Mathematik üben Klasse 8 Terme und Gleichungen

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Jens Conrad, Hardy Seifert
Mathematik üben Klasse 8
Terme und Gleichungen
Differenzierte Materialien für das ganze
Schuljahr
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aus dem Originaltitel:
Mathematik üben
Klasse 8 Terme
und Gleichungen
Differenzierte Materialien für das
ganze Schuljahr
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Mathematik üben Klasse 8
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http://www.auer-verlag.de/go/dl6773
Einfache Gleichungen
Regeln für das Lösen von Gleichungen
x soll alleine auf einer Seite des Gleichheitszeichens stehen.
ht
¾
Dazu darfst du auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens
dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren.
x+5=9
x + 5 – 5= 9 – 5
x=4
|–5
A
ns
ic
Beispiele:
x–3 =5
x–3+3=5+3
x =8
|+3
ur
¾
Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens darfst du mit
derselben Zahl (ungleich null) multiplizieren bzw. durch
dieselbe Zahl (ungleich null) dividieren.
6x = 36
|:6
6x : 6 = 36 : 6
te
M
us
Conrad/Seifert: Mathematik üben Klasse 8 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
rz
Beispiele:
1x = 3
|·5
5
5 · 1x = 3 · 5
5
x = 15
x =6
¾
Gleichartige Glieder können zusammengefasst werden.
Beispiel:
4x + 14 + 5x + 13 + 7x + 3x + 4 = 50
4x + 5x + 7x + 3x + 14 + 13 + 4 = 50
19x + 31 = 50
19x = 19
x=1
| Æ ordnen
| Æ zusammenfassen
| – 31
| : 19
5
1. Stelle eine Gleichung auf und berechne x.
Gleichung: ____________
Gleichung: ____________
kg kg
kg kg kg
kg x kg
x
ht
Lösung: x = _____
x
kg kg kg
Lösung: x = _____
A
ns
ic
kg kg kg
2. Bestimme die Lösungsmenge durch Anwenden der Umkehroperation.
b) 5 – x = 13
d) x – 12 = –3
e) –12 – x = –15
f) –x + 23 = 51
g) –x – 5 = 13
h) –x + 31 = –26
i) 6x = –54
j) 4x = 28
k) –5x = 75
l) –7x = –49
m) 1 x = 3
2
n) 3 x = 15
4
o) – 3 x = 27
5
p) 2 x = 22
7
q) 5 x = –25
8
r) – 4 x = –28
5
rz
ur
a) x + 7 = 21
c) x – 15 = 23
b) 20 + 3x = 41
c) 13 – 5x = 38
d) –4x + 24 = 12
e) –7x – 31 = 25
f) 6x – 5 = –41
h) 8x + 3 = –37
i) 2x + 6 = –16
M
us
a) 2x + 15 = 45
g) –3x – 23 = 22
4. Fasse zunächst zusammen. Bestimme anschließend die Lösungsmenge.
a) 2x + 7x + 22 = 103
b) 3x + 12 – x = 24
c) 3x + 21 = 6 – 2x
d) 15 – 5x + 3 = 4x
e) 43 – 7x + 7 = 1
f) x – 11 + 4x = 4
g) 76 – 11x = 3x – 22
h) 27x + 13 – 14x = 26
i) –2x – 4 + 8x = –16
k) 3 + 5x – 1 = 10
2
l)
j)
1 x + 5 – 1 x = 13
2
4
5. Löse die Bruchgleichungen.
b) – 3x + x = – 12
a) x + 5 = 2
4
5
2
6
2x+ 1 + 4x+5=11
3
6
9
6
4x + 12 2x
–
=6
c) x +
2
3
4
te
3. Forme die Gleichung um und bestimme die Lösungsmenge.
Gleichung: ____________
kg
Gleichung: ____________
x
kg kg kg
kg
x
kg
x
kg kg kg
x kg
Lösung: x = _____
A
ns
ic
ht
kg kg kg
kg kg kg
x kg
Lösung: x = _____
2. Bestimme die Lösungsmenge durch Anwenden der Umkehroperation.
a) x + 5 = 13
b) 4 – x = 17
d) x – 7,5 = –4,5
e) –2,25 – x = –11
f) –x + 1,5 = 31,25
g) –3x = 18
h) –2x = –28
i) 6x = –54
1x=2
4
m) 1 x = –3
7
p) 1 2 x = 55
9
81
k) – 5 x = 35
8
2
n) x = 4
3
5
l) – 3 x = –9
5
o) – 5 x = 10
8
4
rz
ur
j)
c) x – 11 = 5
r) –1,2x = –27,6
b) 12 + 7x = 54
c) 7 – 4x = 43
d) – 1 x + 2 = 16
4
e) – 2 x – 41 = 7
3
f) 10 + 4 x = 46
5
g) –0,25x – 13 = –3
h) 1,4x + 7,25 = –13,75
i) 2,75x + 2 = –20
q) 4,25x = –38,25
3. Forme die Gleichung um und bestimme die Lösungsmenge.
te
M
us
a) 3x + 11 = 35
4. Fasse zunächst zusammen. Bestimme anschließend die Lösungsmenge.
a) x – 5x + 22 = 70
b) 5x – 32 – 11x = 22
c) 4x + 20,75 = 6,25 – x
d) 3,3 – 3x + 7,2 = 4x
e) 21,5 – 1,6x + 7,1 = 1
g) 23 – 3 2 x = 9 – 3x
5
1
j) 2 x + 4 = 22 – 4 x
2
8
h) 7 x – 3 – 4x = –23
8
4
3
k) 6 – 2,5x = 10 – 7,5x
4
f) 1 x – 2 5 + 2x = 2
2
8
i) –6,6 + 5 3 x = –12,6 – 4 x
7
7
1
5
1
3
l)
x–3 =1 – x
5
8
6
8
5. Löse die Bruchgleichungen.
a) x – 3 = 2
5
b) –
x+3 x+2
+
= –1
2
3
x + 7 2x
2x + 4
c) 2x +
–
– 10 =
6
3
2
12
7
Einfache Klammerterme
Klammern in Summen oder Differenzen
Beispiel:
12x + (7 – 3x) = 12x + 7 – 3x
ht
Du kannst Klammern in Termen unter Beachtung folgender
Regeln weglassen:
1. Steht ein Pluszeichen vor der Klammer, kannst du die
Klammer einfach weglassen.
12x – (7 – 3x) = 2x – 7 + 3x
ur
Beispiel:
A
ns
ic
2. Steht ein Minuszeichen vor der Klammer, kannst du die
Klammer weglassen, wenn du aus jedem Plus in der Klammer
ein Minus und aus jedem Minus in der Klammer ein Plus
machst.
Multiplikation oder Division mit einer Klammer
Beispiele:
(–5) · (3x – 4) = (–5) · 3x + (–5) · (–4) = –15x + 20
(2x + 6) · 3 = 2x · 3 + 6 · 3 = 6x + 18
2. Beim Dividieren einer Summe oder Differenz durch eine Zahl
oder eine Variable können wir die Klammer weglassen, wenn
wir folgende Regel beachten:
Jede Zahl oder Variable in der Klammer muss durch die Zahl
hinter der Klammer dividiert werden.
Beispiel:
8
(27x – 9) : (–3) = 27x : (–3) + (–9) : (–3) = –9x + 3
M
us
te
rz
1. Beim Multiplizieren einer Summe oder Differenz mit einer
Zahl oder einer Variablen können wir die Klammer weglassen,
wenn wir folgende Regel beachten:
Jede Zahl oder Variable in der Klammer muss mit der Zahl
oder Variablen vor (oder hinter) der Klammer multipliziert
werden.
1. Welcher Term passt zu welcher(n) Fläche(n)?
Notiere die Ziffer der Fläche hinter den Termen.
A = a · d ________
u = 2e + 2a ________
A = b · c ________
u = 2a + 2d ________
A = (a + b) · c ________
u = 2(a + b) + 2c ________
A = a · (d + e) ________
u = 2a + 2(d + e) ________
e
1
3
A
ns
ic
d
2. Male gleichwertige (äquivalente) Terme mit derselben
Farbe aus.
5(x + 3)
0,5x(6 + 8)
ur
4x + 4y
10x2 + 7x
rz
10x2 + 6x
a
b
1 x(40x + 28)
4
3x + 4x
7x
c
ht
2
(5x + 3) · 2x
5x + 15
4(x + y)
3. Vereinfache die Terme so weit wie möglich.
c) 4(10 + 2x) – 18
te
b) 2(x + 5) – 7
d) –(4x + 17) + (6x – 13)
e) 8x + (3x – 10) + 51
g) 1 (6x + 14) – 2(2x – 6)
2
h) – 2 x(9 + 15x) + (2x2 + 8x)
3
M
us
a) 21 + (3x – 25) + 2x
f) 3(2,5 – 2x) – (2 + x)
4. Übertrage die Tabellen in dein Heft und fülle die leeren Felder.
