pela viscosidade. Isto é a essência do processo de transferência
inercial, não-linear, de covariâncias, conforme veremos neste curso (bem mais à
frente).
Portanto os pioneiros, Richardson, Taylor e Kolmogorov, tinham uma clara
noção de que existem “estruturas”, “pedaços” ou “entes” num escoamento turbulento em um continuum de escalas, e que o próprio conceito de “escala” é
essencial para a compreensão da turbulência.
No entanto, escala é um conceito “físico” ou “fenomenológico”, cuja exata definição matemática em termos dos campos de velocidade U (x,t ) ou de escalares
tais como a temperatura T (x,t ) é consideravelmente difícil, senão impossível.
Mesmo assim, é possível identificar diferentes escalas com diversas ferramentas
matemáticas, tais como:
• Análise espectral (provavelmente a mais antiga).
• Funções empíricas ortogonais.
• Diferentes algoritmos para a identificação de estruturas e sua decomposição.
• Ondeletas (Wavelets).
Essas “estruturas” de diversos tamanhos realmente existem em um escoamento turbulento, mas nós devemos ser cuidadosos em não equacioná-las demais (nem de menos!) com uma particular técnica matemática de identificá-las.
Várias fotografias e figuras coloridas interessantes existem no livro sobre
turbulência de Lesieur (1990), e também no de Frisch (1995) (que foi professor
de Lesiuer): dêem uma olhada nelas.
Existem algumas estruturas e alguns problemas clássicos relacionados um
pouco à instabilização de escoamentos, que estão relacionados com a questão
de turbulência:
11
12
1.1 – Probabilidade: variáveis aleatórias e valores esperados
625
620
℘c (mg m−3 )
615
610
605
600
595
590
0
100
200
300
400
500
600
tempo (s)
Figura 1.1: 10 minutos de medições de concentração de CO2 sobre uma grameira
em Tijucas do Sul, PR, em 2011-02-17, 10:30–10:40.
• O experimento de Reynolds: a forma “clássica” de apresentar a turbulência em cursos de graduação, ele ainda conserva um considerável charme
e didatismo.
• A “Rua de vórtices de von Kármán” (Kármán vortex street).
• Jatos e esteiras
• Turbulência atrás de uma grade em um túnel de vento (grid turbulence).
Nós estamos acostumados a identificar diversos fenômenos à nossa volta
como “aleatórios”: jogos de azar, envolvendo dados e cartas, e loterias, são talvez os mais comuns. Nós percebemos aleatoriadade também, entretanto, em
fenômenos que envolvem física: por exemplo, a velocidade de uma molécula
em um gás, as condições do tempo, e também em numerosos fenômenos de
escoamento de fluidos, tais com a superfície de um mar revolto e, é claro, escoamentos turbulentos.
A figura 1.1 é um exemplo disto: ela mostra a medição da densidade ℘c de
CO2 a cerca de 2 m acima do solo, durante 10 minutos, sobre um gramado. A
natureza errática de ℘c é inegável, e sugere que existe um componente aleatório
na turbulência.
Tratar um fenômeno como aleatório em geral é mais simples do que tentar
descrevê-lo em todos os seus detalhes, o que pode levar a uma complexidade
analítica ou computacional insuperável. Por exemplo, em princípio nós poderíamos usar as equações da dinâmica de corpos rígidos para tentar prever o
resultado do lançamento de um dado. Isto entretanto envolve conhecer em detalhes como o lançamento é feito; a resistência do ar durante a sua queda; a
natureza da superfície em que ele cai, etc.. Na prática, o esforço para modelar
cada lançamento individual é injustificável, e é preferível descrever o processo
como probabilístico, com 1/6 de probabilidade de ocorrência do número de cada
face.
13
A situação com turbulência é parecida: nós acreditamos que a turbulência é uma manifestação (ou uma realização) das equações de Navier-Stokes, as
equações diferenciais que regem o escoamento de um fluido. No entanto, os
detalhes associados com a definição das condições iniciais e de contorno, assim
como com a solução propriamente dita destas equações não-lineares, são tão
formidáveis que alternativas a um ataque direto, e infrutífero, são necessárias.
A teoria de probabilidade e processos estocásticos é um elemento essencial de
qualquer abordagem minimamente bem-sucedida ao problema de turbulência.
A melhor abordagem, que todos adotamos modernamente, para a teoria de
probabilidade é devida a Kolmogorov, sendo chamada de “abordagem axiomática”. Ela é consideravelmente mais elegante do que a alternativa anterior, histórica, de definir probabilidade como um limite da frequência empírica com que
um resultado (um “evento”) é observado. Uma abordagem elementar mas muito
clara pode ser encontrada em Papoulis (1991, capítulo 2); em ordem crescente de
rigor (mas inevitavelmente, também de dificuldade), outras abordagens podem
ser encontradas em James (1981), Rosenthal (2008) e Billingsley (1986).
A essência da abordagem axiomática de Kolmogorov é postular a exisência
de uma tripla de probabilidade (Ω, F ,P ) (Rosenthal, 2008, capítulo 2):
• Ω é um conjunto, denominado espaço amostral.
• F é um campo, um conjunto formado por sub-conjuntos de Ω. Mas não
todos os subconjuntos! (Mais sobre isto em um instante). Em linguagem
matemática muito técnica, F é uma algebra σ , ou um campo σ .
• P é a medida de probabilidade, que dá, para cada A ∈ F , a probabilidade
do ocorrência do conjunto — ou melhor, do evento — A. Mais especificamente, P é uma função do tipo
P : F → [0, 1]
A ∈ F 7→ P (A) ∈ [0, 1].
O segredo (e o enorme problema) da coisa é que F não é, em geral, igual ao
conjunto de todos os sub-conjuntos de Ω. Ele é formado apenas pelos conjuntos
A ⊆ Ω para os quais é possível definir P (A) (para mais detalhes, veja a excelente
exposição de Rosenthal (2008, capítulo 1)).
Dentro desta abordagem, uma variável aleatória VA é agora, a função mensurável U (ω):
U :ω →R
ω ∈ Ω 7→ U = U (ω).
Por definição, uma função U (ω) é mensurável se
{ω
∈ Ω | U (ω) ≤ U # } ∈ F ,
U# ∈ R
(Rosenthal, 2008, capítulo 3).
A pergunta mais importante do ponto de vista prático é: qual é a probabilidade de ocorrência de um certo intervalo de valores de U (ω)? A resposta é dada
com a definição da função de distribuição de U , F (U # ):
n
o
F (U # ) ≡ P ω | U (ω) ≤ U # .
(1.1)
14
1.2 – Processos estocásticos
Em particular, fica então evidente que é necessário que U (ω) seja mensurável
para que F (U # ) possa ser definida em termos da medida de probabilidade P.
Talvez o descritor mais comum de uma VA seja a sua média, ou valor esperado. Ela é dada por uma integral de U (ω) sobre Ω, a saber
U (ω) dP (ω).
(1.2)
hU i ≡
Ω
A definição das integrais do tipo (1.2) é tecnicamente muito elaborada, e passa
por um assunto denominado Teoria da medida; talvez um tratado definitivo sobre o tema, em conexão com a teoria de probabilidade, seja Billingsley (1986).
Em engenharia, nós estamos normalmente acostumados com o cálculo de integrais sobre intervalos de números reais, e não em conjuntos mais genéricos e
abstratos tais como Ω (cuja natureza sequer foi definida acima!). Felizmente,
vem em nosso auxílio o seguinte teorema, que nós citamos sem prova (Rosenthal, 2008, Teorema 6.1.1):
Teorema de mudança de variáveis: Dada uma tripla de probabilidade (Ω, F ,P ),
seja U uma variável aleatória com medida de probabilidade P e distribuição F .
Então, para qualquer função mensurável д : R → R,
(1.3)
д(U (ω))dP (ω) = д(t ) dF (t ).
Ω
R
Observações:
1. O teorema (1.3) é também a definição do valor esperado de uma função
д(U ):
д(U (ω))dP (ω).
(1.4)
д(U ) ≡
Ω
2. Em particular, quando д(t ) = t (a identidade), nós obtemos a expressão
para o valor esperado de U :
(1.5)
hU i = U dF (U ).
R
3. Finalmente, se F (U ) for diferenciável, e se existir a função densidade de
probabilidade
dF
f (U ) ≡
,
(1.6)
dU
segue-se que
(1.7)
hU i = U f (U ) dU .
R
Esta última definição de hU i talvez seja a mais comum em cursos introdutórios de probabilidade.
1.2 – Processos estocásticos
Com as ferramentas da seção anterior, nós agora definimos brevemente o
que são
15
1.3 – A decomposição em média e flutuação, e os postulados de Reynolds
4
U ( t, ω1 )
2
0
−2
−4
0
100
200
0
100
200
0
100
200
ω1
t
300
400
500
300
400
500
300
400
500
4
2
U ( t, ω2 )
ω2
ω3
0
−2
−4
Ω
t
4
U ( t, ω3 )
2
0
−2
−4
t
Figura 1.2: Ilustração de um processo estocástico univariado U (t; ω): as unidades de U e t são arbitrárias.
Processo estocásticos: Seja F o espaço das funções de x ∈ R3 , e t ∈ R, em
R. Um processo estocástico é uma função
U :Ω→F
ω 7→ U (x,t; ω).
Em outras palavras, a cada “sorteio” ω, em vez de o resultado do sorteio
ser um número real (que é a definição de VA), o resultado do sorteio agora é
uma função completa U de x e t. Nós dizemos que U é uma função aleatória
(note que não há contradição nesta terminologia!). O significado de um processo
estocástico está esboçado graficamente na figura 1.2. Por simplicidade, na figura
a função aleatória depende apenas de uma variável (t).
A figura 1.2 dá um exemplo da idéia de um conjunto de realizações da variável
U (t ) (na literatura de língua inglesa, um ensemble). Para que as médias de U
façam sentido, é preciso que elas sejam tomadas sobre todos os “membros” do
conjunto. Note entretanto que é exatamente isto o que faz a definição de valor
esperado (1.2): o papel de um “membro” do conjunto é desempenhado por um
particular ω ∈ Ω.
1.3 – A decomposição em média e flutuação, e os postulados
de Reynolds
De agora em diante nós vamos postular que em um escoamento turbulento
cada variável Ui é um processo estocástico do tipo
Ui = Ui (x,t; ω).
(1.8)
16
1.3 – A decomposição em média e flutuação, e os postulados de Reynolds
Como vimos na seção 1.2, uma realização do processo é uma função de x e t
observada para um particular ω, ou ainda: cada ω corresponde a uma realização
diferente do processo estocástico subjacente.
Dada uma variável Ui em um escoamento turbulento, a decomposição de Reynolds consiste em escrever
Ui = hUi i + ui .
(1.9)
Uma das principais utilidades da decomposição de Reynolds é separar o escoamento em uma uma variável determinística hUi i (que pode ou não variar no
espaço e no tempo) e em uma flutuação turbulenta ui , que é uma VA com valor
esperado nulo. De fato, por definição (ver (1.2)) temos que
Ui (x,t; ω) dP (ω).
(1.10)
hUi i (x,t ) =
ω∈Ω
Note que hUi i é determinística por definição. A média de população de ui então
será
hui i = hUi − hUi ii
(Ui (x,t; ω) − hUi i (x,t )) dP (ω)
=
ω∈Ω
Ui (x,t; ω) dP (ω) − hUi i (x,t )
=
ω∈Ω
ω∈Ω
dP (ω)
= hUi i (x,t ) − hUi i (x,t ) = 0.
(1.11)
Utilizando (1.9) e (1.10), nós provaremos agora os demais “postulados” de
Reynolds:
hhUi ii =
hUi i (x,t ) dP (ω)
ω∈Ω
= hUi i (x,t )
dP (ω)
ω∈Ω
= hUi i (x,t ).
(1.12)
D D EE ui U j =
D E
ui (x,t; ω) Uj (x,t ) dP (ω)
ω∈Ω
D E
= Uj (x,t )
ui (x,t; ω) dP (ω)
ω∈Ω
D E
= Uj hui i = 0.
(1.13)
Finalmente, as derivadas em relação a xi e a t comutam com a operação de
média probabilística:
+ *
∂Ui (x,t; ω)
∂Ui
=
dP (ω)
∂t
∂t
ω∈Ω
"
#
∂
=
Ui (x,t; ω)dP (ω)
∂t ω∈Ω
∂hUi i
=
.
(1.14)
∂t
17
1.4 – Independência ou morte
A prova do resultado para as derivadas parciais em relação a xi ,
*
+
∂Ui
∂hUi i
=
∂x j
∂x j
(1.15)
é similar à prova de (1.14), e deixada para o leitor.
O conjunto de relações (1.11)–(1.15) é usualmente conhecido na literatura
com o nome de postulados de Reynolds. À luz da sua dedução rigorosa acima, o
nome mais adequado talvez fosse lemas de Reynolds.
Se duas variáveis U e V são independentes, é relativamente fácil provar que
hUV i = hU i hV i
Também é fácil provar que se um processo estocástico é estacionário:
∂ D 2E
U = 0,
∂t
+
*
∂U
U
= 0,
∂t
*
+
∂u
∂hU i
+ u
= 0,
hU i
∂t
∂t
*
+
∂u
u
=0
∂t
18
É mais difícil mostrar que, se u e v são independentes, então
+
*
∂v
= 0.
u
∂t
Uma forma de chegar perto é
∂
∂huvi
∂hvi ∂hui
(hui hvi) = hui
=
+
hvi
∂t
∂t
∂t
∂t
(1.16)
Se, como eu já estava pensando quando mudei de notação, u e v são flutuações
turbulentas, entretanto, hui = hvi = 0; nesse caso, se u e v são independentes,
temos o resultado trivial de que
huvi = 0,
∂huvi
= 0.
∂t
Vejamos, alternativamente, onde chegamos com
*
+ *
+
∂(uv)
∂u
∂v
+v
= u
∂t
∂t
∂t
+ *
+
*
∂u
∂v
+ v
=0 ⇒
= u
∂t
∂t
*
+
*
+
∂v
∂u
u
=− v
∂t
∂t
(pois u e v são independentes).
(1.17)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)
2
Termodinâmica de uma mistura
diuluída
2.1 – Regra de fase de Gibbs e relações de Maxwell
Para uma mistura de nc componentes sem reações químicas, pode-se deduzir
a regra de fase de Gibbs (Adkins, 1983, p.223, eq. 11.45):
nд = 2 + nc − n f ,
(2.1)
onde nд é o número de graus de liberdade do sistema, e n f é o número de fases. No caso de nc = 2 e de apenas uma fase (n f = 1), o número de graus de
liberdade do sistema é nд = 2 + 2 − 1 = 3. Consequentemente, a equação de
estado para uma mistura binária monofásica deve depender de 3 variáveis de
estado independentes. Considere agora uma mistura de dois componentes com
densidades ρ1 e ρ2 , tais que ρ1 ρ2 , ou seja: o sistema é uma mistura diluída
da substância 2 na substância 1. Defina a concentração mássica da substância
K:
ρK
,
(2.2)
cK ≡
ρ
onde
ρ = ρ1 + ρ2
(2.3)
é a densidade total do sistema; isto produz imediatamente as restrições
c1 + c2 = 1,
dc1 = −dc2 ,
(2.4)
(2.5)
de modo que dada a concentração de um componente, a concentração do outro
está automaticamente determinada. Dependendo da conveniência, portanto,
nós utilizaremos o símbolo c como sinônimo de c2 .
Pela regra de fase de Gibbs, a energia interna (e de fato qualquer outro potencial termodinâmico) deve ser uma função de 3 variáveis de estado. Escolhendose as 3 variáveis de estado “naturais” para a energia interna por unidade de
massa U ,
U = U (v, s, c),
(2.6)
onde v é o volume específico (volume por unidade de massa)
V≡
19
1
℘
,
(2.7)
20
2.1 – Regra de fase de Gibbs e relações de Maxwell
s é a entalpia específica (entalpia por unidade de massa) e c = c2 é a concentração mássica do componente 2 definida em (2.2).
A diferencial total de U será
dU = −pdv + tds +
2
X
µK dcK
K=1
= −pdv + tds + adc.
(2.8)
onde os µK ’s são os potenciais químicos dos componentes da mistura, e
a = µ2 − µ1
(2.9)
é a afinidade da mistura (Kondepudi e Prigogine, 1998, p. 114). Para se obter
(2.8), utilizou-se (2.5). Um de nossos principais objetivos neste capítulo é a obtenção de uma expressão para a afinidade a da mistura em termos de grandezas
físicas mensuráveis, tais como a temperatura ou calores específicos.
A partir de (2.8), obtém-se 3 relações de Maxwell:
!
!
∂p
∂t
∂ 2U
∂ 2U
=
⇒
−
=
,
(2.10)
∂s∂v ∂v∂s
∂s v,c
∂v s,c
!
!
∂p
∂ 2U
∂a
∂ 2U
=
⇒
−
=
,
(2.11)
∂c∂v ∂v∂c
∂c v,s
∂v c,s
!
!
∂ 2U
∂t
∂a
∂ 2U
=
⇒
−
=
.
(2.12)
∂c∂s ∂s∂c
∂c s,v
∂s c,v
Para a entalpia específica h,
h ≡ U + pv,
dh = vdp + tds + adc,
e as 3 relações de Maxwell a partir de (2.14) são
!
!
∂t
∂v
=
,
∂s p,c
∂p s,c
!
!
∂v
∂a
=
,
∂c p,s
∂p c,s
!
!
∂t
∂a
=
.
∂c s,p
∂s c,p
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Para a energia livre de Helmholtz específica f,
f ≡ u − st,
df = −pdv − sdt + adc,
e as 3 relações de Maxwell a partir de (2.19) são
!
!
∂p
∂s
−
=−
,
∂t v,c
∂v t,c
(2.18)
(2.19)
(2.20)
21
2.2 – Mistura diluída de 2 gases ideais
!
!
∂p
∂a
−
=+
,
∂c v,t
∂v c,t
!
!
∂s
∂a
−
=+
.
∂c t,v
∂t c,v
(2.21)
(2.22)
Finalmente, para a energia livre de Gibbs específica,
g ≡ h − st,
dg = vdp − sdt + adc,
e as 3 relações de Maxwell a partir de (2.24) serão
!
!
∂v
∂s
+
=−
,
∂t p,c
∂p t,c
!
!
∂v
∂a
+
=+
,
∂c p,t
∂p c,t
!
!
∂s
∂a
=+
.
−
∂c t,p
∂t c,p
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
2.2.1 – Equações de estado
Considere agora 2 gases ideais. Cada gás ideal “K” da mistura é definido
pela equação de estado
pK V = NK R t,
MK R
pK =
t,
V MK
e definindo-se a constante e a densidade do gás K
obtém-se
ou, alternativamente,
RK ≡ R/MK ,
MK
,
ρK ≡
V
(2.28)
pK = ρK RK t,
(2.30)
pK vK = RK t,
(2.31)
(2.29)
e pela equação para sua energia interna específica,
UK = UK0 + cvK (t − t0 )
(2.32)
(Callen 1985, p. 66; Adkins 1983, p. 116), onde o calor específico a volume
constante do gás K é dado por
cvK = Z K RK
(2.33)
22
Tabela 2.1: Propriedades de gases atmosféricos a 0◦ C e 101325 Pa †
propriedade →
MK
RK Z K cpK (calculado) cpK (medido)
gás ↓
10−3 kg mol−1 J kg−1 K−1
J kg−1 K−1
J kg−1 K−1
N2
28,013
296,80 5/2
1038,80
1037
O2
31,999
259,83 5/2
909,40
909
H2 O
18,016
461,48 3
1845,92
1847
† Fontes: Fleagle e Businger (1980), Müller (1985), Iribarne e Godson (1986).
com Z K = 3/2, 5/2 e 3 para gases monoatômicos, biatômicos e com mais de
dois atómos, respectivamente (Müller, 1985, p. 9, eq. 1.20). À temperatura
de referência t0 a energia interna possui um valor de referência arbitrário UK0 .
Além disto, pK é a pressão parcial de vapor do gás K, V é o volume total ocupado,
NK é o número de moles do gás K, R é a constante universal dos gases, MK é a
massa do gás K e MK é a massa molar do gás K.
A relação geral entre os calores específicos a volume constante cv e a pressão
constante cp em uma substância pura é (Kondepudi e Prigogine, 1998, p.46)
! #
!
"
∂v
∂U
(2.34)
cp − cv = p +
∂v t ∂t p
de forma que da equação de estado (2.31) tem-se
cpK − cvK = RK .
(2.35)
A tabela 2.2.1 fornece algumas propriedades de gases atmosféricos e a comparação entre os valores calculados de cpK a partir de (2.33) e (2.35) com valores
medidos.
2.2.2 – Demais potenciais termodinâmicos de um gás ideal
Entalpia Combinando-se (2.31) e (2.32), obtém-se
hK ≡ UK + pK vK = UK0 + cvK (t − t0 ) + RK t
= UK0 + RK t0 + (cvK + RK )(t − t0 )
= hK0 + (cvK + RK )(t − t0 )
= hK0 + cpK (t − t0 ).
(2.36)
Entropia A primeira lei da termodinâmica para o K-ésimo componente da
mistura de gases é
dUK = tdsK − pK dvK ,
(2.37)
e como UK em um gás ideal depende somente de t,
RK t
dvK ,
vK
dt
dvK
dsK = cvK
+ RK
,
t
vK
ρK
t
sK − sK0 = cvK ln
− RK ln
.
t0
ρK0
cvK dt = tdsK −
(2.38)
23
Alternativamente, use
pK dvK + vK dpK = RK dt,
dvK dpK dt
+
=
,
vK
pK
t
(2.39)
(2.40)
para obter
dt
dpK
− RK
,
t
pK
t
pK
= cpK ln
− RK ln
.
t0
pK0
dsK = (cvK + RK )
sK − sK0
(2.41)
Novamente, a entropia de referência à temperatura T0 é sK0 . A 3a lei da termodinâmica prevê que a entropia deve se anular quando a temperatura termodinâmica atinge o zero absoluto, de forma que sK0 não deve ser arbitrária; entretanto,
nós vamos procurar abordar o problema mais à frente utilizando tabelas de entalpias e entropias de formação dos constituintes da mistura, e de certa forma
evitando a 3a lei.
Energia livre de Gibbs específica Para um gás ideal “K” com equação de
estado (2.31), a relação de Maxwell (2.24) resulta em
!
RK t
∂gK
= vK =
,
(2.42)
∂pK t
pK
e agora integrando em relação a p (a t constante) nós obtemos
!
pK
gK (T , pK ) = G (T ) + RK t ln
,
(2.43)
pK0
onde G (T ) é uma função somente da temperatura, a determinar. Na verdade,
para um gás ideal é possível fazer muito melhor do que isto utilizando-se simplesmente as definições de hK (2.36) e sK (2.38):
gK = hK − tsK
#
ρK
t
= hK0 + cpK (t − t0 ) − t sK0 + cvK ln
− RK ln
t0
ρK0
#
"
ρK
t
= hK0 + RK (t − t0 ) + cvK (t − t0 ) − t sK0 + cvK ln
− RK ln
t0
ρK0
ρK
t0
t0
t0
= (hK0 − tsK0 ) + RK t 1 −
+ cvK t 1 −
+ cvK t ln
+ tRK ln
t
t
t
ρK0
t0 t0 = (hK0 − t0 sK0 ) −s0K t 1 −
+ RK t 1 −
|
{z
}
t
t
дK 0
ρK
t0
t0 + cvK t 1 −
+ ln
+ tRK ln
t
t
ρK0
ρK
t0 t0
t0 = дK0 + (RK − sK0 )t 1 −
+ cvK t 1 −
+ ln
+ tRK ln
(2.44)
t
t
t
ρK0
"
Agora, para t0 /t ≈ 1, se expandirmos ln(t0 /t) em série de Taylor em torno de
1 até ordem 2, encontraremos
t − t 2
ρK
t0 1
0
gK ≈ gK0 + (RK − sK0 )t 1 −
+ RK t ln
(2.45)
− cvK t
t
2
t
ρK0
24
É importante observar que há necessariamente duas constantes de integração a determinar em (2.44) ou em (2.45). Este é o mesmo resultado obtido por
Müller (1985) em sua equação (6.72). No nosso caso, nós retivemos a temperatura de referência t0 de maneira que o argumento de ln(·) permanece sempre
adimensional. O conhecimento de t0 também será importante quando utilizarmos na próxima sub-seção os conceitos de entalpia, entropia e energia livre de
Gibbs de formação de uma substância.
2.2.3 – A afinidade de uma mistura de gases ideais
A pressão total de uma mistura de gases ideais será a soma das pressões
parciais de vapor (a lei de Dalton), do que se obtém a equação de estado da
mistura:
X
p=
pk
= ρ1R 1 t + ρ2R 2 t,
#
"
ρ2
ρ1
R1t + R2t
=ρ
ρ
ρ
= ρ [c1R 1 + c2R 2 ] t
= ρ [(1 − c)R 1 + cR 2 ] t
= ρ [R 1 + (R 2 − R 1 )c] t.
(2.46)
Note que a mistura se comporta como se fosse um gás ideal com constante
R(c) = R 1 + (R 2 − R 1 )c dependente da concentração c.
Além disto, pode-se mostrar que para uma mistura de gases ideais a pressão,
a entropia e todos os potenciais termodinâmicos são iguais às somas das quantidades correspondentes de cada gás (Adkins, 1983, p. 215). Nós vamos usar este
resultado geral para obter algumas relações de interesse. Por exemplo, para a
energia interna,
U = U1 + U2 = U1 M1 + U2 M2 ⇒ U = c1U1 + c2U2 .
(2.47)
Analogamente, a entalpia e a entropia específicas são dadas por
h = c1 h 1 + c2 h 2 ,
s = c1 s 1 + c2 s 2 .
(2.48)
(2.49)
Segue-se de (2.48) que o calor específico a pressão constante da mistura é dado
por
!
!
!
∂h
∂h1
∂h2
cp ≡
= (1 − c)
+c
∂t p,c
∂t p
∂t p
= (1 − c)cp1 + ccp2
f
g
= cp1 + (cp2 − cp1 )c .
(2.50)
Note que enquanto que v, s, h, etc., são grandezas específicas por unidade de
massa total M, U1 e U2 são energias internas por unidade de massa de cada gás,
M1 e M2 (o mesmo acontecendo com h1 , h2 , s1 , s2 , etc.). Aqui, as relações-chave
são
v
v MK
v=
=
= vK cK
(para cada K),
(2.51)
M MK M
25
dv = cK dvK + vK dcK
(2.52)
Finalmente, para obtermos a afinidade a da mistura de 2 gases ideais, nós
precisamos permitir que c varie. Diferenciando (2.47), obtemos
X
(cK dUK + UK dcK )
dU =
X
(cK (tdsK − pK dvK ) + UK dcK ) .
=
(2.53)
Diferenciando (2.49),
X
ds =
(cK dsK + sK dcK ),
X
X
t
cK dsK = tds −
tsK dcK ,
(2.54)
e utilizando (2.51), (2.52) e (2.54) em (2.53):
X
X
X
dU = tds −
tsK dcK −
pK (dv − vK dcK ) +
UK dcK
X
X
X
X = tds −
pK dv −
tsK dcK +
pK vK dcK +
UK dcK
X
= tds − pdv +
(UK + pK vK − tsK )dcK
X
= tds − pdv +
gK dcK .
(2.55)
O resultado, comparado com (2.8), mostra que
µK = gK ,
(2.56)
ou seja: os potenciais químicos de cada componente da mistura são iguais à
respectiva energia livre de Gibbs da substância pura correspondente (ambos por
unidade de massa); portanto, a afinidade de uma mistura de dois gases ideais é,
simplesmente
a = g2 − g1 .
(2.57)
A rigor, este mesmo resultado poderia ter sido obtido muito mais rapidamente
por meio da equação de Euler (Callen, 1985, p. 59),
ts = U + pv −
N
X
µK cK ;
(2.58)
k=1
fazendo N = 1 para o caso de um único componente, e então c K ≡ 1, obtém-se
µK = UK + pK vK − tsK ≡ gK .
(2.59)
26
Tabela 2.2: Entalpia e energia livre de Gibbs de formação, e entropia padrão de
gases atmosféricos a 298,15 K e 100.000 Pa †
propriedade →
∆ f h0
∆ f g0
s0
gás ↓
MJ kg−1 MJ kg−1 kJ kg−1 K−1
N2
0
0
6,8383
O2
0
0
6,4086
H2 O
−13,423 −12,688
10,479
† Fontes: NIST Chemistry WebBook, http://webbook.nist.gov/chemistry.
3
As equações diferenciais de
transporte
A turbulência é uma consequência da não-linearidade das equações diferenciais que governam o escoamento de fluidos e o transporte de escalares (vapor
d’água, calor, CO2 , etc.). Neste capítulo nós vamos revisar de maneira breve a
dedução destas equações a partir de leis de conservação da física e de equações
constitutivas.
3.1 – Notação indicial
Uma boa parte de nossas manipulações requer o uso de notação indicial, e
dos conceitos de vetor e de tensor. De maneira extremamente breve, a notação
indicial envolve simplesmente a supressão dos símbolos de somatório. Desta
forma, um vetor em coordenadas cartesianas na base canônica {e 1 ,e 2 ,e 3 },
V = V1e 1 + V2e 2 + V3e 3 =
3
X
Vi e i ,
(3.1)
i=1
é escrito simplesmente como
V = Vi e i .
(3.2)
A regra geral é que o aparecimento de um mesmo índice duas vezes em uma
equação indica soma neste índice. Algumas vezes, entretanto, esta regra não se
aplica. Por exemplo, eu posso querer me referir a V1e 1 ou V2e 2 ou V3e 3 . Nesse
caso, usarei parênteses em torno dos índices, para informar que não há uma
soma implícita nestes índices: V(i) e (i) .
3.2 – Continuidade
Considere um volume V , delimitado por uma superfície fechada S . O balanço de massa total para V é dado pela equação de balanço integral
∂
℘ dV +
℘(n · U ) dS
(3.3)
0=
∂t V
S
onde ℘ é a massa específica, ou densidade, do fluido e U é o vetor velocidade
do escoamento em cada ponto.
Em (3.3), V é um volume material (Slattery, 1972), ou seja, o volume de
um corpo que ocupa, instantaneamente, V . Em Mecânica dos Fluidos básica,
27
28
3.3 – Misturas
frequentemente as análises se concentram sobre a região do espaço definida por
V , que é então denominado volume de controle (Fox e McDonald, 1981).
A idéia de volume material é talvez um pouco mais rica: se considerarmos
que cada ponto de V representa um ponto material imerso no campo de velocidade U no instante t = 0, e seguirmos a trajetória de cada uma dessas partículas,
o volume ocupado pelas mesmas em um instante posterior é o volume do mesmo
corpo nesse último instante.
O vetor unitário normal à superfície de controle em cada ponto é n. A integral de superfície acima pode ser transformada em uma integral de volume pelo
Teorema da Divergência:
∂( ℘Ui )
∂
dV ,
℘ dV +
0 =
∂t V
∂xi
V
!
∂ ℘ ∂( ℘Ui )
0 =
+
dV .
(3.4)
∂t
∂xi
V
Esboçamos agora o argumento do Teorema da Localização: o volume V para
o qual a equação acima se aplica é totalmente genérico: de fato, (3.4) acima
aplica-se a qualquer volume dentro de um escoamento. Mas isso só é possível
se o integrando for identicamente nulo, ou seja:
∂ ℘ ∂( ℘Ui )
+
= 0.
∂t
∂xi
(3.5)
Uma outra forma útil da equação da continuidade é
∂℘
∂℘
∂Ui
+ Ui
+℘
= 0,
∂t
∂xi
∂xi
D℘
∂Ui
+℘
=0
Dt
∂xi
(3.6)
Finalmente, se utilizarmos o volume específico,
V≡
1
℘
,
(3.7)
obteremos uma terceira forma útil da equação da continuidade:
∂Ui
1 DV
=
∂xi
V Dt
(3.8)
Fisicamente, (3.8) significa que a divergência do campo de velocidade é igual à
taxa temporal de variação do volume de fluido (por unidade de volume!) em
cada ponto.
3.3 – Misturas
Nesta seção nós vamos seguir a essência da abordagem de Bird et al. (1960,
cap. 16): ela permite entender claramente o significado de difusão molecular de
uma substância em um fluido, e em nossa opinião evita totalmente confusões
comuns a respeito do papel da difusão e da advecção em meios contínuos.
29
3.3 – Misturas
Além disso, nós vamos considerar, por simplicidade, apenas misturas binárias, com um soluto A dissolvido em um solvente B. A generalização para
misturas com mais de 2 componentes é óbvia.
Em uma mistura binária nós postulamos a existência em cada ponto de uma
densidade para cada componente, ℘A e ℘B , de tal maneira que as massas totais
de A e B em um volume material V são, respectivamente,
MA =
℘A dV ,
MB =
℘B dV .
(3.9)
V
V
É evidente que, em cada ponto, devemos ter
℘ = ℘A + ℘B .
(3.10)
Note que a abordagem postulatória de (3.9) é compatível com a visão tradicional em Mecânica do Contínuo. Prosseguindo, nós também postulamos a
existência de campos de velocidade para cada espécie, U A e U B , cujas integrais
em um volume material são a quantidade de movimento total de cada espécie,
respectivamente P A e P B . Por analogia com (3.9)–(3.10), temos
℘BU B dV .
(3.11)
℘AU A dV ,
PB =
PA =
V
V
Agora, a quantidade de movimento total do corpo que ocupa V deve ser
P=
℘U dV ,
(3.12)
V
onde U é a velocidade do fluido em cada ponto, de tal forma que devemos ter
℘U = ℘AU A + ℘BU B .
(3.13)
O ponto fundamental agora é perceber que é extremamente difícil, senão
impossível, medir diretamente U A e U B . Em seu lugar, é muito mais simples
trabalhar unicamente com o campo de velocidade U do fluido como um todo
em cada ponto. Para tanto, nós definimos o vetor fluxo difusivo de massa de A:
J A = ℘A [U A − U ] .
(3.14)
A concentração mássica de A é
CA ≡
℘A
,
℘
(3.15)
e vale a lei de Fick em cada ponto:
J A = −℘νA ∇C,
(3.16)
onde νA é a difusividade molecular de A na mistura. Relações totalmente análogas também valem para o solvente B.
Finalmente, das equações (3.10) e (3.13) obtém-se:
J A + J B = ℘A [U A − U ] + ℘B [U B − U ]
30
3.4 – Quantidade de movimento
= ℘AU A + ℘BU B − ( ℘A + ℘B ) U
= ℘U − ℘U = 0.
(3.17)
Essa equação é válida em todos os pontos de um fluido, exceto talvez em uma
superfície onde haja um fluxo líquido de A para dentro da massa de fluido.
Prosseguindo, por analogia com (3.3), o balanço integral de A é tão simples
quanto
∂
0=
℘A dV + ρA (n · U A ) dS
∂t V
S
∂
℘A dV + ρA (n · [U A − U + U ]) dS;
=
∂t V
S
∂
℘A dV + ℘A (n · U ) dS,
− ℘A (n · [U A − U ]) dS =
∂t V
S
S
∂
− (n · J A ) =
℘A dV + ℘A (n · U ) dS,
(3.18)
∂t V
S
S
onde a introdução de J A na última linha segue-se de sua definição (3.14). Uma
dedução totalmente análoga vale para B.
A aplicação dos teoremas da divergência e da localização para A e para B
produz, agora, duas equações diferenciais de balanço de massa:
∂JA,i
∂ ℘A ∂ ℘AUi
+
=−
,
∂t
∂xi
∂xi
∂JB,i
∂ ℘B ∂ ℘BUi
+
=−
.
∂t
∂xi
∂xi
(3.19)
(3.20)
A soma de (3.19) e (3.20) tem que restaurar (3.5); dada a equação (3.10), segue-se
necessariamente que
∂JA,i ∂JB,i
+
≡ 0.
(3.21)
∂xi
∂xi
(3.21) vale sempre; duas coisas podem acontecer. No caso mais geral, qualquer
difusão molecular do soluto A é compensada por difusão molecular, também do
solvente B, em um certo sentido, “no sentido oposto”. Note entretanto que (3.21)
estipula que é a soma das divergências dos fluxos difusivos de massa que é nula.
Portanto, uma situação particular que pode ocorrer é o caso em que J A = const.
e J B = 0; portanto é possível ocorrer fluxo difusivo apenas do soluto, desde
que a sua divergência seja nula. É comum a confusão entre um fluxo e sua
divergência nas equações de um meio contínuo, e este é um bom exemplo para
explicitar sua diferença.
O balanço integral geral de quantidade de movimento para um volume material V é
∂
Fs + Fc =
℘U dV +
℘U (n · U ) dS,
(3.22)
∂t V
S
onde F s são as forças de superfície atuando sobre o volume de controle, e F c são
as forças de corpo. A equação a seguir,
Fs =
t dS =
n · T dS =
n jTji e i dS,
(3.23)
S
S
S
31
condensa um volume considerável de conhecimento. A força de superfície é
dada pela integral de superfície do vetor-tensão t. Este por sua vez é escrito na
forma t = n · T , isto é, como o pré-produto do vetor unitário normal n pelo
tensor de tensões T . Finalmente, a equação constitutiva para o tensor de tensões
T em função do primeiro coeficiente de viscosidade µ, do segundo coeficiente
de viscosidade λ e da pressão termodinâmica P é
!
∂Uk
δ ji + 2µS ji .
(3.24)
Tji = −P + λ
∂xk
onde
!
1 ∂Uj ∂Ui
S ji =
+
(3.25)
2 ∂xi ∂x j
é a taxa de deformação. A integral de superfície correspondente à força de superfície é transformada em uma integral de volume por intermédio do Teorema
da divergência:
#
"
!
!
#
"
∂Tji
∂P
∂ ∂Uk
∂ −
dV e i =
+λ
+ 2µ
S ji dV e i .
Fs =
∂xi
∂xi ∂xk
∂x j
V
V ∂x j
(3.26)
Para obter (3.26), nós supusemos µ constante, e o “retiramos” da operação de
diferenciação. Embora estritamente isso não seja verdade, é usual desconsiderar
as variações de µ (e eventualmente de λ) com a posição na dedução das equações
de Navier-Stokes.
A força de corpo num referencial em rotação deve incluir a aceleração de
Coriolis: ϖ é a velocidade angular da terra, д é a aceleração da gravidade (o que
inclui os demais efeitos de a Terra ser um referencial não-inercial — veja Liggett
(1994)), e
"
#
℘ дi − 2ϵijk ϖ jUk dV e i .
℘ д − 2ϖ × U dV =
(3.27)
Fc =
V
V
Os termos do lado direito são
"
#
∂ ℘Ui
∂
℘U dV =
dV e i ,
∂t V
∂t
V
"
#
"
U ℘(U · n) dS =
Ui ℘Uj n j dS e i =
S
S
V
(3.28)
#
∂ ℘UiUj dV e(3.29)
i.
∂x j
Reunindo todos os termos,
"
∂ ℘Ui ∂ ℘Ui Uj ! #
∂ Tji + ℘ дi − 2ϵijk ϖ jUk −
−
dV e i = 0.
∂t
∂x j
V ∂x j
(3.30)
Pelo teorema da localização, o integrando deve ser identicamente nulo; então:
∂ ℘Ui ∂ ℘Ui Uj
∂ +
= ℘ дi − 2ϵijk ΩjUk +
Tji .
∂t
∂x j
∂x j
(3.31)
Expandindo o lado esquerdo e simplificando-o por meio de (3.5), e explicitando
Tji com (3.24):
!
∂Ui
∂Ui
∂ ℘
+ Uj
= ℘ дi − 2ϵijk ϖ jUk +
Tji ,
(3.32)
∂t
∂x j
∂x j
32
3.5 – Energia
!
∂Sij
1 ∂
∂Uk
∂Ui
∂Ui
+ Uj
= дi − 2ϵijk ϖ jUk +
−P + λ
+ 2νu
.
∂t
∂x j
℘ ∂xi
∂xk
∂x j
(3.33)
onde nós usamos (3.24) e (3.26), e
℘ νu ≡ µ
(3.34)
define a viscosidade cinemática νu .
Embora (3.33) seja provavelmente a forma mais “clássica” de apresentar as
equações de Navier-Stokes compressíveis, ela não será a mais útil quando precisarmos lançar mão da aproximação de Boussinesq no capítulo 5. Por isso,
preferimos escrever a equação para quantidade de movimento na forma totalmente equivalente
!
∂
∂Sij
∂( ℘Ui ) ∂ ℘Ui Uj
∂Uk
+
= ℘ дi − 2ϵijk ϖ jUk +
−P + λ
+2µu
. (3.35)
∂t
∂x j
∂xi
∂xk
∂x j
3.5 – Energia
A equação de balanço da energia total (ou seja: interna e cinética) para um
volume de controle é
˙ H˙ H˙ ∂
H
E ℘(n · U ) dS.
(3.36)
E ℘ dV +
W +Q +I =
∂t V
S
H˙ é a taxa de trabalho realizada sobre o volume de controle pelas forças
onde W
H˙ é o fluxo de calor por condução para dentro do vode superfície e de corpo, Q
˙
lume de controle e H
I é a taxa de aporte de energia para dentro do volume de
controle devido à difusão de massa e consequente mudança relativa de composição química da mistura. Os tis servem para diferenciar valores totais de
H é o trabalho sobre um
valores por unidade de massa; assim (por exemplo), W
corpo, enquanto que W é o trabalho por unidade de massa. A energia específica
(por unidade de massa) é
1
E = Ui Ui + U,
(3.37)
2
onde U é a energia interna por unidade de massa. Note que nós não incluímos
nenhum termo de energia potencial, porque Ẇ contabilizará todas as forças
atuando sobre o volume de controle, incluindo as conservativas. O cálculo de
cada um dos termos do lado esquerdo de (3.36) é feito como se segue:
˙H
Q=−
(n · q) dS =
℘cpνT (n · ∇T ) dS
S
S
!
∂T
∂
∂T
=
℘cpνTn j dS =
℘cpνT
dV ,
(3.38)
∂x j
∂x j
S
V ∂x j
onde q é o vetor fluxo de calor. Em notação indicial, a equação constitutiva para
a transferência de calor por condução, ou difusão molecular, é
qi = −℘cp ν T
∂T
,
∂xi
(3.39)
33
3.5 – Energia
onde cp é o calor específico a pressão constante do fluido, ν T é a difusividade
térmica molecular, e T é a temperatura termodinâmica.
O trabalho realizado sobre V é
˙H
( ℘[д − 2ϖ × U ] · U ) dV +
W =
(t · U ) dS
V
S
=
℘ дi − 2ϵijk ϖ jUk Ui dV + n jTjiUi dS
V
S
!
∂
(Tji Ui ) dV
=
℘ дi − 2ϵijk ϖ jUk Ui +
∂x j
V
!
!
∂Tji
∂Ui
=
Ui +
Tji dV .
(3.40)
℘ дi − 2ϵijk ϖ jUk +
∂x j
∂x j
V
O lado direito de (3.36) é
!
∂(E ℘)
∂℘
∂E
∂
dV =
+℘
dV
E ℘ dV =
E
∂t V
∂t
∂t
∂t
V
V
(3.41)
e
S
E ℘(n · U ) dS =
S
E ℘n jUj dS =
V
∂
( ℘Uj E) dV =
∂x j
!
∂ ℘Uj
∂E
E
+ ℘Uj
dV (3.42)
∂x j
∂x j
V
Combinando (3.41) e (3.42) acima, tem-se
! +/
*.
.. * ∂ ℘ ∂ ℘Uj +
∂E
∂E //
.E . ∂t + ∂x / +℘ ∂t + Uj ∂x // dV ,
j
j /
V .
. ,
|
{z
}=0
,
-
(3.43)
onde o primeiro termo é nulo por força da equação da continuidade. O restante
é
!
D 1
DUi DU
DE
℘ dV = ℘
Ui Ui + U dV =
℘ Ui
+
dV . (3.44)
Dt
Dt 2
Dt
Dt
V
V
V
Combinando-se todos os termos da equação de energia,
V
!
!
∂Tji
∂
∂T
∂Ui
℘cpνθ
+
Tji + Ui ℘ дi − 2ϵijk ϖ jUk +
−
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
!!
DUi DU
℘ Ui
+
dV = 0 (3.45)
Dt
Dt
Colocando em evidência os termos com ℘Ui em comum,
"
!#
∂Tji
DUi
℘Ui
− дi − 2ϵijk ϖ jUk +
≡ 0,
Dt
∂x j
(3.46)
34
3.5 – Energia
já que o termo entre parênteses é a própria equação de balanço de quantidade
de movimento! O que resta, após aplicarmos o teorema da localização, é
!
∂ ∂T
∂Ui
DU
= ℘cp ν T
+
Tji ,
(3.47)
℘
Dt
∂x j ∂x j
∂x j
onde, de maneira análoga ao que foi feito com a equação de quantidade de movimento quando consideramos µ constante, nós consideramos o termo ℘cp νθ
constante e o retiramos da derivada. Novamente, embora não seja estritamente
correto, isso é usual.
O termo ∂Ui /∂x jTji é facilmente calculável:
!
!
∂Uk
∂Ui
∂Ui
Tji =
−P + λ
δ ji + 2µSij
(3.48)
∂x j
∂xk
∂x j
!2
∂Ui
∂Uk
∂Ui
= −P
+λ
+ 2µSij
.
(3.49)
∂xi
∂xk
∂x j
Mas pela simetria dos índices i e j,
!
!
∂Uj ∂Ui ∂Uj
∂Ui ∂Uj ∂Ui
+
=
+
,
∂x j ∂xi ∂x j
∂xi ∂x j ∂xi
(3.50)
donde
!
∂Ui
∂Ui ∂Uj ∂Ui
2Sij
=
+
∂x j
∂x j ∂xi ∂x j
!
!
!
∂Uj ∂Ui ∂Uj
1 ∂Ui ∂Uj ∂Ui
=
+
+
+
2 ∂x j ∂xi ∂x j
∂xi ∂x j ∂xi
!2
1 ∂Uj ∂Ui
+
= 2Sij Sij .
=
2 ∂xi ∂x j
(3.51)
Note que (3.51) é uma soma de 9 termos, todos eles positivos. Finalmente, obtemos
!2
∂Ui
∂Uk
∂Uk
Tij
= −P
+λ
+ 2µSij Sij .
(3.52)
∂x j
∂xk
∂xk
Os dois últimos termos correspondem à conversão irreversível de energia mecânica em energia interna, e é possível mostrar que sua soma é sempre positiva,
debaixo da hipótese de Stokes (Kundu, 1990, p. 92),
2
λ + µ = 0.
3
(3.53)
Então, a equação de interação tensor de tensões-gradiente de velocidade fica
!2
∂Ui
∂Uk
1
∂U
k
+,
+ 2µ *Sij Sij −
(3.54)
Tij
= −P
∂x j
∂xk
3
∂x
k
,
e podemos completar o quadrado do termo entre parênteses:
!2
!2
!2
1 ∂Uk
2 ∂Uk
1 ∂Uk
Sij Sij −
= Sij Sij −
+
3 ∂xk
3 ∂xk
3 ∂xk
35
3.6 – Dissipação viscosa
=
=
=
=
!
!
!2
∂Uk 1 ∂Uk
1 ∂Uk
Sij Sij − 2
+
∂xk 3 ∂xk
3 ∂xk
!
!2
!
1 ∂Ui ∂Uj
1 ∂Uk
1 ∂Uk
Sij Sij − 2
+
+
δij
2 ∂x j ∂xi
3 ∂xk
3 ∂xk
!
!2
1 ∂Uk
1 ∂Uk
Sij Sij − 2Sij
δij +
δij δij
3 ∂xk
9 ∂xk
! !2
1 ∂Uk
Sij −
δij .
(3.55)
3 ∂xk
Finalmente,
!
! !2
∂Ui
∂Uk
1 ∂Uk
Tji
= −P
+ 2µ Sij −
δij .
∂x j
∂xk
3 ∂xk
A equação diferencial completa para a energia interna fica
!
!
! !2
DU
∂ ∂T
∂Uk
1 ∂Uk
℘
= ℘cp ν T
−P
+ 2µ Sij −
δij ,
Dt
∂x j ∂x j
∂xk
3 ∂xk
{z
}
|
{z
} | {z } |
I
II
(3.56)
(3.57)
Φ=III
onde I representa o aquecimento/resfriamento de uma partícula de fluido por
condução, II representa o trabalho reversível realizado pela pressão, e III, que
é sempre positivo, é a conversão irreversível de energia mecânica em energia
interna, e denomina-se dissipação viscosa. Em muitos livros, a dissipação viscosa é denotada pela letra grega (minúscula ou maiúscula) Φ. Essa última está
relacionada com uma grandeza que vai aparecer inúmeras vezes em teoria de
turbulência, a taxa de dissipação de energia cinética por unidade de massa, Ee . As
duas relacionam-se simplesmente por
Φ = ℘Ee .
(3.58)
Uma forma alternativa a (3.57) é facilmente obtida utilizando a definição de
entalpia específica, (2.13) [repetida aqui enquanto o capítulo 2 não é revisado]
H = U + PV
obtemos
!
∂ ∂T
1 DU P
+ = ℘cp ν T
+ Φ,
V Dt
V
∂x j ∂x j
!
1 D
DP
∂ ∂T
(U + PV) −
= ℘cp ν T
+ Φ,
V Dt
Dt
∂x j ∂x j
!
∂ ∂T
DH DP
℘
−
= ℘cp ν T
+ Φ.
Dt
Dt
∂x j ∂x j
(3.59)
3.6 – A dissipação viscosa como perda de energia mecânica e
fonte de energia interna
Neste ponto, é muito conveniente nós dedicarmos um pouco mais de atenção à energia mecânica do escoamento. Como vimos, utilizando uma série de
36
3.7 – A decomposição de Reynolds para variáveis quadráticas
simplificações baseadas nas leis de conservação de massa e de momentum, nós
reduzimos o balanço integral que corresponde à conservação geral de energia
(cinética mais interna), (3.36), a uma equação diferencial para a energia interna,
(3.57). Na sequência, nós vamos seguir se não passo a passo pelo menos muito
de perto a excelente exposição do assunto feita por Kundu (1990). Primeiramente, note de (3.40) que o taxa de trabalho realizada pelas forças de superfície
sobre um volume material V é:
∂ Tji Ui dV .
(3.60)
Ẇs =
(t · U ) dS = . . . =
S
V ∂x j
Kundu (1990) denomina ∂ Tji Ui /∂x j de trabalho total, por unidade de volume,
das forças de superfície em um ponto. Já o produto escalar de U pela equação
dinâmica (3.32) é
∂
D 1
DUi
=℘
Ui Ui = ℘Ui д + Ui
(Tji ).
(3.61)
℘Ui
Dt
Dt 2
∂x j
Note que o trabalho por unidade de volume das forças de superfície efetivamente responsável pela variação da energia cinética, Ui ∂Tji /∂x j , é diferente do
trabalho total; utilizando a regra da cadeia, entretanto, é elementar que
∂Ui
∂ D 1
Ui Ui = ρUi д +
UiTji −
Tji .
(3.62)
℘
Dt 2
∂x j
∂x j
O último termo do lado direito da equação acima é denominado por Kundu
trabalho de deformação. Ele é dado por (3.56), donde
!
! !2
D 1
∂ 1 ∂Uk
∂Uk
℘
Ui Ui = ℘Ui д +
−2µ Sij −
δij . (3.63)
UiTji +P
Dt 2
∂x j
∂xk
3 ∂xk
Nosso quadro de balanço de energia fica, então, completo: o mesmo termo que
aparece com um sinal positivo em (3.57) como um aumento irreversível de energia interna, aparece aqui com um sinal negativo como uma diminuição, igualmente irreversível, de energia cinética.
Duas quantidades que vimos até aqui aparecem de forma natural como quadrados. Elas são a energia cinética do escoamento (por unidade de massa),
1
Ec = Ui Ui
2
e Ee , a taxa de dissipação de Ec :
! #"
! #
"
1 ∂Uk
1 ∂Uk
Ee = 2νu Sij −
δij Sij −
δij .
3 ∂xk
3 ∂xk
Em (3.65), nós utilizamos (3.57) e (3.58) juntamente com (3.34).
Aplicando a decomposição de Reynolds (1.9) a (3.64), temos:
Ec =
1
[hUi i + ui ] [hUi i + ui ]
2
(3.64)
(3.65)
37
=
1
[hUi i hUi i + 2 hUi i ui + ui ui ] .
2
(3.66)
Promediando a equação acima, e utilizando os postulados de Reynolds (1.11)–
(1.13),
1
1
(3.67)
hEc i = hUi i hUi i + hui ui i .
2 {z } |
2 {z }
|
hEcm i
hEct i
Note que, por ser definida como um quadrado, a “flutuação” de Ec (ou seja, o
segundo e o terceiro termos do lado direito de (3.66)) não é nula.
O primeiro termo do lado direito de (3.67) é a energia cinética do escoamento
médio, hEcm i. O segundo termo de (3.67) é de grande importância em teoria de
turbulência. Ele é, apropriadamente, denominado de energia cinética da turbulência, hEct i , muitas vezes abreviado pela sigla ECT∗ . Para registro:
hEct i =
1
hui ui i .
2
(3.68)
O procedimento de decomposição para a taxa de dissipação de energia cinética é análogo. Comece notando que, novamente com a ajuda da decomposição
de Reynolds (1.9), e de (1.15),
"
#
1 ∂Ui ∂Uj
+
Sij =
2 ∂x j ∂xi
D E


