Teste de tendência para mais de um sistema

Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Departamento de Estatística Teste de tendência para mais de um sistema reparável Gabriel Vinícius Araújo Fonseca Novembro de 2007 1. Introdução Um importante assunto a ser abordado em processos os quais possuem mais de um sistema reparável é a tendência dos tempos entre falhas. Uma empresa busca as melhores políticas de manutenção através de análises gráficas e testes estatísticos. Este último aparece com dois importantes testes: os combinados e os de base‐TTT (Tempo Total sobre Teste). Existem na literatura para um único sistema, dois nomes para testes de tendência em manutenção, sendo eles os de Laplace e de Military Handbook, cada um com suas propriedades. Com isso, Kvalφy e Lindqvist (1998) generalizam ambos os testes para mais de um sistema reparável. Apresentaremos também um teste para os parâmetros de forma, supondo sistemas idênticos e a estimação dos parâmetros de escala para sistemas não idênticos, ambos para processos de lei de potência, encontrados em Rigdon e Basu (2000). Para demonstrar a aplicabilidade dos testes, iremos exemplificar com um conjunto de dados retirado do livro de Rigdon e Basu (2000), onde se tem válvulas de 41 motores a diesel. Outro exemplo é de uma fábrica de cimento, a qual buscava informação sobre o desempenho de um programa de manutenção preventiva, retirado do trabalho entre Colosimo e Pontel (2005). 2. Metodologia 2.1. Notação Primeiramente suponha que temos um processo com k sistemas (k > 1) independentes. Para cada sistema i, são observados ni falhas durante o intervalo de tempo , , em muitos casos, são considerados como 0, . Assim temos os tempos de falhas tij, i = 1, 2, ..., k e j = 1, ∑
. Assumimos que ni é 2, ..., ni. O número total de falhas do processo é dado por aleatório quando os tempos de falha são truncados por tempo e assumimos que os bi’s são aleatótrios e ni fixo, quando os tempos de falha são truncados por falha. , não são Se para um dado processo todos os tempos entre falhas ,
igualmente distribuídos, dizemos que existe tendência nesse sistema. Se o número esperado de tempos entre falhas tem um aumento ou diminuição monotônico ao passar do tempo, correspondem respectivamente a melhora e deterioração do sistema. 2.2. Processo de Poisson Não Homogêneo Seja N(t) o número de falhas ocorridas em um processo no intervalo de tempo [0, t]. A contagem do processo {N(t), t ≥ 0} é chamado de um Processo de Poisson Não Homogêneo (PPNH), com função de intensidade λ(t), se (1) N(0) = 0, (2) o número de falhas nos intervalos 1
∆
disjuntos, são estocasticamente independentes, (3) ∆
∆ com ∆
0, e (4) ∆
2
∆ com ∆
0. No modelo PPNH assumimos que temos reparos mínimos. Nós consideramos duas diferentes parametrizações para λ(t), a Lei de Potência: ⁄
E a log‐linear: , ,
0, 0 ,
0 , ∞
∞,
0. Em ambas as funções de intensidade, α é chamado de parâmetro de escala e β o parâmetro de forma. Quando a função de intensidade é constante (sem tendência), temos um Processo de Poisson Homogêneo (PPH). 2.3. Teste de igualdade dos parâmetros de forma do processo de lei de potência Nessa seção apresentaremos o teste para os parâmetros de forma de k sistemas reparáveis, onde a hipótese nula seria: :
contra a alternativa de que pelo menos dois dos k parâmetros sejam diferentes. Para um k > 2, usa‐se uma aproximação pela distribuição qui‐quadrado, mas para k = 2, temos a distribuição exata, neste caso a de Fisher. O teste para a situação de k sistemas, é o da razão de verossimilhança, dado por: ∑
, onde o é o estimador de máxima verossimilhança (EMV) condicional para o i‐ésimo sistema dado por: ∑
Já é a média harmônica ponderada dos dada por: , ∑
onde falha e . 1 se são truncados por se os tempos são truncados pelo tempo e ∑
. Usando a aproximação de Bartlett (1937), nós teremos que: ~
, onde ∑
1
Assim rejeitamos quando aproximadamente igual a α. 2
. 1 , com o tamanho do teste 2.4. Estimação dos parâmetros de escala para sistemas não idênticos Se as cópias de um sistema são consideradas diferentes, com diferentes β’s e α’s, então uma análise separada para cada sistema deve ser feita. Às vezes, assumimos que todos os sistemas possuem o mesmo parâmetro de forma, mas com parâmetros de escala diferentes, , ,…,