·
8
–2,5
Dividend
3x
x–2
:
8x + 6
2
5 – 4x
–8
x + 10y
0,5
x + 24
1,6 – x
2x2 + 4x
5. Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen.
a) 5x – 7(2x – 5) – 33
b) 2(a + b) + 3(2a – b) – 4(a + 2b)
c) 11 – 2(5 + 2x) + 4x(2x – 5)
d) x + 3x(7x – 2) – 22 + 6(3x – 12)
e) 0,5(x – 16) – 1,5 · 8x + 2,25(4x + 8)
f) 3[5(x – 4) – 6(3 – 2x)]
9
m
Notiere die Ziffer der Fläche hinter den Termen.
f
A = a · e ________
u = 2d + 2a ________
A = h · (a + b) ________
u = 2f + 2c ________
A = (g + f) · b ________
u = 2(g + f) + 2b ________
A = h · (m – a) ________
u = 2(a + e) ________
4
e
1
g
ht
5
d
3
b
c
A
ns
ic
a
A = (e + d) · (a + b + c) ________
h
2
u = 2 · (a + b + c + h) ________
2. Male gleichwertige (äquivalente) Terme mit derselben Farbe aus.
(
)
6x + 29
1,25x + 15
2,1x 10 x + 1,1
21
x2 + 2 13 x
18
5 x2 + 3 1 x
4
2
x2 + 2 31 x
100
1 x(5x + 14)
4
ur
( 72 x + 97 ) · 72 x
5 (x + 12)
4
4(1,5x + 7,25)
rz
(
)
(
e) 1 x 4 x – 24
8 7
te
d) – 3 1 x 11 x – 3
3 15
10
c) 1,25(2,4 – 5,6x) – 19
(
)
) (
f) 3 5 2 – 4 x – 3 + 2 1 x
8 29
87
4
2
4. Übertrage die Tabellen in dein Heft und fülle die leeren Felder.
3
4
–1,125
M
us
·
5x
8
Dividend
1x
2
:
16x + 2
3
3
7 – 2x
–0,5
–x + 5
6
3
4
6x + 24
1,2 – x
x2 + 4 x
7
5. Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen.
a) 2,3x – 0,2(8x – 5) + 11
(
)
(
c) 2 – 7 4 + x + 4 1 x 16x – 1
3
8 5
2
4
10
b) –4,5(a + b) + 3,25(4a – 2b) – 0,4(a + 5b)
)
(
)
d) 3 7 x + 4 4 x 25 x – 15 + 1 (3x – 12)
8
5 48
6
16
)
b) 2 (x + 35) – 13
5
10
a) 31 – (5x – 9) + 8x
Produkte von Summen
Multiplizieren von Summen und Differenzen
Wenn du zwei Summen miteinander multiplizieren willst, musst
du jeden Summanden aus der ersten Klammer mit jedem
Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
Beispiele:
(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd
(2)
(a + b) · (c – d) = ac – ad + bc – bd
(3)
(a – b) · (c + d) = ac + ad – bc – bd
(4)
(a – b) · (c – d) = ac – ad – bc + bd
(1)
(3 + x) · (5 + y) = 3 · 5 + 3y + 5x + xy
ht
(1)
A
ns
ic
Es gilt:
(5 – x) · (4 – y) = 5 · 4 – 5y – 4x + xy
te
oder: (2s – t) · (3s + 4u)
= 2s · 3s + 2s · 4u – t · 3s – t · 4u
= 6s2 + 8su – 3st – 4ut
(3)
M
us
rz
(2)
ur
oder: (2s + t) · (3s + 4u)
= 2s · 3s + 2s · 4u + t · 3s + t · 4u
= 6s2 + 8su + 3st + 4ut
(4 + x) · (5 – y) = 4 · 5 – 4y + 5x – xy
oder: (2s + t) · (3s – 4u)
= 2s · 3s – 2s · 4u + t · 3s – t · 4u
= 6s2 – 8su + 3st – 4ut
(4)
oder:
(2 – x) · (3 – y) = 2 · 3 – 2y – 3x + xy
(2s – t) · (3s – 4u)
= 2s · 3s – 2s · 4u – t · 3s + t · 4u
= 6s2 – 8su – 3st + 4ut
11
Produkte von Summen
1. Welcher Term passt zu welcher(n) Fläche(n)? Notiere die Ziffer der Fläche unter den
Termen.
A = (c + d) · (e + f)
A = c · (b – e)
__________________________________
____________________________
A = (b – f) · (a – d)
____________________________
__________________________________
A=a·f–c·f
____________________________
_____________________________
f
2
3
4
c
d
A
ns
ic
A = (c + d) · f
1
ht
A = (e + f) · d
A = (a – c) · e
A=b·c–f·c
____________________________
____________________________
b
e
a
2. Multipliziere aus und vereinfache so weit wie möglich.
a) (a + b) (x + y)
b) (c + d) (e – f)
e) (2 + x) (3 + y)
f) (5 – x) (8 + y)
i) (–5 + a) (2 + b)
m) (–3 + 2x) (2y + 1)
d) (a – b) (c – d)
g) (a + 4) (5 – b)
h) (7 + x) (7 + y)
j) (s – 3) (t + 4)
k) (3a + 4) (5b – 2)
l) (2x – 5) (y – 3)
n) (4a – 3b) (2 + 2b)
o) (7c – 3a) (5b + 8d)
p) (m – n) (m + n)
rz
ur
c) (a – b) (s + t)
12 + 3y + 4x + xy
2x2 + 5xy + 2y2
3y – 4x + xy – 12
–6x2 + 14x – 8
(3x – 4) (2 – 2x)
x + y + xy + 1
x2 – 1
M
us
te
(2x + y) (x + 2y)
(x + 3) (y – 4)
(3 + x) (4 + y)
(x + 1) (1 + y)
(x + 1) (x – 1)
a) (x + 1) (y + 1) – 2xy
b) 3xy – (y + 2) (x + 2)
c) 15 + (2x – 5) (y + 3)
d) (2y + 1) (2 – 3x) + 5 – 2x
e) 8x + (3x – 10) (x + 5) – 2x2
f) (2,5 – 2x) (2 + x) + x
h) 2xy + (2x + 0,5y) (5 – 3x)
i) 17 + (xy – 3) 1 x – y
3
g)
( 21 x + 2y ) (6 + 3y) – 20y
(
5. Übertrage die Tabelle in dein Heft und fülle die leeren Felder.
·
x–5
x–y
2x + 6
12
2–x
x + 2y
0,5y – 0,5x
)
Produkte von Summen
A = a · (e + f)
A = (a – c) · f
______________________________
____________________________
A = f · (a – d)
_______________________________
______________________________
A=a·f–d·f
____________________________
____________________________
f
2
b
3
4
c
d
e
A
ns
ic
A=c·f+d·f
1
ht
A = (e + f) · (a – c)
A=a·e–c·e
a
A=b·c–f·c
____________________________
____________________________
2. Multipliziere aus und vereinfache so weit wie möglich.
a) (6a + 3) (2 + 4y)
b) (3x + 5y) (e – 2f)
c) (5 – 2x) (6y – 9)
d) (0,5a + 1,5) (2c – 4)
e) (2,25 – b) (8 + 4y)
f) (5x – y) (3,2x + 3y)
( 157 + 41 x ) ( 60 + 74 y )
k) ( 1,25 – 5 b ) ( 8 b – 2,1)
9
4
h)
( x – 2 61 a ) ( 1311 + b)
( 51 x + 34 y ) ( 51 x – 34 y )
i)
l)
rz
j)
( 21 a + 7 ) ( 52 – b)
( –3,3x – 41 ) ( 2 21 t + 4 )
ur
g)
te
13x – 2x2 – 20
M
us
( 21 x + y ) ( 21 x – y )
( x + 21 ) ( y + 21 ) – xy
d) (2y + 0,5) (4 – 8x) · 3
4
1 x2 – y2
4
(x – 4) (5 – 2x)
x2y – 3x2 + 6xy – 18x + 5y – 15
a)
( 32 x + y ) ( 6x – 41 )
4x2 – 1 x + 6xy – 1 y
4
6
(
(x + 5) (y – 3) (x + 1)
)
b) 2,5xy + y + 2 (x + 2)
5
e) 2 1 x + (6x – 1,5) (x + 8)
3
c) 7,5 + (0,5x – 1) (y + 5)
f)
( 3 35 + 3,6x ) (4 + x) · 2
5. Übertrage die Tabelle in dein Heft und fülle die leeren Felder.