∂
Uj
∂u j 
1  ∂hUi i ∂ui

= 
+
+
+
2  ∂x j
∂x j
∂xi
∂xi 


D E

"
#
1  ∂hUi i ∂ Uj  1 ∂ui ∂u j
+
+
+
= 
2  ∂x j
∂xi  2 ∂x j ∂xi
{z
}
|
{z
} |
hSi j i
D E
= Sij + sij ,
si j
(3.69)
D E
onde Sij é a taxa de deformação média, e sij é a sua flutuação. Da mesma
forma, é imediato que
∂Uk
∂hUk i ∂uk
=
+
.
(3.70)
∂xk
∂xk
∂xk
Agora,
"D E
!
! #
1 ∂hUk i
1 ∂uk
Ee = 2νu Sij −
δij + sij −
δij ×
3 ∂xk
3 ∂xk
"D E
!
! #
1 ∂hUk i
1 ∂uk
Sij −
δij + sij −
δij
3 ∂xk
3 ∂xk
"D E
! #2
"D E
! #"
#


1 ∂hUk i
1 ∂hUk i
1 ∂uk

= 2νu  Sij −
δij + 2 Sij −
δij sij −
δij +
3 ∂xk
3 ∂xk
3 ∂xk

"
#2

1 ∂uk
sij −
δij 
(3.71)

3 ∂xk

∗ Em
Inglês, Turbulence Kinetic Energy ou TKE
38
Prosseguimos, com a promediação de (3.71) e (novamente) com o uso dos postulados de Reynolds:
!2

D E D E
D E ∂hUk i !
2
1
∂hU
i
k
δij +
δij δij  +
hEe i = 2νu  Sij Sij − Sij
3
∂xk
9 ∂xk


*
!+
*
!
+
D

2
E 2

∂uk
1 ∂uk
= 2νu  sij sij − sij
(3.72)
δij +
δij δij  .
3
∂xk
9 ∂xk


Mas:
D E
∂hUk i
Sij δij =
,
∂xk
∂uk
sij δij =
,
∂xk
δij δij = 3,
donde
! 2
D E D E
1 ∂hUk i 

+ 2νu
hEe i = 2νu  Sij Sij −
3 ∂xk 


|
{z
} |
hEem i
*
! 2 +
D
E

 sij sij − 1 ∂uk
 .
3 ∂xk

{z
}
(3.73)
hEet i
Da mesma forma que a energia cinética (vide (3.67)), portanto, a taxa de
dissipação de energia cinética pode ser decomposta numa taxa de dissipação
associada ao escoamento médio hEem i (primeiro termo do lado direito de (3.73)),
e uma taxa de dissipação da energia cinética da turbulência, hEet i (segundo termo
do lado direito de (3.73)). Essa última é uma grandeza muito importante. Para
registro:
D
E 1 * ∂uk ! 2 +
 .
(3.74)
hEet i = 2νu  sij sij −
3 ∂xk


No início da década de 1940, começou a ficar claro que hEet i é uma grandeza
fundamental em turbulência. No próximo capítulo, nós vamos ver que, com
base em alguns argumentos simples e muito razoáveis, hEet i hEem i quando o
número de Reynolds
se torna muito grande. Isso por sua vez
D
E de DumEescoamento
D E
significa que sij sij Sij Sij , e que deve existir, no caso escoamentos turbulentos com número de Reynolds muito grande, uma grande separação entre
as escalas macroscópicas e as escalas microscópias da turbulência. As primeiras
estão associadas aos gradientes de velocidade, e taxas de deformação, médios.
As segundas estão associadas aos gradientes quadráticos médios (e taxas de deformação quadráticas médias).
4
As macro e micro escalas da
turbulência
4.1 – Macro e micro escalas: uma apresentação informal
Como observa Davidson (2004, p. 19–20), uma boa parte do que nós sabemos
sobre turbulência pode ser resumido nas relações
hEet i ∼ ũ 3 /`,
ηu =
νu3
hEet i
(4.1)
! 1/4
,
ǔ = (νu hEet i) 1/4 ,
! 1/2
νu
.
τu =
hEet i
(4.2)
(4.3)
(4.4)
O restante é como se segue: ũ e ` são macroescalas de velocidade e de comprimento, respectivamente. Elas refletem as velocidades e comprimentos “macroscópicos” que nós “vemos” em um escoamento: o diâmetro da tubulação, a
distância da superfície em uma camada-limite, a profundidade do escoamento
em um rio, etc. (`); e as diferenças de velocidade entre duas seções, a intensidade
das flutuações turbulentas de velocidade, etc. (ũ).
Para as ordens de grandezas de termos nas equações, nós vamos adotar a
notação de Tennekes e Lumley (1972): em (4.1), o símbolo ∼ significa que o
coeficiente adimensional que torna a relação uma equação não é maior do que
5, e não é menor do que 1/5.
Já ηu (“eta”, em grego), ǔ e τu (“tau”, em grego) são microescalas de comprimento, velocidade e de tempo; em homenagem ao seu proponente, elas são
chamadas atualmente de microescalas de Kolmogorov (Kolmogorov, 1991). ǔ e
ηu não podem ser “vistas”; elas refletem as diferenças de velocidade e de comprimento que ocorrem em cada ponto de um escoamento turbulento, e que só
podem ser estimadas (na média quadrática, como veremos em breve) em função
da taxa de dissipação de energia cinética da turbulência, hEet i, e da viscosidade
cinemática νu .
Para o estudante que aborda Turbulência pela primeira vez, ` e ũ são estranhos e difíceis de compreender, enquanto que ηu , ǔ, e τu são completamente
impossíveis. Numa tentativa de aliviar a estranheza, a abordagem que se segue procura dar um pouco de concretude a esses conceitos, por meio de alguns
exemplos.
39
40
Pb
Ua
Pa
Ub
V
ℓ
Figura 4.1: Expansão súbida em uma tubulação.
Em lugar de prosseguir com “escalas” arbitrárias ũ e `, considere o escoamento clássico de um fluido com densidade ℘ constante através de uma expansão súbita em uma tubulação, mostrado na figura 4.1. As áreas das seções
transversais antes e depois da expansão são Aa e Ab .
Os perfis esboçados na figura 4.1 são idealizações: é bem conhecido que a
velocidade (relativa) de um fluido junto a uma parede sólida é zero, que é a
“condição de não-deslizamento”. O significado físico da figura 4.1, portanto, é
que na maior parte do escoamento “antes”, e “depois”, da expansão súbita de
área, a velocidade é aproximadamente constante.
Para o volume material V (com superfície S ) indicado pela linha pontilhada
na figura 4.1, as equações macroscópicas de balanço são (3.3) (massa); (3.22)
˙
(quantidade de movimento) e (3.36) (energia, com H
I ≡ 0), repetidas aqui por
conveniência:
∂
℘ dV +
℘ (n · U ) dS,
0=
∂t V
S
∂
U ℘ (n · U ) dS,
U ℘ dV +
Fs + Fc =
∂t V
S
∂
˙ H˙
H
W +Q =
E ℘ dV +
E ℘ (n · U ) dS.
∂t V
S
Suponha agora perfis uniformes de velocidade nas seções de entrada (a) e saída
(b),
U a = Ua e 1 ,
U b = Ub e 1 .
Para ℘ constante, a equação macroscópica de conservação de massa em regime
permanente produz
Ua Aa = Ub Ab .
(4.5)
Para a conservação de quantidade de movimento, é preciso supor que as forças
de atrito têm efeito desprezível, e que as forças de superfície são, preponderantemente, devidas à diferença de pressão entre as sessões a (entrada) e b (saída),
de tal forma que
[−Pn] dS.
Fs =
t dS =
n · T dS =
n · [−Pδ] dS =
S
S
S
S
41
Na entrada, n = −e 1 , e na saída n = +e 1 , donde (para perfis uniformes de
pressão na entrada (Pa ) e na saída (Pb )),
Fs1 = (Pa − Pb ) Ab .
Observe que Ab é comum, na expressão acima, para Pa e para Pb . A interpretação
é que, imediatamente após a expansão, a pressão (na seção a) ainda é Pa , e
age de forma aproximadamente uniforme sobre a face esquerda do volume de
controle. Com o termo transiente identicamente nulo, e F c ≡ 0, segue-se agora
que (na direção longitudinal, que é a única direção relevante para os balanços
macroscópicos),
f
g
(Pa − Pb ) Ab = ℘ −Ua2Aa + Ub2Ab = ℘ [Ub − Ua ] (Ua Aa )
(4.6)
O trabalho realizado sobre a superfície de controle é preponderantemente devido à pressão:
˙H
W =
U · t dS
S
Ua e 1 · [−Pa (−e 1 )] dS +
Ub e 1 · [−Pb (+e 1 )] dS
=
Ab
Aa
= PaUa Aa − PbUb Ab .
A equação de balanço de energia, portanto, torna-se
(Pa − Pb )(Ua Aa ) =
℘
H˙ .
Ub2 − Ua2 (Ua Aa ) + ℘(UB − UA )(Ua Aa ) − Q
|
{z
}
2
(4.7)
Tx. de Dissipação
Os dois últimos termos do lado direito são o fluxo líquido de energia interna
(UA e UB são as energias internas por unidade de massa na entrada e na saída
do volume de controle), e a taxa de calor trocada com o volume de controle. Por
hipótese, a dissipação de energia mecânica deve fazer com que ambos sejam
positivos, ou seja: UB > UA (a dissipação aumenta a energia interna específica
H˙ < 0 (parte de energia mecânica dissipada flui como calor para fora
do fluido) e Q
do volume de controle). Por definição, a sua soma é a taxa total de dissipação
de energia. Se ϵe é a dissipação média por unidade de massa dentro do volume
de controle, temos
H˙
℘Ab `ϵe = ℘(UB − UA )(Ua Aa ) − Q.
Note primeiramente que a equação (4.7) pode ser reescrita como
f
g
Pa + (1/2) ℘Ua2 − Pb + (1/2) ℘Ub2 (Ua Aa ) = ℘Ab `ϵe ,
ou seja, a “perda de carga” hidráulica entre as seções a e b é igual à dissipação
de energia. Do ponto de vista de obter uma expressão final para ϵe , entretanto,
é mais frutífero primero eliminar a diferenção de pressão entre as sessões utilizando (4.6):
Aa
Pa − Pb = ℘(Ub − Ua )Ua ,
Ab
42
Pa
Pb
τ0
V
U
L
Figura 4.2: Escoamento clássico em um tubo com perda de carga.
e em seguida substituir na equação (4.7):
(Ua Aa ) 2
℘(Ub − Ua )
Ab
Aa
(Ub − Ua )Ua
Ab
1
Aa
(Ua + Ub ) − Ua
2
A
# b
"
1
1
Aa
+
−1
Ua
2
2
Ab
=
℘
2
(Ub2 − Ua2 )(Ua Aa ) + ℘Ab `ϵe ,
= [(1/2)(Ua + Ub )(Ub − Ua )] +
`ϵe Aa
,
Ua Ab
Aa
`
ϵe ,
Ab Ua (Ua − Ub )
Aa
`
ϵe ,
=
Ab Ua2 1 − Aa
Ab
!2  3

1
Aa Aa  Ua
.
(4.8)
ϵe =  1 −
Ab Ab  `
 2

Note que (4.8) tem a mesma forma de (4.1). No entanto, há uma diferença
significativa: enquanto que na sequência nós suporemos que (4.1) vale pontualmente, (4.8) dá a taxa de dissipação média dentro do volume de controle.
Um argumento mais “crítico” — no sentido de que de fato não existe nada de
excepcional em (4.8) — é que as duas equações têm que ter a mesma forma simplesmente pelo fato de que hEe i e ϵe possuem as mesmas dimensões físicas. No
entanto, a equação (4.1) aparecerá repetidamente neste livro, e espera-se que a
dedução da análoga (4.8) ajude o estudante a compreender a sua motivação.
Nosso segundo exemplo, mostrado na figura 4.2, é o escoamento clássico ao
longo de um tubo com perda de carga. Esse problema vai ser estudado detalhadamente do ponto de vista do perfil de velocidade, e de como a perda de carga
é calculada, mais à frente neste texto. Por enquanto, vamos supor que há uma
perda de carga linear ao longo da tubulação e fazer a mesma aproximação de
um perfil constante de velocidade na seção que fizemos no exemplo anterior.
Os balanços integrais de massa, quantidade de movimento e energia entre as
seções A e B do volume de controle V indicado na figura resultam em
=
U = constante em x,
(Pa − Pb )A − τ0 × 2πRL = 0,
H˙ ,
(Pa − Pb )U A = ℘(UB − UA )U A − Q
|
{z
}
℘ALϵe
43
onde A = πR 2 é a área da seção transversal, e τ0 é a tensão de cisalhamento
entre a parede do tubo e o escoamento. Da equação de balanço de quantidade
de movimento,
2τ0L
,
Pa − Pb =
R
que levada à equação de balanço de energia produz
2τ0L
U = ℘Lϵe ,
R
τ0 U
2
=ϵ .
℘R e
Neste ponto, é conveniente introduzir o coeficiente de arrasto CD e a velocidade
de atrito u ∗ :
τ0 ≡ ℘CDU 2 ,
r
τ0
℘
donde
= u ∗2 ,
(4.9)
(4.10)
2 u ∗3
ϵe = √
.
(4.11)
CD R
Observe que, novamente, (4.11) tem a forma geral de (4.1). Novamente, tratase de uma taxa de dissipação média, e um observador rigoroso poderá também
argumentar que em sua essência (4.11) é simplesmente uma consequência das
dimensões físicas de ϵe .
No entato, tanto (4.8) quanto (4.11) contam uma “história” importante: a taxa
de dissipação de energia mecância ϵe está sendo imposta pelas escalas macroscópicas do escoamento. Observe como o coeficiente de viscosidade cinemática
não comparece em nenhuma das duas equações. Em ambos os casos, o escoamento turbulento se “ajustará” a essa taxa imposta pelas escalas macroscópicas.
Hoje sabemos que o processo pelo qual a energia mecânica injetada no escoamento pelas escalas macroscópicas é dissipada possui dois “estágios”: no
primeiro estágio, forma-se uma “cascata” de energia, que se redistribui sob a
forma de energia cinética da turbulência em escalas progressivamente menores. O termo responsável por esse estágio nas equações de Navier-Stokes é o
termo não-linear, Uk ∂Ui /∂xk . Em geral, supõe-se que esse processo é acompanhado pela geração de turbilhões sucessivamente menores, e ele é bem descrito
pelas equações de vorticidade. Em 3 dimensões, o processo de transferência
inercial de energia é compreendido como sucessivos alongamentos de vórtices
(vortex stretching) e entortamentos de vórtices (vortex tilting). Em um dado momento, as escalas espaciais que caracterizam esses vórtices são suficientemente
pequenas para que a viscosidade do escoamento interaja diretamente com eles.
Esse é o segundo estágio, no qual a energia desses numerosos pequenos
vórtices é dissipada. As escalas características da “faixa de dissipação” são ηu ,
û, e τu . Um argumento dimensional simples sugere que hEet i ∼ ν (û/ηu ) 2 . Nessas pequenas escalas o escoamento é “laminar”, no sentido de que o número de
Reynolds formado pelas escalas locais de comprimento e de velocidade que caracterizam os menores vórtices do escoamento é da ordem de 1, como veremos
em detalhe a seguir.
44
4.2 – Uma definição formal das escalas macroscópicas
Na sequência, será necessário fazer uma estimativa de ordem de grandeza
de, hU i e de seus gradientes. Também será necessário Destimar
E a ordem de grandeza de “covariâncias turbulentas”, por exemplo de ui u j . Para o campo de
velocidade, nós adotaremos inicialmente as seguintes estimativas:
hUi i ∼ ũ,
∂hUi i ũ
∼ ,
∂x j
`
D
E
ui u j ∼ ũ 2 .
(4.12)
(4.13)
(4.14)
Uma dificuldade é que, como muitas vezes a notação de ordem de grandeza
será utilizada em conjunto com a notação indicial de Einstein, a “ordem” de um
termo envolvendo índices repetidos pode se referir a um ou alguns dos subtermos, ou à soma de todos os sub-termos. Para evitar qualquer ambiguidade,
nós usaremos ∼ para indicar a ordem de grandeza do maior em módulo (e possivelmente outros) de todos os sub-termos; e ∼
¨ para indicar explicitamente a
soma de todos os sub-termos. Portanto,
∂hUi i
∼ ũ/`,
∂xi
significa que
∂hUi i ∼ ũ/`,
max i∈{1,2,3} ∂xi enquanto que
∂hUi i
∼
¨ ũ/`
∂xi
significa que
3
X
∂hUi i +
*
∼ ũ/`.
∂x
i
, i=1
Note que a segunda notação, ∼,
¨ só faz sentido quando houver pelo menos um
índice repetido do lado esquerdo. Note também que (4.12)–(4.14) já seguem essa
notação, ou seja: em cada uma delas, a ordem de grandeza refere-se a termos
individuais, ou ao maior em módulo dos termos obtidos variando-se i e j.
Apesar de (4.14) não ser necessária nesta seção, nós a incluímos aqui para
que a discussão a seguir fique auto-contida. Como vimos acima, ũ é uma escala macroscópica de velocidade. As equações (4.12)–(4.14), e suas generalizações óbvias para outras variáveis do escoamento, tais como densidade, pressão,
concentração de um escalar e temperatura, constituem-se em um poderoso instrumento de análise das equações que regem um escoamento turbulento. Sua
interpretação, entretanto, é difícil. Tennekes e Lumley (1972, p. 47) comentam
sobre diversos erros comuns de interpretação de (4.12)–(4.14), e discutem em
detalhe suas justificativas.
Além disso, elas não são necessariamente universais! Por exemplo, nada
obriga que haja apenas uma escala de velocidade ũ, e uma escala de comprimento `, macroscópicas. Dependendo da geometria, e da complexidade do escoamento, várias escalas macroscópicas de velocidade e comprimento (e diversas
outras variáveis, é claro) podem surgir.
45
No entanto, as relações (4.12)–(4.14) tendem a valer em escoamentos com
cisalhamento médio que possuem uma única escala característica de velocidade,
e uma única escala característica de comprimento (Tennekes e Lumley, 1972, p.
47–50). O essencial de (4.12)–(4.14) é a suposição de que as mesmas escalas ũ
e ` comparecem tanto na estimativa da ordem de grandeza dos gradientes de
grandezas médias quanto das covariâncias turbulentas. Veremos mais à frente
que ` também pode ser associada à escala integral da turbulência, que tem uma
definição estatística precisa. Como observam Tennekes e Lumley (1972), essa
suposição de que as escalas macroscópicas servem a dois papéis reflete o fato de
que elas são as únicas escalas características do escoamento; consequentemente,
seu surgimento (a menos de coeficientes da ordem de 1) é uma exigência da
consistência dimensional das expressões envolvidas.
Naturalmente, essa hipótese restringe a complexidade dos escoamentos que
podemos analisar utilizando as equações (4.12)–(4.14); mesmo em situações ligeiramente mais complexas, entretanto, idéias similares revelam-se úteis e em
geral ajudam a compreender ou modelar melhor o problema.
As equações (4.12)–(4.13) são suficientes para estimarmos a contribuição da
taxa de dissipação associada ao escoamento médio hEem i para a taxa total de
dissipação de energia cinética, hEe i. Levando (4.13) em (3.73), encontramos
!2
ũ
hEem i ∼ νu
`
ũ 3
= νu 2
ũ`
νu ũ 3
⇒
=
ũ` `
hEem i ∼ Re`−1 hEe i .
(4.15)
Em (4.15), nós encontramos pela primeira vez o número de Reynolds (na escala
`):
ũ`
(4.16)
Re` ≡ ,
νu
e usamos a estimativa (4.1) para a taxa total de dissipação.
De fato, se nós admitirmos como vínhamos comentando que a dissipação
total é dada por (4.1), (4.15) nos informa que os gradientes do escoamento médio
são extremamente ineficazes para produzir essa dissipação.
A figura simples, porém extremamente útil, que surge é a seguinte: se a
taxa de dissipação total de energia cinética é imposta pelas “grandes escalas” ũ,
`, do escoamento, essas mesmas escalas produzem gradientes de velocidade (e
consequentemente taxas de deformação) que são incapazes de dissipar a energia
cinética nessa taxa!
Isso significa que devem existir no escoamento gradientes de velocidade,
e consequentemente taxas de deformação, muito maiores. Para encontrá-las,
precisamos obviamente estudar a ordem de grandeza da taxa de dissipação da
energia cinética da turbulência, hEet i.
46
4.4 – A cascata de energia
4.3 – Uma definição formal das escalas microscópicas
Se tomarmos (formalmente) o limite Re` → ∞, a contribuição de hEem i para
hEe i tende a zero em (4.15). Isso não é uma mera formalidade. Na maioria dos
escoamentos naturais e industriais, os números de Reynolds são muito altos.
Por exemplo, a 20° C, νu [água] = 1,005×10−6 m2 s−1 , e νu [ar] = 1,50×10−5 m2 s−1
(à pressão atmosférica padrão ao nível do mar). Então, para um rio com uma velocidade típica ũ = 1 m s−1 e uma profundidade típica de ` = 1 m, Re` = 106 . Da
mesma forma, para uma velocidade do vento ũ = 1 m s−1 a uma altura ` = 10 m,
nós temos Re` = 106 .
A equação (4.15) então nos dá hEe i ≈ hEet i nessas condições.
D
E Retornando
a (3.74), isso só pode significar que a ordem de grandeza de sij sij (e eventualD
E
mente de (∂uk /∂xk ) 2 ) deve ser tal que
!2
D
E 1 * ∂uk ! 2 +
ǔ
sij sij −
∼
,
3 ∂xk
ηu
onde devemos ter
hEet i = νu
ǔ
ηu
!2
.
(4.17)
(4.18)
A equação (4.17) mostra claramente que a ordem de grandeza do gradiente
microscópico de velocidade ǔ/ηu é definida por uma média quadrática. Por sua
vez, (4.18) é suficiente para definir esse gradiente, mas é por si só incapaz de
“separar” as escalas microscópicas de velocidade, ǔ, e de comprimento, ηu . Isso
pode ser feito de duas maneiras. A primeira é puramente dimensional: se as
únicas grandezas disponíveis para definir ηu e ǔ são hEet i e νu , então (4.2) e (4.3)
seguem-se necessáriamente do Teorema dos Π’s de Buckingham.
A segunda é encontrar ηu , ǔ como a solução de um sistema de duas equações,
a primeira das quais é (4.18). A segunda equação é obtida a partir da introvisão (insight) de que, localmente, o escoamento deve ser laminar. O número de
Reynolds associado deve ser de ordem 1:
Reηu =
ǔηu
= 1.
νu
(4.19)
A solução do sistema (4.18)–(4.19) produz, novamente, as microescalas de Kolmogorov dadas por (4.2) e (4.3).
4.4 – A cascata de energia
Conforme notado pela primeira vez por Kolmogorov (1941), (4.1) não se
aplica apenas à escala integral de comprimento `. Com alguma modificação,
ela pode ser usada para todas as escalas intermediárias de comprimento r entre
` e ηu . Para ver isso de uma maneira um pouco mais formal, defina a função de
estrutura de ordem 2 da velocidade:
r ≡ x 2 − x 1;
Duu (r ) ≡ h[U (x 2 ) − U (x 1 )] · [U (x 2 ) − U (x 1 )]i
(4.20)
(4.21)
47
4.5 – Macro e microescalas de temperatura
A definição (4.21) só é possível se os incrementos de velocidade do escoamento
forem homogêneos; nesse caso, Duu depende apenas da diferença x 2 − x 1 , e não
de cada um dos dois vetores.
Se, além disso, o escoamento for isotrópico, Duu = Duu (r ) apenas, onde
r = |r |. Kolmogorov (1941) formulou a hipótese de isotropia local: segundo
essa hipótese, apenas para r `, o escoamento é isotrópico. Isso sem dúvida
é uma analogia com o caso molecular, em que as velocidades das moléculas se
distribuem igualmente em todas as direções, e do Teorema de equipartição de
energia: a energia cinética das moléculas de um gás divide-se igualmente nas
3 direções x, y, e z. No caso de turbulência, a situação é mais complicada: em
escoamentos no mundo real, as “grandes escalas” ` quase nunca são homogêneas, uma vez que, como veremos, existem direções preferenciais de produção
da energia cinética da turbulência. Nesse sentido, o termo local desempenha um
papel importante: aqui, a hipótese é que a natureza difusiva da turbulência tende
a equalizar a distribuição direcional de energia cinética da turbulência apenas
para escalas r muito menores do que `. Apenas nessas escalas o escoamento
(segundo essa hipótese) é isotrópico. Nesse último caso, escrevemos
D
E
Duu (r ) = [u (r ) − u (0)]2 ≡ (δur ) 2 ,
(4.22)
e definimos uma escala de velocidade δur na escala de comprimento r .
Outra hipótese da teoria de Kolmogorov é que, para η r `, (4.1) continua valendo na forma
(δur ) 3
.
(4.23)
hEet i = α 3/2
r
Segue-se, imediatamente, a previsão da teoria de Kolmogorov (1941) para a faixa
inercial da função de estrutura:
Duu (r ) = α hEet i2/3 r 2/3 .
(4.24)
4.5 – Macro e microescalas de temperatura
Macro e microescalas adicionais devem ser adicionadas à lista (4.1)–(4.3)
quando a temperatura representa um papel importante em um escoamento turbulento. Começamos por notar, sem demonstração (ainda) que existe uma cascata de semi-variância de temperatura da turbulência que é análoga à cascata
de energia cinética da turbulência que discutimos na seção 4.4.
Ao contrário de Ee , para a qual temos (3.74), ainda não fizemos uma dedução
formal para ETT . Adiantando o resultado, que será obtido na seção ??, tem-se
*
+
∂T ∂T
ETT = 2ν T
.
(4.25)
∂x j ∂x j
Se hETT i for a taxa de dissipação de semi-variância da temperatura da turbulência, a equação análoga a (4.1) é
hETT i ∼
2
ũ
.
`
T̃
(4.26)
Dizer onde isso será feito!
48
4.6 – Estimativas consistentes dos gradientes microscópicos
Em (4.25), T̃ é uma macroescala de temperatura, e estamos supondo que a macroescala de comprimento associada à temperatura é o mesmo ` já utilizado
antes para a energia cinética.
A equação que define a microescala de gradientes de temperatura análoga
a (4.18) é
hETT i = ν T
Ť
2
η T2
.
(4.27)
onde Ť é a microescala de temperatura; η T é a microescala de comprimento
para temperatura; e ǔ é a microescala de velocidade. A separação em Ť e η T é
bem mais difícil: ela foi obtida por Batchelor (1959) e Batchelor et al. (1959), e
depende do número de Prandtl
Pr ≡
νu
,
νT
(4.28)
do fluido. Para Pr ≥ 1, eles obtiveram
ηT
= Pr−1/2 ,
ηu
donde
hETT i
Ť =
νT
! 1/2
ηT .
(4.29)
(4.30)
Os gradientes microscópicos de velocidade e de temperatura (e por conseguinte, de densidade, via (4.17) e (??) são
+
!2
ǔ
∂ui ∂ui
∼
,
∂x j ∂x j
ηu
*
+
!2
∂T ∂T
Ť
.
∼
∂xi ∂xi
ηT
*
(4.31)
(4.32)
Esses gradientes microscópicos podem, agora, ser facilmente relacionados com
os gradientes macroscópicos (sempre em ordem de magnitude), como se segue:
νu
ǔ 2 ũ 3
= ,
`
ηu2
ǔ
ũ 3
=
ηu
νu `
! 1/2
! 1/2
ũ 2 ũ`
= 2
` νu
! 1/2
ũ ũ`
=
` νu
ũ
= Re`1/2 .
`
(4.33)
49
Para valores típicos na atmosfera próximo à superfície, e supondo, de forma
conservadora, ` ∼ 1m, ũ ∼ 1 m s−1 , νu = 1,509 × 10−5 m2 s−1 , Re` = 662690,
Re1/2 ∼ 1000. Os gradientes microscópicos de velocidade são mil vezes maiores
que os gradientes macroscópicos.
Além disso, é útil registrar, para uso posterior, o seguinte: de (4.1) e (4.2),
segue-se que
`
νu3 3
ũ
ηu =
! 1/4
ν 3`
ηu4 = u3 ,
ũ
η 4
νu3
u
= 3 3,
`
` ũ
η 4
u
= Re−3 ,
`
ηu
= Re−3/4 .
`
,
(4.34)
Analogamente,
ǔ
= Re−1/4 .
(4.35)
ũ
O mesmo pode ser feito para os gradientes microscópicos de temperatura e,
por conseguinte, de densidade:
2
2
ũ T̃
,
νT 2 =
`
ηT
Ť
2 1/2
ũ T̃ +
=*
ηT , νT ` Ť
2
1/2
ũ`
=* 2 +
, ` νT ! 1/2
T̃ ũ`
=
` νT
T̃
T̃
Pe`1/2 .
(4.36)
ũ`
= Re` Pr
νT
(4.37)
=
`
(??) utiliza um número de Péclet
Pe` =
que é análogo ao número de Reynolds Re` definido em (4.16). Mais uma vez, em
analogia com (??), a partir de (??) obtém-se
η T 1/2
Pe
` `
T̃
ηu η T 1/2
=
Pe
` ηu `
Ť
=
= Re`−3/4 Pr−1/2 Pe`1/2
50
ũ`
=
νu
! −3/4
νu
νT
! −1/2
ũ`
=
νu
! −3/4
νT
νu
! 1/2
ũ`
=
νu
! −3/4+1/2
! 1/2
ũ`
νT
! 1/2
ũ`
νT
= Re`−1/4 .
onde usamos (??) para ηu /` e (??)–(4.28) para η T /ηu .
(4.38)
5
As equações para o escoamento
médio, e a aproximação de
Boussinesq
As equações de Navier-Stokes, e da energia, podem ser consideravalmente simplificadas antes de serem usadas em problemas de interesse físico. As simplificações adotadas são de duas naturezas.
Primeiramente, utilizando-se uma decomposição proposta por Boussinesq
para os campos de velocidade, densidade, temperatura e pressão que é baseada
em um estado hidrostático de referência, é possível obter um conjunto de equações grandemente simplificadas. As principais simplificações são a substituição
da densidade variável por uma densidade de referência (que pode ser variável de
acordo com uma distribuição hidrostática, mas que não precisa mais ser prognosticada), e a adoção de um campo de velocidade solenoidal. Portanto, uma
aproximação de incompressibilidade é obtida, mesmo em escoamentos com densidade variável. Nas próximas seções nós vamos mostrar que isso não constituiu
nenhum paradoxo.
Em segundo lugar, a equação da energia é essencialmente inútil na variável
dependente U. É preciso manipular a equação (3.57) e reescrevê-la em termos
de variáveis prognósticas “úteis”, isto é, efetivamente mensuráveis ou calculáveis. Via de regra, essas variáveis são ou a temperatura termodinâmica T , ou a
temperatura potencial Θ.
Ao final do capítulo, teremos obtido um conjunto de equações para as variáveis dependentes médias hU i, hPi, e hT i (ou hΘi) as quais, por sua vez, nos
dão informações úteis sobre os escoamentos do mundo real.
5.1 – O estado hidrostático de referência, e a altura de escala
Nesta seção nós obtemos um “estado hidrostático de referência” suficientemente geral para gases perfeitos e líquidos nas condições normalmente encontradas no ambiente. Esse estado será denominado ( ℘r ,Pr ,Tr ), e dependerá
somente da altura z.
Suporemos que o fluido do escoamento pode ser suficientemente bem descrito como uma substância simples, e que o único agente de efeitos de empuxo é
a temperatura. O coeficiente isobárico de expansão térmica, βP , e o coeficiente
51
52
5.1 – O estado hidrostático de referência
isotérmico de compressibilidade, κT , são definidos nesse caso por
!
1 ∂V
,
βP ≡
V ∂T P
!
1 ∂V
κT ≡ −
.
V ∂P T
(5.1)
(5.2)
Escrevendo a entalpia específica (por unidade de massa) H em função de T
e P, e calculando seu diferencial,
!
!
∂H
∂H
dH =
dT +
dP
∂T P
∂P T
!
∂H
dP,
(5.3)
= cp dT +
∂P T
onde usamos
∂H
cp ≡
∂T
!
.
P
(5.4)
O segundo termo é obtido com o auxílio das relações de Maxwell:
dH = VdP + T dS,
!
!
∂S
∂H
= V +T
;
∂P T
∂P T
!
!
∂S
∂V
=−
= βP V,
∂P T
∂T P
onde S é a entalpia específica, donde
!
∂H
= V (1 − βP T ) .
∂P T
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
Supondo agora um processo isentrópico (dS = 0); levando (5.5) em (5.3); e utilizando (5.8),
dH = VdP = cp dT + V (1 − βP T ) ,
cp dT = βP T VdP .
(5.9)
(5.10)
Utilizando a equação da hidrostática,
д
dP
= − ⇒ VdP = −дdz,
dz
V
(5.11)
e substituindo em (5.10), obtemos um resultado central e muito importante:
д
dT
= −βP T
dz
cp
(5.12)
O sistema de equações diferenciais (5.11)–(5.12) pode ser resolvido simultaneamente, pois βP = βP (P,T ) e 1/℘ = V = V(P,T ) (essa última é a equação de
estado). Portanto, em princípio, temos, após a integração a partir das condições
53
5.1 – O estado hidrostático de referência
iniciais P 0 ,T0 , ℘0 em z = 0, os perfis do estado termodinâmico de referência
Pr (z), Tr (z) e ℘r (z).
Um parâmetro essencial para a análise de escala das equações da Mecânica
dos Fluidos aplicadas a escoamentos naturais é a “altura de escala” D (em Inglês,
scale height). Ela é definida a partir do estado de referência hidrostático de
densidade:
1 d℘r (0) −1
.
(5.13)
D ≡ ℘0 dz A altura de escala pode ser facilmente obtida usando (5.1), (5.2), (5.11) e
(5.12):
1
V
℘= ,
1
dV;
V2
!
!
d℘ ∂V
d℘ ∂V
dT +
dP
d℘ =
dV ∂T P
dV ∂P T
1
1
= − 2 (VβP ) dT + − 2 (−VκT ) dP
V
V
= −℘βP dT + ℘κT dP ⇒
!
д
d℘
= −℘βP −βP T
+ ℘κT (−℘д) ;
dz
cp
д
1 d℘
= βP2T − κT ℘д ⇒
℘ dz
cp
−1
1 d℘r (0) −1 д
= βP2T0 − κT ℘0д .
D = cp
℘0 dz d℘ = −
(5.14)
(5.15)
Para água a T0 = 15 ◦ C, tem-se
℘0 = 999,1 kg m−3 ,
βP = 1,5 × 10−4 K−1 ,
κT = 4,9 × 10−10 Pa−1 .
Portanto, D água = 2,089 × 10+05 m. Também é conveniente relacionar βP e κT
com a pressão e a temperatura ambientes. Para os mesmos valores de referência
acima, e P0 = 101325 Pa,
κT−1 ≈ 20000P0 ,
(5.16)
βP−1 ≈ 23T0 .
(5.17)
Para um gás ideal, a equação de estado é
P = ℘RT ,
ou
PV = RT ,
(5.18)
onde R é a constante específica do gás (ou da particular mistura de gases: por
exemplo, para o ar seco tem-se R = 287, cp = 1005, e cv = 718 J kg−1 K−1 ), P é a
54
5.2 – O estado de referência na atmosfera
pressão termodinâmica, e T é a temperatura. Diferenciando-se (5.18), obtém-se
imediatamente:
dP = R ℘ dT + RTd ℘
dP d℘ dT
=
+
P
℘ T
ou
ou
PdV + VdP = RdT ,
dV dP dT
+
=
.
V
P
T
(5.19)
(5.20)
Portanto,
RT
,
P
!
1 ∂V
R
R
1
βP =
=
=
= ,
V ∂T P pv RT T
!
1 ∂V
1 RT
1
κT = −
=
= ,
2
V ∂P T V P
P
V=
e
β 2T
д κд
д
д
−
=
−
cp
V
cpT RT
!
д 1
1
=
−
T cp R
!
д R − cp
=
T cp R
cv д
=−
.
cp R T
Para o ar seco, com T0 = 15◦ C = 288.15 K, R = 287, cp = 1005 e cv =
718 J kg−1 K−1 , obtém-se D ar = 1,180 × 10+04 m
5.2 – O estado de referência em uma atmosfera adiabática seca
O valor da taxa de variação de temperatura em (5.12), com βP = 1/T , é a
taxa adiabática seca. Em uma atmosfera adiabática e hidrostática, portanto, a
temperatura cai a partir de z = 0 segundo
Tr (z) = T0 −
д
z.
cp
(5.21)
A partir do perfil de temperatura, obtém-se facilmente o perfil de pressão:
dP
= −℘д,
dz
Pд
dP
=− ,
dz
RT
д
дdz cp − cp dz
dP
=−
=
,
P
RT
R T0 − cд z
p
T − д z  cp /R
0
cp 
Pr