dada por: . Assim a função de verossimilhança, supondo o processo de lei de potência, é ,
∏
∏
. Tomando‐se o logaritmo natural e derivando com relação aos parâmetros de interesse, temos os seguintes estimadores de máxima verossimilhança para α e β: ∑
∑
Perceba que para a estimação dos de β é dado por: ∑
⁄
, devemos substituir β por . O EMV condicional ∑
, ⁄
∑
. O estimador tem uma propriedade dada por 2
sendo resulta em um intervalo de confiança 100
1
% dado por: ⁄
⁄
⁄ ~
2
, onde . O interesse em encontrar diferentes valores para o parâmetro de escala é fazer um gráfico com as diferentes funções de intensidade e perceber quais os sistemas possuem melhor ou pior intensidade ao longo do tempo. 2.5. Transformação TTT para sistemas reparáveis A transformação TTT (Tempo Total sobre Teste) para sistemas reparáveis foi introduzida por Barlow e Davis (1977). Seja Sr o r‐ésimo tempo de falha no processo obtido pela sobreposição , onde das observações de cada sistema. Assim temos 0
. Seja p(u) o número de sistemas que estão em observação até o tempo u. Então ,…,
é o tempo total sobre teste de 0 até o tempo t, e a escala estatística do tempo total sobre teste é: 2.6. Testes de tendência As versões de teste de tendência mencionados na introdução, combinado e base‐TTT, serão apresentadas a seguir. O teste estatístico para os testes combinados são uma combinação de testes estatísticos para sistemas simples, enquanto que os base‐TTT usam a estatística de tempo total sobre teste. A hipótese nula para os testes combinados são dados da forma : PPHs com possibilidades de diferentes intensidades, enquanto que os testes de base‐TTT tem a seguinte forma : PPHs com intensidades idênticas. A hipótese alternativa é em geral “não ”, mas o teste de Laplace é ótimo para a alternativa de um PPNH com função intensidade dada pela log‐linear e o teste Military Handbook é ótimo para a alternativa com função intensidade dada por lei da potência. 2.6.1. Teste de Laplace Seja se o i‐ésimo sistema for truncado pelo tempo e 1 se o i‐ésimo sistema for truncado pela falha. Então sob a hipótese nula de que temos PPHs com possibilidades de intensidades diferentes, a estatística seria: ∑
∑
∑
, ∑
chamado de teste combinado de Laplace que é aproximadamente uma distribuição normal padrão. Seja se o processo for truncado por tempo e 1 se o processo for truncado por falha. Então se assumimos que todas as funções de intensidades são idênticas e PPHs teremos a seguinte estatística: ∑
, chamado de teste base‐TTT de Laplace que é aproximadamente uma distribuição normal padrão. Os valores de ou indicam a direção da tendência. Se ou indica que a tendência decresce e se são positivos a tendência cresce. são negativos, isso 2.6.2. Teste de Military Handbook A estatística de teste para o teste combinado de Military Handbook é: 2∑
com distribuição exata , onde possíveis diferentes intensidades. ∑
∑
, , sobe a hipótese nula com PPHs para as Sobe assumirmos que as intensidades são PPHs idênticas, a estatística de teste seria: 2∑
com distribuição , , e chamamos esse teste de base‐TTT de Military Handbook. Se ou é grande, isso é indicativo de uma tendência decrescente, enquanto valores pequenos indicam um aumento de tendência. 3. Aplicação 3.1. Válvulas de motores a diesel Neste primeiro exemplo temos 41 motores a diesel que representará o nosso processo. Cada motor será um sistema e representará falha quando há a substituição de uma válvula do motor, o qual possui 16 válvulas cada um. Assim foram observados os tempos de falha de cada motor e foi assumido um processo de lei de potência com intensidades idênticas. Event Plot for Tempo de falha
Sistema
System Column in Sistema
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
0
100
200
300
400
500
Tempo de falha
600
700
800