·
x– 5
6
2,2 – x
3 x + 2y
4
2 1 y – 4,5x
2
4x – y
x+4
13
Gleichungen mit Klammern
Lösen von linearen Gleichungen mit Klammern
A
ns
ic
ht
Du kannst eine Gleichung immer mithilfe der folgenden Umformungen
lösen:
Du kannst …
¾
die Klammer(n) auf beiden Seiten der Gleichung auflösen.
¾
die Terme auf beiden Seiten der Gleichung zusammenfassen
oder umformen.
¾
auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder
subtrahieren.
¾
die beiden Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ( 0) oder
demselben Term multiplizieren bzw. durch dieselbe Zahl oder
denselben Term dividieren.
¾
beide Seiten der Gleichung vertauschen.
| Æ Klammern auflösen
| Æ gleichartige Terme zusammenfassen
| Æ – 4x auf beiden Seiten der Gleichung
| Æ – 21 auf beiden Seiten der Gleichung
| Æ: 8 auf beiden Seiten der Gleichung
M
us
Anzahl der Lösungen von linearen Gleichungen
Lineare Gleichungen können entweder keine, eine oder unendlich
viele Lösungen haben.
Beispiel: (unendlich viele Lösungen)
Beispiel: (keine Lösung)
| Klammern auflösen
2(x + 5) = 3(x + 2) – x | Klammern auflösen 3(x + 2) = 3x + 6
2x + 10 = 3x + 6 – x | zusammenfassen
3x + 6 = 3x + 6
|–6
3x = 3x
|
2x + 10 = 2x + 6
| – 2x
10 = 6
L = {⺡}
L={ }
Diese Gleichung hat keine Lösung,
weil nach den Umformungen eine
falsche Aussage entstanden ist.
14
Diese Gleichung hat unendlich viele
Lösungen, weil nach den Umformungen
eine Aussage entsteht, die immer wahr ist.
Die Gleichung ist allgemeingültig.
te
rz
ur
Beispiel: 3(5x + 7) – 3x = 4x + 61
15x + 21 – 3x = 4x + 61
12x + 21 = 4x + 61
8x + 21 = 61
8x = 40
x=5
L = {5}
a)
10 cm
b)
2 cm
A = 168 cm2
12 cm
x
A = 12 cm2
x + 2 cm
ht
16 cm
u = 50 cm
4x + 1 cm
14 cm
A
ns
ic
d)
c)
A = 36 cm2
3 cm
5 cm
x
b) 3x – (x – 15) = 23
c) (5x + 3) – 26 = 2x – (x + 7)
d) 3(2x + 7) = 75
e) 5x – 2(x + 5) = 4(3 + x)
f) 7(6 – 4x) = –2(2x + 5) – 2
g) (x + 1) · 4 = (3x + 4) · (–2)
h) 2(x + y) = 2y – 10
i) (7 + x) · (–5) = –(–5x – 5)
l) (0,2 + 4x) · 10 = –2(5x – 51)
m) 2 (–15x + 5) = 1 (30x – 70)
5
10
k) 3 (8x – 12) = 15
4
n) 12( 1 x – 3) = –24
8
p) (x + 3) (2 + x) = (x + 6) (x – 5)
q) (5 – x) (3 + x) = (7 – x) (x + 2)
s) (x + 4) (x + 6) = (x – 4) (x + 2)
r) (1 – x) (2 – x) = (x + 3) (x + 4)
o) –4( 3 x – 0,25) = 4
20
3. Kreuze die richtige Lösung an.
M
us
rz
j) (x + 4) (x – 4) = 48
ur
a) 5 + (3x + 7) = 36
te
2. Löse die Gleichungen und bestimme die Lösungsmenge.
L={ }
a) 5(3 + 2x) = 15 + 10x L = { 2 }
L=⺡
c) 12x – 4(5x + 2) = 2(3x + 10)
L={ }
L = { –2 }
L=⺡
b) 3 + 2 (49 – 14x) = 2 – 4x
7
L={ }
L = {2}
L=⺡
L={ }
d) (x + 2) (x – 2) = x + x – 4 L = { 0 }
L=⺡
2
4. Zahlenrätsel. Stelle eine Gleichung auf und berechne die gesuchte Zahl.
Das Zehnfache der gesuchten Zahl vermindert um das Fünffache der um 3 vergrößerten Zahl
ergibt 10.
15
a)
27 m
c)
13 m
4
A = 14 m2
A = 90 m2
x+5m
h= 2 m
5
ht
A = 9,8
m2
d)
A
ns
ic
b)
30 m
2x
9
A = 10,5 m2
10 m
3 x+2m
10
33 m
4
3x
5
2. Löse die Gleichungen und bestimme die Lösungsmenge.
c) 1 (8x + 6) + 16 = 1 x – (3x + 7)
2
2
b) x – (4x + 5) = –14
d) 3 x = –(–x + 18)
7
e) 2 1 (x + y) – 0,5y = 2y – 15
2
ur
a) (3x + 7) · 2 = 38
rz
g) (1 – 3x) (2 – x) = (2x – 1) (1,5x + 4)
h)
f) (x + 7) (x + 2) = (x + 1) (x – 2)
( 58 – 2x ) (8 + x) + 3 163 = ( 41 – 21 x ) (4x + 1)
M
us
te
L={ }
a) 2 (5 + 12x) = 2 + 4,8x L = { 1 }
5
L=⺡
L={ }
3
1
c) 4 x – (2x + 1) = 2(2x + 4) L = { –66 }
4
8
L=⺡
L={ }
e) 0,75(–6x + 2) = –0,5(9x + 1) L = { 3 } f)
L=⺡
b) 21 – 1 (25 – 3x) = 3(2 + 0,2x)
5
d)
(
x+ 1
3
( x – 21 )(
)(
)
x – 1 = x2 + 4x – 2
3
3
L={ }
L = {4}
L=⺡
L={ }
L= 5
36
L=⺡
)
1 x + 3 = 1 (2x2 – 11x) – 1,5
4
2
4. Zahlenrätsel. Stelle eine Gleichung auf und berechne die gesuchte Zahl.
Das Produkt aus der Zahl und deren Nachfolger ist um 38 größer als das Quadrat des
Vorgängers der Zahl.
16
{ }
L={ }
L = {0}
L=⺡
3. Kreuze die richtige Lösung an.
Anwendungsaufgaben von Gleichungen
„Bedienungsanleitung“ zum Lösen von Sachaufgaben
Die folgenden Schritte erleichtern dir das Lösen von Sachaufgaben
mithilfe von Gleichungen:
ht
Beispiel:
Mario hat einen Bruder und eine Schwester. Sein Bruder ist 5 Jahre älter
als er selbst und seine Schwester ist halb so alt wie sein Bruder.
Zusammen sind er und seine Geschwister 25 Jahre alt. Wie alt ist Mario?
1 Variable festlegen:
A
ns
ic
x entspricht dem Alter von Mario.
2 Übersetzen des Textes in Terme:
Alter von Mario:
x
Alter des Bruders:
x+5
Alter der Schwester: 1 (x + 5)
2
x + (x + 5) + 1 (x + 5) = 25
| Æ Klammern auflösen
2
x + x + 5 + 1 x + 2,5 = 25
| Æ zusammenfassen
2
2 1 x + 7,5 = 25
| – 7,5
2
2 1 x = 17,5 | : 2 1
2
2
te
M
us
rz
4 Gleichung lösen:
Die Summe der Altersangaben ergibt 25.
x + (x + 5) + 1 (x + 5) = 25
2
ur
3 Aufstellen der Gleichung:
x=7
5 Lösung mithilfe der Probe überprüfen:
7 + (7 + 5) + 1 (7 + 5) = 25
2
7 + 12 + 1 · 12 = 25
2
7 + 12 + 6 = 25
25 = 25
wahre Aussage
6 Überprüfen, ob die Lösung Sinn ergibt:
Mario ist 7 Jahre alt. Sein Bruder ist 12 Jahre und seine Schwester
ist 6 Jahre alt. Gemeinsam ergibt das 25 Jahre.