ln
= ln 
,
P0
 T0 
55
5.2 – O estado de referência na atmosfera
cp /R
д
Pr (z) = P0 *.
,
T0 − c p z
T0
(5.22)
+/
-
Analogamente, fazendo-se dT = −дdz/cp , obtém-se, para o perfil de ℘,
d℘
dP dT
−
,
℘
P
T
дdz dT
=−
−
,
RT
T
!
д
д
=− −
+
dz
RT cpT
cv (−дdz)
=
R cpT
д
cv − cp dz
=
,
R T0 − cд z
p
=
cv /R
д
℘r (z) = ℘0 *.
,
T0 − c p z
T0
+/
-
(5.23)
Relações diretas entre P, ℘ e T também podem ser obtidas. Por exemplo,
VdP = cp dT ,
RT
dP = cp dT ,
P
R dP
dT
=
,
T
cp P
P R/cp
T0
0
ln = ln
,
T
P
P R/cp
0
T0 = T
.
P
(5.24)
A equação (5.24) relaciona os valores de T e P em uma atmosfera adiabática
seca e hidrostática cujos valores de temperatura e pressão na superfície são T0
e P0 . Ela também serve para definir a temperatura potencial em uma atmosfera
qualquer:
Θ ≡T
P R/cp
0
P
.
(5.25)
Portanto, segue-se a definição “verbal” frequentemente encontrada nos livros,
de que a temperatura potencial Θ é a temperatura de uma parcela trazida adiabaticamente (e hidrostaticamente) do nível de pressão P até o nível de pressão
P0 na superfície.
O mesmo pode ser feito com ℘, P, naturalmente:
−PdV = cv dT ,
RT
− dV = cv dT ,
V
56
5.3 – Magnitude das flutuações de densidade
20000
20000
18000
(a)
16000
16000
14000
14000
12000
12000
z (m)
z (m)
18000
10000
10000
8000
8000
6000
6000
4000
4000
2000
2000
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
(b)
0
0.0
900 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
℘r (z) (kg m−3 )
Pr (z) (hPa)
Figura 5.1: Dependência da pressão de referência Pr e da densidade de referência
℘r em uma atmosfera hidrostática e adiabática com a altitude z.
cv dT
cv R dP
dV
=−
=− −
,
V
R T
R cp P
cv dP
;
=−
cp P
d℘ cv dP
=
,
℘ cp P
P cv /cp
℘0 = ℘ 0
.
P
(5.26)
Novamente, (5.26) relaciona ℘ com P em uma atmosfera adiabática seca e hidrostática cujos valores de densidade e pressão na superfície são ℘0 e P0 . Para
uma atmosfera qualquer, ela é usada para definir a densidade potencial ℘ :
℘ ≡ ℘
P cv /cp
0
P
.
(5.27)
A Figura 5.1 mostra os perfis de Pressão (a) e Densidade (b) do estado hidrostático de referência em uma atmosfera seca. Na figura 5.1, a interseção da
tangente em z = 0 com o eixo das ordenadas marca a altura de escala D.
5.3 – Hipóteses para a magnitude das flutuações de densidade
Para um fluido cujo estado hidrostático de referência tem uma altura de
escala D, suponha que o escoamento turbulento de interesse ocorre em uma
camada cuja espessura ` é tal que ` D. Para um ponto qualquer com 0 ≤ z ≤
`, a variação ∆ ℘r = ℘r (z) − ℘r (0) é
`
d℘r ` d℘r ` d℘r `
dz ≤
dz = ℘0 ,
dz ≤
max (5.28)
∆ ℘r ≤ D
0 dz 0
dz 0 dz
Segue-se que
∆ ℘r
℘0
≤
`
1.
D
(5.29)
Faça agora cada um dos campos instantâneos do escoamento ser decomposto na soma de um estado de referência hidrostático e de uma flutuação de
57
5.3 – Magnitude das flutuações de densidade
Boussinesq (cuidado: essa não é a decomposição de Renolds, e a flutuação não é
uma flutuação turbulenta):
Ui = 0 + Ui0,
(5.30)
℘ = ℘r + ℘0,
(5.31)
P = Pr + P 0 ,
(5.32)
T = Tr + T 0,
(5.33)
etc..
Um nível adicional de formalização pode ser obtido da seguinte forma: na
região 0 ≤ z ≤ `, a densidade de referência é muito proximamente igual à
expansão de ℘r até o primeiro termo de sua série de Taylor; de (5.13),
℘r
z
≈1− ,
℘0
D
(5.34)
donde
℘0
∂ ℘r
∼
.
(5.35)
∂z
D
Nós pretendemos avaliar a ordem de grandeza dos termos que comparecem
na equação diferencial de conservação de massa (3.6). Para isso, nós precisamos
estimar a ordem de grandeza dos gradientes de densidade, ∂ ℘/∂xi e dos gradientes de velocidade, ∂Ui /∂xi . Em ambos os casos, é preciso decompor o escoamento tanto em termos de estado hidrostático/flutuação dinâmica (Boussinesq)
quanto em termos de média/flutuação turbulenta (Reynolds). O processo, para
densidade, é como se segue:
℘ = ℘r + ℘0,
(5.36)
℘ = ℘r + ℘0 ,
(5.37)
℘ = ℘ + ρ,
(5.38)
℘ = ℘r + ℘ + ρ.
(5.39)
0
A aproximação de Boussinesq consiste, primeiramente, em supor
℘0 ∼ ℘0
`
℘r .
D
(5.40)
Em outras palavras, estamos supondo que as flutuações de densidade são, no
máximo, da mesma ordem que as variações na densidade de referência.
Conforme vimos acima, entretanto, não basta avaliar a ordem de grandeza
das flutuações de densidade; é preciso também estimar a ordem de grandeza dos
seus gradientes. Já temos uma estimativa da ordem de grandeza do gradiente
vertical de ℘r em (5.35).
Na sequência, será necessário fazer uma estimativa de ordem de grandeza
de ℘ e de seus gradientes. Também será necessário estimar a ordem de gran
deza de covariâncias turbulentas, por exemplo de ui ρ . As estimativas que nós
adotaremos são análogas às feitas em (4.12)–(4.14): são as seguintes:
0
℘ ∼ ρ̃,
(5.41)
58
5.4 – Conservação de massa
ρ̃
∂ ℘0
∼ ,
∂xi
`
ui ρ ∼ ũ ρ̃.
(5.42)
(5.43)
Como vimos no capítulo 4, ũ é uma escala macroscópica de velocidade, e é natural que ρ̃, agora, seja uma escala macroscópica de densidade. Note que, de
(5.40) e (5.41),
`
ρ̃ ∼ ℘0 .
(5.44)
D
Aqui, valem as mesmas considerações feitas na seção 4.2 a respeito da validade das estimativas (5.41)–(5.43), e uma releitura dessa seção é recomendável
para que o leitor reforce seu entendimento da utilidade desse tipo de estimativa,
mas também de suas limitações.
5.4 – A aproximação de Boussinesq para a conservação de massa
Comece agora com a equação instantânea de conservação de massa, (3.5),
e tire a média; então, utilizando a decomposição e os postulados de Reynolds,
obtém-se
∂ ℘ ∂( ℘Ui )
+
= 0,
∂t
∂xi
∂ ℘
∂ +
℘Ui = 0,
∂t
∂xi
∂ ℘
∂ +
[ ℘ + ρ][hUi i + ui ] = 0,
∂t
∂xi
∂ ℘
∂ +
℘ hUi i + ℘ ui + ρ hUi i + ρui = 0,
∂t
∂xi
∂ ρui
∂ ℘
∂ [ ℘ hUi i] +
+
= 0.
∂t
∂xi
∂xi
(5.45)
A equação (5.45) é a equação de conservação de massa exata para as médias.
Note o aparecimento das covariâncias ρui : a primeira lição é que em um escoamento com flutuações de densidade a equação da continuidade média contém
um termo envolvendo as covariâncias de densidade com a velocidade. Aplicando agora (5.39),
∂ ℘0
∂ ℘r
∂ ℘0
∂hUi i 0 ∂hUi i ∂ ρui
+ hUi i
+ hUi i
+ ℘r
+ ℘
+
= 0. (5.46)
∂t } | {z∂x}
∂x
∂x
∂x
∂x
i
i
i
i
i
| {z
| {z } | {z } | {z } | {z }
I
II
III
IV
V
VI
A ordem de grandeza de cada termo pode ser facilmente estabelecida:
ρ̃ũ
;
`
℘0ũ ρ̃ũ
II ∼
∼
;
D
`
ρ̃ũ
III ∼
;
`
I∼
59
IV ∼
℘0ũ
`
ρ̃ũ
V∼
`
ρ̃ũ
VI ∼
`
Em II, usamos (5.44). Em função de que `/D 1, ρ̃/℘0 1, é evidente que o
termo IV é muito maior do que todos os outros; nesse sentido, podemos escrever
!
ρ̃ ũ
∂hUi i
=O
≈ 0.
(5.47)
∂xi
℘0 `
Portanto, uma primeira consequência das hipóteses da aproximação de Boussinesq para as macroescalas é que o escoamento médio hU i é aproximadamente
solenoidal.
5.5 – A aproximação de Boussinesq para a equação de quantidade de movimento
Em notação indicial, a equação da hidrostática (5.11) pode ser escrita
℘r дi −
∂Pr
= 0.
∂xi
(5.48)
Introduza agora a decomposição de Boussinesq na forma de (5.31) e (5.32), por
enquanto apenas nos termos envolvendo a pressão e a aceleração da gravidade,
na equação para a quantidade de movimento, (3.33), e simplifique utilizando
(5.40) e (5.48):
f
g
∂
℘
U
U
i
j
∂( ℘Ui )
+
= ( ℘r + ℘0 ) дi − 2ϵijk ϖ jUk
∂t
∂x j
!
∂Sij
∂
∂Uk
0
+
−(Pr + P ) + λ
+ 2℘νu
,
∂xi
∂xk
∂x j
"
#
∂
℘
U
U
i
j
∂( ℘Ui )
∂Pr
+
= ℘r дi −
+℘0дi − 2℘ϵijk ϖ jUk
∂t
∂x j
∂x
| {z i }
≡0
!
∂Sij
∂
∂Uk
0
+
−P + λ
+ 2℘νu
,
∂xi
∂xk
∂x j
∂( ℘Ui ) ∂ ℘Ui Uj
+
≈ ℘0дi − 2℘r ϵijk ϖ jUk
∂t
∂x j
!
∂Sij
∂
∂Uk
0
+
−P + λ
+ 2℘r νu
.
(5.49)
∂xi
∂xk
∂x j
A hipótese fundamental da aproximação de Boussinesq para a equação de
quantidade de movimento consiste no seguinte: em (5.49), nós fazemos
℘r + ℘0 ≈ ℘r
(5.50)
60
em todos os termos em que ℘ aparece fora das derivadas, com base em (5.40), exceto no caso do termo de empuxo ℘0дi . Esse último fica como está. A justificativa
para esse procedimento tem base na física que estamos querendo representar
(e, num sentido matemático muito concreto, preservar!). Em escoamentos com
estratificação de densidade, esse é justamente o termo que produz convecção: é
mais ou menos óbvio que, se o desprezarmos, a equação resultante não será mais
capaz de representar nenhum efeito de empuxo devido a variações de densidade
dentro do fluido.
Além disso, a substituição de ℘ por ℘r apenas nos termos fora de derivadas
é um outro ponto crucial, já que ℘0 ℘r não implica ∂ ℘0/∂xk ∂ ℘r /∂xk !
Isso significa que não podemos fazer essa aproximação ainda no lado esquerdo
de (5.49). Muito pelo contrário, como ℘0 inclui as flutuações turbulentas, seus
gradientes incluem também os gradientes locais dessas flutuações, os quais, conforme vimos no capítulo 4, são muito maiores que os gradientes das grandezas
médias.
Portanto, a equação (5.49), nessa forma, é pouco útil, já que todos os gradientes que aparecem na equação envolvem tanto as macro quanto as microescalas que foram introduzidas no capítulo 4: não é possível fazer uma análise de
escalas de (5.49). O próximo passo é promediá-la:
∂ D℘U U E
i j
∂ ℘Ui
+
= ℘0 дi − 2℘r ϵijk ϖ j hUk i
∂t
∂x j
+
D E
∂ Sij
∂hUk i
∂
− P0 + λ
+ 2℘r νu
. (5.51)
∂xi
∂xk
∂x j
!
Os termos do lado direito de (5.51) estão prontos para uma análise de escalas, mas o lado esquerdo precisa ser “aberto”, com o uso, como sempre, da
decomposição e dos postulados de Reynolds:
∂ ℘Ui
∂ =
[ ℘ + ρ][hUi i + ui ]
∂t
∂t
∂ =
℘ hUi i + ℘ ui + ρ hUi i + ρui
∂t
∂ ℘ hUi i + ρui ;
=
∂t
e
D
E
∂ ℘Ui Uj
∂x j
D E
E
∂ D
[ ℘ + ρ][hUi i + ui ][ Uj + u j ]
∂x j
D E D EgE
D E
∂ Df
=
℘ hUi i Uj + ℘ hUi i u j + ℘ ui Uj + ρ hUi i Uj
∂x j
D E
gE
∂ Df
℘ uiu j + hUi i ρu j + Uj ρui + ρuiu j
+
∂x j
D E D
E
D E D E
D
Eg
∂ f
=
℘ hUi i Uj + ℘ uiu j + hUi i ρu j + Uj ρui + ρuiu j
∂x j
=
61
Substituindo em (5.51),
∂( ℘ hUi i) ∂ ρui
+
+
∂t D E ∂t D
E
D E
D E D
E
∂ ℘ hUi i Uj
∂ ℘ ui u j
∂ hUi i ρu j
∂ Uj ρui
∂ ρui u j
+
+
+
+
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
D
E
!
∂ Sij
0
∂hP 0i
∂
∂hUk i
= ℘ дi − 2℘r ϵijk ϖ j hUk i −
+
+ 2℘r νu
.
λ
∂xi
∂xi
∂xk
∂x j
É possível simplificar essa expressão utilizando a equação da continuidade promediada, (5.45):
( )
∂hUi i ∂ ρui
∂ ℘
∂ f
D E D Eg
+
+ hUi i
+
℘ Uj + ρu j +
℘
∂t
∂t
∂t
∂x j
|
{z
}
≡0
D
E
∂ DU E ρu ∂ Dρu u E
D
E
D
E
∂
u
u
i
j
j
i
i j
∂ ℘
∂hUi i ℘ Uj
+ ℘
+ ui u j
+
+
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
D E
!
∂ Sij
0
∂hP 0i
∂
∂hUk i
= ℘ дi − 2℘r ϵijk ϖ j hUk i −
+
λ
+ 2℘r νu
.
∂xi
∂xi
∂xk
∂x j
O surgimento de vários termos envolvendo ℘ fora de derivadas permite, mais
uma vez, usar (5.50) (na forma promediada, que utiliza (5.37)):
( )
∂ ℘
∂ f
D E D Eg
∂hUi i ∂ ρui
+
+ hUi i
+
℘ Uj + ρu j +
℘r
∂t
∂t
∂t
∂x j
|
{z
}
≡0
D
E
D E D
E
D
E ∂ ℘ ∂ Uj ρui
D E ∂hUi i
∂ ui u j
∂ ρui u j
℘r Uj
+ ℘r
+ ui u j
+
+
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
D E
!
0
∂
Sij
∂hP i
∂
∂hUk i
= ℘0 дi − 2℘r ϵijk ϖ j hUk i −
+
λ
+ 2℘r νu
.
∂xi
∂xi
∂xk
∂x j
Finalmente, expandimos ∂ ℘ /∂x j usando mais uma vez (5.37):
D
E
D
E
∂
u
u
i
j
∂hU i ∂ ρui
∂hUi i
℘r i +
+ ℘r Uj
+ ℘r
+
∂t } | {z
∂t }
∂x j
∂x j
| {z
| {z } | {z }
I
II
III
IV
D E D
E
D
E ∂ ℘r D
E ∂ ℘0
∂ Uj ρui
∂ ρui u j
ui u j
+ ui u j
+
+
∂x j
∂x j
∂x j
∂x
| {z } | {z } |
{z
} | {zj }
V
VI
VII
VIII
D E
!
0
∂
Sij
∂hP i
∂
∂hUk i
= ℘0 дi − 2℘r ϵijk ϖ j hUk i −
+
λ
+ 2℘r νu
. (5.52)
| {z } |
{z
} ∂xi
∂xi
∂xk
∂x j
|{z}
|
{z
} | {z }
IX
X
XI
XII
XIII
62
Se estendermos as estimativas de ordem de grandeza que já fizemos para velocidades e densidades para as pressões (em analogia, por exemplo, a (5.41)–(5.43)),
devemos ter:
0
P ∼ p̃,
(5.53)
0
∂hP i p̃
∼ ,
(5.54)
∂xi
`
ui p ∼ ũp̃.
(5.55)
As ordens de grandeza de cada termo se seguem:
I ∼ ℘0
ũ 2
,
`
ρ̃ũ 2
,
`
ũ 2
III ∼ ℘0 ,
`
ũ 2
IV ∼ ℘0 ,
`
II ∼
V∼
℘0
ũ 2 = ℘0
D
ρ̃ũ 2
VI ∼
,
`
ρ̃ũ 2
,
VII ∼
`
ρ̃ũ 2
VIII ∼
,
`
IX ∼ ρ̃д,
X ∼ ℘0 f ũ =
p̃
XI ∼ ,
`
` ũ 2
ũ 2
∼ ρ̃ ,
D `
`
℘0 f l
l ũ
ũ 2 ∼
ũ 2
1
℘0 ,
Ro `
ũ
ν
ũ 2
1
ũ 2
=
℘
=
℘
,
0
0
` 2 ũ`
`
Re`
`
ũ
ν
ũ 2
1
ũ 2
XIII ∼ ℘0ν 2 = ℘0 =
℘0 .
`
`
Re`
`
ũ`
XII ∼ ℘0ν
Os termos de maior ordem são I, III e IV (todos os três da mesma ordem), IX, e XI.
Esses dois últimos são os “forçantes” da equação de quantidade de movimento,
e consequentemente têm que produzir a ordem de magnitude observada em I,
III e IV. Em X, f = 2ϖ sen(ϕ) é o parâmetro, ou frequência, de Coriolis; ϕ é a
latitude; e
ũ
Ro ≡
(5.56)
f`
é o número de Rossby. Na escala ` do escoamento, o número de Rossby é muito
grande, e podemos desprezar X vis-à-vis I, III e IV. Da mesma forma, em escoamentos turbulentos na natureza, Re` é muito grande, e podemos desprezar XII
e XIII vis-à-vis I, III e IV.
63
A equação aproximada de quantidade de movimento resultante é
D E
D
E
!
∂
U
∂
u
u
hU
i
i
j
i
j
ρ̃ũ 2
0
∂hUi i
∂hP 0i
℘r
+ ℘r
+ ℘r
= ℘ дi −
+O
. (5.57)
∂t
∂x j
∂x j
∂xi
`
Uma última simplificação é possível abrindo a derivada do 2o termo à esquerda
e tomando ordens de grandeza:
D E
D E
D E ∂hUi i
∂ hUi i Uj
∂ Uj
= ℘r Uj
+ ℘r hUi i
℘r
∂x j
∂x j
∂x j
Utilizando (5.47),
D E ∂hUi i
℘r Uj
℘r hUi i
D E
∂ Uj
∼
¨ ℘0ũ
∂x j
∂x j
∼ ℘0
ũ 2
,
`
ρ̃ ũ ρ̃ũ 2
ũ 2
=
℘o ,
℘0 `
`
`
e portanto
D
E

!
D
E
∂
u
u
i j 
ρ̃ũ 2
0
∂hUi i
∂hUi i
∂hP 0i

 = ℘ дi −
+ Uj
+
+O
.
℘r 
∂x j
∂x j 
∂xi
`
 ∂t

(5.58)
Ficamos então com as seguintes relações de ordens de grandeza em (5.57)
ou (5.58):
ũ 2
,
`
p̃
ũ 2
∼ ℘0
⇒
`
`
p̃ ∼ ρ̃д`.
д ρ̃ ∼ ℘0
(5.59)
(5.60)
(5.61)
Flutuações de pressão são extremamente difíceis de medir na atmosfera.
Wyngaard (2010) dá a estimativa p ∼ ℘0ũ 2 para escoamentos com densidade
℘ constante (segundo o autor): note que isso é o mesmo que (5.60), que foi obtida sem exigência de constância da densidade do escoamento. Hauf et al. (1996)
observaram valores de p da ordem de 2,5 Pa, ou seja: da mesma ordem que a
estimativa de Wyngaard e de (5.60). Esses dados observacionais reforçam as
conclusões desta seção de que é razoável desprezar os efeitos das flutuações
de pressão sobre as flutuações (tanto no sentido de Boussinesq quanto no de
Reynolds) de densidade.
Levando (5.61) em (5.14), obtém-se as seguintes ordens de grandeza:
ρ̃
℘0
∼ βP T̃ + κT p̃ ,
|{z} |{z}
I
(5.62)
II
onde I representa a ordem de grandeza dos efeitos das flutuações de temperatura
sobre as flutuações de densidade, e II representa a ordem de grandeza dos efeitos
das flutuações de pressão sobre as flutuações de densidade. Utilizando os valores
listados nas páginas 51 e 52 para βP , κT , T0 , ℘0 , P0 ; ũ = 1 m s−1 , ` = 10 m, T̃ = 1 K,
e (5.59)–(5.61), obtemos as seguintes estimativas:
64
5.6 – A correlação pressão-temperatura
água: I ∼ 1,500 × 10−04 , II ∼ 4,900 × 10−07 ;
ar: I ∼ 3,470 × 10−03 , II ∼ 1,184 × 10−05 .
O efeito das flutuações de pressão sobre as de densidade é cerca de 100 vezes (no
ar) a 1000 vezes (na água) menor do que o efeito das flutuações de temperatura.
Isso permite simplificar (5.14) com (5.62) para
℘0 ≈ −℘r βP r T 0,
(5.63)
℘ ≈ −℘r βP r T 0 ,
(5.64)
ρ ≈ − ℘ β P m T.
(5.65)
0
Em (5.63)–(5.64), o coeficiente isobárico de expansão térmica é calculado em
(Tr ,Pr ):
βP r = βP (Tr ,Pr ),
porque se trata das flutuações em torno do estado de referência; em (5.65), ele é
calculado em (hT i , hPi):
βP m = βP (hT i , hPi),
porque se trata das flutuações turbulentas. Uma notação análoga vale para κT .
5.6 – A correlação pressão-temperatura
Ainda de (5.14), obtém-se
ρ
= −βP m T + κT mp,
(5.66)
κT mp βP T .
m (5.67)
℘
onde
Multiplicando-se (5.66) por T/ hT i e promediando-se,
ρT
pT
hTT i
= −βP m
+ κT m
,
℘ hT i
hT i
hT i
(5.68)
e pelos mesmos argumentos de ordens de grandeza de p e T ,
κT m p T βP hTTi .
m
(5.69)
Utilizando (5.16)–(5.17), e os valores respectivos utilizados para estimar ordens
de grandeza,
p T 1000 hTT i P0T0 ≈ P 0T0 .
(5.70)
100
T02
Sob a validade da hipótese de Boussiesq, pressão e temperatura são muito
fracamente correlacionadas (em termos das ordens de grandeza em (5.69); as
flutuações de densidade respondem basicamente às flutuações de temperatura
(densidade e temperatura são quase que perfeitamente anti-correlacionadas), e
as flutuações de pressão respondem essencialmente ao campo de flutuações de
velocidades, apenas.
65
5.7 – As ordens de grandeza da equação para a temperatura
0.150
0.125
0.100
βP T
0.075
0.050
0.025
0.000
−0.025
270
275
280
285
290
295
300
305
310
315
320
T (K)
Figura 5.2: Dependência de βP T com a temperatura para água líquida
Inicialmente, procuraremos escrever a equação da energia em uma forma
que atenda a dois requisitos importantes:
1. Ser expressa em termos de grandezas mensuráveis em princípio (note que
tanto (3.57) quanto (3.59) estão dadas em termos de funções termodinâmicas (U e H) que não são diretamente mensuráveis).
2. Ter validade tanto para líquidos quanto para gases.
Para tanto, partimos de (3.59), e utilizamos (5.4) e (5.8) para exprimir DH/Dt:
!
DH DP
∂ ∂T
−
= ℘cp ν T
+ Φ,
℘
Dt
Dt
∂x j ∂x j
"
!
!
#
!
∂H DT
∂H DP
DP
∂ ∂T
℘
+
−
= ℘cp ν T
+ Φ,
∂T P Dt
∂P T Dt
Dt
∂x j ∂x j
!
1 DT
DP DP
∂ ∂T
cp
+ V(1 − βP T )
−
= ℘cp ν T
+ Φ,
V
Dt
Dt
Dt
∂x j ∂x j
!
DT
DP
∂ ∂T
℘cp
− βP T
= ℘cp ν T
+ Φ.
(5.71)
Dt
Dt
∂x j ∂x j
Daqui para a frente, uma primeira aproximação (no sentido da aproximação
de Boussinesq) consistirá em supor que cp é avaliado no estado hidrostático
de referência. Com isso, poderemos supor cp “constante” e mantê-lo fora das
derivadas.
Para um gás ideal, βP T ≡ 1, o que simplifica bastante a análise subsequente
de (5.71); para água, entretanto, βP T varia consideravelmente com a temperatura. Isso pode ser visto nas figuras 5.2 and 5.3, onde essa função está plo-
66
0.070
0.060
0.050
βP T
0.040
0.030
0.020
0.010
0.000
284
286
288
290
292
T (K)
Figura 5.3: Dependência de βP T com a temperatura para água líquida na faixa
10–20◦ C.
tada para água à pressão atmosférica (http:www.physchem.kfunigraz.ac.
at/sm/Service/Water/H2Othermexp.htm).
Para Tr na faixa 10–20◦ C (que é um exemplo razoável de condições encontradas em escoamentos de água líquida no ambiente), tem-se
(βP T ) ≡ ϕ(T ) = ϕ(Tr ) + bT 0
= ϕ(Tr ) + b T 0 + b T
= ϕ(hT i) + b T
≈ ϕ(T ) + b T
= β P T + b T.
(5.72)
(pois ϕ é aproximadamente linear), onde b = 0.00356 K−1 é obtido por regressão
linear através dos pontos na figura 5.3. O único objetivo de (5.72) é proporcionar
uma base concreta sobre a qual estimativas de ordem de grandeza podem ser
feitas.
Em seguida, nós aproximamos a densidade do lado direito por ℘r (novamente, uma aproximação de Boussinesq) e utilizamos a equação da continuidade:
#
"
#
!
"
∂ ℘ ∂ ℘Uj
∂T
DP
∂ ∂T
∂T
+ Uj
+ Tcp
+
− βP T
≈ ℘r cp ν T
+ Φ;
℘cp
∂t
∂x j
∂t
∂x j
Dt
∂x j ∂x j
"
#
!
∂( ℘T ) ∂( ℘TUj )
DP
∂ ∂T
cp
+
− βP T
≈ ℘r cp ν T
+ Φ.
(5.73)
∂t
∂x j
Dt
∂x j ∂x j
Prosseguimos para promediar. A hipótese fundamental que simplificará extraordinariamente a álgebra é a ausência de correlação entre a temperatura e a
pressão. Como acabamos de ver, para um gás βP T ≡ 1, e nesse caso ficamos simplesmente com DhPi
Dt no termo correspondente. Para água, devido à dependência
67
de βP com T , temos formalmente:
*
+
Dp
DP DP βP T
= βP T
+b T
.
Dt
Dt
Dt
(5.74)
Estimativas da ordem de grandeza das correlações entre as flutuações de temperatura T e os gradientes de pressão não estão diretamente disponíveis, mas
parece muito razoável supor que elas não devem exceder as correlações entre
pressão e temperatura, das quais temos uma excelente estimativa em (5.70) em
termos dos valores ambientes (i.e., “médios”) de P e T . Adotando essas estimativas em (5.74), devemos agora ter:
b ∼ βP /10,
+
Dp
hT i DP ,
T
Dt
100 Dt
+
*
Dp
βP T DP 1 DP b T
≈
.
Dt
1000 Dt
23000 Dt
*
Os efeitos da correlação temperatura-(gradiente de pressão) na água são portanto desprezíveis, e adotamos
DP DP ≈ βP T
.
(5.75)
βP T
Dt
Dt
Com (5.75) em mãos, retornamos agora a (5.73) e promediamos:
D
E
 !
 ∂
℘
TU
j
DP ∂
℘
T
∂ ∂hT i