Figura 1. Gráfico dos tempos de falha dos motores a diesel. Na figura 1 temos os tempos de falha para cada um dos motores e todos são truncados pelo tempo, o qual foi realizado a manutenção do mesmo. A estimativa para o parâmetro de forma foi de 1,41 com erro padrão de 0,201 e seu intervalo de confiança com 95% foi de 1,06; 1,86 . Como o valor 1 não está contido dentro do intervalo, dizemos que o processo é não homogêneo e que o processo está deteriorando. Para o parâmetro de escala, foi encontrado o valor de 377,28 com desvio padrão de 47,234 e intervalo com 95% de confiança igual a 295,19; 482,20 . Perceba que 24 dos 41 motores apresentaram falhas até a manutenção e são esses 24 motores que foram usados para os cálculos dos parâmetros de forma e escala. O valor do teste da razão de verossimilhança, realizado para os parâmetros de forma, foi de 31,7 com um p‐valor de 0,107 com 23 graus de liberdade, sendo favorável a hipótese nula. Assim dizemos que os 24 motores possuem os mesmos valores do parâmetro de forma. Nas figuras 2 e 3 temos os gráficos MCF e TTT os quais percebemos uma ligeira concavidade para cima, no caso da MCF e para baixa, no caso do TTT, demonstrando que o processo está se deteriorando. Isso é percebido pela tabela 1 onde temos os valores das estatísticas de Laplace e Military Handbook, pois ambas, seja combinado ou de base‐TTT, rejeitam a hipótese nula e nos dizem que há uma tendência no processo e que podemos ter os parâmetros de escala diferentes. Mean Cumulative Function for TF
System Column in Sis
P arameter, M LE
S hape
S cale
1,40495 377,280
2,5
2,0
MCF
1,5
1,0
0,5
0,0
0
100
200
300
400
500
600
700
TF
Figura 2. Gráfico para a função de média acumulativa (MCF). Tabela 1. Tabela de testes de tendência (motores a diesel) Teste Valor da estatística p‐valor Graus de Liberdade 2,38 0,017 ‐ 2,05 0,040 ‐ 66,15 0,017 96 68,51 0,031 96 Na figura 3 temos a função intensidade para os 24 motores com os parâmetros de escala diferentes para cada um e um único parâmetro de forma igual a 2.17, com intervalo de confiança de 95% igual a 1,77; 2.62 . O motor que apresentou a maior taxa foi a intensidade de número 21 que corresponde ao motor 28, como pode ser visto na figura 1 (falhou mais em menor tempo). Note também que esse é o único sistema que afasta mais dos demais sistemas. Logo concluímos que o processo tem uma tendência leve e crescente, ou seja, o processo está deteriorando. Total Time on Test Plot for TF
System Column in Sis
P arameter, M LE
S hape
S cale
1,40495 377,280
Scaled Total Time on Test
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
Scaled Failure Number
0,8
1,0
Figura 3. Gráfico TTT. Line Plot of Lambda1; Lambda2; Lambda3; Lambda4; Lambda5; Lambda6; ...
Variable
Lambda1
Lambda2
0,04
Lambda3
Lambda4
Lambda5
Lambda6
Lambda7
Data
0,03
Lambda8
Lambda9
Lambda10
Lambda11
0,02
Lambda12
Lambda13
Lambda14
Lambda15
Lambda16
0,01
Lambda17
Lambda18
Lambda19
Lambda20
Lambda21
Lambda22
0,00
3
1,
34
,0
68
34
7
4,
3
1
34
4
4
4
4
4
4
4
63
93
23
53
83
13
43
,
,
,
,
,
,
,
1
1
4
8
4
8
1
60
40
33
53
46
26
20
Tempo
Lambda23
Lambda24
Figura 4. Gráfico das funções intensidades para 24 motores, assumindo um único β. 3.2. Fábrica de cimento 3.2.1. Análise do primeiro período Neste exemplo iremos analisar um processo de moagem de pedras de calcário de uma fábrica de cimento. Os dados foram divididos em dois períodos, antes e depois de terem implementado o programa de manutenção, chamado de Confiabilidade Centrada em Manutenção (CCM). O período das observações foi de julho de 1999 a dezembro de 2001 no primeiro período e de janeiro de 2002 a novembro de 2003. O sistema é um único componente, mas foi considerado que as manutenções preventivas resultavam em sistema tão bom quanto novo e a cada falha era feito um reparo mínimo. Event Plot for Tempo de falhas (h)
Sistema
System Column in Sistema
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
0
200
400
600
800
1000
1200
Tempo de falhas (h)
1400
1600
1800
Figura 5. Gráfico dos tempos de falha para o período 1. Na figura 1 temos os tempos de falha para o processo. No total foram realizadas 48 manutenções preventivas neste período, porém em três deles não foram observados falhas, sendo as mesmas retiradas para os cálculos. O valor do parâmetro de forma é igual a 0,98 com desvio padrão de 0,05, com intervalo de 95% de confiança igual a 0,89; 1,08 . Como o valor 1 pertence ao intervalo, podemos dizer que os sistemas podem ser modelados por um PPH. O parâmetro de escala foi estimado e igual a 61,69 com desvio de 7,41 e com intervalo de 95% de confiança igual a 48,75; 78,06 . No teste de igualdade dos parâmetros de forma, a hipótese nula foi rejeitada e a estatística de teste foi igual a 71,09 (p‐valor = 0,006), com 44 graus de liberdade. Logo os testes que devemos observar na tabela 2 são os combinados, pois