7 Antwortsatz formulieren: Mario ist 7 Jahre alt.
17
1. Zahlenrätsel
a) Addiere 5 zu einer Zahl und multipliziere das Ergebnis mit der Zahl 8. Dasselbe Ergebnis
erhältst du auch, wenn du die Zahl verdoppelst und dann 64 addierst.
b) Vermehrt man die Hälfte einer Zahl um 8, so erhält man das Dreifache ihres Nachfolgers.
2. Altersrätsel
ht
a) Armin ist heute 5 Jahre älter als Sophie. Vor 8 Jahren war er doppelt so alt wie Sophie.
3. Aufgaben aus der Geometrie
A
ns
ic
b) Max und Martin sind zusammen 20 Jahre alt. Vor 4 Jahren war Max noch doppelt so alt wie
Martin.
a) Das rechteckige Grundstück von Familie Schmidt hat einen Umfang
von 124 m. Dabei ist die eine Seite des Grundstücks 22 m länger
als die andere Seite.
4. Bewegungsaufgaben
ur
b) Von einem gleichschenkligen Dreieck ist der Umfang von
35 cm bekannt. Außerdem ist jeder Schenkel dreimal so lang
wie die Basis.
M
us
te
b) Zwei Flugzeuge starten zum gleichen Zeitpunkt von zwei verschiedenen
Flughäfen aus in entgegengesetzte Richtung. Die Flughäfen liegen 2 400 km
auseinander. Flugzeug 1 fliegt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von
850 km/h. Flugzeug 2 fliegt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 950 km/h.
Nach welcher Zeit treffen sich die beiden Flugzeuge?
5. Verteilungsaufgabe
Marc, Sebastian und Romero bilden eine Lotto-Tippgemeinschaft. Dabei zahlt Marc doppelt so
viel wie Sebastian und Sebastian dreimal so viel wie Romero ein. Als sie 11 286 € gewinnen,
soll der Gewinn gerecht aufgeteilt werden. Wie groß ist der jeweilige Anteil?
6. Mischungsaufgaben
Aus den beiden Kaffeesorten „Arabica“ und „Robusta“ soll die Kaffeemischung „Delicio“ hergestellt werden. Dabei kostet ein Kilogramm der Sorte „Arabica“ 7,50 € und ein Kilogramm der
Sorte „Robusta“ 4,10 €. Die Mischung „Delicio“ soll pro Kilogramm 4,61 € kosten.
Wie viel Kilogramm von jeder Sorte werden für 10 kg „Delicio“ benötigt?
18
rz
a) In Frankfurt fährt um 15.00 Uhr ein Zug in Richtung München mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h ab. Eine Stunde danach verlässt ein ICE den Frankfurter
Hauptbahnhof ebenfalls Richtung München. Der ICE hat eine Durchschnittsgeschwindigkeit
von 140 km/h. Um wie viel Uhr hat er den ersten Zug eingeholt?
1. Zahlenrätsel
a) Zeige rechnerisch, dass folgende Behauptung gilt:
Die Differenz der Quadrate zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist gleich der
Summe dieser Zahlen. (Beispiel: 52 – 42 = 5 + 4)
b) Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen beträgt 366. Wie lauten die drei Zahlen?
ht
2. Altersrätsel
3. Aufgaben aus der Geometrie
A
ns
ic
Martins Vater ist heute dreimal so alt wie Martin. Vor 5 Jahren war er noch fünfmal so alt.
Wie alt ist Martin?
a) In einem Dreieck ist der Winkel ȕ bekannt. Er ist 20° groß. Von den anderen beiden Winkeln
weiß man, dass deren Differenz viermal so groß wie der Winkel ȕ ist. Bestimme die Winkel Į
und Ȗ.
4. Bewegungsaufgaben
ur
b) Verlängert man die Kanten eines Würfels um 3 cm, so erhöht sich dessen Oberfläche um
342 cm2. Berechne die Kantenlänge des Würfels.
te
5. Mischungsaufgaben
a) Sophie möchte sich einen großen Kakao (500 ml) zubereiten. Leider findet sie im Kühlschrank nur noch 200 ml Milch mit einem Fettgehalt von 3,5 % und 300 ml Milch mit einem
Fettgehalt von 0,3%. Wie groß ist der Fettgehalt der Mischung?
M
us
rz
Marvin und Tristan wollen ein Fahrradrennen machen. Weil sich Marvin
heute sehr fit fühlt, gibt er Tristan einen Vorsprung von zwölf Minuten.
Tristan fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 20 km/h.
Marvin erreicht eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 25 km/h.
Nach welcher Zeit hat Marvin Tristan eingeholt?
Wie weit sind sie bis dahin gefahren?
b) Welche Menge (ml) 92%-igen Alkohols wird benötigt, um mit 200 ml 30%-igem Alkohol eine
Mischung mit 42 % Alkohol herzustellen?
6. Sachaufgabe
Auf dem Bauernhof von Jans Eltern leben viele Hühner und Kaninchen.
Es sind zusammen 18 Tiere mit insgesamt 50 Füßen.
Wie viele Hühner und wie viele Kaninchen leben auf dem Bauernhof?
19
Die binomischen Formeln
Die erste binomische Formel
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
ht
Beispiel:
(2x + y) · (2x + y) = (2x + y)2 = (2x)2 + 2 · 2x · y + y2 = 4x2 + 4xy + y2
A
ns
ic
Du kannst auch eine Summe in ein Produkt umwandeln:
36x2 + 60x + 25 = (6x)2 + 2 · 6x · 5 + (5)2 = (6x + 5)2 = (6x + 5) · (6x + 5)
Berechnen von Quadratzahlen:
932 = (90 + 3)2 = 902 + 2 · 90 · 3 + 32 = 8 100 + 540 + 9 = 8 649
Die zweite binomische Formel
(a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2
ur
Beispiel:
(2x – y) · (2x – y) = (2x – y)2 = (2x)2 – 2 · 2x · y + y2 = 4x2 – 4xy + y2
M
us
te
Berechnen von Quadratzahlen:
582 = (60 – 2)2 = 602 – 2 · 60 · 2 + 22 = 3 600 – 240 + 4 = 3 364
Die dritte binomische Formel
(a – b) · (a + b) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
Beispiel:
(2x + y) · (2x – y) = (2x)2 – (y)2 = 4x2 – y2
36x2 – 25 = (6x)2 – (5)2 = (6x + 5) · (6x – 5)
Berechnen von speziellen Produkten:
44 · 36 = (40 + 4) · (40 – 4) = 402 – 42 = 1 600 – 16 = 1 584
20
rz
36x2 – 60x + 25 = (6x)2 – 2 · 6x · 5 + (5)2 = (6x – 5)2 = (6x – 5) · (6x – 5)
x2 – 10x + 25
x2 – 6xy + 9y2
x4 – 25y2
x2 – 9y2
(x – 5)2
(x2 – 5y) · (x2 + 5y)
(x – 3y) · (3y + x)
(3x + 2y)2
9x2 + 12xy + 4y2
(x – 3y)2
2. Wo wurden die binomischen Formeln korrekt angewendet? Kreuze an.

b) (2x – 4y) · (2x + 4y) = 4x2 – 16y2

c) (2a – 3b)2 = 4a2 – 12ab + 9b2

d) (5u + 3v)2 = 25u2 +15uv + 9v2

A
ns
ic
ht
a) (x + 3y)2 = x2 + 6xy + 6y2
3. Schreibe als Term ohne Klammern. (Wende die binomischen Formeln an.)
a) (a + b) · (a – b)
b) (p + q)2
c) (9 – z)2
d) (u + 2v) · (u – 2v)
e) (13 + k)2
f) (s – 3t)2
g) (11x + 4y) · (11x – 4y)
h) (2x – y)2
i) (st + 2z)2
4. Schreibe als Produkt. (Wende die binomischen Formeln „rückwärts“ an.)
b) s2 + 2st + t2
e) 25 – 10b + b2
f) a2 + 12a + 36
– 5y)2 = 9x2 –
)2 =
+
+x+1
te
c) (0,5x +
d) 25a2 – 81b2
g) 0,25a2 – 225b2
h) a2s2 – 2ast +t2
b) (
+ 3) · (
d) 16 x2 –
144
) = x2 –
–
=
(
)(
– 1 ·
5
+ 1
5
)
6. Wo wurden hier Fehler gemacht? Markiere und verbessere die Fehler.
a) x2 + t2 = (x + t) · (x – t)
