Monotonia e extremos relativos de uma função ] [0,1 ] [1,3
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Monotonia e extremos relativos de uma função ] [0,1 ] [1,3
Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática A – 11º Ano Ficha de Trabalho nº 7 Tema: Introdução ao Cálculo Diferencial I Nome:___________________________________ Turma: ___ Data: __/___/___ Monotonia e extremos relativos de uma função 1. A evolução da temperatura, em graus centígrados, ao longo de um certo período de tempo, é apresentada no seguinte gráfico: 1.1. Através da observação do gráfico, preencha a seguinte tabela: Intervalo Sinal do declive da recta tangente nos pontos do intervalo Sinal da função derivada nos pontos do intervalo Sentido de variação da função (monotonia) ]0,1[ ]1,3[ 9 3, 2 1.2. Qual o valor da função derivada nos pontos de abcissa 1 e de abcissa 3? 1.3. Admita que a expressão que define a função representada graficamente é T (t ) = t3 − 2t 2 + 3t + 3. 3 1.3.1. Determina T ' ( t ) . 1 1.3.2. Com o auxílio da calculadora gráfica, esboce o gráfico da função derivada. 1.3.3. Indique os zeros da função derivada. 1.3.4. Estude analiticamente o sinal de T ' ( t ) e compare as respostas dadas em 1.1. e 1.2. 2. Compare a monotonia da função T com a variação do sinal da função derivada. 2.1. Nos intervalos ]−∞,1] e [3, +∞[ , a função T ' é __________ e T é _________. 2.2. No intervalo [1,3] , a função T ' é ____________ e T é _____________. 2.3. A função tem um máximo em __________ . 2.4. A função tem um mínimo em ___________. 3. Relacione os zeros da derivada com os maximizantes e minimizantes da função inicial. 4. Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de T no ponto de abcissa 2. 2 Concluindo… A variação de sinal da 1ª derivada e a monotonia da função estão relacionadas, pois, Quando f ' ( x ) > 0 então f é _______________. Quando f ' ( x ) < 0 então f é _______________. Os zeros da derivada correspondem aos extremos da função: Quando a 1ª derivada se anula em a e à esquerda desse valor é positiva e à direita é __________, a função f tem um máximo para ________. Quando a 1ª derivada se anula em b e à esquerda desse valor é negativa e à direita é _________, a função f tem um mínimo para ________. A 1ª derivada informa-nos acerca da: ___________ e existência de ___________ de uma função. Problema… Um computador regista a distância de uma sonda em relação a um ponto durante três minutos. A partir dos registos obtidos foi construído o seguinte modelo matemático: D ( t ) = −t 3 + 5t 2 − 7t + 4 em que D ( t ) é expresso em milímetros e t em minutos. Durante o intervalo de tempo de observação, determina, por processos exclusivamente analíticos, os instantes em que a sonda esteve mais próxima e mais afastada do ponto de referência. 3
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