os sistemas são similares ou em último caso diferentes e assim uma análise separada para cada sistema deve ser feita. Tabela 2. Tabela de testes de tendência (período 1) Teste Valor da estatística p‐valor Graus de Liberdade 1,31 0,192 ‐ ‐1,02 0,306 ‐ 596,70 0,553 618 631,72 0,685 618 Na tabela 2 podemos ver que a hipótese nula não é rejeitada (testes combinados) e assim afirmamos que não há uma tendência nas observações. Também observamos nos gráficos 6 e 7 que os pontos seguem uma linha diagonal central, confirmando o que os teste de Laplace e Military Handbook combinados apresentaram e que há estabilidade no processo. Mean Cumulative Function for TF
System Column in Sis
30
P arameter, M LE
S hape
S cale
0,983123 61,6871
25
MCF
20
15
10
5
0
0
200
400
600
800 1000 1200 1400 1600 1800
TF
Figura 6. Gráfico para a função de média acumulativa (MCF). Logo podemos concluir que no primeiro período, não apresenta uma tendência e que podemos supor um PPH, ou seja, funções intensidades constantes para cada sistema, já que o teste para igualdade dos parâmetros de forma rejeitou a hipótese nula, assumindo diferentes intensidades. 3.2.2. Análise do segundo período No caso do período 2, temos 49 sistema no processo, porém para os cálculos dos parâmetros temos apenas 36, pois os demais não apresentaram falha até a manutenção preventiva. Na figura 8 temos os tempos de falha para o segundo período. O parâmetro de forma foi igual a 0,84 com desvio padrão de 0,07 e intervalo de 95% de confiança igual a 0,72; 0,99 . Veja que o limite superior ficou bem próximo de 1, mas assumimos que ele não pertence ao intervalo e que há uma melhoria no processo no segundo período, como observamos na figura 9. Total Time on Test Plot for TF
System Column in Sis
P arameter, M LE
S hape
S cale
0,983123 61,6871
Scaled Total Time on Test
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
Scaled Failure Number
0,8
1,0
Figura 7. Gráfico TTT para primeiro período. Para o parâmetro de escala, foi encontrado o valor de 92,63 com desvio padrão de 15,68 e um intervalo de 66,48; 129,06 . No teste de igualdade dos parâmetros de forma, o valor da estatística foi de 38,32 (p‐valor = 0,321) com 35 graus de liberdade, assim podemos afirmar que os parâmetros de forma são iguais para os sistemas do processo. Na figura 10 temos o gráfico TTT, o qual apresenta nenhum tipo de tendência significativa, mas uma melhora no processo no final da curva. Tabela 3. Tabela de testes de tendência (período 2) Teste Valor da estatística p‐valor Graus de Liberdade ‐2,00 0,045 ‐ ‐3,03 0,002 ‐ 236,11 0,617 226 261,97 0,101 226 Na tabela 3 temos os valores das estatísticas para tendência. Como podemos ver, as estatísticas de Laplace rejeita a hipótese nula, mas como citado na seção 2.6, os testes de Laplace se comportam melhor para intensidade log‐linear. Percebemos isso mais claramente quando olhamos para as estatísticas de Military Handbook, as quais não rejeitam a hipótese nula. Isto é também percebido no primeiro período. Outro fato que notamos é que a diferença entre os valores dos testes combinados e dos testes de base‐TTT estão muito grandes. Como o valor‐p do teste de igualdade dos parâmetros de forma não foi inferior a 0,05, acreditamos que os valores dos parâmetros de escala sejam diferentes. Na figura 11 temos as intensidades para os 36 sistemas e o valor para um único parâmetro de forma é igual a 1,26 com intervalo de 95% de confiança igual a 1,10; 1,44 . Neste caso, não encontramos uma melhora no processo e sim uma deterioração do processo. Event Plot for Tempo de falhas (h)
Sistema
System Column in Sistema
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
0
200
400
600
Tempo de falhas (h)
800
1000
Figura 8. Tempos de falha para o segundo período. Mean Cumulative Function for TF
System Column in Sis
8
P arameter, M LE
S hape
S cale
0,844549 92,6279
7
6
MCF
5
4
3
2
1
0
0
200
400
600
800
1000
TF
Figura 9. Gráfico para a função de média acumulativa (MCF). Total Time on Test Plot for TF
System Column in Sis
P arameter, M LE
S hape
S cale
0,844549 92,6279
Scaled Total Time on Test
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
Scaled Failure Number
0,8
1,0
Figura 10. Gráfico TTT para o segundo período. Line Plot of Lambda1; Lambda2; Lambda3; Lambda4; Lambda5; Lambda6; ...