b) (3x + y)2 = 6x2 +6xy + y2
c) (4a + b) · (4a – b) = 8a2 – b2
d) (0,9s – xt)2 = 8,1s2 – 1,8stx + x2t2
M
us
rz
5. Fülle die Lücken.
a) (
c) 9x2 – 6xy + y2
ur
a) u2 – v2
7. Berechne folgende Produkte bzw. Quadratzahlen mithilfe der binomischen Formeln.
a) 36 · 44 = _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) 372 = _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
c) 1052 = _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
21
1. Wo wurden die binomischen Formeln korrekt angewendet? Kreuze an.
a) (s + t)2 = s2 +2st + t2

b) 4x2 – 49y2 = (2x + 7y) · (2x – 7y)
c) (1,5a – 3b)2 = 2,25a2 + 9b2 – 6ab

d) (s2t + 4 x2) · (s2t – 4 x2) = s4t2 – 16 x2
15
15
225
2
f) 1 a2 + 6x = 2 a4 + 4a2x + 36x2

9
3
e)
( 37 a – 32 x )
2
(
= 9 a2 – 4 ax + 4 x2
7
49
9

)
ht
2. Schreibe als Term ohne Klammern. (Wende die binomischen Formeln an.)
a) (5 + y)2
b) (2s – t) · (2s + t)
c) (2,5x – y)2
d) (1,7u + v) · (1,7u – v)
e) (–7 – k)2
f)
j)
(
2 x – 10y
5
(1,3a
3
)
(
2
) (
h) 1,2a + 2 b · 1,2a – 2 b
5
5
) (
+ 1 4 b2 · 1,3a3 – 1 4 b2
5
5
)
2
A
ns
ic
g)
( )
( 34 a + 52 b)
1s + t
7
)
i)
2
k) (0,5xz + 0,3yz)2
3. Schreibe als Produkt. (Wende die binomischen Formeln „rückwärts“ an.)
b) 169 – t2
c) 4a2 + 12ab + 9b2
d) 9a2 – 54ab + 81b2
e) 16 s2 – 1 3 s + 1
25
5
f) 1 7 – 4 v2
9
25
h) x2s4 + xs2t + 0,25t2
i) 4x2s4 – 2xs2t + 1 t2
4
4. Fülle die Lücken.
c) (
)(
– 3y) =
–
te
a) (2x +
rz
g) 16 a2 + 1 1 ab + 4 b2
25
15
9
+
)2 = 4x2 +
+ 1,21
b) (0,3x –
)2 =
d) 1 24 a4b2 –
25
–
=(
+ 0,04
+ 2,1) (
– 2,1)
M
us
5. Wo wurden hier Fehler gemacht? Markiere und verbessere die Fehler.
a) (x + t)2 = x2 + 2xt – t2
b) (3x – 4y) · (3x + 4y) = 9x2 – 16y
c) (25 – y)2 = 625 – 50y + 25y2
d)
(
e) 2 1 u + 3 2 v
7
5
) = 4 2949 u + 14 74 uv + 10 1425 v
2
2
2
f)
( 34 x – y ) = 169 x – 94 xy + y
( 32 x + 51 y ) · ( 32 x – 51 y ) = 94 x – 0,05y
2
2
2
2
2
6. Berechne folgende Produkte bzw. Quadratzahlen mithilfe der binomischen Formeln.
a) 13 · 7 = ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) 932 = ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
22
ur
a) x2 + 2xy + y2
Gleichungen mit Klammern und binomischen Formeln
Lösen von linearen Gleichungen mit binomischen Formeln
(x + 3)2 = (x – 5)2
1 Binome auflösen:
| Binome auflösen
2 Quadratische Summanden subtrahieren:
| – x2
| + 10x
|–9
| : 16
A
ns
ic
ht
x2 + 6x + 9 = x2 – 10x + 25
3 Mithilfe von Äquivalenzum6x + 9 = –10x + 25
formungen lösen:
16x + 9 = 25
16x = 16
x=1
L = {1}
Spezielle Gleichungen mit Produkten aus Summen
oder Differenzen
ur
Manchmal ist es einfacher, eine Gleichung aus Produkten von Summen
oder Differenzen zu lösen, wenn man die Klammern nicht auflöst.
(x + 5) (x – 3) = 0
Beispiel:
rz
Du weißt: Wenn ein Produkt den Wert null hat, ist mindestens ein Faktor
null. Bei unserem Beispiel bedeutet das also:
(x – 3) = 0
te
oder
Wir bekommen also zwei Gleichungen, die sehr leicht zu lösen sind:
M
us
(x + 5) = 0
x+5=0 |–5
x = –5
oder
x–3=0 |+3
x=3
Wir erhalten also die Lösungsmenge L = { –5; 3 } weil beide Lösungen die
Gleichung erfüllen:
Probe:
x = –5
x=3
(–5 + 5) (–5 – 3) = 0
(3 + 5) (3 – 3) = 0
0 · (–8) = 0
8·0=0
0=0
0=0
wahre Aussage
wahre Aussage
23
1. Wiederholung: Bestimme die Lösungsmenge.
a) 7(x + 3) = 56
b) 3(x – 7) = 18
c) 11(x + 6) – 3x = 234
d) 5(x – 13) + 4x = 448
e) 8(x – 13) – 51 = –115
f) –2(x – 3) + 11 = 23
g) –5(13 + x) + 3x = –7
h) 2,5(3 +x) – x = 18
i) 7,5(x + 5) + 3x = –78
j) 3(5 + 4x) + 2x = 225
k) –7(3x + 1) + 99 = –97
l) 6(2x + 3,5) + 5x = –115
ht
2. Multipliziere aus und gib die Lösungsmenge an.
b) 3(x – 3) – 2(x + 5) = –21
c) –3(x – 5) + 5(x + 7) + 22 = 82
d) 9(11 + x) – 5(x + 2) – 11 = 86
e) 2(2x – 4) + 12(4x – 10) + 21 = 413
g) 65 + 5(3 – x) = 7(2x + 6)
A
ns
ic
a) 2(x + 7) + 3(x – 2) = 33
f) –6(5 + 3x) + (2x – 1) – 4x = –111
h) –2(4x + 11) = –3(5x – 3) + 18
i) 5(4x – 3) + 15x = –2(x + 7) + 332
j) –5x – (5x – 13) = 3(2x + 45) – 154
3. Multipliziere die Klammern aus und gib die Lösungsmenge an.
a) (x + 7) · (x – 3) = 6(x – 3) +x2 – 13
d) (3x – 2) · (4x + 3) = (2x + 6) · (6x + 5) + 9
ur
c) (x + 3) · (x – 3) = (x – 7)2 – 2
b) (x – 5) · (x + 4) + 27 = (x + 1) · (x – 11)
4. Wende die binomischen Formeln an und löse die Gleichungen.
b) (x + 5)2 = (x + 5) · (x – 5)
d) (x – 6) · (x + 6) = (x + 8) · (x – 8) + 2x
e) (x + 1)2 = (x – 1)2
f) (2x + 5)2 + 5x2 = (3x – 3)2 – 22
te
c) (x + 9)2 = (x – 11)2
M
us
5. Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungen. (Tipp: Manchmal muss man die
Klammern nicht auflösen.)
a) (x – 5) · (x + 3) = 0
b) (x + 8) · (x + 3) = 0
c) (5 – x) · (x – 2) = 0
d) (10 – x) · (2 + x) = 0
e) (x + 15)2 = 0
f) (x – 4)2 = 0
g) (7 – x)2 = 0
h) (5 + x)2 = 0
6. Wende die binomischen Formeln „rückwärts“ an und bestimme die Lösungsmenge.
a) x2 – 25 = 0
b) x2 – 36 = 0
c) x2 – 169 = 0
d) x2 + 8x + 16 = 0
e) x2 + 22x + 121 = 0
f) x2 – 28x + 196 = 0
g) x2 – 12x = –36
h) 3x2 – 27 = 0
i) 5x2 + 125 = 50x
24
rz
a) (x – 7)2 = (x – 9)2
1. Wiederholung: Bestimme die Lösungsmenge.
a) 3(2x – 12) – 5x = 48
b) –5(x – 3) – 50 = 0
c) –9(3x + 17) + 51 = –237
d) 2,7(6 + 4x) – 10x = 11,4
e) (15 + 3x) · 1,2 + 1,4x = 88
f) 3 1 (4x + 12) + 3x = 101,5
2
(
(
)
g) 2 7 1 + 10x – 4x = 3
5 2
)