 − βP T
+
≈ ℘r cp ν T
+ hΦi ;
cp 
∂x j 
Dt
∂x j ∂x j
 ∂t

(5.76)
Os termos do lado esquerdo são expandidos da maneira usual:
∂ ℘T
∂ [ ℘ + ρ][hT i + T]
=
∂t
∂t
∂ =
℘ hT i + ℘ T + ρ hT i + ρ T
∂t
∂ =
℘ hT i + ρ T ;
∂t
e
D
E
∂ ℘TUj
∂x j
D E
E
∂ D
[ ℘ + ρ][hT i + T][ Uj + u j ]
∂x j
D E D EgE
D E
∂ Df
=
℘ hT i Uj + ℘ hT i u j + ℘ T Uj + ρ hT i Uj
∂x j
D E
gE
∂ Df
℘ Tu j + hT i ρu j + Uj ρ T + ρ Tu j
+
∂x j
D E D E
D E D E
D
Eg
∂ f
=
℘ hT i Uj + ℘ Tu j + hT i ρu j + Uj ρ T + ρ Tu j
∂x j
=
68
Substituindo em (5.76),
" ∂( ℘ hT i) ∂ ρ T
+
+
cp
∂t
∂t
D E
D E
D E
D E D
E
∂ ℘ hT i Uj
∂ ℘ Tu j
∂ hT i ρu j
∂ Uj ρ T
∂ ρ Tu j #
+
+
+
+
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
!
DP
∂ ∂hT i
− βP T
+ hΦi .
≈ ℘r cp ν T
Dt
∂x j ∂x j
Novamente, é possível simplificar essa expressão utilizando a equação da continuidade promediada, (5.45):
)
"
( ∂hT i ∂ ρ T
∂ ℘
∂ f
D E D Eg
+
+ hT i
+
℘ Uj + ρu j +
cp ℘
∂t
∂t
∂t
∂x j
|
{z
}
≡0
D E
D E D
E
D E ∂ ℘ ∂ Uj ρ T
∂ ρ Tu j #
D E ∂hT i ∂ Tu j
℘ Uj
+ ℘
+ Tu j
+
+
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
!
DP
∂ ∂hT i
− βP T
≈ ℘r cp ν T
+ hΦi .
Dt
∂x j ∂x j
O surgimento de vários termos envolvendo ℘ fora de derivadas permite, mais
uma vez, usar (5.50) (na forma promediada, que utiliza (5.37)):
( "
)
∂ ℘
∂hT i ∂ ρ T
∂ f
D E D Eg
cp ℘r
℘ Uj + ρu j +
+
+ hT i
+
∂t
∂t
∂t
∂x j
|
{z
}
≡0
D E
D E D
E
D E ∂hT i
D E ∂ ℘ ∂ Uj ρ T
∂ Tu j
∂ ρ Tu j #
℘r Uj
+ ℘r
+ Tu j
+
+
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
!
DP
∂ ∂hT i
− βP T
≈ ℘r cp ν T
+ hΦi .
Dt
∂x j ∂x j
Mais uma vez, expandimos ∂ ℘ /∂x j usando (5.37):
D E
D
E
∂
Tu j
∂ ρT
∂hT i
∂hT i
+ cp
+ cp ℘r Uj
+ cp ℘r
+
cp ℘r
∂t }
∂x j
∂x j
| {z∂t } | {z
|
{z
} | {z }
I
II
III
D IVE D
E
D E ∂ ℘r
D E ∂ ℘0
∂ Uj ρ T
∂ ρ Tu j
cp Tu j
+ cp Tu j
+ cp
+ cp
∂x j
∂x j
∂x j
∂x
| {z } |
{z
} |
{z
} | {z j }
V
VI
VII
! VIII
DP
∂ ∂hT i
− βP T
≈ ℘r cp ν T
+ hΦi . (5.77)
|{z}
∂x j ∂x j
| {z Dt } |
{z
}
XI
IX
X
Todos os termos de (5.77) estão prontos para uma análise de ordem de grandeza,
exceto pelo ainda ligeiramente problemático termo IX. Aqui, observe que
DP * D(P + P 0 ) +
r
=
Dt
Dt
69
*
+ * 0
+
∂P
∂Pr
∂P 0
= Uj
+
+ Uj
∂x j
∂t
∂x j
0
D E ∂Pr ∂hP i D E ∂hP 0i * ∂p +
= Uj
+
+ Uj
+ uj
∂x j
∂t
∂x j
∂x j
+
*
0
0
D
E
∂p
∂Pr ∂hP i
∂hP i
= hW i
+
+ Uj
+ uj
∂t
∂x j
∂x
| {z∂z} |{z}
| {z } | {z j}
i
ii
iii
(5.78)
iv
Em primeira aproximação, hW i ≈ 0. Uma análise de ordem de grandeza mais
consistente com o que é feito usualmente em camadas-limite, utilizando a equação da continuidade (5.47), é supor ∂ hU i /∂x ∂ hW i /∂z; mais especificamente, utilizaremos a altura de escala D para estimar os gradientes horizontais
de velocidade média (isso é, infelizmente, uma hipótese adicional):
ρ̃
`
hU i hW i
∼
⇒ hW i ∼ ũ =
ũ.
D
`
D
℘0
Retornando a (5.78), descobrimos que todos os termos são da mesma ordem:
i∼
ρ̃
℘0
ũ ℘0д =
ρ̃
℘0
ũ ℘0
p̃ũ
p̃
= ;
ρ̃`
`
p̃ũ
;
`
p̃ũ
iii ∼ ;
`
p̃ũ
ũ 3
iv ∼
= ℘0 .
`
`
ii ∼
Em (i), usamos (5.61); (ii) e (iii) são simples. (iv) é obtido supondo-so que as
flutuações turbulentas de velocidade e do gradiente de pressão são bem correlacionadas. À luz da equação não-promediada da quantidade de movimento (por
exemplo, (5.49)), isso parece razoável e bastante natural, já que os gradientes de
pressão por unidade de volume devem ser da mesma ordem que as acelerações.
Na segunda igualde de (iv), usamos (5.60).
Com isso, as ordens de magnitude de todos os termos de (5.77) estão estabelecidos:
I ∼ ℘0cp
T̃ũ
,
`
T̃ũ
II ∼ ρ̃cp ,
`
T̃ũ
III ∼ ℘0cp ,
`
T̃ũ
IV ∼ ℘0cp ,
`
V ∼ T̃ũ
℘0
D
T̃ũ
VI ∼ ρ̃cp
`
= ρ̃cp
T̃ũ
`
70
5.8 – A equação para a temperatura potencial
VII ∼ ρ̃cp
T̃ũ
`
T̃ũ
VIII ∼ ρ̃cp
`
IX ∼ (βP0T0 ) ℘0
X ∼ ℘0cp ν T
ũ 3
.
`
O parâmetro adimensional
T̃
`2
ũ 3
`
= ℘0cp
ν T νu T̃ũ
1
T̃ũ
=
℘0cp ,
νu ũ` `
PrRe`
`
XI ∼ ℘0
Ga0 ≡ βP0T0
(5.79)
é o número de Gay-Lussac; para o ar (como já vimos), Ga0 ≡ 1; para a água, um
valor conservador para sua ordem de magnitude (vide Figura 5.2) é βP0T0 ∼ 0,1.
Claramente, I, III e IV são os termos dominantes; II, V, VI, VII, VIII, saõ todos
da mesma ordem de magnitude, e bem menores; assim como X, uma vez que o
número de Reynolds Re` em escoamentos turbulentos é muito grande. IX e XI
podem ser comparados com (I,II,IV) por meio do número turbulento de Eckart,
Ec ≡
ũ 2
;
cp τ̃
(5.80)
obtemos
1
℘0ũ 3/`,
Ec
onde Ec = O(10−3 ) tanto para ar quanto para água. Portanto,
I,III,IV ∼
I,II,IV IX,XI.
Tanto para ar quanto para água, a equação simplificada para a temperatura
termodinâmica T que se obtém com a aproximação de Boussinesq é
D E
!
ρ̃ T̃ũ
∂hT i D E ∂hT i ∂ Tu j
+ Uj
+
=O
.
(5.81)
∂t
∂x j
∂x j
℘0 `
Observe que não houve necessidade, ainda, de introduzir a temperatura potencial: na região onde supomos que a aproximação de Boussinesq é estritamente
válida, `/D 1, é suficiente trabalhar com a temperatura termodinâmica T ,
mesmo no caso do ar.
Uma formulação alternativa para a equação da energia utiliza o conceito de
temperatura potencial. Para um gás ideal, H = H(T ), e (3.59) com (5.3) torna-se
!
DT DP
∂ ∂T
℘cp
−
= ℘cp νθ
+ Φ.
(5.82)
Dt
Dt
∂x j ∂x j
Utilizando a temperatura potencial introduzida em (5.25) e diferenciando,
dT dΘ R dP
=
+
,
T
Θ cp P
71
R DP
1 DΘ 1 DT
=
−
,
Θ Dt
T Dt cp P Dt
cp P DΘ
DT DP
= ℘cp
−
.
RΘ Dt
Dt
Dt
(5.83)
Comparando (??) com (??), chegamos finalmente à equação para a energia interna em termos da temperatura potencial,
!
cp P DΘ
∂ ∂T
= ℘cp νθ
+ Φ.
(5.84)
RΘ Dt
∂x j ∂x j
O termo
cp P cp P T
=
RΘ
RT Θ
é muito proximamente igual a
cp P
= cp ℘;
RT
de fato,
P
T
=
Θ
P0
! R/cp
д
=
T0 − c p z
T0
≈
287.15
= 0.9966,
288.15
para T0 = 288.15 K, д = 9.81 m2 s−1 , cp = 1005 J kg−1 K−1 e z = 100 m. Para
z = 1000 m, que é a ordem de grandeza da altura da camada-limite atmosférica, o
valor acima muda para 0.9661: ainda próximo de 1, mas com diferenças maiores
do que 1%. Debaixo das hipóteses da aproximação de Boussinesq, portanto,
podemos aproximar (??) por
!
∂ ∂T
DΘ
= ℘r cp νθ
℘cp
+ Φ.
(5.85)
Dt
∂x j ∂x j
Podemos agora manipular o lado esquerdo de (??) exatamente como fizemos
para ir de (5.73) até (5.77), só que com Θ no lugar de T . Basta, portanto, copiar
os termos dessa última com Θ em lugar de T :
D E
D
E
∂
θu j
∂ ρθ
∂hΘi
∂hΘi
cp ℘r
+ cp
+ cp ℘r Uj
+ cp ℘r
+
∂t }
∂x j
∂x j
| {z∂t } | {z
|
{z
} | {z }
I
II
III
D IVE D
E
D E ∂ ℘r
D E ∂ ℘0
∂ Uj ρθ
∂ ρθu j
cp θu j
+ cp θu j
+ cp
+ cp
∂x j
∂x j
∂x j
∂x
| {z } |
{z
} |
{z
} | {z j }
V
VI
VII
! VIII
∂ ∂hΘi
≈ ℘r cp ν T
+ hΦi . (5.86)
|{z}
∂x j ∂x j
|
{z
}
X
IX
Claramente, as mesmas escalas macroscópicas T̃ e ` aplicam-se a (??); as
ordens de magnitude são:
I ∼ ℘0cp
T̃ũ
`
,
72
II ∼ ρ̃cp
T̃ũ
`
III ∼ ℘0cp
,
T̃ũ
,
`
T̃ũ
IV ∼ ℘0cp ,
`
V ∼ T̃ũ
℘0
D
T̃ũ
VI ∼ ρ̃cp
`
T̃ũ
VII ∼ ρ̃cp
`
T̃ũ
VIII ∼ ρ̃cp
`
= ρ̃cp
IX ∼ ℘0cp ν T
X ∼ ℘0
ũ 3
.
`
T̃
`2
T̃ũ
`
= ℘0cp
T̃ũ
ν T νu T̃ũ
1
=
℘0cp ,
νu ũ` `
PrRe`
`
Mantendo-se apenas os termos de maior ordem de magnitude, o resultado é
uma equação análoga a (5.81):
D E
!
D
E
∂
θu j
ρ̃ T̃ũ
∂hΘi
∂hΘi
+ Uj
+
=O
.
(5.87)
∂t
∂x j
∂x j
℘0 `
A equação (??) é um pouco mais robusta e parcimoniosa de hipóteses do que
(5.81): em particular, não precisamos nos preocupar com a interação entre os
gradientes de pressão ∂Pr /∂z e a velocidade vertical média hW i: não precisamos supor portanto que hW i hU i, e (??) é aplicável mesmo em regiões de
alta velocidade vertical, como por exemplo dentro de térmicas. Por outro lado,
continuamos restritos a ` D: na análise de escalas que estamos fazendo aqui,
para a atmosfera, ` ∼ 1000 m já está claramente violando aquela condição, e não
há garantia (sob esse aspecto) de que as equações para as médias obtidas com a
aproximação de Boussinesq valham para toda a camada-limite atmosférica.
6
As equações de ordem 2
6.1 – Os gradientes microscópicos de densidade
A equação (5.65) nos permite obter microescalas de Kolmogorov para densidade. Definimos
!
*
+ 2 * ∂ T ∂ T + 2 Ť ! 2
∂ρ ∂ρ
ρ̌ 2
=
⇒
= ℘ βP m
= ℘ βP m
ηρ
∂x j ∂x j
∂x j ∂x j
ηT
℘
ρ̌ =
Ť,
(6.1)
hT i
para η ρ = η T . A linearidade entre as microescalas de densidade e de temperatura
produz agora as estimativas de ordem de grandeza
ρ̃
ρ̌
= Pe`1/2 ,
ηρ
`
ρ̌
= Re`−1/4 .
ρ̃
(6.2)
(6.3)
6.2 – A equação para as flutuações de densidade
A equação local de conservação de massa pode ser expandida em termos das
decomposições de Boussinesq e de Reynods:
∂ ∂ ℘r + ℘0 + ρ +
℘r + ℘0 + ρ (hUi i + ui ) = 0,
∂t
∂xi
0
∂ρ
∂ ℘
∂ ℘r
∂ ℘r
∂hUi i
∂ui
+
+ ℘r
+ hUi i
+ ℘r
+ ui
∂t
∂t
∂xi
∂x
∂xi
∂x
0 i
0i
∂ui
∂hUi i
∂ ℘
∂ ℘
+ hUi i
+ ℘0
+ ui
+ ℘0
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
∂ρ ∂(ρui )
∂hUi i
+ρ
+ hUi i
+
=0
∂xi
∂xi
∂xi
(6.4)
Muitos dos termos de (6.1) comparecem em (5.46); subtraindo a segunda da primeira,
∂ρ
∂ρ ∂(ρui ) ∂ ρui
∂ ℘r 0 ∂ui
∂ ℘0
∂ui
∂hUi i
+ ℘r
+ui
+ ℘
+ui
+ρ
+hUi i
+
−
=0
∂t
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
(6.5)
73
what am I doing here? can I go
away, please?
74
6.2 – A equação para as flutuações de densidade
É tentador estimar a ordem de grandeza de cada um dos termos de (6.2) individualmente, mas isso estaria errado! Exceto pelos dois últimos, a média de cada
um deles é identicamente nula (verifique, utilizando os postulados de Reynolds);
a média conjunta dos dois últimos também é zero, garantindo que a média da
equação como um todo é zero, como não poderia deixar de ser.
O foco de nosso interesse é a ordem de grandeza de ∂ui /∂xi em (6.2). Para
estimá-la, fazemos
∂ρ ∂uk
∂ui ∂uk
∂uk ∂ ℘r 0 ∂ui ∂uk
∂uk ∂ ℘0
+ ℘r
+ ui
+ ℘
+ ui
+
∂t ∂xk
∂xi ∂xk
∂xk ∂xi
∂xi ∂xk
∂xk ∂xi
∂ρ ∂uk ∂uk ∂(ρui ) ∂uk ∂ ρui
∂uk ∂hUi i
+ hUi i
+
−
= 0;
ρ
∂xk ∂xi
∂xi ∂xk ∂xk ∂xi
∂xk ∂xi
e promediamos:
*
+
*
+ *
+
*
+
∂ρ ∂uk
∂ui ∂uk
∂uk ∂ ℘r 0 ∂ui ∂uk
+ ℘r
+ ui
+ ℘
+
∂t ∂xk
∂xi ∂xk
∂xk ∂xi
∂xi ∂xk
| {z } | {z } | {z } |
{z
}
I
II
III
IV
*
+ *
+
*
+ *
+
∂ρ ∂uk
∂uk ∂ ℘0
∂uk ∂(ρui )
∂uk ∂hUi i
ui
+ ρ
+ hUi i
+
= 0. (6.6)
∂xk ∂xi
∂xk ∂xi
∂xi ∂xk
∂xk ∂xi
|
{z
} |
{z
} |
{z
} | {z }
V
VI
VII
VIII
Seguem-se agora, como já nos é familiar, as ordens de grandeza de cada
termo:
ρ̌ǔ 2
ρ̃ũ 2
I∼
= 2 Re`1/2 Pe`1/2 Re`−1/4
η ρ ηu
`
2
ρ̃ũ
ũ 2
(6.7)
= 2 Re` Pr1/2 Re`−1/4 = ρ̃ 2 Re`3/4 Pr1/2 ;
`
`
!2
ǔ
ũ 2
II ∼ ℘0
= ℘0 2 Re` ;
(6.8)
ηu
`
ρ̃
ũ 2
ǔ 2 ℘0 ũ 1/2
III ∼
= Re` ũRe`−1/4 = ρ̃ 2 Re`1/4 ;
(6.9)
ηu D
`
`
`
!2
ũ 2
ǔ
IV ∼ ρ̃
= ρ̃ 2 Re` ;
(6.10)
ηu
`
ũ 2
ǔ 2 ρ̃
= ρ̃ 2 Re`1/4 ;
(6.11)
V∼
ηu `
`
ũ
ũ
ũ 2
ǔ ũ
VI ∼ ρ̌
= ρ̃Re`−1/4 Re`1/2 = ρ̃ 2 Re`1/4 .
(6.12)
ηu `
`
`
`
ρ̌ ǔ
ρ̃
ũ
ũ 2
VII ∼ ũ
= ũ Re`1/2 Pr1/2 Re`1/2 = ρ̃ 2 Re` Pr.
(6.13)
η ρ ηu
`
`
`
O termo VIII é ligeiramente problemático, porque não está imediatamente claro
qual microescala devemos utilizar para estimar o gradiente de ∂(ρui )/∂xi . Podemos, é claro, abrir as derivadas com a regra da derivada do produto, e estimar
dois termos individualmente. Mas podemos, também, majorar o termo dividindo pelo menor entre (ηu ,η T ). De (4.28), para Pr ≥ 1, η T < ηu ; então,
VIII ∼
ǔ ρ̌ǔ ũ 1/2 ρ̃ 1/2 1/2
ũ 2
= Re` Re` Pr ũRe`−1/4 = ρ̃ 2 Re`1/4 Pr1/2 .
ηu η ρ
`
`
`
(6.14)
75
dal:
6.5 – A dedução das equações de ordem 2
Em primeira ordem, o campo de flutuações de velocidade também é solenoi*
!2


ρ̃
ũ

Re`  ;
 ℘0 `

!


ρ̃ 1/2 1/2 ũ 
∂ui

=O
Re`  .
∂xi
`
 ℘0

+
∂ui ∂uk
=O
∂xi ∂xk
(6.15)
(6.16)
6.3 – Um teorema útil
Teorema 1 Se u (x,t; ω) é um processo estocástico essacionário, então
*
+
du
u
= 0.
dt
Prova: como o processo é essacionário,
+
*
+
*
∂ D 2E
∂u
∂ 2
0=
u =2 u
.
u =
∂t
∂t
∂t
(6.17)
(6.18)
A mesma dedução vale para as derivadas parciais em relação a xi , donde
*
+
∂ui
ui
= 0.
(6.19)
∂xk
6.4 – Quantidade de movimento, a partir do zero
O lado esquerdo é o bicho, porque é aqui que estão os termos não-lineares,
e porque em princípio todos os ℘’s estão dentro de derivadas.
∂( ℘Ui ) ∂( ℘Ui Uj )
+
=
∂t
∂x j
∂[( ℘ + ρ)][hUi i + ui ) ∂( ℘Ui Uj )
+
=
∂t
∂x j
∂ D℘U U E
i j
∂ ℘Ui
+
=
∂t
∂x j
A partir de agora, nós vamos supor válidos a decomposição e os postulados
de Reynolds:
Ui = hUi i + ui ,
D
E
D E D
E
Ui Uj = hUi i Uj + ui u j ,
* +
∂f
∂ f
=
,
∂s
∂s
(6.20)
(6.21)
(6.22)
76
onde f é qualquer momento central e s é xk ou t. A aproximação de Boussinesq
complica a decomposição de Reynolds para ℘, T (ou Θ) e P. Como antes,
℘ = ℘ + ρ,
(6.23)
P = hPi + p,
(6.24)
porém agora vale também a separação de Boussinesq (??), de modo que
℘ = ℘r + ℘0 = ℘r + ℘0 + ρ = ℘r + ℘0 + ρ
(6.25)
P = Pr + P 0 = Pr + P 0 + p = Pr + P 0 + p
(6.26)
T = Tr + T 0 = Tr + T 0 + T = Tr + T 0 + T
(6.27)
Subtraindo-se ℘r , Pr e Tr das equações acima, vê-se que as flutuações turbulentas são as flutuações em relação às médias das flutuações dinâmicas, ℘0 =
0
℘ + ρ, P 0 = hP 0i + p, T 0 = hT 0i + T.
As equações com que vamos trabalhar são as equações de Navier-Stokes
com a aproximação de Boussinesq (??):
∂Uk
∂xk
∂Ui ∂Uk Ui
+
∂t
∂xk
= 0,
= −δi3д
(6.28)
℘0
1 ∂P 0
∂ 2Ui
. (6.29)
− 2ϵilk ϖl Uk −
+ ν (i)
℘r
℘r ∂xi
∂xk ∂xk
Nessa última, o i entre parênteses significa “não somar em i”. Note que, em
virtude de (6.14),
Uk
∂Ui
∂Uk
∂(Ui Uk )
∂Ui
= Uk
+ Ui
=
.
∂xk
∂xk
∂xk
∂xk
(6.30)
A média da equação da continuidade produz
*
+
∂hUk i ∂uk
∂hUk i ∂uk
∂uk
∂hUk i
+
=0 ⇒
+
=0 ⇒
= 0. (6.31)
=0 ⇒
∂xk
∂xk
∂xk
∂xk
∂xk
∂xk
Substituindo a decomposição de Reynolds na equação dinâmica,
∂hUi i ∂ui
∂
[(hUi i + ui )(hUk i + uk )] =
+
+
∂t
∂t
∂xk
"
#
0
℘ +ρ
1 ∂hPi ∂p
∂ 2 hUi i
∂ 2ui
−δi3д
−2ϵilk ϖl [hU ik + uk ]−
+
++ν (i)
+ν (i)
.
℘r
℘r ∂xi ∂xi
∂xk ∂xk
∂xk ∂xk
(6.32)
Note que a média de (6.18) destrói todos os termos que dependem linearmente
de uma flutuação. O único “problema” é com os termos não-lineares:
h[(hUi i + ui )(hUk i + uk )]i = hUi i hUk i + hui uk i ,
(6.33)
donde se deduz de uma vez por todas as equações para as médias,
0
℘
∂hUi i ∂
1 ∂hP 0i
∂ 2 hUi i
[hUi i hUk i + hui uk i] = −δi3д
+
−2ϵilk ϖl hUk i−
+ν (i)
.
∂t
∂xk
℘r
℘r ∂xi
∂xk ∂xk
(6.34)
77
O único termo “novo” é o fluxo cinemático turbulento hui uk i. Subtraindo (6.20)
de (6.18),
∂ui
∂
[ui huk i + hUi i uk + ui uk − hui uk i] =
+
∂t
∂xk
ρ
1 ∂p
∂ 2ui
− 2ϵilk ϖl uk −
+ ν (i)
, (6.35)
− δi3д
℘r
℘r ∂xi
∂xk ∂xk
cuja pré-multiplicação por u j dá
uj
∂ui
∂ui
∂hUi i
∂ui uk
∂hui uk i
+ huk i u j
+ u j uk
+ uj
− uj
=
∂t
∂xk
∂xk
∂xk
∂xk
uj ρ
1 ∂p
∂ 2ui
− δi3д
− 2ϵilk ϖl u juk − u j
+ ν (i)u j
, (6.36)
℘r
℘r ∂xi
∂xk ∂xk
É óbvio que uma equação igual a (6.22) vale se trocarmos os índices. Essas duas
equações irmãs devem ser combinadas agora. Note que
∂u j
∂ui u j
∂ui
= uj
+ ui
,
∂t
∂t
∂t
∂ui u juk
∂u j
∂ui uk
= uj
+ ui uk
∂xk
∂xk
∂xk
∂u
∂ui uk
j uk
+ ui
,
= uj
∂xk
∂xk
∂u j p
∂u j
∂p
= uj
+p
⇒
∂xi
∂xi
∂xi
∂u j
∂u j p ∂ui p
∂p
∂p
∂ui
+
= uj
+p
+ ui
+p
⇒
∂xi
∂x j
∂xi
∂xi
∂x j
∂x j
!
∂(u j p) ∂(ui p)
∂p
∂p
∂ui ∂u j
uj
+ ui
=
+
−p
+
.
∂xi
∂x j
∂xi
∂x j
∂x j ∂xi
O trabalho com o termo viscoso é um pouco mais sofisticado; note que
!
∂
∂ui
∂ 2ui
∂ui ∂u j
ν (i)u j
= ν (i)u j
+ ν (i)
;
∂xk
∂xk
∂xk ∂xk
∂xk ∂xk
(6.37)
(6.38)
(6.39)
(6.40)
por simetria,
!
∂u j
∂ 2u j
∂u j ∂ui
∂
ν (j)ui
= ν (j)ui
+ ν (j)
;
∂xk
∂xk
∂xk ∂xk
∂xk ∂xk
(6.41)
somando-se as duas, obtém-se o resultado importante:
!
∂ui ∂u j
∂ 2u j
∂u j ∂ 2ui
∂
∂ui
ν (i)u j
+ν (j)ui
=
ν (i)u j
+ ν (j)ui
− ν (i) + ν (j)
.
∂xk ∂xk
∂xk ∂xk
∂xk
∂xk
∂xk
∂xk ∂xk
(6.42)
A equação para os momentos de segunda ordem fica
D
E
D
E
D E
D
E
D
E ∂hUi i ∂ ui u juk
∂ ui u j
∂ ui u j
∂ Uj
+ hUk i
+ hui uk i
+ u j uk
+
=
∂t }
∂x
∂x
∂x
∂x
| {z
| {z k } | {z k} | {z k} | {zk }
I
II
III
IV
V
78
6.6 – Energia cinética turbulenta
f D
E
g
д D E
δi3 u j ρ + δ j3 ui ρ − 2ϖl ϵilk u juk + ϵ jlk hui uk i
−
℘
{z
}
| r
{z
} |
VII
VI
 D E
!+
 *
p ∂ui ∂u j
∂ ui p 
1  ∂ ujp