0,14
Variable
Lambda1
Lambda2
Lambda3
0,12
Lambda4
Lambda5
Lambda6
Lambda7
Lambda8
0,10
Lambda9
Lambda10
Lambda11
Lambda12
Lambda13
Data
0,08
Lambda14
Lambda15
Lambda16
0,06
Lambda17
Lambda18
Lambda19
Lambda20
Lambda21
Lambda22
Lambda23
Lambda24
0,04
Lambda25
Lambda26
Lambda27
0,02
Lambda28
Lambda29
0,00
2,04
Lambda30
Lambda31
Lambda32
103,91 205,78 307,66 409,53 511,40 613,28 715,15 817,02 918,89
Tempo
Lambda33
Lambda34
Lambda35
Lambda36
Figura 11. Gráfico das funções intensidades para os 36 sistemas do período 2. 4. Conclusão As técnicas estatísticas aqui apresentadas possuem grande importância em confiabilidade em sistemas reparáveis. A estatística de Laplace se comporta melhor para dados em que se consegue modelar a função intensidade através da função log‐linear. Já o teste do Military Handbook se sobressai quando temos a função de lei de potência. O uso dos testes de tendência para mais de um sistema reparável apresenta duas versões, as quais uma é para quando temos a suposição que os sistemas são idênticos, os de base‐TTT, e para quando temos sistemas similares, neste caso os testes combinados. Tanto o teste de Laplace como o de Military possuem as duas versões. Vimos que os comportamentos das estatísticas de testes nos exemplos, aqui mencionados, foram condizentes com o que se encontra na literatura. No primeiro exemplo, a hipótese de que temos um modelo PPH foi rejeitada por todos os testes. No segundo exemplo temos a não rejeição de um modelo PPH, mas estatísticas são diferentes para cada período. Isso acontece devido ao melhoramento do processo depois da implementação do programa CCM. Logo concluímos que os testes são importantes na análise de tendência, já que a análise gráfica não é tão consistente, como comprovado na literatura. Em um artigo de Kvalφy (1998), sugere a criação de um novo teste chamado “duas etapas”. Consiste em verificar antes de aplicar os testes de tendência, se os sistemas são heterogêneos, através do teste da razão de verossimilhança, apresentado primeiramente por Lawless (1987). Esse teste em suas simulações se comporta melhor se considerarmos o nível de significância e o poder do teste. 5. Referências Barlow, R. E. e Davis, B., Analysis of Time Between Failures for Repairable Components (1977). Nuclear Systems Reliability Engineering and Risk Assessment, 543‐561. Philadelphia: SIAM. Bartlett, M. S., Properties of Sufficiency and Statistical Tests (1937). Proceedings of the Royal Society of London A, 160, pp. 268‐282. Colosimo, E. A. e Pontel, F. G., RCM Program Evaluation in Cement Company (2005). Kvalφy, J. T., Test for trend in more than one repairable systems (1998). http://citesser.ist.psu.edu/364962.html. Kvalφy, J. T. e Lindqvist, B. H., TTT‐based tests for trend in repairable systems data (1998). Reliability Engineering and System Safety, 60: 13‐28. Lawless, J. F., Regression Methods for Poisson Process Data (1987). Journal of the American Statistical Association, 82:808‐815. Rigdon, S. E. e Basu, A. P., Statistical Methods for Reliability of Repairable Systems (2000). New York, NY: John Wiley.