h) 5 1 x – 5 · 3 5 = –118 5
6
6
5
(
(
ht
2. Multipliziere aus und gib die Lösungsmenge an.
a) –5(3x + 5) – 3(–4x – 2) = –20,5
)
i) 2,75 4 x – 3,125 – x = 47 13
32
3
b) 11(–x – 1) + 2(3x + 5) = 19
)
d) 2 (18 + 4,5x) – 3(x + 2) = –6 2
9
5
A
ns
ic
c) –3 1 (15x – 17) + 123,6 = 3 2 x + 6 – 190
5
3
3. Multipliziere die Klammern aus und gib die Lösungsmenge an.
a) (x – 3) · (x + 4) – 53 = 2(3x – 5) + x2
c) 2(2 – 4x) · (x + 2) = –8(x – 5)2 + 116
b) (x – 2) · (x – 4) + 10x = (x – 7) · (x + 13) + 115
d)
( 31 x – 3 ) · (9x + 1) = (3x – 12) · (x + 12) – 315
4. Wende die binomischen Formeln an und löse die Gleichungen.
b) (x – 10)2 = (x + 7) · (x – 7) – 11
ur
a) (x + 5)2 = (x + 8)2 – 57
d) ( x – 2 ) · ( x + 2 ) = ( x + 2 ) · ( x – 2 ) + 64
( ) ( )
225
5
5
3
3
e) ( x + 3 ) + (2x – 2) = 5 · (x + 3) · (x – 3) + 117 9
f) (4x + 5) = (2x – 3) +12x
25
5
x+ 1
2
2
= x– 3
4
2
2
rz
c)
2
2
2
2
te
a) (x – 2) · (x + 9) = 0
M
us
5. Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungen. (Tipp: Manchmal muss man die
Klammern nicht auflösen.)
( x + 158 ) · ( x + 37 ) = 0
d) ( x – 6 1 ) = 0
3
b)
2
c) (x + 2,25)2 = 0
6. Wende die binomischen Formeln „rückwärts“ an und bestimme die Lösungsmenge.
a) x2 – 225 = 0
b) x2 – 4,41 = 0
d) x2 + 3,4x + 2,89 = 0
e) 2x2 – 0,8x + 0,08 = 0
c) x2 + 24x + 144 = 0
7. Zeige rechnerisch, dass folgende Behauptung gilt:
Die Summe der Quadrate von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen (n und n + 1) ist
um 1 größer als das doppelte Produkt dieser Zahlen.
25
Lösungen: Einfache Gleichungen
1.
a) 5 kg = x + 2
Þ
x = 3 kg
b) 6 kg = 2x
Þ
x = 3 kg
a) x = 14
b) x = –8
c) x = 38
d) x = 9
e) x = 3
f) x = –28
g) x = –18
h) x = 57
i) x = –9
j) x = 7
k) x = –15
l) x = 7
m) x = 6
n) x = 20
o) x = –45
p) x = 77
q) x = –40
r) x = 35
a) x = 15
b) x = 7
c) x = –5
d) x = 3
e) x = –8
f) x = –6
g) x = –15
h) x = –5
i) x = –11
4.
b) L = { 6 }
d) L = { 2 }
e) L = { 7 }
f) L = { 3 }
g) L = { 7 }
h) L = { 1 }
i) L = { –2 }
j) L = { 32 }
k) L = { 1,5 }
l) L = { –3,6 }
rz
b) L = { 120 }
c) L = { 1,5 }
M
us
te
a) L = { –12 }
c) L = { –3 }
ur
a) L = { 9 }
5.
A
ns
3.
ic
ht
2.
Lösungen: Einfache Gleichungen
1.
a) x + 7 kg = 2x + 2 kg
Þ
x = 5 kg
b) 6 kg = 2x + 2 kg
Þ
x = 2 kg
a) x = 8
b) x = –13
c) x = 16
d) x = 3
e) x = 8,75
f) x = –29,75
g) x = –6
h) x = 14
i) x = –9
j) x = 8
k) x = –56
l) x = 15
m) x = –21
p) x = 5
9
n) x = 1,2
o) x = –4
q) x = –9
r) x = 23
a) x = 8
b) x = 6
c) x = –9
d) x = –56
e) x = 72
f) x = 45
g) x = –40
h) x = –15
i) x = –8
A
4.
ns
3.
a) L = { –12 }
b) L = { –9 }
d) L = { 1,5 }
e) L = { 17,25 }
g) L = { 35 }
h) L = 7 3
25
k) L = 13
20
i) L = { –1 }
b) L = { 1 }
c) L = { –16 }
c) L = { –2,9 }
{ }
f) L = 1 17
20
ur
{ }
l) L = 8 1
3
M
us
a) L = { 25 }
rz
5.
{ }
{ }
te
j) L = { 6 }
ic
ht
2.
Lösungen: Einfache Klammerterme
1.
A=a·d
3
u = 2e + 2a
1
A=b·c
2
u = 2a + 2d
3
1+2+3
A = a · (d + e)
u = 2(a + b) + 2c
1+3
1+2+3
u = 2a + 2(d + e)
1+3
2.
0,5x(6 + 8)
7x
4x + 4y
10x2 + 7x
5x + 15
ur
3.
(5x + 3) · 2x
A
10x2 + 6x
4(x + y)
b) 2x + 3
c) 8x + 22
d) 2x – 30
e) 11x + 41
f) –7x + 5,5
rz
a) 5x – 4
2
h) –8x + 2x
g) –x + 19
4.
8
–2,5
te
·
Dividend
3x
2
8x – 16
–2,5x + 5
3x – 6x
:
x + 24
1,6 – x
2x2 + 4x
8x + 6
64x + 48
–20x – 15
24x2 + 18x
2
1 x + 12
2
0,8 – 1 x
2
x2 + 2x
5 – 4x
40 – 32x
–12,5 + 10x 15x – 12x2
–8
– 1x – 3
8
–0,2 + 1 x – 1 x2 – 1 x
8
4
2
x + 10y
8x + 80y
–2,5x – 25y 3x2 + 30xy
0,5
2x + 48
us
x–2
M
1 x(40x + 28)
4
3x + 4x
ns
5(x + 3)
ic
ht
A = (a + b) · c
3,2 – 2x
4x2 + 8x
5.
a) –9x + 2
b) 4a – 9b
c) 1 – 24x + 8x2
d) 21x2 + 13x – 94
e) –2,5x + 10
f) 51x – 114
Lösungen: Einfache Klammerterme
1.
u = 2d + 2a
1
3
A = h · (a + b)
1+2+3
u = 2f + 2c
A = (g + f) · b
2
u = 2(g + f) + 2b
A = h · (m – a)
2+4+5
u = 2(a + e)
1+2+3+4+5
1 x(5x + 14)
4
( 72 x + 97 ) · 72 x
A
5 x2 + 3 1 x
4
2
x2 + 2 31 x
100
ur
x2 + 2 13 x
18
)
3.
b) 2 x + 12,7
5
e) 1 x2 – 3x
14
d) –2 2 x – 1 1
5
14
4.
5 (x + 12)
4
4(1,5x + 7,25)
c) –16 – 7x
f) –2 2 x – 1
3
2
–1,125
5x
8
3x
8
– 9 x
16
5 x2
16
:
6x + 24
1,2 – x
x2 + 4 x
7
16x + 2
3
12x + 1
2
–18x – 3
4
10x2 + 5 x
12
3
2x + 8
0,4 – 1 x
3
1 x2 + 4 x
21
3
7 – 2x
5 1 – 1 1x
4
2
77 +21x
4
8
4 3 x – 1 1 x2
4
8
–0,5
–12x – 48
–2,4 + 2x
–2x2 – 1 1 x
7
–x + 5
6
5 – 3x
4
8
1 1 x – 15
8
16
– 5 x2 + 25 x
8
48
3
4
8x + 32
te
3
4
rz
a) 3x + 40
1+2+3+4+5
ns
(
2,1x 10 x + 1,1
21
1,25x + 15
1
u = 2 · (a + b + c + h)
2.
6x + 29
2
ic
ht
A = (e + d) · (a + b + c)
4
·
M
us
1x
2
Dividend
1 3 – 1 1 x 1 1 x2 + 16 x
21
5
3
3
5.
a) 0,7x + 12
b) 8,1a – 13b
c) 72x2 – 2x – 1
30
d) 2 1 x2 – 1 x – 2
2
8
A=a·e
Lösungen: Produkte von Summen
1.