+
−
+
+
+
℘r  ∂xi
∂x j 
℘r ∂x j ∂xi
{z
}
| 
{z
} |
IX
VIII
*
+
*
+! * ∂ui ∂u j +
∂u j
∂ui
∂
ν (i) u j
+ ν (j) ui
− ν (i) + ν (j)
. (6.43)
∂xk
∂xk
∂xk
∂xk ∂xk
|
{z
} |
{z
}
X
XI
A contração de (6.29) produz a equação de transporte de (duas vezes a) energia cinética turbulenta,
∂hui ui i
∂hui ui i
∂hUi i ∂hui ui uk i
+ hUk i
+ 2 hui uk i
+
=
∂t
∂xk
∂x
∂xk
" k#
*
+
+
*
2д 2 ∂ ui p
∂
∂ui
∂ui ∂ui
−
u ρ −2ϵilk ϖl hui uk i−
+2ν (i)
ui
−2ν (i)
.
℘r 3
℘r ∂xi
∂xk
∂xk
∂xk ∂xk
(6.44)
Calculando as derivadas de produto do penúltimo termo,
∂hui ui i
∂hUi i ∂hui ui uk i
∂hui ui i
+ hUk i
+ 2 hui uk i
+
=
∂t
∂xk
∂xk
∂xk
" #
+
*
2 ∂ ui p
∂ 2ui
− 2ϵilk ϖl hui uk i −
+ 2ν (i) ui
. (6.45)
℘r ∂xi
∂xk ∂xk
Essa última equação “não conta toda a história” da turbulência corretamente.
Alguma melhora de interpretação pode ser obtida por meio da identidade (facilmente verificável)
*
+
*
+
∂2
∂ui ∂ui
∂ 2ui
= ν (i)
.
(6.46)
2ν (i) ui
hui ui i − 2ν (i)
∂xk ∂xk
∂xk ∂xk
∂xk ∂xk
É tentador identificar o primeiro termo do lado direito como um termo de difusão de energia cinética turbulenta (por analogia com o termo viscoso de NavierStokes) e o segundo como o termo de dissipação de energia cinética turbulenta;
no entanto, rigorosamente falando tal interpretação está errada! Lembre-se de
que o tensor de tensões depende do tensor taxa de deformação; consequentemente, antes da simplificação por meio da equação da continuidade, o termo
viscoso de Navier-Stokes para as flutuações turbulentas é
!
∂ ∂ui ∂uk
ν (i)
+
;
∂xk ∂xk ∂xi
pré-multiplicando-se por u j encontra-se o produto
!
(
"
!#
!
)
∂ ∂ui ∂uk
∂
∂ui ∂uk
∂ui ∂uk ∂u j
u j ν (i)
+
= ν (i)
uj
+
−
+
,
∂xk ∂xk ∂xi
∂xk
∂xk ∂xi
∂xk ∂xi ∂xk
(6.47)
79
cujo lado direito é exatamente igual aos termos IV e V da equação (1-110) de
Hinze (1975). Tirando-se os valores esperados, fazendo-se a contração i = j, e
multiplicando-se por 2, conclui-se que
*
+ *
+#
*
+
!+
"*
∂ ∂ui ∂uk
∂ ∂uk
∂ 2ui
∂ 2ui
2 ui ν (i)
+
+ ui
= 2ν (i) ui
= 2ν (i) ui
∂xk ∂xk ∂xi
∂xk ∂xk
∂xi ∂xk
∂xk ∂xk
*
+
2
∂ui ∂ui
∂
= ν (i)
hui ui i − 2ν (i)
∂xk ∂xk
∂xk ∂xk
|
{z
}
≈2ϵe
*
!+
*
!
+
∂
∂ui ∂uk
∂ui ∂uk ∂ui
= 2ν (i)
ui
+
− 2ν (i)
+
(6.48)
∂xk
∂xk ∂xi
∂xk ∂xi ∂xk
|
{z
}
2ϵe
Essa é a equação que antecede (1-111) de Hinze (1975) (p. 74). Na primeira
linha, note a simplificação com a equação da continuidade. A segunda linha é a
aplicação de (6.32). A terceira linha é o valor esperado do lado direito de (6.33),
com a contração i = j.
Compare o segundo termo do lado direito da terceira linha de (6.34) com
(3.57): conforme indicado na chave horizontal, este é o termo exato para a taxa
média de dissipação de energia cinética turbulenta ϵ. De fato,
!
+
*
!
+
*
1 ∂ui ∂uk ∂ui
∂ui ∂uk ∂ui
+
+
= 4ν (i)
2ν (i)
∂xk ∂xi ∂xk
2 ∂xk ∂xi ∂xk
+
*
∂ui
= 4ν (i) sik
∂xk
*
!+
∂ui
∂uk
= 2ν (i) sik
+ ski
∂xk
∂xi
!+
*
∂uk
∂ui
+ sik
= 2ν (i) sik
∂xk
∂xi
*
!+
∂ui ∂uk
= 2ν (i) sik
+
∂xk ∂xi
= 2 × 2ν (i) hsik sik i = 2ϵe .
(6.49)
O motivo deste longo exercício é que vemos agora que podemos escrever a
equação para a energia cinética da turbulência, (6.31), de outras duas formas que
enfatizam um pouco melhor os termos que são responsáveis, aproximadamente
ou exatamente, pela taxa de dissipação de energia cinética turbulenta ϵe .
Assim se usarmos (6.32) em (6.34), e dividirmos por 2 (para encontrarmos a
equação de evolução de ui ui /2), teremos
∂ ui ui ∂ ui ui ∂hUi i 1 ∂hui ui uk i
+ hUk i
+ hui uk i
+
=
∂t 2
∂xk 2
∂xk
2 ∂xk
" #
*
+
1 ∂ ui p
∂ 2 ui ui ∂ui ∂ui
− ϵilk ϖl hui uk i −
+ ν (i)
− ν (i)
. (6.50)
℘r ∂xi
∂xk ∂xk 2
∂xk ∂xk
|
{z
}
≈ϵe
Por outro lado, se usarmos a primeira e última linhas de (6.33), a mesma equação
fica
80
∂ ui ui ∂ ui ui ∂hUi i 1 ∂hui ui uk i
+
=
+ hUk i
+ hui uk i
∂t 2
∂xk 2
∂xk
2 ∂xk
" #
*
!+
*
!
+
1 ∂ ui p
∂
∂ui ∂uk
∂ui ∂uk ∂ui
−ϵilk ϖl hui uk i−
+ν (i)
ui
+
−ν (i)
+
.
℘r ∂xi
∂xk
∂xk ∂xi
∂xk ∂xi ∂xk
|
{z
}
≡ϵe
(6.51)
Em um certo sentido, (6.37) é mais “correta” do que (6.36) porque nela ϵe aparece
explicitamente, e extamente. Agora, se a turbulência for homogênea, os dois
penúltimos termos de (6.36) e de (6.37) são nulos, e o último termo de (6.36)
para ϵe torna-se exato. Em turbulência homogênea portanto, vale
+
*
+
*
+
!
*
∂ui ∂ui
∂uk ∂ui
∂ui ∂uk ∂ui
+
= ν (i)
⇒
= 0.
(6.52)
ϵe = ν (i)
∂xk ∂xi ∂xk
∂xk ∂xk
∂xi ∂xk
A equação (6.38) é uma entre várias relações similares que podem ser obtidas
em turbulência homogênea e incompressível. Sua dedução pode ser feita diretamente a partir das hipóteses de homogeneidade e incompressibilidade:
*
+
∂
∂ui
uk
= 0,
∂xi
∂xk
*
+ *
+
∂uk ∂ui
∂ 2ui
+ uk
= 0,
∂xi ∂xk
∂xi ∂xk
*
+ *
+
∂uk ∂ui
∂ ∂ui
+ uk
= 0,
∂xi ∂xk
∂xk ∂xi
*
+
∂uk ∂ui
(6.53)
=0
∂xi ∂xk
Resultados um pouco mais gerais também se aplicam:
*
+
∂
∂ui
uk
= 0,
∂xk
∂x j
*
+ *
+
∂ 2ui
∂uk ∂ui
uk
+
= 0,
∂xk ∂x j
∂xk ∂x j
*
+
∂ 2ui
uk
=0
∂xk ∂x j
(6.54)
Finalmente, usando (6.40),
*
+
∂
∂ui
uk
= 0,
∂x j
∂xk
*
+ *
+
∂uk ∂ui
∂ 2ui
+ uk
= 0,
∂x j ∂xk
∂x j ∂xk
*
+
∂uk ∂ui
=0
∂x j ∂xk
(6.55)
81
6.7 – As ordens de grandeza dos termos das equações de ordem 2
A escala integral T de um processo estocástico u (t ) essacionário com média
zero é definida por meio da integral da função de autocorrelação:
D
E +∞
2
T Ruu (0) = T u (t ) ≡
Ruu (τ ) dτ .
(6.56)
−∞
No caso de turbulência tridimensional, a rigor existiriam diversas “escalas”
integrais para as diferentes funções de correlação Ri,j , Ri,jk , etc. Por simplicidade, vamos definir uma escala integral de comprimento L supondo (provisoriamente) que a turbulência seja homogênea, e escolhendo as flutuações u 1 na
direção x 1 :
hu 1u 1 i L ≡
+∞
−∞
R 11 (x 1 ) dx 1 .
(6.57)
Existem diversas formas de se escolher uma escala de velocidade ũ (por
exemplo, a velocidade de atrito é sempre uma candidata); para os nossos propósitos (e também porque em turbulência isotrópica essa é uma variável particularmente frequente) provavelmente basta usar o desvio-padrão:
ũ ≡
p
hu 1u 1 i.
(6.58)
Uma escala de tempo agora se segue naturalmente,
t˜ ≡ L /ũ.
(6.59)
Em geral os textos e artigos científicos mencionam as “escalas integrais”,
sem serem precisos nem atentarem ao fato de que em processos estocásticos
multidimensionais existem muitas possíveis escalas integrais, e ainda que quando
a turbulência for não-homogênea a definição clássica baseada na função de autocorrelação é simplesmente inaplicável, já que neste tipo de turbulência a função de autocorrelação simplesmente não existe.
Prosseguindo, define-se a microescala de Taylor λ por
∂ 2R 1,1 (x1, 0, 0) hu 1u 1 i
≡ −2 2 .
∂x 1 ∂x 1
λ
x 1 =0
Teorema 2 Em turbulência homogênea,
*
+
∂u 1 ∂u 1
hu 1u 1 i
=
.
∂x 1 ∂x 1
λ2
(6.60)
(6.61)
Prova:
R 1,1 (x 1 , 0, 0) = hu 1 (0, 0, 0)u 1 (x 1 , 0, 0)i ,
*
+
∂R 1,1 (x 1 , 0, 0)
∂u 1 (x 1 , 0, 0)
= u 1 (0, 0, 0)
,
∂x 1
∂x 1
*
+
∂ 2R 1,1 (x 1 , 0, 0)
∂ 2u 1 (x 1 , 0, 0)
= u 1 (0, 0, 0)
.
∂x 1 2
∂x 1 ∂x 1
(6.62)
82
Mas em turbulência homogênea, vale (6.3), na forma
*
+
∂u 1
u1
= 0;
∂x 1
derivando novamente essa última expressão,
+ *
+
*
∂u 1 ∂u 1
∂ 2u 1
+
= 0,
u1
∂x 1 2
∂x 1 ∂x 1
(6.63)
(6.64)
donde se segue (6.47).
Vamos agora estudar as ordens de grandeza dos termos de (6.29). Nós começamos por admitir que, em geral,
D
E
O ( ui u j ) = ũ 2 .
(6.65)
Os termos I e II têm que ter (no máximo) a mesma ordem de grandeza dos demais, já que juntos eles formam uma “derivada material” seguindo o escoamento
médio,
D
E
D
E
D
E
∂ ui u j
∂ ui u j
D ui u j
≡
+ hUk i
.
(6.66)
Dt
∂t
∂xk
Note que (6.52) pode ser interpretada como a derivada material seguindo o escoamento médio, já que é formada com hUk i, e não com Uk . A barra sobre o D
serve para explicitar a diferença.
Vamos também supor que as escalas integrais (ou, como dizem os russos,
externas) são impostas fisicamente ao escoamento, e por conseguinte estão relacionadas com os gradientes de velocidade média:
ũ
∂hUi i
∼
.
∂xk
L
(6.67)
Neste caso,
ũ 3
(6.68)
L
no máximo, porque na verdade não temos muita idéia sobre o comportamento
das correlações triplas. Continuando,
O (III, IV, V) ∼
O (VI) ∼
дũϱ
℘r
,
(6.69)
onde ϱ é a escala externa das flutuações de densidade. Isso na verdade define
uma nova escala de comprimento,
дũ
ϱ
℘r
≡
дϱ
ũ 3
⇒ Lρ = 2 ,
Lρ
ũ ℘r
(6.70)
o que nos deixa a um passo do comprimento de essabilidade de Obukhov.
A ordem de grandeza das covariâncias com a pressão vem a seguir. É razoável supor que
p ∼ ℘r ũ 2 ,
(6.71)
83
mas ainda é necessário estimar o nível de correlação entre p, ui e ∂ui /∂xk . Note
que, se ui e ∂ui /∂xk fossem bem correlacionados, então hui ∂ui /∂xk i ∼ ũ 2 /λ
em virtude de (6.47); no entanto, seguindo a linha de raciocínio de Tennekes e
Lumley (1972, p. 70):
+
*
1 ∂
ũ 2
ũ 2
∂ui
=
.
(6.72)
ui
hui ui i ∼
∂xk
2 ∂xk
L
λ
O motivo para essa discrepância é que ui e ∂ui /∂xk não estão distribuídos na
mesma faixa de números de onda. De fato, se pensarmos nos espectros respectivos,
Φ ∂ui , ∂ui ∼ k 2 Φi,i ,
(6.73)
∂x k ∂x k
ou seja, as faixas de números de onda das derivadas é bem mais alta. Daqui
somos capazes de deduzir que o nível de correlação entre ui e suas derivadas
espaciais é
λ
.
(6.74)
ru , ∂ui ∼
i ∂x
L
k
Note que o coeficiente de correlação é identicamente nulo em turbulência homogênea.
A ordem de grandeza dos termos envolvendo a aceleração de Coriolis é:
O (VII) ∼ 2ϖũ 2 .
(6.75)
Note que se os termos dominantes da equação de momentos de ordem 2 são de
ordem ũ 3 /L , o número de Rossby turbulento é
Ro =
ϖL
ϖũ 2
=
∼ 0,007 1,
3
ũ /L
ũ
(6.76)
donde se conclui que a influência destes termos na turbulência propriamente
dita é desprezível.
Da mesma forma que no caso de hui ∂ui /∂xk i, VIII é nulo em turbulência
homogênea; alguns autores (Stull, por exemplo) sugerem que VIII é desprezível
na camada-limite atmosférica. Neste ponto, parece razoável partir da idéia de
que se um termo é nulo em turbulência homogênea, ele deve ser relativamente
pequeno em turbulência não-homogênea real. É claro que isso não resolve a
questão do nível de correlação entre flutuações de pressão e as derivadas das
flutuações de velocidade. Talvez o melhor que se possa fazer a essa altura (alguma contribuição para os modelos de fechamento dos termos de pressão?) seja
mencionar que um modelo clássico de fechamento é (Hinze, 1975)
√
*
!+
ũ 3
E 1
p ∂ui ∂u j
c huk uk i D
+
=
ui u j − δij huk uk i ∼
.
(6.77)
℘r ∂x j ∂xi
L
6
L
Isso significa que os termos de correlação de pressão são importantes, da mesma
ordem que os termos de produção e (possivelmente) de correlação tripla.
Continuamos a análise de ordens de grandeza, atacando agora os termos
que envolvem viscosidade. Ao olhar para X, vemos imediatamente um termo
84
que é identicamente nulo em turbulência homogênea; é de se esperar portanto
que sua importância em geral seja pequena; nossa estimativa é
O (X) =
enquanto que
ũ
O (XI) = ν
λ
ν ũ 2
1 ũ 2
(ν ) = 2 ,
L L
L
!2
ν ũ 2
L2
se i = j!
(6.78)
(6.79)
Essa rápida análise mostra que o termo difusivo X é muito menor que o termo
dissipativo XI. Neste ponto, é interessante definir uma taxa de dissipação de
covariância,
+
*
∂ui ∂u j
2
≈ δij ϵe .
(6.80)
2ϵij ≈ (ν (i) + ν (j) )
∂xk ∂xk
3
Segundo Wyngaard (1981), a 2a equação é estritamente válida se a turbulência
for isotrópica. Ver também Hinze (1975, p. 189).
***coloca o 6 aqui!!!!!
7
O espaço de Fourier
Nosso principal objetivo neste capítulo é compreender séries e transformadas
de Fourier em 3 dimensões. Além disso, em processos estocásticos homogêneos
e/ou essacionários, não existem transformadas de Fourier do campo de velocidade em termos de funções clássicas, já que as integrais correspondentes não
convergem. Uma abordagem alternativa é necessária, a qual pode ser obtida
ou com o Teorema da Representação Espectral ou com o uso de distribuições
(funções generalizadas). Em ambos os casos, é necessário trabalhar com integrais mais gerais que a de Riemman, e por este motivo nós fazemos uma breve
revisão das integrais de Lebesgue e Stieljes. O capítulo termina com um empreendimento considerável, que é a obtenção da Transformadas de Fourier das
equações de Navier-Stokes, que foram deduzidas no capítulo ??.
7.1 – Séries de Fourier
Seja f (x ), x ∈ [0,L], f contínua por partes em Ω = [0,L]. Então,
f (x ) =
cn =
+∞
X
cn e
n=−∞
L
1
L
0
2inπ x
L
,
f (x )e −
(7.1)
2inπ x
L
dx .
(7.2)
A equação (7.1) é uma série de Fourier complexa. Para provar (7.2), note que
L
L
2i (m−n)π x
x
2inπ x
− 2imπ
+
I=
e L e L dx =
e− L
dx = δmn L.
(7.3)
0
0
De fato, podemos separar os seguintes casos:
m = n ⇒ I = L;
L
m,n ⇒ I = −
e −2i (n−m)π − 1 = 0,
2i (n − m)π
pois
e −2kiπ = cos(2kπ ) − i sen(2kπ ) = 1.
(7.4)
(7.5)
(7.6)
Suponha agora que (7.1) seja válida; então, formalmente temos
f (x )e
x
− 2imπ
L
=
+∞
X
n=−∞
85
cn e −
2imπ x
L
e
2inπ x
L
,
(7.7)
86
7.1 – Séries de Fourier
0
L
f (x )e
x
− 2imπ
L
+∞
X
dx =
cn
n=−∞
|0
L
e−
2imπ x
L
e
{z
2inπ x
L
δmn L
dx ,
}
(7.8)
L
2imπ x
1
f (x )e − L dx .
(7.9)
L 0
Mudando a notação de cn para uD(kn ), uma série de Fourier é efetivamente uma
transformada de Fourier quando a função u (x ) ocupa um domínio Ω finito (ou
ainda, é de suporte compacto). A nova notação dá ênfase a este fato:
1 L
u (x )e −ikn x dx,
(7.10)
uD(kn ) =
L 0
+∞
X
u (x ) =
uD(kn )e ikn x
(7.11)
cm =
n=−∞
2πn
.
L
A última equação acima define o número de onda kn .
Generalizando para 3 dimensões, devemos ter
1
D(k ) = 3
u
u (x,t )e −ik·x d 3x
L x ∈Ω
X
D(k )e ik·x .
u
u (x ) =
kn =
(7.12)
(7.13)
(7.14)
k
Para “provar” (formalmente apenas) essas relações:
e −i (p·x ) e i (k·x ) d 3x =
(7.15)
x ∈Ω
e −i (p1x 1 +p2x 2 +p3x 3 ) e +i (k1x 1 +k2x 2 +k3x 3 ) dx 1dx 2dx 3 =
(7.16)
x ∈Ω
" L
# " L
# " L
#
i (k 1 −p1 )x 1
i (k 2 −p2 )x 2
i (k 3 −p3 )x 3
e
dx 1
e
dx 2
e
dx 3 .(7.17)
x 1 =0
x 2 =0
x 3 =0
Essas 3 integrais são independentes umas das outras (Teorema de Fubini), e o
resultado de seu produto será diferente de zero sempre que ki = pi para i = 1 e
i = 2 e i = 3, ou seja: apenas quando p = k. Em qualquer outro caso, a integral
é nula:
(
L3 p = k,
−i (p·x ) i (k·x ) 3
e
e
d x=
(7.18)
0 p , k.
x ∈Ω
De posse deste atraente resultado, e partindo de (7.14):
X
D(k )e −i (p·x ) e i (k·x )
u (x )e −i (p·x ) =
u
(7.19)
k
x ∈Ω
u (x )e
−i (p·x )
3
d x =
X
k
1
D(k ) = 3
u
L
com inversa
u (x ) =
X
k
D(k )
u
x ∈Ω
x ∈Ω
e −i (p·x ) e i (k·x )
u (x )e −i (k·x ) d 3x
D(k )e i (k·x ) .
u
(7.20)
(7.21)
(7.22)
87
7.2 – Diferentes tipos de integral
Figura 7.1: Soma inferior de Riemman
7.2.1 – Integral de Riemman
A integral de Riemman é baseada no conceito do limite da soma sob (ou
sobre) f (x ). As condições necessárias para a sua existência são que os limites
de integração a e b devem ser finitos, e que a função deve ser limitada no intervalo aberto (a,b). Consequentemente (Champeney, 1989), a integral própria
de Riemman é incapaz de lidar com limites infinitos de integração (a ou b ou
ambos) ou com singularidades infinitas de f (x ). Para que este tipo de integral
“imprópria” seja possível, é necessário definir um processo adicional de limites:
+∞
−∞
f (x ) dx ≡ a→−∞
lim
b→+∞
a
b
f (x ) dx .
(7.23)
Quando existe uma singularidade de f (x ) em c ∈ (a,b), é necessário adicionalmente trabalhar com as integrais sobre (a,c) e (c,b), desde que o resultado faça
algum tipo de sentido (por exemplo, o valor principal de Cauchy).
7.2.2 – Integral de Lebesgue
Para se definir a integral de Lebesgue, são necessários alguns passos preliminares.
Definição 1 Um conjunto de números reais é um conjunto nulo ou tem medida
zero quando, ∀ϵ > 0, é possível cobrir todos os pontos do conjunto com uma
quantidade finita ou enumerável de intervalos abertos (ai ,bi ) tais que
X
(bi − ai ) < ϵ.
(7.24)
i
Se uma determinada propriedade P aplica-se a todos os números reais (ou a
todos os pontos de um domínio, etc.) exceto para um sub-conjunto de medida
zero, diz-se que P se aplica quase sempre ou em quase todo x (q.t.x.). Se f (x ) =
88
д(x ) exceto em um conjunto de medida zero, diz-se que f e д são essencialmente
iguais.
Para definir a integral de Lebesgue, construa um conjunto de funções-degrau,
i.e.: funções constantes sobre cada um dos intervalos (a 0 ,a 1 ], (a 1 ,a 2 ], . . . , (an−1 ,an ]
com a 0 < a 1 < . . . < an . Considere agora uma sequência de funções-degrau
f 1 (x ), f 2 (x ), . . . , fm (x ) (note que os índices de f e de a são diferentes; em particular, para cada índice m de fm (x ) poderá haver um n diferente: n = n(m)).
Uma tal sequência é crescente quando
fm+1 (x ) ≥ fm (x ), ∀x,m.
(7.25)
Segundo Champeney, não há restrições sobre a altura de cada degrau, se f (x )
tende ou não a infinito em cada degrau, se o número n de degraus tende a infinito
ou não, se a base a j+1 − a j tende a zero ou não, etc. Simplesmente, constrói-se a
soma
n(m)
X
Im =
(ai+1 − ai ) fm (x ),
(7.26)
i=1
onde obviamente fm (x ) é constante para cada x ∈ (ai ,ai+1 ]. Se existir o limite
I = lim Im ,
(7.27)
f (x ) = lim fm (x ), q.t.x.
(7.28)
m→∞
e se
m→∞
então I é a integral de Lebesgue de f . Note como a integral é definida em princípio sobre todo o conjunto dos números reais; o intervalo de integração passa
a depender da definição dos valores de f . Ainda segundo Champeney, seja C a
condição:
f definida no intervalo [a,b] é contínua q.t.x., e f é limitada em
[a,b].
Então C é uma condição necessária e suficiente para a existência da integral de
Riemman, e uma condição suficiente para a integral de Lebesgue. Isso significa
que “Riemman implica Lebesgue”, mas não o contrário, ou seja: a integral de
Lebesgue é mais geral que a de Riemman, podendo lidar com casos de funções
que não são Riemman-integráveis.
Finalmente, com o conceito de integral de Lebesgue em mãos, é possível
dar a seguinte definição de medida. Dado um conjunto E, define-se a função
indicador de E como
(
1,
x ∈ E,
IE (x ) ≡
(7.29)
0,
x < E.
Definição 2 Se IE (x ) é Lebesgue-integrável, a medida de E é
µ (E) ≡ IE (x ) dx
(integral no sentido de Lebesgue, é claro).
(7.30)
89
Naturalmente, é possível definir primeiro medida e depois integral de Lebesgue. Em termos de teoria da medida, cada medida µ distinta em Rn define uma
nova integral, que se denota por
f (x ) dµ ou f (x ) µ (dx ).
De fato, a medida de Lebesgue de um intervalo (a,b] é simplesmente µ (a,b] =
b − a.
Definição 3 L é o espaço das funções f Lebesgue-integráveis em Rd , isso é, todas
as funções f tais que
f (x ) d d x < ∞.
(7.31)
Definição 4 Lp é o espaço das funções f tais que
| f (x )|p d d x < ∞.
(7.32)
Definição 5 A norma p de uma função f ∈ Lp é
! 1/p
p d
k f (x )kp ≡
| f (x )| d x
.
(7.33)
7.2.3 – Integral de Stieltjes
Seja F (x ) uma função monótona e não-decrescente com
lim F (x ) = 0,
(7.34)
lim F (x ) = 1, e
(7.35)
F (x + a) − F (x ) ≥ 0, ∀a > 0.
(7.36)
x→−∞
x→+∞
Considere agora uma função f (x ) entre a e b; define-se a integral de Stieltjes
como
b
N
X
f (x ) dF (x ) ≡
lim
f (xk∗ )(F (xk ) − F (xk−1 )),
(7.37)
max |x k −x k−1 |→0
N →∞
a
k=1
onde a = x 0 < x 1 < . . . < xn = b e xk−1 < xk∗ < xk .
A integral imprópria é o limite
+∞
b
f (x ) dF (x ) ≡ a→−∞
lim
f (x ) dF (x ).
−∞
a
b→+∞
(7.38)
A integral de Stieltjes é uma generalização da integral de Riemman (Shilov
e Gurevich, 1977). Ela pode ser relacionada bi-univocamente com uma medida
µ em R (Billingsley, 1986) de tal forma que
A⊂R
F ↔ µ
f (x ) dF =
A⊂R
(7.39)
f (x ) dµ.
(7.40)
90
7.3 – Energia cinética e a igualdade de Parseval
7.3 – Energia cinética e a igualdade de Parseval
A igualdade de Parseval aplica-se a um espaço de funções f (x ) de dimensões finitas ou infinitas (mas o último caso é o único interessante) na forma
(Greenberg, 1978, p. 327)
X
X
cnen (x ),
(7.41)
f (x ) =
( f ,en )en (x ) =
n
k f (x )k
2
=
X
2
|cn | ,
(7.42)
n
onde (·, ·) significa o produto interno. Note que (7.42) é uma generalização do
Teorema de Pitágoras. Os en (x )’s são funções ortonormais que geram o espaço
de funções, e a norma k · k é definida pelo produto interno utilizado. No nosso
caso, trata-se da norma L 2 definida em (7.33) com p = 2. De fato, se
( f ,д) ≡
f ∗д d 3x,
(7.43)
Ω
onde ∗ significa o conjugado complexo, então
∗
3
| f | 2 d 3x = k f k22 .
f fd x=
(f , f ) =
Ω
Ω
(7.44)
Nossos resultados anteriores referentes a séries de Fourier podem ser obtidos
novamente em termos de análise linear se supusermos que o conjunto de funções {e i (k·x ) } gera L 2 . A partir de agora nós vamos omitir o índice 2 de nossas
normas, com o entendimento de que sempre essaremos tratando de k · k2 . De
(7.18) sabemos que
i (k·x ) 2
ke
k =
e −i (k·x ) e i (k·x ) d 3x = L3 .
(7.45)
Ω
Portanto, o conjunto de funções ortonormais em questão é
ek = e i (k·x ) /L3/2 .
Então,
u (x ) =
X
(u (x ),ek (x ))ek (x ) =
k
(7.46)
X
D(k )e i (k·x ) ,
u
(7.47)
k
D(k ) é dado por (7.13). Evidentemente,
onde u
2
(u · u) d 3x = 2L3 hec i .
ku (x )k =
Ω
(7.48)
Aqui , hec i significa a energia cinética por unidade de massa média dentro de Ω.
Pela igualdade de Parseval, tem-se então que
X
1
2 3
|u
(x
)|
d
x
=
|D
u (k )| 2 .
(7.49)
L3 Ω
k
D∗u
D pode ser interpretado como duas vezes a energia cinética
Ou seja: |D
u (k )| 2 = u
média associada a cada vetor número de onda k.
91
7.4 – A transformada de Fourier do campo de velocidade
7.4 – A transformada de Fourier do campo de velocidade
Num domínio finito [0,L], a série de Fourier de uma função f (x ) envolve um
número infinito porém enumerável de números de onda kn = 2πn/L. Já num
domínio infinito, sobre toda a reta dos reais, vão aparecer um número infinito
e não-enumerável de números de onda. Em outras palavras, o espectro de f (x )
passa a ser contínuo. A passagem de um ao outro caso em uma dimensão é dada
pela fórmula da integral de Fourier,
" +∞
#
+∞
1
ikx
−ikξ
f (x ) =
e
f (ξ )e
dξ dk.
(7.50)
2π −∞
−∞
O fator 1/(2π ) está intencionalmente dentro dos colchetes para explicitar nossa
opção de definição de transformada de Fourier unidimensional:
+∞
1
D
f (x )e −ikx dx,
(7.51)
f (k ) ≡
2π −∞
quando então a integral de Fourier dá a fórmula da transformada inversa:
+∞
fD(k )e +ikx dk.
(7.52)
f (x ) =
−∞
A questão importante que se coloca agora é se a transformada de Fourier
pode ser aplicada a um campo de velocidade u (x ) (ou a uma de suas componentes ui (x )), ou a uma amostra espacial linear u (x ) (transect em inglês) ou
finalmente a uma série euleriana de medições u (t ).
No caso unidimensional, uma condição suficiente para a existência da transformada de Fourier é que f (x ) seja absolutamente integrável. Em particular,
funções que decaem “rápido” no infinito possuem transformada de Fourier. De
fato, multiplicando-se a definição (7.51) por (ik )n integrando-se por partes n
vezes (Saichev e Woyczyński, 1997):
+∞
1
nD
f (n) (x )e −ikx dx .
(7.53)
(ik ) f (k ) =
2π −∞
Se f (n) (x )e −ikx for absolutamente integrável, então para algum número real M
positivo:
(ik )n fD(k ) ≤ M
(7.54)
M
lim | fD(k )| ≤
.
(7.55)
k→∞
|k |n
Auto-crítica: isso aí acima parece uma demonstração de que fD(k ) decai rápido,
mas não parece dizer grande coisa a respeito de f (x ).
Já f (x ) ≡ 1, ∀x ∈ R não atende a este tipo de condição de decaimento, e
consequentemente não possui uma transformada de Fourier no sentido estrito.
Ora, um sinal típico de u (x ) em um escoamento turbulento tem a aparência da
figura ??, e claramente não “decai” em valor absoluto em x → ±∞. Talvez o(a)
leitor(a) se surpreenda com o fato de que a função da figura ?? não tem nenhuma
relação com turbulência, sendo um gráfico de f (x ) = 2 + sen(x 3 ) sen(x 5 )! É
claramente impossível falar da transformada de Fourier (no sentido clássico)
quando as funções a serem transformadas não decaem suficientemente rápido.
É preciso “algo mais”.
92
7.5 – Funções generalizadas (distribuições)
7.4.1 – Teorema da convolução e igualdade de Parseval
Ainda no contexto de funções f (x ) absolutamente integráveis, e que portanto possuem transformada de Fourier, é conveniente citar (sem demonstração)
o teorema da convolução nas formas (Saichev e Woyczyński, 1997)
+∞
+∞
1
ikx
D
D
f (ξ )ϕ(x − ξ ) dξ
(7.56)
f (k )ϕ(k )e dk =
2π −∞
−∞
+∞
+∞
1
−ikx
D − p) dp
f (x )ϕ(x )e
dx =
fD(p)ϕ(k
(7.57)
2π −∞
−∞
+∞
+∞
2
| f (x )| dx = 2π
| fD(k )| 2 dk.
(7.58)
−∞
−∞
D )
F [f (x ) ∗ ϕ(x )] = 2π fD(k )ϕ(k
D ).
F [f (x )ϕ(x )] = fD(k ) ∗ ϕ(k
(7.59)
(7.60)
É elementar provar que (7.56) ⇒ (7.59), enquanto que (7.60) é simplesmente
uma forma resumida de (7.57). Vale a pena provar essa última: comece com
+∞
fD(p)e ipx dk;
(7.61)
f (x ) =
−∞
multiplique agora por д(x )e −ikx e integre:
+∞
+∞
+∞
1
1
−ikx
−ikx
f (x )д(x )e
dx =
д(x )e
fD(p)e ipx dk dx(7.62)
2π −∞
2π −∞
−∞
#
+∞ " +∞
1
−i (k−p)x
=
д(x )e
dx fD(p) dp
(7.63)
2π −∞
−∞
+∞
=
дD(k − p) fD(p) dp.
(7.64)
−∞
Um funcional T [ϕ] é uma função de uma função ϕ(x ) em um escalar:
T :
D
→
R
ϕ(x ) ∈ D → T [ϕ] ∈ R.
Uma forma simples de produzir um funcional é por meio de uma integral,
+∞
T [ϕ] ≡
f (x )ϕ(x ) dx,
(7.65)
−∞
onde f é denominada núcleo do funcional. Entretanto, T não precisa ser definido
por uma integral; por exemplo, a distribuição δ de Dirac é definida como
+∞
δ [ϕ] ≡ ϕ(0) “=”
δ (x )ϕ(x ) dx
(7.66)
−∞
onde a segundo igualdade foi escrita entre aspas para enfatizar seu lado puramente notacional, já que a integral em questão não faz sentido.
93
Definição 6 Uma distribuição é um funcional linear.
Considere então o teorema da convolução na forma (7.56). Define-se a transformada de Fourier TD(k ) do funcional T pela condição
+∞
D )e ikx ≡ 1 T (x ) ∗ ϕ(x )
TD(k )ϕ(k
(7.67)
2π
−∞
(note o significado simbólico do lado direito). Por exemplo, se T = δ ,
+∞
T ∗ϕ =δ ∗ϕ =
δ (ξ )ϕ(x − ξ ) dξ = ϕ(x ),
(7.68)
−∞
e portanto
+∞
D )e ikx dk = ϕ(x ) ⇔ δD(k ) = 1 .
δD(k )ϕ(k
2π
2π
−∞
Simbolicamente, portanto:
+∞
1
δ (x ) =
e ikx dk,
2π −∞
D
1 = δ (k ).
(7.69)
(7.70)
(7.71)
Nossa questão central agora é como definir e depois como operar com a
transformada de Fourier da velocidade u (x ). Conforme vimos, ao contrário das
funções classicamente integráveis e Fourier-transformáveis, u (∞) 9 0. Em
outras palavras, precisamos trabalhar com a transformada de Fourier de uma
função u (x ) tal que
+∞
u (x ) dx = ∞.
(7.72)
−∞
Lumley (1970, seção 3.15) menciona 3 abordagens:
1. Multiplicar u por uma função absolutamente integrável fa , com fa → 1
quando a → 0; obter
u (x ) fa (x ) D(k )
e em seguida fazer
uD(k ) “=” lim u (x ) fa (x ) D(k ).
a→0
2. Utilizar o “teorema da representação espectral”,
+∞
u (x ) =
e ikx dZ (k ),
(7.73)
−∞
onde Z (k ) é um processo estocástico homogêneo com incrementos decorrelacionados:
∗
Z (∆1k )Z (∆2k ) = 0.
(7.74)
(Mais a respeito de processos estocásticos e representação espectral nas
próximas aulas).
3. Usar distribuições (essa é também a abordagem de Frisch e Lesieur).
94
7.6 – A transformada de Fourier das equações de Navier-Stokes
Note que enquanto que
u (x ) =
+∞
uD(k )e ikx dk
(7.75)
−∞
faz sentido, como distribuição (D
u é uma distribuição) para cada realização u (x )
de um escoamento turbulento entendido aqui como um processo estocástico
homogêneo, (7.73) só faz sentido na média quadrática do processo estocástico
inteiro.
Seja a um campo qualquer, escalar ou vetorial, de um escoamento turbulento. Precisamos de uma definição de transformada de Fourier tridimensional.
Comparando (7.13) para uma série de Fourier tridimensional com (7.51) para uma
transformada de Fourier unidimensional, é (quase. . . ) evidente que a definição
de uma transformada de Fourier tridimensional é
1
a(x )e −i (k·x ) d 3x,
(7.76)
F [a] ≡ aD ≡
3
(2π ) x ∈R3
cuja inversa é
a(x ) =
k∈R3
aD(k )e i (k·x ) d 3k
(7.77)
(Batchelor, 1993, p. 21).
Exercício Prove (7.76) e (7.77) a partir de (7.50).
Na verdade, basta trabalhar em 2 dimensões para compreender o mecanismo
da prova. Começo com uma função f (x,y) e aplico (7.50) para a 1a variável
independente, x, obtendo
#
" +∞
+∞
1
−ikξ
ikx
f (ξ ,y)e
dξ dk 1 .
(7.78)
e
f (x,y) =
2π ξ =−∞
k 1 =−∞
Agora eu aplico (7.50) novamente para a 2a variável independente, y:
" +∞
#
#
" +∞ +∞
+∞
1
1
ik 1x
−ik 1 ξ
−ik 2η
ik 2y
e
e
f (ξ ,η)e
dξ dk 1e
dη dk 2 ,
f (x,y) =
2π η=−∞ k1 =−∞
2π ξ =−∞
k 2 =−∞
" +∞
" +∞
#
#
+∞
+∞
1
1
−ik 2η
ik 1x
−ik 1 ξ
ik 2y
=
e
e
e
f (ξ ,η)e
dξ dk 1dη dk 2
2π η=−∞
2π ξ =−∞
k 1 =−∞
k 2 =−∞
+∞ +∞
1 2 +∞ +∞
ik 1x ik 2y
=
e e
f (ξ ,η)e −ik1 ξ e −ik2η dξ dηdk 1dk 2 .
2π
k 2 =−∞ k 1 =−∞
η=−∞ ξ =−∞
(7.79)
Em 2 dimensões, com x = (x,y), k = (k 1 ,k 2 ) e ξ = (ξ ,η):
f (x ) =
k∈R2
e
i (k·x )
 2 
−i (k·ξ ) 2  2
 1
f (ξ )e
d ξ  d k.
 2π

ξ ∈R2
(7.80)
A generalização para 3 dimensões deve ser óbvia.
Como sabemos, em matemática aplicada é comum a utilização de alguma
transformada (Fourier, Laplace, etc.) para transformar uma equação diferencial
95
em uma equação algébrica. A partir de agora, essaremos trabalhando sempre
com as equações de Navier-Stokes de um escoamento incompressível. Neste
caso, a equação da continuidade (3.5) reduz-se a (Batchelor, 1967; Kundu, 1990)
∂ui
= 0.
∂xi
A transformada de Fourier dessa equação é
"
#
∂ui
F
= iki uDi = 0;
∂xi
vetorialmente,
D = 0.
k ·u
(7.81)
(7.82)
(7.83)
A interpretação geométrica é fundamental: observe que (7.82) ou (7.83) signiD é perpendicular ao vetor número de onda k em todos os
ficam que o vetor u
pontos do espaço transformado (isso é: o espaço onde “vivem” os vetores número de onda e as transformadas de Fourier do campo de velocidade).
A equação dinâmica que vamos utilizar contém (neste estágio) 3 simplificações: a modificação do termo não-linear utilizando a equação da continuidade
(7.81), o desprezo da aceleração de Coriolis, e a incorporação da força de corpo
por unidade de massa à pressão p, a qual a partir de agora passa a representar a
“pressão modificada” (Batchelor, 1967, p. 176), (Kundu, 1990, p.266). O primeiro
“truque” será tão recorrente em turbulência que bem merece ser feito em detalhe. Considere o termo não-linear de (3.32), u j ∂ui /∂x j ; em virtude de (7.81) nós
podemos escrever a identidade
uj
∂u j
∂ui
∂
∂ui
= uj
+ ui
=
(ui u j ).
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
(7.84)
Com (7.84), e desconsiderando-se дi (incorporada à pressão modificada) e Ωj
(por hipótese desprezível nos escoamentos que essaremos analisando), a equação dinâmica de Navier-Stokes (3.32) reduz-se a
1 ∂p
∂ 2ui
∂ui ∂ui u j
+
=−
+ν
.
∂t
∂x j
ρ ∂xi
∂x j ∂x j
As transformadas de Fourier dos termos lineares são
"
#
∂ui
∂D
ui
=
,
F
∂t
∂t
"
#
1 ∂p
1
F −
= − iki pD.
ρ ∂xi
ρ
"
#
2
∂ ui
= −νk j k juDi .
F ν
∂x j ∂x j
(7.85)
(7.86)
(7.87)
(7.88)
D são todos perpendiculares ao vetor número de
D, ∂D
Observe que u
u /∂t e −νk 2u
onda k, enquanto que (−1/ρ)ipDk é paralelo a k. Em outras palavras, a projeção do gradiente de pressão (no espaço dos números de onda) sobre o plano π
perpendicular a k é zero. Para projetar um vetor a num plano π ⊥ k, faça
Pij ≡ δij −
ki k j
k2
(7.89)
96
operar sobre a; então, o vetor-projeção de a em π será
"
#
ki k j
b = δij a j − 2 a j e i ,
k
(7.90)
cujo produto escalar com k deve ser nulo; de fato,
b · k = δij a j ki −
ki k j
a j ki = ai ki − a j k j = 0.
k2
(7.91)
Agora vamos transformar o termo não-linear. Pela generalização tridimensional do teorema da convolução,
1
F f (x )д(x ) =
f (x )д(x )e −i (k·x ) d 3x
(2π ) 3 x ∈R3
D
=
f (p)D
д (k − p) d 3p
3
p∈R
D
=
f (p)D
д (q) d 3p
(7.92)
p+q=k
Portanto a transformada de Fourier do termo não-linear será
"
#
∂ F
uDi (p)D
u j (q) d 3p.
F
ui u j = ik j ui u j = ik j
∂x j
p+q=k
(7.93)
Juntando todas as transformadas obtém-se a seguinte equação vetorial:
"
#
∂D
u
i
3
D = 0.
D(p)D
(7.94)
+i
u
u (q) d p · k + pDk + νk 2u
∂t
ρ
p+q=k
Graficamente, o termo não-linear η e o termo de pressão podem ser visualizados
na figura 7.2. A projeção de η perpendicular a π anula o termo de pressão. Se
essabelecermos uma equação para a interação de η em π com os demais termos
lineares, teremos eliminado a pressão da equação.
Agora, a componente j (por analogia com a j ) do vetor não-linear η será
uDj (p)D
um (q) d 3p
(7.95)
η j = ikm
p+q=k
e a projeção de η em π na direção i será
Pij η j = Pij ikm
uDj (p)D
um (q) d 3p.
p+q=k
(7.96)
Como vimos, essa projeção deve equilibrar os termos lineares que não o de
pressão, donde
!
ki k j
∂D
ui
2
+ νu k uDi + δij − 2 ikm
uDj (p)D
um (q) d 3p = 0.
(7.97)
∂t
k
p+q=k
Exercício: deduza a equação para um escalar (por exemplo a temperatura):
∂θD
2D
+ νu k θ = −ik j
uDj (p)θD(q) d 3p.
(7.98)
∂t
p+q=k
97
8
Processos estocásticos e
representação espectral
Um processo estocástico é uma função
u = U (ω,t ),
(8.1)
com ω ∈ Ω. Ω é denominado espaço amostral. Além disso, é preciso especificar uma álgebra do conjunto dos sub-conjuntos de Ω, e uma medida de probabilidade P definida sobre estes conjuntos. As propriedades elementares de
probabilidades de eventos disjuntos A1 , . . . ,An ,
P (Ai ) ≥ 0,
P (Ω) = 1,
P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai ) + P (Aj ),
(8.2)
(8.3)
(8.4)
são o início da construção de um campo F , definido como uma classe de conjuntos (que é só uma maneira não pleonástica de dizer conjunto de conjuntos)
com as seguintes propriedades (as 3 últimas são consequências):
A∈F
A∈F e B∈F
A∈F e B∈F
∅
Ω
⇒
⇒
⇒
∈
∈
A ∈ F,
A ∪ B ∈ F,
A ∩ B ∈ F,
F,
F.
(8.5)
(8.6)
(8.7)
(8.8)
(8.9)
Quando as uniões e interseções de sequências infinitas de elementos A1 , . . . ,An
de um campo F também pertencem a F (isso é, quando (8.6) e (8.7) se estendem a uma infinidade enumerável de conjuntos), diz-se que F é um campo de
Borel. O Axioma da aditividade infinita é: se A1 ,A2 , . . . são eventos mutuamente
exclusivos, então:
∞
∞
[
X
*
+
P
Ai =
P (Ai ).
(8.10)
, i=1 - i=1
Para nós, o espaço amostral é o planeta alienígena de onde vêm os “traços”
ou “registros” u (t ) de turbulência que medimos (ou que simulamos no computador), e com os quais trabalhamos. Isso está ilustrado na figura 8.1. Note que
a variável independente não é uma variável aleatória, e que ela pode ser t, x, r ,
x, etc.
98
99
–
Figura 8.1: O espaço amostral das funções aleatórias u (t ).
100
–
Nosso problema será estimar a estrutura probabilística de U a partir de uma
única realização u (t ). Para tal, nós precisamos lançar mão de conceitos tais
como
• essacionariedade
• ergodicidade
• estimadores
é
Dado um processo estocástico U (t ), a sua distribuição conjunta de ordem n
F (u 1 , . . . ,un ; t 1 , . . . ,tn ) = P {U (t 1 ) ≤ u 1 , . . . U (tn ) ≤ un }.
(8.11)
O conhecimento de F especifica totalmente (“define a estrutura estocástica”)
de uma ampla classe de processos denominados separáveis (Papoulis, 1991, p.
293). No caso de um processo estocástico em R3 , a notação precisa ser mais
sofisticada:
F ((u (1) ; i 1 ), . . . , (u (n) ; in ); x 1 , . . . ,x n ) = P {Ui 1 (x 1 ) ≤ u (1) , . . . ,Uin (x n ) ≤ u (n) }
(8.12)
com u = ui e i .
Por simplicidade, vamos prosseguir com definições univariadas, usando o
tempo t; as generalizações são relativamente óbvias. O que é importante observar em (8.11) é a sua dimensionalidade: para conhecer a estrutura estocástica
do processo, é necessário conhecer não apenas um F , mas todos os F ’s para todos os n’s e todas as escolhas possíveis de t 1 , . . . ,tn ! Uma forma alternativa de
descrever F é por meio dos momentos conjuntos (Batchelor, 1993, p. 20):
Ri 1 ,i 2 ,...,in (t 1 ,t 2 , . . . ,tn ) = Ui 1 (t 1 )Ui 2 (t 2 ) . . . Uin (tn ) ,
(8.13)
onde h·i significa o valor esperado no espaço amostral.
Questão: escreva a expressão para o valor esperado de um processo em R3 ,
em termos de uma integral envolvendo F ; como isso pode (ou não) ser usado
para deduzir os “postulados” de Reynolds?
Este é um problema formidável, que precisa ser aliviado de alguma forma.
A primeira delas é
Definição 7 Um processo estocástico U (t; ω) é essacionário quando
F (·; t 1 , . . . ,tn ) = F (·; t 1 + τ , . . . ,tn + τ )
(8.14)
Existe uma definição equivalente para um processo estocástico homogêneo no
espaço.
Sugestão para os participantes: como fazer a definição precisa de um processo estocástico homogêneo em R3 ?
Algumas consequências (para essacionariedade) se seguem.
101
–
A média de U é
hU (t )i = R 1 (t ) = R 1 (t + τ ), ∀τ ⇒ hU (t )i = const.
(8.15)
O momento de ordem 2 de U (que pode ser relacionado com a variância, mas
que é diferente dela!) é
D
E
hU (t )U (t )i = R 1,1 (t,t ) = R 1,1 (t + τ ,t + τ ), ∀τ ⇒ U 2 (t ) = const. (8.16)
Da mesma forma, hU n (t )i = const, ∀n, ou seja: a distribuição acumulada marginal de probabilidades de U é independente do tempo: F (u,t ) = F (u). No caso
de processos multidimensionais, a generalização natural do momento de ordem
2é
D
E
Ui (t )Uj (t + τ ) = Ri,j (t,t + τ ) = Ri,j (0,τ ); ⇒ Ri,j = f (τ ).
(8.17)
Ou seja: em um processo estocástico essacionário, a função de correlação cruzada
Ri,j depende apenas da diferença no tempo, τ , entre Ui e Uj .
No caso de um processo estocástico unidimensional {U1 (t ) }, a função de
correlação é
R 1,1 (s,t ) = hU1 (s)U1 (t )i .
(8.18)
Naturalmente, R 1,1 é simétrica nos índices (s,t ):
R 1,1 (s,t ) = R 1,1 (t,s).
(8.19)
De acordo com (Yaglom, 1987, p. 46), R 1,1 é um núcleo positivo definido. De
fato, considere um vetor de números reais [c 1 , . . . ,cn ] e de variáveis aleatórias
[U1 (t 1 ), . . . ,U1 (tn )] do mesmo processo estocástico U (t ); então
D
E
0 ≤ [c 1U1 (t 1 ) + . . . + cnU1 (tn )]2 =
XX
D
E
c 12 hU1 (t 1 )U1 (t 1 )i + . . . + cn2 hU1 (tn )U1 (tn )i + 2
ci c j U1 (ti )U1 (t j ) =
i
XX
i
j=i
i
j>i
XX D
E
ci U1 (ti )U1 (t j ) c j = ci R 1,1 (ti ,t j )c j .
i
j>i
D
E XX
D
E XX
D
E
ci c j U1 (ti )U1 (t j ) +
ci c j U1 (ti )U1 (t j ) +
ci c j U1 (ti )U1 (t j ) =
i
j<i
(8.20)
j
Note que nós utilizamos (8.19) na passagem da 2a para a 3a linhas acima. No lado
esquerdo da última igualdade, usou-se notação indicial e os somatórios foram
suprimidos. Essa dedução foi bastante melhorada em sala de aula. A versão
abaixo foi fornecida por Nadiane Smaha (thanks).
Problema
Questão: é possível mostrar que Ri,j é uma matriz positiva definida? Acho
que sim!
Provar que a matriz Rij é positiva definida.
Para qualquer ai e a j temos a identidade:
h|
n
X
i=1
ai U1 (ti ) | 2 i > 0
(8.21)
102
–
Abrindo o quadrado:
ha 21U12
n
n X
X
(t 1 ) + ... + an2U12 (tn ) +
i
2ai a jU1 (ti ) U1 t j i > 0
(8.22)
2ai a j hU1 (ti ) U1 t j i > 0
(8.23)
j>i
Ou ainda:
n
X
i
ai2 hU1
(ti ) U1 (ti )i +
n X
n
X
i
j>i
Sendo:
hU1 (ti ) U1 t j i = R 1,1 ti ,t j
(8.24)
Mas para qualquer matriz quadrada Cij :
n X
n
X
i
ai a jCij =
j>i
n X
n
X
i
ai a jCij −
j>i
n
X
Ckk
(8.25)
k=1
Onde Ckk representa a diagonal principal.
Trocando os índices i e j na equação 8.25:
n X
n
X
j
a j ai C ji −
i>j
n
X
Ckk
(8.26)
k=1
Mas para qualquer matriz quadrada C ji :
n X
n
X
j
C ji =
i>j
n X
n
X
i
C ji
(8.27)
i>j
Então temos a equação 8.26:
n X
n
X
i
a j ai C ji −
i>j
n
X
k=1
Ckk =
n X
n
X
i
a j ai C ji
(8.28)
i>j
Sabendo-se que para uma matriz simétrica Cij = C ji , e aplicando as equações
8.25 à 8.28 na equação 8.23, temos:
n X
n
X
i
ai a j hU1 (ti ) U1 (ti )i+
j=i
n X
n
X
i
j<i
n X
n
X
i
n X
n
X
ai a j hU1 (ti ) U1 t j i+
ai a j hU1 (ti ) U1 t j i > 0
ai a j hU1 (ti ) U1 (ti )i > 0
j>i
(8.29)
(8.30)
j
ai a j R 1,1 ti ,t j > 0
E portanto:
i
(8.31)
103
–
R 1,1 ti ,t j > 0
(8.32)
De qualquer modo, note que R 1,1 (τ ) (note também a sutil mudança de notação, uma vez que apenas um argumento é necessário em processos estocásticos
essacionários) é uma função par:
R 1,1 (τ ) = hU (0)U (τ )i = hU (0 − τ )U (τ − τ )i = hU (−τ )U (0)i = hU (0)U (−τ )i = R 1,1 (−τ ).
(8.33)
De forma análoga, pode-se mostrar que
Ri,j (τ ) = R j,i (−τ )
|Ri,j (τ )| 2 ≤ Ri,i (0)R j,j (0).
(8.34)
(8.35)
A demonstração de (8.34) é elementar, e imita a demonstração de (8.33):
D
E D
E D
E D
E
Ri,j (τ ) = Ui (0)Uj (τ ) = Ui (0 − τ )Uj (τ − τ ) = Ui (−τ )Uj (0) = Uj (0)Ui (−τ ) = R j,i (−τ ).
(8.36)
Já a demonstração de (8.35) me parece um pouco mais elaborada. A chave do
sucesso talvez seja a desigualdade de Schwarz: se (·, ·) é um produto interno,
para dois vetores quaisquer u,v nós sabemos que
(u,v) 2 ≤ (u,u)(v,v).
(8.37)
Agora note que hUV i proporciona um produto interno legítimo entre U (t ) e
V (t ).
Exercício: Mostre que as propriedades (i) a (iv) de um produto interno que nós
estudamos no seminário de análise funcional se aplicam a hUV i. Neste caso,
D
E2 D
ED
E
|Ri,j (0)| 2 = Ui (t )Uj (t ) ≤ Ui2 (t ) Uj2 (t ) = Ri,i (0)R j,j (0).
(8.38)
Agora basta observar ou provar que |Ri,j (τ )| ≤ |Ri,j (0)|.
As funções de covariância cruzada são definidas de forma análoga às funções
de correlação:
D
E
Ci,j (τ ) = (Ui (t ) − Ri )(Uj (t + τ ) − R j ) .
(8.39)
Note que Ri e R j são os valores esperados
constantes das componentes i e j; uma
D E
notação mais óbvia seria hUi i e Uj .
Existe uma tendência de confundirmos Ci,j com Ri,j ; note que as duas são
iguais apenas no caso (muito fácil de se construir ou supor) em que hUi i = 0.
Note que Ci,j (0) é a covariância (variância, quando i = j) entre as variáveis
aleatórias Ui e Uj .
O coeficiente de (auto) correlação para a separação τ é
ϱi,i (τ ) =
Ci,i (τ )
.
Ci,i (0)
(8.40)
O coeficiente de correlação cruzada é
Ci,j (τ )
ϱi,j (τ ) = p
.
Ci,i (0)C j,j (0)
(8.41)
104
8.1 – Espectros cruzados em uma dimensão (tempo)
Finalmente, uma essatística que tem uma grande importância em teoria de
turbulência é a função de estrutura. Por exemplo, a função de estrutura (cruzada) de ordem 2 é
D
E
Di,j (τ ) = (Ui (t + τ ) − Ui (t ))(Uj (t + τ ) − Uj (t )) .
(8.42)
A função de estrutura de ordem 2 é conhecida como variograma em geoessatística.
Em geral, para a ordem n nós teremos
Di 1 ,...,in (τ ) = (Ui 1 (t + τ ) − Ui 1 (t )) . . . (Uin (t + τ ) − Uin (t )) .
(8.43)
Aqui existe a necessidade de alguma discussão sobre a motivação para trabalharmos com as funções de estrutura. Note que Di (τ ) = hUi (t + τ ) − Ui (t )i é
o valor esperado do incremento de Ui sobre uma separação τ . Agora, para que
Di dependa apenas da separação τ , basta que este incremento seja um processo
estocástico essacionário. Vemos portanto que para que, em geral, Di 1 ,...,in (τ ) seja
definido não é necessário que U (t ) seja essacionário; em vez disso, basta apenas
que os seus incrementos sejam essacionários.
Quando em 1941 Kolmogorov propôs a sua famosa teoria de turbulência, ele
o fez em termos de funções de estrutura. Pouco tempo depois, Obukhov fez o
mesmo em termos dos espectros, que estudaremos na próxima seção. O ponto
importante a se notar aqui é que a existência dos espectros/funções de correlação exige que o processo correspondente seja essacionário, mas as funções de
estrutura podem ser definidas para uma classe mais ampla de processos. Portanto, Kolmogorov foi cuidadoso em formular sua teoria para a situação mais
geral possível.
O que ainda não se sabe completamente é até que ponto é realmente útil se
trabalhar com a hipótese mais fraca de procesos com incrementos essacionários.
Em princípio, isso seria particularmente útil para analisar períodos em que a
turbulência é não-essacionária (ou, analogamente, regiões do espaço em que
ela é não-homogênea). Essa é de fato a afirmação que encontramos em (Lumley
e Panofksy, 1964, p. 15–16).
Dias et al. (2004) entretanto encontraram muito pouca diferença entre analisar períodos claramente não essacionários de turbulência atmosférica com a
função de estrutura ou com a função coeficiente de autocorrelação: em ambos
os casos o sinal da não-essacionariedade é claramente visível. Em outras palavras, o uso da função estrutura não resultou em nenhuma vantagem sensível na
análise de registros não-essacionários.
Quando trabalhamos com um registro temporal U (t ) de turbulência, é muitas vezes conveniente usar a frequência cíclica n em lugar da frequência angular
ω, que é o análogo do número de onda k; como este é um texto pitecantrópico
(em evolução), nessa seção eu vou usar frequências cíclicas e não frequências
angulares.
Considere a função de correlação cruzada Ri,j (τ ) de um processo essacionário e ergódico, no tempo t; é razoável admitir que Ri,j (τ ) → 0 suficientemente
105
rápido quando τ → ∞ para que a integral
+∞
Si,j (n) =
Ri,j (τ )e −2πinτ dτ
(8.44)
−∞
exista; Si,j (n) é o espectro cruzado de Ui ,Uj . Quando i = j, Sii (com ou sem soma
em i) é denominado simplesmente espectro.
Questão: Mostre que quando o índice repetido implica soma, Sii é igual a
duas vezes o espectro da energia cinética turbulenta
Note que Ri,j (−τ ) = R j,i (τ ); então,
+∞
∗
Si,j (−n) =
Ri,j (t )e +2πint dt = Si,j
(n)
−∞
+∞
=
R j,i (−t )e 2πint dt
−∞
−∞
+∞
−2πinτ
= −
R j,i (τ )e
dτ =
R j,i (τ )e −2πinτ dτ
∞
−∞
= S j,i (n).
(8.45)
(8.46)
(8.47)
(8.48)
Em resumo,
Si,i∗ (n) = Si,i (n)
∗
Si,j
(n) = S j,i (n)
⇒
⇒
Si,i é real
Si,j é complexo hermitiano.
(8.49)
(8.50)
Note que o espectro cruzado, sendo uma quantidade complexa, pode ser
escrito
Si,j (n) = a(n) − ib (n),
Si,j (−n) = a(n) + ib (n).
(8.51)
(8.52)
A simetria/anti-simetria exibida pelos espectros cruzados permite sempre definir os espectros (cruzados) unilaterais:
Gi,j (n) = 2Si,j (n) = Coi,j (n) − iQui,j (n),
(8.53)
onde Coi,j (n) é o co-espectro, e Qui,j (n) é o espectro de quadratura. A fase do
espectro cruzado unilateral Gi,j (n) é dada por
φi,j (n) = arg Gi,j (n),
(8.54)
e a função de coerência entre as componentes Ui (t ) e Uj (t ) é dada por
γi,j2 (n) =
|Gi,j (n)| 2
Gi,i (n)G j,j (n)
(8.55)
(a coerência é sempre positiva). Um problema aparente com a função de coerência é que ela não é capaz de detectar diferenças de fase; para isso, seria
preciso trabalhar com um “coeficiente de correlação espectral”, menos comum
em textos de análise espectral, definido por
ϱi,j (n) = p
Coi,j (n)
Gi,i (n)G j,j (n)
(8.56)
1068.2 – Espectros cruzados de processos estocásticos em 3 dimensões espaciais
Questão: Você consegue identificar a diferença básica entre a função de
coerência e o coeficiente de correlação espectral?
Questão: Prove que γi,j2 ≤ 1
Questão: Prove que |ϱi,j | ≤ 1
Finalmente (chega!!!!), “o momento cruzado de ordem 2 é igual à integral do
co-espectro”:
∞
D
E
Ui (t )Uj (t + τ ) =
Si,j (n)e 2πinτ dn
(8.57)
−∞
0
∞
2πinτ
=
Si,j (n)e
dn +
Si,j (n)e 2πinτ dn
(8.58)
−∞
0
0
∞
−2πimτ
= −
Si,j (−m)e
dm +
Si,j (n)e 2πinτ dn (8.59)
∞∞
0∞
∗
= +
Si,j
(m)e −2πimτ dm +
Si,j (n)e 2πinτ dn. (8.60)
0
0
∞
∗
Si,j (n) + Si,j (n) dn =
Em τ = 0,
D
E
Ui (t )Uj (t ) = Ri,j (0) =
0
0
∞
Coi,j (n) dn.
(8.61)
Uma nova olhada na delta de Dirac: considere a relação de Fourier inversa
D(k,t ) d 3k;
u (x,t ) =
e i (k·x )u
(8.62)
k∈R3
D(k,t ) = δ (k ), então segue-se que
se u
1=
δ (k,t ) d 3k;
k∈R3
(8.63)
portanto (formalmente):
1 3 e −i (k·x ) d 3x .
δ (k ) =
3
2π
k∈R
A função de correlação cruzada espacial é
D
E
Ri,j (r ,t ) ≡ ui (x,t )u j (x + r ,t ) .
Vamos usar isso para definir espectros cruzados:
1 3 Φi,j (k,t ) ≡
Ri,j (r ,t )e −i(k·r ) d 3r
3
2π
r ∈R
(8.64)
(8.65)
1 3 D
E
1 D ∗ E
=
uD uDj . (8.66)
ui (x,t )u j (x + r ,t ) e −i (k·r ) d 3r =
2π
δ (0) i
r ∈R3
Prova:
* 3 +
1 3 D
E
1
∗
i (k·x ) 3
−i (k·ξ ) 3
uDi uDj =
ui (x,t )e
d x
u j (ξ ,t )e
d ξ
2π
2π
x ∈R3
ξ ∈R3
1 6 D
E
ui (x,t )u j (x + r ,t ) e −i (k·r ) d 3xd 3r
=
2π
x,r ∈R3
" 3 # 3 1
1
3
=
d x
Ri,j (r ,t )e −i (k·r ) d 3r
2π
2π
x ∈R3
r ∈R3
= δ (0)Φi,j (k,t ).
(8.67)
O tensor espectral Φ é hermitiano; note que
D
E D
E
Ri,j (−r ) = ui (x,t )u j (x − r ,t ) = ui (x + r ,t )u j (x,t ) = R j,i (r ),
donde
1 3 ∗
Φi,j (−k,t ) =
Ri,j (r )e +i(k·r ) d 3k = Φi,j
(k,t )
3
2π
r ∈R
1 3 R j,i (−r )e +i(k·r ) d 3k
=
3
2π
r ∈R
1 3 (s = −r ⇒) = −
R j,i (s)e −i(k·s) d 3s
3
2π
−s∈R
1 3 =
R j,i (s)e −i(k·s) d 3s = Φj,i (k,t ) ⇒
3
2π
s∈R
∗
Φi,j (−k,t ) = Φi,j (k,t ) = Φj,i (k,t ).
(8.68)
(8.69)
Além disso, uma relação semelhante a (8.61) vale para o espectro cruzado tridimensional. Primeiramente, note que
Ri,j (r ,t ) =
Φi,j (k,t )e +i(k·r ) d 3k
3
k∈R
(
)
1
+i(k·r ) 3
−i(l·r ) 3
=
Φi,j (k,t )e
d k−
Φi,j (−l,t )e
d l
2 k∈R3
−l ∈R3
(
)
1
∗
+i(k·r ) 3
−i(l ·r ) 3
=
Φi,j (k,t )e
d k+
Φi,j (l,t )e
d l . (8.70)
2 k∈R3
l ∈R3
Portanto, em r = 0,
f
g
1
3
∗
Φi,j (k,t ) + Φi,j (k,t ) d k =
Re Φi,j (k,t ) d 3k.
k∈R3 2
k∈R3
(8.71)
Combinando (8.70) com (8.71) acima, temos
f
g
f
g
3
3
Φi,j (k,t ) d k =
Re Φi,j (k,t ) d k ⇒
= Φi,j (k,t ) d 3k = 0.
D
E
ui (x,t )u j (x,t ) = Ri,j (0,t ) =
r ∈R3
r ∈R3
r ∈R3
(8.72)
108
8.3 – Representação espectral de processos estocásticos
D
E
Essa última equação levanta a curiosa possibilidade de que, se ui u j = 0, o cof
g
espectro cruzado Re Φi,j (k,t ) seja identicamente nulo, mas que o espectro de
f
g
quadratura não: = Φi,j (k,t ) . 0. No caso do espectro de quadratura entre w
e um escalar na camada-limite atmosférica, eu sei que ele é identicamente nulo;
seria interessante verificar a mesma coisa para os espectros de quadratura de
u,w, u,v e v,w.
Suponha que U (t ) seja um processo estocástico essacionário, u (t ) seja uma
realização, e que
1 T ∗
u (t )u (t + τ ) dt
T 0
convirja com probabilidade 1 para R 1,1 (τ ) = hU ∗ (t )U (t + τ )i, ou seja: suponha
que U (t ) seja ergódico. Do teorema de Bochner-Kinchine, segue-se que, em
termos de uma integral de Fourier-Stieltjes,
∞
e iωτ dF (ω).
(8.73)
R 1,1 (τ ) =
−∞
Essa é uma maneira alternativa de definir o espectro F (ω) de U (t ).
Agora, se U (t ) é um processo estocástico essacionário com média zero, dados ϵ > 0, T > 0, existem n(ϵ,T ) variáveis aleatórias {U1 , . . . ,Un } (atenção!!! os
índices não significam componentes de velocidade!!!!) e números reais {ω 1 , . . . ,ωn }
tais que
+
*
n
X
iωk t 2
|U (t ) −
Uk e | < ϵ,
(8.74)
k=1
o que significa convergência média quadrática. Usando a desigualdade de Chebyshev,
torna-se imediato que
P[|U (t ) −
n
X
Uk e iωk t | < ϵ] > 1 − η,∀t : |t | ≤ T .
(8.75)
k=1
Neste sentido, escreve-se
U (t ) ≈
n
X
Uk e iωk t ,
(8.76)
k=1
isso é, U (t ) é dado por uma série de Fourier.
8.3.1 – De uma vez só:
Para melhorar a aproximação, aumente n e diminua ∆ω = ωk+1 − ωk . A
P
suma Uk em ∆ω de variáveis não-correlacionadas aos pares converge para
uma variável Z (∆ω); então,
∞
U (t ) =
e iωt Z (dω).
(8.77)
−∞
109
8.3.2 – Aos poucos
Defina um intervalo
a = ω 0 < ω 1 < . . . < ωn = b
e escreva
U (t ) =
X
Uk e iωk t .
(8.78)
k
Divida agora os ω’s em intervalos ∆ωi = ωi −ωi−1 Para cada intervalo i produza
ωk = ωi,j ; cada intervalo i agora possui ni frequências. A equação (8.78) torna-se
U (t ) =
ni
m X
X
Ui,j e iωi,j t .
(8.79)
i=1 j=1
Agora, à medida em que n cresce e ∆ωi → 0, escolha um ωi0 representativo, e
faça
X

