Transformada Z

Introdução
Transformada Z
A transformada de Fourier não converge para todas as sequências.
Luı́s Caldas de Oliveira
A transformada Z abrange uma maior classe de sinais.
Resumo
1.
2.
3.
4.
A transformada Z desempenha o mesmo papel para os sinais discretos o
mesmo papel que a transformada de Laplace para os contı́nuos.
Definição
Região de Convergência
Transformada Inversa
Propriedades da Transformada Z
Lu´ıs Caldas de Oliveira
A transformada de Fourier é a transformada Z calculada sobre o cı́rculo
unitário (
):
Transformada de Fourier e Transformada Z
Transformada Z Bilateral
1
Im
z=e
jω
Lu´ıs Caldas de Oliveira
2
Lu´ıs Caldas de Oliveira
Plano z
ω
1
Re
3
Convergência da Transformada Z
Quando a Transformada Z é uma Função Racional
Aplicando a condição da sequência ser absolutamente somável, usada para
a transformada de Fourier:
Uma importante classe de transformadas são aquelas em que a transformada Z é uma função racional no interior da região de convergência:
Lu´ıs Caldas de Oliveira
4
).
).
: nome dado às raı́zes do denominador (
Lu´ıs Caldas de Oliveira
5
Transformadas Z Comuns
Sequências Laterais
Plano z
: nome dado às raı́zes do numerador (
pólos de
são polinómios em .
zeros de
Re
e
Em que
Im
Plano z
A convergência da transformada dee por isso a região
pende apenas de
de convergência terá a forma de um
anel.
Em certos casos o limite interno do anel
poderá ser a origem e o limite externo
poderá ser infinito.
Im
Exemplo de sequência lateral
direita:
1 Re
a
Im
)
(
) ou
(
excepto
Re
a 1
Exemplo de sequência lateral
esquerda:
Plano z
Lu´ıs Caldas de Oliveira
6
Lu´ıs Caldas de Oliveira
7
Lu´ıs Caldas de Oliveira
9
8
Lu´ıs Caldas de Oliveira
Transformadas Z Comuns
Propriedade 5: Se
for um sequência lateral direita a região de convergência estende-se para fora do pólo mais afastado da origem (incluindo
possivelmente
).
Propriedade 6: Se
for um sequência lateral esquerda a região de convergência estende-se para o interior do pólo mais próximo da origem (in).
cluindo possivelmente
Propriedade 7: Se
for um sequência bilateral a região de convergência
será um anel no plano Z, limitado no interior e exterior por um pólo e não
contendo pólos no seu interior.
Propriedade 3: A região de convergência não pode incluir nenhum pólo.
Propriedade 2: A transformada de Fourier de
converge absolutamente
sse a região de convergência da transformada Z incluir o cı́rculo unitário.
Propriedade 1: A região de convergência é um anel centrado na origem.
tiver amplitude finita
Propriedades da Região de Convergência (cont.)
Se a transformada Z for uma função racional e
ou
:
excepto possivelmente em
Propriedades da Região de Convergência
caso contrário
Propriedade 4: Se
for um sequência de duração finita então a região
ou
.
de convergência é todo o plano z excepto possivelmente
Propriedade 8: A região de convergência tem de ser uma região ligada.
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10
Lu´ıs Caldas de Oliveira
11
Exemplo:
e se os pólos forem todos de primeira ordem:
Usa-se o par de transformadas:
Se
Reconhecer por inspecção certos pares de transformadas.
Transformada Z Inversa – Expansão em Fracções Simples
Transformada Z Inversa – Método de Inspecção
em que:
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Transformada Z Inversa – Expansão em Fracções Simples
Transformada Z Inversa – Expansão em Série de Potências
:
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em
e existir um pólo de ordem
No caso
Lu´ıs Caldas de Oliveira
Lu´ıs Caldas de Oliveira
Os valores da sequência são os coeficientes das potências de
em que
pode ser obtido por divisão longa do numerador pelo denominador
terminando-o quando o grau do resto for menor que o do denominador,
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.
15
Deslocamento Temporal
Linearidade
16
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ou
17
Diferenciação
Multiplicação por uma Sequência Exponencial
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excepto a possı́vel adição ou remoção de
Com a região de convergência:
Com a região de convergência:
Com a região de convergência:
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Com a região de convergência:
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Inversão Temporal
Conjugado de uma Sequência Complexa
Com a região de convergência:
Com a região de convergência:
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Teorema do Valor Inicial
for uma sequência causal:
Se
Convolução de Sequências
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Com a região de convergência:
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