A = (c + d) · (e + f)
A = c · (b – e)
1+2+3+4
1
A = (e + f) · d
A = (b – f) · (a – d)
3
A = (c + d) · f
A=a·f–c·f
1+2
2
A=b·c–f·c
4
3
ns
A = (a – c) · e
2.
b) ce – cf + de – df
c) as + at – bs – bt
d) ac – ad – bc + bd
e) 6 + 2y + 3x + xy
f) 40 + 5y – 8x – xy
g) 5a – ab + 20 – 4b
h) 49 + 7y + 7x + xy
i) –10 – 5b + 2a +ab
j) st + 4s – 3t – 12
m) –6y – 3 + 4xy + 2x
n) 8a + 8ab – 6b – 6b2 o) 35bc + 56cd – 15ab – 24ad
ur
k) 15ab – 6a + 20b – 8 l) 2xy – 6x – 5y +15
2x2 + 5xy + 2y2
3y – 4x + xy – 12
(3x – 4) (2 – 2x)
x + y + xy + 1
x2 – 1
(3 + x) (4 + y)
(x + 1) (1 + y)
te
–6x2 + 14x – 8
(x + 3) (y – 4)
us
(x + 1) (x – 1)
4.
p) m2 – n2
12 + 3y + 4x + xy
rz
(2x + y) (x + 2y)
A
a) ax + ay + bx + by
3.
a) x + y + 1 – xy
b) 2xy – 2x – 2y – 4
c) 2xy + 6x – 5y
d) 4y – 6xy – 5x + 7
e) x2 + 13x – 50
f) 5 – 0,5x – 2x2
h) 0,5xy + 10x – 6x2 + 2,5y
i) 17 + 1 x2y – xy2 – x + 3y
3
M
ic
ht
2+4
g) 6y2 + 1,5xy + 3x – 8y
5.
·
x–5
2–x
x + 2y
0,5y – 0,5x
x–y
x2 – 5x – xy + 5y
2x – x2 – 2y + xy
x2 + xy – 2y2
xy + 0,5x2 – 0,5y2
2x + 6
2x2 – 4x – 30
–2x2 – 2x + 12
2x2 + 4xy + 6x + 12y
xy – x2 + 3y – 3x
Lösungen: Produkte von Summen
1.
A = a · (e + f)
A = (a – c) · f
1+2+3+4
2
A = (e + f) · (a – c)
A = f · (a – d)
1
A=c·f+d·f
A=a·f–d·f
1+2
1
A=a·e–c·e
ic
ht
2+4
A=b·c–f·c
3
ns
4
b) 3ex – 6fx + 5ey – 10fy
d) ac – 2a + 3c – 6
e) 18+ 9y – 8b – 4by
f) 16x2 + 11,8xy – 3y2
g) 1 a – 1 ab + 2 4 – 7b
2
5
5
j) –8 1 xt – 13,2x – 5 t – 1
4
8
h) 28 + 4 y + 15x + 1 xy
7
15
k) 3 53 b – 2 5 – 1 1 b2
72
8
9
i) 11 x + bx – 1 5 a – 2 1 ab
13
6
6
l) 1 x2 – 9 y2
25
16
ur
rz
3.
( 21 x + y ) ( 21 x – y )
te
us
M
d) 6y – 3x – 12xy + 1,5
1 x2 – y2
4
(x – 4) (5 – 2x)
x2y – 3x2 + 6xy – 18x + 5y – 15
a) 1 x + 1 y + 1
2
2
4
( 32 x + y ) ( 6x – 41 )
4x2 – 1 x + 6xy – 1 y
4
6
13x – 2x2 – 20
4.
c) 30y – 45 – 12xy + 18x
A
a) 12a + 24ay + 12y + 6
(x + 5) (y – 3) (x + 1)
b) 3,5xy + 2 x + 2y + 4
5
5
e) 6x2 + 48 5 x – 12
6
c) 0,5xy + 2,5x – y + 2,5
f) 28,8 + 36x + 7,2x2
5.
·
x– 5
6
2,2 – x
2
1
5
4x – y 4x – 3 x – xy + y 8,8x – 4x2 – 2,2y + xy
3
6
x+4
x2 – 3 1 x – 3 1
6
3
–x2 – 1,8x + 8,8
3 x + 2y
4
2 1 y – 4,5x
2
3x2 + 7 1 xy – 2y2
4
14,5xy – 18x2 – 2 1 y2
2
3 x2 + 2xy + 8y + 3x –4,5x2 + 2 1 xy + 10y – 18x
4
2
2.
Lösungen: Gleichungen mit Klammern
1.
a) 168 = 12 · (x + 2)
Æ x = 12 cm
b) 12 = 6 · (x – 2)
Æ x = 4 cm
c) 50 = 2 · (4x + 1) + 2 · 14
Æ x = 2,5 cm
d) 36 = (x – 5) · 3
Æ x = 17 cm
2.
b) L = { 4 }
c) L = { 4 }
d) L = { 9 }
e) L = { –22 }
f) L = { 2,25 }
g) L = { –1,2 }
h) L = { –5 }
i) L = { –4 }
j) L = { –8; 8 }
k) L = { 4 }
l) L = { 2 }
m) L = { 1 }
n) L = { 8 }
o) L = { –5 }
ur
3.
A
q) L =
r) L = { –1 }
a) 4 L = Q
b) 4 L = { }
d) 4 L = { 0 }
rz
c) 4 L = { –2 }
4.
Æ x=5
M
us
te
Gleichung: 10x – 5(x + 3) = 10
ns
{ 31 }
s) L = { –2 2 }
3
p) L = { –9 }
ic
ht
a) L = { 8 }
Lösungen: Gleichungen mit Klammern
1.
a) 14 = 1 3 · (x + 5)
4
b) 9,8 = 2 · 3 x + 2
5
10
Æ x=3m
Æ x = 75 m
Æ x = 120 m
Æ x=8m
2.
b) L = { 3 }
c) L = { –4 }
d) L = { 31,5 }
e) L = { –6 }
f) L = { –1,6 }
g) L =
{ 94 }
h) L =
{ 21 }
3.
a) 4 L = Q
b) 4 L = { }
c) 4 L = { –66 }
d) 4 L =
e) 4 L = { }
f) 4 L = { 0 }
ur
A
{ 365 }
ns
a) L = { 4 }
ic
ht
(
)
c) 90 = 27 · ( 30 – 2 x )
9
d) 10,5 = 10 · ( 3 x – 3 3 )
5
4
4.
Æ x = 13
M
us
te
rz
Gleichung: x · (x + 1) – 38 = (x – 1)2
Lösungen: Anwendungsaufgaben von Gleichungen
1.
a) Gleichung: (x + 5) · 8 = 2x + 64
Æ
x=4
Æ
x=2
Die Zahl lautet 4.
b) Gleichung: 1 x + 8 = 3(x + 1)
2
Die Zahl lautet 2.
a) x entspricht dem heutigen Alter von Sophie.
Æ
Gleichung: (x + 5 – 8) = 2(x – 8)
ic
ht
2.
x = 13
Sophie ist 13 Jahre alt.
b) x entspricht dem Alter von Max.
Æ
Max ist 12 Jahre alt.
A
3.
x = 12
ns
Gleichung: (x – 4) = 2 · (20 – x – 4)
a) x entspricht der Länge der kürzeren Seite in Metern.
Æ
x = 20
Gleichung: 2x + 2 (x + 22) = 124
ur
Die kürzere Seite ist 20 m lang.
b) x entspricht der Länge der Basis in Zentimetern.
Æ
x=5
rz
Gleichung: 2 · 3x + x = 35
Die Basis ist 5 cm lang.
te
a) x entspricht der Fahrzeit in Stunden.
Gleichung: 80x = 140(x – 1)
Æ
x=21
3
us
Die Züge „treffen“ sich um 17.20 Uhr.
b) x entspricht der Flugzeit in Stunden.
Gleichung: 850x = 2 400 – 950x
x=11
3
Die Flugzeuge treffen sich nach 1 Stunde und 20 Minuten.
Æ
M
4.
5.
x entspricht Romeros Gewinnanteil.
Gleichung: x + 3x + 6x = 11 286
Æ
x = 1 128,6
Romero bekommt 1 128,60 €; Sebastian bekommt 3 385,80 €; Marc bekommt 6 771,60 €.
6.
x entspricht der Menge Arabica in Kilogramm.
Æ
Gleichung: 7,5x + 4,1(10 – x) = 4,61 · 10
x = 1,5
Die benötigten Mengen betragen: Arabica: 1,5 kg und Robusta: 8,5 kg.
Lösungen: Anwendungsaufgaben von Gleichungen
1.
a) x entspricht der gesuchten Zahl.
Gleichung: (x + 1)2 – x2 = (x + 1) + x
Æ 2x + 1 = 2x +1
b) x entspricht der kleinsten gesuchten Zahl.
Gleichung: x + (x + 1) + (x + 2) = 366
Æ x = 121
2.
x entspricht dem aktuellen Alter von Martin.