nj
nj
X
0

iωi,j t
(8.80)
Ui,j e
≈  Ui,j  e iωi t ,


j=1
 j=1

de forma que a soma das variáveis aleatórias Ui,j no intervalo i de frequências
se aproxima de uma variável aleatória Z (∆ωi ):
U (t ) ≈
m
X
e iωi t Z (∆ωi ),
(8.81)
e iωk t Z (∆ωk ).
(8.82)
0
i=1
que é o mesmo que
U (t ) ≈
n
X
0
k=1
Das propriedades de U tem-se que
hZ (∆ωk )i = 0,
D
E
∗
Z (∆ωi )Z (∆ω j ) = 0,
Z (∆ωi + ∆ωi+1 ) = Z (∆ωi ) + Z (∆ωi+1 ).
(8.83)
(8.84)
(8.85)
(Se ∆ωi e ∆ω j são intervalos disjuntos).
Alternativamente, construa agora a função
Z (ω) = Z { (−∞,ω]};
(8.86)
de fato, segundo (Yaglom, 1987, p. 99), Z pode ser construída como uma random
set function, i.e., uma função definida sobre conjuntos Aω de tal forma que
Z (Aω ∪ Bω ) = Z (Aω ) + Z (Bω ) quando Aω ∩ Bω = ∅
(8.87)
(essa é a condição de aditividade). Claramente, a função Z (ω) é crescente; a
rigor, ela introduz uma medida aleatória e agora
∞
n
X
iωk0 t
U (t ) = a→−∞
lim
e Z (∆ωk ) =
e iωt dZ (ω).
(8.88)
b→+∞
max |∆ωk |→0
k=1
−∞
110
Alternativamente,
n
X




0

U (t ) = a→−∞
lim 
lim
e iωk t [Z (ωk ) − Z (ωk−1 )] 
,
maxk |∆ωk |→0
b→+∞ 
k=1

(8.89)
onde a função Z (ω) satisfaz
hZ (ω)i = 0, ∀ω,
(Z (ω1 + ∆ω1 − Z (ω 1 ))(Z (ω2 + ∆ω2 − Z (ω 2 )) = 0.
∗
∗
Exercícios
8.1 Mostre que
+∞
n=−∞
=[Si,j (n)] dn = 0
(8.90)
(8.91)
9
Soluções laminares das equações
de Navier-Stokes
A maioria das camadas-limite encontradas em escoamentos industriais ou naturais é turbulenta. Além disso, é nessas camadas-limite que ocorrem os fluxos
mais intensos de quantidade de movimento, calor e massa. Por exemplo, e para
citar o mais óbvio, a assim chamada “perda de carga” em tubos e canais está
ligada diretamente ao atrito entre paredes e escoamento, e à dissipação de energia cinética da turbulência em calor que lhe está associada. Para os engenheiros
ao fim do século XIX e início do XX, este era um problema de grande importância, pois dele dependiam critérios de projeto de tubulações industriais e canais.
Os primeiros resultados de engenharia foram obtidos de forma “empírica” (um
físico diria: “fenomenológica”) e antecederam os resultados mais fundamentais de Mecânica dos Fluidos e Teoria de Turbulência. Frequentemente, usamos
a palavra “Hidráulica” para caracterizar essa abordagem, que produziu, entre
outras, fórmulas empíricas tais como a de Hazen-Williams e a de Manning. Entretanto, também desde o século XIX já se conhecia o suficiente da física de fluidos para saber que, em princípio, qualquer escoamento pode ser obtido como
uma solução das equações de Navier-Stokes. Blasius obteve a primeira solução
das equações de Navier-Stokes de interesse real em engenharia. Nosso objetivo
neste capítulo será procurar entender da forma mais fundamental possível o
comportamento das camadas-limite turbulentas.
9.1 – Algumas soluções laminares
O escoamento em um duto com seção retangular de larguar infinita em y e
de espessura h = 2δ em z, em regime laminar sob a ação de um gradiente de
pressão, é regido pelas equações de Navier-Stokes em duas dimensões,
∂U ∂W
+
= 0,
∂x
∂z
!
∂U
∂U
1 ∂P
∂ 2U ∂ 2U
U
+W
=−
+ν
+ 2 ,
∂x
∂z
℘ ∂x
∂x 2
∂z
!
2
∂W
∂W
1 ∂P
∂ W ∂ 2W
U
+W
=−
−д +ν
+
.
∂x
∂z
℘ ∂z
∂x 2
∂z 2
(9.1)
(9.2)
(9.3)
As condições de contorno são
U (0) = 0,
111
(9.4)
112
W (0) = 0,
W (2δ ) = 0,
W (2δ ) = 0.
(9.5)
(9.6)
(9.7)
Para escoamento plenamente desenvolvido na direção x, ∂(·)/∂x = 0 (exceto,
é claro, para a pressão) e a solução de (9.1) é W (z) = 0. Este resultado por
sua vez anula todos os termos envolvendo W em (9.3), cuja solução então será
simplesmente uma distribuição hidrostática em z:
∂P
∂P dP 0
= −℘д ⇒ P (x,z) = −℘дz + P0 (x ) ⇒
=
.
∂z
∂x
dx
(9.8)
Observe que P 0 (x ) é, por definição, a pressão na parede em z = 0.
Em (9.2), as condições de escoamento plenamente desenvolvido em x e velocidade vertical nula anulam os termos não lineares, e usando-se (9.8) obtém-se
∂ 2U
1 dP0
= ν 2 = дJ ,
ρ dx
∂z
(9.9)
onde a constante дJ deve-se ao fato de que o lado esquerdo de (9.9) é (no máximo) função somente de x, e o lado esquerdo de z. J é a perda de carga unitária,
constante em x. A introdução da aceleração da gravidade na definição da constante em (9.9) objetiva tornar J adimensional. Obtém-se portanto os resultados
dP 0
= −ρдJ
dx
(9.10)
e (aplicando-se as condições de contorno para u)
U (z) =
дJ
z (2δ − z) .
2ν
(9.11)
Essa última equação é o bem conhecido perfil parabólico de velocidade em um
escoamento de Hagen-Poiseuille; sua integração produz a velocidade média na
seção do duto:
дJδ 2
U =
,
(9.12)
3ν
a qual pode ser reescrita em termos de um fator de atrito f :
2
fU
J=
δ 2д
onde
f =
6ν
=
(9.13)
6
Re
(9.14)
Uδ
é o fator de atrito que depende, em um escoamento laminar, do número de Reynolds aqui definido em termos da semi-espessura δ :
Re =
Uδ
.
ν
(9.15)
113
U
-W
1111111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111111111111
Figura 9.1: Escoamento laminar sobre uma placa porosa
O fator numérico em (9.14) depende, naturalmente, das definições de f em (9.13)
e de Re em (9.15)∗ . Todo o desenvolvimento acima é clássico e muito bem conhecido. O ponto importante aqui é que vamos utilizar um desenvolvimento
totalmente análogo para escoamentos turbulentos, recuperando diversos resultados obtidos para escoamento laminar, inclusive a constância do gradiente de
pressão. A obtenção do perfil de velocidade em função da perda de carga unitária em (9.11) é claramente o passo fundamental, que precisará ser repetido,
ainda que com mais dificuldade, em escoamentos turbulentos.
Considere agora um escoamento bi-dimensional sobre uma placa porosa,
com velocidade U∞ horizontal longe da placa, e um campo de velocidade vertical uniforme −W0 (figura 9.1). As equações governantes (para um fluido com
densidade constante) são novamente (9.1)–(9.3). As condições de contorno são
u (0) = 0,
u (∞) = U∞ ,
w (0) = −W0 .
(9.16)
(9.17)
(9.18)
Para escoamento plenamente desenvolvido na direção x, ∂(·)/∂x = 0, e a
soluçã de (9.1) é W (z) = −W0 . A solução de (9.3) é simplesmente uma distribuição hidrostática de pressão na vertical, e finalmente (9.2) conduz à equação
diferencial ordinária
du
d 2U
= 0,
(9.19)
ν 2 + W0
dz
dz
cuja solução para as condições de contorno em U é
U (z) = U∞ (1 − e −
W0 z
ν
).
(9.20)
Observe que (9.20) é uma solução laminar, e em princípio sem utilidade para
a solução de problemas reais turbulentos. Ela tem, entretanto, a característica
interessante de depender do “número de Reynolds”
Rez =
W0z
;
ν
(9.21)
quanto maior Rez , mais “reto” fica o perfil — em outras palavras, mais delgada
se torna a camada-limite viscosa próximo da parede. Este é exatamente o tipo
∗É
interessante notar que (9.14) tem um coeficiente numérico dez vezes menor que o da
fórmula similar para o fator de atrito de Darcy em tubos de seção circular, f D = 64/ReD , onde
o número de Reynolds neste caso é ReD = U D/ν , e D é o diâmetro do tubo.
114
9.2 – A Solução de Blasius
Figura 9.2: A camada-limite laminar
de comportamento que ocorre em escoamentos turbulentos reais. Em retrospecto, o responsável pelo “achatamento” do perfil de velocidade u (z) é o fluxo
advectivo de quantidade de movimento −U (z)W0 . Em escoamentos turbulentos,
a grandeza equivalente será o fluxo turbulento de quantidade de movimento (ou
tensão de Reynolds) − huwi.
Considere a figura 9.2.
Desejamos resolver o sistema de equações
∂U
∂V
= 0,
+
∂x
∂y
|{z} |{z}
(9.22)
∂U
∂U
1 ∂P
∂ 2U
∂ 2U
U
+V
=−
+ν 2 +ν 2 ,
∂x
∂y
℘ ∂x
∂x
∂y
|{z}
|{z} | {z } |{z} |{z}
(9.23)
I
III
II
IV
V
VI
∂ 2V
VII
∂ 2V
XI
XII
∂V
∂V
1 ∂P
U
+V
=−
+ν 2 +ν 2
∂x
∂y
℘
∂y |{z}
∂x
∂y
|{z}
|{z} | {z }
|{z}
VIII
IX
X
(9.24)
1a Observação: uma análise linear, que não é necessariamente fácil, deve
indicar que, devido à presença da derivada segunda em relação a y, ∂ 2 ·/∂y 2 , este
é um sistema elítico, que requer condições de contorno na extremidade direita
da placa. Isso é, em um certo sentido, não-natural. O primeiro passo, portanto,
é modificar as equações, por meio de uma análise da ordem de grandeza dos
termos. A observação fundamental, de natureza experimental, é que a espessura
da camada-limite é muito em comparação com as distâncias em x:
δ
1.
L
(9.25)
U∞ v
δ
+ = 0 ⇒ v ∼ U∞ .
L
δ
L
(9.26)
Da equação da continuidade, temos
115
Seguem-se as seguintes ordens de grandeza:
I ∼ U∞ /L,
U ∞δ
II ∼
,
L
III ∼ U∞2 /L,
δU∞ /L
IV ∼ U∞
= U∞2 /L
δ
Com a hipótese adicional
(9.27)
(9.28)
(9.29)
(9.30)
P ∼ ℘U∞2 ,
nós prosseguimos nas estimativas de ordens de grandeza:
V ∼ U∞2 /L,
(9.31)
U∞2
U∞
ν
1 2
U /L,
(9.32)
=
=
L2
U∞ L L
ReL ∞
νU∞
VII ∼ 2 .
(9.33)
δ
Claramente, VI é muito menor que todos os demais termos em (9.23). Observe
entretanto que VII possui uma escala à primeira vista “independente” das demais. Na região de interesse, entretanto, próximo da parede, VII é o único termo
que ressa que inclui os efeitos viscosos. Para que estes efeitos sejam da mesma
ordem que a aceleração convectiva dada por III, e IV,
r
νL
νU∞ U∞2
⇒δ ∼
.
(9.34)
∼
2
δ
L
U∞
VI ∼ ν
É conveniente observar que
δ
1
∼
L L
r
νL
1
= √
.
U∞
ReL
(9.35)
Finalmente, devemos explorar “até o fim” a última equação, de balanço de
quantidade de movimento em y (utilizando em todos os casos (9.34)):
1
δ
VIII ∼ U∞2 /L = √
U∞2 /L,
L
ReL
δ
1
U∞2 /L,
IX ∼ U∞2 /L = √
L
ReL
p
L
X ∼ U∞2 /L = ReLU∞2 /L,
δ
ν δU∞
ν δ U∞2
1
XI ∼ 2
=
= 3/2 U∞2 /L,
L L
U∞ L L L
ReL
ν δU∞ νU∞
ν L U∞2
1
XII ∼ 2
=
=
= √
U∞2 /L.
δ L
δL
U∞ L δ L
ReL
(9.36)
(9.37)
(9.38)
(9.39)
(9.40)
Estes resultados mostram que, em primeira aproximação, nós podemos re-escrever
o sistema (9.22)–(9.24) como
∂U ∂V
+
= 0,
∂x
∂y
(9.41)
116
U
∂U
∂U
1 ∂P
∂ 2U
+V
=−
+ν 2 ,
∂x
∂y
℘ ∂x
∂y
1 ∂P
0=−
℘ ∂y
(9.42)
(9.43)
Vários pontos são dignos de nota aqui. Em primeiro lugar, nós observamos
que (9.43) significa que o gradiente de pressão ∂P/∂x observado no escoamento
longe da placa é “imposto” pelo escoamento sobre a mesma. Em outras palavras,
é possível substituir ∂P/∂x, em (9.42), por ∂P∞ /∂x, sendo que este último é a
solução do problema invíscido longe da parede.
Em segundo lugar, existe um estranho problema de 2a ordem (uma perturbação?)
∂V
∂ 2V
∂V
+V
=ν 2.
(9.44)
U
∂x
∂y
∂y
Se essa equação é ou não identicamente atendida pela solução de Blasius, que
virá a seguir, é motivo de investigação futura.
9.2.1 – Espessura de deslocamento
δh∗
Dada uma distância h da parede, pode-se definir uma escala de comprimento
via
Qh =
0
h
U (y) dy ≡
h
δh∗
U∞ dy,
= U∞ (h − δh∗ ) ⇒
h
∗
(U∞ − U (y)) dy;
U ∞δh =
0
!
h
U (y)
∗
δh =
1−
dy.
U∞
0
(9.45)
Note que h foi necessário, como um “andaime” para construir o resultado (9.45);
agora, entretanto, podemos passar ao limite, e definir
!
∞
U (y)
∗
1−
dy.
(9.46)
δ ≡
U∞
0
Para definir a espessura de quantidade de movimento θ ∗ , nós precisamos de
um volume de controle adequado; tal volume é mostrado na figura 9.3.
A equação de balanço de massa é
0=
℘(n · U ) dS
S
= ℘(−U∞ ) dy + ℘U (L,y) dy + ℘V (x,h) dx ⇒
1
2
3
Ṁ = ℘V (x,h) dx = ℘(U∞ ) dy − ℘U (L,y) dy;
3
1
2
h
℘δh∗U∞ ≡ Ṁ =
℘(U∞ − U (y)) dy.
0
117
Figura 9.3: Volume de controle para a definição da espessura de quantidade de
movimento θ ∗ .
Disso resulta a mesma expressão já obtida para δh∗ ,
!
h
U (y)
∗
δh =
1−
dy.
U∞
0
(9.47)
O balanço de quantidade de movimento é
U ℘(n · U ) dS
−D =
S
2
= U∞ ℘(−U∞ ) dy + ℘[U (L,y)] dy + U∞ ℘V (x,h) dx
3 2
1
= U∞ ℘(−U∞ ) dy + ℘[U (L,y)]2 dy + U∞ ℘V (x,h) dx
3
2
1
= U∞ ℘(−U∞ ) dy + ℘[U (L,y)]2 dy + U∞ Ṁ
2
1
h
2
℘ (U∞ − U (L,y)) dy
= U∞ ℘(−U∞ ) dy + ℘[U (L,y)] dy + U∞
2
0
1
h
h
2
=
℘[U (L,y)] dy − U∞
℘U (L,y) dy ⇒
0
0
h
D=
U (L,y) (U∞ − U (L,y)) ℘ dy.
0
Defina agora a espessura de momentum:
D ≡ ℘U∞2 θ ∗ ,
donde, fazendo h → ∞:
θ =
∞
∗
0
Finalmente,
!
U
U
1−
dy.
U∞
U∞
D=
τ0 =
0
x
(9.48)
(9.49)
τ0 (ξ ) dξ ⇒
dD
,
dx
τ0 = ℘U∞2
dθ ∗
.
dx
(9.50)
118
9.2.2 – A solução de Blasius
Tente
U
= д(η),
U∞
y
η=
.
δ (x )
(9.51)
(9.52)
Procure uma solução em termos de uma função-corrente Ψ:
∂Ψ
,
∂y
∂Ψ
V =− .
∂x
U =
Segue-se que
Ψ=
(9.53)
(9.54)
y
U dY
y
η
U
dH
= δ (x )
U dη = U∞δ (x )
0
0 U∞
η
= U∞δ (x )
д(H ) dH ,
0
0
onde
д(η) =
df
.
dη
(9.55)
(9.56)
(9.57)
(9.58)
Note que a adoção de uma função-corrente faz com que a equação da continuidade (na sua forma incompressível) seja atendida automaticamente (remember Lorenz); portanto, restou a equação de momentum em x, na qual (lembremonos)
∂Ψ
v=− .
(9.59)
∂x
A equação diferencial parcial em Ψ que precisamos resolver é, portanto,
∂Ψ ∂ 2 Ψ
∂Ψ ∂ 2 Ψ
∂3 Ψ
−
=
ν
.
∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2
∂y 3
(9.60)
Nossa proposta de adimensionalização para Ψ é
y
Ψ(x,y) = U∞δ (x ) f
δ (x )
!
(9.61)
Vamos tentar fazer com Maxima, mas por enquanto temos:
"
#
df dδ
∂Ψ
dδ
= U∞ f
−η
;
∂x
dx
dη dx
U∞η d 2 f dδ
∂2 Ψ
=−
,
∂x ∂y
δ dη 2 dx
df
∂Ψ
= U∞ ,
∂y
dη
(9.62)
(9.63)
(9.64)
119
∂ 2 Ψ U∞ d 2 f
=
,
∂y 2
δ dη 2
∂ 3 Ψ U∞ d 3 f
= 2 3.
∂y 3
δ dη
Detalhadamente, para aprendermos a derivar:
∂ ∂Ψ
=
U∞δ (x ) f (η)
∂x
∂x "
#
df
dδ
= U∞ f
+δ
dx
dx
"
#
df ∂η dδ
dδ
= U∞ f
+δ
dx
dη ∂δ dx
mas
∂η
y
=− 2
⇒
∂δ
δ"
#
df dδ
dδ
∂Ψ
= U∞ f
−η
.
∂x
dx
dη dx
∂2 Ψ
∂2 =
U∞δ (x ) f (η)
∂x ∂y ∂x ∂y
y ∂ ∂ U∞δ (x ) f
=
∂x ∂y
δ
"
#
df
∂
1
=
×
U ∞δ
∂x
dη δ
" #
∂ df
= U∞
∂x dη
d 2 f ∂η dδ
= U∞ 2
dη ∂δ dx
mas
∂η
η
=−
⇒
∂δ
δ
U∞η d 2 f dδ
∂2 Ψ
=−
.
∂x ∂y
δ dη 2 dx
∂Ψ
∂ =
U∞δ (x ) f (η)
∂y
∂y
df
= U∞
dη
∂2 Ψ
∂2 =
U
δ
(x
)
f
(η)
∞
∂y 2
∂y 2
(9.65)
(9.66)
120
" #
∂ df
= U∞
∂y dη
d 2 f ∂η
= U∞ 2
dη ∂y
U∞ d 2 f
=
.
δ dη 2
∂ 3 Ψ U∞ d 3 f
= 2 3.
∂y 3
δ dη
Substituindo-se todos os termos, encontra-se
"
U∞ f
0
#
U∞η f 00
U∞ f 000
dδ U∞ f 00
−
− U∞ f − f 0η
=ν
,
δ
dx δ
δ2
U∞2 dδ U∞
−η f 0 f 00 − f f 00 + η f 0 f 00 = ν 2 f 000
δ dx
δ
U∞δ dδ
−
f f 00 = f 000 .
ν dx
Mas
νx
,
U∞
! −1/2
1 νx
ν
dδ
=
,
dx 2 U∞
U∞
1
U∞δ dδ
=− .
ν dx
2
r
δ=
Então,
1
f 000 + f f 00 = 0.
2
Agora com Maxima, para verificar:
load(pdiff)$
eq : U * (nu*x/U)^(1/2) * F(y/(nu*x/U)^(1/2))$
diff(eq,y) * diff(eq,x,1,y,1) - diff(eq,x)*diff(eq,y,2) - nu*diff(eq,y,3)$
ratsubst(w,y/sqrt((nu*x)/U),%)$
factor(%);
resulta em:
Maxima 5.22.1 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (a.k.a. GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
121
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1)
batch(psiblasius.max)
read and interpret file: #p/home/nldias/work/posgraduacao/tx752-metmatengamb/psiblasiu
(%i2)
load(pdiff)
nu x 1/2
y
(%i3)
eq : U (----)
F(---------)
U
nu x 1/2
(----)
U
(%i4) - nu diff(eq, y, 3) - diff(eq, x) diff(eq, y, 2)
+ diff(eq, y) diff(eq, x, 1, y, 1)
y
(%i5)
ratsubst(w, ----------, %)
nu x
sqrt(----)
U
(%i6)
factor(%)
2
(2 F
(w) + F(w) F
(w)) U
(3)
(2)
(%o6)
- ----------------------------2 x
(%o6)
psiblasius.max
Essa expressão significa
2f 000 + f f 00 2
U∞ ,
2x
que é a mesma equação que nós obtivemos “na mão”. Novamente, nós fomos capazes de reduzir um problema em equações diferenciais parciais a um
problema em equações diferenciais ordinárias. Mas cuidado: isso nem sempre
é possível.
−
9.2.3 – Blasius: solução numérica
Como vimos, uma camada-limite laminar sobre uma placa plana sem gradiente de pressão longitudinal pode ser resolvida com
1
f 000 + f f 00 = 0
2
(9.67)
sujeita às condições de contorno
f (0) = 0,
f 0 (0) = 0,
f 0 (∞) = 1
(9.68)
onde
Ψ(x,y)
U∞δ (x )
y
η=
δ (x )
f (η) =
(9.69)
(9.70)
122
e
r
δ (x ) =
νx
.
U∞
(9.71)
As condições 9.68 não configuram um problema de valor inicial clássico, mas
sim um problema de valor de contorno. Mesmo assim, vale a pena a seguinte
abordagem. A mudança de variáveis
u1 = f ,
u 2 = f 0,
u 3 = f 00,
(9.72)
produz o seguinte sistema autônomo de equações diferenciais ordinárias:
d
dη
u 1   u 2 , 
u  =  u , 
 2   1 3 
u 3  − 2 u 1u 3 
(9.73)
Este sistema pode agora ser resolvido com 3 condições iniciais
u 1 (0) = 0,
u 2 (0) = 0,
u 3 (0) = γ
(9.74)
onde γ é um valor inicial arbitrário para f 00 (0). A solução de 9.73 pode ser
obtida com o programa blasius.py:
#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*# ---------------------------------------------------------# blasius.py
# ---------------------------------------------------------from __future__ import print_function
from numpy import array
from sys import argv
# ---------------------------------------------------------# por comodidade, a condição inicial é na linha de comando
# ---------------------------------------------------------gamma = float(argv[1])
h = 0.01
t = [0.0]
x = [array([0.0,0.0,gamma])]
n = int(20.0/h)
# número de passos
# ---------------------------------------------------------# sistema a ser integrado
# ---------------------------------------------------------def ff(t,x):
return array( [ x[1],x[2],-0.5*x[0]*x[2] ] )
def rk4(t,x,h,ff):
’’’
rk4 implementa um passo do método de Runge-Kutta de ordem 4
’’’
k1 = h*ff(t,x)
k2 = h*ff(t+h/2,x+k1/2)
k3 = h*ff(t+h/2,x+k2/2)
123
k4 = h*ff(t+h,x+k3)
xn = x + k1/6.0 + k2/3.0 + k3/3.0 + k4/6.0
return xn
for i in range(0,n):
# loop da solução numérica
tn = (i+1)*h
xn = rk4(t[i],x[i],h,ff)
t.append(tn)
x.append(xn)
fou = open(’blasius.out’,’wt’)
for i in range(0,n+1):
# imprime o arquivo de saída
fou.write( ’%12.6f %12.6f %12.6f %12.6f\n’ %
(t[i],x[i][0],x[i][1],x[i][2]) )
print(’%12.6f %12.6f’ % (xn[1], xn[2]) )
fou.close()
Sucessivas rodadas de blasius.c produzem a seguinte tabela:
γ
f 0 (∞)
0.1
0.449
0.2
0.731
0.3
0.934
0.4
1.132
0.35
1.035
0.32
0.975
0.33
0.995
0.335 1.005
0.334 1.003
0.333 1.001
0.3325 1.0008
0.3322 1.0002
1.0
2.085409
Se o processo todo estiver certo, então a última saída deve ter gerado o perfil
de velocidade
u
(9.75)
f 0 (η) =
U∞
O seguinte script de gnuplot deve plotar o resultado:
set terminal postscript eps monochrome "Times-Roman" 18
set xlabel ’eta’
set ylabel ’u/Uoo’
set output ’blasius.eps’
set grid
plot ’blasius.out’ using 1:3 notitle with lines lt 1 lw 2
exit
O resultado pode ser visso na figura 9.4
9.2.4 – Uma alternativa
Liggett (1994) sugere a seguinte alternativa para definir condições de contorno em η = 0, e consequentemente produzir um problema de valor inicial
124
2.5
2
u/Uoo
1.5
1
0.5
0
0
5
10
eta
15
20
Figura 9.4: Perfil de velocidade adimensional de Blasius.
desde o início:
f = αд,
ξ = βη
(9.76)
(9.77)
Agora, em ξ = η = 0, a derivada segunda de f (que nós acabamos de determinar por tentativa-e-erro acima) é f 00 (0) = γ . A derivada segunda de д em
relação a ξ será
d 2д
d dд
=
2
dξ
dξ dξ
d dд dη 1 d dд
=
=
dξ dη dξ
β dξ dη
2
1 d д dη
=
β dη 2 dξ
1 d 2д
= 2 2
β dη
1 d 2д
=
α β 2 dη 2
1 d2 f
=
.
α β 2 dη 2
Então,
(9.78)
d 2д γ
1 d 2 f =
=
.
dξ 2 0 α β 2 dη 2 0 α β 2
(9.79)
dд d( f /α )
1 df
=
=
dξ
d(βη)
α β dη
(9.80)
Agora, imponha γ /(α β 2 ) = 1, de tal modo que d 2д(0)/dξ 2 = 1.
125
d 2д
1 d2 f
=
dξ 2 α β 2 dη 2
d 3д
1 d3 f
=
dξ 3 α β 3 dη 3
(9.81)
(9.82)
Voltando à equação diferencial original,
2f 000 + f f 00 = 0,
2α β 3д000 + αдα β 2д00 = 0
(9.83)
É conveniente agora fazer α = β, de modo que a equação (9.83) torna-se
2д000 + дд00 = 0.
(9.84)
Trata-se evidentemente da mesma equação de Blasius, porém com condições
iniciais diferentes. A sua solução levará à obtenção do valor de α: de (9.80),
dд
df
1
1
= 2 lim
= 2.
ξ →∞ dξ
α η→∞ dη α
lim
(9.85)
Rodando blasius de novo com f 00 (0) = 1 (na verdade, д00 (0) = 1!), д0 (∞) =
2.085409 (veja a última linha da tabela, convenientemente inserida à espera
deste momento); α = 0.69247544534044858, e γ = α 3 = 0.33205737835621146 =
f 00 (0), o que concorda com nosso resultado anterior obtido por tentativa-e-erro.
10
Camadas-limite turbulentas
10.1 – Escoamento turbulento em um duto
No capítulo 6, nós obtivemos as equações médias
∂hUi i
=0
∂xi
(10.1)
e
∂
1 ∂hPi
∂ 2 hUi i
∂hUi i
[hUi i hUk i + hui uk i] = −δi3д −
+
.
+ ν (i)
∂t
∂xk
ρ ∂xi
∂xk ∂xk
(10.2)
Considere agora essas equações em um duto com seção retangular “infinita” na
direção y e espessura na direção z dada por h = 2δ , para um escoamento plenamente desenvolvido em x. O “plenamente desenvolvido” significa que as médias
turbulentas não variam em x: ∂ h·i /∂x = 0; da mesma forma, a seção “infinita”
em y implica homogeneidade nessa direção: ∂ h·i /∂y = 0. Substituindo na
equação da continuidade, obtém-se
∂hW i
(10.3)
= 0 ⇒ hW i (z) = constante ⇒ hW i (z) = 0,
∂z
pois as condições de contorno em hW i são hW i (0) = hW i (h) = 0.
A solução obtida hW i = 0 e a homogeneidade da turbulência em x e y simplificam a equação de momentum em z para
∂
1 ∂hPi
.
hwwi = −д −
∂z
℘ ∂z
(10.4)
Assim, um dos efeitos da turbulência é desviar a distribuição vertical de pressão média do estado hidrostático! Note que a imposição de homogeneidade da
turbulência em x e y significa que hwwi é uma função de z somente; tendo isso
em mente, integre (10.4) entre 0 e z e imponha hwwi (0) = 0 (essa condição de
contorno significa que a intensidade da turbulência “morre” na parede), para
obter
1
1
1
(10.5)
hwwi (z) + дz + hPi (x,z) = hPi (x, 0) ≡ P0 (x ),
℘
℘
℘
onde P0 (x ) signifca a pressão média medida na parede do escoamento (teoricamente, também não há flutuações de pressão na parede). Um resultado importante pode ser obtido derivando-se essa última equação em relação a x:
∂hPi dP0
=
,
∂x
dx
126
(10.6)
127
ou seja:
O gradiente longitudinal da pressão média em todos os pontos do escoamento é
igual ao gradiente de pressão na parede.
A homogeneidade em y faz com que a equação de momentum na direção y seja
trivial: 0 = 0; na direção x teremos
1 ∂hPi
∂ 2 hU i
∂ 0 0
wu =−
+ν
,
∂z
℘ ∂x
∂z 2
d 2 hU i
1 dP0
∂ 0 0
w u −ν
=
−
≡ дJ .
∂z
dz 2
℘ dx
(10.7)
(10.8)
O lado esquerdo dessa equação é uma função só de z, e o lado direito, uma função
só de x. Os dois portanto devem ser constantes, donde se segue que, assim como
no caso do escoamento laminar em um duto, a perda de carga J (para usar uma
terminologia de engenheiros) é linear com x — um fato geralmente apresentado
sem muita discussão em cursos de graduação. Note que (9.10) e (10.8) são a
mesma equação, que portanto se aplica tanto para o regime laminar quanto
para o turbulento.
Integrando (10.8) entre 0 e z (e lembrando que hw 0u 0i (0) = 0 devido ao fato
de que a intensidade da turbulência é nula na parede),
−
dhU i
dhU i
z dP0 0 0
− u w +ν
=ν
(0),
ρ dx
dz
dz
(10.9)
℘ν dhU i
dhU i
τ0
(0) =
(0) =
≡ u ∗2 ,
dz
℘ dz
ρ
(10.10)
onde
ν
e τ0 é a tensão cisalhante na parede. Pela primeira vez, aparece explicitamente
uma escala de velocidade específica do problema, a velocidade de atrito u ∗ .
O resultado,
z dP0 0 0
dhU i
−
− u w +ν
= u ∗2
(10.11)
℘ dx |
dz
{z
}
τ /℘
permite determinar analiticamente a tensão total τ (turbulenta + viscosa) de
cisalhamento em função de z:
τ = τ0 +
dP0
z,
dx
(10.12)
com o resultado mostrado na figura 10.1.
A distribuição de tensões τ é antisimétrica, com τ (2δ ) = −τ0 ∗ . Segue-se
então que τ (δ ) = 0, donde
−
∗ Tanto
δ dP0
= u ∗2 ⇒
ρ dx
(10.13)
em z = 0 quanto em z = 2δ , a componente x do vetor de tensão é −τ0 ; em z = 0
o vetor normal ao fluido é n = −e z , e em z = 2δ ele é n = e z . Da relação entre o vetor de
tensão e o tensor de tensões, t j = ni Ti j , para um estado bi-dimensional de tensões deduz-se que
T12 (z) = τ (z) e τ (2δ ) = −τ0 .
128
Figura 10.1: A distribuição da tensão cisalhante total em um escoamento turbulento em um duto.
z
dhU i
= u ∗2 1 −
.
− u 0w 0 + ν
dz
δ
(10.14)
Este resultado é muito importante, pois foi obtido a partir somente da hipótese
de essacionariedade e homogeneidade em x e y do escoamento. Dividindo por
u ∗2 :
hU i 0
0
d
ν
− hu w i
z
u
∗ = 1 − .
+
(10.15)
2
z
u ∗δ d
δ
u∗
δ
Observe o aparecimento do número de Reynolds Re∗ = u ∗δ/ν . Quando Re∗ →
∞, o gradiente
i
d hU
u
∗
d δz
desaparece (isso é: anula-se) de (10.15). Para analisarmos o que acontece próximo da parede, devemos encontrar uma forma de “preservar” o gradiente; ei-la:
hU i 0
0
d
ν zu ∗
hu w i
u
.
(10.16)
−
+ zu∗ = 1 −
2
∗
δu ∗ ν
u∗
d
ν
Está claro que nós aplicamos duas adimensionalizações diferentes para o gradiente de velocidade. Em ambas, a velocidade adimensional é hU i /u ∗ . Na primeira
adimensionalização, que corresponde à equação (10.15), a variável adimensional
é
η ≡ z/δ ;
(10.17)
na segunda, a variável adimensional é
z+ ≡
zu ∗
.
ν
As equações (10.15) e (10.16) nas variáveis acima são
!
1 d hU i
hu 0w 0i
−
+
= 1 − η,
u∗
Re∗ dη u ∗
!
d hU i
1
hu 0w 0i
−
+
=1−
z+ .
u∗
dz + u ∗
Re∗
(10.18)
(10.19)
(10.20)
Note agora como o efeito de Re∗ → ∞ é diferente em cada uma delas. Obviamente, para z/δ 1, τ ≈ constante. Essas condições definem a região inercial
129
da camada-limite turbulenta. Por outro lado, para Re∗ → ∞ e η ∼ 1, (10.19)
produz
hu 0w 0i
−
= 1 − η.
(10.21)
u∗
Tennekes e Lumley (1972) observam que essa equação não pode ser válida em
η = 0. Sua região de validade é o core layer (camada central).
Alguma espécie de argumento dimensional agora é necessário para que possamos prosseguir. Tennekes e Lumley (1972) usam a equação de balanço de
energia cinética turbulenta (6.30) para argumentar que d hU i /dz ∼ u ∗ /δ ; isso
é uma forma particular do argumento mais geral utilizado no capítulo 6, onde
mostramos que o termo III (produção por gradiente) da equação para os momentos de 2a ordem é da ordem de ũ 3 /L .
Alternativamente aos argumentos de Tennekes e Lumley (1972), e talvez de
maneira mais direta, observe que, de acordo com (10.19), o gradiente da velocidade adimensionalizada hui /u ∗ deve ser uma função de η (embora ele desapareça da equação quando Re∗ → ∞). Suponha que a velocidade adimensionalizada também só dependa de η nessa região, na forma
hU i − Uδ
,
u∗
(10.22)
onde Uδ é o valor de hU i no centro do duto, em z = δ . A inclusão de Uδ é
necessária porque o gradiente de velocidade deve ser integrado do centro do
duto em direção à parede, uma vez que a relação de similaridade (10.23) não
pode valer até a parede porque, em sua proximidade, as escalas de comprimento
típicas do escoamento são diferentes de (na verdade, são muito menores que)
δ (Tennekes e Lumley, 1972, p. 148). De acordo com Wosnik et al. (2000), a
inclusão de Uδ elimina a necessidade de levar em consideração efeitos viscosos
próximo da parede quando o processo de tomada de limites que se segue for
realizado. Então,
z
dhU i u ∗ dFδ
hU i − Uδ
= Fδ ; Re∗ ⇒ lim
=
,
(10.23)
Re∗ →∞ dz
u∗
δ
δ dη
onde F (η), a “lei da diferença de velocidade” (velocity defect law), é uma função
adimensional a determinar.
De forma totalmente análoga e simétrica, em (10.20) vemos que o gradiente
da velocidade adimensionalizada é uma função de z + ; dessa vez, é este último
que desaparece da equação quando Re∗ → ∞. A adimensionalização “natural”
para o gradiente de velocidade média agora é
hU i
= Fν (z + ; Re∗ ) ⇒
u∗
dhU i u ∗2 dFν
lim
=
,
Re∗ →∞ dz
ν dz +
(10.24)
que é conhecida em Mecânica dos Fluidos como “lei da parede”.
As variáveis z + e η descrevem o balanço de quantidade de movimento sob
duas “óticas” (na verdade, duas escalas) diferentes: z + é a variável adequada
próximo da parede, e η a variável adequada na região central do escoamento. A
técnica denominada asymptotic matching (“ajuste assintótico”) permite utilizar
uma análise de múltiplas escalas para obter um resultado analítico. O argumento é que, embora Fν e Fδ descrevam a velocidade em regiões diferentes do
130
escoamento, deve haver uma região onde ambas as descrições são válidas. Hissoricamente, essa abordagem surgiu apenas para o limRe∗ →∞ ; daí sua presença
em (10.23) e (10.24). Na região de “casamento”, ambas as equações devem valer,
e essa região deve corresponder aos limites z + → ∞ e η → 0:
u ∗2 dFν
u ∗ dFδ
= lim
.
z + →∞ ν dz +
η→0 δ dη
lim
(10.25)
Multiplicando por z ambos os lados e rearrumando os termos:
zu ∗ dFν
z dFδ
= lim
,
z + →∞ ν dz +
η→0 δ dη
dFν
dFδ
1
lim z +
= lim η
= .
z + →∞
dz + η→0 dη
κ
lim
(10.26)
(10.27)
Note que cada lado de (10.27) depende, respectivamente, de z + e de η, e por um
argumento semelhante ao usado no método de separação de variáveis para a
solução de equações diferenciais parciais, os dois devem no limite ser iguais a
uma constante, aqui definida como 1/κ (κ é a constante de vón Kármán). Assim,
obtém-se, imediatamente,
1
ln η + Cδ ,
κ
1
Fν (z + ) = ln z + + Cν .
κ
Fδ (η) =
(10.28)
(10.29)
Essa região de “casamento” é denominada região inercial. Os argumentos aqui
utilizados para mostrar que, nessa região, o perfil de velocidade é logarítmico
guardam uma semelhança intrigante com os argumentos que levam à “faixa
inercial” do espectro na teoria clássica de turbulência de Kolmogorov (capítulo
11). Segundo Pope (2000), Cν = 5,2, e, como é bem conhecido, a constante
de vón Kármán é κ = 0,4. Por consistência com hU i (δ ) = Uδ , devemos ter
Cδ = 0, embora valores pequenos e diferentes de zero possam ser encontrados
experimentalmente.
Uma região diferente permite também uma integração analítica do perfil de
velocidade: em (10.20), quando z + → 0, a tensão de Reynolds hu 0w 0i tende a
zero, donde se segue imediatamente que o perfil adimensional de velocidade é
linear em z + :
hU i
= z+ .
(10.30)
u∗
Essa previsão parece à primeira vista conflitar-se com a previsão de um perfil
parabólico no caso do escoamento laminar em dutos (Hagen-Poiseuille) com a
mesma geometria. Entretanto, é fácil reescrever o resultado laminar na forma
1 2
U
= z+ −
z :
u∗
2Re∗ +
(10.31)
é evidente que, sendo o escoamento para o qual essa equação foi deduzida laminar, é proibido que Re∗ atinja valores muito altos, ou tenda para o infinito. O
limz+ →0 de (10.31) para valores finitos de Re∗ , por outro lado, reconcilia-a com
(10.30).
131
Considere agora (10.20) com Re∗ → ∞, z + → ∞; para remover a indeterminação z + /Re∗ , note que
z+
=
Re∗ →∞ Re∗
lim
z + →∞
η→0
zu ∗
ν
u ∗δ
ν
=
z
= η = 0.
δ
(10.32)
Além disso, nessa região, em virtude de (10.27)
1
dFν
= lim
= 0;
z + →∞ κz +
z + →∞ dz +
lim
(10.33)
portanto, na região inercial, (10.19) fica
−
hu 0w 0i
≈1
u ∗2
(10.34)
ou seja: a tensão de Reynolds nessa região é aproximadamente constante.
Para cumprir um programa semelhante ao realizado com o escoamento laminar em dutos, é preciso integrar o perfil de velocidade ao longo da seção, para
então obter uma equação para a perda de carga. O perfil previsso por (10.29)
não pode ser integrado desde z = 0, pois essa equação possui uma singularidade logarítmica aí. Alternativamente, nós podemos usar (10.28), e integrar
sobre toda a seção. Naturalmente, a lei da diferença de velocidade não pode ser
válida próximo da parede (Tennekes e Lumley, 1972, p. 148). No entanto, para
escoamentos turbulentos em dutos, na região próxima à parede onde a lei não
se aplica a contribuição para o cálculo da velocidade média é desprezível (Pope,
2000, p. 278). Então, a velocidade média é
#
"
u ∗ δ Uδ 1 z
u∗
(10.35)
U =
+ ln dz = Uδ − .
δ z=0 u ∗ κ δ
κ
Para que uma expressão para a perda de carga possa ser encontrada, é preciso
ainda eliminar Uδ . Isso pode ser feito, por exemplo, supondo-se que (10.29) vale
até o centro do duto; este ponto, naturalmente, está fora da região de validade
de (10.29), porém novamente as diferenças para escoamentos em dutos são relativamente pequenas (Pope, 2000, figura 7.9). Faça portanto
"
#
1 δu ∗
Uδ = u ∗
ln
+ Cν ⇒
(10.36)
κ
ν
"
!
#
1
δu ∗
U = u∗
ln
− 1 + Cν .
(10.37)
κ
ν
Observe que o problema de projeto de engenharia de uma tubulação está essencialmente resolvido: para uma vazão por unidade de largura 2U δ , (10.37)
determina o valor correspondente da velocidade de atrito u ∗ ; então, o gradiente
de pressão que precisa ser impresso ao duto para que se atinja o valor prescrito
de U é dado por (10.13).
O procedimento de cálculo para projeto pode ser otimizado da seguinte
forma: inicialmente, note que J pode ser relacionado diretamente com u ∗ eliminandose dP0 /dx entre (10.8) e (10.13):
дJδ = u ∗2
(10.38)
132
10.2 – Escoamentos turbulentos com parede rugosa
que, juntamente com (9.13), produz
u∗
U
r
=
f
.
2
(10.39)
O uso dessa última equação em (10.37) produz
r


f+
1

*
*
+
U = u ∗  ln Re
− 1 + Cν  .
2 κ , ,

-
(10.40)
Finalmente, levando-se (10.40) de volta em (10.38) e eliminando-se u ∗ obtém-se
uma equação padrão para o fator de atrito, na mesma forma que (9.13):
J= "
|
s
2
2
1
κ
ln Re
q !
f
2
{z
f
!
− 1 + Cν
1U
⇒
#2
δ 2д
(10.41)
}
r


f+
2  1 * *
+
=  ln Re
− 1 + Cν  .
f
2 κ , ,

-
(10.42)
A equação (10.42) pode ser descrita como uma equação de Prandtl para escoamento turbulento com paredes lisas em dutos de seção retangular e largura
infinita. Ela define implicitamente a função f = f (Re). Em engenharia, os
diagramas que plotam essa função são denominados “diagramas de perda de
carga”.
Na definição de z + em (10.18), está implícita uma escala de comprimento
viscosa
ν
(10.43)
zν ≡ .
u∗
Para o ar a 20◦ C, ν = 1,5×10−5 m2 s−1 ; para a água a 20◦ C, ν = 1,0×10−4 m2 s−1 (Batchelor,
1967, apêndice 1, p. 594). Portanto, se u ∗ ∼ 10−1 m s−1 , zν ∼ 10−4 a 10−3 m. Tanto
em tubulações industriais quanto em escoamentos sobre superfícies naturais, há
imperfeições ou “elementos de rugosidade” na superfície cuja ordem de grandeza é z 0 .
A tabela 10.1 ilustra alguns valores típicos de z 0 para diferentes materiais:
embora o valor de u ∗ que usamos seja uma estimativa que obviamente variará
de escoamento para escoamento, fica claro que em muitas situações z 0 ∼ zν ; de
fato, segundo Morris e Wiggert (1972), a maioria dos escoamentos em tubos são
deste tipo. É de se esperar que estes sejam os casos mais difíceis para se lidar.
Por outro lado, também é de se esperar que existam casos em que z 0 zν ; para
eles, é possível desenvolver uma teoria de “escoamento turbulento rugoso”. De
fato, tudo é uma questão de quão alto é o número de Reynolds Re: para um
valor suficientemente alto, a camada viscosa deve se tornar tão delgada que, no
limite, toda a parede de qualquer material se torna “rugosa” no sentido de que
seus elementos de rugosidade se estendem além da sub-camada viscosa.
133
Tabela 10.1: Rugosidade equivalente de areia. Fonte: (Morris e Wiggert, 1972,
Tabela 3-1)
Material
z 0 (m)
Aço muito corrugado 0,001
Aço pouco corrugado 0,01
Concreto liso
0,0003
Concreto rugoso
0,003
Madeira lisa
0,00018
Madeira rugosa
0,001
Aço laminado
0,00026
Aço galvanizado
0,00015
asphalted castiron
0,00012
Aço comercial novo
0,00004
Aço soldadon
0,00004
Vidro
0,0000015
Se z 0 zν , é natural tentar adimensionalizar (10.14) com z 0 , em vez de zν .
Portanto, para as variáveis adimensionais
u ∗z 0 z 0
= ,
(10.44)
Re0 ≡
ν
zν
z
z∗ ≡
(10.45)
z0
(Re0 é um número de Reynolds de rugosidade (Brutsaert, 1982)), (10.14) admite a
adimensionalização
hui 0
d
1
z0
hw ui
u∗
+
(10.46)
−
= 1 − z∗ .
2
Re0 dz ∗
δ
u∗
De forma totalmente análoga aos resultados obtidos anteriormente para paredes lisas, nós esperamos que para uma região relativamente próxima da parede
valha uma adimensionalização com a forma
hui
= F 0 (z ∗ , Re∗ ) ⇒
u∗
dhui u ∗ dF 0
=
.
Re∗ →∞ dz
z 0 dz ∗
lim
(10.47)
Essa equação é análoga ao par (10.23) e (10.24): de fato, desde que z 0 δ , basta
substituir zν por z 0 na análise de ajuste ou casamento assintótico. O argumento
padrão que conduz a um resultado análogo a (10.27), portanto, será
z
hui
= F 0 ( , Re∗ ) ⇒
u∗
z0
dhui u ∗ dF 0
lim
=
⇒
Re∗ →∞ dz
z 0 dz
dF 0
dFδ
1
lim z ∗
= lim η
= .
z ∗ →∞
η→0
dz ∗
dη
κ
(10.48)
(10.49)
(10.50)
O perfil na região influenciada pela escala z 0 portanto será novamente logarítmico:
z
hui 1
= ln + C 0 .
(10.51)
u∗
κ z0
134
10.3 – O regime de transição
Para os experimentos clássicos de Nikuradse de perda de carga em tubos muito
lisos aos quais uma rugosidade artificial foi adicionada com grãos de areia, o
limRe∗ →∞ produz C 0 = 8.5. Não há na literatura (tanto quanto seja de nosso
conhecimento) valores específicos para escoamentos em dutos muito largos sob
pressão, portanto vamos admitir que este valor também se aplique. Com este
valor para C 0 , a previsão de (10.51) para a anulação de hui é
ln
z
= −3,4 ⇒ hui (z = 0,0334z 0 ) = 0.
z0
(10.52)
O objetivo agora é obter uma equação para o fator de atrito em escoamento
plenamente rugoso. Para este fim, vamos usar novamente (10.35) e supor agora
que uδ pode ser calculado com a nova lei da parede “rugosa” (10.51); o resultado
é
!
#
"
δ
1
ln − 1 + C 0
(10.53)
U = u∗
κ
z0
— note que não há nenhuma dependência do número de Reynolds Re∗ — e a
equação correspondente para o fator de atrito é
s
"
!
#
1
2
δ
=
ln − 1 + C 0 .
(10.54)
f
κ
z0
10.3 – O regime de transição
Considere agora o caso “mais complicado”, z 0 ∼ zν ; ambas as escalas podem
ser usadas em um ajuste assintótico com a sub-camada externa, e é de se esperar
que na camada inercial o perfil de velocidade dependa de ambos. Em termos de
variáveis adimensionais:
!
z z 0u ∗
hui
= F 0ν
,
.
(10.55)
u∗
z0 ν
Note que o segundo argumento, é o número de Reynolds de rugosidade Re0 , a
razão entre z 0 e zν : veja a equação (10.44). A idéia é que o regime “liso” seja
recuperado quando Re0 → 0, e o regime “rugoso” quando Re0 → ∞:
!
zu z
∗
lim F 0ν
, Re0 = Fν
,
(10.56)
Re0 →0
z0
ν
!
!
z
z
lim F 0ν
, Re0 = F 0
.
(10.57)
Re0 →∞
z0
z0
Nosso objetivo, portanto, deve ser procurar uma forma analítica para a função das variáveis z/z 0 e Re0 que “colapse” ambas em zu ∗ /ν no primeiro caso, e
que seja assintoticamente independente de Re0 no segundo. A propriedade do
logaritmo do produto sugere que para escoamento liso devemos ter
"
#
1
z
z 0u ∗
1 zu ∗
F 0ν ∼
ln + ln
= ln
,
(10.58)
κ
z0
ν
κ
ν
135
10.4 – A fórmula de Manning
onde “∼” deve ser lido “comporta-se como . . . a menos de uma constante”. Para
escoamento rugoso, por outro lado, Re0 deve desaparecer. Uma forma de obter
ambos os comportamentos assintóticos é fazer


ln z + ln * 1 +
1
 z 0
, Re0 + 1 -!#
"
1
z
1
ln − ln
+1 .
=
κ
z0
Re0
F 0ν ∼
1
κ
(10.59)
De fato, para Re0 → 0, (10.59) é praticamente igual a (10.58), enquanto que para
Re0 → ∞ ela se torna, como desejado, assintoticamente independente de Re0 .
Falta ainda garantir os valores exatos das constantes Cν e C 0 em (10.56)–(10.57);
isso pode ser obtido com
"
!#
1
z
B 0ν
F 0ν =
ln − ln
+ 1 + C0 .
(10.60)
κ
z0
Re0
Claramente, (10.60) atende à constante C 0 em (10.57): veja (10.51). Por outro
lado, para que (10.60) também atenda à constante Cν , basta escolher B 0ν de tal
forma que
1
(10.61)
− ln B 0ν + C 0 = Cν ,
κ
donde se obtém, para dutos, que B 0ν = 3,74. Um procedimento totalmente análogo ao feito anteriormente para escoamentos lisos e rugosos permite obter uma
equação para o cálculo de fatores de atrito em escoamentos em regime de transição:
s
s


2  1 * δ
2 B 0ν δ
*
+
+
=  .ln − ln .
+ 1/ − 1/ + C 0  .
(10.62)
f
f Re z 0
 κ , z 0

,

Em (10.62) f depende, convenientemente, tanto de δ/z 0 como de Re; em princípio, essa equação pode ser usada para calcular f em qualquer regime. Uma
equação totalmente análoga a (10.62) foi obtida pela primeira vez por Colebrook
e White para escoamentos transicionais em tubos de seção circular (Morris e
Wiggert, 1972, p. 67): os coeficientes numéricos, naturalmente, são diferentes
dos fornecidos aqui por conta da geometria diferente da seção; a rugosidade
relativa de Colebrook e White é dada na forma z 0 /D, e o número de Reynolds
na forma U D/ν .
O diagrama de fator de atrito para o escoamento em um duto de seção retangular e largura infinita versus o número de Reynolds para z 0 /δ = 0,05, 0,005
e 0,00005 está mostrado na figura 10.3.
A fórmula
1
V = Rh2/3S 1/2
(10.63)
f
n
foi proposta por Manning em 1889. A menos que se atribua uma dimensão
física a n, ela é dimensionalmente inconsistente. Ela é uma equação “empírica”,
ou seja: ela foi proposta sem base em uma dedução a partir de equações mais
fundamentais.
136
f
0.1
0.01
z0/R = 0.005
z0/R = 0.0005
z0/R = 0.00005
0.001
100
1000
10000
100000
1e+06
Re
1e+07
1e+08
1e+09
1e+10
Figura 10.2: Fator de atrito f em função de Re e da rugosidade relativa z 0 /δ em
um escoamento turbulento em um duto
Chen (1991) mostrou entretanto que ela pode ser deduzida. A vazão volumétrica através da seção, por definição, é
B Z
Q=
(10.64)
hui (y,z) dz dy
y=0 z=z f (y)
onde B é a largura da seção, z f (y) são as cotas do fundo e Z é a cota da superfície.
Dedução (Chen, 1991)
!
z − z f (y) m
,
(10.65)
hui (y,z) = au? (y)
z0
!
B
au? (y) h(y) m
h(y) dy,
(10.66)
Q=
z0
y=0 m + 1
h(y) = Z − z f (y)
(10.67)
A velocidade de atrito média ao longo da seção transversal, u ∗ , deve satisfazer
à relação
1 B
1 P
0
0
u∗ =
u? (y ) dy ≈
u? (y) dy
(10.68)
P y 0=0
B y=0
y
u? (η)
, д(η) =
⇒
B
u∗
!
au ∗Rm
(Rh P ) B 1
h(η) m+1
h
д(η)
Q=
dη,
(m + 1)zm
Rh
0 P η=0
q
u ∗ = дRh S f ,
! m+1 
1
 a √д

h(η)
B
V = 
д(η)
dη  Rm+1/2
S 1/2
m
f
Rh
 (m + 1)z 0 P η=0
 h
|
{z
}
η=
1/n
(10.69)
(10.70)
(10.71)
(10.72)
137
que é a fórmula de Manning para m = 1/6.
Dias (1995) — ajuste de um perfil de velocidade ao longo da seção por mínimos quadrados não-lineares:
!
z − z f (η)
u ∗д(η)
ln
,
(10.73)
hui (η,z) =
κ
z0
u∗
κ = −a 0η(η − 1)(η 2 − 2a 1η + a 22 )
(10.74)
д(η)
u∗
m=
(10.75)
κV
Alguns resultados no Iguaçu
Estimativa de u ∗ (contra medidas usando a declividade da linha d’água):
Expoente m da equação de Manning
Funções potência?
Suponha (por pura conjectura) que
Fν = A + z m
+,
FR = Azm ⇒
dFν
dFR
, se
z+
=z
dz +
dz
A
= Rm
+.
A+
(10.76)
(10.77)
(10.78)
(10.79)
Resultados modernos
De volta aos dutos retangulares sob pressão. Wosnik, Castillo e George
(2000) — as equações para os perfis nas variáveis z + e z representam o mesmo
campo de velocidade:
uR
= FR ,
u∗
u∗
G (R + ) ≡ ,
uR
1
Fν (z/zν ,R + ) −
= FR (z/R,R + ),
G (R + )
z dFν
z dFR
∂/∂z; ×z ⇒
=
.
zν dz + R dz
Fν −
(10.80)
(10.81)
(10.82)
(10.83)
Aproximação assintótica local
Este é o mesmo resultado de casamento de perfis de antes, mas dessa vez
para valores finitos, ainda que suficientemente altos, de R + .
Um resultado novo e diferente é obtido do processo de aproximação assintótica local (near asymptotics):
z + = z̃Rn+ , z = z̃Rn−1
+ 0 <n < 1
(10.84)
138
1
= FR (Rn−1
+ z̃,R + ),
G (R + )
dFR
1
∂/∂z ⇒ z
=
−...,
dz
κ (R + )
1
d1/G
≡
.
κ (R + ) dln R +
Fν (Rn+ , z̃,R + ) −
(10.85)
(10.86)
(10.87)
Evidências de uma meso-camada
Seja y = x + a, x,y > 0; então, se f = ln x,
df
1
= x = 1;
dx
x
df
df
1
y
= (x + a)
=1=x .
dy
(x + a)
dx
x
(10.88)
(10.89)
Isso significa que o processo de casamento de perfis de Milikan, que envolve a
constante de vón Kármán, admite soluções um pouco mais gerais:
1
hui − uR
=
ln [z + a(R + )] + C (R + ),
u∗
κ (R + )
1
hui
ln [z + + a + (R + )] + C + (R + ).
=
u∗
κ (R + )
(10.90)
(10.91)
Conclusões
• Ao contrário do que às vezes se pensa, resultados analíticos são possíveis a partir das equações de Navier-Stokes e Reynolds para escoamentos
turbulentos.
• Ao longo do século XX e até os dias de hoje, novos resultados analíticos
e experimentais continuam a esclarecer diversos pontos sobre “velhos”
problemas.
• A equação de Manning, por exemplo, pode ser entendida como o resultado de uma aproximação em “lei de potência” para o perfil de velocidade
em uma camada-limite turbulenta.
• As teorias analíticas existentes ainda dependem de constantes empíricas,
notadamente a “constante” de vón Kármán → número de vón Kármán:
κ = κ (R + ). Obter previsões teóricas diretamente a partir das eqs de N-S é
um desafio para os dinamicistas de fluidos.
11
A Teoria de Kolmogorov
11.1 – Alternativas de descrição da estrutura estocástica da turbulência
Kolmogorov “evitou” a decomposição de Reynolds
u = hui + u 0
(11.1)
trabalhando em seu lugar com as diferenças de velocidade entre pontos vizinhos:
w = u (x + r ) − u (x )
= hu (x + r )i − hu (x )i + u 0 (x + r ) − u 0 (x )
≈ r · ∇ hui + u 0 (x + r ) − u 0 (x )
| {z } |
{z
}
(11.2)
(11.3)
(11.4)
w0
hw (r )i
O desenvolvimento acima mostra que as diferenças de velocidade entre dois
pontos também obedecem a uma decomposição de Reynolds. A hipótese de
homogeneidade global é que u, ou pelo menos u 0, é um campo homogêneo (no
sentido estocástico); então, necessariamente,
0 0
w = u (x + r ) − u 0 (x ) = 0.
(11.5)
Uma hipótese mais fraca, denominada por Kolmogorov de homogeneidade local, é que apenas w 0 é homogêneo, i.e.: que u 0 é um campo com incrementos
homogêneos. Neste caso, hw 0i não é necessariamente nulo.
De todo modo, o tensor função de estrutura do campo de velocidade é definido por
D
E
ui0 (x + r ) − ui0 (x ) u j0 (x + r ) − u j0 (x )
(11.6)
Di,j ≡
D
E
= wi0w j0 .
(11.7)
Por definição, a dependência do tensor função de estrutura é tridimensional:
Di,j = Di,j (r ) = Di,j (r 1 ,r 2 ,r 3 ). Embora a teoria original de Kolmogorov tenha se
baseado diretamente em uma hipótese de isotropia, parece possível desenvolver
os mesmos argumentos fixando duas coordenadas espaciais, e variando apenas a
terceira:
Di,j = Di,j (rk ) para rl = cte, l , k.
(11.8)
139
140
11.2 – As hipóteses de similaridade de Kolmogorov
Antes de prosseguirmos, vamos revisitar as relações entre os tensores função de estrutura, função de correlação e espectro:
00
D =
u − u 0 u 00 − u 0
R = u 0u 00
1
Φ =
Re −i (k·r ) d 3r .
(2π ) 3 r ∈R3
(11.9)
(11.10)
(11.11)
Nas equações acima, uma linha 0 significa a grandeza em questão no ponto x,
e duas linhas 00 significam a grandeza em questão no ponto ξ = x + r . Note
ainda que é possível relacionarmos as 3 se (e somente se) a turbulência além
de localmente homogênea — o que garante a existência de D — também for
globalmente homogênea — o que garante que R e Φ existem. Mas
D = u 00u 00 + u 0u 0 − u 0u 00 − u 00u 0 ;
(11.12)
em turbulência homogênea,
00 00 0 0
u u = u u = R(0);
(11.13)
finalmente,
R(r ) = u 0 (0)u 0 (r ) = u 0 (−r )u 0 (0) = u 0 (0)u 0 (−r ) T = RT (−r ).
(11.14)
Portanto, a relação entre os tensores função de estrutura e de correlação é
D (r ) = 2R(0) − R(r ) − RT (−r ),
(11.15)
ou seja: conhecendo-se D tem-se R (e consequentemente Φ), e vice-versa.
Considere agora o tensor
D
E
Ri,j (r ) = ui (x )u j (x + r )
D
E
= ui (x − r )u j (x )
D
E
= u j (x )ui (x − r )
= R j,i (−r ).
(11.16)
A “álgebra” da turbulência homogênea (Deissler, 1962; Hill, 2002) pode ser
obtida a partir de
ξi = xi + ri ,
∂(·) ∂(·) ∂(·)
=
+
.
∂ξi
∂xi
∂ri
(11.17)
(11.18)
Seja então Di,j (rk ), onde rk indica não todo o vetor r , mas apenas uma de suas
componentes, admitindo-se que as outras duas estão fixas. Por simplicidade, nós
vamos nos referir a essa função simplesmente por D (r ). Considere a taxa média
141
de dissipação de energia cinética turbulenta; conforme vimos no capítulo 6, em
escoamentos globalmente homogêneos,
*
+
∂ui ∂ui
ϵe = ν
,
(11.19)
∂x j ∂x j
sendo que essa relação vale com bom grau de aproximação mesmo quando o
escoamento não for globalmente homogêneo.
Agora, se û indica diferenças de velocidade e η indica distâncias nas quais a
energia cinética é dissipada, então segue-se que
û
⇒
η
ν û 2
ϵ ∼
,
η2
ûη
∼ 1.
ν
∂ui
∂xk
∼
(11.20)
(11.21)
(11.22)
A afirmativa contida em (?? é que o número de Reynolds definido por intermédio
das escalas û e η é da ordem de 1, ou ainda: nas escalas de û e η o escoamento é
laminar.
Substituindo o sinal de ordem de grandeza ∼ pelo de igualdade em (11.21) e
(11.22) acima, essas duas equações definem as microescalas de Kolmogorov û e
η em termos das grandezas conhecidas ν e ϵe :
ν3
η=
ϵe
! 1/4
,
û = (νϵ ) 1/4
(11.23)
A obtenção das microescalas é parte da 1a hipótese de similaridade de Kolmogorov. Ele prevê então que (por argumentos meramente dimensionais)
!
r
2
,
(11.24)
D (r ) = û β
η
onde β é uma função adimensional e universal da variável adimensional r /η.
Note a consistência dimensional de (11.24). O assunto torna-se mais interessante ainda para uma particular situação assintótica: r η. Neste caso, Kolmogorov supõe:
1. Que β pode ser escrita como uma função potência.
2. Que D (r ) torna-se independente de ν .
Então:
n
r
D (r ) = C (νϵ )
.
(11.25)
ν 3/4ϵ −1/4
Observe como, para que D (r ) possa ser independente de ν, é indispensável que
β seja da forma (r /η)n . Prosseguindo,
1/2
D(r ) = Cν 1/2−3n/4ϵ 1/2+n/4r n .
(11.26)
142
Forçando o expoente de ν a ser nulo, obtém-se finalmente a celebrada relação
de Kolmogorov para a faixa inercial,
D (r ) = Cϵ 2/3r 2/3 .
Essa relação também pode ser expressa em termos espectrais:
Di,i (r ) = 2 Ri,i (0) − Ri,i (r ) ,
∞
Ri,i (r ) =
e ikr Si,i (k ) dk
−∞
∞
Ri,i (0) =
Si,i (k ) dk ⇒
−∞
∞
Di,i (r ) = 2
(1 − e ikr )Si,i (k ) dk
(11.27)
(11.28)
(11.29)
(11.30)
(11.31)
−∞
Suponha agora
Si,i = Bϵe2/3 |k | −m ;
(11.32)
(a dependência explícita de ϵe é uma consequência da teoria de Kolmogorov, e
pode ser facilmente justificada a posteriori; sua inclusão é apenas para facilitar
a álgebra subsequente) a substituição direta de uma função potência como essa
em (11.30) produz uma integral divergente (Frisch, 1995, p.54), enquanto que sua
substituição em (11.31) produz
∞
Di,i (r ) = 2B
(1 − e ikr )|k | −m dk;
(11.33)
−∞
fazendo u = kr ,
m−1
∞
Di,i (r ) = 2B|r |
(1 − e iu )|u| −m |r |dk,
(11.34)
−∞
donde se conclui que
D (r ) = BAm |r |m−1
com
∞
Am = 2
(1 − e iu )|u| −m du.
(11.35)
(11.36)
−∞
Essa última integral, ao contrário do que acontece com a integral do espectro, é
convergente para uma certa faixa de valores de m. Para ver como, basta usar a
fórmula de Euler e obter (Gradshteyn e Ryzhik, 1980, p. 447, §3.823)
∞
(1 − m)π
16 ∞ −m
−m
(1 − cos(u)) u du = m
v sen2 v dv = −4Γ(1−m) cos
,
Am = 4
2 0
2
0
(11.37)
que converge para m ∈ (1, 3). Agora, se m − 1 = 2/3, m = 5/3, e comparando
(11.27) com (11.32),
1 − m − 4Γ(1 − m) cos
π B =C
(11.38)
2
e (11.32) com m = 5/3 dá a mesma lei de Kolmogorov para a faixa inercial para
o comportamento do espectro.
143
11.3 – Isotropia
Figura 11.1: Invariantes geométricos em turbulência isotrópica
2
f(x)
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Em resumo, nós concluímos que se D (r ) é qualquer um dos componentes da
diagonal do tensor de estrutura D(r ) sobre qualquer direção n do espaço,
r =r ·n
(11.39)
e existe uma região onde r η na qual D se comporta como uma função potência dada por 11.27, cuja contrapartida espectral é (11.32) com m = 5/3.
11.3 – Isotropia
Dado R, é possível contraí-lo segundo 2 direções dadas pelos vetores unitários a e b, produzindo um escalar R:
ou, em notação indicial,
R = a · R · b,
(11.40)
R = ai Ri,j b j .
(11.41)
Geometricamente, se a turbulência for isotrópica então R só deve depender de
invariantes geométricos sob rotação. A figura 11.1 ilustra essa situação.
Os invariantes envolvendo a, b e o vetor deslocamento r entre dois pontos
são
a ·b
|r |
a ·r
b ·r
[a × b] · r
=
=
=
=
=
ai bi = δi,j ai b j ,
rk rk = r 2 ,
ai r i ,
bj r j ,
ϵijk ai b j rk .
(11.42)
(11.43)
(11.44)
(11.45)
(11.46)
Comparando (11.41) com os invariantes acima, conclui-se que Ri,j deve ser da
forma
Ri,j (r ) = F (r )δij + G (r )ri r j + H (r )ϵijk rk ,
(11.47)
144
11.3 – Isotropia
onde r = |r |. Mas em condições isotrópicas, R deve ser um invariante debaixo
de uma reflexão, ou seja, R deve permanecer o mesmo se trocarmos r por −r .
Note que, então,
Ri,j (−r ) = F (r )δij + G (r )ri r j − H (r )ϵijk rk ,
(11.48)
de forma que para que garantamos isotropia, é necessário que H (r ) ≡ 0.
Agora, tendo obtido (11.47), note que toda turbulência isotrópica também é
homogênea, já que a homogeneidade é a hipótese necessária para que o tensor
R só dependa de r = ξ − x, e que portanto
D
E
∂ ui0u j00
∂Ri,j
=
= 0,
(11.49)
∂xi
∂xi
donde
∂Ri,j
∂xi
∂r j
∂ri
∂F ∂r
∂G ∂r
+ F (r )ri
+ ri r j
+ δij
∂ri
∂ri
∂r ∂ri
∂r ∂ri
!
∂F 1 ∂G
+
= 0,
= r j 4F (r ) + r
∂r r ∂r
= F (r )r j
(11.50)
(11.51)
onde usamos
∂r j
∂ri
∂r
∂ri
= δij ,
(11.52)
ri
.
r
(11.53)
=
É usual definir funções de correlação longitudinal f (r ) e transversal д(r ) em
turbulência isotrópica em termos das flutuações de velocidade em dois pontos
separados por uma distância r ao longo da linha de separação (u 0k ) e transver0 ):
salmente a ela (u ⊥
1 D 0 00E
E u ku k ,
f (r ) ≡ D
u 0ku 0k
1 0 00 д(r ) ≡ 0 0 u ⊥
u⊥ .
u ⊥u ⊥
(11.54)
(11.55)
(11.56)
Agora oriente r segundo x 1 : x = (0, 0, 0) e ξ = (r 1 , 0, 0); então,
(11.57)
R 1,1 (r ) = F (r )r 12 + G (r ) = u 10 u 10 f (r ),
0 0
2
R 2,2 (r ) = F (r )r 2 + G (r ) = G (r ) = u 2u 2 д(r ).
(11.58)
D
E
Como em turbulência isotrópica u 0(i)u 0(i) ≡ σ 2 é independente de (i), segue-se
o sistema de equações
r 2F + G = σ 2 f ,
G = σ 2д,
(11.59)
(11.60)
145
11.3 – Isotropia
Figura 11.2: funções de correlação longitudinal e transversal
146
11.3 – Isotropia
isso é: podemos expressar (F ,G) em função de ( f ,д) e vice-versa. Obtém-se
então facilmente a expressão para o tensor de correlação isotrópico
!
2 f (r ) − д(r )
Ri,j = σ
ri r j + д(r )δij .
(11.61)
r2
Finalmente, aplicando (11.51), obtém-se
1
д(r ) = f (r ) + r f 0 (r ),
2
(11.62)
e isso mostra que em turbulência isotrópica e incompressível Ri,j (r ) depende de
uma única função escalar f (r ).
Hissoricamente, a microescala de Taylor λ é introduzida em associação à
função coeficiente de autocorrelação longitudinal da turbulência isotrópica, f (r ):
d 2 f (0)
1
≡
−
dr 2
λ2
(11.63)
(note que essa definição é compatível com nossa definição anterior de microescala de Taylor).
Finalmente, um resultado importante:
!
2 f −д
Ri,i = σ
ri ri + дδii
r2
= σ 2 (( f − д) + 3д)
= σ 2 ( f + 2д)
!!
1 df
2
= σ f +2 f +
2 dr
!
df
= σ 2 3f + r
dr
2
σ d 3
= 2
r f (r ) .
(11.64)
r dr
Agora ressa considerar
2
∇ Ri,i =
=
=
=
!
df
∂2
3f + r
∂rk ∂rk
dr
!
∂ f ∂r
∂ 2 f ∂r
∂
∂r df
3
+
+r 2
∂rk
∂r ∂rk ∂rk dr
∂r ∂rk
!
2
df rk df rk
d f
∂
3
+
+ rk 2
∂rk
dr r
dr r
dr
!
df rk
d2 f
∂
4
+ rk 2 .
∂rk
dr r
dr
(11.65)
Antes de prosseguir, essabelecemos o resultado auxiliar
r
∂ rk rδkk − rk rk
3r − r
2
=
=
= .
2
2
∂rk r
r
r
r
(11.66)
147
11.3 – Isotropia
Então,
2
∇ Ri,i =
=
df 2
d 3 f rk
rk d 2 f rk d 2 f
4
+4
+
δ
+
r
kk
k
dr r
r dr 2 r
dr 2
dr 3 r
!
d2 f
d3 f
d2 f
8 df
+r 3 .
4 2 +3 2 +
dr
dr
r dr
dr
!
(11.67)
Observando agora que, pela regra de l’Hôpital,
lim
r →0
df
dr
r
=
d2 f
dr 2
1
=
d2 f
,
dr 2
(11.68)
conclui-se que
d2 f
15
= − 2.
(11.69)
2
dr
λ
Isso tem grande importância, já que é possível provar os seguintes fatos para
turbulência isotrópica:
∇2Ri,i (0) = 15
0
ωi (x )ωi0 (x + r ) = −∇2Ri,i (r ),
(11.70)
* 0 0+
0
0
∂u 1 ∂u 1
15ν hu u i
ϵe = ν ωi0ωi0 = −ν∇2Ri,i (0) =
=
15ν
(11.71).
λ2
∂x 1 ∂x 1
O último termo à direita de (11.71) é diretamente mensurável em uma turbulência real, embora exija uma frequência de medição altíssima (por quê?), sendo
algumas vezes utilizado para “medir” a taxa de dissipação de energia cinética
turbulenta. Aliás, isso dá um paper fenomenal.
12
Dinâmica espectral
12.1 – Balanços espectrais
Considere as equações de Navier-Stokes para as flutuações turbulentas em
turbulência homogênea e isotrópica,
∂ 2u j0
1 ∂p 0
+ ν (j)
,
ρ ∂x j
∂xk ∂xk
(12.1)
∂uD0j
2 D0
0 u 0 = − 1 ik p
0
+ ikk uM
k D − ν (j) k u j ;
j
k
∂t
ρ
(12.2)
∂u j0
∂t
+
∂uk0 u j0
∂xk
=−
cuja transformada de Fourier é
analogamente,
∗
∂uDi0
∗
∗
2 D0∗
0 u 0 = + 1 ik p
0
− ikk uM
k D − ν (i) k ui .
i
k
∂t
ρ
(12.3)
∗
Pré-multiplicando (12.2) por uDi0 , e pós-multiplicando (12.3) por uDj0, obtém-se
∗
∂uDi0 uDj0
∗
∗ 0 u 0 − uM
0 u0 u
D0 = i ki pD0∗uD0 − k juD0∗pD0 − ν (i) + ν (j) k 2uD0∗uD0 .
+ ikk uDi0 uM
j
j
j
j
i
i j
k
k
∂t
ρ
(12.4)
Calculando-se o valor esperado h·i da equação acima, e “dividindo-se” por δ (0),
obtém-se, via (8.66):
i ∂Φi,j
+ ikk Φi,jk − Φik,j =
ki Φp,j − k j Φi,p − (ν (i) + ν (j) )k 2 Φi,j .
∂t
ρ
(12.5)
Fazendo-se a contração i = j, o termo envolvendo espectros cruzados com a
pressão desaparece, devido a (7.82); além disso,
D ∗
E D
∗ E
0u 0 − uM
0u 0 u
D0
ikk Φi,ik − Φik,i = ikk uDi0 uM
i k
i k i
D ∗
E D ∗
E
0u 0 − (u
0u 0 ) ∗
D0 uM
= ikk uDi0 uM
i k
i i k
= 2kk Qui,ik (k ).
(12.6)
Portanto, definindo-se
Φe ≡
1
Φi,i ,
2
148
(12.7)
149
12.2 – O fluxo espectral de energia nas teorias clássicas
Ee (k ) ≡
Φe (k ) d 2k,
(12.8)
kk Qui,ik (k ) d 2k,
(12.9)
|k |=k
Te (k ) ≡
|k |=k
obtém-se finalmente a equação de Kármán-Howarth,
!
∂
2
+ 2νu k Ee (k ) + Te (k ) = 0.
∂t
(12.10)
Φe (k ) é o espectro direcional de energia cinética turbulenta (direcional porque
depende em geral do vetor k). Nas equações acima, o termo de transferência
inercial Te (k ) tem origem em
∗
∗ 0 u 0 − uM
0 u0 u
D0 ;
ikk uDi0 uM
(12.11)
k j
k j j
nosso objetivo agora é mostrar que a integral deste termo (e consequentemente
a integral de Te (k )) é nula. Para isso, usamos o teorema da convolução de transformadas de Fourier na forma (7.92) para escrever
∗
0
0
0
D0 (k − k 0 )uD0∗ (k )uD0 (k 0 ) d 3k 0
(12.12)
k
u
=
i
u
ikk uDi uM
k
j
i
j
k
k
k0 ∈R3
∗
∗
∗
0 u0 u
D0 = −i
(12.13)
kk uDk0 (k − k 0 )uDi0 (k 0 )uDj0 (k ) d 3k 0
−ikk uM
k i j
k 0 ∈R3
Consequentemente, a integral de (12.11) será
g
f
∗
∗
∗
kk uDk0 (k − k 0 )uDi0 (k )uDj0 (k 0 ) − kk uDk0 (k − k 0 )uDi0 (k 0 )uDj0 (k ) d 3k 0 d 3k.
i
k∈R3
k 0 ∈R3
(12.14)
0
Trocando k e k no segundo termo dentro dos colchetes,
f
g ∗
∗
kk uDk0 (k − k 0 ) − kk uDk0 (k 0 − k ) uDi0 (k )uDj0 (k 0 ) d 3k 0 d 3k = 0,
i
k∈R3
k 0 ∈R3
(12.15)
∗
0
D
D
pois o termo dentro do colchete se anula, devido ao fato de que u (k ) = u 0 (−k ).
Consequentemente, a integral de (12.6) sobre todos os vetores número de onda
k é nula; em termos de Te (k ) isso é o mesmo que
∞
∞
2
Te (k ) dk =
kk Qui,ik (k ) d k dk =
kk Qui,ik (k )d 3k = 0.
k=0
k=0
|k |=k
k∈R3
(12.16)
12.2 – O fluxo espectral de energia nas teorias clássicas
Considere a contração de (12.84),
∂Φe
+ kk Qui,ik + 2νu k 2 Φe ,
∂t
(12.17)
filtrada por um filtro ideal Hk (k ) com número de onda (escalar) de corte k tal
que
(
1, |k | ≤ k,
Hk (k ) =
(12.18)
0, |k | > k.
150
12.3 – Modelos de fechamento fenomenológicos
Então o espectro acumulado de energia cinética E (k ) é definido pela operação
de Hk (k ) sobre Φe :
k k
3
2
E (k ) =
Hk (k )Φe (k ) d k =
Φe (k ) d k dp =
Ee (p) dp.
k∈R3
p=0
p=0
|k |=p
Analogamente, a enstrofia acumulada Ω(k ) é
k 2
3
Ω(k ) ≡
Hk (k )k Φe (k ) d k =
k∈R3
p=0
k
=
p=0
(12.19)
Hk (k )k 2 Φe (k ) d 2k dp
|k |=p
k 2 Ee (p) dp
(12.20)
O último termo a ser submetido à operação de filtragem de passa-baixa em
(12.17) é
k
3
Π(k ) ≡
Hk (k )kk Qui,ik (k ) d k =
Te (p) dp
(12.21)
k∈R3
p=0
que é, por definição, o fluxo espectral de energia. Agora, é usual adicionar-se
um termo forçante F (k ) ao lado direito de (12.10) em simulações de turbulência
isotrópica para evitar o seu (de outra forma inevitável) decaimento. Seja então
F (k ) = ϵe δ (k − ki ),
(12.22)
onde ki = 2π /L é um número de onda que define, a menos de uma constante da
ordem de 1, uma escala integral de turbulência; então
(
k
0, k < ki ,
F (k ) =
F (p) dp =
(12.23)
ϵe , k > ki .
p=0
A integral de (12.10) será
∂E (k )
+ Π(k ) + 2νu Ω(k ) = F (k ).
∂t
(12.24)
Supondo que a turbulência seja essatisticamente essacionária (graças à presença
de F (k )), e notando que para k finito, 0 < Ω(k ) < ∞, segue-se que (Lesieur, 1990,
p. 136)
lim Π(k ) = 0, k < ki ,
(12.25)
lim Π(k ) = ϵe , k > ki .
(12.26)
νu →0
νu →0
Lesieur observa que essas equações têm um papel preponderante na teoria de
Kolmogorov. Note também que a integral até infinito de (12.10) resulta em
ϵe = 2ν Ω(∞).
O que diabo significa fenomenológicos?
(12.27)
151
12.3.1 – Heisenberg
Brodkey (Brodkey, 1967, p. 292 em diante) faz uma excelente revisão das
idéias por trás dos modelos clássicos de fechamento. Na teoria de fechamento
proposta por Heisenberg, existe uma analogia com o papel da viscosidade cinemática ν (i) no termo de dissipação envolvendo a enstrofia Ω(k ) em (12.20). A
idéia é escrever Π(k ) em função de Ω(k ),
k
Π(k ) = 2νT (k )Ω(k ) = 2νT (k )
q 2 Ee (q) dq,
(12.28)
0
com a viscosidade turbulenta espectral νT (k ) dada por
∞
νT (k ) = α H
p −3/2 [E (p)]1/2 dp.
k
(12.29)
Como a integral do termo de transferência inercial é nula, o decaimento da
energia cinética turbulenta em turbulência isotrópica é
D
E
∞
0 0
∂
∂ uk uk
=
Ee (k ) dk = −2νu Ω(∞) = −ϵe .
(12.30)
∂t 2
∂t 0
Fazendo-se a aproximação
D
E
uk0 uk0
2
k
≈
0
Ee (k ) dk, k ki
obtém-se
− ϵe + Π(k ) + 2νu
Usando (12.28) e (12.29),
"
ϵe = 2 νu + α H
k
k
0
q 2 E (q) dq = 0.
∞
p
−3/2
(12.31)
1/2
[E (p)]
(12.32)
#
dp Ω(k ).
(12.33)
Mas pelo teorema fundamental do cálculo,
donde
Derivando,
dΩ
= k 2 E (k ),
dk
(12.34)
! 1/2 
∞