Gleichung: 3x – 5 = 5(x – 5)
Æ x = 10
Martin ist heute 10 Jahre alt.
ns
3.
ic
ht
Die gesuchten Zahlen lauten 121, 122, 123.
A
a) x entspricht dem kleineren Winkel.
Gleichung: x + (x + 80) + 20 = 180
Æ x = 40
Der kleinere der beiden gesuchten Winkel ist 40°, der größere 120° groß.
b) x entspricht der ursprünglichen Kantenlänge des Würfels.
Æ x=8
Gleichung: 6(x + 3)2 = 6x2 + 342
ur
Die Kantenlänge des Würfels betrug 8 cm.
4.
rz
x entspricht der Fahrzeit in Stunden.
Gleichung: 20x = 25(x – 0,2)
Æ x=1
5.
us
a) x entspricht dem Fettanteil der Mischung in Prozent.
Gleichung: 200 · 3,5 + 300 · 0,3 = 500 · x
Æ x = 1,58
Der Fettgehalt der Mischung beträgt 1,58 %.
M
b) x entspricht der Menge 92%-igen Alkohols in ml.
Gleichung: 200 · 30 + x · 92 = (200 + x) · 42
Æ x = 48
Es werden 48 ml von dem 92%-igen Alkohol benötigt.
6.
x entspricht der Anzahl Kaninchen.
Gleichung: 4x + (18 – x) · 2 = 50
Æ x=7
Es leben 7 Kaninchen und 11 Hühner auf dem Bauernhof.
te
Marvin hat Tristan nach genau einer Stunde eingeholt. Sie sind bis dahin 20 km gefahren.
Lösungen: Die binomischen Formeln
1.
x2 – 10x + 25
x4 – 25y2
x2 – 6xy + 9y2
x2 – 9y2
(x2 – 5y) · (x2 + 5y)
(x – 3y) · (x + 3y)
(x – 5)2
(3x + 2y)2
9x2 + 12xy + 4y2
(x – 3y)2
2.
ic
ht
b) 4
c) 4
3.
b) p2 + 2pq + q2
c) 81 – 18z + z2
d) u2 – 4v2
e) 169 + 26 k + k2
f) s2 – 6st + 9t2
g) 121x2 – 16y2
h) 4x2 – 4xy + y2
i) s2t2 + 4stz + 4z2
ns
a) a2 – b2
4.
b) (s + t)2
c)
e) (5 – b)2
f) (a + 6)2
g)
(3x – y)2
d) (5a + 9b) (5a – 9b)
A
a) (u + v) (u – v)
(0,5a + 15b) (0,5a – 15b)
h) (as – t)2
a) (3x – 5y)2 = 9x2 – 30xy + 25y2
rz
c) (0,5x + 1)2 = 0,25x2 + x + 1
6.
b) (x + 3) · (x – 3) = x2 – 9
(
) (
d) 16 x2 – 1 = 4 x – 1 · 4 x + 1
25
144
5
5
12
12
b) (3x + y)2 = 9x2 +6xy + y2
c) (4a + b) · (4a – b) = 16a2 – b2
d) (0,9s – xt)2 = 0,81s2 – 1,8stx + x2t2
te
a) x2 – t2 = (x + t) · (x – t)
us
7.
a) 36 · 44 = (40 + 4) · (40 – 4) = 1 600 – 16 = 1 584
b) 372 = (40 – 3)2 = 1 600 – 2 · 40 · 3 + 9 = 1 600 – 240 + 9 = 1 369
c) 1052 = (100 + 5)2 = 10 000 + 2 · 100 · 5 + 25 = 10 000 + 1 000 + 25 = 11 025
M
ur
5.
)
Lösungen: Die binomischen Formeln
1.
a) 4
b) 4
e) 4
2.
a) 25 + 10y + y2
b) 4s2 – t2
c) 6,25x2 – 5xy + y2
d) 2,89u2 – v2
e) 49 + 14k + k2
f)
g) 4 x2 – 8xy + 100y2
25
j) 1,69a6 – 3 6 b4
25
h) 1,44a2 – 4 b2
25
k) 0,25x2z2 + 0,3xyz2 + 0,09y2z2
b) (13 + t) (13 – t)
d) (3a – 9b)2
e)
)
2
f)
h) (xs2 + 0,5t)2
a) (2x + 3y) (2x – 3y) = 4x2 – 9y2
rz
c) (2x + 1,1)2 = 4x2 + 4,4x + 1,21
5.
te
a) (x + t)2 = x2 + 2xt + t2
M
6.
2
2
( 34 x – y ) = 169 x + 32 xy + y
( 32 x + 51 y ) · ( 32 x – 51 y ) = 94 x – 251 y
f)
a) 13 · 7 = (10 + 3) (10 – 3) = 100 – 9 = 91
b) 932 = (90 + 3)2 = 8 100 + 2 · 90 · 3 + 9 = 8 100 + 540 + 9 = 8 649
)
b) (3x – 4y) · (3x + 4y) = 9x2 – 16y2
d)
) = 4 2949 u + 14 74 uv + 11 1425 v
us
(
2
)(
(
d) 1 24 a4b2 – 4,41 = 1 2 a2 b + 2,1 1 2 a2 b – 2,1
25
5
5
2
c) (25 – y)2 = 625 – 50y + y2
e) 2 1 u + 3 2 v
7
5
2
2
b) (0,3x – 0,2)2 = 0,09x2 – 0,12x + 0,04
ur
4.
i)
( 34 + 52 v ) ( 34 – 52 v )
( 2xs – 21 t )
2
2
2
2
(
4a – 2b
5
3
)
2
A
g)
(
4s – 1
5
c) (2a + 3b)2
ns
a) (x + y)2
2 st + t2
7
3 ab + 4 b2
5
25
ic
ht
3.
1 s2 +
49
i) 9 a2 +
16
Lösungen: Gleichungen mit Klammern und binomischen Formeln
1.
a) L = { 5 }
b) L = { 13 }
c) L = { 21 }
d) L = { 57 }
e) L = { 5 }
f) L = { –3 }
g) L = { –29 }
h) L = { 7 }
i) L = { –11 }
j) L = { 15 }
k) L = { 9 }
l) L = { –8 }
b) L = { –2 }
c) L = { 5 }
d) L = { 2 }
e) L = { 10 }
f) L = { 4 }
g) L = { 2 }
h) L = { 7 }
i) L = { 9 }
j) L = { 2 }
ns
a) L = { 5 }
ic
ht
2.
a) L = { 5 }
b) L = { –2 }
c) L = { 4 }
d) L = { –1 }
ur
4.
b) L = { –5 }
c) L = { 1 }
d) L = { 14 }
rz
a) L = { 8 }
e) L = { 0 }
f) L = { –1 }
te
5.
b) L = { –8; –3 }
c) L = { 2; 5 }
d) L = { –2; 10 }
us
a) L = { –3; 5 }
e) L = { –15 }
f) L = { 4 }
g) L = { 7 }
h) L = { –5 }
6.
M
A
3.
a) L = { –5; 5 }
b) L = { –6; 6 }
c) L = { –13; 13 }
d) L = { –4 }
e) L = { –11 }
f) L = { 14 }
g) L = { 6 }
h) L = { –3; 3 }
i) L = { 5 }
Lösungen: Gleichungen mit Klammern und binomischen Formeln
1.
a) L = { 84 }
b) L = { –7 }
c) L = { 5 }
d) L = { –6 }
e) L = { 14 }
f) L = { 3,5 }
g) L = Q
h) L = { –5 }
i) L = { 21 }
a) L = { 0,5 }
b) L = { –4 }
c) L = { 7 }
d) L = { 2,2 }
ic
ht
2.
a) L = { –11 }
b) L = { –8 }
c) L = { 1 }
d) L = { 9 }
ns
3.
4.
a) L = { 3 }
{ 81}
d) L = Q
e) L = { –10 }
5.
b) L = { –2,1; 2,1 }
d) L = { –1,7 }
e) L = { 0,2 }
7.
us
a) L = { 15; –15 }
c) L = { –12 }
M
n2 + (n + 1)2 = n2 + n2 + 2n + 1 = 2n2 + 2n + 1 = 2(n2 + n) + 1 = 2[n · (n + 1)] + 1
te
6.
{
}
d) L = { 6 1 }
3
b) L = – 8 ; – 3
15 7
rz
a) L = { –9; 2 }
c) L = { –2,25 }
{ – 134 }
ur
f) L =
A
c) L =
b) L = { 8 }