ϵe
dΩ
−5/2
= 2 νu + α H
p
dp 
Ω(k )
dp


k
(12.35)
ϵe dΩ
dΩ
= 2α H k −5/2
2
Ω(k ) dk
dp
2
ϵe dΩ
= 4α H2 k −5 ,
Ω(k ) 4 dk
α2
Ω−4d Ω = 4 H2 k −5dk.
ϵe
! 1/2
,
(12.36)
152
12.4 – A aproximação quase-normal
Essa última é uma equação diferencial separável facilmente integrável, para o
quê é preciso utilizar (12.27). O resultado é
! −3
!2

 −1/3
ϵe
αh
−4 

.
Ω(k ) = 
+3
k 
ϵe
 νu

(12.37)
Utilizando-se (12.34), com um pouco de paciência para a álgebra, obtém-se
8ϵe
Ee (k ) =
9α H
! 2/3
k
−5/3

 −4/3
3
8ν
u
4
1 +
.
k 

3α H2 ϵe 
(12.38)
Este resultado reproduz o comportamento do espectro na faixa inercial previsso
pela teoria de Kolmogorov, assim como prevê um decaimento mais rápido na
faixa viscosa. Crítica: existe um certo grau de liberdade na escolha dos expoentes, de forma que a teoria não é tão “profunda” assim; ela apenas compatibiliza
a viscosidade turbulenta com o espectro na faixa inercial, cujo comportamento
já é conhecido.
Vamos iniciar essa seção com uma breve revisão de resultados que já obtivemos, mas que serão manipulados sob uma nova luz. Considere as definições
de transformadas de Fourier:
1 3 u (x )e −i (k·x ) d 3x,
(12.39)
û (k ) =
2π
x ∈R3
1 3 u (ξ )e −i (p·ξ ) d 3ξ .
(12.40)
û (p) =
2π
ξ ∈R3
Consequentemente,
1 6
û (k )û (p) =
hu (x )u (ξ )i e −i (k·x+p·ξ ) d 3ξ d 3x .
3
2π
x,ξ ∈R
(12.41)
Faça ξ = x + r , e obtenha
1 6
û (k )û (p) =
hu (x )u (x + r )i e −i (k·x+p·x )+p·r d 3r d 3x . (12.42)
3
2π
x,r ∈R
Agora, se hu (x )u (x + r )i = R(r ) é a função de correlação, que só depende de r
em uma turbulência homogênea, então:
1 3 1 3
−i ([k+p]·x ) 3
û (k )û (p) =
e
d x
R(r )e −i (p·r ) d 3r ,
3
2π
2π
x ∈R3{z
|
} r ∈R
δ (k+p)
(12.43)
ou seja:
1 3 û (k )û (p) = δ (k + p)
R(r )e −i (p·r ) d 3r .
(12.44)
2π
r ∈R3
153
Um resultado que nós recuperamos imediatamente é a definição de espectro
usando funções generalizadas que possuíamos anteriormente:
û ∗ (p) = û (−p),
k = −p,
1 3 ∗
û (p)û (p) = δ (0)
R(r )e −i (p·r ) d 3r .,
3
2π
r ∈R {z
|
}
Φ (p)
(12.45)
(12.46)
(12.47)
onde Φ(p) é o tensor espectral do campo de velocidade.
Os resultados da aproximação quase-normal serão obtidos a partir de (12.44);
essa equação mostra que
û (k )û (p) = 0 a não ser que k + p = 0,
(12.48)
e este é um resultado muito importante. Analogamente,
û (k )û (p)û (q) , 0 ⇔ k + p + q = 0,
û (k 1 )û (k 2 ) . . . û (k n ) , 0 ⇔ k 1 + k 2 + . . . + k n = 0.
(12.49)
(12.50)
(12.51)
Considere agora novamente a equação (7.97), que nós reescrevemos aqui
por comodidade:
!
ki k j
∂D
ui
2
uDj (p)D
um (q) d 3p = 0.
(12.52)
+ νu k uDi + δij − 2 ikm
∂t
k
p+q=k
Usando a equação (7.89),
∂D
ui
+ νu k 2uDi + Pij (k )ikm
∂t
p+q=k
uDj (p)D
um (q) d 3p = 0.
(12.53)
É bom lembrar que Pij (k ) foi definido como o operador que projeta no plano
perpendicular a k,
ki Pij (k )a j = 0,
(12.54)
para um vetor a qualquer. Uma forma equivalente a (12.53) é
∂D
ui
2
+ νu k uDi + Pijm (k )
uDj (p)D
um (q) d 3p = 0,
∂t
p+q=k
(12.55)
onde
g
i f
k j Pim (k ) + km Pij (k ) .
2
Para provar essa última, observe que
!
ki km
k j Pimu jum = k j δim − 2 u jum
k
ki (k ju j )(kmum )
= (k ju j )ui −
,
k2
Pijm (k ) ≡
(12.56)
(12.57)
154
enquanto que
km Piju jum
!
ki k j
= km δij − 2 u jum
k
ki (k ju j )(kmum )
= (kmum )ui −
.
k2
Note que (12.57) e (12.58) são iguais, donde (12.55) se segue.
Agora faça
Mijm ≡ −Pijm
e tire a média de (12.55); o resultado é
!
D
E
∂
2 + νu k uDi = Mijm (k )
uDj (p)D
um (q) d 3p.
∂t
p+q=k
(12.58)
(12.59)
(12.60)
Agora, dados os seguintes fatos,
Mijm (0) = 0
D
E
uDj (p)D
um (q) , 0 ⇔ p + q = k = 0,
segue-se de (12.60) que
uDi (k ) = 0, ∀k.
(12.61)
(12.62)
(12.63)
Vamos agora obter novamente a equação de evolução para Φi,j (k,t ). O ponto
de partida são duas equações gêmeas de (12.55) em uDi e uDj com Mijm em lugar de
Pijm . Como já fizemos inúmeras vezes antes, a equação em uDi é multiplicada por
uDj e vice-versa; os números de onda dos argumentos são k 0 e k, respectivamente:
!
∂
2
0
0
+ νu k uDi (k ) = Mimn (k )
uDj (k )D
um (p)D
un (q) d 3p,(12.64)
uDj (k )
∂t
p+q=k 0
!
∂
0
2
uDi (k )
+ νu k uDj (k ) = M jkl (k )
uDi (k 0 )D
uk (p)D
ul (q) d 3p (12.65)
∂t
p+q=k
A soma das duas produz, imediatamente (após a tomada das médias),
! D
E
D
E
∂
2
02
0
0
+ νu k + k
uDi (k )D
u j (k ) = Mimn (k )
uDj (k )D
um (p)D
un (q) d 3p
∂t
p+q=k 0
3
+ M jkl (k )
uDi (k 0 )D
uk (p)D
ul (q) (12.66)
d p,
p+q=k
que dá, para o único caso não-trivial k 0 = −k:
!D
E
D
E
∂
2
+ 2νu k uDi (−k )D
u j (k ) = Mimn (−k )
uDj (k )D
um (p)D
un (q) d 3p
∂t
p+q=−k
uDi (−k )D
uk (p)D
ul (q) d 3(12.67)
p.
+ M jkl (k )
p+q=k
Dessa equação para a equação de evolução de Φi,j (k,t ) é um pulo. Trocando q
por −q e utilizando
Mikl (−k ) = −Mikl (k ),
(12.68)
155
!D
E
D
E
∂
2
u j (k ) = −Mikl (k )
uDl (−q)D
u j (k )D
uk (p) d 3p
∂t
p+k=q
3
+ M jkl (k )
uDi (−k )D
uk (p)D
ul (q) d(12.69)
p.
p+q=k
Pelo teorema da convolução tridimensional, (7.92), as duas integrais acima podem ser relacionadas aos espectros cruzados de ordem 3 como se segue:
D
E
D
E
uDl (−q)D
u j (k )D
uk (p) d 3p = uDl uM
(12.70)
j uk = δ (0)Φl,jk (k )
p+k=q
uDi (−k )D
uk (p)D
ul (q) d 3p = uDi uM
k ul = δ (0)Φi,lk (k ). (12.71)
p+q=k
Com (12.70) e (12.71), (12.69) torna-se, finalmente,
!
∂
2
+ 2νk Φi,j (k,t ) = M jkl (k )Φi,lk (k ) − Mikl (k )Φl,jk (k ),
∂t
(12.72)
que deve ser comparada com a equação obtida anteriormente:
i ∂Φi,j
+ (ν (i) + ν (j) )k 2 Φi,j = ikk Φik,j − Φi,jk +
ki Φp,j − k j Φi,p .
∂t
ρ
(12.73)
12.4.1 – Uma abordagem com P e não com M
Vamos agora obter novamente a equação de evolução para Φi,j (k,t ). O ponto
de partida são duas equações gêmeas de (12.55) em uDi e uDj com Mijm em lugar de
Pijm . Como já fizemos inúmeras vezes antes, a equação em uDi é multiplicada por
uDj e vice-versa; os números de onda dos argumentos são k 0 e k, respectivamente:
!
∂
2
0
0
0
uDj (k )D
um (p)D
un (q) d 3p =(12.74)
0,
uDj (k )
+ ν (i) k uDi (k ) + Pim (k )ikn
∂t
p+q=k 0
!
∂
0
2
uDi (k )
uDi (k 0 )D
um (p)D
un (q) d 3p =(12.75)
0.
+ ν (j) k uDj (k ) + P jm (k )ikn
∂t
p+q=k
A soma das duas produz, imediatamente,
!
∂ 2
02
0
0
0
+ ν (j) k + ν (i) k
uDi (k )D
u j (k ) = −Pim (k )iknuDj (k )
uDm (p)D
un (q) d 3p
0
∂t
p+q=k
− P jm (k )iknuDi (k 0 )
uDm (p)D
un (q) d 3p,
p+q=k
(12.76)
que dá, para o único caso não-trivial k 0 = −k:
!
∂ 2
+ ν (i) + ν (j) k uDi (−k )D
u j (k ) = Pim (k )iknuDj (k )
uDm (p)D
un (q) d 3p
∂t
p+q=−k
− P jm (k )iknuDi (−k )
uDm (p)D
un (q) d 3p.
p+q=k
(12.77)
156
Note que nós utilizamos a propriedade
Pij (−k ) = Pij (k ),
(12.78)
implícita em (7.89). Pelo teorema da convolução tridimensional, (7.92), as duas
integrais acima podem ser escritas como transformadas de Fourier de produtos
umun :
uDm (p)D
un (q) d 3p = uE
(12.79)
mun (−k )
p+q=−k
uDm (p)D
un (q) d 3p = uE
(12.80)
mun (k ).
p+q=k
Levando (12.79) e (12.80) em (12.77), tomando o seu valor esperado e usando as
seguintes relações para os espectros cruzados de ordem 3:
D
E
δ (0)Φmn,j (k ) = uE
Dj (k ) ,
(12.81)
mun (−k )u
δ (0)Φi,mn (k ) = uDi (−k )E
umun (k ) ,
(12.82)
nós obtemos a equação para a evolução do espectro cruzado Φi,j (k,t ):
∂Φi,j
+ (ν (i) + ν (j) )k 2 Φi,j = ikn Pim Φmn,j − P jm Φi,mn ,
∂t
(12.83)
que deve ser comparada com a equação obtida anteriormente:
i ∂Φi,j
+ (ν (i) + ν (j) )k 2 Φi,j = ikn Φin,j − Φi,jn +
ki Φp,j − k j Φi,p .
∂t
ρ
(12.84)
12.4.2 – Detours in search of truth
!D
E
D
E
∂
2
uDj (k )D
um (p)D
un (−[k + p]) d 3p
u j (k ) = Pim (k )ikn
∂t
p∈R3
3
− P jm (k )ikn
uDi (−k )D
uk (p)D
ul (k − p) (12.85)
d p.
p∈R3
Para a equação de balanço dos momentos de ordem 3, faça:
!
∂
2
uDj (k )D
uk (k )
+ ν (i) k uDi (k ) + Pim (k )ikn
uDj (k 0 )D
uk (k 00 )D
um (p)D
un (k − p) d 3p (12.86)
= 0,
3
∂t
p∈R
!
∂
00
02
0
0
0
uDi (k )D
uk (k )
+ ν (j) k uDj (k ) + P jm (k )ikn
uDi (k )D
uk (k 00 )D
um (p)D
un (k 0 − p) d 3p (12.87)
= 0,
3
∂t
p∈R
!
∂
0
002
00
00
00
uDi (k )D
u j (k )
+ ν (k ) k uDk (k ) + Pkm (k )ikn
uDi (k )D
u j (k 0 )D
um (p)D
un (k 00 − p) d 3p (12.88)
= 0.
3
∂t
p∈R
0
00
A combinação das 3 equações produz
!D
E
∂
2
02
002
+ ν (i) k + ν (j) k + ν (k ) k
uDi (k )D
u j (k 0 )D
uk (k 00 ) =
∂t
157
12.5 – Uma nova tentativa de obter a aproximação quase-normal
−Pim (k )ikn
p∈R3
uDj (k 0 )D
uk (k 00 )D
um (p)D
un (k − p) d 3p
−P jm (k
0
)ikn0
p∈R3
uDi (k )D
uk (k 00 )D
um (p)D
un (k 0 − p) d 3p
−Pkm (k
00
)ikn00
p∈R3
uDi (k )D
u j (k 0 )D
um (p)D
un (k 00 − p) d 3p.
(12.89)
Como sabemos, (12.89) só faz sentido para k + k 0 + k 00 = 0.
Para os momentos de ordem 2, espectros e funções de correlação são
D
E
uDi (k i )D
u j (k j ) = δ (k i + k j )Φi,j (k j ).
(12.90)
D
E
1
Φi,j (k j ) ≡
u
(x
)u
(x
+
r
)
e −i (k j ·r ) d 3r
i
i
j
i
(2π ) 3 r
=
Ri,j (r )e −i (k j ·r ) d 3r .
(12.91)
r
A generalização para a ordem 3 deve ser cuidadosa. É natural esperar que
D
E
uDi (k i )D
u j (k j )D
uk (k k ) = δ (k i + k j + k k )Φi,j,k (k j ,k k ).
(12.92)
D
E
1
u
(x
)u
(x
+
r
)u
(x
+
s
e −i (k j ·r +k k ·s) d 3r d 3s
Φi,j,k (k j ,k k ) ≡
i
i
j
i
i
k
(2π ) 6 r ,s
1
=
Ri,j,k (r ,s)e −i (k j ·r +k k ·s) d 3r d 3s.
(12.93)
(2π ) 6 r ,s
Uma operação de convolução sobre um momento de ordem 3 deve reduzir o
número de vetores independentes de 2 para 1: Φi,j,k (k j ,k k ) → Φij,k (k k ) ou
Φi,jk (k k ). Considere então
*
+
3
uDj (k j )D
uk (k k − k j ) d k j =
uDi (k i )
kj
1
Ri,j,k (r ,s)
e −i (k j ·r +[k k −k j ]·s) d 3k j d 3r d 3s =
δ (k i + k j + k k − k j )
(2π ) 6 r ,s
kj
1
1
δ (k i + k k )
Ri,j,k (r ,s)
e −i (k j ·[r −s]) d 3k j e −i (k k ·s) d 3r d 3s =
3
(2π ) r ,s
(2π ) 3 k j
|
{z
}
δ (r −s)
1
Ri,j,k (s,s)e −i (k k ·s) d 3s =
3
(2π ) s
δ (k i + k k )Φi,jk (k k ).
δ (k i + k k )
Em resumo, a operação de convolução produziu o seguinte efeito:
D
E
uDi (k i )D
u j (k j )D
uk (k k ) = δ (k i + k j + k k )Φi,j,k (k j ,k k ) ⇒
D
E
uDi (k i )D
u j (k j ) ∗ uDk (k k ) = δ (k i + k k )Φi,jk (k k ).
(12.94)
(12.95)
158
Formalmente,
D
E
uDi (k i )D
u j (k j ) ∗ uDk (k k )
δ (k i + k k )
= Φi,jk (k k ) = Φjk,i (−k k ) = Φjk,i (k i )
ou, permutando os índices,
D
E
uDi (k i ) ∗ uDj (k j )D
uk (k k ) = δ (k j + k k )Φij,k (k k ).
(12.96)
As equações (12.95)–(12.96) são muito importantes porque elas permitem automatizar a álgebra das operações de convolução. Essas por sua vez permitem
reduzir os momentos de 3a e 4a ordens que dependem respectivamente de 2 e 3
vetores número de onda a expressões que envolvem apenas 1 vetor número de
onda. A generalização óbvia dessas equações para ordem 4 é
D
E
uDi (k i ) ∗ uDj (k j )D
uk (k k ) ∗ uDl (k l ) = δ (k j + k l )Φij,kl (k l )
(12.97)
D
E
uDi (k i )D
u j (k j ) ∗ uDk (k k ) ∗ uDl (k l ) = δ (k i + k l )Φi,jkl (k l )
(12.98)
A dedução de (12.97)–(12.98) é muito fácil uma vez que temos (12.94). De fato,
seja
1 9 D
E
uDi (k i )D
u j (k j )D
uk (k k )D
ul (k l ) = δ (k i +k j +k k +k l )
Ri,j,k,l (r ,s,t )e −i (k j ·r +k k ·s+k l ·t ) d 3r d 3s d 3r .
2π
r ,s,t
(12.99)
Como a convolução uDj (k j ) ∗ uDk (k k − k j ) não envolve os termos em k l e em t, a
aplicação de (12.94) produz, imediatamente,
1 6 D
E
Ri,j,k,l (s,s,t )e −i (k k ·s+k l ·t ) d 3s d 3r .
uDi (k i )D
u j (k j ) ∗ uDk (k k − k j )D
ul (k l ) = δ (k i +k k +k l )
2π
s,t
(12.100)
Observe que Ri,j,k,l (s,s,t ) é a mesma coisa que Ri,jk,l (s,t ). É interessante reescrever a equação acima em termos de R jk,i,l . Para fazer isso, nós inicialmente
usamos a propriedade de homogeneidade para fazer
D
E
Ri,j,k,l (s,s,t )e −i (k k ·s+k l ·t ) = ui (0)u j (s)uk (s)ul (t ) e −i (k k ·s+k l ·t )
D
E
·t )
= ui (−s)u j (0)uk (0)ul (t − s) e −i (k k ·s+k l (12.101)
.
Agora aplicamos a mudança de variáveis
y = −s,
z = t − s;
(12.102)
(12.103)
o resultado é
Ri,j,k,l (s,s,t )e −i (k k ·s+k l ·t ) =
D
E
u j (0)uk (0)ui (y)ul (z) e −i (−k k ·y+k l ·[z−y])
D
E
= u j (0)uk (0)ui (y)ul (z) e −i (−[k k +k l ]·y+k l ·z)
D
E
= u j (0)uk (0)ui (y)ul (z) e −i (k i ·y+k l ·z)
= R jk,i,l e −i (k i ·y+k l ·z) .
(12.104)
159
Para passar de −[k k +k l ] para k i nós usamos a relação k i +k k +k l = 0. Levando
(12.104) em (12.100):
1 6 D
E
uDj (k j ) ∗ uDk (k k − k j )D
ui (k i )D
ul (k l ) = δ (k k +k i +k l )
R jk,i,l (s,t )e −i (k i ·s+k l ·t ) d 3s d 3t .
2π
s,t
|
{z
}
Φjk,i,l (k i ,k l )
Finalmente, uma aplicação adicional de (12.95) produz
D
E
uDj (k j ) ∗ uDk (k k − k j )D
ui (k i ) ∗ uDl (k l ) = δ (k k + k l )Φjk,il (k l ),
(12.105)
(12.106)
que é o mesmo que 12.97. A mesma equação (12.100) é usada para provar (12.98).
Agora, nós simplesmente aplicamos (12.95) novamente, para obter
1 3 D
E
Ri,j,k,l (t,t,t )e −i (k l ·t ) d 3t
uDi (k i )D
u j (k j ) ∗ uDk (k k − k j ) ∗ uDl (k l − k k ) = δ (k i + k l )
2π
s,t
= δ (k i + k l )Φi,jkl .
(12.107)
A
Difusão em sistemas binários
Considere um pequeno volume δ V no qual há instantaneamente NA moléculas
da substância A, e NB moléculas da substância B. As velocidades macroscópicas
de A e de B, v A e v B , no centro de massa de δ V são definidas como
X

NA
NA
X
 m v  ≡ *. m +/ v ,
A Ai 
A
A


i=1
i=1

 ,

X
N
NB
B
X
 m v  ≡ *. m +/ v ,
B
B
B Bi 

 , j=1
 j=1
(A.1)
(A.2)
onde v Ai é a velocidade individual da i-ésima molécula de A, e mA é a massa de
cada molécula de A, o mesmo valendo para a substância B.
A velocidade macroscópica do fluido como um todo no centro de massa de
δ V , u, é
X
 X

NA
NA
NB
NB
X
X
 m v +


mBv Bi  ≡  mA +
mB  u,
A Ai

  i=1

j=1
j=1
 i=1
X

X

X

NA
NA
NB
NB
X
 m  v +  m  v =  m +
mB  u
A
A A
B B



 i=1


 j=1

j=1
 i=1
(A.3)
A divisão deste resultado por δ V produz
ρAv A + ρ Bv B = (ρA + ρ B )u ⇒ ρA [v A − u] + ρ B [v B − u] = 0.
(A.4)
Os vetores resultantes representam os fluxos difusivos de massa de A e de B:
jA ≡ ρA [v A − u],
jB ≡ ρ B [v B − u] ⇒
jA + jB = 0.
160
(A.5)
(A.6)
(A.7)
B
Soluções dos problemas
∗ (n) (S é hermitiano), faça
De Si,j (−n) = Si,j
i,j
Si,j (n) = a(n) + ib (n),
b (−n) = −b (n),
donde:
+∞
n=−∞
=[Si,j (n)] dn =
0
∞
b (n) dn
∞
=−
b (−m) dm +
b (n) dn
∞n=0
∞m=∞
b (−m) dm +
b (n) dn
=
m=0
n=0
∞
[b (−n) + b (n)] dn
=
n=−∞
0
b (n) dn +
n=0
=0
161
n=0
C
Vorticidade
A seguir é apresentada a dedução da equação da vorticidade para um caso geral,
considerando o fluido não barotrópico e incluindo os efeitos da aceleração de
coriolis no escoamento. Partiremos da forma geral da equação de Navier Stokes,
!
∂Sij
∂Ui
1 ∂
∂Uk
∂Ui
+ Uj
= дi − 2ϵijk ϖ jUk +
−P + λ
+ 2νu
,
∂t
∂x j
℘ ∂xi
∂xk
∂x j
(C.1)
em que o ultimo termo do lado direito pode ser decomposto conforme a seguir,
(
∂Sij
∂ 1 ∂Ui ∂Uj
= 2νu
+
2νu
∂x j
∂x j 2 ∂x j ∂xi
!)
∂Uj2
∂ 2Ui
.
= νu 2 + νu
∂xi x j
∂x j
(C.2)
Assumindo Supondo que o fluido é incompressível, de acordo com a aproximação de Boussinesq, a equação da continuidade é aproximadamente ∇ · u = 0
∇ · U = 0.
Dessa forma, fazendo as devidas simplificações na equação (C.1), chega-se a
∂Ui
∂Ui
1 ∂P
∂ 2Ui
+ Uj
= дi − 2ϵijk ϖ jUk −
+ νu 2 .
∂t
∂x j
℘ ∂xi
∂x j
(C.3)
O segundo termo do lado esquerdo da equação (C.3), que representa o transporte advectivo, pode ser reescrito na forma
!
∂Uj
∂Ui
∂Ui ∂Uj
Uj
=Uj
−
+ Uj
∂x j
∂x j ∂xi
∂xi
1 ∂
Uj Uj
= − Uj ϵijk Ωk +
2 ∂xi
2
1 ∂Uj
= − Uj ϵijk Ωk +
,
(C.4)
2 ∂x
em que foi utilizada a seguinte relação
ϵijk Ωk =ϵijk
!
∂Un
ϵkmn
,
∂xm
∂Un
= δimδ jn − δinδ jm
,
∂xm
162
Einara, um desafio neste meu
texto é fazer tudo sem impor
incompressibilidade. Incompressibilidade é uma questão
física delicada, e tenho tentado pensar bastante sobre isso,
como veremos em nossas aulas
sobre a aproximação de Boussinesq
163
–
=
∂Uj ∂Ui
−
.
∂xi ∂x j
(C.5)
O ultimo termo do lado direito da equação (C.3) representa a difusão e pode
ser rearranjado, também fazendo uso da relação (C.5), conforme
!
∂ 2Uj
∂ 2Ui
∂ ∂Ui ∂Uj
νu
=νu
−
,
+ νu
∂x j ∂x j
∂x j ∂x j ∂xi
∂x j ∂xi
!
∂ ∂ ∂Uj
−ϵijk Ωk + νu
,
=νu
∂x j
∂xi ∂x j
∂Ωk
= − νu ϵijk
+ 0,
(C.6)
∂x j
onde o segundo termo é nulo devido à equação de continuidade.
Uma vez que é uma força de corpo conservativa, a gravidade pode ser representada como o gradiente de uma função potencial g = −∇Π. E lembrando
que ϖ × u = −u × ϖ, sendo
2ϵijk ϖ J Uk = −2ϵijk ϖk Uj ,
substituindo os termos da gravidade, da aceleração de coriolis e as equações
(C.4) e (C.6) em (C.3), temos a seguinte forma da equação de Navier Stokes,
2
∂Ui
1 ∂Uj
∂Π 1 ∂P
∂Ωk
− ϵijk Uj (Ωk − 2ϖk ) +
=−
−
− νu ϵijk
.
∂t
2 ∂xi
∂xi ℘ ∂xi
∂x j
(C.7)
A equação da vorticidade é obtida a partir do rotacional da equação (C.7),
∂
ϵnqi
∂xq


∂U 2

 ∂Ui − ϵijk Uj (Ωk − 2ϖk ) + 1 j = − ∂Π − 1 ∂P − νu ϵijk ∂Ωk 
.
 ∂t
2 ∂xi
∂xi ℘ ∂xi
∂x j 


(C.8)
Distribuindo o produto, temos
!
2
1
∂
∂ ∂Ui
∂ ∂Uj
∂ ∂Π
ϵnqi
− ϵnqi ϵijk
Uj (Ωk − 2ϖk ) + ϵnqi
= −ϵnqi
+
∂t
∂xq
∂xq
2
∂xq ∂xi
∂xq ∂xi
!
∂
1 ∂P
∂ ∂Ωk
.
ϵnqi
−
− νu ϵnqi ϵijk
∂xq
℘ ∂xi
∂xq ∂x j
(C.9)
Na sequência, cada termo da equação acima será trabalhado separadamente.
O primeiro termo do lado esquerdo da igualdade é
!
∂
∂Ui
∂Ωi
ϵnqi
=
.
(C.10)
∂t
∂xq
∂t
O segundo e terceiro termos do lado esquerdo ficam, respectivamente,
ϵnqi ϵijk
∂ ∂
Uj Ωk = (δnj δqk − δnk δqj )
(Uj Ωk )
∂xq
∂xq
Great!
164
–
∂
∂
(Un Ωk ) −
(Uj Ωn )
∂xk
∂x j
∂Uj
∂Un
∂Ωk
∂Ωn
= Un
+ Ωk
− Uj
− Ωn
∂xk
∂xk
∂x j
∂x j
∂Ωn
∂Un
− Uj
− 0,
= 0 + Ωk
∂xk
∂x j
=
ϵnqi ϵijk
(C.11)
∂ ∂
2Uj ϖk = +(δnj δqk − δnk δqj )
(2ϖk Uj )
∂xq
∂xq
∂
∂
=
(2ϖk Un ) −
(2ϖnUj )
∂xk
∂x j
∂Uj
∂ϖk
∂ϖn
∂Un
+ 2Un
− 2ϖn
− 2Uj
= +2ϖk
∂xk
∂xk
∂x j
∂x j
∂Un
= +2ϖk
+ 0 − 0 − 0,
(C.12)
∂xk
onde simplificações foram feitas com base na equação da continuidade, considerando que as derivadas de ϖ são zero e lembrando que ∇ · Ω = 0.Os termos
envolvendo o quadrado da velocidade e o potencial Π também se anulam devido
ao produto de ϵnqi , antissimétrico em q e i, por uma derivada simétrica em q e
2
i, ∂x∂q ∂xi .
O termo da pressão pode ser reescrito como
!
∂ 1 ∂P
∂P
1
1
∂℘ ∂P
ϵnqi
= ϵnqi
+ 2 ϵnqi
,
∂xq ℘ ∂xi
℘
∂xq ∂xi ℘
∂xq ∂xi
∂℘ ∂P
1
,
= 0 + 2 ϵnqi
℘
∂xq ∂xi
1 ∂
[∇℘ × ∇P] .
= 2
(C.13)
℘ ∂xn
Por fim, o último termo do lado direito de (C.9) pode ser reescrito como,
!
∂ ∂Ωk
∂ 2 Ωk
νu ϵnqi ϵijk
=νu (δnj δqk − δnk δqj )
,
∂xq ∂x j
∂xq ∂x j
!
∂ 2 Ωk
∂ 2 Ωn
=νu
−
,
∂xk ∂xn ∂x j ∂x j
∂ 2 Ωn
=0 + νu
.
(C.14)
∂x j2
Juntando Reunindo os termos (C.10)–(C.14) na equação (C.9), mudando o índice
n para i e rearranjando os termos, obtemos a equação geral da vorticidade,
∂Ui
DΩi 1 ∂
∂ 2 Ωn
[∇℘ × ∇P] + νu
.
= Ωj + 2ϖ j
+
Dt
∂x j ℘2 ∂xi
∂x j2
(C.15)
O lado esquerdo da equação representa a taxa de variação da vorticidade seguindo uma partícula de fluido, ao passo que o último termo do lado direito representa a taxa de variação de Ωi devido à difusão molecular de vorticidade. O
Você quis dizer ∇ · U = 0?
165
–
primeiro termo à direita da igualdade representa a mudança na vorticidade devido ao esticamento, stretching em inglês, e ao entortamento, tilting, enquanto
o segundo termo representa a taxa de geração de vorticidade devido à baroclinicidade do escoamento. Desconsiderando os efeitos da aceleração de coriolis e
considerando o fluido barotrópico, a equação da vorticidade simplifica-se em
∂Ui
∂ 2 Ωn
DΩi
= Ωj
+ νu
.
Dt
∂x j
∂x j2
(C.16)
Por fim, a decomposição de Reynolds da vorticidade é
Ωi = hΩi i + ω.
(C.17)
Beautiful: você sabe direitinho
o que é baroclinicidade?
D
Constantes físico-químicas
1 cal = 4,1868 J.
166
E
Equação de estado para a água
A equação de Tumlirz adapatada por Fischer e Jr. (1975) é
V = V∞ (T ) +
λ(T )
P0 (T ) + P
(E.1)
λ = 1788.316 + 21.55053T − 0.4695911T 2 + 3.096363 × 10−3T 3
− 0.7341182 × 10−5T 4 ,
(E.2)
2
−3 3
P0 = 5928.499 + 58.05267T − 1.1253317T + 6.6123869 × 10 T
− 1.4661625 × 10−5T 4 ,
(E.3)
V∞ = 0.6980547 − 0.7435626 × 10−3T + 0.3704258 × 10−4T 2
− 0.6315724 × 10−6T 3 + 0.9829576 × 10−8T 4 − 0.1197269 × 10−9T 5
+ 0.1005461 × 10−11T 6 − 0.5437898 × 10−14T 7 + 0.1699460 × 10−16T 8
− 0.2295363 × 10−19T 9
(E.4)
167
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